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S NIKOLSKI

FÓRM ULAS DE CUADRATURA

EDITORIAL MIR MOSCÚ

Traducido del ruso por K. P. Medkov

Impreso en la URSS

Ha iicrraucKOM H3bIKe

ISBN 5-02-013786-3 (pyccK.) © Ha,o;aTeJI&CTBO «HayKa»

ISBN 5-03-001539-6 (nen.) © traducción al español, K. P. Medkov, 1990

lndice

Prólogo a la edición española 7

§ 1. Fórmulas de cuadratura más simples . . . . . . . 8 § 2. Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 4. Estimación exacta de aproximación de la fórmula de

cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 5. Constantes numéricas para las fórmulas de cuadra-

tura particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 § 6. Fórmulas de cuadratura complicadas. Estimaciones

de las aproximaciones de arriba para las clases de fun-ciones . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 40

7. Estimaciones para las funciones individuales. Elec-ción de la fórmula de cuadratura . . . . . . . . . . 54

§ 8. Constante x. Precisión de la fórmula de cuadratura 64 § 9. Estimaciones de las fórmulas de cuadratura multidi-

mensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 10. Problemas extremales . . . . . . . . . . . . . . . 77 § 11. Mejor fórmula de cuadratura para la clase wz: 1 (M;

O, m) en el caso de los nudos equidistantes . . . . 95 § 12. Fórmulas de cuadratura en las cuales figuran valores

de las derivadas de la función . . . . . . . . . . . 101 § 13. Fórmula de interpolación de Hermite . . . . . . . 104 § 14. Problema extrema! general . . . . . . . . . . • . . 108 § 15. Polinomios de Chébishev de desviación mínima del cero 129 § 16. Polinomios de desviación mínima del cero en la mé-

trica Lp . • • . . . • . . . . • . • . . . . . . . 134 § 17. Polinomios de Legendre. Fórmula de cuadratura de

Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Complemento. Sobre nuevos resultados referentes a los pro-

blemas extremales de la teoría de cuadraturas 146 § C.1. Minimización de la norma de una función polinomial

a trozos . . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . 149 § C.2. Resultados obtenidos por estimación del resto en

las funciones que reducen a cero la suma cuadrática 198

5

§ C.3. Fórmulas de cuadratura óptimas con nudos fijos para la clase wr L 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 226

§ C.4. Sobre resultados posteriores referentes a los proble-mas extremales de la teoría de cuadraturas . . . . 240

Bibliografía para el Complemento . 283 lndice alfabético . . . . . . . . . . . . 292

Prólogo a la edición española

En la parte básica del libro se introduce el concepto de fórmula de cuadratura (aproximación de una integral definida mediante sumas finitas). Se ofrece en la misma el método general para obtener estimaciones de las fór­mulas de cuadratura para diferentes clases de funciones difere'nciables que se encuentran habitualmente en la prác­tica. Desde este punto de vista se analiza una serie de conocidas fórmulas de cuadratura clásicas. Al mismo tiempo, para ciertas clases de funciones diferenciables se resuelve el problema de búsqueda de las mejores fórmulas de cuadratura para dichas clases.

Tal fue el libro en su primera edición (1958, Moscú, N aúka). Resultó útil para amplios círculos de científi­cos, ingenieros y técnicos que tratan con cálculos aproxi­mados. Dio también cierto impulso al desarrollo de las investigaciones matemáticas puras que tienen por objeto satisfacer las necesidades del análisis aplicado, especial­mente allá, donde surgen problemas de optimización de la aproximación.

Se hizo natural que en las ediciones posteriores se re­suman los nuevos resultados esenciales obtenidos por los matemáticos en este campo.

Es por eso que, a partir de la segunda edición, el li­bro se acompaña del Complemento de N.P. Korneichuk quien junto con sus alumnos hizo un aporte considerable al desarrollo de los problemas extremales de la teoría de cuadraturas.

El libro se editó cuatro veces en ruso. La primera edi­ción fue traducida al inglés por dos editoriales (Delhi, 1964; Berkshire, 1966), como también a la lengua romana (1964, Bucuresti).

Por primera vez el libro se edita en español. Espera­mos que tendrá éxito también entre los matemáticos e ingenieros de los países de habla española.

S. Nikolski

7

§ 1. Fórmulas de cuadratura más simples

Supóngase que se pide calcular aproximadamente una integral definida en el segmento [a, b} de cierta función continua y positiva f (x).

La expresión aproximada muy simple de la integral es la magnitud del área del rectángulo en el cual la base

!/

,J 1 1 ll!É. l .,. .r: z a

fig. 1

es el segmento [a, b} y la altura, la ordenada f ((a + b)/2) del gráfico de la función f (x) en el punto medio (a + b)/2 del segmento citado (fig. 1).

Hemos obtenido, pues, la aproximada fórmula de cua-dratura o fórmula de integración numérica

b

~ f(x)dx~qb-a)f( ªtb ), (1.1) a

que tiene sentido para cualquier función continua no for­zosamente positiva.

Aquí el miembro izquierdo es igual al derecho, si f (x) es una función lineal arbitraria Ax + B, donde A y

8

B son constantes. Con este motivo diremos que nuestra fórmula de cuadratura aproximada es exacta para cual­quier función f (x) que representa una función lineal ar-bitraria.

Hemos examinado la más simple fórmula de cuadratu­ra de los rectángulos. Un tanto más compleja es la fór- · mula de los trapecios. Si se trata de una función positiva f (x), la fórmula se reduce a que la integral definida se sustituye por un número que es igual al área del trapecio,

!/ ~B

1 1 Da ); )lo:C

fig. 2

de cuyos lados sirven el segmento [a, b} del eje Ox, los segmentos de las rectas x = a y x = b, y la cuerda AB del gráfico de la función (fig. 2).

De este modo, la fórmula de cuadratura de los trape-cios representa la siguiente expresión aproximada:

b

~ f (x) dx ~ ~ (b- a) [f (a)+ f (b)], (1.2) a

que tiene sentido para una función continua arbitraria (no forzosamente positiva).

La fórmula de cuadratura de los trapecios (1.2), al igual que la fórmula de los rectángulos, es exacta para to­das las funciones lineales y = Ax + B, cuyos gráficos representan toda clase de rectas.

Por fin, examinemos una fórmula de cuadratura más que es de amplia aplicación en la práctica, a saber, la fórmula de Simpson. En el caso de una función positiva ella se reduce a que la integral definida se expresa apro-

9

ximadamente por el área de una figura limitada por el segmento [a, b] del eje Ox, las rectas x = a, x = by por la parábola de segundo orden que pasa por los puntos del

!/ !f=f{.r)

ul a # ); .,.. :e

fig. 3

gráfico de la función f (x) que tienen por abscisas a, (a + + b)/2 y b (fig. 3).

Esta fórmula tiene por expresión b

~ f (x) dx ~ b-;;a [Ha)+ 4/ { ªtb ) + flb) J. (1.3)

a

Analizando el procedimiento según el cual se obtiene la fórmula de Simpson podemos deducir directamente que la fórmula es exacta para todos los polinomios

P 2 (x) = a0 + a1x + a2x2 (1.4)

de segundo grado. Los gráficos de estos polinomios re­presentan toda clase de parábolas de segundo orden cuyos ejes son paralelos al eje Oy.

Más aún, se conoce bien que la fórmula de Simpson es en realidad mejor todavía: es exacta no sólo para los poli­nomios de segundo grado, sino también para todos los polinomios

P 3 (x) = a0 + a 1x + a2x2 + a3x3

de tercer grado. En efecto, podemos representar el polimonio P 3 en la

forma P 3 (x) = P 2 (x) + a3x3 ,

10

donde P 2 (x) se define por la igualdad (1.4). Entonces b b b

~ P 3 (x) dx= ~ P 2 (x}dx+a3 ~ x3 dx= a a a

b

= ~ P 2 (x) dx+ ª¡ (b4 -é). a

Pero, ya sabemos que b

\ b-a [ { a+b ) J j P 2 (x) dx=-6 - P 2 (a) +4P2 - 2 - +P2 (b) . a

Por otra parte, la magnitud ¡ (b'• - é) puede escribir­se formalmente del modo siguiente:

ª43 (b4 -a4)=b-6 ª[(a3x3)x=a+4(aax3) _a+b+(aax3)x=bl· . X- 2 J

De aquí proviene la igualdad b

~ P 3 (x) dx= b 6 ª [P3 (a)+4P3 { ªtb )+P3 (b)J. a

Hemos examinado tres fórmulas de cuadratura. Las primeras dos de ellas, es decir, las fórmulas de los rectán­gulos y de los trapecios son exactas para los polinomios de primer grado. La tercera fórmula, la de Simpson, es exacta para los polinomios de tercer grado.

Nos limitemos a estos ejemplos concretos. Diremos solamente que puede construirse una infinidad de fórmulas de cuadratura que sean exactas para todos los polinomios

Pm (x) =a0 +a1x+ a2x2 + ... + amxm

de cualquier grado m prefijado de antemano. Para obtener tales fórmulas pueden servir los clásicos polinomios interpoladores de Lagrange.

Definamos en el segmento [a, b] un sistema arbitrario de m + 1 puntos

a:::;;;x0 <x1 < ... <xm:::;;;b,

11

que se llamarán nudos, y planteemos un problema: cons­truir un polinomio de m-ésimo grado P m (x) que en los puntos mencionados coincida con la función dada f (x). Se requiere, de este modo, que se verifiquen simultánea­mente las igualdades

f (xk) = Pm (xk), k = O, 1, .. ., m.

Según se sabe, el polinomio buscado, que lleva el nombre de Lagrange, será único y se expresará por la si­guiente fórmula:

m

P m (x) = ~ Q'/:i) (x) f (xk), k=O

donde Q~) es un polinomio de grado m:

Q~) (x) = (x-x0) (x-x1) ... (x-x1<_1) (x--,-x11+1) ... (x-xm)

(xk-xo) (xk-x1) ••• (xk-xk_1) (xk-xk+l) ... (xk-Xm) '

k=O, 1, . . . , m.

En la fig. 4 van expresados esquemáticamente los grá­ficos de la función f (x) y de su polinomio interpolador

!/

1 1 1 1 1 1 )lr,Z-p a=:c11 :ft ;r;z :r:.r ~=b

fig. 4

de Lagrange de cuarto grado que coincide con f (x) en cinco puntos equidistantes del segmento [a, b].

El polinomio interpolador de Lagrange puede servir para obtener la fórmula de cuadratura que sea exacta para los polinomios de grado m. Efectivamente, como la ex-

12

presión aproximada de la integral definida en el segmento la, b] de una función f (x) puede tomarse la integral defi­nida en dicho segmento del polinomio Pm (x) que inter­pola la función f (x). Como resultado tenemos

h b m b

~ t (x) dx ~ ~ p m (x) dx = ~ t (xh) ~ o<:.> (x) dx, a a k=O a

o bien b m

~ f (x) dx ~ S PkÍ (xk), (1.5) a k=O

donde b

- .. (k) Pk. - ~ Om (x) dx, k =O, 1, ... , m. (1.6)

a

La igualdad aproximada (1.5) determina cierta fór­mula de cuadratura que es exacta para los polinomios de grado m.

Muchas fórmulas de cuadratura clásicas son de este origen. Por ejemplo, la fórmula de Simpson se obtendrá, si ponemos en (1.5), (1.6) m = 2, x0 = a, x1 = (a + + b)/2, X2 = b.

No es difícil de ver que, viceversa, si con" ayuda de distintos puntos prefijados xk del segmento [a, b] y de los números pÍi (k = O, 1, ... , m) queda obtenida una fórmula de cuadratura

b m

~ f (x) dx ~ ~ píd (xk), (1.7) a k=O

exacta para todos los polinomios P m (x) de grado m, ella se deduce, según lo mostrado anteriormente, de la corres­pondiente fórmula interpoladora de Lagrange

m

t (x) ~ ~ o<::i> (x) t (xk), k=O

construida sobre la base de los nudos xk. En efecto, examinemos, a la par con la fórmula (1. 7),

la fórmula de cuadratura (1.5), donde los números Pk se determinan con ayuda de la igualdad (1.6). Ambas fór-

13

mulas se definen por un mismo sistema de nudos xk (k = = O, 1, ... , m) y ambas son exactas para los polinomios de grado m1), en particular, para las funciones x 1 (l = = O, 1, ... , m). De aquí se deduce que han de verificar­se las igualdades

m

2j (P1t-Pí.)x~=O, l=O, 1, ... , m. (1.8) k=O

El determinante del sistema (1.8)

1 1 . . . 1 Xo Xi • • • Xm

xi;:i X~·· • • • x:

que es nada más que un determinante de Vandermonde para el sistema de puntos distintos xk (k = O, 1, ... , m), no es igual a cero, lo que puede ser posible sólo cuando

P1t=PÍ<, k=O, 1, ... , m.

Introduzcamos, a la par con (1.5), otra fórmula de cua­dratura

d m

~ F (u) du ~ ~ p:F (4) (1.5') e k=O

que posee las siguientes propiedades:

a) Pk: Pk = (d - e): (b - a) (k =O, 1, ... , m);

b} los nudos x: < x: < ... < x~ pertenecen al segmento [e, d] y lo dividen en la misma razón que los nudos xk dividen el segmento [a, b]:

(x~-c): (x!-c): ... : (x~-c) = =(x0 -a): (xi-a): ... : (xm-a).

La fórmula (1.5') se llamará semejante a la (1.5). Demostremos que las fórmulas semejantes (1.5) y

(1.5') son exactas simultáneamente para los polinomios de grado m. En efecto, si R (u) es un polinomio de grado

l) Llamamos polinomio de grado m a una función a0 + a1x + + ... + amxm, donde ªk (k =O, 1, ... , m) son coeficientes arbitrarios (incluidos aquellos que son iguales a cero).

14

m, entonces R (e + : - ; (x - a) ) será también polinomio de m-ésimo grado. Por eso

d b

~ d-c ~ ( d-c ) d R(u)du=-- R e+-- (x-a) X= b-a b-a

a m m

= :=: ~ PkR (e+ :-; (xk-a)) = ~ p~R (x~). k=O k=O

De lo dicho más arriba y de la unicidad de la fórmula de cuadratura (1.5') que tiene nudos prefijados x:, x~, .. . , x~ E [e, d] y que es exacta para los polinomios de grado m se deduce que si los nudos mencionados satisfa­cen las condiciones b}, satisfarán también las condiciones a), es decir, los pesos de la fórmula (1.5') se obtienen a partir de los pesos Pk multiplicándolos por (d - c)l(b -- a).

La fórmula a m

~ f(x)dx~ ~ PRf(xk), xhE[-a, a], -a k=O

se denominará simétrica, si se cumplen las condiciones

Ph=Pm-h• X1t=-Xm-k• k=O, 1, ... , m.

Observemos que si en la fórmula (1.5), obtenida más arriba, el segmento [a, b] tiene de hecho la forma [ - a, a] y si los nudos xk E [ - a, a] satisfacen la condición de simetría: xk = - Xm-k• de aquí se deduce automática­mente que Ph = Pm-h• es decir, la fórmula (1.5) es si­métrica.

En efecto, es fácil compobar que de las condiciones xk = - Xm-k se deduce que

Q~)(-x)=Q~m-k)(x), k=O, 1, ... , m,

y en este caso a a

Pm-k = ~ Q~m-h) (x) dx = ~ Q\::)( - x) dx = -a -a

a

= ~ Q\::)(u)du=Pk· -a ,,

15

La fórmula (1.5) que es exacta para todos los polino­mios de grado m puede resultar en realidad exacta para los polinomios de grado superior a m, como ocurre en el caso de la fórmula de Simpson. Las mejores en este sentido fórmulas de cuadratura son conocidas fórmulas de Gauss que corresponden a tal disposición de m + 1 nudos x0 ,

x 1 , • : ., Xm, para la cual la fórmula de cuadratura resul­ta ser exacta para todos los polinomios de grado 2m + 1. El hecho de que tal disposición de los nudos es posible se­rá demostrado en el § 17. En el § 5 se aducen casos parti­culares de la fórmula de Gauss para el segmento (-1, 1].

Indiquemos, además, las fórmulas de cuadratura de Chébishev que se definen partiendo de la condición: con m nudos x1 , x 2, ••• , Xm la fórmula debe ser exacta para los polinomios de grado m y tener iguales factores de las ordenadas. En la forma general las fórmulas de Chébishev para el segmento [ -1, 1] se escriben del modo siguiente:

1 m

~ f (x) dx ~ ! ~ f (xk), -1 k=1

(1.9)

donde los nudos xk se eligen conforme a la condición esti­pulada más arriba. El hecho de que el factor en el segun­do miembro de esta fórmula de cuadratura es igual a 2/m proviene de que la fórmula ha de ser exacta para f (x) = = 1. En el § 5 se aducen las primeras cuatro fórmulas de cuadratura de Chébishev para el segmento (-1, 1].

P.L. Chébishev ((19], vol. 111, págs. 49-62) mostró que tales fórmulas de cuadratura existen par a los casos en que m = 1, 2, ... , 7, 9 y son simétricas. A consecuen­cia de esta propiedad, ellas son exactas para la función xm+i con m pares (m = 2, 4, 6), y, por consiguiente, no sólo para los polinomios de grado m, sino también para aquellos de grado m + 1. Resulta que para m = 8 y m~ 10 la fórmula (1.9) ya no existe [3].

La fórmula (1.5) puede resultar exacta sólo para los polinomios de grado inferior a m, o bien no exacta para cualesquier polinomios.

La fórmula (1.5) (sin la condición 1.6), siendo exacta para los polinomios de m-ésimo grado, si ella corresponde a los nudos xk = a + (b - a) k/m (k = O, 1, ... , m)

16

<¡uo dividen el segmento [a, b] en partes iguales, se llama /6rmula de cuadratura de Cotes 1).

Pongámonos de acuerdo que ulteriórmente cualquier expresión de la forma

m-1

L (!) = ~ Pkf (xk), k=O

(1.10)

donde Pk son números arbitrarios y xk, puntos arbitrarios pertenecientes al segmento [a, b], se considerará, inde­pendientemente del origen de los números Pk y xk, como expresión aproximada de la integral definida de la fun­ción f (x) sobre el segmento [a, b] y en esta relación una igualdad aproximada

b

~ f (x) dx ~ L (!) (1.11) a

se denominará fórmula de cudratura definida por los pe­sos Pk y los nudos xk.

Observemos que la integral definida satisface las condiciones de aditividad y homogeneidad:

b b b

~ [/ (x) + cp (x)] dx = ~ f (x) dx + ~ cp (x) dx, a a a

b b

C ~ f (x) dx = ~ Cf (x) dx, a a

donde f (x), cp (x) son funciones integrables en el segmento [a, b], y C, una constante. A estas mismas propiedades de aditividad y homogeneidad satisface también la funcio­nal 2) (1.10)

L (! + cp) = L (!) + L (cp), CL (/) = L (Cf).

1) La información más completa sobre las fórmulas de cuadra­

tura mencionadas u otras el lector puede encontrar, por ejemplo, en las obras de V.L. Goncharov [4], Sh. E. Mikeladze [9], V.I. Kry­lov [8], I.S. Berezin, N.P. Zidkov (2], N.S. Bajvalov (1].

2) Si a toda función f perteneciente a cierta clase de funciones

se le está puesto en correspondencia, según una ley determinada, un número L (!), entonces L (!) recibe el nombre de funcional de­finida en la clase citada de funciones.

2-0864 17

§ 2. Clases de funciones

La diversidad de todas las funciones integrables es muy amplia. Cuando se analiza un método bien determi­nado de integración aproximada de las funciones, resul­ta imposible indicar de antemano la magnitud con la que se estima la aproximación para todas las funciones integrables en general. Esta estimación es sencillamente igual al infinito.

Veamos, por ejemplo, el método de los trapecios. Pue­de construirse, evidentemente, una función que sea igual a cero en los extremos del segmento [a, b) y tal que la integral definida de dicha función en el segmento dado sea superior a cualquier número prefijado con anticipa­ción. El error de aproximación de la integral definida de tal función que se obtiene al utilizar el método de los tra­pecios (1.2) será igual a la propia integral y, de este modo, puede ser tan grande como se quiera.

Este problema se resuelve de tal manera que las esti­maciones de la aproximación se obtienen para unas u otras clases suficientemente estrechas de funciones integra­bles. Tales clases de funciones muy difundidas en el aná­lisis actual son, ante todo, las clases de funciones diferen­ciables y las clases de funciones que satisfacen las condi­ciones de Lipschitz.

Podemos analizar, por ejemplo, una clase de funcio­nes denotada mediante W<1> (M; a, b) que son continuas en el segmento [a, b) y tienen en éste una derivada conti­nua a trozos f' (x) 1) que satisface en dicho segmento la desigualdad:

lf' (x) l~M.

Las propiedades diferenciales más convenientes las posee la clase W<2> (M; a, b) de funciones que son conti­nuas en el segmento junto con sus primeras derivadas y

1 ) Si un segmento [a, b] puede ser dividido mediante puntos a < x 1 < x 2 < ... < Xn < b en un número finito de segmentos, en cada uno de los cuales la función f (x) tiene derivada continua, suele decirse en tal caso que f (x) cuenta sobre [a, b] con una de­rivada continua a trozos. Aquí se debe tomar en consideración que en los puntos de partición x1 , x2 , • •• , xn se supone que existen solamente las derivadas unilaterales: a la derecha y a la izquierda.

