cuadratura gaussiana
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Método de Cuadratura Gaussiana: Descripción, código Matlab, ejemplos de aplicación.TRANSCRIPT
Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
Contenidos
1 Metodos adaptativosFormulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
2 Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
3 Programacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadraturaCodigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
4 Bibliografıa
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
Formulas de integracion compuestas
Una forma de mejorar la precision de reglas de integracion simples(como Trapecio y Simpson, por ejemplo) consiste en dividir elintervalo de integracion [a, b] en varios segmentos, y aplicar elmetodo a cada una de ellos, obteniendose varias integrales (areas)que se suman despues para obtener la integral en todo el intervalo.
Las ecuaciones resultantes usando esta metodologıa se llamanformulas de integracion de aplicacion multiple o formulas deintegracion compuestas.
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Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
Formulas de integracion compuestas
Una forma de mejorar la precision de reglas de integracion simples(como Trapecio y Simpson, por ejemplo) consiste en dividir elintervalo de integracion [a, b] en varios segmentos, y aplicar elmetodo a cada una de ellos, obteniendose varias integrales (areas)que se suman despues para obtener la integral en todo el intervalo.
Las ecuaciones resultantes usando esta metodologıa se llamanformulas de integracion de aplicacion multiple o formulas deintegracion compuestas.
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Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
Formulas de integracion compuestas
En las formulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes.Esto no es adecuado cuando se integra una funcion en un intervaloque contiene regiones con variacion funcional grande y pequena.
Figura 1: Ejemplo de una situacion donde la integracion compuesta puedeser inapropiada. Un metodo de bajo-orden puede ser usado en [2, 4], pero
un metodo de alto-orden puede ser necesario en [0, 2].
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Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
Formulas de integracion compuestas
En las formulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes.Esto no es adecuado cuando se integra una funcion en un intervaloque contiene regiones con variacion funcional grande y pequena.
Figura 1: Ejemplo de una situacion donde la integracion compuesta puedeser inapropiada. Un metodo de bajo-orden puede ser usado en [2, 4], pero
un metodo de alto-orden puede ser necesario en [0, 2].
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Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Como podemos determinar que tecnica puede ser aplicada en variasporciones del intervalo de integracion, y cuan precisa podemos esperarque sea la aproximacion final?
Si el error de distribucion va a estar distribuido uniformemente, serequiere un paso de menor tamano en las regiones de gran variacionfuncional que en las de menor variacion funcional.
Los metodos adaptativos de cuadratura predicen el grado devariacion funcional y adaptan el tamano del paso a las diversasnecesidades.
Los metodos adaptativos son particularmente populares para incluirseen paquetes de software profesional porque, ademas de ser eficientes,ellos generalmente proveen aproximaciones que estan dentro de unatolerancia especificada.
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Bibliografıa
Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Como podemos determinar que tecnica puede ser aplicada en variasporciones del intervalo de integracion, y cuan precisa podemos esperarque sea la aproximacion final?
Si el error de distribucion va a estar distribuido uniformemente, serequiere un paso de menor tamano en las regiones de gran variacionfuncional que en las de menor variacion funcional.
Los metodos adaptativos de cuadratura predicen el grado devariacion funcional y adaptan el tamano del paso a las diversasnecesidades.
Los metodos adaptativos son particularmente populares para incluirseen paquetes de software profesional porque, ademas de ser eficientes,ellos generalmente proveen aproximaciones que estan dentro de unatolerancia especificada.
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¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Como podemos determinar que tecnica puede ser aplicada en variasporciones del intervalo de integracion, y cuan precisa podemos esperarque sea la aproximacion final?
Si el error de distribucion va a estar distribuido uniformemente, serequiere un paso de menor tamano en las regiones de gran variacionfuncional que en las de menor variacion funcional.
Los metodos adaptativos de cuadratura predicen el grado devariacion funcional y adaptan el tamano del paso a las diversasnecesidades.
Los metodos adaptativos son particularmente populares para incluirseen paquetes de software profesional porque, ademas de ser eficientes,ellos generalmente proveen aproximaciones que estan dentro de unatolerancia especificada.
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¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
¿Como podemos determinar que tecnica puede ser aplicada en variasporciones del intervalo de integracion, y cuan precisa podemos esperarque sea la aproximacion final?
Si el error de distribucion va a estar distribuido uniformemente, serequiere un paso de menor tamano en las regiones de gran variacionfuncional que en las de menor variacion funcional.
Los metodos adaptativos de cuadratura predicen el grado devariacion funcional y adaptan el tamano del paso a las diversasnecesidades.
