calculo diferencial para ingenieria

7/26/2019 Calculo Diferencial Para Ingenieria

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Cálculo diferencialpara ingeniería



Cálculo diferencial

para ingenieríaCarlos Daniel Prado Pérez

Escuela Superior de Física y Matemáticas

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados

(CINVESTAV)

Instituto Politécnico Nacional

Rubén Dario Santiago Acosta

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México

José Luis Gómez Muñoz


(CINVESTAV)

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de

Monterrey Campus Monterrey

Ma. de Lourdes Quezada Batalla

Escuela Normal Superior, Universidad Autónoma

de Guerrero

Sección de Matemática


(CINVESTAV)

Instituto Politécnico Nacional

Leopoldo Zúñiga Silva

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores

de Monterrey campus San Luis Potosí

Javier Pulido Cejudo


Monterrey, campus Santa Fe

Lázaro Barajas de la Torre Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de

Monterrey, campus Estado de México

Andrés González Nucamendi


Monterrey, campus Ciudad de México

Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional

Autónoma de México

Revisión técnica

Fernando Vallejo Aguirre

Maestro en CienciasProfesor de tiempo completo de la Unidad ProfesionalInterdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías

Avanzadas, Instituto Politécnico Nacional



Datos de catalogación bibliográfica

PRADO, SANTIAGO, GÓMEZ, QUEZADA, ZÚÑIGA,

PULIDO, BARAJAS, GONZÁLEZ Y AGUILAR

Cálculo diferencial para ingenierí a.

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006

ISBN: 970-26-0803-1Área: Universitarios

Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 512

Editor: Luis Miguel Cruz Castillo

e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Astrid Mues ZepedaSupervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2006

D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso

Col. Industrial Atoto

53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.

Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmi-tirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecáni-co, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del

editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este e jemplar requerirá también la autorización del edi-tor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0803-1

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09-08-07-06



Unidad 1 Conceptos básicos de funciones 1

1.1 El concepto de función 2

El concepto de función: diversas formas de describirla 5

El uso de las funciones en la modelación 15

Algunos aspectos sobre graficación de funciones 19

Operaciones con funciones 22

1.2 Biblioteca de funciones básicas 37

Funciones polinomiales 39

Funciones Racionales 49

Funciones algebraicas 53

Funciones Seccionadas 59

Unidad 2 Funciones trascendentes 83

2.1 Funciones exponenciales y logarítmicas 84

Función exponencial 86

Gráfica de la función exponencial 87Funciones inversas 90

Función logaritmo 93

Funciones Hiperbólicas 97

Contenido



vi Contenido

2.2 Funciones trigonométricas 104

Funciones trigonométricas 105

Otras funciones trigonométricas 113

Las funciones trigonométricas inversas 117

Unidad 3 Límites y continuidad 133

3.1 Límites 134

Concepto de Límite 136

Teoremas sobre límites 147

Límites de funciones racionales 150

Límites laterales y límites infinitos 152

Límites al infinito 160

Límites especiales 164

3.2 Continuidad 181

Continuidad en un punto 182

Teorema del valor intermedio 184

Estudio de las funciones racionales 192

Unidad 4 La derivada como razón de cambio 207

4.1 El concepto de derivada. 208

El problema de la velocidad 210

El problema de la recta tangente 214

La derivada en un punto 217

4.2 La función derivada 233

La derivada de una función 234

Aplicaciones de la derivada 239

Relación entre continuidad y derivabilidad 240

Unidad 5 Cálculo de derivadas 253

5.1 Reglas de derivación 254

Derivadas de polinomios 255

Reglas de derivación de productos y cocientes 260

Reglas de derivación de funciones trigonométricas

y sus inversas 263

Reglas de derivación de otras funciones 264

Derivadas de segundo orden y de orden superior 265



viiContenido

5.2 La regla de la cadena 271

La regla de la cadena 272

Definición de la regla de la cadena 279

La cadena de multiplicaciones 282

5.3 Derivadas, implícita y logarítmica 291

Diferenciación implícita 292

Diferenciación logarítmica 297

Unidad 6 Aplicaciones de la derivada 307

6.1 Aplicaciones de las rectas tangente y normal 308

Recta tangente 310

El método de Newton 315

El método de Euler 321

6.2 Razones de cambio relacionadas 335

Problemas de razones de cambio relacionadas 336

Unidad 7 Pilares del cálculo diferencial 351

7.1 pilares del cálculo diferencial 352

Tres pilares del cálculo diferencial 353

Unidad 8 Monotonía y teoría de extremos 371

8.1 Extremos relativos 372

Teoría de máximos y mínimos 376

8.2 Monotonía de funciones 391

Funciones monótonas 392

8.3 Extremos absolutos 406

Extremos absolutos 407

Aplicaciones que involucran un extremo absoluto

en un intervalo cerrado 413

Unidad 9 Graficación 425

9.1 Concavidades y puntos de inflexión 426Concavidad de una curva 427

9.2 Graficación 445

La molécula 445



viii Contenido

Unidad 10 Optimización 465

10.1 Optimización 466

Problemas de Optimización 467



Para el Tecnológico de Monterrey es un orgullo contar con equipos docentes capacitados

en el desarrollo y la creación de conocimiento, de investigación y de herramientas útiles

para el aprendizaje de nuestros estudiantes. “Cálculo Diferencial”, es un ejemplo de ello,

al ser una publicación funcional que te guiará a través de la aprehensión, a comprender

de manera práctica y didáctica, el cálculo y sus aplicaciones.

El uso de actividades que fomentan el aprendizaje colaborativo, la aplicación de pro-

blemas al contexto de nuestra cotidianeidad, la utilización de un gran número de ejerci-

cios con su respectiva solución y la base de un modelo educativo capaz de explotar elaprendizaje simbólico, numérico, gráfico y verbal, hacen de este libro un excelente re-

fuerzo para tu incursión al mundo del cálculo.

El libro cuenta además, con un CD basado en prácticas de exploración computacio-

nal de conceptos matemáticos, que te servirá de apoyo al agudizar tu capacidad de aná-

lisis mediante ejercicios interactivos, permitiéndote ser aún más ágil en la resolución de

problemas prácticos.

“Cálculo Diferencial” está elaborado con estricto apego al programa vigente de la ma-

teria impartida en nuestro sistema, y refleja los años de experiencia del cuerpo docente

que le ha dado vida, teniendo como principal incentivo, la vocación a la enseñanza y el

impulso al desarrollo educativo de nuestra comunidad.

Además de complementar tu aprendizaje a través del semestre, “Cálculo Diferencial”

te servirá de consulta aún después de haber adquirido de los conocimientos que alberga.

Por ello, te invito a que disfrutes de esta publicación y aproveches al máximo la investi-

gación, y el trabajo invertido por parte de sus autores, en esta herramienta que resultará

funcional para ti, en la medida en que te tomes el tiempo y la paciencia necesarias para

cultivar tu aprendizaje.

Dr. Pedro Luis Grasa Soler

Director General

Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México

Presentación



Prólogo

“ No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión,

me he comportado como un niño que juega al borde del mar,

y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra

más pulida y una concha más bonita de lo normal,

mientras que el gran océano de la verdad

se exponía ante mí completamente

desconocido”

Isaac Newton

Antes de cualquier otra cosa, deseamos darte la bienve-

nida al estudio de este libro que, sin lugar a dudas, abor-

da uno de los logros científicos más grandes de todos los

tiempos, el Cálculo Diferencial . Quizá semejante califi-

cativo te parezca exagerado, pero bastará revisar la his-

toria de su desarrollo y las diversas aplicaciones que tie-

ne actualmente, para convencerte de que tal calificativo

apenas es el apropiado.

Sus orígenes se remontan a la época de la Grecia Clá-

sica (aproximadamente 300 años a.C.). Por increíble

que pudiera parecer, los antiguos griegos estuvieron in-teresados en determinar una recta tangente que pasara

por un punto dado de una curva. Posteriormente, hacia

el siglo XVII, dos matemáticos franceses, Descartes y

Fermat, desarrollaron métodos para resolver parcialmente problemas de este tipo basa-

dos en álgebra y geometría analítica. Sin embargo, la humanidad tuvo que esperar toda-

vía unos años más, hasta que Newton (británico) desarrolló su teoría de las fluxiones y

Leibniz (alemán) su teoría de diferenciales, de manera más o menos simultánea e inde-

Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz(1642-1727) (1646-1716)



xii Prólogo

pendiente. A partir de ahí, la historia está llena de aplicaciones, particularmente en la me-

cánica, y de múltiples intentos por formalizar la teoría.

No debes pensar que el cálculo diferencial se desarrolló tal y como se presenta ahora

en la mayor parte de los textos sobre el tema. En sus orígenes, varios científicos la re-

chazaron debido a que sus principios parecían envueltos por un halo misterioso. Por 150

años se le intentó formalizar, pero no fue sino hasta 1821, cuando el matemático francés

Augustin Cauchy escribió la obra “Tours d´analyse”, que el cálculo tomó un carácter

más formal; esto permitió a los matemáticos del siglo XIX continuar el desarrollo del

área sobre bases más sólidas. Finalmente, con los trabajos de los alemanes Karl Weiers-

trass (1815-1897) y de Richard Dedekind (1831-1916), se logró fundamentar debida-

mente esta disciplina.

Desde sus orígenes, los científicos han aplicado el cálculo diferencial en casi todas las

áreas del conocimiento humano; actualmente, es el lenguaje natural con el que podemos

conocer e interpretar el mundo en el que vivimos. Su éxito se debe, fundamentalmente,

a que permite modelar fenómenos físicos, químicos, sociales, etc., al relacionar las va-

riables del fenómeno con sus razones de cambio (derivadas). Por ello, sin temor a equi-

vocarnos, podemos afirmar que Newton y Leibniz nunca llegaron a imaginar el enormepoder, impacto e importancia que tendría su invención en los siglos venideros.

De esta forma, el libro que tienes en tus manos fue escrito pensando tanto en su apli-

cabilidad como en la precisión de los conceptos matemáticos involucrados, mantenien-

do el equilibrio entre el desarrollo de la teoría y la importancia de las aplicaciones. Para

ello dividimos la obra en 10 capítulos, los dos primeros los dedicamos al estudio de las

funciones, el tercero al desarrollo de los conceptos de límite y continuidad, en los capí-

tulos 4, 5 y 6 abordamos el concepto y las aplicaciones de la derivada, en el capítulo 7

se analizan tres pilares básicos del cálculo diferencial, y los últimos tres capítulos están

dedicados al estudio del significado geométrico de la primera y segunda derivada y a las

aplicaciones, tanto en graficación como en optimización de funciones.

El libro en conjunto se distingue por las siguientes particularidades.

a) A lo largo de sus diez capítulos, la teoría se propone con un buen nivel de gene-

ralización y precisión, buscando en todo momento su conexión con la práctica de

los conocimientos.

b) Se incorporan problemas originales y actuales con situaciones que darán sentido

a tu esfuerzo y al estudio de los conceptos y teoremas que te presentamos. La lis-

ta de las aplicaciones con las que se te propone trabajar (en un ambiente de equi-

po y con apoyo de la tecnología) es sumamente amplia.

c) Cada capítulo contiene una buena cantidad de ejemplos completamente resueltos,

un listado amplio de ejercicios, todos ellos con respuesta, y una sección de auto-

evaluación que te ayudará a valorar los progresos logrados durante tu estudio.

d) El material que te ofrecemos cubre aquellos temas que todo estudiante de cálcu-lo diferencial debe conocer, pero no más que eso.

e) El texto viene apoyado y complementado con un CD que contiene una enorme va-

riedad de prácticas matemáticas. Tres son los aspectos que hemos considerado en

su elaboración, a saber,

• La exploración de conceptos matemáticos mediante tablas y gráficas que te per-

mitirán entender más profundamente los conceptos del cálculo.



xiiiPrólogo

• La resolución de problemas con tecnología, que es una forma de potenciar las

herramientas que provee el cálculo.

• La evaluación de conceptos y algoritmos relacionados con el cálculo.

Los autores creemos, estimado lector, que obtendrás el mayor provecho de esta obra

en la medida en que tú mismo puedas valorar la importancia que tienen un lápiz y varias

hojas de papel al estudiar matemáticas. Quizá en algún momento te desalientes al consi-

derar que tus avances son modestos, pero no olvides que este libro es una síntesis de

aproximadamente 2300 años de logros y fracasos del pensamiento de muchos hombres

y mujeres en esta área. Esperamos que tu esfuerzo, dedicación y tenacidad sean suficien-

tes para conocer las excelencias de esta área del conocimiento humano.



Aplicaciones PrácticasUnidad

1: Conceptosbásicos

de funciones

2: Funciones

trascendentes

3: Límites y

continuidad

4: La derivada

como razón

de cambio

5: Cálculo de

derivadas

• El caso del libro de la editorialPearson Educación

• Envases y matemáticas

• Impuestos por sueldos y salarios

• De inflación en inflación

• La ciencia y tecnología en México

• Conflicto mercantil: el caso de la

señora Celia Reyes Lujano

• Obtención de una tasa de crecimientode población usando Excel

• Ganancias por exportaciones

• El elevador

• El clima de la ciudad de Veracruz

• Las misceláneas

• Historia de marcas deportivas

• Comparación

• Depreciación de tractores• Coincidencia

• Sistemas de impuestos

• ¿Quién es el hombre más rápido?

• El comerciante de las sillas

• El Eurotúnel

• Curvas de transferencia

• El auto deportivo

• Construcción de un plotter con piezas

de LegoMR

• Movimiento de una grúa torre

• Curvas famosas• Ecuaciones diferenciales

• Velocidad de escape

• Operaciones aritméticas en Excel• Cuidados con el Excel

• Dominio de funciones

• Graficación de funciones racionales

con Excel

• Funciones polinomiales y racionales

• Construyendo tu graficador

• Operaciones de traslación y escala

• El tronco circular

• Modelación y Excel

• La función inversa

• El interés compuesto, población

y funciones exponenciales• ¿Que tienen en común las escalas

para medir intensidad de terremotos,

los intervalos musicales, la acidez

química, el brillo de las estrellas,

y el volumen de los sonidos?

• Funciones hiperbólicas

• Funciones trigonométricas

• El juego ED

• Sanidad y elecciones

• El juego AB

• Diseño de una botella de refresco

• Recta secante a recta tangente

• La función

• Calibración de un velocímetro

• La función de Weierstrass

• Sobre la función derivada

• Practicando derivadas

• Practicando derivación logarítmica

• Los plotters



Aplicaciones Pr ácticasUnidad

6: Aplicacionesde la derivada

7: Pilares del

cálculo

diferencial

8: Monotonía

y teoría de

extremos

9: Graficación

10: Optimización

• Accidentes en montañas rusas• Sobre tangentes y normales

• Lanzamiento de martillo

• Dispositivo robótico

• Velocidades entre planetas

• Engrane elíptico

• Empacadora de aguacates

• Factores de crecimiento en la

industria

• Cálculo e infracciones de tránsito

• El Arca de Noé

• Velocidad de las olas por efecto de un

tsunami

• Estudio de la torca automotriz con

derivadas

• El secreto de los barriles austriacos de

vino

• Tarifa óptima del Metrobus

• El dilema de Carlos

• El paquete

• El gran café

• Viajes educativos

• Islote Botafoc

• La ley de Snell

• La propagación del SIDA

• Modelo para predecir el crecimiento

poblacional

• La molécula

• Graficación a través de Taylor

• Decisiones en el mercado accionario

• Diseño de envases

• Recipientes térmicos

• Tarifa óptima del Metro

• Rectas tangentes y normales quepasan por un punto

• Método de Newton para polinomios

y método de la secante

• Análisis de la caída con resistencia

del aire usando Excel

• Problema de la caída de la escalera

• El teorema del valor medio y el teore-

ma de Rolle

• Series de Taylor

• Criterio de la primera derivada

• Anita, la exploradora

• Concavidad de curvas y la segunda

derivada

• Graficación de curvas famosas

• Los triángulos inscrito y circunscrito

• La venta del libro



Unidad

Conceptos básicos

de funciones

Introducción a la unidad

Contenido de la unidad

1.1 El concepto de función

1.2 Biblioteca de funciones básicas

Cada uno de nosotros debe tomar decisiones a cada paso: cuando decides casarte o cuando decides ir al juzgadopara entablar un juicio contra otra persona. La vida humana gira en torno a la toma de decisiones: los dirigentes de

empresas, de laboratorios, de talleres y de gobiernos toman decisiones de carácter organizativo. El médico toma una

decisión al dar su diagnóstico, al prescribir el medicamento, al determinar el método de tratamiento o cuando da

de alta al paciente.

Un guía de turistas toma una decisión al formar un itinerario para promover un plan turístico o al modificarlo

con base en la aceptación o rechazo de los interesados. El científico toma una decisión al escoger la metodología

para realizar un experimento o para demostrar un resultado, y una vez que ha logrado lo último, toma una decisión

sobre la conclusión de su trabajo.

Podríamos continuar con una lista interminable de ejemplos y llegaríamos cada vez a la misma conclusión: la

especie humana se apoya para su supervivencia en las decisiones que toma; todo acontecimiento nos obliga a to-

mar decisiones. Por desgracia, buena parte de nuestras decisiones no están bien pensadas y en otras ocasiones se

toman decisiones sin una buena justificación o que simplemente no son las mejores.

Tal vez el principal obstáculo para tomar decisiones adecuadas no sólo sea la frivolidad con la que se toman, si-

no la falta de información, o en su defecto, la falta de capacidad para organizarla adecuadamente de manera que

bajo cierta estructura, toda ella permita tener un panorama general de una situación y así vislumbrar un pronósti-

co con mediana certeza de las consecuencias de esa decisión. Pues bien, en este capítulo se estudiará un elemento

básico de las matemáticas: la “ función”, cuyo concepto te ayudará a estructurar tus fuentes de información y de

conocimiento.



2 Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

1.1 El concepto

de función

Las leyes de la naturaleza sólo son

pensamientos matemáticos de Dios.

Johannes Kepler

El caso del libro de la editorial Pearson Educación

Al elaborar un libro, las compañías editoriales toman en cuenta diver-sos aspectos como son su contenido, precio, tamaño, número de hojas,tipo de papel y uso del color. El objetivo, desde luego, es impactar almercado de tal suerte que se obtengan las máximas ganancias posiblesy se reduzcan al mínimo los costos de producción.

Por ejemplo, la editorial Pearson Educación tiene planeado publicar

una nueva obra en el área de matemáticas dirigida primordialmente almercado nacional. Para ampliar las potenciales ganancias planea, ade-más de implementar una nueva estrategia de ventas, reducir los costos deedición a través del diseño de las hojas de papel que conformarán laobra. Se sabe que los últimos libros de la editorial se han elaborado enhojas de 21.5 cm de ancho por 27.9 cm de largo, con márgenes de 5.1 cmen el lado derecho (para colocar figuras, comentarios, notas históricas,etc.), 2 cm en el lado izquierdo, y 3 cm en las partes inferior y superiorde la hoja.

En tu recorrido por este estudio te acompañan aproximadamente los últimos 400

años, periodo en el cual se ha podido constatar que el hombre logró más avances –sobre

todo de tipo tecnológico una vez que logró sintetizar sus ideas en unos cuantos símbo-

los– que en toda su historia civilizada. Creemos sin lugar a dudas, que el concepto de

función y las demás ideas que serán consideradas en el desarrollo de esta obra, te permi-tirán establecer una forma racional de plantear y resolver problemas. Mediante el con-

cepto de función iniciarás la construcción de modelos matemáticos y verás cómo éstos

te ayudarán a dar conclusiones mejor fundamentadas y a anticipar eventos, lo que tanta

ventaja ha proporcionado a la subsistencia humana.

Para concluir, es cierto que las matemáticas no te darán respuestas a las preguntas fun-

damentales de la vida, por ejemplo: ¿cómo saber con quién casarte?, ¿con quiénes orga-

nizarte para formar un negocio?, ¿deberías o no comprar algún bien en este momento?

Lo que sí es cierto es que te pueden ser útiles para modelar situaciones relacionadas con

tu vida profesional, en las cuales lo menos que se esperará de ti es que des una respues-

ta fundamentada a tus decisiones.

FIGURA 1. Un libro de la editorial

Pearson Educación.



31.1: El concepto de función

La compañía estima,con base en un reciente estudio de mercado, que elnúmero de libros que se pueden vender dependerá del precio de venta, taly como se muestra en la tabla 1.

mero e li ros ven i osPrecio por libro

$ 270.00 2 250

$ 266.50 2 282

$ 263. 00 2 314

Tabla 1 Estimación de ventas en función del precio de

venta unitario.

También estima que se producirán cambios en los costos de la obra modi-ficando el número de tintas usadas, el tipo de papel y los tirajes, como sedestaca en la tabla 2.

aracter sticas Costos fi osNo m s e

li ros

s ey menos de1 4 li ros

s e1 4 li ros

Una tinta en papel bond 36 $ 52 000 $ 54 $ 52.30 $ 50.20

Dos tintas en papel bond 36 $ 58 000 $ 54 $ 52.30 $ 50.20

Cuatro tintas en papel bond 36 $ 63 000 $ 54 $ 52.30 $ 50.20

Una tinta en papel coudcar 40 $ 54 000 $ 62 $ 60.20 $ 58.40

Dos tintas en papel coudcar 40 $ 61 000 $ 62 $ 60.20 $ 58.40

Cuatro tintas en papel coudcar 40 $ 68 000 $ 62 $ 60.20 $ 58.40

por libro por libropor libro excedente al excedente al

500 1 400

Tabla 2 Costos por libro en términos del tiraje y las características

del papel empleado para la obra.

Si suponemos que todos los libros elaborados por la editorial se venden, laempresa desea responder los siguientes cuestionamientos:

a) Sin cambiar el área de impresión, ¿la compañía puede reducir sus cos-tos si disminuye el tamaño de la hoja?

b) ¿Sugieren los datos de la tabla 1 algún precio que permita obtener elmayor ingreso posible para Pearson Educación?

c) ¿Cuál sería el número de ejemplares de este libro que produciría la ma-yor ganancia para la empresa?




Introducción

Las funciones son una de las herramientas más importantes en el análisis y

descripción matemáticas del mundo real. Pueden ser encontradas tanto enáreas científicas y tecnológicas como en el análisis de situaciones económi-

cas, demográficas y sociales. Por ejemplo, en física se estudia la relación que

guarda el tiempo de caída de un objeto con la altura a la que se suelta. A los

biólogos les interesa el cambio de la población de animales en vías de extin-

ción en el tiempo. A un empresario podría resultarle útil conocer la relación

existente entre el número de artículos que vende con sus ganancias. En fin,

las aplicaciones que tienen las funciones son amplias y de diversos tipos.

Para ilustrar la potencia del concepto, considera que queremos establecer

una clave de identificación única de la población (CURP) que permita identifi-

car claramente a todas y cada una de las personas de un país determinado. Esta

clave serviría para unificar todos los documentos legales de una persona, faci-

litaría la prestación de bienes y servicios, y fortalecería las condiciones de

seguridad jurídica de la población. Desde luego que dos personas no deberían

tener la misma clave, ¿por qué es importante que no ocurra esto?, ¿qué pasa-

ría si dos personas tuvieran la misma clave?

Para continuar nuestro ejemplo, considera la forma de establecer la CURP

en México. Aquí la CURP está formada por 18 letras o dígitos. La primera de

ellas corresponde a la primera letra del apellido paterno, la segunda es la

primera vocal del mismo apellido, la tercera es la primera letra del segundo

apellido y la cuarta es la primera letra del primer nombre. Así, por ejemplo,

tanto para Pedro Gómez Sánchez como para Pánfilo González Sarmiento ten-

drían una CURP que comienza con las letras GOSP. Después se añade la fe-

cha de nacimiento en el formato año, mes y día; aún así puede suceder que las

personas anteriores hayan nacido en la misma fecha, por ejemplo, 13 de abril

de 1979, por lo que la CURP de ambos sería hasta ahora GOSP790413. A con-

tinuación, se añaden tres letras a la clave: la primera para el género de la per-

sona y las dos siguientes para el lugar de nacimiento. Así, si nuestros amigos

Pedro y Pánfilo hubieran nacido en el D.F., su CURP sería GOSP790413HDF.

Hasta aquí estas identificaciones son insuficientes para evitar duplicaciones,

por lo que se asignan tres letras más que representan: la segunda consonante

del apellido paterno, la segunda consonante del apellido materno y la se-

gunda consonante del nombre. En nuestros ejemplos, esto ya produce dos

claves CURP diferentes, aún así, la dependencia federal Registro Nacional de

Población (RENAPO) añade otros dos dígitos para que todos tengamos una

única CURP.

Este ejemplo y la situación de la editorial Pearson Educación insinúan la

importancia de las funciones y son una invitación para estudiarlas. Hablando

vagamente, su importancia radica en que este concepto permite establecer el

vínculo que existe entre dos conjuntos de objetos, y no sólo eso, también fa-

cilita el análisis de situaciones y las respuestas a cuestionamientos a los que

sería imposible llegar usando únicamente nuestro lenguaje coloquial. Pues

bien, en esta sección trataremos con este concepto básico de las matemáticas.




El concepto de función: diversas formas de describirla

Para iniciar el análisis, considera que deseas medir la temperatura de un objeto durante

un día determinado y debes planear cómo registrar los resultados. Una primera posibilidad

es escribir parejas del tipo (t , T ), donde t indicaría la hora en que hiciste la medición y T señalaría la temperatura del objeto. Desde luego que podrías obtener cualquier pareja

imaginable porque, en este proceso de planeación, no sabrías a ciencia cierta qué tempe-

ratura tendría el objeto en un tiempo determinado. Al conjunto de todas las parejas posibles

de resultados se le conoce como el producto cartesiano. En general, tenemos la siguiente

definición.

Objetivos

Al terminar esta sección tendrás la capacidad de:

a) Reconocer cuándo una relación corresponde a una función.b) Describir qué es el dominio y qué es la imagen de una función.

c) Identificar el dominio y la imagen de algunas funciones elementales.

d ) Reconocer funciones mediante palabras, fórmulas, tabulaciones y dia-

gramas.

e) Generar nuevas funciones a partir de sus cinco operaciones básicas.

Definición de producto cartesiano.

Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano como el conjunto

de parejas ordenadas de puntos donde la primera coordenada es un elemento del

primer conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto.Es decir:

A B x y x A y B× = ∈ ∈{ }( , ) , .

Definición de relación.

Una relación R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto car-

tesiano A × B. Es decir R x y x A y B= ∈ ∈{ }( , ) , .

Al realizar el experimento, sin embargo, no esperarías que el objeto tuviera dos tempe-

raturas diferentes al mismo tiempo. Es decir, no todos los conjuntos de resultados serían

permitidos. Distinguimos los resultados permitidos de los no permitidos definiendo los

conceptos de relación y de función. En nuestro ejemplo, cualquier conjunto de resulta-

dos definen una relación, mientras que un conjunto de resultados permitidos determinan

una función.




Ahora bien, si el experimento se realiza durante un tiempo máximo, por ejemplo tres

horas, no esperaríamos tener resultados donde el tiempo fuera mayor. Decimos entonces

que el dominio de nuestro experimento es el intervalo [0, 3]. Más aún, decimos que la

imagen de nuestro experimento es el conjunto de temperaturas obtenidas en ese intervalo.

En general, tenemos las siguientes dos definiciones:

Definición de función.

Una función es un conjunto de parejas de elementos tales

que si ( x, y1) y ( x, y2) pertenecen ambos a f , entonces y1 = y2. En otras palabras,una función es un subconjunto del producto cartesiano, una relación donde dos

pares distintos del conjunto no tienen el mismo primer elemento.

f x y x A y B= ∈ ∈{ }( , ) ,

Definición de dominio e imagen (o rango).

• Si f es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los “ x” para los

que existe algún “ y” tal que ( x, y) ∈ f , denotaremos al dominio de la función

por D f .

• La imagen o rango de f es el conjunto . I y x y f f = ∈{ | ( , ) }existe

Es posible que en ocasiones no estemos interesados en precisar el conjunto de imágenes

de una función, si éste es el caso, podríamos imaginar un conjunto más grande en el cual se

encuentra inmersa la imagen de la función. A este conjunto más amplio se le conoce como

contradominio de la función. También es útil considerar una función como una “cajanegra”, en la que para cada elemento del dominio que entra en la caja, se tiene una única

salida en el contradominio.

Entrada

(Dominio)

Salida

(Contradominio)

f

Regresemos a nuestro ejemplo. Supón que ya hiciste el experimento, registraste la

temperatura del objeto cada media hora y obtuviste los siguientes resultados:

Figura 2. Representación de una función.

{(0, 9.85476), (0.5,12.4619), (1,14.5262), (1.5,15.781), (2,15.9595), (2.5,14.7952),

(3,12.0214)}.




Esto significa, por ejemplo, que el objeto tení a la temperatura 9.85476 °C al iniciar el

experimento y, al cabo de tres horas alcanzó la temperatura de 12.0214 °C. Otras formas

de presentar estos datos son, por ejemplo, por medio de una tabla de valores o por un

esquema gráfico de conjuntos, como se muestra en la tabla 3 y en la figura 3.

T Ct horas

0.0 9.85476

0.5 12.4619

1.0 14.5262

1.5 15.7810

2.0 15.9595

2.5 14.7952

3.0 12.0214

tiempo

( oras Temperatura C

. .

14.795

15.959

15.781

14.52 2

12.4619

9.8547

2.

.

1.5

.

0.5

0.0

FIGURA 3. Esquema de conjuntos para presentar los datos del

experimento de medir la temperatura de un objeto.

Una tercera posibilidad consiste en mostrar las parejas ordenadas como puntos en un

esquema gráfico. En este caso construimos dos ejes perpendiculares, cuya intersección

es el origen. En el eje horizontal colocamos los tiempos y en el eje vertical las tempera-

turas. Así la pareja (0, 9.85476) se representarí a como un punto con coordenadas: cero

en el eje horizontal y 9.85476 en el vertical. En la figura 4 se muestran todos los puntos

obtenidos en nuestro experimento.

20

15

5

10

5

1 1 2 3 4

t

T

FIGURA 4. Esquema gráfico para representar los puntos del experimento.

En general, es conveniente definir el plano cartesiano y la gráfica de una función.

Tabla 3 Resultados del experimento de

medir la temperatura de un objeto.




Una última forma de presentar los datos es por medio de una f órmula algebraica o re-

gla de correspondencia que relacione la temperatura con el tiempo. Más adelante, expli-

caremos cómo determinar una f órmula de este tipo a partir de un conjunto de puntos. Por

el momento, basta con indicar que una expresión que permite calcular la temperatura de

nuestro objeto en el tiempo, es:

.

Con esta regla podemos estimar los valores de la temperatura aún en tiempos donde

no hayamos tomado medidas.

En general, si ( x, y) ∈ f , escribiremos y = f ( x). Además, a la variable “ x” le llamaremos

variable independiente, mientras que a la variable “ y” la llamaremos variable dependien-

te. Asimismo, diremos que “ y” es la imagen de “ x” bajo la función f y que, f ( x) es la re-

gla de correspondencia que asocia valores de x con y. En muchas ocasiones hablamos de

la función indicando sólo la regla de correspondencia; en esos casos, si no se restringe

explí citamente el dominio, se sobreentiende que el dominio está formado por todos

aquellos números para los cuales la regla tiene sentido. Por ejemplo, una función como

tiene dominio

.

Por otra parte, no todas las curvas representan una función. En efecto, por la defini-

ción de función, no puede haber dos elementos ( x, y1) y ( x, y

2) con y

1 ≠ y

2. Por lo tanto,

tenemos el siguiente criterio gráfico para determinar si una curva puede representar una

función.

D x x x x f = ∈ ≠ − ≠ − ≠{ } | , ,2 1 2

f x x

x

x

x

( ) = +

−

− −

+

2

4

1

12

T t t t t ( ) . . . .= + − −9 85476 5 57937 0 552381 0 355556

2 3

Definición del plano cartesiano y de la gráfica de una función.

El plano cartesiano 2 es el conjunto de puntos .

Sea y = f ( x) una función. Su gráfica es el conjunto de parejas ordenadas:

.Gr f x y y f x con x D f ( ) , | ( )= ( ) ∈ = ∈{ }2

2 = ( ) ∈{ } x y x y, | ,

Criterio de la recta vertical.

Una curva es la gráfica de una función y = f ( x) si cada recta vertical corta a lacurva a lo más en un punto.

De acuerdo con el criterio anterior, la curva de la figura 5a representa la gráfica de

una función y = f ( x), mientras que la curva de la figura 5b no representa una función,

pues cualquier recta vertical, por ejemplo, la recta x = 2, corta la gráfica en dos puntos.



Ejemplos

solución


Por ultimo, es erróneo pensar que una función siempre se debe representar por medio de

una “f órmula”; bastará que leas un periódico para darte cuenta de que una función tam-

bién puede representarse por otros medios. Por ejemplo, un periodista que desee mostrar

cómo está cambiando la cotización del dólar frente al peso, seguramente lo hará con una

tabla de valores o, en el mejor de los casos, con una gráfica, pero nunca con una fórmula.

Y ni qué decir al respecto de que muchas leyes cientí ficas tienen en ocasiones enunciados

más cómodos y descriptivos que los que podrí a dar una f órmula. Por ejemplo, la ley de

la gravitación universal de Newton se enuncia así : “Dos cuerpos cualesquiera se atraen

entre sí con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus

masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a sus centros” .

En conclusión, existen diversas formas de representar a una función, entre ellas tenemos

las descripciones verbales, las algebraicas, las numéricas y las gráficas. Analizaremos

cada una de estas formas en los ejemplos y capí tulos siguientes.

a)1.5

1. y

x

5 y

x

a) b)

FIGURA 5. ¿Qué gráfica representa a una función de la forma y = f ( x)?

Ejemplo 1.

La temperatura en la Ciudad de México el 30 de septiembre de 2005, entre las 7:00 y las 12:00 horas,

se muestra en la siguiente tabla. Describe la variable independiente, la variable dependiente y el domi-

nio para la función anterior. Bosqueja la gráfica de esta función.

Como la temperatura depende de la hora del dí a (y no la hora de la temperatura), T es la variable

dependiente, mientras que h es la variable independiente, es decir, T = f (h). Observa que la regla de

correspondencia está dada por la tabla y que en este caso no contamos con una f órmula para f . El do-

minio consta de los valores de entrada de la función, los valores del primer renglón, esto es:

. D f = { }7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5, 12

7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12.00

11 11 13 13 15 18 19 20 22 24 27

Hora ( h)

Temperatura

(T ) en ºC



solución


Los números del segundo renglón son las imágenes bajo la función. La gráfica de esta función consta

de los 11 puntos:

El bosquejo de la gráfica se muestra en la figura 6.

( , ) ( , )7 11 8 13, (7.5, 11), , (8.5, 13), (9, 15), (9.5, 18), (10, 19), (10.5, 20), (11, 22), (11.5, 24), (12, 27){ }

8 9 10 11 12

5

10

15

20

25

30

T

h8 9 10 11 12

5

10

15

20

25

30

T

h

FIGURA 6. La gráfica de T = f (h) en sus esquemas discreto y continuo. En a) se consideran sólo sus 11 puntos.

En b) los 11 puntos se han unido para obtener un trazo continuo.

a) b)

Ejemplo 2.

¿La siguiente tabla representa una función?

Si suponemos que y es la variable dependiente y x la independiente, la tabla anterior no representa una

función, debido a que para el mismo valor del dominio (entrada) tenemos dos imágenes diferentes (sa-

lidas), más concretamente, al elemento 2 se le asignan los números 3 y –7.

Si consideramos a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente, la tabla sí representa una función, pues a cada punto del dominio {0, 3, 1, −18, −7} le corresponde exactamente

una imagen, luego x = f ( y).

Ejemplo 3.

Determina el dominio y la imagen de la función . f x x x( ) = − −2 2 3

x 7 2 –4 4 2 y 0 3 1 –18 –7




solución

solución

Para determinar el dominio debemos considerar que la regla de correspondencia tiene sentido siempre que

la expresión subradical sea no negativa. Es decir, el dominio está formado por todos los puntos donde se

cumple que:

.

Si completamos el trinomio cuadrado de esta expresión tenemos:

Para resolver esta última desigualdad recordemos que a2 ≥ b > 0 si, y sólo si o . En

nuestro caso, se tiene:

x − 1 ≥ 2 o x − 1 ≤ −2

x ≥ 3 o x ≤ −1 x ∈ [3, ∞) o x ∈ (−∞, −1]

Ahora bien, recuerda que el conectivo “o” se traduce dentro del lenguaje de conjuntos en una unión de

conjuntos, mientras que el conectivo “y” en una intersección. Así , lo que dicen las anteriores restriccio-

nes es que, una vez encontrados los conjuntos solución de ambas desigualdades, éstos deberán unirse.

Por lo que el dominio es:

.

Ejemplo 4.

Considera la función f dada por .

a) Encuentra la imagen de los números 2 y .

b) Calcula y simplifica la expresión .

c) Determina la imagen de la función.

a) En el lugar que ocupa x dentro de la función, sustituimos 2:

.

De la misma forma,

.

b) El único término que requiere algún comentario es f ( x + h). La idea es la misma que en a), donde

aparece x en la función colocaremos el nuevo argumento x + h. De esta manera,

f ( )3 3 2 3 2 5 2 32

= ( ) + ( ) + = +

f ( ) ( )2 2 2 2 2 102

= + + =

f x h f x

h

( ) ( )+ −

3

f x x x( ) = + +2 2 2

Dom f = −∞ − ∪ ∞( , ] [ , )1 3

a b≤ −a b≥

x x

x

2

2

2 1 3 1

1 4

− + ≥ +

− ≥( )

x x2 2 3 0− − ≥



solución


c) En cuanto a la imagen, notamos que , de donde deducimos que: I f = [1, +∞).

Ejemplo 5.

Para cada una de las siguientes funciones determina el dominio correspondiente.

a)

b)

Antes de empezar, recordemos que:

• a2 ≤ b si y sólo si .

• a

2

≥ b > 0 si y sólo si .

Si regresamos a nuestros ejercicios, observa que en ambos incisos necesitamos exigir que las expresio-

nes subradicales no sean negativas, por tener raíces de índice par y porque queremos mantener nues-

tro trabajo en el campo de los números reales.

a) En el primer ejercicio necesitamos que:

1 − x2 ≥ 0 y

x2 ≤ 1 y x2 ≥ 1/4

de donde,

y .

Si recordamos que el conectivo “y” indica que al final debemos intersecar los conjuntos, halla-

mos el dominio de la función

. D f = − −

∪

11

2

1

21, ,

x ∈ −∞ −

∪ ∞

, ,1

2

1

2 x ∈ −[ ]1 1,

x2 1

40− ≥

a b b∈ −∞ − ∪ ∞( , ] [ , )

a b b∈ −[ ],

f x x x

x( ) = − − +

−1 4

3

24

2

f x x x( ) = − + −11

4

2 2

f x x( ) = +( ) + ≥1 1 12

f x h f x

h

x h x h x x

h

x hx h x h x xh

hx h h

h

h x h

h

x h

( ) ( )+ −=

+( ) + +( ) + − + +[ ]

= + + + + + − − −

= + +

= + +( )

= + +

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2



solución


b) En este ejercicio las condiciones requeridas son

4 − x2 ≥ 0, y x2 − 3 ≠ 0.

Al resolver las desigualdades y la inecuación tenemos que:

y .

.

Si intersecamos los conjuntos obtenemos que:

.

Ejemplo 6.

a) ¿Para qué valores de a, b, c y d ; c ≠ 0 la función satisface que , para to-

do ?

b) Verifica que la función satisfaga la condición impuesta del inciso a). Determina su

dominio e imagen.

a) Tenemos que equivale a . En cuanto al cálculo de , la idea es

la misma, donde aparezca x en la f órmula de f , sustituiremos el nuevo argumento , por lo tanto:

,

entonces,

, o .

Si en la última ecuación transponemos términos y factorizamos, hallamos que:

, válida para todo .

Como una ecuación cuadrática puede tener a lo más dos soluciones, a no ser que todos sus coefi-

cientes sean iguales a cero, concluimos que c(a + d ) = 0, d 2 − a2 = 0 y −b(a + d ) = 0. Ya que c ≠ 0,

x d

c≠

−c a d x d a x b a d +( ) + −( ) − +( ) =2 2 2 0

acx bcx cdx d x a x ab bcx bd 2 2 2 2+ + + = + + + x a x ab bcx bd acx bc cdx d = + + ++ + +

2

2

x

a ax b

cx d b

c ax b

cx d d

a ax b b cx d

c ax b d cx d =

++

+

++

+

= +( ) + +( )

+( ) + +( )

ax b

cx d

++

f ax b

cx d

++

f ax b

cx d x

++

=

f f x x( )( ) =

f x x

x( ) =

+−

3 2

2 3

x d

c≠

− f f x x( )( ) = f x

a x b

c x d ( ) =

++

D f = − −[ )∪ ( ]2 3 3 2, ,

3 3∈ −∞ −( ]∪ ∞[ ) x , ,

x ≠ ± 332 ≥ x2 2∈ − x [ , ]

1 4 2≥ − x4 2≥ x

1 4 2≥ − x

1 4 02− − ≥ x




solución

las tres ecuaciones anteriores se cumplen si, y sólo si d = −a. En conclusión, para que la función f cum-pla la condición se requiere que f sea de la forma

.

b) Claramente la función es del tipo de funciones descritas en la conclusión del ejercicio

anterior. En cuanto al dominio, debemos tener cuidado de no realizar divisiones entre cero. Por lo tan-

to .

Para hallar la imagen debemos trabajar un poco más. Queremos determinar para qué valores de y

existe un x ∈ D f

tal que se cumpla. De esta ecuación se tiene que:

,

.

Despejando la variable x,

,

que tendrá sentido siempre y cuando . De aquí concluimos que .

Ejemplo 7.

Si , determina dos funciones g, para las cuales . Para cada una de

las funciones halladas, determina su dominio e imagen.

Requerimos que:

.

Después de trasponer y agrupar términos, esta ecuación equivale a

.

Si identificamos a y = g( x) como nuestra incógnita y usamos la fórmula para resolver una ecuación desegundo grado, determinamos que:

.

Debido a la presencia del doble signo ± inferimos que y = g( x) no será función, a menos que los sepa-remos; deducimos de ello la existencia de dos funciones, a saber:

g x x x

x x( ) =− ± − + −( )

= − ± − + −( )4 16 4 4 1

22 4 4 1

2

2

g x g x x x( ) ( ) ( )( ) + + + − =2 24 4 1 0

f g x g x g x x x( ) ( ) ( )( ) = ( ) + + = − +2 24 6 4 5

f g x x x( ( )) = − +2 4 5 f x x x( ) = + +2 4 6

I f = − { }32 y ≠

3

2

x y

y=

+−

3 2

2 3

x y y2 3 3 2−( ) = +

2 3 3 2 xy y x− = +

y f x x

x= =

+−

( )3 2

2 3

D f = − { }32

f x x

x( ) =

+−

3 2

2 3

f x ax bcx a( ) = +−

f f x x( )( ) =



Ejemplos

,

y

.

Respecto a los dominios, requerimos que , de lo cual resulta que x ≤ 1 o x ≥ 3. En con-clusión:

.

En cuanto a las imágenes de las funciones, éstas no son iguales. En efecto, , por lo cual

, para todo

mientras que

, para todo .

De aquí resulta que mientras que . I g22= −∞ −( , ] I g1

2= − +∞[ , )

x Dg∈2

g x x222 2 1 2( ) = − − −( ) − ≤ −

x Dg∈1

g x x122 2 1 2( ) = − + −( ) − ≥ −

x −( ) − ≥2 1 02

D Dg g1 21 3= = −∞ ∪ +∞( , ] [ , )

x −( ) − ≥2 1 02

g x x x x x x22 2 22 4 4 1 2 4 3 2 2 1( ) = − − − + −( ) = − − − + = − − −( ) −

g x x x x x x12 2 22 4 4 1 2 4 3 2 2 1( ) = − + − + −( ) = − + − + = − + −( ) −

1.1: El concepto de función 15

El uso de las funciones en la modelación

Las funciones suelen aparecer en diferentes contextos; en mayor medida aparecen enproblemas de modelación matemática, donde, a partir de descripciones, se busca estable-

cer una relación algebraica entre diferentes variables. Conociendo esta relación, es posi-ble analizar con mayor detalle y profundidad la situación o problema que se trate.

Generalmente, en los problemas se necesitará restringir el dominio de la función ob-tenida a un dominio donde tenga sentido la situación tratada. Supón, por ejemplo, que enla fórmula A = x(200 − 2 x), x representa la longitud de un lado de un rectángulo y A suárea. Entonces, aunque matemáticamente x podría tomar cualquier valor real, x se deberestringir de tal manera que 0 < x < 100, pues de otra forma se violaría el contexto natu-ral de la situación; incluso, por la conveniencia de los resultados matemáticos, es posi-ble ampliar el dominio a 0 ≤ x ≤ 100, pero no más de esto. Nosotros llamaremos a estedominio restringido el dominio implícito de f y lo denotaremos por D

f (imp).

Ejemplo 8.

Un vendedor recibe un salario mensual base de $10 000 más una comisión de $300.00 por cada artículoque venda. Determina las variables dependiente e independiente, encuentra una función que describa elsalario del vendedor en términos del número de unidades que venda al mes, y especifica el dominio yel dominio implícito de esta función.



solución

solución


Denotemos con S el salario del vendedor que depende del número de unidades n que venda al mes. Así,la variable independiente es n, mientras que la variable dependiente es S . Con esta notación, 300n es lacantidad que recibe el vendedor por comisión, así que su salario es 10 000 + 300n. Es decir:

S = f (n) = 10 000 + 300n.

Si consideramos sólo la fórmula para S , es perfectamente posible sustituir valores negativos para n yobtener un número real. Por ejemplo:

f (−10) = 10 000 + 300(−10) = 7 000,

por lo que D f = . Sin embargo, en el contexto del problema, no es posible que se venda una cantidad

negativa de artículos, el peor de los panoramas es que no venda nada en algún mes. Tampoco es clarosi se pueden vender o no fracciones de unidades, por lo tanto, consideramos que D

f (imp) = [0, +∞).

Nota: Por el contexto del problema, es muy probable que n pertenezca al conjunto de los enteros nonegativos; sin embargo, para poder utilizar las herramientas del cálculo, es necesario ampliar este do-minio a un intervalo tal y como lo hemos hecho. En la práctica se sigue esta estrategia, después se in-terpretan los resultados, de forma que los valores de la variable tengan el sentido de la situación.

Ejemplo 9.

Una empresa de turismo alquila un camión de pasajeros a $200 por persona hasta 30 pasajeros. Si setienen más de 30 pasajeros, por cada persona adicional el precio se reduce en $1.50 por pasajero. El cupomáximo es 40 y el mínimo es 25 pasajeros. Determina la función para el costo del alquiler del camión

en términos del número de pasajeros.

Denotamos con x el número de pasajeros. Dividimos la regla de correspondencia en dos casos:

1. Si se tienen de 25 a 30 pasajeros el precio es de 200 x.

2. Si el número de pasajeros es mayor a 30 y máximo 40, el precio de cada pasaje disminuye en 1.50.El número de pasajeros arriba de 30 es x − 30. La reducción en el precio de cada pasajero es1.50( x − 30) y cada pasajero deberá pagar 200 − 1.5( x − 30). Por lo tanto, el costo total es [200 −

1.5( x − 30)] x.Éste es un ejemplo de una función seccionada y la regla de correspondencia se escribe como:

f x x

x x

x

x( )

.=

−≤ ≤< ≤

200

245 1 5

30

30 402

si

si

25



solución

Ejemplo 10.

Una empresa se dedica a construir tiendas de campaña a partir de lonas cuadradas de 20 pies de lado.Para la construcción de las tiendas puedes cortar partes de las cuatro esquinas, como se ve en la figura

7, de modo que las cuatro partes restantes se puedan doblar y formar así la tienda con la forma de unapirámide con base cuadrada.

a) Si la base es cuadrada determina el volumen V de la tienda como una función de x.

b) Usa algún apoyo de graficación para ilustrar la función V ( x). Explica lo que observes de ella.

a) El volumen de una pirámide de base A y altura h es “un tercio del área de la base por la altura”. Aho-ra bien, como la base es cuadrada y su lado es 2 x, resulta que el área de la base es 4 x2. En cuanto ala altura “h”, ésta podrá obtenerse como el valor de un cateto del triángulo rectángulo que se mues-tra en la figura 8.


x

10– x

FIGURA 7. Lonas cuadradas para la construcción de tiendas de campaña.

h10–x

x

FIGURA 8. Figura auxiliar para la determinación de la altura de la casa de campaña.



Como puedes observar,

;

luego,

.

De donde,

.

b) La función V ( x) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para conocer algo másde ella. En la tabla 4 se muestran los resultados obtenidos, y en la figura 9 un bosquejo de la gráfi-ca del volumen. Observando la tabla y la gráfica puede intuirse que, con el valor de x = 4 se obten-drá el máximo valor para el volumen.

D impV ( ) [ , ]= 0 5

V V x x x= = −( )4

3100 202

h x x x= − − = −( )10 100 202 2


0.0 0.0

0.5 3.16228

1.0 11.9257

1.5 25.0998

2.0 41.3118

2.5 58.9256

3.0 75.8947

3.5 89.4614

4.0 95.4056

4.5 85.3815

5.0 0.0

Tabla 4 Resultados obtenidos alcalcular el volumen paravarios valores de x.

20

7

x

V x

FIGURA 9. La gráfica de la función V = V ( x) obtenida

en el paquete Mathematica con la instrucción

Plot[(4/3)x^2*Sqrt[100-20x],{x,0,5}].

Nota. Una tabla de valores es un paso previo para construir la gráfica de la función. En realidad, debemosseñalar que, a menos que uses un paquete computacional, este método de graficación tiene grandes ca-rencias. Posteriormente desarrollaremos en el libro herramientas poderosas para construir gráficas.



Algunos aspectos sobre graficación de funciones

Para construir la gráfica de una función, suele ser útil considerar algunos aspectos de si-

metrí a. Para ello necesitamos formular antes algunas definiciones.


Funciones pares e impares.

• f ( x) es una función par si , para cada x en el dominio de f .

• f ( x) es una función impar si , para cada x en el dominio de f . f x f x( ) ( )− = −

f x f x( ) ( )− =

Si una función es par, toma el mismo valor en x y en − x; esto significa que la gráfica de

la función tiene la misma altura para los valores simétricos x y − x del eje horizontal, lue-

go la gráfica es simétrica respecto al eje y. Dicho de otra manera, si doblas sobre el eje

vertical la parte derecha de la gráfica, ésta deberá coincidir con la parte izquierda de lamisma.

Si una función es impar, las alturas correspondientes a los valores simétricos x y − xdel eje horizontal son iguales pero de signos contrarios. Esto produce una simetrí a que

se conoce como simetrí a respecto al origen. Dicho de otra manera, si la parte derecha de

la gráfica de una función se dobla con respecto al eje vertical, y después se vuelve a doblar

con respecto al eje horizontal, ésta deberá coincidir con la parte izquierda de la gráfica.

En la figura 10 se muestran gráficas de una función par y de una función impar.

b)

3 2 3 4 x x

FIGURA 10. La gráfica de funciones pares e impares. En a) se muestra una función par, nota que

las altura en x = 2 y en x = −2 son iguales y que la gráfica es simétrica respecto al eje y.

En b) se muestra una función impar que es simétrica respecto al origen.

Sin embargo, no todas las funciones son pares o impares. Por ejemplo, f ( x) = x3 + x2

no es par y tampoco es impar.

Otro aspecto importante que debiéramos considerar en el proceso de graficación corres-

ponde a la siguiente situación general sobre traslaciones y cambios de escala: conocida

la gráfica de una función y = f ( x), determinar la gráfica de la función y = af (bx + c) + d ,

donde a, b, c y d son constantes. La idea general es que la gráfica de y = af (bx + c) + d



es básicamente la misma que la gráfica de y = f ( x), salvo por traslaciones, reflexiones,

contracciones o amplificaciones. Las figuras 11-14 muestran cada uno de los casos de la

situación general.

a) La gráfica de y = f ( x) + c, pintada en color negro, se traslada “c > 0” unidades haciaarriba respecto a la gráfica de y = f ( x) (dibujada en color azul); en caso de que c < 0,

la gráfica se desplazará “c” unidades hacia abajo. En el caso mostrado c = 3.


FIGURA 11. La curva y = f ( x) + c.

b) La gráfica de y = f ( x + c) (en color negro) se traslada “c > 0” unidades a la izquierda

respecto a la gráfica de y = f ( x) (en color azul). En caso de que c < 0, la gráfica se des-

plazará “c” unidades hacia la derecha. En el caso mostrado c = 1.

c) La gráfica de y = cf ( x) (en color negro) se amplifica “sobre el eje y” para |c | > 1. Pa-

ra |c | < 1, la gráfica se “contrae sobre el eje y”. Además, si c < 0 la gráfica se refleja

sobre el eje “ x”. Aquí , c = −2.

y

1123 2 3

2

6

4

2

x

FIGURA 12. La curva y = f ( x + c).6

4

2

2

4

6

2 2 4 6

4

6

y

x

FIGURA 13. La curva y = cf ( x).6

4

2

2

4

6

1 1 2 323

y

x



Ejemplos

solución

d ) La gráfica de y = f (cx) (en color negro) se amplifica “sobre el eje x” para |c | < 1. Pa-

ra |c | > 1, la gráfica se “contrae sobre el eje x”. Además, si c < 0 la gráfica se refleja

sobre el eje “ y”. Aquí , c = 2.


Elementos de apoyo para el proceso de graficación:

a) Calcula el dominio de la función.

b) Calcula las raí ces de la función, en caso de ser posible. Esto es, los puntos

para los cuales f ( x) = 0; éstas proporcionan las intersecciones con los

ejes coordenados.

c) Determina si la función tiene paridad.

d ) Utiliza las operaciones de traslación y escala en la medida de lo posible.

e) Analiza el comportamiento de la función para valores de la variable indepen-

diente “muy grandes” (precisaremos esto en las secciones que abordan el te-

ma de lí mites).

x D f ∈

y

x

1

0.5

0.5

1

1.5

2

0.511.5 0.5 1 1.5

FIGURA 14. La curva y = f (cx).

Sin entrar todaví a en muchos tecnicismos, podemos decir que el siguiente procesoconstituye una buena referencia para bosquejar la gráfica de una función.

Ejemplo 11.

Con los elementos de apoyo para el proceso de graficación, elabora un bosquejo de la gráfica de la fun-ción f ( x) = x4 − x2.

a) Claramente el dominio de la función es D f = . Por lo tanto, la gráfica deberá extenderse a lo largo

de todo el eje horizontal en el plano cartesiano.




FIGURA 15. Gráfica de la función f ( x) = x4 − x2.

y

x

11.5 1 1.5

b) Observa que f ( x) = x4 − x2 = x2( x2 − 1), de donde inferimos que las raí ces son x = 0, y x = ±1. Estos puntospertenecen al dominio e indican dónde la gráfica de f corta al eje horizontal. Además con x = 0, y = 0, porlo tanto, el único punto donde la gráfica intercepta al eje vertical es el origen de coordenadas (0, 0).

Es decir, la funció

n es negativa o cero en el intervalo [−

1, 1], y es positiva fuera de ese intervalo.c) Tenemos que f (− x) = (− x)4 − (− x)2 = x4 − x2 = f ( x), así que f es una función par.

d ) Nota que para valores de x “muy grandes” (tanto positivos como negativos) x4 es mayor que x2 y lagráfica se comportará como la gráfica de la curva y = x4.

El bosquejo de la gráfica se muestra en la figura 15.

Operaciones con funciones

Existen cinco operaciones básicas que podemos realizar con funciones, a saber: suma,

resta, multiplicación, división y composición. Las primeras cuatro son muy similares a

las operaciones que usas con números, la quinta operación es muy distinta. A continua-

ción las definimos.

Definición

Operaciones con funciones.

Sean f y g dos funciones:

I. La suma, f + g, es la función que tiene regla de correspondencia ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) y dominio D

f + g = D

f ∩ D

g.

II. La diferencia, f − g, es la función que tiene regla de correspondencia ( f −g)( x) = f ( x) − g( x) y dominio D

f − g = D

f ∩ D

g.

III. El producto, f g, es la función con regla de correspondencia ( fg)( x) = f ( x) g( x)

y dominio D f g

= D f ∩ D

g.



Ejemplos

solución

Ejemplo 12.

Sean y . Encuentra las funciones f + g, f − g, f g, .

Los dominios de las funciones f y g son: .

La función suma tiene regla de correspondencia:

y su dominio es:

.

Observa que el dominio se obtiene con la intersección de los dominios de cada función y no con la re-gla de correspondencia final.

La función resta tiene regla de correspondencia:

El dominio es igual que para el caso de la suma: .

La regla de correspondencia de la función producto es:

. f g x f x g x x x

x x

x x x x x x

( )( ) = = −

+ +

= + + − − −( ) ( ) 2

3 35 2 10 6 3

9 153 2 5 3 22

D D D f g f g− = ∩ = − { }0

f g x x x x

−( )( ) = + − −2 6 53 2 .

D D D f g f g+ = ∩ = − { }0

f g x f x g x x x

x x

x x+( )( ) = + = − + + + = + +( ) ( ) 23 3

5 2 53 2 3 2

D D f g= = − { }0

g

f g x x

x( ) = + +2 3

5 f x x x

( ) = −233


IV. El cociente, , es la función con regla de correspondencia y

dominio

V. La composición de f seguida de g, g f , es la función con regla de corres-

pondencia y dominio D x D f x Dg f f go = ∈ ∈{ }| ( ) .( )( ) ( )g f x g f xo = ( )

D D D x g x f g f g / { | ( ) }.= ∩ − ∈ = 0

f

g x

f x

g x

=( )

( )

( )

f

g

La primeras cuatro operaciones tienen una aritmética similar a la de los números

reales. Por ejemplo, tienen las propiedades de asociatividad y conmutatividad. La quin-

ta operación se puede utilizar para visualizar funciones complejas, reescribiéndolas

en términos de funciones más simples. Observa que la regla de correspondencia de la

composición g f tiene sentido cuando x está en el dominio de la primera función, f

en este caso; y su imagen, f ( x), está en el dominio de la segunda función, g.



solución

El dominio es igual que para los casos anteriores: D f g

= D f ∩ D

g = − {0}.

En el caso de la función cociente, se tiene la regla de correspondencia:

.

Observa que el dominio se encuentra a partir de los dominios de cada función, eliminando aquellos va-lores en los cuales se anula el denominador. Nota que no se usa la regla de correspondencia simplificadapara el cálculo del dominio.

Ejemplo 13.

Determina las reglas de correspondencia de h ϕ y ϕ h si y .

Observa que Dϕ

= [−2, ∞) y . La regla de correspondencia de la primera composi-

ción es:

.

El dominio es como sigue:

Así que, determinamos el valor para el cual y lo quitamos del intervalo:

.

Por lo tanto, el dominio es:

Dhoϕ = − −

∪ − ∞

247

25

47

25, , .

x = −47

2525 2 3 x +( ) = ⇔5 2 3 x + = ⇔

5 2 3 x + =

= ∈ − ∞ + ≠{ } x x[ , ) |2 5 2 3

= ∈ − ∞ + ∈ − −{ }{ } x x[ , ) | ,2 5 2 3 3

D x D x Dho hϕ ϕ ϕ = ∈ ∈{ }| ( )

h x h x h x x x

oϕ ϕ ( ) = ( ) = +( ) =+( ) −

=+

( ) ( ) 5 22

5 2 3

2

25 472

Dh = − −{ } 3 3,

h x x

( ) =−

2

32ϕ ( ) x x= +5 2

= − −

0

3

2

3

24 4, , .

= −( ) − − =

{ } |0 23

03 x x

x

D D D x f xg f g f / | ( )= ∩ − ={ }0

g

f x

x x

x x

x x

x

=

+ +

−=

+ +−

( )

2

3

3

4

3 5

23

5 3

2 3




solución

Para la segunda composición ϕ h, tenemos que:

.

El dominio de esta composición es:

.

Para resolver esta última desigualdad, observemos que tenemos dos casos, a saber: x2 > 3 y x2 < 3.

Si x2 > 3 Si x2 < 3

2 2 32 2 6

2 4

2

2

2

2

2

≤ − −≤ − +

≤

≤

( );;

;

.

x x

x

x

2 2 32 2 6

2 4

2

2

2

2

2

≥ − −≥ − +

≥

≥

( );;

;

.

x x

x

x

= ∈ − −{ } − ≥ −

x x

3 32

32

2, := ∈ − −{ } −

∈ − ∞

x x

3 32

32

2, : [ , )

D x D h x Doh hϕ ϕ = ∈ ∈{ }| ( )

ϕ ϕ ϕ oh x h x

x x

x

x

( ) = ( ) =

−

=

−

+ = −

−

( ) ( )2

3

52

3

2 52 4

3

2 2

2

2


De donde, como se deben cumplir las dos

desigualdades x2 > 3 y x2 ≥ 2 se tiene que:

x ∈ −∞ −( )∪ ∞( ), ,3 3

De donde, como se deben cumplir las dos

desigualdades x2 < 3 y x2 < 2 se tiene que:

. x ∈ −[ ]2 2,

Finalmente el dominio es:

.

Nota. Es importante señalar que, el dominio de una composición de funciones se obtiene de acuerdocon la definición de composición, no con la regla de correspondencia de la función compuesta.

Ejemplo 14.

Determina la regla de correspondencia de la composición p q si y .

Los dominios son D p = − {0} y D

q = − {1}. La regla de correspondencia es:

. p q t p q t pt

t

t o( ) = ( ) =−

=

−

= −( ) ( )3

1

6

3

1

2 2

q t

t

( ) =

−

3

1

p t

t

( ) =6

D ohϕ = −∞ −( )∪ −[ ]∪ ∞( ), , ,3 2 2 3



El dominio es

Observa que el dominio − {1} no coincide con el dominio de la regla de correspondencia de la funci óncompuesta .

D t t

poq = ∈ −−

∈ −

= − { } { } { }.1

3

10 1


1. ¿Todas las relaciones son funciones?, ¿todas las funciones son relaciones?

2. Para cada una de las siguientes funciones determina su dominio, y haz lo que se pide (en caso de pe-

dirse).

a) . Calcula f (2), f (−4), f (2 + a).

b) .

c) .

d ) . Calcula ; h > 0.

e) Considera la función . ¿La función f del inciso anterior y g son la misma función?

f ) . Calcula .

3. En cada uno de los siguientes incisos, determina si la función dada es par, impar, o no tiene paridad.

a) d ) g)

b) e)

c) f ) f x x x( ) = − 3 f x

x

x( ) =

+2

7

3

2

f x x x

x x( ) =

+ ++ +

2

4 2

2 1

5 1 f x

x

x( ) =

−+

2

4

3

5

f x x( ) / = 2 3 f x x x x( ) = + −3 23 5 7 f x x x x( ) = − + +2 32 4 6

f h f

h

( ) ( )0 0+ − f x x x( ) = − +4 12 92

g x x

x( ) =

−−

3

2

f h f

h

( ) ( )3 3+ − f x

x

x( ) =

−−

3

2

f x x x x

( ) = + +− 24

3

f x x x

x( ) =

+ +−

2

4

f x x

x( ) =

−

2

216



4. Utiliza la gráfica de la función y = f ( x), mostrada en la figura 16, para graficar la función dada en ca-

da caso.

a) y = f ( x + 2) e) y = 2 f ( x − 1) i) y = 1 − 3 f ( x + 2)

b) y = 3 f ( x) f ) y = f ( x − 1) + 3 j) y = 3 + 2 f ( x − 1)

c) y = f ( x) − 4 g) y = − f ( x + 2) k ) y = 1 + 2 f (2 x − 4)

d ) y = f ( x − 3) h) y = 2 − f ( x) l) y = −1 + 3 f (0.5 x − 1)

5. Dadas f ( x) = x + 2 y , determina cuáles de los siguientes enunciados son correctos.

a) D f g

= Dg f

c)

b) d )

6. Si y g( x) = 4 x2 − 1, indica la opción que contiene el dominio de f /g.

a) c)

b) d )

7. A partir de la gráfica de la función , que se muestra en la figura 17, y de las traslaciones ycambios de escala discutidos en esta sección, grafica en el mismo sistema de referencia:

a) Las funciones y , e identifica los valores de x para los cuales se cumple:

. x

x21

4> +

h x x

( ) = +14

g x x

( ) =2

f x x( ) =

1

−∞ −( ) ∪ ∞( ), ,1 1 − −( )1 1,

− − −

11

2

1

21, , ,

f x x

x( ) =

+

−

1

12

f

g

− =( )2 0g f x x

o( ) =+

( )1

3

f

g

− =( )1 0

g x x

( ) =+1

1


FIGURA 16. La gráfica de la función y = f ( x) del ejercicio 4.

y

x224 41

1

2

3

4



b) Las funciones y , e identifica los valores de x para los cuales:

c) Para los incisos anteriores, confirma analí ticamente las respuestas halladas respecto a x.

8. Elabora un bosquejo de la gráfica de la función f ( x) = x4 − 4 x3. Considera que g( x) = 2 x − 4, constru-

ye la gráfica de la función h( x) = 6( fog)( x) + 1 sobre el bosquejo del inciso anterior.

9. Sea f cualquier función con dominio simétrico al origen, de manera tal que, si x ∈ D f , entonces − x ∈

D f . Si y , muestra que g es una función par, mientras

que h es una función impar.

10. El diámetro d de un cubo es la distancia entre dos de sus vértices opuestos. Expresa a d como una fun-

ción del lado x del cubo.

11. Un despacho contable fue construido sobre un área de 46 m2 y distribuido en dos salas, una de espera

y una oficina de acuerdo a la siguiente figura.

h x f x f x( ) ( ) ( )= − −[ ]1

2

g x f x f x( ) ( ) ( )= + −[ ]1

2

31

21 x x−

<+

h x x

( ) =+2

1g x

x( ) =

−3

1


FIGURA 17. La gráfica del ejercicio 7.

y

x

FIGURA 18. El despacho del ejercicio 11.

ala

deespera

ficina

y

x



Si cada puerta tiene una extensión de 90 centí metros, y las paredes tienen una altura de 3 metros, de-

termina:

b) La expresión que proporciona la longitud y como una función del ancho x.

c) Como una función de x, el costo que tuvo la construcción del despacho, si el costo del piso fue de

$70.00 el metro cuadrado, el del techo fue de $350.00 el metro cuadrado y el de las paredes fue

de $230.00 el metro cuadrado. Desprecia la porción de pared en el espacio de las puertas.

12. Desde un punto exterior P que se encuentra a h unidades de una circunferencia de radio r 0, se traza una

recta tangente a la circunferencia como muestra la figura 19. Sea y la distancia del punto P al punto de

tangencia T.

a) Expresa a y como una función de h.

b) Sea r 0

el radio de la Tierra y h la altitud de un transbordador espacial. Observa que en este contex-

to, y representa la distancia máxima (desde la Tierra) a la que un astronauta puede ver desde el trans-

bordador. Calcula y aproximadamente suponiendo que h = 200 millas.

FIGURA 19. La imagen del ejercicio 12.

13. Se rellena con agua un recipiente cuya forma es la de un cono invertido, como se muestra en la figura 20.

Expresa el volumen del agua del depósito en función de la altura alcanzada.


y

r p

h

T

c

FIGURA 20. El cono del ejercicio 13.

20

10

r

h



14. De un tronco circular de diámetro d se corta una viga rectangular de ancho x, observa la figura 21. Ex-

presa el área de la sección de la viga en función de x e indica el dominio implí cito de la función.

15. El triángulo rectángulo de la figura 22 se hace girar alrededor del cateto AC, a fin de formar un cono.

Expresa el volumen del cono en función de la longitud x del otro cateto. Calcula el dominio implí cito

de la función encontrada.

16. Un camión debe recorrer 360 kilómetros en una carretera plana a velocidad constante de v kilómetros

por hora. Supón que el combustible cuesta $6.50 por litro y que el consumo es de litros por

hora. Si el conductor cobra P0

(constante) pesos por hora, determina el costo del viaje en función de v.

17. Un cilindro se obtiene haciendo girar alrededor del eje x un rectángulo tal que, su base está en el eje

horizontal y queda contenido en la región comprendida entre la curva y el eje x, como se

muestra en la figura 23. Determina el volumen de este cilindro como una función de x.

y x

x=

+2 1

10120

2

+ v


FIGURA 21. La sección transversal del tronco del

ejercicio 14.

FIGURA 22. El triángulo del ejercicio 15.

FIGURA 23. La gráfica del ejercicio 17.

x d

10

C

A x B

.

.

.

.

.

y

x



Problemas para trabajar en equipo


Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-

tuaciones.

1) “El caso del libro de la editorial Pearson Educación”

Con base en la teorí a desarrollada en este capí tulo, discute con tus compañeros el problema

de la introducción y da una respuesta fundamentada a las preguntas que ah í se formulan.

2) “Envases y matemáticas”

En la figura 24 se muestran los datos de un envase de leche de un litro. Las lí neas punteadas

indican los lugares donde se dobla o corta el cartón que sirve para construir el envase. El

envase del que hablamos tiene una base rectangular y una altura h hasta donde puede llegarla leche.

a) Determina una expresión que proporcione la cantidad de material empleado para el en-

vase en función de la variable “d ”.

b) Encuentra después el valor de “h” y “d ” que producen la menor cantidad de material en

tu diseño.

c) Investiga si tus resultados se aproximan a alguno de los envases utilizados por la indus-

tria de lácteos, explica.

FIGURA 24. Envases de leche con capacidad de un litro.

1.0 cm

3d /5

1.2 cm

4d /5

h

d




1. Una estación meteorológica suelta un globo para observación a una distancia de 200 m de ella.El globo se eleva a razón de 1.5 m/s. Determina la opción que contiene la distancia D del glo-

bo a la estación, en función del tiempo t transcurrido desde el lanzamiento.

a) c)

b) d )

2. Sea para −2 ≤ x ≤ 2. Elige la opción que contiene la proposición verdadera.

a) c)

b) d )

3. Determina la opción que contiene una función par y otra impar cuya suma es la función

.

a) ; c) ;

b) ; d ) ;

4. Elige la opción que contiene la función g que satisface: ( f g)( x) = x, si .

a) c)

b) d )

5. Sea , determina la opción que proporciona el dominio de la función g = f (1/ f ).

a) Dg = − {1} c) D

g = − {1, 2}

b) Dg = − {2} d ) D

g = − {0, 1, 2}

6. Relaciona las funciones que aparecen en la columna A con su dominio, imagen y propiedadesde simetrí a que aparecen en la columna B.

Columna A Columna B

a) f ( x) = x3 − 3 x

b) f ( x) = x2 + 4 x + 4

f x x

( ) =−1

1

g x x

x( ) =

−−

3

2g x

x

x( ) =

+−

3

2

g x x

x( ) =

++

2

3g x

x

x( ) =

−+

2

3

f x x x

( ) = +−

2 31

h x x

x( ) =

−2

12g x

x( ) =

−2

12h x

x

x( ) =

−2 1g x

x( ) =

+1

12

h x x

x( ) =

−2 1g x

x( ) =

−2

1 2h x

x

x( ) =

−2 1g x

x

x( ) =

−2

1

2

2

f x x

( ) =−2

1

g x x

g x x

( ) ( )2

22 2− = +g xg x

xg x

( )( ) ( )2 2

2

+ = −

1 22

g x

g x

x( )

( )=

+1

2

22+

= −

g x

g x

x( )

( )

g x x( ) = −4 2

D t = +40 000 2 25. D t = +200 1 5.

D t = +40 000 2 25 2 . D t = +40 000 1 5 2 .

i. Dom( f ) =

ii. Dom( f ) = [0, ∞)



Respuestas a los

Ejercicios y problemas

c)

d ) y x= −4 92

y x

=+1

42


iii. Dom( f ) = [1.5, ∞)

iv. Dom( f ) = [3, ∞)

v. Imag( f ) =

vi. Imag( f ) = [0, ∞)

vii. Imag( f ) = (0, 0.25]

viii. f ( x) es par

ix. f ( x) es impar

x. f ( x) no es par y no es impar

1. No. La relación, = {(2, 3), (3, 4), (4, −1), (2, 5)} no es una función, pues (2, 3) y (2, 5) ∈ . Toda fun-ción es una relación.

2. a) ; f (−4) no está definido. y D f = − {−4, 4}.

b) D f = [−2, 4).

c) D f = (−∞, 4).

d ) . D f = (−∞, 2) ∪ [3, +∞).

e) No son la misma función, pues D f ≠ D

g, ya que D

g = [3, +∞).

f ) ; D f = .

3.

a) f es una función par.

b) f es una función par.

c) f es una función impar.

d ) f es una función impar.

e) f no tiene paridad.

f ) f no tiene paridad.

g) f es una función par.

4. En cada caso, la gráfica inicial de y = f ( x) es la de color azul. La respuesta para cada inciso es la gráfi-ca que aparece en color negro.

f h f

h

h h

h

( ) ( )0 0 4 12 9 32+ −=

− + −

f h f

h h h

( ) ( )3 3 12

+ −=

+

f a a

a( )2

2

16 2

2

2+ = +( )

− +( ) f ( )2 1

3=



5. b) y d ) son correctos.

6. d ).

7. La gráfica de ambas funciones es:


b

4 x

x 4 x

3 4 x

224 4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

3

2

1

1

2

3

4

2 2 44 x

y

34

21

1234

2 2 44 x

y

224 4

1

2

3

4

5

6

7

x

y

224

2

2

4

6

x

y

224 4

1

2

3

4

5

6

7

x

yg) h) i)

j) k ) l)

2246 4 6

6

4

2

2

4

x

y

De la gráfica se desprende que la solución a la de-sigualdad dada es: (−2, 0) ∪ (4, +∞).



a) La gráfica en color azul es la de ,

la de color negro es la de .

La solución pedida es: (−∞, −5).

h x x

( ) =+2

1

g x x

( ) =−3

1


0.5

0.5

1

1.5

2

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5 x

y

112 2 3 4 5

30

20

10

10

20

30

4050

x

y

112 3 4 5

50

50

100

150

2 x

y

8.

a) b)

La gráfica en color azul corresponde a la función y = f ( x), la de color negro a la de y = h( x).

9. Tenemos que , además:

10. .

11. .

12. a) ; b) 1 280.6 millas.

13. .

14. , D A

(imp) = [0, d ].

15. , DV (imp) = [0, 10].V V x x x= = −( )

1

31002 2

π

A A x x d x= = −( ) 2 2

V V h h= =( ) π

12

3

y r h h= +2 0

2

C C x x x

= = + +( ) 18 078 2 07063 480

d d x x= =( ) 3

h x f x f x f x f x f x f x h x( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − − − −[ ] = − −[ ] = − − −[ ] = −1

2

1

2

1

2

g x f x f x f x f x g x( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )− = − + − −[ ] = − +[ ] =1

2

1

2



16. .

17. .V V x x x

x= = −

+( )( )( )

π

2

2 2

1

1

C C vv

P v= = +[ ] +( ) .360

65 19 50


1. c)

2. a)

3. d)

4. b)

5. c)

6. (a, i, v, ix), (b, i, vi, x), (c, i, vii, viii), (d, vi, viii)



Impuestos por sueldos y salariosLos gobiernos, para financiar el gasto público, gravan con im-

puestos a la población. Estos recursos sirven para fortalecer

los servicios que el estado ofrece, para propiciar la distribución

de la riqueza y para fomentar la producción y el empleo. Con

todo, los impuestos son un tema que preocupa a gobernantes

y ciudadanos porque,aunque todos debiésemos aportar dine-

ro de forma proporcional y equitativa ya que todos salimos

beneficiados, no se cuenta con un esquema justo. Pero ¿por

qué es tan difícil ponerse de acuerdo en la cantidad que debe

aportar cada quien?

Para entender la problemática, recordemos que básicamen-

te existen tres tipos de impuestos (al consumo, al patrimonio yal ingreso) y cada uno de ellos tiene características diferentes.

Al primero también se le conoce como impuesto al valor agre-

gado (IVA), y se aplica a todos los bienes que son sujetos de compra. El

impuesto al patrimonio es el que se paga por tener propiedades (vehículos,

casas o terrenos). Mientras que el impuesto al ingreso es el que se paga por

recibir un salario o sueldo, este último también es conocido como impuesto

sobre la renta (ISR). El dilema es el siguiente: Si se aplica un IVA a todos

los bienes, por ejemplo, el 10% de su valor, el sistema de recaudación sería

simple pero las personas con menos recursos pagarían proporcionalmente

lo mismo que las personas con mayores ingresos.Si se aplica sólo el ISR,en-

tonces los mecanismos de recaudación serían complejos pero pagarían más

los que obtienen más recursos. Casi siempre una combinación de estos dos

impuestos es la mejor solución.

Sin embargo, ¿por qué es complicado el cálculo de los impuestos?, ¿se-

ría posible generar una fórmula simple y compacta que los contribuyen-

tes pudiéramos usar para calcular nuestros impuestos? Para responder a

estos cuestionamientos, considera que sólo se aplica el ISR y que éste se

encuentra diferenciado en función de los ingresos totales. Por ejemplo, en

la tabla 1 se muestran los datos para el cálculo del ISR para sueldos y sala-

rios en México para el año 2004.

1.2: Biblioteca de funciones básicas 37

Uno de los principales objetivos de la

investigación teórica es encontrar el

punto de vista desde el cual un tema

aparece en su forma más simple.

Josiah Willard Gibbs

FIGURA 1. Las facturas son un mecanismo quepermite determinar cuántoimpuesto se paga por un artículo.

1.2 Biblioteca de funciones

básicas



Introducción

• ¿Cómo podrías definir entonces una función f ( x) cuyos valores corres-pondan al impuesto que ha de pagar alguien que tenga ingresos grava-bles por x pesos? ¿Cómo sería su gráfica?

• Después de reducir los impuestos, ¿cuál sería el ingreso neto I ( x) de uncontribuyente que ganara x pesos?, ¿cómo sería su gráfica?


Límite inferior Límite superior Cuota fija Porcentaje sobreexcedente

$0.01 $5 270.20 $0.00 3.00 %

$5 270.21 $44 732.10 $158.07 10.00 %

$44 732.11 $78 612.70 $4 104.20 17.00 %

$78 612.71 $91 383.85 $9 864.06 25.00 %

$91 383.86 $109 411.33 $13 056.85 32.00 %

$109 411.34 En adelante $18 825.55 33.00 %

Tabla 1 Tarifas mexicanas ISR en el ejercicio fiscal 2004, según el

artículo 177 de la Ley del ISR (LISR).

En esta sección presentamos un conjunto de funciones básicas: polinomiales,

racionales, algebraicas y seccionadas. Discutiremos el dominio y la ima-gen de cada una de ellas y estableceremos diversos mecanismos para obtenersus gráficas. Las utilizaremos para resolver diversos problemas. Las funcio-nes polinomiales suelen ser muy utilizadas porque pueden aproximarse a unavariedad de fenómenos (depreciación lineal, áreas, volúmenes, etc.). Las fun-ciones racionales y algebraicas son usadas en muchos ámbitos; por ejemplo,en física se utilizan para modelar la fuerza gravitacional o el cambio de lamasa inercial. Las funciones seccionadas abren muchas posibilidades de aná-lisis; por ejemplo en economía, para el estudio de los impuestos. La situacióninicial sobre el cálculo del ISR nos hace ver la importancia de su estudio.

Objetivos

Al terminar esta sección tendrás la capacidad para:

a) Conocer las funciones polinomiales, racionales, algebraicas yseccionadas.

b) Construir las gráficas de funciones lineales y cuadráticas.c) Resolver problemas que requieren funciones lineales.d ) Resolver problemas de optimización donde aparecen funciones

cuadráticas.



Funciones polinomiales


e) Modelar situaciones que requieren funciones polinomiales, racionales,algebraicas y seccionadas.

f ) Determinar el dominio de funciones polinomiales, racionales, algebraicasy seccionadas.

g) Conocer las funciones valor absoluto, escalón unitario y máximo entero.

El dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales,mientras que la imagen depende del grado. Los tipos más simples de funciones polinomia-les son las lineales y las cuadráticas. Analicemos con mayor detalle estas funciones.

Definición de función polinomial.

Una función polinomial de grado n es una función con regla de correspondencia

donde los coeficientes a0, a1,…, an

son constantes reales arbitrarias y an ≠ 0.

f x a x a x a x ann

nn( ) = + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

−

−1

11 0

I. Funciones lineales.

Las funciones polinomiales de grado cero o uno, f ( x) = a1 x + a0, se conocen comofunciones lineales.

La gráfica de estas funciones es una línea recta y para construirla basta con conocerdos puntos, ( x1, y1) y ( x2, y2), que estén sobre ella. El significado de los coeficientes queaparecen en la función es claro: a1es la pendiente de la recta y a0 es la ordenada al ori-gen o intersección de la recta con el eje vertical y. En efecto, como

y

la pendiente de la recta que une los puntos es:

Para obtener la ordenada al origen basta con sustituir x = 0 en la función, así que f (0) = a0. Observa que a0 = y1 − a1 x1, de donde obtenemos que:

f x a x a a x y a x

a x x y

( )

( )

= + = + −= − +

1 0 1 1 1 1

1 1 1

m y y

x x

a x a a x a

x x

a x a x

x xa= −

− = + − +

− = −

− =2 1

2 1

1 2 0 1 1 0

2 1

1 2 1 1

2 11

( ) ( )

y a x a2 1 2 0= + y a x a1 1 1 0= +




ésta es una forma alternativa de escribir una función lineal y se aplica cuando se conocela pendiente y un punto por donde pasa la recta. En la figura 2 se muestran la gráfica deuna función lineal y sus características.

Imagen de una función lineal f ( x ) = a1 x + a

0.

• Si a1 = 0, entonces, la imagen es el conjunto {a0}.

• Si a1 ≠ 0, entonces, la imagen es el conjunto de los números reales

.

II. Funciones cuadráticas.

Las funciones polinomiales de grado dos, f ( x) = ax2 + bx + c con a, b y c cons-tantes arbitrarias y a ≠ 0, se conocen como funciones cuadráticas.

FIGURA 2. La gráfica de una función lineal. Sobre la recta se tienen los puntos ( x0, y0) y ( x1, y1).Observa que a0 está sobre el eje vertical, mientras que a1 se identifica con lapendiente de la recta.

Finalmente, la imagen de una función lineal depende del coeficiente a1. En efecto,

Otro tipo de funciones de gran utilidad, y que siguen en simplicidad a las lineales, sonlas funciones cuadráticas, que se definen como sigue:

Las gráficas de este tipo de funciones son parábolas con eje focal paralelo al eje y.Recuerda que, en este caso, la parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo sia < 0, tal y como se muestra en la figura 3.

x1 0

x0 x1

a0

y1

y0

1 0

y

x

a0 y 1 x1

1 y0

1 x0




La imagen de la función se determina claramente si se conoce la altura a la que se en-

cuentra el vértice de la parábola. Para calcularlo observa que:

de aquí resulta que y = ax2 + bx + c equivale a

,

de donde el vértice de la parábola es

y la imagen de la función cuadrática es:

Este resultado permite establecer el siguiente criterio, que usaremos en los ejercicios.

I

ac b

a

a

ac b

aa

f =−∞

−

<

−∞

>

,

,

si

si

4

4

0

4

40

2

2

V b

a

ac b

a= −

−

2

4

4

2

,

y ac b

aa x

b

a−

−= +

4

4 2

2 2

ax bx c a x b

a x

b

a

c

a

b

a

a x b

a

ac b

a

2 22

2

2

2

2 2

2

4 4

2

4

4

+ + = + +

+ −

= +

+

−

FIGURA 3. Aspecto general de una función cuadrática. En la ilustración a) la parábola abre hacia

arriba porque a > 0. La curva abre hacia abajo cuando a < 0, como se muestra en la

ilustración b).

x

a) b)

y

x

y




Criterio de valores máximos y mínimos de una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c .

Si a > 0, la función obtiene su valor mí nimo en y ese valor es

.

Si a < 0, la función obtiene su valor máximo en y ese valor es

. f ac b

amáx =

−4

4

2

x b

a= −

2

f ac b

amí n = −4

4

2

x b

a

= −2

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Supón que una máquina se deprecia linealmente. Su valor hace 5 años era de $200 000.00 y ahora

vale $110 000.00. Determina el valor de la máquina en términos del número de años transcurridos,

así como el precio de la máquina para el siguiente año. Bosqueja su gráfica y determina su dominio

implí cito.

Denotemos con V el valor de la máquina (en miles de pesos) y con n el tiempo transcurrido (en años)

desde hace 5 años, es decir, n = 0 hace 5 años. Observa que V es la variable dependiente. Como la de-preciación es lineal, los datos dados corresponden a dos puntos por donde pasa la recta (0, 200) y (5,

110), así que la pendiente es

y la ecuación que relaciona V con n es

Observa que la pendiente indica la depreciación anual de la máquina (en miles de pesos). Es decir, ca-

da año la máquina se deprecia m = 18 mil pesos. El valor de la máquina para el año siguiente se obtie-

ne sustituyendo n = 6 en la f órmula anterior, esto es:

mil pesos

Por otro lado, nota que V (n) no puede ser negativa, y que si la máquina se compró exactamente hace 5

años, como supondremos, tampoco n puede ser negativa. En este caso, la gráfica queda en el primer

cuadrante; pero si la máquina se hubiera comprado hace más de 5 años, son válidos algunos valores

negativos para n, y parte de la gráfica estarí a también en el segundo cuadrante. Advierte también que el

dominio no es el intervalo [0, ∞), porque para ciertos valores de n, como por ejemplo n = 100, el valor

V ( ) ( )6 18 6 200 92= − + =

V n n( ) .= − +18 200

m V V

n n=

−−

= − = −1 0

1 0

90

518



solución

de V resulta negativo; entonces, ¿hasta qué valor de n tiene sentido V ? La respuesta es simple: hasta que

V (n) = −18n + 200 = 0, es decir, hasta que la depreciación lleve a la máquina a no tener valor. Al despejar

obtenemos , por lo que el dominio implí cito de esta función es el intervalo En la

figura 4 se muestra la gráfica de la depreciación lineal.

0100

9

, .

n =

100

9


Ejemplo 2.

Bosqueja la gráfica de la parábola y = 2 x2 − 12 x + 19 y determina su imagen.

Antes de construir la gráfica necesitamos reescribir la función y determinar el vértice de la parábola.Factorizando el coeficiente del término cuadrático obtenemos

El coeficiente del término lineal se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, después se suma y se resta la

misma cantidad para no alterar la expresión original, así obtenemos

Al factorizar y simplificar encontramos que:

La gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (3, 1) y puede obtenerse a

partir de la gráfica de y = 2 x2, trasladando esta última tres unidades hacia la derecha y una unidad

hacia arriba; la gráfica de la función pedida se muestra en la figura 5. Claramente, la imagen es el in-

tervalo [1, ∞).

y x= − +2 3 12( )

= − +( ) + −

2 6 9

19

2

92 x x .

y x x= − + −( )( ) + − −( )

2 6 319

232 2 2

y x x= − +

2 619

2

2 .

FIGURA 4. Gráfica del problema de depreciación lineal.

V

n



solución

Ejemplo 3.

Determina las dimensiones del terreno rectangular de mayor área que se puede cercar con 2 p metros de

alambre.

Sean x y y las dimensiones del terreno. El perí metro es 2 p metros por lo que

2 x + 2 y = 2 p, de aquí y = p − x

Por lo tanto, el área es

La gráfica del área es una parábola que abre hacia abajo, por lo cual existe un valor de x que produce

un área máxima. Para obtener este valor, observemos que la parábola tiene vértice en

y que el valor máximo corresponde a la segunda coo rdenada p2/4, que se obtiene cuando x = p/2 me-

tros. Es decir, si las dimensiones del terreno son:

y, , ambas medidas en metros, y p p p

= − =2 2

x p=

2

− −

= −

−− −

−

=

b

a

ac b

a

p p p p

2

4

4 2 1

4 1 0

4 1 2 4

2 2 2

,( )

,( )( )

( ),

A xy x p x x px= = −( ) = − +2 .


FIGURA 6. El rectángulo de área máxima con el perí metro dado es el cuadrado.

2

x

y

FIGURA 5. La gráfica inicial de y = 2 x2 (en lí nea punteada) se convierte en la gráfica de

y = 2( x − 3)2 + 1 al trasladarla 3 unidades a la derecha y una hacia arriba.

x

y



solución

entonces, el área máxima será:

, medida en metros cuadrados.

Por lo tanto, el rectángulo de área máxima con perí metro dado es el cuadrado.

Ejemplo 4.

Se pretende fabricar una caja con tapa partir de una pieza rectangular de cart ón de 44 centí metros de

largo y 18 de ancho. Para ello se cortarán rectángulos y cuadrados en las esquinas, como se muestra en

la figura 7. Posteriormente, se doblará la pieza sobre las lí neas punteadas para formar la caja.

a) Encuentra el volumen V de la caja en función de x y determina el dominio implí cito de la fun-

ción.

b) Esboza la gráfica de la función V = V ( x).

c) Estima la situación óptima, ¿cuál es la imagen de la función?

A p

m áx =2

4


FIGURA 7. Base para la construcción de la caja.

a) Sin entrar en muchos detalles, el volumen de la caja es el área de su base A por la altura de la caja

x, es decir, V = Ax. Ahora bien, para determinar el área de la base, sea “a” su largo y “b” su ancho.

Observa que:

x + a + x + a = 44, o 2 x + 2a = 44 o x + a = 22

de manera similar,

x + b + x = 18 o b + 2 x = 18.

De esto, resulta que:

a = 22 − x y b = 18 − 2 x,

por lo tanto,

V V x Ax x x x= = = − −( ) ( ) ( )22 18 2

cm apaase

cm

x

x

x

x



Por otra parte, para el dominio implí cito de la función, debemos considerar que x no puede ser ne-

gativa, esto es, x ≥ 0. Además, como a = 22 − x ≥ 0 y b = 18 − 2 x ≥ 0, debe cumplirse que x ≤ 22 y

x ≤ 9; como deben satisfacerse ambas condiciones, concluimos que x ≤ 9. Así resulta que

b) Con la función V ( x) construimos la tabla 2, y con ésta nos ayudamos para hacer un esbozo de la grá-

fica (ver figura 8).

c) Determinar la condición óptima de una situación significa sacar el mejor provecho de los recursos

con los que se cuentan. Por ejemplo, en este caso, desearí amos obtener la caja de mayor volumen

que puede fabricarse con la pieza rectangular de cartón descrita. Como puedes apreciar, la gráfica

no permite dar con exactitud el valor de x donde pueda hallarse el valor máximo del volumen; no

obstante, sí nos deja intuir que este valor es cercano a x = 4. Si comparas la gráfica de la figura 8

con la tabla 2, observarás nuevamente que el valor donde se alcanza el máximo de la función es cer-

cano a x = 4. Finalmente, si aceptamos que V es máximo cuando x = 4, deducimos que I v = [0, 720].

D imp f ( ) [ , ]= 0 9


FIGURA 8. El volumen de la caja.

x x

0 0

1 336

2 560

3 684

3.2 697.856

3.4 708.288

3.6 715.392

3.8 719.264

4.0 720

4.2 717.696

5 680

6 576

7 420

8 224

9 0

Tabla 2 Tabulación básica

de V V (x).V x

x



solución

Ejemplo 5.

Un comerciante renueva y vende llantas para automóviles. El costo de renovación de cada llanta es de

$200.00 incluyendo gastos fijos y variables. Actualmente, el comerciante vende cada llanta en $300.00,

y a ese precio puede asegurarse la venta de 280 llantas al mes (en promedio). Él quiere mejorar sus

ganancias, y con este fin, decide incrementar su precio unitario de venta. Por intuición, considera que

por cada incremento de $20.00 al precio de venta, el número de unidades vendidas disminuirá en 10.

a) ¿Qué relación existe entre las utilidades y el número de incrementos de $20.00 en el precio de

venta unitario?

b) Encuentra la relación que existe entre el precio de venta unitario y el número de incrementos de

$20.00.

c) Halla una relación entre las utilidades y el precio de venta de cada llanta.

d ) ¿Qué precio deberí a fijar el comerciante a la venta unitaria para obtener una utilidad máxima?

e) De acuerdo al inciso d), haz una comparación entre sus ingresos actuales y los que podrí a obte-

ner si modificara su precio de venta unitario. f ) Determina el dominio implí cito e imagen de la función hallada.

Considera que:

• Todo lo que el comerciante renueva se vende.

• Se desprecia el efecto que tenga el incremento o decremento en la producción sobre los costos.

La tabla 3 condensa la idea general de la solución. En ella las columnas indican:

n: el número de incrementos de $20.00 sobre el valor actual de venta. p: el precio de venta unitario.

N : el número de llantas vendidas al mes en promedio.

I : los ingresos mensuales totales.

U : las utilidades totales mensuales.


n p

0 300 + 20(0) 280 − 10(0) [300 + 20(0)][280 − 10(0)] [300 + 20(0)][280 − 10(0)] − 200[280 − 10(0)]

1 300 + 20(1) 280 − 10(1) [300 + 20(1)][280 − 10(1)] [300 + 20(1)][280 − 10(1)] − 200[280 − 10(1)]

2 300 + 20(2) 280 − 10(2) [300 + 20(2)][280 − 10(2)] [300 + 20(2)][280 − 10(2)] − 200[280 − 10(2)]

… … … … …

n 300 + 20(n) 280 − 10(n) [300 + 20(n)][280 − 10(n)] [300 + 20(n)][280 − 10(n)] − 200[280 − 10(n)]

Tabla 3 La tabla condensa la idea general del razonamiento.



Aunque no siempre es posible desglosar la solución de un problema como en este caso, observa que,

de ser posible, el enfoque aritmético proporcionarí a la generalización algebraica. De la tabla anterior,

podemos generar f ácilmente las siguientes respuestas.

a) De la última columna y la última fila de la tabla 3, leemos que:

observa que, es aquí donde se usa la consistencia en los costos de producción y el hecho de que

todo lo que se produce se vende.

b) Considera la última fila de la segunda columna de la tabla 3. Encontramos ah í que:

c) Ahora, deseamos hallar una expresión que proporcione las utilidades del comerciante en térmi-

nos del precio de venta unitario. De b) obtenemos que ; luego, si utilizas a), halla-

rás que:

d ) Nota que la gráfica de U = U ( p) corresponde a una parábola que abre hacia abajo, luego, la fun-ción presenta un máximo precisamente en el vértice. Aunque tenemos una f órmula para hallar el

vértice de una parábola, la siguiente es una idea alternativa: Si calculamos las raí ces de una fun-

ción cuadrática, el vértice es el punto medio entre éstas. Por lo tanto, si en este caso las raí ces

son p = 200 y p = 860, entonces, el máximo se hallará cuando p = 530. En estas condiciones, la

utilidad máxima ascenderí a a $54 450.00 mensuales.

e) Si contrastas el monto del inciso d) con la utilidad actual, que asciende a $28 000.00 mensuales,

llegarás a la conclusión de que, bajo este modelo, el comerciante está dejando de percibir $26

450.00 mensuales.

f ) Claramente p ≥ 0, y en términos razonables, esperarí amos que

Por lo tanto debe suceder que p ≥ 200 y p ≤ 860. Si nos quedamos con las condiciones más res-

trictivas a fin de que todas las condiciones se cumplan, concluiremos que DU (imp) = [200, 860].

Finalmente, por d), obtenemos de manera inmediata que I U = [0, 54 450].

U p p p( ) .= −[ ] −[ ] ≥1

2 200 860 0

U p p p

p p

( ) = + −

− −

= −[ ] −[ ]

200 5300

2028

300

20

1

2200 860

n p=

− 300

20

p p n n= = +( ) 300 20

U n n n n

n n

n n

( ) [ ( )][ ( )] [ ( )]

[ ( ) ][ ( )]

[ ][ ]

= + − − −= + − −= + −

300 20 280 10 200 280 10

300 20 200 280 10

200 5 28





Funciones Racionales

Dejaremos para más adelante el estudio general de la graficación de estas funciones.

Por el momento, sólo explicaremos un método muy sencillo para construir las gráficasde funciones racionales del tipo

y .

El método se basa en el siguiente resultado de números recí procos:

f xax bx c

( ) =+ +1

2 f x

ax b( ) =

+1

Definición de función racional.

Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinomiales.

Es decir:

con an ≠ 0 y b

m ≠ 0 es una función racional. Su dominio es:

D x b x b x b x b f m

mm

m= ∈ + + ⋅⋅ ⋅ + + ≠{ }−−

11

1 0 0

f x a x a x a x a

b x b x b x b

nn

nn

mm

mm

( ) ,= + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

+ + ⋅⋅ ⋅ + +−

−

−−

11

1 0

11

1 0

Regla de números recíprocos.

Si u > 1, entonces ; y si u < −1, entonces .− < <11

0u

01

1< <u

Paso 1. Graficar la función g( x) = ax + b (o f ( x) = ax2 + bx + c) y las rectas y = ±1

sobre un mismo esquema.

Paso 2. Determinar las raí ces de las ecuaciones ax + b = 0 (o ax2 + bx + c = 0) y gra-

ficar la recta vertical (o las rectas verticales ) sobre

el esquema anterior.

Paso 3. Aplicar el resultado de los recí procos. En otras palabras: en la regióndonde la recta (o parábola) tenga una ordenada mayor que 1, la curva recí proca

tendrá imagen entre 0 y 1; en donde la recta (o parábola) sea menor que −1, la

curva buscada estará entre −1 y 0, etc.

x b b ac

a=

− ± −2 4

2 x

b

a=

−

Por ejemplo, si queremos construir la gráfica de la función f ( x) = 1/ x, primero grafica-

mos g( x) = x y las rectas y = ±1, x = 0 sobre un mismo esquema. Posteriormente, aplicamos



113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x

113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x

113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x

113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x

113 2 32

1

1

3

2

2

3

y

x

la regla de los recí procos. Así , construimos las gráficas de las funciones (ver figuras

9a-9d):

, y

Nota. Generalmente, las gráficas de funciones como se obtienen

haciendo primero la división de polinomios y posteriormente efectuando operaciones de

traslación y escala. Las gráficas de funciones del tipo requieren

considerar los casos en que la variable x es positiva o negativa, y cuándo es mayor o me-

nor, en magnitud, a 1.

