guia de vectores

Wimar Alexánder Jiménez Lizarazo

Lic. Física y Matemáticas

CONTENIDO MAGNITUDES .............................................................................................................................................. 3

Magnitudes Escalares .............................................................................................................................. 3

Magnitudes Vectoriales ........................................................................................................................... 3

Características de un Vector ................................................................................................................. 4

Suma de Vectores ................................................................................................................................. 5

Ejemplo de Suma de Vectores ................................................................................................................. 7

Forma Gráfica ....................................................................................................................................... 7

Forma analítica o Algebraica ................................................................................................................ 7

Actividad: ................................................................................................................................................. 9

APORTES IMPORTANTES PARA EL DESARROLLO DE ESTE MODULO ........................................................ 10

Geometría .............................................................................................................................................. 10

Triángulos .............................................................................................................................................. 10

Clasificación de los Triángulos ............................................................................................................ 10

¿Conoce Usted los Triángulos? .............................................................................................................. 11

Características Principales del Triángulo Rectángulo ........................................................................... 12

Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 12

ACTIVIDAD: ............................................................................................................................................ 13

Relaciones Trigonometricas .................................................................................................................. 14

Componentes de los triangulos rectangulos. ...................................................................................... 14

Relaciones Trigonométricas ................................................................................................................ 14

Relaciones Trigonométricas Básicas ................................................................................................... 15

Ilustración 1-Vector (Jiménez, 2014) ............................................................................................... 3

Ilustración 2-Vector (Jiménez, 2014) ................................................................................................ 4

Ilustración 3-Vector en el plano (Jiménez, 2014) ............................................................................. 4

Ilustración 4-Sentido del Vector (Jiménez, 2014) ............................................................................ 4

Ilustración 5-Suma de Vectores (Jiménez, 2014) ............................................................................. 5

Ilustración 6-Método del Paralelogramo (Jiménez, 2014) ............................................................... 5

Ilustración 7-Componentes de un Vector (Jiménez, 2014) .............................................................. 6

Ilustración 8-Relación entre Triángulo Rectángulo y Componentes de un Vector (Jiménez, 2014)6

Ilustración 9-Relaciones Trigonométricas referentes a los Vectores (Jiménez, 2014) .................... 6

Ilustración 10-Suma de Vectores en el Plano Cartesiano (Jiménez, 2014) ...................................... 7

Ilustración 11-Componentes del triángulo 1 (Jiménez, 2014) ....................................................... 10



Ilustración 13-Teorema de Pitágoras (Jiménez, 2014) ................................................................... 13

MAGNITUDES

Mapa Conceptual 1-Magnitudes (L., 1999)

Magnitudes Escalares Son cantidades que tienen la propiedad de quedar suficientemente determinadas al conocer su

valor numérico y su correspondiente unidad de medida.

Ejemplo: al expresar; distancia, masa, velocidad, etc…

Ejemplo: 15 metros, 45 Kilogramos, 23 m/s, etc…

Magnitudes Vectoriales Vector, en física, es la cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por

ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad

vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos

rectilíneos orientados, como se ve en la ilustración 1 a continuación; el punto O es el origen o

punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo

de la cantidad vectorial, y su dirección es la indica la flecha.

Ilustración 1-Vector (Jiménez, 2014)

Se acostumbra nombrar cada vector con una letra minúscula, la cual lleva una pequeña flecha

encima de si: vector .

3

Características de un Vector

Para determinar un vector ya hemos concluido que se requiere que posea las siguientes tres

características; magnitud, dirección y sentido.

1. Magnitud o Módulo de un Vector

Ilustración 2-Vector (Jiménez, 2014)

La magnitud de un vector está determinada por la cantidad de unidades que lo

representan. ¿Cuántas unidades tiene el vector ? Dicha longitud del segmento dirigido

respecto a una unidad determinada, se le denomina magnitud o módulo del vector y se

simboliza a = 7µ.

Cuando hablamos de la magnitud del vector , utilizamos la letra “a” sin flecha.

2. Dirección de un Vector

Ilustración 3-Vector en el plano (Jiménez, 2014)

El vector forma un ángulo de 60° al noreste.

Pero también se mide el ángulo respecto al semieje positivo de la x del sistema

de coordenadas cartesianas, o con la dirección respecto a los puntos cardinales

cuando se trate de un plano geográfico.

3. Sentido de un Vector

Ilustración 4-Sentido del Vector (Jiménez, 2014)

Los vectores pueden tener el mismo modulo, pero diferente sentido que es indicado con

un signo positivo (+) o negativo (-) que es asignado según el tipo de representación. Si

un vector se denomina , el vector tendrá la misma magnitud pero sentido contrario.

4

Suma de Vectores

Para sumar vectores existen dos formas gráficas, y una forma de tipo aritmético, los vectores se suman

porque las magnitudes que se presentan en nuestro entorno también se pueden sumar, si dos vectores

tienen la misma dirección y sentido, se sumaran sus magnitudes de forma directa, pero si dos vectores

tienen la misma dirección, pero sentido diferente, se termina por restar sus magnitudes, para el caso en

que la dirección es diferente se toma como opción la suma de vectores por uno de los métodos gráficos

que se explicaran y para la forma analítica se tendrá en cuenta el método aritmético.

