guia fisica 2

FISICA II (62.03, 62.04, 82.02)

Guías de Problemas de Electricidad y Magnetismo

Primer Cuatrimestre de 2015

FÍSICA II (62.03, 62.04 y 82.02) Primer Cuatrimestre 2015 (última versión: 2o C. 2014)

1

Guía 0:

Repaso de Análisis Matemático

1. Calcular en coordenadas esféricas la integral � �³³³V

dVzyxf ,, siendo

� � � � 21222,, zyxzyxf ��

2. Calcular en coordenadas cilíndricas la integral � �³³³

V

dVzyxf ,, siendo � � � � zyxzyxf 22,, �

3. Se tiene una función vectorial � � xy eyxexzg

yg

xgzyxF ��G

2,,,, 2 � ¸¹

·¨©

§ww

ww

ww

a) Indicar cuál es el significado de la función � �zyxF ,,G

b) Calcular la función g c) Si se conoce el valor de g en un punto, ¿se puede determinar para todo punto del espacio? d) ¿Cómo se calcula la diferencia de la función g entre los valores que toma en dos puntos

cualesquiera del espacio? 4. a) Dado un vector vG que expresado en coordenadas de un sistema cartesiano ortogonal O es

� �1,2,1 vG , escribir sus componentes en otro sistema cartesiano ortogonal O’ con origen en � �0,,0 a . b) Lo mismo que en a) si el vector es � �321 ,, uuuu

G 5. Un vector mG está expresado en coordenadas cilíndricas con origen en un punto O: zz emememm ��G

�� MMUU (ver figura). El sistema cartesiano ortogonal '',' zyx con origen en O’está desplazado una distancia r del sistema cartesiano O. Calcular las componentes del vector mG en el sistema de coordenadas cartesianas '',' zyx y en uno de componentes cilíndricas

',',' zMU con origen en el punto O’ en los siguientes casos: a) El punto O’ está dado por xexr �G

0 b) El punto O’ está dado por zezr �G

0 c) El punto O’ está dado por zyx ezeyexr ��G

000 �� 6. Dada la función vectorial rerAF �G 2 donde re� representa al versor en la dirección radial en coordenadas esféricas, escribirla a) En coordenadas esféricas y componentes cartesianas, b) En coordenadas y componentes cartesianas, c) En coordenadas cartesianas y componentes esféricas.

O’

O

x

y

z

x’

y’

z’


2

7. Dado zezeF ��G� UU donde Ue� representa al versor en la dirección radial en coordenadas

cilíndricas, escribirla a) En coordenadas cilíndricas y componentes cartesianas, b) En coordenadas y componentes cartesianas, c) En coordenadas cartesianas y componentes cilíndricas. ¿Qué representa F

G?

8. Dado rerF �G

donde re� representa al versor en la dirección radial en coordenadas esféricas, escribirla a) En coordenadas esféricas y componentes cartesianas, b) En coordenadas y componentes cartesianas, c) En coordenadas cartesianas y componentes esféricas. ¿Qué representa F

G?

9. Calcular la masa de una esfera maciza de 3 cm de radio si el material tiene una densidad G considerando que la densidad expresada en coordenadas esféricas (con centro en el centro de la esfera) vale: i) G = 5 g/cm3 ii) G= A r2 g/cm3 iii) G = B sen2M g/cm3

10. Calcular la masa de una barra cilíndrica de 3mm de diámetro y 5cm de longitud si el material tiene una densidad G considerando que la densidad expresada en coordenadas cilíndricas (centradas en el centro de la barra) vale: i) G = 5 g/cm3 ii) G= A U2 g/cm3 iii) G = B z sen2M g/cm3 11. Calcular la masa de un material comprendido entre dos esferas concéntricas de radios R1 y R2 si a) la densidad es constante, b) la densidad varía como r2 (coordenada esférica) 12. Calcular la masa de un material comprendido entre dos cilindros coaxiales de radios R1 y R2 y altura h si a) la densidad es constante, b) la densidad varía como U2 (coordenada cilíndrica). 13. Un campo vectorial está dado por � � � � zyx ezezeyxzyxFrF ��GGG 32 3,, �� . Calcular

³³³V

dVFK

donde V representa un paralelepípedo de dimensiones a,b,c.

14. Un campo vectorial está dado por � � � � MM-M esinrerrFrF r��GGG

� 2,, . Calcular ³³³V

dVFK

donde V representa una esfera de radio R. 15. Un campo vectorial está dado por � � � � zr ecoszesinez,,FrF ��GGG MMUMU M �� 2 .

Calcular ³³³V

dVFK

donde V representa el volumen de un cilindro de radio R y altura h.

16. En las figuras de la página siguiente se representan campos vectoriales. ¿Qué puede decir acerca de la divergencia y del rotor de dichos campos en todos los casos? 17. Enunciar en forma general los Teoremas de Gauss y de Stokes. Estudiar, en especial, las propiedades que poseen aquellos campos cuya divergencia sea cero y aquellos cuyo rotor sea cero.


3


4

SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES (se usarán en Física II)

SUSTITUCIONES PARA TRANSFORMAR CAMPOS ESCALARES

A coordenadas cartesianas A coordenadas

cilíndricas A coordenadas

esféricas De

coordenadas cartesianas zz

yyxx

� ��

zzsinycosx

IUIU

� � � �� T

ITIT

cosrzsinsinrycossinrx

De coordenadas cilíndricas � �

zzxytan

yx

� �1

22

I

U

zz IIUU

� �

� �TII

TU

cosrz

sinr

De coordenadas

esféricas � �

¸¹·¨

©§ ��

��

�

�

2221

1

222

zyxzcos

xytan

zyxr

T

I � �ztan

zr

UT

IIU

1

22

�

�

TTII

rr

DIFERENCIALES DE LONGITUD

Sistema de coordenadas

Coordenada que varía sobre la

trayectoria

dl ldG

Cartesianas

zyx

dzdydx

dzzdyydxx

Cilíndricas

zIU

dzd

dIU

U

dzzdˆ

dˆ

IUI

UU

Esféricas

TIr

� �T

ITrd

dsinrdr

� �TT

ITI

rdˆdsinrˆ

drr


5

DIFERENCIALES DE ÁREA

Sistema de

coordenadas Coordenada que se mantiene constante sobre la superficie

dS SdG

Cartesianas

zyx

dydxdzdxdzdy

dydxzdzdxydzdyx

Cilíndricas

zIU

UIUUIU

dddzd

dzd

UIUUI

IUU

ddzdzdˆ

dzdˆ

Esféricas

TIr

� �

� � ITT

ITT

ddrsinrdrdr

ddsinr 2

� �

� � ITT

TI

ITT

ddrsinrˆdrdrˆ

ddsinrr 2

DIFERENCIALES DE VOLUMEN

Sistema de coordenadas Diferencial de volumen Cartesiano dzdydxdV Cilíndrico dzdddV IUU Esférico � � TIT dddrsinrdV 2

TRANSFORMACIÓN DE VECTORES UNITARIOS (VERSORES)

A coordenadas cartesianas A coordenadas cilíndricas De coordenadas cartesianas � � � �

� � � �zz

y

x

ˆˆcosˆsinˆˆ

sinˆcosˆˆ

�

�

IIIU

IIIU

De coordenadas cilíndricas � � � ��

zzyx

yx

ˆˆcosˆsinˆˆ

sinˆcosˆˆ

��

�

III

IIU


6

A coordenadas cartesianas A coordenadas esféricas De

coordenadas cartesianas

� � � � � � � �� TTT

II

ITTIT

II

ITTIT

sinˆcosˆˆ

cosˆsincosˆsinsinˆˆ

sinˆcoscosˆcossinˆˆ

�

�

�

�

�

rz

ry

rx

De coordenadas

esféricas

� � � � � � � �� III

TITITT

TITIT

cosˆsinˆˆsinˆ

sincosˆcoscosˆˆcosˆ

sinsinˆcossinˆˆ

yx

zyx

zyxr

��

��

��

A coordenadas cilíndricas A coordenadas esféricas De coordenadas cilíndricas � � � �

� � � �TTT

II

TTTU

sinˆcosˆˆ

ˆˆcosˆsinˆ

�

�

rz

r

De coordenadas esféricas � � � ��

II

TTUT

TTU

ˆˆsinzcosˆˆ

coszsinˆr

�

�

Fórmulas del gradiente en distintos sistemas de coordenadas

Cartesianas: � � � � � � � � � � � � � �zyx e

zrge

yrge

xrg

zrg,

yrg,

xrgrg �

G�

G�

GGGGGGw

w�

ww

�w

w ¸

¹

·¨©

§w

ww

ww

w �

Cilíndricas: � � � � � � � �ze

zrgergergrg �G

�G

�GGG

ww

�ww

�ww

� IU IUU1

Esféricas: � � � � � � � �-I -I-

ergr

ergsenr

errgrg r

�G

�G

�GGG

ww

�ww

�w

w �

11


7

Fórmulas de la divergencia en distintos sistemas de coordenadas

Cartesianas: � � � � � � � �rFz

rFy

rFx

rF zyxGGGGGG

ww

�ww

�ww

x�

Cilíndricas: � � � �> @ � � � �rFz

rFrFrF zGGGGGG

ww

�ww

�ww

x� IU IUU

UU11

Esféricas: � � � �> @ � � � �> @rFsensenr

rFsenr

rFrrr

rF rGGGGGG

-I ---I- ww

�ww

�ww

x�111 2

2

Fórmulas del rotor en distintos sistemas de coordenadas

Cartesianas:

� � � � � � � � � � � � � �

zyx

xxx

zxy

yzx

xyz

FFFzyx

eee

ey

rFx

rFe

xrF

zrF

ez

rFy

rFrF

ww

ww

ww

°¿

°¾½

°°®

»¼

º«¬

ª

ww

�w

w�»

¼

º«¬

ªw

w�

ww

�»¼

º«¬

ª

w

w�

ww

u�

��

�GG

�GG

�GG

GGG

Cilíndricas:

� � � � � � � � � � � �> @ � �°¿

°¾½

°°®

»¼

º«¬

ª

w

w�

w

w�»

¼

º«¬

ª

ww

�w

w�»

¼

º«¬

ª

w

w�

ww

u� zzz e

rFrFe

rFz

rFe

zrFrF

rF �GG

�GG

�GG

GGGIU

U

UUIUUI

IU

UI 11

Esféricas:

� �� > @ � � � �> @ � �

� � � �> @°¿

°¾½

»¼

º«¬

ª

w

w�

ww

�

°°®

�»¼

º«¬

ªw

w�

ww

�»¼

º«¬

ª

ww

�w

w u�

-I

I--I

I-

-I-

-

-

er

rFrrFsenr

erF

rrFr

re

rFsenrFsenr

rF

r

rr

�GG

�GG

�GG

GGG

11

11


8

Guía 1:Ley de Coulomb

Electrostática en el vacío

1. a) Hallar la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales q1 =+1.5 PC y q2 =+4 PC, separadas en 10 cm. b) Determinar la posición o las posiciones donde se debería colocar una carga q0 para que no

sufra ninguna fuerza. Discutir si dichas posiciones dependen del signo y/o valor de q0. c) ¿Son posiciones de equilibrio? ¿De qué tipo de equilibrio se trata? 2. Calcular las fuerzas entre dos electrones estáticos separados 1 cm. Discuta la relación entre la fuerza gravitatoria y la eléctrica. ¿Cómo variaría la relación entre ellas si los electrones estuvieran a una distancia de 1 km? 3. Dos pequeñas esferas de igual masa m = 0.5 g y de igual carga eléctrica están suspendidas del mismo punto por sendos hilos de 15 cm de longitud. Las esferas se hallan en equilibrio separadas en 10 cm. Calcular la carga de cada esfera. ¿Cuánto varía el ángulo entre los hilos si la carga de las esferas se triplica? 4. ¿Qué fuerza se debe ejercer sobre cada una de las tres cargas puntuales de la figura (q1=1 PC, q2= -2 PC y q3=0,5 PC) para que el sistema esté en equilibrio? La distancia entre q1 y q2 es igual a la distancia entre q3 y q2 y vale 30 cm. Analizar los resultados cuando el ángulo D= 0o, 30o y 90o. Justifique por qué desprecia la fuerza gravitatoria. 5. Cuatro cargas puntuales se encuentran ubicadas sobre los vértices de un cuadrado. Determinar los valores de las cargas q1 y q2 para que la carga puntual q0 no sienta ninguna fuerza sobre ella. ¿Dependen del valor y/o signo de la carga q0? ¿Dependen del valor del lado del cuadrado? ¿Cuántas soluciones existen? 6. a) Calcular la fuerza eléctrica ejercida por una distribución de carga

lineal de largo L y de densidad lineal uniforme O sobre una carga puntual de prueba q0 ubicada en un lugar arbitrario del espacio.

b) Analizar y comparar las fuerzas cuando la carga de prueba se encuentra situada sobre el plano mediatriz de la distribución a 5 cm, a 10 cm y a 2 m de ella. Considerar que L = 50 cm y O = 15 PC/m.

c) Idem b) si la longitud de la distribución se hace infinita. d) Comparar las tres fuerzas calculadas en b) con las calculadas en c). Estimar las diferencias

porcentuales.

Campo electrostático 7. Una distribución de carga en forma de anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal O. a) Hallar la expresión del campo eléctrico sobre puntos del eje del anillo si la densidad lineal es

uniforme. b) Graficar la componente del vector campo eléctrico sobre el eje si R =5 cm y O =+0.1 PC/m. c) ¿Cuál es la dependencia funcional con la distancia al centro del anillo? Analice también su

dependencia cuando la distancia es mucho mayor que el radio R.

q1

q2

q3

D

q1

q2

q0

2nC

-1nC


9

8. Calcular, por integración directa, el campo eléctrico en todo el espacio producido por una distribución plana infinita de carga de densidad superficial uniforme V. 9. Hallar el campo eléctrico en un punto situado sobre el eje de una distribución de carga en forma de corona de radios Ri y Re y con una densidad de carga superficial uniforme V: a) Por integración directa. b) Tomando el límite adecuado, calcule el campo generado por una distribución en forma de

disco en puntos sobre el eje del disco. c) Calcular el valor del campo en un punto ubicado sobre el eje del disco a una distancia

d=10ncm del disco cuando R = 5 cm y V = 0.5 PC/m2. d) A partir del resultado de b), encuentre una expresión para el caso particular de un punto

ubicado muy próximo al disco, es decir, para d << R. Comparar este resultado con el del Problema 8. Discutir los alcances de la aproximación.

10. Plantear la expresión para el cálculo del campo eléctrico en todo punto del espacio producido por una distribución esférica de carga de radio R y de densidad volumétrica U=U0 cos�M.

Ley de Gauss

11. Una carga puntual q=1 PC se encuentra en el centro de una superficie cúbica de 0.5 cm de arista. ¿Cuánto vale el flujo IE del campo eléctrico a través de esta superficie?