18

<t11f' tienen en él la segunda derivada continua a trozos la 11111 satisface la desigualdad

lf"(x)l~M.

Generalizando estas clases llegamos a una clase W<'> ( H; a, b), donde r es un número natural. La clase W<'> (\!; a, b) está compuesta por las funciones, definidas en t1l segmento [a, b), que son continuas y tienen derivadas continuas de hasta el (r - 1)-ésimo orden inclusive y, ndemás, una derivada continua a trozos de r-ésimo orden In que en el segmento dado satisface la desigualdad

J/<'> (x) 1 ~M. (2.1) '

Pueden introducirse también las clases intermedias. l'or ejemplo, si O < a~ 1, convengamos en considerar que Ir (M; a, b) = W<0>Hª (M; a, b) denota una clase de funciones j (x) que están definidas en el segmento la, b) y que satisfacen para todos los puntos x y x' de di­cho segmento la desigualdad

lf (x)- f (x') 1 ~M ¡x-x' ¡ª.

En general, si r es un número entero no negativo y si O< a~ 1, podemos definir una clase W<'>Hª (M; a, b) de funciones f (x) dadas en el segmento [a, b] que tiene en éste derivadas continuas de orden r las cuales satisfa­ren la desigualdad

lf<7> (x)-j<'> (x') 1 ~M ¡x-x' ¡ª.

para todos los x y x' de [a, b). Además, designemos con W<'>H<a> (a, b) la clase de

tod as las funciones, cada una de las cuales pertenece, para cierto M, a la clase W<'>H<ª>(M; a, b).

Las clases W<'>H<a> (a, b) introducidas de la manera indicada constituyen una clasificación muy detallada de func iones continuas y diferenciables. Al aumentar r +

f- ex, las propiedades diferenciales de las funciones per­t cnecientes a W<'>H<a> (a, b) se mejoran. Si r1 + cx1 < < r 2 + cx 2 , entonces W<'.>H<a,) (a, b) será una parte de la clase w<r,>n<a,) (a, b).

~· 19

' ~..,...-----"

1

1

1

1

._

Es útil tener en cuenta la siguiente generalización de las clases w<r>n<a> (a, b). Se introduce en la consideración una función ro (x) que es continua en el segmento [a, b] y que satisface las condiciones

ro (0) = Ü, O:::;;;; ro (x2) - ffi (x1):::;;;; ffi (X2 -X1) (2.2)

con cualesquiera x1 , x 2 , para los cuales a:::;;;; x1 :::;;;; x 2 :::;;;; b. La función f (x), dada en el segmento [a, b] pertenece, por definición, a la clase W<,.>H w (a, b), si tiene en el seg­mento dado la derivada r> (x) de orden r que satisface la desigualdad

¡¡<r) (x2)-¡<r> (x1) 1 :::;;;;ro (x2-x1), (2.3)

a:::;;;;x1 :::;;;;x2 :::;;;;b.

La clase w<r>n<a> (M; a, b) coincide con la clase w<r>H (1) (a, b), si

ro (x) = Mx<a>.

La desigualdad (2.2) para la función Mxª se deduce de los resultados del ejemplo 3 que se da más abajo en el presente párrafo.

Si en el segmento [a, bl está definida una función con­tinua arbitraria cp (x), llamemos módulo de su continuidad en el segmento [a, b], correspondiente al número positivo dado 6, a una magnitud ro (6) que se determina por la igualdad

ro(6)= máx \cp(x")-cp(x')\, 1x"-x'1 ~6

donde a:::;;;; x', x":::;;;; b. Así pues, ro (6) es mayor de los números 1 cp (x") -

- cp (x')I correspondientes a diferentes pares de puntos x' y~ x" del segmento [a, b] que satisfacen la desigualdad

1 x" - x' 1:::;;;; 6; ro (6) es una función monótona no de­creciente de 6, puesto que si O:::;;;; 6' < 6 ", entonces

ro (6') = máx ¡cp (x")- cp (x') 1:::;;;; 1 x"-x' 1 ~O'

:::;;;; máx \cp (x") - cp (x') 1 =ro (6"). 1x"-x'1 ~0"

De la continuidad de cp (x) en el segmento cerrado [a, b] se desprende la propiedad de su continuidad uniforme en

20

1

1

111, b], la cual, es fácil notar, es equivalente a la siguiente rt•lación

lím w ( 6) = O = ro (O). (2.4) 6-+0

Ahora, si 6 = 61 + 62 , donde 61 ~ O, 6 2~ O, y si .r', x" son puntos del segmento [a, b], para los cuales

1 x" - x' 1:::;;;; 6, entonces, evidentemente, en el seg­mento [a, b] existe un punto x 0 tal que para él se verifi­can simultáneamente las desigualdades 1 x' - x 0 1:::;;;; ~ 61 , \ x" - x 0 1:::;;;; 62 • De aquí se deduce

ro ~6) = máx lfP (x")- cp (x') 1:::;;;; I X"-X' 1 ~{)

:::;;;; máx { 1 qJ (x') - cp (x0) 1 + 1 cp (x") - cp (x0) 1}:::;;;; 1x'-xo1 .;;;61 1x"-xo1 ~62

:::;;;; máx ¡cp(x'J-cp(x0}1+ máx lcp(x")-1x'-xo1 .,;;61 1x"-xo1 .;;;62

-cp (x0) 1 =ro (61) +ro (62). (2.5)

La propiedad de monotonía de la función ro (6) y la relación (2.5) pueden ser reunidas en las siguientes dos desigualdades:

o:::;;;; ro (6")-ro(6'):::;;;;ro (6"-·6'), (2.6)

que deben realizarse para cualesquiera 6', 6 ", que satis­facen las desigualdades O:::;;;; 6':::;;;; 6 ".

De (2.4) y (2.6) se deduce con toda la evidencia la con­tinuidad de ro (6) para todo 6 ~ O.

Observemos que si una función cp (x}, continua en el segmento [a, b], cuenta con el módulo de continuidad ro (6), entonces, evidentemente, ella pertenece a la clase TI w (a, b) = W<0>H w (a, b} definida más arriba.

Las propiedades, aún más convenientes en comparación ron las funciones de las clases w<r> H w (a, b}, poseen funciones analíticas.

Son posibles también algunas modificaciones de la clasifica-1·ión expuesta. Se puede introducir una clase de funciones W~~ (M; a, b), definidas en [a, b), que tienen derivada continua

21

absoluta de orden r - 1 y una derivada ¡<r> (x) de r-ésimo orden, la cual posee la propiedad de q,ue

b

(~ 1w>(x)1Pdx)1'p,,,;;;M, p~1. a

donde la integral se entiende en el sentido de Lebesgue. Algunos datos relacionados con estas clases se darán más abajo

en petit. En este caso suponemos que el lector conoce las propie­dades más simples de las funciones integrables (sumables) según Lebesgue en la p-ésima potencia (véanse, por ejemplo, [14, 17]).

Observemos que si una función cp (x) es medible y está acotada en el segmento [a, b], tiene lugar una igualdad

b

lím { \ 1 <p (x) 1Pdx) 1/P = supvrai 1 <p (x) 1 = M. (2.7) p-+oo ~ a,¡;;;x,¡;;;b

a en la que el segundo miembro representa el llamado máximo esen­cial1) 1 <p (x) 1 en el segmento [a, b].

Efectivamente, b

11 <p l\Lp= ( ~ 1 <p IP dx) 1/p,,,;;; M (b-a)l/P, a

de donde

lím 11 <p llL ~ M. p-+00 p

(2.8)

Por otro lado, si E denota el conjunto de puntos del segmento [a, b], sobre el cual 1 <p (x) 1 > M - 8 (donde 8 > O) y mE, la medida E, entonces

de donde

11 <p \ILp > ( ~ (M-8)P dx) 1/p = (M-8) (mE)l/P, E

lím 1\ <p llLp ~ M-8, p-+00

y, por cuanto 8 es arbitrario, entonces

lím 11 <p llL ~ M. - - p p-+00

(2.9)

De (2.8) y (2. 9) se deduce (2. 7). Por eso resulta natural con­siderar que

W(r) (M; a, b)=W<[> (M; a, b). 00

1 ) Este es el número menor M que posee la propiedad de que el conjunto de todos los x del segmento [a, b], para los cuales 1 <p (x) 1 > M, tiene medida O.

22

l111111<lo p = 1, escribiremos W<[> (M; a, b) en lugar de H ¡'~ (M ; a, b).

Ejemplo 1. Analicemos la función 1 x 1 en el segmen-1 o [ - 1, 1). Su gráfico viene expuesto en la fig. 5.

!/

1 y 1,.. .z"

-t u /

fig. 5

Es continua en el segmento [ -1, 1] y tiene en éste una derivada continua a trozos. En efecto, en el segmento 1-1, O] la derivada de 1 x 1 es continua e igual a -1

!J

ul 1 1 l 1 1 ~z a .r0 .r1 .rz Z'J

fig. 6

en todo punto, considerando, como siempre, que para .r = O la derivada se toma a la izquierda, y para x = - 1, a la derecha. En el segmento [O, 1] es también continua en todo punto e igual a 1. En valor absoluto la derivada de !xi es igual a la unidad en todo el segmento [-1, 1]. De aquí se deduce que la función 1 x 1 pertenece a la clase w(l) (1; -1, 1).

No obstante, nuestra función no pertenece a la clase W(2> (M; -1, 1), cualquiera que sea el valor de la cons­tante M, puesto que, si fuera así, tendría que contar ne­cesariamente con la primera derivada continua en todo

23

punto del segmento (-1, 1]. Mas, en el caso dado la pri­mera derivada para x = O es discontinua.

Ejemplo 2. Veamos la función <p (x) cuyo gráfico está expuesto en la fig. 6 (aquí, x3 = 'b).

Para que dicha función sea unívoca en los puntos x 0 ,

x1 , x 2 , podemos fijarla en estos puntos igual a cualquier

Ji

1 1 1 """' 1 J 1 1 ;:.. .r

fig. 7

valor, por ejemplo, a la media aritmética calculada sobre la base de las ordenadas límites derecha e izquierda del gráfico.

Pongamos X

cpi(x) = ~ <p (u) du +el. a

Esta función se muestra en la fig. 7. Pertenece a la clase W<1l (M; a, b), donde

l<p (x) 1 ~M, a~x~b.

Si ponemos luego

X

<p2 (x) = ~ <p1 (u) du + C2 ,

a

obtendremos la función expuesta en la fig. 8 que pertene­ce a la clase W<2l (M; a, b), pero no pertenece, evidente­mente, a la clase W<3 l (a, b).

Al repetir este proceso de integración r veces, obtendre~ mos una función de la clase w<r) (M; a, b), donde r es un número entero prefijado de antemano.

24

Ejemplo 3. Examinemos una función xª (O< a~ 1) en la semirrecta [O, oo ). Su gráfico (para cierto a < 1) está expuesto en la fig. 9.

!/

ol ~ 1 1 1 1 ,... .r .rz p .Tp :Ct

fig. 8

Mostrremos que en la semirrecta [O, oo) la función sa­tisface la condición de Lipschitz de potencia a con la constante M = 1. En otras palabras, mostremos que para

!J

ll .r

fig. 9

todos los x, x1 que satisfacen las desigualdades O~x~ ~ x1 < oo tiene lugar la desigualdad

xi¡t-xª~(x1 -x)ª. (2.10)

En efecto, cuando x = O y x = x1 , la afirmación es evidente. Sea O< x < x1• Veamos la relación

xlf-xª

(x1 -x)ª

(x1/x)ª-1

(x1/x-1)ª uª - 1 ='lj) (u),

25

!'"'~

I '

1

donde 'U = x1/x, y, por consiguiente, 1 <u< oo. Es fácil comprobar que la función 'ljJ (u} posee la siguiente propiedad:

lím'ljJ(u)=1, 'ljJ'(u)>O, 1<u<oo. U-+OO

De aquí se deduce que

xª-xª 1 n ='ljJ(u)<1, 1<u<oo,

(x1 -x)

y la desigualdad (2.10) queda demostrada. De este modo, la función xa. pertenece a la clase n<a.> (1; O, 1) = W<0>H<a.> (1; O, 1). Si multiplicamos esta función por el número M y la integramos r veces con cualesquiera constantes, ele­gidas de manera sumamente arbitraria, obtendremos una función de la clase w<a.>n<a.> (M; O, 1).

§ 3. Fórmula, de Taylor

Examinemos una función f (x} que está definida en el segmento [a, b] y que tiene en el mismo derivadas conti­nuas 1) de hasta el (r - 1)-ésimo orden inclusive y, ade­más, una derivida continua a trozos de orden r. Dicha función pertenece, pues, a la clase w<r> (M; a, b) con cierta constante M.

Obtendremos para tal función la siguiente igualdad , aplicando sucesivamente el método de integración por partes:

X

(r ~ 1)1 ~ (X - w-l j(T) ( t) dt = a

X

(x-w-1 /<r-1) (t) ¡x + 1 \ (x- t)<r-2) ¡<r-n (t) dt = (r-1)1 a (r-2)! J

a

= (x-a)T-1 r-1) (a)+ (x-t)T-2 ¡cr-2) (t) ¡t=X + (r-1)! (r-2)! t=a

----1) La fórmula que se obtendrá aquí resulta válida también

para las condiciones más generales, precisamente para la condición que la función f (x) tiene derivada continua absoluta de orden r - 1, y, de este modo, tiene casi en todo punto la derivada suma­ble de orden r. Se debe tener esta observación en cuenta al leer el Complemento y las partes del libro imprimidas en petit.

26

X

+ /p 1 'l\I ~ (x- w-3 /<r-2) (t) dt = a

(X )T-1 ( )T-2 -a ¡<r-1) (a) - x-a ¡<r-2) (a)-

(r-1)1 (r-2)! · · ·

... - f (a)+ f(x).

De aquí obtenemos que para toda función f (x) de la dase w<r> (M; a, b) es lícita la fórmula de Taylor:

+ x-a , (x-a)2 f(x)=f(a) - 1-f (a)+ '>• f"(a)+ ...

(x-a)T-l (r-1) ... + (r- 1)! f (a) +Rr (x) (3.1)

<'On el término residual en la forma integral: X

Rr (x) = ,p 1 .,. ~ (x -w-1 ¡<r> (t) dt. (3.2) a

Introduzcamos en la consideración una función Kr (u) que se define mediante las igualdades

{ ur-1 u~O

Kr (u)= O, ' u:;_ o'. (3.3)

En tal caso la expresión para el término residual R r (x) puede ser escrita también en la forma

b

Rr (x) = ,p 1 ~ \t ~ Kr (x-t) j(r) (t) dt, (3.4) a

puesto que la función K r (x - t) es igual a cero para todo .r fi jo al variar t desde x hasta b.

Convengamos, además, en designar con w~> (M; e, d) In clase de funciones f E w<r> (M; e, d) que satisfacen las rnndiciones

f (a)= f' (a)= ... = ¡<r-1> (a)= O.

Es evidente que para f E w~> (M; a, b) b

f (x) = Rr (x) = fp ~ rn ~ Kr (x - t) ¡<r> (t) dt. (3.5) a

27

1

1

1

LJ

§ 4. Estimación exacta de aproximación de la fórmula de cuadratura

Examinemos una fórmula arbitraria de cuadratura b

~ f(x)dx~L(f), (4.1) a

m-1

L (/) = L} Pkf (xk), (4.2) k=O

que se define por los pesos prefijados Pk (k = O, 1, ... ... , m-1) y los nudos a~ x 0 < x1 < ... < Xm-i ~ b. Supondremos que esta fórmula es exacta para todos los polinomios

p r-1 (x} =ªo+ a1X + ... + ªr-1Xr-1

de grado r - 1 (r ~ 1), es decir, para todos los polino­mios de esta índole se cumple la igualdad

b

~ P ,_i(x) dx = L (P r-i>· a

Demos a conocer la expresión exacta para estimar la aproximación con ayuda de esta fórmula de cuadratura para las funciones de la clase w<•> (M; a, b}.

Definamos, pues, una función arbitraria f (x) pertene­ciente a la clase w<r> (M; a, b}. La función queda definida de este modo sobre el segmento [a, b], tiene en el mismo derivadas continuas hasta el orden r - 1 inclusive y una derivada continua a trozos de r-ésimo orden ¡cr> (x) que satisface la desigualdad

¡¡<r> (x)I ~M. , (4.3)

Desarrollemos esta función por la fórmula de Taylor (véase § 3) según las potencias de x - a (a~ x~ b) con el término residual en la forma (3.4):

28

f (x) = P r-1 (x) + Rr (x), r - 1

P r-1 (x) = ~ (x-;:ia)k f<k> (a}, k=O

b

Rr (x} = Ir~ rn ~ K, (x-· t} ¡<r> (t) dt. a

(4.4)

"

En vista de que nuestra fórmula de- cuadratura es exacta para los polinomios de grado r - 1, tenemos

b ~

~ f (x) dx-L (f) :o-;~ P 7 _ 1 (x) dx-L (P7 _ 1) + a a

b b

+~ R,(x)dx-L(R7)= ~ R,(x)dx-L(R,)= a a

b b

__ 1 _. ~ ~ K,(x-t)f<'>(t)dtdx-a a

m-1 b

-1 ---- ~ Pk ~ K,(xk-t)f<7>(t)dt = k=O a

b b

= (r~ 1)1 [~ f<r>(t) ~ K,(x-t)dxdt-a a

b m-1

- ~ ~ Pkf<r> (t) K 7 (xh - t) dt J = a k=O

1 b b

- (r - 1)1 ~ [ ~ (x - w-1 dx -a t

m-1

- .Li PkKr (xk - t) J f<7> (t) dt = k=O

b m-1

- 1 \ [ (b-t)' (r - 1)1 J ~ PkKr (xk - t) ]f<7 > (t) dt. (4.5)

a k=O

Así pues, si introducimos en la consideración una fun-rión

m-1

F (t) = 1 [ (b-t)' 7 (r-1)1 --7

~ PkKr (xk - t) J, (4.6) k=O

obtendremos la siguiente expresión exacta del error de nproximación con ayuda de la fórmula de cuadratura en

29

.~

1

1

IJ

cuestión para la función dada j (x) de la clase w<r> (M; a, b):

b b

~ j (x) dx-· L (f) = ~ F r (t) j<r> (t) dt. (4.7)

a u

Para lo que sigue adelante resulta importante tener en cuenta que la función F r (t) no depende de las funciones SUeltaS j de la clase w(T) (a, b), en particular, no depende de M . Al mismo tiempo la función F r (t) se define por to­da la clase w<r) (a, b) (por el número r y el segmento [a, b]). ~

La fórmula (4. 7) presta una expresión exacta para la aproximación de la fórmula de cuadratura (4.1) en térmi­nos de la derivada de orden r de la función j (x). En ade­lante dicha fórmula nos servirá de partida para obtener diferentes estimaciones relacionadas con la aproximación de las fórmulas de cuadratura.

Si se toma en consideración que para la función j de la clase w(r} (M; a, b) debe cumplirse la desigualdad (4.3), entonces

b b

1 ~ f(x)dx-L(f)\~M ~ ¡F7 (t)J dt=Mc7 • (4.8) a a

Indiquemos que en este caso el segundo miembro de la desigualdad no puede ser disminuido, puesto que en la clase w<r> (M; a, b) existen funciones j, para las cuales dicha desigualdad se convierte en una igualdad. Precisa­mente este fenómeno tiene lugar para toda función j cuya derivada de r-ésimo orden es igual a sign F r (x), es decir 1) ,

j<r> (x) = M sign F r (x). (4.9)

Para obtener con eficacia cualquier función de esta índole, hace falta integrar r veces el segundo miembro de (4. 9), cada vez con constantes arbitrarias de .integración. De aquí se deduce que la estimación exacta de aproxima-

1) sign u =

30

Í 1 (u > O),

l O (u = O), -1 (u<O).

1

F.

1'

\ ,1

ción con ayuda de la fórmula de cuadratura (4.1) para la clase de funciones W(r) (M; a, b) es igual 1) a

b

~ [W(r>(M; a, b)]= sup 1 ~ j(x)dx -L(f)I= JEW(r)(M; a, b) a

b

=M ~ JF7 (t)J dt=Mc77 (4.10) a

donde F r (t) es una función definida por la fórmula (4.6). La estimación obtenida es exacta suponiendo que no

sabemos nada sobre la función, para la cual se calcula aproximadamente la integral , a excepción de que la fun­ción citada pertenece a la clase w<r> (M; a , b).

La constante c7 puede calcularse exactamente o apro­ximadamente con cualquier grado de exactitud, puesto que ella se da con los pesos Pk y nudos xk que se conocen para cada fórmula de cuadratura concreta. La dificultad de calcular la constante c7 consiste en hallar los puntos del intervalo (a, b), en los cuales la función F r (t) cambia de signo.