En las figuras 9e y 9f se muestran las gráficas de las funciones y

. f x x

x( ) = +2 1

f x x

x( ) =

−2 1

f x x

ax bx c( ) =

+ +2

f x cx d

ax b( ) =

++

f x x

( ) =−

1

12

f x x

( ) =+

1

12

f x x

( ) =1

2


a) b) c) f x x

( ) =+

1

12 f x x

( ) =12

f x x

( ) =1

d ) e) f ) f x x

x( ) =

+2 1 f x

x

x( ) =

−2 1 f x

x( ) =

−1

12

FIGURA 9. Gráficas de funciones racionales usando la regla de los números recí procos.




En el capí tulo 3, relativo a lí mites y continuidad, mostraremos que, en general, las

funciones racionales delatan un comportamiento muy interesante cerca de los puntos

donde la función no está definida. Sin más detalles, sólo indicaremos que estas gráficas

pueden presentar huecos y saltos infinitos.

Ejemplos

solución

Ejemplo 6.

Un objeto está ubicado en un punto A entre dos fuentes luminosas (ver figura 10). Si las fuentes están

separadas entre sí 20 metros y una es tres veces más potente que la otra, ¿qué expresión proporciona

la intensidad de la iluminación en el objeto?

Para resolver el problema es necesario recordar que la intensidad de iluminación I , producida por una

fuente en un punto Q, es directamente proporcional a su potencia e inversamente proporcional al cua-

drado de la distancia de separación entre la fuente y el punto. Es decir, si P es la potencia y d la distancia,entonces , donde k es una constante de proporcionalidad.

Por otro lado, si la potencia de la fuente menos potente es P0, entonces la otra tendrá una potencia

igual a 3P0. Si las distancias de las fuentes al punto A son como se muestran en la figura 10, entonces,

para ciertas constantes de proporcionalidad, k 1

y k 2, tenemos que:

que es una función racional con D I (imp) = (0, 20). Suponiendo que las constantes de proporcionalidad

son iguales se tiene que:

La figura 11 muestra la gráfica de , y de su suma; salvo por el factor,

ésta es la gráfica de la intensidad. Observa que alrededor de x = 12 se tiene la intensidad de ilumina-

ción mí nima.

y x

2 2

1

20=

−( ) y

x1 2

3=

I k P x x= + −

1 0 2 2

3 1

20( )

I k P

x

k P

x= +

−3

201 0

22 0

2( ),

I k P

d = 2

FIGURA 10. Distribución de las distancias entre las fuentes luminosas y el punto.

Po Po

x x A



solución

Ejemplo 7.

Se quiere construir una lata para refresco en forma de cilindro circular recto con un volumen de 355

ml. Si suponemos que la cantidad de material es uniforme en cada parte de la lata, determí nala como

una función del radio de la base.

Para resolver este problema, considera que r es el radio de la base, h la altura de la lata y C la cantidad

de material utilizado para construir la lata. Esta última cantidad está formada por los materiales de la

base y de la tapa, que son cí rculos, más el material del cuerpo del cilindro, que es un rectángulo (verfigura 12), es decir:

C r r rh r rh= + + = +π π π π π2 2 2 22 2 2 cm


FIGURA 11. La gráfica de la intensidad de iluminación.

5 10 15 20

0.05

0.05

0.1

0.15

0.2 y

x

FIGURA 12. Descomposición de las áreas de una lata cilí ndrica.

Observa que C quedó expresada en términos de dos variables independientes, el radio y la altura, por

lo que es necesario escribir la altura en términos del radio. El volumen de un cilindro es π r 2h, por las

h

r



condiciones del problema sabemos que éste es igual a 355ml = 355cm3, así que . Por lo

tanto,

Observa que en este problema r debe ser positiva, por lo tanto DC (imp) = (0, +∞).

C f r r r r

r r

= = + = +( ) .2 2 355 2 7102

2

2π π

π

π

hr

=355

2πcm


1 716.283

2 380.1333 293.215

4 278.031

5 299.080

6 344.528

7 409.305

8 490.874

9 587.827

10 699.319

Tabla 4 Los valores

de C C (r ).

3.5 279.826

3.6 278.652

3.7 277.909

3.8 277.571

3.9 277.619

4 278.031

4.1 278.791

4.2 279.883

4.3 281.292

4.4 283.006

4.5 285.012

FIGURA 13. La función C = C (r ).

En la figura 13 se muestra la gráfica de la función C (r ) y sus funciones componentes. En la tabla 4 se

muestra el comportamiento numérico de la misma función C (r ). En ambos esquemas, se deduce que la

cantidad de material mí nima es 277.57cm2, que se obtiene cuando r ≈ 3.8.

Funciones algebraicas

Definición de función algebraica.

Una función algebraica fundamental se define como f ( x) = (Q( x))1/n, donde Q( x)

es una función racional. En general, una función algebraica es aquélla donde

aparece, al menos, una función algebraica fundamental.

2 4 6 8 10

200

400

600

800

C

x



y

xa a

a

y

x

a

y

xaa

Las funciones algebraicas elementales que nos interesan, por el momento, son las si-

guientes:

y

Las gráficas de todas ellas son parte de alguna curva cónica y,

por esa razón, muy simples de graficar.

En efecto, si consideramos la función y hace-

mos y = f ( x), tenemos que:

o y2 = x − a

que corresponde a una parábola que abre hacia el lado positivo del

eje x; de esta gráfica sólo debemos considerar aquella que cumple

y ≥ 0. En la figura 14 se muestra la gráfica de la función; clara-

mente, el dominio y la imagen son, respectivamente, D f = [a, ∞)e I

f = [0, ∞).

De la misma forma, es la parte superior de un

cí rculo de radio a ya que, si hacemos y = f ( x), se tiene que:

y2 = a2 − x2 o x2 + y2 = a2

De forma similar, las gráficas de las otras funciones son parte de hipérbolas. En

la figura 15 se muestran las gráficas, los dominios y las imágenes de todas estas fun-

ciones.

f x a x( ) = −2 2

y x a= −

f x x a( ) = −

f x x a( ) .= −2 2 f x x a( ) = +2 2

f x a x( ) ,= −2 2 f x x a( ) ,= −


FIGURA 14. La gráfica de la función algebraica

elemental que es parte de una parábola.

a) , b) , c) ,e e e I f = ∞[ , )0 D a a f = −∞ − ∪ ∞( , ] [ , ) I a f = ∞[ , ) D f = −∞ ∞( , ) I a f = [ , ]0 D a a f = −[ , ]

f x x a( ) = −2 2

f x x a( ) = +2 2

f x a x( ) = −2 2

FIGURA 15. Las gráficas de funciones algebraicas fundamentales que forman parte de una cónica.

y

xa

x) √



Ejemplos

solución

Ejemplo 8.

Construir la gráfica de las funciones y .

Primero, reescribimos el radicando usando el proceso de completar el trinomio cuadrado:

Si hacemos y = f ( x) obtenemos

.

Al despejar la raí z y elevar al cuadrado resulta

Si simplificamos, se obtiene finalmente que:

.

Ésta es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto (−2, −1), que se abre alrededor del eje ho-

rizontal y = −1 y que tiene vértices en (−5, −1) y (1, −1). Recuerda que los vértices se obtienen hacien-

do y = −1 en la ecuación y despejando la variable x. Para construir la gráfica de y = g( x), utilizamos laregla de los números recí procos; ambas gráficas se muestran en la figura 16.

12

9

1

9

2 2

= +

− +( ) ( ) x y

( ) ( ) . y x+ = + −1 2 92 2

y x= + − −( )2 9 12

x x x x x2 2 24 5 4 4 9 2 9+ − = + + − = + −( )

g x x x

( ) =+ − −

1

4 5 12 f x x x( ) = + − −2 4 5 1


a) b)

FIGURA 16. Las figuras de dos funciones algebraicas recí procas.

g x x x

( ) =+ − −

1

4 5 12 f x x x( ) = + − +2 4 5 1

2

28

y

x

1

y

x



solución

..1. .

1

0.5

1.5

2

2.5

y

x

0.5

0.5

1.5 y

x


Para construir la gráfica de y = g( x), observa que la función es par, sólo toma valores positivos, tiene valor

máximo igual a 1 cuando x = 0 y, a partir de este punto, decrece para valores cada vez mayores de x

(ver figura 18b). La función g es un caso particular de la familia conocida como función de densidad

T de Student, que aparece en la teorí a de probabilidades:

, con v = 1, 2, 3…

Ejemplo 11.

Un cilindro tiene iguales medidas de altura y diámetro. Expresa su volumen V , en función de su super-

ficie lateral S .

f x A x

vv

v

( ) = +

− +

12

1

2

FIGURA 18. Las gráficas de las funciones del ejemplo 10.

a) b) g x x

( ) / =

+( )1

1 2 3 2 f x

x( ) =

−

1

1 2

FIGURA 19. Cilindro con altura y diámetro iguales.

h

r

Sea r el radio del cilindro y su altura h = 2r . Su volumen es

V r h r r r = = =π π π 2 2 32 2( )




solución

mientras que su superficie lateral es

.

Despejando r de esta última relación y sustituyendo en V se tiene que:

, o bien,

Ejemplo 12.

Se inscribe un cilindro dentro de una esfera de radio R. Determina una expresión para el volumen del

cilindro en términos del radio de su base.

En la figura 20 se muestra un cilindro inscrito dentro de una esfera de radio R. Supongamos que el ci-

lindro tiene una altura h y un radio de base r . De la figura se tiene que:

De donde,

Usando esta relación, se tiene que el volumen del cilindro en términos del radio r es:

V r r h r R r ( ) = = −π π 2 2 2 22

h R r = −2 2 2

hr R

2

22 2

+ =

V S S ( ) =1

4

3

2

π

V S

=

24

3

π

π

S r h r = =2 4 2π π

FIGURA 20. El cilindro inscrito en la esfera.

h/

R

r




Funciones Seccionadas

En algunas situaciones, no siempre es posible que una única regla de correspondencia

defina con claridad una función. Por ejemplo, algunas compañí as telef ónicas ofrecen un

precio por llamada si se realizan menos de n llamadas, y una reducción en el precio porllamada si el número es superior. En este caso es conveniente utilizar un tipo de función,

que llamaremos seccionada, para describir la situación, y cuya definición presentamos a

continuación.

Definición de función seccionada.

Una función seccionada es una función que, para relacionar x con y, requiere de

varias reglas de correspondencia. Cada una de estas reglas tiene su propio do-

minio y, para asegurar que se tiene una función, la intersección de los dominios

tomadas por parejas es vací a. Es decir, una función seccionada tiene la forma

con para i, j = 1, 2,…, n e i ≠ j. D Di j∩ = ∅

f x

f x x D

f x x D

f x x Dn n

( )

( )

( )

( )

=

∈∈

∈

1 1

2 2

si

si

si

L L L

El dominio de este tipo de función es la unión de los dominios de cada una de sus sec-

ciones . La imagen es la unión de todos los resultados factiblescuando se aplica la regla de correspondencia en cada sección de la función, en otras

palabras, la imagen es la unión de las imágenes de cada regla de correspondencia res-

tringida a su dominio. La gráfica se construye trazando por separado la gráfica de cada

sección. Para evaluar una función seccionada en un punto se debe

ubicar en que sección está el punto y aplicar la regla de corresponden-

cia respectiva.

Por ejemplo, considera la función seccionada:

El dominio es . La gráfica (ver figu-

ra 21) la constituyen la recta y = x, restringida a valores negativos de x,

y la parte de la parábola y = 1 − x2, que se obtiene para valores de x en-

tre 0 y 2. De la misma gráfica, es claro que I f = (−3, 1].

Las funciones valor absoluto, escalón unitario y máximo entero

son algunas de las funciones seccionadas más importantes. Éstas se

definen como sigue:

D f = −∞ ∪ = −∞( , ) [ , ) ( , )0 0 2 2

f x x x

x x( ) =

<− ≤ <

si

si

0

1 0 22

D D D D f n= ∪ ∪1 2L

FIGURA 21. La gráfica de la función

seccionada y = f ( x).

112 2

1

3

2

1

y

x




Funciones seccionadas importantes

• Función valor absoluto

D f = e I

f = [0, ∞)

• Función escalón unitario o de Heaviside

D H

= e I H

= {0, 1}

Esta función tiene importantes aplica-

ciones en el estudio de circuitos eléc-

tricos porque permite distinguir si un

circuito está abierto o cerrado.

• Función máximo entero

M ( x) = x = n si n ≤ x < n + 1, n ∈

D M

= e I M

=

H x x

x( ) =

<≥

0

1

si 0

si 0

f x x x x

x x( ) = = − <

≥

si 0

si 0


valor absoluto.


valor escalón unitario.


máximo entero.

x

1

y x

x

21123

3

2

1

1

2

y x

x



Ejemplos

solución


Ejemplo 13.

Traza la grafica de la función . Determina su dominio, su imagen, y

evalúa f (−1), f (0), f (1), f (2) y f (4). Reescribe la función usando la función escalón unitario.

La primera sección corresponde a una parábola con vértice en (0, 4) que abre hacia abajo; la segundasección es una recta, como puede verse en la gráfica de la figura 25. A partir de la gráfica, se deduce queel dominio (valores de x) es [0, ∞) y la imagen (valores de y) es (0, ∞). Finalmente, los valores que sepiden son:

• f (−1) no existe porque x = −1 no pertenece al dominio de la función.

• f (0) = 4 − (0)2 = 4

• f (1) = 4 − (1)2 = 3

• f (2) = 2 + 2 = 4

• f (4) = 4 + 2 = 6

f x x

x( ) =

− ≤ <+ ≤ < ∞

4

2

2 si 0 x 2

si 2 x

FIGURA 25. Gráfica de la función y = f ( x).

Observa ahora que si a < b

De donde obtenemos finalmente, que:

f x x H x H x x H x

x H x x x H x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= − − −[ ] + + −

= − + + − −

4 2 2 2

4 2 2

2

2 2

H x a H x b x a

x a

x b

x b

x a

a x b

x b

( ) ( )− − − = <

≥ − <

≥ =

<

≤ <≥

0

1

0

1

0

10

si

si

si

si

si

sisi

11 2 3 4 5 6 71

1

2

3

4

5

6

7 y

y




solución

solución

solución

Ejemplo 14.

Escribe la función como una función seccionada.

Para suprimir el valor absoluto se debe tomar en cuenta que:

Entonces,

o

Ejemplo 15.

Escribe la siguiente función en forma compacta utilizando la función valor absoluto.

Observa que el segundo y el tercer término de cada sección son iguales, salvo por el signo; de tal ma-

nera que puedes escribir:

Por lo tanto, para todos los números reales se tiene que .

Ejemplo 16.

Dadas las funciones y , encuentra f + g y f /g.

El dominio de f + g es la intersección de D f = [0, 4) y D

g = [1, ∞). D

f + g = [1, 4). En el intervalo [1, 4),

f ( x) = x2 y ; por tanto, la regla de correspondencia de la suma es .( )( ) f g x x x+ = + −2 1g x x( ) = −1

g x x( ) = −1 f x x

x( ) = − ≤ <

≤ <1

2 si 0 x 1

si 1 x 4

f x x x( ) = + −3 2 42

f x x x x

x x x( )

( )

( )=

− − − <+ − − ≥

3 2 4 2 4 0

3 2 4 2 4 0

2

2

si

si

f x x x x

x x x( ) =

− + <+ − ≥

3 2 4 2

3 2 4 2

2

2

si

si

f x

x a

a x

x a

a

a x x a

( ) =

−

−

<

− ≥

2si

si f x

x x a

a x

x a

x x a

a x x a

( )

( )

( )=

+ −

−

<

− −−

≥

si

si

x a x a x a

x a x a− =

− − <− ≥

( ) si

si

f x x x a

a x

( ) = − −

−



solución

solución

El dominio del cociente es (1, 4), ya que x = 1 debe excluirse porque g(1) = 0 y esto indetermina al

denominador. La regla de correspondencia para el cociente es .

Ejemplo 17.

Dadas las funciones y , determina el producto fg.

El dominio de fg es el conjunto de los números reales, puesto que D f = D

g = . La regla de correspon-

dencia de fg es, en principio, una función seccionada. Para expresarla, se encuentran primero los inter-

valos en donde ninguna de las dos funciones cambie de regla de correspondencia. El primer intervalo

es (−∞, 0) porque en x = 0, la función g( x) cambia de − x a x, mientras que f ( x) = x + 2 no cambia. El

segundo intervalo es [0, 1] porque en x = 1, f ( x) cambia de x + 2 a x − 3. Finalmente, el último intervalo

es (1, ∞), en donde f ( x) = x − 3 y g( x) = x. El resultado es el siguiente:

Ejemplo 18.

Una agencia cobra $6 000.00, como mí nimo, para llevar hasta 30 excursionistas a las pirámides deTeotihuacán. Por cada excursionista por arriba de los 30, y hasta un total de 40, se cobran $100.00

adicionales. Si suponemos que el costo se divide por partes iguales entre el total de viajeros, deduce

una función que exprese el costo que cada uno debe pagar en función de la cantidad total n de excur-

sionistas.

Si el número de excursionistas n es menor o igual a 30, es decir, si n = 1, 2, 3, …, 30, entonces, cada

uno tiene que pagar . Si son más de 30, el excedente de excursionistas se puede expresar como

n − 30 y el costo del viaje será 6000 + 100(n − 30), que se puede simplificar como 3000 + 100n. Por

lo tanto, cada uno deberá pagar , o bien . Lo que se puede expresar como:

C n nn

nn

( ), , , ,

, , ,=

=

+ =

60001 2 3 30

1003000

31 32 40

si

si

K

K

100 3000+n

3000 100+ n

n

6000

n

( )( )

( )

( )

( )

fg x

x x x

x x x

x x x

si

si 0

si

=− + <

+ ≤ ≤− <

2 0

2 1

3 1

g x x( ) = f x x x

x x( ) =

+ ≤− >

2 1

3 1

si

si

f

g x x

x

= −( )

2

1

f

g




1. Si A es una función lineal de B, entonces, ¿es B una función lineal de A?

2. Da respuesta a cada uno de los siguientes cuestionamientos.

a) ¿Toda función polinomial es una función racional?

b) ¿Toda función racional es una función polinomial?

3. Construye la gráfica de las siguientes funciones lineales.

a) f ( x) = 3 x − 2 c) f ( x) = −2 x + 7 e) f ( x) = 2 x − 3

b) f ( x) = − x + 5 d ) f ( x) = −5 x + 1 f ) f ( x) = 4 x + 1

4. Construye la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, y determina su imagen.

a) f ( x) = 2 x2 + 3 x − 2 c) f ( x) = − x2 + 4 x + 7 e) f ( x) = −2 x2 + 6 x − 2

b) f ( x) = x2 + x − 2 d ) f ( x) = 4 x2 + 5 x f ) f ( x) = ( x − 2)(4 − x)

5. Para las siguientes funciones racionales, elabora su gráfica y determina su dominio e imagen.

a) c) e)

b) d )

6. Determina el dominio de las siguientes funciones algebraicas y después elabora su gráfica.

a) c) e)

b) d )

7. Grafica las siguientes funciones seccionadas y determina su dominio e imagen.

a) e)

b) f )

c)

d ) f x x x

x x

( ) = < <

+ ≥

30 2

7 2

si

si

f x x x

x x( ) =

+ < −− ≥

2

2

1 1

1 1

si

si

f x

x x

x x

x x x

( )

( )=

− < −

− − ≤ ≤− <

1 1

1 1

2 1

3

si

si

si

f x x x

x x( )

=

− <

− ≥

2 2

1 22

si

si

f x x x x

x x

( ) = − <

+ ≥

3 2 15

41

2 si

si f x

x x

x x( ) =

+ <− ≥

2 3 3

5 2 3

si

si

f x x x( ) = −4 42 f x x( ) = −16 2

f x x x( ) = + − − +2 2 2 f x x( ) = + −16 32

f x x( ) = −4

f x x x

( ) =+1

2 f x

x( ) =

−3

4

f x x x

( ) =− −

4

10 32 f x x

x( ) =

+−

2 4

3 1 f x

x( ) =

−2

3 1




8. Traza la gráfica de las siguientes funciones.

a) c) e)

b) d ) f )

9. Traza la gráfica de las siguientes funciones.

a) e)

b) f ) f ( x) = 1 − x2

c)

d ) f ( x) = 2 x + 1

10. Calcula la función producto ( fg)( x) si,

y

11. Dos compañí as rentan autos. La compañí a “Autoveloz’’ renta un auto por $500.00 por dí a más $17.00

por kilómetro recorrido, en tanto que en la compañí a “Autoseguro’’ la renta diaria del mismo auto es

de $750.00 más $9.00 por kilómetro recorrido. Haz un estudio de la situación y determina qué com-

pañí a es la más económica.

12. Una cuerda de 10 centí metros se corta en dos tramos para formar con uno de ellos un cuadrado y con

el otro un triángulo equilátero. Si x representa la longitud del lado del cuadrado, expresa la suma de

áreas del cuadrado y del triángulo en función de x.

13. Una pelota de básquetbol se encuentra con poco aire. Para poder jugar con ella, necesitas aumentar su

radio de r a r + 1 centí metros. Encuentra una función que represente la cantidad de aire requerido para

inflar la pelota.

14. Se cuenta con 1 500 cm2 de cartón para construir una caja con base cuadrada y sin tapa, encuentra el

volumen como función del lado de la base de la caja. ¿Cuál es el volumen si la caja debe tener tapa?

15. En una huerta de manzanas se estima que, si se siembran 24 árboles por hectárea, cada árbol adulto

producirá 600 manzanas; la producción disminuirá en 4 unidades de la fruta por cada manzano adicio-

nal plantado en la misma extensión. ¿Cuál es la producción máxima de manzanas en esa huerta?

16. Un campo petrolero en Chiapas, México, tiene ocho pozos que producen un total de 16 000 barriles de

crudo al dí a. Por cada pozo nuevo que se tiene, la producción media de cada uno disminuye en 100

barriles diarios. ¿Cuántos pozos adicionales se deben construir para obtener la mayor producción de

crudo al dí a?

17. Un cultivador de frutas cí tricas estima que, si se plantan 60 naranjos, cada árbol producirá un prome-

dio de 400 naranjas. La producción media por árbol disminuirá en 4 unidades de la fruta por cada plan-

ta adicional que se tenga en el área. Calcula la cantidad total de árboles que el cultivador deberí aplantar para maximizar la producción.

g x x x

x x( ) =

+ <≤

1 2

4

si

si 2 f x

x x

x( )

/ =

− − < <≤

2 1 2 1

1 4

si

si 1

f x x x H x x H x( ) ( ) ( ) ( )= + − + − −2 3 2 2 2

f x x H x x H x( ) ( ) ( )= − + −1 5 6

f ( x) = x

2 + 4+ 4 f x H x( ) ( )= −4 2

f x x x( ) = +2 f x x( ) = −1 2

f x x

x( ) =

f x x

x( ) =

− +1 1 f x

x

x( ) =

2

f x x( ) = − −3 2





18. Una compañí a de autobuses está dispuesta a alquilar sus vehí culos sólo a grupos de 35 o más personas.

Si un grupo consta de 35, cada persona paga $60.00. En grupos mayores, las tarifas de todos los inte-

grantes se reduce en 50 centavos por cada persona adicional. Expresa los ingresos de la compa ñí a de

autobuses como una función del tamaño del grupo, elabora la gráfica y estima qué tamaño de grupomaximizará los ingresos.

19. La librerí a del ITESM-CEM compra un libro de Cálculo a una editorial en $150.00 por ejemplar y

lo vende a $215.00. A este precio, ha vendido 200 ejemplares por mes. El establecimiento comercial

planea bajar el precio para estimular las ventas, y calcula que por cada $5.00 que rebaje del precio,

se venderán 20 libros más cada mes. Expresa la utilidad mensual de la librer í a por la venta de ese

libro como una función del precio de venta, dibuja la gráfica y estima el precio óptimo de venta.

20. El dueño de un complejo de 100 departamentos sabe por experiencia que todas las unidades serán ocu-

padas si la renta es de $2 000.00 por mes. Un estudio de mercado sugiere que, en promedio, una unidad

permanecerá vacante por cada $100.00 de incremento en la renta.

¿Qu

é renta debe cobrar el due

ñopara maximizar la ganancia?

21. Un granjero cuenta con 750 metros de cerca y quiere rodear un área rectangular y dividirla en cua-

tro corrales con cercas paralelas a los lados del rectángulo. ¿Cuál es la mayor área posible de los cuatro

corrales?

22. Considera la familia de funciones f ( x) = 1/ xn, donde n es un entero positivo.

a) Grafica las funciones y = 1/ x y y = 1/ x3 en un mismo sistema de coordenadas.

b) Haz lo mismo para las funciones y = 1/ x2 y y = 1/ x4.

c) ¿Qué conclusiones puedes obtener de estas gráficas?

23. Grafica la función f ( x) = x4 + cx2 + x para distintos valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica?

24. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicí rculo. Si el perí metro

es de 30 decí metros y no se usa material en la unión del rectángulo y el semicí rculo,

a) Expresa el área A de la ventana como una función del lado x de la base.

b) Obtén la grafica de la función A = A( x) y determina su dominio e imagen.

c) Encuentra la mayor área posible de la ventana.

25. Una caja abierta se construye de una pieza rectangular de cartón de 10 × 20 centí metros, cortando cua-drados iguales en cada esquina y doblando los lados resultantes. Determina el volumen de la caja en

función del lado “ x” de cada cuadrado que se corta.

26. A partir de un trozo circular de papel de radio R, una empresa elabora conos para beber agua al recor-

tar un sector y unir los bordes CA y CB, como se muestra en la figura 26. Expresa el volumen del

cono como una función de su altura H .



27. La orilla superior izquierda de un pedazo de papel, de 20 centí metros de ancho por 30 centí metros de lar-

go, se dobla hacia el extremo derecho como se muestra en la figura 27. Sea f la función que asigna al va-lor de x el cuadrado de y, es decir, y2 = f ( x). Encuentra la expresión que determina esta correspondencia.


FIGURA 26. Elaboración de conos. El cí rculo de radio R para construir los conos.

Los puntos A y B se unen para formar el cono.

FIGURA 27. El problema de la hoja de papel.

28. La función de demanda nos muestra las cantidades que se pueden vender de cierto producto en función

del precio, mientras que la función de ingresos está dada por R = pq donde q es la cantidad que se puede

vender al precio p. i) Determina la función de ingresos R(q), si la función de demanda es lineal.

ii) Suponiendo que , determina la ecuación de demanda.

29. Muchos vendedores de camisetas al menudeo se surten en el mercado de Mixcalco, donde compran

cada camiseta a $50.00. Si compran al menos tres prendas de un mismo tipo, reciben un descuento de

$5.00 por camiseta. El descuento es de $10.00, a partir de la compra de dos docenas. Sin embargo, el

mercado está situado en una zona de tráfico complicado en pleno Centro Histórico, y una persona que

quiere ir a Mixcalco tiene que pagar en promedio $180.00 de taxi en total. Si estas mismas camisetas

se pueden comprar en un centro comercial a $70.00, ¿cuál debe ser el número mí nimo de prendas que

debe comprar un comerciante, a fin de que le sea más conveniente ir al mercado de Mixcalco?

R q q( ) =

A B

C

H R

r

C

A B

x

y




30. Cada mes, una compañí a telef ónica cobra una cuota fija de $375.00 además de las llamadas de larga

distancia que se efectúan. El costo de la larga distancia nacional es de $0.50 por minuto si el tiempo es

menor a 200 minutos, y $1.00 por cada minuto adicional, si el tiempo de larga distancia es mayor a 200

minutos. Escribe una expresión que proporcione la cantidad que pagará una persona al mes como unafunción del tiempo de larga distancia que ocupa. ¿Cuál es el número máximo de minutos de larga

distancia que puede acumular una persona que tiene un presupuesto de $650.00 mensuales para el

pago del teléfono?

31. En un circuito, una fuente de voltaje aplica 240 volts durante cinco segundos consecutivos; inmediata-

mente después, suspende por 6 segundos el suministro; vuelve a aplicar 240 volts por otros 8 segun-

dos, y suspende indefinidamente el suministro. Escribe una expresión para el voltaje V (t ) en términos

de la función escalón unitario.

32. Antonio se encuentra en una lancha a un kilómetro de B (el punto más cercano de una playa rectilí nea),

y ve salir humo de su casa, que está 2 kilómetros playa arriba de B. Él se imagina que puede remar a

1 kilómetro por hora y correr a 8 kilómetros por hora. Si el punto de desembarco es A, que está a una

distancia x de B, determina una expresión para el tiempo que le llevará a Antonio llegar a su casa en

términos de x.

33. Anita comienza a caminar en un punto P de un camino recto y desea llegar a una cabaña en el bosque,

que está a dos kilómetros de un punto Q, a tres kilómetros camino abajo de P (ver figura 28). Ella pue-

de caminar a 8 km/hr por el camino, pero a sólo 3 km/hr en el bosque. Escribe una expresión para el

tiempo requerido para llegar a la cabaña en términos de la distancia recorrida en el camino.

FIGURA 28. El problema de Anita.

FIGURA 29. El problema de los dos poblados.

34. En el mismo lado de un rí o recto hay dos poblados, y sus habitantes desean construir una estación de

bombeo S que les suministre agua. La estación debe estar al borde del rí o, con tuberí a recta hacia los

dos poblados. Las distancias se muestran en la figura 29. Escribe una expresión para la longitud total

de la tuberí a a usar en términos de la distancia x.

Cam no

2Bosque

Ca añ

x

oblado

oblado




mite inferior mite superior Cuota fi a Porcenta eso re exce ente


Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes

situaciones.

1) “Las matemáticas y las tasas de impuestos ISR”

Para la situación inicial de este capí tulo, responde las preguntas siguientes:

• ¿Cómo podrí as definir entonces una función f ( x) cuyos valores correspondan al impues-

to (ISR) que ha de pagar alguien que tenga ingresos gravables por x pesos? ¿Cómo serí asu gráfica?

• Después de reducir los impuestos, ¿cuál serí a el ingreso neto I ( x) de un contribuyente que

gana x pesos? ¿Cómo serí a su gráfica?

• ¿Cuánto debe pagar una persona que tiene ingresos por $5 000.00 y otra que tiene ingre-

sos por $35 000.00?

• De acuerdo a la ley del ISR, se aplican subsidios para reducir el pago de impuestos y

finalmente, se usa una tabla con una tarifa integrada (tabla 6) para su cálculo final. Con

esta información, responde nuevamente las preguntas anteriores.

• Visita el portal WEB de la Secretarí a de Hacienda para obtener las tablas de subsidios

y de impuestos del año 2005 y responde nuevamente las preguntas de los tres prime-

ros puntos.

0.01 5,270.20 0.00 1.50

5,270.21 44,732.10 79.10 5.00

44,732.11 78,612.70 2,052.07 8.50

78,612.71 91,383.85 4,932.40 12.50

91,383.86 109,411.33 6,528.49 16.00

109,411.34 220,667.02 9,412.93 19.80

220,667.03 347,801.60 31,441.28 23.10

347,801.61 En adelante 60,428.06 33.00

Tabla 6. Tarifa integrada para el cálculo del impuesto sobre la renta,

correspondiente al ejercicio de 2004.

2) “De inflación en inflación”

Busca en la página del Banco Central de tu paí s los datos sobre la tasa de inflación en los

últimos doce meses. Ajusta con Excel la curva que te parezca más apropiada y con esa

f órmula, haz una predicción de la inflación para el siguiente mes.




b) Grafica el número de investigadores del área de ingenierí a y ajusta un polinomio de

grado 2. ¿En cuánto tiempo se tendrán 2 500 investigadores?

c) El número de cientí ficos dedicados a la f í sica, las matemáticas y las ciencias de la

Tierra aumenta linealmente. ¿Cómo es la función que muestra este comportamiento?¿En qué año se tendrán 5 000 investigadores en estas áreas?

d ) Ajusta el número de patentes nacionales solicitadas. ¿Qué observas? ¿En cuántos años

más, de no cambiar la tendencia, se llegará a tener sólo 100 patentes nacionales soli-

citadas?

e) Ajusta ahora el número de patentes extranjeras solicitadas. ¿En qué año serán 15 000?

f ) Ajusta el gasto nacional dedicado a ciencia y tecnologí a. ¿En qué año se tendrá un gasto

de 100 mil millones?

g) Se estima que en el año 2000 el producto interno bruto (PIB) fue de 460 mil millones de

dólares. ¿En qué año el gasto en ciencia y tecnologí a será el 2.5% del PIB, suponiendo

que éste se mantiene constante?

h) A la luz de los datos, ¿cuál es tu opinión sobre el desarrollo de la ciencia y la tecnologí aen nuestro paí s en el futuro?

Periodo Total

Fí sica,

á

e la Tierra

í

Quí mica

Ciencias

ociales

Medicina

de

la salud

Humanidades

y Ciencias de

la conducta Ingenier í a

Biotecnologí

y ciencias

agropecuaria

1992 6602 1099 1363 526 849 575 1218 972

1993 6233 1168 1377 527 914 596 836 815

1994 5879 1225 1279 563 950 590 572 700

1995

5868 1281 1235 586 1022 627 465 6521996 5969 1329 1247 606 1074 663 427 623

1997 6278 1436 1314 650 1118 673 463 624

1998 6742 1571 1406 703 1172 675 530 685

1999 7252 1621 1435 721 1266 738 642 829

Tabla 7 Número de investigadores nacionales reportados

en el INEGI.

Perio o

Patentes solicita as

Total Nac. Ext.

Patentes conce i as

Total Nac. Ext.

1990 5061 661 4400 1619 132 1487

1991 5271 564 4707 1360 129 1231

1992 7695 565 7130 3160 268 2892

1993 8212 553 7659 6183 343 5840

1994 9944 498 9446 4367 288 4079

Tabla 8 Número de patentes nacionales y extranjeras de

1990 a 1994.



Periodo TotalAdministración

central

Centrosde enseñanza

superior públicosEmpresaspúblicas


1990 2 035 1 433 589 14

1991 3 156 2 169 987 0

1992 3 613 2 606 858 149

1993 4 588 3 134 1 065 389

1994 5 766 3 677 1 692 397

1995 6 484 4 585 1 670 229

1996 8 840 5 961 2 456 422

1997 13 380 8 179 2 835 2 366

1998 17 789 11 542 3 077 3 170

1999 18 788 12 343 3 981 2 464

2000 22 923 13 892 4 629 4 402

Tabla 9 Gasto en ciencia y tecnología en millones de pesos

por sector.

1. En cierta empresa se producen dos tipos de artí culos, W y M . Cada artí culo tipo W requiere 4

minutos de máquina para ser elaborado, mientras que cada artí culo tipo M requiere 3 minutos

de máquina para fabricarse. Si se disponen de 480 minutos diarios de máquina, determina la

cantidad de artí culos tipo W que pueden producirse en términos del número de artí culos tipo

M producidos por dí a.

a)

b)

c)

d )

2. Un salón para fiestas alquila el lugar con cena a $300.00 por persona hasta 120 personas. Si

hay más de 120 personas, el precio disminuye en $5.00 por persona. El cupo máximo del

W M = +1203

4

W M = +1604

3

W M = −1604

3

W M = −1203

4



salón es de 160 lugares y el salón sólo se alquila para grupos de 80 o más personas. Determina

la función que define el costo del salón.

a)

b)

c)

d )

3. Dada , indica la opción correcta.

a) Dom f =

b) f (1) no existe

c) f (2) puede ser 8 o −2

d ) f (0) = 2

4. Dada . Indica la opción correcta.

a) f ( x) = 1 si x ∉ [−1, 1]

b) f ( x) = 1 − 2 x2

si x ∈ [−1, 1]b) f (0) = −1

b) f (−1) = 1

5. La masa inercial M de un objeto cambia con la velocidad v, de acuerdo a

Donde M 0

es la masa en reposo y c la velocidad de la luz en el vací o. ¿Para qué velocidad, la

masa inercial de un objeto es igual al doble de la masa en reposo?

a)

b)

c)

d ) v c= −( )1 2

v c= 3

v c= −12

2

v c= 32

M v M

v

c

( ) =

−

0

2

21

f x x x( ) = − −2 21

f x

x x

x x( ) = ≤ −

− >

3

2

1

2 1

si

si

f x x x

x x x( ) =

≤ ≤− < ≤

300 80 120

900 5 120 1602

si

si

f x x x

x x( ) =

≤ ≤− < ≤

300 80 120

900 5 120 1602

si

si

f x x x

x x x( ) =

≤ ≤− < ≤

300 80 120

295 120 1602

si

si

f x

x x

x x x( ) = ≤ ≤

+ < ≤

300 80 120

900 5 120 1602

si

si




6. Relaciona las funciones que aparecen en la columna A con sus respectivas gráficas que apare-

cen en la columna B.

Columna A Columna B

a) f ( x) = − x2 + 2 x

b)

c)

d )

e)

f ) f x H x( ) ( )= −4 2

f x x

( ) = −

+1

12

f x x x( ) = − +2

f x x

( ) =−1

42

f x x( ) ( )= − +1 2 2


I. II.

III. IV.

V. VI.

1 3

y

x

x

224 4

3

2

1

1

2

3 y

x

1 212

2

1.5

1

0.5

0.5

1 y

x

2.5 2 1.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1 y

x




Respuestas a los


1. Sí . En efecto, si A = A( B) = mB + c, entonces ; una función lineal.

2. a) Sí , b) No.

3.

B B Am

A c

m= =

−( )

1

4.

1123 2 3

107.5

5

2.5

2.5

5

y

x

1123 2 3

10

5

5

10

15 y y

x

1123 2 3

3

4

56

7

8 y

x1123 2 3

2

4

68

10

12 y

x

1123 2 3

2

2

4

68

x

1123 2 3

10

5

5

10

y

x

a) c)b)

d ) f )e)

1

25 y

x

8

y

x

y

x

a) b) c) I f = −∞( , ]11 I f = − ∞[ / , )9 4 I f = − ∞[ / , )25 8




5.

6.

y

1 2

x

3

x

3

10

15

y

5

x

y15

x

y

x

y40

2 3

x

30

2

y

3

y

x

1.

.

y

x

2

x

2 4 1

y

x

22

d ) e) f ) I f = −∞( , ]1 I f = −∞( , / ]13 2 I f = − ∞[ , )1

a) b) c) D f I f = − = − { / }, { / }1 3 2 3 D f I f = − = − { }, { }4 0 D f I f = − = − { / }, { }1 3 0

d ) b) D

I

f

f

= − −= −∞ ∪ ∞

{ , },

( , ) [ / , )

5 2

0 4 49

D

I

f

f

= − −= −∞ − ∪ ∞

{ , },

( , ] ( , )

0 1

4 0

a) b) c) D f = D f = −[ , ]4 4 D f = −∞( , ]4




7.

8.

10

8

64

2

21 3 4

x

y

21234

8

6

4

2

21 3 4 x

y

21234

10

5 6

5

721 4

y

2.51

5

7.5

7.5

2.5

3

4

21 2 3 4

4

12

68

1012

y

x

y

x

20

10

2 4 64 210

20

30

10864

21 2 3 4 5 6

64221

y

x

y

x

4

2

1 2 3 4

4

2

2

1

4

6

8

y

x

4

1 3 4

2

3

1

211

2

2

21

2

3

2

1

2 4 6

x

y y

x

1.5

0.51

1 2 3

1.5

0.5

1

3 2 1

y

x

1.5

0.51

1 2 33 2 1

22.5

3

d ) e) D f = −∞ − ∪ ∞( , ] [ , )1 2 D f = −∞ ∪ ∞( , ] [ , )0 1

d ) e) f ) D I f f = = − ∞, [ , )1 D I f f = = −∞, ( ,1 D I f f = ∞ = ∞( , ), ( / , )0 3 2

a) b) c) D

I

f

f

= −∞ − ∪ ∞

= −∞ ∪ ∞

( , ) [ , ),

( , ] ( , )

1 1

0 2 D I f f = = −∞, ( , )0 D I f f = = −∞, ( , )9

a) b) c)




10.

11. Sea x el número de kilómetros recorridos. Si x < 31.25, la compañí a Autoveloz resulta más económica;para x > 31.25, es más conveniente alquilar el auto en Autoseguro. Si x = 31.25, resulta indistinto quécompañí a se utilice.

12. ; .

13. .V r r r ( ) ( )= + +4

33 3 12

π

D impS ( ) [ , . ]= 0 2 5S x x x

( ) = + −( )2

23 10 4

36

( )( )

( )( )

f g x

x x x x

x

x x

=

− + − < <+

≤ <

≤

2 1 1 2 11

41 2

2

si

si

si

9.

y

x

1.5

0.51

1 2 33 2 1

2

2.5

3

112 2

0.51

2

1.5

y

x

0.5

1

3

2

1

2 44 2

2

x

y

1

d ) e) f )

y

x

1.

y

30

x

y

x

1

y

x

1..

4

y

2 x

y

43.5

1. x

..

a) b) c)

d ) e) f )




14. Sin tapa , con tapa

15. Pmáx = 30 276, que se obtiene con 87 árboles.

16. Con 76 pozos adicionales se tendrán 84 pozos, y la producción máxima es 705 600 barriles.

17. Se deben plantar otros 20 árboles para tener un total de 80 árboles, que producirán 25 600 naranjas.

18. I ( x) = 77.5 x − 0.5 x2, el tamaño del grupo debe ser 77 o 78 personas, que producirán $3 003.00

19. U ( p) = ( p − 150)(1060 − 4 p), el precio óptimo es $207.50, que darán una utilidad de $13 225.00.

20. La renta debe ser $6 000.00, entonces tendrá 60 departamentos ocupados y cobrará $360 000.00 al mes.

21. 15 625 m2.

a) La gráfica punteada corresponde b) La gráfica punteada corresponde a y = 1/ x3.

a y = 1/ x3. La curva sólida es y = 1/ x2. La curva sólida es y = 1/ x2.

V x x

x( ) .= −( )4

1500 2 2V x

x x( ) = −( )

41500 2

23. Las gráficas siguientes corresponden a valores de c iguales a −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Observa quela gráfica pasa, de tener dos mí nimos y un máximo, a tener sólo un mí nimo.

y8642

1 2 3 x

246

2 13

y8642

1 2 3 x

246

2 13

y8642

1 2 3 x

246

2 13

y

86

4

2

1 2 3 x

2

4

6

2 13

y

86

4

2

1 2 3 x

2

4

6

2 13

y

8642

1 2 3 x

246

2 13

y

4

0.5 1.5 x

2

0.5 .

y

. 1. x

.1.

a b



24.

a)

b) La gráfica corresponde a la de una parábola que abre haciaabajo como se muestra en la siguiente figura. Se tiene que

D A(imp) = [0, 16.803] y hallando el vértice, determinamosque I A

= [0, 63.0112]

c) Amáx

(16.803) = 63.0112.

25. .

26. .

27. .

28. Si suponemos la función de demanda .

29. 28.

30. , el tiempo máximo es 375 minutos.

31. .

32. con 0 ≤ x ≤ 2.

33. con 0 ≤ x ≤ 3.

34. . L x x x= + + − +1 32 82 2

t x x x= +

− +

8

13 6

3

2

t x x

= + + −2 12

8

V t H t H t H t H t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − + − − −[ ]240 5 11 19

C t t t

t t ( )

.=

+ ≤+ >

375 0 5 200

275 200

si

si

p a bq R q aq bq q

p

= + = + =: ) , )i ii( ) 22

1

y f x x x

x

2 2210

10= = +

−( )

V V H R H H = = −( )( ) π

3

2 3

V V x x x x= = − −( ) ( )( )20 2 10 2

A A x x x x x= = − − +( ) ( )1

460 2

8

2π

π


y86

4

2

1 2 3 x

246

2 13

y86

42

1 2 3 x

2

46

2 13

y86

42

1 2 3 x

246

2 13

y

60

5040

3020

10

2.5 5 7.5 10 12.5 15 x




1. a)2. d)

3. b)

4. b)

5. a)

6. (a, ii), (b, vi), (c, iv), (d, i), (e, v), ( f , iii)



Unidad

Funcionestrascendentes



2.1 Funciones exponenciales y

logarítmicas

2.2 Funciones trigonométricas

Henri Bergson, en su obra Evolución creadora, señaló: “ La inteligencia humana se caracteriza por su falta natu-ral de comprensión de la vida”. Por ello, quizá podamos decir que la ciencia comienza donde el sentido comúntermina. Lo que para el sentido natural es “increíble” o “imposible”, para la ciencia sólo se trata de limitaciones dela época. Un ejemplo de esto lo constituye el sueño de viajar a la Luna. La ciencia logró cambiar la expresión “es

imposible viajar a la Luna” por “todavía no hemos inventado un medio para llegar a la Luna”. Lo imposible desdela perspectiva del sentido común se convirtió en una realidad de la ciencia el 20 de julio de 1969 dentro del programaespacial llamado Apolo. Los viajes al espacio exterior constituyen uno de los tantos sueños que la incansableinventiva humana ha permitido lograr a nuestra especie. Pero sin el desarrollo de la matemática, fantasías como elviaje a la Luna seguirían siendo sólo eso, fantasías inalcanzables.

La parte de las matemáticas que estás por estudiar en este capítulo te llevará por el conjunto de funciones quecompletará nuestra biblioteca básica de las mismas. Funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y tri-gonométricas inversas forman parte del sueño de viajar a la Luna. De manera particular y muy elemental podemos

comentar que las funciones exponenciales y logarítmicas permiten determinar la velocidad mínima requerida para“escapar” de la atracción terrestre, y que las funciones trigonométricas dan el sustento para las telecomunicacio-nes imprescindibles para un viaje como éste. Pero no sólo esto: si un viaje a la Luna no forma parte de tus sueños,habrá que decir que este tipo de funciones te permitirá describir el crecimiento de una población, el desarrollo deuna epidemia, el crecimiento del capital y del interés, la variación de la rapidez de muchas reacciones químicas, lacantidad de calor cedida por un cuerpo caliente al ambiente, la proporción en la cual disminuye la cantidad totalde una sustancia radiactiva, etcétera. En general, todo proceso en el cual la variación de crecimiento o decrecimientosea proporcional al estado actual, podrá ser descrito por alguna forma de la función exponencial. Por otro lado, es



Función exponencial

Abundaremos un poco más sobre cuestiones de inversión: las tasas de interés se especificanusualmente como tasas nominales anuales, aun cuando los intereses se acumulen men-sualmente como en las cuentas maestras, o diariamente como en las llamadas inversio-nes integrales. La tasa aplicable a un periodo de capitalización es la proporción co-

rrespondiente. Una tasa nominal anual i corresponde a una tasa mensual de cuando

la capitalización es mensual, o cuando la capitalización es diaria4. El monto anual

efectivo que produce una tasa nominal i cuando hay n capitalizaciones en un año se puedecalcular mediante

En el capítulo 3 veremos que, para valores grandes de n, esta expresión prácticamen-te no depende de n y se “estabiliza” en aproximadamente K

n ≈ K 0(2.7182)i. Cuando n es

arbitrariamente grande, se habla de una capitalización continua y la “estabilización”ocurre en el número de Euler e = 2.718281…, un número irracional. En este caso, el sal-do anual de la inversión será K = K 0e

i. Considerando t años, obtenemos que las fórmu-las del saldo son:

, para n capitalizaciones en un año.

K = K 0eit = K 0(e

i)t = K 0bt , para capitalización continua, aquí b = ei.

Más allá de la situación discutida sobre inversiones, este tipo de funciones tiene tantasaplicaciones que bien vale la pena asignarle un nombre y estudiar sus propiedades, así tenemos la siguiente definición:

K K i

nn

nt

= +

0 1

K K i

nn

n

= +

0 1

i

360

i

12

86 Unidad 2: Funciones trascendentes

Objetivos

Al terminar la sección tendrás la capacidad de:

a) Definir la función exponencial y trazar su gráfica.b) Definir la función logaritmo y trazar su gráfica.c) Definir el concepto de función inversa y establecer la relación existente

entre la gráfica de una función y la de su inversa.d ) Modelar situaciones que den lugar a funciones exponenciales y/o logarít-

micas.e) Resolver ecuaciones con logaritmos y exponenciales.

4 Para mayor comodidad en el cálculo, comercialmente se consideran años de 360 días.



Nota.

a) La restricción b < 0 se necesita para garantizar que el dominio de la función sea elconjunto de los números reales, una base negativa puede producir números comple-

jos, mientras que b = 0 nos da el resultado poco útil f ( x) ≡ 0 y una indeterminación en x = 0.

b) Supón que f (t ) = A0bt , donde la variable t representa tiempo, y que no conoces el

valor de b. Si conoces los valores de la función en t 0 y en t 0 + 1, entonces

. En otras palabras, el valor de la base en una función expo-

nencial es precisamente el factor de crecimiento o decrecimiento de la función, cuan-do la variable independiente se incrementa en una unidad de tiempo.

c) Si ahora conoces los valores de f (t 0) y de f (t 0 + m) cuando m > 0 y desconoces el

valor de b, observa que , pero: , por lo tanto

.

Gráfica de la función exponencial

Mediante tabulación se puede esbozar la gráfica de la función exponencial para diferen-tes bases. Para A0 = 1, tenemos que:

b f t m

f t

m

= +

( )

( )0

0

1

f t m

f t

A b

A bb

t m

t m( )

( )0

0

0

0

0

0

+= =

+

b f t m

f t ≠

+( )

( )0

0

f t f t

A b A b

b

t

t ( )( )0

0

0

1

01

0

0+ = =+

872.1: Funciones exponenciales y logarítmicas

Definición de la función exponencial.

Una función exponencial es una función de la forma f ( x) = A0b x; donde b es una

constante positiva diferente de 1, y A0 representa el valor de la función en x = 0.

1

y

x

x x

2

1122 2 3

3

y

x

2

x x x

FIGURA 1. FIGURA 2.

La regla de graficación es simple. Para b > 1, f ( x) = b x es “creciente”; si, es 0 < b < 1, f ( x) = b x es “decreciente”.




Ejemplo 1.

Traza la gráfica de a) f ( x) = −2 x, b) f ( x) = 2 + e1− x

La gráfica de f ( x) = −2 x es la reflexión respecto al eje x de y = 2 x, mientras que la gráfica de f ( x) = 2 +e1− x es similar a la gráfica de y = e− x (que corresponde a una exponencial decreciente) pero con un des-plazamiento vertical de 2 unidades hacia arriba y uno horizontal de una unidad a la derecha. Las gráfi-cas se muestran a continuación:

y

x

( x x

32 2

y

x

0

f ( x) 1

FIGURA 3. FIGURA 4.

Ejemplo 2.

Analiza cuidadosamente la función y esboza su gráfica. f xe x

( ) =+ −

1

1

Ejemplos

solución

solución

Aunque precisaremos la siguiente discusión en el capítulo 3, por el momento podemos intuir lo siguien-

te: a) Como e− x

> 0 para cualquier x ∈ , D f = lo que significa que la gráfica se extiende a lo largode todo el eje horizontal. Además, la función sólo toma valores positivos menores que 1, por lo cual lagráfica se encuentra entre las rectas y = 0 e y = 1 (sin tocarlas). b) Por el lado negativo, al considerarvalores hacia la izquierda en el eje x, el denominador crece, por lo que f ( x) “decrece aproximándose” acero; mientras que por el lado positivo, al tomar valores hacia el lado derecho del eje x, e− x se “acerca”

al valor cero y por tanto f ( x) se “aproxima” a la recta y = 1. c) Finalmente notamos que . Elesbozo de la gráfica es:

f ( )01

2=




solución

solución

Ejemplo 3.Se invierten $50 000.00 a una tasa de interés nominal de 12%. a) ¿Cuál será el monto cinco años mástarde si la capitalización es mensual? b) ¿Cuál será el monto si la capitalización es continua?

a) Sustituyendo los valores correspondientes en la fórmula , se tiene que

pesos.

b) La fórmula correspondiente a capitalización continua es K = K 0eit , por lo tanto:

K = 50 000e0.12(5) = 91 106 pesos

Ejemplo 4.

Una población de bacterias se encuentra en un ambiente que le permite crecer exponencialmentecon un tiempo de duplicación de 5 horas. En t = 0 hay 500 mil bacterias, ¿cuántas habrá 20 horasmás tarde?

Supón que P = P(t ) representa el número de bacterias existentes al tiempo t . Entonces, el crecimiento

exponencial de este número se puede determinar por P = P0bt , donde P0 = 500 mil es el número inicial de

K = +

=50000 1 0 12

129083512 5

. ( )

K K i

n

nt

= +

0 1

y

0.

f x 1

x

x

FIGURA 5.




Funciones inversas

Las operaciones de “restitución” son comunes en las matemáticas; así por ejemplo, si auna cantidad se le suma otra, la cantidad original se restituye mediante una resta, la di-visión restituye el efecto de una multiplicación por un número diferente de cero, y el

efecto de una raíz cuadrada restituye la elevación al cuadrado. ¿Bajo qué condicionesuna variable x que se transforma en la variable y bajo la aplicación de una función f , sepuede “restituir” mediante otra función? La clave está en la definición misma de fun- ción; para que el regreso sea una función, se necesita que cada elemento puedatener un regreso, lo que nos obliga a restringir el regreso a los elementos de la imagende f . También es necesario que cada elemento de la imagen de f provenga de un únicoelemento del dominio, de esta forma el regreso se asociará con un único valor del dominio.Las funciones que cumplen con este requisito se llaman inyectivas.

y xa

bacterias. La duplicación en cinco horas implica 2P0 = P0b5, de donde . Por lo tanto, el creci-

miento de bacterias queda determinado por o bien , donde P está expresada

en miles de bacterias y t en horas. Para t = 20 el tamaño de la población serámiles de bacterias = 8 millones de bacterias. Observa que de acuerdo a la nota c) anterior, también

es válido razonar pensando en que .bP

P=

=

220

0

1 5

5

/

P = ( ) =500 2 8 000

205

Pt

= ( )500 2 5P t = ( )500 25

b = 25

Definición de función inyectiva o uno a uno.

Una función se dice que es inyectiva o uno a uno si cada elemento de la imagenestá relacionado con uno solo del dominio, esto es, si f ( x) = f ( y), entonces x = y.

2

0

0

1

0.5 1 1.50

0

0.5

1

FIGURA 6. Función no inyectiva. FIGURA 7. Función inyectiva.

Nota. De manera gráfica podemos decir que, una función es inyectiva si su gráfica escortada a lo más una vez por toda línea horizontal.



Nota.

a) De la definición misma de función inversa se concluye que D f −1 = I

f e I

f −1 = D f .

b) Puesto que no todas las funciones poseen inversa, con frecuencia se restringe el do-minio de la función f hasta encontrar un intervalo (lo más grande que sea posible) endonde la función sea inyectiva. Sobre tal intervalo se puede definir una inversa.


Definición de función inversa.

Sea f una función inyectiva con dominio D f

e imagen I f . La función inversa de

f , denotada como f −1, es una función tal que:

a) para todo x ∈ D f , y

b) , para todo y ∈ I f . f f y yo

−( ) =1 ( )

f f x x−( ) =1o ( )

Ejemplos

Ejemplo 1.

En caso de que exista, determina la inversa de cada una de las siguientes funciones:

a) Inversa de una función expresada por medio de una tabla.

Considera una función cuyo dominio y regla de correspondencia se muestran en la siguiente tabla.

x −2 −1 3 5 10 12 25 32 34

f ( x) 2 3 6 5 13 18 20 27 28

y 2 3 6 5 13 18 20 27 28

f – 1( y) −2 −1 3 5 10 12 25 32 34

Como la función es inyectiva existe la función inversa, ésta es:

b) Inversa de una función expresada mediante una “fórmula”.

Considera la función f ( x) = 2 x + 6. Observa que ésta es una función inyectiva, por lo tanto, exis-te su función inversa. Ésta puede hallarse de la siguiente manera:




Así, despejamos a x de la relación y = 2 x + 6 y obtenemos . Al intercambiar las variables

x y y, hallamos que .

c) Inversa de una función expresada mediante una gráfica.

El intercambio de roles entre x y y = f ( x), mencionado en el inciso anterior, equivale a una refle-xión respecto a la recta y = x como se muestra en la siguiente gráfica. Por lo tanto, al conocer lagráfica de f , también será posible conocer (vía reflexión) la de su inversa.

f x x− = −1

23( )

x y

= −2

3

Método algebraico para el cálculo de la función inversa de una función inyectiva.

i) Se despeja a x de la relación funcional y = f ( x).ii) Se intercambian las variables x e y.

2

y

0

x0

2

2

f ( x)

f 1( y)

FIGURA 8.

d ) Inversa de una función expresada mediante un enunciado.

Por ejemplo, si K = f (t ) representa el capital acumulado a los t años de que se realiza una inver-sión K 0, entonces t = f −1(K ) representa el tiempo que se necesita para que el capital acumuladosea K .

Ejemplo 2.

Dada , determina f −1 en caso de que exista. f x x

x( ) =

+−

3 2

2 1

solución

Despejamos a x de : y x

x=

+−

3 2

2 1



solución


y(2 x − 1) = 3 x + 2,

2 xy − y = 3 x + 2

2 xy

−3 x

=2

+ y

x(2 y − 3) = 2 + y

Al intercambiar las variables x y y, concluimos que .

Observa que mientras que la imagen es .

Ejemplo 3.

Si existe, determina la función inversa de f ( x) = x2 + 2 x + 2, x ≥ −1.

Si escribimos y = f ( x), requerimos despejar a x de la ecuación y = x2 + 2 x + 2. De manera equivalente,la ecuación anterior es x2 + 2 x + (2 − y) = 0. Esta ecuación es una ecuación de segundo grado para lavariable x, por lo tanto,

Como x ≥ −1, concluimos que el signo (−) en el resultado anterior debe descartarse, por ello, el

despeje final queda como . Al intercambiar las variables x y y, concluimos que

.

Observa que si no se hubiera restringido el dominio de la función, f no sería inyectiva y, en conse-cuencia, no tendría inversa.

f x x− = − + −1 1 1( )

x y= − + −1 1

= − ± −

= − ± −2 4 4

21 1

y y

x y

= − ± − −2 4 4 2

2

( )

I D f f − = =

1 -1

2 D

f − = −

1

3

2

f x x

x

− = +

−1 2

2 3( )

x y

y=

+−2

2 3

Función logaritmo

Al observar las gráficas de las funciones exponenciales podemos inferir que son funcio-nes inyectivas en , por tanto tienen inversa. La obtención de la inversa de una funciónexponencial nos lleva al importante asunto de despejar una incógnita que se halla dentrode alguna función exponencial.



Nota. El logaritmo en base b de un número x es el exponente y al que se debe elevar labase b para obtener dicho número. Por ejemplo log2 8 = 3 porque 8 = 23 y log10 100 = 2porque 102 = 100.

La base del logaritmo b es cualquier número positivo diferente de uno; sin embargo,las bases más importantes son la del logaritmo común para el cual b = 10, y la del lo-garitmo natural donde b = e. Estos logaritmos tienen notaciones especiales, de hecho

log10 ≡ log y loge ≡ ln.Las siguientes propiedades de los logaritmos naturales son válidas para cualquier

base y son consecuencia de las leyes de los exponentes, como se puede ver en la demos-tración.


Definición de la función logaritmo.

A la inversa de la función exponencial f( x) = b x se le conoce como la función

logaritmo. De esta manera la función logaritmo queda definida por:

y x x bb y= ⇔ =log ( )

Propiedades básicas de los logaritmos.

a) ln(1) = 0, b) ln( AB) = ln( A) + ln( B), c) ln( A/ B) = ln( A) − ln( B), d ) ln( An) = n ln( A)

Demostración. a) ln(1) = 0 porque e0 = 1.

Para demostrar b), c), d ) sean A = e x, B = e y entonces x = ln( A), y = ln( B).

b)

c)

d ) An = (e x)n = enx por lo tanto nx = ln( An) o bien nln( A) = ln( An), puesto que x = ln( A).

ln ln ln ln( ) ln( ) A

B

e

ee x y A B

x

y x y

=

= ( ) = − = −−

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) AB e e e x y A B x y x y= = = + = ++

Nota. Si A = b x, entonces x = logb( A). Por otro lado, si tomamos un logaritmo natural

en ambos lados de A = b x, tenemos que ln(A) = ln(b x) = xln(b). Por lo tanto, ln(A) =log

b( A)ln(b). De aquí obtenemos un importante resultado que relaciona el logaritmo en

cualquier base con el logaritmo natural.

log ( )ln( )

ln( )b A A

b=




Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Indica el dominio y la imagen de f ( x) = ln( x), y traza su gráfica.

Puesto que las funciones inversas intercambian dominio por imagen, y como ln( x) es la inversa de e x,se puede deducir que Dln = (0, +∞) puesto que I Exp = (0, +∞). Mientras I ln = porque DExp = . La grá-fica de ln( x) es la reflexión especular de la gráfica de e x, tomando a la recta y = x como el espejo plano(ver la figura).

1 2 3 4

y

0

x0

2

1

1

2

3

12

e x

y x

In x

FIGURA 9.

solución

Ejemplo 2.

Escribe la expresión usando un único logaritmo.

Ejemplo 3.

Escribe la expresión en términos de ln x, ln( y − 2) y ln(t + 1).

<<T5>>Solución:

ln x y

t

2 2

1

−+

31

2 4 3

1

2 4

3 4

log( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log x y t x y t x t

y− + = − + =

31

24log( ) log ( ) log ( ) x y t − +



solución

solución

solución

solución


Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación log( x + 2) − log( x − 1) = log(4).

, de donde , o bien x + 2 = 4 x − 4.

Finalmente, x = 2.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación 3e x − 2 x = 0.

3e x − 2 x = 0

3e x = 2 x

ln(3e x) = ln(2 x)

ln(3) + x ln(e) = x ln(2)

x[ln(2) − 1] = ln(3)Por lo tanto, .

Ejemplo 6.

La población de cierto país sigue la ley exponencial P = 3.4e0.023t , donde P es el tamaño de la pobla-ción en millones de habitantes y t es el tiempo medido en años a partir de 1960. Pronostica el año en elque la población en ese país será de 34 millones.

Sustituyendo P = 34 se obtiene . Tomando el logaritmo natural ln(10) =

0.023t de donde . Así, aproximadamente 100 años después de 1960 la población lle-

garía a 34 millones, si se mantuviera la ley de crecimiento.

t = =ln( )

..

10

0 023100 11

34 3 4 100 023 0 023= ⇒ =. . .e et t

x =−

ln ( )

ln

3

2 1

x

x

+−

=21

4log( ) log ( )log

log ( ) x

x

x x+

− = ⇒ =

+−

21

4 10 1021 4

= + −( ) − +21

22 1ln ln ln( ) x y t

ln ln( ) ln ln( )

x y

t x y t

222

1 2 1

12

−

+

= + −( ) − +



Funciones Hiperbólicas

En diversas aplicaciones aparecen combinaciones de e x y e− x que merecen nombres es-peciales para compactar la notación. A las siguientes funciones se les llama hiperbólicas.


Definición de las Funciones hiperbólicas.

cot ( )cosh( )

hsenh(x)

x x

=csc ( )( )

hsenh

x x

=1

sec ( )cosh( )

h x x

=1

tanh( )cosh( )

x x

x=

senh( )cosh( ) x

e e x x

= + −

2senh(x) =

− −e e x x

2

Los nombres son similares a los de las funciones trigonométricas, porque tienen propie-dades análogas, como se observa en el siguiente cuadro.

Identidades con funciones hiperbólicas.

senh(0) = 0 cosh(0) = 1

senh(− x) = −senh ( x) cosh(− x) = cosh( x)

cosh2( x) − senh2( x) = 1 1 − tanh2( x) = sech2( x)

senh( x + y) = senh( x) cosh( y) + senh( x) cosh( y)

cosh( x + y) = cosh( x) cosh( y) + senh( x) senh( y)

La forma más simple de demostrar estas identidades es mediante la definición. Así por ejemplo, la demostración de la identidad cosh2( x) – senh2( x) = 1, se obtiene al de-sarrollar:

El siguiente cuadro presenta las funciones hiperbólicas inversas y sus equivalenciasen términos de la función logaritmo.

cosh senh2 2( ) ( ) x xe e e e e e e e x x x x x x x x

− = +

− −

= + +

− − +

=− − − −

2 2

2

4

2

41

2 2 2 2 2 2

Funciones hiperbólicas inversas.

y = arcsenh( x) ⇔ x = senh( y)

y = arcosh( x) ⇔ x = cosh( y) si y ≤ 0

y = arctan h( x) ⇔ x = tan h( y)




Equivalencias.

arctanh ,( ) ln x x

x x=

+−

− < <

1

2

1

11 1

arcosh ,( ) ln x x x x= + −

≥2 1 1

arcsenh ,( ) ln x x x x= + +

∈2 1

1. Escribe las siguientes expresiones usando un solo logaritmo.

a) log( x) + log(5) − log( y)

b) ln(t ) − 2ln(u) + 3ln(c)

c)

d ) log( x) + 2log( y) − 3

e) Expresa usando ln( x), ln( x − 2) y de ln( x − 3).

2. Resuelve para x las siguientes ecuaciones.

ln( ) x x

x

53 2

3

−−

2 log( ) log(3)1

2 x x+ +− log( ) x 1

a) ln(5 x + 1) = 2

b) ln( x + 1) − ln( x − 1) =

c) log2( x + 3) = −1

d ) log x(4) = 2

e) log x(5 x − 6) = 2

f ) log x(6 − x) = 2

g) log x

(6 − 5 x) = 2

h) ln( x + 1) − ln( x − 1) = 1

i) log(10 x + 5) − log(4 − x) = log(2)

j) log2( x) = 5 − log2( x + 4)

k ) 3e2 x − 5 = 0

l) 3e2 x − 2 x = 0

m) e4 x+1 = 5e x

n) e4 x+1 = (5e) x

o) 3 x21− x = 10

p) (2 x) x = 25

q) (a x)2 = b x+1

r )

s)

t ) y x

=+ −

2

1 3 2( )

p A

Ce kx=

+ −1

3 2 22 x x

( ) =

1

2




3. La ecuación de demanda de un producto es p = 121 − 0.1q, expresa a q como función de p.

4. La población P proyectada para una población está dada por P = 100 000e0.05t ; t es el número de años

después de 1900. Pronostica el año en que la población será de un millón de habitantes.5. Expresa: a) f ( x) = 2 x como ekx, b) f ( x) = e2 x como b x.

6. Simplifica e−ln x, e2ln x, e2ln x − ln( x + 2), e1 − ln( x) + 2 x.

7. Determina si las siguientes funciones tienen inversa. Si la inversa existe, determínala y establece su do-minio e imagen. Si la función no tiene inversa, apoya gráficamente este hecho verificando que una rec-ta horizontal interseca a la gráfica en más de un punto.

a) f ( x) = (4 − x)3

b) f ( x) = | x | + x

c), f ( x) = x2 + 2 x + 2, x ≥ −1

8. Determina el valor de k de modo que la función inyectiva f , definida por sea su propiainversa.

9. Verifica la relación que existe entre las funciones y = arcosh( x) y y = arctanh( x) con la función logarit-mo natural.

10. Después de haber suspendido la publicidad de cierta película el primer día de exhibición, la asistenciadecreció de acuerdo a la función f (t ) = Aekt . Si la asistencia del tercer día de exhibición fue de 4 000 es-pectadores y la asistencia del quinto día fue de 2 500 espectadores, ¿cuál es la asistencia esperada parael séptimo día de exhibición?

11. La ley de enfriamiento de Newton establece que f (t ) = A − Be−kt , donde A es la temperatura del ambiente.Una cazuela con agua hirviendo a 100 °C se pone en cierto instante a enfriar al aire libre, a una tem-peratura de 10 °C. Después de 20 minutos, la temperatura del agua descendió a 90 °C. ¿En cuántosminutos la temperatura del agua será de 70 °C?

12. Con cada día que pasa, un nuevo empleado realiza con más eficiencia un trabajo, en forma tal que, sise producen y unidades al día, después de t días de haberse iniciado en el puesto:

y = 80 − Be−kt ,

donde k es una constante positiva. El empleado produce inicialmente 20 unidades, y 50 unidades des-pués de haber trabajado 10 días. Determina el menor número entero de días con los cuales se esperaque el trabajador produzca al menos 70 unidades diarias.

13. Un nuevo operario de una máquina de tejido tiene 3 días para aprender el funcionamiento de la mismacon sus 60 operaciones básicas de hilado. De acuerdo con la psicología, si y representa el número dehechos que una persona puede memorizar, entonces,

y = 60 − k (0.75)t /m; donde t se mide en días.

Supón que inicialmente la persona no conoce nada acerca del funcionamiento de la máquina y que ade-más, en el primer día logró aprender 20 de las operaciones básicas de su uso.

f x x

x k ( ) =

++

5

d )

e)

f ) f xe e x x

( ) = − −

2

f x x

x( ) =

−+

3

1

f x x( ) = −9 2





a) ¿Cuántas operaciones aprenderá el nuevo operador al cabo de dos días de entrenamiento?

b) La empresa tiene como política, que ningún operario podrá trabajar con un equipo si no maneja almenos 80% de sus operaciones básicas. De acuerdo al nivel de aprendizaje del nuevo operador,

¿tendrá el tiempo suficiente para adquirir 80% mínimo del aprendizaje que le exige la empresa?

14. Si una cantidad invertida de dinero se duplica en 10 años a un interés compuesto continuamente, ¿cuán-to tiempo tardará en triplicarse la cantidad inicial?

15. Salitrillo es una población del Estado de Guerrero con fuertes problemas de abasto de agua. Por estarazón, sus autoridades municipales desean estimar el número de habitantes que tendrá este poblado enun futuro inmediato. En este año, Salitrillo cuenta con 23 000 habitantes, y en el censo anterior, hace5 años, se contaron 18 000 pobladores.

a) Usa un modelo exponencial de la forma P(t ) = P0bt (en miles) y estima la población que tendrá Sa-

litrillo dentro de 7 años.

b) Sabiendo que los pozos de agua y sus afluentes sólo pueden dar agua para 42 000 habitantes, un ex-

perto ha sugerido a las autoridades usar el modelo logístico (en miles) en lugar

del modelo exponencial P(t ) = P0bt . De acuerdo con este modelo, ¿qué población tendrá Salitrillo

dentro de 7 años?

c) Los consejeros del pueblo han señalado que sería peligroso rebasar los 30 000 pobladores, sin teneren marcha un buen plan de mejora de abasto de agua. Usando los modelos en los incisos a) y b), de-termina en cuántos años llegará Salitrillo a este estatus de riesgo.

P t Ae k t ( ) = + −42

1

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-tuaciones.

Problema 1. Conflicto mercantil. “El caso de la señora Celia Reyes Lujano”.

De acuerdo con la información de su representante legal, la señora Reyes depositó en ene-ro de 1988 en el Banco del Atlántico, cinco millones de viejos pesos con un interés reinver-tible cada mes. Asimismo, en febrero de ese mismo año, depositó 54 millones 72 mil 400pesos.5

Respecto a esta situación, Bital,6 con el argumento de que había disposiciones del Banco deMéxico que lo obligaban a modificar las tasas, negó el acuerdo sobre tasas fijas y que haya pac-tado capitalización de rendimiento con Celia Reyes.

¿A cuánto asciende la cantidad reclamada por la señora Reyes Lujano en cada cuenta si sesupone una reinversión de capital e intereses cada mes? ¿Cuál era el capital contable del bancoa finales de 1998?

5 Extracto una noticia que aparece en, http://www.cimacnoticias.com/noticias/02mar/ 02032011.html6 En el momento que se publicó esta noticia, el banco Bital administraba lo que fue banco del Atlántico.




Suponiendo que a la señora Reyes se le pagara la tasa de CETES, en lugar de la tasa fija quepretendía, ¿cuánto habría cobrado a finales de 1998? (Las tasas de CETES pueden encontrarseen la página WEB: http://banxico.org.mx.) ¿Cuáles son los costos fiscales del rescate banca-

rio?, haz una comparación con el monto que la señora Reyes reclamó.

Problema 2. “Obtención de una tasa de crecimiento de población usando Excel”.

Investiga la evolución del tamaño de la población de un país (de preferencia el tuyo) en núme-ro de habitantes durante los últimos 100 años. Utiliza Excel para ajustar una función exponen-cial y determina la tasa de crecimiento.

Realiza una segmentación en periodos de 20 años para decidir cuáles han sido las dos déca-das de mayor y menor tasa de crecimiento.7

7 Caso México: http://html.rincondelvago.com/mexico_poblacion.html

1. Se invierten $1 000 a una tasa de interés nominal de 12%. Indica las opciones correctas respectoal monto acumulado.

a) El monto es $3 105.80 si la capitalización es anual durante 10 años.

b) El monto es $3 300.40 si la capitalización es mensual durante 10 años.

c) El monto es $3 320.10 si la capitalización es continua durante 10 años.

d ) El capital se puede duplicar en menos de 6 años.

2. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son correctas.

a) (ln A)n = n ln A,

b) ,

c) elog( A) = A1/ln(10),

3. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son correctas.

a) 3(2 x) = 9 x, c) (3)4 x = 81 x,

b) ( x−1 + y−1)−1 = x + y, d ) 3(3 x) = 9 x

e A

A− =ln 1d ) ln(3 x + 2 y + 1) = ln(3 x) + ln(2 y) + ln(1),

e) .ln( )

ln( )

A

B

A

B=



Ganancias por exportaciones

Las ganancias por exportaciones mensuales de una empresa mexicana en los

últimos dos años muestran una tendencia creciente y oscilante. Los dueños de

la empresa quieren invertir sus ganancias en tecnología los próximos tres años

para hacer más competitiva la empresa. Si las tendencias de los últimos

años continúan ¿cuánto debieran invertir mensualmente los dueños para no

descapitalizarse? En la tabla siguiente se muestran las ganancias en dólares

obtenidas en los últimos dos años.


2.2 Funciones

trigonométricas

Si se propone una función f(x) cuyo valor

está representado, en un intervalo determi-

nado, desde x = 0 hasta x = X, por la

ordenada de una curva trazada arbitraria-

mente, se podrá desarrollar esta función en

una serie que no contendrá más que los se-

nos y cosenos de los arcos múltiples…

Jean-Baptiste Joseph Fourier1

Introducción

En la naturaleza existe gran diversidad de fenómenos que se caracterizan por

su periodicidad. El ir y venir de las olas marinas, el movimiento de las ramas

de los árboles debido al viento, el movimiento pendular, las pulsaciones del

corazón de cualquier mamífero y el crecimiento y decrecimiento de poblacio-

nes en sistemas depredador-presa son ejemplos de fenómenos periódicos. Las

funciones trigonométricas son las herramientas matemáticas básicas para

analizar y describir estos fenómenos. La siguiente situación relacionada con

ganancias por temporadas ilustra su uso.

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Año 1 32 090 31 997 32 080 32 095 32 005 31 913 32 099 31 985 32 096 31 984 32 067 32 000

Año 2 32 037 32 069 32 042 32 066 32 094 32 056 31 919 32 058 31 934 31 984 32 020 32 023

1 en Théorie analytique de la chaleur , 1822.



Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas surgen del estudio de los cocientes de los lados del trián-gulo rectángulo. Por ejemplo, por medio del triángulo de la figura 1 se definen las fun-

ciones trigonométricas seno y coseno.

1052.2: Funciones trigonométricas

Objetivos


a) Definir las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotan-gente, secante y cosecante.

b) Determinar la gráfica, dominio e imagen de cada una de ellas.

c) Analizar crecimiento y decrecimiento de las funciones trigonométricas.

d ) Determinar asíntotas verticales de las funciones trigonométricas

e) Definir y analizar las seis funciones trigonométricas inversas.

f ) Modelar situaciones que den lugar a funciones de este tipo.

Definición

Considera un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa igual a c. Si x

es el ángulo entre la hipotenusa y el lado b definimos los siguientes cocientes

como las funciones seno y coseno.

sencateto opuesto

hipotenusa

cateto adyacente

hipotenusa

( )

cos( )

x a

c

x b

c

= =

= =

b

x

FIGURA 1. El triángulo rectángulo de catetos a y b y con hipotenusa c.

Construyamos ahora la gráfica de la función sen( x), para ello considera una circunferencia

de radio igual a la unidad. Sobre el círculo coloca un triángulo rectángulo, como el mos-

trado en la figura 1, con hipotenusa igual a uno. En esta situación el cateto opuesto al

ángulo x es igual a sen( x) y el cateto adyacente a cos( x). Observa que, si aumentas el



valor del ángulo x de 0 a π /2 radianes, el valor de sen( x) aumenta de 0 hasta 1. La lon-

gitud del cateto opuesto disminuye hasta llegar a 0 a medida que se avanza en el ángulo

de π /2 a π radianes. Cuando el ángulo x está en el intervalo (π , 3π /2), la función sen( x)

decrece, su mínimo valor es −1. En el intervalo (3π /2, 2π ) la función crece hasta llegar

nuevamente al 0. Si seguimos aumentando el ángulo, observaremos que la gráfica se re-

pite cada 2π radianes. En la figura 2 mostramos un esquema sobre la construcción de la

función seno. Este método es muy antiguo, data del año 1525 y se debe al alemán Alber-

to Durero, quien es célebre por sus grabados y por su trabajo en geometría.


onstrucc n de la gr fica de la func y sen( x)

.

.

.

1.5

FIGURA 2. Construcción de la curva sen( x).

onstrucc n de la gr fica de la funci n y = cos( x

5

.

.

..

.

FIGURA 3. Construcción de la curva cos( x).

Ahora bien, de la misma forma en que se ha construido la función sen( x) se puede

construir la función cos( x). En la figura 3 se muestra un esquema de su construcción a

partir de un círculo unitario.

A partir de las gráficas de las funciones sen( x) y cos( x) se infieren las siguientes pro-

piedades:



Para construir funciones más generales necesitamos la siguiente definición.


Propiedades

Función sen( x) cos( x)

Dominio (−∞, ∞) (−∞, ∞)

Imagen [−1 1] [−1, 1]

Paridad La función es impar, es decir La función es par, es decir

sen(− x) = −sen( x) cos(− x) = cos( x)

Periodicidad La función tiene periodo igual a La función tiene periodo igual a 2π ,

2π , es decir, sen( x + 2π ) = sen( x) es decir, cos( x + 2π ) = cos( x).

x = 0, ±2π , ±4π ,…

x = ±π , ±3π , ±5π ,… x = − −K K

, , , , , ,52 2

32

72

112

π π π π π El valor mínimo de

la función es −1 y

se obtiene en:

x = − −K K

7

2

3

2 2

5

2

9

2

π π π π π , , , , ,

El valor máximo de

la función es 1

y se obtiene en:

Definición

La funciones sinusoidales se definen ya sea como:

f ( x) = A sen(w( x − x0)) + B

o como:

f ( x) = A cos(w( x − x0)) + B.

Donde los parámetros A, w, x0, B se conocen con los siguientes nombres:

• | A | es la amplitud.

• w es la frecuencia.

• x0

es el ángulo de fase o desfasamiento.

• B es el valor promedio de f ( x).

La gráfica de cualquiera de las funciones sinusoidales se construye aplicando las

diversas operaciones de traslación y escala a las funciones básicas sen( x) y cos( x). En

efecto, los parámetros w y A reescalan los ejes x y y, respectivamente. La constante x0 in-dica una traslación de x

0unidades hacia la derecha del origen si es positivo, o hacia la

izquierda si es negativo. Mientras que el término B nos señala una traslación hacia arri-

ba si es positivo, o hacia abajo en el caso negativo.

Para relacionar el periodo con la frecuencia, consideremos que un periodo de la grá-

fica empieza cuando el argumento es cero y termina cuando el argumento es igual a 2π .En términos algebraicos, esto significa que el periodo empieza cuando:

w( x − x0) = 0



y termina cuando:

w(P + x − x0) = 2π .

Restando estas dos últimas ecuaciones se obtiene que:

wP = 2π .


Resumiendo, el periodo de cualquier función sinusoidal se determina por me-

dio de la fórmula:

Pw

=2π

En las figuras 4 y 5 se muestran gráficas sinusoidales típicas:

f x A cos(w( x x0 B

y

x0

x

f x) A sen(w( x x0 ) B

y

x A

x

B

x) A cos(w( x x0)) B

x0

x

f x A sen(w( x x0 B

y

x

A

x

B

y

FIGURA 4. Tipos de gráficas de la función sinusoidal f ( x) = A sen(w( x − x0)) + B.

FIGURA 5. Tipos de gráficas de la función sinusoidal f ( x) = A cos(w( x − x0)) + B.

Caso A > 0 Caso A < 0

Caso A > 0 Caso A < 0




Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Determina la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y el valor promedio de la función f ( x) = 4sen(3 x − 7)

+ 2. Posteriormente, grafica la función.

Primero escribimos la ecuación en la forma general

Identificamos ahora los coeficientes.

• La amplitud es A = 4 > 0.

• El ángulo de fase es x0

= 7/3.

• El promedio es B = 2.

De estos resultados deducimos que el periodo es . Para construir la gráfica observamos que un

periodo inicia cuando:

y termina cuando:

Dividamos el intervalo que definen x0

y x f

en cuatro subintervalos de longitud igual. Evaluando a con-

tinuación la función sinusoidal en los puntos extremos de estos subintervalos, obtenemos la tabla de va-

lores adjunta. Reuniendo todos estos elementos, construimos la gráfica de la función. (Ver figura 6).

3 7 2

2 7

3

4 42773

x

x

x

f

f

f

− =

= +

≈

π

π

,

. ,

3 7 0

7

3

2 333

0

0

0

x

x

x

− =

=

≈

,

,

. ,

P =2

3

π

f x x( ) = −

+4 37

32sen

0

x

y

f x 4 sen( x 7

x

2.33 2

2.86 6

3.38 2

3.90 −2

4.43 2

FIGURA 6. La gráfica de la función sinusoidal f ( x) = 4 sen(3 x − 7) + 2. En la figura, la curva sólida corresponde

a los datos de la tabla.



solución


Ejemplo 2.

Aproximadamente, la temperatura en el puerto de Acapulco varía de forma sinusoidal durante el año.

Si la máxima temperatura es de 32 °C el primero de agosto y la mínima es de 27 °C el primero de fe-brero, determina una expresión para la temperatura en el puerto durante el año y después grafícala.

Con estos datos podemos determinar muchas fórmulas. Consideremos por ejemplo una función sinu-

soidal del tipo

f (t ) = A cos(w(t − t 0)) + B.

Como el periodo es de doce meses, se tiene que la frecuencia es:

.

Como la unidad de tiempo es el mes, el primero de febrero corresponde a t 0 = 2. Como además ese díase tiene la mínima temperatura, podemos suponer que el coeficiente A es negativo. El valor mínimo de

la función sinusoidal propuesta se obtiene cuando:

A + B = 27

y el valor máximo cuando:

− A + B = 32.

Si sumamos estas dos ecuaciones se obtiene:

2 B = 59

B = 59/2 = 29.5

De manera similar, si restamos la segunda ecuación de la primera resulta:

2 A = 27 − 32 = −5

A = −5/2 = −2.5.

Por lo tanto, una función que cumple las condiciones

del problema es:

Finalmente, la gráfica de temperaturas de Acapulco

en el año es:

f x x( ) . cos ( ) .= − −

+

2 56

2 29 5π

wP

= = =2 2

12 6

π π π

f x 2. sen(( x 2 / 2 .

y

x

3

32.

30

27.5

2

3 1 15FIGURA 7. Gráfica de las temperaturas en la

ciudad de Acapulco en un año.



solución


Ejemplo 3.

Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre 0.04 y 0.025 metros.

Determina:

• la frecuencia de oscilación,

• una función que describa el movimiento y

• la gráfica de esta función.

Proponemos que el movimiento se describa por la función:

f (t ) = A cos(w(t − t 0)) + B

Sin perder generalidad, podemos suponer que t 0 = 0. En el enunciado del problema se dice que el pe-

riodo es de 1.3 segundos, entonces la frecuencia es:

Como la función varía de 0.04 a 0.025 metros se tiene que:

Resolviendo este sistema de ecuaciones nos queda que:

Reuniendo todos estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa:

La gráfica de esta función es: f t

t

t ( ) . cos . . . cos( . ) .=

+ ≈ +0 0075

2

1 3 0 0325 0 0075 4 8332 0 0325

π

B

A

==

0 0325

0 0075

.

.

A B

A B

+ =− + =

0 04

0 025

.

.

wP

= = ≈2 2

1 34 83322

π π

..

0.007 cos(4.8332 0.032

y

t

1 4

0.0

0.04

0.0

0.0

0.01

FIGURA 8. Gráfica del movimiento en un sistema masa resorte.

Ejemplo 4.

Usa el método de la suma gráfica para construir la gráfica de las funciones:

• f ( x) = x + 3 + 2sen( x)

• g( x) = sen( x) + sen(2 x)



solución


En la ilustración 1 de la figura 9 se muestran las gráficas de la funciones y1 = x + 3 y y2 = 2sen( x). Lafunción y

1nos indica la tendencia de la gráfica, mientras que la función y

2señala aspectos periódicos.

Para elaborar la gráfica de la suma en un periodo, primero detectamos cuatro puntos básicos, a saber:

los puntos donde la función seno alcanza sus valores máximo y mínimo y los puntos donde vale cero, y

usamos esos valores para construir algunos puntos por donde pasa la función. En la ilustración 2

mostramos los puntos usados y la gráfica de la suma en un periodo de la función sinusoidal. Finalmen-

te, en la ilustración 3 se muestra la función suma en un intervalo mayor.

Ilustración 1: Suma de una función

lineal y una función sinusoidal.

Ilustración 2: Puntos importantes

para la construcción.

Ilustración 3: La gráfica de la

función suma en un intervalo mayor.

12

10

86

4

2

0

y

x2

4

1 2 3 4 6 7

12

10

86

4

2

0

4

1 2 4 6 70 00 7

0

5

10

15

20

53.5 10.5 14

y y

x x535 2

FIGURA 9. Gráfica de la función f ( x) = x + 3 + 2 sen( x).

Ilustración 1: Las funciones a sumar.

1

2

0

y

x

2

1.5

1 2 3 4 6 70 50.5

1

0.5

1.5

Ilustración 2: Puntos importantes

para la gráfica de la suma.

1

2

0

y

x

2

1.5

1 2 3 6 70 50.5

1

0.5

1.5

4

Ilustración 3: Gráfica de la función.

1

2

0

y

x

2

1.5

1 2 3 6 70 50.5

1

0.5

1.5

4

FIGURA 10. Gráfica de la función f ( x) = sen( x) + sen(2 x).

Para construir la grafica de la función g( x), observemos primero que la funciones sen( x) y sen(2 x)son

periódicas, con periodos 2π y π , respectivamente. Además, tenemos que considerar los puntos donde

las funciones alcanzan sus valores máximos y mínimos y donde cruzan el eje x. En la ilustración 1 de lafigura 10 se muestran las dos gráficas por separado; en la ilustración 2 hemos agregado los puntos a

considerar, y en la ilustración 3 se muestra la figura obtenida.



Otras funciones trigonométricas

En el mismo triángulo de la figura 1 podemos considerar otros cuatro cocientes diferen-

tes a los usados para definir las funciones sen( x) y cos( x). Con estos cocientes se definen

otras cuatro funciones trigonométricas, como se muestra en la siguiente definición.


En muchas ocasiones es más sencillo trabajar con las siguientes identidades que relacio-

nan estas cuatro funciones con las funciones sen( x) y cos( x):

Definición

Las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante se de-

finen por los cocientes siguientes de los lados del triángulo de la figura 1.

sec( ) ;

csc( ) .

x c

b

x c

a

= =

= =

hipotenusa

cateto adyacente

hipotenusa

cateto opuesto

tan( ) ;

cot( ) ;

x a

b

x b

a

= =

= =

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto adyacente

cateto opuesto

Identidades básicas.

tan( )sen

cot( )cos

sensec( )

1csc( )

1

sen x

x

x x

x

x x

x x

x= = = =

( )

cos( ),

( )

( ),

cos( ),

( )

La gráfica de la función tan( x) se construye a partir de las gráficas de las funciones sen( x)

y cos( x) y de las observaciones siguientes:

• La función tangente no está definida en los puntos x =… …

porque allí la función cos( x) es igual a cero. Más aún, cerca de esos puntos, la fun-

ción crece sin medida en magnitud, por eso se dice que ahí la función tiene asíntotas

verticales.

• La función tangente es cero en los puntos x = 0, ±π , ±2π ,… porque la función sen( x)

es igual a cero en esos puntos.• La función tangente es creciente en todo su dominio. En efecto, en el intervalo (0, π /2)

la función crece porque, tanto sen( x) y 1/cos( x), son positivas y crecientes. En el in-

tervalo (−π/2, 0) la función crece porque sen( x) es creciente y negativa y 1/cos( x) es

decreciente y positiva.

Las gráficas de las otras tres funciones se construyen haciendo observaciones similares

y se muestran en la figura 11.

− − −5

2

3

2 2 2

3

2

5

2

π π π π π π, , , , , ,



Algunas propiedades que tienen estas funciones se presentan en la tabla siguiente.


f ( x) tan( x)

0

0 36 3 6

2

4

2

4

y

x

f ( x) cot( x)

0

0 36 3 6

2

4

2

4

y

x

f ( x) sec( x)

0

0 36 3 6

2

4

2

4

y

x

f ( x) csc( x)

0

06 3 3 6

2

4

2

4

y

x

FIGURA 11. Las gráficas de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante.

Propiedades

Función Dominio Imagen Paridad Periodicidad

tan( x) tan(− x) = −tan( x) tan( x) = tan ( x + π )

cot( x) cot(− x) = −cot( x) cot( x) = cot( x + π )

sec( x) sec(− x) = sec( x) sec( x) = sec( x + 2π )

csc( x) csc(− x) = −csc( x) csc( x) = csc ( x + 2π )( , ] [ , )−∞ − ∪ ∞1 1 − ∈{ }n nπ

( , ] [ , )−∞ − ∪ ∞1 1 − +

∈

( )2 1

2

nn

π

− ∈{ }n nπ

− +

∈

( )2 1

2

nn

π

Al igual que para las funciones sinusoidales, cuando sea necesario graficar funciones

más complejas es posible aplicar operaciones de traslación y escala.



Ejemplos

solución


Ejemplo 1.

Determina las regiones de crecimiento y decrecimiento y las ecuaciones de las asíntotas verticales. Con

esa información, construye la gráfica de la función.

La función es creciente en su dominio porque el coeficiente 2, que multiplica a

la tangente, es positivo. El dominio consta de todos los puntos donde el argumento es diferente de

. Estos puntos satisfacen que:

Es decir,

D f = − {6 ± 2, 6 ± 6, 6 ± 10,…}

La curva cruza el eje x cuando el argumento de la tangente es nπ. Es decir, cuando

Por ejemplo, dos de las asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a a±π /2.

Es decir, cuando

Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es

igual al período, tenemos que la función se repite cada

cuatro unidades. En conclusión, las ecuaciones de lasasíntotas son x = 4n con n ∈ .

Con esta información, y tomando como base la gráfi-

ca de la función tan( x), se obtiene la gráfica pedida.

π π ( ) x

x

x

−= ±

− = ±

= ± =

6

4 2

6 2

6 28

4

π( ) xn

x n

x n

−=

− =

= +

6

4

6 4

6 4

π

π π π π( ), , ,

, , ,

, , ,

x

x

x

−≠ ± ± ±

− ≠ ± ± ±≠ ± ± ±

6

4 2

3

2

5

2

6 2 6 10

6 2 6 6 6 10

K

K

K

± ± ±

π π π

2

3

2

5

2, , ,K

f x x

( ) tan( )

= −

26

4

π

f x x

( ) tan( )

= −

26

4

π

f x 2 tan

1

1

x5

π( x )( )

FIGURA 12. Gráfica de la función f ( x) = 2 tan(π ( x − 6) / 4).



solución


Ejemplo 2.

Aplicando operaciones de traslación y escala, construye la gráfica de la función

Determina también las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Para aplicar las operaciones de traslación y escala observemos que:

• El coeficiente −3 reescala el eje y e invierte la gráfica.

• El término −2 baja la gráfica dos unidades.

• El factor π reescala el eje x.

Como el argumento de la función secante se puede escribir como sabemos que la gráfica ori-ginal se traslada 1/

4unidades hacia la izquierda.

Con esta información construimos la gráfica de la función.

π x + 14

g x x( ) sec= − +

−

34

2π π

( x 3 sec( x /4

3

1

5

1

x

FIGURA 13. Gráfica de la función

g( x) = −3 sec(π x + π /4) − 2.

Por otra parte, algunas asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a

±π /2. Es decir, cuando:

En general, las ecuaciones de las asíntotas son:

con n ∈ .

Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual a la mitad del período, tenemos que el pe-

ríodo de la función es 2.

x n= +1

4

π π

x

x

x

+

= ±

+ = ±

= ± − = −

1

4 2

1

4

1

2

1

2

1

4

1 4

3 4

/

/



solución


Ejemplo 3.

Las autoridades del Distrito Federal quieren construir un andador que una las calles Thiers y Guten-

berg, ver figura 14. En la esquina que forman las dos calles se encuentra un edificio que ocupa un áreade 9 por 16 metros. Escribe una ecuación de la longitud del andador, como función del ángulo que ha-

ce el mismo andador con la calle Thiers.

Thiers

G

u

t

e

m

b

er

g

9 m

16 md 1

d 2

FIGURA 14. El problema del andador.

De la figura tenemos que:

de donde se tiene que:

La longitud del andador es entonces:

d d d = + = +1 2 16 9csc( ) sec( ).θ θ

d d 2 1

99

1616= = = =

cos( )sec( )

( )csc( )

θ θ

θ θ y

sen

cos( ) ( )θ θ = =9 16

2 1d d seny

Las funciones trigonométricas inversas

En la resolución de problemas prácticos muchas veces se requiere conocer, no tanto el

valor de las funciones trigonométricas sino el valor del ángulo. En esos casos se hace ne-



cesario utilizar las que llamaremos funciones trigonométricas inversas y que definimos

a continuación.


Definición• Si x = sen( y) entonces decimos que y es el arco seno de x y lo denotamos por

y = arcsen( x).

• Si x = cos( y) entonces decimos que y es el arco coseno de x y lo denotamos por

y = arccos( x).

• Si x = tan( y) entonces decimos que y es el arco tangente de x y lo denotamos

por y = arctan( x).

• Si x = cot( y) entonces decimos que y es el arco cotangente de x y lo denotamos

por y = arccot( x).

• Si x = sec( y) entonces decimos que y es el arco secante de x y lo denotamos por

y = arcsec( x).

• Si x = csc( y) entonces decimos que y es el arco cosecante de x y lo denotamos

por y = arccsc( x).

Para construir la gráfica de arcsen( x), considera nuevamente un triángulo rectángulo con

hipotenusa uno dentro de un círculo unitario. Si x denota la longitud del lado opuesto al án-

gulo α , entonces arcsen( x) es la longitud del arco, tal y como se muestra en la figura 15.

f ( x) arcsen( x)

1.6

0.8

0

0.8

1.6

1 0.5 0 0.5 1

x

y

arcsen( x)

x

FIGURA 15. La definición y la gráfica de la función arco seno.

Claramente, si x aumenta de 0 a 1, entonces el arcsen( x) aumenta de 0 a π /2. No

podríamos aumentar el valor de arcsen( x) porque entonces, para un mismo valor de x,

tendríamos que aceptar que arcsen( x) fuera multivaluada. Para conservar que arcsen( x) sea

una función, debemos restringir el dominio al intervalo [−1, 1] y la imagen a [−π/ 2, π /2].

En la figura 15 se muestra la gráfica de la función.

En forma similar, si x es el cateto adyacente al ángulo α , entonces arccos( x) es la lon-

gitud de arco sobre el círculo. Nuevamente se tiene que restringir el dominio a [−1, 1] y

la imagen a [0, π ] para que arccos( x) sea una función. Finalmente, si x mide el lado



opuesto a α , en un triángulo con cateto opuesto tangente al círculo unitario, entonces el

arctan( x) es la longitud del arco. Observa la figura 17. En este caso, el dominio está

formado por todos los números reales, mientras que la imagen es el intervalo (−π /2, π /2).

En las figuras 16 y 17 se encuentran las ilustraciones que muestran las definiciones y las

gráficas de las funciones.


f ( x) arccos( x)

0.8

0

1.6

2.4

3.2

1 0.5 0 0.5 1

x

y

arccos( x)

x

FIGURA 16. Definición y gráfica de la función arco coseno.

f ( x) arctan( x)

1.6

0.8

0

0.8

1.6

8 4 0 4 8

x

y

arctan( x)

x

FIGURA 17. Definición y gráfica de la función arco tangente.

Las gráficas de las funciones restantes se muestran en la figura 18 y su construcción es

similar a las presentadas aquí. En la tabla siguiente se resumen las propiedades de las

funciones trigonométricas inversas.

Función arcsen( x) arccos( x) arctan( x) arccot( x) arcsec( x) arccsc( x)

Dominio [−1, 1] [−1, 1] (−∞, −1]∪[1, ∞) (−∞, −1]∪[1, ∞)

Imagen [0, π ] (0, π ) −

∪

π π

20 0

2, ,0

2 2, ,π π

π

∪

−

π π

2 2,−

π π

2 2,



Ejemplos

solución


f ( x) arccot( x

2

8 4 4 8

x

y

f x c( x

0.8 5

2. 25

x

y

f ( x arccsc( x)

0.87

0.8

3 .5 .5 3

x

y

FIGURA 18. Gráficas de las funciones arco cotangente, arco secante y arco cosecante.

Ejemplo 1.

Construye la gráfica de la función f ( x) = 5 arctan( x − 2) − 3.

La gráfica se obtiene haciendo operaciones de traslación y escala en la gráfica de arctan( x). Observe-

mos que:

• La función arctan( x – 2) corta el eje x en el punto x = 2.

• El factor 5 reescala el eje y.• El término −3 baja la gráfica tres unidades, de manera que la imagen es:

En la figura 19 se muestra la gráfica de la función.

− − −

≈ ( )

5

23

5

23 10 854 4 85398

π π, - . , . .

f ( x ( x 2

8

8 4 4 8

x

y

FIGURA 19. Gráfica de la función f ( x) = 5 arctan( x − 2) − 3.



solución


Ejemplo 2.

Una cámara de televisión está filmando el lanzamiento de un cohete, cuando éste despega, la cámara

gira para seguir su movimiento. Si la velocidad inicial del cohete es 80 kilómetros por segundo y du-rante 3 segundos viaja en línea recta, grafica el ángulo que hace la cámara de televisión con un eje ho-

rizontal. Supón que la distancia de la cámara al punto de lanzamiento es de 5 kilómetros.

