integral definida
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MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
53
2
2.1. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 2.2. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
2.3. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 2.5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD 2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN 2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN 2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD 2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA
INTEGRAL
OBJETIVO:
Calcular integrales definidas aplicando teoremas y
propiedades
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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Primero estudiemos una notación para la suma de una secuencia de números que, notación que la emplearemos en la definición de la integral definida.
2.1 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sea la secuencia de números 1
a ,2
a , n
aa ,3
. La suma de estos números,
puede ser expresada empleando el símbolo sigma, , una notación que denota
abreviación:
n
i
inaaaaa
1
321
Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.
Ejemplo 1
4321
4
1
2 17
4
10
3
5
2
2
1
1
iiiiii
i
Ejemplo 2
1
4321
n
nn
2.1.1 Propiedades
Sean i
a y i
b dos sucesiones y sea C una
constante, entonces
1.
n
ii
n
ii
aCCa11
2.
n
ii
n
ii
n
iii
baba111
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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Demostración.
1. La demostración es muy sencilla.
1 2
1
1 2
1
n
i n
i
n
n i
i
Ca Ca Ca Ca
C a a a C a
2. Igual como la anterior.
1 1 2 2
1
1 2 1 2
1 1
n
i i n n
i
n n
n n
i i
i i
a b a b a b a b
a a a b b b
a b
Análogamente sería la de la diferencia
Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:
1. 1
;Cn
i
C nC
2.
2
14321
1
nnni
n
i
3.
6
121321 2222
1
2
nnnni
n
i
4.
2
3333
1
3
2
1321
nnni
n
i
5.
30
1961321
23
4444
1
4
nnnnnni
n
i
¡No olvide demostrarlas!
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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2.2 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva )(xfy .
El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta
problemática. Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura 2.2
Fig. 2.1
Fig. 2.2
x
y
1
x
1f x
2f x
3f x
nf x
1x 2x 2x nxa b0x 1x 2x
1nx 3x nx
2
x 3
x
nx
y f x
a b
x
y
y f x
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en
la función f con el punto (observe la figura 2.2) que se ha denotado como x . El
área del primer rectángulo sería 1 1 1( )A f x x , el área del segundo rectángulo
sería 2 2 2( )A f x x ; y así, el área del n-ésimo rectángulo sería ( )n n nA f x x .
Observe que si tomamos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x , se tienen
rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 1 0x x , 2 1x x , 3 2x x , …,
1i ix x se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los n rectángulos sería:
1 1 2 2 3 3 n nf x x f x x f x x f x x
Que de manera abreviada tenemos:
1
n
i i
i
f x x
Esta suma es llamada SUMA DE RIEMANN para f . Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una
suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:
1
n
i in
i
A lím f x x
De lo anterior surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función definida en el intervalo ba, .
Al 1
lím
n
i in
i
f x x
se le denomina la Integral
Definida (o Integral de Riemann) de f desde "a "
hasta "b" y se denota como b
a
dxxf )( . Es decir:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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1
lím ( )
bn
i in
i a
f x x f x dx
Además, si existe este límite decimos que f es
integrable en ba, .
Observe que para obtener esta definición se partió del cálculo del área de una región que estaba limitada superiormente por una función positiva (algunos autores dicen el área bajo una curva), pero la definición es general; es decir la función
también podría ser no positiva en algún subintervalo de ba, , en este caso ya no
representaría el área. Más adelante trataremos el cálculo de áreas de regiones planas generales y allí se indicará como utilizar la Integral Definida para que su resultado represente un área. Por ahora nuestra intención es estudiar esta definición y dejar indicada sus propiedades.
Regresando a la definición, surge una interrogante ¿cuándo una función es integrable?. Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable.
