UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y

ARQUITECTURAUNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

FÍSICA ICICLO II, AÑO 2012

DISCUSIÓN DE PROBLEMAS No 1

VECTORES

A - DEFINICIONES Y CONCEPTOS

Definir, explicar o comentar los siguientes términos

1. Magnitud o cantidad física 11. Producto vectorial de dos vectores2. Cantidad escalar 12. Producto escalar de dos vectores3. Cantidad vectorial 13. Sistema de coordenadas rectangulares4. Desplazamiento 14. Regla de la mano derecha 5. Magnitud de un vector 15. Método gráfico de suma de vectores6. Negativo de un vector 16. Componentes rectangulares de un vector7. Suma vectorial 17. Ley de los senos8. Vectores unitarios 18. Ley de los cosenos9. Vectores antiparalelos 19. Método trigonométrico de suma de vectores10. Componentes de un vector 20. Regla del paralelogramo para suma de

vectores

B - OPCIÓN MÚLTIPLE

Dadas las siguientes preguntas, señale la respuesta correcta.

1. Se consideran tres vectores A, B, C de magnitudes 3 unidades cada uno. Sus direcciones son mutuamente perpendiculares y van desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. La magnitud de la suma A + B + C es:

a) 3 b) 2 c) 3 d) 9 e) 27

2. Considerando la información de la pregunta anterior, y llamando al producto vectorial P = A X B, el producto escalar P● C será:

a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27

3. Considerando la información de la pregunta 1 de esta parte de selección, y llamando al producto vectorial P = A X B, el producto vectorial P x C será:

a) 0b) 9 en la dirección 0zc) 27 en la dirección 0zd) 27 en la dirección 0ye) 27 en la dirección 0x

4. La suma de dos vectores A y B se realiza mediante componentes rectangulares cuyos valores son: Ax = 34.9 m, Ay = - 59.9 m, Bx = - 50.1 m, By = - 29.9 m. La magnitud de la suma de A y B es, en m:

a) 15.2 b) 105.0 c) 91.1 d) 83.8 e) 89.8

5. Las componentes rectangulares de un vector A son: Ax = - 8.0 m, Ay = 10.0 m. La dirección de A, con respecto al eje + x es, en grados:

a) 38.7 b) 51.3 c) 128.7 d) 141.3 e) 53.1

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6. Un vector en el plano xy está dirigido desde el punto (0,0) al punto (1,1). El vector unitario que corresponde con la dirección de ese vector es:

a) i + jb) 0.707 i + 0.707 jc) 1.41 i – 0.41 jd) Solo i ó solo je) 1

7. Si D = 6 i + 3 j – k y E = 4 i – 5 j + 8 k, el resultado 2D – E vendrá dado por:

a) 8 i + j – 6 k d) 8 i + 11 j – 10 k

b) 2 i - 11 j – 10 k e) 2 i + 8 j – 9 k

c) 16 i + j + 7 k

8. Dados los vectores P = - j + k y Q = 2 i – j, el vector V = Q x P es:

a) i + 2 j + 2 kb) – i – 2 j + 2 kc) – i – 2 j – 2 kd) i + 2 j – 2 ke) – i – 2 k

9. Dados A = 2 i – 3 j + k y B = 3 i + 2 j – 4 k, entonces, 2 A – 3 B es:

a) i – 3 j + 14 kb) – 5 i + 3 j – 10 kc) – 5 i – 12 j + 14 kd) i – 8 j + 6 ke) i – 12 j – 14 k

10. Los vectores – 3 j + k y 2 j – 4 k forman entre sí un ángulo, en grados, de:

a) 45 b) 135 c) 90 d) 180 e) 60

11. El producto vectorial (2 i + k) x (- 3 j + 2 k) es igual a:

a) 3 i – 4 j – 6 kb) – 3 i + 4 j – 6 kc) – 3 i – 4 j – 6 kd) 3 i + 4 j + 6 ke) – 3 i + 4 j + 6 k

