ELSECRETODELA CUADRATURADELCRCULOPedroTomsVela

ISBN:9788499161129 DL:PM11252009 ImpresoenEspaa/PrintedinSpain ImpresoporBubok

ndice Introduccin.....................................................................7

PRIMERAPARTE 1. Elreferentehistrico..................................................11 2. Leonardocuadrelcrculo.......................................19 3. ElHombredeVitruvio................................................23 4. LasclavesenelHombredeVitruvio....................29 5. Elsecreto.......................................................................41 6. Eltringulorectngulo...............................................47 7. Lasolucinlgica..........................................................53 8. ElcuadradodeldibujodeLeonardo.....................63 9. LasolucindeLeonardodaVinci........................71 10. Unasolucinmanual?............................................89 11. Labsquedadelasolucin.......................................97 12. Lasolucindigital..................................................115 13. Lasolucinmatemtica.........................................121

14. OtrasclavesdeldibujodeLeonardo..........127 15. Latriseccindeunsegmento......................133 16. Lacircunferenciatrazadaapartir delcuadrado........................................................139 17. Elsignificadodelasdoscircunferencias detrazado.............................................................147

SEGUNDAPARTE 18. UnmitodelantiguoEgipto.............................157 19. Eldiseodelaspirmides.............................169 20. Losplanosdelaspirmides..........................179 21. LaPirmidedeKefrn.....................................187 22. LaGranPirmidedeKeops............................191 23. Elenigmadelasdospirmides....................201 24. ElSecretodelaCuadraturadelCrculo....209 25. Unareflexinfinal.............................................213 Bibliografa..........................................................217

En este mundo hay problemas que parecen imposiblesderesolver.Noporfaltadesolucin, sinoporfaltadevoluntadparaencontrarla. Con voluntad y acciones solidarias en favor delaspersonasqueenmuchospasesdelmundo padecen enfermedades, hambre, pobreza o injusticias, estas circunstancias deberan dejar deserunproblema.

Introduccin Los secretos mejor guardados son aquellos cuyo contenido y solucin, estn expuestos a la vista o al alcance de cualquier persona y es precisamente por ello, por lo que pasan desapercibidos, porque nadie repara en ellos, o porque nadie los identifica como tales y aunque se intuya la presencia de lo oculto, nicamente los iniciados, aquellos a los que les son trasmitidas las claves o tienen acceso a la explicacin, puedenlograrsucomprensin. El problema de la cuadratura del crculo es un reto de la geometra y del dibujo lineal, del que es probablequepudohabersidoplanteadoenunapoca muy remota, por personas que pertenecan a grupos cerrados que posean gran autoridad y jerarqua, loscualesalcanzaron conocimientosavanzadospara su poca y que fueron considerados como secretos sagradosaloscualessolamentepodranteneracceso las personas elegidas, pertenecientes a grupos de escogidos o de aquellas personas que recibieran una educacin y preparacin adecuadas, necesarias para comprenderlos,guardarlosytransmitirlos. Tratndose de un problema de dibujo lineal, es precisotenerencuentaqueenpocaspasadas,oms bien, hasta fechas recientes, nicamente se disponan deherramientasmuyelementales,comosonlareglay el comps, tanto para hacer los dibujos como para7

tomarlasmedidasyrealizarlosclculos,porcuantola verificacindelosresultadosqueasfueranobtenidos, difcilmentehabranalcanzadonunca,laprecisincon laquesepuedenobtenerenlaactualidad. La utilizacin de herramientas informticas y de programas de dibujo a los que se tiene acceso en la actualidad, ofrecen la posibilidad de tratar esa misma informacincongranprecisinyfiabilidad,tantoenla realizacin de los dibujos, como en la obtencin de medidasapartirdeellosquehacenincuestionableslos clculosylavaloracindelosresultados. Es comnmente aceptado que es un problema imposiblederesolver,conclusinalaquesellegpor la va de la demostracin matemtica; sin embargo, utilizandolasmencionadasherramientasinformticas, lalgicanosharverquestienesolucin,aunqueala vezquedarevidenciadaladificultadparaencontrarla. Decualquierforma,paracomprenderesasolucin lgica, es preciso conocer el secreto de la cuadratura delcrculo,elcualconsistesencillamente,enconocer cmo se trazan un nmero ilimitado de cuadrados de medidas diferentes, a partir de una circunferencia. Comoconsecuenciayporlgica,unoysolounodeesos cuadrados, tendr una superficie igual a la del crculo dado. Enestetrabajonicamentesepretendemostrarlo que parece haberse ocultado tras un enigma, aparentemente sencillo pero a la vez fascinante, porque ha permanecido muy bien guardado, aunque hayaestadoalavistadetodoelmundodurantevarios siglos, como un secreto, en uno de los dibujos ms famososdelaHistoria. 8

Leonardo Da Vinci realiz en el ao 1492, un dibujo enigmtico conocido como El Hombre de Vitruvio,enelqueserelacionalafiguradeunhombre con las figuras de una circunferencia y un cuadrado, perfectamenteencajadoentreellasyquetieneadems, unas anotaciones con las proporciones anatmicas idealesdeaqul. Desde un punto de vista lgico y de una forma elemental, al verificar la existencia de una relacin de proporciones muy definidas y especiales, entre la circunferencia y el cuadrado, el dibujo de Leonardo cobrar la autntica dimensin en todos sus detalles, mostrando cmo se realiz el trazado completo del mismo,locualposibilitarlacomprensindelobjetivo realdelcitadodibujo. Sinduda,habrnsidonumerosaslaspersonasque hayan expresado opiniones referidas al citado dibujo, enelsentidodeafirmarqueenlseocultalasolucin delimposibleproblema. Hasta nuestros das ha llegado este milenario problema,comosideunmitosetratara.Unmitocuyo origen se remonta hasta la poca en que fueron construidas las pirmides de Egipto. Es muy probable que aquellos que las disearon y las construyeron, llegaran a conocer el problema y su solucin, la cual podra encontrarse en las medidas de las dos pirmides ms esbeltas y de mayor perfeccin como las que fueron construidas en la meseta de Gizeh, durante el perodo que dur la extraordinaria cultura egipcia. 9

SetratarapuesdeunSecretoquehapermanecido muy bien guardado durante varios milenios, en un lugar y de una forma inimaginables, al que se accede mediante el dibujo geomtrico, de la circunferencia y del cuadrado...., y con la ventaja de poder utilizar las nuevastecnologasinformticas. Consideradocomoelparadigmadelosproblemas, sedicedetodoaquelloquerepresentaalgomuydifcil oimposiblederesolver,labsquedadelasolucinde la cuadratura del crculo, ha sido abordada desde la ms remota antigedad hasta nuestros das. Sin duda seguir siendo un problema de actualidad, quizs tambin, porque en el fondo se intuye que la solucin existe y de hecho, muchas personas la seguirn buscando. 10

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Elreferentehistrico. El mtico problema de la cuadratura del crculo pudo haber tenido sus orgenes en el antiguo Egipto. Lasnumerosaspirmidesexistentesenaquelpas,son unasconstruccionesextraordinarias,cuyasestructuras geomtricasdestacanporsugrandezaysuperfeccin; adems, muchas de esas pirmides parecen guardar algntipodesemejanzaentreellas,comosisusformas o proporciones respondieran a unos patrones de diseo muy semejantes, an cuando por sus tamaos difieran considerablemente. A lo largo de la historia han causado verdadera fascinacin entre aquellos viajeros que las visitaron, especialmente por las inevitables dudas que suscitan acerca de su finalidad, perosobretodo,enloreferidoalosmediosotcnicas quehabransidoutilizadosparasuconstruccin. Con estos antecedentes, se puede formular al menos una interrogante, referida al hecho de si tan antiguo problema, pudo haber sido enunciado por los constructoresdelaspirmidesdeEgipto. Existe constancia de que el problema de la cuadratura del crculo ya era conocido entre las diferentes civilizaciones de la antigedad. Para los babiloniosylosegipcios,elproblemaconsistaenhallar unaraznexpresableentreelreadeuncrculoylade un cuadrado inscrito o circunscrito. Como ejemplo, es11

muy conocido el llamado Papiro de Rhind, en el cual aparecereflejadoelenunciadodeesteproblema.Segn reconoce su propio autor, un escriba llamado Ahms, dicho papiro fue copiado aproximadamente en el ao 1650 a. de C., de otro papiro al que atribua al menos unos 300 aos ms antiguo. El papiro Rhind es semejanteaunmanualquerecogedeformaelemental, los enunciados y las soluciones de algunos problemas bsicos,sobreconocimientoselementalesdearitmticay geometra, o por ejemplo, sobre cmo realizar clculos para obtener el grado de inclinacin de las pendientes delaspirmides. Pareceoportunoreflejaralgunasdelasreferencias histricas relacionadas con este problema, pues de formageneralizada,aparecenenmuchasdelaspginas webquetratansobreesteproblema,enlasqueadems de reflejar opiniones muy interesantes, establecen diferentespuntosdevistayplanteamientos,oincluso, llegan a representar la solucin al mismo. Las referencias que sobresalen de forma especial, son las quehacenmencinanombresdelaantiguaGrecia. Durante la poca de la Grecia antigua, este problema fue mencionado de forma muy comn entre destacados filsofos y maestros que se dedicaron al estudio de las ciencias y de forma especial a la Geometra.Noresultaraarriesgadopensarquealgunos de los conocimientos cientficos que experimentaron grandes avances en dicha poca, fueron heredados de civilizaciones ms antiguas. Segn recogen diferentes escritos,esunhechoquemuchosyconocidoshombresde ciencia griegos, viajaron a Egipto interesndose por las12

grandiosasconstruccionesyporlaculturadeesatierra y donde probablemente, algunos llegaran a recibir enseanzasdelospropiossacerdotesegipcios. Lageometragriegapresentabaplanteamientosde problemas que fueron clsicos durante esa poca. La triseccindelngulo,queplanteabaelpoderdividirun ngulocualquieraentrespartesiguales.Lacuadratura del crculo, cuyo enunciado consista en encontrar el lado deun cuadrado de igual rea que la de un crculo de radio conocido. La duplicacin del cubo, cuyo enunciado era el de hallar el lado de un cubo de volumen doble que el de otro cubo de lado conocido y del que, segn relat Plutarco, dndole vueltas a este problema, llegaban hasta construir modelos de cubos fsicos. De estos tres problemas, el problema de la cuadraturadelcrculofuesindudaelmsfamosoentre los grandes escritores y filsofos griegos. El postulado comnatodosestosproblemas,eralaimposibilidadde ser resueltos con los recursos comunes de la geometra de la poca, mediante lneas y crculos, o lo que es lo mismo, con la nica utilizacin de una regla y un comps. Hadedestacarselosnombresdealgunosdelosms importantes filsofos y matemticos de la cultura griega,delosqueexistenreferenciasquelosrelacionan con este problema, y de los que posteriormente, sus obras tendran una gran influencia entre destacados personajes de las Artes y las Ciencias durante el Renacimiento. 13