En la figura 20 se muestra un triángulo con las variables del problema.

5 (km)

h 80 t (km)

FIGURA 20. El problema de

cámara de televisión y el cohete.

(t t ( t

2

3

t

FIGURA 21. La gráfica de movimiento angular de la cámara de televisión.

De allí podemos inferir que:

.

Despejando θ , usando la función arco tangente, se tiene:

θ = arctan(16t )

En el tiempo inicial t = 0 el ángulo es θ = 0, mientras que al tiempo t = 3 segundos el ángulo es:

,

La gráfica es entonces:

θ = ≈ = °arctan . .48 1 54997 88 8067rad

tan( )θ = = =h t

t 5

80

516



solución


Ejemplo 3.

Un anuncio espectacular de 12 metros de altu-

ra, se encuentra montado 4 metros por encimadel nivel visual de un observador. Encuentra

una ecuación para el ángulo subtendido por el

observador como función de la distancia x al

espectacular.4 m

12 m

x

b

FIGURA 22. El problema del anuncio espectacular.

Observemos en la figura 22 que los ángulos α y β satisfacen:

Despejando de aquí los ángulos se tiene:

el ángulo que subtiende el observador es θ , de donde obtenemos:

En la figura 23 se muestra una tabla de valores del ángulo contra la distancia y la gráfica correspon-diente. De estos datos, podemos inferir que el observador verá mejor el espectacular si se encuentra a

una distancia aproximada de 8 metros.

θ β α= − =

−

arctan arctan .16 4

x x

α β =

=

arctan arctan4 16

x y

x

tan( ) tan( )α β = =4 16

x xy

4.0 0.540

5.0 0.593

6.0 0.624

7.0 0.639

8.0 0.644

9.0 0.64010.0 0.632

11.0 0.620

12.0 0.606

13.0 0.590

0.500

0.563

0.625

0.688

0.750

6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

x

y

y arctan(16 / x) arctan(4/ x)

FIGURA 23. Tabla de valores y la gráfica del ejemplo del anuncio espectacular.




1. Usa operaciones de traslación y escala sobre la función f ( x) = sen( x) para obtener las gráficas de las

funciones siguientes:

a) f ( x) = sen(2 x)

b) f ( x) = 2sen(2 x)

c) f ( x) = 2sen(2 x) + 4

d )

e)

f ) f x x

( ) = − +

+

32

5sen π

f x x

( ) =

+

32

5sen

f x x

( ) = −

sen2

2. Construye la gráfica de las siguientes funciones sinusoidales y determina también la imagen de cada

función.

a) f ( x) = 3sen(3 x)

b) f ( x) = −2cos(3 x + 1)

c) f ( x) = 4cos(2 x + 3) − 5

d ) f ( x) = −3cos(4 x + p) + 1

e) f ( x) = −3cos(2 x + 1) + 2

f ) f ( x) = 4sen(5 x − 2) − 4

3. Construye la gráfica de las siguientes funciones.

a) f ( x) = −2tan(4 x) + 2

b) f ( x) = −3cot( x + 2) + 1

c) f ( x) = 4tan(2 x + 1) − 2

d ) f ( x) = 2sec(−2 x + 4) − 1

e) f ( x) = 4csc(5 x − 5) + 3

f ) f ( x) = 3csc( x + 2) − 3

4. La profundidad del agua en un tanque oscila de forma sinusoidal una vez cada 4 horas. Si la profundi-

dad más pequeña es de 0.95 metros y la más grande es de 2.05 metros, halla una fórmula para la pro-

fundidad en términos de tiempo.5. Un sistema masa resorte, colocado sobre una mesa sin fricción, oscila de forma sinusoidal con pe-

riodo de 0.5 segundos. El resorte está conectado en un extremo a la masa y en el otro a un punto fijo

P sobre la mesa. Si la mayor distancia de la masa al punto P es de 12 cm y la menor de 8 cm, de-

termina una expresión para la distancia de la masa al punto P como función del tiempo, medido en

segundos.

6. Una población de conejos en una granja varía de forma sinusoidal entre 800 el 1 de enero y 1 500 el 1

de julio. Encuentra una fórmula para la población como función del tiempo t, medido en meses desde

el inicio del año.

7. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica de funciones. De-

termina después en qué región crece y dónde decrece.

a) f ( x) = sen( x) + cos( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

b) f ( x) = 3sen( x) + 2cos( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

c) f ( x) = sen(2 x) + cos( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

d ) f ( x) = 3sen(2 x) + 2cos( x) en el intervalo (−2π ,2π ).

e) f ( x) = 3sen(2 x) + 2sen( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

f ) f ( x) = 3sen(2 x) − 2sen( x) en el intervalo (−2π , 2π ).




8. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica.

a) f ( x) = ( x/3) + sen( x) en el intervalo (0, 4π ).

b) f ( x) = 2 x + 3sen(2 x) en el intervalo (0, 2π ).

c) f ( x) = x + 2 + 4 cos( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

d ) f ( x) = 4 x − 2 + 5cos(2 x) en el intervalo (−2π , 2π ).

e) f ( x) = x + 2 + 3 cos(2 x) en el intervalo (−2π , 2π ).

f ) f ( x) = 3 x + 2 + 3sen( x) en el intervalo (−2π , 2π ).

9. Construye la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas inversas:

a) f ( x) = 2 arccos(2 x) + 3

b) f ( x) = 3 arctan(4 x) − 2

c) f ( x)

= −2 arcsen(2 x)

+3

d ) f ( x) = −3 arccos( x + 2) + 1

e) f ( x) = arccos(2 x + 5) + 5

f ) f ( x)

= −arctan ( x

−2)

+1

10. Sobre un edificio de 100 m hay un anuncio de 12 m de altura. Desde la calle, y con los ojos a 1.6 m

del suelo, una persona trata de ver el anuncio lo mejor posible.

a) Si la persona está separada 300 m del edificio, ¿bajo qué ángulo ve el edificio, con todo y el anuncio?

b) Si la persona está separada 50 m del edificio, ¿cuál es el ángulo bajo el que ve todo el anuncio? ¿y

si la persona está separada 150 m?

c) Si sabemos que podrá ver mejor el anuncio si el ángulo bajo el que lo ve es mayor, ¿dónde debe co-

locarse la persona para leer mejor el anuncio?

11. Al momento de escribir este libro, se presentaba la pintura El beso atrapado en el museo de arte mo-

derno de la Ciudad de México. La obra tiene una altura de 2 metros y está colgada de tal manera que

su extremo inferior se encuentra a una distancia 0.5 metros por encima del ojo de un observador. Su-pón que θ es el ángulo que subtiende el ojo (observa la figura 23).

a) Si el observador está a una distancia de 4 metros ¿cuál es el valor de θ ?

b) Si el observador está a una distancia de x metros, encuentra θ como función de x.

c) Elabora una tabla de valores de θ contra x y después grafica la función.

d ) Estima el valor de x donde se encuentra el valor máximo de θ . ¿Qué interpretación tiene este ángulo?

0.5m

2m

x

u

FIGURA 23. El problema del cuadro en el museo.





Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve todas las preguntas que se hacen en cada situación.

1) Para la situación “Ganancias por exportaciones” , presentada en la introducción, responde

las siguientes preguntas:

a) Traza una gráfica con los datos de la tabla de ganancias en los últimos dos años.

b) Observa que hay una tendencia a crecer en las ganancias, pero al mismo tiempo hay as-

pectos oscilatorios que pudieran deberse a que el producto de la empresa se vende mejor

en unos meses que en otros; a este fenómeno en las ventas se le llama estacionalidad.

¿Cómo determinarías una ecuación para la tendencia? ¿Cómo determinarías una función

que sólo considerara el efecto estacional?

c) Un buen modelo para ajustar los datos es f ( x) = asen( x) + bx + c. Determina los valores

de a, b y c que mejor ajusten los datos.

¿Cómo esperas que sean las ganancias en los próximos tres años?

¿Cómo le sugerirías al dueño de la empresa invertir las ganancias para que pueda lograr su ob-

jetivo?

2) “El elevador”

En algunas plazas comerciales existen elevadores panorámicos que suelen estar a la vista de

los visitantes. Supón que en un centro comercial de 20 metros de altura se tiene uno de es-

tos elevadores y que estás parado a una altura de 10 metros del suelo, a una distancia hori-

zontal de 15 metros del elevador y que el elevador desciende con una velocidad de 2 metrospor segundo.

a) Elabora un dibujo que muestre la situación. Supón que θ es el ángulo entre tu línea hori-

zontal y la línea con la que observas el elevador.

b) Encuentra la altura del elevador h(t ) sobre el nivel del suelo, a medida que baja desde lo

alto de la plaza.

c) Encuentra ahora una fórmula para calcular θ en cualquier tiempo.

d ) Construye una tabla con una columna para el tiempo y otra para los ángulos. Considera

intervalos de tiempo de un segundo

e) Elabora una gráfica del ángulo contra el tiempo.

f ) Estima la velocidad con la que cambia el ángulo en los tiempos t = 1, 2, 3,…, 10 ¿A quéaltura estará el elevador cuando parezca moverse más rápidamente?

3) “El clima de la ciudad de Veracruz’’

La siguiente tabla muestra la temperatura promedio mensual (más alta y más baja) del puerto

de Veracruz durante dos años consecutivos (2001-2002). Este conocimiento permite a los hote-

leros del lugar hacer promoción para sus negocios presentando las bondades del clima.




Cuestionario

a) Grafica los datos. Explica las características de la temperatura en el puerto con base en lagráfica.

b) Ajusta una función trigonométrica que se aproxime a los datos. La variable independiente

debe ser el tiempo en meses. Para hacer esto, será necesario que encuentres la amplitud, el

periodo de los datos y el momento en que ocurre el máximo.

c) Estima la temperatura que habrá los días 10 de mayo, 16 de septiembre y 25 de diciembre.

d ) En la tabla siguiente te presentamos las temperaturas promedio mensuales en el año 2002 en

varios municipios del estado de Sonora. Cada miembro de tu equipo debe elegir dos ciuda-

des y ajustar una función trigonométrica para la temperatura. ¿Qué temperatura esperan en

cada ciudad el 2 de noviembre?

2001 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 29.4 27.2 25.6

Baja 18.9 19.4 20.6 22.8 24.4 24.4 23.9 23.9 23.9 22.8 20.6 19.4

2002 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 29.4 27.2 25.6

Baja 19.1 19.5 20.4 23.1 24.3 24.4 23.8 23.7 23.8 22.6 20.4 19.2

Temperatura media mensual (° C) en el Estado de Sonora

Estación Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Agua Prieta 7.2 9.1 12.2 15.5 19.9 25.3 26.6 25.6 23.1 17.6 11.5 7.4

Arizpe 11.6 14.1 15.6 18.6 22.2 27.4 28.5 27.3 25.8 21.6 15.5 12.1

Bahía Kino 13.6 14.7 15.9 18.1 20.8 25.1 28.5 29.2 27.6 22.8 17.1 14.2

Cananea 7.8 9.2 10.9 14.2 18.1 23.7 23.4 22.4 20.7 17.4 12.1 8.3

Guaymas 18.0 19.2 20.8 23.3 26.2 29.3 31.0 30.9 30.2 27.0 22.5 19.2

Hermosillo 16.9 18.6 20.7 23.6 26.9 31.3 32.3 31.6 30.8 27.1 21.2 17.4

Huatabampo 16.5 17.0 18.4 21.1 23.6 27.8 30.2 30.1 29.6 26.0 21.0 17.3

Nacozari 11.1 13.3 16.3 20.6 25.6 30.1 28.8 27.8 26.8 22.0 15.7 11.8

Navojoa 17.7 18.7 20.6 23.3 27.2 30.4 31.8 31.4 30.8 27.6 22.6 19.0

Sonoita 11.5 13.4 15.8 19.6 23.4 28.5 31.9 31.2 28.6 23.0 16.1 12.0




1. Determina el periodo y la amplitud de la siguiente función sinusoidal.

f ( x) = 5sen(4 x + 2)

a) π /2, 5 c) π /2, 10

b) 8π , 5 d ) 8π , 10

2. Determina el dominio de la función y = 2 tan(3 x) + 4

a) c)

b) d )

3. Determina la imagen de la función y = 2 arctan(3 x) + 2π

a) (−π , π ) c) (π , 3π )

b) [−π /2, π /2] d ) (−π /2, π /2)

4. Un sistema masa-resorte oscila entre 0.20 y 0.32 metros. Si el tiempo de una oscilación es de

2 segundos, determina una ecuación que describa su movimiento.

a) y = 0.06 cos(t ) + 0.26 c) y = 0.26 cos(t ) + 0.06

b) y = 0.26 cos(π t ) + 0.06 d ) y = 0.06 cos(π t ) + 0.26

5. Relaciona la afirmación de la columna B con la funciones que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) f ( x) = 2sen(2π x) i. Periodo = 2

b) f ( x) = 4sen(2π x) + 3 ii. Periodo = 1

c) f ( x) = 5tan(2π x) iii. Amplitud = 1

d ) f ( x) = 4arctan(2 x) iv. Amplitud = 2

v. Imagen = [−2, 2]

vi. Imagen = [−1, 7]

vii. Imagen = (−2π , 2π )

viii. Asíntota x = 1/4.

− ± ± ±{ }π π π , , ,3 5 K

− ± ± ± 32

62

92

π π π , , ,K

− ± ± ±

π π π

6

3

6

5

6, , ,K − ± ± ±

π π π

2

3

2

5

2, , ,K




Respuestas a los


1.

2.

.

− .

1.5

.

1

−

0.5a

.

0

−2

−

−

−2

−

2

2

2− .

.

− −4

−

4

4

x x

x

x x

x

y y

y

y y y

y s x y s x y 2 sen(2 x) 4

y sen( x /2) y 3 sen( x / 2) 5 y sen(( x /2

−

5

7.5

.

5

−−

−

−8−

− 8

9

5

) b) )

e

0

−

−

−2 2−

−

x

x

x

−

−

y x y x y x 1

y y y

Imag( 2, 4] Imag( ) 1, 5] f Imag( ) 8, 0]




−

−

2

2

−

−

−4 x

x

x

−

y x 2 y x y 1

y y y

d mag f 2, 4 e mag f 1, mag 8, 0

3.

4. 4) x(t ) = 0.55 cos(π t /2) + 1.5

5. x(t ) = 2cos(4π t ) + 10

6. P(t ) = 350cos(π t /6) + 1 150

..

. .2

2

2 2

−1. ..

−

−44

x

x

x

x

x

x

−

8

88

y 2 sec x 4) y 4 csc( x 5) y 3 csc x 2)

1

y

y

y

y

y

y

y 2 tan( x) y 3 cot x 2) y tan x 1)

a b c

d e




7.

8.

5

5

x

y

a)

−5

5

x

y

b)

−5

5

-

x

y

c

y x ) sen x) y x 3 sen(2 x y x 4 cos x)

−2

−1

0

1

2

−7 −3.5 0 3.5 7 x

y

a)

y 3 sen( x) 2 cos( x)

−4

0

2

4

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

b)

−2

−1

0

1

2

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

c)

−5

−2.5

0

2.5

5

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

e)

−5

−2.5

0

2.5

5

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

f )

−2

−5

2.5

0

2.5

5

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

d )

y sen(2 x) cos( x)

y

3 sen(2 x

)

2 cos( x

) y

3 sen(2 x

)

2 sen( x

) y

3 sen(2 x

)

2 sen( x

)

y sen( x) cos( x)

−




−

−

x

y

d

x

y

−

4

x

y

f

y x cos x y x cos x y x 3 sen( x

.5

x

a

3

−

x

y

b

−

2

.5 . 5 . 5 .5 x

y

−

x

y

d

x

y

0

5

x

y

0. 0.2

y arccos x

y 3 arccos( x 2) 1

− −

−

−

− −

y arccos x

5

y arctan( x 2

y 3 arctan( x y arcsen x

− −

−

−

−3

y

9.




10.a) 24.88°= 0.434244rad,

b) θ = arctan(2.5/ x) − arctan(0.5/ x)

c)

u x

0.25 0.364

0.50 0.588

0.75 0.691

1.00 0.727

1.25 0.727

1.50 0.7091.75 0.682

2.00 0.651

2.25 0.619

2.50 0.588

1.00

1.0

0.7

0.500

0.2

0.000

0.00 0. 1. .0 2.

y

x

y arctan . x arctan . x

d ) Entre 1.0 y 1.25 metros, es donde se ve mejor.

1. a)

2. c)

3. c)

4. d )

5. (a, ii, v), (b, vi), (c, viii), (d , vii)



Unidad

Límites y continuidad



. ímites

3.2 Continuidad

En el contexto de la matemática, los conceptos de límite y continuidad tienden a ser percibidos como abstractos,incluso en ocasiones, desligados de la vida. Ciertamente son abstractos y, por lo tanto, su estudio constituyeun reto intelectual que reditúa grandes satisfacciones cuando se logra su comprensión. De este ejerciciointelectual se deduce una gran disciplina mental y un sentido de logro.

Sin embargo, esta abstracción no se encuentra fuera de la vida, sino que se remite precisamente a ella.

El fluir de nuestra existencia acaece como una permanente sucesión de instantes y momentos, como bien

lo ha expresado Jorge Luis Borges: “Por si no lo saben, de eso está hecha la vida, sólo de momentos; no te

pierdas el ahora”.

Generalmente, no nos percatamos de esa sucesión de momentos porque el flujo es tan continuo, quehasta se convierte en rutinario. Cuando ese flujo continuo se interrumpe, nos percatamos de la existenciade su continuidad: aparece una discontinuidad. Nuestras vidas son tranquilas hasta que un evento perturba orompe esa tranquilidad.

Por ejemplo, podemos conducir un automóvil a gran velocidad disfrutando de la música, de la conversación,del paisaje, y en ese agradable flujo el automóvil prácticamente se ha vuelto transparente: tan solo nos trans-porta y ya no nos percatamos de él. Hasta que surge algún desperfecto, como la pinchadura de una llanta oalguna falla del motor, nos percatamos de la presencia e importancia del automóvil. Esa perturbación puederomper la continuidad al punto de dejarnos varados. Ha habido una discontinuidad que ha roto la transparencia.

Cuando se presenta una discontinuidad nos planteamos muchas preguntas que conducen a un proceso deanálisis, del cual pueden surgir nuevas posibilidades. Una discontinuidad puede ser tan importante que cambiael curso de nuestras vidas. En algunas ocasiones sólo ocurre, como en el momento que sufrimos un accidente



grave, y en otras, la provocamos, como sucede al contraer matrimonio, y la vidacambia.

Los seres humanos, y especialmente los científicos, tenemos una pasión porexplicar y predecir lo que ocurre a nuestro alrededor. Una forma de hacerlo es al

plantear modelos matemáticos en términos de funciones y variaciones de éstas.Con esos modelos buscamos tanto explicar cómo predecir lo que sucederá en

las situaciones o fenómenos que observamos, por lo que las funciones empleadasrepresentarán la continuidad, las tendencias y las discontinuidades de las situacionesdescritas. En ocasiones los escenarios observados tienden a estacionarse en ciertosvalores límite, como ocurre con la edad madura de las personas, la capacidad delambiente para sostener la vida, y muchas otras situaciones, lo que nos hará pre-guntarnos acerca de la existencia de límites en la vida.

En este capítulo, aprenderemos a analizar las funciones con las que las represen-tamos diversas situaciones, sentando las bases para desarrollar nuevos conceptosque nos permitirán analizar la forma en la que las funciones cambian en el espacioy en el tiempo. Aprovecha este momento para crecer intelectualmente. No te pierdas

el ahora

134 Unidad 3: Límites y continuidad

3.1 Límites

Los límites de mi lenguaje

representan los límites

de mi mundo.

Ludwig Wittgenstein

Las misceláneas

En el pueblo de Juriquilla, en el estado de Querétaro, existen dos grandes mis-

celáneas: “El Toluco” y “El Matador”. Ambas tiendas compiten por 1000

clientes potenciales. Cada mes, 80% de los clientes de “El Toluco” queda sa-

tisfecho y vuelve a realizar sus compras en el mismo lugar, mientras que el

20% restante prefiere irse con “El Matador”. En cambio, sólo 70% de los

clientes de “El Matador” queda satisfecho, y el 30% restante decide cambiar a “El Toluco”.

¿Cuál es el comportamiento de los clientes mes a mes?

¿Cuál será la clientela de cada miscelánea al cabo de un cierto tiempo?



1353.1: Límites

Introducción

En la vida cotidiana es común encontrar situaciones donde aparece el térmi-no “límite”. Por ejemplo, al circular por las carreteras del país podemos ob-servar los letreros que marcan la velocidad tope a la que debemos transitar, ocuando hacemos compras en un supermercado, estamos limitados por nues-tro presupuesto. En la misma naturaleza se presentan otras situaciones quetambién exhiben la existencia de límites, por ejemplo, la vida de los seres hu-manos, la altura de las montañas, la velocidad con la que se mueven los cuer-pos en el espacio vacío o la cantidad de personas que pueden vivir en una co-munidad con recursos limitados, etcétera.

En matemáticas también existe el concepto de límite y su importancia radicaen que permite precisar de forma simple otros conceptos fundamentales co-mo la continuidad, la derivada y la integral de funciones. Este concepto noaparece explícitamente en el cálculo desarrollado por Newton y Leibniz y, fuehasta el siglo XIX, el llamado siglo del rigor en matemáticas, cuando adquirió

la importancia que mantiene hasta el presente. En un texto de 1821, Augus-tin Louis Cauchy presentó el concepto de forma similar a cómo se enseña enla actualidad. Más adelante, Karl Weierstrass estableció el formalismo ε − δ

para su estudio. Sin lugar a dudas, este concepto es una pieza fundamental enla construcción formal del cálculo y del análisis.

FIGURA 1. A la izquierda, Augustin Louis Cauchy, quien desarrolló la ideaintuitiva de límite de una función. A la derecha, Karl Weierstrassquien estableció la definición ε − δ del concepto de límite.

Objetivos

Al terminar la sección tendrás la capacidad de:a) Comprender los conceptos, intuitivo y formal, de límite de una función

en un punto x0.

b) Aplicar la definición formal del límite de una función a situaciones con-cretas.

c) Calcular el límite de funciones polinomiales, racionales, exponenciales,logarítmicas, trigonométricas y algebraicas.

d ) Calcular límites con indeterminaciones del tipo e .

e) Calcular límites laterales, al infinito e infinitos.

f ) Obtener asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de diversas funciones.

∞∞

0

0



Concepto de Límite

La pregunta clave que queremos responder es: ¿cómo se comporta la función y = f ( x)cuando la variable independiente x se acerca cada vez más a un valor x0? Desde luego,

la respuesta no es única y puede tomar varios caminos que abordaremos poco a poco enesta sección. Para responder a la pregunta, empezaremos por definir la noción intuitiva

de límite de una función.


Definición intuitiva de límite.

Sea f ( x) una función definida en un intervalo abierto alrededor de x0, exceptoposiblemente en el mismo punto x0. Si f ( x) se acerca tanto como queramos a

L para toda x lo suficientemente cerca de x0, decimos que f se aproxima al li-mite L cuando x se acerca a x0, y escribimos

El cual se lee como “el límite de f ( x) cuando x tiende a x0

es L”.

lím x x

f x L→

=0

( )

En la figura 2 se muestra el significado del límite y se puede observar que la funcióntoma valores cada vez más cercanos a L, a medida que la variable x se acerca al valor x0.La función no necesariamente se encuentra definida en x0.

x 0

( )→

→ 0

FIGURA 2. En la gráfica se observa que cuando x se acerca al valor x0, la función se acerca al va-lor L. Esto ejemplifica el concepto de límite.

Las figuras 3, 4, 5 y 6 ilustran la existencia o inexistencia de límites de funciones.



• en x0 = 2.

La función no está definida en el punto x = 2. En la figura 3 se

observa que cuando x se acerca al punto 2 con valores más gran-des, la función se acerca al valor 4. Lo mismo ocurre, si nos acer-camos al punto con números menores a 2. En este caso, existe ellímite y decimos que

• en x0 = 0.

La función no está definida en x0 = 0. En la figura 4 se obser-va que, cuando la variable x toma valores positivos cada vezmás cercanos a 0, la función crece sin medida. En el caso enque x toma valores negativos y se acerca a cero, la función sehace negativa y con magnitud cada vez más grande. En este ca-so no existe el límite.

• en x0 = 2.

La función sí está definida en el punto, en la figura 5 se observaque cuando x se acerca a 2 con valores mayores a 2, la funciónse acerca al valor 3; mientras que si x se acerca al 2 con valoresmenores a 2, la función se acerca al 9. En este caso no existe ellímite, ya que intuitivamente, esperamos que si éste existe, en-tonces tiene un único valor.

• Considera ahora la función ¿Cómo se com-

porta cerca del 0?

Observemos primero que la función no está definida en x = 0. Podemos procedercomo lo hicimos con las funciones anteriores, pero vale la pena que primero conside-remos un acercamiento numérico para saber qué le ocurre a la función. En la tabla 1registramos los valores que toma la función al irnos acercando al punto, y podemosintuir que el límite de la función es 1/4 cuando x se acerca al 0.

f x x

x( ) =

+ −4 2

f x x x

x x( ) =

+ <− + ≥

7 2

5 2

si

si

f x x

( ) =1

lím x

x

x→

−−

=2

2 4

24

f x x

x( ) =

−−

2 4

2

y

1

1 2

2

x

2.5

1.5

1.5

0.5

0.5

y8

6

4

2

1 1 2 3 4 5 x

1373.1: Límites

FIGURA 3. Éste es un ejemplo de una funciónque tiene límite cuando la variable x se acerca a dos.

FIGURA 4. Éste es un ejemplo de una funciónque no tiene límite cuando lavariable x se acerca a cero.

y

1 x

12

10

8

6

6

4

4

2

21 3 52

FIGURA 5. Éste es un ejemplo de una funciónque no tiene límite cuando lavariable x se acerca a dos.



Analicemos algebraicamente qué le ocurre al límite. Observa que como x ≠ 0, la si-

guiente relación es válida:

La gráfica de esta función la construimos aplicando operaciones de traslación y esca-la a la función y después aplicando la regla de los recíprocos, que se estudió en elcapítulo de funciones (figura 6). De aquí, comprobamos gráficamente que el límite es 1/4.

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x

+ −=

+ −

+ +

+ +

= + −

+ +( ) =

+ +

4 2 4 2 4 2

4 2

4 4

4 2

1

4 2


y y

5

4

3

2

1

15 4 3 2 1

1

x

x

a) b)

0.3

0.28

0.26

0.24

0.22

0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

FIGURA 6. En a) se muestra la gráfica de la función obtenida usando la regla de los recípro-

cos. En b) se muestra el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 0, f ( x) tiende a 0.25.

f x x

x( ) =

+ −4 2

x 2

1 0.236068

0.1 0.248457

0.01 0.249844

0.001 0.249984

0.0001 0.249998

Tabla 1 Éste es un ejemplo numérico para intuir el valor del límite deuna función.

( x 2

1 0.267949

0.1 0.251582

0.01 0.250156

0.001 0.250016

0.0001 0.250002



La definición intuitiva de límite tiene expresiones como “se acerca tanto como que-

ramos” y “suficientemente cerca” . Estas frases son imprecisas porque dependen delcontexto; por ejemplo, para un astrónomo, una distancia de diez metros es algo muy cer-cano, ya que la unidad de medida estándar en Astronomía es el parsec (distancia recorri-

da por la luz en un año). Sin embargo, para un biólogo que estudia una población de bac-terias, los diez metros son una distancia inmensa. Para fortalecer nuestra definición y quepodamos precisar las expresiones señaladas, consideremos que deseamos mostrar que

Supongamos que “queremos que la función se acerque a la función en una distanciamenor a 0.1”, es decir, deseamos que

Esto significa que alrededor de L, tenemos un intervalo de longitud 0.2 centrado en 4.Ahora, queremos saber qué tan “suficientemente cerca debe estar x de 2, sin ser 2”, pa-

ra que se cumpla la expresión anterior. Desarrollando, tenemos que:

Esto significa que si x está dentro del intervalo abierto (−1.9, 2.1), entonces la fun-ción toma valores que difieren de 4 en menos de 0.1. Observa que los valores de x seencuentran dentro de un intervalo de longitud 0.2 y centrado en 2. En la figura 7 se mues-tran la función y los intervalos.

− < −

− − <

− < + − <− < − <

< <

0 14

24 0 1

0 1 2 4 0 1

0 1 2 0 1

1 9 2 1

2

. .

. .

. .

. .

x

x

x

x

x

x

x

2 4

24 0 1

−−

− < .

lím x

x

x→

−−

=2

2 4

24

1393.1: Límites

FIGURA 7. Representación visual del límite de una función. Observa que todos los puntos delintervalo (1.9, 2.1) se mandan por la función al intervalo (3.9, 4.1), de donde seinfiere que la función toma valores tan cerca como se quiera de 4 con sólo pedirque x esté suficientemente cerca de 2. En a) se muestra la situación y en b) se haceun acercamiento gráfico.

y y5

x

x1.8 1. . 2.

4.

.

3.

. a b)



donde usamos que x ≠ 0, simplificamos la expresión que contiene la raíz, multiplicandopor su conjugado. Si ahora tomamos el recíproco, despejamos la raíz, elevamos al cua-drado y despejamos la variable x, obtenemos que:

Este intervalo no está centrado en x = 0, pero basta considerar la menor distancia al

cero para obtener el intervalo pedido, éste es: . En la figura 10 se muestra

una gráfica de la función y de cómo ésta actúa sobre el último intervalo. Ahora bien, ¿có-

mo cambia el intervalo si decidimos que la función debe estar a una distancia menor que? En la tabla 2 aparecen los intervalos centrados (−δ , δ )

alrededor del cero, adecuados para cada uno de los casos anteriores.

ε =1

100

1

1000

1

10 000

1

100 000, , ,

−

160

49

160

49,

207 4 2 2036

74

14

336

494

196

9160

49

160

9

< + + <

< + <

< + <

− < <

x

x

x

x

1413.1: Límites

y0.4

4 2 2 4 x

0.3

0.2

0.1

FIGURA 10. La función tiende al límite 0.25

cuando la variable x tiende a cero.

En general, queremos determinar un intervalo (−δ , δ ) que cumpla que si x ≠ 0 y x ∈

(−δ , δ ), entonces . El proceso para determinar tal intervalo es exac-

tamente como hemos procedido anteriormente. Consideremos que

x

x

+ −− <

4 2 1

4 ε

f x( ) ,∈ − +

1

4

1

4ε ε

e

(3.26531, 3.26531)

(0.591716, 0.591716)

(0.0634911, 0.0634911)

(0.00639488, 0.00639488)

(0.000639949, 0.0006399491

—————100 000

1————10 000

1———-1 000

1——100

1——10

Tabla 2 Los intervalos (d, d) que tienen la propiedadde que todos los puntos que contiene, conexcepción del cero, son enviados mediantela función a un intervalo.(0.25 e, 0.25 e).



de donde,

donde usamos x ≠ 0 y simplificamos la expresión que contiene la raíz, multiplicando por

su conjugado. Si suponemos que , es decir , entonces tenemos, después de

hacer la siguiente álgebra, que

Este intervalo no está centrado en x

=0, pero basta considerar la menor distancia al

cero para obtener el intervalo pedido. La menor distancia es claramente

y el intervalo pedido es

.

Para el caso de que , elegimos el intervalo anterior con . Obtenemos, en ese

caso, que

(−δ , δ ) = (−4, 4).

Como conclusión, el proceso que hemos analizado en los últimos ejemplos permiteformalizar el concepto de límite, pues ahora las frases “tan cerca como se quiera” y “su-ficientemente cerca” pueden sustituirse por “para todo ε > 0” y “existe un δ > 0” . Es-tamos ahora en condición de enunciar la definición formal de límite.

ε =1

4

ε >1

4

( , ) ,− = −+( ) +( )

δ δ ε

ε

ε

ε

64

1 4

64

1 42 2

δ ε

ε =

+( )

64

1 4 2

1 4

4

1

4 2

1 4

4

4

1 44 2

4

1 44

1 4

2 44

1 4

2

2 8

1 44

2 8

1 4

2 8

1 44

2 8

1 4

2 8

1 4

2 2

−<

+ + <

+

+ < + + <

−

+

− < + <

−

−

−+

< + < +

−

−+

< + <

+−

−+

ε ε

ε ε

ε ε ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

x

x

x

x

x

− < < +

−

−

−+( )

< <−( )

2 2

2 2

42 8

1 44

64

1 4

64

1 4

x

x

ε

ε

ε

ε

ε

ε

1

4 > ε

1

40− >ε

1

4

1

4 2

1

4− <

+ + < +ε ε

x




Insistimos que la desigualdad expresa formalmente el hecho de que f se

acerca tanto como se quiera al límite L, ya que tal función se encuentra dentro de un in-

tervalo abierto de radio ε en torno al límite L. Por otra parte, implica dos

desigualdades. La primera, , significa que x ≠ x0, para incluir así el hecho de

que f podría estar indefinida en x0. La segunda, , establece que x se encuentradentro de un entorno de radio δ alrededor del punto x0. Esta definición implica un pro-ceso en el que dada alguna ε > 0, se restringe al dominio encontrando alguna δ > 0 talque si x ≠ x0, x esté dentro de una distancia δ de x0. Mostraremos ahora el uso de esta de-finición mediante algunos ejemplos.

x x− <0 δ

x x− >0 0

0 0< − < x x δ

f x L( ) − < ε

1433.1: Límites

Definición formal de límite.

Si f es una función definida sobre un intervalo abierto alrededor del punto x0

,excepto tal vez en x0, entonces expresamos que

si para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que siempre que.0 0< − < x x δ

f x L( ) − < ε

lím f x L x x→

=0

( )

Definición de entorno

Un entorno del punto x0

con un radio r es un intervalo abierto que contiene al punto

x0

como punto medio. Este entorno se expresará como . E ( , ) x r x x x r 0 0= − <{ }

Con el fin de comprender el significado de esta definición, es útil introducir el con-cepto de entorno.

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Emplea la definición formal de límite para demostrar que .

Debemos mostrar que existe un entorno de radio δ > 0 alrededor de x0 = 2, tal que las imágenes de x

bajo la función f , se encuentren dentro de otro entorno de radio ε > 0 alrededor de L = 6. Esto es, re-querimos que

implique f x( ) − <6 ε 0 2< − < x δ

lím x

x→ − =2

8 10 6( )




La elección de δ depende del valor que se indique para ε , por lo que se requiere establecer la conexiónque existe entre los entornos . Determinaremos así el valor de δ > 0, a partirdel requerimiento impuesto por la selección de una ε > 0. Así, tenemos que:

Dado que precisamente buscamos que , por comparación de estas expresiones podemos elegir

Verificaremos ahora que ésta es una elección adecuada. Para ello, observemos que

lo cual demuestra que . El proceso que hemos realizado se muestra en la figura 11.lím x

x→

− =2

8 10 6( )

( ) | | ,8 10 6 8 2 88

8

x x− − = − < ⋅

=

< ε

εε

123

δ ε =

8

x − <2 δ

( )8 10 6

8 16

8 2

28

x

x

x

x

− − <

− <

− <

− <

ε

ε

ε

ε

x f x− < − <2 6δ ε y ( )

y

e

x

d

FIGURA 11. La función f ( x) = 8 x − 10 tiende al límite 6 cuando la variable x tiende a 0.

solución

Ejemplo 2.

Emplea la definición formal de límite para demostrar que .

La función no está definida en x0 = 1/2. Sin embargo, podemos analizar su comportamiento en la ve-cindad de x0, si excluimos a ese punto. Así, si x0 ≠ 1/2, podremos expresar

. f x x

x

x x

x x( )

( )( )=

−−

= + −

− = +

4 1

2 1

2 1 2 1

2 12 1

2

lím x

x

x→

−−

=12

24 1

2 12



1453.1: Límites

solución

Para mostrar la existencia del límite, deberemos determinar un valor para δ > 0, tal que si ,

entonces se cumpla . Supongamos que el límite es 2, cuando x tiende a 1/2. Así que,

Por comparación, identificamos

.

Usando este valor de δ , habremos demostrado que

, como en el ejemplo anterior.

Ejemplo 3.

Determina un valor de δ adecuado para demostrar que .

De nuevo, estableceremos la conexión existente entre . Para ello, observemosque

.

Supongamos que , entonces

De forma que . Podemos establecer ahora que

,

de donde deducimos que . Sin embargo, como esto se dedujo considerando que

, debemos elegir .δ ε

=

mín 15

,| | x − <2 1

δ ε =

5

x x x x2 4 2 2 5 2 5− = + − < − < =δ ε

x + <2 5

− < − << <

1 2 1

1 3

x

x

| | x − <2 1

x x x2 4 2 2− = + −

x x2 4 2− < − <ε δ y

lím x

x→

=2

2 4

lím x

x

x→−

−

=12

24 12 1

2

δ ε =

2

( )2 1 2

2 1

1

2 2

x

x

x

+ − <

− <

− <

ε

ε

ε

f x( ) − <2 ε

x − <1

2 δ




solución

solución

Ejemplo 4.

Demuestra que .

De la definición formal de límite, dada una ε > 0 debemos encontrar alguna δ > 0 tal que si. Para ello, consideremos que . En este caso, se tiene que:

,

de donde

.

Como esta relación es válida cuando , elegimos para el caso general ε > 0 a

Ejemplo 5.

Se requiere tornear un eje cilíndrico de manera que tenga una sección transversal con un área de 4.00cm2. ¿Cuál es la máxima tolerancia que puede tener el radio del cilindro para que la sección transversalse encuentre dentro de un margen de 0.01 cm2 de tolerancia?

Deseamos calcular el intervalo de valores del radio dentro del cual, los valores del área de la seccióntransversal estén dentro de la tolerancia permitida. En otras palabras, queremos determinar el intervalor 0 − δ < r < r 0 + δ dentro del cual , con ε = 0.01 cm2. Como el área de la sección transversalde un cilindro es A = π r 2, queremos que

3.99 < π r 2 < 4.01.De donde

.

Observa que A = 4, cuando r adquiere el valor . Si usamos esta información, ob-tenemos

−0.00138 < r − r 0 < 0.00162,

de donde podemos inferir que el torno debe calibrarse para que el radio tenga un error menor a δ =0.00138 cm.

r 0 4= =π 1.12838

3 99 4 01

1 127 1 130

. .

. .

π π < <

< <

r

r

A − <4 ε

δ ε

=

mín 1,5

x − <3 1

x x x x x x2 2 3 3 1 3 1 5− − = − + = − + < =( )( ) δ ε

x x x+ = − + < − + <1 3 4 3 4 5

x − <3 10 3 2 32< − < ⇒ − − < x x xδ ε

lím x

x x→

− =3

2 2 3( )



1473.1: Límites

solución

Ejemplo 6.

Mostrar que

a) b)

En ambos casos, determinaremos la relación que debe existir entre ε y δ . Para el primer límite, tenemosque:

,

así que, basta elegir δ = ε .En el segundo caso, tenemos que:

,

y basta elegir .Estos ejemplos muestran que, en algunas ocasiones, es muy sencillo mostrar la existencia de un lí-

mite usando la definición formal, y es muy complicado intentar calcular el límite por otros medios.

δ ε =

x x

x x

x2 2 21 1sen sen

=

≤ < ε

x x

x x

xsen sen1 1

=

≤ < ε

lím x

x x→

=0

2 1 0senlím x

x x→

=0

1 0sen

Teoremas sobre límites

Aun cuando pareciera lo contrario, calcular límites no es difícil; en cierto sentido, es un pro-ceso muy simple. Por ejemplo, considera la función f ( x) = x y supón que quieres calcu-

lar . El comportamiento de los valores de f ( x) es idéntico al de los valores de x.En consecuencia, f ( x) se acerca a 0 cuando x se acerca a 0 y, por lo tanto . Este

resultado seguirá siendo válido, independientemente del punto al que quieras acercarte.Es decir, para cualquier elección de a. Aunque el ejemplo parece extrema-

damente simple, es muy importante a la luz del siguiente teorema.

lím x a

f x a→

=( )

lím x

f x→

=0

0( )lím x

f x→0 ( )

Teorema 1.

Sean f ( x) y g( x) dos funciones para las cuales y , en-tonces:

a) (regla de la suma)

b) (regla del producto)

c) siempre que L2 ≠ 0. (regla del cociente)

d ) con p, q ∈ y . (regla de la potencia) L p q

1( ) ∈ / lím

x a

p q p q f x L

→ [ ] = ( )( ) / /

1

lím x a

f x

g x

L

L→

=

( )

( )1

2

lím x a

f x g x L L→

[ ] =( ) ( ) 1 2

lím x a f x g x L L

→ +[ ] = +( ) ( ) 1 2

lím x a

g x L→

=( ) 2lím x a

f x L→

=( ) 1



Ejemplos

solución

Para ilustrar el uso de la definición formal de límite, mostraremos sólo el caso indi-cado en el inciso a), ya que los otros se demuestran de forma similar. Para ello, necesi-tamos recordar que si a y b son números reales, entonces (desigualdaddel triángulo).

| | | | | |a b a b+ ≤ +


Demostración.

Ahora, como y , se sabe que dado ε > 0, puedes encontrar

δ 1 > 0 y δ 2 > 0 de tal manera que, si y , entoncespuedes asegurar que

y .

Sea δ = min(δ 1, δ 2), es decir, el menor de los números dentro del paréntesis. Por

tanto, si , entonces puedes asegurar, por la desigualdad del trián-gulo, que

Este resultado muestra que la afirmación enunciada en el inciso a) del teoremaes cierta.

f x g x L L f x L g x L

f x L g x L

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

,

+ − + = − + −

≤ − + −

< + =

1 2 1 2

1 2

2 2

ε ε ε

0 < − < x a δ

g x L( ) − <2 2

ε f x L( ) − <1 2

ε

0 2< − < x a δ 0 1< − < x a δ

lím x a

g x L→

=( ) 2lím x a

f x L→

=( ) 1

La importancia de este teorema radica en que puedes calcular límites, como los queveremos a continuación.

Ejemplo 7.

Sea f ( x) = x2, calcula .

Observa que x2 es una función producto de g( x)=

x consigo misma. Por tanto, de nuestra discusión anteriory del inciso b) del teorema 1, puedes concluir que .

Ejemplo 8.

Calcula el límite de f ( x) = 5 x2 + 4, cuando x se acerca a 3.

lím x

f x→

= =2

22 4( )

lím x

f x→2

( )



1493.1: Límites

solución

solución

solución

Usando el ejemplo 1 y los incisos b) y c) del teorema 1, es fácil observar que

,

dado que el límite de cualquier función constante en cualquier punto, siempre será esa constante.

Ejemplo 9.

Calcula si , donde a0, a1, a2, …, an

son constantes reales.

Realizando las mismas observaciones que en el ejemplo anterior, es claro que el límite buscado es. En realidad, el punto 2 –en el que calculamos el límite– puede

ser sustituido por cualquier número x0; de suerte que,

.

Observa que este resultado nos indica que el límite de una función polinomial en x0, se obtiene sustitu-yendo este valor en la función.

Ejemplo 10.

Supón que f ( x) y g( x) son dos funciones polinomiales y x0 es un número real fijo tal que g( x0) ≠ 0. Cal-cula el .

Sabemos que y , por lo que una aplicación

directa del inciso c) del teorema 1, nos asegura que .

Después de los ejemplos tratados en este apartado, se podría pensar que el cálculo de los límites se

reduce simplemente a calcular la función en el punto en el que deseamos calcular el límite; en realidad,esto será así en un buen número de ejemplos. Más adelante, definiremos explícitamente este hecho co-mo continuidad de la función en el punto en cuestión. Sin embargo, esta situación no siempre se pre-sentará, y será necesario establecer algunos criterios que nos permitan calcular el valor del límite.

lím x x

f x

g x

f x

g x→=

0

0

0

( )

( )

( )

( )

lím x x

g x g x→

= ≠0

0 0( ) ( )lím x x

f x f x→

=0

0( ) ( )

lím x x

f x

g x→ 0

( )

( )

lím nn

nn f x f x a x a x a x a−

−= = + + ⋅⋅⋅ + +0 0 1 01

1 0 0( ) ( )

f a a a ann

nn( )2 2 2 21

11 0= + + ⋅⋅⋅ + +−

−

f x a x a x a x ann

nn( ) = + + ⋅⋅⋅ + +−

−1

11 0lím

x f x

→2( )

lím x

f x→

= + =3

25 3 4 49( ) ( )( )



Límites de funciones racionales

Supón que tienes dos funciones polinomiales f ( x) y g( x) que satisfacen f (a) = g(a) = 0,

y que quieres determinar el comportamiento de la función cerca de x = a. Cla-

ramente, este punto no está en el dominio de la función y no es posible auxiliarnos delteorema 1. Sin embargo, podemos describir el comportamiento considerando que a esuna raíz de p( x) y q( x); esto nos permite reescribir los polinomios como

f ( x) = ( x − a) f 1( x) y g( x) = ( x − a) g1( x).

Si además suponemos, sin perder generalidad, que g1(a) ≠ 0, se tiene que:

.

Esta identidad es válida para x ≠ a y por lo tanto,

.

Es decir, a pesar de que h( x) no está definida en x = a, sí tiene un comportamiento pre-decible cerca de ese punto. Este comportamiento lo obtenemos calculando el límite.

lím lím lím x a x a x a

h x x a f x

x a g x

f x

g x

f a

g a→ → →=

−−

= =( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )1

1

1

1

1

1

h x x a f x

x a g x

f x

g x( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )=

−−

=1

1

1

1

h x f x

g x

( )( )

( )

=


Ejemplos

solución

Ejemplo 11.

Calcula el .

Como x2 − 1 = ( x + 1)( x − 1), tenemos que es una relación válida para x ≠ 1. Aprovechan-

do este resultado, tenemos que:

Ejemplo 12.

Calcula el .lím x

x x

x→−

+ ++1

2 2 1

1

lím lím lím x x x

x

x

x x

x x→ → →

−− =

− +− = + =1

2

1 1

1

1

1 1

1 1 2( )( )

( )

x

x x

2 1

11

−−

= +

lím x

x

x→

−−1

2 1

1



solución

solución

solución

1513.1: Límites

Siguiendo la misma estrategia que en el ejemplo anterior, factorizamos el numerador para obtener

, válido para x ≠ −1,

de donde

Ejemplo 13.

Calcula .

Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos que:

.

Ejemplo 14.

Calcula .

De la definición de , tenemos que ; por lo tanto,

Ejemplo 15.

Calcula el .límcos(θ

π

θ

θ →2

cot( )

)

límsen(

límθ θ

θ

θ θ → →= =

0 0

11

tan( )

) cos( )

tan( )

) cos( )

θ

θ θ sen( =

1tan( )

)

)θ

θ

θ =

sen(

cos(

lím sen(θ

θ

θ →0 tan( ))


x

x

x x x

x x x

→ → →

−−

= − + +

− = + + =

1

3

1

2

1

21

1

1 1

11 3

( )( )( )

lím x

x

x→

−−1

3 1

1

lím lím x x

x x

x x

→− →−

+ ++

= + = −1

2

1

2 1

11 0( )

x x

x

x

x x

2 22 1

1

1

11

+ ++

= +

+ = +

( )



En el siguiente apartado, analizaremos el cálculo de límites cuando la variable inde-pendiente crece sin medida y cuando, al acercarse a un punto dado, la función toma va-lores, en magnitud, cada vez más grandes.

Límites laterales y límites infinitos

Antes de enunciar formalmente algunos otros resultados sobre límites, recurramosnuevamente a considerar algunos aspectos intuitivos. Piensa que queremos calcular

con

Podemos hacer una primera estimación mediante un argumento numérico. En las ta-blas 3a, 3b, 3c y 3d , se ilustra el comportamiento de la función cuando x tiende a ±1.

Observa las tablas 3a y 3b: cuando x tiende a −1 con números mayores, la función to-ma valores cada vez más grandes. En ese caso, decimos que el límite por la derecha esinfinito y lo denotamos como

En el otro caso: cuando x tiende a −1 con números menores, la función tambiéncrece sin medida. Aquí, decimos que el límite por la izquierda es infinito y lo escribimoscomo

lím x

x

x x x→− −

−+ − −

= ∞

13 2

1

1.

lím x

x

x x x→− +−

+ − −

= ∞

13 2

11

.

f x x

x x x( ) =

−+ − −

1

13 2

lím y lím x x

f x f x→ →−1 1

( ) ( )


solución

De forma semejante al ejercicio anterior, tenemos que ; de donde y, por lotanto,

.

Estos ejemplos muestran que el cálculo de límites de funciones racionales es relativamente simple.Todo depende del valor del numerador en el punto donde queremos calcular el límite. Si numerador ydenominador se anulan, entonces se debe simplificar la expresión antes de calcular el límite. Aprove-chamos el momento, y el proceso para calcular límites de cocientes de funciones trigonométricas. Lossiguientes resultados

fueron usados en los ejemplos, y se requieren para resolver los ejercicios; encontraremos su justifica-ción en la sección de continuidad.

lím sen y senθ θ θ π θ π

θ θ θ θ → → → →

= = = =0 0 2 2

1 0 0 1cos( ) , lím ( ) , lím cos( ) lím ( ) , / /

límcos(

límsen(

θ π

θ π

θ

θ θ → →= =

2 2

11

cot( )

) )

cot( )) )

θ

θ θ cos( sen(= 1cot( ))

)θ

θ

θ =cos(

sen(



Para el cálculo de , usamos las tablas 3c y 3d . Aquí, los límites por la dere-

cha e izquierda son iguales a 0.25, lo cual escribimos como

lím lím x x

x

x x x

x

x x x→ →+ +−

+ − −

=

−+ − −

=

13 2

13 2

11

11

0 25. .

lím x

f x→1

( )

1533.1: Límites

x

0.00000 1.000

0.50000 4.000

0.90000 100.000

0.99000 10 000.000

0.99900 1 000 000.000

0.99990 99 999 999.942

0.99999 9 999 999 132.628

Tabla 3 Procedimiento numérico paracalcular los límites de f (x)cuando la variable tiende a1 o a 1

2.00000 1.000

1.50000 4.000

1.10000 100.000

1.01000 10 000.000

1.00100 1 000 000.000

1.00010 100 000 000.163

1.00001 10 000 004 763.654

2.00000 0.11111

1.50000 0.16000

1.10000 0.22676

1.01000 0.24752

1.00100 0.24975

1.00010 0.24998

1.00001 0.25000

0.00000 1.00000

0.50000 0.44444

0.90000 0.27701

0.99000 0.25252

0.99900 0.25025

0.99990 0.25003

0.99999 0.25000

a) b)

c) d )

En general, tenemos las siguientes definiciones de límites laterales, donde el proceso delímite en un punto, se hace sólo por un lado (derecha e izquierda).



Inmediatamente tenemos un resultado sobre la existencia del límite en términosde los límites laterales.


Definición 1.

Si f ( x) está definida en un intervalo (c, a) y queremos calcular el límite de f ( x)

en a, sólo podemos acercarnos por puntos menores que a. En esta situación, di-remos que , si para cada ε > 0 existe δ > 0, tal que si 0 < a − x < δ ,

entonces . En otras palabras, en una situación así, diremos que L es

el límite por la izquierda de f ( x) en a.

f x L( ) − < ε

lím x a

f x L→ −

=( )

Definición 2.

Si f ( x) está definida en un intervalo (a, b) y queremos calcular el límite de f ( x) ena, sólo podemos acercarnos por puntos mayores que a. En esta situación, diremos

que , si para cada ε > 0 existe δ > 0, tal que si 0 < x − a < δ , entonces. En otras palabras, en una situación así, diremos que L es el límite

por la derecha de f ( x) en a. f x L( ) − < ε

lím x a f x L→ + =( )

Teorema sobre la existencia del límite en términos

de la existencia de los límites laterales.

Cuando existe , entonces existen ambos límites laterales y

; e inversamente, cuando existen ambos límites laterales y =

, entonces existe y es L.lím x a

f x→

( )lím x a

f x→ +

( )

lím x a

f x L→ −

=( )=→ +lím

x a f x( )

lím x a

f x L→ −

=( )lím x a

f x L→

=( )

Definición 3.

a) Decimos que cuando dado N , un número real arbitrariamen-

te grande, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f ( x) > N , siempre que 0

< x0 − x < δ .

lím x x

f x→ −

= ∞0

( )

Formalizamos el caso de los límites infinitos mediante la siguiente definición.



Ejemplos

solución

solución

solución


Ejemplo 16.

¿Existirá el ?

Para analizar este caso, notemos que

por lo tanto,

y

Observa que, aunque existen los límites laterales, éstos no son iguales y, en consecuencia, el no

existe.

Ejemplo 17.

Sea f ( x) = x, ¿existirá el ?

La respuesta es negativa, y radica en que , mientras que .

Ejemplo 18.

Decide si existe o no .

Si aplicamos el método de factorizar el denominador y cancelar, encontramos que

A primera vista, podrías decir que el límite no existe y punto. Sin embargo, vale la pena analizarlo concuidado. Observa que a medida que x se acerca a 1 por la izquierda, se obtienen cocientes donde el nu-merador es negativo y el denominador cada vez más cercano a cero. En consecuencia, los resultadosserán números negativos con magnitud cada vez más grande, es decir,

lím x x→ − −

= −∞1

1

1.

lím lím x x

x

x x→ →

+

−

=

−1 2 1

1

1

1

1.

lím x

x

x→

+−1 2

1

1

lím x

f x

→ +

=3

3( )lím x

f x

→ −

=3

2( )

lím x

f x→3

( )

lím x

x

x→0

lím x

x

x→ +

=0

1.lím x

x

x→ −

= −0

1

x

x

x

x=

− <<

1 0

1 0

si

si

lím x

x

x→0



solución

solución

1573.1: Límites

Aun cuando −∞ no es un número, nos ayuda a precisar el proceso que estás observando. Por otra par-te, si x tiende a 1 por la derecha, se obtienen resultados cada vez más grandes; en consecuencia,

Reuniendo los dos resultados, podemos concluir que no existe el y, por consiguiente, tampo-

co el .

Ejemplo 19.

Determina si existe o no .

De lo visto en el ejemplo anterior, se tiene que:

Observa que al calcular los dos límites laterales, el término , se hará arbitrariamente gran-

de cuando x se acerque a 1; por consiguiente,

El límite no existe.

Ejemplo 20.

Calcula el

Para calcular este límite, debemos recordar que la función logaritmo es la inversa de la exponencial. Deésta sabemos que para valores muy pequeños negativos de x, e x es positivo y muy cercano a 0; de he-cho, mientras más pequeño es x más cercano a cero es e x. La situación inversa nos conduce a

.lím x x→ + = −∞0 ln( )

lím x

x→ +0

ln( )

lím x

x

x→

+−

= ∞1 2

1

1.

1

1

1

1 x x− =

−

lím lím x x

x

x x→ →

+−

=−1 2 1

1

1

1

1.

lím x

x

x→

+−1 2

1

1

lím x

x

x→

+−1

2

1

1

lím x x→ −1

1

1

lím x x→ + − = ∞1

1

1 .

Las indeterminaciones que examinaste anteriormente y que denotamos por , tienen su contraparte

con límites infinitos, y las denotaremos por ; éstas denotan situaciones como las que ilustran los

siguientes ejemplos.

∞∞

0

0



solución


Ejemplo 21.

Calcula el , si es que existe.

Para entender este ejemplo, nota que el numerador tiende a ∞ cuando x se acerca a 0, tanto por la

derecha como por la izquierda. Análogamente, esto ocurre para el denominador ; por consiguiente,

tanto el numerador como el denominador no tienen límite cuando x tiende a cero.Ahora, analicemos el comportamiento del cociente. Consideremos el límite lateral por la izquierda;

cuando x es menor a cero, el cociente es

en esta última expresión, cuando nos acercamos a 0, el cociente también se acerca a 0; por lo tanto,

En el caso del límite lateral por la derecha, se tiene que:

y, por tanto, .

De donde concluimos que

Ejemplo 22.

Calcula el .lím x

x

x

→0

3

1

1

lím x

x

x

→=

02

1

10.

lím x

x

x

→ − =

02

1

10

1

12

x

x

x=

lím x

x

x

→ − =

02

1

1 0

1

12

− = − x

x

x

12

x

1

x

lím x

x

x

→02

1

1



1593.1: Límites

solución

solución

Calculamos primero el límite lateral por la izquierda; en este caso tenemos que:

Para el límite lateral por la derecha, se tiene que:

De donde puedes concluir que el límite no existe.

Ejemplo 23.

. ¿Existirá el ?

La respuesta es negativa. Te puedes convencer si observas su gráfica, donde por cierto, no podemos másque insinuar cómo es cerca del origen.

Éste ejemplo muestra que para algunas funciones no existe ninguno de los límites laterales, esto permi-te completar nuestro breve estudio de este tipo de límites.

lím x

f x→0

( ) f x x

( ) = sen1


x

x

x

x

x→ → →+ + +

=

= = ∞0

3

0

3

02

1

1

1

11

.


x

x

x

x

x→ → →− − −

= −

= −

= −∞

0

3

0

3

02

1

1

1

11

.

y

.

0.75

.

0.5.

0.2

. 0.75

0.75.

0.5

.

0.25

.

x

FIGURA 13.

Una función que no tienelímites laterales.



Límites al infinito

Construir una tabla, y elaborar la gráfica correspondiente, es de gran utilidad para desa-rrollar una idea intuitiva sobre el comportamiento de una función dada. Consideremos la

función

¿cómo se comporta para valores grandes de x? Para responder a la pregunta, construi-mos la tabla 4.

f x x

x

( ) ,= +

11


Observamos que conforme aumenta el valor de x, la función estudiada tiende hacia unvalor, sin llegarlo a alcanzar. Este valor es el importante número e = 2.71828182846…,que hemos estudiado en el capítulo de funciones trascendentes y que es la base para loslogaritmos naturales y tiene una gran relevancia en el campo de las ciencias. Si grafica-mos los valores que hemos tabulado, observaremos la tendencia hacia ese valor límite(ver figura 14).

3

2

1

2

1

2 4 6 8 10

FIGURA 14. La ilustración muestra cómo se comporta la función cuando x

tiende a infinito. El resultado que se obtiene es el número e.

f x x

x

( ) = + 1 1

De esa manera, mostramos que

lím x

x

xe

→ ∞+

= =1

12 71828182846. ...

x

f ( x )

200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 10 000

2.7115 2.7149 2.7160 2.7166 2.7169 2.7172 2.7173 2.7174 2.7175 2.7176 2.7181

Tabla 4 Acercamiento numérico para analizar el

comportamiento en infinito de f x x

x

( ) .= +

1

1



Formalizamos ahora algunas de las ideas sobre los significados de límites al infinito

y asíntota horizontal .

1613.1: Límites

Definición de límites al infinito.

a) Decimos que si dada ε > 0 podemos encontrar un número real ne-

gativo N de magnitud suficientemente grande, de tal manera que

siempre que x < N < 0.

b) Decimos que si dada ε > 0 podemos encontrar un número real

N suficientemente grande, de tal manera que siempre que N < x f x L( ) − < ε

lím x

f x L→∞

=( )

f x L( ) − < ε

lím x

f x L→−∞

=( )

Definición de asíntota horizontal.

Cuando o , diremos que la función tiene una asíntota

horizontal en y = L.

lím x

f x L→−∞

=( )lím x

f x L→∞

=( )

Dos funciones que tienen un límite al infinito y que nos interesan son: la función re-

cíproca de la función potencial, con n > 0, y la función exponencial g( x) = e x.

En la figura 15 mostramos las gráficas de ambas funciones; de ahí,es simple inferir que

y lím x

xe

→−∞= 0lím

x n x→∞

=1

0

f x x

n( ) =

1

5

0.5

y y

.

.

1

.5

1

x

x

b

FIGURA 15. En a) se muestra el comportamiento de la función exponencial cuando x tiende a −∞, mientras queen b) se muestra el comportamiento de una función g( x) = 1/ xn con n par cuando x tiene a ±∞.



solución

Límites especiales

A continuación, enunciamos un poderoso teorema que permite asegurar la existencia dellímite de funciones que están acotadas por arriba y por abajo por funciones de las quepuedes calcular fácilmente el límite.


Este tipo de ejemplo es muy común y nuestra recomendación para calcular el límite es: primero, iden-tificar el grado más alto al que está elevado x, en este caso 3; posteriormente, dividir numerador y de-nominador entre x3; y finalmente, simplificar la expresión:

y cuando hagas tender x a infinito, todos los términos que tienen a x en el denominador se irán a cero

para obtener .lím x

f x

→∞

=( )1

4

f x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

( ) = + + +

+ − + =

+ + +

+ − +

=+ + +

+ − +

3 2

3 2

32 3

32 3

2 3

2 3

2 3

4 2 1

12 1 3

41 2 1

12 1 3

41 2 1

Teorema 3.

Sean f ( x), g( x) y h( x) tres funciones que satisfacen f ( x) ≤ h( x) ≤ g( x) para cada x en el

dominio común de estas tres funciones. Supongamos que ,

entonces también se satisface .lím x x

h x L→

=0

( )lím lím

x x x x f x g x L

→ →= =

0 0

( ) ( )

Demostración.

La existencia de ambos límites implica que dado ε > 0, podemos encontrar unaδ > 0 para la cual las dos siguientes desigualdades son válidas,

−ε < f ( x) − L < ε y -ε < g( x) − L < ε ,

siempre que . Por la desigualdad que satisfacen las tres funciones,tenemos que −ε < f ( x) − L < h( x) − L < g( x) − L < ε , de donde .

Apliquemos el teorema para probar que . La utilidad de este re-sultado se hará patente más adelante.

límsen

x

x

x→=

01

( )

lím x x

h x L→

=0

( )0 0< − < x x δ



1653.1: Límites

Consideremos el círculo unitario centrado en el origen. Primero, consideremosque θ es el ángulo positivo medido en radianes que forman los segmentos AB y

AD. Sea DB el arco que extiende el ángulo θ . Nota que la longitud de AD es 1,la longitud de BE es sen(θ ), la longitud de AE es cos(θ ), la longitud del arco DB

es θ y la del segmento CD es tan(θ ). De la figura anterior, es claro que

sen(θ ) ≤ θ ≤ tan(θ ),

por tanto, si dividimos cada uno de los miembros de esta desigualdad porsen(θ ), tendremos

que al tomar los recíprocos de cada término de la desigualdad, nos da

Veremos ahora lo que acontece cuando θ es negativo. En este caso, EF es −sen(θ ), DG es −tan(θ ), el arco DF tiene longitud −θ . Por tanto, se satisface la relación

−sen(θ ) ≤ −θ ≤ −tan(θ ).

Como −sen(θ ) es positivo, al dividir cada término de la desigualdad por estacantidad, tenemos la desigualdad

que, al considerar los recíprocos, nos da

cos( ))

.θ θ

θ ≤ ≤

sen(1

11

≤ ≤θ

θ θ sen( ) cos( ),

cos( ))

.θ θ

θ ≤ ≤

sen(1

1 ≤ ≤θ

θ θ sen(

1

cos() ) ,

A E D

G

F

B

C

FIGURA 16. El círculo unitario y su utilidad para demostrar .límsen

x

x

x→ =0 1( )



Nota. Este resultado es válido cuando el ángulo se mide en radianes, ya que su deduc-ción depende de las comparaciones realizadas. Si midiéramos los ángulos en otras uni-dades, el resultado sería diferente.


Es decir, esta última desigualdad se satisface para todo θ cercano a 0. Si usamos

el teorema 3, podemos concluir que como , entonces

.límsen(

θ

θ

θ → =0 1)

lím límθ θ

θ → →

= =0 0

1 1cos( ) ( )

1. Responde las siguientes cuestiones.

a) Indica dos razones por las que el límite de una función podría no existir.

b) Describe la relación que existe entre el concepto de límite y el concepto de tolerancia en las mediciones.

c) Describe la importancia del concepto de límite.

d ) Expresa con tus palabras qué entiendes por .

e) ¿Cuál es, a tu juicio, la importancia de los límites laterales?

f ) Define explícitamente , y . ¿Qué significado geo-

métrico tienen?

g) ¿En qué situaciones aparecen las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas? Da un ejemplo paracada caso.

h) Haz la gráfica de ¿Qué diferencia hay entre ésta y la gráfica de g( x) = x − 1? ¿Cuál

es el dominio de cada una de ellas?

i) Haz un dibujo donde aparezcan tres funciones que cumplan las condiciones que satisfacen el teore-ma 3 y busca un ejemplo donde se aplique.

2. En cada uno de los siguientes ejercicios, elabora una tabla y estima el límite de la función dada. Ana-liza el comportamiento para números mayores y menores a x0.

a) e) i)

b) f ) j)

c) g)

d ) h) lím x x→0

1lím sen

x x

x→

0

1

lím x

x→

−3

2 9límcos ( )

x

x

x→

−0 2

1

lím sen( ) x

x x→0

lím x

x

x→

−−3

4

2

9

3lím

x

x x

x x→

− ++ −3

2

2

5 6

12

lím x

x

x→

−0

2 1lím x

x

x→

−−1

1

1lím x

x

x→0

sen( )

f x x

x( ) =

−+

2 1

1

lím x x

f x

→

= −∞0

( )lím x x

f x

→ −

= −∞0

( )lím x x

f x

→ +

= −∞0

( )

lím x x

f x L→

=0

( )



1673.1: Límites

3. En cada uno de los siguientes ejercicios, analiza si existe el límite de las funciones proporcionadas enel punto dado y, de ser así, determina el valor de tal límite. En este caso, estima δ para el ε proporcio-nado.

a) f ( x) = x2 + 2 si x0 = 6 y ε = 0.1

b) f ( x) = 3 x + 2 si x0 = 2 y ε = 0.01

c) f ( x) = x2 − 3 si x0 = 2 y ε = 0.01

d ) f ( x) = x2 + 2 x − 3 si x0 = 2 y ε = 0.1

e) f ( x) = 2 x + 5 si x0 = −3 y ε = 0.01

f ) si x0 = 4 y ε = 0.01

g) si x0 = 0 y ε = 0.01

h) si x0 = 4 y ε = 0.01

i) f ( x) = 2 x2 + 4 x si x0 = −1 y ε = 0.1

j) f ( x) = 3 − x2 si x0 = 2 y ε = 0.1

f x x

( ) =1

f x x( ) = +1

f x x

x( ) =

− 4

4. En cada uno de los ejercicios siguientes, usa la definición formal de límite para demostrar su existen-cia. En caso de que no exista el límite, indica la razón.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j) lím x

x→1

lím x

x→2

2

lím x x→2

1

lím ( )θ π

θ → 2

sen

lím x x

+→

333

lím x

x

x→

−−5

5

5

lím ( ) x

x→

+3

7 4

lím ( ) x

x x→ −

+2

2 2

lím ( ) x

x→

+1

2 1

lím( ) x

x→

+3

5

5. Encuentra el límite de las siguientes funciones en el punto.

a) en x0 = 2

b) en x0 = π

c) f ( x) = 3(1 − e− x) en x0 = 4

d ) en

e) f ( x) = cot( x) en x0 4=

π

x0 4=

π f x

e x

x

x

( )tan( )ln( )

=2

f x x

x( )

)=

sen(

f x x x

x( ) =

+ −+

5 3 2

4

2

6. Evalúa los siguientes límites.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h) lím x

x x x

x x→−

+ + ++ +1

3 2

2

4 5 2

3 2

límcos( )

tan ( ) ( ) x

x

x x→ +[ ]π

2

21 cos2

lím cos( )cot ( ) ( ) x

x x x→ +[ ]0 21 sen2

lím x

x

x→

−−1

4 1

1

lím x

x x

x x→

− −− −3

2

2

6

2 3

lím x

x x

x→

− −−2

2 2

2

lím cot( ) ) x

x x→0

sen(

límtan( )ln( )

x

xe x

x→0

2




7. Determina si existe o no el límite indicado y justifica tu respuesta. En caso de que exista, determínalo.

a)

b)

c)

d ) y

e)

f ) y

g)

h)

i)

j)

k )

l) límtan( )

cot( ) x

x

x→0

lím tan( ) x

x

→−

π

2

lím tan( ) x

x

→+

π

2

lím( )

x

x

x→

−−1

1

1

lím x

x

x→

−

−1

1

1

lím x

x

x→ +

−−1

1

1

lím x

x x

x→ −

+ [ ]0

lím x

x x

x→ +

+ [ ]0

lím x

x x→

+ [ ]3

lím x

x x→ −

+ [ ]3

lím x

x x→ +

+ [ ]3

lím x

x

x→0 2

lím x

x

x→0

lím x

x

x→ +0

8. Para las siguientes funciones, debes determinar si hay asíntotas verticales, horizontales, oblicuas o cur-vas. Puede haber funciones para las que existan los tres tipos de asíntotas.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i) f x x

x( ) =−

+3

53

f x x x x x

( ) = + ++

2

2 31

f x x x

x( ) =

+ ++

2 2 2

2

f x e x

( ) = −1

2

2

2

π

f xt

( ) = ++

53

1 3

f x x

( )( )

=+1

1 2π

f x x x

( ) = −1

f x x

x( ) =

+2 1

f x x

x( ) =

9. Calcula los siguientes límites.

a)

b)

c)

d )

e) lím )) x

x x→0

3sen(sen(2

límtan( )

cos( ) x

x

x x→0

límcos

x

x

x→

−

0

2

π

lím x

x x→

0

2 1sen

lím x x→∞

sen1



1693.1: Límites

10. Por experiencia, se sabe que la cantidad de pintura necesaria para pintar un muro de longitud x está da-da por f ( x) = 3 x2 + 2. Supongamos que la longitud del muro es aproximadamente dos metros y que lacantidad de pintura requerida difirió de 14 litros en no más de un décimo de litro, ¿qué tan cerca de dos

metros está la longitud real del muro? Da una cota que sea irrefutable. Sugerencia: revisa la definiciónde límite.

11. Calcula los siguientes límites.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k )

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r )

s)

t ) lím x

t t

t t →−∞

+−( ) −( )

6 5

1 2 3

2

lím x

x

x x→∞

+− +

4

2 52

lím x

x x

x x→∞

− +− +

2

2

5 6

6 8

lím x

x x x→−∞

+ − +

33 33 1

lím x

x x

x→−∞

− ++

2 2 3

5

lím x

x x x

x x→∞

+ − ++ −

4 3 4 2

9 5 1

3 2

3

lím x

x

x→∞+

11

2

lím x x→∞

+

11 10

lím x

x x x→−∞

+ − −

2 3 2 52 2

lím x

x x

x→∞

+ +−

3 1

2 1

2

2

lím y

y

y y→−∞

+− +

9 1

2 2

3

2

lím x

x x→∞

+ − −

2 3 2 52 2

lím x

x

x→−∞

+

+

2 1

32

lím x

x

x→∞

++

1 8

4

2

23

lím( )( ) x

x x

x x→−∞

− ++ −

3 4 1

1 1

3

2 2

lím x

x x

x x→∞

− +− +

2 3 1

5 4 7

3 2

3

lím x

x x

x x→−∞

− ++ −

2 5

5 6 1

2

2

lím x

x

x→∞

−

+

3 2

5

lím x

x

x→−∞ +2

1

3

3

lím x

x x

x x→∞

− ++ −

2 3

7 4 5

2

2

12. En tus propias palabras, explica el significado de la ecuación . ¿Es posible que esta ecua-ción sea verdadera y que f (2) = 3?

13. Explica con tus palabras el significado de cada uno de los siguientes límites.

a) c)

b) d ) lím ( ) x

f x→−∞

= 3lím ( ) x

f x→ +

= −∞1

lím ( ) x

f x→∞

= 5lím ( ) x

f x→

= ∞2

lím ( ) x

f x→

=2

5




14. Para la función g, cuya gráfica se proporciona, calcula

a)

b)

c)

d )

e)

f ) La ecuación de sus asíntotas.

15. Grafica la función

a) ¿Cuántas asíntotas verticales y horizontales observas en la gráfica?

b) Usa la gráfica para estimar

y

c) Muestra algebraicamente que tus estimaciones son correctas.

16. Determina el valor de los siguientes límites.

lím x

x

x→−∞

+

−

9 4

3 9

2

lím x

x

x→∞

+

−

9 4

3 9

2

f x x

x( ) .=

+−

9 4

3 9

2

lím ( ) x

g x→ −2

lím ( ) x

g x→ +2

lím ( ) x

g x→− +5

lím x

g x→−∞

( )

lím ( ) x

g x→∞

.

.

.

1

1.5

3 10

y

x

FIGURA 17. La figura del ejercicio 14.

a) ;

b) ;

c) ;

d ) ;

e) ;

f ) ;

g) ;

h) ;

i) ;

j) ;

k ) ;

l) ;

m) ;lím x

x x x

x x x→

− − −− + −3

3 2

3 2

2 5 2 3

4 13 4 3

límh

h

h→

+ −0

3 1 1

lím y

y

y y→−

−+ +3

2

2

9

2 7 3

lím x

s s

s s→

− −− +4

2

2

3 8 16

2 9 4

lím x

x

x→−

−+3

2

4 9

2 3

2

lím x

x

x→

−−7

2 49

7

lím x

x x

x x→

− +− −4

2

23

3 4

2 1

límr

r

r →

++1

8 1

3

límt

t

t →

−+2

2

3

5

2 6

lím x

x x→

−−34 55 7

lím z

z→−

+( )2

3 8

lím x

x x→

+ −( )2

2 2 1

lím x

x→

−( )5

3 7



1713.1: Límites

17. Determina los límites unilaterales, por la derecha, por la izquierda, y el límite en general.

a)

b)

c)

d )

e)

x

x

x

<=>

2

2

2

f x

x

x

( ) =−

−

2

2

4

4

4

r

r

r

<

=>

1

11

g r

r

r

( ) =

+

−

2 3

27 2

x

x

≤<

2

2 f x

x

x( ) =

−

2

8 2

t

t

≤ −− <

4

4 f x

t

t ( ) =

+−

4

4

x

x

x

<

=>

1

11

f x( ) = −−

2

13

18. Usa la gráfica de la función para establecer los valores de cada uno de los límites si-guientes: , y .

19. Grafica la función y = (6 x − 2 x)/ x y después estima el valor del límite con precisión de doslugares decimales.

20. Evalúa los límites siguientes.

lím x

x x

x→

−0

6 2

lím ( ) x

f x→0

lím ( ) x

f x→ +0

lím ( ) x

f x→ −0

f x e x( ) / = +1

1 1

a)

b)

c)

d )

e) lím ( )h

h

h→

− −+ −0

1 13 3

límt

t

t →

− −0

2 2

límt

t

t →

−−9

9

3

lím ( )h

h

h→

− −0

25 25

lím x

x x

x→−

− −+3

2 12

3

21. Usa el teorema del sandwich para demostrar que . Ilustra el cálculo con una grá-

fica que muestre, simultáneamente, las gráficas de las funciones f ( x) = x2, g( x) = − x2 y g( x) = x2

cos(20π x).

22. Determina un número a tal que el siguiente límite exista.

lím x

x ax a

x x→−

+ + ++ −2

2

2

3 3

2

lím cos x

x x→

( ) =0

2 20 0π





Problema 1.“Las misceláneas”.

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve la situación planteada al inicio de esta sección acer-ca de las misceláneas “El Toluco” y “El Matador”, que compiten entre sí. Sigan las indicacio-nes que se darán a continuación.

1. Supongan que cada tienda inicia con 500 clientes. ¿Qué ocurre después de cinco meses?¿Qué ocurre después de 100 meses? ¿Observan algún fenómeno? Recomendamos que usenalguna hoja electrónica de cálculo como MS Excel®.

2. ¿Qué sucede en los mismos periodos de tiempo que en 1), si la primera tienda empieza con200 clientes potenciales y a la otra pertenecen los 800 clientes restantes?

3. Ahora, estudien el inciso 1 bajo el supuesto de que los porcentajes son de 85% y 15% para“El Toluco”, y de 65% y 35% para “El Matador”, respectivamente. ¿Qué concluyen?

De aquí en adelante, consideren la situación planteada en 1.

4. “El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejande comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra”. Consideren:

T: Número de clientes que compran en “El Toluco” y

M: Número de clientes que compran en “El Matador”, después de un “tiempo largo”.

Escriban la relación básica entre T , M y la población. Después, establezcan matemáticamen-

te la condición de estabilidad enunciada. ¿Qué conclusión obtienen para T y M ? ¿Cómo serelaciona esto con lo observado en la hoja de cálculo?

5. Indiquen, usando el lenguaje de límites, qué se debe entender por estabilidad.

6. Usen una hoja electrónica de cálculo y muestren gráficas en función del tiempo de los clien-tes potenciales para ambas tiendas, ¿qué observan?, ¿cómo se relaciona esto con lo que hanvisto hasta ahora?, ¿qué pueden interpretar de las gráficas en relación con los límites espe-ciales y las asíntotas? Expliquen.

7. Aunque con error, parece posible hacer “un ajuste” de las gráficas obtenidas por medio defunciones del tipo: T = A + Barn y M = c + Dbsn. Si esto fuera posible, ¿qué condiciones

impondrían a las constantes A, B, C , D, a, b, r y s? Con base en las condiciones que hanestablecido, encuentren expresiones para T y M en función de n, donde n es el tiempo (enmeses). Hagan una comparación numérica entre los valores de la hoja de cálculo y los quepredice el modelo encontrado.

8. Regresen a sus respuestas de los primeros incisos, ¿la tendencia de los compradores cam-bió?; cualquiera que haya sido su respuesta, ¿a qué lo atribuyen?



1733.1: Límites

9. Encuentren una expresión general que nos permita determinar la población de compradoresen cada tienda y en cualquier tiempo n con exactitud. Hagan una comparación numérica devalores entre los que marca Excel, lo que predice el modelo hallado en 7 y ahora, esta ex-

presión. Sugerencia: piensen en lo que va ocurriendo mes por mes y busquen una generali-zación adecuada. Posiblemente, requieran la fórmula

10. ¿Cómo explican ahora el inciso 8 con la ayuda de 9?

11. Indiquen al menos dos argumentos por los cuales puede afirmarse que las funciones G y T

tienen inversa.

12. En Excel, encuentren un buen número de puntos que pertenezcan a las gráficas de las fun-ciones inversas de T y M . Grafiquen estas funciones inversas. Precaución: Tengan cuidadocon su interpretación de la hoja de cálculo.

13. Con base en 7, encuentren fórmulas para las funciones inversas de T y M.

14. Con base en 9, encuentren fórmulas para las funciones inversas de T y M . Comparen 13 y 14.

15. De acuerdo con las fórmulas halladas en 13 y 14, ¿a partir de qué mes se tendrán al menos550 clientes en la primera miscelánea?

Problema 2.“Historia de marcas deportivas” .

A lo largo de la historia, las marcas deportivas mundiales y olímpicas tienden a superarse. Cadavez, los corredores y los nadadores corren y nadan más rápido, y establecen, continuamente,nuevas marcas olímpicas. Como seres humanos conocemos nuestras capacidades, por lo quedebemos cuestionar si esta historia tiene algún final. Con tu equipo de trabajo investiga la his-

toria de las marcas olímpicas para los 100 metros de nado libre para hombres (ver, por ejem-plo, www.olympic.org/uk/index_uk.asp).

• Grafiquen los resultados que obtengan.

• Usando una hoja electrónica de cálculo, como Excel, ajusten un polinomio (o una funciónque ustedes consideren adecuada) a estos datos y a partir de ellos, realicen un pronóstico pa-ra tiempos mundiales futuros en esta competencia.

• ¿Tendrá esta competencia un tiempo límite?

Problema 3.“Comparación” .

Cuando elaboras modelos deterministas, formulas unaregla para calcular lo que deseas en términos de algo

que puedes conocer. Imagina, por ejemplo, dos comuni-dades situadas en lugares diferentes del país y, por lotanto, con climas distintos. Una de las comunidades estáen una región con dos temporadas de lluvia, primaveray otoño; mientras que la otra, está en una región dondesólo hay una temporada de lluvia que abarca desde la pri-mavera hasta el verano. Una empresa vende paraguas enambas regiones, y debe ser sensible al interés promedio

11

112 1+ + + + =

−−

≠− A A A

A

A An

n

... ;

FIGURA 18. La venta de paraguasdepende de la época del año.




existente en cada comunidad por adquirir tal producto, dependiendo de la temporada en que seencuentre. Por tal motivo, la empresa ha medido dicho interés en ambas comunidades y ha ob-tenido las siguientes dos funciones.

• Para la comunidad con dos estaciones de lluvia, el interés está dado por

• Para la comunidad con una estación de lluvia, el interés se relaciona con el tiempo por me-dio de

Donde se considera que t = 0 es el inicio del año y que la primavera empieza a los 80 días. Ca-be observar que en este estudio, el interés 1 corresponde al máximo interés promedio observa-ble y −1 al mínimo interés promedio posible (lo último que alguien haría en esa situación seríacomprar un paraguas).

• ¿Cómo compararías estos dos comportamientos y qué reacciones esperarías en la empresa envirtud de tal comparación en un tiempo determinado?

• ¿Cuál comportamiento entusiasmará más al departamento de ventas al inicio de la primave-ra? Existen diversas formas de abordar esta pregunta, elige una y desarróllala.

Problema 4.“Depreciación de tractores”.

Los tractores son herramientas que pierden rápidamente su valor debido al desgaste físico quesufren por el trabajo rudo que realizan. Un modelo para determinar el desgaste está basado enla expresión

donde x(t ) denota el volumen de maquinaria desgastada al tiempo t, V el volumen total de lamaquinaria, k depende del ritmo de desgaste y C es una constante a determinar. Es posible, porotra parte, expresar el precio de la maquinaria como

donde t indica el tiempo, P(t ) el precio al tiempo t y P0 es el precio de compra de la máquina.

• Demuestra que el precio de la maquinaria se puede expresar como

donde las constantes están dadas por A = kVC y B = kV .

• Demuestra que

• La tabla 5 muestra los precios de tractores tipo “ACD Rwden” que se obtuvieron del GreenGuide de 1994. Estos precios ya se encuentran modificados para evitar las distorsiones en eltiempo, provocadas por factores financieros, inflación, etc. Usa Excel, o cualquier herramien-ta computacional, para determinar las constantes A y B que mejor ajusten a los datos.

ln( )

( ).

P t

P P t A Bt

0 −

= +

P t Pe e A Bt

( ) ( ),= −+0 1

1

1

P t P x t

V ( ) (

( )).= −0 1

x t Ve e

e e

kVC kVt

kVC kVt ( ) ,=

+1

I t t 22

36580( ) ( ) .= −

sen π

I t t 14

36580( ) ( ) .= −

sen π



1753.1: Límites

Antigüedaden años

Preciosmodificados

P0 $ 197 709

0 $139 369.00

1 $137 322.00

2 $130 382.00

3 $122 031.00

4 $109 788.00

5 $107 449.00

6 $112 063.00

7 $109 790.00

8 $98 301.00

9 $89 544.00

10 $83 364.00

11 $76 495.00

12 $71 642.00

13 $69 198.00

14 $63 434.0015 $59 016.00

16 $53 692.00

17 $49 880.00

18 $46 732.00

19 $44 601.00

• Incluye una tercera columna que muestre el precio obtenido con el modelo. ¿Qué error por-centual existe en cada año, entre el precio real y el precio que indica el modelo?

• Usando el modelo, estima el precio del tractor los siguientes cinco años ¿Qué observas?

• ¿Habrá algún precio mínimo para el tractor?

Tabla 5 En la tabla se muestran los preciosindexados desde el año cero (1975).




1. Indica la opción que contiene la definición de

a) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si entonces f ( x) = L

b) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si entonces

c) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x − x0 < δ entonces

d ) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x0 − x < δ entonces

2. ¿Cuál es la opción que contiene la solución de ?

a) 0 c) 3

b) ∞ d )

3. Si una especie de camarón crece de acuerdo a la siguiente relación L(t ) = 20(1 − e−.02(t − 0.01)),donde t es el tiempo en días y L(t ) es la longitud en centímetros de un camarón al tiempo t .¿Cuál es la longitud máxima limitante?

a) 0.02 c) 1−e

b) 20 e−0.02 d ) 20

4. Calcula .

a) c)

b) 3 d ) 1

5. Si en el modelo de crecimiento del camarón L(t ) = 20(1 − e−.02(t -0.01)) del problema 3, puedesaceptar como satisfactorio el tamaño máximo limitante menos un octavo de centímetro, ¿apartir de qué momento puedes sacar el camarón a la venta?

1 33−33

lím x

x

x→

−

−1 3

1

1

1

3

lím x

x x

x x→∞

− +− +

4 2

4

2

3 2 1

f x L( ) − < ε

f x L( ) − < ε

f x L( ) − < ε 0 0< − < x x δ

0 0< − < x x ε

lím ( ) x x f x L

→ + =0



1773.1: Límites

Respuestas a los


1.a) Porque los límites laterales son reales pero diferentes, o porque uno es infinito y el otro es un núme-

ro real.

b) Generalmente en problemas de tolerancia, se da la tolerancia de la variable independiente y se quie-re calcular la tolerancia en la variable dependiente. En el caso del límite, es al contrario.

c) Es útil en los conceptos de continuidad, derivada e integral.

d ) Cuando nos aproximamos a x0, los valores de la función se van aproximando a L.

e) Nos permiten analizar el comportamiento de cada lado de x0 por separado; cuando éstos coinciden,podemos asegurar que el límite existe y cuando difieren, podemos asegurar que el límite no existe.

f ) Decimos que cuando dado N , un número real arbitrariamente pequeño, podemos en-

contrar δ > 0 que asegure que f ( x) < N siempre que 0 < x0 − x < δ . Decimos que cuando

dado N , un número real arbitrariamente pequeño, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f ( x) < N

siempre que 0 < x − x0 < δ . Decimos que cuando dado N , un número real arbitrariamen-

te pequeño, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f ( x) < N siempre que .

g) Las asíntotas horizontales aparecen cuando , las verticales cuando ,

y las oblicuas cuando f ( x) = mx + b + g( x) con . Por ejemplo, en las siguientes funciones,

aparecen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, respectivamente, f ( x) = e− x, ,

. h) Ambas gráficas son iguales, salvo que la primera no está definida en −1. El dominio de la primera esel conjunto de los números reales excluyendo al 1, mientras que el dominio de la segunda es el con-

junto de los números reales.

i) Una aplicación se da para mostrar que , el dibujo puede ser el siguiente.lím x

x x→

=0

10sen

f x x

x( ) =

++

2 2

4

f x

x

( ) =

+

1

4

lím ( ) x

g x→∞

= 0

lím ( ) x x

f x→ ±

= ±∞0

lím ( ) x

f x→±∞

= ±∞

0 0< − < x x δ

lím ( ) x x

f x→

= −∞0

lím ( ) x x

f x→ +

= −∞0

lím ( ) x x

f x

→ −

= −∞0

y

x




2.

a) 1

b) 1/7

c) 1/2

d ) 0

e) No existe.

f ) 12

g) 0

h) No existe.i) ln(2)

j) 0

3.

a) δ < 1/50

b) δ < 0.01/3

c) δ < 0.0025

d ) δ < 0.02

e) δ < 0.005

f ) No existe.

g) δ < 0.02

h) δ < 0.15

i) δ < 0.05

j) δ < 0.025

a) δ = ε

b)

c)

d ) δ < ε /7

e) No existe.

f ) δ < ε 2 − 12ε

g) δ < sen−1(1 − ε ) − π /2

h) δ < 4ε /(1 + 2ε )

i)

j) No existe.

δ ε < − + −2 4

δ ε < + −1 1

δ ε < −1

a) 6

b) 0

c) 2.9450530833338

d )

e) 1

π

4

a) 0

b) 1

c) 3

d ) 5/4

e) 4

f ) 1

g) 0

h) 2

a) 0

b) No existe, pues no está definido para

los números reales negativos.c) 1

d ) 6 y 5

e) No existe.

f ) 1 y −∞

g) ∞h) No existe.

i) No existe.

j) −∞k ) ∞l) 0

x

4.

5.

6.

7.



1793.1: Límites

a) 0

b) 0c) 1

d ) 1

e) 3/2

8.a) No tiene asíntotas.

b) En 0 tiene una asíntota vertical y una oblicua cuando x → ±∞.

c) Tiene una asíntota vertical en x = 1 y una horizontal en y = 1 cuando x → ±∞.d ) Tiene a la recta y = 0 como asíntota horizontal cuando x → ±∞.

e) Tiene una asíntota horizontal en y = 5 cuando x → ±∞.

f ) Tiene como asíntota el eje x cuando x → ±∞.

g) Tiene una asíntota vertical en x = −2 y una asíntota oblicua cuando x → ±∞.

h) Tiene como asíntota cuando x → ∞ a la curva y = ln x.

i) Tiene una asíntota vertical cuando x = 5 y una oblicua cuando x → ±∞.

9.

10. Usando la sugerencia, vemos que la pregunta se reduce a estimar en qué intervalo deberá estar x pa-

ra asegurar que , de donde 13.9 < 3 x2 + 2 < 14.1; debido a esto, restando 2, 11.9

< 3 x2 < 12.1, dividiendo entre tres, y sacando raíz cuadrada, obtenemos . Con esto

podemos concluir que

11.

11 9

32 2

12 1

32

. ..− < − < − x

11 9

3

12 1

3

. .< < x

14 3 2 0 12− + <( ) . x

a) − 1/5b) 2

c) −2

d ) 2/5

e) 2/5

f ) 0

g) 2

h) −2

i) 0

j) −∞

k ) 1.5l) −1.06066

m) 1

n) ∞o)

p) −1

q) 0

r ) 1

s) 0

t ) −3

2

3

12. f ( x) tiende a 5 cuando x tiende a 2. Sí.

13. a) La función crece sin medida si x se aproxima a 2. b) La función decrece sin medida cuando x se apro-xima a 1 por la derecha. c) Si x crece, la función tiende a 5. d ) La función tiende a 3 cuando la funcióndecrece sin medida.

14. a) 1; b) 0; c) ; d ) 0.5; e) ∞; f ) Asíntotas verticales x = −5 y x = 2, asíntotas horizontales y = 0 e y = 1.



¿Coincidencia?

Una fábrica tiene una línea de producción que debe ser supervisada minucio-samente por un equipo de ingenieros industriales. Para hacerlo, diseñaron una

metodología que consiste en pasar por cada punto de la línea de producción

haciendo mediciones y preguntas a los obreros y realizando las anotaciones per-

tinentes. Un aspecto importante de la metodología exige que los supervisores tra-

bajen dos periodos de tiempo ininterrumpidos, uno por cada día de supervisión;

por su parte, los obreros deberán permanecer esos días en sus puestos usuales

de trabajo. Los ingenieros empezarán el primer día a las 9 de la mañana y ter-

minarán a las 2 de la tarde, e irán en la dirección en la que se realiza la manu-

factura. Al día siguiente harán el recorrido en la dirección contraria, también sin

interrupciones, y empezarán de nuevo a las 9 de la mañana para terminar a las

2 de la tarde, como el día anterior. Un obrero que se encontraba en un punto es-

tratégico de la línea de producción fue visitado exactamente a la misma hora los

dos días, en un momento muy inadecuado para realizar su trabajo, por lo que elobrero, molesto, preguntó si sería posible que en una próxima ocasión las horas

de visita no coincidieran con el mismo punto de la línea de producción. Preocu-

pados por esta observación, los ingenieros decidieron pensar si sería factible.

Analiza por tu cuenta la situación, ¿es posible evitar que todo obrero distribuido

en un punto específico de la línea de producción sea visitado a la misma hora,

independientemente del ritmo con el que hagan los recorridos?

1813.2: Continuidad

Introducción

En un sentido intuitivo, una función definida en un intervalo es continua si sugráfica es de una sola pieza en ese intervalo. La continuidad es la propiedad de

una función que nos permite predecir lo que ocurrirá con la gráfica de una fun-ción en un punto específico, con sólo conocer la regla de correspondencia de lafunción en cuestión. En esta sección, desarrollarás criterios y habilidades paradeterminar cuándo una función es continua en un punto de su dominio, reco-nocerás qué posibles discontinuidades pueden aparecer, así como la manera deevitarlas cuando esto sea posible. Asimismo, verás un resultado muy importan-te de las funciones continuas llamado teorema del valor intermedio, que te per-mitirá responder a la pregunta planteada en el párrafo anterior.

3.2 Continuidad

En la red de cristal que la estrangula,

allí, como en el agua de un espejo,

se reconoce.

José Gorostiza



Continuidad en un punto


Objetivos


a) Reconocer si una función es continua en un punto.

b) Determinar si una función es continua en un intervalo.

c) Redefinir una función (en caso de que esto sea posible) para que seacontinua en puntos donde originalmente no lo era.

d ) Aplicar el teorema del valor intermedio.

Definición de continuidad en un punto.

Sea f ( x ) una función definida en un intervalo abierto (a, b) , y supón que x 0

es un punto

dentro de dicho intervalo. Decimos que f ( x ) es continua en x 0si .lím

x x f x f x

→=

0

0( ) ( )

y

f ( x0)

x0

x

Figura 1. Continuidad en un punto.

Es decir, una función es continua en un punto de su dominio, si el valor del límite de la

función en el punto de interés coincide con el valor que se le asigna a ese punto median-

te la regla de correspondencia que define a la función. De hecho, la definición anterior

puede desglosarse como aparece en la siguiente nota.

Nota. Para que una función f ( x) sea continua en un punto x0

deben cumplirse las si-guientes tres condiciones:

a) x0

debe ser un punto del dominio de f ( x)

b) Debe existir el

c) Debe satisfacerse la igualdad lím x x

f x f x→

=0

0( ) ( )

lím x x

f x→ 0

( )



Esta observación puede reducirse, como se ha hecho, considerando que la condiciónc) tiene sentido sólo si existe el límite; sin embargo, hemos preferido colocar las trescondiciones para hacer énfasis en el contenido de la definición de continuidad en unpunto. De este comentario, se desprende la siguiente definición.

1833.2: Continuidad

Definición de punto de discontinuidad.

Diremos que una función f ( x) tiene una discontinuidad en x = x0

si se presenta

alguna de las siguientes situaciones.

a) x0

no es un punto del dominio de f ( x).

b) No existe .

c) existe, pero .lím x x

f x f x→

≠0

0( ) ( )lím x x

f x→ 0

( )

lím x x

f x→ 0

( )

En lo que sigue de nuestro análisis, así como en la matemática aplicada, se requiere teneruna clasificación básica del tipo de discontinuidades que puede presentar una función.A partir de la última definición, elaboramos la siguiente clasificación, que se sustentaprimordialmente en la existencia del límite de la función en el punto de interés.

Clasificación de las discontinuidades de una función.

Supón que x = x0

es un punto de discontinuidad de la función. Entonces,

¿Existe ?NO: discontinuidad esencial

de salto.

infinita o asintótica.

SI: discontinuidad evitable, removible o eliminable.

lím ( ) lím ( ):

lím ( ) : x x x x

x x

f x f x

f x→ →

→

+ −

±

≠

= ±∞

0 0

0

lím ( ) x x

f x→ 0

La figura 8 muestra un caso concreto de una función que presenta los tres tipos de dis-continuidad que señala la clasificación anterior. Cabe decir que la función f ( x) = sen(1 /

x)

tiene una discontinuidad esencial en x = 0, pero ésta no es ni de salto ni asintótica.De manera análoga al caso de límites, tenemos el siguiente resultado que enunciamos

sin demostración.

Teorema.

Dados un punto x0 ∈ (a, b), f ( x) y g( x), dos funciones con dominio (a, b) y con-tinuas en x

0, entonces las siguientes afirmaciones son válidas:

a) h( x) = f ( x) ± g( x) es continua en x0.

b) h( x) = f ( x) g( x) es continua en x0.

c) Si adicionalmente g( x) ≠ 0, entonces también es continua en x0.h x

f x

g x( )

( )

( )=



La demostración de este teorema es una aplicación directa de la definición de conti-

nuidad en un punto y del teorema correspondiente de límites.

Más allá de sólo mencionar continuidad en un punto, podemos hablar de continuidad

en un intervalo, de manera más concreta, tenemos la siguiente definición.


Definición de continuidad en un intervalo.

Sea f ( x) una función definida en un intervalo abierto (a, b). Decimos que f es

continua en (a, b) si f es continua en x para cada x ∈ (a, b).

El siguiente teorema es una consecuencia directa del teorema anterior.

Teorema.

Sean f ( x) y g( x) dos funciones, con dominio (a, b) y continuas en todo el inter-

valo, entonces las siguientes afirmaciones son válidas:

a) h( x) = f ( x) ± g( x) es continua en (a, b).

b) h( x) = f ( x) g( x) es continua en (a, b).

c) Si adicionalmente g( x) ≠ 0 para cada x en el intervalo (a, b), entonces

también es continua en (a, b).

h x f x

g x( )

( )

( )=

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio es en extremo importante, y aunque su demostración

queda fuera del alcance de este libro, vale la pena tenerlo presente. Antes de enunciarlo,

requerimos la siguiente definición de continuidad en un intervalo cerrado.

Definición

Sea f ( x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) , si la función está

definida en el intervalo cerrado [a, b] y adicionalmente se cumplen las siguien-

tes condiciones:

a) ,

b) ,

decimos que f ( x) es continua en [a, b].

lím x b

f x f b→ −

=( ) ( )

lím x a

f x f a→ +

=( ) ( )



La idea intuitiva de este último resultado es que la gráfica de una función continua no

tiene huecos, idea sobre la cual se apoyan algunos métodos numéricos (como el método

de bisección) para el cálculo aproximado de la solución de una ecuación.

1853.2: Continuidad

Teorema del valor intermedio.

Si f ( x) es una función continua en el intervalo [a, b] y f (a) < f (b) (o f (a) > f (b))

y f (a) < c < f (b) (o bien f (b) < c < f (a)), entonces existe un punto x0 en el inter-valo abierto (a, b), de tal manera que f ( x

0) = c; es decir, todos los puntos interme-

dios entre f (a) y f (b) están en la imagen de la función.

y

f (b)

f (a)

a x

0

b x

FIGURA

2. Una raíz de función continua.

Por ejemplo, si sabes que una función f ( x) es continua en un intervalo cerrado [a, b]

para la cual se cumpla que f (a) < 0 y f (b) > 0, entonces el teorema del valor intermedio

asegura que existe un x0 ∈ (a, b) para el cual f ( x

0) = 0.

Ejemplos

Ejemplo 1.

Sea determina si f ( x) es continua en 1. f x

x

x( ) =

−−

1

11

2

2si

si

x ∈ (−1, ∞), x ≠ 1

x = 1



solución

solución


Observa que el punto x = 1 está en el intervalo (−1, ∞) y que

Se puede concluir que la función es continua en 1.

