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1 PRÁCTICA I. Control Estadístico de la Calidad, Máster en Técnicas Estadísticas

ráctica II Control Estadístico de Calidad:

Etapa CONTROL: gráficos de control univariantes

1. Gráficos de control 2. Gráficos por variables

2.1. y R, 2.2. y S, 2.3. x y Rangos Móviles (MR)

3. Gráficos por atributos: 3.1. p 3.2. np 3.3. c 3.4. u 3.5. Ejemplo p 3.6. Ejemplo np 3.7. Ejemplo c 3.8. Ejemplo u

4. Otros gráficos de control univariant. 4.1. CUSUM 4.2. EWMA

5. Curvas OC

P


Etapa CONTROL: Gráficos de control univariantes

En la fase de control deben monitorizarse o someter a vigilancia los logros conseguidos en etapas anteriores, así como documentar las nuevas condiciones o especificaciones del proceso de estudio. Esta etapa está caracterizada por el empleo de herramientas basadas en la detección de errores y su corrección: las más representativas son los gráficos de control.

El objetivo último de la mejora de la calidad no es sólo ofrecer productos de buena calidad, sino también mejorar la productividad y la satisfacción de los clientes (que permitirá afrontar el gasto del proceso de mejora). Una forma de mejorar la productividad es a través de la reducción de los defectos y las revisiones, por inspección y control de los procesos en curso antes de que se generen productos o servicios defectuosos. Las variaciones de las características medidas son desviaciones de los objetivos prefijados. Aparecen independientemente de que el proceso esté o no bajo control. Las causas que originan la variaciones se dividen en dos categorías: comunes (E. Deming) o aleatorias (W. Shewhart ), cuando son inherentes al proceso de producción, y especiales (E. Deming) o asignables

(W. Shewhart ) cuando no son atribuibles al proceso de producción (por ejemplo, un operador que tiene sueño). Importante: para ser capaz de predecir el nivel de calidad de los productos o servicios, los procesos que los generan han de ser estables, es decir, con total ausencia de causas especiales de

variación. 1. Gráficos de control Los gráficos de control representan la herramienta más importante en el análisis de las variaciones de los procesos de producción o servicios. Un gráfico de control es un gráfico de dos dimensiones cuyo eje y representa la variable que estamos monitorizando. Los valores de la característica a medir se representan secuencialmente con respecto al tiempo. Los valores de la variable pueden ser individuales o, más comúnmente, los promedios referidos a grupos de tamaño 4, 5, etc., llamados muestras racionales. El eje x de la gráfica muestra los números de identificación para el conjunto de ítems (individuales o grupos). Los valores de la variable se representan con puntos unidos mediante líneas rectas, para poder identificar patrones indicadores de cambios significativos en el rendimiento del proceso. Gráficamente, se caracterizan por:

Una línea central (CL). Media de las variables incluidas en la muestra. Los valores monitorizados varían en torno a esta media.

Límite de control inferior (LCL), por debajo del cual es muy poco probable que se produzcan realizaciones de la variable.

Límite de control superior (UCL). El LCL y UCL son simétricos si la distribución de probabilidad de la variable es simétrica (se suele utilizar la normal).


Utilidades de los gráficos de control:

Evitar que el proceso esté fuera de control, detectando las causas asignables a cada variación de la característica medida y tomando las medidas al respecto.

Para no hacer ajustes cuando no se necesitan. La mayoría de los procesos de producción dan a los operadores margen de maniobra para hacer ajustes en los equipos que están utilizando. Los gráficos de control pueden indicar cuando los ajustes son necesarios y cuando no lo son.

Para determinar el rango natural (límites de control) de un proceso y para comparar este rango con sus límites especificados. Si el rango de los límites de control es más amplio que el de los límites especificados, el proceso va a generar productos defectuosos y tendrá que ser ajustado.

Dar a conocer la capacidad y estabilidad del proceso, entendiendo como capacidad de proceso a su adecuación para ofrecer productos dentro de los límites especificados continuamente en el tiempo.

Para llevar a cabo el proceso de monitorizado del proceso y así evitar los defectos en el producto final.

Para facilitar la planificación de la asignación de recursos de producción. Las variaciones de una característica de calidad determinan la cantidad de defectos. Tener información para predecir estas variaciones ayuda a asignar los recursos.

Los gráficos de control se construyen en dos fases:

En la fase I, los límites de control se estiman utilizando una muestra preliminar. En la fase II, las muestras tomadas posteriormente se representan en un gráfico con los límites de control anteriores. Cuando las observaciones individuales de la variable de estudio X están dentro de los límites de control, se dice que el proceso está estadísticamente bajo control. Los

límites de control son completamente diferentes de los límites de especificación (aquellos aceptados por el cliente o fijados por los ingenieros, que representan la consigna o target). Los límites de control se calculan como un intervalo de confianza. Se suelen tomar aquellos que distan de la media en tres desviaciones típicas (μ ±3σ). Seguidamente se muestra el proceso completo de monitorizado de una variable (que afecta a la calidad del producto) mediante un gráfico de control.


Tim Stapenhurst. Mastering Statistical Process Control.

Figura 1. Proceso de monitorización de una variable que afecta a la calidad de un producto o servicio mediante la aplicación de gráficos de control.

El siguiente gráfico responde a la pregunta de cuáles son los distintos gráficos de control más usados y cuándo se ha de utilizar cada uno:

Fuente: D. Montgomery. Introduction to quality control

Figura 2. Tipos de gráficos de control a emplear dependiendo del tamaño de muestra y de la magnitud de las desviaciones que se pretenden medir.


Figura 3. Uso de los gráficos de control dependiendo del tipo de variable y tamaño de las submuestras.

Ventajas de los gráficos de control de atributos:

Los gráficos de control de atributos tienen la ventaja de resumir rápidamente los diversos aspectos de la calidad de un producto, es decir, el ingeniero puede simplemente clasificar los productos como aceptables o inaceptables, basándose en diversos criterios de calidad. Por tanto, a elaboración de gráficos de atributos no requieren procedimientos especialmente costosos en tiempo ni necesitan el empleo de precisos dispositivos de medición. Además, este tipo de gráfico tiende a ser más fácil de entender por los gerentes que no están familiarizados con los procedimientos de control de calidad. Ventajas de los gráficos de control de variables: Gráficos de control de variables son más sensibles que los gráficos de control de atributos. De heco, los gráficos de control de variables nos pueden alertar de problemas de calidad antes de que se produzca cualquier “fuera de control” o “inaceptable” real que pudiera ser detectado por el diagrama de atributos. Reglas para la detección de procesos fuera de control (Western Electric Handbook, 1956):

1. Un punto fuera de los límites de control 3σ. 2. Dos puntos de tres consecutivos más allá de los límites de aviso 2 σ. 3. Cuatro de cinco puntos consecutivos a una distancia de 1 σ o más de la

línea central. 4. Ocho puntos consecutivos a un lado de la línea central.

