04 la integral definida

MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: LA INTEGRAL DEFINIDA.

APLICACIONES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. La integral definida. Aplicaciones.

Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



5.1.- ÁREA.

Propiedades de la notación Σ.

n

i

n

i

ifcifc11

)()( c es cualquier constante.

n

i

n

i

n

i

igifigif111

)()()()(

Fórmulas de suma.

nccn

i

1

2

)1(

1

nni

n

i

6

)12()1(

1

2

nnni

n

i

4

)1( 22

1

3

nni

n

i

30

)133()12()1( 2

1

4

nnnnni

n

i

Cálculo de áreas mediante sumas de Riemann.

Rectángulos inscritos. Rectángulos circunscritos.

n

i

i xxfAn 1

1)(lim

n

i

i xxfAn 1

)(lim

xiaxi )1(1 xiaxi

Para ambos casos: n

abx

1. Determine el área de la región limitada por la curva 2xy , el eje x y la recta 3x

considerando a) rectángulos inscritos y b) rectángulos circunscritos.

2. Calcular el área de la región trapezoidal limitada por las rectas 1x y 3x , el eje x y la

recta 82 yx . Verifique la respuesta mediante la fórmula de geometría plana para el

área de un trapecio.

En los ejercicios 3 – 7 determinar el área de la región; utilice (a) rectángulos inscritos y (b)

rectángulos circunscritos. Para cada ejercicio dibuje una figura que muestre la región y el i-

ésimo rectángulo.

3. La región limitada por 2xy , el eje x y la recta 2x .

4. La región sobre el eje x y a la derecha de la recta 1x y la curva 24 xy .



5. La región sobre el eje x y a la izquierda de la recta 1x limitada por la curva y las rectas

del ejercicio 4.

5.2.- INTEGRAL DEFINIDA.

Definición de integral definida.

Sea f definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea c un punto del subintervalo ],[ 1 ii xx , de

anchura ix . Entonces, si

n

i

i xxf1

)(limn

existe, denotaremos este límite por b

axdxf )(

y lo llamaremos la integral definida de f entre a y b.

Teorema fundamental del cálculo.

Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces )()()( aFbFxdxfb

a para

todo x en [a,b].

Propiedades de la integral definida.

b

a

b

axdxfkxdxfk )()( , donde k es una constante.

b

c

c

a

b

axdxfxdxfxdxf )()()( , donde bca

b

a

b

a

b

axdxgxdxfxdxgxf )()()]()([

a

b

b

axdxfxdxf )()(

0)( a

axdxf

Calcular las siguientes integrales definidas.

1. 1

1

2)1( xdxx 2. b

xdxb0

)( 3. 1

0

2 )( xdxx

4. 6/

0)3cos2(sen

xdxx 5. 2/3

2/1)cos( xdxx 6.

5

113 xdx

7. 1

0

2)1( xdxx 8. 1

0

23 )1( xdxx 9.

0

2sen xdx

10. 1

1

52 )1( xdxx 11. 4

0

2 9 xdxx 12. a

xdxax0

22

13.

2

2 281 x

xdx 14.

2

0 3

2

92

6

x

xdx 15.

1

0 2 32

1xd

xx

x



16.

1

0 23

2

31

)43(

2xd

xx

xx 17.

4/

9/

2

2

cos

xd

x

x 18.

0 2)cos3(

sen

x

xdx

19. 2/

0

3 cossen

xdxx 20. 6/

0

3 )2(cos)(2sen

xdxx 21. 2/

0sen cos

xdxx

22. 4/

4/

23 sectan

xdxx 23.

2/

0 cot

cos

xdx

x 24.

1

0 2

1

1

tan

x

xdx

25. 1

0

43 )(sen xdxx 26. e

xdx

x

1

ln 27.

5

01 xdxx

28. 4

04 xdxx 29.

3

01)2( xdxx 30.

5

4

2 4 xdxx

31.

1

2 3 1

3xd

x

x 32.

25

0 4xd

x

x 33.

e

x

xdx

1 2

ln

34. 1

0

2 )1( ln xdx 35. 3

2

2)(ln xdx 36. 3/

0

2 )3(sen

xdxx

37.

2

1

2 xdex x 38.

1

0

1sen xdx 39.

e

xx

xd

1 2ln9

40. a

xdxa0

22 41.

a

axdxa 22

42. 5/3

0

2259 xdx

43. 1

01 xdxx 44.

