Mario Castro Carrasco Ingeniero Civil Industrial magacarras@ live.com

Asignatura de Ingeniería de Procesos II

INTRODUCCIÓN AL CALCULO DE INGENIERÍA

UNIDADES Y DIMENSIONES.

El SI es el sistema internacional oficial de unidades, aparte de este sistema se

utilizan el cgs y el de ingeniería gravitacional fps. En la resolución de

problemas se utilizará el sistema SI y sus derivaciones cgs y fps.

MAGNITUDES FÍSICAS

Toda magnitud física consta de dos partes: una unidad, que expresa la magnitud de que se trata y da la norma para su medida, y un número que indica cuántas unidades se necesitan para completar la magnitud.

UNIDADES SI

El sistema SI cubre todo el campo de la ciencia y la ingeniería, incluyendo

electromagnetismo e iluminación. Pero para efectos de nuestro trabajo utilizaremos los de química, fuerzas gravitatorias, mecánica y termodinámica. Las unidades son deducibles de: (1) cuatro proporcionalidades de química y física, (2) referencias arbitrarias de masa, longitud, tiempo, temperatura y el mol, y (3) elecciones arbitrarias para los valores numéricos de dos constantes de proporcionalidad.

DIAGRAMA DE LA RELACIÓN DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL Y SUS DERIVADAS

http://physics.nist.gov/cuu/Units/SIdiagram2.html

El anterior diagrama muestra cómo las 22 unidades derivadas, que tienen nombres especiales y sus símbolos, se relacionan con las siete unidades básicas del Sistema Internacional (SI).

En la primera columna se muestran los símbolos básicos del SI encerrados en rectángulos, se presenta el nombre de las unidades en la parte izquierda de cada rectángulo, mientras que el nombre de la unidad asociada se escribe en la parte inferior del rectángulo. En la tercer columna los símbolos de las unidades derivadas con nombres especiales son mostradas enceradas en círculos, con el nombre de la unidad en la parte sugerir del circulo, el nombre de la unidad asociada es mostrada en itálicas, abajo del circulo. Una expresión de la conformación de la unidad se muestra en la parte superior derecha de cada círculo y se encierra en paréntesis. En el diagrama la derivación de cada unidad se indica por medio de flechas que llevan al numerador de la unidad (líneas sólidas) y las unidades del denominador (líneas punteadas).

Dos símbolos del sistema internacional con especial nombre y símbolo, el radian (rad) y el estereorradián (sr) (debajo de la tercera columna del diagrama), se muestran sin conexiones a las unidades básicas. Porque estas cantidades no se definen con unidades (su dimension es 1), son cantidades adimensionales. Kelvin, es definida por la ecuacion, t = T - T0, donde T0 = 273.15 K.

Explicación del diagrama.

Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo Definición de la

unidad

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura

Cantidad de sustancia

metro

kilogramo

segundo

kelvin

mol

m

kg

s

K

mol

Unidades básicas

SI

Energía

Fuerza

Potencia

Densidad

Velocidad

Aceleración

Presión

Capacidad calorífica

joule

newton

watt

kilogramo por metro cúbico

metro por segundo

metro por segundo al cuadrado

newton por metro cuadrado, Pascal

joule por (kilogramo kelvin)

J

N

W

kg . m2. s-2

kg . m-1. s-2 → J.m-1

kg .m2 ,s-3 → J. s-1 kg .m-3

m . s-1

m s-2

N m-2, Pa J . Kg-1 . K-1

UNIDADES SI y Derivadas

Cantidad física Nombre de la unidad Símbolo Definición de la

unidad

Tiempo

Temperatura

Volumen

Masa

minuto, hora, día, año

grado Celsius

litro (dm3)

tonelada (Mg), gramo

min, h, d, a

ºC

L

T, g

Unidades Alternativas

UNIDADES SI y Derivadas

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

109 giga G 10-1 deci d

106 mega M 10-2 centi c

103 kilo k 10-3 mili m

102 hecto h 10-6 micro µ

101 deca da 10-9 nano n

Prefijos

Cantidad

física Nombre de la unidad Símbolo

Longitud

Masa

Fuerza

Tiempo

Temperatura

p i e

libra (masa)

libra (fuerza)

segundo, hora

grado Rankine

ft

lbm

lbf

s, h

ºR

Unidades

Básicas

SInglés

Energía

Potencia

Densidad

Velocidad

Aceleración

Presión

Capacidad

calorífica

unidad térmica británica, pie libra (fuerza)

caballo de fuerza

libra (masa) por pie cúbico

pie por segundo

pie por segundo al cuadrado

libra (fuerza) por pulgada cuadrada

Btu por libra (masa) por grado Fahrenheit

Btu, (ft)(lb,)

hp

lbm/ft3

Ft/s

ft/s2

lbf /pulg2

Btu/(lbm)(ºF)