No se suelen utilizar más de 3 reglas a la vez para evitar incurrir en falsos rechazos de la H0 (proceso bajo control).

TIPO

n

ẋ-R

ẋ -S

I -MR

Tipo

Gráfico p

Gráfico u

ATRIBUTOS VARIABLES

1

2-10

>10

Proporción

Defectos


2. Gráficos de control por variables

Para el control de una característica medible y representada por una variable aleatoria X, existen dos tipos de gráficos, por una parte aquellos que nos ayudan a controlar las medidas de posición (de la media o mediana) y, por otra, los que controlan la dispersión de la variable (gráficos de desviaciones, varianzas o recorridos). Este tipo de gráficos son más informativos que los gráficos de atributos; aparte de darnos una idea de la conformidad o no conformidad del proceso, nos dan información acerca del nivel o magnitud.

En este curso se trabajará fundamentalmente con el paquete qcc. El paquete

R qcc sirve para generar gráficos de control. Primero se crea un objeto

qcc.groups, utilizando la función con el mismo nombre, con los siguientes

argumentos: las medidas en formato de vector y la identificación de las mismas

como pertenecientes a un grupo. A continuación, se crea un objeto qcc con el

objeto qcc.groups como argumento, indicando el tipo de gráfico de control.

Una vez creado el objeto qcc, podemos realizar dos acciones sobre él: un

resumen y un gráfico. Creación de un objeto qcc:

Para trabajar con casi todas las funciones y aplicaciones que existen dentro de este paquete estadístico, debemos crear un objeto qcc. Necesitamos básicamente dos cosas: unos datos (un data frame, una matriz, un vector,..) y un "string value" especificando el tipo de control que deseamos hacer (por atributos o por variables). También, opcionalmente, se pueden modificar el tamaño (sizes), el tipo de estimación de la desviación estándar (std.dev), los límites de control (limits), el valor objetivo del proceso (target)… La única diferencia que existe a la hora de trabajar con variables o con atributos radica en "type". Para variables podemos optar por elegir entre "xbar", "xbar.one", "R" o "S" y para atributos tenemos "p", "np", "c", "u" o "g". En esta sección se utilizarán como ejemplo los datos pistonrings (Piston

rings data), del paquete qcc, donde se mide el diámetro de los aros de los

pistones fabricados para la industria de automoción, mediante un proceso de forja. Son un data frame con 200 observaciones medidas en 25 muestras de tamaño 5. Su estructura es la siguiente:

diameter: a numeric vector, es el diámetro de los

pistones.

sample: sample ID, 1,2,3,...40 representa el número de

la muestra y de cada muestra tenemos 5.

trial: trial sample indicator (TRUE/FALSE)


Fórmulas para los límites de control naturales en los gráficos de control por variables:

Gráfico Línea central

Límites de control S

e d

a

σ

No

se

da

σ

2.1. Gráficos de control -R y -S

Primero se procede a cargar la librería qcc, suponiendo que ya haya sido

instalada a través del CRAN de R. Veamos el código en R para el caso de la base de datos pistonrings:

data(pistonrings) # Se carga la base de datos

pistonrings

attach(pistonrings) # Se toman las columnas de la base de

datos como variables

dim(pistonrings) # 200 datos, 3 variables

Creacion del objeto qcc.groups o grupos qcc: diameter <- qcc.groups(diameter, sample)

Se agrupan los valores de los diámetros según el valor de la columna "Sample". Como hay 200 valores en 40 muestras, el resultado es una matriz 40x5 (200/5=40)

diameter

dim(diameter)

#efectivamente es una matriz de 40 filas y 5 columnas

2.1.1 Procedimiento estándar: etapas I y II

Importante: para construir un gráfico de control de la media, primero hay que observar los diagramas de rangos o desviaciones típicas (antes que los diagramas de la media). Es debido a que los los UCL y LCL en el gráfico de control de la media se contruyen a partir de la estimación de la desviación


típica de la variable o característica estudiada:

⁄ , obtenida usando el

rango medio, o ⁄ a partir del gráfico de desviaciones típicas muestrales.

Así pues, primero se establecerán los límites de control del gráfico de rangos (R) y, sólo después, se hará lo mismo con el gráfico de medias.

Como ya se ha comentado, en la etapa I se estiman los límites naturales del gráfico de control. Para el cado del gráfico de rangos se sigue el siguiente proceso:

windows(15,10)

Se abre una ventana para contener 4 gráficos: op<-par(mfrow=c(2,2))

Se estiman los límites naturales de control del gráfico de rangos mediante las 25 primeras muestras, que es el número mínimo de muestras necesarias para estimarlos de forma fiable (es recomendable utilizar 20, 25 o más muestras para ello):

qcc(diameter[1:25,], type="R") # type indica gráfico de

rangos, R-para variables

Se crea un objeto qcc mediante la función del mismo nombre y se obtiene el

primer gráfico de control. Los parámetros de la función qcc son los siguientes:

qcc(data,type="xbar",sizes,center,std.dev,limits,data.name,

labels,newdata,newsizes,newlabels,nsigmas=3,confidence.leve

l,rules = shewhart.rules,plot = TRUE)

Además, esta función proporciona un resumen que incluye la estadística descriptiva referida a los grupos, tamaño de la submuestra, nº de grupos, media del estadístico del gráfico de control, desviación típica resultado de dividir el rango medio entre d2 (tabulado).

Se observa que no hay ningún punto fuera de los límites de control. Tampoco hay ningún punto que viole las reglas mostradas anteriormente (“number violating runs”). Por lo tanto, en cuanto a la dispersión del proceso medido, este está bajo control, por lo que se pasa a la siguiente fase, la de monitorización.

Ahora comienza la etapa II, el monitoreo o control continuo del proceso: se añaden las muestras restantes mediante el parámetro newdata.

qcc(diameter[1:25,], type="R", newdata=diameter[26:40,])

Aunque se aconseja su uso para tamaños muestrales n > 10, se muestra también el proceso de elaboración de los gráficos de control para la desviación típica: Gráfico S.


qcc(diameter[1:25,], type="S")

qcc(diameter[1:25,], type="S", newdata=diameter[26:40,])

par(op)

Una vez la variabilidad del proceso está bajo control, se puede obtener una buena estimación de la desviación típica de la característica o variable a controlar, con la que calcular los límites de control para la media.

