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II.- TEORIA DE CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTAR
II.1 ELEMENTOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS.
II.1.1 Definición.- Conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos que pueden ser personas, números, ríos, letras, etc. a los que se les llama miembros o elementos. Ejemplos:
Los números 1, 3, 7 y 10Las soluciones de la ecuación x² –3x + 2 = 0Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, uLos estudiantes Tomás, Ricardo y EnriqueLos números 2, 4, 6, 8, . . . . Las ciudades capitales de EuropaEl conjunto de los números primos menores que 15
II.1.2 Expresión de conjunto.- Para expresar un conjunto es necesario definir:
)a Notación.- Las letras mayúsculas se emplean para denotar un conjunto, las letras minúsculas para los elementos del conjunto, la “coma” para separar cada elemento, el símbolo para encerrar los elementos y la pertenencia de un elemento a un conjunto se indica con
b) Forma constructiva (comprensión o descriptiva).- Es cuando se enuncian las propiedades que deben tener los elementos del conjunto. Generalmente se emplea la x en este tipo de expresión. Ejemplos:
A = todos los números pares = x x es un número par B = los habitantes de la tierra = x x es un habitante de la tierra C = Los números dígitos = x x es un número dígito D = Todos los números primos menores que 15 = x x es un número primo, x < 15
La expresión x x se lee “ x tal que x
c) Forma tabular (extensión o enumerativa).- Es cuando se escribe cada elemento del conjunto. Ejemplos:
A = 2, 4, 6, 8, . . .C = 0, 1, 2, 3, . . . . , 8, 9
d) Diagramas de Venn-Euler.- Es la representación gráfica de los conjuntos y sus relaciones mediante áreas planas (normalmente círculos y rectángulos). Ejemplo:
En la figura se dibujan el conjunto Universo y los conjuntos A y B.
II.2 CLASES DE CONJUNTOS.
Los conjuntos se clasifican de la siguiente manera:
II.2.1Conjunto universal.- Es el conjunto de todos los elementos posibles para sustituir la x en un conjunto. Conjunto fijo del cual se consideran subconjuntos todos los conjuntos de una investigación. Se denota por U. Ejemplos:
En geometría plana, el conjunto universal será:
U = x x es cualquier punto del plano
En estudios sobre población:
U = x x es un ser humano
II.2.2Conjunto vacío.- Denotado por o por es el conjunto que carece de elementos. Se le llama también conjunto nulo. Ejemplos:
Si A es el conjunto de personas vivas mayores de 200 años, entonces
A = =
Si B es la solución de x2 = 4 y es impar, entonces
B = x x² = 4, x es impar =
II.2.3Subconjunto.- A es subconjunto de B denotado por A B cuando todo elemento de A es elemento de B ( a A; a B ). Si un subconjunto tiene por lo menos un elemento menos que el otro conjunto entonces se le llama subconjunto propio. Algunos libros denotan “ A subconjunto de B “ con A B y “A subconjunto propio de B “ con A B. Ejemplos:
El conjunto A = 1, 3, 5 , B = 5, 4, 3, 2, 1 y C = 5, 1, 3 , como todo número 1, 3, 5, de A pertenece a B, entonces:
A B “ A subconjunto propio de B” ; y A C “ A subconjunto de C”
Sean F = x x es potencia entera positiva de 2 y G = x x es par , entonces
F G
II.2.4Conjuntos iguales.- El conjunto A es igual al conjunto B denotado por A = B, si todo elemento de A es elemento de B y si todo elemento de B es elemento de A ( a A; a B y b B; b A ); esto es A B y B A. Ejemplos:
Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 3, 1, 4, 2 , entonces
A = B; es decir 1, 2, 3, 4 = 3, 1, 4, 2
Sean E = x x² - 3x = - 2 ; F = 2, 1 y G = 1, 2, 2, 1 , entonces
E = F = G
II.2.5Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A B o B A; son no comparables si A B y B A ( A no es subconjunto de B y B no es subconjunto de A). Nótese que si A no es comparable con B, entonces hay en A un elemento que no esta en B y hay también en B un elemento que no esta en A. Ejemplos:
Sean A = a, b y B = a, b, c ; puesto que A B, entonces
A es comparable con B
Sean C = a, b y D = b, c, d ; puesto que a C y a D; c D y c C, entonces
C D y D C y por lo tanto, C y D no son comparables
II.2.6Conjuntos disjuntos.- Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A esta en B y ningún elemento de B esta en A, se dice que A y B son disjuntos. Ejemplos:
Sean A = x x es número par y B = x x es número impar , entonces
A y B son conjuntos disjuntos, pues no existe número que sea par e impar a la vez.
Sean E = x, y, z y F = r, s, t , entonces
E y F son conjuntos disjuntosII.2.7Conjuntos finitos.- Intuitivamente, si un conjunto tiene un número de elementos tal que el proceso
de contarlos puede terminar, entonces el conjunto es finito. Si no, es infinito. Ejemplos:
Sean A = x x es un día de la semana , entonces A es finito.
Sea R = x x es un río de la tierra , entonces R es finito
Sea P = 2, 4, 6, 8, ....., entonces P es infinito
II.2.8Conjunto potencia.- La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S. Se designa por 2S. Ejemplo:
Sea M = a, b , entonces: 2M = a, b , a , b ,
Sea P = 4, 7, 8 , entonces: 2P = P, 4, 7 , 4, 8 , 7, 8 , 4 , 7 , 8 ,
Si un conjunto es finito, si tiene n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n elementos
II.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS
En aritmética se suma, resta multiplica y divide, es decir, a cada par o mas números que intervienen en las operaciones mencionadas, se les asigna otro número que es el resultado de la operación efectuada; a continuación se habrán de definir las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento con conjuntos.
II.3.1UNION
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o tanto a A como a B. Se denota la unión de A y B por
A B que se lee “ A unión B”
Ejemplo: En el diagrama de Venn, la figura A B aparece sombreada
Sean A= a, b, c, d y
B = f, b, d, g ; entonces:
A B = a, b, c, d, f, g
La unión se puede definir también:
A B = x x A o x B A B
Se puede afirmar que: A B = B A
El conjunto A es subconjunto de A B; el conjunto B también es subconjunto de A B:
A (A B) y B (A B)
En algunos libros, la unión de A y B se denota por A + B y se le llama suma conjuntista de A y B o simplemente A + B.