Observación. En los razonamientos aducidos más arri­ba se suponía que la fórmula de cuadratura (4.1) es exac­ta para todos los polinomios P 7 _ 1 de grado r - 1. Admi­tamos ahora que la suposición no es cierta, es decir, exis­te un polinomio P:-1 para el cual

b

~ P;_1 dx-L(P;_1)=A.=FO. a

Mas, en este caso para el polinomio P;'~ .. 1 (x) = ~ P:- 1 (x),

donde N es un número cualquiera, tiene lugar la igualdad

b

~ P:~1dx-L(P:~1)=N, a

1) *SUp» es el signo de la cota superior exacta del conjunto de números, es decir, del número mínimo que no es superado por ningún otro número perteneciente al cónjunto.

31

y esto demuestra que, cualquiera que sea el número N > O, tendremos

b

sup 1 ~ f (x) dx - L (!) 1 > /EW(T)(M; a, b) a

b

>I ~ P~!.1 dx-L (P~!.1) 1 >N. a

El polinomio P :'!.1 (x) tiene derivada de orden r que es idénticamente igual a cero y por eso

P~~1EW<r>(M; a, b).

Por consiguiente, b

i [W<r) (M; a, b)] = sup 1ew<7 l(M;

1 ~f(x)dx-L(f)l=oo. a, b) a

De este modo, la cota superior ~ [W<r> (M, a, b)] puede equivaler al número Mcr o al infinito, en dependen­cia de si es exacta o no exacta la fórmula de cuadratura ( 4.1) para los polinomios Pr-i de grado r - 1.

Esta observación fue enunciada por M. Levin (véase Complemento [23)). Indiquemos adicionalmente que esta observación queda lícita también para las fórmulas de cuadratura (12.1), delas cuales se trata en el § 12.

Si una función f pertenece a la clase de funciones wZ) (M; a, b) que tienen en (a, b] la derivada continua absoluta de ~rden r-1 y la derivada /(r) (x) de orden r, para la cual se verifica la desigualdad

b

11 j(T) llLp = { ~ j(T) (x)P dx) l/p ~ M, p > 1, (4.11)

a

no es difícil de concluir que· para ella, en el caso de una fórmula de cuadratura que sea exacta para los polinomios de grado r - 1, todos los razonamientos aducidos en este párrafo, incluido la igual­dad (4. 7), quedan en vigor.

32

Luego. en lugar de (4.8) podemos escribir ahora, de acuerdo con la desigualdad ele Holder: ,,

1 ~ f (x) d.r-L (!) 1 ~JI/(") llLP 11 Fr llLq ~ M JI Fr llLq' a

1 1 ¡;+q-=1, (4.12)

do nde b

11Fr11Lq=( ~ 1 Fr(t) ¡qdt)1/q. (4.13)

a

Además,· para la clase de funciones W{¡ (M; a, b) no podemos disminuir la constante que figura en el segGndo miembro de (4 .12), pues en virtud de la propiedad conocida de la desigualdad de Holder, el segundo miembro en (4.12) se obtiene para la función

b

( \ )- 1/p f(Tl (t)= J J Fr (t) l'I dt 1 Fr (t) ¡q-l sign Fr (t) a

que satisface la condición (4.11). Así pues, el segundo miembro de (4.12) se obtiene para cierta función f perteneciente a la clase W ( 7)Lp (M; a, b).

Cuando p = 1, es decir, cuando la función f (.r) pertenece a la clase W<[l (M; a, b), tenemos

b b

1 ~ /d.r-L(f)l=I ~ Fr(t)f<7l(t)dt1~ a a

b

~ máx 1Fr(t)1 \ 1W>(t)1 dl~M máx 1 Fr(t) J. a~t~b J a~t~b

a

El segundo miembro de esta igualdad es un número mínimo, con el cual ella se verifica para todas las funciones f de la clase en consideración. Reuniendo ambos resultados obtenidos, llegamos a la siguiente igualdad que es válida para la fórmula de cuadratura exacta para los polinomios de grado r - 1:

b

sup 1 \ fdx-L(f)l=MllFrllL, /EWl'.°l (M; a, b) ~ q

p

1 1 -+-=1, (4.14) p . q

3-0864 33

donde 11 F 7 llLq• para p > 1, se define por la igualdad (4 .13), y

para p = 1 se tiene

11 F llL = máx 1 F r (t) ¡. 00 o,,;::;1.:;;;1

(4.15)

Al igual que para la clase W<7 > (M; a, b), se demuestra que si la fórmula de cuadratura (4.8) no es exacta para los polinomios de grado r - 1, entonces la cota superior que se examinó en (4.14) es igual al infinito .

§ 5. Constantes numéricas para las fórmulas de cuadratura particulares

En el caso en que a · O, b = 1, tenemos

1 1

~ fdx-L(f)= ~ F 7 (t)r>(t)dt, (5.1) o o

donde m-1

1 [ (1-t)7 " J F7 (t) = lr-1" r L.J PkKr (xk - t) . (5.2) h= O

Pongamos

1 1

c7 = ~ J F 7 (t) J dt = máx 1 \ f dx- L (!) I · o 1ew<7 l(1 ; o, 1) ~

(5.3)

Se debe tener en cuenta que

1

máx 1 ~ f dx-L (f) J = Me,. 1ew<7 l(M; o, 1) 0

Fórmula de los rectángulos (véase fig. 1). Pasa ella · m = 1, Po = 1, x0 = 1/2. Es exacta para las funciones lineales, es decir, para los polinomios de primer grado, por lo cual la teoría expuesta es aplicable a la fórmula para r = 1, 2.

34

Para la fórmula 1

c1 = ~ 1(1-t)-Ki(; -t)jdt= o 1/2 1

= ~ 1 (1-- t)-11 dt + ~ (1- t) dt = ! ' o 1/2

1/2 1

C2= ~ 1 (1-;t)2 (; -t )1 dt+ ~ (1--;t)2 dt== ;4 . o 1/2

Fórmula de los trapecios. En este caso m = 2, p 0 = = p1 = 1/2, x0 = O, x1 = 1. La fórmula es exacta para los polinomios de primer grado, por lo cual en el caso da­do la teoría es aplicable para r = 1, 2:

1

c1 =~ 1(1-t)-; Ki(-t)-+Ki(1-t)J<lt= o 1 1

= ~ l t-t-+/ dt= ~ l+-tl dt= o o 1/2 1

-= ~ ( +-t) dt + ~ ( t- ; ) dt = ! .

C2 = ~ J o

= ~I o

o 1/2

(1- t)2 -2-

(1-t)2

-2-

1 1 1 2K2 (-t)-2 K 2 (1-t) dt=

1 1 1-t 1 dt=+ ~ (1-t) t dt="""f2'"·

2 o

Fórmula de Simpson (véase fig. 3). Para esta fórmula m = 3, Po = p 2 = 1/6, p1 = 2/3, x0 = O, x1 = 1/2, x 2 =

1. Para ella pueden calcularse c1, c2 , c3 , c4•

Los cálculos muestran que en el caso dado

C¡ = 5/36, C2 = 1/81, C3 = 1/576, C4 = 1/2880.

La constante numérica c4 para la fórmula de Simpson M da en muchos libros de matemáticas.

.1 • 35

Fórmulá de Cotes con cuatro nudos (equidistantes) 1)

(k = o, 1, 2, 3):

Po= p3 = 118, P1 = P2 = 3/8, x,, = k/3.

Es exacta para todos los polinomios de tercer grado y, por eso, para ella existen constantes Cit para k = 1, 21

3, 4. En el caso dado e~ = 1/6480 (véase (131) 2).

Fórmula de Cotes con cinco nudos (k = O, 1, 2, 3, 4): Po = p, = 7 /90, p 1 = p 3 = 32/90, p 2 . 12/90, X11, =

= k/4 (es exacta para los polinomios de quinto grado). Para ella

C5 1

345600 ' C5 ~ ~ 517.10-9 •

La constante c5 fue calculada por P. Pílica (13], y la c6 , por Yu. Ya. Dorónin.

Pongamos, además, 1

( ~ r F T (t)q dt r'q =c;q>. (5.4)

o

De este modo, e~º = Cr· Más abajo damos a conocer valores numéricos de las

constante~ c~2> para las fórmulas, anteriormente aducidas, de los rectángulos y trapecios y también para la fórmula de Simpson. Estas constantes se han calculado por Yu. Ya. Dorónin.

Fórmula de los rectángulos:

1 ci2> =---;;=- = 0,289. 2 11 3

Fórmula de los trapecios:

c(2) = - -1-_- = O 289 c<2> = 1 2 y3 ' ' 2

1 2 v3o = 0,0914.

1) La fórmula de cuadratura (1.5), donde los pesos p11, se definen por las integrales (1.6) se denomina fórmula de Cotes con m + 1 nudos, siempre que sus nudos a = x 0 < x1 < .. . Xm = b di­viden el segmento [a, b] en m partes iguales. Cuando m + 1 es impar, la fórmula es exacta para los polinomios no sólo del m-ésimo, sino también del (m + 1 )-ésimo grado: si la escribimos para [-1, 1 ], será simétrica y, por tanto, exacta para xm+1 •

2) Dicha constante se aduce en [ 13] con una errata.

36

Fórmula de Simpson:

ci2 > =-61 =O, 167, c~2> = ~ = 0,0152, 12 30

c<32> = ir = 0,00203, 48 lt -~-

- c~2 > = --~ ~ r.. = 0,000464.

Observación 1). A veces resulta posible simplificar el cálculo de las estimaciones. Supongamos que la fórmula de cuadratura de la forma

1 · m

~ f dx ~ ~ P11.f (xk) -1 k=m

es simétrica, es decir, satisface las condiciones

- x_k = xk, P-11. = Pk, y (lxacta pasa Pr-i (polinomios de grado r -1).

En este caso (las explicaciones daremos más abajo)

~ [W<r) (M; --1, 1)) = 1 m

- sup 1 ~ f dx - ~ Pk/(xk) 1 = ' 1ew<7 >(M; -1, 1\ -1 k=m

1 m

sup 1 ~ fdx- ~ P1if(xh)I= /EW~rl(M; -1, 1) -1 k = - m

o

= sup 1 ~ jdx- ~ Pkf(x1i)I+ /EW~r>(M; -1, O) -1 xk<O

1

+ sup 1 ~ f dx-'- ~ PkÍ (xk) I= /EW~r>(M; O, 1) o xk>O

1

2sup 1 ~ f dx- ~ P11.f(xk)I = /EW~r>(M; O, 1) O x11,> 0

1

2 \ 1 (1-t)T " 1 -(r-1)1 J r -.LJ P11.Kr(Xk-t) dt. O xk> O

(5.5)

1 ) La observación dada pertenece a Yu. Ya. Dorónin [6]. llamos aquí otra demostración.

37

IJ

Núme­ro de nudos

2

3

4

Fórmula

1 \ fdx~2!(0)

-·1

1

)1 fdx~t(-V:)+t (~ª)

1 _vdx:::::: [1 (-l?) +f<O>+

+t(l?)J

Fórmula de Chébishev

Valores de~ (W (r) (1; -1,

r=1

5 - 2Y-3 =0,511966 3

! <5-3V2>=0,3366o4

1 S 1 1 17 fdxz- [f(-b) + f (-a)+ f (a)+ -¡¡- - (a+ 3b) = 0,261777

-1

+ f (b)],

a =l/ Y-5 - 2' b = .. .ÍV5 ~2 3 V5 V · 3V5

1) La tabla está calculada por Yu. Ya. Dorónin. Véase [5] sobre la fór fue calculada originalmente por E. Ya. Remez [ 17, 18] . En las mismas 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nudos, cuando r = 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, respectivamente. a r = 6, igual a 2/42525 = 0,000048.

Aquí W~r> (M, e, d) denota la clase de funciones j E W<r) (M; e, d) tales que f (O) = j' (O) = ... = = p -1> (O) = O. La segunda igualdad de la cadena es cierta, puesto que la fórmula en consideración es exacta para todos los p r -1 (véase § 3).

La tercera igualdad se explica del modo siguiente. Si la función f (x) está definida en el segme~to [-1, 1 ), podemos determinar con su ayuda dos funciones:

Í1 (x) = f (x), -1~ x~ O,

f 2 (x) = f (x), Ü~ X~ 1.

38

1

'!

·I

para el segmento [-1, 1]

1)] = 5UP 1 1 f (x) dx - L (!) 1 1 f(r) (x) 1 .:;;; 1 - 1

r=2

1 3

r=3

9 - 4 V-3 108

=0,0191833

r=4

1 ill = 0,0074074 ~ (2 Y-3 - 3)3/2 =

=0,081128

16 V-2 (3 V-2 - 1 ,r- ¡ 1 36 ((8 V 2 - 11)3/2 + 360 = 0, 0027778 81

- 4¡3/2= 0. 033389 + 58 V2 - 82] = = 0,00555819

0,003358 ( 4b - 3)1/2 -3 -

0,0005719

= o. 0251626

Tabla J l)

r=5

0,0000879

mula de Chébishev. La constante en la segunda fila de la Tabla parar = 4 obras dio valores exactas de las constantes de la fórmula de Chébishev para La cuarta fila puede ser complementada por una constante correspondiente

Es evidente que si f E War>(M; -1, 1), entonces fi E E W~r> (M; -1, O) y j 2 E W~r> (M;O, 1), y viceversa. Ade­más, se debe tomar en consideración que si A y B son conjuntos de números reales tales que de a E A se deduce que - a E A, y de~ E B se deduce que -~ E B; entonces tiene lugar la igualdad

sup ¡a.+~I =sup lcx.I +sup l~I· aEA, 13EB aEA 13EB

La penúltima igualdad de la cadena se deduce de los siguientes razonamientos. Si f E W~r> (M; -1, O), entonces

3~

Fórmulas de Gauss para el

"' .., Valores deicw<7 >c1; -1, 1)]= o Fórmula .. 8~ ·::s"'

1 r za r = 1 r=2

1 1 ~· fdx:::.: 2! (0) 1

1 3

-'l

1 y-- 5 - 2v3 9 ~3 (2 V:i- 3)3/2= 2 S jdx:=.:f (---f) + 3

=0,511966

-1 = 0,08112!!

+ f (V:3) 1

4~5 (1051 -S fdx:::::;f [5/ (-VO,li)+

8

3 2187 <90 l'U:S-

-1

+ 8/ col+ 5/ <VO.S>l -1110-VD>= - 65) 3/2 =

= 0,357337 =o. 040545

1

4 S fdx:::::: 0,275993 0,021853

-1 2

:::::: ~ Jlkf (xk) (Po= O) k=-2

~·-1 = X1 = V15 - 2f30 35 ,

18 + f30 il-1 = P1 = 36 ,

- ~·-2 = x2= v15 +2f30 35 ,

P-2= P2 18 - V3o

36

1) La Tabla fue calculada por Yu. Ya. Dorónin, Véase en § 17 sobre la

40

segmento [-1, 1]

sup · 11

1 ¡(r) (x) 1,,;;;; 1 J 1 f dx - L (f)

r=3 r=4 r= 5 r=6

9 - 4 V-3 108 = 1135=

= 0,0191833 =fJ,0074074

1 1458 X o. 000009 1 1800 I5'f50 =

5-6 vo.s 1 1

X (16 (30 Vü,6-- 23)312+

+ 1548VD­

- 1198] =

= 0,002011

=0,0001958 =0,00006349

Tabla 2 1)

r=7 r=8

0,00236 0,00027 10,000031.81 0,0000053 10,00000110,0000003

Mrmula de Gauss. Para dos nudos las fórmulas de Gausg y de Chébishev coinciden.

41

para cp (x) = j (-x) tendremos cp E w~r) (M; O, 1), y vi­ceversa. Además, por ser simétrica la fórmula de cuadra­tura, tenemos

O -1 1 m

~ f (x) dx- .Li PkÍ (xk) = ~ cp (x) dx- .Li pkcp (xk). -1 k=-m O k=1

La cota superior del primer miembro de esta igualdad para la clase de f E W~") (M; -1, O) es igual, evidente­mente, a la cota superior de su segundo miembro para la dase de cp E w~r) (M; O, 1). Diremos, además, que si la fórmula de cuadratura en consideración cuenta con un nudo x0 = O, entonces para él Po f (O) = Po cp (O) = O, puesto que f (O) = cp (O) = O.

Por fin, la última igualdad se deduce de las igualda­des (4.6), (4.10) para a = O, b = 1 que son lícitas en to­do caso para f E W~~> (M; O, 1).

Mostremos, a título de ejemplo, cómo se calcula la cota superior & [W<r) (1; -1, 1)1 en el caso de la fórmula de cuadratura de Gauss con tres nudos:

x_1=-a=-Y3!5, x0 =Ü, x 1 =a=V3!5,

P-1 = P1 = 5/9, Po= 8/9

para r = 2. Esta fórmula es simétrica y es en todo caso exacta pa­

ra los polinomios de primer grado. Por eso, para ella pue­de aplicarse la igualdad (5.5):

1

t[W<r>(1; -1, 1)]=2~1 (l-;t)2 ; K 2 (a-t)ldt = f.

o

La función bajo el signo de integral, la que se desig­nará con llJ (t), se define mediante las fórmulas

(1-t)2 5 'ljJ(t)= ? +9 (t-a), O~t~a,

(1 - t)2

'ljJ(t) = " , a~t~1.

42

En el intervalo (O, a) se tienen en total dos ceros de la función 'ljJ (t), iguales a

4+Vk 4-yk C1 = 9 , C2 = n , k = 90a - 65,

y, además, llJ (t) es negativa en el intervalo (c2 , c1 ) y po­sitiva fuera del mismo. Observemos también que

s 2 Vk C1+Cz=g• Cz-C1= --9-'

2+ + 2 48+k 90a-17 c1 C1C2 c2 = ---

Por eso tenemos (5a2 = 3) c2

; l= ~ [(1-;-1)2 +; (t-a)J dt-o

c1

- ~ [ <1;t)2 -t; (t-a)J dt+ c2

a 1

+~ [ (1;t)2 +; (t-a)J dt+ ~ (1~1)2 dt= q a

= ! [-(1-t)3 Ji2 +(1-t)31~~-(1-t)31~1-(1-t)3 i!J+

+ 158 [(t-- a)2 ¡g2 - (t- a)2 I~! + (t- a)2 l~1J = 1

=3 ( -(1-c2) 3 + (1-c1) 3] + 5 [ 1 5 J +g- [(cz-a)2-(c1-a)2J+ ff-IBaz =

= (c2 - c1) [ 1- ! (c1 + c2) - ~O a+ ! (e~+ c1c2 +e;) J =

__ 2 yk (1 - ~-_iQ_ -1-- 9üa-11 )= - 9 . 81 9 ª 243

4 yk 4kª12 = 2187 (90a - 65) = 2187 '

y hemos obtenido la estimación

r 8 ( -. /3 · )3/2 ~ ¡w< > (1; --1, 1)1 = 2187 90 V 5 -65

que se aduce en la tabla 2.

43

~ "~

Fórmulas de cuadratura complicadas. Estimaciones de las aproximaciones ·i

de arriba para las clases de funciones

§ 6.

Prefijemos en el segmento [O, 1] un sistema de puntos (nudos)

Ü~ Xo <X¡< · · · < Xm-1 ~ 1

y de números (pesos)

Po• Pi•· · ., Pm-1

y compongamos una funcional lineal m-1

(6.1)

(6.2)

L (f) = L (O, 1; f) = :2j p1d (xh), (6.3) k=O

donde f es una función arbitraria continua en el segmento [O, 1].

Convengamos en considerar que L (!) es una expresión aproximada para la integral de f (x) en el segmento [O,

1 ]: 1

~ f (x) dx ~ L (/). (6.4)

o

De este modo, (6.4) es la fórmula de cuadratura (aproxi­mada) definida por los nudos (6.1) y pesos (6.2).

Supongamos ahora que está dado un segmento arbi­trario [a, ~]. Diremos que la fórmula de cuadratura

13

- ~ f(x) dx ~ L (a, ~; f), (6.5)

a

donde m-1

L (a, ~; f) = :2j p'1d (xí,), h=O

se llama semejante a la fórmula (6.4), y la funcional L (a, ~; f), semejante a la funcional L (f), si el sistema de puntos a, x0 , x1 , ••• , Xm-i• ~ es geométricamente seme­jante al sistema O, x~, x~, ... , x;,, - 1, 1, mientras que los

44

pesos Pk se relacionan a los pesos correspondientes p,. como la longitud del segmento [a, M a la unidad, o sea, si se cumplen las correlaciones

XÍt = a+xk (~ - a), PÍt= Pk (~-a),

k=O, 1, ... , m-1.

En la práctica, cuando se necesita calcular aproxi­madamente una integral definida

h

~ f (x) dx, a

se procede normalmente de la manera siguiente: se elige tal o cual fórmula de cuadratura (6.4), por ejemplo, la fórmula de Simpson, se divide el segmento [a, b] en n partes iguales mediante los puntos

t b-a "'"=a+--k n '

(6.6)

yacadaintervaloparcial(s1<,s1<+1) (k=O, 1, ... , n-1) se le aplica una fórmula de cuadratura semejante a la (6.4) que corresponde al intervalo (s10 s1<+1):

~h+l

~ f (x) dx ~ L (s1<, Sk+t; /). ~k

Como resultado, a partir de la fórmula de cuadratura (6.4), que se denominará canónica, obtendremos fórmula de cuadratura complicada

b n-1

~ f (x) dx ~ ~ L (~1u Sh+i; /). (6. 7) a k=O

Por ejemplo, la fórmula de cuadratura complicada pa­ra un rectángulo tiene, evidentemente, la expresión si-

11iente: h n-1

~ f (x) dx b n ª ~ f (xí.), a h= O

45

"'"

donde

XÍ< =a+ (2k+1) (b a) 2n

k=O, 1, ... , n-1.