Figura 4. Fila superior: gráficos de control para el rango con las 25 primeras muestras (obtención de los límites de control) y añadiendo las restantes para labores de monitoreo. Fila inferior: gráficos de control para la desviación típica con las 25 primeras muestras (obtención de los límites de control) y añadiendo las restantes para labores de monitoreo.

Seguidamente se muestran las etapas para la construcción de un gráfico de

control para la media ( ) con los datos pistonrings:

Se abre una ventana con espacio para 4 gráficos:

windows(15,10)

op<-par(mfrow=c(2,2))

1º Se determinan los límites de control naturales con las primeras 25 muestras (es recomendable utilizar al menos 20 muestras para ello). 2º Seguidamente se incluyen las 15 restantes (sin afectar al cálculo de los límites de control), con el objeto de monitorizar de forma continua el proceso.

qcc(diameter[1:25,], type="xbar", newdata=diameter[26:40,])


Una vez establecidos los límites de control, se observa que, en la muestra a monitorizar, aparecen tres puntos fuera de los límites de control (Figura 5). En naranja aparece marcado el punto inmediatamente posterior. Ello es debido a que pertenece a una racha (4 puntos de 5 más allá de la línea de 1 σ con respecto a CL), teniéndolo en principio que estudiar como un punto fuera de control.

Figura 5. Gráfico de control para la media del diámetro de los anillos de los pistones. Antes de la línea vertical se sitúan los valores medios del diámetro de los anillos para las 25 primeras muestras, con los que se calculan los límites de control naturales. Después de la línea vertical se sitúan las muestras a monitorizar.

¿Cuáles pueden ser las causas del fuera de control? Se observa un progresivo aumento del nivel de los puntos (pendiente positiva) desde la muestra 33 o incluso antes. Asumiendo que se han tomado bien los datos, esto puede ser debido a un progresivo desgaste de la máquina manufacturera, al creciente cansancio del operador/es al cargo de la producción, desajuste progresivo del sistema de medición, etc. Además, a partir de la muestra 31 parece tener lugar una componente cíclica que antes no aparecía. Todos estos posibles condicionantes deberían revisarse dentro del proceso de producción, detectar las causas reales y, finalmente, tomar las medidas correctoras. Una vez tomadas, si estas afectan al proceso de producción del bien o servicio, deberían hallarse unos nuevos límites de control naturales. 2.1.2 Algunas utilidades de la función qcc

Para mostrar diversas maneras de representación de los gráficos de control, se guarda el objeto qcc en q, que se representa seguidamente mediante el

comando plot.

q<-qcc(diameter[1:25,],type="xbar",

newdata=diameter[26:40,], plot=FALSE)

Se pueden mostrar sólo aquellas muestras que no han sido utilizadas para obtener los límites naturales de control fijando el parámetro

chart.all=FALSE.


plot(q, chart.all=FALSE)

Con nsigmas variamos los límites de control en función de la desviación

típica estimada (dentro de grupo o muestra): nsigmas es el número de

sigmas que se van a usar para construir los límites de control, sumando y restando dicha cantidad al valor central.

qcc(diameter[1:25,],type="xbar",newdata=diameter[26:40,],

nsigmas=2)

confidence.level es un valor entre [0,1]. Es el nivel de confianza. El

parámetro nsigmas queda anulado cuando se define el nivel de confianza:

qcc(diameter[1:25,],type="xbar",newdata=diameter[26:40,],

confidence.level=0.99)

par(op)

2.1.3 Ejemplo: obtención de los límites UCL y LCL en un caso extremo Si los límites de control se calcularan para una distancia de 1.5 σ:

windows(15,10)


Primero se obtienen los límites naturales de control para el gráfico R:

q=qcc(diameter[1:25,], type="R",nsigmas=1.5)

summary(q)

Mediante la función summary obtengo la estadística descriptiva del gráfico de

control. Además, observando los gráficos (Figuras 6, 7, 8) veo qué puntos están fuera de control.

Se eliminan los puntos fuera de control y se vuelven a calcular los límites naturales UCL y LCL:

qcc(diameter[c(2,4:10,12,13,15:25),],type="R", nsigmas=1.5)

Todavía queda un punto fuera de control, el 25. Se elimina y se vuelven a calcular los límites de control:

qcc(diameter[c(2,4:10,12,13,15:24),],type="R",

newdata=diameter[26:40,],nsigmas=1.5)

Ahora se está en disposición de construir el diagrama :


qcc(diameter[c(2,4:10,12,13,15:24),],type="xbar",


par(op)

Todavía hay dos puntos fuera de control (la muestra 18 y 20). Los eliminamos:

a=c(2,4:10,12,13,15:24)

Los elementos 14 y 16 del objeto a se corresponden con las muestras 18 y 20

originales. Entonces:

qcc(diameter[a[-c(14,16)],],type="xbar",


Ahora, el proceso está bajo control; por eso se toman los límites naturales obtenidos y se utilizan para controlar el proceso en continuo. Al representar las muestras restantes, se observa que varios puntos están fuera de control. Deberían identificarse las causas que provocaron esos resultados anómalos, con el fin de corregir las anomalías y/o identificar cualquier cambio en el proceso (si esto último ocurre, habría que recalcular los límites de control).

Figura 6. Proceso de obtención de los límites de control para el gráfico R (UCL=0.03215,

LCL=0.009143). Con

, se calculan los límites de control

√ y

√ para el gráfico de las medias. Las muestras 18 y 20 están fuera de control.


Figura 7. Proceso de obtención de los límites de control para el gráfico . El proceso está bajo

control:

√ para el gráfico de las medias.

Fijando los límites de control en 1.5 σ nos damos cuenta que el proceso está fuera de control en la primera muestra a monitorizar, la 26, tanto en lo relativo a

su dispersión (gráfico R) como a su posición (gráfico ).

2.2. Gráficos de control para medidas individuales

También se pueden construir gráficos de control por variables para las observaciones individuales tomadas en una línea de producción. Este tipo de gráficos se hacen imprescindibles cuando el coste de cada observación es muy alto y, por tanto un sistema de muestreo como el anteriormente descrito es inasumible. Ejemplos: el número de quejas de los clientes o devoluciones de productos que sólo está disponible una vez al mes, los casos en los se lleva a cabo una inspección automática de cada unidad de producto, etc. En ese último caso, el interés radica en detectar pequeños cambios en la calidad del producto (por ejemplo, el deterioro gradual de la calidad debido al desgaste de la máquina). Aparte de los gráficos para muestras individuales y rangos medios, los gráficos CUSUM y EWMA pueden ser alternativas más adecuadas en estas situaciones.