Unidades

Derivadas

SInglés

SISTEMA DE UNIDADES INGLÉS

1. Convierta 25gal/h a cm3/s.

2. 750 lbf/pulg2 a N/m2.

3. 351.993 mm3/s.

4. 7.500 Btu a J.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS, CONSISTENTES Y ADIMENSIONALES

Ecuaciones dimensionalmente homogéneas: Tienen las mismas dimensiones en todos sus términos aditivos

z = u0t + (1/2)gt2l

L[=]Lt-1t+(1/2)lt-2t 2

Ecuación Dimensionalmente Homogénea.

Estas ecuaciones pueden usarse con cualquier conjunto coherente de unidades. Si se usan las mismas unidades para todas las magnitudes fundamentales la ecuación se denomina consistente.

z(m) = u0(m/s)t(s) + (1/2)g(m/s2)t2(s2)

Ecuación dimensionalmente homogénea y consistente en sus unidades.

Dividir entre cualquiera de sus miembros

Ecuación dimensionalmente homogénea:

z = u0t + (1/2)gt2l

1= 𝒖

𝟎𝒕

𝒛 +

(1/2)gt2l𝟐𝒛

Números adimensionales.

El valor de un numero adimensional no cambia al variar las unidades, si

se usan unidades consistentes.

Se sigue el método del análisis dimensional:

1. Si existe una ecuación que relaciona las variables que intervienen en un proceso físico, esta ecuación ha de ser dimensionalmente homogénea.

z = f(x,y,z,…..)

2. Por ello, es posible agrupar varias variables en un numero menor de grupos adimensionales. En la nueva ecuación de correlación aparecerán los grupos como tales, no las variables por separado.

z = f(x,y,z,…..) Ecuación Homogénea ƞ= Ψ(ƞ2, ƞ3,….) Ecuación Adimensional

3. Se supone que la función φ que liga los números adimensionales es de tipo potencial:

ƞ 1= a ƞ 2b, ƞ 3c,….

La obtención de los números adimensionales concretos de esta ecuación de correlación se hace aplicando el método de Rayleigh (consultar bibliografía específica).

4. Se procede a experimentar con estos números adimensionales.

La palabra mol, deriva de la palabra latina moles que significa “montón” o “pila”. El Comité internacional de Pesas y Medidas propuso una definición de mol (cuyo símbolo es mol en el SI) como “la cantidad de una sustancia que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono 12”. Las entidades pueden ser átomos, moléculas, iones u otras partículas.

En el SI, un mol se compone de 6.02 x 1023 moléculas aunque, por conveniencia en los cálculos, podemos utilizar otras especificaciones no estándar como la libra mal (Ib mol, compuesta por 6.02 x 10z3 x 453.6 moléculas), el kg mol (kilomol, kmol, compuesto por 1000 moles) y así sucesivamente. A fin de no confundir las unidades, usaremos la designación de g mol para el mol del SI. Si queremos convertir el número de moles en masa, utilizamos el peso molecular, que es la masa de un mol:

o bien

masa en g = (peso molecular)(g mol) masa en Ib = (peso molecular)(lb mol)

el g mol = masa en g/ peso molecular la Ib mol = masa en Ib/ peso molecular

Uso de los pesos moleculares. Si una cubeta contiene 2.00 Ib de NaOH (peso molecular = 40.0). a) ¿Cuántas libras mol de NaOH contiene? b) ¿Cuántos gramos mal de NaOH contiene? ¿Cuántas libras de NaOH hay en 7.50 g mol de NaOH?