La fórmula de cuadratura complicada de los trapecios tiene la forma

b

~ f (x) dx ~ b 2n a [f (so)+ 2/ (s1) + 2/ (62) + ... a

... + 2/ (sn-1) + f (sn)],

donde los números Sk se definen por las igualdades (6.6). La fórmula complicada de Simpson tiene por expre-

sión b

~ f (x) dx ~ bi:a {! (x0) + 4f(x1) + 2/ (x2) + a

+ 4f (x3) + ... + 4f (X2n-1) + f (X2n)},

donde

+ · b-a · O 1 2 x¡=a i - 2-, i= , , •.• , n. n .

Es fácil ver que si la fórmula de cuadratura (6.4) es exacta para todos los polinomios P P (x) de grado p, es decir, si para todos los polinomios P P (x) se verifica la igualdad

1

, ~ P P ( x) dx = L ( P p), o

(6.8)

lo mismo tiene lugar también para la correspondiente fórmula complicada (6. 7).

En virtud de (4. 7} tenemos 1 1

~ f dx-L (f) = ~ F r (t) f<r) (t) dt, (6.9) o o

donde

F T (t) 1 [ (1 - t)7 m

(r-1)! r ~ PkKr(xh-t)J. (6.10) k=O

46

Pongamos, igual que en el § 5,

1 1

Cr= máx 1 ~ fdx-L(f)I=~ ¡F,(t)ldt. (6.11) /EW(r)(1; O, 1) o O

Teorema 1. Si la fórmula de cuadratur~ (6.4) es exacta para todos los polinomios de grado r - 1, entonces para cualquier función f, perteneciente a la clase w<r> (M; a, b), tiene lugar la desigualdad

b n-1

1 \ '1 1 (b-a)r+l e M J f (x) dx - LJ L (Sk• Sk+t; /) ~ ~r r • (6.12) a k=O

Existe una función f*, dependiente de n y perteneciente a la clase W<r> (M; a, b), para la cual la desigualdad (6.12) se transforma en una igualdad.

Demostración. Teniendo presentes las propiedades de semejanza de la funcional L (sk, Sk+i; /) a la funcional L (f) y, además, la igualdad (6.9), tenemos (las explica­ciones daremos más abajo)

b n-1

~ f (x) dx - ~ L (Sk• Sk+t; /) = a k = O

n-1 61i+i

=~ { ~ fdx-L(sk, Sh+t; n}= k=O 6h

n-1 1

- h~ {~ f(sh+hu)du-L[f(sk+hu)J}= k= O O

n - 1 1

= hr+t ~ ~ Fr (u)¡<'> (sk +hu) du, h=O O

h=. bna· (6.13)

El símbolo L [f (sh + hu)] denota L (F), donde F (u) = = f (s" + hu).

47

Si, ahora, la función f pertenece a la clase w<r>(M; a, b), entonces

b n-1 n-1 1

1 ~ f dx- ~ L (610 Sk+t; /) 1~Jir+1 ~ M ~ !Fr (t)I dt= k=O O " k=O

- (b-a)T+l CrM nT (6.14)

lo que demuestra la desigualdad (6.12). Queda por demostrar la posibilidad de construir una

función f* E w<r> (M; a, b}, para la cual la desigualdad (6.12) se transforma en la igualdad. Sea f k (x) cierta fun­ción definida en el segmento [6k, 6k+il que tiene deriva­da continua a trozos de orden r y que satisface la condición

¡<¡> (611 + hu) = M sign F r (u), (6.15)

O< u< 1, k = O, 1, ... , n - 1.

Pongamos f * (x) = f 0 (x) en el segmento 160 , 611. Si la función f * (x) ya está definida en el segmento rno, 6kl y tiene en su extremo 6k derivadas 1) iguales a

t* (s") = ªº' !~ (sk) = ª•• ... , ¡<¡- 1> (sk) = ªr-1·

entonces hagamos

f* (x) = Ík (x)+ Pr-t, 11 (x) (6.16)

en el segmento [s 11 , Sk+i), donde P r-1 ,11 (x) es el polino­mio de grado r - 1, elegido de una manera: tal que el segundo miembro de (6.16) tenga en el punto 6k deriva­das de hasta el (r - 1)-ésimo orden inclusive iguales a los números a 0 , a 1 , ••• , a 7 _ 1 , respectivamente.

Con esto la función f * (x) queda completamente defi­nida (por inducción) en el segmento [a, b). Pertenece, evidentemente, a la clase W<r> (M; a, b}. Pongámosla en (6.13) y tendremos en cuenta que

dT dxr Pr-1,h (x} =O.

1) Aquí y en adelante se considera que la derivada de orden nulo es igual a la misma función.

48

Entonces, en virtud de (6.15), tendremos

b n- 1

~ !* dx- ~ L (611, S11+1; f*) = a k=O

n-1 1

=hr+t ~ ~ Fr (u) M sign Fr (u) du= r = O O

1

= Mhr+ln ~ 1 Fr (u) 1 du = (b-a)~:1 crM ,

o

y el teorema queda completamente demostrado. Si es posible estimar algunas derivadas de la función

f (x), para la cual deseamos calcular la integral. definida, es decir, si es posible determinar algunas constantes M 1,

M 2 , ••• , para las cuales tienen lugar en el segmento [a, b) las desigualdades

1 f' (x) 1 ~M1, 1 f" (x) 1 ~M2,

entonces, sabiendo magnitudes numéricas c7 , podemos ha­ciendo uso de la estimación (6.12) eligir de las fórmulas de cuadratura correspondientes aquella que da la mejor aproximación.

Este teorema puede extenderse a la clase Wt> (M; a, b) del modo siguiente. P

Teorema 1' . Para toda func ión f perteneciente a la clase wz> (M; a, b), donde 1 < p < oo, tiene lugar la desigualdad

p

b n-1

1 ~ fdx- ~ L(61i - 61i+¡; f)l~(b-a)r+~~l/Pc~q)M' ª k = O

1

c~q) = ( \ 1 F 7 (t) lqdt) 11q, ..!.+_!_=1, J ' p q o

(6.17)

que es exacta en el sentido de que existe una función f* , perteneciente a la clase indicada, para la cual dicha desigualdad se convierte en la igualdad.

4-0864 49

~ ""

Demostración. De (6. 13) se deduce, en virtud de la desigualdad de Holder:

b n-1

1 ~ f dx- ~ L (;k, ;1!+1; !) I= a k=O

n-1 1

=I hr+l ~ ~ Fr (u) j(T) (;k+hu) du 1 ~ k=O O

n-1 1 1

~hr+l ~ ( ~ 1 Fr ¡q dt )11q ( ~ 1 j(T) (h+hu) IP du )11p = k=O O O

n-1 ~k+l = hr+l-l/P4q) ~ ( ~ 1 j(r) (x) 1 P dx) l/p ~

k=O s1¡ n-1Sk+l n-1

~hr+l-l/Pc~q)( ~ ~ IW>1Pdx) 11P( ~ fq)l/q=

k=O ~k k=O

b

= hr+l-1/Pnl/qc~q) ( ~ 1 j(T) 1Pdx)1/p ~ (b-a)r+l~l/Pc~q) M ' (6.18)

a

_!_+..!.-=1. p q

Por otra parte, si en el segmento [h, h +il las funciones fk (x) se definen de tal manera que sus derivadas de orden r satis­fagan las desigualdades

f,[>(;n+hu)= M 1 F 7 (u) ~q-1 signF7 (u) ,

(b-a)1/P O 1 Fr ¡qdu)1IP o

k=O, 1, ... , n-1.

y se construye a continuación la función f * (x), con ayuda de las funciones fk (x) utilizando el método igual al aplicado más arriba, entonces la función obtenida Í• (x) pertenecerá, que es fácil de comprobar, a la clase w<¿> (M; a, b) y para ella la desigualdad

(6.17) se transformará en la igualdad. Teorema i ". Para cualquier función f de la clase wz> (M; a, b)

tiene lugar la desigualdad (6.17), donde

e~"")= máx 1 F7 (t) ¡. (6.19) o,,;;;t,,;;;1

El segundo miembro de la desigualdad (6.17) no puede ser disminuido.

50

Demostración. Las relaciones (6.18) quedan en vigor, si con­sideramos en ellas que c~00> se define por la igualdad (6.19). Pero, ahora ya no podemos afirmar que existe la función de la clase wc¡:> (M; a, b), para la cual la desigualdad se transforma en la igualdad exacta.

Sin embargo, siempre pueden construirse en los intervalos (s1¡, ;1!+1) las funciones Ík (x) de la clase w<¿> (Mln; ;1¡, S11+1) de tal manera que el primer miembro de la desigualdad

sn+1

1 ~ f1¡dx-L(s¡¡, ;1!+1; tn)J~(b-;:-ªf+ 1 c~00>M s1¡

sea tan próximo al segundo como se quiera. Luego, con ayuda de las funciones fk (x) construimos, al igual como se ha hecho más arriba, la función t. (x), para la cual el primer miembro de (6.18) se diferencia del segundo a una magnitud tan pequeña como se quiera.

Teorema 2. Si la fórmula de cuadratura (6.4) es exacta para todas las constantes (polinomios de grado nulo), enton­ces para cualquier función f (x) perteneciente a la clase H w (a, b) = W<0>H w (a, b) tiene lugar la desigualdad

b n-1

1 ~ f dx- ~ L (~1¡, ~n+t; f) 1~ a k=O

m-1

~ ( 1 + ~ / Pk 1 ) ( b - a) ffi ( b :-ª ) . k= O

Demostración. Admitamos por ahora que la función . f pertenece a la clase H w (O, 1) y supongamos

f (x) = f (O) + cp (x).

Entonces (véase (2.3))

1 cp (x) 1 = 1 f (x) - f (O) 1 ~ ffi (1)

y debido a que en este caso la fórmula de cuadratura (6.4) ('S exacta para las constantes, tenemos

1 1 m-1

1 ~ f dx-L (!)' =J ~ cp dx- ~ PnCf! (xk) 1 ~ O O k=O

m-1

~úl(1)(1+~ IPnl). k=O

l • 51

"'" "

Ahora, si la función f pertenece a la clase H"' (a, b), entonces, tomando en consideración la relación (6.13) (sin la última igualdad) y el hecho de que

1 f (Sk +hu")-- f (Sk +hu') l ~ro (h (u" - u')) ~ro (h),

O~u' <u" ~1,

obtenemos b n-1

'~ fdx- ~ L(sk, Sh+t; !)1~ a k=O

n-1 1

~h ~ 1 ~ f (sk+hu) du-L[f(sk+hu)JI~ k=O O

n-1 m - 1

~h ~ w (h) ( 1 + ~ 1Pk1) = k=O k=O

m-1

( "'1 ) (b-a) b-a =1-\-L.JIPkl (b-a)ro -n-,' h=-n-· k=O

Teorema 3. Si la fórmula de .cuadratura (6.4) es exacta para los polinomios de grado r, entonces para todas las fun­ciones f pertenecientes a la clase w<r>Hw (a, b) tiene lugar, cuando r ~ 1, una desigualdad

b n-1

1 ~ f dx- ~ L (sk, Sk+1; f) 1~ a k=O

ú) ( b-a \ ~(b-ay+1cr n J

nr (6.20)

donde Cr .se define mediante la fórmula (6.11). Demostración. Si en la igualdad

1 1

~ f dx-L (f) = ~ Fr (t) f<r) (t) dt o o

(véanse (5.1) y § 4), obtenida teniendo en cuenta la condi­ción de que la fórmula de cuadratura (6.4) es exacta para los polinomios de grado r - 1, ponemos en calidad de f (x) la función x 7 , entonces, en vista de que la fórmula

52

de cuadratura considerada en este teorema es exacta para los polinomios de grado r, obtenemos

1

~ F T (t) dt = o. (6.21) o

Supongamos ahora que la función f pertenece a la cla­se W<r>H"' (a, b). Apliquemos a ella la transformación (6.13). Entonces, teniendo en cuenta (6.21 ), obtenemos

b n-t

1 ~ fdx- ~ L (sk, Sk+t; f)I= a k=O

n-1 1

=hr+1¡ ~ ~ Fr(u)r>(sk+hu)dul= k=O O

n-1 1

= hr+t I ~ ~ F r (u) [¡<7> (Sk +hu)--k=O O

n-1 1

- j(r)Sk)] du J ~hr+t ~ ~ 1 F r (u) 1 J/<r) (Sk + k=O O

n-1 1

+ hu)-r>(sk)/du~hr+t ~ ~ JFr(u)Jro(h)du= k=O O

( b- a) =(b-ay+tcr ú) n

nr

y el teorema queda demostrado. Indiquemos que las estimaciones obtenidas en el teo­

rema (1) (como también 1', 1 ")son absolutamente exactas y no pueden ser mejoradas, mientras tanto las obtenidas en los teoremas 2, 3 no poseen esta propiedad. Estas últi­mas pueden ser mejoradas ulteriormente. Sin embargo, está demostrado [13] que en el sentido del orden ambas úl­timas estimaciones no pueden ser mejoradas. Esto signi­fica que, si en la desigualdad (6.20) sustituimos r por un número mayor r1 , O· bien la función ro (x), por otra función <•>1 (x), para la cual

l, ú)¡ (x) O Im--­x-+O ú) (x) - '

53

1 ....

entonces, cualquiera que sea la constante A, el primer miembro de (6.20) no puede ser inferior a A w ((b-a)/n) , ó

nr,

A Wi ((b-;:ra)/n} ' respectivamente, para toda f E w<r) X .

X H 00 (a, b) y todo n = 1, 2, ... Algunas estimaciones exactas para las clases de funcio­

nes que satisfacen la condición de Lipschitz fueron obte­nidas por A. Ch. Turetski [18].

§ 7. Estimaciones para las funciones individuales. Elección de la fórmula de cuadratura

En virtud del teorema 1 del párrafo anterior, si apli­camos a la función f, perteneciente a la clase w<r> (M; a, b), la fórmula de cuadratura complicada

b n-1

~ f dx ~ ~ L (Sk-I• Sk; /), (7.1) a k=O

que es exacta para los polinomios de grado r - 1, enton­ces el orden de aproximación 1 ) con ayuda de esta fórmula es igual a O (n-r). Este resultado da la estimación de aproximación de arriba para toda clase de funciones w<rl (M; a, b).

El teorema 1 afirma también la existencia en la clase w<r> (M; a, b) de una función (dependiente de n), para la cual el orden de la aproximación con ayuda de la fór­mula (7.1) es conseguible. En este párrafo se mostrará que este fenómeno tiene lugar en cierto sentido para cada fun­ción (no dependiente de n) de la clase wcr> (M; a, b), siempre que ella no es polinomio de grado r - 1, y si la fórmula de cuadratura no es exacta para los polinomios

1) Se dice que el orden de una magnitud en (n = 1, 2, ... ) es O (n-r) y se escribe en= O (n-r), si existe una constante positiva e (no dependiente de n) tal que para todo n = 1, 2, ... tiene luga,r

1 en 1 < C/nr,

La magnitud en es de orden estrictamente igual a O (n-r), si existen constantes positivas C1 , C2 tales que para todo n = 1, 2, ... tiene lugar

C1/nr < 1 en 1 < C2/nr,

54

de grado r. Cualquiera que sea la función f de la clase w<rl (M; a, b), si ella no es un polinomio de grado r - 1, el orden de aproximación ofrecido por la fórmula de cua­dratura (7 .1) es, en cierto sentido, estrictamente igual a O (n-r).

Comencemos por demostrar el siguiente teorema. Teorema 4. Supongamos que la función f (x) tiene en

el segmento [a, b] la derivada continua ¡<rl (x) de orden r, b-a •

y que Sk =a +--k (k =O, 1, .. ., n -1), les un nu-n

mero natural que satis/ ace las desigualdades ,O < l ~ n, w (h) es el módulo de continuidad de la función ¡<rl (x) en el segmento [a, b].

Admitamos, además, que la fórmula de cuadratura (7.1) es exacta para los polinomios de grado r -1, y x es la cons­tante que se define por la igualdad (véase (6.10))

1

X=~ Fr(t)dt. (7.2) o

En estas condiciones tiene lugar la siguiente igualdad asintótica:

;¡ !-1

~ f dx- ~ L (sk, Sk+1; /) = a k=O

~l

=( b--;:a r {x ~ ¡<r>(x)dx+O[rn(h)]}, (7.3) a

h= b-a n '

donde la constante c que figura en la estimación O [w (h)] ~ ~ cw (h), puede ser elegida de una manera tal que no sea dependiente de l y del módulo de continuidad w de la función ¡cr> (x).

Demostración. Al igual que en (6.13) tenemos ~l !-1

~ f dx- ~ L (sk, Sk+1; /) = a k=O

1-1 ~k+l

=~ { ~ fdx-L(sk, Sk+t; n}= k=O ;k

55

~ ·-- ..

l-1 1

=h ~ {~ f(sk+hu)du-Llf(sh+hu)J}= k=O O

l-1 1

=hr+1 ~ ~ Fr(~)f<r>(~k+hu)du=hr(a1 +02), (7.4) k=O O

h=(b-a)/n,

donde

l-1 1 1-1

01 = h ~ ~ Fr (u) f<r> (Sk) du = hx ~ j<T> (Sh), ~oo ~o

1-1 1 (7.5)

0'2 = h ~ ~ F T (u) lr> (s,, +hu)- r> (Sk)] du. k=O O

Pero,

61 1-1

1 ~ f<r) dx-h ~ r> (sk) 1~ O k=O

1-1 6k+1

~ ~ ~ 1 r> (x) - r> (s1J 1 dx ~ k=O sh

1-1 "'1 l (b-a)

~ L.J h(J) (h) ~--n - (J) (h) ~ (b- a) (J) (h), (7.6) k=O

por eso

'1 0'1 =X í r> (x) dx+ 0 ((J) (h)J. (7.7)

o

Como constante que figura en la estimación O [(J) (h)J puede tomarse en este caso el número 1 x 1 (b - a), es

56

decir, la magnitud que no depende de l y r>. Luego, 1-1 1

0'2~h ~ ~ 1 Fr (u) 1 (J) (h) du~ r=O O

1

~(b-a) ~ iFr(u)idu(J)(h)=(b-a)crw(h)= o

=o l(J) (h)]. (7.8)

Aquí la constante que figura en la estimación O [(J) (h)l tampoco depende de l y _f<r>.

De (7.4), (7.5), (7.7), (7.8) se deduce inmediatamente (7.3), con la particularidad de que la constante que figura en la magnitud O [(J) (h)J, no depende de l y j<r>, puesto que esta propiedad la poseen las constantes correspondientes de los segundos miembros de (7. 7) y (7 .8).

Observación 1. En el teorema demostrado se ha supuesto que­la derivada ¡<r) (x) es continua en [a, b]. Si suponemos que la función ¡<r> (x) es sólo integrable según Riemann en [a, b], la igualdad (7 .3) conservará la forma

61 1-1

~ f dx- ~ L( ;,,, ~k+i; /) = O k=O

61

=(b:ar {x ~ j(T)(x)dx+en}, (7.9)

o

donde En -+O uniformemente respecto de l cuando h -+O. En efecto, al designar con wk la oscilación de la función /(r) (.r)'

en el segmento ¡;k, f.¡¡+1], es decir, la diferencia entre las cotas exactas superior e inferior en dicho segmento, en lugar de (7 .6) tendremos:

s1 1- 1 1- 1 sk+1

1 ~ w> dx-h ~ j(r> (;1i) 1 ~ ~ ~ 1 ¡<r> (x)-j(Tl (fü 1 dx ~ O k=O k=O ;k

1-1 n-1

~ ~ (;1i+1 - ;I!) W¡¡ ~ ~ (;1!+1 - ;k) Wk-+ Ü,

k=O k=O h-+0,

57

¡ ~~"

y en lugar de (7.8), teniendo en cuenta que Sk+i - ~k = h, 1-1 1 n-1

1 <12 1 ~ h ~ ~ 1 F r (u) 1 W/¡ du ~ Cr ~ (s11+1 -s11) W11 _,..o, k=O O k= O

h _,..o. Esta observación se debe a K.M. Kardashevski.

