s1 integral definida

8/18/2019 s1 Integral Definida

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Facultad de Ingeniería y Arquitectura Semestre 2012-I

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

LA INTEGRAL DEFINIDA

Suponga que un agente de bienes y raíces desea evaluar una parcela sin construir, que

tiene 100 pies de ancho y que está limitada por calles en tres de sus lados y por un arrollo

en el cuarto lado. El agente determina que si establece un sistema de coordenadas, tal

como se muestra en la figura 1, el arroyo se puede escribir por medio de las curvas

3y x 1 , donde x e y están medidas en cientos de pies. Si el área de la parcela es A pies

cuadrados y el agente estima que su tierra vale $ 12 por pie cuadrado, entonces el valor

total de la parcela es de 12A dólares. Si la parcela fuera de forma rectangular o triangular,

e incluso trapezoidal, se podría determinar su área A sustituyendo en una fórmula bien

conocida; sin embargo, la frontera superior de la parcela es curva, por tanto ¿cómo puede

el agente determinar el área y después determinar el valor total de parcela?

Integral definida.

y (100pies)

1

x (100 pies)0 1

Figura 1: Determinación del valor de la tierra encontrando el área bajo la curva.

Arroyo


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El objetivo de esta parte es demostrar que se puede expresar el área bajo la curva (por

ejemplo, el área A del ejemplo de bienes y raíces) como el límite de una suma de

términos, que recibe el nombre de integral definida. Más adelante, se introducirá un

resultado conocido como el teorema fundamental de cálculo que permite calcular

integrales indefinidas y después su áreas y otras cantidades empleando los métodos de la

integración indefinida (antiderivada) que se estudiaron en el tema anterior.

ÁREA BAJO UNA CURVA

Sea f una función no negativa ( f 0) sobre [a; b]. Definimos la región:

S = {( x ; y ) / x [a; b], y [0; f ( x )]} denominada la región de f desde “a” hasta “b”.

Interpretación Geométrica De Integral Definida:

Partamos subdividiendo S en n franjas 1S , 2S ….. nS de igual ancho como en la figura


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El ancho del intervalo [a,b] es b-a, por lo tanto el ancho de cada una de las n franjas es

n

ab x

Estas franjas dividen al intervalo ba, en n subintervalos

nn x x x x x x x x , ,,, ,, ,, 1322110

Donde a x 0 y b xn . Los puntos finales del lado derecho de los subintervalos son:

,3 ,2 , 321 xa x xa x xa x

Aproximemos la i franja iS por un rectángulo de ancho x y altura )( i x f , el cual es el

valor de f en el punto final del lado derecho.

Entonces el área del i th rectángulo es x x f i )( . Lo que creemos intuititavemente, como el

área de S es la suma de las áreas de estos rectángulos, el cual es

1 2( ) ( ) ( )n n R f x x f x x f x x

Las siguientes figuran muestran esta aproximación para n=2, 4, 8 y 12. Note que esta

aproximación parece llegar a ser mejor y cada vez mejor conforme el número de franjas se

incremente es decir, cuando n .


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Por consiguiente definimos el área de la región S en la siguiente forma:

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

Si f está definida en el intervalo cerrado ba, y existe el límite

1

lim lim ( )n

n in n

i

R f x x

Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la

función continua f es el límite de la suma de las áreas aproximadamente

rectangulares:


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Entonces f es integrable en ba, y el límite se denota

1

lim ( ) ( )bn

in

i a

f x x f x dx

Este límite se llama la integral definida de f entre a y b.

Donde:

)( x f : Función integrable

a, b: límites de integración

: Símbolo de integración, x : variable de integración

TEOREMA: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

Si f es continua en el intervalo cerrado ba, , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x=a y x =b viene dado por:

b

a

Área f(x) dx

Nota:

1. La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un

área

2. Cuando el área está bajo el eje X , la integral definida tiene signo negativo.

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:

Sea f un función continua en a;b . La función g definida por:

x

a

g(x) f(t)dt; a x b

es continua en a;b ; derivable en a;b y

g'(x) f(x)

Consecuencia:Si f es continua en , g y h son diferenciables en se tiene:

g(x)

a

df(t)dt f g(x) g'(x) x

dx


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Ejemplos:

1.