Ejemplo 2.

Sea f ( x) = an xn + a

n−1 xn−1 +…+ a

1 x + a

0un polinomio, determina si f ( x) es continua en x

0 = 2.

En la sección 1, vimos que

Por tanto, la función es continua en 2. En realidad 2 no es un valor peculiar; cualquier valor real de x0

permitiría concluir que la función es continua en x0.

Nota. Si f ( x) y g( x) son dos polinomios, resulta del ejemplo anterior y del segundo teorema de esta

sección, que la función racional es continua en , con excepción de aquellos puntos

donde g( x) sea igual a cero.

Ejemplo 3.

Sea , determina el máximo dominio donde h( x) es continua.h x x

x( ) =

+−4

12

h x f x

g x

( )( )

( )

=

lím x

nn n

f x a a a a f n→

−= + + ⋅⋅⋅ + + =−2

11 02 2 2 21( ) ( )


f x x

x x f

→ → →=

−−

=+

= =1 1

21

1

1

1

1

1

21( ) ( )

y

2.5

.

0.

0.5

x

FIGURA 3. La función f ( x) es continua en x = 1.



1873.2: Continuidad

solución

solución

Como el denominador se anula exclusivamente en {−1, 1}, entonces (lee nuevamente la nota anterior)

la función es continua en (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).

Ejemplo 4.

Sea , ¿qué puedes decir acerca de la continuidad de f ( x) en x0 = 0?

Vimos en la sección anterior que , entonces

,

por tanto, la función no es continua en 0. De hecho, de acuerdo a la clasificación dada sobre disconti-

nuidades, f ( x) tiene una discontinuidad evitable en x = 0.

= = ≠→

2 2 00

límsen(2

2 x

x f

)( )

x

límsen(2

lím2sen(2

2 x x

x x

→ →=

0 0

) )

x xlím

sen(

x

x

→=

0

1)

x

f x

x

x x

x

( )

)

= ≠

=

sen(2si

si

0

1 0

.

0.

20.

4 x

y

FIGURA 4. La función f ( x) tiene una discontinuidad evitable en x = 0.

Nota. Este ejemplo muestra que no todas las funciones son continuas en cada punto de su dominio.

Encontrar el máximo dominio de definición de una función, de manera que además en ese dominio la función

sea continua, es un asunto muy importante. En muchas ocasiones es posible hacer ligeras modificaciones en la re-

gla de correspondencia para lograr una extensión del dominio donde la función sea continua. El siguiente ejemplo

ilustra lo anterior.



solución

solución


Ejemplo 5.

Sea con dominio (−∞, 1) ∪ (1, ∞). ¿Puede definirse una función h( x) continua en , de

tal manera que en (−∞, 1) ∪ (1, ∞) coincida con f ( x)?

Se ve de manera inmediata que la función es discontinua en x = 1, no obstante, como

existe, podemos concluir que la discontinuidad es evitable. Si defini-

mos , tenemos que h( x) es continua en todos los reales y coincide con f ( x) en (−∞,

1) ∪ (1, ∞). De hecho, h( x) = x + 1 es la extensión buscada. La figura 5 ilustra la situación estudiada.

h x f x x

x( )

( ) ,

,=

≠=

1

2 1

lím lím x x

x x

x x

→ →

+ −−

= + =1 1

1 1

11 2

( )( )( )

lím x

f x→

=1

( )

f x x

x

( ) = −

−

2 1

1

y y

22

21

22 22

x x

a) b)

FIGURA 5. a) Gráfica de la función inicial f(x), b) gráfica de la extensión h( x).

Nota. Siempre que una función tenga una discontinuidad evitable en un punto, será posible extender

su dominio de tal manera que, en ese punto la función extendida sea continua.

Ejemplo 6.

Analiza la continuidad de la función en x = −1 y en x = 1. f x x

x( ) =

−−1

12

Lo primero que notamos es que la función no está definida en ninguno de estos puntos, por lo tanto, la

función en ellos es discontinua. A pesar de esta característica común entre x = −1 y x = 1, hay una gran

diferencia cualitativa entre −1 y 1, pues , en tanto que no existe. Por lo tanto,lím x

f x→−1

( )lím x

f x→

=1

1

2( )



1893.2: Continuidad

en x = 1 tenemos una discontinuidad evitable, mientras que en x = −1 hay una discontinuidad esencial.

Si definimos:

entonces la única discontinuidad de h( x) es −1; cabe insistir en que no es posible hacer algo semejante

en −1 pues no existe. Observa que f ( x) y h( x) coinciden en – {−1, 1}.lím x

f x→−1

( )

h x

x

x x x

x

( )

; ,

;

,=−−

≠ ≠ −

=

11

1 1

1

21

2

y y

2.5

1. 1.0. 0.2. 2.

–7.5 –7.5

1 1

x x

b

(1, 0. (1, 0.

0. 0.

FIGURA 6. La función f ( x) en a), y su extensión h( x) en b).

solución

Ejemplo 7.

Sea , demuestra que f ( x) es continua en todos los reales.

Dado que la función –1 ≤ sen(t ) ≤ 1para todo t ∈ , es fácil verificar que para cada

x diferente de cero. Adicionalmente, luego, (revisa la primerasección de este capítulo). Como f (0) = 0, podemos concluir que f ( x) es continua en 0. En realidad, x =

0 es el único punto donde es difícil calcular el límite de la función, porque si x0 ≠ 0, puedes verificar

que . Podemos concluir que la función es continua en todos los reales.lím sen sen x x

x x

x x→

=

0

1 10

0

lím sen x x x→

=0

1

0lím lím x x x x→ →− = =0 0 0

− ≤

≤

x x x

xsen1

f x

x x

x

x

( ) =

≠

=

sen si

si

10

0 0




–0.75 –0.5 –0.25

–0.2

0.25 0.5 0.75

0.4

0.2

y

x

FIGURA 7. Pese a la apariencia de la función y a lo “irregular” de la gráfica, ésta es continua en .

solución

Notación. Al operar con límites infinitos, escribiremos para referirnos a:

En el primer caso, queremos decir que , A ≠ 0 y que, para todo ε > 0, existe δ > 0; tal que

0 < x – x0 < δ , implica que 0 < g( x) < ε . El significado en ii) es análogo; de manera similar, definimos el

símbolo . En ambos casos, se tiene un numerador que tiende a un valor constante y a un denominador

que tiende a cero por valores que son mayores o menores que cero. Puede probarse que:

i) y

Ejemplo 8.

Sea

Donde sea posible, redefine a la función de manera que la extensión sea continua.

Los puntos que vamos estudiar son aquellos donde la fórmula de correspondencia cambia, y aquellos

otros donde algún denominador dentro de la función se anula. Por lo tanto, estudiaremos los puntos

f x

x

x x x x

x

x x

( )

( )

( )( ), ;

,

,

=

−− −

> ≠

=− <

4

2 50

2 0

2 02

si

si

si

4.5

A A

A0

0

0− = +∞ <−∞ >

,

,

si

si

A A

A0

0

0+ = +∞ >−∞ <

,

,

si

si

A

0−

lím x x

f x A→ +

=0

( )

i f x

g x

f x

g x x x x x)

( )

( ),

( )

( )lím o ) lím→ →+ −

0 0

ii

A

0+

, analiza las posibles discontinuidades de la función.




Estudio de las funciones racionales

Cerramos esta sección con un estudio más detallado de las funciones racionales. El

ejemplo 2 mostró que todo polinomio es una función continua en ; de esto se des-

prende que sus gráficas, en general, son curvas suaves sin interrupciones, ni “saltosinfinitos”; por el contrario, las gráficas de las funciones racionales pueden presen-

tar interrupciones (huecos) y “saltos infinitos”. De hecho, uno de los aspectos más

peculiares de una función racional es su comportamiento asintótico. Ten presente

que, al tipo de recta a la cual se “aproxima” la gráfica de una función se le llama asín-

tota de la gráfica o de la función. Hablando sólo de rectas, una función racional puede

tener asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, como se muestra en la siguiente

figura.

FIGURA 9. Tipos posibles de rectas asíntotas de una función racional.

A fin de que tengas una metodología de graficación de funciones racionales, te pedi-

mos que consideres la siguiente guía general.

y y

y

x

x

x

As ntona horizonta As ntonia vertica

As ntonia oblicua

4

20

2

–



Nota. El siguiente teorema, que puede probarse fácilmente a partir del cálculo de los

límites al infinito, te permitirá determinar las asíntotas horizontales de una función.

1933.2: Continuidad

Guía general para graficar funciones racionales.

1. Primero, encuentra el dominio de la función. Para ello, debes igualar el de-

nominador con cero y omitir los puntos obtenidos.

2. Después, encuentra las intersecciones con los ejes coordenados:

a) Sustituye x = 0 para determinar la intersección con el eje y.

b) Si no fuera excesivamente complicado, iguala el numerador con cero pa-

ra encontrar las intersecciones con el eje x.

3. Ahora, utiliza los puntos donde el denominador se hizo cero para investigar

si en ellos se tienen asíntotas verticales. Calcula los límites unilaterales en

estos valores para conocer el comportamiento de la función cerca de ellos.

4. Para continuar, determina la asíntota horizontal de la función (si existe); esto te

obligará a calcular los límites al infinito. Si no hay asíntotas horizontales, la

función tendrá una recta asíntota oblicua o una curva asintótica.

5. Por último, revisa si la función es par o impar para determinar algún tipo de

simetría.

Teorema para el cálculo de asíntotas horizontales de funciones racionales.

Sea una función racional, donde am ≠ 0 y b

n

≠ 0.

Entonces:

a) Para m = n: es una asíntota horizontal de la función.

b) Para m < n: y = 0 es una asíntota horizontal de la función.

c) Para m > n: la función no tiene ninguna recta asíntota horizontal.

ya

b

m

n

=

f xa x a x a

b x b x b

mm

mm

nn

nn

( ) = + + ++ + +

− −

−−

11

0

11

0

L

L

Ejemplos

Ejemplo 1.

Bosqueja la gráfica de . f x x

x x( ) =

−− −

2

2

4

2 3



solución


Seguiremos los pasos mencionados en la guía de graficación de funciones racionales.

1. Como x2 – 2 x – 3 = 0 tiene por solución x = −1 y x = 3, el dominio es D f = − {−1, 3}. Recuer-

da que posiblemente haya asíntotas verticales en los puntos que no están en el dominio.

2. a) La gráfica interseca al eje y en el punto .

b) Las intersecciones con el eje x se obtienen al resolver x2 – 4 = 0, es decir, la gráfica de f ( x) in-

terseca al eje horizontal en x = 2 y en x = −2, ambos en el dominio de la función.

3. Para examinar el comportamiento de la función cerca de −1 y de 3, calculamos los límites unila-

terales de la función. Tenemos que:

Así tenemos que, tanto x = −1 como x = 3, son asíntotas verticales (discontinuidades esenciales

infinitas), y conocemos además los respectivos comportamientos de la gráfica antes y después de

cada una.

4. Dado que el numerador y el denominador tienen el mismo grado, deducimos del teorema sobre

asíntotas horizontales que, es la asíntota horizontal de la función. Es decir, f ( x) → 1 cuan-

do x → + ∞, y f ( x) → 1 cuando x → − ∞.

5. La función no es par ni impar.

Los elementos que se han discutido son más que suficientes para bosquejar la gráfica de la función. Pa-

ra realizar el trazo de la gráfica, primero dibuja con líneas punteadas las asíntotas verticales y horizon-

tales (ver figura 10). Recuerda que en las asíntotas verticales la gráfica se interrumpe. En cuanto a la

asíntota horizontal, la gráfica puede ir por arriba o por debajo de la recta; en caso de que tengas algu-

na duda, la tabulación de algún punto te puede decir cuál de los dos casos se presenta.

y = =1

11

lím lím lím lím x x x x

f x x

x x f x

x

x x→ → −

→ → +− − + +

= −

+ − = = −∞ =

−+ −

= = +∞3 3

2

3 3

24

1 3

5

0

4

1 3

5

0( )

( )( ), ( )

( )( ).


f x x

x x f x

x

x x→− →− + →− →− −− − + +=

−+ −

= −

= −∞ = −

+ − =

−= +∞

1 1

2

1 1

24

1 3

3

0

4

1 3

3

0( )

( )( ), ( )

( )( );

f ( )04

3=

–4

–4

–2

–2 2

2

4

4

6

6

y

x


. f x x

x x( ) =

−

− −

2

2

4

2 3



solución

1953.2: Continuidad

Ejemplo 2.

Dibuja la gráfica de la función .

1. El dominio de la función es el conjunto – {2, −3}, ya que el denominador se anula precisamente

en x = 2 y en x = −3.

2. a) La gráfica interseca al eje y en g(0) = −1.5.

b) Como x2 – 9 = 0, parece ser que las intersecciones con el eje x son x = 3 y x = −3, pero x = −3 ∉ D

g, por lo tanto, la única intersección con el eje horizontal es x = 3.

3. Para determinar las asíntotas verticales de la función, la estudiamos en aquellos puntos donde el de-

nominador es cero. Tenemos que:

La primera conclusión que resulta de estos cálculos es que la recta x = −3 ¡no es una asíntota verti-

cal!; esto se debe a que cuando x → −3. La pregunta natural es, si no hay asíntota ver-

tical en x = −3, entonces, ¿qué hay en la gráfica? La respuesta es ¡nada!, es decir, en la gráfica hay

un hueco en el punto correspondiente a . Nota que podemos reducir los cálculos anteriores

si simplificamos la función racional desde un principio:

, siempre que x ≠ −3;

por lo que basta graficar la función racional simplificada y eliminar el punto corres-

pondiente a x = −3. Esta idea se puede utilizar en cualquier caso: simplifica antes de determinar las

asíntotas verticales; las raíces del denominador que resulten después de esta simplificación, seránlos valores donde la función tiene asíntotas verticales.

4. De acuerdo al teorema para determinar asíntotas horizontales, la recta y = −1 es la asíntota horizontal.

5. La función no es par ni impar.

La gráfica de la función se muestra en la figura 11.

f x x

x( ) =

−−

3

2

x

x x

x x

x x

x

x

2

2

9

6

3 3

2 3

3

2

−− −

= −( ) +( )

−( ) +( ) =

−−

( , )− −3 65

g x( ) → −65


g x x x

x x

x

x→ → → −+ + +

= + −

+ − =

−−

= −

= +∞2 2 2

3 3

3 2

3

2

1

0( )

( )( )

( )( )


g x x x

x x

x

x→ → → +− − −=

+ −+ −

= −

− =

−= −∞

2 2 2

3 3

3 2

3

2

1

0( )

( )( )

( )( );


g x x x

x x

x

x→− →− →−=

+ −+ −

= −

− = − = −

3 3 3

3 3

3 2

3

2

6

51 2( )

( )( )

( )( ). ;

g x

x

x x( ) = −− −

2

2

9

6




y

x

6

4

2

–2

–4(–3, –1.2)

4 6

FIGURA 11. La gráfica de la función .g x x

x x( ) =

−

− −

2

2

9

6

solución

Ejemplo 3.

Dibuja la gráfica de la función .

1. El dominio de esta función es (observa la descomposición en factores del deno-

minador en el punto tres, a continuación).

2. a) Tenemos que (intersección con el eje ‘ y’).

b) h( x) = 0 para x = −4, x = −1 y x = 3 (observa ahora los factores del numerador que se proporcio-

nan en el siguiente punto). Ahora, ni x = −1 ni x = 3 pertenecen al dominio, por lo tanto, el úni-

co punto donde la gráfica interseca al eje horizontal es x = −4.

3. Para el cálculo de las asíntotas verticales, primero simplificamos. Obtenemos:

De la ecuación simplificada, vemos que las asíntotas verticales son y x = 3. En x = −1 no hay

asíntota vertical, sólo un hueco en la gráfica. Establecemos ahora el comportamiento “antes” y“después” de cada asíntota vertical mediante el cálculo de los límites unilaterales correspondientes.

lím lím x x

x

x x

x

x x→ − → +− +

+− −

= = −∞ +

− − = = +∞

3 3

4

2 1 3

7

0

4

2 1 3

7

0( )( ),

( )( )

lím lím x x

x

x x

x

x x→ +

→ −− +

+− −

= = +∞ +

− − = = −∞

12

12

4

2 1 3

4 5

0

4

2 1 3

4 5

0( )( )

.;

( )( )

.

x =1

2

x x x

x x x x

x x x

x x x

x

x x

3 2

4 3 2 2

2 11 12

2 11 11 15 9

3 4 1

2 1 3 1

4

2 1 3

+ − −− + + −

= −( ) +( ) +( )

−( ) −( ) +( )=

+−( ) −( )

.

h( )0

12

9

4

3= −

− =

Dh = − − { , , }1 312

h x x x x

x x x x( ) =

+ − −− + + −

3 2

4 3 2

2 11 12

2 11 11 15 9



1973.2: Continuidad

4. De acuerdo al teorema para el cálculo de asíntotas horizontales, y = 0; es decir, el eje ‘ x’ es la asín-

tota horizontal.

5. Por último, la función no es ni par ni impar.Con estos elementos, podemos bosquejar la gráfica de la función h( x) la cual aparece en la figura 12.

–2 –1

–2

–4

–6

1 2 3 4 5 x

y

2(–1, 0.25)

FIGURA 12. Gráfica de la función .h x x x x

x x x x( ) =

+ − −

− + + −

3 2

4 3 2

2 11 12

2 11 11 15 9

Ejemplo 4.

Bosqueja la gráfica de .F x x x x

x x( ) =

− − +− +

2 7 6

4 3

3 2

2

solución

1. El denominador se anula en 1 y en 3, el dominio es DF = – {1, 3}.

2. a) La intersección con el eje ‘ y’ queda F (0) = 2.

b) Al factorizar el numerador y el denominador de la función obtenemos:

de donde podemos decir que la gráfica interseca al eje x en y en −2, pues ambos valores están

en el dominio.

3. De la simplificación, concluimos en primer lugar que x = 1 es una discontinuidad evitable de la fun-

ción, por lo tanto, allí, la gráfica de la función tendrá un hueco. De la misma expresión simplifica-

da, concluimos que x = 3 es la única asíntota vertical, de hecho

lím ; lím x x

x x

x

x x

x→ − → +− +

− +−

= = −∞ − +

− = = +∞

3 3

2 3 2

3

15

0

2 3 2

3

15

0

( )( ) ( )( );

3

2

F x x x x

x x

x x x

x x

x x

x( )

( )( )( )

( )( )

( )( ),=

− − +− +

= − + −

− − =

− +−

2 7 6

4 3

2 3 2 1

3 1

2 3 2

3

3 2

2




4. Del teorema para el cálculo de asíntotas horizontales, concluimos que la función no tiene asíntotas

horizontales. Como dijimos, cuando esto ocurre, la función tiene una recta como asíntota oblicua o,

más generalmente, una curva asintótica. El método general para hallar la recta o curva asintótica se

muestra en el siguiente recuadro:

Método para hallar una recta o curva asintótica (cuando exista).

Si es una función racional con el grado del polinomio P( x) mayor al

grado del polinomio Q( x), entonces al dividir podemos escribir

donde C ( x) es un polinomio llamado cociente y R( x) es un polinomio llamado

residuo y cuyo grado es menor que Q( x). Se concluye que y = C ( x) es una recta o

curva asintótica de la función F ( x), pues .lím x

R x

Q x→ ± ∞=

( )

( )0

F x C x R x

Q x( ) ( )

( )

( )= +

F xP x

Q x( )

( )

( )=

Regresando a nuestra función F ( x), como el numerador tiene mayor grado que el denominador, te-

nemos una asíntota oblicua o una curva asintótica. Para determinarla, dividimos

Observa ahora que si x → + ∞ o x → −∞, entonces la fracción . Por esto, la función se

comporta (para valores de x suficientemente grandes, tanto positivos como negativos) como la rec-ta y = 2 x + 7; ésta es precisamente la recta oblicua asintótica de la función.

5. La gráfica no tiene ningún tipo de simetría.

La figura 13 representa la gráfica de la función F ( x).

15

30

x − →

( )( )2 3 2

32 7

15

3

x x

x x

x

− +−

= + +−

40

20

–5 –25

–20

–40

25 5 75

y

x10

(1, 1.5)


.F x x x x

x x( ) =

− − +

− +

2 7 6

4 3

3 2

2



solución

1993.2: Continuidad

Ejemplo 5.

Bosqueja la gráfica de .

1. El dominio de la función es DG = – {−2, 1}, pues el denominador se anula en x = −2 y en x = 1.

2. a) Como G(0) = −1, la intersección con el eje ‘ y’ es el punto (0, −1).

b) Si se factoriza el numerador y denominador de la función, obtenemos

Debido a que x3 – x + 1 = 0 no tiene soluciones racionales, dejamos de lado la búsqueda de los pun-

tos donde la gráfica interseca al eje horizontal.

3. De la simplificación del inciso anterior, determinamos que x = −2 es una discontinuidad evitable de

la función, lo cual se reflejará como un hueco dentro de la gráfica. La única asíntota vertical de la

función es x = 1, además,

4. Como el grado del numerador de G( x) es mayor que el grado del denominador, concluimos que la

función no tiene asíntotas horizontales. Sin embargo, al dividir el numerador entre el denominador

de la función determinamos que:

por lo tanto, y = x2 + x es la curva asintótica de la función G( x).

5. En este caso tampoco hay simetrías.

La gráfica de la función, así como la de su curva asintótica, se muestran en la figura 14.

G x x x

x

( ) ,= + +

−

2 1

1


G x x x

xG x

x x

x→ → − → → +− − + +=

− +−

= = −∞ = − +

− = = +∞

1 1

3

1 1

31

1

1

0

1

1

1

0( ) ; ( )

G x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x( )

( )( )

( )( )=

+ − − ++ −

= + − +

− + =

− +−

4 3 2

2

3 32 2

2

2 1

1 2

1

1

G x x x x x

x x( ) =

+ − − ++ −

4 3 2

2

2 2

2

( 2, 1.1

1

–1

y

x


.G x x x x x

x x( ) =

+ − − +

+ −

4 3 2

2

2 2

2




1. Preguntas conceptuales.

a) Expresa con tus palabras lo que entiendes por continuidad de una función en un punto.

b) Da un ejemplo de una función y una discontinuidad que pueda removerse.

c) Ofrece un ejemplo de una función que tenga una cantidad infinita de discontinuidades.

2. Ejercicios.

a) Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto en cuestión. Escribe claramente tus

razones.

i) en x0 = 2. iv) en x

0 = 0.

ii) en x0 = π . v) f ( x) = xcot( x) en .

iii) f ( x) = ln( x − 3) en x0 = 2.

b) Encuentra las discontinuidades de las siguientes funciones, en caso de que las haya, y explica por

qué lo son.

i) iv)

ii) f ( x) = e x cot( x). v)

iii) vi)

c) Determina las discontinuidades de las siguientes funciones y verifica si es posible extender la fun-

ción de tal manera que el número de sus discontinuidades disminuyan.

i) iv)

ii) v)

iii) f ( x) = x vi)

3. Determina los valores de c y k para hacer que las siguientes funciones sean continuas en todos los reales.

a) c)

b) f x

x x

cx k x

x x

( ) =+ ≤

+ < <≥

2 1 3

3 5

52

si

si

si

f x

mx n x

x

mx n x

( ) =+ <

=− >

2 1

16 1

3 12

si

si

si

f x

x c x

cx k x

x k x

( ) =+ < −− − ≤ ≤− >

3 6 3

3 7 3 3

12 3

si

si

si

f x x

x( )

tan ( )

cot ( )=

f x x

x( ) =

−−1

13 f x

x

x( )

( )=

sen2

f x x

x( ) =

−−

3 1

1 f x sen

x( ) =

1

f x x x x

( ) = + ++

2 2 42

f x x x x x

( ) = − −− −

22

62 3

f x x

x x( )

cos( )

( tan ( )) ( )=

+1 2 cos2

f x x

x x( )

cos ( )

( cot ( )) )=

+1 2 sen( f x

e x

x

x

( )cot ( )

=− 2

2

x04

= π

f x x

x( )

)=

sen(

f x x

x( )

tan( )= f x

x x

x( ) =

+ −+

5 3 2

4

2




2013.2: Continuidad

4. Identifica los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasifícalos.

5. Haz una discusión completa de las siguientes funciones racionales (conforme a la guía proporcionada)

y elabora el bosquejo de sus gráficas.

a)

b) . Sugerencia: una raíz de la función es x = −1/3.

c)

d ) f x x x x

x x( )

( )( )=

− + ++ +

2 2 1 2 1

2 3 1

3

2

f x x x

x x( ) = − −+ −

2 8 24

2 3

2

2

f x x x x

x x( ) =

− + ++ −

3 23 40 16

20

3 2

2

f x x x

x x( ) =

+ −− −

2 3 2

7 6

2

3

f x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

( )

( )( )( )

( )( )( ) ,

( )( )( )

( )( )( ),

=

− + +

− + + <+ − +− − −

+ ≥

2

2

8 5 2 3

1 5 2 5 0

6 1 4

1 6 31 0

si

si

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen a continuación.

1. Revisa cuidadosamente lo referente a la “Coincidencia” a la que hacemos referencia en elinicio de esta sección. Modela la línea de producción de tal manera que puedas aplicar el estu-

dio de continuidad, de manera particular, el teorema del valor intermedio. Revisa si las

condiciones te sugieren o no continuidad.

2. Ciertos “Sistemas de Impuestos” hacen cargos tributarios en esquemas diferenciados, en

función del nivel de ingresos. Supón que un sistema de impuestos está determinado por

la función , mientras que otro sistema de impues-

tos está regido simplemente por g( x) = 0.2 x, independientemente del nivel de ingresos.

En una ciudad donde se aplica el régimen de impuestos dado por g( x), una persona gana

$ 14 500.00 y otra gana $ 15 500.00. Supón ahora que ambos calculan lo que pagan de

impuestos e imaginan pagarle a una tercera persona un sueldo que genere un impuesto equi-

valente al promedio de lo que paga cada uno. Bajo este criterio, ¿podrían asignarle un suel-

do a la tercera persona en la ciudad donde se aplica el régimen dado por f ( x)?, ¿es posible

hacerlo en la ciudad donde se aplica el régimen dado por g( x)?, ¿cuál es el sueldo o sueldos

(si aplica en ambos casos) que podrían pagar?

f ( x) = 0.2 x +10

1

5 000 x si x >10 000

0.2 x si x ≤10 000




1. Indica la opción que contiene la definición de continuidad de una función en un punto x0 de sudominio.

a) Una función es continua en un punto si su gráfica pasa por ese punto.

b) Dado ε > 0 existe δ > 0, de tal manera que, si 0 < x − x0 < δ entonces f ( x) − L < ε .

c) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que, si x − x0 < δ entonces f ( x) − f ( x

0) < ε .

d ) Una función es continua si la gráfica está definida en ese punto.

2. Elige la opción que responde correctamente al siguiente cuestionamiento: ¿es posible extender

mediante una función que sea continua en 1 y que coincida con f ( x) en su domi-

nio?, ¿cuál es el valor de la extensión de la función en x = 1?

a) Sí y vale 3. c) Sí y vale .

b) Sí y vale 2. d ) No.

3. Determina el conjunto de discontinuidades de la función f ( x) = sec( x).

a) c) Los puntos de la forma .

b) {0, π } d ) Los puntos de la forma .

4. Determina si la función es continua en . Explica tu respuesta.

a) No lo es porque el denominador se anula en cero. c) Sí lo es porque .

b) Sí lo es porque . d ) No lo es porque .

5. ¿Existe un valor de k de tal manera que, la función sea continua en x = 0?

f x

x

x x

k x

( )

cos

=

−

≠

=

3

2 2 0

0

π

si

si

lím sen x x→

=2

11

π

lím sen x x→

=2

10

π

lím sen x x

f →

=

2

1 2

π

π

2

π f x x( ) =

sen

1

( )2 1

2

k k

+ π donde es un entero

k k

π

2donde es un entero−

π π

2 2,

3

2

f x x

x( ) =

−−

3

2

1

1




iii) Es discontinua en cada entero y es imposible extenderla.

iv) Es discontinua en 1 y es posible extenderla mediante f ( x) = 1 + x + x2.

v) Es discontinua en 1, pero es posible extenderla a .

vi) Es discontinua en los puntos de la forma x = k π donde k es un entero, donde se anula el coseno;

y en los puntos de la forma , donde se anula el coseno. Se

puede extender a h( x) = tan2( x), que tan sólo tiene discontinuidades en los puntos de la forma

.

3. a) k = −3, c = 2.

b) k = −20, c = 9.c) .

4. x = −5: esencial infinita; : evitable; x = 0: esencial de salto; x = 1: evitable; x = 3: esencial infi-nita; x = 6: esencial infinita.

5.

x = −25

n m= =327

487,

xk

k = +( )2 1

2

π donde es un entero

xk

k = +( )2 1

2

π donde es un entero

f x x x

( ) =+ +

11 2

a

y

4

–

x2 1 1 2

x

yb)

La función tiene una discontinuidad evitable en x = −2, y

discontinuidades esenciales infinitas en x = −1 y x = 3.

La función tiene una discontinuidad evitable en x = 4

(el hueco sobre la gráfica no se muestra), una disconti-

nuidad esencial infinita en x = −5 y una recta asintóti-

ca con ecuación y = 3 x − 26.



2053.2: Continuidad

c

y y

1 1 x x

–

–

d

La función tiene dos discontinuidades esenciales infi-

nitas en x = −3 y en x = 1.

La función tiene una discontinuidad esencial infinita en

x = −1, una discontinuidad evitable en y una

curva asintótica y = 2 x2

– 2 x.

x = −12

1. c)2. c)3. d

)4. c)5. Sí, para k = 0.



Unidad

La derivada comorazón de cambio

Intro ucc n a la uni a


4.1 El concepto de derivada

4.2 La función derivada

Imagina que eres el ingeniero encargado del mantenimiento de una autopista. Para decidir con qué tipo de mate-rial se deben reparar los baches y cuánto aumentar el peralte de las curvas peligrosas, necesitas conocer la veloci-

dad de los automóviles que la recorren. La distancia total es de 300 kilómetros y sabes que un automóvil típico la

recorre en 3 horas. Al dividir la distancia entre el tiempo, se obtiene una velocidad promedio de 100 kilómetros por

hora. Pero esto no significa que el velocímetro del automóvil haya marcado exactamente 100 durante todo el recorri-

do. Quizá, el conductor aceleró en los tramos rectos hasta que el velocímetro marcó 140, y se vio obligado a desacele-

rar en las curvas hasta que el velocímetro marcó 80 kilómetros por hora. Para tomar las decisiones adecuadas, te

interesa conocer qué marca el velocímetro en el instante que pasa por la curva o la reparación del bache que estás

estudiando. En otras palabras, como ingeniero, te interesa más la velocidad instantánea que la velocidad promedio

del automóvil.

La situación anterior muestra la diferencia entre tasas de cambio promedio e instantáneas. Otro ejemplo podría

ser el enfriamiento de un motor después de haber estado trabajando. Si su temperatura cambia de 300 grados a 100

grados en 10 minutos, entonces su tasa de enfriamiento promedio es de 20 grados por minuto, pero esto no sig-nifica que en todo momento se haya estado enfriando exactamente con esa tasa. Es seguro que al principio, cuan-

do su temperatura es mayor, se enfría a una tasa superior (quizá 30 grados por minuto); mientras que al final, se

enfría a una tasa mucho menor puesto que la variación de la temperatura es menor. Como algunos materiales pue-

den perder sus propiedades e incluso fracturarse si se enfrían muy rápidamente, conocer la tasa instantánea de en-

friamiento es importante para decidir con qué materiales debe fabricarse el motor.

Esta cantidad tan importante, la tasa instantánea de cambio, recibe un nombre especial: la derivada. En este

capítulo aprenderás a calcular derivadas utilizando límites. También aprenderás sobre su significado geométrico y



en qué condiciones existe la derivada de una función. Más adelante en tu carrera, es po-

co probable que utilices las técnicas de este capítulo para derivar; seguramente usarás las

técnicas y fórmulas del capítulo siguiente de este libro. Sin embargo, este capítulo es

muy importante para que realmente comprendas qué significa la derivada y, al compren-

derla, puedas utilizarla de manera adecuada en tu vida profesional.

208 Unidad 4: La derivada como razón de cambio

4.1 El concepto de derivada

Lo que conduce y arrastra al mundo

no son las máquinas sino las ideas.

Víctor Hugo

¿Quién es el hombre más rápido?

La carrera de los 100 metros es la prueba reina de atletismo. En todos los juegos

olímpicos de la era moderna y en los mundiales de la especialidad, los ganadores

han sido considerados los hombres más rápidos del orbe. En 2005, el corredor

jamaiquino Asafa Powell registró un tiempo de 9.77 segundos en la distancia. Sin

embargo, ha sido cuestionada la veracidad de que él es el hombre más rápido

del mundo porque el corredor estadounidense, Michael Johnson, tiene el récord

mundial de los 200 metros en 19.32 segundos. ¿Quién de los dos es realmente elhombre más rápido del orbe? En las tablas siguientes se muestran los tiempos

que realizaron ambos corredores.

Tiempo(segundos)

0 1.78 2.81 3.72 4.59 5.44 6.29 7.14 8.00 8.87 9.77

Distancia(metros)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tabla 1 La carrera de Asafa Powell para obtener elrécord mundial de los 100 metros planos

Tiempo(segundos)

0 6.3 10.12 11.10 12.09 13.06 13.97 14.83 15.61 16.40 17.26 18.23 19.32

Distancia(metros)

0 50 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Tabla 2 La carrera de Michael Johnson para obtenerel récord mundial de los 200 metros planos

FIGURA 1. Asafa Powell.



209 4.1: El concepto de derivada

Con estos datos:

a) ¿Cuál fue la velocidad media de ambos corredores en los primeros 100 me-

tros?

b) ¿Cuál fue la velocidad media de Johnson en sus primeros 100 metros? ¿y ensus segundos 100 metros?

c) ¿Cómo se compara la velocidad media de cada corredor en cada uno de los

intervalos proporcionados?

d ) Si consideramos que los tiempos de reacción de Powell y Johnson fueron 0.171

y 0.161 segundos respectivamente, ¿cómo se modifica la velocidad media de

cada uno en los primeros 100 metros?

e) Ahora consideremos que Asafa Powell corrió toda la carrera con una velocidad

del viento a favor de 0.7 m/s, y que Johnson corrió sus primeros 100 metros con

viento a favor de 0.8 m/s ¿cómo se comparan ahora sus velocidades medias?

f ) A la luz de estos resultados ¿quién crees que es más rápido?

Por otro lado, la tabla 3 muestra cómo se ha ido reduciendo el tiempo nece-

sario para cubrir la distancia de los 100 metros, desde 1912 hasta 2005.

g) ¿Cuál es el razón de cambio promedio del récord mundial?

h) ¿En qué intervalo se obtuvo la razón de cambio promedio más significativa?

Año 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 1983 1988 1991 1992 1994 1996 1999 2002 2005

Tiempo 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1 10 9.95 9.93 9.92 9.9 9.86 9.85 9.84 9.79 9.78 9.77

Tabla 3 El récord mundial de los 100 metros planos en

el tiempo.

Introducción

Una rápida mirada a lo que ocurre a nuestro alrededor nos haría concluir que

nada es estático y que la constante es el cambio. Los seres vivos se mueven

sobre la faz de la tierra, nuestro planeta se mueve alrededor del sol quien, a

su vez, avanza errante por el Universo. El cambio no sólo se presenta en la

naturaleza, también aparece en casi todas las actividades humanas. Por ejem-

plo, todos los días podemos abrir el periódico y leer que el clima cambia de

región a región, que se modifica el valor del dólar ante el peso, que varía la

inflación, que aumenta o disminuye el producto interno bruto (PIB), y sólo

por citar algunos ejemplos. Para analizar cómo cambian algunas cantidades

surgió, en el siglo XVII, el concepto de derivada, que posteriormente se convir-

tió en la herramienta matemática por excelencia para el análisis del cambio.En sus orígenes, la derivada se limitó a resolver problemas físicos relaciona-

dos con la velocidad y geométricos relacionados con la recta tangente. Más

adelante, se convirtió en el lenguaje que físicos, ingenieros, economistas y

científicos en general, usan para describir fenómenos donde existen variables,

ya sea en el tiempo o en el espacio. En esta sección, estudiaremos los conceptos

básicos que llevaron a establecer la derivada y sus interpretaciones físicas y

geométricas.



El problema de la velocidad

En 2004 durante los Juegos Olímpicos de Atenas, Xiang Liu igualó el récord mundial de

los 110 metros con vallas. Este corredor chino realizó un tiempo de 12.91 segundos para

así convertirse en la mayor sorpresa del evento. La prueba consiste en recorrer 110 me-

tros saltando 10 obstáculos uniformemente separados en el menor tiempo posible. En la

tabla 4 se muestran sus resultados y en la figura 3 se muestra cómo fue avanzando en

la carrera.


Objetivos

Al terminar este capítulo tendrás la capacidad de:

a) Definir la razón media de cambio de una función en un intervalo.

b) Definir la derivada en un punto como la razón instantánea de cambio e

interpretarla de manera geométrica.

c) Obtener la derivada de una función en un punto.

d ) Usar la derivada en un punto como una razón de cambio a través de su

forma numérica y geométrica.

Tiempo(seg)

Distancia(m)

10 2.57

20 3.58

30 4.56

40 5.53

50 6.51

60 7.46

70 8.45

80 9.46

90 10.48

100 11.53

110 12.91

Tabla 4 Distancia contra tiempo en elrécord mundial de los 110 metroscon vallas para hombres

istancia

Tiempo

100

20

FIGURA 3. Gráfica de la distancia recorrida contra el

tiempo transcurrido para que Xiang Liu

alcanzara el récord mundial.

FIGURA 2. El corredor chino

Xiang Liu.



Observemos que, en promedio en toda la carrera, Xiang Liu recorrió 8.5205 metros

en cada segundo. Este resultado se obtiene al dividir la distancia recorrida (110 metros) en-

tre el tiempo total de la carrera (12.91 segundos). Al cociente se le conoce como la ve-

locidad media. Podemos precisar más cómo cambia la velocidad media, considerando

ahora intervalos más pequeños. Por ejemplo, los primeros 10 metros los recorrió en 2.57segundos, esto significa que en promedio recorrió 3.891 metros en cada segundo en esa

primera fase. Posteriormente, en los siguientes 1.01 segundos recorrió otros 10 metros.

Es decir, recorrió 9.90 metros en cada segundo. En la tabla 5 se muestran las velocida-

des medias en cada uno de los intervalos de la carrera. Por otro lado, ¿cómo cambia la

velocidad? Observemos que, al terminar el primer intervalo tenemos una velocidad media

y, al terminar el segundo intervalo tenemos otra velocidad media diferente; el cambio en

la velocidad es 9.90 − 3.891 = 6.009 y el tiempo para lograr este cambio es 1.01 segundo.

Es decir, la velocidad cambia 5.95 m/s en cada segundo. A este cambio se le conoce como

aceleración media.


Tiemposeg

istanciam

eloci a me iam/seg

Aceleraci n me iam/seg

0 0

2.57 10

3.58 20

4.56 30

5.53 40 10.309 0.108

6.51 50 10.204 −0.107

7.46 60 10.526 0.339

8.45 70 10.101 −0.430

9.46 80 9.901 −0.198

10.48 90 9.804 −0.095

11.53 100 9.524 −0.26712.91 110 7.246 −1.650

v2

10 204 9 90

4 56 3 580 300= −

− =. .

. ..v3

30 20

4 56 3 5810 204= −

− =

. ..

a1

9 90 3 891

3 58 2 575 950=

−−

=. .

. ..v

220 10

3 58 2 579 90=

−−

=. .

.

v1

10 0

2 57 03 891=

−−

=.

.

Tabla 5 La velocidad media y la aceleración media enla carrera de los 110 metros con vallas.

En general, a la razón de cambio promedio de la posición se le llama velocidad me-

dia y se define como sigue.



Si suponemos que la velocidad media en ( xi, x

f ) es la misma en todo el intervalo, enton-

ces podríamos estimar la posición en cualquier punto al interior del intervalo. En efecto, si

en el tiempo t ∈ (t i, t

f ) el móvil se encuentra en x ∈ ( x

i, x

f ), entonces la velocidad tam-

bién se podría calcular como:

de donde

x = xi + v(t − t

i).

De la misma manera, a la razón de cambio promedio de la velocidad se le llama ace-

leración media y se define como sigue.

v x x

t t

i

i

= −

−


Definición de velocidad media.

Si un móvil se encuentra en la posición xien el tiempo t

iy pasa a la posición x

f

en el tiempo t f , se define la velocidad media como el cociente

Donde se llama x f − x

ia la distancia recorrida y t

f − t

ial tiempo transcurrido.

v x x

t t

f i

f i

= −

−

Definición de aceleración media.

Si un móvil tiene velocidad vi

en el tiempo t i

y velocidad v f

en el tiempo t f , se

define entonces la aceleración media como el cociente

av v

t t

f i

f i

= −

−

Nos preguntamos ahora, ¿qué velocidad tiene el corredor en un instante dado? Para

responder a la pregunta, considera que la carrera se puede modelar con el siguiente po-

linomio de cuarto grado:

En la figura 4 se muestra la gráfica del polinomio sobrepuesta con la gráfica de los

puntos.

x t t t t t ( ) . . . . . .= − + + − +0 18307 0 0971157 2 04934 0 162341 0 004215482 3 4



Con este polinomio podemos calcular con más fineza la velocidad del corredor. Por

ejemplo, una estimación de la velocidad media entre 7 y 8 segundos es:

m/s

Claramente podemos seguir el procedimiento para hacer más fino el valor de la velo-

cidad media. En la tabla siguiente se muestran las velocidades considerando intervalos

de 0.1, 0.01, 0.001 y 0.00001 segundos.

v = −

− =

65 889 55 353

8 710 536

. ..


8 10

80

FIGURA 4. Gráfica del polinomio de ajuste de la distancia recorrida por el corredor chino.

tf ti xf xi v

7.1 7 56.42229 55.3528 10.6949

7.01 7 55.4599 55.3528 10.70618

7.001 7 55.3635 55.3528 10.70727

7.0001 7 55.3542 55.3528 10.70752

7.00001 7 55.3529 55.3528 10.70754

7.000001 7 55.3528 55.3528 10.7076

Tabla 6 El proceso para obtener la velocidadinstantánea

Como podemos observar, la velocidad se empieza a estabilizar alrededor del valor

10.7076. A la velocidad que se obtiene al considerar el límite t f → t

ise le conoce

como velocidad instantánea. De forma similar podemos definir la aceleración ins-

tantánea.



El problema de la recta tangenteDeterminar la tangente a una curva dada en un punto es un problema con un desarrollo

histórico interesante. Griegos como Apolonio (262-190 a.C) y Arquímedes (287-212

a.C.), pudieron construir rectas tangentes a las curvas cónicas y espirales mediante ar-

tificios geométricos. Descartes (1596-1650), desarrolló su método de las raíces iguales

para calcular las tangentes a círculos y parábolas. Posteriormente, Fermat (1601-1665),

construyó un método para calcular las tangentes a un polinomio f ( x). El método de

Fermat es simple, se calcula f ( x + h) − f ( x), que resulta ser un polinomio en h. Después,


Definición de velocidad y aceleración instantánea.

Si un móvil se encuentra en la posición xien el tiempo t

iy pasa a la posición x

f

en el tiempo t f , se define la velocidad instantánea como el límite

Análogamente, si el móvil tiene velocidad vien el tiempo t

iy pasa a la veloci-

dad v f

en el tiempo t f , se define la aceleración instantánea como

av v

t t t t

f i

f i f i

= −

−→lím

v x x

t t t t

f i

f i f i

= −

−→lím

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Un vehículo se mueve de acuerdo a la función de posición

x(t ) = t 2 + 4t + 3

• Determina la velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3).

• Determina la velocidad instantánea en el tiempo t = 1.

La velocidad media en el intervalo (1, 3) se calcula usando

m/s.

Para la velocidad instantánea usamos la definición

m/sv x t x

t

t t

t

t t

t

t t

t t

t t t t t =

−−

=

+ + −−

= + −

−

= + −

−

= +( ) =

→ → → → →lím

( ) ( )lím lím lím

( )( )lím

1 1

2

1

2

1 1

1

1

4 3 8

1

4 5

1

5 1

15 6

v x x

= −

− =

−=

( ) ( )3 1

3 1

24 8

28



se divide entre el factor h y se eliminan los términos restantes que lo contengan. El

resultado es la ecuación de la recta tangente. Sin embargo, fue hasta el siglo XVII cuan-

do se desarrolló un método general, que te presentaremos más adelante, para resolver el

problema.

Considera la ilustración 5a, en ella graficamos la función y = f ( x) y mostramos lospuntos (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)). El cambio en la variable independiente x es ∆ x = h,

mientras que el cambio en la variable independiente es ∆ f = f (a + h) − f (a). Entonces, la

pendiente de la recta secante es

Y la ecuación de la recta es

y = f (a) + msec

( x − a)

En la figura 5b se muestra el proceso de considerar a h cada vez más pequeño. A

la recta que se obtiene (si existe) al considerar el límite h → 0, se le conoce como

recta tangente. En la ilustración 5c te mostramos la recta tangente obtenida. En

conclusión:

m f

x

f a h f a

hsec

( ) ( )= =

+ −∆∆


Para determinar la ecuación de la recta tangente se calcula primero

Si el límite existe, entonces la ecuación de la recta tangente es

y = f (a) + mtan

( x − a)

m f

x

f a h f a

h x htan lím lím

( ) ( )= =

+ −→ →∆

∆∆0 0

FIGURA 5. El problema de las tangentes. En la figura a) se muestra la recta secante que une los puntos (a, f (a)) y

(a + h, f (a + h)). En la ilustración b) se muestra el proceso dinámico que transforma las rectas secantes en

la recta tangente. Finalmente, en la ilustración c) se muestra la recta tangente obtenida.



Para concretar ideas, consideremos la función y = x2, la pendiente de la recta secante

que une los puntos (1, 1) y (1 + h, (1 + h)2) es

La ecuación de la recta secante es

y = 1 + (2 + h)( x − 1)

Si calculamos el límite h → 0, obtenemos la pendiente y la ecuación de la recta tan-

gente.

mtan

= 2 e y = 1 + 2( x − 1) = 2 x − 1

Nota.

De geometría básica, sabemos que una recta tangente a un círculo sólo lo toca en un pun-

to, sin cruzarlo. En general, este resultado no es válido para cualquier curva. Observa lafigura 6. En la ilustración 6a, se ha trazado una recta vertical que toca la curva en un solo

punto y, sin embargo, la recta no es tangente. En la ilustración 6b, se muestra una recta

tangente que toca la curva en dos puntos.

m hh

h hh

h hh

hsec ( )= + − = + + − = + = +1 1 1 2 1 2 2

2 2 2


y

x x

y

a) b)

FIGURA 6. En la gráfica a) se muestra una recta vertical que a todas luces no es una recta tangen-

te. En la gráfica b) se muestra una recta tangente que corta la curva en dos puntos.

Ejemplos

Ejemplo 2.

Para la función determina

• las ecuaciones de las rectas secantes que pasan por el punto (0, 0) considerando que h = 1, 0.1,

0.01, 0.001.

• la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (0, 0).

f x x

x( ) =

+ 1



La derivada en un punto

Consideremos ahora cualquier función y = f ( x), definimos la razón media de cambio

y la razón instantánea como sigue.


solución

La pendiente de la recta secante que une los

puntos (0, 0) y (h, f (h)) es

La ecuación de la recta es

Al considerar el límite h → 0 se obtiene

mtan

= 1 y la ecuación de la recta tangente

y = x. En la tabla se muestran las pendien-

tes y ecuaciones de las rectas secantes.

yh

x x

h= +

+ − =

+0

1

10

1( )

m f h f

h

h

h

h hsec

( ) ( )=

−= +

−=

+0 1

01

1 h Pendiente Ecuación

1 0.5 y 0.5 x

0.5 0.6667 y 0.6667 x

0.1 0.9091 y 0.9091 x

0.01 0.9901 y 0.9901 x

0.001 0.9990 y 0.9990 x

0.0001 0.9999 y 0.9999 x

Tabla 7 Ecuaciones de las rectas secantes.Observa cómo el proceso numérico

induce el valor de la pendiente de larecta tangente y de su ecuación.

DefiniciónSea y = f ( x) una función con dominio en el intervalo [b, c], definimos:

• la razón media de cambio de la función como el cociente

• la razón instantánea de cambio de la función o derivada en el punto a ∈ (b, c)

como

f a f x f a

x a x a( ) lím

( ) ( )=

−−→

f f c f b

c b=

−−

( ) ( )

La derivada puede escribirse de una forma alternativa. En efecto, si consideras que

h = x − a, entonces

De la discusión presentada en las secciones previas tenemos que:

f a f a h f a

hh( ) lím

( ) ( )=

+ −→0




• Interpretación física de la derivada. La derivada de la función posición de

un móvil en el tiempo t = a se interpreta como la velocidad instantánea del

móvil en ese tiempo.

• Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función en el

punto x = a se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x)

en ese punto.

m f a f a h f a

hhtan ( ) lím

( ) ( )= =

+ −→

0

Ejemplos

solución

Ejemplo 3.

Determina las derivadas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Usa la definición de razón

instantánea de cambio.

a) f ( x) = x1/3 en a = 0.

b) en a = 3.

c) en a = 0.

Directamente de la definición se tiene que:

a) . Es obvio que la derivada no existe, pero la recta tangente

es vertical.

gh

h

h

hh

h

h

h

h

h h

h

h h

h

h

h

( ) lím( )

lím

lím

lím

lím

33 1 4 4 4

4 4 4 4

4 4

4 4

4 4

1

4 4

1

0 0

0

0

0

= + + −

= + −

= + −

+ +

+ +

= + −

+ +( )=

+ + =

→ →

→

→

→

Aplicamos la definición

Multiplicamos y dividimos por el conjugado

Simplificamos

22 4

1

4= Calculamos el límite

f h

h hh h( ) lím lím

/

/ 0

0 1

0

1 3

02 3

= −

= = ∞→ →

F x x

x( ) = +

+4

32

g x x( ) = + 1

b)

Notación. Leibniz introdujo la siguiente simbología para la derivada:

f ady

dx x a( ) =

=




solución

Ejemplo 4.

Para la función f ( x) = 3e x + 4sen( x) + 2tan( x), determina la

• razón media de cambio en el intervalo [0, 1].

• la razón instantánea de cambio en ( x = 0).

La razón media de cambio en el intervalo [0, 1] es

Para determinar la razón instantánea de cambio necesitamos los siguientes tres resultados, que ya fue-

ron discutidos en el capítulo anterior:

Siguiendo la definición de derivada se tiene que:

f f h f

h

e h h

h

e h h

h

e

h

h

h

h

h

e

h h

h

h

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím( ) tan( )

lím( ) tan( )

lím

( ) tan( )

lím

00 3 4 2 3

3 3 4 2

3 3 4 2

3

0 0

0

0

0

= −

= + +( ) − ( )

= −( ) + +

=

−( )+ +

= −

→ →

→

→

→

sen

sen

sen

Desarrollando términos

11 4 2

31

4 2

3 1 4 1 2 1 9

0 0

0 0 0

( )+ +

= −( )

+ +

= + + =

→ →

→ → →

h

h

h

h

h

e

h

h

h

h

h

h h

h

h

h h

lím( )

límtan( )

lím lím( )

límtan( )

( ) ( ) ( )

senUsamos propiedades de los límites

senSacamos constantes de los límites

Usamos los resultados anteriores

límh

he

h→

−=

0

11lím

tan( )

h

h

h→=

01lím

( )

h

h

h→=

01

sen

f f f

e= −

= + +( ) − ( ) ≈( ) ( )

( ) tan( )1 0

13 4 1 2 1 3sen 11.6355449

F

h

h

h

h hh h

h h

h h

h h

h hh

h

h

h

h

h

h

( ) lím

lím ( ) ( )( )

lím( )

lím( )

lím( )

0

4

3

4

3

3 4 4 33 3

3 12 4 12

3 3

3 4

3 33 4

3 3

3

9

0

2

0

22

0

2

2

0

2

2

02

=

++

−

= + − ++

= + − −

+

= −

+

= −

+ =

→

→

→

→

→

Usamos la definición

Simplificamos

Desarrollamos

Simplificamos

==1

3Calculamos el límite

c)



solución


Ejemplo 5.

Determina la derivada de la función f ( x) = x2 x en el punto a = 1.

Para determinar la derivada necesitamos los siguientes dos resultados:

En la figura 7 se muestran dos gráficas y dos tablas que representan gráfica y numéricamente el proce-

so de límite h → 0, con esto podemos inducir el valor de los límites.

lím( )

h

ahh

h→

+ −=

0

1 10lím( )

h

ahh→

+ =0

1 1

(1 h)h

5

4

3

2

110.5

h

1

a)

1 1

2

3

4

1

2

3

4

(1 h)h 1

h

h0.5

b)

0.7 1.44982

0.5 1.22474

0.25 1.05737

0.1 1.00958

0.01 1.0001

0.001 1.0000001

−0.7 2.32282

−0.5 1.41421

−0.25 1.07457

−0.1 1.01059

−0.01 1.0001

−0.001 1.0000001

h

0.7 0.642601

0.5 0.44949

0.25 0.229485

0.1 0.0957658

0.01 0.00995083

0.001 0.000999501

−0.7 −1.88974

−0.5 −0.828427

−0.25 −0.29828

−0.1 −0.105918

−0.01 −0.0100508

−0.001 −0.0010005

FIGURA 7. En la gráfica a) se muestra el comportamiento de (1 + h)h cuando h se acerca a cero. Las tablas que aparecen allado muestran numéricamente el comportamiento. En la gráfica b) y en la tabla adjunta se muestra el com-portamiento de ((1 + h)h − 1)/h cuando h se aproxima a cero. Las gráficas y las tablas inducen los valores delos dos límites.



solución


Podemos mostrar la veracidad de los límites anteriores si usamos el binomio de Newton (en el capítu-

lo siguiente se revisarán criterios para mostrar que este resultado es válido aun cuando la potencia n no

sea un número natural)

En efecto, si usamos la fórmula del binomio se tiene que:

Calcular el segundo límite es un poco más complicado pero el proceso es similar.

Ahora, calcularemos la derivada de la función propuesta en x = 0. De la definición de derivada se tiene

que:

f f h f

h

h

hh h

hh h h

hh h h h

h h

h

h

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím( )

lím( ) ( )

lím( )( )

lím( ) ( )(

( )

11 1 1 1

1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

0 0

2 1

0

2 2

0

2 2

0

2 2

= + −

= + −

= + + −

= + + + −

= + − + + +

→ →

+

→

→

→

Desarrollamos el numerador

))

lím( )

( )( )

lím( )

lím( )( )

2

0

22

0

2

0

2

1 12 1

1 12 1

0 2 2

h

h

hh

h

h

h

h

hh

hh h

h

hh h

Reagrupamos los términos

Separamos términos

Usamos los límites anteriores

= + −

+ + +

= + −

+ + +

= + =

→

→ →

lím( )

lím

( )( )

lím( )

( )

lím( )

)

h

ah

h

h

h

h

h

ah hah ah

h

h

ah hah ah

h

h

ahah ah

h

→ →

→

→

+ −=

+ + −

+

−

=+

−+

= + −

+

=

0 0

2

0

2

0

1 11

1

21

1

2

1

20

K

K

K

Usamos el teorema del binomio

Desarrollamos términos

Calculamos el límiteCalculamos el límite

lím( ) lím ( )( )

h

ah

hh ah h

ah ahh

→ →+ = + +

−+

=0 0

21 11

21K

( )( )

a b a na bn n

a bn n n n+ = + + −− −1 2 21

2L




solución

Ejemplo 6.

Los siguientes datos, tomados del portal de Internet de la Secretaría de Energía, muestran el precio dia-

rio de la mezcla mexicana de petróleo crudo de exportación a finales de agosto de 2005.

a) Determina la razón de cambio diaria del precio de la mezcla.

b) Ajusta una función polinomial de grado tres para el precio en función del tiempo (considera el

19 de agosto como t = 0 días). Usa esta función para determinar la razón instantánea de cambio

el 21 de agosto.

En la tabla siguiente se muestran las razones de cambio diarias del precio de la mezcla. Para obtener-

las, sólo restamos el precio entre periodos.

Un ajuste simple, usando el paquete Excel, produce la función

En la figura 8 se muestran tanto los datos de la producción como la función ajustada. En la figura 8b

hemos colocado la gráfica de las razones medias de cambio. Para determinar la razón instantánea de

cambio el 21 de agosto, necesitamos derivar la función ajustada del precio en t = 2. Entonces,

Observa que un valor ligeramente diferente se obtiene de evaluar la función ajustada de las razones de

cambio en el punto t = 2. En efecto, ese valor es 0.4876.

f. h . h . h .

h

. h h h . h h . h .

h

h

( ) lím( ) ( ) ( ) ( . )

lím( ) ( ) ( ) ( .

20 0598 2 0 3533 2 01501 2 50 69 51 3246

0 0598 8 12 6 0 3533 4 4 01501 2 50 69 51

0

3 2

0

2 3 2

= − + + + − + + −

= − + + + + + + − + + −

→

→

32463246

0 0598 12 6 0 3533 4 01501

0 0598 12 0 3533 4 0 1501

0 5455

0

2

)

lím ( ) ( )

. ( ) . ( ) .

.

h

. h h . h .

h

= − + + + + −( )= − + −=

→

y - . t . t - . t .= + +0 0598 0 3533 01501 50 693 2

Fecha 19-Ago 20-Ago 21-Ago 22-Ago 23-Ago 24-Ago

Precio (en dólares50.7 50.8 51.36 51.8 51.9 51.3americanos)

Fecha 19-Ago 20-Ago 21-Ago 22-Ago 23-Ago 24-Ago

Razón media de0.1 0.56 0.44 0.1 0.6cambio del precio




FIGURA 8. En la gráfica a) se muestra el valor de la mezcla mexicana. En la gráfica b) se muestra la derivada del preciode la mezcla.

y 0.0598 t t 2 0.1501 t 50.69 y 0.17 4 t 2 t 0.1 052

51.8

51.

.

.

50.

.

0.

.

5

t

t

a) b)

1. Las siguientes gráficas muestran la posición de un automóvil como función del tiempo. Estima la ve-

locidad media de cada automóvil en toda su trayectoria y cada hora. Indica en qué intervalo se tiene la

velocidad mayor.

5

10

y

x

x

30

2 3

y

x

a b c

2. La posición de un automóvil está dada por las siguientes funciones. Para cada una de ellas, determina la

velocidad media entre los tiempos t 0

y t 1

y la velocidad instantánea en t 0.

a) y = 3t 2 + 4t − 2; t 0 = 1, t

1 = 1.1

b) y = t 2 − t − 2; t 0 = 1, t

1 = 1.5

c) y = t 2 + t − 2; t 0 = 1, t

1 = 0.5

d ) ; t 0

= 1, t 1

= 0.5

e) y = cos(t ); t 0

= 0, t 1

= 0.01

yt

t =

+

2

2




3. En la tabla siguiente se muestran la distancia recorrida y el tiempo transcurrido en una carrera de ca-

ballos de 440 yardas.

Obtén las velocidades medias cada dos segundos. Supón que la última velocidad media se mantenga,

¿es posible que la carrera termine antes de 22 segundos?

4. Para cada una de las funciones siguientes, encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto indi-

cado y elabora un gráfico que muestre la curva y la recta tangente.

a) y = x2 + 2 x en x = 0 c) y = x2 − x + 2 en x = 1

b) y = − 2 x2 + 4 x + 3 en x = 0 d ) y = − x2 + 5 x en x = 2

5. Para las siguientes curvas, encuentra la recta secante que une los puntos P y Q indicados y posterior-

mente, usa el proceso de límite para determinar las ecuaciones de las rectas tangentes en P.

a)

b)

c)

d ) ; P(1, f (1)) y Q(1 + h, f (1 + h)).

e) ; P(2, f (2)) y Q(2 + h, f (2 + h))

6. Para cada gráfica que aparece a continuación, estima los valores de la derivada de f ( x) en los puntos

x = −1, 0, 1, 2, 3.

f x x x

x

( ) = +

+

2

2 3

f x x

( ) =+2

1

f x x x x P f Q h f h( ) ( , ( )) ( , ( )).= − + + +3 23 3 3 3 3; y

f x x x P f Q h f h( ) ( , ( )) ( , ( )).= + − − − + − +3 2 1 1 1 12 ; y

f x x x P f Q h f h( ) ( , ( )) ( , ( )).= + + +2 1 1 1 1; y

Tiempo (seg.) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Distancia (yardas) 0 30 64 100 138 177 217 259 302 347 397

x

y

2 3 x

y

2

a) b)




7. Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. Usa la definición.

x

y

1

2 3 x

y

2

c

a) f ( x) = 4 x + 3; a = 1

b) f ( x) = x2 + 3 x − 5; a = 2

c) f ( x) = −2 x2 + 2 x + 3; a = −1

d ) f ( x) = − x3 + x2 + 2 x − 1; a = 1

e) a = 2

f ) f ( x) = e2 x + cos( x); a = 0

g) f ( x) = 2 x + sen( x); a = 0

h) f ( x) = tan(2 x) + sen(3 x); a = 0

i) f ( x) = 2 x x; a = 1

j) f ( x) = ( x + 1) x; a = 2 f x x

x( ) =

−+

3 1

2

8. Las siguientes funciones representan el costo (en pesos) de producir x unidades de ciertos artículos. Pa-

ra cada una de ellas, determina la razón media de cambio de x0 a x1 artículos y la razón instantánea delcambio en el costo (el costo marginal) en x0.

a) C ( x) = 50 000 + 100 x + 0.5 x2; x0 = 100; x

1 = 110.

b) C ( x) = 2 000 + 10 x + 0.2 x2; x0 = 100; x

1 = 120

c) C ( x) = 10 000 + 12 x + 0.3 x2 + 0,2 x3; x0 = 50; x

1 = 70.

d ) C ( x) = 50 000 + 4 x + 0.7 x2 + 0.3 x3; x0 = 200; x

1 = 205.

9. En la tabla siguiente se muestra la temperatura del ambiente en un día de diciembre en la Ciudad de

México. Los resultados se registraron cada dos horas, de la medianoche al mediodía. Usa estos datos

para estimar la razón instantánea de cambio en la temperatura a las 11 A.M. Sugerencia: ajusta una fun-

ción polinomial.

t0 2 4 6 8 10 12(hrs.)

T (°C) 4 2 1 5 9 14 21

10. Los datos siguientes muestran la producción (en millones de pesos, a precios corrientes) de la indus-

tria de refrescos y bebidas no alcohólicas en el intervalo de 1994 a 2004 (fuente INEGI, encuesta in-

dustrial anual). Determina la producción media anual de la producción.




PERIODO 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Producción

14236.4 18366.2 23592.3 28128.9 36495.0 43929.8 55498.4 61133.6 69203.7 75795.9 75935.3

(millones de pesos a

precios corrientes)

11. Los siguientes datos muestran la producción nacional de petróleo crudo en miles de barriles diarios

AñoTotalcrudo Pesado Ligero Superlijero

2000 3 012 1 774 733 505

2001 3 127 1 997 659 471

2002 3 177 2 167 552 458

2003 3 371 2 419 512 4392004 3 383 2 458 790 135

2005 3 330 2 406 792 132

a) Determina la razón media de cambio anual de la producción total y de las tres variedades de crudo.

b) ¿Qué variedad tiene la razón de cambio que aumenta más rápidamente?

12. La siguiente tabla muestra el volumen de agua empleada (en hm3) para generar energía eléctrica en va-

rias hidroeléctricas del país. Determina la razón media de cambio anual en cada una de ellas.

1999 2000 2001 2002 2003

Balsas 41 524 32 596 25 992 45 588 30 969

Río Bravo 2 503 2 867 2 067 1 550 1 110

Lerma-Santiago-Pacífico 13 468 6 122 4 126 5 572 7 792

Frontera Sur 62 322 92 365 65 821 44 454 34 056

13. En la siguiente tabla se muestra la capacidad efectiva de generación de energía eléctrica en megawatts, por

tipo de planta. Determina la razón media de cambio de la generación de energía en cada tipo de planta.

Centrales 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Hidroeléctricas 9.700 9.618 9.619 9.619 9.615 9.615

Termoeléctricas 20.895 21.327 21.772 22.639 23.264 2.3264

Carboeléctricas 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600

Nucleoeléctricas 1.309 1.368 1.365 1.365 1.365 1.365

Geotérmicas 0.75 0.75 0.855 0.838 0.843 0.96





Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-

tuaciones.

1. “¿Quién es el hombre más rápido?”, presentada en la introducción.

2. “El comerciante de las sillas”.

Un empresario que se dedica a construir muebles de madera acaba de recibir un pedido por

80 sillas a $250.00 cada una y ofrece, para aumentar sus ganancias, reducir el precio por silla

en $2.00 por cada silla adicional. El empresario considera que, mientras el número de sillas no

exceda a 80, el precio de construcción de cada silla será de $50.00

a) Elabora una tabla a que contenga las columnas de: número de decrementos de $2.00,precio por silla, número de sillas, ingresos, primeras diferencias de ingresos y segundas

diferencias de ingresos. Explica el significado de los valores que obtuviste en las dos

últimas columnas.

b) Traza la gráfica número de sillas contra ingresos.

c) Traza la gráfica precio por silla contra ingresos.

d ) Traza la gráfica número de decrementos de $2.00 contra ingresos.

e) ¿Cuáles son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los actuales?

f ) ¿En qué condiciones tiene primeras diferencias de ingresos iguales a cero?

g) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son crecientes? Explica lo que significa en ca-

da caso.

h) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son decrecientes? Explica lo que significa en

cada caso.

i) Interpreta la pendiente de dos valores consecutivos en cada una de las gráficas.

j) ¿Qué precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $21 000.00?

k ) Elabora ahora una tabla b que contenga las columnas: número de decrementos de $2.00,

precio por silla, número de sillas, ganancia por silla, primeras diferencias de ganancias

y segundas diferencias de ganancias.

l) ¿Cuánto debe cobrar por silla para obtener las mayores ganancias posibles?

m) ¿Cuál es la máxima ganancia?

n) ¿Qué pasa con la primera diferencia de ganancias cuando la ganancia es máxima? Ex-

plica.

o) Escribe tres preguntas sobre el problema, y respóndelas.

p) Inventa un nuevo problema inspirado en éste, incorporando otros factores que lo hagan

más real.




1. ¿Un paso intermedio en el cálculo de la derivada de en el punto a = 1 es?

a) c)

b) d )

2. Determina la ecuación de la recta secante a la curva f ( x) = 5 x2 − 3 x + 2 que pasa por los pun-

tos (1, f (1)) y (1 + h, f (1 + h)).

a) y = (7h + 5)( x − 1) c) y = (5h + 7)( x − 1) + 4

b) y = 7 x − 7 d ) y = 5 x − 5

3. La función de costo (en pesos) de producir x unidades de cierto artículo está dada por

C ( x) = 30 000 + 10 x + 0.6 x2

Determina la razón media del costo de producir de 100 a 120 artículos, y la razón instantánea

del cambio en el costo cuando se producen 100 artículos.

a) ; c(100) = 1 300 c) ; c(100) = 6.5

b) ; c(100) = 6.5 d ) ; c(100) = 130

4. Un automóvil se mueve de acuerdo a la función de posición x(t ) = 5t 3 + 4t 2 − 2t + 4, determi-

na la velocidad instantánea en el punto t = 2.

a) 74 m/s c) −2 m/sb) 16 m/s d ) 18 m/s

5. Considera la función de posición x(t ) = t 3 − t 2 + 3t + 14, relaciona las afirmaciones de la co-

lumna A con las respuestas de la columna B.

Columna A Columna B

a) La razón media de cambio de t = 5 a t = 10. i. 25

b) Derivada en t = 1. ii. 3

c) Velocidad en t = 2. iii. 116

d ) Razón media de cambio de t = 2 a t = 4. iv. 163

v. 4

vi. 29

vii. 11

viii. 125

c = 142c = 284

c = 2 840c = 2 840

límh

h

h→

++0

2

8 8

3lím

( ) ( )

( )h

h h

h h→

+ − ++0

4 1 4 3

3 3

lím( ) ( )

( )h

h h

h→

+ − ++0

2

12 1 4 3

3 3lím

( )h h→ +0

8

3 3

y x

x=

+4

2



Respuestas a los



1.

2.

a) V m = 10.3; v(1) = 10 d )V

m = 0.756098; v(2) = 0.75

b) V m = 1.5; v(1) = 1 e) V

m = −0.00499996; v(0) = 0

c) V m = 1.25; v(0) = 1

3. Sí termina la carrera antes de 22 segundos

4.

ti tf vm

−2 −1 16

−1 0 2

0 1 −6

1 2 −8

2 3 −4

3 4 6

4 5 22

ti tf vm

1 2 0.693

2 3 0.405

3 4 0.287

4 5 0.223

ti tf vm

−3 −2 −6

−2 −1 −4

1 0 −2

0 1 0

1 2 2

2 3 4

a) b) c)

Tiempo (seg.) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Distancia (yardas) 0 30 64 100 138 177 217 259 302 347 397

Velocidad media15 17 18 19 19.5 20 21 21.5 22.5 25(yardas/seg.)

y

4

11

x

y

2 11

5

y xa y x b)




y

x1 1 2

x1

y

y x 1c) y x

5.

a) Recta secante y = −1 + h( x − 1) + 3 x; Recta tangente y = −1 + 3 x.b) Recta secante y = −4 x − 3 + 3h( x + 1); Recta tangente y = −4 x − 3.

c) Recta secante y = 3 + (10 + 6h + h2) ( x − 3); Recta tangente y = 10 x − 27.

d ) Recta secante ; Recta tangente .

e) Recta secante ; Recta tangente .

6.

y x

= − +4 23

49 y

x h x

h=

− + + −+

4 23 7 2

49 14

( )

y x

= −3

2 y

h x

h=

+ −+

3

2

−1 −0.3

0 1

1 0.3

2 2.2

3 1.4

−1 −1.4

0 0

1 −1.4

2 0.08

3 −2.8

−1 0.5

0 0.5

1 0.5

2 −1.2

3 −3.3

−1 1.9

0 0

1 −1.9

2 −1.8

3 −0.8

a) b) c) d )

7.a) 4 c) 6 e) 41/16 g) 3 i) 2

b) 7 d ) 1 f ) 2 h) 5 j) 2.3861

8.

a) 205, 200 c) 2 228, 1 542

b) 54, 50 d ) 37 195, 36 284



9. Una función que se ajusta a los datos es T ( x) = −0.0104 x3 + 0.4107 x2 − 2.0298 x + 4.0714. La razón ins-tantánea de cambio en t = 11 es T (11) = 3.2304.

10.

11. Las razones de cambio anuales se muestran en la tabla siguiente. Las mayores razones de cambio las tie-ne el crudo pesado.

12. Las razones de cambio se muestran en la tabla siguiente.

13. Las razones de cambio son


PERIODO 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Producción4 129.8 5 226.1 4 536.6 8 366.1 7 435 11 569 5 635.2 8 070.1 6 592.2 139.4

media anual

AñoTotalcrudo Pesado Ligero Superlijero

2001 115 223 −74 −34

2002 50 170 −107 −13

2003 194 252 −40 −19

2004 12 39 278 −304

2005 −53 −52 2 −3

2000 2001 2002 2003

Balsas −8 928 −6 604 19 596 −14 619

Río Bravo 364 −800 −517 −440

Lerma-Santiago-Pacífico −7 346 −1 996 1 446 2 220

Frontera Sur 30 043 −26 544 −21 367 −10 398

Centrales 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Hidroeléctricas 9.700 9.618 9.619 9.619 9.615 9.615

Termoeléctricas 20.895 21.327 21.772 22.639 23.264 2.3264

Carboeléctricas 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600

Nucleoeléctricas 1.309 1.368 1.365 1.365 1.365 1.365

Geotérmicas 0.75 0.75 0.855 0.838 0.843 0.96



El Eurotúnel

233 4.2: La función derivada

4.2 La función derivada

En el espacio de casi precisamente un

siglo se forjó el Cálculo, el instrumento

de calcular por excelencia, y casi tres

siglos de uso constante no han

agotado este instrumento

incomparable.

Nicholas Bourbaki

P(20,17)

Q(22,20)

Calais

Folkestone

FIGURA 1. El Eurotúnel pasa por debajo del mar en el Canal de la Mancha desde Calais hasta Folkestone.

En 1994 se terminó de construir el Eurotúnel, una de las grandes maravillas de

la ingeniería moderna. El túnel tiene 50 kilómetros de largo, recorre 39 kilómetros

por debajo del mar y se empezó a construir en dos diferentes puntos: el primero

situado en la ciudad de Folkestone en Gran Bretaña y el segundo en la ciudad de

Calais en Francia. Los dos equipos de construcción se reunieron en un punto ba-

jo el Canal de la Mancha el 6 de mayo. Unos meses antes, los ingenieros tuvie-

ron que replantear la trayectoria que seguían ambos equipos porque se habían

desviado algunas decenas de metros. En la figura 1 se muestra un esquema del

Eurotúnel. Por simplicidad, considera que los puntos P y Q donde los ingenieros

replantearon la trayectoria tienen coordenadas P(20, −17) y Q(22, −20) medidas

en kilómetros desde Folkestone y que, en ese sistema de coordenadas, la ciudad

de Calais tiene coordenadas (40, −30).

• Si suponemos que los dos equipos tuvieron que cambiar su trayectoria para

reunirse en un punto intermedio del recorrido, ¿qué posibles trayectorias pu-

dieron haber seguido?

• ¿Qué condiciones tuvieron que imponer los ingenieros de la obra sobre la tra-

yectoria para minimizar posibles accidentes futuros en la sección faltante?

• ¿Cómo se relaciona la derivada con estas condiciones?



La derivada de una función

Estudiamos en la sección anterior el concepto de derivada en un punto f (a), estableci-mos que una posible interpretación física de la derivada es la velocidad instantánea cuando

x = f (t ) representa una función de posición. Más aún, hicimos notar que la derivada decualquier función y = f ( x) en x = a podía interpretarse, geométricamente, como la pen-diente de la recta tangente. Sin embargo, es posible que en algunos puntos no podamoscalcular la derivada. Para analizar estos puntos necesitamos la siguiente definición.


Introducción

La derivada tiene infinidad de aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la

tecnología. Por ejemplo, en Economía se utiliza para analizar el comportamien-to de variables económicas en el tiempo como la inflación, el desempleo, el

producto interno bruto, etc. En Física suele ser la herramienta básica para des-

cribir y modelar fenómenos de diversa índole, por ejemplo, aparece relacionan-

do variables como la fuerza y la energía con la posición o la velocidad de una

partícula. También aparece en modelos donde un cambio en alguna variable

produce cambios en otra. Pero, ¿cuáles son las condiciones matemáticas pa-

ra que exista? ¿Cuándo es posible calcularla? ¿Qué significado geométrico le

damos a su existencia? En esta sección abordaremos tres aspectos cruciales

de la derivada; el primero tiene que ver con su existencia en algún intervalo,

el segundo con posibles aplicaciones y el tercero, y no por eso el menos im-

portante, con la relación que existe entre derivabilidad y continuidad.

Objetivos


a) Definir la función derivada.

b) Obtener la derivada de una función utilizando la definición.

c) Interpretar la derivada en situaciones prácticas e indicar sus unidades.

d ) Establecer el teorema que relaciona la derivabilidad con la continuidad.

e) Determinar derivadas unilaterales en un punto.

f ) Determinar la derivada de funciones seccionadas.

Definición de la función derivada.

Decimos que la función f es derivable en el intervalo abierto (a, b) si para todo x ∈ (a, b) se tiene que:

existe.

En este caso, el límite se designa por f ( x) y recibe el nombre de función deri-

vada de f .

lím( ) ( )

h

f x h f x

h→

+ −0



Es claro que f ( x) es también una función de la variable x. En los capítulos siguien-

tes estudiaremos ampliamente su uso. Por ahora, bastará con aplicar la definición para

bosquejar la gráfica de la derivada o para calcular de manera algebraica la función deri-

vada. Dos reglas que son útiles para esto son, la regla gráfica y la regla de los cuatro

pasos, que describimos a continuación.


Regla para bosquejar la gráfica de la derivada de una función.

1. Se elige un conjunto de puntos ( xi, f ( x

i)) que se encuentren en la gráfica de

la función y = f ( x).

2. Se estima gráficamente la derivada f ( xi). Para esto, basta con graficar seg-

mentos de recta tangente en cada punto y estimar la pendiente de esta recta.

3. Se grafican los puntos ( xi, f ( x

i)).

Regla de los cuatro pasos para calcular derivadas.

1. Se calcula y simplifica f ( x + h).

2. Se calcula y simplifica f ( x + h) – f ( x).

3. Se divide la expresión anterior entre h para obtener .

4. Se calcula el límite .lím( ) ( )

h

f x h f x

h→

+ −0

f x h f x

h

( ) ( )+ −

Ejemplos

Ejemplo 1.

En la figura 2 se muestra la gráfica de una función. Haz un bosquejo de la gráfica de su función derivada.

3

y

x

FIGURA 2. La gráfica de una función a derivar.



solución


Grafiquemos rectas tangentes en los puntos x = −2,

−1, 0, 1, 2, 3. En la figura 3 se muestran los segmen-tos de rectas obtenidos. Las pendientes de estas rec-

tas se estiman considerando la altura entre la base del

triángulo que se forma en cada punto (m ≈ h/b). En

la tabla siguiente se muestran las pendientes obteni-

das, que claramente son nuestras estimaciones de la

derivada.

Por último, con esos puntos se elabora una gráfica

estimada de la función derivada. Observa que esta

última gráfica es sólo una estimación; podremos ela-

borar una gráfica exacta hasta el capítulo 10 sobre

graficación. Sin embargo, puedes ya observar que la

derivada indicará si la función está aumentando o

disminuyendo su valor.

2

2

3

3

y

x

1

3

4

2

y

x

h

b

FIGURA 3. La gráfica de la derivada de una función

estimada por métodos gráficos.

−2 0

−1 −20 −2.8

1 −2

2 0

3 3.5

solución

Ejemplo 2.

Usa la regla de los cuatro pasos para determinar la derivada de la función

f ( x) = 3 x3 + 2 x2 + 4 x − 2

Paso 1: Calculamos y simplificamos f ( x + h).

f x h x h x h x h

x x h xh h x xh h x h

x x h xh h x xh h x h

x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ = + + + + + −

= + + + + + + + + −

= + + + + + + + + −

= + +

3 2 4 2

3 3 3 2 2 4 2

3 9 9 3 2 4 2 4 4 2

3 2 4

3 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 −− + + + + + +2 9 4 4 9 2 32 2 3h x x h x h




solución

Paso 2: Restamos f ( x) a esta última expresión y obtenemos:

Paso 3: Dividiendo entre h se obtiene:

Paso 4: Al calcular el límite obtenemos:

Ejemplo 3.

Calcula la derivada de la función

f ( x) = sen(2 x) + 5 x

Nuevamente seguimos la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada.

Paso 1: Calculamos f ( x + h).

Paso 2: Si restamos f ( x) se tiene:

Paso 3: Si dividimos entre h y simplificamos resulta:

Paso 4:Al calcular el límite cuando h → 0 obtenemos:

Donde hemos utilizado que , estudiado en el capítulo 3. En efecto, tenemos:lím( )

t

t

t →=

01

sen

lím( ) ( )

( ) límcos( )

cos( )( )

cos( )

h h h

f x h f x

h x

h

h x

h

h

x

→ → →

+ −=

−

+

+

= +0 0 0

22 1

22

5

2 2 5

sen límsen

f x h f x

h x

h

h x

h

h

( ) ( )( )

cos( )cos( )

( )+ −=

−

+

+

sensen

22 1

22

5

f x h f x x h x h h x( ) ( ) ( )cos( ) cos( ) ( ) ( )+ − = + + −sen sen sen2 2 2 2 5 2

f x h x h x h

x h x h x h

( ) ( ( )) ( )

( )cos( ) cos( ) ( )

+ = + + += + + +

sen 2 5

2 2 2 2 5 5sen sen

lím( ) ( )

lím ( )h h

f x h f x

h x x h x h

x x

→ →

+ −= + + + + +( )

= + +

0 0

2 2

2

9 4 4 9 2 3

9 4 4

f x h f x

h

h x x h x h

h

x x h x h

( ) ( ) ( ) ( )+ −=

+ + + + +

= + + + + +

9 4 4 9 2 3

9 4 4 9 2 3

2 2 3

2 2

f x h f x x x x h x x h x h x x x

h x x h x h

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ − = + + − + + + + + + − + + −

= + + + + +

3 2 4 2 9 4 4 9 2 3 3 2 4 2

9 4 4 9 2 3

3 2 2 2 3 3 2

2 2 3




solución

y

Ejemplo 4.


f ( x) = 3(1 + 2 x)1/2

Apliquemos directamente la definición de derivada.

f x x h x

h

x h x

h

x h x

x h x

h

h

( ) lím( )

lím( ) ( )

( )

/ /

/ / / /

/

= + +( ) − +( )

= + +( ) − +( ) + +( ) + +( )

+ +( ) + +( )

→

→

0

1 2 1 2

0

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1

3 1 2 3 1 2

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2

3 1 2 3 1 2

usando la definicion

/ /

/ /

/ /

lím ( )

( )

lím( )

lím

2

0 1 2 1 2

0 1 2 1 2

0

9 1 2 9 1 2

3 1 2 3 1 2

9 18 18 9 18

3 1 2 1 2

= + +( ) − +( )+ +( ) + +( )( )

= + + − −

+ +( ) + +( )( )

=

→

→

→

multiplicando por el conjugado

simplificando

simplificando

h

h

h

x h x

h x h x

x h x

h x h x

1818

3 1 2 1 2

6

1 2 1 2

6

1 2 1 2

3

1 2

1 2 1 2

01 2 1 2

1 2 1 2

1 2

h

h x h x

x h x

x x

x

h

+ +( ) + +( )( )

=

+ +( ) + +( )

=+( ) + +( )

=+( )

→

( )

lím

( )

/ /

/ /

/ /

/

simplificando

dividiendo entre 3

calculando el limite

simplificando

h

lím( )

lím( )

.h h

h

h

h

h→ →

=

=0 0

22

2

22

sen sen

= −

= −

=→ →

lím( )

lím ( )( )

,h h

h

hh

h

h0

2

0

22 0

sensen

sen

límcos( )

límcos ( ) ( )

h h

h

h

h h

h→ →

−

=

− −

0 0

2 22 1 1sen



Aplicaciones de la derivada

Existen diferentes aplicaciones de la derivada en todos los ámbitos económicos, sociales

y científicos. Por ejemplo:


Costo marginal.

La función de costo total C = f (q) nos indica el costo de producir q artículos de

un cierto producto. La razón de cambio instantánea de C respecto a q se llama

costo marginal .

Ingreso marginal.

La función de ingreso total I = f (q) nos indica el ingreso total obtenido al pro-

ducir q artículos de un cierto producto. La razón de cambio instantánea de I res-pecto a q se llama ingreso marginal .

Relación de la fuerza con la energía potencial.

Considera un sistema físico con energía potencial dada por U = f ( x). La razónde cambio de −U respecto a x es la fuerza que siente el sistema. Es decir, si F

denota la fuerza entonces,

F dU

dx= − .

Podemos decir que el costo marginal es el costo aproximado de producir una unidad

adicional cuando ya se han producido q unidades. En efecto, de acuerdo con la aproxi-

mación lineal se tiene que:

C (q + 1) ≈ C (q) + C (q)(q + 1 − q)

De donde,

C (q + 1) − C (q) ≈ C (q).

También aquí podemos decir que el ingreso marginal es aproximadamente el ingreso

adicional, obtenido al vender una unidad más cuando ya se han vendido q unidades.




Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 5.

Supón que el ingreso obtenido al vender x computadoras es I ( x) = 2 x + x2 miles de pesos. Determina el

ingreso marginal.

Calculamos la razón de cambio usando la definición

Ejemplo 6.

Determina la fuerza que siente la masa conectada a un resorte no lineal, si la energía potencial está da-

da por

U ( x) = 2 x2 + 0.1 x3

Calculemos la razón de cambio usando la definición

f U x

x h x h x xh

xh h x h xh h

h

x h x xh h x x

h

h

h

= −

= − + + + − −

= − + + + +

= − + + + + = − −

→

→

→

( )

lím ( ) . ( ) .

lím. . .

lím( . . . ) .

0

2 3 2 3

0

2 2 2 3

0

2 2 2

2 0 1 2 0 1

4 2 0 3 0 3 0 1

4 2 0 3 0 3 0 1 4 0 3

I x

x h x h x x

h

h xh h

h x h x

h h h( ) lím

( ) ( )lím lím( )=

+ + + − −=

+ += + + = +

→ → →0

2 2

0

2

0

2 2 2 22 2 2 2

Relación entre continuidad y derivabilidad

Nuestra definición de derivada aplica para intervalos abiertos. Para el caso de intervalos

cerrados, podemos definir derivadas unilaterales por la derecha e izquierda, de manerasimilar a como se definen los límites unilaterales.

Definición

a) Si f ( x) está definida en [a, b], definimos la derivada lateral derecha en x = a por

f a f a h f a

hh+

→=

+ −

+

( ) lím( ) ( )

0



Inmediatamente, tenemos el siguiente resultado que ofrecemos sin demostración.


b) Si f ( x) está definida en [a, b], definimos la derivada lateral izquierda en x = b por

Siempre que los límites existan.

f b f b h f b

hh

−

→

= + −

−

( ) lím( ) ( )

0

Teorema.

Una función definida en un intervalo abierto que contenga al punto x = a es di-

ferenciable en ese punto si, y sólo si los límites laterales existen y son iguales.

Con objeto de favorecer el desarrollo de nuestra intuición, consideremos las gráficas

de algunas funciones y analicemos su derivada a partir de su significado geométrico. En

la figura 4 se muestran varias gráficas y un conjunto de rectas secantes que pasan por el

punto (0, 0). Como puedes observar, no es posible encontrar una recta tangente única con

pendiente real en esos puntos.

y

x x

x x

) La curva tiene un pico o esquina y las rectas

secantes se aproximan a rectas tangentes dif erentes.

La curva tiene una c spide y las pendientes de

inf inito por el lado

derecho y a –

) La curva tiene un punto donde las rectas secantes

se aproximan a una recta tangente vertical.

) La curva no es continua y por eso las pendientes

de las rectas secantes tienden a valores dif erentes.

FIGURA 4. Casos donde no existe la derivada de f ( x).



Las implicaciones son interesantes, por ejemplo:

1. Si una función es continua en un punto, no necesariamente será derivable en ese

punto.

2. Si una función no es continua en x = a, forzosamente no tendrá derivada en esepunto.

En resumen, una función no es derivable en x = a por alguna de las siguientes razones:

la función no es continua, o la función es continua pero no tiene una recta tangente úni-

ca al acercarse por derecha o izquierda, o tiene una recta tangente vertical. Sin embargo,

queda por destacar un punto importante.


Teorema.

Si f ( x) existe en x = a entonces y = f ( x) es continua en x = a.

Kart Weierstrass ofreció un ejemplo de una función continua en todo punto, cuya deri-

vada no existe en ninguno de ellos. Este tipo de funciones desafía nuestra intuición geomé-

trica y fue el germen para realizar investigaciones más profundas sobre el cálculo y dar

origen al Análisis Matemático. Está fuera del alcance de este trabajo mostrar que la función

f x x

n

n

n

( )cos( )

==

∞

∑ 3

20

Demostración

Como f (a) existe, se tiene que f (a) está definida y que f ( x) existe en un inter-

valo abierto alrededor de x = a. Falta probar que . Si h ≠ 0

entonces,

Cuando h → 0 se tiene que:

Con lo cual queda demostrada la proposición.

lím ( ) lím( ) ( )

( )

lím( ) ( )

. lím ( )

' ( )( ) ( )

( )

h h

h h

f a h f a h f a

hh f a

f a h f a

hh f a

f a f a

f a

→ →

→ →

+ = + −

+

= + −

+

= +=

0 0

0 0

0

f a h f a h f a f a

f a h f a

h

h f a

( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( )( )

+ = + − +

= + −

+

lím ( ) ( )h

f a h f a→

+ =0



es continua en todo el conjunto de los números reales, pero no es derivable en ninguno.

Para tener una idea de la complejidad de la función, te mostramos las gráficas de las

funciones y sus derivadas, que se obtienen considerando 3, 30 y 300 términos de la suma.

Las gráficas fueron elaboradas en el paquete Mathematica.


x

y

x

x

y

x

x

FIGURA 5. Una función con infinidad de picos que es continua en los reales, pero que no tiene derivada. En la

parte superior aparecen aproximaciones de la función calculada con 3, 30 y 300 términos y abajo sus

derivadas respectivas.

Ejemplos

solución

Ejemplo 7.

Calcula la derivada de y = | x |.

Calculemos la derivada de la función en cualquier punto.

Si x < 0 se tiene Si x > 0 obtenemos Si x = 0 resulta

f h

hh

h

h

h

h

h

h

( ) lím| | | |

lím| |

lím,

,

00 0

1 0

1 0

0

0

0

= + −

=

= − <

>

→

→

→

f x x h x

h x h x

h

h

h

h

h

h

( ) lím| | | |

lím

lím

= + −

= + −

=

=

→

→

→

0

0

0

1

f x x h x

h x h x

h

h

h

h

h

h

( ) lím| | | |

lím( ) ( )

lím

= + −

= − + − −

= −

= −

→

→

→

0

0

0

1




La función derivada no existe en x = 0 porque la derivada debe ser única, y en nuestro cálculo obtene-

mos dos posibles valores. En la figura 6 se muestran la función y su derivada.

y

x

0.

1.

0.

1.

x

FIGURA 6. La función valor absoluto y su derivada.

Ejemplo 8.

Analiza la derivada de la función

¿Qué ocurre con la derivada en el punto (0, 0)?

f x x x

x x( )

,

,=

<≥

2 0

2 0

solución

Si x < 0 obtenemos Si x > 0 se tiene

f x f x h f x

h

x h x

h

x h x

h

h

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím( )

lím

lím

= + −

= + −

= + −

=

=

→

→

→

→

0

0

0

0

2 2

2 2 2

2

2

f x f x h f x

h

x h x

h

x xh h x

h

xh h

h x h

x

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím( )

lím

lím

lím

= + −

= + −

= + + −

= +

= +( )

=

→

→

→

→

→

0

0

2 2

0

2 2 2

0

2

0

2

2

2

2

Si x = 0, calculamos

a) la derivada lateral derecha

b) calculamos la derivada lateral

izquierda

Como las dos derivadas laterales

son diferentes podemos afirmar que

la derivada no existe en x = 0.

f

f h f

h

h

hh

h

h h

( ) lím

( ) ( )

lím lím ( )

0

0 0

00

0

0

2

0

= + −

= −

= =

→

→ →

−

− −

f f h f

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím

00 0

2 02

0

0

= + −

= −

=

→

→

+

+




En la figura 7 se muestran tanto la gráfica de la función como la función derivada.

7.5

12.

15 y

x

x

FIGURA 7. Una función seccionada con una esquina, donde no existe la derivada.

solución

Ejemplo 9.

Analiza la derivada de la función

en el punto (0, 0).

En este punto necesitamos calcular la derivada por la derecha y por la izquierda.

f x x x

x x( )

,=

− <≥

0

02

Si hacemos el cálculo por la

derecha resulta:

Para la derivada lateral por la

izquierda obtenemos:

f f h f

h

h

h

h h

h h

h

h h

h

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím

lím.

lím

lím

00 0

0

1

0

0

0

0

0

= + −

= − −

= − −

−

= −−

= −

−

= −∞

→

→

→

→

→

−

−

−

−

−

f f h f

h

h

h

h

h

h

h

( ) lím( ) ( )

lím

lím

00 0

0

0

0

0

2

0

= + −

= −

= =

→

→

→

+

+

+

FIGURA 8. Una función cuya derivada

en (0, 0) no existe.



solución

solución


Así, podemos afirmar que la derivada no existe en x = 0. En la figura 8 se muestra cómo cambian

las rectas secantes. Si el punto Q(h, f (h)) se acerca al punto P(0, 0) por la derecha, las pendientes

de las rectas se acercan a cero. Si se acerca Q a P por la izquierda, las rectas secantes tienden a ser

verticales.

Ejemplo 10.

Consideremos ahora la función f ( x) = x2/3. ¿Qué ocurre con la derivada en el punto (0, 0)?

En este punto necesitamos calcular la derivada por la derecha y por la izquierda. Si hacemos el cálcu-

lo por la derecha resulta

Análogamente, en el caso de la derivada lateral por la izquierda obtenemos

En consecuencia, la derivada en x = 0 no existe. Lo que es más, como ninguno de los resultados ante-

riores da un valor real, concluimos que ninguna de las derivadas unilaterales existe.

Ejemplo 11.


en x = 0.

Calculamos las derivadas laterales de la función. Por la izquierda resulta

Por la derecha obtenemos

Por lo tanto, podemos afirmar que la derivada de la función en x = 0 no existe, ya que las derivadas la-

terales son diferentes.

f f h f

h

h h

hh

h h h+

→ → →=

+ −=

+ −= + =

+ + +

( ) lím( ) ( )

lím lím ( )00 0 3 0

3 30 0

2

0

f f h f

h

h

hh

h h h−

→ → →=

+ −=

−= =

− − −

( ) lím( ) ( )

lím lím00 0 4 0

4 00 0

3

0

2

f x x x x

x x( ) =

+ ≥<

2

3

3 0

4 0

si

si

f f h f

h

h

h hh h h−

→ → →=

+ −=

−= = −∞

− − −

( ) lím( ) ( )

lím lím . /

/ 0

0 0 0 1

0 0

2 3

01 3

f

f h f

h

h

h hh h h+ → → →=

+ −

=

−

= = ∞+ + +

( ) lím

( ) ( )

lím lím .

/

/ 0

0 0 0 1

0 0

2 3

0 1 3




solución

Ejemplo 12.

Calcula la derivada de f ( x) = x1/5 en el punto (0, 0).

Calculamos las derivadas laterales. Por la derecha resulta

En el caso de la derivada lateral por la izquierda obtenemos

La derivada no existe, pero la curva tiene una recta tangente vertical.

f f h f

h

h

h hh h h−

→ → →=

+ −=

−= = ∞

− − −

( ) lím( ) ( )

lím lím /

/ 0

0 0 0 1

0 0

1 5

04 5

f f h f

h

h

h hh h h+

→ → →=

+ −=

−= = ∞

+ + +

( ) lím( ) ( )

lím lím /

/ 0

0 0 0 1

0 0

1 5

04 5

1. Determina las derivadas de las funciones siguientes usando la regla de los cuatro pasos.

a) f ( x) = x2 − x

b) f ( x) = 3 x2 + 4 x − 3

c) f ( x) = x3 – x2 + 2 x − 1

d ) f ( x) = x – x3

e)

f ) f ( x) = x1/3 + x

g)

h)

i) f ( x) = sen(2 x) + tan(3 x)

j) f ( x) = e4 x + 3e2 x

f x x( ) = −2 3

f x x x( ) = + +1 3 2

f x x

x( ) =

+

2

1

2. Determina si las funciones siguientes son derivables en el punto indicado. Si lo son, calcula su deriva-

da; si no lo son, explica por qué.

a) en x = 0.

b) en x = 0.

c) en x = 1.

d ) en x = 2.

e) en x = 0.

f ) en x = 0. f x x x x

x x x( ) =

− <+ ≥

2 3 0

2 4 0

3

2

si

si

f x x x x

x x x( ) =

− − <+ ≥

3

2

0

0

si

si

f x

x x x

x x( ) = − + <

− ≥

4 2 2

4 8 2

2 si

si

f x x x x

x x x( ) =

+ <+ + ≥

5 1

2 3 1 1

2

3

si

si

f x x x

x x( ) =

− <≥

2

3

0

4 0

si

si

f x

x x

x x( ) =

− <

≥

3 0

4 0

si

si




g) en x = 0.

h) en x = 1.

i) en x = 0.

j) en x = 3. f x x x x

x x( ) =

+ <− ≥

3 24 3

3 1 3

si

si

f x x x x

x x x( )

( )

tan( )=

+ <+ ≥

sen si

si

0

0

f x x x

x x x( ) =

− ≤+ ≥

2 1

3 1

2

2

si

si

f x x x

x x x( )

/

/ =

<− ≥

2 3

1 3

0

0

si

si

3. Para las siguientes funciones, determina la ecuación de la recta tangente en los puntos indicados. Ela-

bora una gráfica de la función y de la recta tangente.

a) y = x4/5 en x = 0.

b) y = x – x3/5 en x = 0.

c) y = x2 + x1/3 en x = 0.

d ) y = e−| x − 2 | en x = 2.

e) y = sen(| x + 3 |) en x = −3.

4. Elabora la gráfica de la función en el intervalo (−2, 2). Calcula las derivadas laterales

en los puntos x = −2, −1, 0, 1, 2. ¿En qué puntos no existe la derivada?

5. El costo de producir x artículos es C ( x) = 3 000 + 20 x + 0.1 x2 pesos. Determina el ingreso marginal en

x = 20 usando la definición de derivada. ¿Cuál es el significado de este resultado?

6. Relaciona las gráficas a), b), c) y d ) con la gráfica de sus derivadas en I-IV. Explica las razones de tu

selección.

f x x x( ) = +

y

x

30

20

10

10

20

30

24 2 4

a)

24 2 4

y

x

b)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

6 4 212

3

4

2 4 6

y

x

c)

42

2

4

66 4 22

4

y

6

x

d )

4 2 2 4

y

x

0.75

0.5

0.25

0.25

0.5

0.75

I )

46 2 2 4 6

y

x

2

1.5

1

0.5

II )

24 2 4

y

x

20

30

40

10

III )

6 4 2

2

4

2

4 6

y

x

IV )

4

2






tuaciones.

1. “El Eurotúnel”. Situación presentada en la introducción.

2. “Curvas de Transferencia”.