Analicemos la fórmula obtenida (7.3). En su segundo miembro figura la constante x que se define por la igual­dad (7 .2) . Si la fórmula de cuadratura en consideración, :Siendo exacta para los polinomios de (r - 1)-ésimo grado, ya no es exacta para los polinomios de grado r, será nece­:Sariamente no exacta para la función xr. Por eso, de con­formidad con la fórmula (6.9), obtenemos

1 1 \ f \ dTtr

X= J Fr (t)dt=rl J F 7 (t) (ftrdt= o o

1 =+ { ~ tr dt-- L W)} =I= O. o

Supongamos ahora que está dada una función arbitra­ria f que tiene derivada continua de orden r y al mismo tiempo no es polinomio de grado r - 1. Es obvio que la derivada ¡cr> (x) no es igual idénticamente a cero. Pero, en este caso la integral

X

c:I> (x) = ~ ¡cr¡ (t) dt a

en [a, b] tampoco es igual idénticamente a cero. Sea .x0 un punto del segmento [a, b] tal que c:I> (x0 ) =/= O, y :Supongamos que l es un número natural tal que para él se verifican las desigualdades

61~Xo < S1+1· De este modo, les una función den. En este caso lím 61=

n .... oo = x 0 • Ahora

SI Xo

~ ¡cr> (x) dx = c:I> (x0)' - ~ f<r> (x) dx = c:I> (x0) +O (h), a ¡;1

(7.10)

!>8

puesto que Xo

1 ~ f(T) (x) dx 1~M 1Xo-611 ~Mh, s¡ .

donde

M = máx 1 f<r> (x) [, a~x~b

Al poner (7.10) en la fórmula (7.3), obtendremos

s1 1-1

~ f dx- ~ L (sk, Sk+t; f) = a k=O

=( b-;:a r{xc:I>(x0)+0(h)+O[w(h)]}=

=( b-;:a r{xc:I>(xo)+eh}, eh-+ O cuando h-+ O. (7.11)

El primer sumando de la suma encerrada entre corche­tes no es nulo a ciencia cierta, mientras que el segundo sumando eh tiende a cero cuando n -+ oo. De aquí se deduce que el primer miembro de (7 .11) tiene el orden que es estrictamente igual a O (n-r).

El resultado obtenido lleva al siguiente teorema. Teorema 5. Si una función f tiene derivada continua

r > (x) de orden r que no es igual idénticamente a cero y la fórmula de cuadratura (7 .1) es exacta para los polinomios de orden r - 1, pero no exacta para los de grado r, entonces existen una constante positiva c y un punto x0 en el segmento [a, b] tales que tiene lugar la desigualdad

s1 1-1

1 ~ f dx - ~ L (6k-1' Sk; f) 1 > ~r (7.12) a k=O

para todo n = 1, 2, ... , donde l es el número natural mayor, para el cual 61~ x 0 •

En particular, si

b

~ r (x) dx =I= o, a

59

. """'

podemos considerar l = n, y, de este modo, ~n cambio

b

~ f<r> (x) dx =O, a

entonces x0 < b.

b. Si, en

El teorema 5 constituye cierto complemento para el teorema 1.

La enunciación del teorema 1 puede ser reforzada. A saber, tiene lugar el siguiente teorema.

Teorema 6. Si la fórmula de cuadratura (7 .1) es exac­ta para todos los polinomios de grado r - 1, entonces para cualquier función f perteneciente a la clase w<r>(M; a, b) tiene lugar la desigualdad ·

n-1 sh+1 "'' 1 \ . 1 (b-a)'+l c,M 3 LJ j fdx--L(sk-Sk+i; f) ~ ~r • (7.1) k=O sk

Para cerciorarse de la validez de esta afirmación, de­bemos analizar una vez más los cálculos (6.13) y (6.14) que se aducían al demostrar el teorema 1.

El teorema · análogo al teorema 5 que es al mismo tiempo el corolario del teorema 5 se enuncia del modo siguiente.

Teorema 7. Si una función f tiene derivada conti-nua r>(x) de orden r que no es idénticamente igual a cero y la fórmula de cuadratura (7 .1) es exacta para los polino­mios de grado r - 1 y no lo es para los polinomios de r-ési­mo grado, existe una constante positiva c tal que se verifica la desigualdad '

n- 1 Sn+t

~ 1 ~ f dx - L (~k' Sk+1; f)I > :r k = O sk

para todo n = 1, 2, ... Observación 2. En los teoremas 5, 7 puede suponerse la in­

tegrabilidad de ¡<r> (x) según Riemann en lugar de la continuidad de ¡<r) (x) (véase Observación f) .

Así pues, queda demostrado que para todas las fun­ciones que tienen en [a, b] derivada continua (o, incluso,

60

integrable según Riemann) de orden r, excluidos sólo los polinomios Pr-i de grado r - 1, la aproximación con ayuda de la fórmula de cuadratura (7 .1) tiene el orden que es estrictamente igual a O (n-r). Por consiguiente, si una función f (x) tiene derivada de orden superior a r, sea ella incluso analítica, de todas formas, al aplicar para el cálculo de su integral definida la fórmula de cuadratu­ra (7 .1 ), exacta sólo para los polinomios P r-i (pero no para P r), no podremos a ciencia cierta obtener el efecto mejor en el sentido del orden de aproximación en compa­ración con aquél que tiene lugar para las funciones que poseen la derivada discontinua de r-ésimo orden. Por ejemplo, por buena que sea una función, siempre que ella no es un polinomio de tercer grado, el orden de aproxima­ción de su integral, al aplicar la fórmula complicada de Simpson, no puede ser a ciencia cierta mejor que O (n-•).

Si la función f (x) tiene en el segmento [a, bl, digamos, la quintá derivada, entonces para que esta propiedad di­ferencial de la función pueda dar un efecto completo en el sentido del orden de aproximación de la fórmula de cua­dratura, hace falta tomar la fórmula de cuadratura que sea exacta pasa todos los polinomios de cuarto grado, por ejemplo, la fórmula complicada de Cotes con cinco nu­dos, o bien la fórmula complicada de Gauss con tres nu­dos (véase § 5).

Hemos considerado el caso en que la integral definida de una función de la clase w<r) (a, b) se calcula aproxima­damente con ayuda de una fórmula de cuadratura compli­cada, exacta para los polinomios de grado r -1. Pero pue­de ocurrir que la función pertenezca a la clase w<r>(a, b), mientras que la fórmula de cuadratura es exacta para los polinomios de grado p - 1, y, además, r y p son indepen­dientes una de la otra. Sir~ p, entonces, como ya hemos aclarado, el orden de aproximación con ayuda de la fór­mula de cuadratura (7.1) es igual a O (n-P) y este orden no puede ser mejorado para todas las funciones f E w<r) X x (a, b), a excepción de los polinomios de grado p-1.

Trataremos de darnos cuenta qué será en el caso cuan­do r < p. Ya que la fórmula de cuadratura es exacta pa­ra los polinomios de grado p - 1 de eso se deduce que es también exacta para los polinomios de grado r - 1. De este modo, en virtud del teorema 6, podemos afirmar que para toda la clase W<r> (M; a; b) de funciones tiene lu-

61

1 -~ ...

gar la estimación (7 .13) que da el orden exacto O (n -r) de aproximación de la fórmula de cuadratura. Sin embar­go, para cada función f de la clase W<'> (M; a, b) este or­den es un poco mejor. Esto se ve de la fórmula (7 .3), la cual es, evidentemente, aplicable al caso en conside­ración. En esta fórmula la constante

1 1 \ f \ dTtr

X= J F,(t) dt=-;y- J F,(t)(f¡T dt o o

es igual a cero, lo que se deduce de la igualdad básica (6. 9) y del hecho que, por hipótesis, nuestra fórmula es exacta para los polinomios de grado p > r - 1. Por eso, para cada función separada f de la clase w1r>(a, b) tiene lugar la siguiente igualdad

s1 1-1

~ fdx- ~ L (sk, Sk+i; f)=( b-;:a )7 en = o(n-r), O k=O

donde en -+-O uniformemente respecto de l (O~ l~ n). En ciertos casos esta estimación puede ser reforzada.

Por ejemplo, si una función f (x) de la clase w<r> (M; a, b) tiene discontinuidades de la derivada pr> (x) sólo en los puntos a1 , a2 , ••• , a N• pertenecientes a la totalidad Sk, y en los segmentos [a, a1 ], [a1 , a 2 ], • •• , [aN, b] tiene derivadas continuas a trozos de orden p, entonces el orden de aproximación de la fórmula de cuadratura (7.1) será o (n-P)*). Esto se deduce directamente de la desigualdad (7.13) que debe aplicarse a cada uno del nú­mero finito de segmentos [a, a1 J, [a1 , a 2 ], • • • , [aN, b]. En cambio, si los puntos de discontinuidad ak de la deri­vada /<'> se ubican estrictamente dentro de los segmentos [sk, SH1 ], el orden de aproximación para la: función dada ofrecido por la fórmula de cuadratura (7 .1) no será, en el caso general, o (n -r).

Los razonamientos aducidos se deben tomar en consi­deración al elegir tal o cual fórmula de cuadratura cuando resulta necesario calcular aproximadamente la integral definida de una función concreta dada.

*) Se escribe ªn = o (~n) (n - oo), si lím (an/~n) =O y n-oo

se dice que an para n - oo es una magnitud de orden superior de pequeñez en comparación con ~n·

62

Se debe tener en cuenta, además, que hemos tratado aquí el orden de aproximación. El orden de por sí (sin conocer la constante que figura en él) nos indica sólo cómo se porta la aproximación, si aumentamos n hasta el infinito. Mas, en los cálculos prácticos hemos de con­tentarnos con valores determinados fijos de n. Para la estimación real de una aproximación con n fijo el papel decisivo lo desempeña no sólo si conocemos el orden de aproximación, sino también la constante que figura en el orden. Expliquemos esto con un ejemplo.

Si se sabe que dos fórmulas de cuadratura en conside­ración dan los órdenes de aproximación O (n-2) y O (n-''), esto sólo significa que existen dos constantes positivas C1 y C2 tales que las aproximaciones citadas no superan C1n-2 y C2n-4 , respectivamente. Está claro que la segun­da estimación es, para n suficientemente grandes, mejor que la primera, es decir, existe tal n0 suficientemente grande que para todo n > n 0

C1n-2 > C2n-4. (7.14)

Pero, cuando n son pequeños, el problema cuál de las mag­nitudes en consideración es menor depende también de la respuesta a qué son iguales C1 y C2 • Por ejemplo, si C1 = = 0,001 y C2 = 1, entonces paran~ 10 la primera esti­mación es mejor que la segunda. Indiquemos que el pro­pio número n 0 , a partir del cual tiene lugar la desigualdad (7.14), depende a su vez del valor de las constantes C1

y C2· De lo dicho se desprende que si necesitamos conocer la

estimación numérica real de la aproximación de una fór­mula de cuadratura dada, no podremos evitar el cálculo de la constante correspondiente de aproximación. Sabe­mos de lo anterior (véase (6.12)), que este problema en los rasos examinados se reduce al cálculo ·de las constantes C r definidas por la igualdad (6.11).

A los razonamientos enunciados se añaden en la prác­tica otras circunstancias bastante importantes. Una fórmula de cuadratura más exacta resulta ser frecuente­mente más complicada y engorrosa. De este modo, los e álculos que se hacen ayudándose de ella son mas laborio­~os . Se debe tener en cuenta, además, que prácticamente l'n muchos casos son conocidos no los valores exactos f (xk) de la función f (x), sino sus valores aproximados que

63

~~ ..

se calculan con ciertos errores. Eso conduce a que las su­mas

m-1

L (f) = ~ PkÍ (xk) k=O

o las sumas semejantes para las fórmulas de cuadratura complicadas las sabemos también sólo con una exactitud de hasta ciertos errores, los cuales, naturalmente, serán tanto más grandes cuánto más engorrosas sean las fórmu­las de cuadratura elegidas.

§ 8. Constante x. Precisión de la fórmula de cuadratura

En el § 7 se ha aclarado el papel de las constantes 1

X=~ F T (t) dt o

en las cuestiones teóricas de aproximación por medio de las fórmulas de cuadratura. Más abajo veremos que las constantes x también pueden desempeñar un papel esen­cial en la propia construcción de las fórmulas de cuadratu­ra.

Imaginémonos que con el fin de calcular la integral definida en el segmento [a, b] de cierta función f (x) se ha usado la determinada fórmula de cuadratura complica­da

b n-1

~ f (x) dx ~ ~ L (Sk, Sk+ 1; f), (8.1) a k=O

que es exacta para todos los polinomios de grado r - 1. Si la función tiene derivada acotada de orden r, entonces, como ya sabemos, el orden de aproximación de la fórmu­la (8.1) es igual a O (n-r). Sabemos también que si nues­tra función tiene realmente una derivada de orden r+ 1, esta circunstancia (en el caso de que la fórmula no sea exac­ta para los polinomios de grado r) de por sí no mejora el orden de aproximación. No obstante, veremos ahora mis­mo que puede agregarse al segundo miembro de la igual­dad aproximada (8.1) una expresión no compleja tal que

64

lleve a una nueva fórmula de cuadratura que ya ofrece una aproximación de orden O (n-r-1) para las funciones con derivada continua r+ 1> (x}.

Convengamos en considerar, para la comodidad, que nuestra función f (x) está definida y tiene derivada conti­nua de orden r + 1 sobre el segmento [a, e], donde b < < c. Esto no limita la generalidad de los razonamientos,

puesto que una función que tiene en [a, b] la derivada continua ¡<r+i¡ (x) puede ser siempre prolongada en [a, e] conservando intacta esta propiedad. Pongamos

~kf = f (sk+1) - f (sk), · ~~! = ~k+d- ~kf,

Mf=~l+d-ó.if, ... y mostremos que la fórmula de cuadratura

b n-1

~ f (x) dx ~ ~ L (sk, Sk+t; /) + hx (~"n- 1/- ti~- 1!), a k=O

h=(b-a)/n, (8.2) proporciona para todas las funciones f (x) que tienen deri­vada continua de orden r + 1 la aproximación de orden O (n-r-1).

En efecto, observemos que n-1 n-1

~ Mil=~ (~;;¡~/-M,- 1f)=ti~- 1¡-ó.~-1¡. k=O k=O

Además, en virtud del teorema del valor medio, tiene lugar la igualdad 1)

f:!.T f :r = r> (sk + rhe,.),

donde ek satisface las desigualdades o< ek < 1.

1) Cuando r = 1, es el teorema corriente del valor medio. Admitamos que el teorema es cierto parar - 1, entonces

l:!.k.f l:!.¡;- 1 [f (xk + h)- f (x1i)) hT hT

w-1> (sk+ (r-1) h0' +h)-j(T-l) (s1i+(r-1) h0') _ h -

= j(T> (sk + (r-1) he'+ h0") = j(T) (sk + rh0,.).

Aquí, 0<0', 0", 0k<1.

5-0864 65

·~ .. '

Por eso, debido a la igualdad (6.13), b n-1

I~ fdx-~ L(sh, Sk+1; f)-hx(~~- 1f-~~- 1tl= a k=O.

n-1 1

=jhr+1 ~ ~ F7 (u)j<7>(6k+hu)du-h=o o

n-1 1 r .

- hr+ 1 ~ ~ F, (u) ~~! d u 1 ~ k=O O

n-1 1 r

~hr+1~ ~ jF 7 (u)J Jj<'>(6,,+hu)-~~/ ldu= h=O O

n-1 1

= hr+ 1 ~ ~ 1 F r (u) I I ¡<r> (6,, + hu) -k=O O

- ¡<'> (sk + rhek) 1 du~hr+1rhncrKr+t =

- K r (b- a) e hr+1-0 (n-r-1) - r+1 r - •

donde 1

e,=~ o

1 Fr (t) 1 dt, Kr+t = máx J j<r+t) (x) j. a~x~c

Nuestra afirmación queda demostrada. Valiéndonos de la fórmula (8.2), podemos en algunos

casos precisar el resultado ya obtenido por la fórmula (8.1). Imaginémonos que, acabados los cálculos según la fórmula (8.1), se advirtió, por ejemplo, con arreglo al carácter de variación de Md que la función en considera­ción f (x) tiene derivada menor de orden r + 1. En este caso la adición de la expresión hx (M,- 1 f - ~~-·/) al segundo miembro de (8.1) o de una expresión más có­moda (que se diferencia de la primera en O (n-r-1))

hx (~~-~/).d- ~~- 1 /) (8.3)

puede conllevar a la mayor precisión del resultado apro­ximado obtenido.

El cálculo del valor exacto de x no representa dificul­tades algunas. Se reduce a la simple integración de la

66

función F r (t), que es igual en los intervalos parciales en el segmento [O, 1], a ciertos polinomios algebraicos cono­cidos de grado r.

Ejemplo. Para la fórmula de Simpson. cuando r = 4, la constante se calcula así:

1

1 \ [ (1- t)4 2 ( 1 ) 1 J x = 31 J 4 3 K4 2 -t - 6 Kd1-t) dt= o

1/2 1 1 [ 1 2 \ ( 1 )3 1 \ J -1 = 5 20-3 J 2--t dt-5 J (i-t)3 dt = 2880.

o o

De este modo, el sumando adicional (8.3) en este caso tie-ne por expresión

h -2880 (~;-3¡ - ~~).

§ 9. Estimaciones de las fórmulas de cuadratura multidimensionales

En los cálculos aproximados de las integrales múlti­pl es del tipo

b d

~ ~ f (x, y) dx dy a e

se aplican a menudo fórmulas de cuadratura que pueden obtenerse de las fórmulas de cuadratura unidimensionales complicándolas de un modo correspondiente.

Tomemos como iniciales dos fórmulas de cuadratura del tipo (4.1):

1 1

~ f dx ~ L (f), o

~ f dy ~ L1 (f), (9.1) o

donde m-1

L (f) = L; PkÍ (xk), O~xo < X1 < · .. < Xm-1 ~ 1, h=O

m 1 -1

L1 (f)= L; pí,f (y,,), O~yo<Y1 < ·. · <Ym1 -1~1. k=O

!1• 67

·~ .. '

En todo caso supondremos que las fórmulas (9.1) son exactas para las constantes, es decir, que se cumplen las condiciones

m-1 m 1 -1

~ Pk = ¿j PÍi = 1. k=O k=O

(9.2)

Si en un cuadrado O~ x, y~ 1 está dada la función continua f (x, y), entonces para calcular aproximada­mente su integral definida podemos aplicar en el cuadra­do citado la siguiente fórmula de cuadratura:

1 1 m- 1 m,-1

~ ~ f (x, y) dx dy ~ ~ ~ PkPÍf (xk, Y1) = O O k=O l=O

=L(O, 1, O, 1; /). (9.3)

Supongamos ahora que se tienen dos clases de funcio­nes continuas cp = cp (x), definidas en el segmento [O, 1]: fill' y fill".

Designemos con e' la cota superior: 1

c'=sup 1 ~ cpdx-L(cp)¡, 4PEml' 0

(9.4)

extendida a todas las funciones cp de la clase fill'. Dicho de otro modo, la constante e' es el número mínimo entre los números /..., para los cuales se verifican las desigualda­des

1

1 ~ qidx-L(cp)l~t. (9.5) o

para todas las funciones cp de la clase m'. Suponemos que tal constante finita existe 1 ) para el conjunto dado de fun­ciones m'.

Análogamente tomemos 1

e"= sup 1 ~ cp dy-Lt(cp) I · 4PEml" 0

(9.6)

1) Del teorema general del análisis matemático sobre la exis­tencia de la cota superior proviene que la cota superior e' existe, si existe por lo menos un número A., para el cual tiene lugar (9.5) cualquiera que sea <p perteneciente a la clase ml'.

68

Si una función f (x, y), definida en el rectángulo O~ x, y~ 1, posee la propiedad de que para todo y fijo ella pertenece, como función de X, a m' , y para todo X fijo pertenece, como función de y, a m "' entonces, en virtud de (9.2), (9.4) y (9.6), la aproximación con ayuda de nuestra fórmula bidimensional (9.3) satisfará la desigualdad

1 1 m-1 m 1 -1

1 ~ ~ f (x, y) dx dy- ~ ~ PkPÍf (xk, Yi) I= O O k=O l=O

1 1 1 m-1

= ~ ~ f (x, y) dx dy- ~ ~ Pkf (xk, y) dy + O O O k=O

m-1 1 m-1m1 -1

+ ~ Pk ~ f (xk, y) dy- ~ ~ PkPÍf (xk, Yi) 1 ~ k=O O k=O l=O

1 1 m-1

~ ~ 1 ~ f (x, y) dx- ~ PkÍ (xk, y) 1 dy + O O k=O

m-1 1 m 1 -1

+ ~ 1Pk11 ~ f (xk, y) dy- ~ PÍf (xk, Y1) 1~ k=O O l=O

m-1

~c'+c" ~ ¡p,. 1 (9.7) k=O

o la desigualdad

¡ i f (x, y) dx dy- :~: I P•PÍÍ (x., Y1) 1 ~ m 1-1

~e' ~ IPÍ 1 +e", (9.8) l=O

111 cual se obtiene por razonamientos análogos. Partiendo de la fórmula (9.3), puede construirse para

1111 rectángulo arbitrario a~ x~ b, e~ y~ d la siguien-

69

.. _, "

te fórmula de cuadratura b d

~ ~ f (x, y) dx dy ~ L (a, b; e, d; /) = a e

m-1 m 1-1

= (b-a) (d-c) ~ ~ P1tPÍf (a-t-k=O l=O

+(b-a)x1i, c+(d-c)y1),

que, naturalmente, se llamará semejante a la fórmula de partida.