4

2

216xd

x

x 45.

1

1

22 4 xdxx

46.

2

3/2 2 1xx

xd 47.

2/

0 2sen4

cos

x

xdx 48.

4/3

4/ 2 4cos5cos

sen

xx

xdx

49.

1

2 2 34

)1(

xx

xdx 50.

4

2 2

3

1xd

xx

x 51.

4/3

4/1 2 )1(

)1(

xx

xdx

52.

2

1 3)1( x

xd 53.

2

1 2

3

)2(

)1(

x

xdx 54.

3/

0 sen 1

x

xd

55.

4/

0 tan2

x

xd 56.

3

112 xdx 57.

4

04 xdx

58. 4

12 xdx 59.

4

1)2( xdxx 60.

4

03 xdx

61. 1

1xdxx 62.

1

1

2 4 xdx 63. 5

2]2[ xdx

64. 5

2)]([ xdxx

Usando la propiedad aditiva de la integral definida, resolver b

axf )( en los intervalos

indicados.



65.

43Si4

31Si1

10Si

)(

xx

x

xx

xf 66.

42Si1

21Si3

10Si2

)(

x

xx

xx

xf

67.

41Si3

2810Si2

)(x

xx

xf

5.3.- INTEGRALES IMPROPIAS.

De ser posible resolver las siguientes integrales impropias. Diga si son convergentes o

divergentes.

1.

xd

xx

12 2.

16

0 4 x

xd 3.

0

2 3 1x

xd 4.

8

0 3 8 x

xd

5.

3

03

2

)1(x

xd 6.

3 29 x

xdx 7.

2 2ln xx

xd 8.

0xdex x

9.

12x

xd 10.

2

2 4x

xd 11.

222 xx

xd 12.

422 xx

xd

13.

1262 xx

xd 14.

x

x

e

xde21

15.

2

0 24 x

xd 16.

2

0 22 xx

dx

17.

3

1 2 2

2

xx

xd 18.

1 2 1xx

xd 19.

3 2 9x

xd 20.

1

0

2

2xd

xx

21.

1

2

2 3xd

x

xx

5.4.- ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA.

5.4.1.- Área limitada por una curva.

Si f es continua en [a,b] y 0)( xf para todo x en [a,b], entonces el área de la región

limitada por )(xfy , ax y bx y el eje x es b

axdxfA )( .



Si f es continua en [c,d] y 0)( yf para todo y en [c,d], entonces el área de la región

limitada por )(yfx , cy y dy y el eje y es d

cydyfA )( .

5.4.2.- Área limitada por dos curvas.

Si f y g son continuas en [a,b] y )()( xfxg para todo x en [a,b], entonces el área de la

región limitada por )(xfy , )(xgy , ax y bx es b

axdxgxfA )]()([ .

Si f y g son continuas en [c,d] y )()( yfyg para todo y en [c,d], entonces el área de la

región limitada por )(yfx , )(ygx , cy y dy es d

cydygyfA )]()([ .

1. Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de 24 xxy y el eje x.



2. Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones 22 xy ;

xy .

3. Hallar el área acotada por la recta 2 xy ; 2yx .

4. Encontrar el área limitada por las gráficas de las ecuaciones 42 xy y 24 xy

5. Encontrar el área de la región limitada por las gráficas de 342 xxy ; y la tangente

a la misma en los puntos )3,0( y )3,4( .

6. Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas:

a) 2xy ; xy 3 ; desde 1x , hasta 2x . b) 23 xy , y la recta 1y

c) 22 xxy ; 2 xy d) xxy 22 ; xy

e) 242 xxy ; 052 yx f) 2)2( xy ; 2 xy

g) 642 xxy ; xy 36 h) 24 xxy ; 1x ; 3x

i) 1052 xxy ; 1092 xxy j) 22 xy ; 322 xxy

k) 2xy ; 2yx l) xxy 3 ; 0y

m) xy ; 3xy n) xy ; xy 3 ; 4 yx

ñ) 6 xy ; 3xy ; xy21 o) 12 23 xxxy ; 132 xxy

p) 2xy ; xy 2 ; xy21 q) 2xy ;