En el siguiente ejemplo se simula el caso particular de una empresa de animación por ordenador (Bran Entertaiment) que dispone de 3 operarios para realizar operaciones de renderizado de imágenes. Hasta hace relativamente poco sólo una persona se dedicaba a este trabajo, siendo especialista. Debido a su periodo de vacaciones, otro operario de la empresa, el de más antigüedad se ocupó del proceso hasta el momento en que pidió una baja. A partir de ese momento, un becario fue el encargado del proceso. Se pretende obtener los límites de control natural del proceso e identificar las causas asignables de aquellos valores fuera de control. NOTA: el proceso de renderizado se desarrolla con el fin de generar en un espacio espacio 3D formado por estructuras poligonales una simulación realista del comportamiento tanto de luces, texturas y materiales (agua, madera, metal, plástico, tela, etcétera) como también de los


comportamientos físicos. Este es el caso de la simulación de colisiones y fluidos, ambientes y estructuras físicas verosímiles.

Se simulan los tiempos de operación que cada operario dedica a cada tarea de renderizado:

muestra1=rnorm(50,33.52,0.34) # Operador 1

muestra2=rnorm(50,32,0.37) # Operador 2

muestra3=rnorm(10,40,0.5) # Operador 3

muestra=c(muestra1,muestra2,muestra3)

Se crea un data frame habiendo numerado previamente cada tarea de renderizado, en total 110 (50 realizadas por el operario 1, otras 50 por el operario 2 y 10 a cargo del tercero):

sample <- 1:length(muestra)

datos <- data.frame(muestra,sample)

Se crea un objeto qcc.groups:

tiempo <- qcc.groups(muestra, sample)

La empresa pretende establecer los límites de control naturales para la tarea de renderizado, a partir de los cuales monitorizará el proceso con el fin de detectar posibles futuras anomalías. Para ello, toma 30 muestras de 1 elemento que se corresponden con el trabajo realizado por el operador 1. Para hallar los límites de control ejecutamos la función qcc para las 30 primeras muestras (>20) con type="xbar.one" y, como el proceso está bajo control,

representamos el resto de las muestras a monitorizar (de los tres operarios).

windows(12,7)

qcc(tiempo[1:30],type="xbar.one",newdata=tiempo[31:110],

nsigmas=3)

Figura 8. Gráfico de control para muestras individuales.


Lo que sucede es la sucesión de dos cambios bruscos bien delimitados. El primero se corresponde con el cambio del primer operario al segundo. El segundo operario, teniendo más experiencia, realiza la tarea en menos tiempo pero, como realiza su trabajo desde diferentes equipos, sus tiempos tienen más variabilidad. Finalmente, el becario se hace cargo del trabajo y el cambio se ve claramente en el gráfico de control: tarda más en realizar la tarea. El trabajo de los dos operarios aparece como puntos fuera de los límites de control, nos damos cuenta perfectamente de que su trabajo pertenece otras distribuciones diferentes a la que rige los tiempos de trabajo del operador 1. Al detectar el primer cambio deberíamos haber recalculado los límites de control. 2.3. Interpretación de los gráficos Seguidamente se muestran una serie de patrones que suelen aparecer en el estudio de este tipo de gráficos de control, a modo de guía para una interpretación de los mismos: Gráfico 1.1: Un patrón natural es aquel en el que no existe ninguna relación

identificable entre los puntos trazados. No hay puntos que caigan fuera de los límites de control, la mayoría de los puntos están cerca de la línea central, y algunos puntos están cerca de los límites de control. Los patrones naturales son indicativos de un proceso que está en control. Gráfico 1.2: Muchas causas pueden provocar un cambio repentino en el nivel

en un gráfico de la media. Los cambios bruscos se producen debido a los cambios en las configuraciones de proceso como temperatura, presión o la profundidad del corte. Un ejemplo de cambio repentino podría ser un cambio en el tiempo de espera del cliente en un supermercado porque el número de cajeros disponibles ha cambiado. Nuevos operadores, nuevos equipos, nuevos instrumentos de medición, nuevos proveedores y nuevos métodos de procesamiento son otras razones para los cambios repentinos en los gráficos media y rango. Gráfico 2.1: Se producen Cambios graduales en el nivel cuando un parámetro de proceso cambia gradualmente durante un período de tiempo. Después, el proceso se estabiliza. Un gráfico de media puede exhibir ese cambio, porque la calidad de entrada

de materias primas o componentes cambiaron con el tiempo, porque se modificó el programa de mantenimiento o el estilo de supervisión. En cuanto al gráfico R, ese cambio puede surgir a causa de un nuevo operador, una disminución de la habilidad de los trabajadores debido a la fatiga o la monotonía, o una mejora gradual de la calidad de entrada de las materias primas (debido por ejemplo a que un proveedor ha desarrollado un sistema de control estadístico de procesos).

Gráfico 2.2: Las tendencias se diferencian de los cambios graduales en que las tendencias no se estabilizan o atenúan. Las tendencias representan cambios,

incrementos o decrementos, de pendiente constante. Un diagrama puede exhibir una tendencia debido al desgaste progresivo de una herramienta que afecta al proceso productivo, deterioro gradual de equipos, acumulaciones de suciedad en moldes y accesorios, o mismo a un cambio gradual en la temperatura. Un gráfico R puede mostrar una tendencia debido a una mejora gradual de la habilidad del operador como


resultado de la formación en el puesto de trabajo o a una disminución de la habilidad del operario debido a la fatiga.

Gráfico 3.1: Los patrones cíclicos se caracterizan por un comportamiento periódico

repetitivo en el sistema. Un gráfico puede mostrar un comportamiento cíclico debido a la rotación de los operadores, cambios periódicos en la temperatura y la humedad (por ejemplo, un inicio en frío por la mañana), la periodicidad de las propiedades mecánicas y químicas de un material determinado, o la variación estacional de las materias primas recibidas (p. ej., alimentos). Un gráfico R puede presentar patrones cíclicos debido a la fatiga del operador y su posterior activación después de las pausas, la diferencia entre los turnos, o el mantenimiento periódico de los equipos, etc. Si se toman muestras con muy poca frecuencia, se corre el riesgo de sólo representar los puntos de mayor o menor nivel del ciclo. Por eso se deberían tomar muestras de referencia si se sospecha algún comportamiento cíclico en el proceso. Gráfico 3.2: Wild patterns o patrones salvajes se refieren a puntos que son estadísticamente diferentes al resto. Se clasifican en Freaks y Bunches (o grupos). Los freaks se deben a perturbaciones externas que influyen en una o más

muestras. Son puntos demasiado pequeños o demasiado grandes con respecto a los límites de control. Algunas de las causas especiales de los freaks incluyen, fallos

repentinos de energía en una instalación, el uso de una nueva herramienta de prueba para un breve período de tiempo, el fallo de un componente, etc.