12. Determinar el flujo IE del campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio R inmerso en un campo eléctrico uniforme y paralelo al eje del hemisferio. 13. Un cubo de lado a tiene sus aristas paralelas a los ejes cartesianos y uno de sus vértices se encuentra en el origen de coordenadas. Hallar el flujo del campo eléctrico a través de su superficie, la densidad de carga y la carga total encerrada si:

a) 0E E x G � ; b) 0E E x x

G � ; c) 20E E x x

G � ; d) � �0E E y x x y �G � �

14. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio a partir de la Ley de Gauss de las siguientes distribuciones de carga. Dibuje algunas líneas de campo representativas para cada distribución. Primero determine por consideraciones geométricas cómo son las líneas de campo que generan (dirección y dependencia con las coordenadas). Luego elija, justificando, una superficie gaussiana adecuada para cada distribución. Discuta si es necesario o no exigir uniformidad en las densidades de carga.

a. distribución lineal infinita de carga con densidad lineal uniforme O b. distribución plana infinita de carga con densidad superficial uniforme V c. distribución esférica de carga con densidad volumétrica de carga uniforme U d. distribución esférica de carga con densidad superficial de carga uniforme V e. distribución cilíndrica infinita de carga con densidad volumétrica de carga uniforme U f. distribución cilíndrica infinita de carga con densidad superficial de carga uniforme V�

�

15. Una distribución cilíndrica de cargas muy larga tiene un agujero también cilíndrico (no cargado) paralelo pero no coaxial, como se muestra en la figura de la derecha. Hallar el campo eléctrico dentro del hueco.


10

Trabajo electrostático - Diferencia de Potencial 16. Una carga puntual q está ubicada en el origen de coordenadas. Calcular el trabajo que se debe realizar para llevar cuasiestáticamente otra carga puntual q0 desde el punto A al punto O. Para ello utilice los dos caminos indicados en la figura:1) AO y 2) ABCO. ¿Cuál es el resultado? ¿Es el resultado esperado? Justifique. 17. Una carga q se halla en el origen de coordenadas. Hallar el trabajo que es necesario realizar para traer otra carga q0 en forma cuasiestacionaria desde un punto muy alejado hasta una posición ubicada a una distancia d de la carga. ¿Depende este trabajo del camino que se tome? Justifique. 18. Dos cargas puntuales q1 y q2 están separadas una distancia d.

a) Hallar el trabajo que es necesario realizar para traer en forma cuasiestacionaria otra carga q desde un punto muy alejado hasta el punto central del segmento que separa a q1 y q2.

b) Analice el resultado si las cargas son de igual valor absoluto y de signo diferente. Discuta la relación de los resultados con la dirección del campo eléctrico (Ayuda: considere la mediatriz del segmento que une ambas cargas y la irrotacionalidad del campo electrostático).

c) Idem b) si las cargas son iguales.

19. Determine la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos genéricos A y B para todas las distribuciones de carga del Problema 14. Graficarla obtenida para todo el espacio. Discuta, en cada caso, si se puede tomar el valor de referencia del potencial en el infinito (punto B). 20. Dos distribuciones planas paralelas de carga están separados una distancia d = 0.1 cm. Hallar el campo y la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos pertenecientes a un eje perpendicular a los planos cuando: a) Ambos planos tienen la misma densidad de carga superficial uniforme V = 50 nC/m2. b) Un plano tiene -V y el otro +V.

Dibujar líneas de campo representativas en cada caso.

21. a) Un “anillo” (distribución de cargas en forma de anillo) de radio R tiene una densidad de carga lineal uniforme O. Hallar la expresión de la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos del eje del anillo a partir del campo hallado en el Problema 7).

b) ¿Es necesario establecer la posición de la referencia y su valor si se quiere determinar la diferencia de potencial entre dos puntos ubicados sobre el eje del anillo? Relacione el resultado con el trabajo.

22. Hallar las componentes del campo eléctrico de un dipolo en todo el espacio, usando el principio de superposición.

a) Determinar la diferencia de potencial eléctrico entre un punto arbitrario y otro muy alejado del dipolo. b) Repetir a) considerando como punto de referencia al punto medio del segmento que une ambas cargas. c) Dibujar algunas líneas representativas de campo eléctrico. d) Dibujar algunas equipotenciales. e) ¿Cuál es el trabajo para llevar una carga puntual desde un punto A ubicado sobre la recta que une ambas cargas a otro punto B ubicado sobre el plano mediatriz al segmento que une a ambas cargas.


11

Guía 2:

Electrostática en Conductores y Dieléctricos 1. Calcular, usando la ley de Gauss, el campo creado en todo el espacio por una esfera metálica de

radio R con carga total Q. Justificar el desarrollo. ¿Cómo se distribuye la carga? Graficar el campo y la diferencia de potencial en todo el espacio respecto de los puntos a) r=2 R y b) rĺ�.

2. Una cáscara conductora esférica, de radio interior a = 5 cm y exterior b = 9 cm, tiene en su centro una carga puntual q = +1 PC. Calcular y graficar el campo y la diferencia de potencial eléctrico en todo el espacio (suponiendo que se estableció la referencia en el “infinito” ) en los siguientes casos: a) La cáscara está descargada. b) La cáscara está cargada con qc = - 3 PC. ¿Cómo se distribuye la carga en cada caso? Explique los motivos que le permiten usar la Ley de Gauss generalizada para calcular el campo eléctrico.

3. Se tiene un conductor cilíndrico de largo L y radio ra , rodeado por otro cascarón cilíndrico de radio interno rb y externo rc . Entre los dos hay vacío. Considerando que las dimensiones de la distribución permiten considerar a su largo como infinito, y que se ha conectado una batería tal que V(rb)- V(ra)=10 V (¿Por qué no es necesario especificar los puntos sobre cada conductor?) , calcular

a) las distribuciones de cargas en todas las superficies, b) E en todo el espacio. c) V(r)- V(ra) d) Repetir a)-c) si V(rc)- V(ra)= - 5 V. Analice las similitudes y diferencias entre los dos tipos de

conexiones. Justifique el uso de la Ley de Gauss generalizada para calcular los campos.

4. Se tiene una placa conductora cuadrada de lado L y espesor d (L>>d). La carga de dicha placa es Q1. Bajo el modelo de distribución plana infinita: a) Calcular las densidades de carga libre en condiciones estáticas. b) Si la misma placa está enfrentada a una distribución plana de cargas de densidad superficial uniforme V��recalcular las densidades de carga libre. c) Si la misma placa está enfrentada a otra placa metálica de iguales dimensiones pero con carga Q2, recalcular las densidades de carga libre. ¿Qué sucede cuando Q2=-Q1 ?

5. ¿Bajo qué condiciones se cumple D EH G G

siendo H un valor real? Analice la relación entre ambos vectores eléctricos dentro de un conductor ideal en condiciones electrostáticas.

6. Un plano separa dos medios de permitividad Hr1 = 3.5 y Hr2 = 6.25. Sabiendo que (VA-VB) es 200 V y que (VB-VC) es 50 V, hallar E, D y P a ambos lados del plano interfaz. Datos: AO=10 cm, BO=20 cm, BC=5 cm. Considerar los campos uniformes en cada región.

7. Una esfera de tóner de fotocopiadora (Hr = 2.8), de radio R = 10 Pm tiene una carga de 2 pC distribuida uniformemente en volumen. a) Calcule el campo y la diferencia de potencial respecto del infinito. b) Calcule las densidades de carga libre y de carga de polarización superficial. c) ¿Cuál es la carga total de polarización?

rc

rb

ra

A B

C1H 2H

O


12

d) A partir del ejemplo dado en la Introducción al FEMM, compare los resultados numéricos con los analíticos.

8. Repetir el Problema 7 si la carga está distribuida uniformemente en superficie. Compare y discuta los resultados obtenidos con los del Problema 7.

9. La esfera de la figura, de radio R y permitividad relativa Hr, se encuentra cargada con una densidad de carga volumétrica .ȡ�U� $ U , donde A es una constante conocida (¿Qué unidades tiene A?). Calcular: a) El campo eléctrico en todo el espacio. Justifique. b) La diferencia de potencial en todo el espacio respecto de un punto arbitrario.

