investigación de operaciones teoría de colas notación de kendall – lee ejercicios s esión t...

Investigación de Operaciones

Teoría de ColasNotación de Kendall – Lee

Ejercicios

Sesión Teórico/Práctica No. 2Nelson José Pérez Díaz

Modelo Monoservidor

• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:

• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,

• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,

• Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,

• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Colas

• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

– la longitud de la línea de espera,– el promedio de tiempo de espera y otros factores como:– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

Colas

• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.

• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

Colas

COLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo Programas a ser corridos

Proceso de datos

Compañía de teléfonos

Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga

Colas

Características de una LINEA DE ESPERACARACTERISTICAS DE ARRIBOº

• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x arribos• .x= número de arribos por unidad de tiempo = rata promedio de arribo

.e = 2.71828

,...4,3,2,1,0_!

xparax

exP

x

Colas

TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Colas

TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO 4

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Colas

Proceso de nacimiento y muerte

• Los llamados procesos de nacimiento y muerte describen una gran diversidad de situaciones prácticas cuya característica principal consiste en la aparición y/o desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.

• Si N(t) expresa el número total de entes que componen la población al tiempo t, entonces N(t) puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo

Colas

Diagrama Tasas de Transición

• Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada

• Se obtiene la ecuación de equilibrio:

n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn

n-1 n+1

n

n

n

n

n+1

... ...

Colas

• Para calcular la probabilidad de estado es preciso tener en cuenta:– El proceso de llegada de los paquetes– La distribución de duración de los paquetes– La política de servicio

• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)

Teoría de Colas

Colas

Representación general de la Formación de colasNotación de Kendall

A/B/CDistribució

n de llegada

Distribución de

servicio

Número de servidores

Colas

Clasificación de Kendall y Lee

Clasificación de Kendall y LeeKendall y Lee 1953

Proponen un sistema de clasificación para sistemas

de líneas de espera, el cual considera seis de las

características mencionadas en la estructura de los

modelos.

El cual tiene el siguiente formato

(a/b/c)(d/e/f)

Colas

X X , x , X , X, X

PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang

PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang

NUMEROSERVIDORES

1: un servidors: s servidores en paralelo

TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita

8

TAMAÑO COLA : InfinitaK : Finita

8

DISCIPLINA DE SERVICIODG , FIFO , LIFO

RAND, PRI



Colas



Donde

a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones

b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial

Colas



c número de servidores

d orden de atención de los clientes

Símbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general

e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

Colas

EjemplosEjemplos

Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación

de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo

atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,

primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El

sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían

encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El

tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución

exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los

servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.

Colas



Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible

agrupar los diferentes modelos de una manera donde los

procesos Markovianos y los no Markovianos se separan

claramente.

Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita

y modelos de capacidad Infinita.

Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos

entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con

cualquier tipo de distribución.

Colas

0 1 2 4 n

t

t

3

....... ....

M / M / 1 / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita

Colas


Mediante cadenas deMarkov de estadofinito

Mediante el factor de corrección K

(G/G/1) (FCFS/ / )

Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine

(M/G/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (d/N/f)

(M/M/1) (FCFS/N/)

(M/M/1) (FCFS/N/N)

(M/M/S) (FCFS/N/)

(M/M/S) (FCFS/N/N)

Mediante cadenas de Markov y series geométricas

(M/M/S) (d/ / )

(M/M/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (FCFS/ / )Mediante el cálculo de límite superior

(G/G/S) ( FCFS //)

Mediante fórmulas generales

Colas

• Se pueden obtener los valores siguientes:– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema LES– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la cola

TEC– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el sistema

antes de ser atendido TES– Número promedio de canales en servicio inactivos en el sistema

NCI– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o en el

sistema más de un tiempo t– Número promedio de paquetes atendidos

Objetivos de los modelos de colas

Colas

TEORIA DE COLASMedición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la

cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el

sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de

clientes en el sistema.