2

2xy ; xy 2

r) 2yx , 2 yx s) 22 yx ; 4 yx

t) 12 xy ; 3 xy u) 42 xy ; 221 xy

v) xy 42 ; 434 yx w) 23 yyx ; xy 3

x) xy 42 ; xy 22 y) 42 2 xy ; 2yx

z) xy 162 ; 4)2( 2 xy

7. Halle el área limitada por las siguientes curvas.

a) xy 1 ; 0y ; 0x ; 4x b) 12yx ; 0y ; 1x ; 2ex



c) 1

22

x

y ; 0y ; 1x ; 1x d) x

xy

ln ; 0y ; 2ex

e) )3(ln xy ; 0y ; 0x f) xy arctan ; 0y ; 3x

g) xy tan , desde 0x , hasta 4x . h)

1

22

x

y ; 2xy

i) 10yx ; 7 yx j) x

ey

x

; ey ; 4x

k) xy sen ; 1y ; 0x l) xy cos ; xy cos2 ; 41x ;

4

3x

m) yyx 22 ; 0x n) yyyx 44 23 ; 0x

ñ) 1 xy ; 0y ; 2y ; 0x o) 1 xey ; 32 xey ; 0y

p) xy 2 ; xy 4 ; 2

2

xy q)

2

2 1

x

xy

; 0y ;

21x ; 3x

r) 321 xy ; xy s)

2

xy ; 122 2 xy

t) 1 xy ; xxy 22 ; 0x ; 2x u) 24 xxy ; 0y

v) xy sen ; xy sen ; 2

1x ; 2

1x

w) xy sen2 ; xy tan ; 31

31 x

x) xy 42 y su lado recto.

y) 2xy y la recta 0 ybxa ; ( a , b > 0).

8. Hallar el área de la región acotada a la derecha por la recta 2 xy , a la izquierda por

la parábola 2yx , y debajo por el eje x .

9. Hállese el área de la región del primer cuadrante acotada por el eje y y las curvas de

ecuaciones xy sen ; xy cos .

10. Hállese el área entre 23 xy e 1y integrando respecto de y . Compare el

resultado con el obtenido en el ejercicio 6b.



11. Sea xxf 9)( ; 0)( xg . Halle el valor de c para que la recta cy divida la

región limitada por las gráficas de f y g en dos regiones de igual área.

12. Sea 2)( xxf ; 3)( xcxg , donde 0c . Halle el valor de c de modo que la región

limitada por las gráficas de f y g tenga un área igual a 3

2 .

13. Halle el área de la región limitada por la curva xy ln ; la tangente a dicha curva en el

punto de abcisa e , y el eje x .

14. Halle el área de la región limitada por la parábola 542 yyx ; por la tangente a

dicha parábola en el punto de ordenada 3 y por el eje x .

15. Calcule el área de la región limitada por la parábola )2(22 xy y la recta

02 xy .

16. Calcular el área de la región limitada por la parábola )2(4)1( 2 xy y su lado recto.

17. Halle el área de la región limitada por la hipérbola 422 yx y la parábola xy 32 .

18. Determine el área de la región indicada en cada figura.

b

xhy 1

Triángulo

rectángulo.

222 ryx

Círculo de radio r.

12

2

2

2

b

y

a

x

Elipse.

222 ayx ;

xy



xbya 22 ;

)2(22 xabya

xy ;

06 yx

xy 42 ;

2 xy ; xy 2

14

22

yx ;

14

22

yx

5.5.- LONGITUD DE ARCO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Si )(xfy tiene derivada )(xf continua en [a,b], la longitud de arco de f entre a y b

viene dada por xdxfLb

a 2)]([1

Análogamente, para una curva )(ygx entre c y d está dada por ydyfLd

c 2)]([1

1. Encontrar la longitud del arco de la gráfica de la función 2)( xxf en el intervalo ]1,0[

.

2. Calcular la longitud del arco de la gráfica de 2

1

2

3

31)( xxxf , desde el punto ),1(

32A

hasta el punto ),4(34B .

3. Encontrar la longitud del arco de la gráfica de 2

3

24 xy desde el punto )4,0(P hasta

el punto )12,4( Q .

4. Calcular la longitud del arco de la gráfica de 103)( 3 2 xxg , entre los puntos

)2,8(M y )17,27(N .

5. Hallar la longitud del arco de la gráfica de 23)1( xy entre los puntos )1,0(A ,

)5,8(B .

6. Hallar la longitud del arco de la curva 32 )32(49 xy desde el punto )32,0(A al

punto )18,3(B .



