EDITORIAL UNIVERSITAT POLITEgraveCNICA DE VALEgraveNCIA

Franciso Javier Arregui de la Cruz

Enrique Cabrera Rochera

Ricardo Cobacho Jordaacuten

Elena Goacutemez Selleacutes

Javier Soriano Olivares

2017

Apuntes de mecaacutenica de fluidos

Para referenciar esta publicacioacuten utilice la siguiente cita Arregui de la Cruz F J Cabrera Rochera E Cobacho Jordaacuten R Goacutemez Selleacutes E Soriano Olivares J (2017) Apuntes de mecaacutenica de fluidos Valencia Universitat Politegravecnica de Valegravencia copy Francisco Javier Arregui de la Cruz Enrique Cabrera Rochera Ricardo Cobacho Jordaacuten Elena Goacutemez Selleacutes Javier Soriano Olivares Disentildeo graacutefico y maquetacioacuten Javier Albert Pardo copy 2017 Editorial Universitat Politegravecnica de Valegravencia distribucioacuten Telf 963 877 012 wwwlalibreriaupves Ref 6235_01_01_01 ISBN 978-84-9048-359-6 (versioacuten impresa) Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproduccioacuten traduccioacuten y difusioacuten parcial de la presente publicacioacuten con fines cientiacuteficos educativos y de investigacioacuten que no sean comerciales ni de lucro siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV la publicacioacuten y los autores La autorizacioacuten para reproducir difundir o traducir el presente estudio o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma con fines comercialeslucrativos o sin aacutenimo de lucro deberaacute solicitarse por escrito al correo edicioneditorialupves Impreso en Espantildea

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacutenBibliografiacutea y anexos

8

12

13

15

16

18

20

23

23

25

27

7

Capiacutetulo 1 Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

IntroduccioacutenEcuacioacuten general de la estaacutetica de fluidosFuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacuteticaFlotacioacuten y estabilidad de los flotadores

Capiacutetulo 2 Estaacutetica de fluidos

31

32

34

40

Capiacutetulo 3 Descripcioacuten del movimiento de los fluidos

IntroduccioacutenTrayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque LagrangianoCampo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la Mecaacutenica de FluidosDiferentes sistemas de referenciaConceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de trazaClasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contornoConcepto de caudalDerivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluidoTeorema de arrastre de ReynoldsTeacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujosBilbliografiacutea

47

48

50

52

53

55

57

65

67

71

72

Capiacutetulo 4 Dinaacutemica de fluidos

IntroduccioacutenEcuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencialModelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de ReynoldsLos coacutedigos CFDAplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de CouetteConclusioacuten

75

76

80

81

83

85

Presentacioacuten

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaEcuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaEcuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoEcuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

89

89

97

112

116

Capiacutetulo 5 Dinaacutemica integral de fluidos

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenTransitorios hidraacuteulicosBibliografiacutea

Capiacutetulo 6 Flujo a presioacuten

121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152

Capiacutetulo 7 Flujo en laacutemina libre

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoCaracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreCurvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreAlgunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreBibliografiacutea

155

155

156

158

159

161

162

166

170

Capiacutetulo 8 Flujo alrededor de cuerpos

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacutevilesBibliografiacutea

173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Para referenciar esta publicacioacuten utilice la siguiente cita Arregui de la Cruz F J Cabrera Rochera E Cobacho Jordaacuten R Goacutemez Selleacutes E Soriano Olivares J (2017) Apuntes de mecaacutenica de fluidos Valencia Universitat Politegravecnica de Valegravencia copy Francisco Javier Arregui de la Cruz Enrique Cabrera Rochera Ricardo Cobacho Jordaacuten Elena Goacutemez Selleacutes Javier Soriano Olivares Disentildeo graacutefico y maquetacioacuten Javier Albert Pardo copy 2017 Editorial Universitat Politegravecnica de Valegravencia distribucioacuten Telf 963 877 012 wwwlalibreriaupves Ref 6235_01_01_01 ISBN 978-84-9048-359-6 (versioacuten impresa) Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproduccioacuten traduccioacuten y difusioacuten parcial de la presente publicacioacuten con fines cientiacuteficos educativos y de investigacioacuten que no sean comerciales ni de lucro siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV la publicacioacuten y los autores La autorizacioacuten para reproducir difundir o traducir el presente estudio o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma con fines comercialeslucrativos o sin aacutenimo de lucro deberaacute solicitarse por escrito al correo edicioneditorialupves Impreso en Espantildea