Hallar la derivada de la función x

2

0

g(x) t 1 t dt

Solución:

Como 2f(t) t 1 t es continua, entonces por el teorema 2g'(x) x 1 x

2.

x

1

dtan(t)dt tan(x)

dx

3. 3

x3 3 2 3

1

d dsec(t)dt sec x x 3x sec x

dx dx

4.

sin(x)

1

dcos t dt cos sinx cosx

dx

5. 2

x34

3x

Si F(x) 1 y dy , hallar F'(x)

Solución:

Consideremos una constante k que se encuentra entre la funciones 2 3x y x .

Entonces:

2 2x k x

3 3 34 4 4

3 3 xx x

3 2x x3 34 4

k k

F(x) 1 y dy 1 y dy 1 y dy

1 y dy 1 y dy

Derivando tenemos:

4 42 9 6F'(x) 3x 1 x 2x 1 x

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si f(x) es una función continua en el intervalo a x b , entonces

b

a

f(x)dx F(b) F(a)

Donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en a x b

Al final de esta sección se verá un caso especial del teorema fundamental del cálculo.

Cuando se aplica el teorema fundamental, se emplea la notación


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b

aF(x) F(b) F(a)

Entonces,

b b

aa

f(x)dx F(x) F(b) F(a)

Ejemplo 1:

Calcular

3

2

1

3x x 6 dx

Solución:

Una antiderivada de 2

3x x 6 es

23 x

F(x) x 6x2 . Entonces:

3

3 22 3

1 1

2333

x3x x 6 dx x 6x

2

133 6 3 1 6 1

2 2

48

Ejemplo 2:

Evalúe

4

1

21 dx x x

Solución:

Una antiderivada de 21

)( x x

x f es3

3

1ln)( x x x F , por tanto se tiene

6137.19214ln

)1(311ln)4(

314ln

3

1ln

1

33

4

1

34

1

2

x xdx x x

Ejemplo 3:

Calcular

1

2 33

1 1dx

x x


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9/18


Por tanto:

92 9 22 3

0 1 1

2 2

w 1 wx x 1 dx dw

3 3 2

9 1

6 6

40

3

Reglas de Integración:

La siguiente lista de reglas se puede emplear para simplificar el cálculo de integrales

definidas.

Ejemplo 1:

Calcule 1

0

32 18 dx x x

Reglas de Integrales definidas

Sean y cualesquiera funciones continuas en . Entonces,

1. Regla del factor constante para constante.

2. Regla de la suma

3. Regla de la diferencia

4.

5.

6. Regla aditiva de la integral definida


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Solución:

El integrando es un producto en el que uno de los factores, x8 , es un múltiplo de la

derivada de la expresión 12 x , que aparece en el otro factor. Esto sugiere que se

introduzca 12 xu . Entonces, xdxdu 2 , y por tanto

433

2 418 uduudx x x Los límites de integración, 0 y 1, se refieren a la variable x y no a u. Por tanto, se puede

proceder en una de las dos formas. Se puede reescribir la antiderivada en términos de x, o

bien se puede determinar los valores de u que corresponden a x=0 y x=1.

Si se elige la primera alternativa, se obtiene que

4243

2

118

xudx x x

Y por tanto 1 1

3 42 2

00

8 1 1 16 1 15 x x dx x

Si se elige la segunda alternativa, se debe tener en cuenta el hecho de que 12 xu para

calcular que u=1 cuando x=0, y u=2 cuando x=1. Por consiguiente,

15116418 21

42

1

31

0

32 uduudx x x

Ejemplo 2:

Evalúe

2

41

)ln(dx

x

x

Solución:

Sea )ln( xu , por tanto dx x

du1

. Entonces

22 ln21

21

1ln

ln

xu

ududx x

xdx x

x

Entonces,


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721.02ln23

4

1ln

2

12ln

2

1ln

2

1ln

2

2

2

2

41

22

41

xdx x

x

Ejemplo 3:

Calcular

9

4

xdx

x 1

Solución:

En esta integral haremos un cambio de variable: Consideremos w x , entonces:

2w x 2wdw=dx

Teniendo en cuenta este cambio de variable, procedemos a cambiar los límites de

integración:

a. Para x 9 tenemos w 3 .

b. Para x 4 tenemos w 2 .