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva 2)( xxf en 3,1
SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
1 1 2 2 3 3
1
lím ( ) lím[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
n
i i n nn n
i
A f x x f x x f x x f x x f x x
PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x
Representando la región, tenemos:
0x
1x
2x
nx
x x x
2y x
Fig. 2.4
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
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Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos:
nnn
abx
213
y
10 ax
n
xxx2
101
nnxxxxx
41
2212012
,
nnxxxxx
61
2313023
nixixixxi
2110
Entonces:
3
26
3
4
3
886
3
22
3
423
2
3
26423
2
3
)12)(1(2)1(2
2
6
)12)(1(4
2
)1(42
441
2
441
2
221
)(
2
2
2
1
2
2
11
1
2
2
1
2
1
321
A
nnlím
n
nn
nlím
n
nnn
nlím
n
nnnn
nlím
nnn
n
nn
nn
nlím
in
inn
lím
ni
ni
nlím
nnilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
in
n
in
n
in
n
i
in
nn
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
60
0x
1x
2x
nx
x x x
2y x
1nx
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.
Escogemos 1 0x x ,
2 1x x , 3 2x x , …,
1i ix x
Representando la región, tenemos: Ahora, igual que el método anterior:
n
x2
y
nixi
21
Entonces:
0 1 2 1
1
0
21
0
12
20
1 1 12
20 0 0
2
( )
2 21
2 4 41
2 4 41
1 ( ) 21 ( )2 4 41
2
nn
n
in
i
n
ni
n
ni
n n n
ni i i
n
A lím f x x f x x f x x f x x
lím f x x
lím in n
lím i in n n
lím i in n n
n nn nlím n
n n n
2
2
1 1
6
2 2( 1)(2 1)1 2( 1)
3
2 4 6 23 3
3
2 4 23 3 2
3 3
10 8 46
3 3
26
3
n
n
n
n
n
n nlím n n
n n
n nlím n
n n
nlím n
n n
límn n
A
Fig. 2.5
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
61
2.3 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en ba, y si f es continua a
excepción de un número finito de puntos,
entonces f es integrable en ba, . En particular
si f es continua en todo ba, entonces es
integrable en ba,
Es decir, si tratamos con una función que esté definida en intervalos, que sea continua en intervalos, como la de la fig. 2.3; podemos pensar que será cuestión de dedicarse al cálculo del área (Integral Definida) de cada subregión que se forme.
.
Es importante anotar que la función además de ser continua en intervalos debe ser acotada. Las regiones formadas por funciones no acotadas las trataremos en capítulo aparte.
Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la
función f tuviese regla de correspondencia compleja.
El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera
muy rápida y sencilla, liberándonos de la idea de calcular integrales definidas empleando su definición.
Fig. 2.3
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
62
2.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f una función continua en el intervalo
ba, y sea F cualquier antiderivada de f
en ba, entonces:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
Demostración:
En la expresión )()( aFbF , haciendo nxb y 0xa tenemos:
)()()()( 0xFxFaFbF n
Restando y sumando términos, resulta:
n
i
ii
nnnnn
n
xFxF
xFxFxFxFxFxFxFxF
xFxFaFbF
1
1
0112211
0
)()(
)()()()()()()()(
)()()()(
Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a F en el intervalo ii xx ,1
Como F es continua y diferenciable en ii xx ,1 entonces ix tal que
1
1)()´(
ii
iii
xx
xFxFxF
Como )()´( ii xfxF y iii xxx 1 entonces:
i
iii
x
xFxFxf
1)(
)(
Despejando resulta: iiii xxfxFxF )()( 1 .
Reemplazando en
n
i
ii xFxFaFbF
1
1)()()()( tenemos:
n
i
ii xxfaFbF
1
)()()(
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
63
Tomando límite queda:
b
a
n
i
iin
n
i
iinn
dxxfxxfaFbF
xxfaFbF
)()(lím)()(
)(lím)()(lím
1
1
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en ba, .
Por tanto
b
a
dxxfaFbF )()()( L.Q.Q.D.
El teorema indica que para calcular una Integral Definida debemos hallar la
antiderivada de la función y evaluarla en el límite superior y restarle la antiderivada evaluada en el límite inferior. El cálculo de antiderivadas ya lo presentamos en el capítulo anterior y lo dejamos explicado allí para ahora fluir con las aplicaciones de la Integral Definida.
Ejemplo
Calcular dxx3
1
2
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
333
1
3
3
1
2
CCC
xdxx
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que 0)( a
a
dxxf y
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ¿Porqué?
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
64
Ejercicios propuestos 2.1
1. Utilizando la definición de la integral definida, calcule:
a.