10. Calcular la capacidad de los capacitores con las siguientes configuraciones: a) un capacitor de placas plano-paralelas (despreciando efectos de borde) si hay aire o vacío

entre las placas. Calcular la energía almacenada si la carga del capacitor es Q. b) Idem para un capacitor cilíndrico (despreciando efectos de borde) c) Idem para un capacitor esférico. d) Repetir los cálculos de a) a c) si el espacio entre las placas está totalmente ocupado por un

dieléctrico de permitividad H�(permitividad relativa Hr). ¿Es mayor, igual o menor?¿Cómo depende la capacidad de Hr?

e) Repetir los cálculos para el capacitor cilíndrico si la placa interior está rodeada por una capa de un material con permitividad relativa Hr1 y ésta por otra capa con Hr2 hasta llenar el resto del espacio entre las placas.

11. Se llena, como indican las figuras, la mitad del espacio entre las placas de un capacitor plano (con aire ente las placas y carga Q) con un dieléctrico de permitividad relativa Hr. Calcular la relación entre los valores del campo eléctrico en el punto A antes y después de introducir el dieléctrico, si el proceso se realiza a carga constante en las placas.

12. Se llena con un dieléctrico de permitividad relativa Hr

la mitad del espacio entre las placas de un capacitor plano con aire entre las placas y conectado a una pila de valor V0, como indican las figuras. Calcular la relación entre los valores del campo eléctrico en el punto A antes y después de introducir el dieléctrico, si el proceso se realiza sin retirar la pila.

13. Se tiene la configuración de la figura donde el cilindro interior, de radio a es un conductor, rodeado de dos cáscaras dieléctricas de radios b y c y con permitividades relativas Hr1 y Hr2, y finalmente por una cáscara conductora de radio exterior d. Se conecta el conductor interno y el externo por medio de una batería de valor V0. La longitud de los cilindros es L >> d. Se pide calcular: a) Las distribuciones de carga en los conductores. b) El campo eléctrico, el vector desplazamiento y el vector

polarización en todo el espacio. Justifique. c) ¿Cuál es el trabajo necesario para mover una carga q0 entre dos

puntos exteriores al capacitor? d) ¿Cómo se modifican los resultados si el borne positivo de la pila

se conecta al conductor de radio a y el negativo al conductor en el radio c?

V0

a b

c

d

H��

H��

A

A


13

Guía 3

Capacitores

: Circuitos con Capacitores y con Corrientes Estacionarias

1. Determinar la capacidad equivalente entre los puntos A y B del circuito de la figura. Datos: C1 = 20 nF , C2 = 5 nF, C3 = 2 nF 2. En el circuito de la figura los capacitores se encontraban descargados antes de conectarlos. a) Determinar, para el caso de régimen permanente, la carga almacenada y la diferencia de potencial sobre cada capacitor. b) Repetir si inicialmente C2 y C3 tenían una carga inicial de 20 PC cada uno y con la polaridad indicada Datos: e = 10 V, C1 = 1 PF, C2 = 4 PF, C3 = 5 PF

3. En el circuito de la figura, la llave L se encuentra inicialmente conectada en A. Una vez que se ha cargado el capacitor C1 (que se hallaba inicialmente descargado) se lleva la llave a la posición B. Hallar: a) La carga de C1 con la llave en la posición A y la energía almacenada en él. b) Las cargas y energías almacenadas finales en todos los capacitores. (Con la llave en B). Explique qué ocurrió con la distribución de carga y energía al mover la llave c) A partir de la condición en la que finalizó el punto (b), se introduce en C2 un aislador de Hr=2 (antes estaba en vacío). Recalcular la distribución de cargas. Datos: e = 10 V; C1 = 20 PF; C2 = 10 PF; C3 = 5 PF

Cálculo de resistencias 4. Un alambre de cobre de 2 mm de radio y 1 m de largo se estira hasta cuadruplicar su longitud. Calcular la resistencia antes y después del estiramiento, supuesta constante la resistividad del material. Buscar en Internet las propiedades del cobre. 5. Estimar la resistencia de un objeto de resistividad U cuya forma es de tronco de cono de largo L y cuyas bases tienen radios R1 y R2. Las dimensiones cumplen (R2- R1)/L<<1. Decimos estimación porque la resolución rigurosa es muy difícil.

C1 C2

C3

A B

C2

C3

C1 e

A B L


14

6. Determinar la resistencia equivalente de los circuitos de la figura: 7. Nichrome es el nombre comercial de una aleación de Níquel y Cromo utilizada en la fabricación de resistencias para estufas, secadores de pelo, tostadoras, etc. Busque en Internet las propiedades del Nichrome y diseñe una resistencia que disipe 100 W cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea de 220 V. Trate de usar poco material porque es caro. 8. Si en el problema anterior cada átomo colabora con un electrón de conducción.¿Cuánto tiempo le toma a un electrón recorrer toda la resistencia?

Circuitos en régimen permanente

9. Hallar las corrientes en todas las ramas del circuito de la derecha. 10. Para el circuito de la figura de la derecha, calcular: a) La potencia entregada por la batería (de resistencia interna despreciable) con la llave L abierta. b) La caída de tensión sobre la resistencia de 3: y la potencia disipada en la misma c) La potencia entregada por la batería con L cerrada. d) El consumo en kWh luego de dos días de funcionamiento con L abierta y con L cerrada.

11. Calcular en el circuito de la figura las corrientes en cada rama y las cargas en cada capacitor en régimen permanente. 12. Para el circuito de la figura, calcular las diferencias de potencial de los puntos A, B y C respecto a tierra cuando la llave L está abierta y cuando L está cerrada. Todas las resistencias son de 10 : y las baterías de 10V. 13. La figura de la derecha representa un trozo de circuito en el que se conocen las corrientes I1 e I2 y la diferencia de potencial entre los puntos B y C (I1 = 4 A ; I2 = 2 A ; VB - VC = 12 V; R= 10 :). Determinar: a) El sentido y valor de la corriente en la resistencia Ry. b) Los valores de Rx y Ry. c) La diferencia de potencial VA - VD. ¿Cuál es la fem equivalente que habría que aplicar al circuito con extremos en A y D para conseguir las mismas corrientes? Calcular también la potencia entregada al circuito de la figura.

10 :�

10 :�

20 :� 20 :�

5 :�

10 :�10 V�

3 :�

6 :�

6 :�

��V

L�

5 :� 10 :�

1 PF 12 V� 0,5 PF

15 V10 V Rx

I1 I2CA DB

Ry

R 15 V10 V Rx

I1 I2CA DB

Ry

R

L

C

%

$

8 :�8 :�

10 :�

5 :�

12 :�

20 :�

10 :�

20 :� 50 :�

10 :�

12 :�


15

14. En el circuito de la figura los dos amperímetros marcan 1.70 A y la potencia entregada por la fuente es de 300 W. Determinar R1, R2 y la tensión de la fuente.

15. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos P y Q? 16. Para la porción del circuito que se ilustra calcule las corrientes en las ramas AB; AC y CB y las diferencias de potencial entre estos puntos. Indique por qué no puede realizarse en este caso un balance de potencias como en el caso del problema anterior.

17. El logo representa lo que se denomina una fuente de corriente. No es tan simple de implementar como una fuente de tensión pero lo único que importa es cómo se comporta, y la regla es fácil: la corriente circula en la dirección que indica la flecha y tiene siempre el mismo valor, independientemente de la caída de tensión entre sus bornes. Queremos analizar el circuito de la derecha a) ¿Cuál es la caída de tensión en bornes de la fuente de corriente? b) ¿Cuáles elementos absorben energía y cuáles la entregan? 18. Para el circuito de la derecha hallar la distribución de corrientes en todas las ramas y los potenciales de A, B y C respecto de tierra cuando: a) La llave L está abierta b) La llave L está cerrada. ¿Cuál es la potencia que entrega la batería en cada caso? c) ¿Cuál es la carga y polaridad en el capacitor en régimen permanente y la llave está cerrada? 19. Entre los puntos A y B del circuito de la figura se conecta un amperímetro de resistencia R. Hallar la corriente medida en función de V, R1, R2, R3 y R4, y determinar para qué valores de estos parámetros la corriente se anula. Este es un circuito “puente” que se usa para medir resistencias desconocidas.