Anaxgoras(sigloVa.deC.)fueunodelosprimeros griegosenplantearelproblemadeconseguir,conelslo uso de la regla y el comps, un cuadrado de igual rea delcrculodado. BrisndeHeraclea(sigloVa.deC.)intentrealizar la cuadratura mediante la inscripcin de polgonos regulares en el crculo, con duplicacin indefinida del nmero de sus lados, dio un paso ms al considerar de forma simultnea los polgonos inscritos y los circunscritos. Hipcrates de Quos (siglo V a. de C.) del que se cuenta que era un comerciante de Atenas que se convirtienunhbilgemetra.Investiglacuadratura del crculo, y aunqueno encontr la solucin, consigui la cuadratura de una clase particular de algunas lnulas, especie de figuras planas limitadas por dos arcos de crculo de radio diferente, con la convexidad haciaelmismolado. Euclides (330275 a.C.) fue autor de los Elementos, un conjunto de trece libros que continan siendo consideradoscomounlibrodeGeometraporexcelencia. Las formulaciones de Euclides sobre la concepcin de una geometra, en la que los problemas se resuelven a travs del trazado de las figuras con la regla y el comps. Trazar una lnea recta desde un punto a otro cualquiera, tiene el significado de que existe una nica recta que pasa por esos dos puntos, cualesquiera que sean. Consideraba que tratar de hallar un cuadrado de rea igual a la del crculo dado, era imposible de resolverconelmtododelareglayelcomps.14

Arqumedes(287212a.C.)inventunmtodopara obtenerelnmeroPI, relacinentrelalongituddeuna circunferenciaysudimetro,conunaaproximacinque utilizparalamedicindepolgonosregulares,inscritos y circunscritos a un mismo crculo. Algunas de sus contribuciones ms importantes en geometra, fueron lascuadraturasdesuperficiesplanasycurvas,tratando de buscar soluciones a problemas como el de la cuadraturadelcrculoyotrasfigurascurvilneas. Durantelapocamedieval,destacalafiguradeun humanistayescritor:RamnLlull(PalmadeMallorca, 12351315) que trat el problema en algunas de sus obras, de una forma expresa y con afirmaciones que parecen sugerir que conoca de alguna forma la solucin. Llull fue un gran erudito en muchos campos del conocimiento de su poca, adems de persona religiosa y viajera, fue considerado tambin como conocedor o estudioso de los secretos de la alquimia. Es muy probable que tuviera acceso a documentos o enseanzas de la antigedad, donde adems de otros, tratabansobreesteproblemayaclsicoensupoca. Lleg a proponer en sus escritos lo que consider comounasolucinpropia,aunquemsbienpareceque se tratara nicamente de formular los planteamientos delproblema,ocultandolaformadeobtenerlasolucin, suponiendoquelahubierallegadoaconocer.Inspirado precisamente en las obras de Euclides, Los Elementos, escribidosmonografasgeomtricas:DeQuadraturae TriangulaturadeCercleyLiberdeGeometraNovaet Compendiosa. 15

En esta ltima obra, aparecen varias series de extraordinarios dibujos, en los que se representan diferentesfigurasgeomtricas. De entre todas las figuras, destacan dos por ser especialmentesignificativas:LaprimeraeslaqueLlull denominafiguraplena,constituidaporuncrculo,un cuadrado y un tringulo que comparten el mismo centro y que, segn el propio autor, tienen la misma rea.

FiguraPlenadeLlull.

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La segunda de las figuras est compuesta por las figuras de un crculo y un cuadrado que comparten el mismo centro y con la expresin quadratura cercle escritaensuinterior.Aparecerepresentadoenotrode los captulos, en el que Llull hace una referencia expresaalasolucindelproblemadelacuadraturadel crculo.

Como se ha comentado, estas dos figuras forman partedeunasseriesdedibujosquehacenreferenciaa este problema, los cuales estn contenidos en el manuscrito 1036, de los fondos de Llull, en la Biblioteca Pblica de Palma. Dicha obra contiene una referencia muy especfica que muestra como el problema de la cuadratura del crculo, segua vigenteFiguradelacuadraturadelcrculodeLlull.

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durante la poca medieval y fue objeto de atencin y estudiodentrodeladisciplinadelaGeometra. Laobraquesecita,juntoconmuchasotrasobras de Ramn Llull, pueden verse en la pgina web de la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliogrfico del MinisteriodeCultura:http://bvpb.mcu.es/ca/catalogo_imagenes/grupo.cmd?p osicion=1&path=11000998&forma=&presentacion=pagina.

En una poca ms reciente destaca la figura de Ferdinand Lindeman (18521939), matemtico alemn quedemostrqueeraimposiblelasolucindelproblema conreglasingraduarycomps,yaqueelnmeroPino esconstruible,porserunnmerotrascendenteyconello llegademostrardicha imposibilidad de la cuadratura delcrculo,ancuandonofueabsolutoensuafirmacin, y lo condicion expresamente postulando "mediante el lgebraoconlasolautilizacindelareglayelcomps. Concertezaquedaevidenciadoquefueronmuchas y destacadas las personalidades que a lo largo de la historia,mostraronsuintersacercadeesteproblema, enlacreenciadepoderencontrarlasolucin,oporque llegaronaconocerla. De entre todas ellas, destaca una por ser todo un smbolodelagenialidad:LeonardodaVinci.

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2 Leonardocuadrelcrculo.

LeonardodaVinci

De entre las grandes personalidades que han destacadoalolargodelaHistoria,enelcampodelas ArtesydelasCiencias,sobresaleconfuerzalafigurade ungenio. Leonardo da Vinci. (14521519). Naci en Vinci, pequeo pueblecito entre Florencia y Pisa. Su vida transcurri entre diversas ciudades y estados en los que residi, como Florencia, Miln, Venecia, Roma y Francia.19

Su formacin artstica abarca numerosos campos: la pintura, la escultura, la arquitectura, la ptica, la geometra, las ciencias naturales, la anatoma y la msica. Una gran parte de sus obras se recogen en diversos documentos llamados Cdices, as como en numerosos apuntes realizados en libretas y hojas sueltas,enlosefectuabalasanotacionesyrealizabalos dibujos,siempredeformamanuscrita. Deentrelosestudiosdedicadosalaarquitecturay la geometra, existen referencias acerca de que el problema de la cuadratura del crculo ocup y preocup a Leonardo, quin no solo estudi formas mecnicas de resolver el problema, sino que llen numerosaslibretasconanotacionessobrecuadraturas". Deexistirlasolucindeesteproblema,sindudaquel fuecapazderesolverlo. Como referente claro y preciso de la mencionada dedicacin,destacaestacitadeAugustoMarinoni: ElproblemadegeometraqueabsorbiaLeonardo interminablemente fue la cuadratura del crculo. A partirde1504enadelante,dediccientosdepginasde sus cuadernos a esta cuestin que fascin a su mentor Pacioli. Mientras que estas investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemticas, Leonardo cre una multiplicidad de complejos y preciososdiseos" En algn momento, Leonardo lleg a declarar haber encontrado la solucin al viejo problema de la cuadratura: 20

La noche de San Andrs encontr la solucin a la cuadratura del crculo, cuando se acababa el candil, la nocheyelpapelenelqueestabaescribiendo;loconclu alalba Leonardo realiz innumerables bocetos y dibujos recogidos en sus famosos Cdices, fruto de estudios y deinvestigaciones,sobretodaslasdisciplinasalasque dedic su inters y atencin, desde la naturaleza y la anatoma humana, hasta la mecnica y la ingeniera militar.Deentretodossusdibujos,destacaunoporque resulta difcil de encuadrar en alguna de dichas disciplinas. Un dibujo que generalmente ha sido relacionado con la arquitectura, pues refleja una parte de las enseanzas que aparecen en la obra del arquitecto romano Vitruvio (siglo I a.C.); sin embargo, tambin aparenta ser un dibujo sobre anatoma humana, pero tambin pudo haber sido realizado por Leonardo con otroobjetivomsespecifico,comoseraelrepresentar enformadeenigmaalgnotroconocimientodemayor trascendencia. EseldibujoconocidocomoElHombredeVitruvio. 21

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ElHombredeVitruvio.

EldibujodeElHombredeVitruvio,parecerealizado como si fuera la representacin de un enigma, ya que contienealavezelproblemaysusolucin.23

El Hombre de Vitruvio es uno de los dibujos ms famosos de la Historia. Fue realizado en 1492, sobre una hoja de papel utilizando una pluma y tinta; tiene unasmedidasde34,3x24,5centmetrosyseconserva enlaGaleradelaAcademiadeVenecia. El dibujo representa la figura de un hombre desnudo, con los miembros superiores e inferiores dibujadosendosposicionesdiferentes,inscritodentro de un crculo y de un cuadrado, trazados de tal forma quelastresfigurasaparecenperfectamenteencajadas entres. Las figuras geomtricas aparentan haber sido trazadas con el nico propsito de enmarcar la figura del hombre y se representan dibujadas con unas medidas adecuadas para dicha finalidad, sin que se presuma la existencia de cualquier otra relacin aparentemente distinta entre ellas. Sin embargo, esa relacin existe y como se ver, est perfectamente definida,aunquemuybiendisimulada. Sobre las partes superior e inferior del dibujo, figuran unas anotaciones que describen el canon de proporciones anatmicas ideales para la figura de un hombre,segnlasdefinaMarcoVitruvioPolin(siglo I a. de Cristo), arquitecto e ingeniero militar romano, cuyos escritos fueron recogidos en su tratado De Architectura, una obra que est compuesta por 10 tomos, referidos a conocimientos sobre la teora y la prcticadelaarquitecturaenlaantigedadclsica,en losquedestacandeformaprimordial,laarmonaenlas proporciones y las medidas que deban guardar todas lasconstruccionesarquitectnicas.

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Comosehamencionado,dichasanotacionesestn distribuidas entre las partes superior e inferior del dibujoyladescripcindesutextoeslasiguiente:

Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre Arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpohumanodelasiguientemanera:Unapalmaesla anchuradecuatrodedos,unpieeslaanchuradecuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la alturadeunhombresoncuatroantebrazos,unpasoson cuatroantebrazosyveinticuatropalmassonunhombre. Estaseranlasmedidasqueusabaensusedificios.Siabre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantndolos hasta que los dedosmediosestnalaalturadelapartesuperiordesu cabeza,elcentrodelosmiembrosextendidosestarenel ombligo y el espacio que comprenden las piernas formaruntringuloequiltero. 25

Textoenlapartesuperior.

Textoenlaparteinferior.