Por lo tanto:

9 3 3 2

4 2 2

3 3 32

2 2 2

32

2

x w wdx 2wdw 2 dw

w 1 w 1x 1

w 1 1 12 dw 2 w 1 dw dw

w 1 w 1

w2 w ln w 1

2

9 4

2 3 ln(2) 2 ln(1)2 2

7 2ln(2)

Ejemplo 4:

Si f es continua tal que 10

0

f(x)dx 17 y 8

0

f(x)dx 12 , hallar 10

8

f(x)dx .


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Solución:

Por la propiedad 6 (regla aditiva de la integral indefinida), tenemos:

10 8 10

0 0 0

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

10 10 8

8 0 0

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

Entonces:

10

0

f(x)dx 17 12 5

SIMETRÍA:

El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen

propiedades de simetrías.

Teorema:

Si f(x) es continua en a;a .

a) Si f(x) es par, es decir f( x) f(x) , entonces

a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx .

b) Si f(x) es impar, es decir f( x) f(x) , entonces

a

a

f(x)dx 0 .


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Ejemplo 1:

Calcular

2

6

2

x 1 dx

Solución:

Como la función 6f(x) x 1 satisface f( x) f(x)

(es una función par) tenemos que:

2 2

6 6

2 0

27

0

x 1 dx 2 x 1 dx

x2 x

7

128 2842 27 7

Ejemplo 2:

Calcular

1

3

1

x dx

Solución:

Como la función 3

f(x) x satisface f( x) f(x)

(es una función impar) tenemos que:

1 41 4 43

1 1

1x 1x dx 0

4 4 4

Ejemplo 3:

Calcular

4

2

4

x x 6 dx

Solución:

En el cálculo de las integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la

expresión dentro de las barrar mediante el criterio del punto crítico, es decir:

Para 2x x 6 tenemos:

2x x 6 (x 3)(x 2) . Igualando a cero, obtenemos que los

puntos críticos sean x 3 x 2 . Colocando estos puntos en la recta numérica

tenemos:

+ _ +

-3 2


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Como 4;4 4; 3 3;2 2;4 entonces la integral se trabaja sobre cada

intervalo, es decir:

4 3 2 42 2 2 2

4 4 3 2

3 2 42 2 2

4 3 2

3 2 43 2 3 2 3 2

4 3 2

x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx

x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx

x x x x x x6x 6x 6x

3 2 3 2 3 2

9 64 89 18 8 24 2 13 3 3

92 9 182

64 8 8 24 2 12

3 3

64 9 8 9 5623 19 6

3 2 3 2 3

109

3

VARIACIÓN TOTAL:En ciertas aplicaciones se da la tasa de cambio )(' xQ

de una magnitud )( xQ y se requiere

calcular la variación total )()( bQaQ en cuando x varia de a x

a b x . Sin embargo,

como )( xQ es una antiderivada de )(' xQ , el teorema fundamental del cálculo permite

calcular la variación total según la fórmula de la integración definida.

Variación Total:

Si )(' xQ

es continua en el intervalo b xa , entonces la variación total de )( xQ

cuando

x varía de a x

a b x

está dado por

b

a

dx xQaQbQ )(')()(


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Ejemplo 1:

En cierta fábrica, el costo marginal es 243 qq dólares por unidad cuando el nivel de

producción es q unidades. ¿En cuánto se incrementa el costo total de manufactura si elnivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades?

Solución:

Sea )(qC el costo total de producción de q unidades. Entonces el costo marginal es la

derivada 243 qdq

dC , y el incremento del costo si la producción se aumenta de 6 a 10

unidades está dado por la integral definida

208$

46410

443

)6()10(

33

10

6

310

6

2

10

6

qdqq

dqdq

dC C C

Ejemplo 2:

Una proteína con masa m (gramos) se desintegra en aminoácidos a una tasa dada por

h g

t dt

dm

3

302

¿Cuál es la variación total de la masa de la proteína durante las 2 primeras horas?

Solución:

La variación total está dada por la integral definida

2

0

2

2

0)30(

30)0()2( dt

t dt

dt

dmmm

Si se sustituye dt dut u ,3 y se cambian los límites de integración apropiadamente (

0t se convierte en 3u y 2t se convierte en 5u ), se encuentra que

4

3

1

5

130

130

30)30(

30)0()2(

5

3

1

5

3

2

2

02

u

duudt t

mm

Entonces, la masa de la proteína tiene una variación total de 4 gramos durante las 2

primeras horas.


