INTEGRACIÓN NUMÉRICAINTEGRACIÓN NUMÉRICACUADRATURA DE GAUSSCUADRATURA DE GAUSS

Jonattan Morrison Tarquino Aparicio

Cod: 614072002

Métodos NuméricosFundación Universitaria Konrad Lorenz

Cuadratura de GaussCuadratura de Gauss

La cuadratura de Gauss toma como base la misma ecuación de La cuadratura de Gauss toma como base la misma ecuación de integración lineal obtenida por el método de coeficientes integración lineal obtenida por el método de coeficientes indeterminados, trabajada para la regla del trapecio.indeterminados, trabajada para la regla del trapecio.Regla del trapecio: Regla del trapecio:

Regla del trapecio reescrita con coeficientes C0 y C1 Regla del trapecio reescrita con coeficientes C0 y C1

Cuando se trabaja con la regla del trapecio se tiene la Cuando se trabaja con la regla del trapecio se tiene la posibilidad de generar un error considerable en los cálculos posibilidad de generar un error considerable en los cálculos como se puede observar a continuación. como se puede observar a continuación.

Pero, mientras la regla del trapecio trabaja con puntos Pero, mientras la regla del trapecio trabaja con puntos predeterminados o fijos a, b, la cuadratura de Gauss predeterminados o fijos a, b, la cuadratura de Gauss elimina esta restricción y da la opción de evaluar el área elimina esta restricción y da la opción de evaluar el área bajo la curva de una recta que una dos puntos bajo la curva de una recta que una dos puntos estratégicos de la curva a integrar.estratégicos de la curva a integrar.La ventaja de aplicar el método de la cuadratura de La ventaja de aplicar el método de la cuadratura de Gauss es que al tomar puntos estratégicos de la curva, Gauss es que al tomar puntos estratégicos de la curva, se puede determinar el área bajo la línea recta une se puede determinar el área bajo la línea recta une dichos puntos y equilibrar así los errores negativos y dichos puntos y equilibrar así los errores negativos y positivos de integración numérica.positivos de integración numérica.

Una de las ecuaciones de cuadratura más utilizadas es la de Una de las ecuaciones de cuadratura más utilizadas es la de Gauss Legendre.Gauss Legendre.Para determinar esta ecuación se hace uso del método de Para determinar esta ecuación se hace uso del método de coeficientes indeterminados coeficientes indeterminados Antes de describirse el proceso de obtención de la ecuación de Antes de describirse el proceso de obtención de la ecuación de Gauss Legendre, se muestra como se aplica el método e Gauss Legendre, se muestra como se aplica el método e coeficientes indeterminados, para la obtención de la regla del coeficientes indeterminados, para la obtención de la regla del trapeciotrapecioEmpleando: Empleando:

Se ajusta dicha ecuación a la integral de la función constante y = Se ajusta dicha ecuación a la integral de la función constante y = 11Al igual se ajusta la misma a la integral de la función lineal y= xAl igual se ajusta la misma a la integral de la función lineal y= x

Lo anterior se puede visualizar en el siguiente gráfico.Lo anterior se puede visualizar en el siguiente gráfico.

-(b-a)/2

(b-a)/2

-(b-a)/2 (b-a)/2

Evaluando las integrales se tiene que:Evaluando las integrales se tiene que:

Obteniendo de esta manera un sistema de dos ecuaciones con dos Obteniendo de esta manera un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sería.incógnitas cuya solución sería.

