integracion o cuadratura · cuadratura de gauss definición: dada integral generalizada con...
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1
INTEGRACION o CUADRATURA
Puede ocurrir que sea una función continua fácil de integrar
o una función continua difícil o imposible de integrar directamente
o que no conozcamos la función tabulada, solo un conjunto de valores medidos .
Los métodos se basan en que, dada encontrar una familia de funciones
{ } que aproxime a entonces
Usaremos como funciones de aproximación polinomios 1
b
a
dxxfI
)(xf
)(xf
1, nxfn )(xf
)()( fIdxxfdxxffI n
b
a
n
b
a
E f I f I fn n( ) ( ) ( )
Méodos Numéricos
)!1(
1)(
0
nxf i
n
i
i
Si usamos polinomios interpolantes:
b
a
nn
i
in
b
a
dxn
fxxxpdxxf )
)!1(
)()((
1
0
dxfxx
b
a
nn
i
i
)()( 1
0
ibaxxffIn ii
n
i
i
,,)()(0
2
i
ix
Suma de Cuadratura:
coeficientes de cuadratura
nodos de cuadratura
Méodos Numéricos
Regla del Rectángulo
Geométricamente
Corresponde al polinomio de orden 0
Si x0 = a
3
)()( afabIR
),(2
'
2
baab
fER
f(a)
f(b)
a b
0'
0 () xxfxfxf
dxxxfdxxfdxxf 0'
0 ()
2'
2ab
fER
R
b
a
Iafabdxxf )()(
00 xfp
Méodos Numéricos
Regla del Trapecio
• Geométricamente
• Corresponde al polinomio de orden 1
• Si x0=a ,x1=b
4
),(12
''
3
baab
fET
dxxxxxfdxxpdxxf )(()''2
1101
T
b
a
Ibfaf
abdxxf
2)(
f(a)
f(b)
a b
1
01
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxp
!2
))(()('' 10
1
xxxxfxpxf
2
bfafabIT
12
''
3ab
fET
Méodos Numéricos
Regla de Simpson
Corresponde a reemplazar f(x) por el polinomio de orden 2
si x0=a , x1=c =(a+b)/2, x2= b h = (b-a)/2
5
2
0
2
1202
201
2101
200
2010
21
x
x
S dxxfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxI
!3
))()(()(''' 210
2
xxxxxxfxpxf
)()(4)(3
210 xfxfxfh
I S
6
4 bfcfafabIS
45
2880f
ab
45
90
1fhES
Méodos Numéricos
• Es proporcional a la cuarta derivada, ya que el término
del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la
integración del polinomio
• En consecuencia esta regla tiene una precisión de
tercer orden aún cuando usa sólo tres puntos
• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún
cuando se deriva de una parábola
6
Si observamos el error en Simpson:
45
90
1fhES
Méodos Numéricos
2
f(x) x2 x4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen (x) exp(x)
Valor exacto 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389
Trapecio 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389
De Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421
Ejemplos:
7 Méodos Numéricos
Fórmulas de Integración de Newton Cotes
8
)(xpn
Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xi = a+ih, i=0,...,n
si x0 =a , xn = b y h=(b-a)/n.
definimos
b
a
nn dxxpfI )(
Méodos Numéricos
Fórmula Error
Truncamiento
Trapecio
Simpson
3/8
Boole
6 puntos
2
)]()([)( 21 xfxf
ab
6
)]()(4)([)( 321 xfxfxf
ab
8
)]()(3)(3)([)( 4321 xfxfxfxf
ab
90
)](7)(32)(12)(32)(7[)( 54321 xfxfxfxfxf
ab
288
)](19)(75)(50)(50)(75)(19[)( 654321 xfxfxfxfxfxf
ab
)(90
1 )4(5 fh
)(80
3 )4(5 fh
)(945
8 )6(7 fh
)(12096
275 )6(7 fh
Fórmulas de Newton Cotes Cerradas
)(12
1 )2(3 fh
9 Méodos Numéricos
Fórmulas de Newton-Cotes Abiertas
Son aquellas donde alguno de los extremos o ambos no
son nodos de cuadratura, en general no se utilizan para el
cálculo de integrales definidas.
Se usan para evaluar integrales impropias y en la solución
de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ej: Regla del medio punto
10
)2
()(ba
fabdxxf
b
a
),()(
24
''3
2/1 bafab
E
f(a)
f(b)
a b (a+b) / 2
Méodos Numéricos
Fórmulas de Cuadratura Compuesta
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfxffI
1
2
1
1
0
)()(
11
Estas fórmulas , en general no dan buenos resultados si [a,b] es grande, pues el En será grande, a menos que usemos polinomios de grado alto (mal condicionados). Esto lleva a las fórmulas de cuadratura compuesta.