1. Método Gráfico de los Extremos

Ilustración 5-Suma de Vectores (Jiménez, 2014)

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes

dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. Este

método es el más usado cuando se presenta más de dos vectores.

2. Método Gráfico del Paralelogramo

Ilustración 6-Método del Paralelogramo (Jiménez, 2014)

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas

paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la

suma de los vectores.

5

3. Método Aritmético para la Suma de Vectores

Ilustración 7-Componentes de un Vector (Jiménez, 2014)

Para sumar dos o mas vectores se suman sus respectivas componentes cartesianas.

Todo vector posee dos componentes cartesianas, respecto a los ejes del plano

cartesiano. Para poder hallar las componentes de un vector debemos recordar unos

fundamentos de trigonometría:

Ilustración 8-Relación entre Triángulo Rectángulo y Componentes de un Vector (Jiménez, 2014)

Lo anterior es para expresar que para hallar las componentes de un vector se hace

necesario utilizar las relaciones trigonométricas, teniendo en cuenta los siguientes

aspectos.

Ilustración 9-Relaciones Trigonométricas referentes a los Vectores (Jiménez, 2014)

Este es el único método algebraico que existente para poder sumar vectores, hay

variaciones teniendo en cuenta el tipo de vector, o coordenadas del mismo.

6

Ejemplo de Suma de Vectores Realizar la suma de forma gráfica y analítica, de los vectores que se dan a continuación:

1. a = 3µ, 75°

2. b = 4µ, 120°

3. c = 2µ, 200°

Forma Gráfica Se debe desarrollar el diagrama sobre un plano cartesiano, con la ayuda de un transportador,

regla o escuadra y lapiceros de colores.

Ilustración 10-Suma de Vectores en el Plano Cartesiano (Jiménez, 2014)

Forma analítica o Aritmética

Para desarrollar la suma de los vectores debemos ordenar la información de forma apropiada, y

para esto es usual utilizar una tabla:

Hay que recordar que para poder llenar la columna de las componentes vectoriales de x o

se debe multiplicar la magnitud del vector por el coseno del ángulo

7

1 2 3

Para poder llenar la columna de las componentes vectoriales de y o se debe multiplicar la

magnitud del vector por el seno del ángulo

1 2 3

Para continuar los procesos se llena la tabla con la información obtenida

Para finalizar se aplica una variación del teorema de Pitágoras utilizando las sumatorias de valores de cada

componente, para hallar el ángulo se utiliza el arco-tangente ya que utiliza las componentes x,y de los vectores, en

este caso las sumatorias de estas componentes.

8

Actividad: 1. Representar cada vector en un plano cartesiano mediante el uso de transportador y regla

o escuadra:

a) a = 6, 75° respecto al eje positivo de la x.

b) b = 3, 12° respecto al eje positivo de la x.

c) c = 5, 35° respecto al eje positivo de la x.

d) a = 4, 47° respecto al eje positivo de la x.

2. En un plano geográfico para cada vector representar, mediante el uso de transportador y

regla o escuadra:

a) a = 2, 30° al suroeste.

b) b = 3,5, 48° al noreste.

c) c = 5, 86° al noroeste.

d) a = 6, 17° al noroeste.

3. Realizar la suma gráfica y analíticamente de los siguientes vectores:

a) a = 4 a 30° sumar con b = 5 a 135°.

b) a = 3 a 60° sumar con b = 2 a 90° y c = 4 a 200°.

c) a = 5 a 45° sumar con b = 4 a 120° y c = 3 a 210°.

d) a = 4 a 135° sumar con b = 3 a 60° y c = 2 a 330°.

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APORTES IMPORTANTES PARA EL DESARROLLO DE ESTE

MODULO

Geometría El termino Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), es el nombre que se le da a la rama de la

matemática que se encarga de estudiar las propiedades del espacio, y tiene origen hacia el año 3000 antes

de Cristo, en la civilización de Los Egipcios, quienes las utilizaron para crear las pirámides, pero tan solo

tenemos conocimientos de sus orígenes gracias a los manuscritos de Euclides a quien se le denomina el

padre de la geometría (330 a.C. - 275 a.C.).

Triángulos Un triángulo es una figura geométrica que siempre tiene tres lados e igual cantidad de vértices y ángulos

internos (la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es 180°). Es habitual que se conozca

por el nombre de sus vértices, designados con mayúsculas: Triángulo ABC.

Ilustración 11-Componentes del triángulo 1 (Jiménez, 2014)

Clasificación de los Triángulos

Mapa Conceptual 2-Clasificación de los Triángulos (Jiménez, 2014)

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¿Conoce Usted los Triángulos? A continuación encontrara usted una buena oportunidad para saberlo. Los conceptos que corresponden

al siguiente crucigrama están relacionados con la familia de los triángulos y para descubrirlos se han dado

algunas propiedades.

1 3 8

5 1

2 4

2 7

3 4

5 6

6 7

8

Aporte de Colombia Aprendiendo Laboratorio

de Matemáticas.