7. Encontrar la longitud del arco de la gráfica de la ecuación dada, según las condiciones

suministradas en cada caso:

a) 32 278 yx , entre ),1(32A y ),8(

38B .

b) 23

5 xy , desde el punto )4,1(M hasta el punto )3,4( N .

c) 13 23

yx , desde 0y hasta 4y .

d) )(cosln xy desde 61x hasta 4

1x .

e) xxy ln412

21 , desde 1x , hasta ex .

f) xy ln , desde 1x , hasta 22x .

g) )1(ln 2xy , desde 41x , hasta

43x .

h) )(arcsen3 3

3

232

21 xxxy , en el intervalo ]1,0[ .

8. Hallar la longitud de la curva 3

2

2

3 xy entre 1x y 8x .

9. Hallar la longitud de la curva xy ln entre 1x ; 3x .

10. Encuentre la longitud de la curva 2

3

3

2

)4( xy entre 1x ; 8x .

11. En algún momento de su recorrido, una “montaña rusa” describe un movimiento

parabólico dado por 225)( xxM . Calcular la distancia recorrida (en mts) desde el punto

)9,4( , hasta el punto )0,5( .

12. Un móvil describe una trayectoria circular dada por 29)( xxm . Calcular la

distancia recorrida desde el punto )3,0( hasta el punto )5,2( .

13. Un piloto decide describir un movimiento circular en su avioneta. Calcule la distancia

recorrida desde el punto )4,3( , hasta el punto )3,4( si se sabe que la función de la

trayectoria está dada por 225)( xxT .

14. Si se supone que la trayectoria de un proyectil está dada por 23105)( xxxp .

Calcúlese la distancia recorrida (en mts) por el proyectil desde el origen hasta el punto

)50,100( .



15. Halle la longitud del arco de la gráfica de la función dada en el intervalo indicado.

Función Intervalo Función Intervalo

a) 2

3

)( xxf 4,0 m) )(secln)( xxf ],[44x

b) 23

xy ]44,0[ n) xexf )( ]3ln,0[ 21

c) 4

5

34 xy 4,0 ñ) )(2 44

xx

eey

4,0

d) 12

3

32 xy 1,0 o)

2

xx eey

],0[ b

e) 123

3

24 xy ]1,0[ p) x

xy ln

4

2

2,1

f) 2

1

2

3

31 xxy 4,1 q)

x

xy

2

1

6

3

2,2

1

g) )3()( 31 xxxf ]3,0[ r)

2

4

4

1

8 x

xy 2,1

h) 2

3

)1( 2

32 xy 4,1 s)

2

4

8

1

4

1

xxy 3,2

i) 2

3

3

2

)4( xy 8,1 t) 3

5

6

1

10 x

xy 2,1

j) 23

)1()( 32 xxf ]2,1[ u) )1(ln 2 xxy 2,1

k) nxmy ],[ dc v) x

tdty0

4 1sec 4

1,0

l) )sen(ln xy ],[ 43

41

16. Demuestre el Teorema de Pitágoras. El problema consiste en determinar la longitud del

segmento de la recta xa

by , en el intervalo ax 0 , donde a y b son las longitudes de

los catetos en el triángulo rectángulo formado.

17. Determine la longitud de una circunferencia de radio r.

5.6.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN.

Definición de superficie de revolución.

Si la gráfica de una función continua se hace girar alrededor de una recta, la superficie

resultante se llama una superficie de revolución.

Si )(xfy tiene derivada )(xf continua en el intervalo [a,b], entonces el área S de la

superficie de revolución que engendra esta gráfica en [a,b] es



Si gira en torno del eje x: xdxfxfSb

a 2)]([1)(2

Si gira en torno del eje y: b

axdxfxS 2)]([12

1. Calcular el área de la superficie de revolución formada al hacer girar la gráfica de

3)( xxf en el intervalo ]1,0[ , en torno al eje x .

2. Calcular el área de la superficie de revolución formada al hacer girar la gráfica de

2)( xxf en el intervalo ]2,0[ , en torno al eje y .

3. Formular y calcular la integral que da el área de la superficie de revolución generada al

girar la curva en torno del eje indicado.

Función Intervalo Eje de revolución

a) 3

31 xy 3,0 x

b) xy 4,1 x

c) x

xy

2

1

6

3

2,1 x

d) xy 21 6,0 x

e) 23 xy 8,1 y

f) 24 xy 2,0 y

4. Un cilindro circular recto de radio r y altura h es generado haciendo girar la región

acotada por ry , 0x , hx en torno al eje x . Comprobar que el área lateral del

cilindro es hrS 2 .

