Aplicaciones de la Integral definida

ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS

En muchas aplicaciones prácticas, se proporciona la razón de cambio Q’(x) de una cantidad y se requiere calcular el cambio neto:

en Q (x), cuando x varía desde x=a hasta x=b

(x)dx´QaQbQCNb

a )()(

Cambio Neto

CN

a b x

y

Q´(x)

dx´(x)QCNb

a

En cierta fábrica, el costo marginal es 6(q - 5)2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es “q” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación, si el nivel de producción sube de 10 a 13 unidades?

Ejemplo 1

El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es 220(x-10) dólares al año. ¿En cuánto se deprecia la máquina durante el segundo año?

Ejemplo 2

dttPtPUNN

o )(')(´ 12

Si dentro de “t” años dos planes de Inversión generan utilidades a unas tasas P´1(t), P´2(t) tal que se cumple que P´2(t) > P´1(t) durante los primeros N años, entonces, el exceso de utilidad neta es

Exceso de Utilidad Neta

P2´(t)

P1´(t)

N

y (dólares al año)

t (años)

dttPtPUNN

o )(')(´ 12

Suponga que dentro de “t” años un plan de Inversión generará utilidades a razón de P´1(t) = 100+t2 cientos de dólares al año, mientras una segunda inversión generará utilidades a una razón P´2(t) = 220+2t cientos de dólares al año

a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excederá a la primera?

b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el periodo determinado en el literal a).

Ejemplo

T

y (dólares al año)

t (años)

´( ) '( )T

o

GN R t C t dt

R´(t)

C´(t)

Ganancia neta

Ganancias netas producidas por equipos industriales

Suponga que dentro t años una máquina generará ingresos a razón de R’(t) = 5000-20t2 dólares al año y que los costos totales se acumulan a una razón de C’(t) = 2000 + 10 t2 dólares al año.

a) ¿Cuántos años transcurren antes que la rentabilidad de la máquina disminuya?

b) Calcule las ganancias netas generadas por la máquina durante el periodo determinado en a)

c) Si se empleara la máquina durante 15 años ¿Cuánto sería la ganancia que se obtendría ?

Ganancias netas producidas por equipos industriales

El precio que los consumidores están dispuestos a pagar por obtener una unidad adicional disminuye cuando el número de unidades compradas aumenta.

p = D(q)

0 1 2 3 q

p (dólares por unidad)

Monto disponible a gastar al adquirir q0 unidades

Disponibilidad total a gastar por los Consumidores

p= D(q)

0 q0

q

p (dólares por unidad)

0

0)(

qdqqD

Suponga que la demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q)=2(64 - q2) dólares por unidad.

a) Halle la cantidad total de dinero que el consumidor esta dispuesto a pagar por 6 unidades del artículo

b) Trace la curva de demanda e interprete como área la respuesta obtenida en a)

Ejemplo

p = D(q)

p0

0 q0 q

pExcedente de los

consumidores

Gasto real

0

0 00)(q

qpdqqDEC

Excedente de los consumidores

Si se venden q0 unidades de un artículo a p0 la unidad y si p =D(q) es la función de demanda de los consumidores del artículo, entonces:

unidadesqporpagaradispuestosestánesconsumidorlosquetotalcantidad

0

consumidor

delExcedente

unidadesqenconsumidor

delrealgasto

0

0

0 00)(q

qpdqqDEC

p = S(q)

Excedente de los productores

p (dólares por unidad)

q ( unidades)q0

P0

0

000 )(q

dqqSqpEP

Excedente de los productores

Si se venden q0unidades a p0 dólares la unidad y si p = S(q) es la función de oferta de los productores del artículo, entonces:

sproductorelos

deExcedente

unidadesqporconsumidor

delrealgasto

0

unidadesqofrecensecuando

recibiradispuestosestaríansproductore

losquetotalcantidad

0

0

000 )(q

dqqSqpEP

Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas comprarán q (miles) de llantas radiales si:

p = -0,1q2 + 90 dólares la unidad, y el mismo número de llantas se suministrará cuando

p = 0,2q2+ q +50 dólares por llanta.

a) Halle el precio de equilibrio y la cantidad suministrada y demandada a ese precio.

b) Determine el excedente de los consumidores y de los productores al precio de equilibrio.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La demanda (D) y la oferta (S) de cierto artículo que se vende a “p” dólares están dadas por:

D(q)= 100 – q2 y

a) Graficar ambas funciones y determine el gasto en el equilibrio.

b) Hallar el excedente de los consumidores y productores en el punto de equilibrio del mercado.

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)(2

qqqS