Es usual que en la construcción de carreteras, los trabajos se realicen por tramos rectos y

más adelante se unan los puntos terminales por medio de curvas, de tal suerte que la trayec-

toria sea continua y suficientemente suave (primera y segunda derivadas continuas). A las

curvas construidas así se les conoce como curvas de transferencia.

a) Considera que se han construido dos secciones rectas de una carretera y que la función

que describe estos tramos es

Encuentra un polinomio de grado 5 que una los tramos de la carretera y que produzca

una función continua con primera y segunda derivadas continuas. Elabora la gráfica de

la función.

b) Determina un polinomio de grado 5 que sirva como curva de transferencia para los tra-

mos rectilíneos descritos por la función

Traza la gráfica de la función. ¿Sería posible efectuar esto con un polinomio de grado 4?

c) Determina un polinomio que una los dos segmentos de las curvas dadas, de tal suerte

que la curva sea continua y sus dos primeras derivadas también lo sean.

•

• f x x x x

x x x( ) =

− + <− + >

2

2

5 1

2 3 5

f x x x x

x x x( ) =

+ <+ − >

4 2 0

5 4 3

2

2

f x x

x x( ) = ≤

≥0 si

si

0

1

f x x

x( ) =

≤≥

0 si

si

0

1 1




1. Indica la opción que contiene la derivada lateral derecha en x = 0 de

a) 0 c) −1

b) 8 d ) 5

2. Halla la opción que contiene la derivada de en x = 2.

a) 2 c) 0

b) −2 d ) No existe

3. Un paso intermedio en el cálculo de la función derivada de es:

a) c)

b) d )

4. Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x1/7 en x = 0

a) y = 0 c) x = 0

b) y = 1/7 d ) No existe la recta tangente.

5. Encuentra en la columna B las derivadas indicadas de las funciones proporcionadas que apa-

recen en la columna A.

Columna A Columna B

a) f +(0) si f ( x) = x1/2 + x1/3 i. 1

b) f +(1) si f ( x) = | x + 2 | + | x − 1| ii. ∞

c) f (0) si f ( x) = | sen( x) | iii. −∞

d ) f −(3) si f ( x) = | x2 – 3 x | iv. No existe

e) f +(0) si f ( x) = | x2 – 3 x | vi. −1

vii. 2

viii. −3

límh

x h x

x h x→

+ + − ++ + + +0

4 4

4 4lím

( )h

x h

h x h x→

++ + + +0 4 4

límh x→ +0

1

2 4límh x h x→ + + + +0

1

4 4

f x x( ) = + 4

f x x x( ) | | | |= − −2

f x x x

x x x( ) =

+ ≤− + >

4 5 0

5 0

2

2




Respuestas a los


1.

a) f ( x) = 2 x − 1

b) f ( x) = 6 x + 4

c) f ( x) = 3 x2 – 2 x + 2

d ) f ( x) = 1 − 3 x2

e)

f )

g)

h)

i) f ( x) = 2cos(2 x) + 3sec2(3 x)

j) f ( x) = 4e4 x + 6e2 x

f x x

( ) =−

1

2 3

f x x

x( ) =+

+1

2 16

f x x( ) / = +−1

312 3

f x x x

x( )

( )=

++

2

2

2

1

2.

a) No, f +(0) = 4, f −(0) = −3

b) Sí, f (0) = 0

c) No, f +(1) = 9, f −(1) = 7

d ) Sí, f (2) = 4

e) No, f +(0) = 1, f −(0) = −1

f ) Sí, f (0) = 2

g) No, se tiene recta tangente vertical en x = 0

h) No, la función no es continua en x = 1

i) Sí, f (0) = 2

j) No, la función no es continua en x = 3

3.

a) Las derivadas laterales son f +(0) = ∞ y f −(0) = −∞b) La recta tangente es vertical y su ecuación es x = 0.

c) La recta tangente es vertical y su ecuación es x = 0.

d ) Las derivadas laterales son f +(2) = −1 y f −(2) = 1. No existen ni la derivada ni la recta tangente.

e) Las derivadas laterales son f +(−3) = 1 y f −(−2) = −1 y no existe la recta tangente.

4. No existe la derivada en x = 0; ; f (−1) = 1/2; f (1) = 3/2;

5. $24.00. Significa que el artículo 21 tendrá un costo de $24.00.

6. (a, III ), (b, I ), (c, IV ), (d, III ).

f ( )2 11

2 2= +

f ( )− = −2 11

2 2




1.c)

2. d )

3. a)

4. c)

5. (a, ii), (b, vii), (c, iv), (d , viii), (e, v)



Unidad

Cálculo de derivada



5.1 Reglas de derivación

5.2 La regla de la cadena

5.3 Derivadas, implícita y logarítmica

¿Te gustaría poder calcular derivadas mediante fórmulas que te simplifiquen el trabajo, sin tener que recurrir cadavez a la definición por límite que estudiaste en el capítulo anterior? Seguramente tu respuesta es sí. En este capí-tulo, estudiaremos las reglas y fórmulas que existen para determinar derivadas.

Es importante que no olvides que todas las derivadas de funciones y = f ( x) se pueden hallar mediante el límiteque define la derivada geométricamente, es decir,

Sin embargo, los procesos pueden resultar bastante laboriosos y complejos. Para simplificar el trabajo en estos pro-cesos, se han establecido fórmulas para todas las funciones y operaciones básicas.

El capítulo se divide en tres secciones. La primera trata sobre las propiedades básicas de la derivada y las reglas

para derivar funciones elementales que resultan de la combinación de sumas, restas, multiplicaciones o divisionesde potencias de la variable independiente. En la segunda, se estudia la llamada regla de la cadena que sirve paracalcular las derivadas de funciones compuestas (que estudiamos en el primer capítulo). Y por último, en la tercerasección se trata la forma de calcular derivadas de funciones implícitas, es decir, funciones que no están dadas enla forma explícita y = f ( x), sino que su estructura es tal que las variables involucradas están “revueltas” (la y no estádespejada).

¡Adelante!

lím∆

∆∆ x

f x x f x

x→

+ −0

( ) ( )



254 Unidad 5: Cálculo de derivadas

5.1 Reglas de derivación

…Esta rama moderna de las matemáti-

cas[…] admite la concepción de lo infi-

nitamente pequeño, y así concuerda con

la principal condición del movimiento

(continuidad absoluta) y por ello

corrige el inevitable error que la mente

humana no puede evitar cuando se

manejan elementos separados del

movimiento en lugar de examinar

el movimiento continuo.

Conde Lev Nikolgevich Tolstoy

El auto deportivo

Imagina que perteneces a un equipo de ingenieros que trabajan en la in-dustria automotriz a quienes se les ha asignado el trabajo de investigarcómo cambia el “gasto” (en litros de gasolina por hora) de un automóvilcuando varía su “consumo” (en litros de gasolina por kilómetro) debi-do a una aceleración brusca. El vehículo que estás estudiando consumeun litro de gasolina en una distancia de 12 kilómetros cuando corre auna velocidad de 80 km/h en línea recta. Si el auto acelera aumentandosu velocidad a una tasa de 14 km/h cada segundo, entonces el consumode gasolina sube con una tasa de 0.05 litros por kilómetro cada segundo.

¿A qué tasa en litros por hora se incrementa el “gasto” en estas condi-ciones cada segundo? Hay distintas formas de obtener la respuestacorrecta. En el trabajo en equipo de esta sección lo resolverás usando la regla dederivación de un producto que aprenderás en esta sección.

Introducción

En todo trabajo de ingeniería aparecen tasas de cambio, como las menciona-das en el problema del auto deportivo. Esto también es cierto en Economía yen otras ciencias. Las tasas de cambio son derivadas, como las que estuvistecalculando en el capítulo anterior. Cuando calculas una derivada, el procesode obtención del límite puede volverse largo y complicado. De ahí, surge lanecesidad de tener métodos para obtener rápidamente las derivadas. Estosmétodos son los que vas a estudiar en esta sección; con ellos y con la reglade la cadena, que estudiarás en la siguiente sección, podrás calcular la deri-vada de cualquier función escrita, en términos de las funciones elementalesque ya manejas.



Derivadas de polinomios

En el capítulo anterior calculaste derivadas mediante límites. Tal vez observaste que alresolver diferentes ejercicios, algunos cálculos se repiten una y otra vez. Esto nos permiteestablecer reglas de derivación que podemos memorizar para calcular derivadas de ma-nera rápida, sin tener que usar explícitamente los límites. Por ejemplo, si quieres calcu-lar la derivada de la función f ( x) = 4, se realiza el siguiente procedimiento:

Si quieres derivar g( x) = 7, el procedimiento es idéntico:

En lugar de hacer una y otra vez el mismo cálculo, cada vez que quieras derivar unaconstante, estableces como válido un resultado general para cualquier constante c y loaprendes de memoria:

Así tienes la primera regla de derivación.

f x c d

dx f x

f x h f x

h

c c

h hh h h h( ) = ⇒ ( ) =

+( ) − ( )=

−= = =

→ → → →lím lím lím lím

0 0 0 0

00 0

g x d

dxg x

g x h g x

h h hh h h h( ) = ⇒ ( ) =

+( ) − ( )=

−= = =

→ → → →7

7 7 00 0

0 0 0 0lím lím lím lím

f x d

dx f x

f x h f x

h h hh h h h( ) = ⇒ ( ) =

+( ) − ( )=

−= = =

→ → → →4

4 4 00 0

0 0 0 0lím lím lím lím

2555.1: Reglas de derivación

Objetivos

Al terminar este capítulo tendrás la capacidad de:

a) Aplicar los teoremas sobre derivadas de: función constante, función xn, una constante por una función, suma y diferencia de funciones,producto y cociente de funciones, funciones trigonométricas y susinversas, funciones exponenciales, logarítmicas y funciones hiperbó-licas.

b) Definir la segunda derivada de una función y darle interpretacióngeométrica.

c) Obtener derivadas de orden superior.

Derivada de una función constante.

Si c es una constante y f ( x) = c, entonces f ( x) = 0. En la notación de Leibniz,esta regla se escribe:

Una constante no cambia, por eso su razón de cambio (o sea, su derivada) es cero.

d

dxc( ) = 0



A continuación, verás otras reglas que te permitirán derivar cualquier polinomio. Vea-mos primero cómo se deriva f ( x) = x2:


Ahora, observa el cálculo de la derivada de g( x) = x3:

g x x d

dxg x

g x h g x

h

x h x

h

x x h xh h x

h

x h xh h

h

x xh h h

h x xh

h h h

h h h

( ) = ⇒ ( ) = +( ) − ( )

= +( ) −

= + + + −

= + +

= + +( )

= + +

→ → →

→ → →

3

0 0

3 3

0

3 2 2 3 3

0

2 2 3

0

2 2

0

2

3 3

3 3 3 33 3

lím lím lím

lím lím lím hh x2 23( ) =

f x x d

dx f x

f x h f x

h

x h x

h

x xh h x

h

xh h

h

x h h

h x h x

h h

h h h h

( ) = ⇒ ( ) = +( ) − ( ) = +( ) −

= + + −

= +

= +( )

= +( ) =

→ →

→ → → →

2

0 0

2 2

0

2 2 2

0

2

0 0

2 2 22 2

lím lím

lím lím lím lím

Una vez más, ambos cálculos son tan parecidos que sugieren la existencia de unaregla que los incluya como casos particulares. Ésa es la regla de derivación de xn, cuyademostración puedes ver a continuación, en el caso que n es un entero positivo:

En la demostración anterior se asumió que n es un entero positivo. Sin embargo, aun-que la demostración cae fuera de los alcances de este trabajo, esta regla es válida paracualquier n constante. La regla de derivación queda de la siguiente manera:

f x x d

dx f x

f x h f x

h

x h x

h

x nx h x h nxh h x

h

nx h x h

n

h h

n n

h

n n n n n n n n

h

n n n n

( ) = ⇒ ( ) = +( ) − ( )

= +( ) −

=+ + + + +[ ]−

= + + +

→ →

→

− −( ) − −

→

− −( ) −

lím lím

lím

lím

0 0

0

1 12

2 2 1

0

1 12

2 2

L

L nxhnxh h

h

nx x h nxh h h

h

nx x h nxh h

nx

n n

h

n n n n n n

h

n n n n n n

n

−

→

− −( ) − − −

→

− −( ) − − −

−

+

= + + + +( )= + + + +( )=

1

0

1 1

22 2 1

0

1 12

2 2 1

1

lím

lím

L

L

Derivada de una función potencia.

Si n es una constante y f ( x) = xn, entonces f ( x) = nxn−1. En la notación de Leib-niz, esta regla se escribe:

Un caso particular importante de esta regla es cuando n = 1, en este caso nxn−1 =

(1) x0 = 1. Entonces .d

dx x( ) =1

d

dx x nx

n n( ) = −1



Cuando tenemos una constante que multiplica a otra función, obtenemos otra regla dederivación:

A continuación puedes ver la regla correspondiente.

g x c f x d

dxg x

g x h g x

h

c f x h c f x

h

c f x h f x

h

c f x h f x

h

c d

dx f x

h h

h

h

( ) = ⋅ ( ) ⇒ ( ) = +( ) − ( ) = ⋅ +( ) − ⋅ ( )

= ⋅ +( ) − ( )

= ⋅ +( ) − ( )

= ⋅ ( )

→ →

→

→

lím lím

lím

lím

0 0

0

0


Derivada del múltiplo constante de una función.

Si c es una constante, f ( x) es una función derivable y g( x) = c f ( x), entoncesg( x) = c f ( x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe:

Esta regla significa que, si una función se hace c veces “más grande”, entoncessu razón de cambio también se hace c veces “más grande”.

d

dxc f x c

d

dx f x( )[ ] = ( )

Si tienes una función que es la suma de otras dos funciones, entonces:

A continuación puedes ver esta regla de derivación.

F x f x g x d

dxF x

F x h F x

h

f x h g x h f x g x

h

f x h f x g x h g x

h

f x h f x

h

g

h

h

h

h

( ) = ( ) + ( ) ⇒ ( ) = +( ) − ( )

= +( ) + +( ) − ( ) + ( )[ ]

= +( ) − ( ) + +( ) − ( )

= +( ) − ( )

+

→

→

→

→

lím

lím

lím

lím

0

0

0

0

x x h g x

h f x h f x

h

g x h g x

h

d

dx f x

d

dxg x

h h

+( ) − ( )

= +( ) − ( )

+ +( ) − ( )

= ( ) + ( )

→ →lím lím

0 0



En forma similar, la derivada de una resta es la resta de las derivadas.


Derivada de una suma de funciones.

Si f ( x) y g( x) son funciones derivables y h( x) = f ( x) + g( x), entonces h( x) = f ( x)

+ g( x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe:

Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

d

dx f x g x

d

dx f x

d

dxg x( ) + ( )[ ] = ( ) + ( )

Derivada de una diferencia de funciones.

Si f ( x) y g( x) son funciones derivables y h( x) = f ( x) − g( x), entonces h( x) = f ( x)− g( x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe:

d

dx f x g x

d

dx f x

d

dxg x( ) − ( )[ ] = ( ) − ( )

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Deriva

Aplica la regla de derivación de una suma de funciones:

Aplica la regla de derivación de una diferencia de funciones:

Aplica a cada término la derivación de una constante que multiplica a una función:

dy

dx

d

dx x

d

dx x

d

dx x= ( ) + ( ) − ( )10 5 73 4

dy

dx

d

dx x

d

dx x

d

dx x= ( ) + ( ) − ( )10 5 73 4

dy

dx

d

dx x

d

dx x x= ( ) + −( )10 5 73 4

dy

dx

d

dx x x x= + −( )10 5 73 4

y x x x= + −10 5 73 4




solución

Reescribe como :

Aplica a cada término la derivación la función potencia:

Ya está calculada la derivada. Sólo resta hacer un poco de álgebra para simplificar el resultado. La res-puesta final es .

Ejemplo 2.

Deriva

Para valores de x menores a 3, tenemos que:

Para valores de x mayores a 3, tenemos que:

Para x igual a 3, tenemos que calcular las derivadas laterales f +(3) y f −(3). Recuerda que si ambas de-rivadas son iguales, entonces su valor corresponde al valor de la derivada en 3; si son diferentes, enton-ces la derivada no está definida en x = 3. A diferencia de los cálculos del capítulo anterior donde pro-cedimos vía límites, ahora tenemos que:

En este caso f +(3) y f −(3) son diferentes, por lo cual la derivada no está definida en x = 3.

La respuesta final esdy

dx

x x

x x

= − <=− >

2 33

2 2 3

,

,

no definida,

f d

dx x

x x

−=

== −( )

= −[ ] = −( )3 10 2 2 23

3

f d

dx x x x

x x

+=

== − +( )

= −[ ] = ( ) − =( )3 2 1 2 2 2 3 2 42

33

d

dx x x

d

dx x

d

dx x

d

dx x

d

dx x x

2 22 1 2 1 2 2 0 2 2− +( ) = − + = − + = −( ) ( ) ( ) ( )

d

dx x

d

dx

d

dx x

d

dx x10 2 10 2 0 2 2 1 2−( ) = − = − = − ⋅( ) = −( ) ( ) ( )

y

x x

x x x= − ≤

− + >

10 2 3

2 1 32

dy

dx x x x= + −30 202 3 7

2

dy

dx x x x= [ ]+ [ ]−

−10 3 5 4 7

1

22 3 1

2

dy

dx

d

dx x

d

dx x

d

dx x= ( ) + ( ) −

10 5 7

3 4 12

x1

2 x



Reglas de derivación de productos y cocientes

Si tienes una función que es el producto (multiplicación) de dos funciones derivables, en-tonces:

A continuación, puedes ver esta regla de derivación. Cabe la aclaración de que se hahecho uso de la continuidad en el cálculo del límite de f ( x h)

F x f x g x

d

dxF x

F x h F x

h

f x h g x h f x g x

h

f x h g x h f x h g x f x h g x f x

h

h

h

( ) = ( ) ⋅ ( ) ⇒

( ) = +( ) − ( )

= +( ) ⋅ +( ) − ( ) ⋅ ( )[ ]

= +( ) ⋅ +( ) − +( ) ⋅ ( ) + +( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅

→

→

→

lím

lím

lím

0

0

0

gg x

h

f x h g x h f x h g x

h

f x h g x f x g x

h

f x h g x h f x h g x

h

f x h g x

h

h h

( )[ ]

= +( ) ⋅ +( ) − +( ) ⋅ ( )

+ +( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )[ ]

= +( ) ⋅ +( ) − +( ) ⋅ ( ) + +( ) ⋅

→

→ →

lím

lím lím

0

0 0

(( ) − ( ) ⋅ ( )[ ]

= +( ) ⋅ +( ) − ( )

+ ( ) ⋅ +( ) − ( )

= +( ) ⋅ +( ) − ( )

+ ( ) ⋅ +( ) − ( )

→ →

→ → → →

f x g x

h

f x h g x h g x

hg x

f x h f x

h

f x h g x h g x

hg x

f x h f x

h

h h

h h h h

lím lím

lím lím lím lím

0 0

0 0 0 0

== ( ) ⋅ +( ) − ( )

+ ( ) ⋅ +( ) − ( )

= ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )

→ → f x

g x h g x

hg x

f x h f x

h

f x d

dxg x g x

d

dx f x

h hlím lím

0 0


Derivada de una multiplicación de funciones.

Si f ( x) y g( x) son funciones derivables y F ( x) = f ( x) g( x), entonces F ( x) es deriva-ble y

F ( x) = f ( x) g( x) + g( x) f ( x)

En la notación de Leibniz, esta regla se escribe:

Es decir, la primera por la derivada de la segunda más la segunda por la deri-

vada de la primera.

d

dx f x g x f x

d

dxg x g x

d

dx f x( ) ⋅ ( )[ ] = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )



Observa en la regla anterior que, a diferencia de lo que pasó con la suma, la derivadade una multiplicación no se puede obtener multiplicando las derivadas correspondientes.En los ejercicios de esta sección demostrarás la siguiente regla de derivación para la di-visión de funciones:


Derivada de una división de funciones.

Si f ( x) y g( x) son funciones derivables y , entonces

En la notación de Leibniz, esta regla se escribe:

d

dx

f x

g x

g x

d

dx f x f x

d

dx g x

g x

( )( )

= ( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )

( )[ ]2

h x g x f x f x g x

g x

( ) =

( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )

( )[ ]2

h x f x

g x( ) = ( )

( )

Ejemplos

solución

Ejemplo 3.

Deriva usando la regla para derivar divisiones.

La respuesta esdy

dx x= −

1

2

3

2 2

d

dx

x

x

x d

dx x x

d

dx x

x

x x x

x

x x

x

x

x

x x x x

22 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2 2

3

2

2 3 3 2

2

2 2 0 3 2

4

4 2 6

4

2 6

4

24

64

12

32

+

=⋅ +( ) − +( ) ⋅

( )

= ⋅ +( ) − +( ) ⋅

= − −

= −

= − = −

( )

y x

x

= +2 3

2




solución

solución

Ejemplo 4.

Otra vez deriva usando ahora la regla para derivar un producto de funciones.

La respuesta es la misma que en el ejemplo anterior:

Ejemplo 5.

Ahora deriva sin usar las reglas para derivar multiplicaciones ni divisiones.

Este ejemplo pudo ser resuelto de tres maneras distintas. La respuesta es la misma que en los dos ejem-

plos anteriores: dy

dx x= −

1

2

3

2 2

d

dx

x

x

d

dx

x

x x

d

dx

x

x

d

dx

x d

dx x

d

dx x

d

dx x

d

dx x x

x

2 2

1 22

3

2 2

3

2 2

3

2

2

3

2

1

2

3

2

1

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

+

= +

= +

=

+

= ( ) +

= + ( ) = + −( ) = −− −

y x

x=

+2 3

2

dy

dx x= −

1

2

3

2 2

d

dx

x

x

d

dx

x x

x d

dx x x

d

dx

x

x x x

d

dx x

x

x x x

2 21

21 1

2

22 1 2

2

21

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1

23

3

2

1 1

22

+

= +

⋅

= +

⋅ ( ) + ⋅ +

= +

⋅ −( ) + ⋅ +( )

= +

⋅ −

+ ⋅ (

−

− −

− −

− ))

= − +

+ = − − +

= − − + = −

x

x

x

x x

x x

2

2

2

2 2

2 2

3

21

2

3

21

1

2

3

21

1

2

3

2

y x

x

= +2 3

2



Reglas de derivación de funciones trigonométricasy sus inversas

En este apartado utilizaremos dos límites estudiados en los capítulos 3 y 4. El primero

es y el segundo es ; también requerimos la identidad

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b). Hallamos ahora la derivada de la función

sen( x):

Es decir, la derivada de la función seno es la función coseno. De forma similar, sepuede mostrar cuál es la derivada de la función coseno, y utilizando esas dos reglas jun-to con las reglas de derivación de multiplicaciones y divisiones, se pueden mostrar lasreglas de derivación de las otras funciones trigonométricas que se muestran en la si-guiente tabla.

d

dx x

x h x

h

x h x h x

h

x h x h

h

x hh

x hh

h

h

h

h h

sensen sen

sen cos ` cos sen sen

sen cos ` cos sen

sen cos ` cos sen

sen

( ) = +( ) − ( )

= ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( )

= ( ) ( ) −( ) + ( ) ( )

= ( ) ( ) −( ) + ( ) ( )

=

→

→

→

→ →

lím

lím

lím

lím lím

0

0

0

0 0

1

1

x xh

h x

h

h

x x

x

h h( )

( ) −( )+ ( )

( )

= ( ) ⋅ + ( ) ⋅

= ( )

→ →lím lím

0 0

1

0 1

cos `cos

sen

sen cos

cos

límh

hh→( ) =

01senlím

h

hh→

( ) − =0

1 0cos


Derivadas de funciones trigonométricas.

d

dx x x

d

dx x x x

d

dx x x

d

dx x x x

d

dx x x

d

dx x x

sen cos csc csc cot

cos sen sec sec tan

tan sec cot csc

( ) = ( ) ( ) = − ( ) ⋅ ( )

( ) = − ( ) ( ) = ( ) ⋅ ( )

( ) = ( ) ( ) = − ( )2 2

Ejemplos

Ejemplo 6.

Deriva y = sen( x)cos( x) + 3tan( x).



solución

Reglas de derivación de otras funciones

A continuación, se muestran otras reglas de derivación que no demostraremos, pero quesí serán utilizadas en el resto de este libro y en aplicaciones en ingeniería.


La respuesta esdy

dx x x x= ( ) − ( ) + ( )cos sen sec2 2 23

d dx

x x x d dx

x x d dx

x

x d

dx x x

d

dx x x

x x x x x

x x x

sen cos tan sen cos tan

sen cos cos sen sec

sen sen cos cos sec

cos sen sec

( ) ( ) + ( )( ) = ( ) ( )( ) + ( )( )

= ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )

= − ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )

= ( ) − ( ) + ( )

3 3

3

3

3

2

2

2 2 2

Derivadas de funciones trigonométricas inversas.

d

dx x

x

d

dx x

x xd

dx x

x

d

dx x

x xd

dx x

x

d

dx x

x

arcsen arccsc

arccos arcsec

arctan arccot

( ) =−

( ) = −−

( ) = −−

( ) =−

( ) =+

( ) = −+

1

1

1

11

1

1

11

11

1

2 2

2 2

2 2

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

d

dx x

x

d

dxe e

d

dxa a a

x x x xln ; ( ) ; ( ) ln( ) = = = ( )1

Derivadas de funciones hiperbólicas.

Observa que la derivada del coseno hiperbólico es positiva, mientras que, la derivadadel coseno trigonométrico del apartado anterior es negativa.

d

dx x x

d

dx x x

d

dx x xsenh cosh cosh senh tanh sech( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )2




Ejemplos

solución

Ejemplo 7.

Deriva y = 6e x cosh( x) + 3 arctan( x) + ln(2 x)

Para poder derivar ln(2 x), aprovecharemos la regla del logaritmo de un producto ln( AB) = ln( A) + ln( B),de esta manera ln(2 x) = ln(2) + ln( x) = 0.693147 + ln( x):

La respuesta esdy

dxe x e x

x x

x x= ( ) + ( )[ ]++

+63

1

12senh cosh

d

dxe x x x

d

dxe x x x

d

dxe x x x

d

dxe x

d

dx x

d

dx

d

dx x

x

x

x

x

6 3 2

6 3 2

6 3 0 693147

6 3 0 693147

cosh arctan ln

cosh arctan ln ln

cosh arctan . ln

cosh arctan . ln

( ) + ( ) + ( )( )

= ( ) + ( ) + ( ) + ( )( )

= ( ) + ( ) + + ( )( )

= ( )( ) + ( )( ) + ( ) + ( ))( )

= ( )( ) + ( ) ( )

+

+ + +

= ( ) + ( )[ ]++

+

6 31

10

1

63

1

1

2

2

e d

dx x x

d

dxe

x x

e x e x x x

x x

x x

cosh cosh

senh cosh

Derivadas de segundo orden y de orden superior

La derivada dydx también es llamada la primera derivada de y respecto a x. A su vez, laderivada de la derivada de y es llamada la segunda derivada de y respecto a x.

La tercera derivada de y respecto a x es

En general, la derivada “enésima” es

Observa que se escribe (n), entre paréntesis, para indicar que no se trata de un expo-nente; es la aplicación de la derivada n veces.

y d y

dx

d

dx

d y

dx

nn

n

n

n

( )−

−= =

1

1

y d dx

d dx

d dx

y d ydx

=

=3

3

y d

dx

d

dx y

d y

dx =

=

2

2



Ejemplos

solución


Ejemplo 8.

Calcula y, y, y para y = 3 x + x3.

La primera derivada es y = 3 x ln(3) + 3 x2, la segunda derivada es y = 3 x ln2(3) + 6 x, la tercera deriva-da es y = 3 x ln3(3) + 6.

y d

dx

x d

dx

d

dx

x x x x x

= ( ) +( ) = ( ) ⋅ + ⋅ = ( ) ⋅ ( ) + = ( ) +3 3 6 3 3 6 3 3 3 6 3 3 62 2 2 3ln ln ( ) ( ) ln ln ln

y d

dx x

d

dx

d

dx x x x x x x x

= ( ) +( ) = ( ) ⋅ + ⋅ = ( ) ⋅ ( ) + = ( ) +3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 3 62 2 2ln ln ( ) ( ) ln ln ln

y d

dx x

d

dx

d

dx x x

x x x = +( ) = + = ( ) +3 3 3 3 33 3 2( ) ( ) ln

Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1. y = e x(1 + x2)

2. y = e x(1 + x4)

3. y = (1 + x2)cos( x)

4.

5.

6. y = ( x + e x)arctan( x)

7. y = | x |

8.

9. y x x

x x x

= + ≤

− + >

1

12

113

25

104

25

2

2

2

y

x x x

x x

x x x

=+ + ≤ −

− < <− + − ≥

2

2

2

8 16 2

2 2

8 8 2

y x e

x

x

= +

( )sen

y x

x e x

= ( )

+sen

10. Para resolver correctamente este ejercicio, toma en cuenta que e x es una función, pero eπ es sólo un nú-

mero, es decir, una constante. Deriva y

x x

e

e x

x

=+ ( ) <

≥

1 sen π

π

π





“El auto deportivo”

a) Con tu equipo, responde el problema inicialde esta sección:

b) Lean otra vez el enunciado del problema, ycon ayuda de las unidades, identifiquen cuá-les funciones y derivadas les están proporcio-nando.

c) Identifiquen también qué derivada es la que deben calcular para responder el problema.

d ) Usen las reglas de derivación que aprendieron en este capítulo para responder el proble-ma. Tomen en cuenta que dichas reglas, además de aplicarse cuando se cuenta con expre-

siones analíticas, también se pueden aplicar cuando únicamente se conocen los valoresnuméricos de las funciones.

1. Elige la opción que contiene la derivada de y = cosh( x) cos( x).

a) c)

b) d )

2. Elige la opción que contiene la derivada de .

a) c)

b) d )dy

dx

e

e

x

x= −

+( )1

12

dy

dx= 1

dy

dx=

1

2

dy

dx

e

e

x

x=

+( )12

y e

e

x

x=

+1

dy

dx x x= − ( ) ( )senh sen

dy

dx x x x x= ( ) ( ) + ( ) ( )cos senh cosh sen

dy

dx x x= ( ) ( )senh sen

dy

dx x x x x= ( ) ( ) − ( ) ( )cos senh cosh sen




3.

Elige la opción que contiene la derivada de

a) c)

b) d )

4. Selecciona la opción que proporciona los valores de a y de b para los cuales la siguiente fun-

ción y su derivada son continuas:

a) a = 2 b = 3 c)

b) a = 6 b = −9 d ) a = 0 b = 9

5. Elige la opción que contiene la derivada de en su forma simplificada.

a) c)

b) d )

6. Elige la opción que contiene la derivada de en su forma simplificada.

a) c)

b) d )

7. Determina la opción que contiene la derivada de .

a)dy

dx

x x x x x x x x

x x=

+ ( )( ) + ( )( ) − − ( )( ) + ( )( )+ ( )( )

2 2 2 2

2 2

2 2cot sec csc tan

cot

y x x

x x= + ( )

+ ( )

2

2tancot

dy

dxe x x

x= − − ( ) + ( )( )− sen cosdy

dxe x x x= ( ) ( )− sen cos

dy

dxe x x x x x= ( ) − ( ) ( ) − ( )( )− cos cos sen sen2 2dy

dxe x x x= ( ) ( )−2 cos sen

ye x x x= ⋅ ( ) ⋅ ( )1

cos sen

dy

dxe x x x= − − ( ) + ( )( )− sen cos

dy

dxe x x= − ( )−2 sen

dy

dxe x x

x= − ( ) + ( )( )− sen cosdy

dxe x

x= − ( )−2 cos

y

e

x x x

= ( ) + ( )( )1

cos sen

a b= =8

31

ya x b x

x x=

⋅ + <≥

3

32

dy

dx

x x x

x x

x x x x

x x

=

( ) − ( )<

=( ) − ( )>

cos sen

cos sen

2

2

0

0 00

dy

dx

x x

x x x

=

( ) <

=( ) >

cos

cos

0

1 00

dy

dx

x x

x

x x

=( ) <

=( ) >

cos

cos

0

0

0

no definidady

dx

x x x

x x

x

x x x

x x

=

( ) − ( )<

=( ) − ( )

>

cos sen

cos sen

2

2

0

0

0

no definida

y

x

x x

x

x

x x

=

( )<

=( )>

sen

sen

0

1 0

0




b)

c)

d )

8. Determina la opción que contiene la derivada de y = e x(1 − x2)sen( x).

a)

b)

c)

d )

9. Determina la opción que contiene la derivada de y = x(ln( x)−1) en su forma simplificada.

a) c)

b) d )

10. Reescribe y = x2 − 4 como una función seccionada, y escoge la opción que proporciona suderivada.

a) c)

b) d )dy

dx x x

x

x x

=

<= −

− − < <=>

2x x -20 x

0

2

2 2 2

2

2 2

dy

dx

x x

x x=

− <≥

2 0

2 0

dy

dx

x x

x x

=− <

=>

2 0

2 0

no definida x 0dy

dx x x

x

x x

=

<= −

− − < <=>

2x x -2

no definida x

no definida

2

2 2 2

2

2 2

dy

dx x x= −( ) ( )1 ln

dy

dx x x= ( )ln

dy

dx= 1

dy

dx x= ( )ln

dy

dxe x x xe x e x x

x x x= −( ) ( ) − ( ) + −( ) ( )1 2 12 2cos sen sen

dy

dx x e x

x= −( ) ( )1 2 cos

dy

dx xe x

x= ( )2 cos

dy

dxe x x xe x

x x= −( ) ( ) − ( )1 22 cos sen

dy

dx

x x x x

x x=

− ( )( ) + ( )( )+ ( )( )

2 2 2

2 2

csc tan

cot

dy

dx

x x x x

x x=

+ ( )( ) − − ( )( )+ ( )( )

2 22 2

2 2

sec csc

cot

dy

dx

x x

x x=

+ ( )( )− ( )( )

2

2

2

2

sec

csc




Respuestas a los


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. dy

dx

x x

xe

e x

x

=( ) <

− =

− >

cos π

π

π

π

1

dy

dx

x

x x

x

x x

=

−

+( )<

− =

− >

2

12

4

252

2 10425

2

2 2

dy

dx

x x

x

x x

x

x x

=

+ < −= −

− < <=

− >

2 8 2

2

2 2 2

4 2

8 2 2

no definida

dy

dx

x

x

x

=− <

=>

1 0

0

1 0

no definida

dy

dx

x e

xe x

x x=

++

+ +( ) ( )2 11 arctan

dy

dx e x x e x x x x

= +( ) ( ) − +( ) ( ) ( )1 csc cot csc

dy

dx

x e x e x

x e

x x

x=

+( ) ( ) − +( ) ( )

+( )

cos sen12

dy

dx x x x x= ( ) − +( ) ( )2 1 2cos sen

dy

dxe x x x= + +( )4 34 1

dy

dxe x x e x x x= + +( ) = +( )2 22 1 1

1. a)2. a)3. d )4. b)5. b)6. c)7. a)8. d )9. a)

10. a)



Construcción de un plotter con piezas de LegoMR

2715.2: La regla de la cadena

5.2 La regla de la cadena

La Mecánica es el paraíso

de las ciencias matemáticas,

mediante ella uno llega

a sus frutos.

Leonardo da Vinci

FIGURA 1. A la izquierda, plotter construido con piezas de LegoMR por estudiantes

de la Vrije Universiteit Brussel, en el 2004. Puedes encontrar más infor-

mación sobre este plotter en http://student.vub.ac.be/~tdescham/plotter/.

A la derecha, la pluma del plotter se encuentra en las coordenadas

( x, y), las cuales se miden en centímetros desde una esquina del papel.

Imagina que formas parte de un equipo de estudiantes de ingeniería que va a

construir un plotter con piezas de LegoMR, como el que se muestra en la figu-

ra 1. Se requiere que el plotter sea capaz de dibujar, en un solo movimiento,

la curva y = 12 + 10 cos( x), donde tanto x como y están en centímetros, y la

función coseno se evalúa en radianes. Parte del diseño (motores, engranes y

otros componentes) ya está definido. Con este diseño, el movimiento en x no

se puede modificar y viene dado por x = t 3 − 0.152t 4, donde x está dada en

centímetros y t va desde 0 hasta 4.93 segundos. Para el movimiento en y, tie-

nen que escoger entre dos diseños: el más barato da una componente en y de

la velocidad, que varía desde −100 hasta + 100 cm/seg; mientras que el dise-

ño caro, puede dar desde −120 hasta + 120 cm/seg. ¿Es posible utilizar el di-

seño barato para dibujar la curva en un solo movimiento?



La regla de la cadena

El objetivo de este primer apartado es que tú descubras la regla de la cadena. Para lograr-

lo, analizarás el plotter de LegoMR del problema inicial de esta sección. Se presentan dos

casos: en el primero, el plotter dibuja una recta a velocidad constante; mientras que en

el segundo, dibuja una curva a velocidad variable. Podrás apreciar cómo funciona la regla

de la cadena cuando compares ambos casos. Después, en los ejemplos de este apartado,

verás que puedes aplicar esta regla a diferentes cálculos, incluso cuando no involucren

la solución de un problema similar al del plotter.

Caso 1: El plotter se mueve horizontalmente a velocidad constante y dibuja

una línea recta.

En este primer caso, analizarás una versión simplificada del problema inicial de esta sec-

ción. Imagina: la pluma del plotter tiene un movimiento en x dado por x = 5t , con x en cen-

tímetros y t en segundos, y se va a dibujar la recta , donde tanto x como y están

en centímetros (figura 2). A continuación, verás cómo se obtiene la componente vertical

de la velocidad de la pluma en estas condiciones.

y x= 23


Introducción

En la sección anterior, aprendiste a derivar funciones como f ( x) = x2 y g( x)

= cos( x). Ahora, vas a aprender la regla de la cadena , que sirve para deri-

var una función que es una composición de otras funciones, por ejemplo

h( x) = g( f ( x)) = cos( x2). En el primer apartado de esta sección, verás cómo

surge en forma natural esta regla al analizar el plotter del problema intro-

ductorio de esta sección. En el segundo apartado, encontrarás su definición

precisa y la forma práctica de aplicarla. Finalmente, en el tercer apartado,

verás cómo su aplicación repetida crea una cadena de multiplicaciones.

Los apartados y ejemplos de esta sección están diseñados para que, al es-

tudiarlos poco a poco y en orden, vayas adquiriendo una intuición de por-

qué y cómo funciona la regla de la cadena.

Objetivos


a) Enunciar el teorema de la regla de la cadena.

b) Explicar con argumentos geométricos por qué funciona la regla de la

cadena.

c) Aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.



En este problema, tanto x como y se miden en centímetros, pero es conveniente indi-

car que x se mide en “centímetros horizontales” y que y se mide en “centímetros verti-

cales”. En la tabla 1 se muestran algunos valores de la posición horizontal x = 5t .


FIGURA 2. El plotter dibuja la recta y = (2/3) x con movimiento horizontal dado

por x = 5t .

segundos

t

horizontales

0 0

1 5

2 10

3 15

4 20

Tabla 1 Algunos valores de la posición horizontal

x para el plotter en el primer caso.

Observa en la tabla 1 que, el valor de x se incrementa 5 centímetros cada vez que t se

incrementa un segundo, es decir, la componente horizontal de la velocidad es

Por otro lado, recuerda que se va dibujar la recta . La pendiente de esta recta

indica cuántos “centímetros verticales” se avanza por cada “centímetro horizontal”. Al

escribir la recta de la forma , puedes ver que la pendiente es

Las unidades de la pendiente m y de la componente horizontal de la velocidad v x

in-

dican que si las multiplicamos, obtenemos cuántos centímetros verticales avanza la pluma

por cada segundo, es decir, obtenemos la componente vertical de la velocidad:

m cm verticales

cm horizontales

cm verticales

cm horizontales=

2

3

y mx b x= + = +2

3 0 y x=2

3

y x= 23

v x

cm horizontales

segundo

cm horizontales

segundo= 5



El valor obtenido de v y

indica que el valor de y se incrementa centímetros vertica-

les cada segundo, como se ve en la figura 2. También, se puede decir que la variable y se

incrementa 10 centímetros verticales cada 3 segundos. Si estos datos fueran los del pro-

blema inicial de esta sección, entonces bastaría con el diseño barato, ya que este puede

dar hasta 100 centímetros verticales por cada segundo. Pero lo más importante de este

primer cálculo es que veas el papel que jugaron las unidades, ya que al utilizarlas en una

forma similar en el siguiente caso, surgirá la regla de la cadena.

Caso 2: El plotter se mueve horizontalmente con velocidad variable y dibuja

una curva

Ahora, usarás los datos del problema al inicio de esta sección. Es decir, el plotter tiene un

movimiento en x dado por x = t 3 − 0.152t 4, con x en centímetros y t en segundos; y se di-

buja la curva y = 12 + 10 cos( x), donde tanto x como y, están en centímetros y la función

coseno se evalúa en radianes (figura 3). A continuación, verás cómo se obtiene la compo-

nente vertical de la velocidad de la pluma en este caso. Durante este cálculo surgirá en for-

ma natural la regla de la cadena, el método para derivar una composición de funciones.

103

v y

cm verticales

segundo

cm verticales

segundo

=

10

3

v ycm verticales

segundo

cm verticales

cm horizontales

cm horizontales

segundo = × 2

35

v m v y x

cm verticales

segundo

cm verticales

cm horizontales

cm horizontales

segundo

=

×


FIGURA 3. El plotter dibuja la curva y = 12 + 10cos( x) con movimiento

horizontal dado por x = t 3−0.152t 4.

La componente horizontal de la velocidad era constante en el caso anterior, por eso

pudiste obtenerla de una tabla. En este caso es variable, y por ello, debe calcularse deri-

vando x respecto a t :

De forma similar, la componente vertical de la velocidad que estamos buscando es la

derivada de y respecto a t :

v y

cm verticales

segundo

dy

dt

cm verticales

segundo= .

v x

cm horizontales

segundo

dx

dt

cm horizontales

segundo= .



En el caso anterior se dibujó una recta y pudiste utilizar su pendiente, la cual indica

cuántos centímetros verticales se avanza por cada centímetro horizontal. Ahora que se

quiere dibujar una curva, tienes que utilizar la pendiente de la recta tangente a esa cur-

va, es decir, la derivada de y respecto a x:

Como en el caso anterior, las unidades indican que v y

se obtiene multiplicando v x

y

mtangente

:

Reemplaza v y, m

tangentey v

xpor las derivadas correspondientes:

Sustituye la expresión y = 12 + 10cos( x) y calcula la derivada respecto a la variable x:

Ahora sustituye la expresión x = t 3

− 0.152t 4

:

Finalmente, calcula la derivada respecto al tiempo t y simplifica:

es decir, v y = (6.08t 3 − 30t 2) ⋅ sen(t 3 − 0.152t 4) centímetros verticales por segundo.

Más adelante, en el trabajo de equipo, utilizarás este resultado para responder el proble-

ma planteado al inicio de esta sección, pero ahora lo más importante es que observes que

en el procedimiento anterior surgió la siguiente relación:

dy

dt

dy

dx

dx

dt = ⋅ .

d

dt t t t t t t 12 10 0 152 6 08 30 0 1523 4 3 2 3 4+ −( )( ) = −( ) ⋅ −( )cos . . sen . ,

d

dt t t t t t t 12 10 0 152 10 0 152 3 0 6083 4 3 4 2 3+ −( )( ) = − −( )[ ] ⋅ −[ ]cos . sen . .

d

dt t t t t

d

dt t t 12 10 0 152 10 0 152 0 1523 4 3 4 3 4+ −( )( ) = − −( )[ ] ⋅ −( )

cos . sen . . .

dy

dt

cm verticales

segundo

dy

dx

cm verticales

cm horizontales

dx

dt

cm horizontales

segundo

=

×

.

v m v y x

cm verticales

segundo

cm verticales

cm horizontales

cm horizontales

segundo

=

×

tangente.

m cm verticales

cm horizontales

dy

dx

cm verticales

cm horizontalestangente = .


d

dt x

cm verticales

segundo x

cm verticales

cm horizontales

dx

dt

cm horizontales

segundo12 10 10+ ( )( )

= − ( )

×

cos sen .

d

dt x

cm verticales

segundo

d

dx x

cm verticales

cm horizontales

dx

dt

cm horizontales

segundo12 10 12 10+ ( )( )

= + ( )( )

×

cos cos



Esta relación es general, funciona en otros problemas y ejercicios, aunque no se re-

fieran a un movimiento como el del plotter, y se llama regla de la cadena. De esa ma-

nera, si debes calcular la siguiente derivada,

entonces haya o no haya plotter, la respuesta es la siguiente:

En la sección anterior aprendiste cómo derivar funciones sencillas como cos(t ). Aho-

ra, has visto cómo se obtiene la derivada de la función cos(t 3 − 0.152t 4), la cual es una

composición de la función y = cos( x) con la función x = t 3 − 0.152t 4. De forma similar,

puedes calcular la derivada de cualquier otra función que sea la composición de funcio-nes derivables, como se muestra en los siguientes ejemplos.

d

dt t t t t

d

dt t t

t t t t

12 10 0 152 10 0 152 0 152

6 08 30 0 152

3 4 3 4 3 4

3 2 3 4

+ −( )( ) = − −( )[ ]⋅ −( )

= −( ) ⋅ −( )

cos . sen . .

. sen .

d

dt t t 12 10 0 1523 4+ −( )( )cos . ,


Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Obtén dy/dt , si sabes que y que x = 1 + t 2.

Como en el segundo caso del plotter descrito más arriba, puedes imaginarte que es una curva

que se quiere dibujar, y que x = 1 + t 2 da la componente horizontal de la posición de la pluma del plot-

ter, y que dy/dt es la componente vertical de la velocidad. Entonces,

Quita las unidades y nos queda la regla de la cadena:

Sustituye y calcula la derivada respecto a la variable x

d

dt x

x

dx

dt =

⋅1

2.

d

dt x

d

dx x

dx

dt =

⋅

y x=

dy

dt

dy

dx

dx

dt = ⋅ .

dy

dt

cm verticales

segundo

dy

dx

cm verticales

cm horizontales

dx

dt

cm horizontales

segundo

=

×

.

y x=

y x=




solución

Sustituye x = 1 + t 2

Calcula la derivada respecto a la variable t y simplifica

La respuesta es .

Ejemplo 2.

Obtén dy/dt , si sabes que y = 1/ x y que x = t 4 + sen(t ).

Otra vez usarás la regla de la cadena:

Sustituye y = 1/ x y calcula la derivada respecto a la variable x.

Ahora, sustituye x = t 4 + sen(t ):

Calcula la derivada respecto a la variable t y simplifica:

d

dt t t

t t

t t

1 44

3

4 2+ ( )

= − + ( )

+ ( )( )sen

cos

sen.

d

dt t t t t t t

1 14

4 4 23

+ ( )

= −+ ( )( )

⋅ + ( )( )

sen sencos

d

dt t t t t

d

dt t t

1 14 4 2

4

+ ( )

= −+ ( )( )

⋅ + ( )( )

sen sensen .

d

dt x x

dx

dt

1 12

= −

⋅

d

dt x

d

dx x

dx

dt

1 1

=

⋅

dy

dt

dy

dx

dx

dt = ⋅ .

dy

dt

t

t =

+1 2

d

dt t

t

t 1

1

2

2+ =

+.

d

dt t

t t 1

1

2 122

2+ =

+⋅

d

dt t

t

d

dt t 1

1

2 1

12

2

2+ =

+

⋅ +( ).




solución

solución

La respuesta es

Ejemplo 3.

Obtén dy/dt , si sabes que y = sen(t 3).

Para derivar y = sen(t 3), puedes utilizar el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores si iden-

tificas x = t 3. Entonces:

La respuesta es .

Ejemplo 4.

Obtén dy/dt , si sabes que y = sen3(t ).

Ahora que tienes y = sen3(t ) = (sen(t ))3, puedes usar el mismo procedimiento de los ejemplos anterio-

res si identificas x = sen(t ). Entonces,

d

dt x

d

dx x

dx

dt

3 3= ⋅

dy

dt

dy

dx

dx

dt = ⋅

dy

dt t t = ( )3 2 3cos

d

dt t t t sen cos3 3 23( ) = ( )( ) ⋅

d

dt t t

d

dt t sen cos3 3 3( ) = ( )( ) ⋅ ( )

d

dt x x

dx

dt sen cos( ) = ( ) ⋅

d

dt x

d

dx x

dx

dt sen sen( ) = ( ) ⋅

dy

dt

dy

dx

dx

dt

= ⋅

dy

dt

t t

t t = −

+ ( )

+ ( )( )4 3

4 2

cos

sen.




solución

La respuesta es . Es importante que compares y entiendas las diferencias entre este

ejemplo, donde se derivó sen3(t ), y el ejemplo anterior, en el cual se derivó sen(t 3).

Ejemplo 5.

Obtén dr /dz, si sabes que r = ( z2 − z3)17.

Aplicando la regla de la cadena, obtenemos al considerar x z2 z3.

La respuesta es .dr

dz z z z z= −( ) −( )17 2 32 3 16 2

d

dz z z z z z z

2 3 17 2 3 16 217 2 3−( ) = −( ) ⋅ −( )

d

dz z z z z

d

dz z z

2 3 17 2 3 16 2 317−( ) = −( ) ⋅ −( )

d

dz x x

dx

dz

17 1617= ⋅

d

dz x

d

dx x

dx

dz

17 17= ⋅

dr

dz

dr

dx

dx

dz= ⋅

dy

dt t t = ( ) ⋅ ( )3 2sen cos

d

dt t t t sen sen cos3 2

3( ) = ( )( ) ( )

d

dt t t

d

dt t sen sen sen3 2

3( ) = ( )( ) ( )

d

dt x x

dx

dt

3 23= ⋅

Definición de la regla de la cadena

En el apartado anterior se utilizó el movimiento de un plotter para darte una idea intuitiva

del funcionamiento de la regla de la cadena. Sin embargo, como se ilustró en aquellos

ejemplos, esta regla funciona siempre que queramos derivar una función compuesta, aún

en ejercicios que no tengan nada que ver con un plotter. En este segundo apartado, verás



la definición precisa de la regla de la cadena, así como un esquema que permite aplicarla

fácilmente en la solución de ejercicios.

Veremos la regla de la cadena expresada en dos notaciones distintas. El uso de estas

dos notaciones tiene orígenes históricos. El cálculo diferencial que estudias en este libro

fue inventado a fines del siglo XVII, principios del siglo XVIII, por Isaac Newton en In-

glaterra, y Gottfried Leibniz en Alemania. Estos dos grandes científicos eran rivales y

hubo grandes discusiones entre ellos y entre sus respectivos seguidores acerca de cuál de

los dos había sido el primero en inventar el Cálculo. Actualmente, se reconoce a ambos

como padres del cálculo diferencial, pero hubo algo en lo cual Leibniz decididamente

triunfó sobre Newton: en el uso de una notación adecuada y útil que permitió que todavía

después de la muerte de ambos científicos, las investigaciones sobre el cálculo diferen-

cial avanzaran más en Europa continental que lo que avanzaron en Inglaterra. A conti-

nuación, puedes ver cómo se escribe la regla de la cadena en la notación de Leibniz.


Regla de la cadena en notación de Leibniz.

Si y es una función derivable de x, y además x es una función derivable de t , en-

tonces,

dy

dt

dy

dx

dx

dt = ⋅ .

En la siguiente sección, verás que la notación de Leibniz de la regla de la cadena es

útil en un procedimiento llamado derivación implícita. También, es útil en otras técni-

cas avanzadas que quedan fuera del alcance de este libro, por ejemplo, en algunos méto-

dos de solución de ecuaciones diferenciales. Respecto al siguiente resultado, toma en

cuenta que ambas notaciones representan la misma regla.

Regla de la cadena en notación de composición de funciones.

Si y = f ( x) y x = g(t ) son ambas funciones derivables, entonces su composición

y = f (g(t )) es una función derivable y su derivada viene dada por

d

dt f g t f g t

d

dt g t ( )( ) = ′ ( )( ) ⋅ ( ).

Esta última notación muestra que, al usar la regla de la cadena, trabajamos el proce-

so de derivación de afuera hacia adentro: primero, se deriva la función exterior (evalua-

da en la función interior) y luego, se multiplica por la derivada de la función interior.

d

dt f g t f g t

d

dt g t

funciónexterior

evaluadaen la funcióninterior

derivada dela funciónexterior


derivada dela funcióninterior

{ 123 { 123123

( )( ) = ′ ( )( ) ⋅ ( )



En los siguientes ejemplos podrás apreciar la aplicación de este esquema para obte-

ner rápidamente las derivadas de funciones compuestas.


Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 6.

Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dy/dt , si sabes que y = sen(t 3).

Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de sen(t 3).

Como puedes ver, todo el procedimiento quedó en una sola línea, y obtuvimos el mismo resultado que en

el Ejemplo 3 del apartado anterior. La respuesta es

Ejemplo 7.

Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dy/dt , si sabes que y =sen3(t ).

Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de sen3(t ).

Como puedes ver, todo el procedimiento quedó en una sola línea, y obtuvimos el mismo resultado

que en el Ejemplo 4 del apartado anterior. La respuesta es .

Ejemplo 8.

Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dz/dx, si sabes que

z = ln( x7 sen( x)).

dy

dt t t = ( ) ⋅ ( )3 2sen cos

d

dt t

d

dt t

d

dt t t t t t sen sen sen sen cos sen cos3 3 3 2 23 3( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( )


"elevar al cubo"esla función exterior




1234

6 74 84

1234

6 74 84

123

dy

dt t t = ( )3 2 3cos .

d

dt t

d

dt t t t t t sen sen cos cos3 3 3 2 2 33 3

( ) = ( ) = ( ) ⋅ = ( )funciónexterior evaluada

en la funcióninterior




{{

{{

{




solución

Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de ln( x7 sen( x)). Observa que al derivar la función

interior, tiene que aplicarse la regla para derivar multiplicaciones.

La respuesta esdz

dx

x x x

x x=

( ) + ( )

( )

cos sen

sen.

7

d

dx x x

d

dx x x

x x

d

dx x x

x x x x x x

ln sen ln sensen

sen

sencos sen

7 77

7

77 6

1

17

( )( ) = ( )( ) =( )

⋅ ( )( )

=( )

⋅ ( ) + ( )

funciónexterior evaluada

en la funcióninterior




{

1 24 34

1 24 34

6 74 84

1 244 344

(( ) =( )

⋅ ( ) + ( )( )

=

( ) + ( )

( )

17

7

76

x x x x x x

x x x

x x

sencos sen

cos sen

sen

La cadena de multiplicaciones

La regla de la cadena se llama así porque cuando se aplica a una composición de tres o

más funciones, se genera una cadena de multiplicaciones. Por ejemplo, si y es funciónde u, u es función de x, y finalmente x es función de t , entonces con la notación de Leib-

niz, la regla de la cadena genera una cadena de tres multiplicaciones.

También puedes ver la cadena de multiplicaciones en la notación de composición de

funciones. Por ejemplo, al derivar f (g(h(t ))), tienes que aplicar la regla de la cadena dos

veces, y obtienes

Podrás apreciar mejor la cadena de multiplicaciones en los siguientes ejemplos.

dy

dt

dy

du

du

dx

dx

dt = ⋅ ⋅

d dt

f g h t f g h t d dt

g h t f g h t g h t d dt

h t f g h t g h t ( )( )( ) = ′ ( )( )( ) ⋅ ( )( ) = ′ ( )( )( ) ⋅ ′ ( )( ) ⋅ ( ) = ′ ( )( )( ) ⋅ ′ ( )(primera aplicación de laregla de la cadena

segunda aplicación de laregla de la cadena

1 2444 3444 1 244 344

)) ⋅ ′( )h t



Ejemplos

solución

solución


Ejemplo 9.

Obtén dy/dt , si sabes que y = sen(t 2 − 7t )3.

Para derivar a y tienes que aplicar dos veces la regla de la cadena.

Como puedes observar, se genera una cadena de tres multiplicaciones. La respuesta es

Ejemplo 10.

Obtén dr /d θ , si sabes que

Observa que antes de derivar es conveniente escribir la raíz cuadrada como potencia.

La respuesta esdr

d θ

θ

θ θ

= ( )

( ) ( )( )

sec

tan ln tan.

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ

θ θ

θ

θ

ln tan ln tan

ln tan ln tan

ln tantan

tan

ln tantan

sec

sec

( )( ) = ( )( )( )

= ( )( )( ) ⋅ ( )( )( )

= ( )( )( ) ⋅( )

⋅ ( )

= ( )( )( ) ⋅( )

⋅ ( )

= ( )

−

−

−

12

12

12

12 2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2tantan ln tanθ θ ( ) ( )( )

r = ( )( )ln tan θ

dy

dt t t t t t = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )cos .2 3 2 2

7 3 7 2 7

d

dt t t t t

d

dt t t t t t t

d

dt t t

t t t

sen cos cos

cos

primera aplicación de laregla de la cadena

segunda aplicación de laregla de la cadena

2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2

2 3

7 7 7 7 3 7 7

7 3

−( ) = −( ) ⋅ −( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )

= −

( ) ⋅

1 24444 34444 1 24444 34444

22 27 2 7−

( ) ⋅ −( )t t



solución


Ejemplo 11.

Obtén dy/dx, si sabes que

Obtenemos la solución al aplicar la regla para derivar una división, junto con la regla de la cadena, don-

de sea necesaria. Tenemos que:

Otra forma de obtener este resultado es escribiendo para utilizar la deri-

vada de una multiplicación. Observa en qué puntos del cálculo se utiliza la regla de la cadena.

Por supuesto, éste es el mismo resultado que se había obtenido.

y e

xe x

x x=

+= +[ ]

−3

2

3 21

2

44

d

dx

e

x

x d

dxe e

d

dx x

x

x e d

dx

x e x d

dx

x

x

x

x x x

x x

3

2

2 3 3 2

22

2 3 3 21

2 2

2

2

4

4 4

4

4 31

2

4 4

4

4

+

=

+ ⋅

− ⋅ +

+

=

+ ⋅ ⋅ ( )

− ⋅ +[ ] ⋅ +( )

+[ ]

=+ ⋅

−

ee e x x

x

e x xe x

x

e x xe x

x x

x x

x x

3 3 21

2

2

3 21

2 3 21

2

2

3 21

2 3 23

31

24 2

4

3 4 4

4

3 4 4

⋅

− ⋅ +[ ] ⋅

+[ ]

=+[ ]

− +[ ]

+[ ]

= +[ ]

− +[ ]

−

−

− − 22

y e

x

x

=

+

3

2

4

.

d

dxe x e

d

dx x x

d

dxe

e x d

dx x x e

d

x x x

x x

3 21

2 3 21

2 21

2 3

3 23

2 2 21

2 3

4 4 4

1

24 4 4

⋅ +[ ]

= ⋅ +[ ]

+ +[ ] ⋅

= ⋅ −

+[ ] ⋅ +[ ]

+ +[ ] ⋅ ⋅

− − −

− −

dxdx x

e x x x e

xe x e x

x x

x x

3

12

4 2 4 3

4 3 4

3 2

3

2 2

1

2 3

3 23

2 3 21

2

( )

= ⋅ − +[ ] ⋅ + +[ ] ⋅ ⋅

= − +[ ]

+ +[ ]

− −

− −




Problemas para traba ar en equipo

Obtén la derivada de cada una de las siguientes funciones.

1. y = tan(7 x)

2. y = tan3(7 x)

3. y = (tan3(7 x) + 5 x)4

4.

5.

6. y = ln(2 x + x8)

7. y = ln(2 x +(6 x − 5)8)

8. y = ln(2 x + (6tan( x) − 5)8)

9. y = ln(2 x + (6tan( x2 − x7)−5)8)

10. y e x x

=

302

3

6 cos π

y x x x x

= ( ) +( ) ⋅ +tan3 47 5

1

y x x

= +1


tuaciones.

“Construcción de un plotter con piezas de Lego MR”

Con tu equipo, vas a responder el problema inicial de esta sección. Para ello, usarás la compo-

nente vertical de la velocidad que fue obtenida en el segundo caso del primer apartado. Ade-más, debes volver a leer con cuidado el problema, ya que hay más información importante que

debes tomar en cuenta. El objetivo es que averigües si es posible usar el diseño barato para que el

plotter dibuje la curva en un solo movimiento. Si no es posible, entonces averigua si el diseño

caro sí permite dibujar la curva en un solo movimiento.

FIGURA 4. Plotter construido con piezas de LegoMR.




“Movimiento de una grúa torre (tower crane).”

Ahora, con tu equipo, tomarás el papel de un instructor que quiere explicarles a sus estudiantes

cómo funciona la regla de la cadena. Para ello, crearás un problema sobre el movimiento de

una grúa torre (tower crane), como la de la figura 5. Es importante el papel de las unidades, y

que los valores numéricos que utilices sean realistas. Además del problema, debes diseñar

la solución paso a paso, de manera que la regla de la cadena surja en forma natural durante el

procedimiento. Debes pensar que estás escribiendo para estudiantes que jamás han visto la regla

de la cadena, y tu objetivo como instructor es que la comprendan.

FIGURA 5. Grúa torre.

1. Un modelo para la propagación de un rumor es , donde p(t ) es la proporción

de la población que conoce el rumor en el tiempo t . El valor p = 0 significa que nadie conoce

el rumor, mientras que p = 1 significa que todos en la población lo conocen. Selecciona entre

las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la tasa de propagación del

rumor.

p t ae

k t ( ) =

+ −1

1

a)

b)

c)

d )dp

dt

k e

a

k t

=

dp

dt a k e k t = − −

1

dp

dt

a k e

ae

k t

k t =

+( )

−

−12

dpdt ae

k t =

+( )−1

12




2. La aceleración de cualquier partícula que se mueva a lo largo de una línea es la segunda deri-

vada de su posición respecto al tiempo. Si una partícula tiene movimiento armónico simple,

entonces su posición viene dada por s = A cos(ω t + δ ), donde las constantes A, ω y δ son

llamadas amplitud , frecuencia angular y fase, respectivamente. Selecciona entre las siguientesopciones aquella que tiene la expresión correcta para la aceleración de la partícula.

a) a = −ω 2 A cos(ω t + δ ) c) a = − Asen(ω )

b) a = − Acos(ω ) d) a = −(ω t + δ )2 Acos(ω t + δ )

3. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para

la derivada de .

a)

b)

c)

d )

4) Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la deriva-

da de .

a)

b)

c)

d )dy

dx

x x

x x=

− +

+

sen 3 4

3 42

dy

dx

x x x x

x x=

− +( ) +

+

3 4

2

2 3 3 4

3 4

sen

dy

dx

x x x x x x

x x=

− +( ) +( ) +

+

6 12 3 4

2

2 2 3 3 4

3 4

sen

dy

dx

x x x x x x x

x x=

− +( ) +( ) +( ) +

+

6 24 6 12 3 4

2

2 2 3 3 4

3 4

sen

y x x= + cos 3 4

dy

dx

x x

x

= + + +

+ + +

1 1 1

2 1 1 1

dy

dx x x x= + + + + + +

1

21 1 1

1

21 1

1

21

dy

dx x x x

=+ + + + + +

1

8 1 1 1 1 1 1

dy

dx

x

x x

= + + +

+ + +

1 1 1

8 1 1 1

y x= + + +1 1 1




5. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la deriva-

da de y = ln(sec( x2 + x3) + tan( x)).

a)

b)

c)

d )


da de .

a) c)

b) d )

7. Selecciona la función cuya derivada es

a) c)

b) d )

8. Selecciona la función cuya derivada es .

a) c)

b) d )

9. Selecciona la función cuya derivada es

a) c)

b) d ) y x

=+( )

1

2 92 y

x

x x=

+

12

2

13

3 9

y x

=+( )1

92 2 y x= +( )

1

292ln

dydx

x x

= +2 9.

y e x= ( )

1

2

2sen y e e x x= ( )1

4

2 2sen

y e x= ( )1

2

2sen y e e x x= ( )

1

2

2 2sen

dy

dxe e

x x= ( )2 2cos

y x

=+

1

2 92 y x= +2 92

y x x= +2 2 9 y x= +2 9

dy

dx

x

x=

+2 9.

dy

dxe

x x=

−( )3 2dy

dxe x x x

x x= −( ) −( )

−( )3 2

3 2 6 22

dy

dxe x x

x x= −( )

−( )3 2

3 22dy

dxe x x x

x x= −( ) −( )( )

−( )3 2

3 2 6 2 62

y e x x

= −( )3 2

dy

dx

x x x x x

x x x

= +( ) ⋅ +( ) + ( )

+( ) + ( )

sec tan sec

sec tan

2 3 2 32 2 2

2 3

dy

dx

x x x x x

x x x=

+( ) ⋅ +( ) + ( )

+( ) + ( )

sec tan sec

sec tan

2 3 2 3 2

2 3

dy

dx

x x x x x x x

x x x=

+( ) +( ) ⋅ +( ) + ( )

+( ) + ( )

2 3 2 2 3 2 3 2

2 3

sec tan sec

sec tan

dy

dx

x x x x x x x x

x x x=

+( ) +( ) +( ) ⋅ +( ) + ( )

+( ) + ( )

2 6 2 3 2 2 3 2 3 2

2 3

sec tan sec

sec tan





da de y = ln(7 x3).

a) c)

b) d ) dy

dx x x= ( ) ⋅ln 21 422dy

dx x=

1

7 2

dy

dx x=21

2

dy

dx x=3

Respuestas a los


1.

2.

3.

4. dy

dx x

x

x

= −

+

1

2

1

1

2

dy

dx x x x x= ( ) +( ) ( ) ⋅ ( ) +( )4 7 5 21 7 7 53 3 2 2tan tan sec

dy

dx x x= ( ) ⋅ ( )21 7 72 2tan sec

dy

dx x= ( )7 72sec

5. dy

dx

x x

x x x x x x

x

x

x=

( ) +( ) ⋅ −( )+

+ ( ) +( ) ( ) ⋅ ( ) +( ) ⋅ +tan

tan tan sec

3 41

1

3 3 2 2 17 5 1

24 7 5 21 7 7 5

2

6.

7.

8. dy

dx

x x

x x= + ( ) −( ) ( )

+ ( ) −( )

2 48 6 5

2 6 5

7 2

8

tan sec

tan

dy

dx

x

x x=

+ −( )

+ −( )

2 48 6 5

2 6 5

7

8

dydx

x

x x= +

+2 82

7

8

9.

10. dy

dx

e x e sen x x x

=

−

52

3

202

3

6 6cos π

π π

dy

dx

x x x x x x

x x x

=+ −( ) −( ) −( ) ⋅ −( )

+ −( ) −( )

2 48 6 5 2 7

2 6 5

2 77

2 2 7 6

2 78

tan sec

tan




1. b)2. a)

3. b)

4. c)

5. b)

6. c)

7. a)

8. d )

9. a)

10. a)



Curvas famosas

Las primeras curvas en matemáticas aparecieron como una necesidad, al intentarresolver los problemas griegos clásicos, como la duplicación del cubo y la cuadra-

tura del círculo. Entre ellas están las secciones cónicas, la cisoide de Diocles, la

concoide de Nicomedes , la espiral de Arquímedes, etc.

Con el desarrollo de la geometría analítica (Fermat y Descartes, s. XVII),

aparecen nuevas curvas como la Géométrie y el folium de Descartes, y la

serpentina de Newton. Asimismo, con el cálculo diferencial e integral de

Newton y Leibniz (1665-1672) y el estudio de nuevos problemas, aparecen

la catenaria, la tractriz, la trisectriz de Maclaurin, la lemniscata de Ber-

noulli, la bruja de Agnesi, etc.

Su importancia histórica es tal, que el gran desarrollo de métodos infini-

tesimales que surgen a partir del s. XVI, se debió en gran parte, al trabajo

realizado al calcular áreas y tangentes relacionadas con estas curvas. Por ejem-

plo, Johann Bernoulli propuso (alrededor de 1692) la curva llamada astroide,también conocida como hipocicloide de cuatro cúspides, la cual está definida

por la ecuación x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3, donde a es una constante distinta de cero.

¿Cuántas y cuáles funciones explícitas y = f ( x) define esta ecuación?, ¿dónde

no define a y como una función implícita de x esta ecuación?, ¿tiene esta cur-

va puntos en donde la recta tangente sea horizontal?, ¿y donde sea vertical?

2915.3: Derivadas, implícita y logarítmica

5.3 Derivadas, implícita

y logarítmica

En las matemáticas es donde

el espíritu encuentra los elementos

que más ansía: la continuidad

y la perseverancia.

Jacques Anatole France

Introducción

A lo largo de la historia, en sus intentos por describir los fenómenos reales,

muchos matemáticos nos han hecho observar que la naturaleza está plagada

de líneas curvas. Desde las más conocidas por su utilidad y su estudio en la

geometría analítica, tales como la recta, la parábola, el círculo, etc., hasta otrasno tan conocidas en el ámbito escolar pero que son también muy importantes

en el estudio de las matemáticas, como las curvas mencionadas en la situa-

ción presentada en el apartado precedente.

En el capítulo 4 estudiamos cómo determinar rectas tangentes y normales a

gráficas de funciones y = f ( x), es decir, a funciones dadas en forma explícita,

determinadas por una ecuación con la variable y despejada. Sin embargo,

diversas situaciones producen frecuentemente ecuaciones donde la regla de



Diferenciación implícita

Función implícita


Objetivos


a) Definir una función implícita.

b) Obtener la derivada de funciones implícitas.

c) Describir y aplicar el proceso de diferenciación logarítmica.

Introducción

correspondencia entre las variables no está en forma explícita; por ejemplo, la

ecuación del folium de Descartes x3 + y3 = 3axy (“a” constante) o la ecuación

de Van der Waal , la cual representa la relación entre

la presión (P), el volumen (V ), y la temperatura (T ) de un gas o un líquido,

para constantes positivas a, b, n y R. En este tipo de ecuaciones, también in-

teresa determinar sus pendientes y rectas tangentes, o bien, calcular cuál es la

razón de cambio de una de las variables respecto a otra. En esta sección, estu-

diaremos cómo se pueden determinar las derivadas de este tipo de ecuaciones

(recuerda que tanto la pendiente como la razón de cambio son interpretacio-

nes de la derivada).

P n a

V V nb nRT +

−( ) =2

2

Definición de función implícita.

Una función y = f ( x) está definida en forma implícita por una ecuación F ( x, y) = c si

al sustituir y por f ( x) en esta ecuación, se reduce a una identidad.

Una ecuación de la forma y = x2 + 5 define una relación explícita donde y es una función

de x, puesto que y = f ( x) con f ( x) = x2 + 5. La ecuación 3 y − 3 x2 = 15 define la misma

función f ( x), ya que al despejar y resulta y = x2 + 5. Se dice entonces que 3 y − 3 x2 = 15

define implícitamente la función f ( x). De acuerdo a la definición, si sustituimos y por

f ( x) en la ecuación 3 y − 3 x2 = 15, obtenemos 3 f ( x) − 3 x2 = 15, es decir 3( x2 + 5) − 3 x2 = 15,

de lo cual resulta 3 x2 + 15 − 3 x2 = 15. Esta última ecuación es una identidad, puesto que

es válida para todo número x en el dominio de f ( x) (observa que el término 3 x2 se can-

cela y sólo queda 15 = 15).

Por supuesto, una ecuación en x y y puede definir a más de una función implícita.

Por ejemplo, la ecuación x − 1 = y2 involucra dos funciones del tipo y = f ( x). Al despe-



jar la variable y, obtenemos , es decir, una función , y otra fun-

ción . Gráficamente, x − 1 = y2 es la parábola de la figura 1, mientras que

es la mitad superior de la misma, y es la mitad inferior, como

se muestra en las figuras 2 y 3, respectivamente.

Más adelante, en el ejemplo 1, se explica cómo determinar la derivada de estas fun-

ciones implícitas.

y x2 1= − − y x1 1= −

y x2 1= − −

y x1 1= − y x= ± −1


y

x x x

y y

FIGURA 1. Gráfica de x − 1 = y2. FIGURA 2. Gráfica de . y x1 1= − FIGURA 3. Gráfica de . y x2 1= − −

Diferenciación implícita.

El método para determinar la derivada de una función implícita definida por una ecua-

ción en las variables x y y, se conoce como diferenciación implícita (o derivación implí-

cita) y consiste en los siguientes dos pasos:

1. Se deriva la ecuación respecto a la variable x, término a término.

2. Se despeja la derivada de y respecto a x, es decir, se despeja .dy

dx

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Encuentra , si x − 1 = y2.

De acuerdo al paso 1 del método, se debe derivar cada término de la ecuación respecto a la variable in-dependiente x, es decir,

Para los términos del miembro izquierdo de esta ecuación, tenemos inmediatamente

que y , es decir, o lo que es lo mismo ,1 2= d

dx y( )1 0 2− =

d

dx y( )

d

dx( )1 0=

d

dx x( ) =1

d

dx x

d

dx

d

dx y( ) ( ) ( )− =1 2

dy

dx




solución

pero se debe tener cuidado con la derivada del miembro derecho. Recuerda que la ecuación x − 1 = y2

define implícitamente una función y = f ( x). De acuerdo a la fórmula para derivar una función de la forma

un

, es decir , si hacemos y = u, queda . Usando esta última

fórmula en la parte derecha de la ecuación con n = 2, resulta .

Finalmente (paso 2), despejamos y queda la respuesta ( y ≠ 0).

Ejemplo 2.

Determina la derivada de y respecto a x de la ecuación sen( y) = x + y5.

La derivada término a término significa

, es decir,

Ahora, despejando , queda la respuesta , cos( y) − 5 y4 ≠ 0.dy

dx y y=

−1

5 4cos( )

dy

dx

cos( ) y dy

dx y

dy

dx= +1 5 4

d

dx y

d

dx x

d

dx y( ( )) ( ) ( )sen = + 5

dy

dx y=

1

2

dy

dx

1 2= y dy

dx

d

dx y ny

dy

dx

n n

( ) = −1d

dx u nu

du

dx

n n

( ) = −1

Nota. Este método para derivar implícitamente es muy útil cuando es muy complicado o imposible

despejar y en función de x de la ecuación dada. Sin embargo, se debe tener siempre presente que al apli-

car el método, debe suponerse que y representa una función diferenciable de x; pero si no se asegura la

validez de esta suposición, los cálculos realizados podrían no tener sentido. Por ejemplo, si se deriva

implícitamente la ecuación x2 + y2 + 1 = 0, resulta ; de manera que . Sin em-

bargo, esta derivada no tiene sentido, porque no existe función alguna y = f ( x) que satisfaga la ecua-

ción x2 + y2 + 1 = 0 (porque x2 + y2 ≥ 0 para cualquier ( x, y), y sumado con 1, nunca puede dar cero).

Por otra parte, no siempre es posible probar que una ecuación en x y y define una o más funciones

implícitas y = f ( x). Por lo tanto, en los ejemplos que siguen, se asumirá que las ecuaciones propuestas

para derivar sí cumplen con la definición dada al inicio de este apartado. Es importante aclarar que se

pueden establecer condiciones en las que una función implícita existe y es diferenciable en ciertos nú-

meros de su dominio, pero su demostración requiere de conocimientos matemáticos más avanzados de

los que se consideran en esta obra.

dy

dx

x

y= −2 2 0 x y

dy

dx+ =




solución

Ejemplo 3.

Calcula , si .

Primero, se debe advertir que la ecuación dada es equivalente a 3 xy2 − 5( xy)1/2 = 2.

Ahora, de acuerdo al paso 1 del método, al derivar término a término respecto a la variable indepen-

diente x, se tiene que:

Aplicando las propiedades operacionales de la derivada, obtenemos , y rea-

lizando las derivadas indicadas, resulta

Como y , queda

.

Simplificando esta última expresión, obtenemos

Ahora, de acuerdo al paso 2, debemos despejar , para lo cual, dejaremos en un miembro de la

ecuación los términos que tienen , y en el otro dejaremos los términos que no lo tienen. Queda en-

tonces

.

Factorizando en el lado izquierdo de esta última ecuación, tenemos que:

,

de manera que .dy

dx

y

xy y

xy x

xy

y y xy

xy x=

−

−=

−

( ) −

5

23

65

2

5 6

12 5

22

32

dy

dx xy

x

xy

y

xy y6

5

2

5

23 2−

= −

dy

dx

65

2

5

23 2

xy dy

dx

x

xy

dy

dx

y

xy y− = −

dy

dx

dy

dx

6 3

5

2

5

2 02

xy

dy

dx y

x

xy

dy

dx

y

xy+ − − =

3 2 1 51

202 1 2

x y dy

dx y xy x

dy

dx y

+

− ( ) +

=−

( ) /

d

dx xy x

d

dx y y

d

dx x x

dy

dx y( ) ( ) ( )= + = +

d

dx y y

dy

dx

d

dx x( ) , ( )2 2 1= =

3 51

202 2 1 2

x d

dx y y

d

dx x xy

d

dx xy( ) ( ) ( )

/ +

− ( )

=−

3 5 02 1 2d

dx xy

d

dx xy( ) ( ) / − =

d

dx xy

d

dx xy

d

dx( ) [ ( ) ] ( ) / 3 5 22 1 2− =

3 5 22 xy xy− =

dy

dx



solución

solución


Ejemplo 4.

Determina los puntos de la curva xy2 − 2 = 2 y donde se encuentran rectas tangentes horizontales y ver-

ticales.

En este ejemplo usaremos y en lugar de , a fin de simplificar la simbología. Derivando cada parte,

se obtiene 2 xy y + y2 = 2 y. Al despejar y, resulta .

Para determinar los puntos donde hay rectas tangentes horizontales hacemos y = 0, es decir,

, lo cual tiene por solución y = 0. Sin embargo, al sustituir este valor en la ecuación de la

curva x(0)

2

− 2 = 2(0), resulta que −2 = 0; este absurdo nos indica que no existe valor alguno de x parael que la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada, sea cero. Por lo tanto, la curva no tiene

rectas tangentes horizontales.

Para calcular los puntos donde hay rectas tangentes verticales, debemos resolver 2 xy − 2 = 0 (porque

la única forma de que y no exista, en este caso, es que su denominador sea cero). Tenemos entonces

que xy = 1, o lo que es lo mismo x = 1/ y. Sustituyendo esta equivalencia de x en la curva original, obtene-

mos (1/ y) y2 − 2 = 2 y, de donde resulta que y = −2. Evaluamos este valor en la curva y resulta x(−2)2 −2 = 2(−2), de donde x = −1/2. Por lo tanto, concluimos que la curva tiene una recta tangente vertical en

el punto (−1/2, −2).

Ejemplo 5.

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x2 y2 − 4 = 2 x − 4 y en el punto (2, −2).

Primero, calculamos la derivada de y respecto a x (recuerda que la derivada es la pendiente de la recta

tangente que necesitamos para determinar la ecuación que se pide). Al derivar ambos lados respecto a x,

se obtiene 2 x2 y y + 2 xy2 = 2 − 4 y.

Si agrupamos los términos que tienen y en el lado izquierdo de la ecuación y los que no lo tienen

en el derecho, resulta (2 x2 y + 4) y = 2 − 2 xy2. Al despejar y, queda , donde 2 x2 y + 4 ≠ 0

Al sustituir x = 2 y y = −2 en esta última ecuación, se obtiene la pendiente de la recta tangente:

Finalmente, usando la forma punto-pendiente de una recta, tenemos que:

, o bien, en forma explícita .

Esta última es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x2 y2 − 4 = 2 x − 4 y en el punto (2, −2).

y x= −7

6

13

3 y x+ = −2

7

62( )

′ = − −− + = y ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 22 2 2 4

76

2

2

′ = −

+ y

xy

x y

2 2

2 4

2

2

−−

= y

xy

2

2 20

′ = −−

y y

xy

2

2 2

dy

dx



Diferenciación logarítmica

En las dos secciones precedentes de este capítulo hemos visto cómo determinar la deriva-

da de funciones en forma de potencias; como y = un, en donde la base u es una función

de x y el exponente n es una constante, o como y = au

, donde la base a es una constantey el exponente u es una función de x. Sin embargo, no hemos estudiado al momento, cómo

derivar una función en forma de potencia en donde tanto la base como el exponente sean

funciones de x; es decir, funciones del tipo y = uv, donde u = u( x) y v = v( x).

El método para determinar la derivada de este tipo de funciones es el siguiente:

1. Se aplican logaritmos naturales en ambos miembros de la ecuación y = uv, y se

simplifica la parte derecha mediante propiedades de los logaritmos.

2. A la ecuación que resulte del paso anterior, se le aplica el método de diferencia-

ción implícita.


Ejemplos

solución

Ejemplo 6.

Determina la derivada de f ( x) = x x.

Primero, para facilitar el trabajo algebraico, cambiaremos f ( x) por y; de manera que tenemos y = x x.

Ahora, según el paso 1 del método, aplicando logaritmos naturales a ambos lados, resulta ln y = ln x x.

Usamos ahora la propiedad de los logaritmos lnab = blna, para simplificar la parte derecha de esta

última ecuación, y tenemos que ln y = xln x.

Posteriormente, como paso 2, usamos la diferenciación implícita (observa que esta última ecuación

define una función implícita y = f ( x); si despejas y, resulta y = e x ln x), de manera que, al derivar término

a término (paso 1 del método de derivación implícita) obtenemos:

, es decir,

Finalmente, despejando (paso 2 del método de derivación implícita), se tiene que:

; pero como y = x x (la función original), resulta que .

Ejemplo 7.

Calcula la derivada de la función y = x(sen( x)) x.

dy

dx

x x x= +( ln )1dy

dx

x y= +( ln )1

dy

dx

11

y

dy

dx x= + ln

1 1

y

dy

dx x

x x= + ln




solución

Dado que la función tiene forma de producto, al usar la fórmula , resulta

. Para determinar la derivada que quedó indicada, es decir

, se procede como sigue: le damos un nombre a la expresión (sen( x)) x para poder aplicar

el método. Llamémosle y1, de modo que y

1 = (sen( x)) x. Ahora, aplicando logaritmos naturales en am-

bos lados de la ecuación (paso 1), resulta ln y1 = ln(sen( x)) x; y usando la propiedad para el logaritmo de

una potencia, tenemos que ln y1 = xln(sen( x)). Continuamos aplicando el método de diferenciación im-

plícita (paso 2), y obtenemos . Al despejar y1, resulta y

1 = [ x cot( x)

+ ln(sen( x))](sen( x)) x, donde se han sustituido , y y1 = (sen( x)) x. Finalmente, sustituyendo

y1

en y, tenemos que:

y = x[ x cot( x) + ln(sen( x))](sen( x)) x + (sen( x)) x

cos( )

( )cot ( )

x

x x

sen=

1 11

1 y

y x x

x x′ = +sensen

( )cos ln( ( ))

d

dx x x( ( ))sen

′ = + y x d

dx x x x x( ( )) ( ( )) ( )sen sen 1

d

dx uv uv vu( ) = ′ + ′

Otro uso del método.

La diferenciación logarítmica sirve también para calcular la derivada de ciertas

funciones complejas que involucran expresiones en forma de potencias, productos,

o cocientes. La introducción del logaritmo antes del proceso de derivación, da la

ventaja de un cálculo que, generalmente, es más sencillo que el empleo directo

de fórmulas básicas.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.

Calcula la derivada de la función . y x x

x= +( ) −

+2 4

2 1

2 1



solución


Aplicamos logaritmos naturales en ambos lados de la ecuación (paso 1),

Ahora, antes de derivar, usamos la propiedad ln ab = ln a + ln b en el lado derecho, y obtenemos

La raíz cuadrada en el argumento del segundo logaritmo de la derecha se puede reescribir mediante pro-

piedades de raíces y exponenciales, así tenemos que:

Usando ahora la propiedad , resulta

ln( y) = ln( x2 + 4) + ln(2 x − 1)1/2 − ln(2 x + 1)1/2

Para concluir la simplificación de esta expresión, empleamos la propiedad lnab = bln a en los dos últimos

logaritmos, y queda .

Finalmente, derivamos término a término (paso 2) y obtenemos

Al despejar y, resulta , de aquí,

.′ =+

+−

−+

+( ) −

+ y

x

x x x x

x

x

2

4

1

2 1

1

2 14

2 1

2 122

′ =+

+−

−+

y x

x x x y

2

4

1

2 1

1

2 12

1 1

42

1

2

1

2 12

1

2

1

2 12

2 y y

x x

x x′ =

+ +

− −

+( ) ( )

ln( ) ln ln( ) ln( ) y x x x= +( ) + − − +2 41

2

2 11

2

2 1

ln ln lna

ba b

= −

ln ( ) ln ln( )

( )

/

/ y x

x

x= +( ) +

−+

21 2

1 24

2 1

2 1

ln ( ) ln ln y x x

x= +( ) +

−+

2 42 1

2 1

ln ( ) ln y x x

x= +( )

−+

2 42 1

2 1




1. Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué es una función implícita? Descríbela con tus propias palabras (no reproduzcas la definición da-

da).

b) ¿Qué diferencia hay entre una función expresada en forma explícita y otra dada en forma implícita?

c) Sea F ( x, y) = c una ecuación que define dos o más funciones implícitas y = f ( x). ¿Puede la gráfica

de esta ecuación tener dos o más rectas tangentes distintas, en un mismo valor de la variable x? Justi-

fica tu respuesta.

2. En cada inciso, supón que y = f ( x) queda definida implícitamente por las ecuaciones dadas. Determina

.

a) xy = 5 x2 − 4 y2 d) e4 y − 2 x = ln y

b) x2 y3 + x − 2 = 6 y − 4 xy e)

c) f)

3. Calcula para las funciones definidas implícitamente por las ecuaciones.

a) x3 + y3 = 1 b) y2 − xsen x = 0, en el punto (π , 0).

4. Realiza lo que se indica en cada inciso.

a) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones dadas implícitamen-

te en los puntos indicados. En cada caso, traza las gráficas en un mismo plano con algún software

computacional (la gráfica de la ecuación dada y su recta tangente).

i) x5 y2 + 4 = xy3; (1, 2)

ii) 2 x3 + y3 − x2 y = 1; (2, −3)

iii) La lemniscata de Bernoulli ( x2 + y2)2 = 4 xy; (1, 1)

iv) La cisoide de Diocles 2 y2 − xy2 = x3; (1, 1)

b) Halla los puntos del folium de Descartes x3 + y3 = 9 xy, en donde existan rectas tangentes horizon-

tales. Apoyándote en algún software, traza la gráfica del folium y las rectas tangentes en los puntos

hallados.

c) Se dice que dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en sus puntos de

intersección. Determina si las curvas siguientes son ortogonales. Dibuja las curvas y las rectas tan-

gentes en un mismo plano. Usa alguna herramienta computacional, si es necesario.

i) xy = 1; x3 = 3 y ii) 2 x2 + 3 y2 = 5; y2 = x3

d ) Determina las ecuaciones de dos rectas que pasen por el origen y que sean tangentes a la curva x2 −4 x = −( y2 + 3).

d y

dx

2

2

sen3 2 1( ) xy y+ = y x x

x x

2

2

13 0

0 3

= − − ≤ <

≤ ≤

,

,

x

x y y

− = +2 3

dy

dx





5. Aplica diferenciación logarítmica para hallar la derivada de la función indicada.

a) y = (sen x3) x + 1 d ) y = tan2(ln x) x − 2 x

b) y = x2 − (ln x)cos x e)

c) f)

6. Aplica el método de diferenciación logarítmica para deducir la forma general de la derivada de y = uv,

donde u = f ( x) y v = g( x).

7. Usa la fórmula encontrada en el problema anterior para calcular la derivada de las funciones siguientes.

a) f ( x) = (cos x)sen x b) g x x

x

( ) = +

11

g x e x

x

x( ) ln( )

( )

/

/ = +

++

42

7

3 2

2 4 3sen f x

x

e

x

x( )

( )=

+2 1

y x

x= −

+( )

( )

3

4

2

33

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve lo que se te propone a continuación.

1. Contesta las preguntas planteadas en la situación con que iniciamos esta sección, “Curvas

famosas”. Usa una herramienta computacional para graficar el astroide y las rectas tangen-

tes encontradas en un mismo plano.

2. Supongamos que la ecuación de Van der Waal (comentada en la introducción de esta sec-

ción), para un gas determinado, es .

Considerando el volumen V como función de la presión P, usa diferenciación implícita pa-

ra calcular la razón de cambio del volumen del gas respecto a la presión, cuando V = 1.

¿Qué significa el valor obtenido?

3. Muestra que la gráfica de x3 + y3 + 1 = 3 xy no tiene puntos en donde la recta tangente sea

horizontal. Explica por qué la gráfica de esta ecuación consiste sólo en la recta y = − x − 1,

y el punto aislado (1, 1).

4. Ecuaciones diferenciales.

Muchos problemas del mundo real, tales como el crecimiento poblacional, la contamina-

ción por radiactividad, el comportamiento de los componentes de un circuito eléctrico, el

análisis de las vibraciones en el movimiento de las alas de un avión, etc., se modelan con

un tipo muy especial de ecuaciones, llamadas ecuaciones diferenciales. Una ecuación di-

ferencial es, simplemente, aquella que contiene derivadas o diferenciales en su estructura.

PV

V +

− =3

0 01 5 942

( . ) .




Por ejemplo, la derivada implícita obtenida en el ejemplo 1, es decir , es una ecuación

diferencial, puesto que contiene una derivada en su estructura. En general, lo que resulta al

derivar una función explícita o una ecuación que define una o más funciones implícitas, essiempre una ecuación diferencial. Por otra parte, encontrar la solución de una ecuación di-

ferencial, significa hallar una función (dada en forma explícita o implícita) que satisfaga la

ecuación, es decir, que al sustituir esa función y sus derivadas en la ecuación diferencial, re-

sulte una identidad. Para el ejemplo 1 mencionado, la ecuación x − 1 = y2 es una solución

implícita particular de la ecuación diferencial porque al derivarla implícitamente,

resulta precisamente, la ecuación diferencial (como se mostró en ese ejemplo). Si usas estos

conceptos sobre las ecuaciones diferenciales y lo que significa resolverlas, compruebas que

el folium de Descartes x3 + y3 = 3cxy (c constante), es una solución implícita de la ecuación

diferencial .

5. Velocidad de escape.

La relación entre la velocidad v de una partícula proyectada verticalmente fuera de la Tie-

rra (en dirección de su radio) y la distancia r que recorre, está dada por la ecuación

En esta ecuación, g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, R es

el radio de la Tierra, y v0, es la velocidad inicial de la partícula.

a) Analiza la ecuación y deduce que la velocidad mínima para que la partícula escape de

la atracción gravitacional de la Tierra, está dada por . Esta velocidad es la lla-

mada velocidad de escape.

b) Calcula la velocidad de escape de la Tierra, si su radio mide aproximadamente 3960 mi-

llas y la gravedad g es, también aproximadamente, 32.16 pies por segundo.

c) Determina una ecuación para la aceleración de la partícula respecto a la distancia varia-

ble r (recuerda que a = dvdt y v = dr dt ).

d ) Usa la ecuación obtenida en el inciso anterior para determinar la aceleración de una par-

tícula que se aleja de la Tierra, justo cuando está a 100 millas de altura.

Aclaremos que, cuando la partícula se conceptualiza como un cohete de propulsión espa-

cial, se deben considerar factores como la resistencia del aire en las primeras millas del lan-

zamiento. En este caso, los métodos usados para el análisis están más allá de los alcances

de este libro.

v gRe

= 2

v gR

r v gR2

2

022

2= + −

x y x dy

dx y y x( ) ( )2 2 03 3 3 3− − − =

dy

dx y=

1

2

dy

dx y=

1

2




1. Indica la opción que corresponde a la derivada dydx de la función y = f ( x), dada implícita-

mente por la ecuación x2 − xy = 7 − y2.

a) c)

b) d )

2. Halla la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto dado.

x2 cos2 y = sen y; (0, π )

3. Determina la derivada de la función f (t ) = t (t + 1)

t

− t .

4. Usa diferenciación implícita para calcular la derivada de y .

5. En la columna B, encuentra las derivadas dydx de las

ecuaciones que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii. dy

dx

xy y

x=

−2

dy

dx

x

e

e

x e x

= +

( )

ln ln ln

dy

dx x e

x x= ( )2

dy

dx= 1

dy

dx y y=

1

2sen cos

dy

dx

x

ee x e

x x= +

( )

2

2(ln )( )

dy

dx x y

=+1

1

2

1

2

dy

dx y=

12cos

y x x

x x=

+ ++ +

( )( )

( )( )

1 2

1 22 23

dy

dx

x y

y x=

−+2

2 2

dy

dx

x y

y x=

−−2

dy

dx

y x

y x=

−−2

2

dy

dx

x y

y x=

−+

2

2

a) y = (e x) x

b) sen2 y = x

c)

d ) y = eln x

x y+ = 1




Respuestas a los


2. a) d )

b) e)

c) f )

3. a)

b) ; en (π , 0) no está definida.

4. a) i) ; iii)

ii) ; iv) y = − x + 2

b) El folium de Descartes tiene una recta tangente horizontal en el punto .

c) i) Sí son ortogonales. Hay dos puntos de intersección, y , y en ambos, las

pendientes de las rectas tangentes son recíprocas y de signo contrario, y .

ii) Sí son ortogonales, se intersecan en los puntos (1, 1) y (1, −1). En ambos, las pendientes de las rec-

tas tangentes son recíprocas y de signo contrario.

d)

5. a) y = C(3 x3 + 3 x2)cot x3 + ln(sen x3D(sen x3) x+1

b)

c)

d) ′ = +

y x x x

x x x x x212tan(ln ) sec (ln )

lnln(ln ) (ln )

′ =+

+ + + +

f x

x x x

x

e

x

x( )

( ) ln( )2 2

221 2

11 1

′ = − −

y x x

x x x x x x2

cos

ln( ) ln(ln ) (ln )cossen

y x y x1 2

3

3

3

3= =

−;

m2 3=m1 13

= −

( , )− −3 1 34 4( , )3 1 34 4

( , )3 2 3 43 3

y x+ = − −3 23623

( )

y x+ = − −3 23623

( ) y x= +12

12

d y

dx

x x x x x

x x

2

2

2 2 2

32

2 1

4=

− − +sen sen

sen

( )

( )

d y

dx

x xy

y

2

2

4 3

5

2 2=

−

dy

dx

y xy xy

xy xy xy xy=

+ −

3

2 1 6

2 2 2 2

3 2 2 2 2

sen

sen sen

( )cos( )

( ) ( )cos( )

dy

dx

x

x x

x

=−

− ≤ <

≤ ≤

2

3 0

1 0 3

2,

,

dy

dx

y

x y x y=

− −2 2( )

dy

dx

xy y

x y x=

− + ++ −

( )2 4 1

3 4 6

3

2 2

dy

dx

y

ye y=

−2

4 14

dy

dx

x y

x y=

−+

10

8




e)

f)

6.

7. a)

b) dy

dx x x x x= −

+ + +

+1

11 1 1 1ln( ) ( ) .

dy

dx x x x x x

x= − +[ ]sen sentan cos ln cos (cos ) .

dy

dx

v

u

du

dxu dv

dxu

v= +

ln

′ = ++

−+

g x x e x x

x x

x( ) (cos )( )

4 34 2

83 212

sen

′ =−

−+

−+

y x x

x

x

2

3 9

1

4

3

4

23 ( )

1. La opción correcta es la c).

2. y = π .

3. .

4. .

5. a) vi; b) iv; c) viii; d) v.

dy

dx

y

x x

x

x

x

x=

+ +

+ −

+ −

+

3

1

1

1

2

2

1

2

22 2

′ =+

+ +

+ + + − f t t t

t t t t

t t ( ) ln( ) ( ) ( )1

1 1 1 1



Unidad

Aplicacionesde la derivada

Introducci n a la unidad

ontenido de la unida

6.1 Aplicaciones de las rectas tangente

. azones e cam io re aciona as

Durante el siglo XVIII, las contribuciones matemáticas fueron de tal magnitud que el aspecto de la ciencia se mo-dificó hasta el punto en que su estructura se hizo casi irreconocible. En un breve periodo que abarca alrededorde 250 años se lograron mayores avances que los ocurridos durante 5 mil años, desde los días de los antiguosegipcios. Hoy día no hay duda de que uno de los detonantes de esta explosión de la ciencia fue la invención delCálculo.

Una retrospectiva de su historia revela que el entusiasmo suscitado por el éxito de la aplicación del Cálculo en la

mecánica de Newton, provocó el nacimiento de problemas apasionantes que impulsaron de manera considerable la crea-

ción de nuevos trabajos y descubrimientos. Aunque es probable que la presentación actual de los temas tradicionales

del Cálculo en los libros de texto haga pensar al lector neófito que el desarrollo de esta herramienta fundamental de

la ciencia se desarrolló dentro una secuencia de ideas con vínculos puramente lógicos de poca utilidad, la realidad

histórica nos convence justamente de lo contrario: su desarrollo y el interés que originó en connotados científicos se

relaciona en todo caso con el convencimiento de su utilidad. En efecto, habiendo formulado problemas físicos y geo-

métricos, los creadores del Cálculo y sus sucesores se pusieron a trabajar y, atentos a su eficacia, manipularon las fór-mulas y encontraron valiosas conclusiones. A menudo se sirvieron de la física para verificar sus conclusiones y jus-

tificar ciertos procesos. Sin embargo, esos matemáticos estaban conscientes de la necesidad de las demostraciones y

de la falta de rigor de sus procedimientos; pero como las tentativas emprendidas para clarificar el Cálculo resultaron

infructuosas, los matemáticos del siglo XVIII (y parte del XIX) no pudieron dejar de escoger la vía de las aplicacio-

nes y prefirieron construir, elaborar e inventar, más que asegurar las bases lógicas del nuevo instrumento.

En la actualidad, las bases teóricas del Cálculo han quedado bien establecidas y sus potenciales usos no sehan agotado: se aplica con éxito en disciplinas tan ajenas entre sí que difícilmente se podría imaginar que éstas



pudieran utilizar una herramienta en común. Por ejemplo, en medicina existen modelosdentro de la farmacología que permiten estudiar cómo se asimila una sustancia en elcuerpo; en las ciencias sociales, el Cálculo ha permitido que la demografía establezcapronósticos poblacionales; permite hallar y analizar curvas de aprendizaje de individuos

y organizaciones en la psicología; en el ámbito de la economía, estudia las variacionesde funciones de utilidad en términos de los factores de producción que las afectan; en lasfinanzas, se utiliza, por ejemplo, para calcular el interés compuesto y la amortización depréstamos; en epidemiología se estudia la propagación de una enfermedad o de una bac-teria y, en mercadotecnia, el impacto que puede tener un producto en las ventas dentrode un mercado. En cuanto a las ciencias exactas, como la física y la ingeniería en general,le deben a su invención no sólo aplicaciones esporádicas sino que, más allá de esto,sobre el Cálculo descansan muchas de sus concepciones, teorías y procedimientos.