5. Un cono circular recto de radio r y altura h es generado haciendo girar la región acotada

por xr

hy , hy y 0x en torno al eje y . Comprobar que el área lateral del cono es

22 hrrS .

6. Un tronco de cono de radio menor r, radio mayor R y altura h es generado haciendo girar

la región acotada por xh

rRry

, 0x , hx en torno al eje x . Comprobar que el

área lateral del tronco de cono es 22)()( hrRrRS .



7. Se genera una esfera de radio r haciendo girar la gráfica de 22 xry en torno al eje

x . Verificar que el área de la superficie de la esfera es 24 rS .

5.7.- VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.

Definición de sólido de revolución.

Si una región plana se hace girar alrededor de una recta, el sólido engendrado se llama

sólido de revolución y la recta se llama eje de revolución.

5.7.1.- Método de discos (rectángulos perpendiculares al eje de revolución).

Casos 1 al 4 Casos 5 al 8

Eje horizontal de revolución.

Si f y g son continuas en [a,b] y )()( xfxg para todo x en [a,b], entonces el volumen de

la región limitada por )(xfy , )(xgy , ax y bx al girar en un eje de revolución

horizontal es b

axdxrV 2)]([ ; )(xr es la altura del elemento diferencial (radio).

Eje vertical de revolución.

Si f y g son continuas en [c,d] y )()( yfyg para todo y en [c,d], entonces el volumen de

la región limitada por )(yfx , )(ygx , cy y dy al girar en un eje de revolución

horizontal es d

cydyrV 2)]([ ; )(yr es la altura del elemento diferencial (radio).

Rectángulo diferencial vertical (Integración respecto a x).

Caso 1. Región limitada por )(xfy , ax , bx y el eje x. Eje de revolución = El eje

x: b

axdxfV 2)]([



Caso 2. Región limitada por )(xfy , ax , bx y el eje x. Eje de revolución = La

recta ky : b

axdkkxfV }])({[ 22

Caso 3. Región limitada por )(xfy , )(xgy , ax , bx . Eje de revolución = El eje

x: b

axdxgxfV })]([)]({[ 22

Caso 4. Región limitada por )(xfy , )(xgy , ax , bx . Eje de revolución = La

recta ky : b

axdkxgkxfV }])([])({[ 22

Rectángulo diferencial horizontal (Integración respecto a y).

Caso 5. Región limitada por )(yfx , cy , dy y el eje y. Eje de revolución = El eje

y: d

cydyfV 2)]([

Caso 6. Región limitada por )(yfx , cy , dy y el eje y. Eje de revolución = La

recta kx : d

cydkkyfV }])({[ 22

Caso 7. Región limitada por )(yfx , )(ygx , cy , dy . Eje de revolución = El eje

y: d

cydygyfV })]([)]({[ 22

Caso 8. Región limitada por )(yfx , )(ygx , cy , dy . Eje de revolución = La

recta kx : d

cydkygkyfV }])([])({[ 22

5.7.2.- Método de capas (rectángulos paralelos al eje de revolución).

Casos 1 al 4 Casos 5 al 8.



Eje vertical de revolución.

Si f y g son continuas en [a,b] y )()( xfxg para todo x en [a,b], entonces el volumen de

la región limitada por )(xfy , )(xgy , ax y bx al girar en un eje de revolución

vertical es b

axdxhxrV )()(2 ; )(xr es la distancia horizontal entre el rectángulo

diferencial y el eje de revolución (radio) y )(xh es la altura del elemento diferencial.

Eje horizontal de revolución.

Si f y g son continuas en [c,d] y )()( yfyg para todo y en [c,d], entonces el volumen de

la región limitada por )(yfx , )(ygx , cy y dy al girar en un eje de revolución

horizontal es d

cydyhyrV )()(2 ; )(yr es la distancia vertical entre el rectángulo

diferencial y el eje de revolución (radio) y )(yh es la “altura” del elemento diferencial.

Rectángulo diferencial vertical (Integración respecto a x).