12. Dados A = 2 i + 3 j + k y B = – 4 i + 2 j – k, su producto vectorial A x B es:

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a) – 5 i + 2 j + 16 kb) 5 i – 2 j + 16 kc) 5 i + 2 j – 16 kd) – 5 i – 2 j -16 ke) – 5 i – 2 j + 16 k

13. El producto escalar A . B de los vectores de la pregunta anterior, es:

a) 3 b) – 3 c) 9 d) – 9 e) 0

14. El ángulo θ entre A y B, de la pregunta 12 es, en grados es:

a) 100.1 b) 79.9 c) 20.2 d) 45.0 e) 36.9

C - CUESTIONARIO

1. Mencionar las características de las magnitudes (o cantidades) escalares. Cite al menos 10 ejemplos de esta clase de magnitudes.

2. Escribir las características de una magnitud (o cantidad) vectorial. Cite al menos 5 ejemplos de esta clase de magnitudes.

3. ¿Cuándo se dice que dos vectores son iguales?

4. ¿Qué es el negativo de un vector?

5. Si dos vectores tienen la misma dirección son paralelos, si tienen la misma dirección y magnitud ¿son iguales?

6. Mencionar las leyes aplicables a la suma de vectores.

7. ¿De que forma se representan los vectores en la pizarra, en esta guía, en el libro? Indicar las diferencias de representación.

8. ¿Pueden sumarse tres vectores que tengan diferentes magnitudes de modo que se tenga una resultante igual a cero?; ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? Explicar.

9. ¿Se pueden sumar dos vectores de modo que su resultado sea cero? ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta?

10. ¿Puede tener un vector una magnitud igual a cero si una de sus componentes no es cero?

11. ¿Puede ser la suma de las magnitudes de dos vectores alguna vez igual a la magnitud de la suma de estos dos vectores?, si fuera así mencionar el caso; si no, explicar porqué.

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12. ¿Puede ser la magnitud de la diferencia entre dos vectores alguna vez mayor que la magnitud de cualquiera de ellos?

13. Las leyes conmutativa y asociativa, ¿Se pueden aplicar a la resta de vectores?

14. Indique cuáles son las propiedades de dos vectores A y B que hacen que:

a) A + B = C y A + B = C b) A + B = A - Bc) A + B = C y A2 + B2 = C2

15. ¿Qué es un vector unitario?

16. Explique las diferencias de representación en los vectores unitarios en los libros, en esta guía y en la pizarra.

17. ¿Tienen unidades los vectores unitarios i, J y k? razona tu respuesta.

18. ¿Qué tipos de producto se pueden aplicar al multiplicar dos vectores?

19. ¿Puede ser un producto escalar de dos vectores una cantidad negativa?

20. Si A x B = 0, ¿Deben A y B ser paralelos entre si?Si A ∙ B = 0, ¿Se deduce que A y B son perpendiculares entre si?Si A ∙ B = 0, ¿Se deduce que A y B son perpendiculares entre si?

21. Indicar en cuales de los siguientes casos se debe especificar un sistema de coordenadas:

a) Para obtener la suma de dos vectores, b) Para efectuar su producto escalar, c) Para efectuar su producto vectorial, d) Para encontrar las componentes de los vectores.

22. Después de estudiar la suma, la resta y la multiplicación de vectores ¿por qué será que no hemos estudiado la división entre vectores?

23. Una pista circular de carreras tiene 300m de diámetro. ¿Cuál es el desplazamiento de un ciclista que sigue la pista del extremo norte al extremo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa?

24. Si A y B son vectores distintos de cero, ¿es posible tanto que A ∙ B y A X B sean cero?

25. ¿Que resultado se obtiene al efectuar las siguientes operaciones

a) b)

26. Indique cuales de las siguientes son operaciones matemáticas correctas:

a) A ∙ (B - C) b) (A – B) X C c) A ∙ (B X C) d) A X (B X C) e) A X (B ∙ C)

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27. Sea A cualquier vector distinto de cero. ¿Porqué A/A es un vector unitario? ¿Qué dirección tiene?

