INTEGRAL DEFINIDA

Isabel García – Enma Montes – José Antonio Virto - Pilar Jiménez Isabel García – Enma Montes – José Antonio Virto - Pilar Jiménez

Demócrito de Abderea (460 a.C. - 370 a.C.)

Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como formada de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen. Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide

Antifonte (411?a.C – 480?a.C.)

Definió el área del circulo mediante una sucesión de polígonos inscritos en él.

Eudoxo De Cnido (408?a.C-355?a.C)

Autor de método de Exahuscion,que conocemos por Euclides, (lo incluyó en sus elementos) y por Arquímedes.

El método de Exhausción trataba de forma rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenía la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo.

Demócrito

Precursores Antifonte

Grecia Eudoxo

Arquímedes

El problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos.

Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o

atómicos, y los métodos de exhausción.

Introducción histórica

Arquímedes (287a.C. – 212 a.C.)

Hizo grandes contribuciones en el campo de la GEOMETRIA. Calculó áreas y volúmenes de figuras limitadas por curvas y superficies.

Sus métodos anticiparon el CALCULO INTEGRAL 2.000 años antes de ser "inventado" por el Isaac NEWTON y Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ.

También calculó una aproximación del número pi (entre los valores 310/ 71 y 31/ 7) obtenido por circunscribir e inscribir un círculo con polígonos regulares de 96 lados. Cuenta la tradición que Arquímedes indicó que sobre su tumba se esculpiera un cilindro y en él una esfera inscrita. La relación entre los volúmenes de ambos cuerpos es:

V Cilindro = 3/2 V Esfera

Para llegar a dicho resultado, Arquímedes comparó una semiesfera con un cilindro y un cono recto de bases un círculo máximo de la semiesfera. Obtuvo sobre dichos cuerpos tres secciones al cortar por un plano paralelo a las bases y comparó las áreas obtenidas.

La obra de Arquímedes sobre el cálculo de áreas y volúmenes no tuvo continuación, transcurrieron casi 20 siglos sin encontrarse progresos importantes en el estudio de este tema.Kepler, en el siglo XVII, retoma el problema al estudiar el volumen de los toneles de vino (con motivo de una gran cosecha de uva en Austria). En 1615 aparece su famosa Stereometría Doliorum en ella “el área del círculo es el área de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una base en la circunferencia.De forma análoga consideraba el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de la esfera y cuyas bases están en la superficie de la esfera”.

 

Siglo XVII Siglo XVIII Siglo XIX

Cavalieri (1598-1647)

Fermat (1601-1665)

Wallis (1616-1703)

Pascal (1623-1662)

Barrow (1630-1677)

Newton (1642-1727)

Leibnitz (1645-1716)

Cauchy (1789-1857)

Riemann (1826-1867)

Tabla cronológica

CavalieriCavalieri (1598-1647)

La teoría de lo indivisible de Cavalieri, presentada en su Geometría indivisibilis continuorum nova de 1635 era un desarrollo del método exhaustivo de Arquímides incorporado en la teoría infinitesimal y pequeñas cantidades geométricas de Kepler. Esta teoría permitió a Cavalieri encontrar simple y rápidamente el área y volumen de varias figuras geométricas.

Para Cavalieri una superficie está constituida por un número indefinido de rectas paralelas equidistantes y un sólido por un número indefinido de áreas planas paralelas. A estos elementos los llama los indivisibles del área y del volumen.

Este método a pesar de haber sido criticado, fue utilizado por muchos matemáticos entre ellos Pascal,que además lo reforzó sustituyendo los indivisibles por rectángulos infinitesimales.Se acerca así a la definición actual de integral definida, donde se aproxima el área con rectángulos convenientemente elegidos.

Isacc, BarrowIsacc, Barrow (1630-1677)

Descubrió que los procesos de cálculo de tangentes y cuadraturas son inversos. Es lo que hoy llamamos teorema fundamental del cálculo integral, que establece que los procesos de derivación e integración son inversos uno del otro.

Junto con Newton y Leibnitz fueron los científicos que más se acercaron al descubrimiento del cálculo.