Que al reemplazar en: Que al reemplazar en:

Da como resultado la regla del trapecio: Da como resultado la regla del trapecio:

DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE GAUSS LEGENDRE PARA DOS DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE GAUSS LEGENDRE PARA DOS PUNTOSPUNTOS

Lo realizado para la regla del trapecio con coeficientes indeterminados, Lo realizado para la regla del trapecio con coeficientes indeterminados, se hace también para la ecuación:se hace también para la ecuación:

El objetivo de la cuadratura de gauss es determinar las ecuaciones de El objetivo de la cuadratura de gauss es determinar las ecuaciones de la ecuación anterior. Hay que tener en cuenta que a diferencia de la la ecuación anterior. Hay que tener en cuenta que a diferencia de la regla del trapecio, los argumentos x0, x1 no están regla del trapecio, los argumentos x0, x1 no están

fijos en los extraemos del intervalo de integración, sino que son fijos en los extraemos del intervalo de integración, sino que son incógnitas. De lo anterior concluye que es necesario evaluar cuatro incógnitas. De lo anterior concluye que es necesario evaluar cuatro incógnitas y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para incógnitas y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para hacerlo.hacerlo.

Las cuatro condiciones son: Ajustar a las Las cuatro condiciones son: Ajustar a las integrales de una constante, una función lineal tal cual hasta aquí se integrales de una constante, una función lineal tal cual hasta aquí se hizo con la regla del trapecio. Se adiciona la suposición de que también hizo con la regla del trapecio. Se adiciona la suposición de que también ajusta las integrales de una cuadrática y una cúbica.ajusta las integrales de una cuadrática y una cúbica.

Al hacerlo se determinan las cuatro incógnitas que se necesitan y se Al hacerlo se determinan las cuatro incógnitas que se necesitan y se obtiene una ecuación lineal de integración de dos puntos que resulta obtiene una ecuación lineal de integración de dos puntos que resulta exacta para funciones cúbicas.exacta para funciones cúbicas.Las condiciones son:Las condiciones son:

X0 X1

Teniendo entonces: Teniendo entonces:

Que sustituyendo en :Que sustituyendo en : se obtiene:se obtiene:

Que es la ecuación de Legendre de dos puntos.Que es la ecuación de Legendre de dos puntos.

Por supuesto que se ha trabajado límites de integración -1 a 1, Por supuesto que se ha trabajado límites de integración -1 a 1, pero es posible emplear un cambio de variable para llevar otros pero es posible emplear un cambio de variable para llevar otros límites de integración a los límites de -1 a 1.límites de integración a los límites de -1 a 1.

Esto se efectúa al suponer que hay una relación lineal entre una Esto se efectúa al suponer que hay una relación lineal entre una nueva variable xd y la variable original x, de la manera nueva variable xd y la variable original x, de la manera siguiente:siguiente:

Si el límite inferior real de integración es, x = a corresponde a Si el límite inferior real de integración es, x = a corresponde a xd = -1, estos valores se sustituyen en la ecuación anterior tal xd = -1, estos valores se sustituyen en la ecuación anterior tal que:que:

Igualmente el limite real superior es, x = b corresponde a xd = Igualmente el limite real superior es, x = b corresponde a xd = 1, tal que1, tal que

De los dos últimos resultados resulta un sistema de ecuaciones De los dos últimos resultados resulta un sistema de ecuaciones tal que al solucionarlo algebraicamente se obtiene que:tal que al solucionarlo algebraicamente se obtiene que:

Lo inmediatamente anterior se sustituye en Lo inmediatamente anterior se sustituye en

De tal forma que:De tal forma que:

El cual se deriva con respecto a xd obteniéndose:El cual se deriva con respecto a xd obteniéndose:

Las dos últimas ecuaciones sustituyen a x y dx Las dos últimas ecuaciones sustituyen a x y dx respectivamente en la función que se habrá de integrar. Estas respectivamente en la función que se habrá de integrar. Estas sustituciones transforman los límites de integración, pero no sustituciones transforman los límites de integración, pero no cambian el valor de la integral.cambian el valor de la integral.

Ejemplo: Con: Ejemplo: Con:

Evaluar la integral de: Evaluar la integral de:

Entre los límites de integración: x=0 y x=0.8.Entre los límites de integración: x=0 y x=0.8.