II.3.2INTERSECCION
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por
A B que se lee “A intersección B”
En el diagrama de Venn, la figura A B aparece sombreada
Sean A= a, b, c, d y
B = f, b, d, g ; entonces:
A B = b, d
La intersección se puede definir también:
A B = x x A, x B
La coma tiene el significado de “y”
A BSean V = 2, 4, 6, ..., es decir, múltiplos de 2: y sea W = 3, 6, 9, ... , o sean los múltiplos de 3:
V W = 6, 12, 18, ... = x x es múltiplo de 6
De la definición de intersección se sigue que:
A B = B A
Cada uno de los conjuntos A y B contiene al conjunto A B
(A B) A y (A B) B
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, A y B son disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío
A B =
En algunos libros, la intersección de A y B se denota por AB y se llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B.
II.3.3DIFERENCIA
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no a B, se denota la diferencia de A y B por
A B o A \ B
Que se lee “ A diferencia de B “ o simplemente “ A menos B “
En el diagrama de Venn, la figura A \ B aparece sombreada
Sean A= a, b, c, d y
B = f, b, d, g ; entonces:
A \ B = a, c
La diferencia se puede definir también:
A \ B = x x A, x B
La coma tiene el significado de “y”
A BEl conjunto A contiene al conjunto A \ B como subconjunto, esto es:
(A \ B) A
Los conjuntos (A \ B), A B y (B \ A) son mutuamente disjuntos, es decir, la intersección de dos cualesquiera es vacía.
II.3.4COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del conjunto A. Se denota el complemento de A por:
A o Ac En el diagrama de Venn, la figura Ac
aparece sombreada, siendo
A= a, b, c, d , B = f, b, g, d y
U = x x es una letra del alfabeto
El complemento de A se puede definir también:
Ac = x x U, x A
O simplemente como
Ac = x x A
De la definición de complemento se tiene que: Ac
1. La unión de cualquier conjunto A y su complemento es el conjunto universal
A Ac = U
2. El conjunto A y su complemento son conjuntos disjuntos
A Ac =
3. El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío y viceversa
Uc = c = U
4. El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto
(Ac)c = A
5. La diferencia de A y B es igual a la intersección de A y el complemento de B
A \ B = A Bc
EJERCICIOS IV.
1.-Sean: U = a, b, c, d, e , A= a, b, d y B = b, d, e ; Hallar:
a) A B, b) B A, c) Bc, d) B A, e) Ac B,
f) A Bc, g) Ac Bc, h)B Ac, i) (A B)c, j) (A B)c,
2.-En el diagrama de Venn-Euler
que se proporciona, rayar:
a) A ( B C )
b) (A B) (A C)
c) A ( B C)
d) (A B) (A C)
3.-Sean: U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A=1, 2, 3, 4, 5, B=1, 3, 5, 7; y C=2, 5, 6, 7; hallar:
a) A C, b) B A, c) C \ B, d) Bc C, e) Cc A,f) (A \ C)c, g) (A\ Bc )c, h) (A Ac )c , i) C Bc , j) (A B)c,
4.-En los diagramas de Venn-Euler que se proporcionan, rayar:
a) W \ V b)Vc W c) V Wc d) Vc \ Wc
5.-En forma tabular, determinar los conjuntos N, Z y R ( enteros positivos, enteros y reales).
6.-En forma constructiva, define los intervalos abierto, cerrado, abierto-cerrado y cerrado-abierto: estos son: (a, b); [a, b]; (a, b] y [a, b).
II.4 TECNICAS DE CONTAR
II.4.1 PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACION Y LA ADICION
a) Principio de la multiplicación.- Si los sucesos P1, P2, P3,. . . ., Pr ocurren de n1, n2, n3, . . . ., nr maneras diferentes respectivamente, entonces el suceso (P1 y P2 y P3 y . . . Pr ) ocurre de ( n1 n2 n3 . . nr
) formas diferentes. Este es el llamado principio de la multiplicación o principio fundamental del análisis combinatorio.
Ejemplo: Una persona ha de realizar un viaje con gastos pagados a cualquiera de los tres lugares señalados (Acapulco, Puerto Vallarta o Cozumel), en cualquiera de los dos medios de transporte (avión o tren) y acompañado por alguna de las tres personas indicadas (papá, padrino o hermano); ¿De cuántas maneras es posible que realice el viaje?
P1 = Destinos; P2 = Transporte y P3 = Acompañantes
n1 =3 maneras; n2 = 2 maneras y
n3 =3 maneras
Las formas en que pueden ocurrir los sucesos P1 y P2 y P3 de las n1 y n2 y n3
maneras diferentes son: n1 n2 n3 = (3) (2) (3) = 18 maneras diferentes tal como se esquematiza en el diagrama.
1. Determinar la cantidad de números telefónicos que pueden existir en la ciudad de Torreón, Coah. Si constan de 6 dígitos y el primero puede ser 1 o 2 o 3 o 5.
2. Determinar la cantidad de placas para automóvil en el estado de Durango si la primera letra es F ( alfabeto de 25 letras ) y tiene 7 caracteres ( 3 letras y 4 números ).
3. Determinar las formas de seleccionar un automóvil si hay tres maneras de pago con cuatro colores y dos modelos.
b) Principio de la adición.- Si los sucesos P1, P2, P3,. . . ., Pr ocurren de n1, n2, n3, . . . ., nr formas diferentes, entonces el suceso (P1 o P2 o P3 o . . . Pr ) ocurre de ( n1 + n2+ n3 + . . + nr ) maneras diferentes.
Ejemplo: Una pareja que cuenta con el dinero del enganche de una casa, tiene las siguientes alternativas
En el primer fraccionamiento le ofrecen tres opciones diferentes y en el segundo dos, de tal manera que tiene
3 + 2 OPCIONES
La opción que elija será o bien del primer fraccionamiento o del segundo.
1. Calcular las alternativas de un estudiante para seleccionar su carrera, si en la Facultad de Ciencias le interesan tres carreras, en la de Ingeniería cinco y en la de Ciencias Químicas seis.
2. Una persona presentó su solicitud de trabajo en tres empresas distintas. En la primera existen tres puestos diferentes, en la segunda cuatro y en la tercera uno. Su hermano solicitó empleo en dos compañías que le ofrecen cinco puestos en una y tres en la otra. ¿Quién tiene mas posibilidades de selección?.
3. En una familia el papá tiene tres sacos, cuatro pantalones, dos pares de zapatos y cinco corbatas. La mamá tiene dos vestidos, tres trajes, cinco sombreros, tres pares de zapatos y tres bolsas. El hijo dispone de cuatro pantalones, seis camisas y dos pares de zapatos. ¿De cuántas maneras puede ir vestida la familia a una fiesta?. Aplicar los dos principios estudiados.