Caso 1. Región limitada por )(xfy , ax , bx y el eje x. Eje de revolución = El eje

y: b

axdxfxV )(2

Caso 2. Región limitada por )(xfy , ax , bx y el eje x. Eje de revolución = La

recta ky : b

axdxfkxV )()(2

Caso 3. Región limitada por )(xfy , )(xgy , ax , bx . Eje de revolución = El eje

y: b

axdxgxfxV )]()([2

Caso 4. Región limitada por )(xfy , )(xgy , ax , bx . Eje de revolución = La

recta ky : b

axdxgxfkxV )]()([)(2

Rectángulo diferencial horizontal (Integración respecto a y).

Caso 5. Región limitada por )(yfx , cy , dy y el eje y. Eje de revolución = El eje

x: d

cydyfyV )(2



Caso 6. Región limitada por )(yfx , cy , dy y el eje y. Eje de revolución = La

recta kx : d

cydyfkyV )()(2

Caso 7. Región limitada por )(yfx , )(ygx , cy , dy . Eje de revolución = El eje

x: d

cydygyfyV )]()([2

Caso 8. Región limitada por )(yfx , )(ygx , cy , dy . Eje de revolución = La

recta kx : d

cydygyfkyV )]()([)(2

Comparación entre los métodos de disco y de capas.

1.- Si colocamos un rectángulo perpendicular al eje de revolución del sólido, estamos

escogiendo el método de discos y la variable de integración viene indicada por la anchura

del rectángulo.

2.- Si colocamos un rectángulo paralelo al eje de revolución del sólido, estamos adoptando

el método de capas, donde la variable de integración viene indicada por la anchura del

rectángulo.

Eje de giro horizontal.

1. Encontrar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región limitada

por la curva de ecuación xy 4 , 0x , 0y , alrededor del eje x .

2. Calcular el volumen del sólido resultante de la región limitada por las gráficas de

4 xy , 26 xxy alrededor del eje x .

3. Encontrar el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por la gráfica

de xxy 2 , 0y , alrededor del eje x .

4. Sea 1)( 2 xxf . Calcular el volumen del sólido generado al girar la región bajo la

gráfica de la función f , entre –1 y 1, alrededor del eje x .

5. Sea 32

)( xxf . Calcular el volumen del sólido generado al girar la región bajo la gráfica

de f , entre –1 y 1, alrededor del eje x .



6. Hallar el volumen del sólido de revolución resultante, limitado por la gráfica de xey ,

en el intervalo ]2,1[ , alrededor del eje x .

7. Hallar el volumen generado en la rotación del primer cuadrante, limitado por xy 82 , y

la ordenada correspondiente a 2x , alrededor del eje x .

8. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región bajo la gráfica de

la función xy , entre 0x y 4x alrededor del eje x .

9. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las curvas de

ecuación xy 42 ; xy , alrededor del eje x .

10. Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región limitada por 3xy , 0y ,

2x , alrededor del eje x .

11. Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región limitada por xy sen ,

0y , en el intervalo ],0[ , alrededor del eje x .

12. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región limitada por 2xy , 0y ,

1x alrededor del eje x .

13. Calcular el volumen del sólido resultante de girar la región acotada por las gráficas de

22 xy , 022 xy , 0x , 1x , alrededor del eje x .

14. Encontrar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región limitada

por la curva de ecuación xy 4 , 0x , 0y , alrededor de la recta 1x .

15. Halle el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje indicado, la región

limitada por las siguientes curvas.

Curvas. Eje de giro.

a) xy ; 1y ; 0x 0y

b) 22 yx ; 022 xy ; 0x ; 1x 0y

c) 12 xy ; 3 xy 0y

d) 1

1

xy ; 0y ; 0x ; 3x 0y

e) x

y1

; 0y ; 1x ; 4x 0y



f) xey ; 0y ; 0x ; 1x 0y

g) 12 xey ; 1 xey ; 0x 0y

h) xy tan ; 0y ; 4

1x 0y

i) xy tan ; xy sen ; 0x ; 4

1x 0y

j) xxy 2 ; 0y 1y

k) 2yx ; 2y ; 0x 2y

l) 29 xy ; 07 xy 4y

m) 2xy ; 24 xxy 6y

n) 2xy ; 21 xxy 1y

ñ) 3

1

xy ; 1x ; 0y 1y

16. Un sólido de revolución se forma por la rotación alrededor del eje x , de la región

limitada por la curva 42 xy ; el eje x y la recta cx ( 0c ). ¿Con qué valor de c ,

el sólido tendrá un volumen de 16 unidades cúbicas?

Eje de giro vertical.