HORIZONTALES

1. Lado que comparten los dos ángulos congruentes en un triángulo isósceles.

2. Sumando las medidas de estos tres elementos, obtenemos el perímetro de un triángulo.

3. Puntos que determinan un triángulo. 4. En un triángulo, recta que pasa por el

punto medio de un lado y por el vértice opuesto a él (INV).

5. Triangulo cuyos ángulos exteriores son todos obtusos.

6. Triangulo con un ángulo mayor que un ángulo recto.

7. En un triángulo, el punto de corte de estas líneas es el centro del circulo inscrito en dicho triangulo (INV).

8. Triangulo con dos ángulos interiores de 60° cada uno.

VERTICALES

1. Lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.

2. Triangulo con todos sus ángulos iguales. 3. Triangulo cuyos ángulos están en razón 1:

2: 3. 4. Triangulo con todos sus ángulos desiguales

(INV). 5. Recta que pasa por el punto medio de un

lado, formando un ángulo recto. 6. Recta que pasa por un vértice de un

triángulo y forma con la recta que contiene al lado opuesto a él, un ángulo de 90°.

7. Triangulo con dos lados congruentes. 8. El lado más largo en un triángulo

rectángulo (INV).

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Características Principales del Triángulo Rectángulo


Ya especificamos que la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180°, ahora se está

describiendo que los segmentos que forman al triangulo rectángulo reciben el nombre de catetos e

hipotenusa en el caso del segmento más largo, este se puede determinar conociendo los dos catetos del

triángulo rectángulo, mediante el uso del Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

Se otorga a Pitágoras (580 a.C. - 500 a.C.) el teorema del mismo nombre, porque fue quien sistematizó la

relación entre los catetos y la hipotenusa en los triángulos rectos en una fórmula matemática. Babilonios

y egipcios, sin embargo, ya habían construido triángulos que satisfacían la relación a2 + b2 = c2. [Por

ejemplo, la tríada 3, 4, 5: 32 + 42 = 52, o lo que es lo mismo: 9 + 16 = 25]

Sólo observando las construcciones antiguas hay que admitir que los constructores y agricultores de

entonces tuvieron que ser capaces de hacer ángulos rectos a campo traviesa. Se supone que los egipcios

se servían de cuerdas y nudos para establecer las líneas-guías de construcción. Por ejemplo al unir los

extremos de una cuerda doblada dos veces formando tres lados de 12, 13 y 5 nudos respectivamente, se

obtiene un triángulo recto. Los escribas egipcios, por desgracia, no dejaron instrucciones sobre estos

procedimientos, ni mucho menos una pista sobre cómo generalizar una regla para obtener el teorema que

sería redactado más tarde por Pitágoras.

El nombre hipotenusa, en efecto participio de hypoteino (tensar fuertemente), significa “fuertemente

tensada”. La razón del nombre es la siguiente. Los primeros geómetras griegos eran literalmente, como

su nombre indica, "medidores de la tierra". Especialistas en acotar terrenos de distintas formas,

trazaban figuras geométricas ayudados por el kéntron (punzón o aguijón que se clavaba en tierra),

estacas y similares, a los que se fijaban cuerdas. La hipotenusa de un triángulo rectángulo se obtenía

tensando fuertemente una cuerda o cordón entre los puntos extremos de los catetos marcados cada uno

por un kéntron.

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Ilustración 13-Teorema de Pitágoras (Jiménez, 2014)

ACTIVIDAD: Hallar la medida del segmento faltante de cada triángulo.

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Relaciones Trigonometricas

Componentes de los triangulos rectangulos.


Los catetos del triángulo reciben el nombre de cateto opuesto y cateto adyacente dependiendo, de la

posición que tienen respecto al ángulo de referencia, en la imagen se reseña un mismo triangulo, pero

como observa los catetos varían su nombre dependiendo de la posición del ángulo. Se denomina

hipotenusa al segmento más largo y este es independiente.

Relaciones Trigonométricas

Para empezar a hablar de relaciones trigonométricas es importante primero destacar que la

trigonometría1 de dónde estas se originan, es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre

ángulos y los lados de los triángulos rectángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las

cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

Las relaciones trigonométricas son expresiones que relacionan entre sí diferentes funciones

trigonométricas, de modo que conocidas unas pueden hallarse las demás, existen seis tipos de funciones

trigonométricas, las cuales se asocian entre sí mediante relaciones.

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo las relaciones trigonométricas se definirían como la relación

entre dos de los tres segmentos de un triángulo.

De esta forma queda analizado que respecto a cada ángulo diferente al de 90° (Recto) existen tres

relaciones, para un total de 9 relaciones, de las cuales 3 tienen como cociente 1, por esto se descartan.

1 La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

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Relaciones Trigonométricas Básicas

R. Seno

Es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

𝑆𝑒𝑛𝑜 𝜃 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝐶. 𝑂.

𝐻

R. Coseno

Es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝐶. 𝐴.

𝐻

R. Tangente

Es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝜃 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑎𝑛 𝜃 =

𝐶. 𝑂.

𝐶. 𝐴.

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