II.4.2 ORDENACION CON REPETICION.
Los arreglos con repetición de “k” elementos de un conjunto original con “n” elementos son las ordenaciones con repetición de los “n” elementos de un conjunto tomándolos de “k” en “k”. Se simbolizan con:
( OR ) kn = nk con k >=< n
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda al aire, los posibles resultados son {A, S}, (conjunto original de dos elementos);
si se lanza dos veces: {AA, SA, AS, SS};si se lanza tres veces: {AAA, SAA, ASA, SSA, AAS, SAS, ASS, SSS };
Para todos los casos, sería:
2 arreglos con un elemento2 (2) = 22 arreglos con 2 elementos22 (2) = 23 arreglos con 3 elementos23 (2) = 24 arreglos con 4 elementos24 (2) = 25 arreglos con 5 elementos
( OR ) 52 = 25 = 32 arreglos con cinco elementos
Considerando ahora un conjunto original de tres elementos y sus posibles arreglos, sucede:
de los que se tienen tres arreglos de un elemento:
3 arreglos
A partir de estos se generan los arreglos de dos elementos:
3 (3) = 9 arreglos.
Los arreglos de tres elementos deben ser:
9 (3) = 27 arreglos
Generalizando, se tiene:
n arreglos de 1 elementon (n) = n2 arreglos de 2 elementosn2 (n) = n3 arreglos de 3 elementosn3 (n) = n4 arreglos de 4 elementos
. .
. .
. .
. .nk-2 (n) = nk-1 arreglos de k-1 elementosnk-1 (n) = nk arreglos de k elementos
Lo que nos lleva a:
( OR ) kn = nk con k >=< n
1. Cuántos números se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6
a) de dos o más dígitos; ( OR ) 24 = 42 = 16; ( OR ) 3
4 = 43 = 64; ( OR ) 44 = 44 = 256;
b) de tres dígitos y que sean pares; ( OR ) 34 = 43 = 64; 64 2 = 32
2. Dadas las letras A, B y C:
a) ¿Cuántas claves se pueden formar con cuatro letras?; ( OR ) 43 = 34 = 81
b) ¿Cuántas claves se pueden formar con tres letras?; ( OR ) 33 = 33 = 27
c) ¿ Cuántas claves se pueden formar con dos letras?; ( OR ) 23 = 32 = 9
II.4.3 ORDENACION SIN REPETICION.
Los arreglos sin repetición de “k” elementos de un conjunto original de “n” elementos, son las ordenaciones sin repetición de “n” elementos de un conjunto tomados de “k” en “k” y se simbolizan por:
O nk = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . [ n- (k-1)] con k n
Se desea nombrar una directiva integrada por tres miembros (presidente, secretario y tesorero) seleccionados de un total de cinco personas.
El puesto de presidente lo puede ocupar cualquiera de las cinco personas
Para el siguiente puesto (secretario), sólo se dispone de cuatro del total de cinco
Las pareja S1S1, S2S2, S3S3, S4S4 y S5S5 no se consideran porque una misma persona no debe ocupar dos puestos al mismo tiempo.
Para el puesto de tesorero, sólo se dispone de las tres personas restantes.
Las tercias como S1S2S1 quedan excluidas por la razón ya expuesta
Analizando lo expuesto:
Arreglos de un solo elemento del conjunto igual al número de ellos.
5 arreglos
Si a los arreglos de un solo elemento, se les asignan las cuatro personas restantes, se generan
5 (4) = 20 arreglos
Si a los arreglos de dos elementos, se les asignan los tres restantes, se generan
20 (3) = 60 arreglos
Si en lugar de tres, se tratara de cuatro integrantes en la directiva, serían
60 (2) = 120 arreglos
Por último (no podría existir un sexto puesto), una directiva con cinco puestos
120 (1) = 120 arreglos
Generalizando, para un conjunto de n elementos, se obtiene:
n arreglos sin repetición de un elemento
n (n - 1) arreglos sin repetición de dos elementos
n (n - 1) (n –2) arreglos sin repetición de tres elementos. .
n (n - 1) (n –2) . . . . . . [ n- (k-1)] arreglos sin repetición de k elementos
Que nos conduce a:
O nk = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . [ n- (k-1)] conk n
Para el caso del planteamiento inicial:
Como n = 5, k = 3: y [ n- (k-1)] = [ 5- (3-1)] = 3
O nk = O 5
3 = 5 (5-1) (5-2) = 5 (4) (3) = 60;
O 53 = 60
1. De cuantas maneras se pueden ordenar 15 libros en 10 lugares diferentes.
Como n = 15 y k = 10; [ n- (k-1)] = [ 15- (10-1)] = 6
O nk = O 15
10 = 15 (14) (13) (12) (11) (10) (9) (8) (7) (6) = 10 897 286 400
2. De cuantas maneras se pueden estacionar 5 coches en 8 lugares de un estacionamiento.
Como n = 8 y k = 5; [ n- (k-1)] = [ 8- (5-1)] = 4
O nk = O 8
5 = 8 (7) (6) (5) (4) = 6 720
3. De cuantas maneras pueden sentarse 12 personas en una fila con 20 lugares.
Como n = 20 y k = 12; [ n- (k-1)] = [ 20- (12-1)] = 9
O nk = O 20
12 = 20 (19) (18) (17) (16) (15) (14) (13) (12) (11) (10) (9) = 6.0339831552 1013
II.4.4 NOTACION FACTORIAL.
Al producto de los primeros n números enteros positivos desde 1 hasta n se le llama factorial de n, se denota por n y se lee “ n factorial ”. Por definición 0 = 1.
n = 1 2 3 ( n – 2 ) ( n – 1 ) n
2 = 1 2 = 2; 5 = 1 2 3 4 5 = 120; 8 6 = 8 7 6 6 = 8 7 = 56
3 = 1 2 3 = 6; 12 11 10 = 12 11 10 9 9 = 12 9
II.4.5 PERMUTACIONES.
Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, r n, en un orden dado se llama permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez. En el primer caso, las permutaciones se denotan por nPn o por P(n,n) o por Pn; en el segundo, nPr o P(n,r). El cálculo de los arreglos indicados se determina por:
nPr = P(n,r) = n (n – r)
Cuando r = n (es decir, tomados todos a la vez), se tiene:
nPn = P(n,n) = n (n – n) = n (0) = n 1 = n; entonces resulta:
nPn = P(n,n) = Pn = n
Cuando se desea calcular el número de permutaciones en que en los n objetos hay n 1 objetos iguales, n2
objetos iguales, n3 objetos iguales .....donde n1 + n2 +n3 + ....= n; entonces:
Pn = n [(n1 )( n2 )( n3 ) ...... ( nr)]; permutaciones con repetición.