De forma centrada y bajo la lnea inferior que aparece dibujada de forma paralela bajo la figura del cuadradoaparecelafrase: Lalongituddelosbrazosextendidosdeunhombre esigualasualtura. Yacontinuacinelrestodeltexto: La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un dcimo de la altura de un hombre, la alturadelacabezahastalabarbillaesunoctavodela alturadeunhombre,ladistanciaentreelnacimientodel pelo a la parte superior del pecho es un sptimo de la alturadeunhombre,yentrelapartesuperiordelpecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte, la altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuartodelaalturadeunhombre,laanchuramximade26

los hombrosesuncuarto de la alturade un hombre, la distancia entre el codo al extremo de la mano es un quintodeunhombre,yentreelcodoylaaxila,laoctava parte, la longitud de la mano es un dcimo de su estatura; el inicio de los genitales marca el centro del hombre,ladistanciaentrelaplantadelpieylabasede lasrodillaseslacuartapartedelaalturadeunhombre y entre la base de la rodilla y el inicio de los genitales tambinlacuartaparte,ladistanciaentrelabarbillaa la nariz es un tercio de la longitud de la cara, la distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara, la distancia entre el nacimientodelpeloylaorejaesunterciodelalongitud delacara. Aprimeravista,sepuedededucirqueelpropsito delascitadasanotaciones,eseldeexpresarlarelacin deproporcionesquedebenguardarlasmedidasdeuna figurahumanamasculina,conelpropsitodedibujarla odeesculpirla.Noobstante,tambinestnexpresando unarelacindeproporcionesquesepuedentrasladar a las figuras geomtricas del crculo y el cuadrado, ya quealgunasdeellasrelacionanaambas. Conviene sealar que en el texto original de la obra de Vitruvio, hay algunas otras frases que relacionan claramente la figura de un hombre con el crculooconelcuadradoysinembargo,nofiguranen lasanotacionescitadas,aunquesonesaslasrelaciones queprecisamenteutilizLeonardo,reflejndolasenel dibujodeunaformaindudable. 27

Vitruviocitalosiguiente: El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto,si se coloca un hombre boca arriba, consusmanosysuspiesestirados,situandoelcentrodel comps en su ombligo y trazando una circunferencia, estatocaralapuntadeambasmanosylosdedosdelos pies.Lafiguracirculartrazadasobreelcuerpohumano nosposibilitaellogrartambinuncuadrado:sisemide desdelaplantadelospieshastalacoronilla,lamedida resultante ser la misma que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadradosquetrazamosconlaescuadra. Tambin destaca de una forma muy evidente, el hecho de que las proporciones que figuran en dichas anotaciones, aparecen sealadas sobre el dibujo mediante unas lneas o marcas que estn trazadas sobre la figura del hombre. Son aquellas marcas o lneasqueaparecenbajoelcuello,sobrelos hombros, loscodos,lasmuecas,alaalturadelpecho,enelpubis yenlasrodillas. Existen numerosas citas segn las cuales, Leonardo declar haber resuelto el problema de la cuadraturadelcrculo.Tambinesmuyprobableque tuvieraaccesoaconocimientosmuchomsantiguosa su poca, por lo que no resultara aventurado pensar que la solucin de dicho problema, se encuentra de algunaformaocultoenestedibujo. 28

4 Hayproblemasenlosqueparahallarlasolucin,es precisosalirsedeloslmitesquemarcaelenunciadodel propioproblema. Enestecaso,loslmitesaparentanestarmarcados por el propio dibujo. Las dos figuras geomtricas, el crculo y el cuadrado, no estn trazadas al azar para enmarcar en ellas la figura de un hombre desnudo, como a primera vista puede aparentar, sino que guardan entre s una cuidadosa relacin en sus proporciones y son el resultado de un trazado muy definido que se desarrolla en varias fases. Sobre la figura masculina, aparecen sealadas algunas de las proporcionesmediantelasmarcasolneasqueyahan sido mencionadas, algunas de las cuales pueden ser interpretadastambinamododeclaves. La figura de la circunferencia parece enmarcar a todo el dibujo, y est perfectamente encajada con la figura del cuadrado; ambas se cortan entre s en seis puntos diferentes y son tangentes en un punto que se sitaenlaparteinferiordeloqueseraelejevertical imaginario que divide exactamente por la mitad a las citadas figuras. Son estos unos puntos de interseccin queresultancrucialesparacomprenderlafinalidaddel dibujo.29

LasclavesdelHombredeVitruvio.

Cada una de las dos figuras geomtricas tiene un punto como centro y cada uno de los cuales coincide conpuntosperfectamentesealadossobrelafiguradel hombre.Elcentrodelacircunferencia(a),coincidecon el punto dibujado como el ombligo y el centro del cuadrado (b), est sealado con unas marcas sobre la pelvis. Amboscentrosestnmarcadossobreelmismoeje verticalimaginarioqueyasehacitado.Dichoscentros no estn trazados al azar, sino que guardan entre s una distancia que, como se ver ms adelante, est perfectamente definida, como una consecuencia que resulta del desarrollo propio del dibujo, en las diferentes secuencias que han de ejecutarse para su localizacin. Unpocomsabajohayuntercerpunto(c),situado sobreelmismoejeverticalyacitado,exactamenteenel centrodelalneaparaleladibujadabajoelladoinferior delcuadrado.Estepuntoesunareferenciaqueresulta imprescindible para obtener la relacin que guardan entreslasdosfigurasgeomtricas. Los dos puntos (a y b) tienen una transcendencia muyespecial,puessecorrespondenconloscentrosde loquepodrandefinirsecomodoscircunferenciasde trazado. Son dos circunferencias que no aparecen visibleseneldibujo,peroqueresultanimprescindibles para el trazado completo del cuadrado y de la circunferencia, tal como los vemos en el dibujo de Leonardo. Los tres puntos citados, aparecen sealados en la imagensiguiente. 30

En la prctica, ha de considerarse que no son circunferencias en el sentido especfico, sino que su objetivo sera el de obtener y marcar las mediciones que se hacen con un comps, para ir localizando y marcando sucesivamente otros puntos de referencia, precisos en el desarrollo completo de las dos figuras geomtricas, y cuyo trazado se realiza utilizando exclusivamenteuncompsyunareglasingraduar. 31

Loscentrosdeldibujoa,b,yelpuntoc.

Los radios de las dos circunferencias de trazado, son (ac) y (bc) respectivamente, cuyas medidas se relacionan entre s por el punto (c) para obtener el radiodelacircunferenciaqueseveeneldibujo.

Lasdoscircunferenciasdetrazadoysusrespectivosradios.

La distancia desde el centro (a) hasta el punto medio (c) de la lnea inferior, corresponde al radio de laprimeracircunferenciadetrazado,ysufinalidades obtener la medida del lado del cuadrado, mediante unas proporciones especficas en relacin con la medida del radio de dicha circunferencia y que se obtienenconlasolautilizacindeuncomps.32

La proporcin que guarda la medida del radio de esta circunferencia respecto a la medida del lado del cuadradoesde64,esdecir,elradio(ac)multiplicado por6ydivididopor4,dacomoresultadolamedidadel ladodelcuadrado. Es lo mismo que decir que un lado del cuadrado tiene la misma medida que 1,5 radios de la referida circunferencia. En la siguiente imagen se muestra la primera circunferencia de trazado y la proporcin que guarda respectoalladodelcuadrado.

Elladodelcuadradoesiguala1,5radios.

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La medida desde el centro (b) hasta el punto inferior (c), corresponde al radio de una segunda circunferencia de trazado, cuyo propsito, como se ver ms adelante, es precisamente la de obtener o marcar el punto (c). Un punto que ser la referencia que servir para obtener el radio de la circunferencia finaltalcomolavemoseneldibujo.

Laalturadelacabezahastaelfinaldelascostillas es un cuarto de la altura de un hombre. La anchura mximadeloshombrosesuncuartodelaalturadeun hombre.Ladistanciaentrelaplantadelpieylabasede34

Lamedidaquedivideelcuerpoen4partesiguales.

lasrodillaseslacuartapartedelaalturadeunhombre y entre la base de la rodilla y el inicio de los genitales tambinlacuartaparte. Hay que resaltar de esta imagen que la segunda circunferencia de trazado, de radio (bc), pasa exactamente por 8 puntos intermedios, coincidentes conlas4partesigualesenquesedividencadaunode losladosdelcuadrado. Entre las posibles claves que se ocultan en las anotaciones o en las marcas del dibujo, estn las posicionesdiferentesenqueaparecenlosbrazosylas piernas. Unas posiciones que representaran a unos ejesimaginarios:Laposicinencruzrepresentaralos ejes horizontal y vertical, perpendiculares entre s. La posicinenaspa,representaralosejestransversales. Unos ejes dibujados sobre la circunferencia, a la que dividen en ocho partes iguales y podran estar sugiriendolafigurageomtricadeunoctgono. Otras claves son aquellas marcas sobre la figura delhombrequeladividenenocho,seisycuatropartes iguales,respectivamente. Unas divisiones que pueden tener relacin con la medidadelladodelcuadrado.

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La lnea que aparece marcada a la altura de la barbilla, sealara una divisin del cuerpo en ocho partesiguales.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavodelaalturadeunhombre.

Lamedidaquedivideelcuerpoen8partesiguales.

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Bajo la garganta aparece dibujada otra lnea horizontal que seala una divisin del cuerpo en seis partesiguales.

Ladistanciaentrelapartesuperiordelpechoyla partesuperiordelacabeza,esunasextaparte. Sobre el trax y las rodillas, y en sentido vertical enambosantebrazos,figuranlasmarcasquedividenel cuadrado en cuatro partes iguales, tanto en sentido horizontalycomovertical.

Lamedidaquedivideelcuerpoen6partesiguales.

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Con las citadas referencias, se trazan todas las lneasycadaunodelosladosdelcuadrado,quedaran divididos en cuatro partes iguales. El resultado seran los 16 pequeos cuadrados iguales en su interior, tal comoyasehamostradoenunaimagenanterior. Probablemente una de las principales claves que contiene el dibujo, sea la lnea dibujada bajo el lado inferiordelcuadrado,deformaparalelaalmismoycon lamismamedida.Presentaunasmarcasodivisionesen susdosextremosquepodranindicarmedidas. El centro de dicha lnea (c), es el punto de referencia que, como se ha indicado, relaciona los radios de las dos circunferencias de trazado, imprescindibles para sealar el centro y obtener el radiodelacircunferenciatalcomoladibujLeonardo.

Lalneainferiordelcuadradoyelpuntomedio(c).

La citada lnea inferior, presenta adems otros detalles.Estdivididaen4partesiguales,delasquelas delosdosextremosestnsubdivididasasuvezcon6 marcas cada una, lo que trasladado a toda la lnea, indicaraunasubdivisintotalde24marcas. 38

Un antebrazo es la anchura de seis palmas. La alturadeunhombresoncuatroantebrazos.Unpasoson cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Las citadas marcas no parecen corresponder a medidas convencionales, tales como centmetros o milmetros, por lo que sugieren que podra ser algn tipodeescala,ounasimplereferencia. LasanotacionesquerealizLeonardoeneldibujo, no transcriben de forma textual las proporciones humanas tal como las describi el arquitecto Vitruvio, sino que algunos datos fueron aadidos por el propio Leonardo,comolosresaltadosennegrita: Siabretantolaspiernasdeformaquesualtura disminuyaen1/14yextiendelosbrazos,levantndolos hastaquelosdedosmediosestnalaalturadelaparte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estar en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formar un tringulo equiltero.