Gottfried Von Liebnitz (1645-1716)

En lo conceptual, el cálculo de Leibnitz, está más alejado del nuestro que el de Newton, si embargo la notación de Leibnitz fue muy acertada, de ella somos herederos directos.

Trabajó intensamente el concepto de integral, llegando a la idea de sumar rectángulos, sin embargo el paso de la suma de un número finito de rectángulos a otro infinito lo hacía de forma ambigua.

Isaac Newton (1642-1727)

Descubrió unos elementos del cálculo diferencial a los que llamo fluxiones. Poco después dijo que “había encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo integral y el método para calcular superficies encerradas en curvas y volúmenes de sólidos

Años más tarde, cuando se publicaron los trabajos de Newton, hubo ciertas dudas acerca de si el matemático alemán Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos independientemente y simultáneamente hicieron este notable descubrimiento

El símbolo , aparece por primera vez en un manuscrito fechado el 29 de octubre de 1675, es una estilización de la letra inicial de la palabra “summa”, para denotar la operación suma de infinitésimos.

El Cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy. Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, así que fue Riemann quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número numerable de discontinuidades; pero la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad.

Aproximación al cálculo del área bajo una curva

a b

• Se divide en intervalo [a, b] en n iguales• La figura inscrita está formada por rectángulos cuya altura es el ínfimo de f(x)

sobre su base. Llamaremos a la suma de todas las áreas sn(f)• La figura circunscrita está formada por rectángulos cuya altura es el supremo

de f(x) sobre su base. Llamaremos a la suma de todas las áreas Sn(f)

El error de aproximación del área R(f; [a, b] por uno cualquiera de los valores es inferior a la diferencia Sn(f) – sn(f)

Área bajo una curvaSi la función es continua, al ir aumentando el número de puntos que se toman en el intervalo [a, b], se obtienen aproximaciones cada vez más precisas. Al hacer que n

tienda a infinito las aproximaciones tienden al valor del área

Función área

A(x) asigna a valor x el área de la región comprendida entre los ejes, la gráfica, y la recta vertical de abcisa x. Se cumple por tanto que A(0) = 0

Para una función continua, la derivada de la función área A(x) para una abcisa x es igual al valor de la función f(x) en x.

Por tanto el problema de calcular el área bajo una función positiva f(x) se resuelve buscando funciones cuya derivada sea f(x)

Región limitada por una curva y el eje OX

Área de R(f; [a, b]) = Área de R(–f; [a, b]) =

a

b

[–f(x)] dx = –

a

b

f(x) dx

Signo de la superficie bajo una curva

X

Y

X

Y

f(x)

a b

+f(x)

a b

-

X

Y

+-

f(x)

a

b

Región limitada por una función con valores positivos y negativos

Área de R(f; [a, b]) =

a

b

|f(x)| dx =

a

c1 f(x) dx +

c1

c2[ – f(x)] dx +

c2

b

f(x) dx

-

+

-

+

Área del recinto limitado por una función, el eje X y las abscisas x = a, x = b

X

Y f(x)

c d ea

b

Área (R) =

a

c

f(x) dx -

c

d

f(x) dx +

d

e

f(x) dx -

e

b

f(x) dx

R

Región limitada por las gráficas de dos funciones

Área de R(f, g) = R1 – R2 =

a

b

f(x) dx –

a

b

g(x) dx =

a

b

[f(x) – g(x)] dx =

a

b

|f(x) – g(x)| dx

R

Área del recinto entre dos funciones que se cortan

X

Y

Área (R) =

a

b

[f(x) - g(x)] dx +

b

c

[g(x) - f(x)] dx

f(x)

g(x)

a b c

X

Y

a b

Regla de Barrow (I)

R

Área (R) =

a

b

f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) - F(a)

Regla de Barrow (II)

b

a

b

f(x) dx = A(b) – A(a)

Si G es otra primitiva de f(x) en [a, b], entonces G(x) = A(x) + C y por tanto:

a

b

f(x) dx = A(b) – A(a) = [A(b) + C] – [A(a) + C] = G(b) – G(a)

que es la regla de Barrow