Ejemplos:
1. Con el conjunto {a, b, c, d, e, f}, encontrar el número de permutaciones tomadas tres a la vez:
P(n,r) = n (n – r) = P(6,3) = 6 (6 – 3) = 6 3 = (6 5 4 3 ) 3 = 6 5 4 = 120;
se forman 120 arreglos tomadas tres a la vez
2. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con 2, 3, 5, 6, 7 y 9 ?
P(n,r) = n (n – r) = P(6,3) = 6 (6 – 3) = 6 3 = (6 5 4 3 ) 3 = 6 5 4 = 120;
a) ¿Cuántos de estos son menores de 400 ?
2 5 4 = 2 5 4 = 40
b) ¿Cuántos de estos son pares ?
5 4 2 = 5 4 2 = 40
c) ¿Cuántos impares ?
5 4 4 = 5 4 4 = 80
d) ¿Cuántos de estos son múltiplos de 5 ?
5 4 1 = 5 4 1 = 20
3. Con las letras de la palabra “ col “ se forman
nPn = P(n,n) = P(3,3) = 3 = 1 2 3 = 6; { col, loc, clo, lco, ocl, olc } arreglos
4. Con el conjunto de letras { a, b, c, d } se forman
nPn = 4P4 = 4 = 1 2 3 4 = 24 arreglos de cuatro letras tomadas cuatro a la vez;
5. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión 7 personas en una fila con 7 sillas ? ¿y en mesa redonda ?
nPn = 7P7 = 7 = 7 6 5 4 3 2 1 = 5 040 maneras de acomodarse en 7 sillas6 = 6 5 4 3 2 1 = 720 maneras de acomodarse en mesa redonda
Esto es una permutación circular. En general, n objetos se pueden distribuir en un círculo de (n–1) maneras.
6. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila tres hombres y dos mujeres?
P(n,n) = P(5,5) = 5 = 5 4 3 2 1 = 120 maneras de sentarse en una fila
a) ¿Y si los hombres se sientan juntos y las mujeres también?
las mujeres: 2 = 2 1 = 2los hombres: 3 = 3 2 1 = 6
hombres juntos, mujeres juntas:
H H H M M M M H H H
Total de maneras = 2 6 2 = 24
b) ¿Y si las mujeres se sientan juntas ?
M M H H H H M M H H H H M M H H H H M M
Total de maneras 4 2 3 = 4 2 6 = 48
7. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 2 italianos, 3 americanos, 4 franceses y 4 alemanes y que queden por nacionalidades?. ¿Y en forma circular?
Por nacionalidades hay 4 maneras de colocarse y en cada nacionalidad 2 3 4 4 ; en total
4 2 3 4 4 = 165 888 maneras de colocarse.
3 2 3 4 4 = 41 472 maneras de colocarse circularmente.
8. Determinar las palabras que se pueden formar con las letras de “ala”:
Pn = n [ (n1)(+ n2 )( n3 ) ......( nr ) ]= 3 2 = 3; { ala, aal, laa }
9. Determinar las palabras que se pueden formar con las letras de “estadísticas”:
Pn = n [ (n1 )( n2 )( n3 ) ...... ( nr ) ] = 12 [(3 )( 2 )( 2 )( 2 ) ]= 9 979 200
12 (doce letras de la palabra), 3 ( tres “s”), 2 (dos “t”), 2 (dos “i”), 2 (dos “a”).
II.4.6 COMBINACIONES.
Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r de los n objetos en donde el orden no se tiene en cuenta. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se representa con nCr o C(n,r) o Cn,r o (n
r ) y viene dado por:
nCr = n r (n – r) = nPr r
Ejemplo:
1. Encontrar las combinaciones de las letras { a, b, c, d }tomadas tres a la vez.
Estas son : { a, b, c } { a, b, d } { a, c, d } y { b, c, d }
{ a, b, c } { a, c, b } { b, a, c } { b, c, a } { c, a, b } { c, b, a } son la misma combinación, cada una representa el mismo conjunto.
Cada una de las cuatro combinaciones encontradas produce 3 permutaciones. El número de combinaciones multiplicado por 3 nos da el total de permutaciones del caso.
4C3 3 = 4P3 o 4C3 = 4P3 3
3 = 3 2 1 = 6
4P3 = 4 (4 – 3) = (4 3 2 1) 1 = 24
4C3 = 24 6 = 3; o seanCr = n r (n – r) = nPr r
2. ¿Cuántos comités de tres integrantes se pueden formar si hay ocho personas?
8C3 = 8 3 (8 – 3) = 8 3 5 = (8 7 6 5) 3 5 = (8 7 6 )(3 2 1 )= 56 comités
3. Un equipo consta de nueve hombres y tres mujeres:a) ¿De cuántas maneras se puede escoger un grupo de cuatro?
12C4 = 12 4 (12 – 4) = 12 8 4 = (12 11 10 9 8) 8 4 = (12 11 10 9) (4 3 2 1 )= 495 maneras
b) ¿Cuántos grupos tendrán por lo menos una mujer?
12C4 - 9C4 = 495 - [ 9 4 (9 – 4) ] = 495 – [ 9 5 4 ] = = 495 – [ (9 8 7 6) (4 3 2 1) ] = 495 – 126 = 369 grupos
c) ¿Cuántos tendrán exactamente una mujer?
3 [ 9C3 ] = 3 [ 9 3 (9 – 3) ] = 3 [ 9 6 3 ] = 3 [(9 8 7 ) (3 2 1) ] == 3 3 4 7 = 252 grupos
4. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen.
a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?
13C10 = 13 10 (13 – 10) = 13 10 3 = (13 12 11) 6 = 286 maneras
b) ¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?
11C8 = 11 8 (11 – 8) = 11 8 3 = (11 10 9) 6 = 165 maneras
c) ¿Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria?
2 [ 11C9 ] = 2 [ 11 9 (11 – 9) ] = 2 [ (11 10 ) 2 ] = 110 maneras
d) ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?
5C3 8C7 = [ 5 3 (5 – 3) ] [ 8 7 ( 8 – 7 ) ] = [ (5 4) 2 ] [ 8 1 ] =
=[ 10 ] [ 8 ] = 80 manerase) ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?
5C3 8C7 + 5C4 8C6 + 5C5 8C5 = 276 maneras
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES.