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacutenBibliografiacutea y anexos

8

12

13

15

16

18

20

23

23

25

27

7

Capiacutetulo 1 Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

IntroduccioacutenEcuacioacuten general de la estaacutetica de fluidosFuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacuteticaFlotacioacuten y estabilidad de los flotadores

Capiacutetulo 2 Estaacutetica de fluidos

31

32

34

40

Capiacutetulo 3 Descripcioacuten del movimiento de los fluidos

IntroduccioacutenTrayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque LagrangianoCampo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la Mecaacutenica de FluidosDiferentes sistemas de referenciaConceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de trazaClasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contornoConcepto de caudalDerivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluidoTeorema de arrastre de ReynoldsTeacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujosBilbliografiacutea

47

48

50

52

53

55

57

65

67

71

72

Capiacutetulo 4 Dinaacutemica de fluidos

IntroduccioacutenEcuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencialModelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de ReynoldsLos coacutedigos CFDAplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de CouetteConclusioacuten

75

76

80

81

83

85

Presentacioacuten

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaEcuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaEcuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoEcuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

89

89

97

112

116

Capiacutetulo 5 Dinaacutemica integral de fluidos

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenTransitorios hidraacuteulicosBibliografiacutea

Capiacutetulo 6 Flujo a presioacuten

121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152

Capiacutetulo 7 Flujo en laacutemina libre

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoCaracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreCurvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreAlgunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreBibliografiacutea

155

155

156

158

159

161

162

166

170

Capiacutetulo 8 Flujo alrededor de cuerpos

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacutevilesBibliografiacutea

173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacutenBibliografiacutea y anexos

8

12

13

15

16

18

20

23

23

25

27

7

Capiacutetulo 1 Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

IntroduccioacutenEcuacioacuten general de la estaacutetica de fluidosFuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacuteticaFlotacioacuten y estabilidad de los flotadores

Capiacutetulo 2 Estaacutetica de fluidos

31

32

34

40

Capiacutetulo 3 Descripcioacuten del movimiento de los fluidos

IntroduccioacutenTrayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque LagrangianoCampo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la Mecaacutenica de FluidosDiferentes sistemas de referenciaConceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de trazaClasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contornoConcepto de caudalDerivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluidoTeorema de arrastre de ReynoldsTeacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujosBilbliografiacutea

47

48

50

52

53

55

57

65

67

71

72

Capiacutetulo 4 Dinaacutemica de fluidos

IntroduccioacutenEcuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencialModelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de ReynoldsLos coacutedigos CFDAplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de CouetteConclusioacuten

75

76

80

81

83

85

Presentacioacuten

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaEcuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaEcuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoEcuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

89

89

97

112

116

Capiacutetulo 5 Dinaacutemica integral de fluidos

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenTransitorios hidraacuteulicosBibliografiacutea

Capiacutetulo 6 Flujo a presioacuten

121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152

Capiacutetulo 7 Flujo en laacutemina libre

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoCaracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreCurvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreAlgunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreBibliografiacutea

155

155

156

158

159

161

162

166

170

Capiacutetulo 8 Flujo alrededor de cuerpos

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacutevilesBibliografiacutea

173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaEcuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaEcuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoEcuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

89

89

97

112

116

Capiacutetulo 5 Dinaacutemica integral de fluidos

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenTransitorios hidraacuteulicosBibliografiacutea

Capiacutetulo 6 Flujo a presioacuten

121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152

Capiacutetulo 7 Flujo en laacutemina libre

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoCaracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreCurvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreAlgunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreBibliografiacutea

155

155

156

158

159

161

162

166

170

Capiacutetulo 8 Flujo alrededor de cuerpos

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacutevilesBibliografiacutea

173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 13

concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

14 Mecaacutenica de fluidos

la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 15

no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

16 Mecaacutenica de fluidos

fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 17

al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022

Para seguir leyendo haga click aquiacute

Para seguir leyendo haga click aquiacute