4
2
1
2x x dx
b.
3
2
1
2x x dx
c.
b
a
xdx
d. 2
b
a
x dx
2. Calcular las siguientes integrales definidas:
1.
1
2
0
2 1x dx
2.
1
0
22 14
2dx
xx
x
3.
21
0
2sen dxx
4.
1
0
33cos3 dxxx
5. 2
41
lndx
x
x
6. 2
41
ln xdx
7.
2
1
2 2ln23 xdxx
8.
1
0
2 252
3dx
xx
9. 2
1
2 3 ln
e
x x x dx
10.
1
2
1
e
dxx
x
11.
4
0
2 3cos xdx
12.
5
2
4
4 2
3
x xdx
x
13.
4
3
3
2
4
12dx
xx
xx
14.
0
cosxe x dx
15.
1
0
ln 1 x dx
16. dxx
5
0
29
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
65
Bien, ya aprendimos a calcular Integrales Definidas, ahora dediquémonos a estudiar sus propiedades.
2.5 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el
intervalo ba, y sea k , entonces:
1. ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2. ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
Igual que para la Integral Indefinida.
2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que
contiene a los puntos a, b y c (no importar
su orden), entonces:
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son continuas en intervalos. Ya mostramos esta inquietud anteriormente.
Fig. 2.6
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
66
Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
b
a
b
c
c
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
3
5
2
5
1
2
3
1
2 dxxdxxdxx
Ejemplo 1
Calcular 5
1
)( dxxf donde
3;13
3;12)(
2 xxx
xxxf
SOLUCIÓN:
Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
3
38
3952512
3
3
13
2
279
2
2
2
3
3
1213)(
5
3
23
1
23
5
3
3
1
2
5
1
xx
xxx
dxxdxxxdxxf
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
67
Ejemplo 2
Calcular
4
2
21 dxx
SOLUCIÓN:
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a f , obtenemos la gráfica de 21 xy
Entonces:
5
92
91283
2
19
2
91
2
11
2
1221
2
1
32
3222
331121
4
3
23
1
21
1
21
2
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2
x
xx
xx
xx
x
dxxdxxdxxdxxdxx
2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si f y g son integrables en ba, y si
)()( xgxf , bax , ; entonces:
dxxgdxxfb
a
b
a
)()(
2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en ba, y si
Mxfm )( , bax , ; entonces:
)()( abMdxxfabmb
a
Fig. 2.7
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
68
2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
Supóngase que g tiene una derivada
continua en ba, y sea f continua en el
rango de g . Entonces:
)(
)(
)()(́))((bgt
agt
bx
ax
dttfdxxgxgf
donde )(xgt
Ejemplo
Calcular
4
9
2
2
cosdx
x
x
SOLUCIÓN:
Tomando el cambio de variable xt entonces tenemos dtxdx 2 , y para los límites de integración
39
24
2
2
tx
tx por tanto la integral en términos de t sería:
322
3212
sen2sen2sen2cos22cos
32
2
3
2
3
2
3
ttdtdtxx
t
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de
sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
69
2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si f es una función PAR entonces:
dxxfdxxf
aa
a
)(2)(
0
2. Si f es una función IMPAR entonces:
0)(
dxxf
a
a
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice.
Demostración
Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf
a
a
a
a
)()()(
0
0
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable xt entonces dxdt y para los límites de integración
atax
tx 00. Sustituyendo resulta
00
)()(
aa
dttfdttf
Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que )()( tftf y además si invertimos
los límites de integración, tenemos:
a
a
dttfdttf
0
0
)()(
la última integral si xt queda
a
a
dxxfdttf
0
0
)()(
Finalmente dxxfdxxfdxxfdxxf
aaaa
a
)(2)()()(
000
L.Q.Q.D.
La propiedad para la función par es muy utilizada en el cálculo de áreas de regiones simétricas, lo veremos en la próxima sección.
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
70
Ejemplo
Calcular dxx
x
5
5
2
5
4
SOLUCIÓN:
Obtengamos primero )( xf para 4
)(2
5
x
xxf .