Gráfico 4.1: Los bunches o grupos, son agrupaciones de varias observaciones que son decididamente diferentes de los demás puntos de la trama. La aparición de un nuevo proveedor por un corto período de tiempo, el uso de una máquina diferente de forma puntual y el trabajo de un operario contratado por unas horas o un día pueden causar la aparición de estos patrones.

Gráfico 4.2: Los patrones de mezcla se deben a la presencia de dos o más poblaciones en los datos estudiado y se caracterizan porque los puntos del gráfico caen cerca de los límites de control, estando ausentes del área cerca de la línea central. La existencia de un conjunto de valores demasiado altos y demasiado bajos puede ser debida a las diferencias en la calidad de las materias primas proporcionadas por dos proveedores diferentes. La opción correctora indicada es la elabaoración de un gráfico diferente para cada proveedor. Estos patrones pueden aparecer al no separar los resultados obtenidos por dos o más máquinas, operadores, sistemas de medición, métodos de producción, fábricas, establecimientos, etc.

Gráfico 5.1: Los patrones de estratificación aparecen cuando dos o más

distribuciones de poblacionales de la misma característica de calidad están presentes en el mismo gráfico. En este caso, las dos poblaciones aparecen mezcladas en cada submuestra. Este patrón se caracteriza por que la mayoría de los puntos están muy cerca de la línea central, con casi ningún punto cerca de los límites de control. Podría llevarnos erróneamente a la conclusión de que el proceso está bajo control. Por ejemplo, tenemos datos obtenidos en turnos, cada uno diferente con diferente rendimiento. Para impedir la aparición de estos patrones, se deberían tener gráficos de control independientes para cada turno. Se puede evitar este fenómeno eligiendo cuidadosamente las submuestras, con el objeto de no mezclar poblaciones.

Gráfico 5.2: Se produce un patrón de interacción cuando el nivel de una variable afecta al comportamiento de otras variables asociadas con la característica de calidad de interés. Por otra parte, el efecto combinado de dos o más variables sobre la característica de calidad de salida puede ser diferente del efecto individual de cada


variable. Ejemplo: supongamos que en un proceso químico, la temperatura y la presión son dos variables controlables importantes que afectan a la característica de calidad de salida de interés. Una baja presión y una temperatura elevadas pueden producir un efecto muy deseable en la característica de salida, mientras que una presión baja por sí misma no tiene en absoluto ese efecto. Un método de muestreo efectivo implicaría el control de la temperatura a varios valores altos de la misma, para luego determinar el efecto de la presión sobre la característica de salida y para cada valor de temperatura.


Gráfico 1.1 Gráfico 1.2



Gráfico 4.1

Gráfico 5.1

.1

Gráfico 2.1

Gráfico 4.2

.1

Gráfico 2.1

Gráfico 5.2

.1

Gráfico 2.1


3. Gráficos de control por atributos En ocasiones una característica de calidad no puede o no interesa medirse numéricamente y tan solo se observa si presenta o no determinada propiedad (un producto es defectuoso o no, una pieza encaja o no en otra, un mecanismo funciona o no funciona, etc) que en control de calidad suele emplearse el término conformidad o no conformidad en lugar de éxito o fracaso (defecto). 3.1. Gráficos de control Proporción de disconformidades. Si p es la proporción poblacional de unidades no conformes:

√

√

√

√

En este tipo de gráfico, se muestra el porcentaje de unidades defectuosas (por lotes, por día, por cada máquina, etc.) como en el gráfico U. Sin embargo, los límites de control de este gráfico no se construyen utilizando la distribución de eventos poco frecuentes, sino la distribución binomial (de proporciones). Por lo tanto, este gráfico es adecuado en situaciones donde la ocurrencia de unidades defectuosas no es poco común (por ejemplo, donde el porcentaje de unidades defectuosas pueda ser más de 5 % del número total de unidades producidas).

3.2. Gráficos de control Número de disconformidades. Si p es la proporción poblacional de unidades no conformes:

√ √

Es la versión en número de no conformes del gráfico p (multiplicando los sus límites por n). Se representa el número de unidades defectuosas (por lotes, por día, por cada máquina) como en el gráfico C. Sin embargo, los límites de control en esta tabla no se basan en la distribución de eventos raros, sino en la distribución binomial, al igual que en el gráfico p. Por lo tanto, este gráfico debe utilizarse si la ocurrencia de unidades defectuosas no es poco común (más del 5 % de las unidades revisadas). Por ejemplo, se podrá usar este gráfico para controlar el número de unidades producidas con defectos de menor importancia. 3.3. Gráficos de control

Número de disconformidades por unidad. Siendo c la media y la varianza de una distribución de Poisson (del número de defectos):

√ √

En este gráfico, se muestra el número de unidades defectuosas (por lotes, por día, por equipo, por cada 100 metros de tubería, etc.). Los límites de control en


este gráfico se calculan a partir de la distribución de Poisson (distribución de los eventos poco frecuentes).

3.4. Gráficos de control

Número medio de disconformidades por unidad de control. Si

, siendo x

el número de no conformidades en una muestra y n el número de unidades inspeccionadas:

√ √

En este gráfico, se representa la tasa de unidades defectuosas, es decir, el número de unidades defectuosas dividido por el número de unidades de inspección (la n puede ser, por ejemplo, metros de tubería, número de lotes, etc.). A diferencia del gráfico C, no se requiere un número constante de unidades, por lo tanto, el gráfico U se puede utilizar cuando las muestras-lotes son de diferentes tamaños. 3.5. Ejemplo gráfico p Datos Zumo de naranja (orangejuice): Es un data frame con 54 observaciones y 4 variables. Se mide el zumo de naranja concentrado congelado que se envasa en cartones de 6 oz. Estos tetrabriks se forman en una máquina de hilatura. Se toma un cartón y se inspecciona para determinar si, cuando se llena, el líquido puede derramarse ya sea en la costura lateral o alrededor de la articulación de la parte inferior. Si esto ocurre, un tetrabrik se considera no conforme. Los datos se recogieron en 30 muestras de 50 cartones cada una, a intervalos de media hora durante un período de tres turnos en el que la máquina estaba en funcionamiento continuo. En la muestra 15 se ha utilizado un nuevo lote de stock. La muestra 23 se obtuvo cuando un operador sin experiencia se asignó temporalmente a la máquina. Después de las primeras 30 muestras, se realizó un ajuste de la máquina. Las variables del data frame son: D: número de unidades defectuosas size: tamaño de la muestra trial (ensayo): muestras de prueba (verdadero / falso) Si se emplean las 30 primeras muestras, garantizo la aproximación a la distribución normal para p (proporción de defectos). Hago el diagrama de atributos tipo p (proporción de disconformidades) para Trial ==TRUE, obteniendo los límites de control:

windows(15,8)

qcc.atributos <- qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p")


Se realiza una modificación, ya que los puntos que se "salen" (fuera de control) son el 15 y el 23 (se eliminan). Se pueden quitar puntos que no interesan con la

función setdiff:

nuevos <- setdiff(which(trial), c(15,23))

nuevos

Y ahora vuelvo a hacer el diagrama de control por atributos pero con los nuevos datos:

qcc.nuev.atributos<-qcc(D[nuevos],sizes=size[nuevos],

type="p")

qcc.nuev.atributos # Todavía hay dos fuera de control


Eliminamos el punto que ahora es el 20, pero antes de la primera depuración era el 21:

nuevos2 <- setdiff(which(trial), c(15,21,23))

nuevos2

qcc.nuev.atributos<-qcc(D[nuevos2],sizes=size[nuevos2],

type="p")

Ahora incluyo las demás muestras dentro del proceso de monitoreo:

b=qcc(D[nuevos2],sizes=size[nuevos2],type="p",

newdata=D[!trial], newsizes=size[!trial])

summary(b)

detach(orangejuice)

En el monitoreo, se observa que el proceso no está bajo control, se ha detectado una racha que coincide con un desplazamiento progresivo de la característica medida hasta su posterior estabilización cerca del límite inferior de control. Parece que el porcentaje de no conformes se ha estabilizado a un nivel menor. Esto puede ser debido a una causa asignable, por ejemplo un progresivo aprendizaje de los operarios o el resultado de la aplicación de un cambio en el proceso de producción. Obviamente el resultado es positivo. Habría que recalcular los límites de control para esta nueva situación. 3.6. Ejemplo gráfico np Si hacemos el gráfico np para el mismo conjunto de datos, orangejuice, vemos que aporta la misma información que el p, la única diferencia es la característica medida. De hecho, los puntos fuera de control obtenidos son los mismos, al igual que la tendencia o sucesivas pendientes de la línea de trazos del gráfico:


3.7. Ejemplo gráfico c

Datos Placas impresas (Circuit boards data): Se muestra el número de no conformidades observadas en 26 muestras sucesivas de 100 placas de circuitos impresos cada una. Las muestras 6 y 20 están fuera de los límites de control. La muestra 6 fue examinada por un inspector sin experiencia que pasó por alto varios tipos de no conformidades. Además, el número inusualmente grande de las no conformidades en la muestra 20 se debió a un problema de control de la temperatura en la máquina de soldadura, que fue reparado subsecuentemente. Las últimas 20 muestras han de inspeccionarse en la etapa de monitorizado. Las variables del data frame son: x : número de unidades defectuosas en 100 placas de circuito impreso (unidad de control) size (tamaño): tamaño de la muestra trial (ensayo): indicador muestra ensayo (verdadero / falso) Se pretende hallar los límites de control naturales para el gráfico c: Se cargan los datos: data(circuit)

attach(circuit)

Hago el diagrama de atributos tipo c (nº de disconformidades por muestra) para Trial ==TRUE.

windows(15,8)

qcc.atributos<-qcc(x[trial],sizes=size[circuit$trial],

type="c")


Se pueden quitar puntos que no me interesan (fuera de control) con la función "setdiff" (el 6 y el 20):

nuevos <- setdiff(which(trial), c(6,20))

nuevos

Y ahora se realiza el control por atributos con las muestras resultantes:

qcc.nuev.atributos<-qcc(x[nuevos],sizes=size[nuevos],

type="c", title="Gráfico c para el nº de unidades

defectuosas por muestra",xlab="muestra",

ylab = "No conformidades por muestra inspeccionada")

qcc.nuev.atributos<-qcc(x[nuevos], sizes=size[nuevos],

newdata=x[!trial],type="c",title="Gráfico c

para el nº de unidades defectuosas por

muestra",xlab="muestra",

ylab="No conformidades por muestra inspeccionada")


Se observa la existencia de una racha (más de 6 puntos seguidos por encima o por debajo de la línea central equivalen a una racha sospechosa, y los puntos 27 y 28 se corresponden con el 7º y 8º, por eso aparecen marcados). Habría que estudiar qué provocó su aparición en las muestras 27 y 28 (las 29 y 30 de la muestra original). 3.8. Ejemplo gráfico u

Datos del fabricante de ordenadores personales (Personal computer manufacturer data): Un fabricante de ordenadores personales cuenta el número de no conformidades por unidad en la línea de montaje. Recoge datos acerca de 20 muestras, compuestas de grupos de 5 equipos cada una. Las variables son: x: número de no conformidades (unidades de control). size (tamaño): número de equipos inspeccionados. Se pretende establecer los límites de control naturales para el gráfico de nº de disconformidades medio por unidad (u). Se cargan los datos: data(pcmanufact) attach(pcmanufact) Hago el diagrama de atributos tipo u (nº medio de disconformidades) para Trial ==TRUE windows(15,8)

qcc.atributos <- qcc(x, sizes=size, type="u",title="Gráfico

u para el nº medio de unidades defectuosas por

muestra",xlab="muestra",

ylab="Nº no conformidades medias por muestra")

El proceso está bajo control.