Algunas propiedades de las combinaciones son las siguientes:
I ( n0 ) = 1 II ( n
n ) = 1
III ( nr ) = ( n
n-r ) ; propiedad de simetría IV ( nr ) = ( n-1
r-1 ) + ( n-1r )
II.4.7 TEOREMA DEL BINOMIO.
Una combinación C (n,r) o nCr , como se indicó anteriormente, también puede denotarse por (nr ) donde
n y r son enteros positivos y r n. A (nr ) también se le llama coeficiente del binomio. De lo anterior,
resulta una forma de desarrollar el binomio ( a + b ) n mediante el teorema del binomio; este teorema, se resume en la siguiente expresión:
Analicemos ahora el comportamiento del binomio ( a + b )n para algunos valores positivos de n en relación con las combinaciones:
En el desarrollo de ( a + b ) n debe observarse que:A. Hay n + 1 términos.
B. La suma de los exponentes de a y b en cada término es n.
C. Los exponentes de a decrecen en una unidad desde n hasta 0; los de b crecen de 0 a n.
D. El coeficiente de cualquier término es ( nr ) donde r es el exponente de a o de b.
E. Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.
F. ( nr ) tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador.
Ejemplos:
1. ( 64 ) = [ (6 5 4 3 ) (1 2 3 4) ] = ( 6
2 ) = [ (6 5 ) (1 2 ) ] = 15
2. ( 1210 ) = [ (12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) ]
= 66
= ( 122 ) = [ (12 11 ) (1 2 ) ] = 66
3. ( 3x + y )4 = 81 x4 + 108 x3y + 54 x2 y2 +12 x y3 + y4
n = 4
para r = 0; ( 40 ) ( 3x ) 4-0 y0 = [ 1 ] (3x )4 ( 1 ) = 81 x4
para r = 1; ( 41 ) ( 3x ) 4-1 y1 = [ (4 ) (1 ) ] (3x )3 ( y ) = 108 x3y
para r = 2; ( 42 ) ( 3x ) 4-2 y2 = [ (4 3 ) (1 2 ) ] (3x )2 ( y2 ) = 54 x2 y2
para r = 3; ( 43 ) ( 3x ) 4-3 y3 = [ (4 3 2 ) (1 2 3 ) ] (3x )1 ( y3 ) = 12 x y3
para r = 4; ( 44 ) ( 3x ) 4-4 y4 = [ 1 ] (3x )0 ( y4 ) = y4
5. (3 + x )5 =(50)(3)5-0 x0 +(5
1)(3)5-1 x1 +(52)(3)5-2 x2 +(5
3)(3)5-3 x3 +(54)(3)5-4 x4 +(5
5)(3)5-5 x5 =
= [1] (3)5 (1) + [5](3 )4 (x) + [10](3)3(x)2 + [10](3)2 (x)3 + [5](3) (x )4 + [1](1) (x )5 =
= 243 + 405 x + 270 x2 + 90 x3 + 15 x4 + x 5
EJERCICIOS V.
1. ¿ De cuántas maneras pueden ser colocadas en una fila con cinco posiciones 5 esferas de diferentes colores?
2. ¿ De cuántas formas pueden 10 personas sentarse en un banco con capacidad para 4 personas?
3. ¿ Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, ............, 9 si:
a) los dígitos pueden repetirse?b) los dígitos no pueden repetirse?c) el último dígito ha de ser cero y estos no pueden repetirse?
4. 4 libros distintos de matemáticas, 6 diferentes de física y 2 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar si:
a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos?b) solamente los de matemáticas deben estar juntos?
5. ¿De cuántas maneras 10 objetos pueden dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente?
6. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?
7. Una señora tiene 11 amigos de confianza. ¿De cuántas maneras puede
a) invitara 5 de ellos a comer?b) invitar a 5 de ellos si 2 son casados y no asiste uno sin el otro?c) invitar a 5 de ellos si 2 no la llevan bien y no asisten juntos?
8. ¿ De cuántas maneras se puede elegir un comité de 5 integrantes de entre 9 personas?
9. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un equipo con 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras puede formarse si:
a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico?b) un físico determinado debe pertenecer al equipo?c) dos matemáticos determinados no deben pertenecer al equipo?
10. Resolver, aplicando el teorema del binomio:
a) ( 2x + 6 )6
b) ( 3x + y )5
c) ( 2x + 3y )4
III.- ELEMENTOS DE PROBABILIDAD
III.1 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.
III.1.1 DEFINICIONES.
A. Experimentos.- Las situaciones o experimentos se pueden clasificar en:
Experimento determinístico.- Es aquel en que el resultado, en igualdad de condiciones, ocurre siempre de la misma manera.
a) En el lanzamiento de una moneda, su caída.b) En el lanzamiento de un dado, su caída.
Experimento aleatorio.- Es aquel en el que el resultado no siempre ocurre de la misma manera, aunque las condiciones de realización sean idénticas.
a) En el lanzamiento de una moneda, la cara que quede hacia arriba.b) En el lanzamiento de un dado, el número que quede hacia arriba.c) La calidad de un producto, defectuoso o no defectuoso.
B. Espacios muestrales.- Es el conjunto que tiene como elementos todos los resultados de un experimento aleatorio; se representa por o por S. A cada elemento se le llama punto muestral. El conjunto mencionado corresponde al conjunto universal. En los ejemplos señalados:
a) { águila, sello } b) { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }c) { defectuoso, no defectuoso }
Dependiendo de los puntos muestrales de un espacio muestral, este puede ser:
a) Espacio muestral finito.- Si tiene un número finito de puntos.b) Espacio muestral infinito contable.- Si tiene tantos puntos como números naturales. c) Espacio muestral infinito no contable.- Si tiene tantos puntos como hay en un intervalo del
eje “x” { 0 x 1 }.
A los de los incisos a) y b) se les puede identificar como espacio muestral discreto; al del inciso c) como espacio muestral contínuo o no discreto.
C. Eventos.- Un evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral S. Un evento { a } que consiste de un solo punto del espacio muestral ( a S ) se le llama evento elemental o simple. El conjunto vacío y S de por sí son eventos. El se denomina evento imposible y a S se le llama evento cierto o seguro.