28. Considere los dos productos vectoriales sucesivos A X (B X C) y (A X B) X C. De un ejemplo que ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni la misma dirección ¿puede escoger los vectores A, B y C de modo que estos dos productos vectoriales si sean iguales? Si puede, de un ejemplo.

29. Explique el procedimiento para calcular el ángulo entre dos vectores.

D - PROBLEMAS PROPUESTOS

Contenido 1.4 Suma de vectores: Método gráfico

1. Considere dos desplazamientos, uno de magnitud 3 m y otro de magnitud 4 m. Muestre gráficamente como pueden combinarse los vectores desplazamiento para obtener un desplazamiento resultante de magnitud (a) 7 m, (b) 1 m, y (c) 5 m.

2. Un vector A tiene 3 unidades de longitud y apunta en la dirección positiva del eje x. Un vector B tiene 4 unidades de longitud y apunta en la dirección negativa del eje y. Use el método gráfico para encontrar la magnitud y dirección de los vectores (a) A + B, (b) A – B

3. Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 10 y 15 cm respectivamente. Si la diagonal más corta mide 12 cm de longitud. ¿Cuál es la longitud de la otra diagonal?

4. Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo, uno vuela hacia el noroeste a 400 km/h, y otro que vuela hacia el oeste a 300 km/h. ¿Qué tan lejos están uno del otro dos horas después de salir?

5. Un operador de la torre de control de un aeropuerto observa en su pantalla de radar que en cierto instante un OVNI está localizado a una distancia radial de 9 Km. de la torre de control y 60° al norte del este. Se desplaza en línea recta y un minuto más tarde, el OVNI está a una distancia radial de 5 km. de la torre y a 60° al oeste del norte. ¿Cuál es la distancia “d” recorrida por el OVNI durante el minuto que dura la maniobra aérea de cambio de posición? Ver figura.

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6. Una fuerza F1 hace un ángulo de 45 a la derecha de la vertical, una fuerza F2 hace un ángulo de 30 a la isquierda de la vertical. La magnitud del vector suma de F1 y F2 es de 20 N, verticalmente hacia arriba. Determinar los módulos de los vectores F1 y F2 .

Contenido 1.5 Componentes rectangulares

7. Una partícula tiene tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.0 m hacia el suroeste, 5.0 m hacia el Este, 6.0 m en una dirección a 60 al Norte del Este. Seleccione el eje Y apuntando hacia el Norte y el eje X apuntando al Este y determine:

a) Las componentes rectangulares de cada desplazamiento y del desplazamiento total.

b) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante.c) El desplazamiento que se necesitaría para regresar la partícula al punto de

partida.

8. Dados los vectores A, B y C tal como se muestran en la figura siguiente, donde: A = 10 m, B = 20 m y C = 15 m.Determinar por el método de Componentes rectangulares la resultante de sumar los vectores A, B y C.

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9. Dados los vectores A, B y C, tal como se muestran en la figura siguiente, donde A = 44 m, B = 26.5 m y C = 31 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante de sumar los vectores A, B y C.

10. Una persona va por un camino siguiendo la trayectoria desde 0 hasta F que se aprecia en la figura. El recorrido total consta de cuatro trayectorias rectas. ¿Qué desplazamiento resultante de la persona se mide desde el punto de salida hasta el final del camino?

11.Una persona camina del punto A al punto B como se indica en la figura siguiente, ¿cuál es el desplazamiento de esa persona en relación con A?, ¿que distancia caminó?

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12.Dos vectores A y B tienen magnitudes iguales a 10 unidades. Se encuentran orientadas como se indica en la figura y su vector suma es R. Determinar los resultados de las siguientes operaciones:

a) Las componentes X y Y de R b) La magnitud del vector ( R )c) El ángulo que R forma con el eje x.

13. Un elemento estructural se carga de la forma que se muestra en la figura. Determine la magnitud F y la dirección θ de la fuerza F de tal forma que la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre la argolla sea igual a cero.