Los metodos adaptativos son particularmente populares para incluirseen paquetes de software profesional porque, ademas de ser eficientes,ellos generalmente proveen aproximaciones que estan dentro de unatolerancia especificada.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
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1 Metodos adaptativosFormulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
2 Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
3 Programacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadraturaCodigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
4 Bibliografıa
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
El metodo de integracion adaptativa o cuadratura adaptativa basadoen la regla compuesta de Simpson consta de varias etapas:
i) Regla de Simpson:
Suponga que se desea aproximar la integral∫ ba f(x) dx con una
tolerancia especificada ε > 0. El primer paso es aplicar la regla deSimpson con un paso h = (b− a)/2:∫ b
af(x) dx = S(a, b)− h5
90f (4)(ξ) , para algun ξ ∈ (a, b) (1)
donde denotamos la regla de aproximacion de Simpson en [a, b] por
S(a, b) =h
3[f(a) + 4f(a+ h) + f(b)] . (2)
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Figura 2: Representacion del metodo compuesto de Simpson. (Notese que se esta
trabajando con dos subintervalos en [a, b]: [a, a+ h] y [a+ h, b]).
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
ii) Refinamiento:El segundo paso es determinar la exactitud de una aproximacion queno requiera f (4)(ξ). Para hacer esto aplicamos la regla compuesta deSimpson con n = 4 y tamano de paso h/2 = (b− a)/4:∫ b
af(x) dx =
h
6
[f(a) + 4f
(a+
h
2
)+ 2f(a+ h)
+4f
(a+
3h
2
)+ f(b)
]−(h
2
)4 (b− a)180
f (4)(ξ) , (3)
para algun ξ ∈ (a, b).
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Para simplificar la notacion, sea
S
(a,a+ b
2
)=h
6
[f(a) + 4f
(a+
h
2
)+ f(a+ h)
](4)
y sea
S
(a+ b
2, b
)=h
6
[f(a+ h) + 4f
(a+
3h
2
)+ f(b)
]. (5)
La ecuacion (3) puede ser reescrita como∫ b
af(x) dx = S
(a,a+ b
2
)+S
(a+ b
2, b
)− 1
16
(h5
90
)f (4)(ξ) . (6)
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Para simplificar la notacion, sea
S
(a,a+ b
2
)=h
6
[f(a) + 4f
(a+
h
2
)+ f(a+ h)
](4)
y sea
S
(a+ b
2, b
)=h
6
[f(a+ h) + 4f
(a+
3h
2
)+ f(b)
]. (5)
La ecuacion (3) puede ser reescrita como∫ b
af(x) dx = S
(a,a+ b
2
)+S
(a+ b
2, b
)− 1
16
(h5
90
)f (4)(ξ) . (6)
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Figura 3: Regla compuesta de Simpson con n = 4 y tamano de paso
h/2 = (b− a)/4
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
iii) Estimacion del error:El error de estimacion es derivado al asumir que ξ ≈ ξ o, masprecisamente, que f (4)(xi) ≈ f (4)(ξ), y el exito de la tecnica dependede la exactitud de esta suposicion.
Si es exacta, al igualar las integrales en las ecuaciones (1) y (6) seobtiene
S
(a,a+ b
2
)+S
(a+ b
2, b
)− 1
16
(h5
90
)f (4)(ξ) = S(a, b)−h
5
90f (4)(ξ) ,
de modo que
h5
90f (4)(ξ) =
16
15
[S(a, b)− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)]. (7)
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
iii) Estimacion del error:El error de estimacion es derivado al asumir que ξ ≈ ξ o, masprecisamente, que f (4)(xi) ≈ f (4)(ξ), y el exito de la tecnica dependede la exactitud de esta suposicion.
Si es exacta, al igualar las integrales en las ecuaciones (1) y (6) seobtiene
S
(a,a+ b
2
)+S
(a+ b
2, b
)− 1
16
(h5
90
)f (4)(ξ) = S(a, b)−h
5
90f (4)(ξ) ,
de modo que
h5
90f (4)(ξ) =
16
15
[S(a, b)− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)]. (7)
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Al utilizar (7) en la ecuacion (6) obtenemos la estimacion del error:∣∣∣∣∫ b
af(x) dx− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ ≈ 1
16
h5
90f (4)(ξ)
≈ 1
15
∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ . (8)
Esto implica que S(a, (a+ b)/2) + S((a+ b)/2, b) aproxima∫ ba f(x) dx unas 15 veces mejor de lo que concuerda el valor calculadoS(a, b).