4. Otros gráficos de control: CUSUM y EWMA

Si estamos interesados en detector pequeñas tendencias o desplazamientos a lo largo de las sucesivas submuestras, podemos construir dos tipos de gráficos

más sensibles que los tradicionales. Estos son los gráficos CUSUM y los gráficos EWMA. Sin embargo, ambos gráficos funcionan peor que el gráfico de medias cuando se trata de detectar grandes cambios. El gráfico CUSUM se introdujo por primera vez por Page (1954); los principios matemáticos involucrados en su construcción se discuten en Ewan (1963), Johnson (1961), y Johnson y Leone (1962). En el caso de los gráficos EWMA, se puede consultar Montgomery (2001). 4.1. Gráfico CUSUM

Si se representa la suma acumulada de las desviaciones de las medias de las sucesivas submuestras con respecto al objetivo de especificación, desplazamientos permanentes, incluso los cambios menores, con respecto a la media del proceso darán lugar a una considerable suma acumulada de desviaciones. Por lo tanto, este gráfico es muy adecuado para la detección de esos pequeños cambios permanentes que pueden pasar desapercibidos

utilizando el gráfico de . Ejemplo: debido al desgaste de la máquina, un proceso poco a poco "se desliza" hacia el fuera de control, produciendo resultados por encima de las especificaciones. El uso de este gráfico podría dejar patente el incremento o decremento continuado de la suma de las desviaciones respecto a las especificaciones. Se contabilizan las desviaciones acumuladas negativas y positivas:

,

K es el valor a partir del cual la desviación acumulada es significativa. Si la suma acumulada hasta la observación i-ésima es menor que cierto umbral K,


se considera que la desviación acumulada es cero. El valor de K se suele elegir según la desviación que se quiera detectar. Los valores ±H son los límites de control de este gráfico (H = h·σ = 5·σ). Ejemplo práctico con los datos pistonrings y el paquete qcc:

data(pistonrings)

attach(pistonrings)

diameter <- qcc.groups(diameter, sample)

se.shif: es el valor K que nos da la sensibilidad del gráfico, detectará

cambios en las desplazamientos de la media mayores que la desviación típica estimada. decision.interval: es el parámetro h, a partir de cual se construyen los

límites de control: H = h·sigma. Suele valer 4 o 5.

windows(15,10)

4 paneles en un gráfico: op<-par(mfrow=c(2,2))

q <- cusum(diameter[1:25,],decision.interval = 4,

se.shift=1)

summary(q)

q1 <- cusum(diameter[1:25,], newdata=diameter[26:40,],

decision.interval = 4, se.shift = 1)

q2 <- cusum(diameter[1:25,], newdata=diameter[26:40,],

decision.interval = 5, se.shift = 1)

summary(q2) # estadística descriptive para la muestra de

# calibrado y para la monitorizada

plot(q2, chart.all=FALSE) # Sólo la muestra monitorizada

par(op)


Es importante destacar que variando el parámetro h, decisión.interval, obtenemos más o menos puntos fuera de control. Los valores de h más usuales son 5 (por defecto) y 4. En este caso se han calculado los límites del gráfico CUSUM utilizando una muestra de calibrado correspondiente a las medias de 25 lotes de pistones, con un h = 4. Si en el proceso de monitorizado mantenemos los límites construidos con ese h = 5 ( , obtenemos 6 puntos fuera de control (los 6 últimos). En cambio, si construimos los límites de control con h = 5, caen fuera de los límites sólo los 4 últimos, casi el mismo resultado que habíamos obtenido con el diagrama de (el último correspondía a una racha). También es posible variar la sensibilidad del gráfico modificando el parámetro K, se.shift en la función cusum:

windows(15,10) 4 paneles en un gráfico: op<-par(mfrow=c(2,2)) q <- cusum(diameter[1:25,], decision.interval = 4, se.shift = 0.6) Elimino un punto que está fuera de control, el 14: q1<-cusum(diameter[c(1:13,15:25),],decision.interval=4,

se.shift = 0.6)

summary(q1)

q3<-

cusum(diameter[c(1:13,15:25),],newdata=diameter[26:40,],

se.shift = 0.6, decision.interval = 4,)

summary(q2)

plot(q2, chart.all=FALSE); par(op)


4.2. Gráfico EWMA de medias móviles ponderadas de forma exponencial

Los gráficos EWMA son un gráfico de medias móviles ponderadas, donde las muestras más cercanas tienen un mayor peso en el cálculo de la media para un punto dado. Para este tipo de gráficos se toman normalmente datos individuales. Las observaciones individuales pueden ser medias (cuando las observaciones individuales de las que provienen las medias no están disponibles), lecturas individuales, cocientes, proporciones o medidas similares. La idea de construir un gráfico de medias móviles se puede generalizar del siguiente modo. En vez de calcular una media aritmética móvil, se puede calcular una media móvil geométrica, dando lugar al gráfico del mismo nombre (Montgomery, 1985, 1991).

En este gráfico, cada punto representado zt se calcula como veces la media

aritmética más uno menos veces la media ponderada calculada anteriormente, zt-1. Este método especifica que la ponderación correspondiente a la media de una muestra vieja irá decreciendo geométricamente según continuamos a dibujar muestras. El gráfico EWMA nos permite detectar pequeños sesgos o desplazamientos en la media de la característica medida y, por tanto, en la calidad del proceso de producción.

√

√

Los límites son variables según la muestra inspeccionada, i. Ejemplo práctico con los datos pistonrings y el paquete qcc:

data(pistonrings)

attach(pistonrings)


windows(15,8)

# 4 paneles en un gráfico:


Se suele tomar como buena práctica el asignar el valor de 0.2 al parámetro lambda: q <- ewma(diameter[1:25,], lambda=0.2, nsigmas=3)

summary(q)

Los límites de control son variables:

names(q); q$limits


Para la muestra a monitorizar se emplean unos límites ligeramente más exigentes: q2<-ewma(diameter[1:25,],lambda=0.2,nsigmas=2.7,

newdata=diameter[26:40,], plot = FALSE)

summary(q2)

plot(q2)

par(op)

detach(pistonrings)

El gráfico EWMA detecta 5 puntos fuera de control.

Los gráficos EWMA también se pueden construir para muestras individuales, de hecho, su uso es más que recomendable en este caso debido a que los gráficos EWMA son relativamente insensibles a la ausencia de normalidad en los datos. Seguidamente se muestran las medidas de viscosidad relacionadas con un ejemplo del libro de Montgomery.

x <- c(33.75, 33.05, 34, 33.81, 33.46, 34.02, 33.68, 33.27,

33.49, 33.20,33.62, 33.00, 33.54, 33.12, 33.84)

q <- ewma(x, lambda=0.2, nsigmas=2.7)

summary(q)

NOTA: los valores de λ más usuales son λ=0.05, λ=0.1 o λ=0.2. Para valores de λ≤0.1 se suele elegir un 2.6≤L≤02.8. En el caso de λ=0.2, el L elegido suele ser L=3. Estas combinaciones se hacen conforme a obtener unos ARL0 (nº de conformes hasta el primer fuera de control dentro de la H0) altos y unos ARL1 (nº de conformes hasta el primer fuera de control dándose un sesgo de σ con respecto a la H0) bajos.