17. Calcular el volumen del sólido resultante de la región acotada por el eje y , y las

gráficas de 3xy , 1y , 8y , alrededor del eje y .

18. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región limitada por 2xy , el eje y y

la recta 4y , alrededor del eje y .

19. La región contenida en el primer cuadrante acotada por las gráficas de 3

31 xy , xy 2

gira alrededor del eje y . Calcule el volumen del sólido resultante.

20. La región contenida en el primer cuadrante acotada por las gráficas de 222 xxy ,

1x gira alrededor del eje y . Calcule el volumen del sólido resultante.

21. Halle el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje indicado, la región

limitada por las siguientes curvas.

Curvas. Eje de giro.

a) xy 4 ; 24 xy 0x

b) 12 xy ; 0y ; 0x ; 1x 0x

c) 2xy ; 0y ; 2x 0x

d) 33 xxy ; 2y ; 0x , 0x 0x



e) 41

1

xy

; 0y ; 0x 0x

f) 1 xxy ; 0y 0x

g) 2xey ; 0y ; 0x ; 1x 0x

h) 2xy ; 2 xy 3x

i) 2

1

xy ; 0y ; 1x ; 4x 4x

j) 2yyx ; 32 yx 4x

k) 2264 yyx ; 4x 4x

l) xy ln ; 2lny ; 0y ; 0x 1x

22. Verificar con el método de los discos y con el método de las capas cilíndricas que:

a) El volumen de un cilindro circular recto es hr 2 , donde r es el radio de la base y h la

altura.

b) El volumen de una esfera de radio r es 3

34 r .

c) El volumen de un cono circular recto es hr 2

31 , donde r es el radio de la base y h la

altura.

d) El volumen de un tronco de cono es hRRrr )( 22

31 , donde r es el radio menor, R es

el radio mayor y h la altura.

5.8.- CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA.

5.8.1.- Momentos de una lámina plana.

Sean )()( xfxg funciones continuas en [a,b]. Para la lámina plana, de densidad

uniforme ρ , acotada por )(xfy , )(xgy , ax y bx , los momentos respecto de

los ejes x, y, vienen dados por:

b

ax xdxgxfM })]([)]({[ 22

2

1 b

ay xdxgxfxM )]()([

La masa m de la lámina viene dada a su vez por b

axdxgxfm )]()([ y el centro de

masas por



m

Mx

y

m

My x

5.8.2.- Centroide de una región plana.

Sean )()( xfxg funciones continuas en [a,b]. El centroide ),( yx de la región acotada

por )(xfy , )(xgy , ax y bx viene dado por

A

xdxgxfxx

b

a

)]()([

A

xdxgxfy

b

a

})]([)]({[ 22

2

1

Determine el centroide del área mostrada en la figura. Exprese la respuesta en términos de

a y h .

1) 2) 3)

4) 5) 6)



7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)



19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)



31) 32) 33)

34) 35) 36)

37) 38) 39)

40) 41)



5.9.- EL TEOREMA DE PAPPUS.

Sea R una región del plano y sea L una recta de ese plano que no corta el interior de R. Si r

denota la distancia del centroide de R a la recta L, el volumen del sólido de revolución

generado al hacer girar la región R en torno a la recta L es ArV 2 , donde A es el área

de R ( r2 es la distancia recorrida por el centroide al girar la región en torno a la recta).

1. Aplique el teorema de Pappus para determinar el volumen del toro (forma de dona)

generado al girar la circunferencia de radio r unidades alrededor de una recta de su plano a

una distancia de b unidades de su centro, donde rb .

2. Se genera una esfera haciendo girar la gráfica de 22 xry en torno al eje x . Usar el

teorema de Pappus para hallar el centroide del semicírculo 22 xry .

3. Verifique el teorema de Pappus en ejercicios de la sección 4.8.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

5.1.- ÁREA.

1. 9 2. 8 3.

4. 5. 9

5.2.- INTEGRAL DEFINIDA.

1.

2. 2

3

31 b 3.

4. 5. 1 6.

7. 8. 9.

10. 0 11. 12. 3

31 a

13. 0 14. 4 15.

18.

20. 22. 0

24.

25. 26.

27. 154

552 6

28. 33.

34.

35.

36.

37. 38.

39.

40. 41.

42.

44. 45. 2

3

32

46.

48. 49.

50.

51. 52.

53.

54. 55.

56.

57. 58.

59. 5 62. 65. 3

66. 67. 5

5.3.- INTEGRALES IMPROPIAS.