Por fin, podemos dividir el rectángulo dado en µv rectángulos iguales a;1 (s;~ x~ Si+1• YIJ~ Y~ YIH1) (i = O, 1, ... , µ - 1, j = O, 1, . ,. ., v - 1), donde los puntos s; y YIJ dividen los segmentos respectivos [a, b] y [e, d] en partes iguales, y a continuación aplicar la correspondiente fórmula semejante a cada uno de los rectángulos aducidos. Como resultado, obtendremos, a partir de la fórmula (9.3) la siguiente fórmula de cuadratu­ra complicada correspondiente al rectángulo a~ x~ ~ b, e~ y~d:

b d µ-1 v-1

~ ~ f (x, y) dx dy ~ ~ ~ L;1 (/), a e i=O j=O

m-1 m 1-1

Lii (/) = (S;+t -s;) (Y11i+1-ri1i) ~ ~ P1iPÍf (s; + . k=O l=O

+ (s;+¡ -s;) x1i, ri1 + (ri1+1-ri1) Yz).

Más abajo se dan algunos teoremas que ofrecen estima­ciones de aproximación de las fórmulas de cuadratura cons­truidas de la manera citada.

Teorema 1"". Supongamos que una función f (x, y) tiene derivadas parciales respecto a x de orden r y respecto a y, de orden s, que satisfacen en el rectángulo a~ x~ b, e ~ y~ d las desigualdades

1 ar¡ 1 1 as¡ 1 axr ~ M' ay• ~ N.

Admitamos, además, que las fórmulas de cuadratura (9.1), definidas por las funcionales L (!),y L1 (f), son exactas para los polinomios de grados r-1 y s-1, respectivamente.

70

En este caso tenemos b d µ-1v-1

~ ~ f dx dy- ~ ~ L u(/) 1 ~ a e i=O i=O

b-a r d-c s [ m J ~(b-a)(d-c) crM(-µ-) +Ne.~ IP1il{-v-) ,

k=O

donde Cr y c8 son constantes que se definen según la fórmula (5.3) para L (/) y L1 (/), respectivamente.

Demostración. Hagamos h = (b - a)/µ, g = (d -- c)/v. Entonces tenemos

b d µ-1 v-1 µ-1 v-1

~ ~ fdxdy- ~ ~ Lu(/)= ~ ~ x a e i=O j=O i=O i=O

(~i+l 1lj+1 )

X ~ ~ f dx dy-L;¡ (/) = ~i 11j

~ hg ~: ~: {I t 1(!1 +hu, ~J +gv) du dv-

- L (0, 1, 0,1; f(s;+hu, ri1 +gv))}. (9.9)

La función f (s; + hu, YIJ + gv) tiene en el cuadrado O~ u, v~ 1 la derivada parcial respecto a u de orden r que no es superior en su valor absoluto a Mhr y derivada parcial respecto a v de orden s que no supera en su valor absoluto N g•. Así pues, la dicha función pertenece como func ión de u, para cualquier V fijo, a la clase w<r> (Mhr: O, 1) y como función de v, para cualquier u fijo, a la clase w<•> (N g•; O, 1). Por eso, en virtud de (4.8) tiene lugar la üesigualdad

1

~ f (s; +hu, ri1i + gv) du + Lu (/ (s; +hu, ri1i + gv)) 1 ~ o

~ CrMhr, (9.10)

donde Lu (cp) denota la operación L que se aplica a la fun­ción cp, considerada como función de u, siendo fijas las !'estantes variables.

71

'"#flfll

Por analogía,

1 ·.

~ f (s; + ·,;,~, 'llk + gv) dv-Lv (f (s; +hu, 'llk + gv)) 1 ~ o

~ c8 Ng'. (9.11)

Se debe tener en cuenta que la aplicación de la desi­gualdad (4.8) resulta lícita sólo a condición de que las fórmulas (9.1) son exactas para los polinomios de grados r - 1 y s - 1, respectivamente.

De (9.9)-(9.11) obtendremos (en virtud de la desigual­dad (9.7), donde es preciso considerar e' = crMhr, e" = = csNgs):

b d µ-1 v-1

~ ~ fdxdy- ~ ~ Lii(f)I ~ a e i = O j = O

µ-1v-1

~hg~ ~ i=O i=O

1 1

~ ~ f (s; +hu, 'lli+ gv) du dv­o o

-L (0,1; 0,1; f (S¡ +hu, 'lli + gv) 1 ~

,,;; µvhg (c,Mh' +c,Ng' :~: IP•I) ~ (b-a) (d-;-c) x

m-1

[ ( b-a )r "1 · { d-c }s] X CrM -µ- +es LJ IPk IN -"-

k= O

y el teorema queda demostrado. · Teorema 2'. Supongamos que una función f (x, y) satisface en el rectángulo a~x~b, e~ y~d las condiciones

lf(x', y)-f(x, Y)I ~w.(lx'-xj),

lf(x, y')-f(x, Y)l~w2(ly'-yl), (9.12)

donde w1 , w2 son funciones, para las cuales se cumplen las desigualdades (2.2), y, ademas, las fórmulas de cuadratura

72

(9.1) son exactas para las constantes arbitrarias. En este caso tiene lugar una desigualdad

b d µ-1v-1

~ ~ f dx dy- ~o i~O L;j (f) 1 ~ Aw1 ( b;a )+

+Bffi2 (d-;c), (9.13)

donde A, B son constantes (véase más abajo (9.14)). Demostración. De las desigualdades (9.12) se deduce

que la función f (s; + hu, 'lli + gv) de u y v en el rectán­gulo 0~ U, V~ 1 satisface las desigualdades

lf(s;+hu', rlJ+gv)-f (s;+hu, 11i+gv)I ~ ~ wt(hlu' -- u¡)= w1, h (lu' -ul},

lf (s; +hu, 11i + gv')- f (s; +hu, 'lli+ gv) 1 ~ ~ w2 (g¡v' -vi)= w2 ,g (lv' -vi).

Por consiguiente, esta función según la variable u pertenece a la clase H w1.h (O, 1) para cualquier v fija, y según la variable v, pertenece a la clase H w (O, 1) para cualquier u fija. Por eso, en vista del te;~~ma 2, § 6, donde se debe considerar a = O, b = 1, n = 1 tienen lugar las desigualdades

1

~ f(S¡+hu, ri1+gv)du-Lu(f(s;+hu, rirt- gv))I~ o

~ ( 1+ ] 01

IPkl)wdh), 1

~ frn;+hu, 11i+gv) dv-L,, (f (s¡+hu, "'li+gv)) 1 ~ o

,,;; ( 1 + "!1IPi1) "'• (g),

y, por consiguiente, en virtud de la desigualdad (9. 7) én la que se debe considerar

c'=(1+ ·~r IPkl)w1(h), c"=(1+ m·~r IPíl)w2 (g), k=O l= O

73

"" .. 11111

tenemos de (9.9) b d µ-1v-1

~ ~ f dx dy- ~ ~ L ;¡ (/) 1 ~ a e i=O i=O

:::;;;; µvhg (A1cu1 (h) + B 1ffi2 (g)) = Áffi1 (h) + Bffi2 (g),

donde

( m-1 )

Á= (b-a) (d-c) 1 + h~o IPh! ,

B=(b-a)(d-c)(1+ ~~1 JpíJ)~~01 IPhi·

(9.14)

Teorema 3'. Supongamos que una función f (x, y) tiene derivadas parciales de órdenes r (respecto a x, r ~ 1) y s (respecto a y, s~ 1) que satisfacen en el rectángulo a:::;;; :::;;;; x:::;;;; b, e:::;;;; y:::;;;; d las condiciones

lf~>(x', Y)-/;>(x, Y)I :::;;;;ffi¡(Jx'-xJ),

lf~s)(x, y')-f~s)(x. y)J:::;;;; ffi2(Jy'-yJ), r

donde ffi1 , ffi2 son funciones que obedecen a las desigualdades (2.2). Supongamos, además, que las fórmulas de cuadratura (9.1) son exactas para los polinomios de grados r y s, respec­tivamente. Entonces

b d µ - 1 v- 1

~ ~ f dx dy- ~ ~ L¡¡ (/) 1:::;;;; a e i = O i=O

r ( b-c )r ( b-a ) :::;;;;(b-a)(d-c)Lcr -µ- ffi1 -µ- + m - 1

"1 ( d - c )s ( d -c )] +es L.J IPhl -v- ffi2 -v- · k = O

(9.15)

Demostración. De las condiciones impuestas en la fun­ción f (x, y) se deduce que la función f (Si +hu, 11¡ + + gv) en el cuadrado o:::;;; u, v:::;;;; 1 pertenece según la variable u, siendo V fija, a la clase w<r>Hhr (a, b)

wl, h donde w1 , h (u) = w1 (hu), y según la variable v, siendo fija u, pertenece a la clase w<•>H • (e, d). De este mo­

s w2 , g do, de acuerdo al teorema 3, § 6, donde se debe considerar

74

a =O, b = 1, n = 1 y sustituir w1 (x) por hr w1(hx), tendremos

1

~ f (s; +hu, 111 + gv) du-Lu (f (s; +hu, 111+ gv)) 1:::;;;; o

:::;;;; crhrw1 (h).

Por analogía,

1

~ f (s; +hu, 11i+ gv) dv- Lv (f (s; +hu, r¡; + gv)) 1:::;;;; o

:::;;;; C8 g 5W 2 (g)

y, por consiguiente, en virtud de la desigualdad (9. 7) suponiendo en ella e' = crhr w1 (h), e" = c8 g• w2 (g) ob­tenemos de (9.9)

b d µ-1v-1

~ ~ f dx dy- ~ ~ Lu (/) 1:::;;;; a e

µ-1v-1

:::;;;;hg ~ ~ i=O i = O

i=O i=O 1 1

~ ~ f (s; + hu, 11¡+ gv) du dv ­o o

-L(0,1, 0,1; f(s;+hu, rli+gv))I:::;;;;

m-1

:::;;;; µvhg(crhrw 1 (h)+c5 g•w2 (g) h~o IPkl)=

[ ( b- a )r ( b- a) = (b-a) (d-c) Cr -µ- w1 -µ- + m - 1

"'1 (d-c)s (d - c)J + es L.J IPkl - v- ffi2 - · k=O

Con esto el teorema queda demostrado. La extensión de los resultados expuestos al caso de

tres y mayor número de variables no representa dificul­tades algunas. Por ejemplo, en el caso de tres variables,

75

'" lfÍ 1111!1

a la par con dos ·fórmulas de cuadratura iniciales (9.1) surge la necesidad de tener la tercera:

m,-1

1

~ f dx ~ L 2 (/),

o

L 2 (/} ~. p'í,/ (zk), 0 ~ Z0 < Z1 < · · · < Zm,-1 ~ 1. k=O

Entonces la fórmula triple de partida tiene por expresión 1 1 1

~ ~ ~ f (x, y, z) dx dy dz ~ o o o

m-1m1-1m,-1

~ ~ ~ ~ PkPíiíf (xk, Yz, Zt) = k=O l=O t=O

=L(0,1, 0,1, 01; /).

Para obtener la desigualdad, por analogía con (9. 7), debemos partir ahora de la condición de que la función f (x, y, z) pertenece según cada una de las variables x, y, z por separado a las clases ~', m "' fili"'.

Tienen lugar, pues, las siguientes desigualdades: 1 1 1

~ ~ ~ f(x, y, z)dxdydz­o o o

m-1 m,-1 m,-1

- ~ ~ ~ PkPÍP'íf (xk, Yz, Zt) i ~ k=O l=O t=O

1 1 1 m-1m1-1

~ ~ ~ ~ f (x, y, z) dx dy- ~ ~ PkPÍf X O O O k=O 1=0

m-1 m,-1 1

X (xk, Yz, z)ldz+ ~ ~ IPkPÍI ~ f(xk, Yz, z)dz-k=O 1=0 O

m 1 -1 1 m-1

- ~ Píf (xk, Yz, Zt) ~ c' +c" ~ IPk 1 + t=O k=O

m-1 m 1-1

+c"' ~ ~ IPkPÍI, k=O l=O

76

donde las constantes c', c" se definen, como antes, por las igualdades (9.4), (9.6) y

c'"= sup qiE IDI"'

1

~ <pdx-L2 (<p) o

§ 1 O. Problemas extremales

La diversidad de diferentes fórmulas de cuadratura es infinita. Además, según los requisitos planteados para el método de cálculo aproximado de la integral definida y según la clase de funciones a las cuales el método cita­do se aplica, tal o cual fórmula de cuadratura puede tener ventaja, mayor o menor, en comparación con las otras.

En este párrafo resolvemos un problema extrema! que conduce, en ciertas circunstancias, a una fórmula de cuadratura que nos da la mejor aproximación.

El problema general que contiene, como un caso par­t icular, dicho problema consiste en lo siguiente.

Están dados una clase de funciones H, definidas en el segmento [O, 1), y un número natural m. Se pide determinar, entre todas las fórmulas de cuadratura

1

~ f dx ~ L (/), (10.1) o

donde m

L (/) = ~ Pkf (xk), O ~ X 1 < X 2 < ... < Xm ~ 1, k=1

(10.2)

una fórmula tal que la magnitud de la cota superior 1

sup 1 ~ f dx-L (/) 1 ,

!EH O (10.3)

extendida a todas las funciones f de la clase H, sea mínima. De este modo, se trata aquí de elegir en el segmento

[0, 1) los nudos Xu x2 , ••• , Xm de la fórmula y los pesos p1 , p 2 , ••• , Pm• de tal manera que la aproximación que se ofrece por la fórmula de cuadratura para toda la clase

77

"""•t

de funciones H fuera mejor entre todas las aproximaciones posibles. Más abajo resolveremos este problema para la clase de funciones f que poseen en el segmento la segunda derivada acotada.

Podremos obtener diferentes modificaciones del pro­blema planteado si buscamos una fórmula de cuadratura que sea mejor en el sentido indicado entre las fórmulas cuyos nudos y pesos no son arbitrarios, sino están subor­dinados a unas relaciones determinadas impuestas con anticipaci~n.

Comencemos introduciendo en la consideración una clase de funciones W~ (M; a, b), compuesta de todas las funciones de la clase w<r>(M; a, b) que satisfacen la condi­ción complementaria

f (a)= f' (a)= ... = J<r-1) (a)= O, a:::;;; a~ b.

Toda función f (x) perteneciente a la clase W~ (M; O, 1) puede ser escrita en forma de la integral (véase § 3):

donde

1

f(x) = ,p ~ rn ~ Kr (x - t) j<'> (t) dt, o

{ur-1, u~ O,

K7 (u)= O, u<O. (10.4)

Por eso, independiente de si es exacta o no la fórmula de cuadratura (10.1) para los polinomios de tales o cuales grados, razonando igual que en el caso de (4.5), donde ha­ce falta poner Pr-i (x) =O, llegamos a la igualdad

1 1

~ f dx - L (!)- ~ F r (t) f (t) dt, o o

que es válida para todas las funciones f de la clase w~ (M; O, 1), donde

[ m J i (i - t)7 Fr(t)=-(r-i)! -_Li PhKr(Xh-t) •

h= 1

78

De aquí

sup JEW~T) (M; 0, 1)

1

1

~ f dx-L (/) o

m

~~ (i-W _ _Li P11.Kr (x11. -t) 1 dt = r

o h.=1

11 m !!!_ ~ u; _ _Li ')..,hKr (u - U1¡_)

o h.=1

du,

donde se ha puesto

(10.5)

Ah.= Pm-h+t• uh= 1-xm-h+t• U1¡_ < uh+t· (10.6)

Cuando se trata de la clase W~r> (M; a, b), el problema extrema! planteado más arriba se reduce a la búsqueda del mínimo de la integral (10.5) entre toda variedad de sistemas de números l..11. y uh (k = 1, 2, ... , m), don­de O:::;;; u1 < u 2 < ... < Um:::;;; 1 y m es fijo.

Hagamos m

o~:;>(u)= ~ l..hKr(u-u11.) h=1

y fijemos nuestra atención en el caso cuando r = 2. Se­gún se deduce de la igualdad (10.4), el gráfico de la fun-

!/

1 r" l 1 .,,_U 0 UN f

fig. 10

rión K 2 (u - uh) representa en este caso una quebrada ex­puesta en la fig. 10 cuyo ángulo de inclinación es <p =

-= n/4. Entre tanto, el gráfico de la función /.,hK 2 (u -- uh) representa una quebrada semejante, donde

79

" .... 1 ~

tg cp = 'A.11,. Es fácil ver luego que el gráfico de la función oh~>(u) representa una quebrada (fig. 11) cuyos vértices tienen por abscisas u1 , u 2 , ••• , Um· Cabe indicar además que al variar u en el segmento [O, u 0 ], el eslabón corres­pondiente de la quebrada se ubica en el eje u y que 'A11. respresenta el incremento del coeficiente angular de la quebrada al pasar por el vértice de la abscisa u11,.

11

1 « 1 1 ! 1

{l lip lit .. .. .,, )Ir lL

m=t

fig. 11

En lo demás, nuestra quebrada es arbitraria: a cada quebrada prefijada de antemano del tipo mostrado en la fig. 11 le corresponde unívocamente un sistema de­terminado de números 'A11. (y, de esta manera, también de p11,) y una disposición determinada en el segmento [O, 1) de las abscisas u11. de sus vértices (k = 1, 2, ... , m).

De lo dicho se deduce que en el caso de r = 2 nuestro problema extrema! se reduce a determinar entre las que­bradas del tipo o~~/ (u) una quebrada tal, para la cual la integral (10.5) alcance su mínimo para r = 2. Emplean­do el lenguaje de la teoría de aproximacion~s, podemos de­cir que nuestro problema se ha reducido a la mejor apro­ximación en media (en la métrica L (O, 1) de las funciones sumables) de la parábola y = u2/2 con auyda de las que­bradas del tipo o~> (u) que tienen prefijado de antemano el número de vértices.

Observemos que el mínimo de la integral

a+h

~ 1 x; -Ax-B 1 dx, h>O, a-h

80

entre los polinomios de segundo grado x2/2 - Ax - B con el coeficiente de x 2 igual a 1/2 y las constantes arbi­trarias A, B, se obtiene para el único polinomio:

1 (x-a) x2 (h2 a2) 2h2Q2 -h- =T-ax- 8-2 ' 1

Q2 (x)=x2 --¡- (10.7)

(véase demostración en el § 15). Este mínimo es, pues, igual a

a+h 1

; h2 ~ 1 Q2 ( x;a ) a-h ·

h3 \ 1 1 1 hª dx=T J x2 - 4 dx=T . -1

(10.8)

Suele decirse que el polinomio ; h 2Q 2 ( x-¡ ª ) es el me­

nos desviable del cero en media sobre el intervalo (a - h, a + h) entre los polinomios de segundo grado, donde el coeficiente de x2 es igual a 1/2. Se dice también que la par-

te lineal del polinomio ~h2Q2 (x;ª), a saber,

ax + (h2/8 - a2/2), (10.9)

tomada con el signo opuesto, hace la mejor aproximación en media de la función x2/2 sobre el segmento [a - h, a + hl con ayuda de las funciones lineales (polinomios de primer grado). La magnitud h3/4 se denomina mejor apro­ximación en media de la fu~ción x2/2 sobre el segmento [a - h, a + hl con ayuda de las funciones lineales.

Veamos dos polinomios (10. 7) de menor desviación del cero que corresponden a los intervalos (a - h, a + h) y (b - h1 , b + h1), donde a + b = b - h1 • Cuando x =

1 = a + h = b -h1 , ambos toman los valores -;¡;h2Q2 (1)

y ;h~Q2 (-1), respectivamente. Por cuanto Q2 (1) = = Q2 (-1), estos valores coinciden cuando, y sólo cuan­do, h = h1. En este caso los coeficientes angulares de las partes lineales difieren en una magnitud

b - a= 2h. (10.10)

Prefijemos ahora un número positivo u1 y supongamos que a - h = u1 , donde h >O. Elijamos h de una manera

li-0864 81

"""•''

tal que la función lineal A 1u + B1 , que hace la mejor aproximación en media de la parábola y = u 2/2 sobre el intervalo (a - h, a + h), se anule cuando u = u1 • Ya que esta función debe tener, como sabemos, la forma (10.9), el número buscado h ha de satisfacer la ecuación

(u 1 +h) u1+~- (ui+h)2 ~-~h2=0 8 2 2 8 .

De aquí se deduce que

2 v3+2 h=--- u1 a=u1+h= u 1 }13 - r~

y la mejor función lineal correspondiente será

v3+2 A1u+B1 = _r~ u1 (u-u1). (10.11)

Sea

uk=u1+2(k-1)h, k=i, 2, ... , m.

Definamos en cada uno de los intervalos (uk, uk+i) una función lineal A ku + B k que realiza la mejor aproxi­mación en media de u2/2. En virtud de lo dicho anterior­mente, la función A 1u + B1 se anula, cuando u = u1 ;

además, los gráficos de las funciones Aku + Bk (k = = 1, 2, .. ., m) prolongan continuamente uno el otro en

los puntos u1 , u2 , .. ., um. De este modo, todos ellos junto con el segmento [O, u1 ] del eje u forman una quebrada con­tinua.