5. Curvas OC y ARL Una curva característica de operación (CO) proporciona información acerca de la probabilidad de no detectar un cambio en el proceso. Esto se conoce generalmente como el error de tipo II, es decir, la probabilidad de aceptar erróneamente un proceso como en control. Realizaremos a continuación las curvas OC para desviaciones de la media. La probabilidad de error de tipo II de no detectar un desplazamiento (medido en nº de desviaciones típicas del proceso) con respecto a la media bajo control, tiene la forma:

{ }

Las curvas CO se pueden obtener fácilmente a partir de un objeto de la clase qcc. La

opción más sencilla es crear un objeto qcc (por variables o por atributos). En el caso de gráficos por variables, utilizamos como ejemplo los datos pistonrings:

data(pistonrings)

pistonrings

attach(pistonrings)

dim(pistonrings)

#200 datos 3 variables

#creacion de los grupos qcc


Se crean grupos por diámetro y muestra, lo que proporciona una matriz 40x5, ya que son 5 observaciones por muestra, 200/5=40.

diameter

dim(diameter)


Se crea un objeto qcc, en particular un gráfico xbar:

windows(12,5)

qcc.variables <- qcc(diameter, type="xbar")

Se obtienen las curvas de operación, OC, mediante el siguiente comando:

oc.curves(qcc.variables)

Se puede crear con una sóla línea de código del siguiente modo:

beta1 <- oc.curves(qcc(diameter, type="xbar", nsigmas=3,

plot=FALSE),n=c(1,5,10,15,20,25))

Puedo elegir los tamaños muestrales mediante el parámetro n.


Podemos calcular ahora el Average Run Length (ARL): ARL=1/(1-beta1)

matplot(seq(0,5,length=101),ARL,col=c(1,2,3,4,5,6),type="l"

,lty=1,xlab="Desviaciones de la media medidas en nº desv.

tipicas")

legend(2,300,c("n=1","n=5","n=10","n=15","n=20","n=25"),

col=c(1,2,3,4,5,6),lty=1,lwd=2)


El gráfico ARL se puede interpretar de la siguiente forma: si pretendiéramos darnos cuenta antes (con un menor número de muestras) de la existencia de desviaciones en de valor 0.5·σ con respecto a la media con el proceso bajo control, podríamos aumentar el tamaño muestral de 5 (caso real) a 10, 20 o 25, según nuestras necesidades y disponibilidad de recursos. Así, el nº de muestras que tendríamos que inspeccionar hasta darnos cuenta de la existencia de un desplazamiento real de 0.5·σ serían, respectivamente para las submuestras de tamaño 5, 10, 15, 20 y 25: 33.400779, 12.825107 6.955257, 4.495312 y 3.241097. Hay otra alternativa a aumentar el tamaño de las submuestras para darnos cuenta antes de una desviación real, esta es aumentar la frecuencia de muestreo. Como en el anterior párrafo, en un proceso que no está bajo control, cuanto más pequeño sea el ARL1 mejor. En el caso de que el proceso esté bajo control, conviene que el ARL0 sea lo más grande posible. Para las submuestras que manejamos, ARL0(kσ=0) = 1/(1- 0.9973) = 370.4. Tendrán que pasar 370.4

muestras hasta que se detecte como fuera de control (rebasando los límites) una muestra que en realidad no lo está. Para el caso de curvas OC de atributos De forma similar se opera si el objeto es de tipo atributo. La probabilidad de error de tipo II para la fracción de no conformidades en el contexto de un gráfico de control tipo p, tiene la forma:

{ } { } { } { }

Que es la probabilidad de no detectar un desplazamiento de , a partir del valor nominal . El cálculo de este error se hace bajo la suposición de que

data(orangejuice)

attach(orangejuice)

# Primero se realiza el gráfico de control:

qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p", plot=TRUE)

# Se eliminan los puntos fuera de control y se recalculan los límites

nuevos2 <- setdiff(which(trial), c(15,21,23))

windows(15,10)

qcc.nuev.atributos <- qcc(D[nuevos2], sizes=size[nuevos2],type="p")


Curva OC:

beta <- oc.curves(qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p",

plot=FALSE))

print(round(beta, digits=4))

Gráfico donde se observa la curva OC y el ARL (1/(1-β)) vs. P (proporción de no conformidades): windows(15,10)


oc.curves(qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p", plot=FALSE))

Curva ARL: plot(seq(0,1,length=101),as.numeric(1/(1-beta)),type="l",

ylab="Average Run Length to detect shift, ARL",xlab="p" )

par(op)

detach(orangejuice)

Se observa que cuando el proceso está bajo control, , el ARL = 1/α = 1/(1-β) = 1/(1-0.9973) = 370. Es decir, con el proceso bajo control necesitamos 370 muestras para obtener un falso fuera de control.


Cuando el proceso está realmente fuera de control, cuanto menor sea el ARL major. Así, si realmente p = 0.4, entonces β = 0.4465, y ARL1(0.4) = 1/(1-0.4465) = 1.8. Necesitaríamos 1.8 muestras para obtener el primer punto fuera de control (para darnos cuenta de que ya no estamos dentro de la hipótesis nula, sistema bajo control). Asimismo, se puede observar un ejemplo relativo a los gráficos c:

# Curvas OC para un gráfico de control tipo c

data(circuit)

attach(circuit)

windows()

q <- qcc(x[trial], sizes=size[trial], type="c", plot=TRUE)

windows()

beta <- oc.curves(q)

print(round(beta, digits=4))

detach(circuit)


REFERENCIAS Emilio L. Cano, Javier M. Moguerza, Andrés Redchuk. Six Sigma with R, Statistical Engineering for Process Improvement. Springer, New York, 2012. Luca Scrucca. qcc: An R package for quality control charting and statistical process control. R

news, 2004. Retrieved in http://www.stat.unipg.it/luca/Rnews_2004-1-pag11-17.pdf Maria Perez Marqués. Metodologia Seis Sigma a Traves de Excel. RC libros, Madrid, 2010. Douglas Montgomery. Introduction to Statistical Quality Control. 5th edition. John Wiley & Sons, 2005. Issa Bass. Sig Sigma Statistics with Excel and Minitab. Mc Graw Hill, 2007. Amitava Mitra. Fundamentals of Quality Control and Improvement. Wiley, 2008.

p ráctica ii control estadístico de...

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