Te invitamos a recordar lo que sobre las aplicaciones del Cálculo se ha señalado encapítulos anteriores, sin embargo, lo mejor está por venir. A partir de este capítulo se pre-sentan los resultados más importantes que sobre esta teoría ha desarrollado lo mejor dela inteligencia humana.

308 Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

6.1 Aplicaciones

de las rectas tangente

y normal

Las matemáticas comparan los más

diversos fenómenos y descubren

las analogías secretas

que los unen.

Joseph Fourier

Accidentes en montañas rusas

Viajar en las montañas rusas es una de las atracciones favoritas de adolescen-tes y adultos, tal vez porque se sienten aceleraciones extremas durante todo elrecorrido. Podrías pensar que es un juego mecánico con muchos riesgos yque, por lo tanto, es común que se presenten accidentes. Esto no es así; los in-genieros y diseñadores de las montañas rusas toman toda clase de precaucio-nes y suelen construir montañas muy seguras, tanto que estadísticamente esmucho más probable sufrir un accidente al tomar una curva en carretera que

en una montaña rusa.Sin embargo, los riesgos existen, y en los últimos años ocurrieron dos acci-dentes graves. El primero sucedió en 1999 en el Lago Darién, cuando un viaje-ro de 180 kilogramos no cerró correctamente su arnés y en el trayecto estuvo apunto de soltarse. El segundo ocurrió en una montaña rusa de Nueva Inglate-rra en 2004, allí desafortunadamente un hombre murió al salir despedido de lamontaña rusa. Otro riesgo, quizá aún mayor, apareció documentado en un re-porte de octubre de 2005. En él se indica que algunas personas podrían sufrir

FIGURA 1. Sección de una montañarusa.



Supón que la gráfica a) de la figura 2 representa una sección de una montañarusa (Six Flags de México) y que se quiere realizar una simulación de posiblesaccidentes. Supón además que los vagones corren con una rapidez promedioconstante de 120 km/hora. Si una persona puede sufrir un accidente en cualquierpunto,

a) ¿En qué dirección saldría despedida la persona?b) ¿Cuánto tiempo tardaría en llegar al suelo?

c) ¿A qué velocidad?

Desde luego que la situación anterior es una aproximación, pues la rapidez de losvagones depende de la posición. Supón ahora que la gráfica b), en la figura 2, re-presenta la velocidad en términos de la distancia x al punto de partida. Con estainformación responde nuevamente las preguntas anteriores.

Existen, por otro lado, dos tipos de aceleraciones: la aceleración tangencial,que produce el cambio de la rapidez, y la aceleración centrípeta, que está asociadaa los cambios de dirección. Usa la gráfica b) para estimar la aceleración tangen-cial. ¿Cómo se compara con la aceleración de la gravedad g = 9.8m/s2?

3096.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

x

a10 20 30 40 50 0 70 80

x

1

1

2

2

3

b

7

4

3

2

1

1 2 3 4 7

FIGURA 2. En la figura a) se muestra una gráfica de la altura contra la posición en una sección de la montaña rusa. En lafigura b) se muestra la rapidez (magnitud de la velocidad) que lleva un tren típico contra la posición.

trastornos cerebrales producidos por las altas aceleraciones a las que se ven some-tidas en las montañas rusas (http://www.biausa.org/Pages/blue_final_report. html,visitado en octubre de 2005).

Introducción

Dos de las competencias más importantes de las pruebas de campo en elatletismo son los lanzamientos de disco y del martillo. Las dos tienen susorígenes en la Grecia clásica y son las pruebas de lanzamiento más antiguasconocidas. La primera de las pruebas consiste en girar sobre sí mismo soste-



Recta tangente

En el capítulo 4 mostramos que la derivada f

(a) se interpreta como la pendiente de larecta tangente a la curva y = f ( x) en x = a. Más aún, encontramos que:


niendo un disco con borde y centro de metal, después de adquirir alguna ve-locidad de giro, se extiende el brazo y se suelta el disco. En la segunda prue-ba también se gira sobre uno mismo y al terminar se suelta el martillo (una

bola de metal sujeta a un cable). En ambas pruebas se gira para obtener la ma-yor velocidad angular w posible, y se estiran los brazos para tener el mayorradio de giro r . El disco (o el martillo) se moverá, después de ser soltado, enla línea tangente al círculo descrito al girar con velocidad v = wr . Desde lue-go que los atletas consideran todavía el ángulo en que debe salir el disco pa-ra obtener el mayor alcance posible. Esta situación te muestra una posibleaplicación de la recta tangente a una curva y la importancia de su estudio.

Objetivos


a) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,en un punto de la curva.

b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,que pasan por un punto que no pertenece a la curva.

c) Aplicar la ecuación de la recta tangente, vista como aproximación li-neal de curvas, a problemas prácticos.

d ) Aplicar los métodos de Newton y de la secante para determinar raí-ces de ecuaciones.

e) Aplicar el método de Euler para determinar la posición de partículasa partir de la velocidad.

En un primer

momento, el

deportista se

concentra y

mueve el disco

hacia adelante

y hacia atrás.Los brazos y

hombros están

relajados.

FIGURA 3. Las ilustraciones muestran los movimientos en el lanzamiento delmartillo y del disco.

La ecuación de la recta tangente es: y = f (a) + f (a)( x − a)

A esta ecuación también se le conoce como aproximación lineal de la función y = f ( x) en x = a.

La rotación

del cuerpoes clave para

un buen

lanzamiento.



Es posible definir una recta perpendicular a la recta tangente que cruza la curva en elmismo punto (a, f (a)). Para determinar la ecuación de esta segunda recta, que llamaremosrecta normal, recordemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculareses igual a −1. Es decir, la pendiente de la recta normal se relaciona con la pendiente de

la recta tangente por medio de:

Ahora es fácil determinar la ecuación de la recta normal, pues contamos con la pen-diente mnor y un punto (a, f (a)) por donde cruza. Obtenemos así que:

mm f a

f anor = −

= −

≠1 1

0tan ' ( )

; ' ( )


La ecuación de la recta normal es: y f a

f a

x a f a= − −( ) ≠( )

' ( )

; ' ( )1

0

En la figura 4 se muestran la curva y las rectas tangente y normal en un punto.

(a, f (a))

Recta normal

Recta tangente

x

y

FIGURA 4. Las rectas tangente y normal a una curva en un punto ( a, f (a)).

Nota.

• En el caso f (a) = 0, las ecuaciones de las rectas tangente y normal son y = f (a) y x =a, respectivamente.

• En el caso f (a) = ∞, se tiene que x = a es la ecuación de la recta tangente y y = f (a)es la ecuación de la recta normal.




Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 3 x + 2, que es paralela a la recta y = 5 x + 3.

En la figura 5 se muestran tanto la parábola como la recta. Por cada punto de la parábola se tiene unarecta tangente. ¿Cuál de estas rectas es la que buscamos?

y y

a b

x

x

15

12

1

2

0. 1 1.5

1

1

FIGURA 5. En la gráfica a) se muestran la curva y la recta proporcionadas. En la gráfica b) se muestran algunasrectas tangentes a la curva.

Para responder a la pregunta, buscamos la recta tangente que tiene pendiente m

=5, ya que éste es el

valor de la pendiente de la recta proporcionada. Como sabemos que la derivada es la pendiente de larecta tangente en cualquier punto, tenemos que:

Igualando la pendiente de las dos rectas obtenemos:

El valor de la ordenada y se obtiene al sustituir el valor hallado x = 1 en la ecuación original. Es decir,

y = (1)2 + 3(1) + 2 = 6.Finalmente, la ecuación de la recta tangente se obtiene al sustituir los datos obtenidos en y = f (a) +

f (a)( x − a). En nuestro caso, se tiene que:

En la figura 6 se muestran tanto la gráfica de la curva como las dos rectas.

y x

y x

= + −= +

6 5 1

5 1

( )

2 3 5

5 3

21

x

x

+ =

= −

=

;

m d x x

dx xtan

( ).=

+ += +

2 3 22 3




solución

y

x

12

10

8

6

4

2

0.5 1 1.5 2

FIGURA 6. En la gráfica se muestran la curva, la recta proporcionada y la recta tangente obtenida.

Ejemplo 2.

Determina la ecuación de la recta normal a la curva y = e−4 x, que es perpendicular a la recta 2 y + 4 x +3 = 0.

Primero, calculemos la derivada de la función. En este caso, tenemos que:

Despejando la variable y en la ecuación de la recta dada se tiene que:

Identificamos la pendiente de esta recta con el coeficiente de la variable x, y tenemos que m = −2. Es-ta recta y la recta normal son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es −1. Es decir,

Por lo que basta con igualar la pendiente de la recta dada con la derivada de la función. Obtenemos en-tonces que:

−2 = −4e−4 x

Despejando x obtenemos:

La ordenada del punto de tangencia es y la pendiente de la recta normal es . Así que,la ecuación de la recta normal es:

y x= + −

1

2

1

2

2

4

ln( )

mnor =1

2 y = 1

2

e

x

x− =

= − =

4 1 2

14

1 2 24

/

ln( / ) ln( )

m m

mm

m

*

tan

nor

nor

= −

= −

=

1

1

y x= − −23

2

dy

dxe

x= − −4 4




solución

Ejemplo 3.

¿Para qué valor de x las curvas y1 = x3 + x2 − 3 x + 2 y tienen rectas tangentes

paralelas? Encuentra las ecuaciones de dichas rectas.

Como las rectas tangentes buscadas deben ser paralelas, igualamos las derivadas de las dos funcionesdadas y obtenemos que:

3 x2 + 2 x − 3 = 2 x2 + 4 x + 5

Simplificando

x2 − 2 x − 8 = 0,

las raíces de esta ecuación son: x1 = −2 y x2 = 4.Para la raíz x

1 = −2 se tiene:

Curva

y1 = x3 + x2 − 3 x + 2

Ordenada del punto de tangencia

y1 = (−2)3 + (−2)2 − 3(−2) + 2 = 4

Pendiente de la recta tangente

mtan = 3(−2)2 + 2(−2) − 3 = 5 mtan = 2(−2)2 + 4(−2) + 5 = 5

Ecuación de la recta tangente

y = 4 + 5( x + 2)

Para la raíz x2 = 4 se tiene:

Ordenada del punto de tangencia

y1 = (4)3 + (4)2 − 3(4) + 2 = 70

Pendiente de la recta tangente

mtan = 3(4)2 + 2(4) − 3 = 53 mtan = 2(4)2 + 4(4) + 5 = 53

Ecuación de la recta tangente

y = 70 + 53( x − 4)

En la figura 7 se muestran las curvas y las rectas tangentes obtenidas.

y x= + −263

353 4( )

y23 22

34 2 4 5 4 7

263

3= + + − =( ) ( ) ( )

y x= − + +43

35 2( )

y23 22

32 2 2 5 2 7

43

3= − + − + − − = −( ) ( ) ( )

y x x x23 22

32 5 7= + + −

y x x x23 22

32 5 7= + + −




solución

Ejemplo 4.

Juan toma una cuerda de un extremo y la hace girar en un plano paralelo al piso, la cuerda sujeta unapelota de goma en su otro extremo. Si el radio de giro de la pelota es de dos metros y Juan la sueltacuando pasa por el punto , ¿en qué dirección sale disparada la pelota?

La pelota se mueve sobre el círculo x2 + y2 = 4; después de que Juan suelte la pelota, ésta se moverá so-bre la recta tangente y empezará a caer por efecto de la gravedad. Para determinar la ecuación de la rec-ta tangente, despejamos la variable y y obtenemos:

Ahora, derivamos esta función y calculamos la pendiente de la recta tangente en , y tenemosentonces que:

Concluimos que la pelota sale disparada sobre la recta

y x x= − − = −2 2 2 2( ) .

m dy

dx

x

x x x

tan = = −

−=

−−

= −= =2

224

2

4 21

x = 2

y x= −4 2

2 2,( )

y

x

150

125

100

75

50

25

–25–4 –2 2 4 6

FIGURA 7. Rectas tangentes a las curvas dadas en los puntos x = −2 y x = 4.

El método de Newton

Una aplicación útil de la recta tangente es el cálculo de las raíces de ecuaciones. Supónque quieres determinar la raíz de la ecuación y = f ( x) y que x0 es un valor cercano a laraíz. La ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es:

y = f ( x0) + f ( x0)( x − x0)



Si f ( x0) ≠ 0, entonces el punto donde la recta corta el eje horizontal tiene coordena-das ( x1, 0). Al sustituir en la ecuación anterior, se tiene que:

0 = f ( x0) + f ( x0)( x1 − x0)

Despejamos x1 y obtenemos:

En la figura 8a se muestran la curva, los puntos ( x0, f ( x0)), ( x1, 0), y la recta tangenteque los une. El valor que obtuvimos para x1 es una primera aproximación a la raíz de laecuación, repetimos nuevamente el proceso para obtener una segunda aproximación x2,y se cumple entonces que:

Una tercera aproximación, siguiendo el mismo proceso, nos lleva a

x x f x

f x3 2

2

2

= −( )

( )

x x f x f x

2 1 1

1= − ( )( )

0 0 0 1 0

0 1 0 0

1 00

0

= + −

− = −

= −

f x f x x x

f x x x f x

x x f x

f x

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( )


x3, 0

x1, 0

x0

, f x0

x1

, f x 1

x2, 0

x2, f x

2

a) b)

c)

FIGURA 8. Proceso para determinar una raíz de una ecuación utilizando el método de Newton, basado en la rectatangente.



En general se tiene el siguiente método, debido a Newton, para determinar solucio-nes de ecuaciones.


Método de Newton

Para determinar una raíz de la ecuación f ( x) = 0 se realizan los siguientes pasos:

a) Hacer una estimación inicial x0 de la raíz.

b) Calcular una sucesión de aproximaciones mediante la relación de recurrencia

c) Calcular . Si esta cantidad es menor que la precisión deseada,

terminamos el proceso y la raíz es xn+1, en caso contrario seguimos calculan-

do aproximaciones.

| | x xn n+ −1

x x f x

f xnn n

n

n+ = − =1 0 1 2 3

( )

( ); , , , ,

K

Cuando el proceso lleva a una raíz lo hace con pocas repeticiones. Sin embargo,para que el método proporcione buenos resultados se requiere que la ecuación tenga so-lución, que el valor inicial esté cerca de la raíz buscada y que la derivada no se anule enel proceso. En la figura 9 se muestran dos casos donde el método falla.

FIGURA 9. Casos en donde falla el método de Newton. En el primero no existe la raíz y en el segundo el puntoinicial está muy lejos de la raíz.

Conocer la derivada de f ( x) es fundamental en el método de Newton. En los casos enque su cálculo sea difícil, es recomendable utilizar su aproximación numérica.

Obtenemos entonces el método de la secante.

f x f x f x

x xn

n n

n n

( )( ) ( )

= −

−−

−

1

1




Método de la secante.

Para determinar la raíz de la ecuación f ( x) = 0 se realizan los siguientes pasos:

a) Hacer dos estimaciones iniciales x0 y x1 de la raíz.

b) Calcular una sucesión de aproximaciones mediante la relación de recurrencia

c) Calcular . Si esta cantidad es menor que la precisión deseada,terminamos el proceso y la raíz es x

n+1, en caso contrario seguimos calculan-do aproximaciones.

| | x xn n+ −1

x x f x x x

f x f xnn n

n n n

n n+

−

−= −

−( )−

=11

1

1 2 3( )

( ) ( ); , , ,K

Ejemplos

solución

Ejemplo 1.

Determina la única raíz real de la ecuación y = x3 − 5 x2 + x + 20 por medio del método de Newton.

La figura 10 muestra la gráfica de la función. Aquí, observamos que existe una raíz real en el intervalo(−2, 0). Así que, elegimos nuestra primera estimación de la raíz como x0 = −1.

3

1

–1

x

r f ica de y = x3 x2 x + 2

FIGURA 10. La gráfica de y = x3 − 5 x2 + x + 20. Observa que existe una raíz cerca de x = −2.

Para continuar necesitamos la derivada de la función, su cálculo nos lleva a:

f ( x) = 3 x2 − 10 x + 1

De acuerdo con el método, obtenemos una segunda aproximación usando la relación de recurrencia:




solución

Calculamos ahora x2:

El cálculo para x3 es similar:

Finalmente, la cuarta aproximación de la raíz es:

Ésta es una muy buena aproximación de la raíz, ya que x3 y x4 coinciden en sus tres primeras cifras de-cimales.

Ejemplo 2.

Determina el punto donde la recta tangente a la curva y = e2 x + x2 e−3 x es paralela al eje x.

La pendiente de la recta tangente buscada debe ser cero, así que la derivada de la función debe igualar-se a cero. Como la derivada de la función es

dy

dxe xe x e

x x x= + −− −2 2 32 3 2 3 ,

x f

f

4

3 2

2

1 659751 65975

1 65975

1 659751 65975 5 1 65975 1 65975 20

3 1 65975 10 1 65975 1

1 65952

= − − −

−= − −

− − − + − +− − − +

= −

.( . )

( . )

.( . ) ( . ) ( . )

( . ) ( . )

.

x f

f 3

3 2

2

1 683731 68373

1 68373

1 683731 68373 5 1 68373 1 68373 20

3 1 68373 10 1 68373 1

1 65975

= − − −

−

= − − − − − + − +

− − − += −

.( . )

( . )

.( . ) ( . ) ( . )

( . ) ( . )

.

x f

f 2

3 2

2

1 928571 92857

1 92857

1 928571 92857 5 1 92857 1 92857 20

3 1 92857 10 1 92857 1

1 68373

= − − −

−

= − − − − − + − +

− − − +

= −

.( . )

( . )

.( . ) ( . ) ( . )

( . ) ( . )

.

x x f x

f x

f

f

1 00

0

3 2

2

11

1

11 5 1 1 20

3 1 10 1 1

1 92857

= −

= − − −

−

= − − − − − + − +

− − − += −

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

.




0.0 −1.69145 21.0816

−0.333333 −0.28672 14.4065

−0.2531 −0.127045 13.153

−0.233198 −0.0000277137 13.0957

−0.23223 −1.32547 x10−10 13.0956

Tabla 1 Aproximaciones a la raíz de la

ecuación 2e2x − 2xe−3x − 3x2e

−3x = 0.

solución

se tiene que resolver la ecuación:

2e2 x + 2 xe−3 x − 3 x2e−3 x = 0.

Para aplicar el método de Newton, identificamos la función f ( x) = 2e2 x + 2 xe−3 x − 3 x2 e−3 x. Al calcularsu derivada obtenemos:

f ( x) = 4e2 x + 2e−3 x − 12 xe−3 x + 9 x2e−3 x

Considera ahora como punto inicial a x0 = 0. Nuestra primera aproximación es:

La segunda aproximación queda como sigue:

En la tabla 1 puedes observar la tercera y la cuarta aproximación, y el valor de la función en cada unade ellas. Claramente el proceso nos conduce a una raíz.

Ejemplo 3.

Usa el método de la secante para determinar el punto donde se intersecan las curvas y = x2 + e2 x − 1 y y = 3cos( x).

En la figura 11 mostramos las gráficas de las dos curvas. Observa que un punto de intersección está enel intervalo (0, 1), donde se satisface la condición

Para aplicar el método de la secante, considera la función f ( x) = x2 + e2 x − 1 −3 cos( x) y las dos prime-ras aproximaciones, x0 = 0 y x1 = 1. Para obtener la tercera aproximación, usamos la fórmula del método.

x x f x x x

f x f x

e

e.2 1

1 1 0

1 0

2

2

3 1

3 1 30 342147= −

−( )−

= −−( ) − −( )

=( )

( ) ( )

cos( )

cos( )

x e x

x e x

x

x

2 2

2 21 3

1 3 0+ − =

+ − − =cos( )

cos( )

x x f x

f x

f

f 2 1

1

1

1

3

1 3

1 30 253100= − = − −

−−

= −( )

( )

( / )

' ( / ).

x x f x

f x

f

f 1 0

0

0

00

0

2

60 333333= − = − = − = −

( )

( )

( )

' ( ). .




En la tabla 2 se muestran los resultados de las siguientes aproximaciones. La séptima aproximación tie-ne cuatro cifras decimales correctas. La segunda raíz se encuentra en el intervalo (−2, −1) y en la tabla3 se muestran las aproximaciones obtenidas empezando con x0 = −2 y x1 = −1.

n x

2 0.342147 −0.712733

3 0.493705 0.208829

4 0.600495 −0.0167166

5 0.576322 −0.000348636

6 0.578114 6.0085 x107

7 0.578152 6.56542 x108

Tabla 2 La primera raíz del

ejemplo 3.

n x n

2 −1.25826 0.0296377

3 −1.31266 −0.000426766

4 −1.30706 −6.723 x10−7

5 −1.30714 0

Tabla 3 La segunda raíz del

ejemplo 3.

10

8

6

4

2

–2

–3 –2 –1 1 2 3

y

x

FIGURA 11. Las dos curvas del ejemplo 3 y sus puntos de intersección.

El método de Euler

Supón que tienes un automóvil que se mueve con velocidad constante v0, entonces, suposición en todo tiempo está dada por:

x = x0 + v0t ,

donde x0 es la posición inicial del automóvil. La fórmula anterior es válida sólo cuan-do la velocidad es constante. Cuando la velocidad no es constante, puedes estimar laposición en cualquier tiempo si haces algunas suposiciones. Primero, considera que enel pequeño intervalo (0, t 1) la velocidad se mantiene constante. Eso claramente no escierto, pero si el intervalo es realmente pequeño puedes esperar un error insignificante.Supón entonces que, en ese primer intervalo, la velocidad casi no cambia y es igual a



v(0). En ese caso, podemos estimar la posición final x1 por medio de la relación

x1 = x0 + v(0)t 1

Si el automóvil se mueve en un segundo intervalo de tiempo ( t 1, t 2), que nuevamenteconsideramos pequeño, con velocidad aproximadamente igual a v(t 1), entonces podemosestimar la posición final x2 con:

x2 = x1 + v(t1)(t 2 − t 1)

En general obtenemos, si se sigue este proceso, que el automóvil se mueve con velo-cidad v(t

n−1) en el intervalo (t n− 1, t n) y que la posición final x

nes:

xn = x

n−1 + v(t n−1)(t n − t

n−1)

Es decir, se puede reconstruir numéricamente a la función original partiendo de su de-rivada y de un valor inicial, a este procedimiento se le conoce como el método de Euler.Estamos ahora en condiciones de establecer el método en su forma más general.


Método de Euler.

Si y y( x0) = y0, entonces la curva de origen y = f ( x) se puede recons-

truir numéricamente utilizando las relaciones de recurrencia

El número h se conoce como el tamaño de paso.

x x h

y y f x x x

n n

n n n n n

+

− − −

= +

= + −( )

1

1 1 1( )

dy

dx f x= ( )

Nota.

a) Para obtener buenos resultados es indispensable utilizar tamaños de paso peque-ños, ya que el error en el método se propaga en cada paso.

b) La relación de recurrencia para la variable dependiente y se puede identificarclaramente como la ecuación de la recta tangente a la curva y = f ( x) en el pun-to ( x

n−1, f ( x n−1)).

c) El método puede generalizarse para determinar las curvas que satisfacen

y y( x0) = y0 con sólo utilizar las siguientes relaciones de recurrencia:

x x h

y y g x y x x

n n

n n n n n n

+

− − − −

= +

= + −( )

1

1 1 1 1( , )

dy

dxg x y= ( , )



Ejemplos

solución


Ejemplo 1.

Un automóvil, que parte del origen y del reposo, se mueve con velocidad v(t ) = t 3 + 4t 2 m/s. Grafica laposición del automóvil en el intervalo (0, 1). Utiliza tamaños de paso iguales a 1/10 seg.

La velocidad en el tiempo t = 0 es v(0) = 0. De acuerdo al método, en el primer intervalo no hay cam-bio en la posición del automóvil. En efecto,

x1 = x0 + v(0)t 1 = 0 + 0(1/10) = 0.

La velocidad en el segundo intervalo es, usando la expresión para la velocidad proporcionada en elenunciado del problema,

v(t 1) = v(0.1) = 0.041 m/s

y la posición final es:

Para el tercer intervalo de tiempo se tiene que:

En la tabla 4 se muestran tiempos, velocidades y posiciones finales en cada intervalo. En la figura 12

se muestra la posición del automóvil en el tiempo.

x x v t t t 3 2 2 3 2

0 0041 0 168 0 2 0 1

0 0209

= + −( )

= + −=

( )

. . ( . . )

.

x x v t t t

v

v

2 1 1 2 1

0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 041

0 0041

= + −( )

= + −= ==

( )

( . )( . )

. * ( . ) . * ( . )

. m

Tiempoinicial

Tiempofinal Velocidad Posición

0 0.1 0 0

0.1 0.2 0.041 0.0041

0.2 0.3 0.168 0.0209

0.3 0.4 0.387 0.0596

0.4 0.5 0.704 0.130.5 0.6 1.125 0.2425

0.6 0.7 1.656 0.4081

0.7 0.8 2.303 0.6384

0.8 0.9 3.072 0.9456

0.9 1 3.969 1.3425

Tabla 4 El método de Euler aplicado en la determi-

nación de la posición de un automóvil que

se mueve con velocidad v(t).

1.2

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

y

x

FIGURA 12. La posición del automóvil en el intervalo(0, 1).



solución


Ejemplo 2.

En todas las escuelas de paracaidismo, es usual que el prin-

cipiante se lance junto con el instructor desde una alturaque varía de 2 mil a 3 mil metros. En ese caso, por segu-ridad, se abre el paracaídas casi inmediatamente despuésde haber saltado. Supón que dos personas, cuya masaconjunta es de 140kg, se lanzan desde una altura de 2 milmetros y que sobre ellos sólo actúa la gravedad y la resis-tencia del aire, que es proporcional a la velocidad conconstante de proporcionalidad k = 95kg/s. ¿Cuál es la ve-locidad que tienen los paracaidistas cada segundo durantelos siguientes 10 segundos, si abren el paracaídas cuandosu velocidad es de 200m/s?

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton de la mecánica clásica, las fuerzas que actúan producen unaaceleración, la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo mientras que la fuerza del aire se opone. La re-lación que satisfacen es:

De forma que, para conocer la velocidad en todo tiempo, tenemos que resolver:

vn+1 = v

n + a(t

n+1 − t n); n = 0, 1, 2…

Al sustituir el valor de la aceleración encontrada (observa que la aceleración depende de la velocidad),

obtenemos:

Si aplicamos la relación anterior para conocer la velocidad un segundo después de que se abre el para-caídas hallamos que:

Una segunda aplicación de la fórmula de Euler nos proporciona la velocidad a los dos segundos.

v v g k

mv t t 2 1 1 2 1

74 0857 9 895

14074 0857 1 0

33 6133

= + −

−( )

= + −

−

=

. . ( . ) ( )

. m / s

v v g k

mv t t 1 0 0 1 0

200 9 895

140200 1 0

74 0857

= + −

−( )

= + −

−

=

. ( ) ( )

. m / s

v v g k

mv t t nn n n n n+ += + −

−( ) =1 1 0 1 2; , , ,K

ma mg kv

a g k

mv

= −

= −

FIGURA 13. Caída de dos paracaidistas.http://www.paracaidismocelaya.com.mx/fotos/index.htm




En la tabla 5 se muestran los tiempos y las velocidades finales en cada intervalo. En la figura 14 semuestran los puntos obtenidos y la velocidad en el tiempo.

Tiempoinicial

Tiempofinal Velocidad

0 1 74.0857

1 2 33.6133

2 3 20.6043

3 4 16.4228

4 5 15.07885 6 14.6467

6 7 14.5079

7 8 14.4632

8 9 14.4489

9 10 14.4443

Tabla 5 El método de Euler aplicado en la

determinación de la velocidad de

los paracaidistas.

y

x

80

60

40

20

2 4 6 8

FIGURA 14. La velocidad de los paracaidistas en el intervalo(0, 10). Observa que la velocidad se acerca alvalor límite, ese valor se conoce como velocidad

terminal.

1. Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas dadas en los puntos indicados,grafica la curva y las rectas pedidas.

a) f ( x) = 2 x2 + 5 x − 3 en x = 2.

b) g( x) = x2 + 4 x − 3 en el punto (1, 2).

c) h( x) = x2 + 7 x + 6 en el punto (−1, 0).

d ) en el punto (1, 1).

e) en el punto dado (4, 2).

f ) h( x) = sec x − 2 cos x en el punto (π/3, 1).

g) f ( x) = x3 − 4 x2 + 2 x + 3 en x = 1.

h) en x = 2.

i) en x = 1.

j) en x = 1.

k ) en x = 1.

l) f ( x) = x3/2 − x2/3 en x = 1.

m) f ( x) = x5/3 − x7/5 en x = 0.

n) f ( x) = x5/3 − x2/5 en x = 1.

o) f ( x) = e x−5 en x = 5.

f x x

x( ) =

++

2

3

7

1

f x x x

x x

( ) = + −

+ −

2 3 4

3

2

2

f x x

x( ) =

+2 3

f x x x( ) = + +2 9 3

g x x

( ) =+8

4 3

f x x( ) = +2

1




p) f ( x) = xe2 x+3 + 3 x en x = −3/2.

q) f ( x) = 32 x+1 en x = 2.

r ) en x = 1.s) f ( x) = ( x2 + x) cos(2 x) en x = π /4.

t ) f ( x) = x sen(2 x) en x = π /8.

u) f ( x) = cos( x2 + 5 x) en x = 0.

v) f ( x) = 2 xtan(6 x) en x = π /8.

w) f ( x) = cos(tan( x)) en x = π /4. x) f ( x) = arctan( x2) en x = 1.

y) f ( x) = ( x + 1) arctan( x) en x = 1

f x x x

( ) = + −

5

2 4 7

2. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y = f ( x), que son paralelas a la rectaproporcionada.

a) Curva y = x2 + 3 x − 2, recta y + x − 3 = 0.

b) Curva f ( x) = 3 x2 + 5 x + 7, recta y + 4 x + 4 = 0.

c) Curva f ( x) = − x2 + 3 x − 2, recta 2 y − 3 x + 2 = 0.

d ) Curva y = x3 + 3 x2 − 5 x + 3, recta x + 2 y − 5 = 0.

e) Curva , recta x − 2 y = 2.

f ) Curva y = 2 x3 + 2 x2 + x − 2, recta 3 x − y + 2 = 0.

3. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y = f ( x), que son perpendiculares a larecta proporcionada.

a) Curva y = x2 + x − 2, recta 2 y + x − 3 = 0.

b) Curva y = x2 + 5 x + 1, recta y + 3 x + 2 = 0.

c) Curva y = 2 x3 + 2 x2 − x − 2, recta x − y + 1 = 0.

d ) Curva y = x3 + x2 − 5 x + 3, recta x + 2 y − 5 = 0.

e) Curva , recta x + y − 2 = 0.

4. Determina las ecuaciones de las rectas normales a la curva dada y = f ( x), que son paralelas a la rectaproporcionada.

a) Curva f ( x) = 4 x2 + 2 x + 5, recta 2 y − 3 x + 4 = 0.

b) Curva y = 2 x2 + x − 2, recta y + x + 5 = 0.

c) Curva y = x3 − 2 x2 − x − 2, recta x − 2 y + 1 = 0.

d ) Curva f ( x) = x/( x + 1), recta y + x − 3 = 0.

5. Encuentra los valores de x donde las gráficas de las siguientes funciones tienen una tangente horizontal.

a) f ( x) = x3 − 3 x2 d ) f ( x) = (2 x + 3)e−2 x

b) f ( x) 3 x5 − 5 x3 e) f ( x) = ( x2 + 2 x − 1)e−2 x

c) f ) f ( x) = x + 2sen( x)

6. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x2 que pasan por el punto (0, −1).

7. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 1/ x que pasan por el punto (1, −1).

f x x x

( ) = ++

41

2

y x

x= −

+2 1

1

y x

x= −

+11




8. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que pasan a través del punto (1, 2).

9. Para este ejercicio considera la curva y = x3 − 4 x2 + 2 x + 3.

a) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1.

b) Usa la ecuación de la recta tangente como una aproximación lineal de la curva para estimar el valorde y cuando x = 1.01.

c) ¿En cuánto varía esta estimación del valor correcto?

10. Determina la aproximación lineal a la función indicada en los puntos proporcionados.

a) en x = 1

b) f ( x) = 4 tan(2 x + 1) en x = 0c) f ( x) = 43 x−2 en x = 0

11. Usa el método de Newton, con la aproximación inicial dada y el número de aproximaciones indicado,para determinar una solución de las siguientes ecuaciones.

f x x x

( ) =+ −

2

4 12

y x

x=

+1

a) x3 + 4 x2 + x − 4 = 0; x0 = 1; n = 3.

b) x3 + 5 x2 + x + 42 = 0; x0 = 1; n = 10.

c) x4 + 4 x3 −5 x2 + 3 x − 7 = 0; x0 = 2; n = 5.

d ) 2 x4 − x3 + 2 x2 − 5 x + 1 = 0; x0 = −2; n = 7.

e) ; x0 = −2; n = 7.

f ) e− x − 5 x − 2 = 0; x0 = 0; n = 3.

g) e x − x3 + 2 x2 + x − 2 = 0; x0 = 0; n = 4.

h) sen( x) = 2 x + cos(3 x); x0 = −0.5; n = 3.

i) x2 + 10cos( x) − 5 x = 0; x0 = 0; n = 4.

j) e x + xe2 x − 4 = 0; x0 = 0; n = 7.1

14 02+

− = x

e x

12. Las siguientes gráficas corresponden al par de curvas indicadas. Considera las aproximaciones x0 y x1de sus puntos de intersección, y determina sus puntos de intersección utilizando el método de la secante.

a) y = x2 + 4 x − 2 y y = 2 x + sen(2 x) − 1

i) x0 = −2; x1 = −3; x6.

ii) x0 = 2; x1 = −3; x6.

b) y = x + e x y y = x3 + 2 x + 2

x0 = 1; x1 = 2; x5.

20

15

10

5

–5

–10

2 3 4–1–2–3–4

y

x

20

15

10

5

–5

–10

–1–2 1 2 3

y

x

FIGURA 15. Figura 16.




13. Una partícula se mueve con velocidad . Si el movimiento inicia en el origen en el tiempo

t = 0 y termina en t = 1, usa el método de Euler con h = 0.1 para graficar la posición de la partícula enel intervalo indicado. ¿Cómo se modifica la gráfica si se consideran incrementos de h = 0.05?

14. Una población de bacterias crece con un ritmo

,

donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días. Si el tamaño inicial de la población es500, estima la población a los 7 días usando el método de Euler con h = 1, h = 0.5 y h = 0.1.

15. Utiliza el método de Euler para graficar en el intervalo dado la curva que satisface:

a) y = x − x3, con la condición y(0) = 1, con h = 0.1 en el intervalo (0, 2).

b) , con la condición y(0) = 1, con h = 0.1 en el intervalo (0, 1).

c) , con la condición y(0) = 1, con h = 0.2 en el intervalo (0, 3).

d ) y = x cos( x), con la condición y(0) = 0, con h = 0.2 en el intervalo (0, 3).

e) y = xe− x, con la condición y(0) = 0, con h = 0.5 en el intervalo (0, 10).

f ) y = y cos( x + y), con la condición y(0) = 1, con h = 0.2 en el intervalo (0, 10).

y e x' = −1 2

y x

x' =

+1 2

dPdt

t = 4

v t t

t ( ) =

+1

c) y y = x4 − 3

i) x0 = −2; x1 = −1; x6.

ii) x0 = 1; x1 = 2; x7.

d ) y = x3 + 5 x2 − 3 x + 2 y y = x4 + 4 x3 + 6 x − 7

i) x0 = −6; x1 = −4; x7.

ii) x0 = 1; x1 = 2; x6.

y x

x=

+2

1 2

6

4

2

–2

–4

–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5 2

y

x

y

x

200

150

100

50

–6 –4 –2–50

–100

2 4 6

FIGURA 17. Figura 18.






1. “Accidentes en montañas rusas” presentada en la introducción.

2. Sobre tangentes y normales.

a) Análisis gráfico para obtener la recta tangente.

i) Usa papel cuadriculado para construir la gráfica de la función y = x2 en el intervalo(−5, 5).

ii) A partir del punto (3, 5), traza rectas tangentes a la curva.

iii) En la gráfica, estima los valores de los puntos de tangencia y con ellos determina lasecuaciones de las rectas tangentes a la curva que pasan por (3, 5).

b) Análisis algebraico para obtener la recta tangente.

i) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 que toca a la curva en elpunto (a, a2).

ii) Determina los valores de a que permiten que la recta tangente pase por el punto (3, 5).

iii) Usa el resultado del inciso anterior para determinar las ecuaciones de las rectas tan-gentes que pasan por el punto (3, 5).

c) Análisis gráfico para obtener la recta normal.

i) En otro papel cuadriculado traza una recta normal a la curva que pase por el punto

(18, 0).ii) Usa la gráfica para estimar la ecuación de la recta normal a la curva que pasa por

(18, 0).

d ) Análisis algebraico para obtener la recta normal.

i) Determina la ecuación de la recta normal a la curva y = x2 que toca a la curva en elpunto (a, a2).

ii) Determina los valores de a que permiten que la recta normal pase por el punto (18, 0).

iii) Usa el resultado del inciso anterior para determinar las ecuaciones de las rectas nor-males que pasan por el punto (18, 0).

e) Método general

i) Escribe un método que te permita determinar las ecuaciones de las rectas tangentesy normales a la curva y = f ( x) que pasen por el punto (a, b).

ii) Aplica tu método para determinar las ecuaciones de tres rectas diferentes que pasenpor el punto (3, 10) y que sean normales a la parábola y = x2.

iii) Aplica el método para determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a y = e2 x quepasan por el punto (1, 0).

iv) Aplica el método para determinar las ecuaciones de las rectas normales a y = e2 x quepasan por el punto (1, 1).




3. Situación: Lanzamiento de martillo

La deportista polaca Kamila Skolimowska ganó la medalla de oro en la prueba de lanzamien-to de martillo en los Juegos Olímpicos de Sydney 2000. Su lanzamiento de 71.16 metros

estuvo a punto de caer sobre un juez. Considera que Kamila giró en sentido contrario a lasmanecillas del reloj y que el martillo lo llevaba a una distancia de 2.7 m, aproximadamen-te, de su eje de giro. Es decir, el martillo giró a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 7.29

a) Si el martillo salió en el punto (2.01, 1.8) metros, ¿en qué lugar estaba el juez?

Considera que Kamila estaba en el origen de coordenadas y que los lanzamientos se consi-deran válidos sólo si caen entre las rectas y = x y y = − x. ¿Estuvo Kamila en peligro de noganar la medalla de oro?

1. Indica la opción que contiene la ecuación de una recta tangente a y = x2 que pasa por el pun-to (5, 9).

a) y = 4 x − 3 c) y = 2 x + 1

b) y = 3 x − 2 d ) y = 18 x − 81

2. Usa el método de Newton para determinar la cuarta aproximación de una raíz de la ecuación y = x5 + 4 x4 − 3 x3 − 12 x2 + 16 x − 27, iniciando con x0 = 3.

a) 1.73087 c) 1.7225

b) 2.43 d ) 1.80801

3. Un automóvil se mueve con velocidad v = 3t . Usando el método de Euler con h = 0.1, deter-mina la posición en el tiempo t = 0.5, suponiendo que el automóvil parte del origen.

a) 0.45 c) 0.18

b) 0.09 d ) 0.3

4. Determina una recta tangente a y = x3 + 4 x2 − 3 x + 2 que sea perpendicular a la recta y = 4 x − 3.

a) y = −0.597201 + 4 x c) y = 29.3526 − 0.25 x

b) y = 19.2531 − 0.25 x d ) y = 32.7453 + 4 x




5. Relaciona las rectas pedidas de la columna A con las ecuaciones proporcionadas en la co-lumna B.

Columna A Columna B

a) Recta normal a y = 3sen(2 x) + 4cos(3 x) en x = 0.

b) Recta tangente a y = e2 x en x = 0.

c) Recta tangente a y = x2 + 2 x que pasa por (1, −1).

d ) Recta normal a perpendicular a y = −2 x + 3. y x x= + +2 5

22

i) y + 6 x − 4 = 0

ii) x + 6 y − 24 = 0

iii) y = 2 x

iv) 2 y − x − 2 = 0

v) y − 8 x + 9 = 0

vi) y = 6 x + 4

vii) y + 9 x − 8 = 0

viii) y − 2 x + 1 = 0

Respuestas a los


1.Recta tangente Recta normala) y = −11 + 13 x y = (197 − x)/13b) y = −4 + 6 x y = (13 − x)/6c) y = 5 + 5 x y = −( x + 1)/5d ) y = (3 − x)/2 y = 2 x − 1

e) y = (44 − 3 x)/16 y = (16 x − 58)/3 f ) y = −4.4414 + 5.19615 x y = 1.20153 − 0.19245 xg) y = 5 − 3 x y = ( x + 5)/3h) y = (24 + 13 x)/10 y = (85 − 10 x)/13i) y = 6 − 2 xy y = (7 + x)/2

j) y = 25 − 34 x y = ( x − 307)/34k ) y = 9 − 5 x y = (19 + x)/5l) y = (5 x − 5)/6 y = (6 − 6 x)/5m) y = 0 x = 0n) y = (19 x − 19)/15 y = (15 − 15 x)/19o) y = x − 4 y = 6 − x

p) y = x − 4.5 y = − x − 7.5

q) y = −824.851 + 533.926 x y = 243.004 − 0.00187292 xr ) y = −0.346265 + 0.386265 x y = 2.6289 − 2.5889 xs) y = 2.20265 − 2.8045 x y = −0.28005 + 0.35657 xt ) y = −0.21809 + 1.26247 x y = 0.588737 − 0.7921 xu) y = 1 x = 0v) y = −3.7011 + 7.42478 x y = −0.732508 − 0.134684 xw) y = 1.86208 −1.68294 x y = 0.0736206 + 0.594198 x

x) y = x − 0.214602 y = 1.7854 − x

y) y = −0.214602 + 1.7854 x y = 2.1309 − 0.560099 x




2.

a) y = −6 − x

b) y = −

4 x −

1/4

c)

d ) y = −0.5 x + 17.4057; y = −0.5 x + 1.59431

e) y = ( x − 1)/2; y = ( x + 7)/2 f ) y = 3 x; y = 3 x − 64/27 y x= − +

23

16

3

2

3.

a) y = 2 x − 9/4

b) y = (3 x − 40)/9

c) y = −46/27 − x; y = −2 − x

d ) y = 13.051 + 2 x; y = −2.23623 + 2 x

e) y = 6.461 + x; y = −0.464102 + x

f )

g) y = −2 + x

h) y = −50/27 − 2 x; y = −2 − 2 x

i) x = x; y = x + 4

j) x = 0, 2

k ) x = 0, 1, −1

l) x = −5/2, −3/2

m) x = −1

n) x = −2, 1o) x = −2π /3, 2π /3

y x= − +2

3

41

9

4. y = −1 − 2 x; y = −1 + 2 x

5. y = 4.82843 − 5.82843 x; y = −0.828427 − 0.171573 x

6. y = 1.866 + 0.134 x; y = 0.134 + 1.866 x.

7.

a) y = 5 − 3 x c) 0.03b) 1.97

8.

a) y = (5 − 3 x)/4 c)

b) y = 6.2296 + 27.4042 x

9.

y x= +1

16

3 4

16

ln( )

a) x3 = −1.47068

b) x10 = −6

c) x5 = 1.29504

d ) x7 = 0.21781

e) x7

= −4.39976

f ) x3 = −0.164289

g) x4 = 0.358313

h) x3 = −0.387479

i) x4 = 1.12095

j) x7

= 0.619853

10.

a) i) x6 = −2.67454, ii) x6 = 0.73299 c) i) x6 = −1.19145, ii) x7 = 1.40923

b) x6 = 1.88569 d ) i) x7 = −4.60321, ii) x6 = 1.07799




11.

12. 543, 546 y 549.

13.

y

x

a b

0.2

0.

0.15

0.

0.05

0. 0. 0. 0.8

0.

0.25

0.

0.15

0.

0.05

0. 0. 0. 0.

y

x

0.

0.

0.5 1 1.5

3.5

2.5

1.5

0.5

0.

0.

0.

–0.75

1.2

0.25

– 0.25

1.5

1.

–

2,5

2,5 3

1.

1.2

1.

1.1

1.

1.05

0. 0. 0. 0. 1

y y

y y

x

x

x

x

) b)

) )




1. d )2. a)3. d )4. b)5. (a, ii), (b, viii), (c, v), (d , iv)

0.8

0.

0.4

0.

0.

0.

0.

0.2

1 1

y y

x x

e f



Dispositivo robótico

El modelado del funcionamiento de los componentes de un robot es esencial pa-ra su diseño, construcción, corrección de errores o ajustes, según las necesidadesdel ámbito donde se emplean. Una empresa donde se fabrican robots tiene unproblema en un dispositivo del brazo de un cierto modelo. La situación es la si-guiente:

Una parte del brazo de ese modelo de robot consta de un dispositivo electro-mecánico compuesto por un disco metálico de 10 cm de radio y un sensor que es-tá a 30 cm de distancia del centro del disco (en un mismo plano, como se mues-tra en la figura 1). El sensor calcula continuamente la distancia entre él y un pun-to específico P que se mueve sobre la circunferencia del disco, con una velocidadconstante. Como parte del trabajo que se ha de realizar para resolver el problema,es necesario dar respuesta a las preguntas siguientes:

i) ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el sensor y el punto en la circun-ferencia del disco al tiempo t ?

ii) ¿Cuál es la razón de cambio de esa distancia cuando el ángulo formado entrela línea que va del sensor al centro del disco y la que va del centro del discoal punto P es de π /2?

iii) ¿Cuál es la razón de cambio de esa distancia cuando ésta es la más grande po-sible?

iv) ¿Cuál es la rapidez cuando esa distancia es la más pequeña?

v) ¿Cuál es el significado de las respuestas a las preguntas de los incisos (iii) y (iv)?

3356.2: Razones de cambio relacionadas

6.2 Razones de cambio

relacionadas

Las ciencias, […] construyen modelos

principalmente. Por modelo se entiende

una construcción matemática que, con

la adición de ciertas interpretaciones

verbales, describe los fenómenos

observados.

John Von Neuman

P

sensor

FIGURA 1.




Introducción

Recordemos que la derivada dy/dx de una función y = f ( x) es su razón de cam-

bio instantánea, respecto a la variable independiente x. Por ejemplo, cuandouna función define la posición de un objeto, la razón de cambio de ésta es larapidez (velocidad) con la que se mueve ese objeto. En general, la derivadada respuesta a la pregunta ¿qué tan rápido cambia una cantidad? Así, cuandodecimos que un automóvil viaja a 70 km/h, significa que la rapidez con quecambia su posición es tal que recorre 70 km en una hora.

Pues bien, existen en la vida real muchas situaciones prácticas en dondehay dos o más razones de cambio involucradas. Por ejemplo, si un globo es-férico se desinfla a una razón conocida (es decir, se conoce la razón a la quedecrece su volumen), podríamos preguntarnos cómo calcular la razón a laque está decreciendo su radio, su diámetro, o el área de su superficie, en al-gún momento determinado. En general, en este tipo de problemas, se trata dedeterminar la razón a la que cambia alguna cantidad que está relacionada con

otras cantidades cuyas razones de cambio son conocidas.

Objetivos


a) Resolver problemas de razones de cambio relacionadas.

Problemas de razones de cambio relacionadas

A continuación, te presentamos algunos aspectos importantes que debes tomar en cuen-

ta al intentar resolver un problema de razones de cambio relacionadas.

Guía para la solución de razones de cambio.

1. Leer cuidadosamente el enunciado a fin de tener claro cuál es el problemaespecífico que se trata, es decir, qué es lo que se pide calcular, y cuáles sonlos datos que se ofrecen.

2. Hacer un dibujo apropiado de la situación que se presenta, dar nombre a lasvariables y escribir las constantes involucradas.

3. Hacer una lista de todas las cantidades usando una simbología adecuada (in-dicar los valores de las razones de cambio conocidas y expresar simbólica-mente las razones desconocidas, en términos de derivadas).

4. Determinar una ecuación general que relacione todas las variables y cons-tantes.

5. Derivar implícitamente la ecuación obtenida en el paso anterior para hallaruna relación general entre las razones de cambio. Cuando las variables es-tán cambiando en el tiempo, la derivación se realiza respecto a t .

6. Sustituir los valores y las razones de cambio conocidas en la ecuación deri-vada del paso anterior, y despejar de ahí la razón de cambio desconocida.



Ejemplos

solución

En este tipo de problemas, la dificultad mayor estriba en la formulación matemática,es decir, en la modelación matemática del problema (punto 4 de la guía). En algunas si-tuaciones se requiere de un poco de ingenio, y en algunos casos es útil recurrir a la es-trategia de prueba y error. No te frustres si en los primeros intentos no resultan las cosas

como se espera; todos los problemas planteados mediante un enunciado requieren depráctica, de un poco de esfuerzo de tu parte para entender la forma en que se deben abordarpara lograr resolverlos. Después de todo, recuerda que un problema es aquella situaciónen la que no se sabe plenamente cómo proceder en cada paso del proceso de su resolución,porque si se supiera, ya no habría problema.

Nota. Debes tener cuidado al tratar las cantidades involucradas. Un error bastante fre-cuente consiste en sustituir los valores numéricos antes de establecer las relaciones ge-nerales entre tales cantidades. Se debe realizar la sustitución una vez que se ha derivadoimplícitamente. Para esto, es muy importante tener claro, desde el inicio de la resolu-ción del problema, cuáles son las cantidades fijas y cuáles las que cambian al pasar el

tiempo.


Ejemplo 1.

Un globo aerostático esférico se infla, en forma tal, que su volumen se incrementa a razón de 84.951dm3/min. ¿Con qué rapidez aumenta el diámetro del globo, cuando el radio es de 3.05 dm?

Las variables involucradas en el problema son:

t = tiempo transcurrido a partir del momento en que comienza a inflarse el globo.

V = volumen del globo al tiempo t .

r = radio del globo.

D = diámetro del globo.

Tenemos entonces que dm3 /min, y queremos saber cuál es el valor de cuando

r = 3.05.

La ecuación general que relaciona el volumen de una esfera y su radio, está dada por la fórmula

, la cual, en términos del diámetro, puede escribirse como , o bien .

Entonces, para hallar la relación general entre las razones de cambio del volumen y el diámetro delglobo, debemos derivar esta última expresión respecto al tiempo. Resulta:

dV

dt D

dD

dt =

1

22

π

V D=1

63

π V D

=

4

3 2

3

π V r =4

33

π

dD

dt ,

dV

dt = 84 951.




solución

Despejando la razón de cambio del diámetro, tenemos que:

Cuando r = 3.05, el diámetro es D = 6.1, por lo que finalmente resulta:

donde se ha considerado el valor de π como 3.1416.

Ejemplo 2.

Una cámara de televisión graba el lanzamiento (vertical) de un transbordador espacial. La cámara estálocalizada a 3 kilómetros de la plataforma de lanzamiento. ¿Cuál es la razón a la que debe cambiar elángulo de inclinación de la cámara para mantener al transbordador en el objetivo, en el momento enque éste se encuentra a 4500 metros sobre el punto de lanzamiento y se desplaza a 1000 km por hora?

De acuerdo al enunciado del problema, lo que se pide calcular es la rapidez con que debe cambiar elángulo de inclinación de la cámara justo en el momento en que el transbordador está a 4.5 km del pun-to de lanzamiento y viaja a 1000 km por hora.

Las variables en juego en este problema son las siguientes:

t = tiempo transcurrido a partir del momento del lanzamiento.

θ = ángulo de inclinación o elevación de la cámara.

h = altura del transbordador espacial al pasar el tiempo.

Por otra parte, la cámara está en un punto fijo, por lo que su distancia a la plataforma de lanzamientoes siempre de 3 km.

La rapidez (razón de cambio) del transbordador en el momento t está dada, simbólicamente, por ; es

decir km/h. Mientras que, la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara esd

dt

θ .

dh

dt = 1000

dh

dt

dD

dt = ≈

2 84 951

6 11 45342

( . )

( . ). ,

π dm min

dD

dt

dV dt

D

= ( )2

2

π

Transbordador

Cámara

3 km

Plataforma de

lanzamiento

h

FIGURA 2.




solución

La relación entre las cantidades se puede establecer a partir de la figura 2. Podemos observar que en eltriángulo rectángulo formado, el ángulo de elevación de la cámara, la distancia entre la cámara y la pla-taforma de lanzamiento, y la altura del transbordador, se relacionan con la ecuación

Ahora, derivamos implícitamente respecto a la variable independiente t (tanto θ como h dependen deltiempo) para obtener la relación general entre las razones de cambio involucradas, es decir,

De aquí, despejamos la razón de cambio que interesa, d θ /dt , de manera que

Observa que esta ecuación indica que, para determinar la razón de cambio del ángulo (d θ

/dt ), sólo ne-cesitamos la razón de cambio del transbordador (dh/dt ) y el valor de sec(θ ).

En el problema se pide calcular en el momento preciso en que h = 4.5 km. La distancia entre la

cámara de televisión y el transbordador en ese momento es, de acuerdo al teorema de Pitágoras,

por lo tanto,

(redondeando al cuarto dígito).

Finalmente,

ó,

Ejemplo 3.

Dos barcos están compitiendo, con velocidad constante, en una carrera hacia un punto de llegada. Elbarco Acuario navega desde el Sur a 13 nudos y el barco Tritón se acerca desde el Este. En el instanteen que están a la misma distancia de la meta, la distancia entre los dos barcos es de 16 millas y éstadecrece a razón de 17 nudos. ¿Cuál de los dos barcos ganará la carrera?

Lo primero que debemos advertir es que, para contestar la pregunta, necesitamos saber cuál es la velo-cidad del barco Tritón. Éste es el punto central del problema. Analicemos los datos y demos nombre alas variables en juego:

d

dt

θ ≈ 0 028. radianes / s.

d

dt

θ

= ≈1

3 1 8028 1000 102 562( )( . ) ( ) . radianes / h,

sec( ).

.θ = ≈5 4083

31 8028

d = + ≈( ) ( . ) . ,3 4 5 5 40832 2

d

dt

θ

d

dt

dh

dt

θ

θ =

1

3 2sec ( )

sec ( )2 1

3θ

θ d

dt

dh

dt =

tan( )θ =h

3




t = tiempo

x = distancia entre el Tritón y la meta

y = distancia entre el Acuario y la meta

z = distancia entre los dos barcos

La rapidez del Acuario es nudos. Lo que se quiere saber es la rapidez del barco Tritón, es

decir, el valor de , justo en el momento en que z = 16 , y .

La situación se esquematiza en la figura siguiente:

FIGURA 3.

De acuerdo al dibujo, la ecuación general que relaciona las distancias está determinada por el teoremade Pitágoras, es decir, z2 = x2 + y2 (por ser un triángulo rectángulo).

Derivamos esta ecuación implícitamente respecto al tiempo, para obtener la relación general entrelas razones de cambio, resultando

de manera que,

(*)

Ahora, considerando que x es igual a y en el momento en que z = 16 (porque en el enunciado del pro-blema dice que “En el instante en que están a la misma distancia de la meta, la distancia entre los dos

barcos es de 16 millas,…”), tenemos que (16)2 = x2 + x2. Despejando x, resulta x ≈ 11.31.Finalmente, sustituyendo todos los datos en la ecuación (*), tenemos que

que es la rapidez con que navega el Tritón. Este resultado nos indica que el barco que ganará la carreraes el Acuario, porque navega a una rapidez mayor.

dx

dt = − ≈

16

11 3117

11 31

11 3113 11 05

.( )

.

.( ) . nudos,

dx

dt

z

x

dz

dt

y

x

dy

dt = −

2 2 2 zdz

dt x

dx

dt y

dy

dt = + ,

dz

dt = 17

dx

dt

dy

dt = 13

meta

y

T

A

z

x




1. Contesta las preguntas siguientes:

a) ¿Es lo mismo razón de cambio, rapidez, velocidad y tasa de variación? Investiga sobre el significa-do de estos términos en Cálculo y argumenta lo más ampliamente posible tu respuesta.

b) ¿Qué es la aceleración de una partícula?

c) ¿En qué consiste un problema de razones de cambio relacionadas?

2. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una velocidad de 750 millas por hora y pa-sa justo sobre el lugar donde tú te encuentras. Determina la razón a la que el avión se aleja del lugardonde estás, justo cuando aquél está a 2 millas de distancia de ese lugar. Realiza el proceso contestan-do cada uno de los incisos siguientes:

a) ¿Qué es lo que se pide?b) ¿Cuáles son las cantidades que se dan en el problema?

c) Traza el dibujo de la situación para cualquier momento t e indica la razón de cambio dada y la quese pide hallar, en términos simbólicos, usando derivadas (de acuerdo a las variables que uses en eldibujo).

d ) Determina una ecuación general que relacione las cantidades.

e) Encuentra la relación general entre las razones de cambio involucradas y termina de resolver elproblema.

3. El ángulo de elevación del Sol decrece a razón de 0.25 rad/h. ¿Con qué rapidez aumenta la sombra pro-yectada por un edificio de 15 metros de alto cuando el ángulo de elevación del Sol es de π /6 radianes?

4. ¿A qué velocidad aumenta el área de la superficie del globo aerostático del ejemplo 1, en esas mismascondiciones?

5. La posición de un pistón de motor de automóvil (en su movimiento arriba y abajo dentro del cilindro),está relacionada con su velocidad, arriba del centro del cilindro, por la ecuación s2 + v2 = 16 (ver figu-ra 4). Si la posición se mide en milímetros y la velocidad en milímetros por segundo, calcula la acele-ración de este pistón en el momento en que se encuentra 2 milímetros arriba del centro.

0

FIGURA 4.




6. Un barco petrolero tiene un accidente y el petróleo se derrama a razón de 175 galones por minuto. Su-pongamos que el petróleo se esparce sobre el agua en un disco circular de 0.2 pulgadas de espesor. De-termina la razón a la cual el radio de la mancha está creciendo cuando el radio tiene 85 pies.

7. Este problema se refiere a la Ley de Boyle, la cual establece que para una cantidad fija de gas a tem-peratura constante, la presión (P) y el volumen (V ) tienen relación inversa. De esta forma, para algunak constante, se tiene que PV = k .

Si una cantidad de gas ocupa 10 cm3 a la presión constante de 2 atmósferas, y la presión aumentamientras la temperatura permanece constante:

a) El volumen, ¿aumenta o disminuye?

b) Si la presión aumenta con una rapidez de 0.05 atmósferas/minuto cuando la presión es de 2 atmós-feras, calcula la rapidez con la que cambia el volumen en ese momento.

8. Un helicóptero está volando hacia el Norte a 100 km/h y a una altura constante de 450 metros. Abajo,un automóvil está avanzando hacia el Oeste a una velocidad de 95 km/h sobre una carretera. En el mo-mento en que el helicóptero cruza la carretera, el automóvil está 2 km al Este del helicóptero.

a) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre el automóvil y el helicóptero en el momento enque éste cruza la carretera?

b) ¿Está aumentando o disminuyendo la distancia entre ellos en ese momento?

9. Una cubeta para agua tiene la forma de un cono truncado de 2 pies de altura, un radio inferior de 6 pul-gadas y un radio superior de 12 pulgadas. Si sale agua de la cubeta a 10 pulgadas3/minuto, ¿con quérazón decrece el nivel del agua cuando la profundidad del agua en la cubeta es de un pie?

10. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre la punta del minutero de un reloj y la marca de las 6cuando el minutero apunta a las 2 en punto?

11. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de ocho metros cúbicos por minuto. ¿Con qué rapi-dez aumenta el diámetro cuando éste tiene dos metros?

12. Juan vuela una cometa a una altura de 20 metros en la Marquesa, Estado de México. Juan se mantienefijo y suelta la cuerda de manera que la cometa se mueve horizontalmente con una velocidad de dosmetros por segundo. ¿Con qué rapidez Juan afloja la cuerda cuando su longitud es de 30 metros? Su-pón que la cometa no sube ni baja y que la cuerda se halla tensa.

13. Un carro de volteo deja caer arena sobre un montón en forma de cono a razón de quince metros cúbi-cos por minuto. Supón que la altura siempre es dos veces el radio de la base del cono, ¿cuál es la ra-zón de cambio de la altura cuando ésta es de un metro?

14. Un cono de papel se llena de agua con una velocidad de dos centímetros cúbicos por segundo. Supo-niendo que las dimensiones del cono son 9.5 centímetros de altura y 6.8 centímetros de diámetro, cal-cula la rapidez con que aumenta el nivel del agua cuando éste es de 5 centímetros.

15. Un automóvil A se desplaza hacia el Norte a una velocidad de 80 km/hora. Un segundo auto B viaja auna velocidad de 60 km/hora hacia el Este; ambos se acercan a un punto de cruce. Cuando el auto Aestá a 100 metros de dicho punto, ve pasar al auto B ¿Con qué rapidez se separan, 10 minutos despuésde que el auto B pasa por el punto de cruce?





16. Una mujer jala una lancha con una cuerda a una velocidad de 10 metros por minuto, la mujer se en-cuentra a dos metros sobre el nivel de la lancha, ¿con qué rapidez se aproxima la lancha al muelle cuandola cantidad de cuerda suelta es de cinco metros?

17. Juan se encuentra situado a 20 metros de la plataforma de lanzamiento de un cohete de juguete. En esemomento, el cohete sale disparado con una velocidad de 40 metros por segundo. Determina el cambioen el ángulo de visión de Juan respecto a la horizontal cuando este ángulo es de 45°?

18. Un hombre de 1.80 metros de estatura camina con una velocidad de dos metros por segundo y se aleja de una fuente de luz que está a cuatro metros de altura ¿A qué ritmo está cambiando la longitud desu sombra? ¿A qué ritmo se mueve el extremo de su sombra?

19. Una escalera de cuatro metros de largo está recargada sobre una pared, el apoyo en el piso está a 1.5metros de la pared y se separa de ésta a una velocidad de 0.5 metros por segundo. Encuentra la razónde cambio del extremo superior de la escalera.

20. Una alberca olímpica tiene longitud y ancho de 50 y 20 metros, respectivamente. La profundidad en suparte más honda es de 3.40 metros y en la parte menos honda es de 1.60 metros. Encuentra la razón decambio en la profundidad h (ver figura) cuando ésta es de dos metros. Supón que la alberca se está lle-nando de agua a razón de 10 metros cúbicos por minuto.

20m

50m

1.70m

3.40m

h

FIGURA 5.


1. Dispositivo robótico

a) Contesta las preguntas planteadas en la situación “Dispositivo robótico”, con la que ini-ciamos esta sección.




b) Para un componente innovador del dispositivo electromecánico del robot, se necesitaresolver el siguiente problema: la figura 6 muestra un sector que está sobre el disco. Es-te sector está compuesto por la unión del triángulo T y del casquete S . La función para

la que fue diseñado este componente requiere que el vector radial r gire en sentido con-trario a las manecillas del reloj con una velocidad angular constante de w radianes porsegundo. Para dar solución al problema, a tu equipo de trabajo se la ha pedido probarque el área del sector cambia con velocidad constante pero que, ni el área de T ni la deS , cambian con velocidad constante.

FIGURA 6.

2. Velocidades entre planetas

Los astrónomos han determinado con mucha precisión las relaciones entre las distancias yvelocidades entre el Sol y todos los planetas de nuestro sistema solar. Uno de los fenóme-nos que más interesa es el referente a lo que sucede respecto a Venus, el planeta vecino máscercano. La figura 7 muestra al Sol (S ), a Venus (V ) y a la Tierra (T ) formando un triángu-lo. Considera que las distancias del Sol a Venus y del Sol a la Tierra son constantes, en for-ma tal que TS ≈ 1.5 × 108 km y VS ≈ 1.023 × 108 km. El ángulo θ con vértice en la Tierra

varía de 0° a 47° y crece a razón de radianes por año.

a) ¿Con qué rapidez se acerca Venus a la Tierra cuando su distancia a ella es de 1.023 ×108 km?

1 47180. π

r

S

T

T

V

S

FIGURA 7.




b) La pregunta del inciso anterior se basa en el supuesto de que las distancias Sol-Venus ySol-Tierra son constantes, sin embargo, en la realidad no es así (aunque para ciertoscálculos, tal suposición arroja resultados bastante precisos). Como has de saber, las tra-yectorias del planeta Venus y de la Tierra, respecto al Sol, son elípticas (siguen una trayec-

toria en forma de elipse en la que el Sol está en uno de los focos). Investiga todo lo queesté a tu alcance, tanto en medios impresos como en Internet, sobre las implicaciones delproblema planteado, si se consideraran estas trayectorias elípticas reales. Redacta con tuequipo un escrito sobre lo investigado y expliquen cómo se resolvería el problema.

3. Engrane elíptico

Parte de un sistema mecánico consiste en un engrane elíptico que está dispuesto como semuestra en la figura 8. Éste gira alrededor del foco F , tomado como eje, obligando al rodi-llo que hay en P a moverse hacia arriba y hacia abajo a lo largo de la recta FP. Los semie-

jes mayor y menor del engrane son de 5 y 3 cm, respectivamente. El engrane gira a razónde 240 rpm.

a) Un problema de funcionamiento, en este mecanismo, hace necesario determinar la velo-cidad a la que se moverá el rodillo en el momento en que el eje mayor del engrane for-me un ángulo de 60° con la línea de movimiento del rodillo. Resuelvan este problemaen equipo.

b) Con el fin de conocer el funcionamiento global del mecanismo, se necesita determinarla velocidad del rodillo para cualquier ángulo θ . A tu equipo se le pide que haga un aná-lisis completo a partir de la gráfica de velocidad contra tiempo. El análisis debe com-prender la gráfica y el análisis de movimiento del rodillo.

P

A

r

u

F

b

FIGURA 8. Engrane elíptico.

4. Empacadora de aguacates

En una empresa empacadora es muy importante optimizar los procesos que emplean recur-sos tecnológicos, a fin de controlar los costos de operación y mantenimiento. Considera lasiguiente situación de una empacadora de aguacates en la que es necesario resolver un pro-blema en uno de los procesos:




Una caja con aguacates de exportación se cuelga de una cuerda que pasa por una polea,como se muestra en la figura 9. El otro extremo de la cuerda está sujeto a un aparato que

jala (en forma automática) horizontalmente a 0.5 m/s, en un riel que está a 2 metros sobre

el piso. La cuerda tiene una longitud de 12 metros y la polea está a una altura de 6 metrossobre el piso.

Como parte del trabajo para resolver el problema que se tiene, se ha pedido a tu equipode trabajo que calcule la rapidez con que sube la caja cuando está a 3 metros sobre el piso.¿Qué solución propondrán a la empacadora?

6 m

CajaRiel

2 m

0.5 m/s

FIGURA 9.

5. Factores de crecimiento en la industria

Una de las variables con las cuales se mide el nivel de desarrollo de un país, es la referenteal nivel de crecimiento en la producción de su industria. En el ámbito de la economía, la tasa

de crecimiento en la producción industrial depende de diversos factores (de hecho, la ex-

presión tasa de crecimiento, se usa en términos relativos, no absolutos); entre los más im-portantes se encuentran los relativos a la cantidad de personas en la fuerza de trabajo alpasar el tiempo, y a la producción promedio por persona de esa fuerza de trabajo. ¿Qué in-formación se requiere para determinar la tasa de crecimiento anual de la producción total,si se consideran únicamente estos dos factores?, ¿cómo se determinaría esa tasa de creci-miento? Investiga todo lo que creas conveniente, a fin de dar respuesta a estas preguntas.

1. ¿Cuál es la razón a la que está cambiando la distancia entre el transbordador espacial y la cá-mara del Ejemplo 1, en esas mismas condiciones?

a) 673.25 km/h c) 950 km/hb) 832.05 km/h d ) 1000.08 km/h




2. El perímetro de un rectángulo se supone fijo en 24 cm. Si su base b crece a razón de 1 cm porsegundo, ¿a partir de qué valor de b empieza a decrecer el área del rectángulo?

a) 6 cm c) 8 cmb) 7.5 cm d ) 9.5 cm

3. Un automóvil A se mueve hacia el Oeste a 85 km /h, y otro B, hacia el Norte a 95 km/h. Ambosse dirigen hacia la intersección de sus caminos. ¿Con qué rapidez se aproximan entre sí en elmomento en que el automóvil A está a 600 metros y el B a 750 metros de la intersección?

a) 97.3 km/h c) 120 km/hb) 102.45 km/h d ) 127.34 km/h

4. Se bombea agua a un tanque que tiene la forma de un cono circular invertido (la base haciaarriba). El tanque mide 6 metros de altura y su base tiene un perímetro de 8π . Si el agua sebombea a razón de 3m3/min, encuentra la razón a la que sube el nivel del agua cuando ésta tie-

ne una profundidad de 4.5 metros.a) 0.0116 m/min c)0.1061 m/min

b)0.0923 m/min b)0.2469 m/min

5. Un avión que vuela a una velocidad de 670 km/h, pasa sobre una estación de radar a una altu-ra de 1.2 kilómetros y asciende en un ángulo de 32°. ¿Con qué razón aumenta la distancia en-tre el avión y la estación de radar un minuto más tarde?

a) 590 km/h c) 663.3 km/hb) 640.5 km/h d ) 682.9 km/h

6. Resuelve los problemas que aparecen en la columna A y relaciónalos con las respuestas co-

rrespondientes que aparecen en la columna B.Columna A Columna B

a) El área de un círculo crece con una velocidad de2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el radio cuando el áreadel círculo es 64 cm2?

b) El área de un cuadrado crece con una velocidadde 2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el lado cuando elárea del cuadrado es 64 cm2?

c) El volumen de un cubo crece con una velocidadde 2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el lado cuando elvolumen del cubo es 64 cm3?

d ) El volumen de una esfera crece con una veloci-dad de 2 cm3/seg. ¿Cómo cambia el radio cuan-do el volumen de la esfera es 64 cm3?

i. 0.04167

ii. 0.33334

iii. 0.16667

iv. 1.63334

v. 0.12500

vi. 0.02585

vii. 3.25000

viii. 0.07052




Respuestas a los


1. Las razones de cambio son derivadas. Un problema de razones de cambio es un problema donde apare-cen varias derivadas de funciones que se relacionan entre sí.

2. a) Calcular la rapidez con que se aleja el avión del lugar en donde estoy.b) La altura a la que vuela el avión: 1 milla.

La velocidad del avión: 750 millas por hora.Lo que se pide se debe calcular justo cuando la distancia es de 2 millas.

c) Dibujo:

mi/h; es la razón de cambio que se pide calcular.

d ) La relación entre las cantidades es z2 = x2 + 1.

e) La relación entre las razones de cambio es .

mi/h.

3. metro por hora.

4. 55.70 dm2/min, aproximadamente.

5. –2 milímetros por segundo.

6. 2.62 pies por segundo.

7. a) El volumen está disminuyendo.

b) cm3

/min.

8. a) 92.68 kilómetros por hora; b) La distancia está disminuyendo.

9. pulgadas/min.

10. l cm/min (en donde l es la longitud del minutero).π

60

−≈ −

10

810 0393

π .

−

1

4

1

2

dz

dt = 375 3

zdz

dt x

dx

dt =

dz

dt

dx

dt = 750

v = 750 mi/h x

z

1 mi




11. m/min.

12. m/seg.

13. m/min.

14. 0.1988 cm/seg.

15. 99.9993 km/hora.

16. 10.9109 m/min.

17. 1 rad/seg.

18. 1.63636 m/seg, 3.63636 m/seg.

19. 0.20226 m/seg.

20. −0.0121419 m/min.

60

π

2 53

4

π

1. b)2. a)3. d )4. c)5. c)6. (a, viii), (b, v), (c, i), (d , vi)



Unidad

Pilares del cálculodiferencial



. i ares e cá cu o i erencia

¿Te gustaría contar con los conocimientos necesarios para analizar, comprender y explicar el comportamiento delas olas del mar en un tsunami como el ocurrido en diciembre de 2004 en el océano Índico, y que dañó terrible-mente la isla de Sumatra?

En este capítulo aprenderemos los conocimientos necesarios para analizar un fenómeno natural como ése. Par-ticularmente, estudiaremos tres de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de una variable: el teore-

ma de Rolle, el teorema del valor medio, y el teorema de Taylor . Éstos son fundamentales porque proporcionan loselementos teóricos necesarios para optimizar funciones, es decir, para analizar y determinar los valores más gran-des o más pequeños que alcanza una función, lo cual constituye uno de los conocimientos matemáticos con másaplicaciones prácticas (las cuales estudiaremos en el último capítulo).

El llamado teorema de Rolle fue propuesto por Michel Rolle (1652-1719), matemático francés autodidacta quetambién publicó un tratado de álgebra (1690). El teorema del valor medio fue establecido por Joseph-Louis deLagrange (1736-1813), matemático francés de origen italiano que desarrolló una gran variedad de trabajos sobredinámica, cálculo integral, ecuaciones diferenciales, cálculo de determinantes, mecánica analítica y astronomía.Por su parte, el teorema de Taylor fue presentado por Brook Taylor (1685-1731), matemático inglés que fue discí-pulo de Newton, quien realizó trabajos sobre cambios de variable, diferencias finitas, y dio las primeras solucio-nes a los problemas de las cuerdas vibrantes y los centros de oscilación.

Lagrange retomó los trabajos de Rolle y se basó en ellos (particularmente en el ahora llamado teorema de Ro-

lle) para descubrir y enunciar el teorema del valor medio. Fue también Lagrange quien rescató los trabajos deTaylor (los cuales permanecieron prácticamente ignorados por cerca de 50 años) y resaltó su importancia en eldesarrollo del cálculo diferencial.



352 Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

7.1 Pilares del cálculo

diferencial

De hecho, el teorema del valor medio

es un lobo con piel de cordero

y es el teorema fundamental

del cálculo diferencial.

Robert G. Bartle

Cálculo e infracciones de tránsito

Como seguramente sabes, las épocas vacacionales son tiempos con un altoíndice de accidentes automovilísticos en carretera. Por esta razón las patru-llas federales tienen entre sus funciones principales estar al pendiente de quelos límites de velocidad sean respetados.

Rodrigo, a quien le gusta la velocidad, es amigo de uno de los autoresde este libro y contó que en una ocasión, al viajar de la Ciudad de Méxicohacia Acapulco, recibió una infracción por exceso de velocidad. Lo que lepareció extraño es que, aunque sabe que los policías cuentan con aparatosque miden la velocidad vehicular, no vio a nadie que lo detectara durante

su recorrido.

A Rodrigo se le dijo que aleatoriamente habían registrado el tiempo de su ve-hículo entre la salida de una caseta y el ingreso a la siguiente y que este tiempohabía sido de 42 minutos; de lo cual, sabiendo que la distancia entre ambas case-tas es de aproximadamente 90 kilómetros y que la velocidad máxima permitida esde 110 kilómetros por hora, se sabía con seguridad que en algún momento del re-corrido había violado el límite de velocidad. Como no tuvo ningún argumento ensu favor, no le quedó más remedio que aceptar la infracción; no obstante, quedómuy intrigado por el suceso.

Imagina que te ocurriera lo mismo que a Rodrigo, responde a los siguientescuestionamientos:a) ¿Te parece justificada la infracción que le aplicaron a Rodrigo?, es decir,

¿crees que él haya violado en algún momento de su recorrido el límite de

velocidad permitido? Explica.b) ¿Qué opinión tendrías sobre la misma pregunta del inciso anterior si Rodrigo

hubiera hecho 50 minutos para recorrer el tramo entre caseta y caseta? Funda-menta tus razones.

c) No es evidente que dos conceptos aparentemente diferentes, velocidad instan-tánea y velocidad promedio, puedan tener alguna relación entre sí. ¿Crees queexista alguna conexión entre estos conceptos? Si la hay, ¿cómo se justificaríadesde un punto de vista geométrico?



Tres pilares del cálculo diferencial

Teorema de Rolle

Hemos señalado que el teorema del valor medio es la piedra angular de los resultados de lassiguientes secciones, sin embargo, antes de llegar a éste requerimos el teorema de Rolle.

La siguiente tabla contiene las alturas y velocidades instantáneas correspondientes allanzamiento de una piedra efectuado por una persona que mide 1.75 m de estatura:

3537.1: Pilares del cálculo diferencial

Introducción

La situación “Cálculo e infracciones de tránsito”se sitúa dentro de un resul-

tado teórico general conocido como teorema del valor medio. Este teoremaes la piedra angular sobre la cual se construirá la teoría de optimización delcálculo de una variable, tema que resulta ser uno de los descubrimientos másimportantes de la ciencia matemática teórica y aplicada.

Objetivos

Al terminar esta sección tendrás la capacidad de conocer, establecer y apli-car los siguientes resultados:

a) Teorema de Rolle.

b) Teorema del valor medio.

c) Teorema de Taylor para el desarrollo de una función alrededor de un punto.

d ) La regla de L´Hôpital.

t : altura

m

eloci anea

t = tiemposegundos

0 1.75 0.9

1 2.56 0.72

2 3.19 0.54

3 3.64 0.36

4 3.91 0.18

5 4 0

6 3.91 -0.18

7 3.64 -0.36

8 3.19 -0.54

9 2.56 -0.72

10 1.75 -0.9

Tabla 1 Se muestra numéricamente el teorema de Rolle.

1

f (0) = f (10)= 1.75

2

1

f (t =

y

t

FIGURA 1. Ilustración gráfica del teorema de Rolle, f (0) = f (10) = 1.75 y f (5) = 0.



Es verdad que la tabla y la correspondiente gráfica adjunta, abordan un caso particu-lar (el correspondiente al tiro parabólico), sin embargo, muestran una situación de carác-ter general, a saber: si f (a) = f (b), existe al menos un instante a < t 0 < b para el cual f (t 0)= 0 (ver tabla 1). Claro que en el caso presentado, esto no podría ser de otra manera; por-

que en caso contrario, la piedra no regresaría jamás, sino que se alejaría indefinidamen-te de la atracción terrestre.

A continuación te mostramos el resultado de carácter general conocido como el teo-

rema de Rolle y te proporcionamos un bosquejo de su demostración.


Teorema de Rolle.

Sea f una función que satisface las siguientes tres condiciones:

i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii) f es derivable en el intervalo abierto (a, b).iii), f (a) = f (b)

Entonces, existe al menos un número c con a < c < b tal que f (c) = 0.

Demostración.

Existen tres casos posibles:

a) f ( x) = k , donde k es una constante. En este caso, f ( x) = 0, y c puede ser entoncescualquier número en (a, b).

b) f ( x) > f (a) para algunas x en (a, b). Puesto que la función es continua en el inter-valo [a, b], debe tener en éste un valor máximo M en algún punto de [a, b]. Dadoque f (a) = f (b), f alcanza ese valor máximo en algún punto c del intervalo (a, b).

Ahora bien, si la función toma su valor máximo cuando x = c, donde c es diferente de a

y de b, es decir, si f (c) = M , entonces, tanto para h > 0 como para h < 0: f (c + h) − f (c)≤ 0. Por lo tanto,

si h > 0,

si h < 0,

puesto que la derivada en el punto c existe, podemos pasar al límite cuando h tiende acero y encontramos que:

y

f c f c h f c

h f c

h−

→=

+ −= ≥

− ( )

( ) ( )( )lím

00

f c f c h f c

h f c

h+

→=

+ −= ≤

+ ( )

( ) ( )( )lím

00

f c h f c

h

( ) ( )+ −≥ 0

f c h f c

h

( ) ( )+ −≤ 0



Pero las condiciones f (c) ≤ 0 y f (c) ≥ 0 implican que f (c) = 0, lo que demuestra el teo-rema en este caso.

c) Finalmente, si f ( x) < f (a) para algunas x en (a, b), se realiza una prueba similar a

la del inciso b) utilizando ahora el valor mínimo m de la función, mismo que se al-canza en algún punto c del intervalo (a, b).

El teorema de Rolle tiene una interpretación geométrica muy sencilla. Si una curva con-tinua en el intervalo cerrado [a, b] tiene tangente en cada uno de los puntos del interva-lo (a, b), y si además f (a) = f (b), entonces existe por lo menos un valor c con a < c < b

donde la tangente sea horizontal.


0. 1. 2 2. 3

M (a,f(a))

y

N(b,f (b))

x

FIGURA 2. Ilustración gráfica del teorema de Rolle.

Teorema del valor medio.

Si en el teorema de Rolle se elimina la condición de que f (a) = f (b), la conclusión de es-

te resultado ya no se cumple. Sin embargo, podemos observar en la figura 3 que el seg-

mento de línea recta que pasa por los puntos M (a, f (a)) y N (b, f (b)) parece desempeñar

un papel similar al del segmento horizontal M (a, f (a))

y N (b, f (b)) del teorema de Rolle (ve la figura 2). Asi-

mismo, la figura 3 parece sugerir que debe existir al

menos un punto sobre la gráfica, en el cual la tangente

sea paralela al segmento MN . Es decir, dado que la

pendiente del segmento MN es , la figu-ra sugiere la existencia de al menos un número c con

a < c < b tal que . Esta conjetu-

ra es verdadera y su enunciado formal constituye el

teorema del valor medio para la derivada.

f c f b f a

b a( )

( ) ( )=

−−

f b f a

b a

( ) ( )−−

M ( , f a

N (b, f (b )

2.

1.5

0.5

0.

–

–

y

x

A

B

FIGURA 3. Ilustración gráfica del teorema del valor medio paraderivadas.



Demostración.

La prueba de este resultado se apoya en el teorema de Rolle y en la consideración delsegmento AB que se muestra en la figura 3 que tiene en los puntos M y N longitud igual

a cero (es aquí donde entrará el teorema de Rolle).La recta que une los puntos M (a, f (a)) con N (b, f (b)) tiene como ecuación:

Por lo tanto, la longitud del segmento AB es el valor absoluto de la diferencia:

Dadas las condiciones de continuidad y derivabilidad de la función f , se concluye queg es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), además se observa que:

luego, por el teorema de Rolle, existe al menos un número c con a < c < b tal que g(c) = 0. Sin

embargo, , de lo cual se desprende que .

Nota. Observa cómo este resultado vincula una cantidad global, la razón de cambiopromedio de una función en un intervalo cerrado [a, b], con una cantidad de carácter lo-cal, a saber, la razón de cambio instantánea f (c).

Teorema de Taylor.

Para analizar el comportamiento de una función f en las proximidades de un cierto

punto x0, un buen recurso suele ser aproximar localmente, cerca de x = x

0, la función

dada por medio de funciones más simples. Se espera que si las cosas van bien, del exa-

men de éstas puedan sacarse conclusiones acerca del comportamiento de f . Bajo esta

perspectiva, se debe tener presente que cuanto mejor sea la aproximación, mejor será

el estudio que se realice en la cercanía del punto en cuestión.

f c f b f a

b a( )

( ) ( )=

−−

g c f c f b f a

b a ( ) ( )

( ) ( )= −

−−

= 0

g x f x f a f b f a

b a x a( ) ( ) ( )

( ) ( )( )= − −

−−

−

y f a f b f a

b a x a− =

−−

−( )( ) ( )

( )


Teorema del valor medio para la derivada.

Sea f una función que satisface las siguientes condiciones:

i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]

ii) f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe un número c con a < c < b tal que . f c f b f a

b a( )

( ) ( )=

−−

y que ,g b f b f a f b f a

b ab a( ) ( ) ( )

( ) ( )( )= − − −

− − = 0g a f a f a

f b f a

b aa a( ) ( ) ( )

( ) ( )( )= − − −

− − = 0



Como se ha visto en secciones anteriores, si la función f es derivable en x = x0, enton-ces la ecuación de la recta tangente es y = f ( x0) + f ( x0)( x − x0) y se comprende que enun entorno de x = x0 se “confunden” la función con la recta tangente en el punto ( x0, f ( x0)); esto es, la recta tangente es una aproximación lineal de una función diferenciable

en un punto x = x0. Una manera más precisa de escribir esto es la siguiente:

f ( x) ≈ p1( x) = f ( x0) + f ( x0)( x − x0) cuando x ≈ x0 o f ( x) = p1( x) + o[( x − x0)2]

donde la notación o[( x − x0)2] representa un error por lo menos de orden cuadrático.

El error no puede ser lineal, puesto que la mejor aproximación lineal es la recta tangen-te. En símbolos tenemos que:

Es importante notar que las derivadas de órdenes 0 y 1 de f ( x) y p1( x) en x = x0 coin-ciden. Si se desea una mejor aproximación, es posible incorporar una potencia más de la

forma ( x − x0)2 a fin de obtener el polinomio p2( x) = f ( x0) + f ( x0)( x − x0) + k ( x − x0)2 pa-ra cierta constante k . Si hacemos ahora que las derivadas de orden 2 de f ( x) y p2( x) coin-cidan en x = x0, tendríamos que:

f ( x0) = p2( x0) = 2k o ,

de aquí, , cuando x ≈ x0; o

f ( x) = p2( x) + o[( x − x0)3],

donde o[( x − x0)3] representa un error por lo menos de orden cúbico. Repitiendo laidea, se buscaría un polinomio de grado 3 de la forma

. Derivando tres veces este polinomio y haciendo que sus

derivadas hasta orden 3 coincidan con las de f en el punto x = x0, se puede probar que:

, donde n! = n(n − 1) 2 1

Con esto, tendríamos que la mejor aproximación cúbica de la función f sería:

cuando x ≈ x0, es decir,

f ( x) = p3( x) + o[( x − x0)4].

De estos razonamientos se desprende el siguiente resultado general:

f x p x f x f x x x f x x x f x x x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ,≈ = + − + − + −3 0 0 00

02 0

03

2 3

k f x

= ( )

!0

3

f x x x k x x0

02

03

2

( )( ) ( )− + −

p x f x f x x x3 0 0 0( ) ( ) ( )( )= + − +

f x p x f x f x x x f x

x x( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )≈ = + − + −2 0 0 00

02

2

k f x

= ( )0

2

lím lím x x x x

o x x f x p x

x x→ →− =

−−

=0 0

02 1

02 0[( ) ]

( ) ( )

( )




El resultado anterior puede ilustrarse gráficamente como se muestra en la figura 4.


Teorema de Taylor.

Sea f es una función continua, con derivadas hasta de orden n también continuas

en el intervalo [a, b]. Si la derivada de orden n + 1 existe en el intervalo (a, b)entonces para x y x0 en (a, b), se cumple que:

.

donde o[( x − x0)n+1] es un error de orden n + 1.

f x f x f x x x f x

x x f x

x x

f x

n x x o x x

nn n

( ) ( ) ( )( )( )

!( )

( )

!( )

( )

!( ) [( ) ]

( )

= + − + − + − + +

+ − + − +

0 0 00

02 0

03

00 0

1

2 3

L

3

2

1

–100

2

–300

3

2

1

–100

2

–300

3

2

–100

20

3

3

2

1

–

–200

–300

–

y

x

y

x

y

x

y

x

r fica de f ( x y p1 ( x calculado en x0 = 12 r fica de f ( x y p ( x calculado en x0 = 1

2

r fica de f ( x y p3 ( x calculado en x0 = 12 r fica de f ( x y p4 ( x calculado en x0 = 1

2

FIGURA 4. Ilustración gráfica del teorema del Taylor.



Nota. Si en el teorema de Taylor, x0 = 0 entonces los polinomios correspondientes seconocen como polinomios de Maclaurin. Es tal la utilidad de estos polinomios que,aunque éstos son un caso particular de los de Taylor, vale la pena considerarlos por

separado.

En secciones anteriores se discutió la importancia e interés que tienen los límites del

tipo . Como recordarás, el álgebra jugó un papel fundamental para su cálculo; sin em-

bargo, este tipo de “indeterminaciones matemáticas” y otras, pueden abordarse desde laperspectiva de un resultado muy importante, consecuencia simple del teorema de Taylor.

Supón que f y g son dos funciones continuas con derivadas hasta de orden n tambiéncontinuas en el intervalo [a, b], y además con derivadas de orden n + 1 en el intervalo(a, b). Si x0 pertenece al intervalo abierto (a, b) y si:

f ( x0) = g( x0) = f ( x0) = g( x0) = = f (n−1)( x0) = g(n−1)( x0) = 0, pero

f (n)( x0) ≠ 0 o g(n)( x0) ≠ 0Entonces:

, siempre y cuando g(n)( x0) ≠ 0

Demostración (bosquejo).

Si calculamos los polinomios de Taylor hasta de orden n para f y g:

lím lím x x x x

n

n

n

n

f x

g x

f x

g x

f x

g x→ →= =

0 0

0

0

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0


=

Aunque no analizaremos la situación general, cabe decir que esta “regla” puede extenderse a otros casos que-dando en su forma más amplia de la siguiente manera:

f x

g x

n

n

( )

( )

( )

( )0

0

=− + −

− + −→

+

+lím

x x

nn n

nn n

f x

n x x o x x

g x

n x x o x x

0

00 0

1

00 0

1

( )

( )

( )

!( ) [( ) ]

( )

!( ) [( ) ]

lím lím x x x x

nn n

f x

g x

f x f x x x f x

x x f x

n x x o x x

g x g x x x g x x x→ →

+

=+ − + − + + − + −

+ − + −0 0

0 0 00

02 0

0 01

0 0 00

02

2

2

( )

( )

( ) ( )( )( )

!( )

( )

!( ) [( ) ]

( ) ( )( ) ( )!

( )

( )

L

++ + − + − +L g x

n x x o x x

n n n( )( )!

( ) [( ) ]00 0

1

Regla de L´Hôpital.

Si , donde l = 0, +∞, −∞ y si ,

entonces

donde a = x0, x0+, x0

−, +∞, −∞, indistintamente.

lím lím x a x a

f x

g x

f x

g x L

→ →= =

( )

( )

( )

( )

lím x a

f x

g x L finito

→= +∞ −∞

( )

( )( , , )lím lím

x a x a f x g x l

→ →= =( ) ( )



Omitimos los detalles de la demostración.

Nota. Con frecuencia ocurre que también es indeterminado, si f y g satis-

facen las condiciones de la regla de L´Hôpital, ésta se puede aplicar de manera iterada para

obtener hasta llegar a un límite ya determinado.lím lím lím lím x a x a x a x a

n

n

f

g

f

g

f

g

f

g→ → → →= = =

( )

( )

lím x a

f x

g x→

( )

( )


Ejemplos

solución

solución

Ejemplo 1.

Comprueba que se cumple el teorema de Rolle para la función f ( x) = x3 + 5 x2 − 6 x en el intervalo [0, 1].

En primer lugar observa que f (0) = f (1) = 0. Ahora bien, queremos hallar un valor de x tal que se cumpla

f ( x) = 3 x2 + 10 x − 6 = 0. Esta ecuación se satisface para y para .

Se ve que c1 satisface las condiciones del teorema de Rolle.

Ejemplo 2.

Dentro de sus gastos de operación anual, Laboratorios Ayerst, S.A. de C.V., requiere considerar susfuertes costos de promoción para un nuevo paquete de cosméticos. La empresa tiene como política con-siderar el valor medio pronosticado de ventas de sus nuevos productos en un lapso de 12 meses desdeel lanzamiento, de tal manera que una vez alcanzada la venta promedio anual, se haga una drástica dis-minución en sus costos de publicidad. Si el departamento de mercadotecnia del laboratorio pronostica

que se venderán paquetes durante el primer año, encuentra en qué mes la empresa

podrá considerar una disminución en sus costos de publicidad para este nuevo paquete de cosméticos.

La gráfica de la función de ventas, así como la línea recta cuya pendiente coincide con el valor medio

, se muestran en la figura 5. Estamos buscando el mes (aproximado) en el cual la ra-

zón de cambio de las ventas coincide con el valor medio, en símbolos, V (t 0) = 20. Por lo tanto, después

de derivar, determinamos que la ecuación a resolver es . Las soluciones de esta ecuación

son y . Del contexto del problema, se deduce que la empresa de-

be disminuir sus gastos de promoción a partir de los t 0 = 3.708 meses.

3 5 1 3 708−( ) ≈ .− +( ) ≈ −3 1 5 9 708.

900

320

02+( )

=t

V V ( ) ( )12 012 0

20−−

=

V t t

( ) = −+

100 129

3

c21

35 43= − −( )c1

1

35 43= − +( )




t

v

t

1200

11

11001

1

0

1 1

FIGURA 5. Gráfica de la función de ventas.

solución

Ejemplo 3.

Determina el número de raíces reales que tiene la ecuación x5 + x3 + x + 1 = 0.

Considera la función f ( x) = x5 + x3 + x + 1 y observa que ésta satisface las dos condiciones del teoremadel valor medio. Como la función es continua, y dado que f (−1) = −2 y f (0) = 1, podemos aseverar quela función tiene una raíz en algún punto a ∈ (−1, 0). Toma ahora cualquier otro valor b ∈ −{a}, en-tonces por el teorema del valor medio aplicado al intervalo entre a y b, tenemos:

;

luego , puesto que f (a) = 0. De aquí se concluye que f (b) ≠ 0 para cual-

quier b ∈ −{a}, y en consecuencia, la ecuación tiene exactamente una sola raíz real, ver figura 6.

f b

b a f c c c

( )( )

− = = + + > 5 3 1 04 2

f b f a

b a f c

( ) ( )( )

−−

=

–1 2

4

y

x

FIGURA 6. Gráfica de la función f ( x) = x5 + x3 + x + 1. Observa que la función tiene una única raíz en el intervalo ( −1, 0).




solución

Ejemplo 4.

Un circuito eléctrico tiene una resistencia de R ohms, una inductancia de L henrys y una fuerza elec-

tromotriz de E voltios donde R, L y E son positivos. Si I amperes es la corriente que fluye en el circuitot segundos después de que se cierre su interruptor, entonces,

Si t , E y L son constantes, encuentra .

Se requiere calcular el límite . Éste tiene la forma ,

por lo cual, al aplicar la regla de L´Hôpital: .

Ejemplo 5.

Usa un polinomio apropiado de Maclaurin para obtener la aproximación del área sombreada

de la siguiente figura.

A r t ≈

2 3

12

lím lím lím R R R

I E e

R E

te

L E t

L

Rt L

Rt L

→ → →+ +

−

+

−

= −

=

=0 0 0

1

1

0

0

lím lím lím R R R

I E

R

e E e

R

Rt L

Rt L

→ → →+ +

−

+

−

= −

= −

0 0 0

11

lím R

I → +0

I E

Re

Rt L= −

−

1

a

t

r

C

B

h

t/2

FIGURA 7. Cálculo aproximado del área sombreada por medio de un adecuado polinomio de Taylor.




solución

El área sombreada A es igual al área del sector circular delimitado por OBC menos el área del triángu-

lo ∆OBC . Ahora bien, el área del sector circular es mientras que el área del triángulo es . Co-

mo , mientras que , se tiene que:

donde hemos usado la identidad sen(2θ ) = 2sen(θ )cos(θ ). Si ahora calculamos un polinomio de Maclaurin

de grado 3 de la función f (t ) = sen(t ), obtenemos f (t ) = cos(t ), f (t ) = −sen(t ) y f (t ) = −cos(t ), de donde

. De aquí se sigue que:

A r t r

t t r t

≈ − −

=2 2 3 2 3

2 2 6 12.

p t f f

t f

t f

t t t

32 3

3

00

1

0

2

0

3 6( ) ( )

( )

!

( )

!

( )

!= + + + = −

A r t

r t t

r t r t = −

= −2

22 2

2

22 22 2 2

sen cossen( )

BC r t

=

22

senh r t

=

cos2

BC h⋅2

r t 2

2

1. En cada caso, muestra que la función f satisface las condiciones del teorema del valor medio en el in-

tervalo dado y determina el valor c ∈ (a, b) que satisfaga la ecuación .

a) f ( x) = x2 + 2 x − 1, [0, 1] b) f ( x) = Arcsen( x), [−1, 1]

2. Sea , 0.5 ≤ x ≤ 2.

a) Determina la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos (0.5, f (0.5)) y por (2, f (2)).

b) ¿Existe una recta tangente a la curva de pendiente igual a la calculada en el inciso anterior en el in-tervalo dado? Si tu respuesta es afirmativa, encuéntrala.

3. Halla los siguientes límites:

a) b) límtan

sen x

x x

x x→

−−0

( )

( )lím

sen x

x xe e

x→

−−0 ( )

f x x x

( ) = +1

f c f b f a

b a( )

( ) ( )=

−−





c) e)

d ) f )

En los incisos del g) al i) usa: uv = Exp[vln(u)] y la continuidad de la función Exp.

g) i)

h)

4. En cada uno de los siguientes casos, obtén el polinomio de Maclaurin pn( x) que se solicita.

a) f ( x) = ln(cos( x)); p4( x) c) f ( x) = Arcsen( x); p3( x)

b) f ( x) = cosh( x); p4( x) d ) ; p3( x)

5. a) Muestra que para cualquier valor de k ∈ se cumple que:

b) Toma en el inciso a), y deduce que:

( )!

( )

!

( ) ( )

!a b a

k a b

k k a b

k k k n

na bk k k k k n n+ ≈ + +

−+ +

− − +− − −

1

1

2

1 11 2 2L

L

x b

a=

( )!

( )

!

( ) ( )

![ ]

( )

1 11

1

2

1 12 1+ = + + −

+ + − − +

+ + x

k x

k k x

k k k n

n x o x

k n

p x

n

n

LL

1 2444444444 3444444444

f x x x( ) = + + ln 1 2

lím x

xa

x→+∞+

1

límsen

φ

φφ

φ

→

0

12( )

lím x

x x→

−1

1

1

límln x

x

x x→ − −

1 1

1

( )lím

ln

Arctan x

x

x

x→+∞

+

−

21

2 ( ) π

límsen

x

xe x x

x x→

−+0 2 53

( )lím

ln sen

x

x

x→ −( )π π2

22

( ( ))


tuaciones.

1. Cálculo e infracciones de tránsito

Con base en la teoría desarrollada en esta sección, lee nuevamente el problema “Cálculo e

infracciones de tránsito” planteado en la introducción de esta sección y da respuesta fun-damentada a las preguntas que ahí se formulan.