44)(
)()(
2
5
2
5
x
x
x
xxf
Observe )()( xfxf , por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente
concluimos que:
04
5
5
2
5
dxx
x
2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
Demostración
En la integral
Tb
Ta
dxxf )( , haciendo cambio de variable Txt .
Del cambio de variable se obtiene Ttx , dtdx y los límites para la nueva variable son:
atTax
btTbx
Reemplazando, resulta:
b
a
Tb
Ta
dtTtfdxxf )()( y como, por hipótesis, f es una función
periódica se cumple que )()( tfTtf , entonces
b
a
b
a
dttfdtTtf )()(
Que finalmente, si xt quedaría
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()( L.Q.Q.D.
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
71
2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo.
Sea f continua en ba, y sea " x " un punto
variable de ),( ba . Entonces:
)()( xfdttfdx
d x
a
Ejemplo 1
Calcular
x
x dtt
tD
2
2
23
17
SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:
1717 2
23
2
2
23
x
xdt
t
tD
x
x
Ejemplo 2
Calcular
2
2
23
17x
x dtt
tD
SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:
1717 2
23
2
2
23
x
xdt
t
tD
x
x
La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:
dx
duufdttf
dx
dxu
a
)()(
)(
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
72
Ejemplo 3
Calcular
3
2
2
23
17
x
x dtt
tD
SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que:
17
33
1717 6
213
2
23
23
3
2
2
23
3
x
xx
x
xdt
t
tD
x
x
Ejemplo 4
Calcular
3
2172
23x
x
x dtt
tD
SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:
0
0
2
23
2
23
2
23
2
33
2
171717x
x
x
x
x
x dtt
tdt
t
tDdt
t
tD
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:
)3(
17
)2(
17
1717
17171717
2
23
23
3
22
23
2
0
2
23
0
2
23
0
2
23
0
2
23
0
0
2
23
2
23
32
3
22
3
x
x
xx
x
x
dtt
tDdt
t
tD
dtt
tDdt
t
tDdt
t
tdt
t
tD
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
FINALMENTE:
17
2
17
3
17 4
4
6
213
2
23
3
2
x
x
x
xdt
t
tD
x
x
x
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
73
Ejemplo 5
Calcular
x
x xtdtD
1
SOLUCIÓN:
Observe que
xx
tdtxxtdt
11
por tanto:
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
22
2
1
2
1
11
11
x
xx
xt
xxtdt
tdtDxtdtxD
tdtxDxtdtD
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 6
Calcular x
dtt
x
x
0
2
0
1
lím
SOLUCIÓN:
La expresión presenta una indeterminación de la forma: 0
0
Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:
1
1
01
1
1lím
1
lím22
0
0
2
0
x
xD
dttD
xx
x
x
x
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
74
Ejercicios Propuestos 2.2
1. Calcular
1. ,
3
2
dxxf si
31,21
12,2 2
xx
xxxf
2. ,
3
3
dxxf si
1,21
1,2
xx
xxxf
3. ,
3
5
dxxf si
2,
2,32 2
xx
xxxf
4.
4
0
1dxx
5.
5
2
3dxx
6.
4
2
13 dxx
7.
2
1
12 dxx
8. dxxx
4
2
213
9. dxx
5
2
22
10. dxx
5
2
112
11.
10
0
x dx
12.
4
0
x x dx
13.
13
42
11
xdx
x
14. 100
2 97 3
100
3x sen x x dx
2. Si
7
1
8f x dx y
2
7
2f x dx hallar
2
1
f x dx
3. Si
8
1
7f x dx y
8
3
3f x dx hallar
3
1
f x dx
4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa
de un contraejemplo.
a. Si xgxf en
b
a
b
a
dxxgdxxfba ,,
b.
99
0
2
99
99
23 2 dxbxdxcxbxax
c. Si f es periódica con período T, entonces:
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
75
d. f ,
a
b
b
a
dxxfdxxf
e. Si f es una función par aax , , entonces
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2
f. Si xgxf en ba, , entonces
b
a
b
a
dxxgdxxf
g. Si aGbGaFbFbaxxGxF ,,
h. Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces
CxgFdxxgxgf
5. Encuentre f si f toma las siguientes reglas de correspondencia:
a. dtt
xx
lnsen
01
1
b. dtt
xx
tanxx
sec2
ln
3 5
3
1
c. dtt
xxe
xxe
3
secln
2
1
d.
xx
x
dtt
tsen
4 5
3
21
2
e.
tanxx
x
dttt
tsen
1ln
3
3
2
sencos
1
f.