Densidad

La densidad es la razón de la masa por unidad de volumen, por ejemplo, kg/m3 o lb/ft3. Se expresa tanto por un valor numérico como por unidades adecuadas. Para determinar la densidad de una sustancia, es preciso conocer tanto su volumen como su masa. Las densidades de los líquidos y los sólidos no cambian significativamente con la presión en condiciones ordinarias, pero sí cambian con la temperatura.

Peso específico relativo

A menudo se piensa que el peso específico relativo es una relación adimensional. De hecho, debe considerarse como el cociente de dos densidades la de la sustancia de interés , A, y la de una sustancia de referencia- cada una de las cuales tiene sus unidades asociadas. En símbolos:

p.e.r. = peso específico relativo = (lb/ft3)A

(lb/ft3)ref =

(g/cm3)A(g / cm3)ref

= (kglm3)A

(kg / m3)ref

Densidad y peso específico relativo. Si cierta sustancia tiene un peso específico relativo de 2.61, ¿cuál es su densidad en a) g/cm3?

b) lb m /Ft 3?, y

c) kg/m3?

Volumen específico

volumen específico de un compuesto es el recíproco de la densidad, es decir, el volumen por unidad de masa o cantidad unitaria de material. Las unidades del volumen específico I pueden ser ft3/lbm, ft3/lb mol, cm3/g, m3/kg o relaciones similares.

Fracción molar y fracción en masa (peso)

La fracción molar es simplemente la cantidad de moles de una sustancia específica divididos entre el número total de moles presentes. Esta definición se cumple para los gases, líquidos y sólidos. De manera similar, la fracción en masa (peso) no es más que la masa (el peso) m de la sustancia dividida entre la masa (el peso) total de todas las sustancias presentes.

Aunque lo que se pretende expresar es la fracción en masa, en ingeniería suele usarse el término fracción en peso. Matemáticamente, estas ideas pueden expresarse como

fracción molar de A = moles de A / moles totales fracción en masa (peso) de A = masa (peso) de A / masa (peso) total

El porcentaje molar y el porcentaje en peso son las fracciones respectivas multiplicadas por 100.

Componente kg

Fracción Peso Peso

molecular kg

mol Fracción

molar

H2O 5.00 5.00/10.0 = 0.500 18.0 0.278 0.278 / 0.403 = 0.69

NaOH 5.00 5.00/10.0 = 0.500 40.0 0.125 0.125/0.403 = 0.31

10.00 1.000 0.403 1.000

Calculo de los kilogramos mol :

= 5.00*kg*H2O * 1𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙H2O

kg H2O =0.278 kg mol H2O

= 5.00*kg*NaOH * 1𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙NaOH

kgNaOH =0.125 kg mol NaOH

Un limpiador de cañerías de grado industrial contiene 5.00 kg de agua y 5.00 kg de NaOH. ¿Cuál es la fracción en masa (peso) y la fracción molar de cada uno de los componentes dentro del recipiente del limpiador de cañerías?

Análisis

Cuando se necesita el análisis de una mezcla, puede haber cierta confusión en cuanto a si los números que se obtienen representan una fracción en masa (peso) o una fracción molar. Para efecto de nuestro trabajo, siempre se supondrá que la composición de gases se da en porcentaje o fracción molar, a menos que se indique específicamente otra cosa. Los análisis de líquidos y sólidos por lo regular se dan en porcentaje o fracción en masa (peso), aunque ocasionalmente se indican en porcentaje molar. Otra aclaración, siempre se supondrá que los análisis de líquidos y sólidos están dados en porcentaje de peso, a menos que se indique específicamente otra cosa.

BASE DE CALCULO

Al seleccionar una base de cálculo (que en muchos problemas ya está determinada, pero que en otros tal vez no sea muy clara) debemos hacemos las siguientes preguntas: 1) ¿ De qué se va a partir? 2) ¿Qué respuesta se requiere? 3) ¿Cuál es la base de cálculo más conveniente?

Estas tres preguntas y sus respuestas sugerirán las bases de cálculo adecuadas. En los casos en que al parecer hay más de una base de cálculo apropiada, lo mejor puede ser usar una base de cálculo unitaria de 1 o 100 de algo: kilogramos, horas, moles, pies cúbicos, etc. En el caso de líquidos y sólidos en los que se emplea un análisis por peso, es frecuente que la base de cálculo óptima sea 1 o 100 Ib o kg; de manera similar, 1 o 100 moles son a menudo la mejor opción para un gas. La razón de estas elecciones es que la fracción o porcentaje iguala automáticamente el número de libras, kilogramos o moles, respectivamente, con lo que se ahorra un paso de los cálculos.