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EJERCICOS PROPUESTOS

I. Utilice el Primer Teorema fundamental del Cálculo, para determinar la derivada de las

siguientes funciones:

1. x

0

g(x) cos(t)dt

2.

04

x

g(x) 1 t dt

3.

2x 2

t

x

g(x) e dt

4.

x 2

20

1 t tg(x) dt para x 1

1 t t

5.

sin(x)2

1

g(x) 3t dt

6.

tan( )

2

0

g(x) sec ( )d

7.

xe

2

ln(t)g(x) dt

t

8.

2x

2

sin(x)

g(x) cos(t) t dt

9.

b

2sin(x)

1g(x) dt

1 cos (t)

10.

tan(x)

23

1g(x) dt

1 tan (t)

11.

3x

33

2x

g(x) 1 y dy

12.

x dt

21 t2

2a

1g(x) dt

1 t

13.

3x

dtdt

21 cos (t)2

2a

1g(x) dt

1 cos (t)

II.

Utilice el segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para determinas las siguientes

integrales definidas:

1. 4

3 2

2

4x 6x 5x dx

2.

32/3

0

y dy

3. 4

2

0

x x 6 dx

4.

1

4 3

1

5x 4x dx

5.

2

3 2

2

x x 4x 2 dx

6.

3

3

1

x 2 dx


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7. 3

42

0

2x x 1 x dx

8.

5 3

0

x 1 dx

9.

3

32

1

xdx

x 1

10. 5

2

3

x 9 2 xdx

11.

1 x

2x0

edx

1 e

12.

2 3 2

21

x 2x x 4dx

x 1

13.

8

25

1dx

x 4x 13

14. 3 3

42

xdx

1 x

15.

3

22

x dxx 1

16.

4

21

1 ydy

y

17.

3

22

1dx

x 1

18.

/3

2

0

2sec (x)dx

19.

/2

2

/2

8y sin(y) dy

20.

/3

/3

1 cos(2t)dt

2

21.

e 3

1

zdz

z 2

22.

4

2

x dx1 x x

23.

5

2

2

x x 2 dx

24.

3

3

3 x dx

25.

1

1

x xdx

26.

3 2

23

x 4dx

x 16

27. 4

1

91 xdx

4

28.

/2 3

3/2

cos (x)dx

sin(x)

29.

2

3 2

1

x x 5dx

30.

e

1

1dx

x

31.

1

0

1dx

x 1

32.

e

1

ln(x)dx

33.

2e

e

1dx

xln(x)

34.

/2

0

xcos(x)dx


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35.

/2

3 4

0

sin (x)cos (x)dx

III.

Resolver los siguientes ejercicios:

1. Hallar f(x) sabiendo que f(x) es continua x y

2x 1

6 4 2

0

f(t)dt x x 3x .

2.

Hallar f(2) si f(x)

2 2

0

t dt x (1 x).

3. Si x

2

0

1 1f(t)dt xsin(2x) cos(2x) x

2 2, calcular f / 4 , f' / 4 .

4.

Si f(x) es continua y x

34

0

x f(t) dt 17x . Hallar f(3) .

IV. Resolver los siguientes problemas:

1.

CONTAMINACIÓN DEL AIRE: Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere

que dentro de t años el nivel L(t) de monóxido de carbono en el aire cambiará a

una tasa de L'(t) 0.1t 0.1 portes por millón (ppm) al año. ¿En cuánto cambiará

el nivel de contaminación durante los próximos 3 años?

2.

ESPECIES EN PELIGRO DE EXTINCIÓN: Un estudio conducido por un grupo

ambientalista en el año 2000 determina que dentro de t años, la población de

cierta especie de ave en peligro de extinción disminuirá a una tasa de

P'(t) 0.75t 10 0.2t individuos por año. ¿En cuánto se espera que cambie la

población durante la década 2000-2010?

3. DISTANCIA Y VELOCIDAD: Un conductor viajando a una velocidad constante de

45mph, decide acelerar de tal forma que su velocidad t horas después es

v(t) 32t 80pies s . ¿Cuánto recorre en las primeras 2 horas?

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