Si
sean n+1 puntos igualmente espaciados: a =x0< x1< x2<… <xn = b
entonces xi = a + ih , h = (b-a)/n
b
a
dxxfI
xi
x
n
ii
dxxf
11
Méodos Numéricos
Regla del Trapecio Compuesta
Aplicamos la regla del trapecio en cada subintervalo
agrupando
el error
12
n
n
i
iTC xfxfxfh
I1
1
0 22
),()),(12
))()((2
()( 1''
3
1
1
iiiiii
n
i
xxfh
xfxfh
fI
n
i
ii
n
i
TC fn
abf
hE
13
33
1
''12
''12
n
f
f
n
i
i 1
''
''
),()(''
12
2
bafhab
ETC
h
abyTC
2
2
Méodos Numéricos
3
bfxfafh
dxxfn
j
j
b
a
1
1
22
x0 = a xn = b
y= f(x)
x1 xj-1 xj xn–1
Teorema: Sea f C2[a, b], n par, h = (b – a)/n, y xj = a + jh
para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla del trapecio para n
subintervalos puede escribirse como:
13 Méodos Numéricos
Regla de Simpson Compuesta
Agrupando términos
14
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfI
2
4
2
2
0
)(
3
4
3
4
3
4 12432210 nnn xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfhI
)24(3
1
1
2
1
120 n
m
i
i
m
i
iS xfxfxfxfh
I
Aplicamos la regla de Simpson en cada subintervalo n>2, n par, n = 2m, xi = a + ih , i = 0, … ,n , h = (b-a)/n = (b-a)/2m
))()(4)((3
( 21222
11
2
22
iii
m
i
x
x
m
i
xfxfxfh
dxxf
i
i
Méodos Numéricos
Regla de Simpson Compuesta
15
m
i
ii
m
i
SC fm
abf
hE
1
4
5
54
5
1 )2(9090
m
f
f
m
i
i 1
4
4
),()(
180
44
bafhab
ESC
hSC
1
Méodos Numéricos
Regla de Simpson Compuesta
16
bfxfxfafh
dxxfn
j
j
n
j
j
b
a
2/
0
12
12/
0
2 423
Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h=(b – a)/n, y xj = a + jh
para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla de Simpson para n
subintervalos puede escribirse como:
x0 = a xn = b
y= f(x)
x2 x2j-1 x2j x2j+1 Méodos Numéricos
Integración sobre intervalos no uniformes
222
1212
101
nnn
xfxfh
xfxfh
xfxfhI
17
Si los datos no son igualmente espaciados, puede aplicarse
la regla del trapecio a cada intervalo y sumar los resultados
hi = ancho del intervalo i-ésimo
Si algunos intervalos consecutivos son iguales, se puede
aproximar la integral usando regla de Simpson.
También se podría hacer una partición uniforme interpolando
con alguna función apropiada
Méodos Numéricos
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
Sirve para mejorar la estimación de la integral utilizando una combinación de estimaciones para distintos valores del paso de integración, h.
Al usar regla del trapecio, para integrandos finitos con derivadas finitas dentro del intervalo de integración vale
,a, b, c ctes no dependen de f(x)
Usando h1 y h2
Sustituyendo,
18
...642 chbhahhII T
)( 122
2
2
1
2
22 hIhI
hh
hhII
222
211 , ahhIIahhII TT
2
22
1
12
hh
hIhIa
2
22211 ahhIahhI TT
con O(h4)
Méodos Numéricos
4
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
21
2
hh
19
Se puede escribir
Si consideramos
122212
1hIhIhII
123
1
3
4hIhII
122
2
1
2
1
1hIhI
hh
hII
Méodos Numéricos
Calcular la integral de
En el intervalo: a = 0, b = 0.8
Ej:
n h I
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688
4 0.2 1.4848
20
5432 400900675200252,0 xxxxxxf
3674.11728.03
10688.1
3
4I
6405.1vI
6235.10688.13
14848.1
3
4I
Méodos Numéricos
Integración de Romberg
Es una generalización de la extrapolación de Richardson,
se genera una estimación de la integral dentro de una
tolerancia de error especificada. La idea es hacer sucesivas
estimaciones para valores de h cada vez mas pequeños y
mejorar las aproximaciones a la integral.
Si hi+1 = hi /2
Forma General:
K = 2,…,j , j = 2,3,4,…n
21
14
4
1
1,11,1
,
k
kjkjk
kj
III
Ij,k-1: integral más exacta
Ij-1,k-1: integral menos exacta
Ij,k: integral mejorada
k: nivel de la integración
Méodos Numéricos
Calcular la integral de
en [0,0.8]
Ej:
n h O(h2) O(h4) O(h6)
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688 1.3674
4 0.2 1.4848 1.6235 1.6405
22
5432 400900675200252,0 xxxxxxf
3674.11728.03
10688.1
3
42,2 I
6405.1vI
6235.10688.13
14848.1
3
43,2 I
Ejemplo:
6405.1)3675.1(15
1)6235.1(
15
163,3 I
Méodos Numéricos
Integración de Romberg
Los sucesivos valores Ij,k se calculan por filas:
I1,1
I2,1 I2,2
I3,1 I3,2 I3,3
I4,1 I4,2 I4,3 I4,4
. … ….. ….. …..