Las operaciones realizadas con conjuntos, es posible efectuarlas con eventos. Ejemplo:
1. Si se lanzan una moneda y un dado, se tendrá el espacio muestral de doce elementos siguiente:
S = { a1, a2, a3, a4, a5, a6, s1, s2, s3, s4, s5, s6 } y si los eventos A, B y C son:
A = { Aparecen águilas y un número par } = { a2, a4, a6, }
B = { Aparece un número primo } = { a2, a3, a5, s2, s3, s5, }
C = { Aparecen sellos y un número impar } = { s1, s3, s5, }; expresar:
a) A o B suceden = A B = { a2, a3, a4, a5, a6, s2, s3, s5 }
b) B y C suceden = B C = { s3, s5, }
c) ¿Cuáles de los eventos A, B y C son mutuamente exclusivos?; A y C, puesto que A C =
2. Al lanzar una moneda tres veces, los resultados pueden ser:
S = { aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss } ( 23 arreglos ), y si los eventos A y B son:
A = { Dos o mas águilas aparecen consecutivas } = { aaa, aas, saa }
B = { Todos los resultados son iguales } = { aaa, sss }; se tiene que
1) A B = { aaa, aas, saa, sss }; 2) A B = { aaa };
3) A \ B = { aas, saa }; 4) Ac = { asa, ass, sas, ssa, sss }
Si los conjunto correspondientes a los eventos A y B son disjuntos, es decir A B = , entonces los eventos son mutuamente excluyentes ( que no pueden ocurrir ambos).
3. Al lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior, los resultados pueden ser:
Espacio muestral = S = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }, y si los eventos A, B y C son:
A = {Sale un número par} = {2, 4, 6}, B = {Sale impar} = {1, 3, 5};
C = {Sale número primo} = { 2, 3, 5}; se tiene que
1) A C = {2, 3, 4, 5, 6}; 2) B C = {3, 5};
3) A \ C = {4, 6}; 4) Cc = {1, 4, 6}
A. Probabilidad.- Si un evento A puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, entonces la probabilidad del evento es P(A) = h n ( número de resultados posibles del evento A del total de resultados de S entre número de resultados posibles de S ). Ejemplos:
1. En el lanzamiento de una moneda, la probabilidad P(s) de que sea sello.
n = total de maneras posibles = 2= { a, s }; h = ocurrencias = 1 = { s }
P(s) = h n = 1 2 = 0.5
2. En una baraja de 52 cartas, la probabilidad P(a) de que sea un as.
n = total de maneras posibles = 52; h = ocurrencias = 4 = {bastos, oros, espadas, copas }
P(a) = h n = 4 52 = 1 / 13
3. Se sacan al azar dos cartas de una baraja de 52 cartas; hallar la probabilidad P(e) de que las dos sean espadas:
n = ( 522 ) = [ (52 51 ) (1 2 ) ] = 1 326 maneras posibles de sacar dos cartas
h = ( 132 ) = [ (13 12 ) (1 2 ) ] = 78 maneras de sacar dos espadas
P(e) = h n = 78 1326 = 1 / 17
4. Se escogen al azar 3 lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas; hallar la probabilidad P(t) de que ninguna sea defectuosa y la probabilidad P(e) de que exactamente una sea defectuosa:
Para escoger 3 lámparas entre 15 y 3 de 10 ( 15 – 5 ) no defectuosas con seguridad, se tienen
n = ( 153 ) = [ (15 14 13 ) (1 2 3 ) ] = 455 maneras posibles de sacar tres lámparas
h = ( 103 ) = [ (10 9 8) (1 2 3 ) ] = 120 maneras de sacar tres lámparas no defectuosas
P(t) = h n = 120 455 = 24 / 91
Si hay 5 defectuosas, entonces hay ( 102 ) = [ (10 9 ) (1 2 ) ] = 45 pares diferentes de no
defectuosas, entonces hay 5 45 = 225 maneras de escoger tres lámparas de las cuales una es defectuosa; por lo que:
P(e) = h n = 225 455 = 45 / 91
III.2 AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Con fundamento en la definición de probabilidad, se pueden establecer los siguientes axiomas:I Para un evento A; 0 P ( A ) 1
II P ( S ) = 1
III Si A y B son mutuamente excluyentes; P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
IV Si A1, A2, ... son n eventos mutuamente excluyentes; entoncesP (A1 A2 , ...) = P( A1 ) + P ( A2 ) + .....
A continuación se presentan algunos teoremas surgidos de los axiomas anteriores:
1). P ( ) = 0
2). Si Ac es el complemento de A, P ( Ac ) = 1 - P ( A )
3). Si A B P ( A ) P ( B )
4). P (A \ B) = P(A) - P(A B)
5). Si A y B no son mutuamente excluyentes; P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Para la aplicación de los axiomas y afirmaciones anteriores, se resuelven los siguientes ejercicios:
1) En un grupo de 20 alumnos, 8 de ellos juegan muy bien basquetbol, 7 regular y 5 no saben jugar. Se selecciona un equipo de 6 jugadores. Determinar la probabilidad de:
a) El evento A = { Todos los jugadores no saben jugar }
b) El evento B = { Todos los jugadores juegan muy bien }
c) El evento C = { Se obtiene un equipo de 6 jugadores sin importar su calidad de juego }
d) El evento D = { Todos los jugadores juegan regular }
e) El evento E = { Ningún jugador juega muy bien}
El número de equipos ( espacio muestral = S ) que ser forman será:
( 206 ) = [ (20 19 18 17 16 15 ) (1 2 3 4 5 6) ] = 27,907,200 720 = 38,760
a) Se trata de un evento imposible, en cada equipo por lo menos hay 1 que juega regular o muy bien:
P ( A ) = 0 (206) = 0
b) Con 8 jugadores que juegan muy bien se forman (86) equipos:
P ( B ) = (86) (20
6) = 28 (206) 0 ; = 0.0007223
c) El evento C = S, puesto que en los dos casos el número de equipos que se forman es (206)
P ( C ) = P ( S ) = (206) (20
6) = 1 ; o sea que P ( S ) = 1
Según los axiomas I y II, los límites en probabilidad son: 0 P ( E ) 1
d) Se tienen = (76) equipos de jugadores que todos juegan regular; la probabilidad será:
P ( D ) = (76) (20
6) = 7 (206)
e) Se tienen = (126) equipos de jugadores donde ninguno juega muy bien; la probabilidad será:
P ( E ) = (126) (20
6) = 924 (206)
Los eventos A, B y D son mutuamente excluyentes, por lo que:
P ( A B D) = P (A) + P (B) + P (D) = 0 (206) + 28 (20
6) + 7 (206) = 35 (20
6)
Aplicación del axioma III.
2) De una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que la extracción sea:
a)roja. b) blanca. c) azul. d) no roja. e) roja o blanca.