2. El Arca de Noé

En el capítulo 6, versículo 15 del libro del Génesis, se hace una breve descripción de las di-mensiones del arca de Noé. De acuerdo a esta descripción, se ha determinado que el arca

era un navío muy parecido a una “caja rectangular cerrada” construida con madera de “go-fer” (posiblemente ciprés). Actualmente se sabe que el arca fue la embarcación más grande

jamás construida hasta que se botó el Eturia de la Cunard en el año de 1884.En teología, es tema de debate el hecho de que Noé y su familia (8 personas en total) hu-

biesen podido construir un navío de tales dimensiones. Tu trabajo consiste en estimar lacantidad (en toneladas) de madera que un navío de esta naturaleza hubiese requerido. Con-sidera la siguiente guía de solución.

a) Investiga qué establecen la ley de Hooke y la segunda ley de Newton.

b) Enuncia el principio de Arquímedes que habla acerca de un cuerpo parcial o totalmentesumergido en un líquido.

c) Supón que después del diluvio el mar se hubiese comportado como una gran piscina yque “ x” hubiera sido el nivel del agua sobre el arca medida desde la posición de equili-brio, no determinada, y que por efecto de la gravedad y del empuje del agua sobre el ar-ca, ésta hubiese oscilado hacia arriba y hacia abajo con un periodo igual a 0.8 segundos.Usa la ley de Hooke, la ley de Newton y el principio de Arquímedes, para establecer laecuación diferencial que habría regido el movimiento del arca. Cabe la aclaración de que

la ecuación buscada tiene la forma ; ¿cuál es el valor de a? Requerirás leer

el capítulo 6, versículo 15 del libro del Génesis.

d ) Sea x = x(t ) una solución de la ecuación hallada en c). Propón un polinomio de Maclau-rin de grado 8 como aproximación de la solución, esto es,

Sustituye esta aproximación en la

ecuación diferencial y determina los coeficientes A0, A1, A2,…, A8.

e) Calcula los polinomios de Maclaurin de grados 5 y 6 de las funciones f (t ) = cos(t ) y g(t ) =sen(t ), respectivamente, vincula el resultado con lo que hallaste en d ).

f ) Usando identidades trigonométricas, muestra que:

De tu solución en e) y de la identidad anterior, determina el periodo de la oscilación del

arca en términos de W .g) Ahora, estima la cantidad de madera (en toneladas) que se requirió para construir este

navío.

h) ¿Cómo se modifican tus resultados si el valor del periodo obtenido en el inciso c) cam-bia? Ajusta tus cálculos para llenar la siguiente tabla para los valores del periodo que seindican en la primera columna. Emite tu opinión sobre el impacto de este dato en tuscálculos.

x C at C at C C at = + = + +( )1 2 12

22cos sen sen( ) ( ) φ

d x

dt a x

2

22 0+ =

x t A t A A t A t A t j

j

j( ) .≈ = + + + +=∑0

8

0 1 2 2 8 8K

d x

dt a x

2

22 0+ =




i) Complementa esta actividad con tus conclusiones (caben todas las opiniones relaciona-das). Fundamenta tus observaciones en tus cálculos y en todo aquello que consideres útilal respecto de este problema.

2. Velocidad de las olas por efecto de un tsunami

Un tsunami reciente (ocurrido el domingo 26 de diciembre de 2004 a las 07:58:53 hora lo-cal de Indonesia), y el más devastador de los registrados hasta hoy, se presentó en la costaOeste de Sumatra a causa de un gran terremoto de magnitud 9.0 que fue localizado en lacosta Oeste de Sumatra (ver http://www.ineter.gob.ni/geofisica/tsunami/com/20041226-in-donesia/#anchor187866 ).

La siguiente situación tiene que ver con la velocidad de una ola (o serie de ellas) causa-da por efecto del fenómeno natural llamado “tsunami”.

Periodo (T) Cantidad de madera (toneladas)

0.6

0.8

1.0

1.2

Tabla 2 Esquema numérico de la relación entre el

periodo T y la cantidad de madera.

FIGURA 8. Los tsunamis provocan oleajes devastadores.

En la página WEB http://www.angelfire.com/nt/tsunamis/ se escribe lo siguiente: “Un

TSUNAMI (del japonés TSU: puerto o bahía, NAMI: ola) es una ola o serie de ellas quese producen en una masa de agua al ser empujada violentamente por una fuerza que la des-plaza verticalmente. Como puede suponerse, los tsunamis pueden ser ocasionados por te-rremotos locales o por terremotos ocurridos a distancia. De ambos, los primeros son losque producen daños más devastadores debido a que no se alcanza a contar con tiempo su-ficiente para evacuar la zona (generalmente se producen entre 10 y 20 minutos después delterremoto). Las MAREJADAS se producen habitualmente por la acción del viento sobre lasuperficie del agua y sus olas tienen una periodicidad que usualmente es de 20 segundos y




como máximo suelen propagarse unos 150 metros tierra adentro, como observamos en lostemporales o huracanes. Un TSUNAMI, en cambio, presenta un comportamiento opuesto, yaque el brusco movimiento del agua desde la profundidad genera un efecto de ‘latigazo’hacia la

superficie que es capaz de lograr olas de magnitud impensable. Los análisis matemáticosindican que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del producto entre la fuerza de

gravedad y la profundidad. Para tener una idea de esta velocidad tomemos la profundidadhabitual del Océano Pacífico, que es de 4 000 m, esto nos daría una ola que podría moversea 200 m/s, o sea a 700 km/h. De acuerdo con esto, las olas pierden su fuerza sólo cuandollegan a la costa, al disminuir la profundidad del océano. Sin embargo, aún en este caso, laaltura de las olas puede incrementarse hasta superar los 30 metros.”

Se tienen estudios de que la velocidad v de una ola está relacionada con la longitud deonda L y la profundidad media del agua d (ver figura 9), de hecho, puede demostrarse que:

a) Demuestra que en agua profunda .

b) En el texto de arriba se afirma: “ Los análisis matemáticos indican que la velocidad es

igual a la raíz cuadrada del producto entre la fuerza de gravedad y la profundidad” .Calcula un polinomio de Maclaurin de f ( x) = tanh( x) de grado adecuado a fin de que éste

tenga tres términos no nulos y demuestra que, cuando es pequeño, la afirmación del

texto es correcta; es decir, demuestra que . De esta manera, en agua poco pro-funda, la velocidad de la onda es independiente de la longitud de onda.

c) Encuentra una estimación para el valor de L en el caso del tsunami que se generó en elocéano Índico en el mes de diciembre de 2004.

v g d ≈

d

L

v g L≈2π

v g L d

L=

2

2

ππ

tanh .

FIGURA 9. La velocidad de la onda depende tanto de su longitud L comode la profundidad media del agua d .

d

L




1. Escoge la opción que contiene la aproximación cuadrática de en (0, 0).

a) c) p2( x) = x − x2

b) d )

2. Considera el cálculo de los siguientes límites y elige la opción que contenga la proposiciónverdadera:

a) Si se usa la regla de L´Hôpital:

b) Mediante un polinomio de Maclaurin de grado 3, podemos mostrar que:

, luego:

c) , pues y cot( x) → +∞ cuando x → 0+.

d ) Para el cálculo de , proponemos el cambio . Entonces:

3. Determina el valor del coeficiente de x4 en el polinomio correspondiente de Maclaurin para la

función .

a) c)

b) d )

4. Determina el polinomio de Maclaurin de grado 6 de la función f ( x) = cos( x). Después elige laopción que proporciona el valor de la derivada g(18)(0), donde g( x) = cos( x3).

a) c)

b) d ) 36520

!36720

!

−18720

!−18120

!

−53

−79

67

23

f x x

( )( )

=−

1

1 sen

límln

límln

límln x z z

x

x

z

z

z z→ →+∞ →+∞+ =

=−

=0

1

11

0( ) ( )

.

x z= 1límln x

x

x→ +0 ( )

1

x→ +∞lím cot

x x x

→ + −

=0

10( )

límln

lím x x

x

x

x

x x x

o x→∞ →∞

++

= +

− +

+=

1

1

1

2 3

02 3

4( )[ ]

ln( ) [ ] x x x x

o x+ = − + +12 3

2 34

límln

lím lím x x x

x

x

x

x→ → →+ + +

=

= =0 0 0

11

0( )

.

p x x x

2

2

12

( ) = + − p x x x

2

2

12 2

( ) = − +

p x x x

2

2

2( ) = +

f x x

x( ) =

+1




5. Relaciona cada inciso de la columna A con el inciso que le corresponde en la columna B.

Columna A Columna B

a)

b) p2( x) para sen2( x) alrededor de x = 0.

c)

d ) p4( x) para alrededor de x = 0.sen( ) x

x

límcosh

senh x

x

x→+∞

2 ( )

( )

lím sen x

x x→ +0

( ) i) 2

ii)

iii)

iv) No existe

v) x2

vi)

vii) 1

13 5

3 5

+ + x x

13 5

2 4

− + x x

! !

12

2

+ + x x

Respuestas a los


1. a) f es continua en [0, 1] y diferenciable en (0, 1). Buscamos c tal que . Tenemos:

; 2c = 1, .

b) f es continua en [−1, 1] y diferenciable en (−1, 1). Buscamos c ∈ (−1, 1) tal que .

De aquí resulta:

.

Es decir, o .

2. a) Como f (2) = f (0.5), deducimos de manera inmediata que la pendiente de la recta secante que pasa por(0.5, f (0.5)) y (2, f (2)) es cero. Por lo tanto, su ecuación es y = f (2) = 2.5.

b) Puesto que f es continua en [0.5, 2], diferenciable en (0.5, 2) y además f (2) = f (0.5), se cumplen las

condiciones del teorema de Rolle. Por lo tanto, podemos hallar un punto c ∈ (0.5, 2) tal que f (c) = 0.

Para encontrarlo, debemos resolver la ecuación , de donde c = ±1. Como c ∈ (0.5, 2), nos

quedamos únicamente con c = 1.

11

02− =c

c = ± − ≈ ±14

0 7712

π

.122− =c

π

=− −

=

π π

π 2 22 2

1

1

1 1

1 12−=

− −− −c

arcsen arcsen( ) ( )

( )

f c f f

( )( ) ( )

( )=

− −− −

1 1

1 1

c = 122 2

2 11

c + = − −( )

f c f f

( )( ) ( )

= −

−

1 0

1 0




3. a) 2 f )

b) 2 g)

c) h) ea

d ) −1 i)

e)

4. a) c)

b) d ) p x x x

3

3

6( ) = − p x

x x4

2 4

12 24

( ) = + +

p x x x

3

3

6( ) = + p x

x x4

2 4

2 12( ) = − −

13

16 e

−1 8

1e

12

1. c)2. d )3. a)4. c)5. (a, vii), (b, v), (c, i), (d , iii)



Unidad

Monotoníay teoría de extremo



8.1 Extremos relativos

8.2 Monotonía de funciones

8.3 Extremos absolutos

Los procesos naturales del cuerpo eliminan poco a poco el medicamento que toman los pacientes bajo tratamiento mé-dico. Por eso se deben tomar dosis cada determinado tiempo, de tal manera que la cantidad del medicamento seasuficiente para que sea efectivo. Sin embargo, hay que tener cuidado, porque demasiado medicamento es peligro-so, incluso puede provocar la muerte. La gráfica muestra la cantidad de medicamento en la sangre de cierto pacien-te como función del tiempo.

500

400

300

200

100

5 10 15 20 25 30 35Horas

Miligramos



372 Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

8.1 Extremos relativos

No es sorprendente que durante

más de un siglo, después de que

se hiciera del dominio público,

el Cálculo y sus aplicaciones

atrajeran a casi todos los

hombres más capaces.

E. T. Bell

Estudio de la torca automotriz con derivadas

Para las marcas estadounidenses, los sedanes grandes siempre han significado unsegmento en el que ofrecen las mejores cualidades y lo último en tecnología conel fin de conquistar a los compradores. Por esta razón, aspectos como la seguri-dad, la potencia, la estética y la comodidad del automóvil, son tan importantes.En la siguiente tabla te proporcionamos un registro con los valores de la funciónP = P(r ), el comportamiento del “par” que ofrece el Chevrolet Impala LS mode-lo 2000 en función de las revoluciones por minuto del motor.

Al observar la gráfica adjunta, puedes determinar cuál es el intervalo en horas entreuna dosis y la siguiente, así como la cantidad en miligramos por dosis. La gráfica nos diceque este paciente recibe en su sangre 200 miligramos del medicamento cada ocho horas.Supón que para que este medicamento sea efectivo, el paciente debe tener en su sangre

más de 180 miligramos del medicamento durante 50 horas. Sin embargo, más de 550miligramos, aunque sea por un instante, podrían provocarle la muerte. Si tú fueras el mé-dico y vieras esta gráfica, ¿Continuarías dándole 200 miligramos cada ocho horas?, ¿porqué?

Además de que las discontinuidades nos indican el momento en el cual el paciente re-cibe la dosis, la gráfica también nos muestra que los mínimos de medicamento ocurren

justo antes de tomar la siguiente dosis, y que la cantidad de medicamento decrece entredosis y dosis. En esta unidad estudiarás los mínimos, máximos y la monotonía de las fun-ciones, su relación con la derivada, su aplicación a diversos problemas: la torca automotriz(a veces llamada par o torque) y la determinación de la tarifa óptima del Metrobús en laCiudad de México.

El cálculo diferencial tiene una íntima relación con las aplicaciones pues surgió y

evolucionó en conjunto con la solución de problemas prácticos. Kepler, por ejemplo,descubrió las leyes del movimiento planetario, las cuales podrían parecer muy alejadasde las aplicaciones útiles en su época, pero también resolvió problemas “terrenales” y deimportancia práctica, como te darás cuenta al estudiar y resolver en este capítulo la de-terminación de la capacidad de barriles de vino austriaco. Uno de los objetivos de estelibro es que tu capacidad de análisis de las funciones, sus gráficas y sus aplicaciones, seauna función del tiempo creciente.



Las siguientes son las gráficas que corresponden a la tabulación de estos valores:

3738.1: Extremos relativos

(P) Par (kg-m)

(r) Revolucionesdel motor (rpm)

1000 25.4

1300 27.1

1600 30.8

1900 31.1

2200 30.5

2500 31.5

2800 33.9

3100 33.23400 32.7

3700 32.1

4000 31.8

4300 30.3

4600 29.6

Tabla 1 Mediciones hechas con un dinamómetroBOSCH FLA 203.

FIGURA 1. Chevrolet, Impala LS, modelo2000.

Fuente: Butrón, Jorge y equipo de

pruebas, “Sabor americano”, Automóvil , año 6núm. 5, mayo de 2000.




FIGURA 2. Cada inciso va mostrando la forma mediante la cual se lleva un proceso discreto, como el de la tabla 1, a un proce-so de tipo continuo, lo que permite el subsiguiente análisis usando la derivada.



Este tipo de información abunda en las aplicaciones, pero ¿qué significado tiene?Con tus compañeros, piensa y da respuesta a los siguientes cuestionamientos:

a) ¿Observas alguna relación entre las raíces de la función derivada P y los pun-

tos donde la función P obtiene sus valores máximos y mínimos (relativos)?b) Como en la lectura de cualquier texto coloquial, una gráfica debe leerse de iz-

quierda a derecha. Observa los puntos donde se obtiene un valor máximo, ¿có-mo cambia el signo de la primera derivada en esos puntos?, ¿cómo lo hace enaquellos otros donde la función P logra valores mínimos? Escribe tus conclu-siones.

c) Haz un bosquejo de la gráfica correspondiente a la segunda derivada sobre elmismo sistema que se muestra en la figura 2h. ¿Qué puedes decir al respectode los signos de la segunda derivada en aquellos puntos donde la función P lo-gra un valor máximo o mínimo? Escribe tus conclusiones.

Los resultados de la sección anterior nos permitirán establecer ahora métodos ycriterios para una fuente de diversas aplicaciones de la ciencia y la ingeniería: la

teoría de los máximos y mínimos de una función.


Introducción

Diversas aplicaciones del Cálculo van encaminadas a la determinación de lascondiciones óptimas de una situación, esto es, a la localización de puntos queproporcionen el valor máximo o mínimo de una función que modela ciertarealidad. Pues bien, el propósito de esta sección es mostrarte la extraordina-ria conexión que existe entre el comportamiento de una función y el de suderivada; en efecto, la derivada nos proporcionará los puntos ‘candidatos’paralograr los estados óptimos y además nos ofrecerá los ‘criterios de decisión’porlos cuales disiparemos la interrogante de si un punto es o no un valor extremode una función. De entre estos criterios destacan, tal vez por el énfasis de losactuales libros de texto, los criterios de la primera y de la segunda derivada;sin embargo, apoyados en la teoría de la sección anterior, estaremos en laposibilidad de proporcionarte los esquemas de prueba más generales.

Objetivos


a) Definir los siguientes conceptos: Puntos críticos de primer orden deuna función, valor máximo y mínimo relativo (o local) de una fun-ción.

b) Enunciar y aplicar el teorema que establece que todo número dondeocurre un extremo local de una función es un punto crítico.

c) Establecer y aplicar los criterios de esta sección para decidir si unpunto crítico de una función es o no un valor extremo relativo.



Teoría de máximos y mínimos

Antes de empezar, requerimos de la siguiente definición que formará parte del lenguajeque emplearemos de aquí en adelante:


Definición

Sea f una función definida en un intervalo I , y x0 un punto cualquiera de I . Sedice que f tiene un máximo relativo o local (respectivamente mínimo relativo

o local ) en x0, si existe un entorno E ( x0, r ) de x0 tal que para cualquiera que sea x ∈ I ∩ E ( x0, r ), se verifica que f ( x) ≤ f ( x0) (respectivamente, f ( x) ≥ f ( x0)). A losmáximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos y a las respecti-vas evaluaciones f ( x0) valores extremos relativos.

Nota.

1. De las definiciones anteriores se deduce que si en un punto interior x = x0 de I , f tie-ne un valor extremo, entonces para todo h suficientemente pequeño:

i) f ( x0 + h) − f ( x0) ≤ 0 si tiene lugar un máximo relativo en x = x0.

ii) f ( x0 + h) − f ( x0) ≥ 0 si tiene lugar un mínimo relativo en x = x0.

2. Si x0 ∈ I es un punto frontera, i) y ii) se mantienen a condición de que h > 0 o h < 0con el fin de que x0 + h ∈ I .

Las siguientes gráficas muestran todas las posibilidades donde puede presentarse unextremo relativo.

y

x0 x1

x2 x3 x4 x

y

a b x0

4

3

2

1

x

a) Máximos y mínimos relativos en puntos x0, x1, x2, x3, x4 donde la derivada de la función es igual acero.

b) Una función f definida en [a, b] para la cual setienen máximos relativos en x = a y x = b (pun-tos frontera) y un mínimo relativo en el punto x0donde la derivada de la función es igual a cero.




x0

6

5.5

54.5

4

3.5

0.5 1.5 2 x

0.5

y

x0

6

5.5

54.5

4

3.5

0.5 1.5 2 x

0.5

y

32.5

2

1.5

1

0.5

y

x x0 x0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

y

2 1 21 x

x0

c) Máximo relativo en el punto x0 donde lafunción es discontinua y en consecuenciano tiene derivada.

d ) Mínimo relativo en el punto x0 donde la fun-ción es discontinua y en consecuencia notiene derivada.

c) Mínimo relativo en el punto x0 donde la funciónno tiene derivada debido a que f +( x0) ≠ f −( x0).

d ) Mínimo relativo en el punto x0 donde la fun-ción no tiene derivada debido a que

.lím x x

f x→

= ± ∞0

( )

FIGURA 3. Ilustración gráfica de los posibles casos donde puede presentarse un extremo relativo.

Teorema del extremo relativo de Fermat (condición necesaria).

Sea f una función definida en un intervalo I , y derivable en un punto interior x0de I . Si f tiene un extremo relativo en x = x0, entonces la derivada en este pun-to es igual a cero.

Demostración.

Supón que en x = x0, f presentará un máximo relativo (para el caso de un mínimo relati-vo se razona de manera similar). Entonces:

a) Para h > 0 suficientemente pequeño: , así

. Análogamente, para h < 0 suficientemente pequeño:

, por lo cual . f x f x h f x

hh−

→=

+ −≥

−( )

( ) ( )0

0

0 0 0lím f x h f x

h

( ) ( )0 0 0+ −

≥

f x h f x

hh→

+ −≤

+

( ) ( )

0

0 0 0lím

f x h f x

h

( ) ( )0 0 0+ −

≤



Como f tiene derivada en x = x0, se concluye que f ( x0) = f +( x0) ≤ 0 y f ( x0) = f −( x0) ≥ 0,de donde resulta que f ( x0) = 0.

Nota. El recíproco del teorema anterior es falso en general. Por ejemplo, para la fun-ción f ( x) = x3, f ( x) = 0 si x = 0. Sin embargo, la gráfica de f revela, en x = 0 que no tienemáximo ni mínimo relativo.


y

x

1

0.75

0.5

0.25

0.5 1

1

0.250.5

0.75

1 0.5

FIGURA 4. Una función puede cumplir f ( x0) = 0 sin tener extremo relativo en x = x0.

Considera f ( x0 + h) − f ( x0) = ( x0 + h)3 − x03 de manera algebraica. Como se ha señalado,

esta expresión debería tener para h suficientemente pequeño un mismo signo en caso deextremo relativo; no obstante, con x0 = 0: f ( x0 + h) − f ( x0) = ( x0 + h)3 − x0

3 = h3 que cambiade signo dependiendo del signo de h, sin importar que tan pequeño sea h. De aquí se

concluye nuevamente que f no tiene extremo relativo en x0 = 0.¿En dónde se presentan los valores extremos? Los extremos relativos pueden presen-

tarse en tres categorías de puntos: aquellos donde la derivada es igual a cero (puntosestacionarios), aquellos donde la derivada no existe (puntos singulares) y aquellos queestán en la frontera del intervalo. A fin de tener un lenguaje apropiado con el cual se puedahacer mención de todos ellos, establecemos la siguiente definición:

Definición

Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. Un punto x0 ∈ [a, b] es un pun-

to crítico de f si satisface alguna de las siguientes condiciones:

a) x0 ∈ (a, b) y f ( x0) = 0 ( punto estacionario), ob) x0 ∈ (a, b) y f ( x0) no existe ( punto singular), o

c) x0 es un punto frontera de [a, b], esto es, x0 = a o x0 = b

Cabe insistir en el siguiente hecho, una función no necesariamente tiene un extremorelativo en un punto crítico. Por ello, los puntos críticos sólo son puntos “candidatos” a



máximos o mínimos relativos de f . Una vez obtenidos los puntos críticos de una función,queda como tarea determinar su naturaleza, es decir, debemos decidir si en ellos hayvalores extremos de la función o no. Para responder a esto existen varios criterios que tepresentamos a continuación. Por cuestiones de claridad, repetimos un criterio de carácter

algebraico del que se habló en la definición de extremo relativo.


Criterio algebraico.

Sea f una función definida en un intervalo I y x0 ∈ I . Si para toda h suficiente-

mente pequeño, x0 + h ∈ I y:

i) f ( x0 + h) − f ( x0) ≤ 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = x0.

ii) f ( x0 + h) − f ( x0) ≥ 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = x0.

Demostración de i).

Supón que h < 0 es suficientemente pequeño. En el intervalo [ x0 + h, x0] se satisfacen las

condiciones del teorema del valor medio, luego existe un valor c tal que x0 + h < c < x0

para el cual . Como h < 0, deducimos que f ( x0 + h) − f ( x0)

< 0. De manera similar, para h > 0 suficientemente pequeño, considera el intervalo [ x0, x0 + h], en éste se cumplen las condiciones del teorema del valor medio. Así, existe un

valor c tal que x0 < c < x0 + h para el cual . Como h > 0

concluimos que f ( x0 + h) − f ( x0) < 0. En consecuencia f ( x0 + h) − f ( x0) ≤ 0, para todo h

suficientemente pequeño, y esto implica que f tiene un máximo relativo en x = x0.

f x h f x

h f c

( ) ( )( )0 0 0

+ −= <

f x h f x

h f c

( ) ( )( )0 0 0

+ −= >

Criterio de la primera derivada para extremos relativos.

Supón que f es una función continua en todos los puntos del intervalo abierto(a, b) que contiene al punto crítico x0, y supón que f existe en todos los pun-tos de un entorno E ( x0, r ), excepto posiblemente en x0.

i) Si f ( x) > 0 para todo x cercano y a la izquierda de x0; y, f ( x) < 0 para todo x cercano y a la derecha de x0, entonces f tiene un máximo relativo en x = x0.

ii) Si f ( x) < 0 para todo x cercano y a la izquierda de x0; y, f ( x) > 0 para todo x cercano y a la derecha de x0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = x0.



Demostración de i).

Supón que se cumplen las condiciones de este inciso. En el teorema de Taylor toma x − x0 = h, entonces:

Como f ( x0) < 0 y como para h suficientemente pequeño o[h3] ≈ 0, concluimos que:

,

de aquí, f tiene un mínimo relativo en x = x0. La demostración de la parte ii) es similar.Cuando f ( x0) = 0 y f ( x0) = 0, puedes usar el siguiente criterio más general:

f x h f x f x

h( ) ( )( )

( )0 00 2

20+ − ≈ >

f x h f x f x h f x

h o h( ) ( ) ( )( )( )

( ) [ ]0 0 00 2 3

2+ − = + +


Criterio de la segunda derivada para extremos relativos.

Supón que la función f tiene en un entorno del punto x = x0, derivadas primeray segunda continuas, y además considera que x = x0 es un punto crítico estacio-nario, esto es, f ( x0) = 0, entonces:

i) f ( x0) > 0 implica que f tiene un mínimo relativo en x = x0.

ii) f ( x0) < 0 implica que f tiene un máximo relativo en x = x0.

iii) El criterio falla si f ( x0) = 0.

Criterio de la derivada n-ésima para extremos relativos.

Si la función f tiene en un entorno del punto x = x0, derivadas continuas hastade orden n inclusive, y si: f ( x0) = f ( x0) = = f (n−1)( x0) = 0, y f (n)( x0) ≠ 0, en-tonces:

a) Para n impar, la función no tiene valores extremos en x = x0.

b) Para n par, la función tiene un máximo relativo si f (n)( x0) < 0.

c) Para n par, la función tiene un mínimo relativo si f (n)( x0) > 0.

Demostración.

Aunque podría bosquejarse una demostración similar a la dada en el criterio de la segun-da derivada, preferimos ofrecerte una visión geométrica que haga plausible la veracidadde la afirmación del criterio anterior.

En efecto, para analizar el comportamiento de una función f en las proximidades deun cierto punto x = x0, un buen recurso es aproximar localmente (por medio de un desarro-llo de Taylor apropiado) la función dada por medio de funciones que sean de más fácil

La demostración de la parte ii) de este criterio es similar.



estudio. Como dijimos, se espera que si las cosas van bien, del examen de éstas se pue-dan sacar las conclusiones correspondientes para f . En nuestro caso, si

Dado que f ( x0) = f ( x0) = = f (n−1)( x0) = 0, resulta que:

para x suficientemente cerca de x0. La figura 5 ilustra las diferentes posibilidades que se

pueden presentar desde un punto de vista gráfico.

f x f x

n x x

nn( )

( )

!( )

( )

≈ −00

f x f x f x x x f x

x x f x

x x

f x

n x x

f x

n x x o x x

nn

nn n

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

!

( )

( )

( )!( )

( )

!( ) [( ) ]

( ) ( )

= + − + − + − + +

+−

− + − + −−

− +

0 0 00

02 0

03

10

01 0

0 01

2 3

1

L


x0 x

y y

x x0

x0

y

x

x0

x y

a) Éste es el tipo de gráfica al que se parece local-mente la gráfica de la función f cerca de x = x0para el caso n impar y f (n)( x0) > 0. De aquí se in-fiere que la función f NO tiene extremo relativo

en x = x0.

b) Éste es el tipo de gráfica al que se parece local-mente la gráfica de la función f cerca de x = x0para el caso n impar y f (n)( x0) < 0. De aquí se in-fiere que la función f NO tiene extremo relativo

en x = x0.

c) Éste es el tipo de gráfica al que se parece local-mente la gráfica de la función f cerca de x = x0para el caso n par y f (n)( x0) > 0. De aquí se in-fiere que la función f tiene un mínimo relativoen x = x0.

d ) Éste es el tipo de gráfica al que se parece local-mente la gráfica de la función f cerca de x = x0para el caso n par y f (n)( x0) < 0. De aquí se infie-re que la función f tiene un máximo relativo en x = x0.

FIGURA 5. Análisis local de una función apoyado en Taylor.



Ejemplos

solución


Ejemplo 1.

En cada caso, considera la función f definida por:

a) f ( x) = x4 − 4 x3 + 6 x2 − 4 x + 7.

b) f ( x) = 2( x − 1)2( x + 4)3 x.

Determina los puntos críticos de cada función y haz un estudio del comportamiento local que se tieneen ellos.

En ambos casos se observa que los únicos puntos críticos que se pueden tener son de tipo estacionario,esto es, puntos para los cuales f ( x0) = 0.

a) Hallamos la primera derivada de la función: f ( x) = 4 x3 − 12 x2 + 12 x − 4 = 4( x − 1)3. De este cál-culo se obtiene que x = 1 es el único punto crítico. Ahora bien, f ( x) = 12( x − 1)2, y en consecuen-cia, f (1) = 0. También, f ( x) = 24( x − 1); por lo cual f (1) = 0; por último, f (4)( x) = 24 > 0. Conbase en el criterio de la derivada n-ésima, concluimos que f tiene un mínimo relativo en x = 1.

b) Si calculamos la primera derivada por medio de:

(uvw) = uvw + uvw + uvw, para u = u( x), v = v( x) y w = w( x)

obtenemos:

f ( x) = 2( x − 1)2( x + 4)3 + 6( x − 1)2( x + 4)2 x + 4( x − 1)( x + 4)3 x

= 2( x − 1)( x + 4)2[( x − 1)( x + 4) + 3 x( x − 1) + 2 x( x + 4)]

= 4( x − 1)( x + 4)2[3 x2 + 4 x − 2] = 0

Observa que, para el cálculo de los puntos críticos, ha resultado conveniente no desarrollar la expre-sión, sino mantenerla factorizada. Al resolver la ecuación anterior, hallarás los siguientes puntos

críticos estacionarios: x0 = −4, y x3 = 1. El tipo

de función del que se trata en el presente caso nos deja ver que el criterio de la primera derivada es ade-cuado para analizar a la función y sus puntos críticos. Determinamos ahora el correspondiente compor-tamiento de la función a partir de los signos de la primera derivada. Resumimos la información en lafigura 6.

x x1 21

32 10 1 72

1

32 10 0 387= − −( ) ≈ − = − +( ) ≈. , .

x0 x1 x2 x 3

Signos de f

Comportamiento de f

Aquí, ↑ o ↓ significa que la función es creciente o decreciente, respectivamente, en el intervalo co-rrespondiente. Del anterior diagrama concluimos que la función tiene mínimos relativos en x1 y en x3,y un máximo relativo en x2. En el punto x0, la función no tiene extremo relativo.




FIGURA 6. Observa la relación que existe entre la variación de signos de la fun-ción derivada (en azul) y los extremos relativos de la función f .

f f

x

y

5 4 3 2 1 1

solución

Ejemplo 2.

Considera la función , determina si la función f tiene o no un extremo relativo

en x = 1.

Lo primero que debemos notar es que esta función no es continua en x = 1. En efecto, como ,

mientras que , concluimos que f tiene una discontinuidad esencial de salto en x = 1.

Esto implica que ninguno de los criterios sobre primera, segunda o n-ésima derivada aplica. Sin embargo,sí podrás usar el criterio algebraico. Toma un h (suficientemente pequeño) y considera f ( x0 + h) − f ( x0) =

f (1 + h) − f (1). Dado que la función es seccionada, debemos considerar los casos h > 0, h < 0 y h = 0por separado. Tenemos:

Caso h > 0: , pues h es suficientemente pequeño.

Caso h < 0: f (1 + h) − f (1) = (1 + h)2 − 3 = h2 + 2h − 2 < 0, pues h es suficientemente pequeño.

Caso h = 0: evidentemente, f (1 + h) − f (1) = f (1) − f (1) = 0. En síntesis, en cualquiera de los tres casos

concluimos que f (1 + h) − f (1) ≤ 0, por lo tanto la función f tiene un máximo relativo en x = 1.

Ejemplo 3.

Considera la función f ( x) = sen(2 x) + 2cosh( x). Determina sus extremos relativos, si acaso tiene al-guno.

f h f h h( ) ( ) ( )1 1 2 15

23 2

5

20+ − = − + + − = − − <

lím x

f x→ +

=1

1

2( )

lím x

f x

→ −

=1

1( )

f x

x x

x

x x

( ) =<=

− + >

2 1

3 0

25

21

,

,

,




solución

solución

En primer lugar, debes averiguar si la función tiene puntos críticos. Si calculas la primera derivada dela función, obtendrás que f ( x) = 2cos(2 x) + 2senh( x). Así que, hallar puntos críticos se convierte, eneste caso, en resolver la ecuación 2cos(2 x) + 2senh( x) = 0. Aplicando el método de Newton, encontra-rás una solución (aproximada) con r = −0.506812. Ahora bien, una aproximación local de la funciónpor medio de un polinomio de grado 2 alrededor de r = −0.506812, te conducirá a: p2( x) = 1.41365 + 2.82871( x + 0.506812)2, ¡una parábola que abre hacia arriba! Es decir, la función f

( x) = sen(2 x) + 2cosh( x) se “parece” a p2( x) cerca del punto r = −0.506812. De aquí se deduce que lafunción tiene un mínimo relativo en su (único) punto crítico.

f f

Ejemplo 4.

Ahora considera la función , haz un estudio de la función para encontrar (si existen)

sus extremos relativos.

Observa en primer lugar que la función está definida y es continua en todo número real. Al calcular laprimera derivada, encontrarás que:

Por lo tanto, la derivada existe en todos los puntos con excepción de x = 0 y x = 4. De esta manera, la

función tiene 3 puntos críticos: x = 0, x = 4 que son puntos críticos singulares y que es un pun-

to crítico estacionario. Nota ahora que y que ; deducimos de esto quepara x “suficientemente pequeño”, x < 0 implica que f ( x) < 0; mientras que para x > 0, f ( x) > 0. De esto

concluimos que f tiene un mínimo relativo en x = 0. Si calculas ahora la segunda derivada de la función,

hallarás . Como es un punto crítico estacionario, podrás utilizar el cri- x = 83 f x

x x

( )( )

= −−

32

9 44

35

3

lím x

f x→ + = +∞

0( )lím

x

f x→ − = −∞

0( )

x = 83

f x x

x x( )

( )=

−

−

8 3

3 4 23

f x x x( ) = −4 2 33

FIGURA 7. Muestra simultáneamente las gráficas de la función ysu derivada, observa que la derivada cambia su signoalrededor del punto crítico de valores negativos avalores positivos.




terio de la segunda derivada, tenemos que , por lo tanto, la función tiene

un máximo relativo en . Por último, para el punto x = 4 observa que:

y

Esto significa que para todos los valores de x suficientemente próximos a 4 (tanto a la derecha como ala izquierda de este punto), la derivada es negativa. En consecuencia, en este punto, la función no tienemáximo ni mínimo.

lím lím x x

f x x

x x→ →+ +=

−

−= −∞

4 4 23

8 3

3 4( )

( )lím lím

x x

f x x

x x→ →− −=

−

−= −∞

4 4 23

8 3

3 4( )

( )

x = 83

f ( )83

32

983

483

043

53

= −

−

<

1. Considera las siguientes funciones y determina sus extremos relativos en los dominios indicados; encaso de que éstos no se señalen, considera que son los más amplios posibles.

a) y

= − x4

+2 x2

b) y = 3 x5 − 125 x3 + 2160 x

c)

d )

e)

f )

g)

h) y = cos( x) + sen( x); .

i) y = x + tan( x)

j) y = e x sen( x)

− ≤ ≤π π

2 2 x

y x

x= ln( )

y x x

x x=

− ++ +

2

2

3 2

3 2

y x e x= −

y x= − +( )3 2 11

3

y x= − −( )2 12

3

k ) ; aquí a y b son constantes positivas. Analiza los casos: a = b y a ≠ b.

l) , donde Exp(a) = ea.

m) y = cos( x) Exp(tan( x)); .02

≤ ≤ ≠ x xπ π

;

y Exp

x

xsi x

si x

=−

≠

=

10

0 0

2 ,

,

y a

x

b

a x= +

−

2 2





2. Considera la función , y estudia a , para x > 0.

a) Determina los puntos críticos estacionarios de la función g.b) Estudia el comportamiento de la función g cuando x → 0+ y cuando x → +∞.

c) A partir de los incisos a) y b) indica cuántas raíces debe tener la función f .

3. Considera la función , y responde a los siguientes cuestionamientos para x > 0:

a) Determina los puntos críticos (si existen) de la función f e indica su naturaleza.

b) Estudia el comportamiento de la función f cuando x → 0+ y cuando x → +∞.

c) A partir de los incisos a) y b) deduce cuántas raíces debe tener la función f y los intervalos en losque éstas se encuentran.

f x x x

( ) ( )= − +2 11

ln

z g x f x

x= =( )

( ) f x x x

x( ) ( )= +

−ln

1

4

2

Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-tuaciones:

1. Con base en la teoría desarrollada en esta sección, vuelve con tus compañeros al problema“Estudio de la torca automotriz con derivadas” de la introducción y da respuesta funda-mentada a las preguntas que ahí se formulan.

2. El secreto de los barriles austriacos de vino

Johannes Kepler (1571-1630) es mejor conocido como astrónomo, sobre todo por sus tresleyes del movimiento planetario. Sin embargo, sus descubrimientos se debieron ante todo asu brillantez como matemático. A partir de la observación hecha por Johannes Kepler, en supropia casa, de cómo un vinatero austriaco medía rápida y misteriosamente la capacidad dediferentes barricas de vino que había comprado días antes, Kepler decidió investigar las le-yes geométricas de esta medición doméstica de tanta utilidad. El resultado de su trabajo, la

Nova Stereometria Doliorum Vinariorum —Nueva geometría sólida de las barricas de vino;más detalles en http://thales.cica.es/epsilon/art04.htm—, publicada en Linz en 1615, ha-bría de ayudar a establecer los fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral y a impulsarla aplicación de las matemáticas a la solución de problemas de la vida real. Su estudio so-bre estos barriles abarcó, a grandes rasgos, las siguientes observaciones:

i) Cada barril tenía un agujero en la mitad de su costado. El comerciante de vino inserta-ba una varilla en el agujero hasta alcanzar el rincón más lejano y luego anunciaba el vo-lumen. Kepler analizó primero el problema para el caso de un barril cilíndrico, hastadonde limitaremos nuestro estudio.




ii) Como recordarás, el volumen del cilindro es V = π y2 h, donde y es el radio del cilindroy h su altura. Con fines de simplificación toma h = 2 x, de este modo V = 2π y2 x. Tomaa z como la medida de la varilla y establece la relación existente entre el radio, la altu-

ra del cilindro y la longitud de la varilla.

iii) El misterio para Kepler era cómo calcular V conociendo solamente z. La observaciónclave hecha por Kepler era que los barriles de vino austriacos estaban hechos con lamisma razón entre la altura y el diámetro (para nosotros ). Considera y de-

muestra que .

iv) Usa el inciso iii) para reemplazar y2 en la fórmula del volumen. Luego reemplaza x de

acuerdo a la relación que determinaste en ii) y demuestra que . En esta

fórmula, t es una constante, de manera que el comerciante podía medir z y hacer un es-

timativo rápido del volumen. Sin embargo, aún no hemos dicho a qué es igual t .

v) Encuentra el valor de t que maximiza el volumen para un z dado. Kepler verificó que,en efecto, ¡ésta es la razón usada en la construcción de los barriles de vino austriacos!

V z t

t

=+( )

2

4

3

23

2

π

z

yt

2

22 4= +

t x y= x

y

2 y z

2 x b)

a)

FIGURA 8. Acercamiento al problema de los barriles de vino austriacos.




1. Una función f continua y diferenciable en (0, 6) satisface las siguientes condiciones: f (0) = 3; f (3) = 0; f (6) = 4; f (3) = 0; f ( x) < 0 en (0, 3); f ( x) > 0 en (3, 6); f ( x) > 0 en (0, 5); f ( x) < 0en (5, 6). Escoge la opción que contiene una afirmación falsa acerca de la función.

a) La función es decreciente en el intervalo (5, 6).

b) La función tiene un mínimo relativo en x = 3.

c) La función tiene un máximo relativo en x = 6.

d ) La función tiene un mínimo absoluto en x = 3.

2. Elige la opción que contiene la proposición verdadera respecto a la siguiente información: Siuna función f tiene derivadas continuas hasta de orden 3 en un entorno de x = c y cumple ade-

más que f (c) = f (c) = 0 y f (c) > 0, entonces:

a) La función tiene un máximo relativo en x = c.

b) La función no tiene valores extremos en x = c.

c) La función tiene un mínimo relativo en x = c.

3. Considera la función dada por f ( x) = @ x3 − 9 x @. Escoge el inciso que contiene la afirmación co-rrecta.

a) La función no tiene puntos críticos, por lo tanto no tiene valores máximos ni mínimos.

b) La función tiene 3 mínimos relativos en x = ± 3 y en x = 0; tiene además 2 máximos rela-

tivos en .c) La función tiene tres máximos relativos en x = ± 3 y en x = 0; tiene además 2 mínimos re-

lativos en .

d )La función tiene un máximo relativo en , y un mínimo relativo en .

4. Elige la opción que proporciona la afirmación correcta para la función f ( x) = x4 − x2 − ln( x).

a) La función tiene un máximo relativo en .

b) La función no tiene extremos relativos.

c)La función tiene un mínimo relativo en .d ) La función tiene un máximo relativo en x = 0.7913 (aproximado).

x = ≈

+1 5

2 0 899.

x = ≈+1 5

20 899.

x = 3 x = − 3

x = ± 3

x = ± 3



Respuestas a los



5. Encuentra en la columna B las respuestas correspondientes a los cuestionamientos de la co-lumna A.

Columna A Columna B

a) De la función puededecirse que:

b) De la función puede

decirse que:

c) De la función f ( x) = x4( x − 1)3 + 1 puededecirse que:

d ) De la función puede

decirse que:

f x x

x( )

=

+( )

+( )

3

2

3

2

f x x x

x( ) =

− −+

2 2 21

6 14

f x x x( ) =

1

i) f (4)(0) < 0, por lo tanto la funcióncorrespondiente tiene un máximorelativo en x = 0.

ii) No tiene valores extremos en nin-gún punto.

iii) f (3)(−3) > 0, por lo tanto la fun-ción tiene un mínimo relativo en

x = −3.

iv) Tiene un máximo relativo enQe, e

1 eR.

v) Tiene un máximo relativo en.

vi) f (4)(0) > 0, por lo tanto la funcióncorrespondiente tiene un mínimorelativo en x = 0.

vii) Tiene un mínimo relativo enQe, e

1 eR.

viii) f (3)(−3) ≠ 0, por lo tanto lafunción no tiene un valorextremo en x = −3.

x = − 73

1. a) ymáx = 1 para x = ±1; ymín = 0 para x = 0.

b) ymáx = 3834 para x = 3; ymín = 3712 para x = 4; ymáx = −3712 para x = −4 y ymín = −3834 para x = −3.

c) ymáx = 2 para x = 1.

d ) No hay máximo ni mínimo.

e) ymín = 0 en x = 0; para x = 1/2.

f ) para ; para . Observa cómo en

este caso un valor máximo relativo puede ser numéricamente menor que un mínimo relativo.

x = 2 ymín = −

+ ≈ −

4 3 2

4 3 20 0294. x = − 2 ymáx =

+−

≈ −4 3 2

4 3 233 97.

ye

máx =1




g) ymín = e para x = e.

h) para .

i) No hay máximo ni mínimo. j) Mínimo para ; máximo para .

k ) Caso a ≠ b: máximo para ; mínimo para . Si a = b, sólo hay mínimo para .

l) La función es continua en x = 0, de hecho, ymín = 0 para x = 0; para x = 2.

m) La función tiene dos mínimos relativos en x = 0 y en x = π .

2. a) Los puntos críticos estacionarios de g son . De aquí se deduce que el máximo y mínimoson de signos contrarios.

b) Si x → 0+, z → +∞, y si x → +∞, z → −∞.

c) De a) y b) se deduce la existencia de tres raíces: α , 1 y β .

3. a) La función tiene un mínimo relativo en

b)

c) La función tiene una raíz en x = 1, y del estudio de las respuestas en a) y b) se deduce que debe tener

una segunda raíz α tal que .01

2< <α

lím lím x x

f x f x→ → + ∞+

= + ∞ = + ∞0

( ) , ( ) .

1

21 2 2, ( ) .−

ln

x = ±2 3

y emáx =1

4

x a=

2 x

a

a b=

+

2

x a

a b=

−

2

x k = +23

4π π x k = −2

4π

π

x =π

4 ymáx = 2

1. a)2. b)3. b)4. c)5. (a, iv), (b, ii), (c, i), (d, viii)



Tarifa óptima del Metrobús

Las autoridades del gobierno de la Ciudad de México administran la línea delMetrobús, el cual la recorre de Norte a Sur por la Avenida de los Insurgentes. En lapágina del gobierno del D.F., http://www.setravi.df.gob.mx/noticias/detalleNoticias.html?id_noticia=463, puedes encontrar la siguiente información: “…un recorri-do completo consta de 40 kilómetros de longitud, por lo que el conjunto de los72 autobuses cada día transita 20 mil 160 kilómetros. De igual modo, cada uni-dad transporta 3 mil 472 pasajeros por día…”

La tarifa por viaje es de $3.00. Las autoridades están pensando en incremen-tarla a $3.50 para obtener mayores ingresos; por lo tanto, solicitan un estudio ala empresa consultora formada por ti y tu equipo de trabajo. Las autoridades es-timan que por cada incremento de $0.50 en la tarifa, la cantidad de pasajerosse reducirá en 1000 pasajeros por día.

¿Cuáles son las recomendaciones que tu empresa consultora hace a las autorida-

des del gobierno de la Ciudad de México? ¿Es conveniente aumentar la tarifa? Sies así, ¿qué cantidad es la adecuada?

3918.2: Monotonía de funciones

8.2 Monotonía de funciones

Comprender las cosas que nos rodean

es la mejor preparación para

comprender las cosas

que hay mas allá.

Hipatia1

FIGURA 1. El Metrobús.

Introducción

Situaciones como la anterior y otras más que analizaremos en esta sección, se-

rán resueltas con las ideas, conceptos y definiciones que estudiaremos, como el

uso de la derivada para analizar las propiedades de las graficas de funciones,

determinando los intervalos en los cuales sus gráficas crecen o decrecen.

Objetivos


a) Indicar cuándo una función es creciente o decreciente, mediante el uso de

la derivada.

b) Obtener la gráfica de la función derivada y viceversa, dada la gráfica de

una función.

1 Filósofa y matemática egipcia (aprox. 370- 415).




Funciones monótonas

En los periódicos, frecuentemente podemos leer noticias en las que se proporcionan da-

tos y graficas como la siguiente:

1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000

110100

908070

6050

40

302010

0

M i l l o n e s

12.6 13.6 15.2 14.3 16.6 19.725.8

34.9

48.2

66.8

81.291.2

97.5

1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000

110100

908070

6050

40

30

2010

0

M i l lones

12.6 13.6 15.2

14.3 16.6 19.7

25.834.9

48.2

66.8

81.291.2

97.5

FUENTE: INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000.

Para 1995: INEGI. Conteo de Población y vivienda.

De la grafica anterior podemos inferir que en México, desde 1895 al 2000, la pobla-

ción total ha aumentado. Si unimos los extremos de cada barra, podemos observar que

la población total puede representarse mediante una grafica de una función creciente, co-

mo se ve en la figura 3.

FUENTE: INEGI, Censos de Población y Vivienda, 1895-2000.

Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda.

FIGURA 2.

FIGURA 3.

Población total, 1895 a 2000

Población total, 1895 a 2000



Definiremos a continuación los conceptos básicos de monotonía en un punto y en un

intervalo, los cuales nos servirán para determinar el crecimiento y decrecimiento de las

gráficas de funciones como la mostrada anteriormente.


Definición de monotonía en un punto.

Sea f una función definida en un intervalo I , y a un punto en el intervalo. f es

monótona en a si se cumple una de las dos condiciones siguientes para todo x

y x en un cierto entorno de a

Si x < a < x y f ( x) < f (a) < f ( x) , entonces f crece en a.

Si x < a < x y f ( x) > f (a) < f ( x) , entonces f decrece en a.

Teorema.

Sea f derivable en a, si:

1. f (a) > 0, entonces f crece en a.

2. f (a) < 0, entonces f decrece en a.

3. f crece en a, entonces f (a) ≥ 0.

4. f decrece en a, entonces f (a) ≤ 0.

Demostración.

Parte 1: Suponemos que existe f (a) y sabemos que si f (a) > 0, entonces

, luego cerca de a; es decir, para todo x de un

cierto entorno de a, los términos del cociente f ( x) − f (a) y x − a tienen el mismo sig-

no. Por esto, podemos analizar para x en un entorno de a:

• x − a < 0 y f ( x) − f (a) < 0, o bien x < a ⇒ f ( x) < f (a) y

• x − a > 0 y f ( x) − f (a) > 0, es decir x > a ⇒ f ( x) > f (a),

f x f a

x a

( ) − ( )

− > 0lím

x a

f x f a

x a→

( ) − ( )

− > 0

f crece en a

f (a)

x a x

x

FIGURA 4.



Concluimos que f es creciente en el punto a.

Nota. Si f (a) < 0, la demostración se hace de manera similar.

Parte 2: Si f crece en a, entonces f (a) ≥ 0; efectivamente, de no ser así, se verificaría

f (a) < 0 y, de acuerdo con el resultado anterior, f sería decreciente en a, lo cual contra-

dice la hipótesis.

Nota. Si f es decreciente, la demostración se hace de forma análoga.


Definición de monotonía en un intervalo.

Sea f una función definida en un intervalo I . f es monótona en I si se cumple una

de las condiciones siguientes (para cualquiera x1

y x2

en I ):

• Si x1 < x

2y f ( x

1) ≤ f ( x

2), entonces f crece en I .

• Si x1 < x

2y f ( x

1) ≥ f ( x

2), entonces f decrece en I .

Teorema.

Si f es derivable en I , entonces se verifica que:

• f ( x) ≥ 0, para todo x ∈ I si y sólo si f crece en I .

• f ( x) ≤ 0, para todo x ∈ I si y sólo si f decrece en I .

Si los valores de f se relacionan por los signos < y >, se dice que el crecimiento y de-

crecimiento son en sentido estricto; si los signos que aparecen son ≤ y ≥, se obtiene la

monotonía en sentido amplio.

f crece en I

x1 x2 x

y

I

FIGURA 5.



Demostración.

Primera parte: Supongamos que f es creciente en I , entonces para cualquier x ∈ I y si

x + h ∈ I , se cumple que luego , es decir f ( x) ≥ 0.

Nota. Si f es decreciente, la demostración es similar.

Segunda parte: Supongamos ahora que f ( x) ≥ 0, para todo x ∈ I . Sean x1

y x2

dos pun-

tos distintos cualesquiera de I , tales que x1 < x

2; en el intervalo [ x

1, x

2], para un cierto ξ

∈ ( x1, x

2), se cumple que f ( x

2) − f ( x

1) = f (ξ)( x

2 − x

1).

Como f ( x) ≥ 0 para todo x ∈ I , f (ξ) ≥ 0; con lo que tenemos f ( x2) − f ( x

1) ≥ 0; es decir,

hemos obtenido que para x1, x

2 ∈ I , x

1 < x

2, entonces f ( x

1) ≤ f ( x

2) luego f es creciente en I .

Nota. Si f ( x) ≤ 0, para todo x ∈ I , se procede de la misma forma.

límh

f x h f x

h→

+( ) − ( )

≥0 0

f x h f x

h

+( ) − ( )

≥ 0,


Ejemplos

solución

En las funciones de los ejemplos siguientes, determina en cuáles los valores de x son crecientes y en

cuáles son decrecientes.

Ejemplo 1.

f ( x) = x3 − 27 x.

El dominio de f ( x) es . Obtenemos f ( x) = 3 x2 − 27 y calculamos los puntos críticos (que fueron

definidos en la sección anterior), igualando la derivada a cero f ( x) = 3 x2 − 27 = 0. Al resolver esta ecua-ción, obtenemos que los puntos críticos son x = −3 y x = 3. Con el objeto de determinar el intervalo en

que f ( x) crece y en el que decrece, revisamos los valores en los cuales f ( x) > 0 y en los que f ( x) < 0.Al analizar la derivada, observamos que f ( x) > 0 cuando 3 x2 − 27 > 0; es decir, si 3( x2 − 9) > 0 o biensi | x| > 3, por lo cual, concluimos que la función crece en los intervalos (−∞, −3) y (3, ∞). Por otra parte,

f ( x) < 0 cuando 3 x2 − 27 < 0; es decir, si 3( x2 − 9) < 0 o bien si | x| < 3, por lo cual, concluimos que lafunción decrece en el intervalo (−3, 3).

Esta información se puede concentrar en la tabla.

IntervaloSigno

e n

so re

(−, −3) + f es creciente

(−3, 3) − f es decreciente

(3, ) + f es creciente

Tabla 1



solución


Debido a que la función es continua en todo su dominio, podemos abreviar nuestro análisis. Tomamos

su dominio y marcamos en él los puntos críticos de primer orden; estos puntos dividen al dominio de

f ( x) en los intervalos en que la derivada es positiva o negativa. Posteriormente, evaluamos en f ( x)

algún valor numérico que esté contenido en cada intervalo. Para la función que estamos analizando(tabla 2):

IntervaloSigno

e alor e

pruebaonclus nso re

(−, −3) −4 + f es creciente

(−3, 3) 0 − f es decreciente

(3, ) 4 + f es creciente

Tabla 2

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 6).

40

20

2 4 6

y

x

20

40

4 26

FIGURA 6.

Ejemplo 2.

El dominio de f ( x) es . Calculamos ; simplificando, tenemos

. Para obtener los puntos críticos, igualamos la derivada a cero y, analizamos

en qué puntos no existe la derivada. Determinamos que los puntos críticos son x = 0, pues f (0) no es-

tá definida, y x = 1, puesto que ahí f ( x) = 0. Realizamos nuestro análisis en la tabla 3.

x

x x

x− =

−10

3

10

3

10 10

31

3

23

13

f x( ) = f x x x( ) = −−10

3

10

3

13

23

f x x x( ) = −5 22

35

3




Con esta información, realizamos un esbozo gráfico de la función (figura 7).

IntervaloSigno

e alor e

pruebaonclusso re

(−, 0) −1 − f es decreciente

(0, 1) 0.5 + f es creciente

(1, ) 2 − f es decreciente

Tabla 3

10

5

1 2 3 4 x

y

2 1

5

FIGURA 7.

solución

Ejemplo 3.

El dominio de f ( x) es { x ∈ | x ≠ ±1}. Obtenemos y calculamos los puntos críticos,

obteniendo x = 0. Observa que f ( x) no está definida en x = −1 y en x = 1, pero estos puntos no son ele-

mentos del dominio de la función, por lo cual no son números críticos. Analizamos los signos de la de-

rivada en los intervalos, como se ilustra en la tabla 4.

f x x

x( ) =

−( )4

1 2 2

f x x

x

( ) = +

−

2

2

1

1

IntervaloSigno

e alor e

pruebaonclus nso re

(−, −1) −2 − f es decreciente

(−1, 0) −0.5 − f es decreciente

(0, 1) 0.5 + f es creciente

(1, ) 2 + f es creciente

Tabla 4




solución

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 8):

15

10

5

2 4 6 x

y x2

11 x2

6 4 25

10

15

FIGURA 8.

Ejemplo 4.

f ( x) = x2 ln( x)

El dominio de f ( x) es { x ∈ | x > 0}. Obtenemos f ( x) = x(1 + 2ln( x)) y calculamos los puntos críticos

al igualar la derivada a cero; obtenemos . Observa que al igualar la derivada a cero, también

obtenemos el punto x = 0, pero este punto no pertenece al dominio de la función, por lo cual no es nú-

mero crítico. Analizamos los signos de la derivada en los intervalos (tabla 5):

xe

=1

IntervaloSigno

e alor e

pruebaonclusso re

0.2 − f es decreciente

−0.5 + f es creciente1

e,∞

01

,

e

Tabla 5

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 9):



solución


Ejemplo 5.

f ( x) = xe x

El dominio de f ( x) es . Obtenemos f ( x) = e x( x + 1) y calculamos los puntos críticos. Al igualar la

derivada a cero, obtenemos que x = −1. Analizamos los signos de la derivada en los intervalos (ta-

bla 6):

x

y

0.4

0.3

0.2

0.1

0.40.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.1

FIGURA 9.

IntervaloSigno

e alor e

pruebaonclus nso re

(−, −1) −2 − f es decreciente

(−1, ) 0 + f es creciente

Tabla 6

Con esta información, hacemos un esbozo gráfico de la función (figura 10).

y

x

0.4

0.2

224

0.2

68

FIGURA 10.




1. Escribe con tus propias palabras la definición de una función creciente en un intervalo. De manera si-

milar, define una función decreciente.

2. Ejercicios:

a) Enseguida se muestra la gráfica (figura 11), publicada por el INEGI, de la distribución porcentualde la población económicamente activa ocupada según el sector de actividad: primaria, secundariay terciaria, desde el año 1895 hasta el año 2000. Une con una curva suave los porcentajes de cadaactividad, utiliza un color diferente para cada tipo de actividad. Analiza las gráficas de las funcio-nes que obtuviste. ¿Qué puedes decir acerca de la actividad primaria desde el año 1895 hasta el año2000?, ¿y de la actividad secundaria en ese mismo período?, ¿y de la actividad terciaria?, ¿qué pue-des concluir de estas tres actividades?, particularmente, ¿cómo han evolucionado desde 1895 hastael 2000?

1895 1900 1910 1921 1 930 1940 1950 1960 1970 1980 1 990 1995 2000

80.0

70.0

60.0

50

40.0

30.0

20.0

10.0

0.0

Porcen

ta je

.0

67.0 65.9 68.0

77.4

73.2

67.3

60.9

54.6

41.8

36.5

23.5 22.6 16.3

15.6 16.7 15.2 12.5 15.0 13.1

16.7 19.1

24.4 29.228.8 24.5

28.717.4 17.4 16.8

10.1 11.8

19.6 22.4 26.3

33.8 34.3

47.852.9

55.0

NOTA: De 1895 a 1930 no se hace referencia a ningún corte de edad para determinar la PEA; desde 1940 a la fecha, con

excepción de 1960, todas las personas de 12 y más años son consideradas económicamente activas; para 1960 la

PEA se constituye por la población de 8 y más años de edad. Para 1950 se especifica que además de las personas

ocupadas se incluye a quienes estaban desocupadas en el periodo de 12 semanas antes del levantamiento censal.

Para 1990, 1995 y 2000, los datos se refieren a la población ocupada.a Agrupa actividades relativas a agricultura, ganadería, silvicultura, caza y pesca.b Reúne actividades referentes a minería, extracción de petróleo y gas, industria manufacturera, electricidad.c Se refiere a actividades relacionadas con el comercio, transporte, gobierno y otros servicios.

FUENTE: INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000.

Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda.

FIGURA 11.

Primario a Secundario b Terciario c

Distribución de la población económicamente activa (PEA) ocupada segúnel sector de actividad de 1895 a 2000




b) La siguiente gráfica del INEGI (figura 12) muestra el número de hombres por cada 100 mujeres des-

de 1895 hasta el 2000. ¿Qué información puedes inferir de la gráfica?, ¿qué hechos históricos crees

que influyeron para que el número de hombres haya decrecido desde 1895 hasta 1921? Indica los

intervalos en los que la función crece y en los que decrece.

1895 1900 1910 1921 1930 1940 19 50 19 60 1 970 19 80 1 990 1995 2000

100.0

99.0

98.0

97.0

96.0

95.0

94.0

N ú m e r o d e h o m b r e s p o

r c a d a c i e n m u j e r e s

Índice de masculinidad, 1895 a 2000

99.0

98.5

98.0

95.5

96.3

97.4

97.0

99.5 99.6

97.7

96.5

95.4

97.1

c) ¿Cuál es la evolución que ha tenido el ahorro de energía eléctrica en GWh/año desde 1991 a la fe-

cha? Entra a la página del Fideicomiso para el ahorro de energía eléctrica http://www.fide.org.mx/,

investiga, y responde la pregunta inicial. Realiza la gráfica que corresponde a la evolución de aho-

rros acumulados de energía.

d) Uno de los factores importantes que determinan la integridad estructural de un avión es su edad. Al

aumentar la edad de la nave, habrá más posibilidades de que ésta falle. La gráfica de las funciones

f , en la figura 13, se conocen como la “curva de la bañera” en la industria aeronáutica. Las gráficasrepresentan 6 tipos de fallas diferentes (A, B, C, D, E y F) y proporcionan la tasa de daños (daños

debidos a la corrosión, a accidentes o a la fatiga del metal) en una flota típica de aviación comer-

cial, en función de la cantidad de años de servicio. Indica los intervalos en los que las funciones cre-

cen y en los que decrecen, así como los intervalos donde permanecen constantes.

FUENTE: INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000.Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda.

FIGURA 12.




e) La altura (en pies) alcanzada por un cohete, t segundos después de despegar, está dada por la función

. ¿Cuándo sube y cuándo baja el cohete?

3. Encuentra los intervalos donde cada función sea creciente y donde sea decreciente.

f t t

t t ( ) = − + + +3

2

33 33 10

MORTALIDADPREMATURA

DESGASTE

BUEN DESEMPEÑO

TIEMPO DE USO

4%(A)

68%(F)

14%(E)

7%(D)

5%(C)

2%

(B)

años4 8 12 16 18

Tasa

de fallas

FIGURA 13.

a) f ( x) = 3 x5 − 5 x3

b) f ( x) = x4 − 2 x2

c)

d )

e) f ( x) = x2(e− x)

f ) f ( x) = e− x2

g)

h)

i) f ( x) = sen( x) − cos( x) para x ∈ [0, 2π ]

j) f ( x) = 2sen( x) − x para x ∈ [0, 2π ]

f x x

x( ) =

( )ln

f x x

x( ) =

( )ln

y x x

=+2 1

y x

x x=

−+10

32






tuaciones.

1. Para el problema presentado al inicio de esta sección, “Tarifa óptima del Metrobus”, con-

testa las preguntas siguientes:

¿Cuáles son las recomendaciones que tu empresa consultora les hace a las autoridades del

gobierno de la Ciudad de México? ¿Es conveniente subir la tarifa?. Si es así, ¿qué cantidad

es la adecuada? ¿Para cuál tarifa es creciente el ingreso y para cuál es decreciente?

2. El Dilema de Carlos. Carlos Montes de Oca es Licenciado en Administración de Em-

presas, recién egresado de la Universidad y trabaja como gerente de compras en una gran

tienda departamental que regularmente vende 600 televisores por año. Los televisores sepiden a la fábrica por lotes de 100, y se entregan en una bodega cercana para almacenar-

los mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay “periodos pico” duran-

te el año y si los aparatos se venden de modo bastante regular, el inventario promedio a

la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 televisores. Consecuentemente, la

tienda incurre en costos corrientes substanciales debidos a derechos de almacenamiento,

seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar estos costos corrien-

tes, el gerente puede decidir pedir los televisores en lotes más pequeños, volviendo a pe-

dir tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los

pedidos, deben considerarse otros factores además de los gastos corrientes, ya que cada

vez que los televisores se vuelven a ordenar se hacen gastos extras, tales como papel, ma-

no de obra, tarifas de carga, embalaje, etc. Obviamente, órdenes más pequeñas redunda-

rán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, y así, incrementarían los costos depedido mientras que los costos corrientes han sido reducidos. Tomando en cuenta ambos

tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de

televisores pedidos) que debe pedir la tienda departamental, si quiere conservar sus cos-

tos totales al mínimo. Se ha pedido a tu equipo de trabajo colaborar en la resolución de

este problema.

1. Dada , selecciona la opción correcta.

a) f es creciente en (−∞, −1). c) f decrece en (1, +∞).

b) f crece en (0, 1). d ) f crece en (−1, 1).

f x x x

( ) = +1




2. Dada y = f ( x) = x2/3 − x1/3, elige la opción correcta.

a) f decrece en b) f crece en c) f crece en (−∞, 0); d ) f crece en

3. Una compañía que produce galletas de mantequilla desea envasar su producto en cajas cuadra-

das de lámina; por ello, desean construir una caja sin tapa con una lámina cuadrada estampada

de 18 cm de lado, cortando de cada esquina un cuadrado de x cm de lado y doblando las caras

laterales. Indica la opción correcta sobre el volumen de la caja.

a) El volumen crece si x ∈ (3, 9) c) El volumen crece si x ∈ (0, 3)

b) El volumen decrece si x ∈ (0, 3) d ) El volumen decrece si x ∈ (9, ∞)

4. Una compañía de publicidad desea hacer un volante de una página rectangular que contenga

100 centímetros cuadrados de texto e imágenes, y con márgenes de 2 centímetros de cada la-

do. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la función que representa el

área de la página.

a) El área crece si x ∈ (4, 14) c) El área crece si x ∈ (14, ∞)

b) El área decrece si x ∈ (−6, 7) d ) El área decrece si x ∈ (−6, 10)

−∞

, .1

8

1

8

, ;∞

1

8

, ;∞

Respuestas a los


3.

a) Crece en (−∞, −1) ∪ (1, ∞), decrece en (−1, 1).

b) Crece en (−1, 0) ∪ (1, ∞), decrece en (−∞, −1) ∪ (0, 1).

c) Crece en , decrece en

d ) Crece en (−1, 1), decrece en (−∞, −1) ∪ (1, ∞).

e) Crece en (0, 2), decrece en (−∞, 0) ∪ (2, ∞).

f ) Crece en (−∞, 0), decrece en (0, ∞).

g) Crece en (0, e), decrece en (e, ∞).

h) Crece en (e, ∞), decrece en (−∞, 1) ∪ (1, e).

i) Crece en decrece en

j) Crece en decrece enπ π3

5

3, .

03

5

32, , ,

π ππ

∪

3

4

7

4

π π, .

03

4

7

42, , ,

π ππ

∪

−∞ −( ) ∪ − −( )∪ + ∞( ), , , . 3 3 10 30 10 3010 30 0 0 10 30−( )∪ +( ), ,




1. a)2. b)

3. c)

4. c)



El paquete

En la página WEB del Servicio Postal Mexicano: http://www.sepomex.gob.mx/

Sepomex/Individual/Entrega/Paquetería+Nacional/, aparece la siguiente des-

cripción acerca de la paquetería que se puede enviar dentro de México:

Paquetería Nacional:

“Paquetería: son los envíos de

mercancías y/o promocionales

que, por sus dimensiones y peso,

deben presentarse en cajas o

tubos. Los envíos deben ser

depositados con el empaque

abierto, paquetes o cajas de

cartón envueltos con papel

Manila y atados con hilo

resistente”.


8.3 Extremos absolutos

No podemos resolver problemas usan-

do el mismo tipo de pensamiento que

usamos cuando los creamos .

Albert Einstein

Determina las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede enviar-

se con las siguientes condiciones:

Máximos

Largo + Ancho + Alto 200 centímetros

Arista 105 centímetros

Mínimos

Frente 9 por 14 centímetros



Extremos absolutos

Primero presentaremos la definición de extremo absoluto. Recuerda que al utilizar la pa-

labra “extremo” nos referimos a un máximo o a un mínimo para la función.

4078.3: Extremos absolutos

Introducción

Problemas como el anterior pueden resolverse matemáticamente empleando

los conceptos de este capítulo. En esta sección desarrollaremos una estrategia

para resolver problemas de extremos absolutos utilizando las herramientas

del cálculo diferencial.

Objetivos


a) Definir extremos absolutos y distinguir la diferencia entre éstos y los ex-

tremos relativos.

b) Conocer y aplicar los principales resultados del cálculo diferencial parala localización de los extremos absolutos de una función si éstos existen.

c) Resolver problemas que involucren extremos absolutos.

Máximo absoluto en un intervalo.

La función f ( x) tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe un nú-

mero c en el intervalo tal que f (c) ≥ f ( x) para toda x del intervalo. El número f (c)

es el valor máximo absoluto de f ( x) en el intervalo.

Mínimo absoluto en un intervalo.

La función f

( x

) tiene unvalor mínimo absoluto en un intervalo

si existe un nú-mero c en el intervalo tal que f (c) ≤ f ( x) para toda x del intervalo. El número f (c)

es el valor mínimo absoluto de f ( x) en el intervalo.



Ejemplos

valor máximo absoluto

y

x

5

2.5

1 2 34 3 2 1

2.5

5


Ejemplo 1.

Considera la función f ( x) definida por f ( x) = 6 − x2 cuya gráfica se muestra en la figura 1. La función

tiene un valor máximo absoluto en el intervalo (−3, 2]. Observa que la función es continua y que el in-

tervalo (−3, 2] no “cierra” en x = −3, razón por la cual esta función no tiene un mínimo absoluto.

Ejemplo 2.

Si consideras la función f ( x) definida por f ( x) = 4 x (ver figura 2), observarás que la función tiene un va-

lor mínimo absoluto en [−2, 2), pero como el intervalo [−2, 2) no “cierra” en x = 2, no existe un valor

máximo absoluto en [−2, 2).

FIGURA 1.

valor mínimo absoluto

y

x

15

10

5

2 42

5

10

15

FIGURA 2.




Ejemplo 3.

La función f ( x) definida por no tiene máximo ni mínimo absoluto en ninguno de los dos

casos mostrados: A) D f = −{−1, 1}, B) D

f = [0, 2] − {1}, ve las figuras 3 y 4, respectivamente. En

este caso, puede decirse que la función no tiene extremos absolutos porque en ambos dominios la fun-

ción es discontinua.

f x x

x( ) =

+−

2

2

1

1

15

10

5

2 4 6

x

y x2 1

1 x2

6 4 2

5

10

15

15

10

5

4 6

x

5

10

15

y x2 1

1 x2

2

Ejemplo 4.

Si ahora consideras la gráfica en la figura 5 de la función f ( x) definida por ,

observarás que esta función tiene máximo y mínimo absoluto en [−2, 3]. Claro que aquí, f es una función

continua en un intervalo cerrado y acotado a saber, [−2, 3].

f x x x

x x( ) = + ≤ <

− + ≤ ≤

2 1 1

4 32si -2

si 1

a) b)

FIGURA 3. FIGURA 4.

y

x1 2 3 4

2

1

2

23

4

6

FIGURA 5.



Las observaciones de los ejemplos anteriores nos permiten inferir el siguiente resultado

sobre extremos absolutos:


Teorema del valor extremo.

Si la función f ( x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces:

a) Existe un punto x0 ∈ [a, b] tal que f ( x

0) es un valor máximo absoluto en [a, b].

b) Existe un punto x1 ∈ [a, b] tal que f ( x

1) es un valor mínimo absoluto en [a, b].

Nota. El teorema anterior establece condiciones suficientes para garantizar que una

función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo.Sin embargo, estas condiciones no son condiciones necesarias. Por ejemplo, la función

f ( x) = sen( x) tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo abierto (0, 2π ), ve la

figura 6.

x

y

1

0.5

1 2 3 4 5 6 7

0.5

1

FIGURA 6.

Así, se ha señalado que una función continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene tanto

un máximo como un mínimo absoluto. El siguiente teorema señala dónde pueden ocu-

rrir estos extremos:

Teorema sobre la localización de extremos absolutos.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces sus extremos absolutos

ocurren en puntos críticos del intervalo, es decir, en x = a o en x = b o en pun-

tos críticos estacionarios o en puntos críticos singulares.



Este teorema permite establecer el siguiente método para determinar los valores ex-

tremos absolutos de una función f ( x) continua en un intervalo cerrado [a, b].


Guía para obtener los extremos absolutos de una función f ( x ) continua en [a, b].

1. Encuentra los puntos críticos de la función en [a, b] y calcula los valores de

f ( x) en ellos.

2. El mayor de los valores obtenidos en el paso anterior es el valor máximo ab-

soluto y el menor de los valores encontrados es el valor mínimo absoluto.

Ejemplos

solución

Si existen, determina los extremos absolutos de las funciones dadas en el intervalo indicado.

Ejemplo 1.

; [−2, 3]

f ( x) es continua en [−2, 3], por lo cual podemos seguir el procedimiento indicado antes:

1. Obtenemos y determinamos los puntos críticos de primer orden. Igualamos

la derivada a cero y analizamos en qué puntos la derivada no existe, obtenemos que los puntos

críticos son: x = 0 pues f (0) no está definida y f ( x) = 0 en x = 1. Ahora, el valor de la función en

esos puntos críticos son f (0) = 0 y f (1) = 3. También, evaluamos la función en los extremos del in-

tervalo y

2. De la comparación de las evaluaciones anteriores, concluimos que el valor máximo absoluto es

f (−2) = 14.2866 y el valor mínimo absoluto es f (3) = −2.08.

La gráfica se muestra enseguida:

f 3 5 3 2 3 2 082

35

3( ) = ( ) − ( ) = − . . f −( ) = −( ) − −( ) =2 5 2 2 2 14 28662

35

3 .

f x x x( ) = −−10

3

10

3

13

23

f x x x( ) = −5 22

35

3

10

5

1 23

4

x

y

2 1

5

FIGURA 7.




solución

Ejemplo 2.

[−2, 1].

f ( x) es continua en [−2, 1], por lo cual podemos seguir el procedimiento indicado antes:

1. Obtenemos y determinamos los puntos críticos de primer orden. Igualamos la derivada

a cero y analizamos en qué puntos la derivada no existe. Observa que sólo hay un punto crítico, x = 0.

El valor de la función en dicho número es f (0) = 0. También, evaluamos la función en los extremos

del intervalo y

2. El valor máximo absoluto es f (−2) = 1.16216 y el valor mínimo absoluto es f (0) = 0


f 11

30 523599( ) =

=arctan . f −( ) =

=2

4

31 16216arctan .

f x x

x( ) =

+2 3

3 4

f x x

( ) =

arctan

2

3

;

1 2 3

x2 13

y

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

FIGURA 8.

solución

Ejemplo 3.

; [−3, 2]

f ( x) no es continua en [−3, 2], por lo cual no podemos utilizar el teorema del valor extremo. Pero po-

demos graficar la función en el intervalo indicado y determinar si tiene extremos absolutos.

f x

x x

x x

x x( ) =

+ − ≤ < −

− ≤ <+ ≤ ≤

2 11

0

2 1 2

si 3

si 1

si 0



Aplicaciones que involucran un extremo absoluto

en un intervalo cerrado

Ahora aplicaremos el teorema del valor extremo a problemas en los que la solución es

un extremo absoluto de una función en un intervalo cerrado.


De la gráfica, podemos inferir que la función tiene un valor máximo absoluto en x = 2 y que no tiene

mínimo absoluto.

5

2

1

21

3

x

y

FIGURA 9.

Ejemplos

Ejemplo 1.

La Comisión Federal de Electricidad quiere suministrar energía eléctrica al ingenio azucarero San

Martín situado en la rivera del río San Juan desde una planta que se encuentra a 3 kilómetros en el ex-

tremo opuesto del río.

Figura 10.



solución


El río mide 1.414 kilómetros de ancho (ver figura 11) y se debe considerar que tender cable por deba-

jo del río cuesta 3 veces más que por tierra (costo por kilómetro instalado).

x

3 km

cable1.414 km

Planta

FIGURA 11.

¿Cuál debe ser el punto de llegada x del cable para que el costo de instalación sea el mínimo?

Sean C ( x) la función que representa el costo del tendido de cables eléctricos y c0

el costo unitario (por

kilómetro) del cable que se tiende sobre tierra; de la figura podemos inferir que:

.

Usando el teorema de Pitágoras para obtener la cantidad de cable tendido por agua, tenemos que la función

costo en términos de x puede escribirse como: C ( x) = (3c0) + (c

0)(3 − x); el dominio de

la función de costo C ( x) (el dominio implícito del problema) es x ∈ [0, 3]. Para resolver nuestro pro-

blema debemos encontrar el valor mínimo absoluto de C ( x) en el intervalo cerrado [0, 3], esto propor-

cionará el costo mínimo del tendido de cables. Ahora, observa que C ( x) es continua en [0, 3], por lo

cual podemos seguir el procedimiento establecido antes:

1. Obtenemos: y determinamos los puntos críticos de primer

orden, al igualar la derivada a cero, obtenemos el punto crítico x = 0.49924 ≈ 0.5. El valor de la fun-

ción en este punto es f (0.5) ≈ 7c0. Evaluamos ahora a la función en los extremos del intervalo:

y f c c3 3 1 414 3 1 3 3 9 94962 2

0 0( ) = ( ) ( ) +

+ ( ) −( )

=. . f c c0 3 1 414 0 1 3 0 7 2422 2

0 0( ) = ( ) ( ) +

+ ( ) −( )

=. .

f x

x

x c( ) = ( ) + −

3

1 414 12 2 0.

1 4142 2.( ) +

x

Costo =

Costo del cable

tendido por agua

cantidad de cable

tendido por agua +

Costo del cable

tendido por tierra cantidad de cable

tendido por tierra



solución


2. El valor mínimo absoluto es f (0.5) = 7c0. Por lo cual, para que el costo de instalación sea el míni-

mo, el punto de llegada del cable debe ser x = 0.5 km

La grafica se muestra enseguida:

13

7

0.5km

C(x)

FIGURA 12.

Ejemplo 2.

La empresa Figuras Decorativas S. A. se dedica a realizar figuras de alambre para decoración y una

de sus prioridades es optimizar el uso del material. El señor Gómez, encargado de hacer figuras geo-

métricas de cuadrados y círculos, tiene trozos de alambre de 1 metro de largo y necesita cortarlos en

dos partes; la primera parte la dobla para formar un cuadrado y el resto lo dobla para formar un círcu-

lo. El señor Gómez necesita determinar cómo debe cortarse el alambre de manera que la suma de las

áreas de las figuras sea:

a) Máxima.

b) Mínima.

FIGURA 13.

Sea x el lugar donde debe cortarse el alambre, la figura 14 ilustra la situación:

x 1 x

FIGURA 14.




El perímetro del cuadrado debe ser Pcuadrado

= x y el perímetro del círculo debe ser Pcirc

= 1 − x, de las

relaciones Pcuadrado

= x = 4l y Pcirc

= 1 − x = 2π r obtenemos que el lado del cuadrado es y el

radio del círculo es , con esto podemos escribir la función que represente la suma de las áreas

de las figuras: , o bien . El dominio de la función (el do-

minio implícito del problema) es x ∈ [0, 1]. Para resolver nuestro problema, debemos encontrar los va-

lores máximo y mínimo absolutos de A( x) en el intervalo cerrado [0, 1]; esto dará las áreas mínima y

máxima.

A( x) es continua en [0, 1], por lo cual podemos seguir el procedimiento establecido antes:

1. Obtenemos y determinamos los puntos críticos de primer orden. Al igualar la

derivada a cero, obtenemos el punto crítico: , el valor de la función es

Evaluamos la función en los extremos del intervalo

y

2. El valor mínimo absoluto es y el valor máximo absoluto es

. Por lo cual, para que el área sea mínima, el alambre debe cortarse en

y para que el área sea máxima, el alambre no debe cortarse, y con él debe cons-

truirse solamente el círculo, cuyo radio debe medir


r =1

2π

m.

x =+4

4 πm;

f 00

16

1 0

40 07957

2 2

( ) = + −( )

=π

.

f 4

40 043312

+

≈π

.

f 11

16

1 1

40 0625

2 2

( ) = + −( )

=π

. f 00

16

1 0

40 07957

2 2

( ) = + −( )

=π

.

f 4

40 043312

+

≈π

. . x =+4

4 π

f x x

( ) = − + +( )4 4

8

π

π

A x x x

( ) = + −( )2 2

16

1

4π

A x x x

( ) =

+

−

4

1

2

2 2

π

π

r

x

= −1

2π

l x=

4

y

x

0.2

0.15

0.1

0.05

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

FIGURA 15.




1. Escribe con tus propias palabras la definición de extremos absolutos.

2. Encuentra los extremos absolutos de las funciones siguientes en el intervalo indicado:

a) f ( x) = x4 − 2 x2; [−2, 1]

b) f ( x) = x3 − 3 x2 − 2; [−2, 2]

c) f ( x) = xln( x); (0, e2]

d ) f ( x) = xcos( x);

e) ; [0, 2]

f ) ; (0, 3]

g) ; (0, 4]

h) ; (0, ∞)

i) ;

j) ; f x

x x

x x

x x

( ) =− ≤ −

− − ≤+ >

3 1

1 3

1 3

2

si

si

si

1 <

f x x

x

x x

x x

( ) =−

≤

+ ≤− + >

0 <

2

50

1 2

2 3 2

2

si

si

si

f x x x

x( ) =

− +2 2

f x x x

( ) = +12

f x x x

( ) = −1

f x x

x

( ) = −

+

1

2 1

π π

2,

3. Resuelve los problemas siguientes:

a) Considera el ejemplo 2 de la empresa Figuras Decorativas S.A. Ahora, el señor Gómez, encargado

de hacer figuras geométricas tiene trozos de alambre de 10 metros de largo y necesita cortarlos en

dos partes; la primera parte la dobla para formar un cuadrado y el resto lo dobla para formar un trián-

gulo equilátero. El señor Gómez necesita determinar cómo debe cortarse el alambre de manera que

la suma de las áreas de las figuras sea:

i) Máxima.

ii) Mínima.

b) La compañía Envases de Cartón S.A. ha recibido un pedido para hacer cajas para pizzas. Las ca-

jas deben ser rectangulares y con tapa. El licenciado José Martínez, diseñador de la empresa, desea

utilizar piezas de cartón de 20 por 50 pulgadas, haciendo recortes de cuadrados iguales como se

muestra en la figura 16 y doblando las líneas punteadas. El licenciado Martínez necesita saber cuál

debe ser la medida del lado de los cuadrados que se van a recortar para obtener las cajas con el ma-

yor volumen posible.

x

x

50 pulg.

20 pulg.

FIGURA 16.




c) Para tender cables a dos casas vecinas, la compañía Teléfonos de México, S.A. de C.V. necesita

colocar un poste en una calle de un pequeño poblado. La altura del poste está a la misma altura que

el nivel de las casas donde se harán las conexiones. Determina el lugar en el cual se debe colocar el

poste de tal manera que se use la menor cantidad de cable.

30 m.

50 m.

20 m.

FIGURA 17.

300 m

Balsas Norte

Río Balsas

600 m Balsas SurFIGURA 18.

Isla

3 millas

7 millasPoblación

FIGURA 19.

d ) Considera ahora que la compañía Teléfonos de México, S.A. de C.V. desea tender un cable desde lapoblación de Balsas Norte hasta la población de Balsas Sur que se encuentran separadas por el río del

mismo nombre cuyo ancho en ese punto es de 300 metros; además la segunda población se encuentra

sobre la ribera sur del río a 600 metros a la derecha de la población de Balsas Norte (ver figura 18). Si

el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo debe tenderse el cable

para que el costo total sea el mínimo para la compañía?

e) Un trasbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista 7 millas de la po-

blación y 3 millas en línea recta de la playa (ver figura 19). El trasbordador navega a lo largo de la

playa hasta algún punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el trasbordador navega a 12

mi/h a lo largo de la playa y a 10 mi/h cuando avanza hacia el mar, determina la ruta que tenga un

tiempo de recorrido mínimo.





f ) Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con área de 2 400m2. También quiere utilizar algo

de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la

longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito?

g) La compañía Envases Metálicos, S.A. diseña cajas de metal utilizando tres cuadrados grandes de

metal, cada uno de 100 cm de lado, recortando cuatro pequeños cuadrados en sus esquinas. Los do-

ce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma

de cruz se doblan y se soldan (por separado) para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados peque-

ños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿Cómo deben cortarse los cuadrados pequeños para

que el volumen total de las 5 cajas sea el máximo? La compañía requiere forzosamente que se fa-

briquen las 5 cajas puesto que las cajas grandes las vende al doble del precio de venta de los cubos

pequeños.

h) En el aserradero El Fortín se venden vigas y polines, Carlos Pérez, encargado de ventas tiene que

surtir el siguiente pedido: una viga rectangular de mayor resistencia cuya diagonal mida 144 centí-

metros y que tenga 2 metros de largo. Carlos Pérez ha investigado que la resistencia de una viga rec-

tangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cuadrado del espesor, pero ahora necesitatu ayuda para determinar las dimensiones de la viga que debe cortar de un tronco con forma de un

cilindro circular recto de 2 metros que cumpla con las características pedidas.

i) Determina el área del rectángulo más grande que tenga dos vértices en el eje x y los otros dos en la

parábola y = a2 − x2, por arriba del eje x. Considera diversos valores de a por ejemplo a ∈ {1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. ¿Puedes generalizar alguna fórmula para el área del rectángulo más grande?


tuaciones:

1. Retoma la situación “El paquete” que se te presentó al principio de esta sección; imagina

que tu equipo y tú están comisionados para determinar las dimensiones de la caja de volumen

máximo que puede enviarse con las condiciones impuestas por el Servicio Postal Mexicano

(SEPOMEX). Resuelve este problema utilizando las ideas y resultados que se han discuti-

do en esta sección.

2. El señor Ernesto López, dueño de la cafetería El gran café, desea hacer cambios en su

local pero necesita conocer el número de asientos que optimizarán su ganancia. Por expe-riencia, el señor López estima que si existen lugares para 40 a 80 personas, la ganancia

semanal será de ocho pesos por lugar. Sin embargo, si la capacidad de asientos sobrepasa

los 80 lugares, la ganancia semanal en cada lugar se verá reducida en a centavos por el nú-

mero de lugares excedentes.

a) Obtén un modelo matemático que exprese el ingreso bruto como una función del número

de asientos.




b) Considera que la reducción de la tarifa es de cuatro centavos de peso (a = 4), determina

el número de asientos con los que debe contar la cafetería a fin de que el señor López

obtenga el máximo ingreso.

c) Considera que la reducción de la tarifa es de seis centavos de peso (a = 6), determina elnúmero de asientos con los que debe contar la cafetería a fin de que el señor López ob-

tenga el máximo ingreso.

d ) ¿Qué puedes inferir acerca del máximo ingreso y el valor de a?

3. La agencia ‘Viajes Educativos’ puede transportar a un total de 250 estudiantes en una ex-

cursión a la ciudad de Puebla. El costo por alumno es de 200 pesos si su número no excede

a 150; por cada alumno que exceda a los 150 estudiantes, la agencia ofrece una reducción

en la tarifa de a pesos.

a) Obtén un modelo matemático que exprese el ingreso bruto como una función del núme-

ro de estudiantes que asistirán a la excursión.

b) Considera que la reducción de la tarifa es de cinco pesos (a = 5) y determina el número

de estudiantes que deben asistir a la excursión para que la agencia de viajes obtenga elmáximo ingreso bruto.

c) Considera que la reducción de la tarifa es de siete pesos (a = 7) y determina el número

de estudiantes que deben asistir a la excursión para que la agencia de viajes obtenga el

máximo ingreso bruto.

d ) ¿Qué puedes inferir acerca del máximo ingreso bruto y el valor de a?

4. Un excursionista se encuentra en el faro del Islote Botafoc y desea ir a la Isla de Ibiza, al

centro de la ciudad del mismo nombre. Determina la ruta del faro a la ciudad que le lleve

el menor tiempo posible si el excursionista puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h.

a) Investiga (en Internet, enciclopedias, etc.) la distancia del Islote a la Isla.

b) Considera:

i) Un punto A sobre el islote (el faro) yii) Un punto B, el más cercano en línea recta (esta línea puede ser el dique) sobre la Isla,

iii) Que la costa es recta de este punto B al centro de la ciudad de Ibiza

c) Analiza y determina las posibles rutas del faro al centro.

FIGURA 20. Isla y faro de Botafoc, Ibiza, Baleares, España. Autor: Xavier Durán.




1. Indica la opción que contiene los extremos absolutos de en .

a) Valor máximo absoluto f (1) = 3. Valor mínimo absoluto f (2) = 5.

b) Valor mínimo absoluto f (1) = 3. Valor máximo absoluto f (0.5) = 4.25.

c) Valor máximo absoluto f (2) = 5. Valor mínimo absoluto f (1) = 3.

d ) Valor mínimo absoluto f (1) = 3. Valor máximo absoluto f (0.5) = 4.25.

2. Determina los valores máximos y mínimos absolutos de la función f ( x) = x1/3( x − 16) en [0, 10].

a) Valor máximo absoluto f (0) = 0. Valor mínimo absoluto f (1) = −15.

b) Valor máximo absoluto . Valor mínimo absoluto f (0) = 0.

c) Valor máximo absoluto f (1) = −15. Valor mínimo absoluto .

d ) Valor máximo absoluto f (0) = 0. Valor mínimo absoluto .

3. Determina los valores máximos y mínimos absolutos de la función f ( x) = x4 ln( x) en (0, e].

a) Valor máximo absoluto f (e) = e4. Valor mínimo absoluto .

b) Valor máximo absoluto no tiene. Valor mínimo absoluto .

c) Valor máximo absoluto . Valor mínimo absoluto f (0) = 0.

d ) Valor máximo absoluto f (0) = 0. Valor mínimo absoluto .

4. Determina el área del rectángulo más grande que tenga dos vértices en el eje x y los otros dos

en la parábola y = 16 − x2, por arriba del eje x.

a) b) c) d)

5. Se va a construir una caja sin tapa con una lámina de cartón cuadrada de 18 cm de lado, cor-tando de cada esquina un cuadrado de lado x cm y doblando las caras laterales. Encuentra el

valor de x que maximiza el volumen de la caja.

a) máximo en x = 9. b) máximo en x = 2. c) máximo en x = 3. b) máximo en x = 4.

A =32

3 A =

4

3 A =

256

3 3 A =

128

3 3

f e e

1 1

44

= −

f e e

1 1

44

=

f e e

1 1

44

= −

f e e

1 1

44

= −

f 4 12 43( ) = −

f 4 12 43( ) = −

f 4 12 43( ) =

[ , ]1

22 y f x x

x= = +( ) 2 2




Respuestas a los


1. Revisa la parte teórica.

2.

a) Valor máximo absoluto f (−2) = 8, valor mínimo absoluto f (−1) = f (1) = 1.

b) Valor máximo absoluto f (0) = −2, valor mínimo absoluto f (−2) = −22.

c) Valor máximo absoluto f (e2) = 2e2, valor mínimo absoluto .

d ) Valor máximo absoluto , valor mínimo absoluto f (π ) = −π .

e) Valor máximo absoluto , valor mínimo absoluto f (0) = −1.

f ) Valor máximo absoluto , no tiene valor mínimo absoluto.

g) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto .

h) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto .

i) Valor máximo absoluto f (2) = 5, no tiene valor mínimo absoluto.

j) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto f (3) = −8.

3.

a)i) Suma máxima de áreas S (100) = 795.775 m2, no debe cortarse el alambre y debe construirse sólo

el cuadrado

ii) Suma mínima de áreas

b) [0, 10], Volumen máximo V (4.04567) ≈ 912.091 pulg3.

c) Sea x el lugar donde debe colocarse el poste sobre la calle, la cantidad de cable necesario debe ser

[0, 50], la mínima cantidad de cable es C (30) = 70.7107 m.

d ) Sea x el lugar hasta donde debe llegar el cable desde Balsas Norte a la ribera opuesta, la función cos-

to puede expresarse como [0, 600], donde k pesos es el costo

por metro de cable tendido, el costo mínimo es cuando x = 400 y es de T (400) = 825k pesos.

e) Sea x el lugar hasta donde debe navegar el barco a lo largo de la playa, el tiempo de recorrido es la dis-

tancia entre la velocidad por lo cual [0, 7], la ruta que tiene un tiempo de

recorrido mínimo es cuando x = 2.47733 y el tiempo es T (2.47733) = 0.749165 h.

T x x x

( ) = + + −( )

12

9 7

10

2

;

C x k x k x( ) = −( ) + ( ) +600 54

300 2 2 ;

C x x x( ) = ( ) + + ( ) + −( )30 20 502 2 2 2

;

V x

x x= −

−( )

50 3

220 2 ;

S 40 3

9 4 32 71853 2

+

= . .m

f 24 2

2( ) =

−

f 2 21

2

3 33( ) = +

f 31

33( ) = − +

f 2 15( ) =

f π

2 0( ) =

f e e

1 1

= −




f ) Si x y y son la base y la altura del terreno rectangular, respectivamente; si la división interna es paralela a

y, la longitud de la cerca necesaria es , la longitud mínima es L(60) = 240.

g) Si x es el lado de los cuadrados que se van a recortar, entonces el volumen de las 5 cajas es V ( x) =3 x(100 − 2 x)2 + 2 x3; se tiene el volumen máximo cuando y el valor del vo-

lumen es

h) El ancho es cm y el grosor cm.

i) Fórmula general del área . A a=4

3 3

3

48 648 3

V 50

74 2 232 943−( )

=

.

x = −( ) ≈50

74 2 18 4699.

L x x y x x

( ) = + = +2 3 27 200

1. c)

2. d )

3. a)

4. b)

5. c)



Unidad

Graficación



9.1 Concavidades y puntos de inflexión

9.2 Graficación

Dos parámetros importantes del motor de un automóvil son su potencia máxima y su torque máximo. Si lo que de-seas es un vehículo de carga con un motor fuerte, o bien un vehículo que responda bien en ciudad a bajas revolu-

ciones por minuto, entonces deberás buscar un alto torque máximo aunque la potencia máxima no sea muy alta.

Por otro lado, si lo que deseas es un vehículo con capacidad de ser revolucionado para responder en autopista a

altas velocidades, entonces deberás buscar alta potencia máxima aunque el torque máximo no sea muy alto. La grá-

fica muestra la potencia en caballos de fuerza (hp) y el torque en libras-pie (lb-ft) para el motor de un Ford Focus

SVT, graficados como funciones de la velocidad an-

gular de su motor en revoluciones por minuto (rpm).

Como puedes observar, la máxima potencia es de

170 hp y se alcanza a las 7 000 RPM, mientras que

el máximo torque es de 145 lb-ft y se alcanza a las

5500 rpm. Además, observa que las gráficas tienen

mucha estructura, no son simples parábolas. Por

ejemplo, la curva de torque tiene un máximo local

aproximadamente a las 2 600 rpm, y un mínimo lo-

cal aproximadamente a las 4 000 rpm. Algo impor-

tante debe ocurrir en el motor en cada uno de esos

dos puntos. Para un ingeniero que intentara mejorar

este motor, seguramente sería útil saber qué le suce-

de en esos valores de velocidad angular.



426 Unidad 9: Graficación

9.1 Concavidades y puntos

de inflexión

La matemática es la ciencia del orden

y la medida, de bellas cadenas

de razonamientos, todos

sencillos y fáciles.

René Descartes

La ley de Snell

Tal vez el más impresionante resultado obtenido por el Cálculo en el siglo XVII,

fue la resolución de ciertas cuestiones teóricas muy antiguas relacionadas con fe-

nómenos naturales. Algunas de ellas suponen profundos conocimientos de física

para poder comprenderlas, pero otras pueden ser explicadas de manera rápida con

un mínimo de antecedentes científicos. Dos de las aplicaciones clásicas más simplesse relaciona con el comportamiento de la luz: las leyes de refracción y reflexión.

Cuando la luz incide en un espejo o en cualquier otra superficie, sus rayos se

reflejan siempre de manera tal, que su ángulo de incidencia es igual a su ángulo

de reflexión (figura 1). Esta ley de reflexión fue descubierta por Euclides alrededor

del año 300 a.C.

La situación anterior ilustra cómo la forma de una gráfica es muy importante en lasaplicaciones. Esto es cierto en muy diferentes campos del conocimiento. En uno de losproblemas para trabajar en equipo de este capítulo, analizarás gráficas para justificar de-cisiones de compra-venta en el mercado de valores. En otro problema, estudiarás gráficas

sobre la propagación del SIDA para llevar a cabo predicciones útiles en salud pública.“Una imagen dice más que mil palabras”, eso puede ser cierto si sabes leer la imagen; eneste capítulo, aprenderás a construir y a leer un importante tipo de imágenes.

a b

1

2

1

n2

1

FIGURA 1 En a) se muestra la ley

de reflexión, mientras

que en b) se muestra

la ley de refracción.

Más tarde, el matemático griego Herón de Alejandría, quien vivió alrededor del

siglo I, probó que esta ley sigue, lógicamente, a la hipótesis de que los rayos de

luz viajan de un punto a otro tomando la trayectoria más corta posible. Herón

efectuó esta demostración usando los principios de la geometría euclidiana.

El mismo Euclides en su obra Óptica y catóptrica menciona el fenómeno de la

refracción de la luz que ocurre cuando ésta cruza de un medio a otro; en ambos viaja

en línea recta, pero en la superficie de separación cambia la dirección del rayo de luz.



La ley de refracción fue descubierta finalmente en 1621 por un matemático

holandés llamado Wilebrod Snell, por lo que usualmente esta ley es conocida co-

mo la ley de Snell. Originalmente, Snell justificó su ley basándose en experimentos

físicos, pero más adelante, Fermat demostró que la ley podía ser probada con razo-

namientos matemáticos únicamente. La ley de Snell establece que el rayo incidente,la normal y el rayo transmitido o refractado, se encuentran en el mismo plano y que

n1sen(φ

1) = n

2sen(φ

2), donde n

1y n

2son los índices de refracción de cada medio y

φ 1

es el ángulo de incidencia y φ 2

el ángulo refractado (ver la figura 1.b).

4279.1: Concavidades y puntos de inflexión

Introducción

En esta sección, analizaremos lo que se entiende por concavidad

hacia arriba, concavidad hacia abajo y punto de inflexión, en la

gráfica de una función. Ya hemos estudiado en las secciones pre-

cedentes (capítulo 8) cómo utilizar la primera derivada de una

función para calcular sus valores máximos y mínimos. Ahora, es-

tudiaremos la utilidad que tiene la segunda derivada de una fun-ción, tanto para analizar el comportamiento de su gráfica como

para resolver problemas aplicados. La ley de Snell presentada es,

precisamente, una de las aplicaciones de este tema.

Concavidad de una curva

En economía, el costo de producción de bienes depende no solamente de los precios de losfactores de producción sino también de la productividad con que se les usa, es decir, delos costos marginales. Esta idea es clave para entender cómo deciden las empresas el númerode trabajadores que van a contratar y la cantidad que van a producir. En la figura 2 se mues-tra una función típica de costos, con su respectiva recta tangente en x

0, con la cual se calcula

el costo marginal de producir un artículo extra cuando ya se han producido x 0

artículos.Para el empresario es importante saber si la recta se encuentra arriba o abajo de la funciónde costos pues le permite decidir si es conveniente o no la producción de un artículo adicional.