Cómo escoger una base de cálculo Se ha efectuado la deshidrogenación de los alcanos inferiores empleando óxido cérico como catalizador. ¿Cuál es la fracción en masa y la fracción molar de Ce y 0 en el catalizador?

Puesto que no se indica una cantidad específica de material, la pregunta Lde qué se va a partir? No se aplica. Lo mismo sucede con la pregunta referente a la respuesta buscada. Una base de cálculo sensata y conveniente sería 1 kg mol porque conocemos la relación molar de Ce a 0 en el compuesto. Una base de cálculo de 1 kg no nos conviene porque no conocemos la relación de masa de Ce a 0. De hecho, tenemos que calcularla.

Componente kg mol Fracción molar

Peso molecular

kg Fracción de masa

C e 1 0.50 140.12 140.12 0.90

0 1 0.50 16.0 16.0 0.10

Total 2 1.00 156.1 1.00

El significado correcto de los símbolos oC, oF, oK y oR, como la temperatura, o bien como la diferencia de temperatura unitaria, se debe inferir del contexto de la ecuación o enunciado que se esta examinando. Si el lector no esta perfectamente familiarizado con la conversión de temperaturas, debe practicarla hasta que se convierta en una rutina. Muchas calculadoras y computadoras realizan las conversiones automáticamente, pero debemos tener presente que

Temperatura

T oR = T oF 𝟏𝚫oR𝟏𝚫oF + 460

T oK = T oC 𝟏𝜟oK𝟏𝜟oC + 273 T oF – 32 = T oC

𝟏.𝟖 𝜟oF𝟏𝜟oC

PRESIÓN

La presión se define como “fuerza normal por unidad de área”. La atmósfera ejerce una presión sobre la parte superior del cilindro de agua, y .el agua misma ejerce presión sobre la base del cilindro. La presión en el fondo de la columna estática (sin movimiento) de agua ejercida sobre la superficie inferior es:

P= 𝐹

𝐴 = ρ h g + P0

p = presión en el fondo de la columna de fluido F =fuerza A = área ρ = densidad del fluido g = aceleración debida a la gravedad h = altura de la columna de fluido P0 = presión en la parte superior de la columna de fluido

Expresada en diversas unidades, la atmósfera estándar es igual a: 1.000 atmósferas (atm) 33.91 pies de agua (ft H,O) 14.7 (14.696, en términos más exactos) libras por pulgada cuadrada absolutas (psia) 29.92 (29.92 1, en términos más exactos) pulgadas de mercurio (pulg Hg) 760.0 milímetros de mercurio (mm Hg) 1.013 x 105 pascales (Pa) o newtons por metro cuadrado (N/m2); o 101.3 kPa

LA ECUACIÓN QUÍMICA Y LA ESTEQUIOMETRÍA

La ecuación química proporciona información tanto cuantitativa como cualitativa

indispensable para calcular las cantidades de sustancias que se combinan en un proceso

químico. Tomemos por ejemplo la combustión del heptano que se muestra en seguida.

¿Qué nos dice esta ecuación?

C7H16+11O2 7CO2+8H2O

Nos dice cuáles son las relaciones estequiometria. Primero, asegúrese de que la ecuación esté balanceada. Así, podemos ver que 1 mol (no lbm ni kg) de heptano reacciona con ll moles de oxígeno para dar 7 moles de dióxido de carbono y 8 moles de agua. Estos moles pueden ser Ib mal, g mol, kg mol o cualquier otro tipo. Se forma un mol de CO, a partir de cada 3 mol de C,H,6. Además, se forma 1 mol de Hz0 con cada + mol de CO,. Así, la ecuación nos indica en términos de moles (no de masa) las proporciones entre los reactivos y los productos. Los números que preceden a los compuestos se denominan coeficientes estequiométricos: 1 para C7H,6, ll para O,, etcétera.