5.4.- ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA.

1.

6. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) ñ)

o) p) q) 4

38

35

34

31

127

9112

301

6049

21

398

36

41

12815

2

321

21

32

15128

22e

22ln2 2ln4)2(ln23ln6)3(ln3 22

)4( 2

271 2

105

e

e 121

)( sen 311 2

41 a 2

21 a

209 32)32(ln4

12 )(ln

237

237

31

1522)(ln

154

223

85

9

3 3

831ln4

527

4133ln122ln24 13

101

4

23

51 )(ln

225

253

25

322

29

U.C3

32

U.C6

13 U.C3

32 U.C29

U.C29

3

32 U.C61

U.C61 U.C

322 U.C9

3

32 U.C31 U.C

21

U.C21 U.C2 U.C22

12

37 U.C1621



r) s) t)

u) v) w)

x) y) z)

7. a) b) 24 c)

d) 2 e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) ñ)

o) p) q)

r) s) t)

u) v) 4 w)

x) y)

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 9 15. 30 16.

17.

5.5.- LONGITUD DE ARCO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

2. 5. 6.

7. a) 7)29 b) 7)63 c)

d) e) f)

h)

11. 8.93 m 12. 13.

14. 114.78 m.

15. a) b) 296 c)

d) e) f)

g) h) 45 i) 9

j) k) l)

m) n)

ñ) o) p)

U.C29 U.C

6125

2

9

U.C3624

125 U.C34

U.C383

32 U.C72

3

28

227ln 2ln)(3

3

U.Cln221

3

25

2

2

21 ln10

)52( ee 12 )2(2

3

4

3

4

3

14

2

14ln 2

3

6

11

U.C126

5

3

7

3

16 )2ln1(2

3

8 U.C3

3

6b

a

U.C3

10 U.C1)2( U.C3

32

)1(92

2

2

1 )2(21 e

3

8

)32(ln433

8

310 )137( 2

3

272 2161313

)18282(2438

3

21ln )( 2

12

21 e )1(ln23 2

2

2

3

3

)(arcsen 3 32 )](sen)(sen[5 5

31

541

)11010(278 )361(

158

)18(32 6

133

10

32

)122(21 )(12 cdm 2)21(ln

)12(ln2 )12(ln3ln22 21

)(2 1 ee2

bb ee 2ln

43



r) s) t)

u) v) 1

5.6.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN.

1. 2. .

3. a) c) e)

5.7.- VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.

Eje de giro horizontal.

1. 2. 3.

4. 5.

6.

7. 8. 9.

10. 11.

12.

13. 14.

15. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) ñ)

16. 2

Eje de giro vertical.

17.

18. 19. 20.

21. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

5.8.- CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA.

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,

7. , 8. , 9. ,

10. , 11. , 12. ,

14. , 15. , 17. ,

1633

2884685

240779

3

)10( 23

27 313

)182( 2

3

9

1647 )1010145145(27

U.V8 U.V5

233 U.V301

U.V1556 U.V7

6 U.V)1( 2

2 4 ee

U.V16 U.V8 U.V332

U.V7

128 U.V2

21 U.V5

1

U.V2079 U.V15

416

2

1 30

91 5

117

4ln 43 )1( 2

21 e

4

11 )4(41 )310(

81

103

38

5153

3

64 32261

1021

U.V593 U.V8

U.V15542 U.V

61

32

23 8

52 2

41

10532

)1( 1 e 245 )4ln3(2

32

875 3

1250 27

a32 h

31 a3

1 h32 a3

1 h31

a32 h3

2 a43 h10

3 a83 h5

3

a83 a

53 a4

3 h103 a5

2 h74

ann

)2(21 hn

n)12(2

a41 h10

3 a43 h10

7

a52 h7

3 ann

)2(21 hn

n12

a21 h8

1



19. , 20. ,

21. , 22. , 24. ,

26. , 28. , 29. ,

34. , 35. , 36. ,

40. , 41.

)2()1( 2 a )2()1( 2

96

12 a

a34 h3

4

a)2(32 h)2(3

2 a)-(43

2 h)-(43

2 a2

1 h53

a21 h5

2 a3516 h35

16 a34 a3

4

a5039 h175

39 a45 h40

33 a52 h25

12

1ln212

21

aa

aa

1ln

ln2 1

aa

aaa a8

5



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04 la integral definida

Education