Objetivos


• Utilizar la segunda derivada para indicar cuándo una función es cóncava

hacia arriba o cóncava hacia abajo.

• Identificar los puntos de inflexión de una curva dada.

Costes

CT

CMeT

CMg

CV

CMeV

CF

FIGURA 2.



Para determinar si la recta tangente a una curva dada, como las mostradas anterior-

mente, se encuentra arriba o debajo de la curva en un intervalo, haremos uso de la teoría

que se desarrolla en esta sección. Para este efecto, estableceremos primero la definición

siguiente.


Definición

Sea f una función definida en un entorno U de un punto a ∈ . Supongamos que

f es derivable en x = a y que la recta tangente en ese punto tiene ecuación

T ( x) = f (a)( x − a) + f (a). Definimos δ( x) = f ( x) − T ( x) (diferencia entre las or-

denadas de la curva y de su tangente en a). La curva y = f ( x) en x = a

• es cóncava hacia arriba si δ( x) > 0 para todo x de un entorno reducido de a.

• es cóncava hacia abajo si δ( x) < 0 para todo x de un entorno reducido de a.

• tiene un punto de inflexión si δ( x) > 0 en un semientorno reducido de a, y

δ( x) < 0 en el semientorno opuesto.

En las figuras 3, 4 y 5 se muestran los tres casos de esta definición.

En la figura 3 se presenta una función que tiene concavidad hacia arriba. Observa que

la diferencia f ( x) − T ( x) es positiva (δ > 0), dado que f ( x) es mayor que T ( x). En la figu-

ra 4, la curva es cóncava hacia abajo porque la diferencia f ( x) − T ( x) es negativa (δ < 0),

puesto que f ( x) es menor que T ( x). Finalmente, en la figura 5, se presenta una curva con

un punto de inflexión en a; antes de este punto, la diferencia f ( x) − T ( x) es negativa, y

después, positiva. Esto significa que el punto de inflexión en a es precisamente el punto

donde f ( x) cambia su concavidad.

y

xa x

T(x)

f(x) 0

0

}} 0

y

xa x

f(x)

T(x)

0

FIGURA 3. FIGURA 4.



Las gráficas siguientes (figuras 6, 7 y 8) son cóncavas hacia arriba: para cualquier valor

x que escojas cerca del punto de tangencia, la diferencia f ( x) − T ( x) es positiva. Verifica

esto con base en la figura 3.


}

} 0

x xa x

0

f(x)

T(x)

T(x) f(x)

y

0

FIGURA 5.

FIGURA 6. FIGURA 7. FIGURA 8.

FIGURA 9. FIGURA 10. FIGURA 11.

Las gráficas de las figuras 9, 10 y 11 son cóncavas hacia abajo: para todo x cerca del pun-

to de tangencia, la diferencia f ( x) − T ( x) es negativa. Verifícalo con base en la figura 4.



En las figuras 12 y 13 se muestran dos puntos de inflexión. Observa que la concavi-

dad cambia de sentido en los puntos marcados. Como ejercicio, dibuja estas curvas en tu

cuaderno, traza enseguida las rectas tangentes en los puntos marcados, y verifica la condi-

ción sobre puntos de inflexión como en la figura 5.


punto de inflexión

punto de inflexión

FIGURA 12. FIGURA 13.

Veamos ahora la siguiente propiedad, basada en la definición anterior.

Demostración.

Por definición δ( x) = f ( x) − T ( x) = f ( x) − [ f (a)( x − a) + f (a)].Utilizando el criterio de monotonía y de extremos relativos vistos en secciones anterio-

res, y aplicándolos en la función δ (δ es n veces derivable en a y sus derivadas sonδ(a) = 0 y δ(h)(a) = f (h)(a) para h = 2, 3,…, n.), se obtiene que:

• si n es par y f (n)(a) > 0 entonces y = δ( x) tiene un mínimo relativo en x = a. De dondeconcluimos que y = f ( x) es cóncava hacia arriba en x = a.

• si n es par y f (n)(a) < 0 entonces y = δ( x) tiene un máximo relativo en x = a. De dondese concluye que y = f ( x) es cóncava hacia abajo en x = a.

• si n es impar entonces y = δ( x) es estrictamente monótona en x = a.

Nota. Los puntos que pertenecen al dominio de la función donde la segunda derivada

es cero o no existe, se conocen como puntos críticos de segundo orden. Esta definición

es similar a la presentada para los puntos críticos de primer orden.

Propiedad.

Si la función f es n veces derivable en x = a y se verifica f (a) = 0,…, f (n−1)(a) = 0

y f (n)(a) ≠ 0 entonces, según la paridad de n y el signo de f (n)(a), tenemos:

• si n es par y f (n)(a) > 0 entonces y = f ( x) es cóncava hacia arriba en x = a.

• si n es par y f (n)

(a) < 0 entonces y = f ( x) es cóncava hacia abajo en x = a.• si n es impar entonces y = f ( x) tiene un punto de inflexión en x = a.




Ejemplos

solución

En todas las funciones de los ejemplos siguientes, determina los intervalos donde las funciones dadas

son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo.

Ejemplo 1.

El dominio de f ( x) es D f = . Obtenemos f ( x) = x3 − 27 x y f ( x) = 3 x2 − 27, y calculamos los puntos

críticos de segundo orden igualando la segunda derivada a cero, f ( x) = 3 x2 − 27 = 0. Resolviendo la ecua-

ción, obtenemos que los posibles puntos de inflexión son x = −3 y x = 3. Con el objeto de determinarel intervalo en que f ( x) es cóncava hacia arriba y en el que es cóncava hacia abajo, revisamos los valores

en los cuales f ( x) > 0 y en los que f ( x) < 0. Analizando la segunda derivada, observamos que f ( x) > 0

cuando 3 x2 − 27 > 0, es decir, si 3( x2 − 9) > 0 o bien si | x| > 3, por lo cual, concluimos que la función es

cóncava hacia arriba en los intervalos (−∞, −3) y (3, ∞). Por otra parte, f ( x) < 0 cuando 3 x2 − 27 < 0,

es decir, si 3( x2 − 9) < 0 o bien, si | x| < 3, por lo cual concluimos que la función es cóncava hacia abajo

en el intervalo (−3, 3). Podemos concentrar esta información en la tabla 1.

f x x x

( ) = −4 2

4

27

2

IntervaloSigno

e onclus n so re

(−, −3) + f es cóncava hacia arriba

x = −3 La función tiene punto de

inflexión en

(−3, 3) − f es cóncava hacia abajo

x = 3 La función tiene punto de

inflexión en

(3, ) + f es cóncava hacia arriba

3405

4,−

− −

3405

4,

Tabla 1

Debido a que la función es continua en todo su dominio, podemos abreviar nuestro análisis si tomamos

el dominio de la función f ( x) y marcamos en él los puntos críticos de segundo orden; estos puntos lo

dividen en intervalos en los que la segunda derivada es positiva o negativa. Posteriormente, evaluamos

en f ( x) algún valor numérico que esté contenido en cada intervalo, para la función que estamos anali-

zando (tabla 2).




Te queda como ejercicio demostrar que la función es creciente en , decreciente en

, que tiene un máximo relativo en (0, 0) y mínimo relativo en .

Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función (figura 14).

± −

27729

4,−∞ −( )∪ ( ), ,27 0 27

−( )∪ ∞( )27 0 27, ,

IntervaloSigno

e alor e

prueba onclus n so re

(−, −3) −5 + f es cóncava hacia arriba

x = −3 La función tiene punto de

inflexión en

(−3, 3) 0 − f es cóncava hacia abajo

x = 3 La función tiene punto de

inflexión en

(3, ) 5 + f es cóncava hacia arriba

3405

4,−

− −

3405

4,

Tabla 2

Puntos de inflexión

200

100

2.5 7.57.5 2.5

100

x

y

FIGURA 14.

solución

Ejemplo 2.

El dominio de f ( x) es D f = . Calculamos y , y obtenemos los

puntos críticos de segundo orden (igualamos la segunda derivada a cero y analizamos también dónde no

existe la segunda derivada). Determinamos que los puntos críticos de segundo orden son y

. Realizamos nuestro análisis en la tabla 3. x =1

3

x = −1

3

f x x

x( ) =

−

+( )2 6

1

2

2 3 f x

x

x( ) =

+( )2

1 2 2

f x x

x( ) =

+

2

2 1




Resulta sencillo demostrar que la función crece en (0, ∞) y decrece en (−∞, 0); tiene un mínimo en (0, 0)

y una asíntota horizontal con ecuación y = 1. Con esta información, hacemos un esbozo gráfico de la

función (figura 15).

IntervaloSigno

e alor e

prueba onclus nso re

Tabla 3

puntos de inflexión

x

y

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1 2 33 2 1

FIGURA 15.

solución

Ejemplo 3.

El dominio de f ( x) es D f = − {−1, 1}. Calculamos y ,

y obtenemos los puntos críticos de segundo orden. Observa que al igualar la segunda derivada a cero,

f x x

x( ) = −

+( )−( )

4 1 3

1

2

2 3 f x

x

x( ) =

−( )4

12 2

f x x x

( ) = +−

11

2

2

−1 − f es cóncava hacia abajo

La función tiene punto

de inflexión en

0 + f es cóncava hacia arriba


de inflexión en

2 − f es cóncava hacia abajo

1

3

1

4,

−

1

3

1

4,

x = −1

3

−∞ −

,1

3

−

1

3

1

3,

x =1

3

1

3,∞




obtenemos valores complejos, por lo que no hay puntos críticos en los que f ( x) = 0. Además, la función

tiene asíntotas verticales x = −1 y x = 1 donde f ( x) no está definida; pero estos puntos no son elemen-

tos del dominio de la función, por lo cual, no son puntos críticos de segundo orden. Analizamos los

signos de la segunda derivada en los intervalos (−∞, −1), (−1, 1) y (1, ∞) (tabla 4).

IntervaloSigno

ealor e


(−, −1) −2 − f es cóncava hacia abajo

x = −1 Asíntota vertical

(−1, 1) 0 + f es cóncava hacia arriba

x = 1 Asíntota vertical

(1, ) 2 − f es cóncava hacia abajo

Tabla 4

La función es creciente en (0, 1) ∪ (1, ∞); decreciente en (−∞, −1) ∪ (−1, 0) con valor mínimo relativo

f (0) = 1. Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función (figura 16).

15

10

5

2 4 6 x

y x2 1

1 x2

6 4 2

5

10

15

FIGURA 16.

solución

Ejemplo 4. f ( x) = xln2( x)

El dominio de f ( x) es D f = { x ∈ | x > 0}. Obtenemos f ( x) = 2ln( x) + ln2( x) y , y

calculamos los puntos críticos de segundo orden. Al igualar la segunda derivada a cero, determinamos que

f x x

x( ) =

+ ( )( )2 1 ln




Intervalo e alor e


0.2 − f es cóncava hacia abajo


de inflexión en

0.8 + f es cóncava hacia arriba

1 12e e

,

Tabla 5

el único punto crítico de segundo orden es . Observa que la segunda derivada no está definida en el

punto x = 0, pero este punto no pertenece al dominio de la función, por lo que no es un punto crítico. Ana-

lizamos los signos de la segunda derivada en los intervalos (tabla 5).0,1

y1

,e e ∞

xe

=1

La función es creciente en el intervalo (0, e−2) ∪ (1, ∞); decreciente en (e−2, 1); con un máximo en el

punto (e−2, 4e−2) y mínimo en (1, 0). Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función

(figura 17).

y

x

punto de inflexión

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

FIGURA 17.

solución

Ejemplo 5.

f ( x) = x3e x

El dominio de f ( x) es D f = . Obtenemos f ( x) = e x( x3 + 3 x2) y f ( x) = e x( x3 + 6 x2 + 6 x), y calculamos

los puntos críticos de segundo orden. Observa que al igualar la segunda derivada a cero, obtenemos

xe

=1

01

,e

1

e,∞




IntervaloSigno

e

alor eprueba onclus n so re

−6 − f es cóncava hacia abajo

La función tiene punto de inflexión en

−3 + f es cóncava hacia arriba

La función tiene punto de inflexión en

−0.5 − f es cóncava hacia abajo

x 0 La función tiene punto de inflexión en (0, 0)

(0, ) 1 + f es cóncava hacia arriba

− +( )3 3 0,

− + − +( )

≈ − −( )− +3 3 3 3 1 26795 0 573644

3 3 3, . , . e

x = − +3 3

− − − +( )3 3 3 3,

− − − −( )

≈ − −( )− −3 3 3 3 4 73205 0 93335

3 3 3, . , . e

x = − −3 3

−∞ − −( ), 3 3

Tabla 6

Es fácil probar que la función es creciente en (−3, 0) ∪ (0, ∞); decreciente en (−∞, −3), con un míni-

mo en (−3, −27e−3) ≈ (−3, −1.34425) y con asíntota horizontal y = 0. Con esta información, realizamos

la gráfica de la función (figura 18).

puntos de inflexión

y

x

2

1

8 6 4 2

1

FIGURA 18.

x = 0, y . Analizamos los signos de la segunda derivada en los intervalos de

la tabla 6.

x = − +3 3 x = − −3 3




1. Escribe con tus propias palabras la definición de una función cóncava hacia arriba en un intervalo. De

manera similar, define una función cóncava hacia abajo.

2. La siguiente gráfica muestra el rendimiento de una inversión. ¿Qué representan la concavidad hacia arriba,

el punto de inflexión y la concavidad hacia abajo de la figura 19?

Rendimiento

Inversión

FIGURA 19.

P(t)

Po

t

200

150

100

50

2 4 6 8 10

FIGURA 20.

3. Inicialmente, sólo algunos estudiantes de una institución de educación superior escucharon el rumor de queun profesor de matemáticas pondría 100 de calificación a sus alumnos. El rumor creció, y después de t ho-

ras, el número ha aumentado a P(t ). La gráfica de la función P(t ) aparece en la figura 20.




• Describe la difusión del rumor en términos de su velocidad de dispersión.

• ¿Cuántos estudiantes conocían el rumor, inicialmente?

• Explica el significado del punto de inflexión Po en la gráfica de P(t ).

• ¿Cuál fue el número total de estudiantes que conocieron el rumor?

4. En la guardería ‘Lindavista’ fueron detectados algunos casos de niños con varicela. Rápidamente, los

niños fueron separados del resto del grupo y enviados a su casa. Después de t días, el número de niños

infectados ha aumentado a I (t ). La gráfica de la función I (t ) aparece en la figura 21.

I(t)

Io

t

20

15

10

5

2 4 6 8 10

FIGURA 21.

• Describe el contagio de la varicela en términos de su velocidad de propagación.

• ¿Cuántos niños tenían varicela, inicialmente?

• Explica el significado del punto de inflexión Io en la gráfica de I (t ).

• ¿Cuál fue el número total de niños contagiados?

5. Para las funciones siguientes, encuentra los puntos de inflexión, los intervalos donde cada función sea

cóncava hacia arriba y en los que sea cóncava hacia abajo.

a) f ( x) = x4 − 2 x2

b) f ( x) = x( x − 3)2

c)

d )

e) f ( x) = e− x2

f ) f ( x) = (1 − x)e x

g)

h)

i) f ( x) = x2 ln( x)

j)

k ) f ( x) = sen( x) − cos( x) para x ∈ [0, 2π ]

l) f ( x) = 2sen( x) − x para x ∈ [0, 2π ]

f x x

( ) =

arctan2

3

f x x

x( ) = −

+2 1

2 1

f x x

x( ) =

( )ln

f x x x

( ) =−3

2 1

f x x x

x( ) =

− +2 2






tuaciones.

1. Retomemos la situación con que iniciamos esta sección, “La ley de Snell”. En equipo,

realicen la demostración de la ley de refracción siguiendo el desarrollo que hizo Fermat.

Sigan los pasos siguientes:

a) Investiguen los conocimientos que se tenían en física sobre la luz, hasta el momento en

que Fermat hizo la demostración (por ejemplo, cómo viaja la luz, la velocidad de la luz

en diferentes medios, etc.).

b) Describan cómo es la velocidad del rayo de luz durante la reflexión.

c) Determinen la relación que existe entre la trayectoria de la distancia mínima y la trayec-toria del tiempo mínimo de un rayo de luz al viajar de un punto a otro.

d ) Deduzcan la ley de la refracción de Snell. Supongan que tienen dos medios, cada uno de

densidad uniforme, por ejemplo, aire y agua, y ayúdense con la figura siguiente (figura

22), usada por Fermat.

P

Medio 1

Medio 2

b

Q2

x

c

a

P

R

FIGURA 22.

e) Determinen el principio que explica ambos fenómenos ópticos, reflexión y refracción.

f ) Obtengan la gráfica de la función de tiempo mínimo, calculando los puntos de inflexión,

los intervalos en los que es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.




2. La propagación del SIDA. Uno de los padecimientos más temidos por la humanidad en la

actualidad es, sin lugar a dudas, el VIH/SIDA. La preocupación mundial por tal padeci-

miento obedece, entre otras cosas, a sus implicaciones en los ámbitos social, económico, la-

boral y sanitario, así como a su rápida propagación. Las estadísticas actuales del pandemiadel siglo XX son alarmantes, particularmente por la consideración de que mucha gente puede

estar infectada sin siquiera saberlo. En esta actividad, nos proponemos hacer un estudio de pro-

pagación de este mal en nuestro país que permita hacer algunos pronósticos y generar algunas

conclusiones respecto a este padecimiento. En primer lugar, se les proponen las ideas ge-

nerales de un modelo matemático fuertemente aceptado en el estudio de propagación de

enfermedades (modelo logístico), y a continuación se les solicitará que completen todos los

detalles, dando respuesta (dentro del formato usual de presentación de reportes, con todos y

cada uno de sus elementos) a las preguntas formuladas.

Consideraciones generales.

1. E i representa el número de personas infectadas.

2. Estudios recientes permiten señalar que la razón de cambio de personas infectadas es

una función cuadrática de la forma a + bE i + cE i2; ya que al comienzo de una epidemia

hay pocos enfermos, y luego este número aumenta y se espera que después disminuya.

3. Se supone que E n representa el número de personas no infectadas y que E es el número

que representa la población total en México.

Deberán determinar lo siguiente:

1. La razón de cambio de las personas infectadas en términos del número de personas

enfermas E i y de personas sanas E n (¿por qué será necesario considerar ambas pobla-

ciones?).

2. La solución de la ecuación diferencial planteada en el punto anterior (habrá que enten-

der lo que significa esto). En uno de los problemas de equipo de la sección sobre deri-vación implícita y logarítmica se explica la ecuación diferencial.

3. La gráfica de la función E i = E i(t ), donde t es tiempo, en años.

4. Si el modelo ajusta los datos conocidos, comparen los resultados que predice con los da-

tos reales que se tienen sobre el particular; háganlo para al menos dos datos (cercanos

en tiempo a aquellos que se han considerado en los cálculos).

5. ¿Qué predice su modelo respecto al número de personas infectadas para el año 2010?

6. Si la tendencia continúa, ¿en qué año se esperaría tener en México el doble de las per-

sonas infectadas que se tienen en la actualidad?

6. Según su modelo, ¿en qué época o año crece con mayor rapidez el número de personas

infectadas?

8. Si la tendencia continúa, ¿en qué año debiera esperarse una desaceleración en la propa-

gación de este padecimiento?

Apoyos para la solución.

1. Determinen la razón de cambio de E i en los momentos que corresponden a E i = 0 y E i = E ,expliquen sus respuestas.




2. A partir del punto anterior, determinen los valores de a, b y c de manera que el modelo

propuesto, se simplifique a la determinación de una sola de las constantes.

3. Determinen qué significa resolver una ecuación diferencial.

4. Elijan un año del lustro 1990-1995 y determinen el número E i = E 0, el cual constituirá

su dato inicial, es decir, señalará su t = 0.

5. Si requieren conocer el valor de alguna otra constante, elijan otro dato cercano al ante-

rior y utilícenlo para hallar la constante buscada.

3. Modelo para predecir el crecimiento poblacional. Desarrollaremos este problema de

acuerdo a cuatro puntos importantes: el modelo, el ajuste de datos, la solución, y la inter-

pretación.

Respecto al modelo:

a) Supongan que una población cambia exclusivamente por la ocurrencia de nacimientos y

muertes (es decir, no por inmigraciones o emigraciones). Sean β (t ) y δ (t ) los índices denatalidad y mortalidad, respectivamente.

b) Escriban de manera precisa (fórmulas) y digan en sus propias palabras qué son los índi-

ces de natalidad y mortalidad.

c) ¿Qué relaciones encuentras entre , ρ (t ), δ (t ), β (t ) y , ; donde β (t ) y δ (t ) son,

respectivamente, el número de nacimientos y muertes que han ocurrido (desde t = 0) en

el instante “t ” y ρ (t ) es la población al tiempo t ?

d ) En un hábitat “cerrado” con frecuencia se observa que el índice de natalidad disminuye

cuando la población aumenta (a menudo esto se debe a la limitación de los recursos ali-

mentarios). Suponga, por ejemplo, que β (t ) = β 0 − β

1ρ (t ), donde β

0y β

1son constantes

positivas. Si permanece constante δ = δ 0, expresen en función de ρ (t ).

Respecto al ajuste de datos:

a) Investiguen todo lo referente a la población de la ballena gris en el golfo de California.

Con base en los datos encontrados establezcan una selección de la mayor cantidad po-

sible de constantes que aparecen en los incisos a) y b) del punto anterior (respecto almodelo). Tomen como t = 0 el año 1968.

Referencia sugerida:

http://sepultura.semarnat.gob.mx/upsec/programas/prog_cvs/ballena.htm

Respecto a la solución:

a) Encuentren una solución analítica ρ = ρ (t ) y grafiquen esta solución.

b) Ecuaciones diferenciales:

Consideren la ecuación y = xy, y(0) = 1 y determinen la solución aproximada usando

el método de Euler que se presentó en el capítulo sobre aplicaciones de la derivada,

con h = 0.1.

d

dt

ρ

d

dt

ρ d

dt

δ d

dt

β




c) Ahora apliquen el método de Euler (si es posible) para resolver la ecuación encontrada

en el inciso c) del primer punto (respecto al modelo) con h = 0.1. Sobre el mismo siste-

ma de ejes, grafiquen ρ = ρ (t ) y los puntos p1, p

2, p

3,…, pn, hallados por el método de

Euler. Anoten cualquier observación que tengan al respecto.

Respecto a la interpretación:

a) Interpreten sus resultados con respecto a la población de ballenas grises en el golfo de

California.

1. Dada f ( x) = x4 − 8 x3, selecciona la opción correcta.

a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, −4).

b) f es cóncava hacia arriba en (4, ∞).

c) f es cóncava hacia abajo en (−∞, 0).

d ) f es cóncava hacia abajo en (−∞, ∞).

2. Dada , selecciona la opción correcta.

a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞).

b) f es cóncava hacia arriba en (−2, ∞).

c) f es cóncava hacia abajo en (−2, ∞).

d ) f es cóncava hacia abajo en (−∞, ∞).

3. Dada selecciona la opción correcta.

a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, 1).

b) f es cóncava hacia arriba en (2, ∞).c) f es cóncava hacia abajo en (−1, ∞).

d ) f es cóncava hacia abajo en (−∞, 1).

f x x

x( ) =

−2

1

2

,

f x x( ) = + 23




4. Un fabricante hace sus recipientes de lámina de forma cilíndrica. Un cliente le pide que éstos

tengan una capacidad de 27 litros, y evidentemente, el cliente quiere que se gaste lo mínimo

en lámina. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la función que indi-

ca la superficie de las latas en términos de radio.

a) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞).

b) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 1).

c) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (1, ∞).

d ) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 2).

5. Una tienda pone un anuncio de 400 cm2 en un periódico y el pago es según la superficie del

anuncio. El periódico tiene como requisito que todo anuncio tenga márgenes de 2 cm en cada

lado, que también se pagan. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la

función que muestra la superficie del área escrita del anuncio.

a) La gráfica de la superficie escrita es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞).b) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (10, 30).

c) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (10, ∞).

d ) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 10).

Respuestas a los


3.

a) Cóncava hacia arriba en , cóncava hacia abajo

b) Cóncava hacia arriba en (2, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, 2).

c) Cóncava hacia arriba en (0, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, 0).

d ) Cóncava hacia arriba en (−1, 0), (1, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, −1), (0, 1).

e) Cóncava hacia arriba en , cóncava hacia abajo

f ) Cóncava hacia arriba en (−∞, −1), cóncava hacia abajo (−1, ∞).

g) Cóncava hacia arriba en , cóncava hacia abajo .

h) Cóncava hacia arriba en (−∞, 0), cóncava hacia abajo (0, ∞).

03

2, e( )e3

2 , ∞( )

−

1

2

1

2, .−∞ −

∞

, , ,

1

2

1

2

−

1

3

1

3, .−∞ −

∞

, , ,

1

3

1

3




i) Cóncava hacia arriba en , cóncava hacia abajo .

j) Cóncava hacia arriba en (

−1,

−1), cóncava hacia abajo (

−∞,

−1), (1,

∞).

k ) Cóncava hacia arriba en , cóncava hacia abajo .

l) Cóncava hacia arriba en (π , 2π ), cóncava hacia abajo (0, π ).

π π

4

5

4,

04

5

42, , ,

π π π

013

2

,e

13

2e, ∞

1. b)

2. c)

3. d )4. c)

5. b)



La molécula

Parece al menos creíble que una imagen dice más que mil palabras. Una imagen nos per-mite describir situaciones de diversos tipos en un solo vistazo. Nos deja ver si existe unasituación óptima, las tendencias a la larga y la presencia de “ciertas dificultades”, que ge-neralmente son más difíciles de descubrir a partir de una “fórmula”. Así pues, no es ex-traño que una gráfica resulte por una parte, la culminación de un proceso, pero al mismotiempo, el inicio de nuevos descubrimientos, es decir, la materia prima para la deducciónde nuevas relaciones. Ahora bien, en el contexto actual de la tecnología existente, el sen-tido común nos dicta de manera natural una pregunta, ¿por qué insistir en el análisis dela “fórmula” de una función, cuando el software con el que se cuenta hoy en día, nos podríaevitar una tarea que en ocasiones se torna verdaderamente trabajosa? Podemos darmuchas respuestas a esta pregunta, sin embargo, la siguiente nos parece la más acertada:el análisis mismo de una función, análisis que se convierte en gráfica, permite contemplar

muchas propiedades que de otra manera sería difícil apreciar. Es más, en ocasiones puederesultar materialmente imposible (por la magnitud de las cantidades involucradas) veruna gráfica de manera legible, a no ser que el usuario de un equipo de cómputo sepa loque está buscando y dónde lo está buscando. Lo anterior sucede en el problema de La

molécula que presentamos y pedimos que consideres a continuación.

La molécula

Cuando observan las fuerzas entre átomos, con frecuencia los físicos y químicosmodernos modelan sus interacciones (para gases nobles) por el así llamado po-

tencial “6-12” o potencial de Lennard-Jones. En este modelo, la función deenergía potencial entre dos átomos está dada por una función de la forma

,

donde r es la distancia entre los núcleos de los átomos medida en metros, y a y b

son constantes que pueden ser determinadas de manera espectroscópica. En es-pecial, para el monóxido de carbono (CO), estos valores son a = 0.124 × 10−120

eV × m12 y b = 1.488 × 10−60 eV × m6, donde U es medida en electrovolts (eV ).

a) Elabora una gráfica de la función de energía potencial interatómica como fun-ción de la separación entre átomos. Puedes intentar en primer lugar, el uso deuna calculadora programable o de algún software especializado.

U r a

r

b

r ( ) = −

12 6

4459.2: Graficación

9.2 Graficación

El Cálculo puede ahora enseñarse

sin rastros de misterio. Ya no hay razón

alguna para que este instrumento

básico de las ciencias no sea

comprendido por toda

persona educada.

Richard Courant



b) ¿Cuál es el valor mínimo de la función de energía potencial?

c) De la gráfica de energía potencial, determina la que corresponde a la función de

fuerza que se calcula mediante la expresión .F dU

dr

= −


Introducción

Los elementos que se te han mostrado en las secciones anteriores son extre-madamente útiles para analizar funciones. La siguiente tabla presenta el es-quema general que usualmente se sigue para la construcción de la gráfica deuna función.

En contraste con la simple tabulación de algunos puntos (tal y como se indi-ca en muchos libros), los elementos de la tabla anterior te permitirán orientarmucho mejor tu proceso de graficación. La idea general es, hacer pasar a lacurva a través de puntos mejor pensados en los cuales se presentan las pro-piedades importantes de la función.

Esquema general para la construcción de la gráfica de una función.

i) Determina el dominio de definición de la función.ii) Calcula (si las hay, y el cálculo no es extremadamente com-

plicado) las raíces de la función.

iii) Halla los puntos de discontinuidad de la función.

iv) Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales, ver-ticales y en general, de las curvas o rectas asintóticas que lafunción pudiera tener.

v) Calcula la primera derivada de la función, y determina losintervalos donde la función sea creciente y donde sea de-creciente. De estos cálculos, determina los puntos donde lafunción tiene máximos o mínimos.

vi) Encuentra la segunda derivada de la función, y determinalos intervalos donde la función sea cóncava hacia arriba ocóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión de lacurva.

Nota. Si la función posee paridad, será suficiente con obtener su gráfica para los valorespositivos de la variable independiente; el resto podrá obtenerse a partir de las sime-trías, con el eje “ y” o con el origen, de acuerdo a que la función sea par o impar, respec-tivamente.




Objetivos


• Aplicar los conceptos de monotonía, extremos relativos, concavidades,puntos de inflexión y asíntotas para construir la gráfica de una función.

Ejemplos

solución

Para cada una de las siguientes funciones, aplica los elementos del esquema general de graficación yelabora la gráfica correspondiente.

Ejemplo 1.

y = f ( x) = 2sen( x) + cos(2 x).

i) Esta función está definida para todo número real; sin embargo, como es periódica con periodo 2π ,será suficiente estudiarla en el intervalo [0, 2π ].

ii) Para el cálculo de las raíces, debemos resolver la ecuación 2sen( x) + cos(2 x) = 0 para x ∈ [0, 2π ].Como cos(2 x) = cos2( x) − sen2( x), deducimos que 2sen( x) + 1 − 2sen2( x) = 0 o bien, 2sen2( x) −2sen( x) − 1 = 0; de aquí, hallamos x1 ≈ 3.516 y x2 ≈ 5.908 (ambas en [0, 2π ]).

iii) y iv) Por el tipo de función del que se trata aquí, ésta no tiene ningún tipo de asíntota ni de discon-tinuidad.

v) Al calcular la primera derivada, se tiene que:

f ( x) = 2cos( x) − 2sen(2 x) = 2(cos( x) − 2sen( x)cos( x)) = 2cos( x)[1 − 2sen( x)].

Esta función sólo puede tener puntos críticos estacionarios, luego, debemos resolver la ecuación

2cos( x)[1 − 2sen( x)] = 0,

de donde resultan , , , . En la ta-

bla 1, se proporciona el análisis correspondiente de estos puntos (basado en el criterio de la prime-ra derivada).

vi) Respecto a la segunda derivada, se encuentra que f ( x) = −2sen( x) − 4cos(2 x); por lo cual, para de-terminar los puntos críticos de segundo orden, debemos resolver la ecuación

−2sen( x) − 4cos(2 x) = 0.

x63

24 712= ≈

π . x5

5

62 618= ≈

π . x4 2

1 571= ≈π

. x3 60 524= ≈

π .




Esta ecuación se resuelve de manera similar a la ecuación en v), hallamos que x7 = 1.003, x8 = 2.139, x9 = 3.776, x10 = 5.648.

Con estos “puntos inteligentes” x1,…, x10 y la información que proviene de las primeras dos deriva-

das, obtendremos una idea muy precisa de la gráfica que representa a la función.

Resumimos toda la información pertinente en la tabla 1.

Notación:

Como se ha indicado, ↑(↓) significa que la función crece ( o decrece) en el intervalo correspondiente.Ahora, ∪

c(∩

c) indica que la gráfica es cóncava hacia arriba (o hacia abajo) en el intervalo correspon-

diente.

Intervaloo punto

[0, 0.524) + + − Arriba de X / c / ºc

x = 0.524 1.5 0 Máximo relativo

(0.524, 1.003) + − − Arriba de X / T / ºc

x = 1.003 1.26 0 Punto de inflexión

(1.003, 1.571) + − + Arriba de X / T / ªc

x = 1.571 1 0 Mínimo relativo

(1.571, 2.139) + + + Arriba de X / c / ªc

x = 2.139 1.26 0 Punto de inflexión

(2.139, 2.618) + + − Arriba de X / c / ºc

x = 2.618 1.5 0 Máximo relativo

(2.618, 3.516) + − − Arriba de X / T / ºc

x = 3.776 −0.89 −3.52 0 Punto de inflexión

(3.516, 4.712) − − + Abajo de X / T / ªc

x = 4.712 −3 0 Mínimo relativo

(4.712, 5.648) − + + Abajo de X / c / ªc

x = 5.648 −0.89 3.52 0 Punto de inflexión

(5.648, 2p) + + − Arriba de X / c / ºc

Tabla 1 Resumen de observaciones para la gráfica de

y f (x) 2sen(x) cos(2x).



solución


Ejemplo 2.

Considera la función y = f ( x) = x x + 2. Analiza lo que ocurre en x = 0, ¿es posible extender el dominiode la función a fin de que éste incluya a x = 0? En caso afirmativo, grafica la función en el dominio ex-tendido.

i) Dado que x x = Exp[ xln( x)], deducimos que la función f está definida sólo para los números realespositivos; sin embargo, cabe la posibilidad de que éste pueda ser extendido para incluir a “0”, acondición de que el exista. Ahora bien, aquí tenemos

una forma indeterminada del tipo 00, lo que impide indicar a priori lo que ocurrirá conel límite. Calculamos el límite de la siguiente manera:

,

donde hemos usado, para el paso a límite, la continuidad de la función exponencial. Tenemos que:

.

A este último límite puede aplicarse la regla de L´Hopital, por lo cual,

.lím límln

lím lím x

x

x x x

x Exp x

x

Exp x

x

Exp x→ → → →+ + + +

=

= −

= −

=

0 0 02

01

1

1 1( )

lím lím ln límln

x

x

x x

x Exp x x Exp x

x→ → →+ + +

= =

0 0 0 1[ ( )]

( )

lím lím ln lím ln x

x

x x

x Exp x x Exp x x→ → →+ + +

= =0 0 0

[ ( )] [ ( )]

lím x

x x

→ +0

lím x

x x

→ +0

Valores máximos relativos

5

1

Valor m n mo

áfica delatanlos puntos de inflex n.

2.55 5 7.5 12.5

n esta gr fica se aprecia el caracterper dico de la func n.

y

x

y

x

FIGURA 1. Gráfica de la función y = f ( x) = 2sen( x) + cos(2 x).




De aquí, concluimos que . Extendemos ahora a la función dada como

.

Ésta es la función que graficaremos.

ii) La función no tiene raíces. Esto se desprende del hecho de que x x = Exp[ xln( x)] > 0, por lo cual, f ( x) > 2.

iii) y iv) Como x x = Exp[ xln( x)], se sigue de la continuidad de las funciones Exp y ln en el intervalo(0, ∞), que la función f es continua en [0, ∞); es más, por el inciso i), podemos decir que f es con-tinua en todo el intervalo [0, ∞). De esto último, se sigue que la gráfica de f no posee asíntotasverticales. Como , resulta que la gráfica de f no posee asíntotas horizontales.

v) El cálculo de la primera derivada de f nos lleva a la expresión f ( x) = x x(1 + ln( x)). Observamos que,

los únicos posibles puntos críticos de primer orden deben ser estacionarios. Como de hecho x x = Exp[ xln( x)] > 0, la ecuación x x(1 + ln( x)) = 0 equivale a 1 + ln( x) = 0, de lo cual, se desprende que x = e−1 ≈ 0.368.

vi) La segunda derivada es , de la cual, resulta f ( x) > 0.

La tabla 2 proporciona en resumen las observaciones que corresponden a esta función.

f x x x

x x

( ) ( )= + +( )

11 2ln

lím x

x x

→+∞= +∞

f x x x x

x

( ) ,,= + >=

2 0

3 0

lím x

f x→ +

=0

3( )

Intervalo

o punto

Interpretac n

acerca de la gr fica

[0, e1) Arriba de X / T / ªc

x e1 2.692 0 Mínimo relativo

(e1, ) Arriba de X / c / ªc

Tabla 2 Resumen de observaciones para la gráfica de

y f (x) x2 2.

0.5 1 1.5 2 2.5

x

1

2

3

4

y

FIGURA 2. Gráfica de la función y = f ( x) = x x + 2.




solución

Nota. Habitualmente, dibujar una curva de la forma f ( x, y) = 0 es un problema laborioso y compli-cado. El siguiente esquema te dará un panorama general de lo que se puede hacer en estos casos.

a) Si f ( x, y) = 0 es de segundo grado en x o en y, se despeja la variable en cuestión y se dibujan lascurvas correspondientes.

b) En ocasiones, es preferible utilizar otro tipo de coordenadas en lugar de las cartesianas ( x, y). Por

ejemplo, las coordenadas polares, que se relacionan con las cartesianas por medio de ,

permiten simplificaciones importantes con la consecuente facilidad para la graficación. De mane-ra más concreta, una ecuación como ( x2 + y2)2 − k 2( x2 − y2) = 0 equivale en coordenadas polaresa r 2 = k 2 cos(2θ ) — Lemniscata de Bernoulli— cuya gráfica puede generarse con cierta facilidad.

c) En otras ocasiones, resulta conveniente reducir el estudio de una curva de la forma f ( x, y) = 0introduciendo las ecuaciones paramétricas de la curva. Por ejemplo, el folium de Descartes

x3 + y3 − 3 xy = 0, puede expresarse y estudiarse por medio de las ecuaciones paramétricas

, . En esta sección no entraremos en los detalles de ninguna de estas tres posibilidades,

esto será estudiado en un trabajo posterior. Sin embargo, tenemos una cuarta alternativa.

d ) Aplicar los elementos utilizados en la construcción de curvas de la forma y = f ( x) como se ve enel siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.

Construye la gráfica de la curva f ( x, y) = xy2

− x2

− 2 y = 0.

a) Extensión de la gráfica. Aquí no hablaremos de dominio porque en general, no consideraremos fun-ciones. No obstante, es conveniente cuestionarnos sobre la extensión de la gráfica. Concretamente,

si despejamos a y, resulta , x ≠ 0; deducimos que x debe ser mayor o igual que −1. Es

decir, no hay gráfica para x < −1. No pierdas de vista que x sí puede ser cero (en cuyo caso, el des-peje anterior no es válido), de hecho, x = 0 implica y = 0. Si ahora despejamos a x, encontramos

. Ahora, debemos cuidar que y4 − 8 y ≥ 0, esto es, y( y − 2)( y2 + 2 y + 4) ≥ 0 o

y( y − 2) ≥ 0, pues y2 + 2 y + 4 > 0 para todo y. Así, debe cumplirse que y ≤ 0 o y ≥ 2; es decir, nohay gráfica en la zona 0 < y < 2.

b) Simetría. Recuerda que si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplaza-da por − y, la curva es simétrica respecto al eje x. De la misma manera, si la ecuación de una curvano se altera cuando la variable x es reemplazada por − x, la curva es simétrica respecto al eje y.Como la ecuación inicial cambia al reemplazar x por − x, lo mismo que cuando y es reemplazada por− y, concluimos que no existen simetrías.

x y y y

= ± −2 4 8

2

y x

x=

± +1 1 3

y t

t =

+3

1

2

3

x t

t =

+3

1 3

x r

y r

==

cos

sen

( )

( )

θ

θ




c) Intersecciones con los ejes coordenados. Para y = 0 (intersección con el eje x), x = 0; para x = 0 (in-tersección con el eje y), y = 0. Por lo tanto, el único punto de intersección con los ejes coordenadoses el origen (0, 0).

d ) Asíntotas. De , notamos que vale la pena estudiar lo que ocurre cuando x → 0.

De xy2 − x2 − 2 y = 0, obtenemos para y → ±∞. De aquí que x → 0+ implica y → +∞;

y x → 0− implica y → −∞; es decir, x = 0 es una asíntota vertical de la curva.

Asimismo, implica que la curva no tiene asíntotas horizontales, pero como

para x → +∞, concluimos que x = y2 es una curva asintótica.

e) Determinación de los puntos donde o no existe. Calculamos ahora la primera derivada y

hallamos que . Estamos interesados en determinar dónde vale cero esta derivada y

dónde no existe, pues esto proporciona información valiosa sobre la gráfica. Observa que , si

. De la primera ecuación, ; si ahora sustituyes en la segunda ecuación, en-

contrarás que y( y − 2)( y2 + 2 y + 4) = 0, de donde y = 0 y y = 2. De aquí resultan dos puntos,

P1(0, 0) y P2(2, 2), en los cuales la recta tangente es horizontal.Por otro lado, la derivada no existe en los puntos que satisfagan . De la primera

ecuación, vemos que xy ≠ 0; luego, podemos expresar , que al sustituir en la segunda ecuación,

produce 1 + y3 = 0; de aquí y = −1. Por lo tanto, hay un único punto P3(−1, −1) donde la recta tan-gente es vertical.

A partir del análisis anterior, deducimos que la curva tiene la apariencia de la figura 3.

Nota. Puesto que en general f ( x, y) = 0 no determina una función y = y( x), no es posible aplicar el aná-lisis de la primera y segunda derivada para generar información acerca de la monotonía, los extremos

relativos y las concavidades.

x y

=1

xy

xy x y

− =

− − =

1 0

2 02 2

x y=

2

2

2 0

2 0

2

2 2

x y

xy x y

− =

− − =

dy

dx= 0

dy

dx

x y

xy=

−−

2

2 2

2

dy

dx= 0

y x

x x=

± +≈ ±

1 1 3 12

y x

x=

± +1 1 3

x x

y y y= + ≈

2

2

2 2

y x

x=

± +1 1 3




Asíntota vertica

urva asint tica

f x, y

y

x

FIGURA 3. Gráfica de f ( x, y) = xy2 − x2 − 2 y = 0.

solución

Ejemplo 4.

Con los elementos indicados en el esquema general de graficación, haz el análisis de la funcióny elabora su gráfica.

i) Esta función está definida para todo número real.

ii) Dado que , concluimos que f tiene dos raíces, x = 0 y x = 2.

iii)La función es continua en .

iv) Apoyados en el inciso anterior, vemos que la función no tiene asíntotas verticales. Además, como, deducimos que la función no tiene asíntotas horizontales. ¿Cabe la posibilidad

de que exista alguna asíntota oblicua? Para responder a esta pregunta nota que

.

Por esto, debiéramos esperar una recta asintótica de la forma y = − x + b. Por otro lado, si para x → ±∞ se cumple que f ( x) ≈ − x + b, deducimos de esto que

.b f x x x x x x x x

x x x x x x x x x

= + = − + = − +

−( ) − −( ) +→ ±∞ → ±∞ →±∞lím lím lím( ( ) ) ( )2

2

2 2

2 332 3 3

2 3 2 3 22

31

3

f x x x

x x

( ) = − ≈ −→ ± ∞

2 13

lím x

f x→ ± ∞

= ∞( ) m

y x x= −2 3 3 2 /

y f x x x= = −( ) 2 2 33




Es decir . Esto es, la asíntota oblicua de esta función

es la recta .

v) Al calcular la derivada de esta función, encontrarás que . Por lo tanto, la fun-

ción posee tres puntos críticos, uno estacionario en y dos más singulares en x = 0 y x = 2.

vi) Si calculas la segunda derivada, hallarás que ; luego, no hay puntos críticos

de segundo orden donde la segunda derivada se anule; sin embargo, en x = 0 y en x = 2, la doble de-rivada no existe, por lo cual nuestro análisis deberá incluirlos. Sintetizamos el análisis de la función

por medio de la tabla 3.

f x

x x

( ) = −−( )

8

9 24

35

3

x = 43

f x x

x x( )

( )=

−

−

4 3

3 2 23

y x= − +2

3

b x

x

x

x

x

x x

=

−

− −

+

=→ ±∞lím

2

21

21

2

3

2

2 2 2

23

13

Intervaloo punto

Interpretacacerca de la gr fica

(−, 0) + − − Arriba de X / T / ºc

x = 0 0 No existe No existe Raíz, mínimo relativo

+ + − Arriba de X / c / ºc

1.058 0 Máximo relativo

− − − Arriba de X / T / ºc

x = 2 0 No existe No existe Punto de inflexión

(2, +) − − + Abajo de X / T / ªc

(4/ 3, 2)

x = 4/ 3

(0, 4/ 3)

Tabla 3 Resumen de observaciones

para la gráfica de . y f x x x= = −( ) 2 2 33

Nota.

a) El análisis de los signos que toma la función f puede realizarse más cómodamente si escribes

.

b) Para x = 0, hemos concluido que f tiene un mínimo relativo con base en el criterio de la primera de-rivada. Dado que x = 0 no es un punto crítico estacionario, el criterio de la segunda derivada

no aplica.

f x x x x x( ) = − = −22

12 33

3




nimo relativo en un punto

rítico singular

ecta asint tica

crí

unto de inflex n: n ste lasegunda derivada no existe

y

x

3

FIGURA 4. Gráfica de la función . y f x x x= = −( ) 2 33 2

1. Analiza y construye la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Tu análisis debe señalar los ex-tremos relativos, los puntos de inflexión y las asíntotas.

a) d ) f ( x) = cos3( x) + sen3( x), 0 ≤ x < 6

b) e)

c)

2. Te presentamos a continuación la función con la que culmina un estudio realizado1 a un circuito eléc-trico:

Aquí, t ≥ 0 representa al tiempo e i(t ) a la corriente en el inductor del circuito. Ahora bien, ¿realmentepuedes decir algo, al menos cualitativamente, acerca del comportamiento de esta corriente?

Realiza lo que se te pide en los siguientes incisos.

i t e et

t ( ) .= −

− −6

17

34 5

f x x x( ) = −( ) − −( )3 1 12

3 2

y f x x e x= = −( ) f x x x

( ) = ++

4

12

f x x

x( ) =

+

2

2 3

1 Scout, Donald E., Introducción al Análisis de Circuitos- un Enfoque Sistémico, primera edición, México D.F., McGrawHill,1989, págs. 227 y 228.




a) ¿Existe un valor donde esta corriente tenga un valor máximo?, ¿mínimo?

b) Si la corriente inicial es i(0) = 0, ¿qué ocurre en el transcurso del tiempo?, ¿aumenta? ¿disminuye?,y si hace una cosa o la otra, ¿hasta qué instante lo hace? Un comportamiento u otro, ¿se perpetúa?

c) ¿Qué pasa con la corriente en el largo plazo?

3. Siguiendo los pasos del ejemplo 3 resuelto, analiza y elabora la gráfica de las siguientes curvas expre-sadas en la forma f ( x, y) = 0.

a) y2( x − 2) = x3 − 1 b)

4. Considera la siguiente gráfica, correspondiente a la derivada de una función f . Con la información adjunta y la gráfica dada, responde los siguientes cuestionamientos.

Datos.

f (0) = 0; f (1) = −0.25; f (2) = 0; f (0.422) = −0.11; f (1.577) = −0.11.

Cuestionamientos.a) ¿Cuáles son los puntos críticos de 1° y 2° orden?

b) ¿Dónde crece y dónde decrece la función f ?

c) ¿Dónde tiene extremos relativos la función?

d ) ¿Cómo son las concavidades de f ?, ¿en qué intervalos se presentan?

e) ¿Existen puntos de inflexión?

Construye la gráfica de f a partir de tus conclusiones.

x y2

32

3 1+ =

2

1. 7

2

12 1 3

y

x

1.

1.5






1. Con base en la teoría desarrollada en esta sección, vuelve con tus compañeros al problema“La molécula” de la introducción y da respuesta fundamentada a las preguntas que ahí seformulan.

2. Graficación a través de Taylor.

En lugar de un estudio detallado de la primera y segunda derivada, el empleo de polinomiosde Taylor permite precisar la construcción de la gráfica de una función y = f ( x). Con tuscompañeros, aplica los pasos que se indican en el inciso a) y construye la gráfica de cadauna de las funciones que se dan a continuación.

a)

Te sugerimos la siguiente solución.

i) Estudia el comportamiento de la función en sus puntos de discontinuidad, en caso deque los tenga.

ii) Para x tendiendo a infinito, haz el cambio de variable . Con esto, determina

un desarrollo de Maclaurin conveniente de la función y obtén una aproximación dela forma . A partir de esto, deduce cuál es la ecuación de la asíntota

oblicua de la función.

iii) De la aproximación anterior, determina la ubicación de la curva respecto a la asíntotaoblicua calculada en ii).

iv) Es conveniente estudiar (en caso de que aplique) la posible intersección de la fun-ción con su asíntota.

v) Construye la gráfica de las siguiente funciones.

b) c)

3. Decisiones en el mercado accionario.Cuando se invierte en el mercado accionario, el principal objetivo consiste en comprar aprecio bajo y vender a precio alto. La toma de decisiones se apoya, generalmente, en la ex-periencia de los corredores de bolsa y en el comportamiento del valor de las acciones. Sen-das tablas de información, como la de la siguiente figura, se van actualizando constante-mente para conocer el comportamiento accionario.

y f x x

xe x= =

+( )

2

1

1

y f x e

e

x

x

= = +

−( )

1

1

1

1

f x a bx c

x( ) ≈ + +

x z

=1

y f x x x

= =+

( ) 2 1

1arctan




De manera adicional a la tabla anterior, se van generando gráficas como la de la figura 5,pero el punto crucial es ¿cómo saber si un precio ha llegado a su punto más alto? Es más,cuando un precio accionario baja, se puede ver que estaba en un valor más alto, pero si la

reacción se produce en ese momento, ¡es demasiado tarde para hacer algo! Es aquí dondeel concepto de concavidad puede ayudar a este respecto. Considera los siguientes cuestio-namientos y ofrece una respuesta fundamentada para los mismos.

a) Supón que el precio de una acción en un intervalo de tiempo está creciendo y además,que la curva en ese intervalo es cóncava hacia arriba. ¿Porqué debería sospecharse queseguirá subiendo? ¿Es buen momento para comprar?

b) Ahora, supón que el precio está creciendo pero que la curva es cóncava hacia abajo,¿porqué el accionista debería prepararse para vender?

c) Supón que el precio está decreciendo y que la curva es cóncava hacia arriba, ¿es buentiempo para comprar o para vender? ¿Qué recomendación harías, si el precio estuviera

decreciendo pero la curva fuera cóncava hacia abajo?

Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct.4

5

6

7

8

9

2004 2005

FIGURA 5. Información general e histórica de “CINTRA A” en el periodo de noviembre 2004a octubre de 2005. (Fuente: Anuario Bursátil , Bolsa Mexicana de Valoreshttp://www.bmv.com.mx/BMV/JSP/quote.jsp?compara=NULL&vesocinv=null&tiempo=year&cantidad=1&emision=CINTRA.A&tipo=1&idemis=0.

Máx. Mín. Anterior Último Cambio

5.99 5.51 5.56 5.86 0.30

Var. % Volumen Importe Postura Compra Postura Venta

5.40 8 500 49 810.00 5.85 5.86

Vol. Com. Vol. Venta Num. Ops. Imp. Acumulado Vol. Acumulado

22 000 104 400 431 44 756 704.00 7 773 884

Tabla 4 Registro del valor de las acciones de

"CINTRA A" (26 de octubre de 2005).




1. Elige la opción que contiene la proposición verdadera.

a) Si f es continua en [a, b] y f (a) = f (b) = 0, entonces existe algún punto c ∈ (a, b), tal que f

(c) = 0.

b) Si (c, f (c)) es un punto sobre una gráfica en la que ésta es continua y f (c) = 0, entonces (c, f (c)) es un punto de inflexión.

c) Si f (c) es un extremo relativo, entonces f (c) > 0 o f (c) < 0.

d ) Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene un máximo y un mínimo ab-solutos.

2. Una función f tiene las siguientes propiedades.

i) Su dominio es el conjunto de los números reales y tiene dos raíces, una en x = 1 y otraen x = 6.

ii) Tiene un máximo relativo en (1, 0) y un mínimo relativo en .

iii) f ( x) > 0 en (−∞, 1] ∪ [3, +∞), y f ( x) < 0 en [1, 3].

iv) La función derivada f es creciente en el intervalo [1, +∞).

Con base en estas propiedades, determina la afirmación correcta para la función f .

a) La función es cóncava hacia abajo en el intervalo [1, +∞).

b) La función es decreciente en el intervalo [0, 1).

c) .

d) La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞, 1] ∪ [3, +∞).

3. Haz un estudio de la función , y determina qué inciso contiene una afir-

mación falsa acerca de ella.

a) x = 0 es una asíntota vertical de la gráfica de f .

b) La función es creciente en todo su dominio (−∞, −1) ∪ (0, +∞).

c) La gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞, −1), cóncava hacia abajo en (0, +∞)y no tiene puntos de inflexión.

d ) y = e es una asíntota horizontal de la curva.

4. Haz un estudio de la función (donde Exp[a] = ea), y determina qué

inciso contiene una afirmación verdadera acerca de ella.

a) La función tiene un máximo relativo pero no absoluto en x = 2.

b) La función es decreciente en el intervalo (2, ∞).

c) La función tiene una discontinuidad esencial asintótica en x = 0.

d ) La función es decreciente en el intervalo (0, 2).

f x Exp x x

( ) = −

12

f x x

x

( ) = +

11

lím x

f x→ +∞

= + ∞( )

( , )3 3 22

3 − ( )



Respuestas a los



5. En la columna B, encuentra las propiedades que corresponden a las funciones de la columna A.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d ) f ( x) = 2 x − tan( x); − < <π π

2 2 x

f x x x( ) = −2

31

32

f x x x

x( ) =

−+

2 4

1

2

f x x x x( ) = − + +1

4

3

22 54 2

i) La función tiene un máximo relativo en

y un mínimo relativo en

.

ii) Para x > 8, la función es creciente y cóncavahacia abajo.

iii) Tiene puntos de inflexión en y en

.

iv) y = 2 x − 6 es una asíntota oblicua de la gráficade f .

v) Su primera derivada es decreciente en (−1, 1).

vi) x = ±1.5708 (aproximado) son asíntotas verti-cales de la gráfica de la función.

vii) La gráfica tiene puntos de inflexión en x = 0 yen x = 8.

viii) La gráfica de la función es cóncava haciaarriba en (−1.5708, 0), cóncava hacia abajoen (0, 1.5708) y tiene extremos relativos en

x = ±0.7854 (valores aproximados).

123

4,

−

17

4,

− + − +( )( )1 3 4 2 3,

− − − +( )( )1 3 4 2 3,

1. a)La función tiene un mínimo relativo en(0, 0), puntos de inflexión en , yuna única asíntota horizontal,

y = 1.

±( )1 14,

2246 4 6

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

y

x




b)La función tiene un máximo relativo en(0.129, 4.063), un mínimo relativo en (1.608,

2.723), puntos de inflexión en (−0.577,2.4239) y en (0.577, 3.5779), y una asíntotaoblicua, y = x.

c)La función tiene máximos relativos en (0, 2)y en (2, 2). No hay puntos de inflexión niasíntotas de ningún tipo. La gráfica es simé-trica respecto a la recta x = 1.

d )La función tiene máximos relativos en (0,1), (1.57, 1), (3.926, −0.7071) y mínimosrelativos en (0.785, 0.7071), (3.1415, −1),(4.712, −1).

Los puntos de inflexión son (0.364, 0.86),(1.2059, 0.86), (2.356, 0), (3.506, −0.86),(4.347, −0.86), (5.497, 0). La gráfica no tie-

ne ningún tipo de asíntota.

Nota. Los valores dados son aproximados.

.

5

7.5

1 y

x

1

7.

y

x

x

1

6

4

2

2 4 62

2

4

4

6

5

0.

0.

1

y

x




e)La función tiene un máximo relativo en

, un mínimo relativo en (0, 0) y un

único punto de inflexión en (1.207, 0.328).La gráfica tiene una asíntota horizontal,

y = 0.

Nota. Los valores dados son aproximados.

2)a) La función tiene un valor máximo relati-

vo, de hecho absoluto, en (0.446, 0.215).

b) La corriente crece en el intervalo [0,0.446] y decrece en [0.466, ∞). Se obser-va que una vez que la función alcanza suvalor máximo, entonces decrece de estepunto en adelante.

c) A la “larga”, es decir cuando t → ∞, lacorriente tiende al valor 0.

( , )1 1e

y

x

t

i(t) Máximo absoluto en (0.446, 0.215)

0.

0.1

0.

0.0

1 2 3 4

3)

a) b)

y

x

10

5

2 4 62

5

10

1

0.5

0.5 1

1

0.51

0.5

Asíntotas de la curva, x = 2, y = ±( x + 1).




4.a) La función tiene puntos críticos de primer orden en x = 0, x = 1 y x = 2; y puntos críticos de segun-

do orden en x = 0.422, y en x = 1.577.

b) La función f es creciente en (−∞, 0] ∪ [1, 2], y decreciente en [0, 1] ∪ [2, ∞).

c) La función tiene máximos relativos en x = 0 y en x = 2; además, posee un mínimo relativo en x = 1.

d ) La gráfica de f es cóncava hacia abajo en (−∞, 0.422) ∪ (1.577, ∞), y cóncava hacia arriba en(0.422, 1.577).

e) Existen dos puntos de inflexión en (0.422, −0.11) y en (1.577, −0.11).

Con esta información, deducimos que la gráfica de la función tiene la siguiente apariencia.

1. d )

2. c)3. a)4. b)4. a) iii y v, b) i y iv, c) ii y vii, d ) vi y viii.

2 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 x

y



Unidad

Optimización



10.1 Optimización

Los niños pequeños preguntan por qué el cielo es azul o por qué las burbujas son esféricas. Durante su creci-miento se acostumbran a las maravillas de este mundo y se olvidan de la capacidad de sorprenderse. En muchasocasiones, su curiosidad es sofocada por el mismo sistema que debería alentarla: la escuela. Memorizan fórmu-las, fechas y datos que no tienen conexión entre sí y al terminar su educación básica, la mayoría de los niños yano hace esas preguntas.

Pero hay algunos niños que se rebelan ante el sistema, que siguen preguntándose por qué el cielo es azul y porqué las burbujas son esféricas. Cuando crecen, muchos de esos niños rebeldes se vuelven poetas. Algunos otros sevuelven científicos.

Y es que la ciencia es maravillarse de que la misma ley que describe cómo cae una pequeña manzana tambiéndescribe cómo se mueve la gigantesca Luna; es escuchar la música y recordar lo que dijo Leibniz, “La música esel placer que el alma experimenta al estar contando sin ser conciente de que está contando” y es sorprenderse deque ideas tan esotéricas como lo infinitamente pequeño o lo infinitamente continuo puedan aplicarse a problemastan prácticos como el diseño de un envase de cartón para leche.

Si no te has sorprendido con el cálculo diferencial, detente un poco y reflexiona. Recuerda, por ejemplo, la de-finición de derivada. Divides dos cantidades que se están haciendo “indefinidamente” pequeñas, y su división nosproporciona una razón de cambio instantánea; instantánea como una burbuja de jabón que se revienta. Pero, ¿pue-den las cantidades físicas ser infinitamente pequeñas? ¿Puedes tener un pedazo tan pequeño como tú quieras depastel? No, porque cuando llegas al tamaño de una molécula, si la divides ya no tienes más moléculas, sino áto-mos que tienen propiedades químicas distintas, y si los divides obtienes protones y electrones. Y los protonesy electrones de un pastel son idénticos a los protones y electrones de un pedazo de metal. Si en el mundo físico nopodemos llegar a lo “infinitamente pequeño” entonces, ¿qué realidad tiene la derivada, que es la división de dos



466 Unidad 10: optimización

10.1 Optimización

Las ciencias no tratan de explicar,incluso apenas tratan de interpretar,

construyen modelos principalmente. Por

modelo, se entiende una construcción

matemática que, con la adición de cier-

tas interpretaciones verbales, describe

los fenómenos observados.

John von Neumann

cantidades “indefinidamente” pequeñas? Esto es lo maravilloso del cálculo diferencial,que lo mismo sirve para calcular las trayectorias de los satélites artificiales que noscomunican en la actualidad que para determinar asuntos más terrenales, por ejemplo, eldiseño de envases o encontrar la tarifa óptima de un sistema de transporte.

En este último capítulo estudiarás una de las aplicaciones de mayor impacto del cál-culo diferencial en lo cotidiano: la “optimización”. No temas hacerte más preguntas e in-vestigar, no temas sorprenderte en éste y otros cursos. No dejes de preguntar por qué elcielo es azul y por qué las burbujas son esféricas.

Diseño de envases

Una industria muy importante en el mercado es el diseño de envases de los dife-rentes productos que se ofertan. Los diseños van desde pequeñas latas, cubetas,cajas de diferentes tamaños y formas hasta grandes contenedores industriales.Diariamente se diseñan miles de ellos en diferentes materiales, como vidrio, me-tal, cartón, madera y plástico, o bien combinaciones de ellos.

Además de la funcionalidad y la estética, la reducción de los costos de pro-ducción representa un aspecto muy importante a considerar por los diseñadores;unos centavos ahorrados por la compañía en cada producto pueden marcar gran-des diferencias en cuanto a ventas, atractivo para los compradores y por supues-to, competitividad.

FIGURA 1. Los diferentes diseños para un envase.



Un problema al que se enfrentan los diseñadores es la reducción de los costos delmaterial usado para la producción de envases, ellos deben determinar los valoresóptimos de las dimensiones bajo la restricción de una capacidad predeterminadade los recipientes. Con tu equipo de trabajo determina si los envases de cartón tí-

picos usados para leche fresca, tienen realmente las dimensiones óptimas.

46710.1: Optimización

Introducción

Es posible modelar matemáticamente aplicaciones prácticas en diversos cam-pos del conocimiento humano y en nuestra vida diaria similares a la situación“Diseño de envases” con el empleo de conceptos matemáticos. En esta últi-ma sección desarrollaremos una guía para resolver problemas de optimiza-ción utilizando las herramientas desarrolladas hasta este momento.

Problemas de Optimización

Alonso Hernández, ingeniero recién egresado, trabaja actualmente en la empacadora yprocesadora de alimentos ‘Valle Feliz’. Se le ha asignado su primer trabajo: construirun silo para almacenar arroz, con una capacidad de 110 m3 con ciertas característi-cas específicas. Él debe pensar en el diseño más económico para la empresaincluyendo el piso. Alonso hizo un análisis y negoció con la constructora lograndoque el costo fuera el mismo para cualquier parte del silo, por lo que concluyó que ne-cesita construir un silo cuya superficie sea lo más pequeña posible. ¿Cómo razonaren este problema para encontrar las dimensiones del silo requerido con el menor costoposible?

Para resolver este problema utilizaremos los métodos vistos en el capítulo 8 paraencontrar los extremos de una función; de manera más concreta, recuerda que la apli-

cación del teorema del valor extremo para extremos absolutos requiere que la funciónsea continua en un intervalo cerrado [a, b]. En la tercera sección del capítulo 8 lasaplicaciones trataron sobre tales funciones. Ahora, consideraremos aplicaciones queinvolucran extremos absolutos para las cuales no puede emplearse el teorema del va-lor extremo; sin embargo, existe otro teorema que en ocasiones es útil para determi-nar si un extremo relativo es un extremo absoluto. Para ilustrar el resultado observalas siguientes gráficas:

Objetivos


• Resolver problemas que involucran la optimización de funciones.



Cada una de estas funciones es continua en el intervalo abierto I y tiene sólo un extremorelativo, f ( x0), en I . En los dos casos, el teorema siguiente garantiza que el extremo relativoes un extremo absoluto.


xo

I

xo

I

FIGURA

2.

Teorema

Supón que la función f es continua en el intervalo abierto I que contiene al pun-

to x0. Si f ( x0) es un extremo relativo de f en I , y si x0 es el único número en I pa-ra el cual f tiene un extremo relativo, entonces, f ( x0) es un extremo absoluto de f sobre I . De hecho,

• Si f ( x0) es un valor máximo relativo de f en I , entonces, f ( x0) es un valor má-ximo absoluto de f sobre I .

• Si f ( x0) es un valor mínimo relativo de f en I , entonces, f ( x0) es un valor mí-nimo absoluto de f sobre I .

En breve, usaremos este teorema en la solución de problemas prácticos. Cabe decir que,

la dificultad más fuerte en la solución de este tipo de problemas radica en la transiciónal lenguaje matemático de los datos del problema, y en establecer con ello la función quedebe maximizarse o minimizarse. Con el objeto de facilitar este proceso, establecemosla siguiente guía para resolver problemas de optimización.



Ejemplos


Guía para la solución de problemas de optimización.

1. Lee cuidadosamente el problema. Si es necesario, debes leerlo varias ve-ces hasta que lo entiendas. Para la comprensión del problema es convenien-te que te hagas las siguientes preguntas: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles sonlas cantidades dadas?, ¿cuáles son las condiciones dadas?

2. Dibuja un diagrama. En ocasiones, resulta útil dibujar un diagrama quepermita identificar los datos y las incógnitas.

3. Introduce notación. Asigna un nombre a la función que se va a maximizaro minimizar; además, asigna variables a las otras cantidades desconocidas, ymarca en el diagrama estas cantidades (puede ser útil el uso de iniciales consímbolos sugerentes, por ejemplo, V para el volumen, C para el costo, etc.).

4. Identifica la función que buscas maximizar o minimizar y relaciónala conlos términos de los símbolos del paso anterior.

5. Expresa la función en términos de una sola variable. Si en el paso ante-rior la función quedó expresada en términos de varias variables, utiliza la in-formación dada para hallar relaciones (en forma de ecuaciones) entre estasvariables; luego, utiliza estas relaciones para eliminar todas las variables, ex-cepto una. Escribe el dominio implícito de la función.

6. Encuentra el extremo de la función. Aplica los métodos vistos en el capítulo8 y el teorema anterior para hallar el valor máximo o el valor mínimo de f .

Ejemplo 1.

Volvamos al problema de Alonso Hernández, ingeniero recién egresado que trabaja en la empacadoray procesadora de alimentos Valle Feliz. Carlos Reyes, gerente de la empresa, le ha asignado su pri-mer trabajo que consiste en construir un silo para almacenar arroz. Debido a las características de al-macenamiento del cereal, la empresa requiere que el silo tenga una capacidad de 110 m3 y la forma de

un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. Por supuesto, Alonso tiene el encargo de pen-sar en el diseño más económico para la empresa (incluyendo el piso). Después de analizar el problema,Alonso negoció con la constructora y logró que el costo sea el mismo para cualquier parte del silo; porello, llegó a la conclusión de que necesita construir un silo cuya superficie sea la más pequeña posible.¿Cómo se puede razonar el problema de Alonso?, es decir, ¿cómo hallar las dimensiones del silo reque-rido, y que éste resulte ser el más económico?



solución


Seguimos la guía para resolver el problema.

1. Lo leemos cuidadosamente.

2. Identificamos los datos capacidad = volumen = 110m3, por lo que r y h deben estar en metros; aquí,las incógnitas r y h significan el radio de la base y la altura del silo, respectivamente. Hacemos undiagrama que ilustre el problema, identificando los datos y las variables involucrados:

r

r

FIGURA 3. Diseño del silo más económico.

3. Asignamos un nombre a la función que se va a minimizar (Alonso desea usar la menor cantidad dematerial posible): sea M la función que representa el material utilizado para elaborar el silo.

4. Expresamos la función a minimizar en términos de los otros símbolos:

. Observando la figura, tenemos que:

M = (πr 2) + (2πrh) + (2πr 2)

5. Utilizamos la información que se refiere a la capacidad del silo, ésta es de 110m3, es decir

. Para escribir h en términos de r , des-

pejamos de la ecuación anterior: . Sustituyendo en la función del material obtenemos:

. Observa que r ∈ (0, ∞) y que M es

continua en su dominio.

M r r r r r

r ( ) = ( ) + −

+ ( ) = + −π π

π π π πr

r r 2

222

110 2

32 3

220 4

32 2

hr

r = −110 2

32π

V

volumen del

cilindro

volumen de la

semiesfera r h r =

+

= + =

π π

2 32

3 110

M área del

piso

área de la

parte cilíndrica

área de la

semiesfera=

+

+




6. Aplicamos los métodos vistos en el capítulo 8 para obtener los extremos relativos:

• Calculamos la primera y segunda derivadas , .

• Observa que M (r ) no existe cuando r = 0, pero que r = 0 no es elemento del dominio de M . Porlo tanto, los únicos números críticos son aquellos que se obtienen al considerar M (r ) = 0, de donde

obtenemos: ; multiplicando por 3r 2, tenemos 10πr 3 − 660 = 0; despejando r , ha-

llamos que .

• Por lo cual, es el único punto crítico de M . Ahora bien, observa que es un punto crí-

tico estacionario, por lo que podemos aplicar el criterio de la segunda derivada para su clasifica-ción. Resumimos los resultados en la tabla siguiente:

r =66

3π

r = =660

10

663 3

π π

10

3

22002π r

r − =

M r r

( ) = +10

3

4403π M r r

r ( ) = −

10

3

2202π

Como M es continua en su dominio y el único extremo relativo de M en (0, ∞) es , conclui-mos por el teorema visto al inicio de la sección, que este valor mínimo relativode M es su valor mínimo absoluto.

Así, las dimensiones del silo deben ser:

,

a fin de que la superficie total sea la mínima.

Ejemplo 2.

El licenciado Carlos Montes, jefe de la oficina de personal de la empre-sa Duro de México, S.A. de C.V., desea poner un anuncio en un perió-dico solicitando personal. El licenciado Montes sabe que el periódico enel cual quiere publicar el anuncio cobra de acuerdo a la superficie total

del anuncio, y que todo anuncio requiere de márgenes de 2 cm. en cadalado, que también se pagan.

El licenciado Montes desea poner un anuncio en 400 cm2, y necesitadeterminar las dimensiones de la parte impresa, a fin de que ésta sea lomás grande posible. Analiza la situación y proporciona una respuesta.

radio m hr

r m= ≈ = − =

−

= ≈66 2 75929 110 23

11066

23

66 66 2 7592932

3

23 3

π π

π

π

π π

. .y

r =66

3π

FIGURA 4. ¿Cómo determinar las dimensio-nes de la mayor zona impresa?

e e onclus

0 − M tiene un valormínimo relativor =

663

π



solución


De manera similar al ejemplo anterior, seguimos la guía para resolver el problema.

1. Lo leemos cuidadosamente.

2. Identificamos los datos: sean x y y los lados del anuncio (incluyendo márgenes), entonces, área total

del anuncio = xy = 400 cm2.

3. Asignamos un nombre a la función que se va a maximizar. Sea A la función que representa el áreade la región impresa.

4. Expresa la función a maximizar en términos de los otros símbolos. Al considerar que el margen delanuncio debe ser de 2 cm de cada lado, podemos representar el área en términos de los lados:

A = área de la región impresa = ( x − 4)( y − 4).

5. Utilizamos la información área total del anuncio = xy = 400 cm2, luego . Sustituyendo en la

función del área obtenemos: , cuyo dominio

es x ∈ (0, ∞). Observa que A es continua en su dominio.

6. Aplicamos los métodos de optimización para obtener los extremos relativos:

• Calculamos la primera y segunda derivadas .

• Observa que A( x) no existe cuando x = 0, pero que x = 0 no es elemento del dominio de A. Porlo tanto, los únicos números críticos son aquellos que se obtienen al considerar A( x) = 0, de

donde obtenemos: . Multiplicando por x2, tenemos −4 x2 + 1600 = 0, y despejando

a x, hallamos que x = 20.• Luego, x = 20 es el único punto crítico de A. Observa que se trata de un punto crítico estacio-

nario, por lo cual podemos aplicar el criterio de la segunda derivada para su clasificación. Re-sumimos los resultados en la siguiente tabla:

− + =41600

02 x

A x x

A x x

( ) = − + ( ) = −41600 3200

2 3,

A x y x x x

x= ( )( ) = ( )

= − −- - - -4 4 4

4004 416

16004

y x

=400

e e onclus n

x = 20 0 −tiene un valor

máximo relativo

Como A es continua en su dominio y el único extremo relativo de A en (0, ∞) es x = 20, conclui-mos que este valor máximo relativo de A es también su valor máximo absoluto. Así, las dimen-siones del anuncio deben ser 20cm × 20cm, para que el área impresa sea máxima.



solución


Ejemplo 3.

La empresa Espectaculares, S.A. de C.V. desea colocar un anuncio espectacular de 10 metros de anchosobre una torre de 91.6 metros de alto en un parque de la Ciudad de México. La gerente de la empresano sabe dónde colocar el anuncio, pues debe decidir a qué distancia colocar la torre, a fin de que unapersona que pasea por el recorrido principal del parque, y con estatura promedio de 1.65 metros, vea elanuncio con la mayor claridad posible. Resuelve el problema suponiendo que los ojos de una personapromedio están a 1.6 metros sobre el nivel del piso.

Seguimos la guía de esta sección.

1. Leemos cuidadosamente el problema.

2. Identificamos los datos, ancho del anuncio = 10 m, altura de la torre = 91.6 m, altura de los ojos deuna persona promedio = 1.60 m. La figura 5 contiene un diagrama que ilustra el problema identifi-cando los datos. Sean las variables α y β los ángulos que se muestran en la figura 5.

FIGURA 5. Anuncios espectaculares.

3. Asignamos un nombre a la función que se va a maximizar: sea θ la función que representa el ángu-lo de visión de una persona de estatura promedio, ésta es la función que debemos maximizar.

4. Expresa la función por maximizar en términos de los otros símbolos. De la figura 5 tenemos queθ = α − β.

5. Utilizamos la información proporcionada por la figura 5 para relacionar los datos y las variables que tene-

mos. Observamos que . De donde y

Por lo que θ =

−

arctan arctan .100 90

x x

α = arctan100

x

.β =

arctan90

xtan tanβ α( ) = ( ) =

90 100

x x y




Observa que esta función tiene dominio implícito D f = (0, ∞) y es continua en su dominio.

6. Aplicamos los métodos para obtener los extremos relativos.

• Calculamos la primera derivada, .

• Observa que θ( x) no se indetermina para ningún valor del dominio de la función, por ello,los únicos puntos críticos de la función serán aquellos que se obtengan al considerar θ( x) = 0.De aquí que: 90( x2 + (100)2) = 100( x2 + (90)2). Despejando x, tenemos que .

• Así, es el único punto crítico de θ( x); para su clasificación, utilizaremos el criteriode la primera derivada, pues eso nos ahorra el trabajo algebraico de calcular la segunda deriva-

da. Analizaremos el crecimiento de la función antes y después de . Resumimos losresultados en la tabla siguiente:

x = 30 10

x = 30 10

x = 30 10

d

dx

x

x

x

x

x x

θ=

−

+

++

=+ ( )

−+ ( )

100

1100

90

190

90

90

100

100

2

2

2

2 2 2 2 2

Intervalo x n so re

( x) es creciente

( x) es decreciente30 10,∞( )

0 30 10,

De esto, concluimos que θ( x) tiene un máximo relativo en . Como θ( x) es continua en

su dominio y el único extremo relativo de θ( x) en su dominio es , podemos concluir que es-te valor máximo relativo de θ( x) es su valor máximo absoluto. Por lo tanto, la distancia óptima a la quedebe colocarse la torre del paso principal, a fin de que una persona promedio vea el anuncio espectacu-lar con la mayor claridad posible es: x m= ≈30 10 95

x = 30 10

x = 30 10




1. Repasa el capítulo 8 y el teorema de esta sección. Escribe en tus propias palabras el procedimien-to a seguir para resolver problemas de extremos absolutos.

2. La compañía Envases metálicos, S.A. desea fabricar depósitos de metal con forma rectangular sintapa que tengan una capacidad de 10dm3. Para estas cajas, el largo de la base debe ser el doble delancho, y el material para la base cuesta $100.00 por metro cuadrado mientras que el costo del ma-terial para los lados es de $60.00 por metro cuadrado. Encuentra el costo del tipo de caja más eco-nómica que se pueda construir con las características anteriores.

3. Considera ahora que la compañía Envases metálicos, S.A. necesita diseñar latas cilíndricas pa-

ra jugos que deben contener 350 mililitros de líquido. El cliente ha solicitado que el fondo y la ta-pa tengan el doble de espesor que el resto del envase. Halla las dimensiones de la lata que minimi-cen la cantidad de material empleado.

4. La empresa Envases metálicos, S.A. ha recibido un pedido de latas cilíndricas que deben tener unacapacidad de un cuarto de litro. El costo del material en las tapas es de $3.00 por centímetro cua-drado, y en la parte lateral es de $2.00 por centímetro cuadrado. Determina las dimensiones de lalata que representen el menor costo para la compañía.

5. Una fábrica de Chocolates le ha hecho un pedido a la empresa Envases metálicos, S.A. El pedi-do requiere cajas metálicas abiertas para envasar chocolates. Los diseñadores de Envases metáli-cos especifican que cada caja debe hacerse a partir de una hoja cuadrada de metal de 60 centíme-

tros de lado; en el proceso de manufactura se pide que se corten cuadrados idénticos en cadaesquina y luego se doblen las salientes resultantes. Determina las dimensiones de la caja más gran-de que puede fabricarse con estas condiciones.

6. Ahora, la empresa Envases metálicos, S.A. ha recibido un pedido para elaborar un depósito dedesechos radiactivos. El cliente desea un recipiente de plomo cilíndrico cerrado con espesor de me-dio metro, y que el volumen del cilindro exterior sea de 16π metros cúbicos, tal que el cilindro in-terior tenga la máxima capacidad de almacenamiento. Determina el radio y la altura del último demanera que cumpla las especificaciones del cliente.

7. El señor Omar López es transportista. Empaca su mercancía en cajas de cartón compradas en

$6.00 cada una y le cobra al cliente el precio de la caja y $10.00 por metro cúbico empacado:“A centavo el litro, o dm3”, dice un letrero en el negocio del señor López. Las cajas están hechasde una hoja de cartón de 1.10m2 × 1.10m2, doblada según las líneas punteadas de la figura 6.




Queda una caja de lados a y b y de alto x. Cada esquina se refuerza con una cuña de cartón delado x. El señor López desea conocer las dimensiones óptimas, en particular el valor de x, paraobtener la máxima ganancia por caja.

acostado

x

x

a costado

x

x costado

b

x

x

costado

x

x

costadoTAPA

110 cm

costado

FONDO

110 cm

FIGURA 6.

Las cajas del señor López.

8. La compañía Montañismo y Aventura, S.A. desea fabricar tiendas de campaña utilizando unalona cuadrada de 6 metros de lado. El diseñador de la compañía ha diseñado el modelo PiramidalI trazando un cuadrado interior concéntrico (su centro es el mismo del cuadrado mayor) A partirde cada lado del cuadrado interior se trazan triángulos cuyos vértices se encuentran a la mitad de

los lados de la lona y se cortan las partes de las esquinas como se muestra en la figura 7, de maneraque las cuatro partes triangulares se puedan doblar y formar una tienda con la forma de una pirá-mide de base cuadrada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tienda con mayor capacidad?

6 m

FIGURA 7. Manufactura de las tiendas del tipo Piramidal I.




9. Considera ahora que la compañía Montañismo y Aventura, S.A. desea fabricar tiendas de campa-ña utilizando cuadrados de lona de 6 metros de lado, pero que ahora el diseñador de la compañía hadiseñado el modelo Piramidal II trazando un cuadrado interior concéntrico rotado. A partir de ca-da lado del cuadrado interior se trazan triángulos cuyos vértices se encuentran en los vértices de la

lona y se cortan las partes de las esquinas como se muestra en la figura 8, de manera que las cuatropartes triangulares se puedan doblar y formar una tienda con la forma de una pirámide de base cua-drada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tienda con mayor capacidad?

FIGURA 8. Manufactura de las tiendas del tipo Piramidal II.

10. Considera ahora que la empresa Espectaculares, S.A. desea colocar un anuncio espectacular de 12metros de ancho, montado 4 metros por encima del nivel visual de una persona de estatura prome-dio, en una calle de la Ciudad de México. ¿Dónde debe colocarse el anuncio desde un paso prin-cipal de transeúntes, a fin de que un observador vea el aviso con la mayor claridad?

11. En el Museo National Gallery en Londres, el cuadro Catorce Girasoles que Vicent Van Gogh pintóen 1888, está ubicado sobre una pared y su base se encuentra a una distancia de un metro por en-cima del ojo de un observador de estatura promedio. El cuadro mide 93 centímetros de alto y 73centímetros de ancho. Resuelve la siguiente interrogante del director del museo: conocer la distan-cia a la que debe colocarse un observador de estatura promedio para maximizar el ángulo de vi-sión hacia el cuadro.

12. La empresa Almacenes Nacionales, S.A. desea construir una bodega rectangular sobre una super-ficie de 5 000 metros cuadrados de área. La bodega tendrá dos cuartos rectangulares separados poruna pared interior. El costo de las paredes exteriores será de $150.00 por metro lineal, y el costode las paredes interiores será de $90.00 por metro lineal. Encuentra las dimensiones de la bodegamenos costosa.

13. El jefe de la oficina de personal de la empresa Duro de México, S.A. de C.V. desea hacer volan-tes para solicitar personal. Los volantes deben tener un área impresa de 150 cm2, con márgenes de3 centímetros en la parte superior e inferior, y 2 centímetros en cada lado. ¿Qué dimensiones de-ben tener los volantes para que se utilice la menor cantidad posible de papel?

14. El Servicio Postal Mexicano (SEPOMEX) puede aceptar un paquete para su envío nacional sólosi la suma de su longitud y su cincha (el perímetro de su sección transversal) es, a lo más, de 250




centímetros. ¿Cuál es el volumen máximo de una caja rectangular con una sección transversal cua-drada que se puede enviar por correo?

15. Los reglamentos postales de SEPOMEX especifican que para que un paquete cilíndrico sea envia-do por paquetería debe tener un largo y su cincha (la circunferencia de su sección transversal) nomayor de 108 centímetros. Encuentra las dimensiones del paquete cilíndrico de mayor volumenque se pueda enviar por correo. ¿Cuál es el volumen de dicho paquete?

16. Los asaltantes de un banco han diseñado el siguiente plan: después de obtener el dinero de la bóve-da, deben sacar una escalera de un almacén cercano para saltar una pared. Pero, para no ser vistospor el guardia, deben intentarlo en el punto indicado sobre el plano, y por la misma razón, no puedenlevantar la escalera en la esquina. Para no quedar atorados al dar la vuelta, ¿cuál debe ser la longitudde la escalera que deben escoger? Si la pared mide 4 metros, ¿hay esperanzas de escapar con el botín?

Guardias

2 m

Almacén

2 m Ruta de salida

Calle

FIGURA 9. La escalera más larga.

17. El gobierno del Estado de Veracruz quiere construir un nuevo tramo de autopista para conectar unpuente con el inicio de una carretera localizada 10 kilómetros al Este y 8 kilómetros al Sur del puen-te. La carretera debe cruzar un terreno pantanoso de 5 kilómetros, sin embargo, la tecnología actualpermite conseguir el mismo costo para todo el tramo de autopista que se va a construir. Determi-na qué tan alejada al Este del puente debe tenderse la autopista (ver figura 10), a fin de conseguirel menor costo de construcción.




18. Un fabricante puede producir licuadoras a un costo de $100.00 la unidad. Por experiencia sabe que,si las vende a $800.00 nadie le comprará, si las vende a $790.00 tendrá en promedio una venta almes, si las vende a $780.00 tendrá dos ventas al mes, y así sucesivamente seguirá aumentando elpromedio mensual de unidades vendidas por cada $10.00 que baje el precio de venta. Determinael precio con el cual la utilidad del fabricante será mayor.

19. Las autoridades de tránsito de la ciudad de Monterrey operan una línea de tren subterráneo des-de un suburbio hasta el área metropolitana. En la actualidad, un promedio de 6 000 pasajeros to-man el tren diariamente, pagando una tarifa de $3.00 por viaje. Las autoridades están pensando ensubir la tarifa a $4.00 para obtener mayores ingresos y solicitan un estudio a una empresa consul-tora. El estudio de esta empresa revela que por cada incremento de 50 centavos en la tarifa, la can-tidad de pasajeros se reducirá en 1000 pasajeros por día. Encuentra la tarifa óptima para obtenerel mayor ingreso.

20. Una universidad desea diseñar una pista de carreras mediante un rectángulo de largo l y extremosen forma de semicircunferencias con diámetro (2r ) coincidente con el ancho del rectángulo. Lalongitud total de la pista debe ser de 2 kilómetros. Determina l y r , de modo que el área encerradapor la pista sea lo más grande posible, ¿cuál es el área encerrada por la pista en este caso?

21. Considera una esfera de un metro de radio y determina las dimensiones del cono de menor área

que la circunscribe.

22. Considera un rectángulo de alto H y ancho 2 R. ¿Cuál es el triángulo isósceles de menor área quelo contiene?

Puente

5

x

Terreno pantanoso

10 x

3

Inicio carretera

FIGURA 10. El punto de llegada para el menor costo.






Envases y matemáticas

1. El siguiente problema se planteó en la primera sección del capítulo 1 del libro. En ese mo-mento, la respuesta a la situación propuesta debía obtenerse aproximadamente a través deuna tabla de valores o una gráfica. Ahora, aplica las herramientas del cálculo diferencial pa-ra resolverlo.

Los siguientes datos corresponden a un envase de leche fresca de un litro con la formamostrada en la figura 11. Las líneas punteadas sirven para cortar y doblar, o simplementepara doblar. El envase del que hablamos tiene una base rectangular, y una altura h hasta don-

de llega la leche una vez lleno el envase. Encuentra el valor de h y d para que se use lamenor cantidad de material en su diseño. Investiga si tus resultados se aproximan a algunode los envases utilizados por la industria de lácteos y explica.

1.2 cm

1. cm

d

d

h

d

FIGURA 11. Envases de leche con capacidad de un litro.

2. Recipientes térmicos

En el diseño de un recipiente térmico se empleaba normalmente un bulbo de vidrio de cuer-po cilíndrico coronado en sus extremos inferior y superior por hemisferios esféricos, y unade sus desventajas era su baja resistencia.1 En la actualidad, esos bulbos se han sustituidopor bulbos metálicos (sostenidos por soportes plásticos de muy baja conductividad) de for-ma cilíndrica, como se muestra en la figura 12. Un aspecto importante es que el bulbo de-be tener un área mínima, pues ello reduce el enfriamiento; su costo en una gran producciónresulta despreciable ($0.025 por cm2). El bulbo es colocado en el interior de un recipiente

1 Este problema fue propuesto por el doctor Francisco Javier Delgado Cepeda. ITESM, Campus Estado de México.




secundario dejando un vacío entre ambos de 1 cm. para reducir su contacto con el envase yevitar así la conducción de calor. En el diseño que se está considerando se desea utilizar alu-minio bruñido cuyo costo es de $0.265 por cm2, incluyendo el prensado para darle forma.

La tapa del recipiente es fabricada del mismo material y comienza a partir de la termina-

ción de la sección cilíndrica del bulbo. Si el usuario lo desea, puede ser usado como taza.Por esta razón se debe emplear una cubierta plástica aislante separada del metal 0.5 cm ydebe garantizarse un volumen interior de 150 cm3. Tanto el soporte inferior como el supe-rior, la boquilla y la cubierta interior plástica de la tapa representan costos fijos indepen-dientes de las dimensiones por un total de $21.00.

u ertaexterior

Basenter or

u ertalásticanter or

apa

Boquilla

Bulbo t rm co Envase t rm co

FIGURA 12. Mejora en el diseño de recipientes térmicos.

Determina las dimensiones del envase térmico más económico de 500 cm3 que se puedeconstruir.

3. Tarifa óptima del “Metro”.

El Sistema de Transporte Colectivo “Metro” de la Ciudad de México transporta en la actua-lidad un promedio de 1 330 000 pasajeros diarios con una tarifa de $2.00 por viaje. La ad-ministración del “Metro” está pensando en subir la tarifa para obtener el mayor ingreso. Hazel estudio correspondiente: si las autoridades del Sistema revelan que, por cada incrementode $0.50 en la tarifa, la cantidad de pasajeros se reducirá en 1000 por día, ¿qué recomenda-ciones harías a las autoridades?

FIGURA 13. Tren subterráneo de la Ciudad de México “Metro”.




4. El Dilema de Carlos.

Carlos Montes de Oca, un licenciado en administración de empresas recién egresado de launiversidad, trabaja como gerente de compras en una gran tienda departamental que regu-

larmente vende 600 refrigeradores por año. Los refrigeradores se piden a la fábrica por lo-tes de 100, y se entregan en una bodega cercana para almacenarlos mientras se venden. Sino hay “periodos pico” durante el año y si los aparatos se venden de forma regular, el in-ventario promedio en la bodega en cualquier tiempo es de 50 refrigeradores. En consecuen-cia, la tienda incurre en costos corrientes debidos a derechos de almacenamiento, seguro einterés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar estos costos corrientes, Carlospuede decidir pedir los refrigeradores en lotes más pequeños, volviendo a pedir tan prontocomo sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos debenconsiderarse otros factores además de los gastos corrientes, ya que cada vez que se ordenande nuevo los refrigeradores se incurre en gastos extras como papel, mano de obra, tarifas decarga, embalaje, etc. Obviamente, órdenes más pequeñas redundarán en la necesidad devolver a pedir más a menudo, lo cual incrementaría los costos de pedido, mientras que los

costos corrientes serían reducidos. Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos nece-sita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de refrigeradores pedidos) siquiere conservar sus costos totales en un mínimo. Carlos ha considerado lo siguiente:

a) Determinar los costos corrientes anuales. Él sabe que tiene que considerar los costosanuales por refrigerador y el número promedio de refrigeradores.

b) Obtener los costos de pedido, es decir, considerar los costos de entrega y el número deentregas en el año; además, su equipo de trabajo le informó que los costos de entrega seintegran por costos de pedido fijos y por costos variables que se originan al recibir cadaentrega.

c) Determinar los costos totales mediante los costos corrientes y de pedidos anuales.

d ) Comprobar los costos totales, considerando que el costo anual corriente por refrigeradores de $400.00, el valor de los costos de pedidos fijos es de $200.00 y que el costo de re-mesa de refrigerador es de $250.00.

Completa las consideraciones de este gerente y determina el tamaño óptimo del lote y el costototal que este pedido originaría.

Indica cuál inciso contiene la solución de los siguientes problemas.

1. La fábrica de envases Metálicos, S. A. ha recibido un pedido de la compañía Pintando alMundo. El pedido consiste en el suministro de cubetas con tapa para almacenar pintura, lascuales deben tener forma cilíndrica y una capacidad de 18 litros. Si la empresa desea econo-




mizar el material, determina las dimensiones de las cubetas con la capacidad indicada a fin deque se emplee la menor cantidad posible.

a) radio

=1.42m y h

=2.84m c) radio

=1.42dm y h

=2.8405dm

b) radio = 2dm y h = 4dm d ) radio = 1m y h = 2m

2. Considera ahora el nuevo pedido que ha recibido la empresa Metálicos, S. A. para fabricarun envase de metal en forma de cono, con una distancia de 6 centímetros desde el vértice has-ta el borde de la circunferencia. Si el cliente desea que este tipo de envases tenga la mayor ca-pacidad posible, determina sus dimensiones.

a) c) altura = 2cm y radio = 6cm.

b) altura = 6cm y radio = 3cm. d )

3. La empresa Metálicos, S. A. recibió un pedido para fabricar latas de metal, pero el clientesólo desea que se usen 100 cm2 de material, incluyendo la parte superior e inferior del reci-piente. Determina el mayor volumen que podría contener esta lata.

a) c)

b) d )

4. Los reglamentos postales del Servicio Postal Mexicano especifican que, para que un paquetede forma rectangular sea enviado por paquetería, debe tener un largo y su cincha (perímetro desu sección transversal) no mayor de 100 centímetros. Encuentra las dimensiones del paquetede base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.

a)

b)

c)

d )

5. Una compañía camionera hace viajes especiales de México a Taxco. El número mínimo de pa-

sajeros debe ser 80 y el pasaje cuesta $210.00 por persona. La compañía ofrece una rebaja deun $1.00 (aplicable a cada persona) por cada pasajero que exceda a 80. ¿Cuál es el número depasajeros que da la ganancia óptima a la compañía?

a) 125 pasajeros. c) 130 pasajeros.

b) 150 pasajeros. d ) 145 pasajeros.

lado del cuadrado cm del paquete cm y= =20

3

200

3largo


3

100

3largo


3

45

3largo


3

70

3largo

volumen cm=500

3

3

53

π

volumen cm=500

3

2

33

π

volumen cm= 305

33

π

volumen cm= 54 3

π

altura cm radio cm= =2 3 2 6y

altura cm radio cm= =2 6 2 6y




Respuestas a los


1. Repasar

2. Costo = $1 635.41 dimensiones .

3. Dimensiones de la lata y altura de la lata ≈ 12.1249cm.

4. Dimensiones de la lata radio de la base = 3 cm y altura de la lata =

5. Dimensiones de la caja 40cm × 40cm × 10cm.6. Dimensiones del cilindro interior del depósito de desechos radiactivos radio de la base = 1.5m y

altura = 3m.

7. Dimensiones de la caja .

8. Dimensiones de la tienda de campaña lado de la base = 1.2m y altura = 1.34m.

9. Dimensiones de la tienda de campaña lado de la base = 3.39411m. y altura = 1.26491m.

10. Distancia a la que se debe colocar la persona distancia = 8m.

11. Distancia a la que se debe colocar la persona distancia = 1.36561m.

12. Dimensiones de la bodega

13. Dimensiones de los volantes 14cm × 21cm.14. Volumen = 144 676cm3.

15. Las dimensiones del paquete cilíndrico altura = 54cm yvolumen = 2 916cm3.

16. Longitud de la escalera = 5.65685m.

17. La autopista debe estar a 6.25m al Este del puente cuando cruce el terreno pantanoso.

18. Precio = $450.

19. El precio óptimo de la tarifa por viaje es $3.00, obteniéndose el ingreso máximo de $18 000.00.

20. Dimensiones de la pista: largo = 500 m, y área = 238 732m2.

21. Dimensiones del cono:

22. Dimensiones del triángulo isósceles base = 6 R y altura = 2 H .

radio m altura m= + = +1 2 2 2 ,

radio m= 500π

radio cm= ≈54

4 14593π

.

100

5

13 50

13

5 100

5

13m m pared m× =y interior

x dm a dm b dm= = =11

6

11

3

22

3, ,

250

9π

≈ 8.84194cm

radio de la base cm = ≈700

83 031233

π

.

ancho alto= =

=9

22

9

2

5

92

3 3

3

, ,largo




1. c)2. d )3. b)4. c)5. d )



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A

Aceleración

instantánea, 214

media, 212

Aproximación lineal, 310, 357

Asíntota

horizontal, 161

oblicua, 162

vertical, 155

C

Cambio(s)

de escala, 19

Concavidad(es), 426

de una curva, 427-8

Continuidad

en un intervalo, 184

Cosecante, función, 113

Coseno, función, 105

Cotangente, función, 113

Criterio

algebraico, 379

de la derivada n-ésima para extremos

relativos, 380

de la primera derivada para extremos

relativos, 379

Curva asintótica, 162

D

Derivada(s)

de polinomios, 255

de una función

constante, 255

exponencial, 264

hiperbólica, 264

logarítmica, 264

potencia, 256

trigonométrica, 263-4

de una diferencia de funciones,

258

de una división de funciones, 261

de una multiplicación de funciones,

260

de una suma de funciones, 258

función, 234

unilaterales, 240

Diferenciación

implícita, 293logarítmica, 297

Discontinuidad(es)

clasificación de las, 183

punto de, 183

Dominio

definición de, 6

implícito, 15

Índice analítico



490 Índice analítico

E

Ecuación de la recta

normal, 311

tangente, 310Escala, cambios de, 19

Escalón unitario, función, 60

Euler, método de, 322

Extremo

absoluto, 407

en un intervalo cerrado, aplicación

de un, 413

teorema sobre localización de, 410

relativo, 376, 381

F

Fermat, teorema de, 377

Función(es)

algebraica, 53

cosecante, 113

coseno, 105

cotangente, 113

creciente, 392, 394-5

cuadrática, 40

decreciente, 395

definición de, 6

derivada, 234

escalón unitario, 60

exponencial, 87gráfica de una, 8

esquema general para la

construcción de la, 446

Heaviside, de, 60

hiperbólica, 97

inversa, 97

impar, 19

implícita, 292

inversa, 91

inyectiva, 90

lineales, 39

logaritmo, 94máximo entero, 60

operaciones con, 22

par, 19

polinomial, 39

racional, 49

secante, 113

seccionada, 59

seno, 105

tangente, 113

trigonométricas, 105, 113

inversas, 118

uno a uno, 90

valor absoluto, 60

H

Heaviside, función de, 60

I

Imagen

definición de, 6

Indeterminaciones matemáticas, 359

L

Ley de Snell, 426

L´Hôpital, regla de, 359-60

Límite(s)

al infinito, 160

de funciones racionales, 150

definición formal de, 143

definición intuitiva de, 136

infinitos, 152

laterales, 152

teoremas sobre, 147

M

Maclaurin, polinomios de, 359

Máximo, 376

absoluto, 407

relativo (o local), 376-7, 379-81

Método

de la secante, 318

de Euler, 322

de Newton, 315

Mínimo, 376

absoluto, 407

relativo (o local), 376-7, 379-81Monotonía, 393

en un intervalo, 394

en un punto, 393

N

Newton, método de, 315



491Índice analítico

O

Operaciones

con funciones, 22

Optimización, 465guía para resolver problemas de, 469

P

Polinomios de Maclaurin, 359

Punto(s)

crítico, 378

de segundo orden, 430

de discontinuidad, 183

de inflexión, 426, 428

estacionarios, 378

frontera, 378singulares, 378

S

Seno, función, 105

Snell, ley de, 426

T

Tangente

función, 113

recta, 215, 357

Taylor, teorema de, 358, 380

Teorema

de Fermat, 377

de Rolle, 354

de Taylor, 358, 380

del valor extremo, 410

del valor intermedio, 184para la derivada, 356

b l i

calculo diferencial para ingenieria

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