Elijamos u = u~ de un modo tal que sea Um+i = 1, de aquí hallamos

u!= V3 rom, ffim = ( V3 + 4mt1,

u%=(-V3+4(k-1))rom, k=1, 2, .. ., m+1,

h* =2rom. (10.12)

La quebrada a~>* (u), obtenida de este modo y defini­da en el segmento [O, 1), es precisamente una de las que­bradas a~ (u) las cuales tenemos que variar para hallar el mínimo de la integral (10.5) cuando r = 2. Más abajo demostraremos que precisamente esta quebrada a<;i* (u) reduce al mínimo la integral (10.5) y es la única quebrada que posee dicha propiedad.

82

En virtud de (10.8), (10.12), la magnitud de nuestra integral, cuando se pone en ella a<;i* (u), es igual a

r 1 u2 (2) 1 uf u2 J 2 -am* (u) du = J z-du+ o o

* m uk+I

+ ~ ~ 1 ~2 -A1u - B% 1 d u = k=I uk

u~ª s ro~ =-6-+2mrom = - 2-,

donde Y1t = A% + B% es la ecuación del eslabón de la que­brada a<;i. (u) correspondiente al intervalo (u%, u"k+i).

Por otra parte, sea a~~.> (u) una quebrada arbitraria en la que las abscisas de los vértices son uh, donde

0:::;;; U¡< U2 < ... < Um:::;;;Um+l = 1,

y supongamos que y = Aku + B1t es la ecuación de una función lineal que realiza la mejor aproximación en me­dia de u2/2 sobre el intervalo (uh, U1t+1). EntQnces, toman­do en consideración (10.8), tenemos

~ 1 ~2 - u~> (u) j du = o

u. m uk+J

r u2 ~ 1 1 u2 (2) 1 = ~ 2 du + LI J 2- Um (u) du ~ o k=i "'k

m uk+l I ~ ~8 +~ ~ ~2 -Aku-Bkldu=

k= I uk

m

= ~g + ! ~ ( Uk+l; Uk ) 3 = k= I

m

_ ug + 1 ~ ( )ª -6 32 LI uk+t-uk . k=I

(10.13)

En este caso la desigualdad que figura entre estas re­J ne iones se convierte en una igualdad estricta sólo cuando

l .. 83

.. -.....

en cada uno de los intervalos (u11 , uk+1) los eslabones co­rrespondientes de la quebrada a<;,> (u) realizan la mejor .aproximación en media de la parábola u2/2.

Con el fin de estimar el segundo miembro de (10.13) por debajo, hemos de encontrar su mínimo entre todos los u 0 , u 2 - u1 , •• • , Um+ 1 - Um posibles que satisfagan la igualdad

m

u0+ ~ (uk+t -uk) = 1. k=1

(10.14)

Los cálculos que no representan ninguna dificultad y están basados en los métodos usuales para determinar el extremo relativo muestran que el segundo miembro de (10.13) alcanza su mínimo con la condición (10.14) para el único sistema de valores uk = u: definidos por las igualdades (10.12).

De este modo, hemos demostrado que

m

a~! (u)=~ 1.:K2 (u-u:) k=1

•es la única quebrada, entre otras quebradas a;~/ (u), que Teduce al mínimo la integral (10.5.) Con ello, en virtud -O.e (10.10), (10.11), tenemos

1.:=A:-A:-1=2h*=4ffim, k=2, 3, ... , m,

~ * A y3 + 2 * (2 l í-3) . "'1 = 1 = y§ U1 = + V Wm·

Por fin, si tomamos en consideración las sustituciones (10.6), obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 7. Entre las fórmulas de cuadratura del tipo (10.1), donde mes un número natural prefijado, una fórmula

1 m

~ f dx ~ L* (/) = ~ p:f (xk), o k=1

determinada por los nudos y pesos

Xk=4kffim, k=1, 2, . .. , m, ffim=(V3+4mt1, (10.15)

Pk=4ffim, k=1, 2, .. . , m-1, p~=(2+ Jf3)ffim,

84

__l ._

será la única mejor fórmula para la clase de funciones W~2' ( M; O, 1). Dicho de otro modo, tiene lugar la igualdad

1

mín máx 1 \ f dx - L (/) 1 = L(f) /ewt2>(M; 0,1) ~

máx E wJ2> (M; 0,1)

1

~ f dx-L* (/) o

Mro;h - -2- (10.16)

Vemos pues que la partición del segmento [O, 11 (O < x~ < x~ < ... < x:i < 1) por medio de los nudos x: posee la propiedad de que todos los segmentos de la partición de izquierda a derecha, partiendo del punto x = O (donde f (O) = .f' (O) = O!), son iguales a un mismo número 4ffim, salvo el último segmento que es diferente (1 - Xm = V3ffim)· Además, los pesos en la fórmula (1.15) son iguales a un mismo número (p: = 4ffim, k = 1, 2, . .. , m - 1), salvo el único último peso Pm =

= (2 + V 3) ffim· Estas propiedades de la mejor fórmula de cuadratura para la clase W~ (M; O, 1) quedan en vigor también para las mejores fórmulas más complicadas adop­tadas para las clases W~ (M; O, 1) (véase § 14).

Nuestro resultado se ha obtenido para el segmento [O, 1). Al pasar del segmento [O, 1) a un segmento arbitra­rio [a, ~] los nudos x: se transforman, evidentemente, de un modo semejante, los pesos Pk quedarán aumentados en l = ~ - a veces, mientras que la estimación exacta de aproximación para la clase será igual a

11 .

~ Ml3ro2

máx 1 fdx-L*(f)=~, ew&2> (M; a, fl) a

(10.17)

es decir, quedará aumentada en l3 veces (compárese con (6.12)).

La mejor fórmula de cuadratura que acabamos de ob­tener tiene, sin embargo, la deficiencia de que provee la mínima estimación garantizada (indicada más arriba) M ffi~/2 no para todas las funciones que tienen derivada segunda acotada, sino sólo para aquellas de éstas que sa­tisfacen la condición inicial

f (O) = /' (O) =O. ( 10.18)

85

•••

Así pues, si deseáramos aprovechar la fórmula obteni­da para la función f (x) que no satisface la condición (10. 18), tendríamos que desarrollar previamente f (x) por la fórmula de Taylor en el entorno de x = O:

f (x) = f (O)+ xf' (O)+ (jl (x),

calcular por separado la integral definida de f (O) + + xf' (O) y, a continuación, aplicar nuestra fórmula de

cuadratura a qi (x). Sólo en este caso se puede garantizar la aproximación con estimación M ro~/2 indicada más arriba. Sin embargo, la fórmula de cuadratura obtenida puede servir de base para construir una fórmula nueva que está privada de la deficiencia aducida y que sería mejor para toda la clase W(2>(M; O, 1) de funciones. Vea­mos una fórmula de cuadratura

1 m

~ fdx~ ~ µhf(sk), (10.19) -1 k=e-m

donde hacemos en virtud de (10.15)

µk = µ_k = P~ = 4rom, - S-k = Sk =X~= 4krom, k=1, 2, ... , m,

µo=4ú>m, So=O.

De este modo, esta nueva fórmula de cuadratura, de­finida ahora para el segmento [ -1, 1], está obtenida por simetrización de la antigua y adición de un nudo so =

= O. Con ello µ0 está elegido de tal modo que se verifique m

~ µk=2. k=-m

Debido a esto y a la simetría, la fórmula (10.19) es exacta pasa las funciones 1 y x, y, por consiguiente, para cualquier función lineal. Es interesante que µ0 es igual a los pesos vecinos µk (k = ± 1, ± 2, ... , ± (m - 1)). Pero, además de eso, la fórmula (10.19) posee la siguiente propiedad notable.

86

Teorema 8. Entre toda clase de fórmulas de cuadratura 1 m

~ f dx ~ ~ Pkf (xk) (10.20) -1 h=-m

con 2m .+ 1 nudos 1)

-1~ X-m < ··· < Xo < ··· < Xm~ 1

y-pesos Pk• donde sólo m es fijo, la fórmula (10.19) es la única mejor fórmula para la clase W(2) (M; -1, 1). En este caso

1 m

.( 2>su~ 1 ~ fdx- ~ µkf(sk)I =Mw';,.. fEW (M, -1, 1) -1 k=-m

Demostración. Si una fórmula de cuadratura no es exac­ta para todos los P 1 (polinomios de grado 1), entonces pa­ra ella (véase § 4) la cota superior en consideración es igual al infinito. Por eso, resulta suficiente examinar to­da clase de fórmulas de cuadratura del tipo (10.20) que sean exactas para P 1•

Tenemos (f (O) = 01)

~ [W<2> (M; -1, 1)) = ~ [W~20> (M; -1, 1)] = 1 m

= sup 1 ~ fdx- ~ P1if(xk)I= /iEW~¿(M;-1,1) -1 k=-m

xo -1

= sup j ~ f 1 dx- ~ Pkf¡(xh) I+ f1EW\~~(M; -1, xo) -1 k=-m

1 m

+ sup 1 ~ f 2 dx - ~ PkÍ2 (xk) j ~ /2EW~:(M; x •• 1) xo k=1

~ (xo+i)ªt(i-xo)3 Mw~~Mro;.. (10.21)

Las explicaciones a las primerl_l.s tres relaciones de esta cadena (igualdades) son análogas a aquellas que se han aducido al tratar la cadena (5.5). La penúltima co-

1) T .A. Shaidaeva (20) ha extendido este resultado al caso de un número arbitrario de nudos no forzosamente impar.

87

~·• ~I

rrelación (desigualdad} es cierta en virtud del teorema 7 y (10.17). La última correlación se reduce evidentemente, a una igualdad sólo cuando, x 0 = O. Si ahora ponemos x0 = O, llegaremos a que la penúltima correlación se re­ducirá, en virtud del teorema 7, a una igualdad sólo para la fórmula de cuadratura (10.19), donde se desconoce por ahora sólo el peso. El último se determina a partir de la relación

m

2J P1i= 1 k=-m

que ha de verificarse, puesto que la fórmula de cuadratura buscada es exacta para f (x) = 1. El teorema queda demostrado.

En el teorema que sigue se examina el caso par 1>. Teorema 8'. Entre toda clase de fórmulas de cudratura

1 m

~ f dx ~ ~ P1if (xm) (10.22) -1 k=-m

con 2m nudos (una virgulilla que acompaña ~ indica que el sumando con índice k = O se omite)

- h:;;;xm < ... < x_1 < x1 < ... < Xm~ 1

y pesos Pk la fórmula

1 m

~ f dx ~ ~' vkf (r¡,i.), (10.23) -1 k=-m

donde

-lJ-k = lJk = (4k -2) Xm, k = 1, 2, .. ., m, vk = 4xm, k = 1, 2, ... , m - 1, (10.24)

Vm = (2 + V3} Xm,

· 1) Este teorema está demostrado por T.A. Shaidaeva (20) que aplicó para obtener el método de factores de Lagrange.

88

es la mejor, siendo m fijo, para la clase w<2> (M; -1, 1). Y, en este caso,

1 m

sup 1 ~ f dx - ~' v1if (r¡k) l=Mx;,,, /EW( 2)(M;-1,1) -1 k=-m (10.25)

Xm= (V3+ 2 (2m-1n-1.

Demostración. Definamos una fórmula de cuadratura arbitraria de la forma (10.23) que sea exacta para todos los polinomios del tipo P 1. Supongamos que

f1 (x) = f (x), -1 ~ x~ x1 ,

f2 (x) = f (x), x1 ~ x~ 1.

Razonando igual que en la demostración del teorema 8, obtenemos (las explicaciones van más abajo)

1 m

sup 1 ~ f dx- ~' P1if(xk)I= 1nv<2><M; -1, 1) -1 k=-m

Xt -1

= sup j ~ f 1 dx- ~ P1if1 (xk) /+ fiEW~{(M;-1,x¡) -1 k=-m

1 m

+ sup 1 ~ f 2 dx- ~ Pkf2(xk)1~ f2EW~l)(M; X¡, 1) x1 k=2

~ ~ (x1 +1)3 w;,, + ~ (1 -x1}3 w;,,_ 1 = 'ljJ (x 1)~ Mx~. (10.26)

La derivada de 'ljJ se anula cuando

(x1 + 1)2w~ - (1 - x1 } 2w~_ 1 = O, o bien

(x1 + 1) Wm = + (1 - X¡} ffim-1•

En el interior del segmento [-1, 1) esta ecuación tiene la única solución (correspondiente al signo + )

Wm-1-Wm =2Xm· lJt = Wm-1 +wm

Para ella 'ljJ" (r¡1} > O, por lo cual la función 'ljJ (x) alcanza en el segmento [ - 1, 1) su único mínimo en el

89

•••

punto x1 = r¡ 1 que es igual a

( ) M 4Wfu_,Wfu M "i' '111 = ( + )2 Xm· Wm-1 Wm

De este modo, en la cadena (10.26) la última relación se .reduce a una igualdad sólo cuando x1 = r¡1•

Al suponer en la fórmula de cudratura (10.22) x1 = = r¡1 , concluimos que la segunda correlación en la cade­

na (10.26) se reduce a una igualdad (véase teorema 7) só­lo cuando los puntos xk = 'llk (k = 2, 3, ... , m) divi­den el segmento [r¡1 , 1] observando la misma razón en la que los puntos 4 (k - 1) rom-l (k = 2, 3, ... , m) dividen el segmento [O, 1] y, además, si los puntos xk = 'llk (k = -m, ... , -1) dividen el segmento (-1, r¡¡] ob­servando la misma razón, en la que los puntos -4krom dividen el segmento (-1, O].

Como resultado, obtenemos el único sistema de nudos

- 1 ~ '11-m < · • • < '11-1 < '111 < • • • < 'llm -< 1

y el único sistema de pesos v_m, .... v_1, v2 , •• • vm, pa­ra los cuales todas las relaciones de la cadena (10.26) se reducen a una igualdad. Por consiguiente, el número v1 se determinará solamente de la correlación

m

h' Vk=2, k=-m

la cual ha de verificarse, puesto que nuestra fórmula de cuadratura debe ser exacta para funciones lineales, en particular, para la función f(x) == 1.

Los cálculos muestran (véase (10.15)) que

'Ylk -'llk-l = 4rom-l ( 1-r¡1) = 4xm, k = 2, 3, ... , m,

'llk-'llk-1=4rom(1+r¡1)=4Xm, k= -(m-1), ... , -1, 1;

teniendo presente que r¡1 = 2xm, obtenemos las prime­ras igualdades (10.24). Luego (véase (10.15)),

90

Vk=4úlm_1(1-r¡1)=4Xm, k=2, 3, ... ,m-1,

V1i=4rom(1+r¡1)=4Xm, k= -(m-1), ... , -1,

Vm = (2 + Y3) (t)m-1 (1- '111) = (2 + Y3) Xm,

-1 m

V1=2- h Vk- ~ V11.=4Xm• k=-m k=2

El teorema está demostrado. Ejemplo. Cuando m = 1, la fórmula simétrica de

cuadratura (10.19) tiene por expresión 1

~ f dx ~ rod{(2 + V3) f ( -4ro1)+ 4/ (O)+ -1

+ <2 + Y3> t < 4ro1)1.

En este caso la medida de aproximación de esta fórmula para la clase W<2> (M; -1, 1) es

Mro21 = / r!'f '° ~ 0,045M.

- 3+4

Notemos, para comparar, que la medida de aproximación, correspondiente al segmento (-1, 1], de la fórmula de Simpson

1

~ f dx~{-u<-1)+4/(0)+f(1)} -1

para la misma clase W< 2>(M; -1, 1) es igual a 8M/81 ~ ~ 0,10M (la constante c2 = 1/81 para el segmento

[O, 1] (véase § 5) ha de multiplicarse por 23).

Resulta interesante también comparar el resultado obtenido con la fórmula de los trapecios complicada

1

~ /dx~+[f(-1)+2/(0)+/(1)] -1

con tres nudos. Ella proporciona la medida de aproxima­c ión para la clase W< 2>(M; -1, 1), igual a 1/6 (la constan­te c2 = 1/12 para la fórmula de los trapecios más simple (véase § 5) ha de ser duplicada).

El problema examinado (para r = 2) en el caso de r > 2 arbitrario no está resuelto.

Cuando r = 1, el problema se reduce a la determina­ción del mínimo de la integral

1 m 1

~\u-~ A-11.Ki(u-uk),du=~ iu-aiAl(u)idu, o k=i o

91

, •• ¡

donde

{ 1,

Kt<u)= O, u>O,

u<O.

Se trata, pues, de Ia mejor aproximación en media so­bre el segmento [O, 11 de la función con auyda de las fun­ciones escalonadas a~ (u) con puntos arbitrarios de discon­tinuidad u1 , u 2 , ••• , um, es decir, de tales funciones que en cada intervalo (O, u1), (u1 , u2), ••• , (um, 1) toman un valor constante; además, ·sobre el intervalo (O, u1) este valor constante es igual a cero. Por consiguiente,

{ O, O<u<u1, a¡;.> (u)=

ck, uk <u< uk+t•

k=1, 2, ... ,m, um+1=1

donde ck, uk (O~ uk~ 1) son constantes arbitrarias. Es evidente que

1 uo m uk+l

~ 1u-a\.:,>(u)1 du= ~ udu+ ~ -~ 1u-ck1 du~ O · O k=1 uk

m uk+1

~~6+~ ~/u-k=i uk

m

Uk+Uk+l 2 ldu =

_ ug +"' (Uk+1-Uk) 2 ¿ __ 1 - 2 L.J 4 """2 (2m+1)"

k=i

La última desigualdad se deduce de la resolución del problema de búsqueda del mínimo relativo de la función

2 m ~+ "' (Uk+l - Uk)2 2 L.J .

k=i

a condición de que m

u1+ ~ (uk+1-uk)=1. k=i

El mínimo corresponde a los valores

u%= 2 <~:::-~>,+ 1 , k = 1, 2, ... , m,

92

y la función escalonada extrema! será

{ o,

a~~ (u)= __-'!:!!. 2m+1

De aquí tenemos

1 O~u~~'.,

, u%~u~u%+t.

A.%= ... _2 ,. , k= 1, 2, ... , m,

y, por fin, • 2

Pk= 2m+ 1 , k= 1, 2, ... , m,

• 2k Xk=<>-i•, k=1,2, ... ,m.

Se ha obtenido, pues, una fórmula de cuadratura

1 m

~ f dx~ 2m~1 ~ f( 2:~1)' ( 10.27) o k=l

la cual posee la propiedad de que con m natural dado será la mejor para la clase de funciones W~º(M; O, 1). La medida de su aproximación para toda la clase es igual a

M (10.28) 2 (2m+1) ·

Al igual que en el caso anterior, de esta fórmula puede obtenerse la fórmula de cuadratura simétrica

1 m

~ t dx· ~ ~ vkf (sk), (10.29) -1 k=-m

si suponemos

• 2 t • t * 'Vk = 'V_k = Pk = 2m+ 1 , -'::i-k = '::ik = Xk,

k= 1, 2, ... , m, 2

'Vo= ')~_L4 ' ~o=Ü.

93

~-·•t

El valor de v0 está elegido en este caso de tal manera que se verifique

m

~ Vk=2. k=-m

Así pues, la fórmula de cuadratura (10.29) es exacta para todas las funciones lineales. Ella posee la siguiente propiedad mínima.

Teorem~ 9. Entre las fórmulas de cuadratura de la forma

1 m

~ f dx ~ ~ PkÍ (xk), (10.30) -1 k=- m

donde mes un número natural prefijado, -1:::;;;; x_m < ... ... < x0 < ... < Xm :::;;;; 1, la fórmula (10.29) da para la clase W<1> (M; -1, 1) la mejor aproximación que es igual a M/(2m + 1).

El teorema 9 es un caso particular del teorema 11 que se de­mostrará más abajo.

Se podría enunciar un teorema, similar al 9, para un número par de nudos. La formulación y demostración de ella pueden de­ducirse (para r = 2) del teorema 12 que se demuestra más abajo.

El problema examinado puede ser planteado en la métrica Lp. Demos a conocer el resultado de T.A. Shaidaeva (20] (concer-niente a esta cuestión) que obtuvo la fórmula de cuadratura del tipo (10.1) que resulta ser mejor para la clase W~l (M; O, 1) entre

toda clase de tales funciones, exactas para toda/las funciones li­neales. De este modo, tomando en consideración todo lo dicho en el párrafo 4 (en letra gallarda) llegamos a que la resolución de este problema consiste en determinar el mínimo de la integral

1 m-1

\ 1 (1-t)2 "" lq 1 1 J 2 L:.J PkKr(xk-t) dt, p-+q-=1, O k = O

m - 1 m - 1

al variar Pk que satisfacen dos ligaduras~ Pk = 1 y~ PkXlt = k = O k-0

= ; , con un número fijo m de nudos Xk pertenecientes al seg­

mento [O, 1). Ahora este problema se resuelve emfleando las pro­piedades de un polinomio (de segundo grado, en e caso dado) que tiene la mínima desviación respecto al cero en la métrica Lp (véase § 16).

En la métrica L 2 el problema semejante fue resuelto por Yu.Ya. Dorónin [5] .