Anticipadamente hay que realizar un cambio de variable para Anticipadamente hay que realizar un cambio de variable para que los límites sean de -1 +1. Para ello, sustituimos a = 0 y b que los límites sean de -1 +1. Para ello, sustituimos a = 0 y b = 0.8 en = 0.8 en

Al hacerlo se obtiene: Al hacerlo se obtiene:

Ambas ecuaciones se substituyen en la ecuación original:Ambas ecuaciones se substituyen en la ecuación original:

Para obtener:Para obtener:

Esta ya esta en forma conveniente para poder aplicar la ecuación Esta ya esta en forma conveniente para poder aplicar la ecuación de gauss legendre. La función obtenida se evalúa en:de gauss legendre. La función obtenida se evalúa en:

que es igual a: 0.516741 y en: que es equivalente que es igual a: 0.516741 y en: que es equivalente a: 1.305873a: 1.305873

Por tanto la integral por la ecuación de Gauss es:Por tanto la integral por la ecuación de Gauss es:

Esto posee un error relativo porcentual de 11% Esto posee un error relativo porcentual de 11%

FORMULAS CON MÁS PUNTOSFORMULAS CON MÁS PUNTOS

No solamente existe la ecuación de Gauss para dos puntos, No solamente existe la ecuación de Gauss para dos puntos, existen que también ecuaciones con más puntos que en forma existen que también ecuaciones con más puntos que en forma general seria.general seria.

Donde n = número de puntos. Los valores de las c y las x para Donde n = número de puntos. Los valores de las c y las x para fórmulas de hasta seis puntos se presentan a continuación.fórmulas de hasta seis puntos se presentan a continuación.

Puntos Factor de ponderación Argumentos Error de truncamiento

2C0 = 1.0000000 X0 = -0.577350269

≅f^(4) ξC1 = 1.0000000 X1 = 0.577350269

3

C0 = 0.5555556 X0 = -0.774596669

≅f^(6) ξC1 = 0.8888889 X1 = 0.00

C3 = 0.5555556 X2 = 0.774596669

4

C0 = 0.3478548 X0 = -0.861136312

≅f^(8) ξC1 = 0.6521452 X1 = -0.339981044

C2 = 0.6521452 X2 = 0.339981044

C3 = 0.3478548 X3 = 0.861136312

5

C0 = 0.2369269 X0 = -0.906179846

≅f^(10) ξ

C1 = 0.4786287 X1 = -0.538469360

C2 = 0.5688889 X2 = 0.0

C3 = 0.4786287 X3 = 0.538469360

C4 = 0.2369269 X4 = 0.906179846

6

C0 = 0.1713245 X0 = -0.932469514

≅f^(12) ξ

C1 = 0.3607616 X1 = -0.661209386

C2 = 0.4679139 X2 = -0.238619186

C3 = 0.4679139 X3 = 0.238619186

C4 = 0.3607616 X1 = 0.661209386

C5 = 0.1713245 X5 = 0.932469514

Análisis del error en cuadratura de Análisis del error en cuadratura de GaussGauss

El error se especifíca por: El error se especifíca por:

Donde n = el número de puntos menos uno y es la Donde n = el número de puntos menos uno y es la - ésima derivada de la función, despues del cambio del cambio de - ésima derivada de la función, despues del cambio del cambio de variable con variable con ξξ localizada en algún lugar del intervalo desde -1 a 1. localizada en algún lugar del intervalo desde -1 a 1.

Aunque en algunos casos las ecuaciones de Guass Legendre tienen un Aunque en algunos casos las ecuaciones de Guass Legendre tienen un desempeño regular, en general dichas ecuaciones tienen una desempeño regular, en general dichas ecuaciones tienen una aceptación bastante grande en el cálculo de integrales.aceptación bastante grande en el cálculo de integrales.

Bibliografía:Bibliografía:

Chapra Steven C & Canele Raymond.Métodos numéricos para Chapra Steven C & Canele Raymond.Métodos numéricos para Ingenieros. Tercera Edición. MacGraw-Hill. Mexico. P655-663.Ingenieros. Tercera Edición. MacGraw-Hill. Mexico. P655-663.

GRACIAS