L50 :

200 :10 :

100 PF

50 :25 V

CB

A

L50 :

200 :10 :

100 PF

50 :25 V

L50 :

200 :10 :

100 PF

50 :25 V

CB

AR1

R2 R3

R4

VA

B

R1

R2 R3

R4

VA

B

��:

��:��:

�0 V

20 V

2 A 1 AA B

C

��:

��:��:

�0 V

20 V

2 A 1 AA B

C


16

Guía 4:

Fuerzas eléctricas y magnéticas sobre cargas en movimiento 1. Un electrón ingresa con velocidad ݒԦ = 10 5 m/s i en una región del espacio donde existe una

inducción magnética uniforme ܤሬԦ = 0.4 j. [T] a) Calcule la fuerza total que actúa sobre el electrón. b) Halle las ecuaciones horarias del movimiento y la trayectoria. c) Analizar el comportamiento en el tiempo de la energía cinética del electrón.

d) ¿Cómo varía la fuerza si se tratara de un protón? ¿O si se invierte el sentido de la velocidad ݒԦ? ¿O si se invierte el sentido del campo ܤሬԦ ?

2. Repetir el análisis del problema 1) si ahora, además del campo magnético, existe un campo

eléctrico uniforme ܧሬԦ= 10 j [kV/m]. 3. Si no sabe previamente qué tipo de campo (eléctrico o magnético) actúa sobre una carga en

movimiento, ¿puede deducirlo a partir de observar la trayectoria de la carga?¿Cómo?

4. La figura muestra una región del espacio donde existe sólo un campo magnético

JKB uniforme con dirección

entrante y normal al papel. También se muestran las trayectorias coplanares de cinco partículas de igual masa m y cargas Q1, Q2, Q3, Q4 y Q5 que ingresan a esta región con idéntico módulo del vector velocidad. Los radios de las trayectorias de las partículas 1, 2, 4 y 5 cumplen con la siguiente relación R2= 2 R1, R4= 3/2 R1 y R5= 1/2 R1

Hallar las siguientes relaciones entre las cargas de las partículas: Q2/Q1, Q3/Q1, Q4/Q1 y Q5/Q1.

5. a) Calcular la fuerza sobre cada lado de la espira cuadrada de 50 cm de lado de la figura y la fuerza total cuando por ella circula una corriente de 5 A y existe una inducción magnética uniforme de 0.3 T perpendicular a la espira.

b) Calcular el momento magnético de la espira y la cupla que actúa sobre ella si ahora el campo B

G se coloca en el mismo plano de

la espira. ¿Depende la cupla de la dirección de BG

sobre este plano? 6. La espira circular de la figura, de radio R=20 cm y por la que

circula una corriente de 3 A, está ubicada dentro de un campo magnético cuyo vector BG

forma un ángulo D con la normal a la espira. Calcular : a) el momento magnético de la espira b) la cupla que actúa sobre ésta en función del ángulo D y graficarla. c) Repetir los cálculos para una bobina de 50 espiras como la de la figura.

D

n�

BG

B 1

4 2 3

5


17

7. La figura muestra un alambre de forma irregular (pero contenido en un plano) que lleva una corriente I del punto P al punto Q y que está en una región del espacio donde existe un campo B

G perpendicular

al plano del alambre. Demuestre que la fuerza que obra sobre el alambre es equivalente a la que obraría sobre un tramo recto de alambre que una los puntos P y Q. A partir de este resultado determine la fuerza sobre una espira irregular cerrada.

Preguntas: a) Un conductor por el que circula corriente es eléctricamente neutro. Si está inmerso en un campo

magnético actúa una fuerza sobre él. ¿Por qué? b) Cuando calcula el momento de una espira dentro de un campo magnético uniforme de acuerdo

a la expresión ሬԦ = ሬሬԦ × ?ሬԦ no es necesario especificar el eje de rotación. ¿Por quéܤc) Discutir similitudes y diferencias matemáticas entre el elemento de campo eléctrico ܧሬԦ creado

por un elemento de carga dq y el elemento de campo magnético ܤሬԦ creado por un elemento de corriente ܫԦ.

d) Una partícula de carga q y masa m se desplaza a velocidad constante creando un campo magnético ܤሬԦ. Determinar la fuerza ejercida sobre la partícula.

e) ¿Realiza trabajo la fuerza magnética BvqFGGG

u ?


18

Guía 5:

Magnetostática en el vacío 1. a) Calcular el campo ܤሬԦ en cualquier punto del espacio generado por un tramo de conductor

rectilíneo de largo L que lleva una corriente I uniforme y constante. b) Idem a) para longitud infinita.

2. a) Calcular el campo ܤሬԦ en cualquier punto del eje z generado por un tramo de conductor en forma de arco de circunferencia de radio R que lleva una corriente I uniforme y constante, como indica la figura. b) Idem a) para la espira circular.

3. a) Calcular ܤሬԦ en el eje de un solenoide corto de radio R,

longitud L y N espiras. b) Extender el resultado para un solenoide de longitud infinita (solenoide ideal). En ambos casos suponer que las espiras están distribuidas uniformemente y muy próximas entre sí.

c) ¿Cuál es la relación entre diámetro y largo de un solenoide, para poder utilizar la expresión de un solenoide infinito en el centro del mismo, con un error menor al 1%?

4. Resolver los Problemas 1 b) y 3 b) utilizando condiciones de simetría y la Ley de Ampere.

Primero determine por consideraciones geométricas cómo son las líneas de campo (dirección y dependencia con las coordenadas). Luego elija, justificando, un camino cerrado (“amperiano”) adecuado para cada distribución.

5. a) Calcular la fuerza sobre cada tramo y la fuerza

resultante sobre la espira rectangular de la figura, por la cual circula una corriente I2, debido a un alambre muy largo paralelo a la espira, que transporta una corriente I1. I1 = 10 A; I2 = 0.1 A b) Calcular el momento que actúa sobre la espira, respecto de la línea de trazos que pasa por su centro. ¿Cambia el resultado si se cambia el “eje”?

6. Dos alambres conductores paralelos muy largos, separados 10 cm, transportan corrientes iguales

de 20 A. Los alambres están situados en el aire. Calcular el valor de la fuerza por unidad de longitud entre los alambres si :

a) las corrientes tienen el mismo sentido de circulación. b) las corrientes tienen sentidos de circulación opuestos. c) grafique el módulo de campo magnético sobre el eje que pasa perpendicularmente por ambos hilos.

7. Un cable coaxial está formado por un conductor cilíndrico interior de radio R1 = 1 cm y una

malla conductora concéntrica de radios interior R2 = 2.5 cm y exterior R3 = 2.75 cm. Por estos conductores circulan corrientes opuestas de densidad J = 5 A/cm2. A partir de consideraciones geométricas, dibuje las líneas de campo. Calcule y grafique el campo magnético creado por el coaxial en todo el espacio. ¿Cuál debe ser el radio exterior para que el campo magnético fuera del coaxial sea nulo?

cm20

cm10 cm40

2I1I

z

x

y

R

I

-�-�


19

8. Calcule en todo el espacio el campo magnético creado por una bobina toroidal de 5000 vueltas que transporta una corriente de 12 mA.

a) Considere que la sección del toro es rectangular (Rint=30 cm y Rext=50 cm h=10 cm). Grafique el módulo del campo magnético en función de la coordenada radial. b) Repita considerando que el campo magnético dentro del toro corresponde al evaluado con Rm=40 cm (radio medio). c) Compare cualitativa y cuantitativamente los resultados. Discuta.