Denótese por R, B y A los sucesos de extraer una bola roja, blanca y azul respectivamente, entonces:
a) P(R) = [ casos de elegir bola roja ] [ casos de elegir una bola ] = 6 15 = 2 / 5
b) P(B) = [ casos de elegir bola blanca ] [ casos de elegir una bola ] = 4 / 15
c) P(A) = [ casos de elegir bola azul ] [ casos de elegir una bola ] = 5 15 = 1 / 3
d) P(Rc) = 1 - P(R) = 1 – 2 / 5 = 3 / 5
f) P(R + B) = [ casos de elegir bola roja o blanca ] [ casos de elegir una bola ] = [ 6 + 4 ] 15 = 10 / 15 = 2 / 3
Puesto que son eventos mutuamente excluyentes, P(RB) = P(R) + P(B); entonces:
P(R + B) = P(R) + P(B) = 6 / 15 + 4 / 15 = 10 / 15 = 2 / 3; también:P(R + B) = P(Ac) = 1 - P(A) = 1 – 1 / 3 = 2 / 3
3) Una moneda está cargada ( aumentada de peso ) de modo que la posibilidad de salir águila ( a ) sea el doble que la de sello ( s ). Calcular P(a) y P(s).
Sea P(s) = p; entonces, P(a)= 2p; la suma de probabilidades será p + 2p = 1; p = 1 / 3.
P(s) = 1 / 3; P(a) = 2 / 3
4) Dos hombres, h1 y h2 y tres mujeres m1, m2 y m3, intervienen en un torneo de ajedrez. Los del mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de posibilidades de ganar que una mujer. Determinar:
a) La probabilidad de que una mujer gane el torneo.
b) Si h1 y m1 son casados, la probabilidad que uno de ellos gane el torneo.
a) Sea P(m1) = p; entonces, P(m1) = P(m2) = P(m3) = p; y P(h1) = P(h2) = 2p, la suma de probabilidades será:
P(m1) + P(m2) + P(m3) + P(h1) + P(h2) = 1; p + p + p + 2p + 2p = 1; o sea que p = 1 / 7
P(m1 m2 m3) = P(m1) + P(m2) + P(m3) = 1 / 7 + 1 / 7 + 1 / 7 = 3 / 7
b) Si h1 y m1 son casados, la probabilidad que uno de ellos gane el torneo.
P(h1 m1 ) = P(h1) + P(m1) = 2 / 7 + 1 / 7 = 3 / 7
5) Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza es proporcional a dicho número ( por ejemplo 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3 ). Sea A = { número par }, B = { número primo } y C = { número impar }. Determinar:
a) El espacio de probabilidad ( probabilidad de cada punto muestral ).
b) Las probabilidades de A, B y C.
c) La probabilidad de que:
c.1) Salga un número par o primo.
c.2) Salga un número impar primo.
c.3) Suceda A pero no B.
a) Sea P(1) = p; entonces, P(2) = 2p P(3) = 3p P(4) = 4p P(5) = 5p P(6) = 6p
p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1; p = 1 / 21
P(1) =1 / 21, P(2) =2 / 21, P(3) =3 / 21, P(4) =4 / 21, P(5) =5 / 21, P(6) =6 / 21
b) P(A) = P({2, 4, 6 }) = 2 /21 + 4 / 21 + 6 / 21 = 4 / 7
P(B) = P({ 2, 3, 5 }) = 2 / 21 + 3 / 21 + 5 / 21 = 10 / 21
P(C) = P({ 1, 3, 5 }) = 1 / 21 + 3 / 21 + 5 / 21 = 3 / 7
c.1) La probabilidad de un número par o primo es
P(A B) = P({ 2, 4, 6, 3, 5 }) = 2 / 21 + 4 / 21 + 6 / 21 + 3 / 21 + 5 / 21 = 20 / 21
P(A B) = 1 – P(1) = 1 - 1 / 21 = 20 / 21
c.2) La probabilidad de un número impar primo es la probabilidad de B C;
P(B C) = P({ 3, 5}) = 3 / 21 + 5 / 21 = 8 / 21
c.3) La probabilidad de que suceda A pero no B es la probabilidad de A Bc;
P(A Bc) = P({ 4, 6}) = 4 / 21 + 6 / 21 = 10 / 21
EJERCICIOS VI.
1.-Se carga una moneda de manera que la probabilidad de salir águila sea tres veces la de salir sello. Determinar P(a) y P(s).
2.-Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Calcular la probabilidad de que gane B o C.
3.-De 50 cartas numeradas del 1 al 50, se selecciona una. Calcular la probabilidad de que el número de la carta seleccionada sea:
a) Divisible por 5. b) Primo. c) Termine en dos.
4.-De 10 alumnas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogen dos, calcular la probabilidad de que:
a) Dos tengan ojos azules. b) Ninguna tenga ojos azules. c) Por lo menos una tenga ojos azules.
5.-Si se lanza un par de dados corrientes, calcular la probabilidad de que la suma de sus números se mayor que 4.
6.-Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si se escogen dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca.
7.-Calcular la probabilidad de que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales.
8.-Calcular la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado normal.
9.-Diez estudiantes, A, B, ........están en una clase. Si se escoge al azar un comité de 3, hallar la probabilidad de que:
a) A pertenezca al comité b) B pertenezca al comitéc) A y B pertenezcan al comitéd) A o B pertenezca al comité
10.-Una clase consta de 6 mujeres y 10 hombres. Si se escoge al azar un comité de 3, hallar la probabilidad de que:
a) Seleccionar tres hombres.b) Seleccionar exactamente dos hombres.c) Seleccionar por lo menos un hombre. d) Seleccionar exactamente dos mujeres.
III.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL.
III.3.1 DEFINICION.
Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S con P ( E ) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P ( A E ), se define como sigue:
P ( A E ) = P ( A E ) P ( E )
Como se aprecia en el diagrama de Venn, P ( A E ) en cierto sentido mide la probabilidad relativa de A con relación al espacio reducido E.
En particular, si S es un espacio finito equiprobable ( espacio con puntos muestrales que tienen una probabilidad equivalente ) y A denota el número de elementos de un evento A, entonces:
P ( A E ) = A E S ; P ( E ) = E S y así
P ( A E ) = P ( A E ) P ( E ) = A E E
III.3.2 TEOREMAS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL.