Detallescomoestos,hacenpensarqueelpropsito del dibujo y de sus anotaciones, tienen objetivos distintosalsimplehechodereflejarunasproporciones del cuerpo humano, por otra parte ya conocidas y atribuidasaVitruvio,parasertransmitidasamodode unasimpleilustracin,sinoquesugierenseralgoms. Leonardo parece transmitir en su dibujo la existencia de unas claves que han de interpretarse convenientemente, para poder llegar a conocer el secreto que parece que se oculta tras el mismo. Un39

secretoquepuedetenerrelacinconelproblemade lacuadraturadelcrculoyquealserobradeungenio, aparece representado en forma de enigma, pues contiene a la vez el problema y las claves para comprenderlasolucin. Leonardo declar haber alcanzado la cuadratura del crculo y es muy comn pensar que la solucin de Leonardo a este enigma geomtrico, se encuentra en el dibujodelHombredeVitruvio. Laprincipalconclusinquesepuedeextraerdelas anotacionesqueLeonardohizoeneldibujo,esquelas proporcionesanatmicasquesealaparalafiguradel hombre, han de trasladarse a las figuras geomtricas, paraestablecerlarelacindeproporcionesqueambas han de guardar y poder llegar a comprender la verdaderaintencinquetrasellasseoculta. De entre todas las posibles claves que se han reflejadoenestecaptulo,algunasresultantansimples que no deberan considerarse como claves por s mismas.Probablementealgunosdetallesoclavesnose hayaninterpretadoadecuadamente,oinclusootrasse habrn pasado poralto.Porello,nicamentesehana tenerencuenta,aquellascuyaexplicacinentradentro delosobjetivosquesepersiguenenestetrabajo. Para dicho objetivo, las claves que se destacan como primordiales son: las dos circunferencias de trazadoylasproporcionesdelasmedidas4624. Unas proporciones con las que resultar posible desentraar el dibujo de Leonardo y descubrir el secretodelacuadraturadelcrculo. 40

5

Elsecreto.El dibujo de El Hombre de Vitruvio, oculta el significado de algunas claves que Leonardo anot sobre el mismo que, convenientemente interpretadas, nos muestran como Leonardo se las ingeni para transmitir de una forma enigmtica, un conocimiento, un secreto que significa la posibilidad de resolver el problemadelacuadraturadelcrculo.Eldibujooculta ese secreto y para llegar a descubrirlo basta con trazar sobre el mismo, algunas de las lneas sugeridas entre las claves que se han descrito en el captulo anterior. Sobre el propio dibujo y con una regla, se trazan dos lneas horizontales, en las dos marcas sealadas sobre la figura humana, a la altura del pecho y a la altura de las rodillas, hasta cortar ambos lados del cuadrado. Dichas lneas se unen entre s y se forma un rectngulo sobre la parte central del cuadrado que tieneunamedidaigualalamitaddelcuadrado. 41

Sobredichorectngulosetrazaunadiagonal(de) formndoseuntringulorectngulo(talcomoaparece sombreadosobrelaimagen). Ambasfigurasquedansobreeldibujotalcomose muestraacontinuacin:

Seguidamenteconuncomps,desdeelcentrodel cuadrado (b) y con un radio igual a la mitad de la hipotenusa(bd)deltringulorectngulo,setrazauna circunferencia.Hayqueresaltarunimportantedetalle, yesquelacircunferenciapasaporloscuatrovrtices delrectnguloolostresdeltringulo.42

Eltringulorectngulosombreadoeslaclave.

Ypasatambinporelpuntomedio(c)situadoen lalneainferiorbajoelladodelcuadrado. Setrazaunanuevalnea(fg),entrelosdospuntos opuestos donde la circunferencia se corta con los dos ladoshorizontalesdelcuadrado.Dichalneaesunejeo dimetro, perpendicular a la hipotenusa (de), con el que los dos lados del rectngulo se cortan en los puntos (h)(i), de forma que dividen dicho eje en cuatropartesiguales. Eltringulorectngulosombreadosobreeldibujo es la clave que muestra el secreto que permitir comprender buscar la forma de resolver el problema delacuadraturadelcrculo. Elsignificadodeesaclave,esmostrarlaformaen que se puede realizar el trazado de un nmero indefinidodecuadradosapartirdeunacircunferencia, y cuyo enunciado se podra definir como sigue: Si desde el vrtice de un eje de una circunferencia, se trazaunalnearectahastacortarelpermetrocircular en un punto opuesto cualquiera y desde dicho punto, setrazaotralneaquepasaporelvrticeopuestodel mismo eje, el resultado es que dichas lneas forman siempreunngulode90grados. Con el trazado de las tres lneas indicadas, se forma siempre un tringulo rectngulo, del que el eje delacircunferenciaserlahipotenusa,lalneatrazada hastacortarelpermetrocircularserelcatetomayor, y la lnea trazada desde ese punto hasta el vrtice opuestodeleje,serelcatetomenor. Si se considera el cateto mayor como lado de un hipottico cuadrado y con un comps se mide y se traslada la misma medida sobre la prolongacin del catetomenor,seobtieneelsegundoladodelcuadrado.43

Con estos dos lados como referencias, resultar muy sencillo completar dicho cuadrado. Siguiendo siempre los pasos tal como han sido detallados, se podrn trazar, a partir de una sola circunferencia, un nmero indefinido de cuadrados, uno de los cuales deber tener necesariamente y por lgica, la misma superficiequeelcrculoapartirdelcualsetraza. Hayqueresaltarqueeltrazadodetodaslaslneas ymarcas,talcomosehansealado,serealizanconla solautilizacindeuncompsyunareglasingraduar. Con el comps se realizan las mediciones que se trasladan para sealar los puntos necesarios, y con la regla se trazan lneas rectas a partir de los puntos previamentemarcados. Observandolasmismaspautas,sepuedenejecutar los dibujos utilizando una herramienta informtica de dibujo,sinnecesidadderealizarningunamedicin. Ante esta interpretacin, cabra expresar muchas interrogantes,acercadesiLeonardopudohabertenido accesoaconocimientos,respectoalaformaderesolver este problema, o si realmente logr resolverlo por s mismoyencontrlasolucin. Lo que s es seguro es que conoci la forma de resolver el problema, aunque por los motivos que tuviera la mantuvo oculta, reflejando tan solo y de un modo enigmtico, un dibujo en el que nicamente representlasclavesparacomprenderlo. Qu razones movieron a Leonardo da Vinci para norevelarunconocimientocomoeste,aparentemente tanelementalyparamantenerloensecreto? Quizs porque no encontr una solucin con la exactitudprecisaparaconsiderarlacomotal?44

Por alguna razn reflej ese conocimiento en forma de enigma, realizando un dibujo que muestra unasclavesquehacenposibledescubriresesecreto, quizs con el aparente propsito de que cualquier personapudieradesentraarloycomprendercmose realizasutrazado,yaqueenrealidad,elfamosodibujo puede ser considerado tambin como la solucin que Leonardodioalproblema. Qurazonesocircunstanciaspudieronexistiren el pasado, para que un conocimiento como este permanecieraocultoconelpasodelossiglos,comosi deunsecretosagradosetratara? Leonardo tuvo acceso a escritos que guardaban secretos y conocimientos de la antigedad, y conoca el peligroquetenarevelaralgunodelossecretosalosque l tuvo acceso, por ello, muchas de sus anotaciones particulares y algunas de sus obras pblicas, estn realizadasenunaclavesecretaquepermiteocultarala vistageneral,lainformacinqueelartistaplasmapara un futuro lector, y que con la clave indicada, podr descifrarensumomento. 45

46

6

Eltringulorectngulo. En este captulo se presenta una serie de dibujos elementales que muestran algunas relaciones que hay entre la circunferencia, el tringulo rectngulo, el rectngulo y el cuadrado, con el nico objetivo de verificar como a partir de la circunferencia se puede obtener un nmero indefinido de cuadrados, con la sola utilizacin de un comps, una regla y sin realizar ningunamedicin. Sedibujauntringulorectngulo(abc)ysobrela hipotenusa (ac), se marca el punto medio con el comps. a

b

c

47

Tomandodichopuntocomocentroyconunradio igualaladistanciahastaunocualquieradelosvrtices del tringulo, se traza la circunferencia que pasa por lostresvrtices.

a

b

c

De la figura as obtenida, se resalta el detalle de que la hipotenusa de un tringulo rectngulo, ser siempre el eje de una circunferencia (ac), cualquiera que sea la medida de sus catetos (ab) (bc). Este detallesingular,aparentementemuysimple,verificael enunciadoexpuestoenelcaptuloanterior. Cualquierlneatrazadadesdeelvrticedeunode susejesodimetros,hastacortarelpermetrocircular enunpuntoydesdedichopuntosetrazaotralneaque paseporelvrticeopuestodelmismoeje,ambaslneas formansiempreunngulode90grados. 48

Continuando con el dibujo anterior, desde el vrtice(b)formadoporlosdoscatetos,setrazalalnea que pasa por el centro de la circunferencia, hasta cortarla en un punto opuesto (d), el cual marca el vrtice por el que se trazan los otros dos catetos opuestos,conelresultadodeunrectngulo.

Elrectngulo.

a

d

b

c

Como se puede deducir de este dibujo, en un rectngulo, cualesquiera que sean las medidas de sus lados, se trazan las dos diagonales, se toma como centro el punto donde se cortan y con un radio igual hasta uno cualquiera de los vrtices, se traza una circunferencia que pasa por los cuatro vrtices del rectngulo. Esta es una caracterstica que se da igualmenteenelcuadrado.49

Continuandoconlafiguradelrectnguloanterior, conelcompssetomalamedidadelladomayor(ba), ysetrasladaalalneaprolongadadelladomenor(bc) conloqueseobtieneelsegundoladodeuncuadrado (ba). Delamismaformaysobrelalneaprolongadadel lado opuesto (ad), se realiza el mismo trazado y se obtiene el tercer lado (ab), completndose el cuadradoconlalneaqueunelospuntos(ba).

Elcuadrado.

a

d

b'

b 50

c

a'

Delresultadofinalcaberesaltarundetallesobrela importanciaquetienelalneaoeje(bd)quesetraza desde el vrtice formado por el tringulo rectngulo, pasaporelcentroymarcaunpuntoopuesto(d)enla circunferencia. Dicho punto (d) es una referencia que resulta imprescindible para completar los lados de cualquier cuadrado, cuando se utiliza nicamente un comps y unareglasingraduar. Deestaformatanelementalsepuedecomprender como se ha de trazar cualquier cuadrado a partir de una circunferencia y uno cualquiera de sus ejes o dimetros. Como conclusin, es importante comentar la relacin que existe entre todas estas figuras geomtricas.Lasfigurasdelcrculo,delcuadradoydel tringulo,enestecasountringulorectngulo,sonlas figuras que fueron mencionadas por personajes que destacaron en el estudio de la Geometra en otras pocasyque,comoenelcasodeRamnLlull,dejaron constancia en alguna forma sobre los conocimientos que tenan acerca del problema de la cuadratura del crculo. 51

52

7

Lasolucinlgica. Aquellos que postularon este milenario problema, sin duda conocieron la forma de resolverlo. De su enunciado debera deducirse que se trata de un problemaesencialmentededibujogeomtrico. En el captulo anterior hemos visto como resulta muysencilloobtenercualquiercuadradopartiendode una circunferencia. Basta con trazar una lnea recta desde el extremo de un eje o dimetro cualquiera, hasta cortar la circunferencia en un punto y desde dicho punto, se traza otra lnea que pase por el punto opuestodelmismoeje.Ambaslneasforman,juntocon elcitadoeje,untringulorectnguloapartirdelcualse construyeunrectnguloouncuadrado. Con este conocimiento tan elemental, el siguiente objetivo consistira en conocer las diferentes formas con las que se puede trazar un nmero indefinido de cuadrados,paraencontraraqulcuyasuperficiehade serigualaladelcrculo,tratandoconelloderesolver el histrico problema, cuya solucin debera ser posible encontrar, cuando menos desde una hiptesis terica. Para demostrarlo de una forma lgica, basta con dibujar a partir de una circunferencia los dos cuadrados muy especficos: El cuadrado inscrito y el circunscrito.53

Para ello, se trazan dos ejes o dimetros de la circunferencia, uno vertical y otro horizontal, ambos perpendiculares entre s. Uniendo los cuatro vrtices de ambos ejes, se obtiene un cuadrado inscrito. A continuacin, con la misma medida de lado que la de losejesodimetros,setrazaelcuadradocircunscrito. El razonamiento resulta ser muy simple: El cuadradoinscritotieneunasuperficieinferioraladel crculo,mientrasqueladelcircunscritoesmayor. En consecuencia y como se muestra en este captulo,desdeelvrticesuperiordelejeverticalhasta cualquier punto situado sobre el permetro circular comprendidoentrelasmedidasdelosladosdeambos cuadrados, se pueden trazar un nmero ilimitado de lneas, cuyas medidas irn aumentando de forma progresiva desde la medida del lado del cuadrado menor, hasta la del mayor. De dicha progresin, con todalgica,almenosunadelaslneasdebertenerla medida que el lado de un cuadrado, cuya superficie serigualaladelcrculodado. Enlossiguientesdibujossemuestracondetalleel trazadodeloexpuesto. 54

1. Se traza una circunferencia y se marcan los puntos por los que se trazan los ejes horizontal y vertical, perpendiculares entre s. Se trazan las lneas queunenloscuatrovrticesdelosejesyseobtieneel cuadrado inscrito cuyo lado tiene la medida (ab) y cuya superficie es, con toda evidencia, inferior a la superficiedelcrculo.

a

b

Lasuperficiedelcuadradoinscritoesmenorquelasuperficiedelcrculo.