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
Al utilizar (7) en la ecuacion (6) obtenemos la estimacion del error:∣∣∣∣∫ b
af(x) dx− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ ≈ 1
16
h5
90f (4)(ξ)
≈ 1
15
∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ . (8)
Esto implica que S(a, (a+ b)/2) + S((a+ b)/2, b) aproxima∫ ba f(x) dx unas 15 veces mejor de lo que concuerda el valor calculadoS(a, b).
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
iv) Criterio de exactitud:Supongamos que especificamos una tolerancia ε > 0 para laaproximacion a la integral en el intervalo [a, b]. Si∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ < 15ε , (9)
por (8) esperamos tener∣∣∣∣∫ b
af(x) dx− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ < ε . (10)
Ası,S
(a,a+ b
2
)+ S
(a+ b
2, b
)es asumido ser una aproximacion suficientemente exacta a
∫ ba f(x) dx.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson
iv) Criterio de exactitud:Supongamos que especificamos una tolerancia ε > 0 para laaproximacion a la integral en el intervalo [a, b]. Si∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ < 15ε , (9)
por (8) esperamos tener∣∣∣∣∫ b
af(x) dx− S
(a,a+ b
2
)− S
(a+ b
2, b
)∣∣∣∣ < ε . (10)
Ası,S
(a,a+ b
2
)+ S
(a+ b
2, b
)es asumido ser una aproximacion suficientemente exacta a
∫ ba f(x) dx.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:
Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].
Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].
Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.
Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =
12ε0 y ε2 =
12ε0, respectivamente.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:
Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].
Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].
Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.
Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =
12ε0 y ε2 =
12ε0, respectivamente.
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Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:
Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].
Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].
Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.
Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =
12ε0 y ε2 =
12ε0, respectivamente.
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Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:
Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].
Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].
Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.
Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =
12ε0 y ε2 =
12ε0, respectivamente.
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Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:
Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].
Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].
Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.
Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =
12ε0 y ε2 =
12ε0, respectivamente.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En el segundo paso consideramos {[a1, b1], ε1}, en primer lugar:dividimos el intervalo [a1, b1] en [a11, b11] y [a12, b12] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε1, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a1, b1] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε1,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a11, b11] y [a12, b12], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε1.
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Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En el segundo paso consideramos {[a1, b1], ε1}, en primer lugar:dividimos el intervalo [a1, b1] en [a11, b11] y [a12, b12] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε1, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a1, b1] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε1,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a11, b11] y [a12, b12], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε1.
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Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En el segundo paso consideramos {[a1, b1], ε1}, en primer lugar:dividimos el intervalo [a1, b1] en [a11, b11] y [a12, b12] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε1, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a1, b1] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε1,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a11, b11] y [a12, b12], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε1.
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Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
Pero en este segundo paso tambien hay que considerar {[a2, b2], ε2}:dividimos el intervalo [a2, b2] en [a21, b21] y [a22, b22] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε2, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a2, b2] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε2,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a21, b21] y [a22, b22], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε2.
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
Pero en este segundo paso tambien hay que considerar {[a2, b2], ε2}:dividimos el intervalo [a2, b2] en [a21, b21] y [a22, b22] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε2, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a2, b2] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε2,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a21, b21] y [a22, b22], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε2.
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
Pero en este segundo paso tambien hay que considerar {[a2, b2], ε2}:dividimos el intervalo [a2, b2] en [a21, b21] y [a22, b22] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).
Si el criterio se verifica con la tolerancia ε2, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a2, b2] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.
Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε2,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a21, b21] y [a22, b22], en un tercer paso con toleranciareducida 1
2ε2.
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En resumen, el segundo paso produce dos, tres o cuatro intervalos:
Produce dos si tanto [a1, b1] como [a2, b2] pasan el criterio, y en estecaso el proceso ha terminado.Produce tres si uno de los dos intervalos de partida pasa el criterio peroel otro no, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2} y {[a3, b3], ε3}, donde ε1 + ε2 + ε3 = ε0 y continuamos elproceso de integracion adaptativa en un tercer paso con los dosintervalos de menor tamano.Y produce cuatro si ninguno de los dos intervalos de partida pasa elcriterio, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2}, {[a3, b3], ε3} y {[a4, b4], ε3}, dondeε1 + ε2 + ε3 + ε4 = ε0 y continuamos el proceso de integracionadaptativa en un tercer paso con los cuatro intervalos.