De los conceptos expuestos, resultan los siguiente teoremas:
A). Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E. Entonces:
P ( A E ) = [ número de elementos de ( A E ) ] [ número de elementos de E ]
P ( A E ) = [ número de maneras en que A y E pueden suceder ] [ número de maneras en que E puede suceder ]
Ejemplo:
1) Se lanza un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. En otras palabras, sí:
E = { suma es 6 } = { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) }
A = { un 2 aparece por lo menos en un dado } = { (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) }
( A E ) = { (2,4), (4,2), }
P ( A E ) = P ( A E ) P ( E ) = A E E = 2 5 ;
P ( A E ) = 0.4 B). Teorema de la multiplicación para la probabilidad condicional.- Si en la definición de probabilidad
condicional P ( A E ) = P ( A E ) P ( E ) se considera que A E = E A y se multiplica en cruz [ P ( E ) P ( A E ) = P ( A E ) = P ( E A ) ], se obtiene la siguiente fórmula:
P ( E A ) = P( E ) P( A E ) ; que puede extenderse a:
Para los eventos A1, A2, .........,An
P ( A1 A2 A3 ............... An ) =
= P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ).....P( An A1 A2 ............. An-1 )
Aplicación del teorema:
De un lote de 12 artículos que tiene 4 defectuosos, se toman al azar tres uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los tres artículos sean no defectuosos.
Para el primer artículo, la probabilidad es 8 / 12, si el primero fue no defectuosos, la probabilidad de que el segundo repita será 7 / 11, pues sólo 7 de los 11 restantes son no defectuosos; si los dos primeros fueron no defectuosos, entonces el tercero tendrá de probabilidad 6 / 10, así por el teorema de la multiplicación se tiene
p = [8 /12 ] [7 / 11 ] [ 6 / 10 ] = 14 / 55
Ejemplos:
1) En una oficina hay 65 empleados, de los cuales 25 son casados y 40 están titulados; además, de los titulados 10 están casados. Si se selecciona un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de:
a) Que sea casado?b) Que sea casado y titulado?c) Ser titulado uno cualquiera de los casados?
Se dibuja el diagrama de Venn representativo del problema.
C = { x x es casado }
T = { x x es titulado }
N ( S ) = 65
a) La probabilidad de C es igual a
P ( C ) = 25 / 65 = 5 / 13
b) La probabilidad de C y T es C T = 10P ( T ) = 10 / 65 = 2 / 13
c) Se trata de probabilidad condicional, o sea, la probabilidad de ser titulado conociendo que es casado. El espacio muestral original de 65 queda reducido a 25, que son los empleados casados, de los que únicamente 10 son titulados.
P ( T C ) = P ( T C ) P ( C ) = 10 / 25 = 2 / 5
2).-Se lanza un par de dados. Hallar la probabilidad p de que la suma de sus números sea 10 o mayor si:
a) aparece un 5 en el primer dadob) aparece un 5 en uno de los dos dados por lo menos
Se tiene que S = { (1,1 ), ( 1,2 ), ( 1,3 ), ............, ( 6,6 ) }
A = { (5,1 ), ( 5,2 ), ( 5,3 ), (5,4 ), ( 5,5 ), ( 5,6 ) }
B = { (5,1 ), ( 5,2 ), ( 5,3 ), (5,4 ), ( 5,5 ), ( 5,6 ) (1,5 ), ( 2,5), ( 3,5 ), (4,5 ), ( 6,5) }
D = { (4,6 ), ( 5,5 ), ( 6,4 ), (5,6 ), ( 6,5 ), ( 6,6 ) }
( D A ) = { ( 5,5 ), (5,6 ) }
( D B ) = { ( 5,5 ), (5,6 ), ( 6,5 ) }
a) aparece un 5 en el primer dado: P ( D A ) = P ( D A ) P ( A ) = 2 / 6 = 1 / 3
b) aparece un 5 en uno de los dos dados por lo menos P(DB ) = P(D B) P(B) = 3 / 11
3).- Un informe del IMSS proporcionó la siguiente tabla:
Si se selecciona un expediente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:a) sea del grupo de operados?b) Sea del grupo de accidentes automovilísticos, dado que su tratamiento es con rayos X?c) Pertenezca a los grupos de accidentes de trabajo o escolares, si se sabe que fue operado?
a) Sea el evento O = { pacientes operados } que tiene 100 pacientes, por lo que:
P(O) = 100 / 204 = 0.49
b) Es probabilidad condicional; el espacio muestral S queda reducido a 73 pacientes de rayos X:
Sea el evento A = { paciente accidentado en automóvil } y R = {paciente tratado con rayos X }; el evento que interesa es R A que tiene 18 pacientes, por lo tanto:P (A R) = P(A R) P (R) = 18 / 73 = 0.25
c) Sea T = { paciente accidentado en trabajo } y E = { paciente accidentado en escuela } y donde el espacio muestral queda reducido a O = { paciente operado } con 100 elementos. Los eventos que interesan son O T con 50 elementos y O E con 15 elementos; la probabilidad pedida es:
P(TEO) = P(TO) + P(EO) = P(TO) P(O) + P(EO) P(O)
= [ 50 / 100 ] + [ 15 / 100 ] = 65 / 100 = 0.65
EJERCICIOS VII.
1.-Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea primo?
2.-Se lanza un par de dados corrientes. Si los números que resultan son diferentes, ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea par?
3.-Se lanza un par de dados corrientes. Si los dos números que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad de que:
a) La suma sea 6b) Aparezca un 1c) La suma sea menor o igual a cuatro
4.-Una clase tiene 12 hombres y 4 mujeres. Si se escogen 3 estudiantes de la clase al azar, determinar la probabilidad de que sean todos hombres, mediante:
a) El teorema de la multiplicación.
b) Combinaciones.
5.-A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. Determinar la probabilidad de que todas sean espadas. ( teorema de la multiplicación ).
6.-Se escogen al azar dos dígitos desde 1 hasta 9. Si la suma es par, hallar la probabilidad de que ambos números sean impares.
7.-En un grupo, el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, el 15% reprobaron química y el 10% las dos. Se selecciona un estudiante al azar:
a) Si reprobó química, ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó matemáticas?b) Si reprobó matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó química?c) ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó matemáticas o química?.
P(M) = 0.25; P(Q) = 0.15 P(M Q) = .010
8.-Con el informe proporcionado en el ejemplo 3, determinar:
a) la probabilidad de que un paciente tenga accidente de trabajo.b) la probabilidad de que un accidentado por trabajo sólo necesite curación. c) la probabilidad de que un paciente de curación se haya accidentado por trabajo. d) la probabilidad de que un paciente haya sido tratado por rayos X o curación, si se sabe que se
accidentó en automóvil.