9. Determinar la corriente, en valor y sentido, que debe circular por un alambre recto muy largo

colocado en el eje del toroide del problema anterior para anular el campo dentro del mismo. Grafique el módulo del campo en función del radio y dibuje las líneas de campo magnético en todo el espacio.

10. Un conductor cilíndrico muy largo tiene un agujero también cilíndrico

paralelo pero no coaxial, como se muestra en la figura de la derecha. La corriente, de dirección longitudinal, se distribuye uniformemente en la sección del conductor. Hallar el campo magnético dentro del hueco. Comparar con el Problema 15 de la Guía de Electrostática en el vacío.

11. Se tiene un cilindro de radio a por el que circula una corriente I1 uniformemente distribuida en

volumen. Concéntrico a él se coloca un nuevo cilindro de radios interior y exterior b y c respectivamente, por el cual circula una corriente I2 uniformemente distribuida en volumen según se muestra en la figura.

a) Calcular B en todo el espacio en función de I1 e I2 b) Si en un cierto instante un electrón se mueve paralelo al eje de los cilindros a una distancia 2c y con una velocidad vG , calcule la fuerza que aparece sobre él y determine la dependencia temporal de la energía cinética. c) ¿Qué relación debe existir entre I1 y I2 para que B

G sea nulo en la zona

entre ambos cilindros y cuál debería ser la relación para BG

que fuera nulo en algún radio mayor que el del cilindro exterior?

12. Repita el problema anterior si en lugar de dar como datos las corrientes I1 e I2, se dan las

densidades volumétricas de corriente ܬԦଵ y ܬԦଶ.

13. La figura muestra una placa de espesor e y dimensiones transversales muy grandes por la que circula una corriente con densidad volumétrica uniforme J

G. Calcular, bajo la hipótesis de placa

infinita, el campo BG

en un punto P externo a la placa.

c

I2I1 a

b

eJG


20

Guía 6:

Magnetismo estacionario en medios materiales

1. Un anillo de sección rectangular tiene radios interior Ri y exterior Re y altura h está fabricado con un material ferromagnético blando de permeabilidad magnética relativa aproximadamente constante e igual a Pr. Si se coloca un arrollamiento de N espiras por las que circula una corriente de I A, a) Calcular el campo magnético y su flujo en función de los parámetros constructivos. b) Idem a) pero con el campo evaluado sobre el radio medio. c) Grafique el campo y el flujo en ambos casos en función de la relación Re / Ri (este tema es

muy conflictivo para los que hablan de toroides gruesos y finos). ¿Qué opinión tiene al respecto?

d) Desafío fuera de programa: repetir si la sección del toroide es circular de diámetro d.

2. El circuito magnético mostrado, está constituido por un núcleo de 40 cm de longitud media y de sección constante igual a 1 cm2. Dicho núcleo está construido con un material ferromagnético blando con permeabilidad magnética relativa aproximadamente constante e igual a 1000. Si inicialmente el núcleo se encuentra desmagnetizado, calcular a) la corriente necesaria que se debe establecer en el

arrollamiento de 200 espiras, en el sentido indicado, para que el módulo del campo magnético en el núcleo sea de 0,1 T.

b) los vectores y (indicando su sentido en el circuito magnético). c) Usando el programa FEMM, haga la simulación de este circuito magnético considerando

que la corriente es la obtenida en a) para obtener los vectores magnéticos. Compare.

3. En el mismo núcleo del Problema 2 se coloca, además, un bobinado de 500 espiras con una corriente de 2 A. Calcular los tres vectores magnéticos (indicando su sentido en el circuito magnético). Indique claramente cómo consideró colocar el segundo bobinado.

4. Resolver los Problemas 2 y 3, suponiendo que el núcleo inicialmente desmagnetizado tiene un entrehierro de 1 mm. En todos los casos realice la simulación con el programa FEMM.

5. El circuito magnético mostrado, está constituido por un núcleo toroidal cuyos radios son R1 = 2 cm y R2 = 3 cm, y de sección cuadrada constante. Dicho núcleo está construido con un material ferromagnético blando con permeabilidad magnética relativa constante e igual a 800. El bobinado tiene 300 espiras y la corriente indicada es de 1 A. Si inicialmente el núcleo se encuentra desmagnetizado y se toma en cuenta la variación radial de B, H y M, a) Calcular los tres vectores magnéticos en función de la

coordenada radial. b) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar el ||? ¿En qué

posición alcanza ese valor? c) Repetir el cálculo si en lugar de material ferromagnético el núcleo es de aire.

R1

R2

II

S

I

S


21

6. Repetir el Problema 5, suponiendo que el núcleo inicialmente desmagnetizado tiene un entrehierro de 1 mm (calcular los tres vectores en el núcleo y en el entrehierro).

7. El circuito magnético mostrado, está constituido por un núcleo de 50 cm de longitud media y conformado por dos materiales dispuestos contiguamente. El primero tiene sección constante igual a 1 cm2 y permeabilidad magnética relativa supuesta constante, e igual a 1000 sobre la curva de primera imantación. El segundo tiene sección constante igual a 1.5 cm2, permeabilidad magnética relativa supuesta constante e igual a 2000, sobre la curva de primera imantación. Si inicialmente los materiales se encuentran desmagnetizados, calcular el módulo de los tres vectores magnéticos, indicando su sentido en ambos materiales si el arrollamiento tiene 350 espiras y circula una corriente de 1 A. Dado que hay dos materiales, no olvide las condiciones de borde.

8. El circuito magnético mostrado, está constituido por un núcleo de 50 cm de longitud media y constituído por dos materiales dispuestos como indica la figura. La sección es constante e igual a 1 cm2. Las permeabilidades magnéticas relativas son 1000 y 2000. Calcular el módulo de los tres vectores magnéticos, indicando su sentido en ambos materiales si el arrollamiento tiene 350 espiras y circula una corriente de 1 A. Dado que hay dos materiales, no olvide las condiciones de borde.

9. Se tiene un núcleo toroidal de sección cuadrada constante y de radios R1 = 11 cm y R2 = 12 cm. Dicho núcleo está construido con un material ferromagnético, cuya curva de primera imantación se muestra en la figura. Un bobinado de 2000 espiras se arrolla en dicho núcleo. Si inicialmente el núcleo se encuentra desmagnetizado,

a) calcular la corriente necesaria para obtener campo B de 1 T.

b) repetir el cálculo si el núcleo, inicialmente desmagnetizado, presenta un entrehierro de 1 mm.

10. Resolver el Problema 2, suponiendo ahora que el material es Hipernik.

11. Resolver el Problema 5, suponiendo ahora que el material es Hipernik.

12. Se tiene un núcleo de acero al silicio rectangular de 75 cm por 25 cm y sección cuadrada de 1 cm2. Sobre el mismo se han

B(T)

1,5

0,5

1,0

H(A/m)16080

S

I S2

S1

Pr2

Pr1

N

I

S

I

S

N

I

Pr2

Pr1


22

bobinado 500 vueltas de alambre y se ha efectuado un entrehierro de 1 mm. Calcular la corriente que debe circular por el bobinado para tener una campo|B|=1 T en el entrehierro.

13. Para el mismo núcleo del Problema 12, calcular el valor de B cuando la corriente que circula es de 1.5 A.

14. Un toroide de AlNiCo de sección cuadrada de 1 cm de lado y 5 cm de radio interior ha sido magnetizado de forma tal que el campo remanente es de 1.2 T. a) ¿Cuál es el máximo espesor de

entrehierro que se puede cortar para que el campo B no sea inferior a 1T?

b) Calcular y graficar B, H y M en esa situación.

c) Analizar la dependencia de B con el espesor del entrehierro (sin restricciones en el valor de B).