Colas

Medidas de desempeñoMedidas de desempeño

Medidas de desempeño:Utilización de Servicio

Tasa de entrada Promedio

Número Promedio de Clientes en el sistema

Número promedio de Clientes en la fila

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación

Colas

Modelo Monoservidor

• Los paquetes son “clientes” formando cola en espera del servicio

Llegada de

paquetesSalida de paquetes

ServidorÁrea de

almacenamiento temporal

Modelo de cola en un servidor único

Colas

• Ejemplos de modelos de un solo servidor:– Taquilla de Pago CANTV– Caja de UNITEC– Cafetin– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)

Colas

Modelo Monoservidor

• Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad promedio de:

tiempodeunidad/paquetes

Forman una cola en espera de servicio en el área de almacenamiento temporal y luego, con alguna política de servicio especificada, son atendidos a razón de un promedio de

tiempodeunidad/paquetes

Colas

Modelo Monoservidor

• La cola empieza a formarse cuando:

Llegada de paquetes

Capacidad de transmisión del paquete

Para un área de almacenamiento temporal finita, la cola llegaría a saturación cuando exceda . Cuando el área de almacenamiento temporal se satura, se bloquean las llegadas de todos los paquetes.

Colas

Modelo Monoservidor

• Si se supone un área de almacenamiento temporal infinita, la cola se vuelve inestable a medida que:

Para la cola con un solo servidor:

Asegura estabilidad

Colas

Modelo Monoservidor

• Un parámetro crítico en el análisis de la teoría de formación de colas es: Utilización o intensidad de tráfico en el enlace

Es la razón entre la carga y la capacidad del sistema

Para el caso de un solo servidor se presenta congestión cuando:

11

Colas

Modelo Monoservidor

TEORIA DE COLASModelo M/M/1

• Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.

3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.

5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa.

6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.


FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n


FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1

1

2

sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid

11

vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Número

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL


NomenclaturaNomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j

después de un intervalo de tiempo

Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el

sistema

L Número promedio de clientes en el sistema

Lq Número promedio de clientes en la fila

W Tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila

Factor de utilización promedio del servicio

Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de

tiempo

Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Colas

Medida del performance en períodos estacionarios.

P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.

Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.

L = número de clientes promedio en el sistema.

Lq = número de clientes promedio en la cola.

W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.

Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.

Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.

= Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

Elementos a estudiar en las COLAS

Medidas del Desempeño para la cola M / M /1

P0 = 1- ( / )

Pn = [1 - ( / )] (/ )n

L = / ( - )

Lq = 2 / [( - )]

W = 1 / ( - )

Wq = / [( - )]

Pw = /

= /

La probabilidad de queun cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-( - )t


Zapatería Mary’s

Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.

El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.


SOLUCION– Datos de entrada

= 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora.

= 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora.

– Calculo del performanceP0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333

Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n L = / ( - ) = 2Lq = 2/ [( - )] = 1.3333

W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos

P0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333

Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n L = / ( - ) = 2Lq = 2/ [( - )] = 1.3333

W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos

Pw = /

= /


Ejemplo• Un peluquero atiende sus clientes sin cita

previa, el primero en llegar es el primero en ser atendido. La llegada de los clientes se distribuye de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 5/hora. Los clientes prefieren esperar el tiempo necesario antes de ser atendidos. El tiempo de corte del cabello está exponencialmente distribuido con un tiempo de corte promedio de 10 minutos.

• ¿Cual es el número promedio de clientes en el negocio y el número promedio de personas esperando a ser atendidas?

Colas

Ejemplo Cont...

hora

5

horahoraX

6

1

min60

min10

1

6

5

1

LES

5LES 6

51

6

5

LES


Ejemplo Cont...

2

LEC

6

5LEC

• La probabilidad de que los clientes no deban esperar antes de ser atendidos es P0

10P


• Esta probabilidad es:

1666.06

510 P

Ejemplo Cont...

Esto indica que el 16.7% de los clientes son atendidos sin hacer cola y el 83.3% deben esperar algún tiempo en la cola antes de pasar a la silla del peluquero.


• Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y el dueño desea conocer qué porcentaje de clientes que esperan deben hacerlo parados. La probabilidad de no encontrar silla es:

Ejemplo Cont...

405.0...5

765

nnPPPP


• El 40% del tiempo los clientes no encuentran silla disponible.

• Cuánto debe el cliente esperar en promedio en la cola y en el sistema, está dado por la formulas y LEC y LES

Ejemplo Cont...

2

LEC

1

LES

En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de 60 minutos respectivamente.


investigación de operaciones teoría de colas notación de kendall – lee ejercicios s esión t...

Documents