55

2.Conlamismamedidaqueeldimetro(ac)como lado, se traza el cuadrado circunscrito, cuya superficie esmayorquelasuperficiedelcrculo.

a

b

c Lasuperficiedelcuadradocircunscritoesmayorqueladelcrculo.

56

3.Sobreelpermetrocircularsituadoentrelosdos puntos sealados como b y c, correspondientes a los extremos de lados del cuadrado inscrito (ab) y los del cuadrado circunscrito (ac), existe una hipottica lnea (ax) que trazada desde el punto superior del eje vertical (a), hasta un punto (x), situado en el citado permetro circular (bc), tendr por lgica, la misma medidaqueelladodeuncuadradocuyasuperficieser igualaladelcrculodado.

a

b

x c

Lasuperficiedeuncuadradoconlado(ax)esigualaladelcrculo.

57

4.Unaveztrazadaesaprimeralnea(ax),quesera el primer lado de un cuadrado, el resto se completara comosigue: Se traza otra lnea desde el punto (x) pasando por el punto (c) prolongndola. Con el comps, se toma la medida del primer lado (xa) y se traslada sobre la prolongacin de la lnea (xc), con lo que se obtiene el segundoladodelcuadrado. Desde el vrtice inferior (x) se traza la lnea que pasaporelcentrodelacircunferencia,hastamarcarun nuevopunto(d)sobrelamisma.

a d

b

90

x c

58

5. Desde el vrtice superior (a) y pasando por el punto (d), se traza la lnea a la cual se traslada con el comps, la misma medida del lado inicial (ax), formandoeltercerladodelcuadrado. Finalmente,seunenlosdospuntosextremosdelos lados anteriores, trazando el cuarto lado, con el que quedacompletadoelcuadrado.

a d

b

x

90 c Elcuadradotrazadoapartirdelcrculo.

59

Conunrazonamientotanelementalcomoeste,se hamostradounahiptesisconlacualelproblemadela cuadratura del crculo, si bien fue demostrado matemticamente que resulta imposible de resolver, aparentementesipuedetenerunasolucingeomtrica que,almenosporlgica,resultaraenteoraposible. Quedarafinalmentepordeterminarcmoodequ forma,sepodrtrazaresaprimeralneadelladodeun cuadrado, cuya superficie habr de ser igual a la del crculo y en consecuencia, debera ser la solucin que resuelvaelproblema.Estoesloqueseplantearenlos prximoscaptulos. Planteado de una forma muy elemental, si por un punto pasan un nmero infinito de lneas rectas, por dospuntosnicamentepasaunalnea. En base a ello y partiendo siempre de un punto conocido(a),situadoenelvrticedeunejecualquiera de una circunferencia, es necesario encontrar un segundopuntoporelquetrazarlalneabuscada.Un punto que deber estar situado a lo largo de la hipottica lnea (ax), o en su prolongacin. Dentro o fueradelcrculo. Lgicamente,paraencontrardichosegundopunto, habr que localizar el trazado de otras dos lneas, rectas o curvas, a partir de otros puntos previamente sealadosenelcrculo,deformaquesecortenentres exactamente en el punto buscado. El nmero de posibilidades que existen para el trazado de esas dos lneasoparaencontrardichopunto,sonprcticamente infinitas. Evidentemente,paraafirmarqueseharesueltoel problema, es necesario conocer de forma previa, el trazado de las lneas que se cortan en ese segundo60

punto, por donde se debe trazar el primer lado del cuadrado, es decir, que una vez se encuentre la solucin, se podr realizar el dibujo cuantas veces se desee, con regla y comps, sin necesidad de realizar ningunamedicin. Algosemejanteaunproblemadeadivinanza.

Imagendelasolucinlgicaalproblemadelacuadraturadelcrculo.

61

62

8

ElcuadradodeldibujodeLeonardo. Conforme la tradicin seala desde Arqumedes, para encontrar los vrtices del cuadrado a lo largo del permetro circular, las operaciones de diseo o trazo, nuncahabrandesermsdetres. Tal como ha quedado reflejado en el captulo anterior, es preciso buscar un segundo punto para, trazarlaprimeralneadelladodeuncuadrado;esesta una operacin que ha de hacerse a partir de otros puntosque son marcados en la circunferencia, de una forma lgica o natural, como por ejemplo, a partir de losejesodeotrassemicircunferencias. Comoyasehahechoconstar,soncasiinfinitaslas formas posibles de realizar un dibujo con estas caractersticas, pero en este primer ejemplo, se va a trazar un cuadrado que guarda una relacin especial de proporciones, con respecto a la circunferencia a partirdelacualsevaatrazar. Sonlasmismasproporcionesquesereflejanenel resultado final del trazado de las figuras geomtricas delfamosodibujodeLeonardo.

63

1.Conelcompssetrazaunacircunferenciaycon la regla se traza una lnea que pasa por el centro, un dimetrooeje;enestesupuestoeselejevertical. Conelcompsalgomsabiertoquelamedidadel radio y desde los puntos superior e inferior de dicho eje, se marca el punto medio a un lado de la circunferencia, desde el cual y pasando por el centro, conlareglasetrazalalneadelejehorizontal. Con la abertura del comps igual a la medida del radio y desde los dos puntos exteriores del eje horizontal, se marcan sobre la circunferencia dos puntos en la parte superior e inferior. Se trazan las lneas que unen dichos puntos entre s y que marcan lospuntosmedios(d1)y(d2),encadaunadelasdos mitadesdelejehorizontal.

d1

d2

Elejehorizontalquedadivididoencuatropartesiguales.

64

2. Desde el punto superior del eje vertical (a), y pasando por el punto medio (d1) del eje horizontal izquierdo,conlareglasetrazaunalneahastacortarla circunferenciaenunpunto(x). Dichalneaeselprimerlado(ax)deuncuadrado. Desde el nuevo punto marcado (x) y pasando por elpuntoinferiordelejevertical(c),setrazaotralnea prolongndolamsalldedichopunto. Desdeelvrtice(x)queformanambaslneas,con elcompssetomalamedidadelprimerlado(xa)yse trasladaalanuevalnea,formandoelsegundoladodel cuadrado.

a

d1

d2

x c

Primerysegundoladosdelcuadrado

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3. Desde el punto inferior del eje vertical (c) y pasandoporelpuntomedio(d2)marcadosobreeleje horizontal derecho, se traza una lnea hasta marcar el puntodondesecortaconlacircunferencia(y). El mismo punto (y) se puede marcar igualmente trazandolalneadesdeelvrtice(x)yquepasaporel centrodelacircunferencia.

a y d1 d2 x c

Lalneadesde(x)pasaporelcentromarcandoelpunto(y).

4. Desde el punto superior del eje vertical (a) y pasandoporelpunto(y)setrazaotralneaprolongada66

ms all de dicho punto, a la cual se traslada con el comps la misma medida del lado inicial (ax), obteniendoaseltercerladodelcuadrado. Finalmente,setrazalalneaqueunelosextremos delosladossegundoytercero,conlacualsecompleta elcuadrado.

a y d1 d2 x c

Elcuadradoquedacompletado.

67

Lasdoslneasquepasanporlospuntosmediosdel eje horizontal (d1 y d2) del dibujo anterior, son parte de un rectngulo que se forma y que tiene la misma proporcin,respectoalacircunferencia,alqueaparece enlasiguienteimagendeldibujodeLeonardo.

ElcuadradodeldibujodeLeonardo.

68

Partiendodeldibujotalcomoquedenelpunto4, setrasladalacircunferenciahastahacerlacoincidircon el mismo centro que el del cuadrado y el resultado es que sta se corta con los lados del cuadrado en 8 puntos, exactamente aquellos que marcan la cuarta partedecadaunodeloslados. Trazando las lneas que unen cada uno de esos ocho puntos, con los puntos de sus lados opuestos, el cuadrado quedar subdividido en 16 pequeos cuadradosiguales.

d1

d2

Lacircunferenciayelcuadradotrazadosdesdeelmismocentro.

69

Larelacindeproporcionesexistenteentreambas figuras,esqueelradiodelacircunferencia,esigualala distancia desde el centro del cuadrado, hasta uno cualquiera de los ocho puntos que marcan una cuarta partedesuslados. El dibujo final resulta tener la misma proporcin que se da entre el cuadrado del dibujo de Leonardo y una de las circunferencias de trazado, cuyo propsito semostrarenelsiguientecaptulo. 70

9

LasolucindeLeonardodaVinci. Y yo cuadro el crculo, excepto una porcin tan minscula como el intelecto sea capaz de imaginar, es decir,comoelpuntovisible. LeonardodaVinciresolvielantiguoproblemade lacuadraturadelcrculo,segnelpostuladooriginal: A partir de un crculo construir un cuadrado que tenga la misma superficie, slo con el empleo de un compsyunareglasingraduar. EldibujodeElHombredeVitruvioaparentaestar hecho con un propsito enigmtico, como si de una adivinanzasetratara,ocuyoobjetivofueraocultaralgo que nicamente aquellos que sepan interpretarlo puedanllegaracomprenderlo. Sin embargo, dicho dibujo representa mucho ms que un enigma que espera ser desvelado: Es una solucin que el genio dio al problema, puesto que continuando el dibujo que vemos de las dos figuras geomtricas, nicamente falta por trazar el cuadrado objeto de la solucin, para lo cual, los puntos necesarios por los que se trazarn las lneas de sus cuatro lados, estn claramente marcados, ya que son algunosdelospuntosenlosquelacircunferenciayel cuadradosecortanentres.71

En este captulo se desarrollan a lo largo de tres fases consecutivas, varias series de dibujos que muestran paso a paso, la forma en que Leonardo da Vincirealizeltrazadodelasdosfigurasgeomtricas, la del cuadrado primero y la circunferencia despus, perfectamente encajadas entre s, de tal forma que se marcan sobre la ltima, los puntos por los que se trazarn las lneas del cuadrado que constituye la solucinbuscada. Las series de dibujos que se representan a continuacin, han sido realizados con un programa informticodedibujoycadaunadelascitadasfases,se realiza mediante la sucesin de circunferencias o lneas, sin ninguna medicin, ya que todos los dibujos seobtienendelamismaformaquesieldesarrollodel dibujo se realizara manualmente, utilizando solo un compsyunaregla. 72

Primerafase. En la primera fase desarrolla el trazado del cuadrado que podemos ver en el dibujo de Leonardo, queseobtieneapartirdeunaprimeracircunferencia de trazado que es la utilizada como punto de partida para obtenerlo de acuerdo con una especial relacin delasproporcionesdeambasfiguras. Unas proporciones que estn basadas en el texto escrito en la parte superior del citado dibujo, donde aparecenclaramentesealadas.Eselprrafoquehace referenciaalaproporcin4624. Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpohumanodelasiguientemanera:4dedosforman 1 palma, 4 palmas son 1 pie, 6 palmas son un codo y 4 codossonlaalturadeunhombre.Y4codosformanun paso,y24palmassonunhombre. Elsignificadoeslaproporcinenlasmedidasque deben guardar los lados del cuadrado, respecto del radio de esa primera circunferencia de trazado. La medida de la suma de los 4 lados del cuadrado tiene queserigualalamedidadelasumade6radiosdela circunferencia. Con la referida proporcin, la medida de un lado delcuadradodebeserigualalamedidadeunradioy medio,oigualalamedidadelastrescuartaspartesdel dimetro. 73

1. A partir de un punto (x) como centro, con el comps se traza una circunferencia y sobre ella un dimetrooejevertical. Para obtener el lado del cuadrado con la proporcin anteriormente referida, se marca el punto medio(h1)delradio,enlapartesuperiordeldimetro, deformaqueladistancia(h1h2)esigualaunradioy medio. Esa es la distancia igual a la medida del lado del cuadradoquesevaatrazar.

h1

x

h2

74

2. Sobre el eje vertical y desde cada uno de los puntos (h1) y (h2), con el comps se marca el punto medio(b)queserelcentrodelcuadrado. Desde dicho punto (b), con el comps, se toma la medida igual a la mitad del lado (bh1), con la cual y desde los puntos externos de ambos ejes, se van marcandosucesivamenteloscuatrovrtices,desdelos cualessetrazanlaslneasqueunensusextremoshasta completarelcuadrado.

h1 x b

h2 Elpunto(b)eselcentrodelcuadrado.