Para efectuar un balance de materia a un proceso, primero hay que especificar en qué consiste el sistema para el cual se hará el balance y establecer sus fronteras. Según el diccionario, un proceso es una serie de acciones, operaciones o tratamientos que producen un resultado [producto]. La ingeniería química se centra en operaciones como las reacciones químicas, el transporte de fluidos, la reducción y la amplificación de tamaño del equipo, la generación y el transporte de calor, la destilación, la absorción de gases, los biorreactores y demás cosas que causan cambios físicos y químicos en los materiales. Un sistema se refiere a cualquier porción arbitraria o la totalidad de un proceso establecida específicamente para su análisis. La figura 3.1 muestra un sistema en el que hay flujo y reacción; observe en particular que la frontera del sistema se circunscribe formalmente alrededor del proceso mismo a fin de subrayar la importancia de delinear cuidadosamente el sistema para cada uno de los problemas que intente resolver. Un sistema abierto (o continuo) es aquel en que se transfiere material por la frontera del sistema; esto es, entra en el sistema, sale del sistema o ambas cosas. Un sistema cerrado (o por lotes) es aquel en el que no tiene lugar una transferencia semejante durante el intervalo de tiempo de interés.

EL BALANCE DE MATERIA

Un balance de materia no es más que una contabilización de material. Es común comparar los balances de materia con los balances de cuentas de cheques. Se deposita y se retira dinero, y la diferencia entre los saldos inicial y final representa la acumulación ( ¡ o el agotamiento!) de la cuenta.

- Acumulación dentro del sistema

=

Entrada por las fronteras del sistema

- Salida por las fronteras del sistema.

+ Generación dentro del sistema

Consumo dentro del sistema

En primer lugar, preguntémonos qué es lo que se balancea; es decir, ¿a qué cosa puede aplicarse la ecuación?, como término genérico, el balance de materia se puede referir a un balance en un sistema para

1. La masa total 2. El total de moles 3. La masa de un compuesto químico 4 . La masa de una especie atómica 5 . Los moles de un compuesto químico 6. Los moles de una especie atómica 7. El volumen (posiblemente)

ECUACIÓN GENERAL DE BALANCE

BALANCE DE MATERIA EN LOS QUE NO INTERVIENEN REACCIONES QUÍMICAS

Los balances de materia que no interviene las reacciones químicas son los siguientes : 1) Separación, 2) Destilación continua, 3) Secado y 4) Cristalización

Separación utilizando membranas

D. Minnelblau. Las membranas representan una tecnología relativamente nueva para separar gases. Una aplicación que ha llamado la atención es la separación de oxígeno y nitrógeno del aire. La figura ilustra una membrana con poros del orden de 10-9 m que se fabrica aplicando un recubrimiento muy delgado de polímero a una capa de soporte de grafito poroso. ¿Cuál es la composición del flujo de desecho si éste equivale al 80% de la entrada?

Éste es un proceso en estado estacionario sin reacción química, así que el término de acumulación y los términos de generación y consumo de la ecuación general de balance son cero. El sistema es la membrana. Sea xo2 la fracción molar del oxígeno y xN2, la fracción molar del nitrógeno, y sean no2 y nN2 los moles respectivos.

Membrana F (gmol) P (gmol)

Fr.mol fr.mol

O2 = 0,21 N2 = 0,79

O2 = 0,25 N2 = 0,75

W (gmol)

O2 = xo2 no2

N2 =- xN2 nN2

1.00 W

Base = 100 g mol = F

Ahora sabemos que W = 0.80( 100) = 80 mol.

Hay tres incógnitas: P, xo2 y xN2, o bien P, no2 y nN2.

Dos balances independientes son los balances de oxígeno y de nitrógeno, ya sea como elementos o como compuestos.

El tercer balance independiente es xo2 + xN2 = 1.00 , o bien P, no2 y nN2 = 80.

Los balances de componentes son

Entra Sale

0,: 0.21(100) = 0.25P + xo2 (80) N,: 0.79(100) = 0.75P + xN2 (80) 1.00 =xo2+xN2

Entra S a l e

o bien 0.21(100) = 0.25P + no2

o bien 0.79(100) = 0.75P + nN2

n02+nN2=80

La solución de estas ecuaciones es xo2 = 0.20, xN2 = 0.80 y P = 20 g mol. Un cálculo más simple implica el uso del balance total y el balance de un componente , porque

F= P+ W 100= P+ 80

Podemos usar el balance total como verificación de la solución a partir de los balances de los dos componentes.

100 = 20 + 80 correcto

P = 20