TABLAS correspondientes a curvas de primera imanación

H B (T ) (A/m) Hipernik Permalloy Permendur Perminvar Hierro Fundido

0.8 0.015 0.015 - - - 1.6 0.060 0.030 - - - 2.4 0.150 0.085 - - - 3.2 0.230 0.345 - - - 4.0 0.290 0.510 - - - 4.8 0.340 0.590 - - - 5.6 0.380 0.635 - - - 6.4 0.415 0.675 - - - 7.2 0.440 0.700 - - - 8.0 0.470 0.720 - - - 8.8 0.495 0.740 - - - 9.6 0.515 0.755 - - - 10.4 0.535 0.770 - - - 11.2 0.550 0.775 - - - 12.0 0.570 0.780 - - - 16.0 0.650 0.820 0.010 0.006 - 24.0 0.755 0.860 0.020 0.009 - 32.0 0.820 0.890 0.035 0.012 - 40.0 0.870 0.910 0.050 0.015 - 48.0 0.910 0.925 0.065 0.018 - 56.0 0.945 0.935 0.085 0.021 - 64.0 0.975 0.940 0.110 0.024 - 72.0 1.000 0.9475 0.190 0.027 - 80.0 1.025 0.955 0.380 0.030 - 88.0 1.040 0.960 0.600 0.033 - 96.0 1.060 0.965 0.795 0.036 -


23

104 1.075 0.9675 0.950 0.039 - 112 1.085 0.970 1.085 0.042 - 120 1.100 0.975 1.200 0.045 - 160 1.150 1.000 1.450 0.060 0.085 240 1.225 1.030 1.675 0.090 0.120 320 1.250 1.050 1.800 0.175 0.155 400 1.310 1.065 1.880 0.950 0.190 480 1.345 1.070 1.940 1.060 0.225 560 1.370 1.075 1.980 1.130 0.260 640 1.385 1.075 2.020 1.180 0.290 720 1.400 1.075 2.050 1.220 0.320 800 1.410 1.075 2.075 1.255 0.345 880 1.420 1.075 2.100 1.280 0.370 960 1.430 1.075 2.120 1.305 0.390

1040 1.440 1.075 2.135 1.325 0.410 1120 1.450 1.075 2.150 1.340 0.425 1200 1.455 1.075 2.165 1.355 0.440 1280 1.460 1.075 2.175 1.370 0.450


24

Guía 7: Inducción electromagnética.

1. La bobina de la figura está dentro de un campo magnético normal a su plano que varía como B = (0.04 + 0.01 t) T, para t medido en segundos. Si la bobina tiene 50 espiras, determinar el valor de la f.e.m. inducida en la bobina en función del tiempo e indique su sentido. Considere que a = 5 cm y b=10 cm.

2. El cuadro de la figura de 5 cm de lado, que se mueve a una velocidad uniforme de 3 m/s, penetra en una región de 20 cm de lado donde hay un campo magnético uniforme y normal a la dirección del movimiento de B = 0.2 T. Si el cuadro está formado por 50 espiras, determinar y graficar el valor de la f.e.m. inducida sobre él en función de su posición y el sentido de la corriente inducida.

3. Una bobina rectangular con de lados a = 5 cm y b = 10 cm, formada por 100 espiras gira con una frecuencia angular constante de 1500 r.p.m. en un campo magnético uniforme de inducción B = 1 T. Graficar el valor de la f.e.m. inducida en función del ángulo de giro y hallar sus valores en las posiciones 1, 2 y 3. 4. Un conductor rectilíneo muy largo lleva una corriente variable en el tiempo I(t). a) Calcular el coeficiente de inducción mutua entre el conductor rectilíneo infinito y una espira cuadrada de lado a y N vueltas de alambre cuando ésta se encuentra a una distancia D del cable. b) Si ahora el cuadro se aleja con velocidad constante ሬሬԦ, calcular la fuerza electromotriz inducida en el cuadro. Considerar x(0) = D (ver figura). 5. La barra metálica AB de largo L=20cm y resistencia R= 10 : desliza sobre un par de rieles conductores muy largos y de resistencia despreciable (ver figura) y se desplaza con velocidad constante v=10m/s. Todo el conjunto se encuentra inmerso en un campo magnético B0=1T. a) Calcular la fuerza electromotriz inducida, la corriente inducida y el sentido de la misma. b) El valor de la fuerza necesaria para que la velocidad de la barra se mantenga constante. c) La potencia disipada por la resistencia y la entregada por el agente externo que hace que se

mueva con velocidad constante.

d) ¿Cómo evoluciona la velocidad de la barra en

a

b

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

BG

0BG�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

vG�

vG�

( )I t

( 0)x t

0BG�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

vG�A

B

12

3o45

Z� ��

� ��

� �

a

b

BG�

BG�

Posición 1Vista lateral


25

función del tiempo si se suprime la fuerza ejercida por el agente externo? 6. a) Una varilla metálica de 20 cm de largo gira alrededor de uno de sus extremos con una frecuencia constante de 100 r.p.m. en un plano perpendicular a un campo magnético de inducción B = 0.8 T. Determinar la fuerza electromotriz inducida en la barra, indicando su polaridad. AYUDA: Considere la fuerza magnética que actúa sobre cargas en movimiento.

7. Sobre el toroide delgado (Pr = 1200) se han bobinado dos arrollamientos: uno con N1 = 500 espiras, por el que circula una corriente I1 = (20 + 0.2 t) A, con t en segundos, y otro con N2 = 200 espiras, cuyos bornes están desconectados. La sección es S=1 cm2, y los radios interior y exterior de 7 y 8 cm, respectivamente. a) Calcular L1, L2, M y el valor de la f.e.m. inducida en la bobina 2 y su polaridad, indicando bornes homólogos. 8. Para el mismo núcleo del Problema 8, calcular la energía almacenada cuando las corrientes son I1 = 20 A e I2 = 2 A. Considere las distintas posibilidades de bornes homólogos. 9. Dos solenoides N1 y N2 se hallan enfrentados como indica la figura. Si L 1 = 1 H ; L 2 = 5 H ; M = 1,5 H y por N1 circula la corriente I1 = (2 + 0,5 t) A, y N2 está abierto, calcular las expresiones de: la f.e.m. inducida sobre N2 y la energía almacenada. 10. Por dos solenoides con L1 = 2 H, L2 = 5 H, M = 2,2 H (como los del Problema 10) circulan respectivamente las corrientes I1 = 5 A e I2 = 10 A. Determinar: a) la energía magnética almacenada en el sistema. b) la energía magnética que tendría el sistema si L2 se encontrara muy alejado de L1. c) el trabajo necesario para traer L2 desde el infinito hasta la posición original.

Bornes homólogos

: Cuando se tienen dos bobinados alimentados por corrientes, se debe conocer si los campos presentes en cada bobina producen flujos individuales que se suman o se restan. Para indicar esto en un diagrama circuital se usa la convención de bornes homólogos. Los bornes homólogos son aquellos por los cuales corrientes simultáneamente entrantes (o salientes) producen flujos magnéticos aditivos en el interior de cada bobina. Si ocurre lo contrario los flujos resultan sustractivos. Los bornes homólogos se indican con un punto (ver figura).

0BG

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

ZL

I1(t)

N2N1

R1

R2

N1 N2

MI1

I1(t)

N2N1

I2(t)I1

I2

N1 N2

I1

I2


26

Guía 8: Corrientes dependientes del tiempo 1. En el circuito de la figura se cierra la llave K en el instante t = 0. a) Hallar y graficar la variación en el tiempo de la corriente y los voltajes sobre la resistencia y el inductor. b) El instante en que la corriente alcanza la mitad de su valor final. c) Las variaciones en el tiempo de la potencia disipada en el resistor y la energía almacenada en el inductor. Datos: E = 100 V; R = 10 :; L = 1 H.