75

Segundafase. Esta fase consiste en localizar el centro de la circunferenciaqueapareceeneldibujodeLeonardo. 3. Una vez se ha trazado el cuadrado, utilizando siempre el comps, se marcan los puntos medios de cada uno de sus lados y a continuacin se marcan los puntos intermedios, de forma que cada uno de los ladosquedendivididosencuatropartes. Setrazanlaslneasqueunendichospuntosconlos opuestos entre s, de forma que el cuadrado quedar subdividido en 16 pequeos cuadrados iguales, tal comosemuestraenlasiguientefigura.

h1

x b

h2

76

4. Con el comps y desde el centro del cuadrado (b),setomacomoradiolamedidahastaunocualquiera delosochopuntosmarcadosenlosladosdelcuadrado. Desdeelcentro(b)setrazaunacircunferencia,la cualmarcaunpunto(c)sobrelaparteinferiordeleje vertical prolongado. Es la segunda circunferencia de trazado. Estenuevopunto(c)marcaladistanciahastauna lnea que si se traza paralela bajo el lado inferior del cuadrado,resultaidnticaalaqueapareceeneldibujo deLeonardo.

h1 x b

h2 c

Lasegundacircunferenciadetrazadomarcaelpunto(c).

77

5.Conelcomps,setomalamedidadelradiodela primeracircunferenciadetrazado(xh2). Desde el punto (c) como centro, se traslada la medida del radio sobre el eje vertical, marcando un nuevo punto (a), situado entre el centro de la circunferenciainicial(x)yelcentrodelcuadrado(b). Estepunto(a)eselcentrodelacircunferenciaque culminaeldibujodeLeonardo,enloreferidoalasdos figurasgeomtricas.

h1 x a b

h2 c Elpunto(a)eselcentrodelacircunferenciafinal.

78

6. El radio se obtiene tomando con el comps la distancia desde (a) hasta el punto (h2) donde el eje verticalsecortaconelladoinferiordelcuadrado. Condichamedida(ah2)setrazalacircunferencia queestangentealcuadradoenelpuntoinferiordeleje vertical y que completa el trazado de las dos figuras geomtricasdeldibujodeLeonardo.

h1 x a b

h2 c Lacircunferenciaconradio(ah2)esladeldibujodeLeonardo.

La imagen final muestra la circunferencia y el cuadrado, las dos circunferencias de trazado y sus respectivosradios.79

Tercerafase. Enestafaseculminaeltrazadodelcuadradocuya superficieesigualaladelcrculodeldibujo. Es la parte que falta para descubrir la que podra serlapistaquedejLeonardoDaVinci,ocultandoun secreto que significa comprender como se puede buscar la solucin al problema de la cuadratura del crculo. El objetivo del dibujo, una vez eliminadas las dos circunferenciasdetrazado,esmarcarloscuatropuntos de interseccin entre la circunferencia y el cuadrado, situadosdeformaopuestaentres,encadaunadelas dosmitadesenquelasdivideelejevertical. Sonlospuntos(d1d2)y(d3d4)). d d3 x a b d1 h2 c LasdosfigurasgeomtricasdeldibujodeLeonardo.

d2

d4

80

7. El trazado del cuadrado final objeto del problema,puedeserrealizadoindistintamentesobrela mitadizquierdaosobreladerecha,yaquenicamente sonnecesariosdosdelospuntosopuestos. Continuando con el trazado, se utilizarn los dos puntos opuestos (d1 d2), por los que se trazan las lneasquehandeformarelcuadradofinal. Para ello, desde el punto superior del eje vertical (d) de la circunferencia, con la regla se traza la lnea hastaelpuntodeinterseccin(d1). Eselprimerladodelcuadrado.

d d2 x a b d1 h2 c Lalnea(dd1)eselprimerladodelcuadrado.

81

8. Desde este punto (d1) y pasando por el punto inferior del eje (h2), se traza una lnea prolongndola msalldedichopunto. Tomandoconelcompslamedidadelprimerlado (d1d),setrasladaaestasegundalnea. Eselsegundoladodelcuadrado.

d d2 x a b d1 h2 c

82

9.Desdeelpunto(d1)ypasandoporelcentrode lacircunferencia(a),setrazaunalneaparamarcarel punto opuesto que coincide con el otro punto de interseccin(d2)entrelacircunferenciayelcuadrado. Desde el punto superior del eje vertical (d) y pasandoporelpuntomarcado(d2),setrazaunalnea prolongada, a la que con el comps se traslada la mismamedidadelprimerlado(dd1).Eseltercerlado delcuadrado. Finalmente,setrazalalneaqueunelosextremos de estos dos ltimos lados, con lo que se completa el cuadradoquetienelamismasuperficiequeelcrculo.

d d x a b d h c ElcuadradotrazadoapartirdeldibujodeLeonardo

83

EldibujodeLeonardoDaVincirepresentalaclave que posibilita encontrar la solucin que resuelve el problemadelacuadraturadelcrculo. Conel trazado del dibujoquedan marcados sobre el crculo los puntos de interseccin con el cuadrado, necesarios para obtener el cuadrado objeto de la solucin.Eselresultadodelensamblajeperfectoentre un cuadrado y un crculo que han sido trazados con unaproporcionalidadperfectamentecalculada. Un trazado que se puede realizar en su conjunto deformamanual,utilizandouncompsyunareglasin graduar.

Fotografadeldibujorealizadomanualmente.

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Medidasdeldibujoyclculos. El dibujo ha sido realizado con un programa informtico, del cual se obtienen unas medidas con granprecisin. El siguiente cuadro refleja dichas medidas y los clculosrealizados.

La circunferencia del ejemplo, tiene un radio de unos6,8centmetros,unamedidaaproximadaaladel dibujo real. Entre los datos figura la medida calculada del lado del cuadrado exacto (121,3808310), cuya superficieseraigualaladelcrculodelejemplo. Lamedidadelladoqueseobtieneconeldibujode Leonardo, difiere tan solo en 0,0976 milmetros respecto a la medida que resultara ser esa solucin matemticaexacta. El porcentaje de error calculado sobre la medida exactadellado,esdeun0,08%pordefecto.

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La diferencia de las superficies calculadas, da un resultado muy apreciable, de unos 24 milmetros cuadrados, demasiado grande como para considerar quefueralasolucindelproblema,delaquenocabra ningunadiscusin. Sinembargo,yaunquelosnmerosnocuadren, sepuedevalorarquelasolucindeLeonardodaVinci, ademsdesergenialeimaginativa,daunresultadode granaproximacin,tantocomoparaconsiderarqueel mismo dibujo realizado de forma manual, fuera una solucinvlida. Esunadiferencianfimasiseconsideraque,tanto eltrazadocomolasmediciones,resultanimposiblesde realizarconlamismaprecisin,enundibujorealizado manualmentesobreunahojadepapel,conunlpiz,un compsyunareglasingraduar. Decualquierforma,laafirmacindequeestanoes la solucin exacta, bsicamente se puede argumentar en razn a que el dibujo haya sido tambin realizado conunprogramainformtico.

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ElsecretodeElHombredeVitruvio.

Elcuadradocompletalasolucindelenigma.

Es un secreto muy bien guardado en un dibujo genial, en el que nicamente faltan por trazar las cuatro lneas de un cuadrado que significa la solucin delenigmaypermitecomprenderlaintencionalidad realdeldibujo. ConseguridadsepodraafirmarqueLeonardoda Vinciconocilasolucin,oqueresolvielproblemade lacuadraturadelcrculo. Sin embargo, nicamente leg para la posteridad undibujoenformadeenigma,yaquerepresentaala vezelproblemaylasclavesprecisasparacomprender lasolucin.87

Hay un ltimo aspecto sobre el que habra que reflexionar: El trazado de las figuras geomtricas, con los pasos que se han desarrollado en este captulo, resulta demasiado complejo como para considerarlo unasolucinpropiamentedicha. Deestosepodradeducirque,siLeonardorealiz numerosos dibujos tal como afirman algunas fuentes, pudo haber encontrado la solucin exacta, la cual no revel,transmitiendoensulugareseconocimientoen un dibujo en forma de enigma, con la intencin de no revelar pblicamente ese secreto, por las razones que tuviera. De la misma forma, tambin se puede considerar la circunstancia opuesta como razn, es decir, que no encontrara una solucin verdaderamente satisfactoria ycuyosresultadoshubieransidoincuestionables. En cualquier caso, una vez se conoce la forma de resolverelproblemayconlaposibilidaddeutilizarlas nuevastecnologasenelcampodeldibujoinformtico, se puede establecer que encontrar la solucin es algo puramente secundario, ya que queda reducido a encontraresaprimeralneaexactaquesindudaalguna existe. Hacer pblico un secreto que ha permanecido muy bien guardado en el maravilloso dibujo de El Hombre de Vitruvio es mostrar un reconocimiento, ms grande si cabe, de la figura de un genio que fue LeonardodaVinci.