14.A una columna se le aplican las fuerzas de la forma mostrada en la figura. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la columna por medio de sus componentes rectangulares y calcule la magnitud de la fuerza resultante.

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Contenido 1.7 Definición de vector unitario

15. Se tiene un vector tensión T, de magnitud 100 N dirigido de A hacia B. Las coordenadas de A son (1, 2, 3) m y las del punto B son (2, 3, 4) m. Encuentre:

a) El vector unitario dirigido de A hacia B.b) La expresión vectorial de la tensión.

16. El vector A tiene componentes en los ejes x, y, z de 8, 12 y -4 unidades respectivamente.

a) Escriba una expresión vectorial para A, en términos de los vectores unitarios.b) Obtenga, en términos de los vectores unitarios, una expresión para un vector B

cuya magnitud sea la cuarta parte de A y que tenga la misma dirección de A. c) Obtenga una expresión, en términos de los vectores unitarios, para un vector C

que tenga tres veces la magnitud de A y apunte en dirección contraria a éste.

Contenido 1.8 Suma de vectores expresados con vectores unitarios

17. Dados los vectores: A = 2i - j + 6k, B = 10i + 15j - k y C = i + 3j - 12 k

a) Encontrar la magnitud de cada vector.b) Determinar el vector unitario en la dirección de cada uno de ellos.

18. Se tienen 3 vectores A = 3i 4j ; B = 2i – 2j + 4k, y C = -i 5j – 3k. Demuestre que la suma de los tres vectores se puede calcular empleando varias alternativas, por ejemplo sumando primero A y B, y a la resultante sumarle C; o bien sumando primero B y C y a la resultante sumarle A.

19. Se tienen dos vectores A = 3i – 2j y B = -i – 4j. Determinar los resultados de:

a) A + B b) A – B c) 3A – 5B d) |3A – 5B| e) Encontrar un vector C tal que 2A – 3B + C = 0

20. Suponga que se tienen los siguientes vectores: A = 3i 4j, B = 2i + 3j 3 k, C = i – 2 k, D = -6 J – 4 k. Determine los vectores resultantes de operar: a) A B C D ; b) A – D ; c) A – D ; d) A D – B ; e) | A - C|

Contenido 1.9 Producto de vectores

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21. Demuestre que el ángulo comprendido entre los vectores A = i + 2j + k y el vector B = 2i + j – k, es el doble del ángulo comprendido entre C = i + 4j + k y D = 2i + 5j + 5k.

22. Efectúe el producto escalar de los vectores unitarios coplanares: A = cos i sen j y B = cos β i sen β j , y deduzca la identidad trigonométrica:

cos ( - ) = cos cos sen sen

23. Dados los vectores: C = 2i + k, D = 5i + j + k, E = 2î - j + 3k, F = 4i + 2k. Encontrar: a) C ∙ D, b) El ángulo entre D y E, c) C x E, efectuando el producto entre los vectores unitarios, d) F x C, utilizando determinantes.

24. Considere un vector A dado por la expresión A = 3 i 6j. Admitiendo que existe un vector B = Bx i By j tal que A ∙ B = 3 y A x B = 3 k. Halle las componentes Bx y By del vector B.

25. Se tiene un vector A con la magnitud de 10 unidades y otro B con la magnitud de 6 unidades cuyas direcciones difieren en 60. Determine a) A ∙ B y b) A x B

26. Dados el vector A (tal como se muestra en la figura) y el vector B = -6i –8 j, que no se muestra calcular:

a) Las componentes horizontal y vertical del vector A. b) El vector suma S = A Bc) S y el ángulo que forma éste con el semieje positivo de las x.d) El producto escalar A ∙ B y e) El vector producto vectorial A x B

27. Tres vectores están dados por:

A = 3i + 3j - 2k B = - i – 4j + 2k C = 2i + 2j + k

Determinar:a) El ángulo entre A y B b) El ángulo entre A y C c) El ángulo entre B y C d) A ∙ (B x C)

e) A ∙ (B + C)

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