23
2
log6
cos1
sen1
x
x
dt
t
t
6. Determine:
a.
3
0
2
0lim
x
dttsen
x
x
b. 1
lim 1
1
x
dtsent
x
x
c.
2
0
2
2
51
x
t
dt
dx
d
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
76
Misceláneos
1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta.
a) Si ´f es una función continua en el intervalo ba, entonces
b
a
afbfdxxfxf 22 )()()(́)(2
b) Si 0)( b
a
dxxf entonces 0)( xf para bax ,
c) Si f es una función continua en , entonces:
2
2 1)(
2
xfx
arctgxfdxxf
dx
d
arctgx
x
d) 1
0
1;
2
n n nx dx n
e) Si f y g son funciones impares y continuas en , entonces 0
5
5
dxxgf
f) 4
4
4 121
2
xxdttD
x
x
g)
2
2
434 64152
dxxxxex x
h) Si f y g son funciones continuas en el intervalo 1,0 entonces
1
0
1
0
11 dxxgxfdxxgxf
i) Si 0)( b
a
dxxf entonces 0)( xf para bax ,
j)
2
2
2
0
4 senxdxdxsenx
k) Si 3)(
3
0
dxxf y 7)(
4
0
dxxf entonces 4)(
3
4
dxxf
l)
1
0
2
1
0
1 dxxxdx
m) Si f es una función continua en tal que para cualquier número real x ,
2 2
( ) ( ) 0
x x
x x
f t dt f t dt
entonces f es una función impar.
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
77
n) Si F es una antiderivada de la dunción f , entonces dxxfxF )12()12(
o) Si f es una función continua en el intervalo 5,2 y 7)(
5
2
dxxf entonces 7)(
5
2
dxxf
p) Si f es una función tal que 0cos3)(2
2
0
dttxf
x
entonces xxxf cos3)(́
q) Si f y g son funciones tales que xxexf )( y )()( xgxf para todo
1,0x entonces
1
0
1dxxg .
r) Si 1)(0,2,0 xfx entonces 1)(0
2
0
dxxf
s) Si f es una función continua en el intervalo 10,0 y
23
0
2 1)(
xt
x dtt
eDxf para
10,0x entonces 3
5
3)1(́ ef .
t)
2
2
2
2
cos dxxdxsenx
u)
n
i
n
n
in
coslim
1
v) 2
coslim 2
10
i
n
ip
x donde ixmaxp . p es una partición del intervalo ,0 .
w) Si 1)(2
2
1
2
dxxxf , entonces 1)(
2
1
dxxf
x)
3
1lim
2
3
0
2
0
xtg
dttsen
x
x
y) 12
lim 2
1
21
e
ne
n
i
n
i
n
z)
22
cos,,
b
b
a
a
xdxdxsenxRba
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
78
2. Calcular
a.
3
0
0
cos1
limx
dtt
x
x
b.
2
12
326
1dx
x
c. 2
0
32cos
xdxxsen
d.
2
1
2 22
3dx
xx
e.
6
0
2
0
2
limx
dttsen
x
x
f.
3
0
2x x dx
g.
3
2
21 dxxxx
h.
5
1
12
1dx
x
i.
4
2
3
4dx
xx
x
j.
5ln
2ln
2 16
12dt
e t
k.
21
2
312 dxx
l.
3
2
32 dxx
m.
2
2
2
cos1dx
x
n.
3
0
2
0
2
1
limx
dtt
tsen
x
x
o.
4
3
32dxe
x
p.
dxex
xsen x
2
2
2
3
1
3. Si f es una función tal que
3
32 ,56489)(
x
t IRxdtettxf . Determine los intervalos donde el
gráfico de f es cóncava hacia arriba.
4. Si f y g son funciones tales que 3)(
4
1
dxxf , 2)(
7
4
dxxf y 6)(3
7
1
dxxg , entonces calcule el
valor de
1
7
)()(5 dxxgxf