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En resumen, el segundo paso produce dos, tres o cuatro intervalos:
Produce dos si tanto [a1, b1] como [a2, b2] pasan el criterio, y en estecaso el proceso ha terminado.Produce tres si uno de los dos intervalos de partida pasa el criterio peroel otro no, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2} y {[a3, b3], ε3}, donde ε1 + ε2 + ε3 = ε0 y continuamos elproceso de integracion adaptativa en un tercer paso con los dosintervalos de menor tamano.Y produce cuatro si ninguno de los dos intervalos de partida pasa elcriterio, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2}, {[a3, b3], ε3} y {[a4, b4], ε3}, dondeε1 + ε2 + ε3 + ε4 = ε0 y continuamos el proceso de integracionadaptativa en un tercer paso con los cuatro intervalos.
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En resumen, el segundo paso produce dos, tres o cuatro intervalos:
Produce dos si tanto [a1, b1] como [a2, b2] pasan el criterio, y en estecaso el proceso ha terminado.Produce tres si uno de los dos intervalos de partida pasa el criterio peroel otro no, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2} y {[a3, b3], ε3}, donde ε1 + ε2 + ε3 = ε0 y continuamos elproceso de integracion adaptativa en un tercer paso con los dosintervalos de menor tamano.Y produce cuatro si ninguno de los dos intervalos de partida pasa elcriterio, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2}, {[a3, b3], ε3} y {[a4, b4], ε3}, dondeε1 + ε2 + ε3 + ε4 = ε0 y continuamos el proceso de integracionadaptativa en un tercer paso con los cuatro intervalos.
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Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
En resumen, el segundo paso produce dos, tres o cuatro intervalos:
Produce dos si tanto [a1, b1] como [a2, b2] pasan el criterio, y en estecaso el proceso ha terminado.Produce tres si uno de los dos intervalos de partida pasa el criterio peroel otro no, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2} y {[a3, b3], ε3}, donde ε1 + ε2 + ε3 = ε0 y continuamos elproceso de integracion adaptativa en un tercer paso con los dosintervalos de menor tamano.Y produce cuatro si ninguno de los dos intervalos de partida pasa elcriterio, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2}, {[a3, b3], ε3} y {[a4, b4], ε3}, dondeε1 + ε2 + ε3 + ε4 = ε0 y continuamos el proceso de integracionadaptativa en un tercer paso con los cuatro intervalos.
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
Descripcion del proceso de integracion adaptativa
El termino de error mostrado en (6) muestra que conforme hacemosrefinamientos, el error se reduce en un factor de 1
16 , por tanto elproceso debe terminar en un numero finito de pasos.
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Contenidos
1 Metodos adaptativosFormulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
2 Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
3 Programacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadraturaCodigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
4 Bibliografıa
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
Figura 4: Subprograma en que se lleva a cabo la regla de Simpson en cada uno
de los subintervalos generados por el proceso de integracion adaptativa.
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
Figura 5: Subprograma definido para el proceso de integracion adaptativa.
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Enunciado
Usar el metodo de integracion adaptativa para aproximarnumericamente el valor de la integral definida∫ 40 13(x− x2) exp(−3x/2) dx, con una tolerancia inicial deε0 = 1× 10−5.
Figura 6: Los intervalos de [0, 4] usados en la cuadratura adaptativa.
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Enunciado
Usar el metodo de integracion adaptativa para aproximarnumericamente el valor de la integral definida∫ 40 13(x− x2) exp(−3x/2) dx, con una tolerancia inicial deε0 = 1× 10−5.
Figura 6: Los intervalos de [0, 4] usados en la cuadratura adaptativa.
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Codigo Matlab usado para correr la funcion adapt.m
Figura 7: Codigo Matlab usado en la cuadratura adaptativa.
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Consola de Matlab con resultados
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Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Consola de Matlab con resultados
Figura 8: Salidas de Matlab mostradas en consonla.
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Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura
Bibliografıa
Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
Resultados organizados
Figura 9: Resultados organizados en forma tabular.
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1 Metodos adaptativosFormulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?
2 Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa
3 Programacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadraturaCodigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura
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Bibliografıa
Bibliografıa
Burden, R.L. and Faires, J.D., Numerical Analysis, 9th Ed.,CENGAGE Learning, Boston, 2011.
Chapra, S.C. y Canale, R.P., Metodos numericos para ingenieros, 5taEd., McGraw-Hill, Mexico, 2007.
Mathews, J.H. and Fink, K.D., Numerical Methods Using MATLAB,3th Ed., Prentice Hall, New Jersey, 1999.
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