2. Si ahora se reemplaza el inductor del problema anterior por un capacitor de 20 PF a) Hallar y graficar la variación en el tiempo de la corriente y los voltajes sobre la resistencia y el capacitor. b) El instante en que la corriente alcanza la mitad de su valor inicial. c) Las variaciones en el tiempo de la potencia disipada en el resistor y la energía almacenada en el capacitor. 3. Para el tramo circuital de la figura, determinar: a) La caída de voltaje en función del tiempo (VA - VB)(t) b) La potencia instantánea PAB(t) entregada a dicho tramo.

4. Para el tramo circuital de la figura, determinar: a) La caída de voltaje en función del tiempo (VA - VB)(t) b) La energía del campo magnético almacenada en función del tiempo. Datos: i (t) = f (t); L1 (inductancia 1); L2 (inductancia 2); M (inductancia mutua).

5. Para el tramo circuital de la figura, determinar: a) La caída de voltaje (VA - VB) para t = 1 s. b) La potencia instantánea entregada a dicho tramo en t = 1 s.


27

c) La variación de energía de campo magnético en el inductor entre 0 y 1 s. d) La variación de energía de campo eléctrico en el capacitor entre 0 y 1 s. e) La potencia instantánea disipada como calor en t =1 s. f) La energía térmica disipada en el intervalo [0 ; 1] segundo.

6. A una bobina ideal (sin resistencia) de inductancia L = 2 H, se le aplica un voltaje e(t) variable en el tiempo, como se muestra en la figura (señal triangular con Vmax = 2 V). a) Calcular la corriente establecida en función del tiempo i(t) y su sentido relativo a la polaridad del voltaje aplicado, para t variando entre 0 y 4 s; suponiendo que i(0) = 0. b) El valor máximo al que tiende la corriente. 7. Por una bobina de 10 H de inductancia y 10 : de resistencia interna, se establece la corriente mostrada en la figura. Representar gráficamente el voltaje entre sus bornes entre 0 y 3 s.

8. Se tiene un circuito serie constituido por un resistor de R = 10 :��una bobina cuya inductancia es L = 40 mH y un capacitor C = 200 PF. En el instante t = 0 (cuando los elementos reactivos no almacenan energía de campo), se aplica entre extremos un voltaje constante E = 100 V. a) Escriba la ley de Kircchoff para la malla y encuentre la función temporal de la corriente i(t). b) ¿Qué valor de C produce amortiguamiento crítico? c) ¿Qué sucede si se disminuye el valor de C a la mitad del correspondiente a la condición de amortiguamiento crítico?

9. Suponga un capacitor de capacitancia C = 200 PF, con un voltaje aplicado entre placas de 100 V. El capacitor se retira de la fuente de voltaje y se conecta en paralelo, en el instante t = 0, a un inductor de inductancia L = 40 mH. Obtenga la función temporal i(t) de la corriente.

10. Un capacitor de capacitancia C1 = 20 PF, tiene un voltaje aplicado entre placas de 10 V. El capacitor se retira de la fuente de voltaje y se conecta en paralelo, en el instante t = 0, con la serie conformada por un resistor de resistencia R = 10 :�y por otro capacitor descargado de capacitancia C2 = 40 PF. a) Obtenga la función temporal de la corriente i(t). b) Obtenga la variación temporal de los voltajes en ambos capacitores y las respectivas cargas finales en los mismos. c) Evalúe la energía de campo inicial del capacitor C1 y la final total del conjunto de capacitores C1 y C2. d) Verifique que la diferencia coincide con la energía disipada en forma de calor por el resistor entre el instante inicial t = 0 y el final (t tendiendo a infinito). e) Demuestre que los resultados obtenidos en d) son independientes del valor del resistor. f) Verifique que los resultados obtenidos para la carga final de los capacitores, coincide con los que se obtienen aplicando el método de mallas e islas estudiado oportunamente.


28

Guía 9: Circuitos en régimen alterno permanente.

Nota importante: Los valores de corrientes y tensiones son valores eficaces a menos que se indique lo contrario.

1) Hallar el valor medio, el módulo medio y el valor eficaz de las siguientes funciones periódicas del tiempo f(t), cuyos diagramas se ilustran. Hallar la relación entre cada valor pico o máximo y el correspondiente valor eficaz calculado.

2) Para el circuito indicado en régimen alterno permanente de corriente, se pide:

a) Calcular la reactancia y la impedancia compleja de cada elemento circuital y del circuito serie total, expresándolas en sus formas binómica y exponencial. Indicar si el circuito tiene comportamiento inductivo, capacitivo o resistivo.

b) Indicar en forma exponencial los valores complejos asociados a la corriente y los voltajes sobre cada elemento circuital y su relación con las respectivas impedancias complejas.

c) Indicar en forma exponencial el valor complejo asociados al voltaje de excitación y su relación con valor complejo asociado a la corriente a través de la impedancia compleja del circuito.

d) Obtener el valor instantáneo y el valor eficaz de la corriente e) Obtener los valores instantáneos y eficaces de los voltajes sobre el resistor, el

inductor y el capacitor.


29

f) Calcular los valores de potencia instantánea, potencia activa, potencia reactiva, potencia aparente y factor de potencia. Indicar el valor medido por el vatímetro indicado como W.

g) Dibujar el diagrama fasorial de corriente y voltajes. h) Calcular la frecuencia de resonancia y las frecuencias correspondientes a los puntos

de mitad de potencia. DATOS: v(t) = Vmáx sen Ȧt; Vmáx = 100 V; Ȧ = 2ʌf ; f = 50 Hz ; R = 10 ȍ; L = 0,06 H ; C= 300 ȝF.

W L

R

v(t) C

3) En un circuito RLC serie circula una corriente i (A) = 5,2 cos (100 t + ʌ/3). Si L = 0.5 H, R= 300 ȍ y C = 10 ȝF. a) Encontrar la ecuación diferencial que describe el comportamiento del circuito con los coeficientes numéricos, b) calcular el módulo y la fase de la impedancia del circuito, de la corriente que circula y de las tensiones en cada componente, graficar esas magnitudes en el plano complejo, c) dibujar en escala el triángulo de potencias calculando cuánto vale cada uno de sus lados, d) calcular la frecuencia de resonancia y las frecuencias de media potencia. 4) En el circuito de la figura calcular: a) la corriente que circula. b) la capacidad C. c) la potencia activa P. d) la potencia reactiva Q. e) la potencia aparente S. f) la potencia instantánea entregada por la fuente.

DATOS: V0 = 220 V; VC = 120 V; R = 500 ȍ; f = 50 Hz.

5) En el circuito de la figura: a) ¿Cuál es la lectura del voltímetro V2? b) ¿Qué relación hay entre R y XC? c) Si la corriente es I = 1 A, calcular R y C. d) ¿Qué ocurre con cos ĳ (ĳ es el ángulo de desfasaje entre el voltaje de excitación y la corriente), si se duplica R? e) Expresar los valores instantáneos de v (voltaje del generador), de vR (voltaje en el resistor), de vC (voltaje en el capacitor), de i (corriente), y de la potencia P. DATOS: V = 200 V; V1 = 150 V; f = 50 Hz (los voltímetros indicados son ideales).


30

6) En un circuito RLC serie (L= 50 mH), se aplica una tensión de 100 V a 50 Hz, y circula una corriente de 25 A atrasada 45 grados respecto de la tensión. Calcular: a) los valores de R y de C. b) la tensión sobre cada elemento. c) verificar la segunda ley de Kirchoff con un diagrama fasorial d) Evaluar el triángulo de potencias. 7) Un transformador ideal posee un núcleo de permeabilidad relativa ȝr = 500 (constante), sección transversal de 4 cm2 y 50 cm de longitud media. El primario de 1000 espiras tiene aplicada una tensión Vg (V) = 100 sen(100ʌ t) y el secundario, de 200 espiras, está abierto. Calcular: a) la corriente en el primario, b) la tensión inducida en los bornes del secundario, c) representar en un diagrama fasorial las tensiones primaria, secundaria y la corriente primaria.

guia fisica 2

Documents