94

§ 11. Mejor fórmula de cuadratura para la clase W2~ 1 (M; O, m) en el caso

de los nudos equidistantes

Veamos, para m natural dado, una fórmula de cuadra­tura

m m

~ f (x) dx ~ ~ P11.f (k) (11.1) O k=O

con nudos x11. = k (k =O, 1, ... , m) que dividen el seg­mento [O, m] en partes iguales. Supongamos esta vez que las funciones f (x) pertenecen a la clase w~+o (M; O, m) (véanse los párrafos 2, 4).

Si la fórmula de cuadratura (11.1) es exacta para los polinomios de grado n, entonces tiene lugar, en virtud de (4.14), la siguiente estimación exacta

sup 1 f 1ewin+1J(M'O J fdx-L(/)1-

• ' ,m) O -

m

= M 11 F n+t llL,(0, m) = M ( ~ 1 F n+dt) 12 dt )1'2, (11.2) o

donde m

1 [ (m :---- t)n+l "'1 J Fn+t (t) = 1if n+i - L'..J PkKn+t (k-t) ,

k= O

y la función K n +1 (u) se define mediante la igualdad (3.3). A. Sard (22) analizó el problema de búsqueda del mí­

nimo de la integral que interviene en el segundo miembro de (11.2) al variar los pesos Pk· Este problema se dife­rencia de los problemas extremales estudiados en el § 10 ya que en el primero se dan nudos fijos (equidistantes en el caso dado) y hacen variar sólo los pesos Pk que satis­facen las siguientes ligaduras que· señalan que las corres­pondientes fórmulas de cuadratura a variar son exactas para los polinomios p n (x) de n-ésimo grado:

m&+I m

s+i = ~ Pkk8,

k=O

s=O, 1, ... , n. (11.3)

95

, .... : :

Sard mostró también que con m y n naturales dados, para los cuales el sistema (11.3) tiene soluciones (con relación a Pk}, el problema extremal planteado tiene la solución única.

Por consiguiente, en el caso dado entre toda clase de sistemas de números Pk (k =O, 1, ... , m) que satisfa­cen la ecuación (11.3) existe el único sistema, para el cual el segundo miembro de (11.2) alcanza su mínimo. Re­:mlta natural decir que este sistema define la mejor fór­mula de cuadratura (11.1) para la clase Wl,~+n (M; O, m) con nudos equidistantes fijos (que dividen el segmento .[O, m] en m partes).

Sard elaboró, además, el método para obtener los nú­meros mencionados Pk correspondientes a la solución extremal y este método permite hallar efectivamente los valores exactos de dichos números para cada par concreto .dado (m, n), siempre que el problema correspondiente tiene solución.

Nos limitamos sólo a reproducir aquí la tabla de los resultados numéricos finales de Sard [22], acompañándola de las explicaciones correspondientes1 ).

Al emplear las tablas 3, 4 se debe tener en cuenta que los números Pk (k = O, 1, ... , m) satisfacen la simetría

Pk = Pm-k

que pudiera ser demostrado en el caso general. Por eso, en las tablas para cada par dado (m, n) se dan sólo los valo­res de p 0 , p 1 , ••• , P<m+i>;2 cuando m es impar, y los valores de p 0 , p1 , ••• , Pm/2 +¡, cuando m es par.

Los valores de Pk que se consideran resultan ser nú­meros racionales, pero no enteros en el caso general. Para no recargar las tablas con números fraccionarios, se elige, para cada par (m, n), un número entero ~ (mínimo común denominador de los números Pk correspondientes al par dtado) y en lugar de Pk fraccionarios se aducen los nú­meros enteros Pk~·

Las cotas superiores exactas de las aproximaciones que se obtienen de las fórmulas de cuadratura en consi­deración son también números racionales lo que podemos ver en las tablas.

1) Las tablas 3 y 4 se han tomado del artículo de A. Sard [22). l,as tablas más detalladas de este tipo véanse en [21).

96

En la Tabla 4 los d.atos numéricos de los resultados (no todos) de la Tabla 3 son un tanto variados (los pesos están desplazados) para obtener fórmulas que sean más có­modas en la práctica. La última columna de la Tabla 4 señala los errores (en porcentaje) de aproximación que surgen en este caso. Para dos casos en la tabla 4 se adu­cen dos variantes posibles de la fórmula de cuadratura cambiada.

Ejemplo como usar las tablas 3, 4. Se pide escribir la mejor fórmula de cuadratura para la clase W~! (M; O, 4) con nudos equidistantes en el caso de que m = 4. En tal caso n = 1. De la tabla 3 deducimos que la fórmula que se busca tiene por expresión

4

~ f (x) dx ~ ;! [f (O)+ f (4)] + o

32 26 +23ff(1)+f(3)J+28f(2). (11.4)

El error de aproximación para la función f (x), que tiene en el segmento [O, 4) la segunda derivada f" (x) que satisface la desigualdad

4

( ~ 1 !" (x) 12 dx) 112 ~M, o

no es superior a M 105 = M · 0,009524.

(11.5)

(11.6)

En lugar de la mejor fórmula exacta (11.4) (para la clase Wl;! (M; O, 4)) podemos, valiéndonos de la tabla 4, escribir la fórmula de cuadratura que sea próxima a la mejor. Ella tiene por expresión

4

~ f (x) dx ~ 0,39 [f (O)+ f (4)) + 1,15 [f (1)+ o

+f(3)J+0,92f(2). (11.7) El error de aproximación proporcionado por la fór­

mula (11. 7) para la función f (x), que tiene sobre el seg­mento [O, 4) la derivada f" (x) que satisface la desigual­dad (11.5), ya se evalúa como la magnitud un poco mayor (M · 0,009533) que se diferencia, sin embargo, de la magnitud (11.6) sólo en el 0,1 %.

7-0864 97

Tabla 3 Tabla 3 (continuaci6n)

Mejor fórmula para las clases w~•,+1) (M; O, m) con nudos equidistantes en el segmento [O, m]

~ ¡wl_~+ 1 > (1; O, m)] =

m 1 c0 A 1 c 1A 1 c,A 1

c3 A

1 A 1 Jmn

n=2 m m

= sup 1 ~ fdx- ~ Phi (k) 1 = 11 /(n+l) 11 L, (0, m),;:;; 1 O h=O

=Jmn• Po= co, p¡=C¡, · · •• Pm = Cm

21 11 41 1 . 1 31 18190 =0,000529

31 31 91 1 1 11

81 8960 =0,001228

mi Coá 1 c,A 1 c,A 1 c 3 A 1

A 1 Jmn 41 211 761 461 1

11 601 12600 = 0,000873

5 1 1121 3791 2891 1 73

3121 69888 =0,001045

n=O

1 1 1 1 1 1 1 2 1 112 =0,083333

6 1 551 1921 1321 1121 11

1551 10850 =0,001014

n=3

21 1 1 2 1 1 1 2 2

1 12 = 0 ,166667 2 1 11 41 1 1 1

31 9072 =0,000110

3 1 1 1 2 1 1 1 2 3

l 12=0,25 3 1 31 91 1 1 13

81 1 7920 = o' 000725

41 1 1 2 1 1 4

~- ·&: :~ 1 2 2 1 12=0,333333 41 23491 99321 44301 1 6557

72481 36529920 = o' 000179

51 1 1 2 1 2 1 1 2 5

1 12 = 0,416667 51 293921 1102091 768191 1 61633

865681 193912320 - 0,000318

6 1 1 1 2 1 2 1 2 1

2 6

112=0,5 6 11082811144099461222504314304484132900141 92~12~;720 = o' 000228

n=i Tabla 4

1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 120 =0,008333

1 10 1 1 1 8 1 21 3 l 160=0,00625

31 4 1 11 1 1 1 10 1 1~0 =0,008333

Fórmula aproximada para la clase W~n+t) (M; O, m) con nudos equidistantes en el segm~nto [O, m] (fórmula que aproxima los datos de la tabla 3) -Jmn Z Jmn

Desviación

41 11 1 32 1 26 1 •I 28 1 1 105 =o' 009524 m c0 A c,A c,A c,A A Jmn deJmn res-

pecto a Jmn

51 15 1 43 1 37 1 1 38 1 4~6 = 0,010965 en%

n=1

61 41

1118

1

100 1106 1104 6240 =0,012340

1 77 4 1 39 1 115 1 92 143

100 1 H rn~ =o, 009533 0,10

98 7* 99

111111 !1

Tabla 4 (continuación)

Desviación ~

m c0 ó c,ó c,ó Ca!i ó Jmn de Jmn res-pecto a Jmn

en %

5 40 112 98 100 11 103 =0,011 0,32

6 40 112 98 100 100 31

25·102 =0,0124 0,49

n=2

51 43 I 148 I 111 1 1 1201 79

0,001045 1 0,04 756·102

6135511238 I 85311108110001 77.º11;6 =0,001014 1 0,003

n=3

4 1 97 1 412 1 182 I 1 3001 10193

567·105 =o ,000180 1 0,15

514071152911064 I 112001 1i54043

0,000318 1 0,06 36288·105

61329113411 61511310110001 31923

0,000228 1 0,003 10· 107

5 1 81 1 307 I 2121 46987

1 240 1 145152·103 0,000324 1 1,85

613311341 67113211001 1487

0,000236 1 3,52 63·105

Las tablas aducidas 3, 4 se dan para los segmentos [O, m]. Su transición a cualquier otro segmento no repre­senta dificultades. Así, es fácil ver (véase § 6) que si la fórmula (11.1) es la mejor para la clase Wi~+o (M; O, m) entre las fórmulas que tienen nudos fijos x1i = k (k = O, 1, ... , m), entonces la fórmula semejante

b m

~ f (x) dx ~ ~ cíd (xí.) = L 1 (f), a k=O

donde , b-a

X¡¡=a+--k m '

, (b-a) k C¡¡,= m

k=O, 1, ... , m,

100

es correspondientemente mejor para la clase Wi~+•>(M; a, b) con los nudos fijos xÍt. Además, en vir­tud de la desigualdad (6.17), donde se debe poner n = 1 (n tiene otro sentido allí), la estimación

b

sup 1 \ f dx- Li(f) 1=M11 F n+1 llL,(a, b) (n+!) J

fEW L2 (M: a, b) a

está ligada con la estimación (11.2) del modo siguiente:

( b-a )n+2-1/2 11 F n+1 llL,(a, b)= -----,¡¡- 11Fn+i11 L 2(0, m)·

§ 12. Fórmulas de cuadratura en las cuales figuran valores de las derivadas de la función

Hasta ahora hemos considerado las fórmulas de cua­dratura por medio de los cuales se calcula aproximadamen­te la integral definida de una función, siendo conocidos los valores de dicha función en los puntos aislados, es decir, en los nudos de la fórmula de cuadratura. No obs­tante, son posibles fórmulas de cuadratura más generales, en las cuales intervienen tanto los valores de la función, como también valores de sus derivadas de uno u otro orden.

Si se saben no sólo los valores de la función f (x) en los puntos x0 , x1, ••• , Xm del segmento [O, 1), sino tam­bién los valores de sus derivadas de tal o cual orden, es natural que al utilizar correctamente todos estos datos, podemos esperar un resultado más exacto que en el caso cuando se usan solamente los valores de la función.

La fórmula de cuadratura en la cual figuran los valo­res de la función f (x) y de sus derivadas de orden hasta p inclusive en los puntos x0 , x1 , ••• , Xm tiene en el caso general la forma siguiente:

. 1 m-1 p

~ f dx ~ ~ ~ p¡¡,¡f<1> (x1i) = L (f), (12.1) O k=O l=O

101

111 &: ::i.

donde P11.z son números dados (los pesos), x11., los puntos dados que satisfacen la condición

O~x0 <x1 ••• <xm-1~1.

Si la fórmula (12.1) es exacta para los polinomios Pr_1 (x) de grado r - 1, es decir, si para ella la desigual­dad aproximada se hace exacta al sustituir f por cual­quier polinomio P 7 _ 1 , entonces resulta posible obtener para ella el valor exacto del error que se expresa en tér­minos de la derivada ¡<r> (x) de orden r > p~

Con este objeto nos será más cómodo esc11ibir nuestra fórmula de la manera siguiente:

1 m-1 p

~ fdx~ !, ~ ~ A~>(r-l-1)!/U>(xk)=L(/), (12.2) O k=O l=O

suponiendo

P11.z=·(r-l-1)1 ')..,,(!) r! k •

Sea dada una función f (x) que tiene en el segmento [O, 1) la derivada continua a trozos ¡<r>(x). Desarrollé­mosla de acuerdo con la fórmula de Taylor:

r-1

"" xl f (x) = LJ 1! /U> (O)+ Rr (x) = P r-dx) + Rr (x), !=O

donde (véase (3.4)) 1

Rr(X}= lr~Hl ~ K 7 (x-t)f<r>(t)dt. o

Notemos que la derivada de orden l < r del término residual puede ser escrita en la forma siguiente:

1

R~l)(x)= Ir _,1 __ rn ~ K 7 _¡(x-t)f<r>(t)dt. o

Por eso, debido a que la fórmula (12.2) es exacta para P r-l (es decir, los nudos X11. y los pesos A,~> están ligados

102

mediante la condición de exactitud),

donde

1 1

~ fdx-L(f)= ~ R 7 dx-L(R7 )= o o

1 1

- - 1- \ \ K (x-t)f<r>(t)dtdx-(r-1)1 J J r o o

m-1 p 1

-7 ~ ~ A~) ~ Kr-l (xk -t) f<r> (t) dt = k=O l=O O

1 1

= 1 \ \ (x-er-1 dx¡<r-1>(t)dt-(r-i)I J J

o t 1 m-1 p -7 ~ ~ ~ A~l)K7_z(x11.-t)f<r>(t)dt= O 11.=0 !=O

1

= ~ Fr (t) j(r) (t) dt, o

m-1 p

F 7 (t)=fi-[(1-t)7- ~ ~ 'A~l)K7_z(x11.-t)J. 11.=0 !=O

(12.3)

(12.4)

Se ha obtenido una igualdad exacta que expresa la estimación de aproximación de la fórmula de cuadratura para la función dada f (x) que tiene en el segmento [O, 1) la derivada de orden r. Esta igualdad es sumamente aná­loga a la igualdad correspondiente (4. 7) la cual es su caso particular cuando p = O, si se toma en consideración que rpko = A,<~>. Esta particularidad significa que para la fórmula de cuadratura más general que se analiza también pueden obtenerse los resultados análogos a aquellos que se l:ian expuesto en el § 6, 7.

La fórmula de cuadratura

b m-1 p

~ f dx ~ ~ ~· PÍizf(l> (xÍi) = L (a, b; f), a k=O l=O

103

,.11.11¡

correspondiente al segmento [a, b) (y semejante a la fór­mula (12.1)) tiene nudos xk. dispuestos en [a, b) geo­métricamente de un modo análogo a la disposición sobre el segmento [O, 1) de los nudos xk de la fórmula (12.1). En lo que se refiere a los pesos Pkl• están relacionados con Pkl mediante las correlaciones

PÍi1 = h1+1 Pkz.

donde h = b - a es la longitud del segmento [a, b). Esta correlación presta la posibilidad de introducir el concepto de fórmula de cuadratura complicada

b m-1

~ t dx ~ ~ L (sk, Sk+i; !), Sk =a+ b-;:ª k, (12.5) a k= O

precisamente de la misma manera como se hizo para la fórmula (6. 7).

El teorema 1 queda totalmente en vigor también para la fórmula (12.5) obtenida de la fórmula (12.2); por su­puesto, es necesario solamente que por F 7 (t) se entienda la función definida mediante la igualdad (12.4). Está claro que para la fórmula (12.5) obtenida de (12.2) son válidos también los teoremas 4-7 y todas las conclu­siones generales del § 7 que se desprenden de los teore­mas citados.

§ 13. Fórmula de interpolación de Hermite

Al igual que la fórmula de interpolación de Lagrange (véase § 1) sirve para obtener las fórmulas de cuadratura de forma corriente (1.11), la fórmula de interpolación de Hermite puede servir para obtener las fórmulas de cua­dratura del tipo (12.1) que contienen, a la par con los va­lores de la función a integrar, los valores de sus derivadas de tal o cual orden.

Prefijemos en un segmento [a, b) los puntos x0 , x1 , •••

••• , Xm-l y los sistemas de números que les corresponden Y(t) y<Po) Yo, o , • • ·, o , Y<I) (P1)

Y1, i ' • • · • Y1 '

Y (t) y<Pm-1> m-1• Ym-1• • • '' m-1 '

donde p0 , p1, ••• , Pm-l son números naturales prefijados.

104

Planteemos un problema: construir un polinomio P (x) de grado n = Po + p1 + ... + Pm-i + m - 1, que posea las propiedades

p(l>(xk)=Ykº, k=O, 1, ... ,m=1,

l=O, 1, ... , Pk·

El polinomio buscado es el único, pues si admitimos que existen dos polinomios de este género, la diferencia entre ellos denotada por Q (x) ha de satisfacer las igual­dades

Q(l>(x11 )=0, k=0,1, ... ,m-1, l=0,1, ... ,ph

y, por consiguiente, los puntos xk deben ser ceros de Q (x) de multiplicidades respectivas Pk + 1. De aquí se deduce que el polinomio Q (x) de grado n tiene que divi­dirse por el polinomio

m-1 n (X - Xk)Pk+l k=O

de (n + 1)-ésimo grado, lo que es posible sólo en el caso de que Q (x) = o. e

Comprobando directamente podemos convencernos de que el polinomio P (x), que resuelve el problema plantea­do, puede escribirse en la forma siguiente

m-1 Pk

P (x) = ~ ~ y~> Pk1 (x), k= O l = O

(13.1)

donde p +1 Pk

A (x) {(x-xk) k } -l

Pk1(x)= ( )Pk+1-I A(x) (xk)' l! x-xk (13.2)

m-1

II )p + 1 A(x)= (x-xk k , k= O

k=O, 1, .. . ,m-1, l=O, 1, ... ,pk,

y la expresión {F (x) }~~l denota la suma de términos del desarrollo de la función F (x) en la serie de Taylor dentro del entorno de x = a, donde x - a tiene las potencias que no sobrepasan el número natural 'A.

105

•• ~a

Para convencerse de esto hay que tomar en considera­ción que el polinomio Pkl (x) está elegido de una manera tal que tenga la potencia n y satisfaga las condiciones

P <i> (x )-kl s -{

1, si k==s, l=i simultáneamente,

O, en los demás casos,

k=O, 1, . .. ,m-1, l=O, 1, ···•Pk·

Esto se deduce de que

cp(x) {_J_( )}(µ) =1+K(x-at+ 1 + . .. , q> X (a)

(13.3)

(13.4)

puesto que el µ-ésimo segmento del desarrollo de Taylor de la función (13.4) coincide, evidentemente, con el µ-ésimo segmento del desarrollo correspondiente de la unidad:

1 1 = cp (x) <p (x) •

A la fórmula (13.1) le corresponde la aproximada fórmula de interpolación general de Hermite

m Pk

f (x),..., ~ ~ f(l> (xk) Pk1 (x) = P (x), (13.5) k=O l=O

que pone en correspondencia a la función dada f (x) el polinomio de n-ésimo grado P (x) que satisface las con­diciones

f(l> (xk) = p(l> (xh},

k=O, 1, ... ,m-1, l=O, 1, ... ,pk.

Al integrar los miembros izquierdo y derecho de la igualdad aproximada (13.5), obtendremos la fórmula de cuadratura (aproximada) 1>

b

~ f (x) dx,..., L (/}, (13.6) a

1) Esta fórmula tiene carácter un tanto más general que la examinada en el § 12, donde Po = p1 = ... = Pm-1 = p.

106

donde m-1 Pk

L (/) = ~ ~ p~>¡< 1 > (x1i), (13.7) k=O l=O

b

p~>= ~ Pk¡(x) dx. (13.8) a

Por cu~nto para todo polinomio P (x) de grado n = = Po + P1 + · .. + Pm-1 + m - 1 la fórmula de in­terpolación (13.5) de Hermite se reduce a una identidad, la fórmula de cuadratura (13.6) es exacta para todos los polinomios de n-ésimo grado.

Viceversa, es fácil notar que si está dada una fórmu­la de cuadratura

b

~ / dx,..., L1 (/),

a

donde

m-1 Pk

Lt (/) = ~ ~ p~<O¡(l> (xk}, k=O l=O

de la cual se sabe que es exacta para todos los polinomios de n-ésimo grado, entonces sus coeficientes determinan­tes p//º coinciden, respectivamente, con los números obte­nidos más arriba p~> determinados con ayuda de las in­tegrales (13.8). En efecto, para cualquier polinomio P (x) de grado no superior a n resulta lícita la igualdad L (P) = L 1 (P).

En particular, si como P (x) tomamos los polinomios P kz (x) del tipo (13.2), obtenemos, a consecuencia de sus propiedades (13.3):

p~> = L (Pk1) = L 1 (Pkz) = p'f;.º, k=O, 1, ... , m-1, l=O, 1, ... , P1t•

lo que era necesario demostrar. La fórmula de cuadratura (13. 7) contiene, como caso

particular, la fórmula (12.1) para p1 = p2 = · · · = Pm = P·

107