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Unasolucinmanual? Sin duda que Leonardo Da Vinci conoci y transmiti el secreto del problema de la cuadratura delcrculo.Algunostestimoniosquehacenreferenciaa sus numerosas obras, manifiestan que dedic mucho tiempo a este problema y realiz numerosos dibujos buscandolasolucin.Comosemostrarmsadelante, puedenserinfinitaslasformasdetrazaruncuadradoa partir de una circunferencia, aunque por lgica, slo unapuedeserlasolucinexacta. La representacin que muestra el dibujo de Leonardo da Vinci, no ha de considerarse como una solucin en s, ya que podra tratarse de una solucin encriptada.Algoascomoqueelobjetivodeldibujo, hubiera sido exclusivamente el de transmitir ese conocimientodeunaformaesotrica,hermtica,oculta para los profanos, mediante la elaboracin de un dibujo con la clara y nica intencin de seguir manteniendo oculto un secreto, dejando a la vez una constanciaevidentedequeconocalaformadebuscar lasolucin. Algunas de las claves que reflej en el dibujo, pueden interpretarse en el sentido de que Leonardo conoci la solucin que l interpret como correcta, o incluso otras muchas con unos resultados que nunca considerquefueranexactos,aunquelofuerandeuna granaproximacin.89

Por otra parte, no ha de descartarse que hubiera tenido acceso a documentos de la antigedad, en los que de forma secreta, recogieran las claves para resolverelproblemaoinclusolasolucinexacta. De cualquier forma, para la valoracin de los resultados que hubiera obtenido de los numerosos dibujos que realiz, habra que tener en cuenta el posiblevalordelaconstantePI,utilizadoensupoca. Como se mostrar ms adelante, a lo largo de siglos fueron conocidos o utilizados, diversos valores para dichaconstante. Se ha de tener en cuenta tambin los mltiples trazados que pueden ejecutarse para buscar la solucin. As, en muchos de los dibujos ejecutados manualmente, con lpiz y sobre papel, tomando las mediciones de forma manual, los resultados que se pueden obtener, resultan en muchos casos casi imposiblesdedistinguirunosdeotros,puestoquelas lneastrazadasparalosladosdelcuadrado,sondetal aproximacin que resultan, al menos de forma visual, coincidentesenlaprctica. La posibilidad de utilizar programas informticos de dibujo, aportan una gran precisin en las medidas, por lo que bajo esa nueva circunstancia, es preciso ratificarque,porlgica,lasolucinexactanicamente hadepoderverificarseutilizandounordenador. Comoyasehareflejado,delosdibujosrealizados por ordenador, se obtienen unos resultados tan precisosqueencontrarlasolucinexacta,seconvierte en una tarea todava ms compleja, debido a que el nmero de opciones diferentes, es prcticamente infinito.90

Por ello y por tratarse de un problema planteado enlaantigedad,probablementehacemilenios,parece lgico partir de la premisa de que para aceptar como vlida una solucin, el dibujo objeto del problema ha deserrealizadodeformamanual. El dibujo cuyo trazado se representa a continuacin, pudo haber sido uno de los muchos realizados por Leonardo de Vinci. Es un dibujo que al ser realizado de forma manual, tras la conclusin del mismo, y tomando las mediciones tambin de forma manual, los resultados que se obtienen son de tal aproximacinquemuybienpodraconsiderarsecomo unasolucinmanual. 1. Utilizando un comps y una regla, se parte de una circunferencia en la que se trazan los dos ejes perpendicularesentres,elvertical,elhorizontal,ylos dos ejes transversales, de forma que la circunferencia quedadivididaenochopartesiguales.

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2. Se trazan las cuatro lneas que formaran un cuadrado inscrito, uniendo los vrtices de los ejes transversales, Sobrelamitadinferiordelladoizquierdodedicho cuadrado, con el comps se marcan los puntos equidistantesparasealarunpuntointermedio(d). Desdeelpuntosuperiordelejevertical,ypasando porelpuntosealado(d),setrazalalneahastacortar lacircunferenciaenelpunto(x). Dichalneaeselprimerladodelcuadrado.

d x

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3. El trazado de los otros tres lados se ejecuta siguiendolosmismospasosqueyahansidodetallados en captulos anteriores. Se traza una lnea desde el punto(x),pasandoporelpuntoinferiordelejevertical, alaquesetrasladaconelcompslamismamedidadel primerlado. Se traza una lnea desde el vrtice (x), que pasa por el centro hasta marcar en la circunferencia el puntoopuesto(y). Desde el punto superior del eje vertical, se traza una lnea pasando por (y), con la misma medida del ladoinicial. Finalmente, se traza la lnea que une los dos extremos de los lados anteriores, completando el cuadrado.

y

d x

Figuradeunasolucin?manual.

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Se trata de un dibujo sencillo y fcil de ejecutar, tantodeformamanualcomoutilizandounordenador. Con el propsito de hacer una valoracin de los resultados comparando los datos tomados de ambos dibujo, se reflejan en primer lugar las medidas y los clculos correspondientes al dibujo realizado por ordenadoryquefiguranenelcuadrosiguiente.

Lamedidadelladodelcuadradoutilizadoeneste dibujo es de 534,6590000 milmetros. La medida calculada del lado del cuadrado cuya superficie resultara igual a la del crculo, es de 534,5898099 milmetros. La diferencia de las medidas entre estos doslados,esdetanslo0,0692milmetros. Es esta una diferencia que resultara imposible distinguirvisualmentesobreelmismodibujorealizado de forma manual, aunque tuviera las mismas medidas (lamedidadelradiodelacircunferenciaesdeunos30 centmetros). El margen de error del lado sobre la medida del ladoexactoesdel0,013%.Ladiferenciadesuperficies s que es muy significativa, de unos 74 milmetros cuadrados.94

Valorando estos resultados se puede deducir que las medidas de los lados del cuadrado obtenido, resultaran imposibles de distinguir de las medidas exactas, sobre el mismo dibujo realizado de forma manual.Estosuponeafirmarque,enotraspocas,este dibujopodrahabersidoconsideradocomolasolucin manualdelproblemaoqueestemismoejemplohabra suscitadosindudadebatesacercadelaexactitudono de sus resultados, basndose en las mediciones poco precisashechasdeformamanual. Estomismosucederahoy,siseprescindieradela utilizacindeherramientasdedibujoinformticopara verificarlosresultados.

Fotografadeldibujorealizadomanualmente.

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Por ampliar el razonamiento de este ejemplo, valorando las medidas tomadas sobre el dibujo manual, dejando constancia de que es evidente que carecendelaprecisinnecesaria,sedesprendequelos resultados de los clculos son muy relativos, ya que ajustandonecesariamentelascifrasdecimales,porla dificultad de precisar ms all de las fracciones de milmetros, stas representaran la solucin del problema,comoreflejaelcuadrosiguiente.

Seplanteapues,unanuevadinmicaparaverificar lasolucindelproblemadelacuadraturadelcrculo. Porunapartedebecuestionarsebuscarlasolucin de forma manual, ya que como se deduce del ejemplo presentado, resulta imposible precisar las mediciones conlaexactitudnecesaria. Enconsecuencia,esunacircunstanciaquesitael problema de la cuadratura del crculo en una dimensin virtual, ya que los resultados dependen de unas cifras decimales tan mnimas que la solucin exacta,yanicamenteserposibleverificarutilizando unordenador. 96

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Labsquedadelasolucin. Enestecaptuloserepresentanalgunosejemplos, tratando de mostrar las innumerables y diferentes formasposiblesdeejecutarlosdibujos,parabuscarla solucin del problema de la cuadratura del crculo. El objetivo ser localizar un segundo punto por el que trazar la primera lnea del lado de un cuadrado, cuya superficiehabrdeserigualaladelcrculo. Engeneralyrespetandoloquesealalatradicin, paraencontrarelprimerpuntoovrticedelcuadrado a lo largo del permetro circular, las operaciones de trazadohabrandeserpocasyelementales. Para ello, los dibujos que se representan a continuacin, aunque hayan sido realizados por ordenador, se ha observado siempre las siguientes condiciones: Noserealizaningunamedicinprevia. Las medidas se toman y trasladan mediante comps, utilizando para esta finalidad el trazado de circunferencias, cuyos radios se obtienen tomando la distancia desde un punto hasta otro, previamente marcados. Los puntos se marcan por la interseccin de dos lneas,rectasocurvas,obientrasladandounamedida tomadaentredospuntos,desdeunpuntoyaconocido aotro.97

Las lneas rectas se trazan entre dos puntos que tambin hayan sido previamente marcados, igual que siseutilizaraunaregla. Para la comprobacin de los resultados, las medicionesdelradiodelacircunferenciaydelladodel cuadrado,serealizantraslafinalizacindelosdibujos. Todos los dibujos se presentan de forma muy esquematizada y con unas explicaciones muy simples, tratando que sean fcilmente comprensibles, con el nico objetivo de mostrar que existen infinidad de posibilidadesdistintas. En la prctica, todas estas condiciones significan que la ejecucin de cada uno de los dibujos, ha de poder ser realizado de forma manual, utilizando un compsyunareglasingraduar. Las medidas de cada uno de los dibujos, con valores representados en milmetros, se muestran en cuadros, en los que se pueden verificar los clculos y losresultadoscorrespondientes. Dibujo1 A partir de una circunferencia, se trazan los ejes vertical y horizontal. Desde los dos extremos del eje horizontalyconlamismamedidadelradio,semarcan con el comps los puntos por los que se traza un hexgono. Sobreunladodelhexgono,opuestoalejevertical, semarcaelpuntomedio(x).

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Desdeelpuntosuperiordelejeverticalypasando por dicho punto (x), se traza la lnea del primer lado delcuadrado. El resto de los lados se trazan igual a como ha quedado reflejado en los ejemplos de captulos anteriores.

x

Losresultadosobtenidosson:

99

De los datos y clculos realizados se hace una breve valoracin explicativa, como referencia general que ser idntica para el resto de los ejemplos que siguen a continuacin y en cuyos cuadros respectivos, debenvalorarselosdatosdelamismaforma. Los datos se toman a escala de milmetros. Con esto, el radio de la circunferencia utilizada sera de unos30centmetros. Lassuperficiesdancomoresultadounadiferencia dealgomsde152milmetroscuadrados. Sin embargo, la diferencia en la medida sobre la longitudexactadelladoquedaralasolucincorrecta, esdetansolo0,14milmetros. El porcentaje de error, sobre la medida del lado obtenidoenesteejemplo,esdel0,0267%. Dibujo2 A partir de una circunferencia, se trazan sus dos ejesycomoeneldibujoanterior,setrazaunhexgono. Desde el punto inferior del eje vertical se traza una semicircunferencia, con el mismo radio que la circunferenciainicial. Desdeelpuntomediodondeelladoizquierdodel hexgono se corta con el eje horizontal, se traza una lneahastaelpuntoinferiordelejevertical. Dicha lnea se corta con la semicircunferencia en unpunto(x). Desdeelpuntosuperiordelejeverticalypasando por dicho punto (x), se traza la lnea que es el primer ladodelcuadrado.100

Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado,delamismaformayaindicada

x

Losresultadosson:

101

Dibujo3

Se traza una circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, quedando dividida en ochopartesiguales. Tomando como centro el punto inferior del eje vertical, se traza una semicircunferencia con radio igualaldelacircunferenciainicial. Semarcaelpuntomediodelarcoformadoporuna de las ocho partes, sobre la parte inferior derecha contiguaalasemicircunferenciadibujada. Setrazaunalneadesdeelpuntoizquierdodeleje horizontal,hastaelpuntomediodelarcosealado. Dicha lnea se corta con la semicircunferencia en unpunto(x). Desdeelvrticesuperiordelejeverticalypasando porelpunto(x),setrazalalneaqueformaelprimer ladodelcuadrado. Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado,delamismaformayaindicada. 102

x

Losresultadosson:

103

Dibujo4 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontalylostransversales.Lacircunferenciaqueda divididaenochopartesiguales. Se traza uno de los lados del octgono, en el cuadranteinferiorizquierda,desdeelejehorizontal. Sobre este lado se traza la lnea que marca su puntomedio.Desdeelmismovrticedelejehorizontal yconlamismamedidadelradioinicial,semarcayse trazalalneaqueseraelladodelhexgono. Se traza una semicircunferencia con centro en el punto inferior del eje vertical y con la misma medida delradio,hastaelpuntodondesecortanlasdoslneas anteriores. Desdeelmismopuntoinferiordelejevertical,se trazaunalneaprolongadayparalelaalejehorizontal. Dicha lnea inferior y la semicircunferencia se cortan en un punto (y), exterior a la circunferencia inicial. Desdeelpuntosuperiordelejevertical,setrazala lnea recta hasta dicho punto (y), que se corta con la circunferenciaenunnuevopunto(x). Lalneatrazadahastadichopunto(x)eslamedida delprimerladodelcuadrado. Con dicha medida se completan los otros tres ladosdelcuadrado,delaformayaindicada. 104

x y

Losresultadosson:

105

Dibujo5 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, de forma que queda divididaenochopartesiguales. Se divide la mitad inferior del eje vertical en tres partesiguales. Desde el punto inferior del eje vertical, se traza una semicircunferencia con el mismo radio que la circunferenciainicial. Desde el punto izquierdo del eje horizontal, se traza una lnea hasta el punto que marca el tercio inferiordeladivisindelejevertical. Dicha lnea se corta con la semicircunferencia en unpunto(x),porelcualydesdeelpuntosuperiordel eje vertical, se traza la lnea del primer lado del cuadrado. Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado,delamismaformayaindicada. 106

x

Losresultadosson:

107

Dibujo6 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontal. Con el mismo radio, desde el punto izquierdo del eje horizontal como centro, se marcan dos puntos sobre la circunferencia, en la parte superior e inferior delamismaysetrazalalneaverticalquelosune,para marcar el punto medio sobre el radio que forma la mitaddelejehorizontal. Desdedichopuntosetrazaunacircunferenciacon radioigualalamitaddelradioinicial.Conesemismo radio y desde el punto izquierdo del eje ya citado, se trazaotracircunferenciaigualalaanterior. Ambas circunferencias se cortan en un punto (x) porelcualydesdeelpuntosuperiordelejevertical,se trazalalneadelprimerladodelcuadrado. 108

X

Losresultadosson:

109

Dibujo7

Se traza una circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, quedando dividida en ochopartesiguales. Se trazan las lneas que unen cada uno de dichas partesformandounoctgono. Se toma la medida del lado del octgono como radio y desde el punto derecho del eje horizontal, se traza una circunferencia que corta dicho eje en un punto. Desde dicho punto y con el mismo radio igual al lado del octgono, se traza una nueva circunferencia quecortaelcitadoejeenunpunto(x). Desdeelpuntosuperiordelejeverticalypasando por el punto (x), se traza la lnea hasta cortar la circunferencia. Dichalneaeselprimerladodelcuadrado. 110

x

Losresultadosson:

111

Como se puede apreciar en estos siete ejemplos, los valores que resultan de las superficies de ambas figuras, verifican unas diferencias muy significativas, demasiado grandes como para ser consideradas unas simplesaproximaciones. De entre los dibujos de los ejemplos, en unos casos, las lneas de los lados de los cuadrados son ligeramenteinferioresalamedidadelalneaquesera elladoexactoyenotros,dichaslneassonligeramente superiores. En consecuencia, el punto que sealara la lnea buscada, se encuentra situado en un espacio del permetro circular extremadamente reducido, an cuandoelnmerodepuntossituadosdentrodedicho espacio,esenteoraindefinido. De la misma forma, el punto donde la lnea buscadacortaelejehorizontal,seencuentrasituadoen unespacioigualmentemuyreducido,marcadoporlas lneasdelosejemplos.Porsealarunareferencia,enel dibujo 5, la lnea del primer lado del cuadrado, pasa porunpuntoaunadistanciade0,1651milmetrosdel puntoporelquepasaralalneaexacta.Eneldibujo6, esadistanciaesde+0,4104milmetros. Sobreelradiodelascircunferenciasutilizadasque en todos los ejemplos es de 301,610 milmetros, la distancia entre los puntos donde las lneas del primer lado,correspondientesalosdibujos5y6secortancon dicho radio, es de 0,5755 milmetros. En esa mnima distanciaseencuentraelpuntopordondehadepasar esa primera lnea que representara la solucin que resuelvaesteproblema.Unpuntoque,comoseveren el captulo siguiente, puede localizarse con un dibujo realizadoporordenador.112

Siloquesecomparansonlasmedidasdeloslados delosdiferentescuadrados,conlamedidaqueserala exacta, las diferencias son tan nfimas que resultan imperceptibles al ojo humano. En el dibujo cuyo resultado es el de mayor aproximacin al que sera el correcto, dicha diferencia es de tan solo 0,08 milmetros,imperceptiblesisecomparaconlamedida del lado del cuadrado que es algo ms de 53 centmetros. Finalmente, la principal conclusin que se puede deducirdelosdibujosquesehanmostrado,esquelas posibilidadesoalternativasqueexistenparabuscarla solucinsonilimitadas,peroigualmenteyenlamisma proporcin, son ilimitadas las dificultades para encontrarla. 113

114

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Lasolucindigital.ElproblemadelaCuadraturadelCrculohadeser planteadocomounproblemageomtrico,dedibujo,yno como un problema matemtico. La utilizacin de clculosaritmticoscomolavaparahallarlasolucin, es la razn por lo que est considerado como un problemaimposiblederesolver,siendoqueelclculose basaenalgorelativo,mientrasquedelpropioenunciado del problema, hay que deducir que se trata de obtener algoabsoluto,esdecir,uncuadrado. Los clculos de las medidas de los dibujos representados en el captulo anterior, muestran que ninguno de ellos es la solucin del problema. Sin embargo, dichos clculos no demuestran que la solucinbuscadanoexista. Para justificar esta afirmacin, basta con ejecutar un dibujo con un programa informtico, cuyo nico objetivoseamostrarqueexistelalnea,conlamedida de los lados de un cuadrado cuya superficie sera exactamenteigualalasuperficiedelcrculo. El dibujo consiste en ir realizando subdivisiones de forma sucesiva sobre la mitad izquierda del eje horizontal,hastamarcarelpuntoexactoporelquese traza la primera lnea del lado del cuadrado buscado, mediante el trazado de sucesivas circunferencias que marcan el punto medio entre otros dos puntos de referencia,deformaqueladistanciaentreesospuntos,115

se va reduciendo progresivamente a la mitad hasta marcarelpuntodeseado. Para ello, se parte de una circunferencia como la del siguiente dibujo, en la que se han trazado un octgono y un hexgono. Se trazan las dos lneas verticales que unen los dos vrtices respectivos de ambas figuras, situados en la parte izquierda, para marcar dos puntos sobre el eje horizontal. La lnea verticalqueunelosvrticesdelhexgono,dividedicho ejeexactamenteporlamitad.

Elpuntobuscadohadelocalizarsesobreelejehorizontal.

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Se marca el punto medio entre las dos lneas verticales y despus, de forma sucesiva, se van realizando nuevas subdivisiones, entre los puntos mediosresultantes,cuyadistanciasevaacortandoala mitadencadaoperacin.

El dibujo ampliado con zoom, muestra el trazado de las sucesivas circunferencias, con las que se van obteniendo los puntos intermedios, y cuyos radios disminuyenalamitadprogresivamente. El nmero de subdivisiones y el sentido con respecto al centro de la circunferencia que es preciso trazar,sonlossiguientes: 4subdivisioneshaciaelcentro. 3hacialaizquierda(direccinopuestaalcentro). 5hacialaderecha. 1hacialaizquierda. 1hacialaderecha. 2hacialaizquierda. 1hacialaderecha.117

Detalledelejehorizontaldondesevanmarcandolospuntosmedios.

En total se han realizado 17 subdivisiones, la ltimadelascualesmarcaelpuntoporelquesetraza la lnea del primer lado del cuadrado (lnea inclinada transversaldelaimagenanterior). El radio de las dos ltimas circunferencias que se han trazado para marcar el ltimo punto intermedio, esde0,0010milmetros. La distancia desde el centro de la circunferencia, hastaelpuntosealadoesde157,6586milmetrosyla distanciadesdedichocentrohastalamitaddelradioes de150,8050milmetros. Una vez obtenido el punto por donde trazar la lnea del primer lado, el resto del cuadrado se ejecuta igualacomosehamostradoencaptulosanteriores. 118

Lasltimassubdivisioneshastamarcarelpuntobuscado.

Lasolucindigital.

Concluidoeldibujo,conlasmedidasdelradiodela circunferenciaydelladodelcuadrado,seobtienenlos resultadosquesemuestranenelcuadrosiguiente.

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Los resultados muestran que las superficies de ambas figuras son iguales. Dado el nmero de decimalesdelaconstantePI,paraajustartodavams elresultadoobtenidodelasuperficiedelcuadrado,de forma que la diferencia fuera de cero sin ningn decimal,seraprecisoqueelprogramainformticode dibujofacilitaralasmedidasconmsde4decimales. Como se ha dicho, esta solucin nicamente puede ejecutarse utilizando un ordenador, por lo que no cumple con el enunciado del problema, ya que a partirdeundeterminadonmerodesubdivisiones,es preciso efectuar mediciones para ir descartando los puntoshastaencontrarelquedalamedidaexacta. Como es evidente, es imposible ejecutar este mismodibujodeformamanual,utilizandouncomps, por lo que el nico propsito del ejemplo, es mostrar que la lnea buscada existe, por lo que encontrar la forma de resolver el problema, se reduce a encontrar ese segundo punto preciso y que pueda realizarse de una forma manual, aunque el resultado habr de verificarseutilizandounordenador.

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Lasolucinmatemtica. Delpropioenunciadodelproblema,sededuceque esunproblemadedibujo,yaqueconsisteeneltrazado dedosfigurasgeomtricas,unacrculoyapartirdel, dibujaruncuadradoquetengalamismasuperficie,es decir, se trata de dibujar dos figuras analgicas o absolutas. Por el contrario para verificar la solucin, es necesariorecurriralademostracinmatemtica,cuyo mtodo consiste en la utilizacin de nmeros y frmulas, o lo que es lo mismo, hay que utilizar valores relativos, es decir, obtenidos a partir de determinadas referencias, de medidas o de clculos, realizados sobre formas geomtricas, lneas o curvas, ladosoradios. La validez del resultado se reduce pues, a la comprobacindevaloresnumricos,esdecir,sernlos nmeros los que determinen el resultado correcto o no,deesteproblema.Elradiodeunacircunferencia,ha de ser medido con una regla milimetrada, para ser transformado en un valor numrico, lo que significa aplicar una referencia relativa, a partir de la cual, juntoconotrovalortambinnumricodelaconstante PI, se relacionan entre s mediante frmulas, con las cuales se obtienen los valores numricos de dicha circunferencia, como por ejemplo su longitud o su superficie.121

Lasmedidastomadasconuncomps,sonmedidas absolutas, analgicas, es decir, tienen la precisin de quepuedensertrasladadasdesdeunospuntosaotros, para marcar distancias equidistantes, o medir unos segmentos para obtener otros iguales. Las medidas tomadas con una regla milimetrada, adolecen de esa precisin,yaqueseajustanamarcaspredeterminadas, de cuyos intervalos es difcil determinar ms valores decimales. Con el comps se puede tomar la medida de un segmento, cuyo valor numrico sera por ejemplo de 10,3764 y trasladar ese mismo valor, con total exactitud a otro segmento, por hacerse de una forma analgica. Por el contrario, con la regla milimetrada resulta imposible realizar la misma operacin con la misma precisin de las diezmilsimas, por hacerse de unaformadigital. Comosemostrarenuncaptulomsadelante,los clculos efectuados con valores numricos, pueden determinar la conclusin de que resulta imposible realizar el dibujo de una circunferencia, a partir de la medida del lado de un cuadrado. Sin embargo, la ejecucin realizada de forma analgica o geomtrica, demostrarquedichodibujosesposible. En el