Romberg finaliza cuando 𝐼𝑘,𝑘−1 − 𝐼𝑘,𝑘 < 𝜖, para un 𝜖 >0
23 Méodos Numéricos
Cuadratura de Gauss
24
)()()()()(1
fInxfdxxpdxxffI i
n
i
i
b
a
n
b
a
Méodos Numéricos
5
Cuadratura de Gauss
Definición: Dada integral generalizada con
ω(x)≥0 , si la aproximamos con una suma de cuadratura
diremos que la fórmula tiene grado de precisión m
si es exacta siempre que f(x) sea un polinomio de grado ≤m
Sin perdida de generalidad vamos a considerar integrales con ω(x) = 1 en el intervalo [-1,1], o sea
queremos
En(f) =0 para polinomios del mayor grado posible
En(f) =
25
b
a
dxxfxI )()(
)(1
i
n
i
i xf
1
1
)( dxxf
0)(1
i
n
i
i xf
1
1
)( dxxf
)(1
i
n
i
i xf
Méodos Numéricos
Cuadratura de Gauss
26
1
1
1
1
dx
11
1
1
xxdx
)0(2)(
1
1
fdxxf
)3
3()
3
3()(
1
1
ffdxxf
Méodos Numéricos
En general para n ≥ 3
27
)(1
i
n
i
i xf
1
1
dxx j
1
1
j
x j
22,...,2,01
2
12,...,3,10
njj
nj
Sistema de ecuaciones no lineales
Teorema: Las fórmulas de cuadratura pueden tener
un grado máximo de precisión 2n-1, se obtiene sii los n nodos
xi son los ceros de pn(x), polinomio ortogonal sobre [a,b] y la
fórmula es interpolatoria.
Una vez conocidos los nodos, los αi se calculan
)(1
i
n
i
i xf
nidxxx
xp
xp
b
a i
n
in
i ,...,2,1)(
)(´
1
Cuadratura de Gauss
Méodos Numéricos
Cuadratura de Gauss
En resumen:
Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta para
polinomios de grado 2n-1 si y sólo si:
la fórmula es interpolatoria, y
los nodos son las raíces del n-ésimo polinomio
ortogonal respecto del producto escalar inducido por
ω(x) en [a,b].
28
n
i
ii
b
axfdxxfx
1
)( )( )(
Méodos Numéricos
Fórmulas de Cuadratura de Gauss
29
CUADRATURA INTERVALO F. PESO
Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1
Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2
Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b
Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+) w(x)=xae-x
Gauss-Hermite [a,b]=(- , +)
2
)( xexw
Méodos Numéricos
Podemos hacer cambio de variable, dado un intervalo a,b
cualquiera:
la fórmula de cuadratura será
En este caso:
Cuadratura de Gauss- Legendre
dtabab
tab
fdxxf
b
a
)2
)(22
()(
1
1
n nodos coeficientes
2 0.5773502692 1.0000000000
3 0.7745966692 0.5555555556
0.0000000000 0.8888888889
4 0.8611361159 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
b
a
n
i
ii fEab
xab
fab
dxxf1
)(22
2
)(
30 Méodos Numéricos
6
Llevamos de [0, 0.8] a [-1, 1]
31
5432 400900675200252,0 xxxxxxf
6405.1vI
Ejemplo:
Dada en [0, 0.8]
dtab
tab
fab
dxxf
b
a
)22
()2
()(
1
1
dttfdxxf )2
8.0
2
8.0()
2
8.0()(
1
1
8.0
0
b
a
n
i
ii xfdxxf
1
4.04.04.0)( O sea que
Para n = 2, 3/1ix 8226.13058.15167.02 GI1i,
, Para n = 3, 0,5
3ix9
8,9
5i
,
, 6405.13 GI
Méodos Numéricos
Error para Cuadratura de Gauss
El error para las fórmulas de Gauss
Esto significa que con n puntos podemos integrar
exactamente hasta un polinomio de grado 2n-1.
32
<ba<
dxxwxpn
ffE
b
an
n
)()(
)!2(
)( )( 2
)2(
Méodos Numéricos
Cuadratura de Gauss
- Su mayor ventaja es la eficiencia en el cálculo, el doble
de rápido que las de Newton Cotes
- Además permite calcular integrales con singularidades
- Una limitación de Cuadratura de Gauss es que debe
evaluarse en puntos específicos, es decir que debemos
conocer la función, lo cual muchas veces no ocurre
cuando trabajamos con datos experimentales
- Es difícil de calcular su error
33 Méodos Numéricos