H.H.M.M. Rancagua. Seccin 3 y 4 Medio

GUA de FSICA Vectores

Nivel 3Medio

Profesor: Pedro Gonzlez Cataln 2015

Captulo II VECTORES

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

a) Magnitudes escalares: Son aquellas cuya determinacin slo requiere el conocimiento de un nmero, su cantidad, respecto de cierta unidad de medida. Son ejemplo de estas magnitudes la temperatura, la longitud, la masa, el tiempo, la potencia, el trabajo, la energa, la rapidez, etc

b) Magnitudes vectoriales: Son aquellas magnitudes cuya determinacin exige el conocimiento aparte del mdulo de una direccin y sentido. . Son ejemplo de estas magnitudes el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, la aceleracin, el impulso, el momentum, etc

REPRESENTACIN DE UN VECTOR

a) Representacin grfica: Un vector se representa por un segmento orientado AB, siendo A el origen del vector y B su extremo.

b) Representacin analtica: Un vector se representa por una letra (mayscula o minscula) con una flecha encima por ejemplo A. El mdulo del vector A, se representa como |A| o simplemente A.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

a) Mdulo: Geomtricamente se define como el tamao del vector. Algebraicamente se define

como la raz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir:

| | = + !! + !! + !!

Recuerde que si el mdulo de un vector es igual a la unidad entonces decimos que ste es unitario o versor, es decir:

| | = 1

b) Direccin: Geomtricamente indica la orientacin que tiene el vector respecto del sistema de coordenadas cartesianas. En el plano se define mediante el ngulo que forma el vector respecto del eje horizontal. Algebraicamente la direccin del vector A, respecto del eje x, se puede obtener por medio de la relacin:

= arc tg [

!!!! ]

c) Sentido: Indica hacia donde apunta el vector. Por lo general se relaciona con los puntos cardinales. Ejemplo son hacia arriba, abajo, izquierda, derecha, norte, sur, este y oeste. Es comn encontrar asociada la direccin con el sentido de un vector (N30E E60N)

A B

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES (Mtodos geomtricos y algebraicos)

a) Mtodo del polgono: Consiste en construir un polgono con los vectores sumandos, manteniendo constantes su mdulo y direccin, as, si unimos el origen del segundo vector con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo, y as sucesivamente hasta el ltimo vector. El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del ltimo vector. Si el polgono vectorial resulta ser cerrado, entonces el mdulo del vector resultante es igual a cero. Si se tienen tres vectores concurrentes y coplanares cuya resultante es cero, es decir, forman un polgono vectorial cerrado, se cumple la ley de los senos:

!!"# = !!"#$ = !!"#$

Mtodo de componentes

Todo vector se puede expresar como la suma de dos o ms componentes. En el plano

bidimensional, dicho vector se escribe como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares. Por tanto las componentes de un vector en las direcciones de los ejes X e Y son:

Ax = A cos y Ay = A sen Recuerde que todo vector se puede escribir en forma de par ordenado (a,b),

triada (a, b, c) o en funcin de sus componentes rectangulares R = ai + bj +ck

b) Mtodo del paralelogramo: Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. Geomtricamente el mdulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores. El mdulo del vector resultante est dado por la expresin: R = ! + ! + 2

Donde a, b y R representan los mdulos de los vectores , . Adems, representa el

ngulo que forman los vectores y .

!

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES (Mtodos algebraicos) Sean los vectores: = + + = + + entonces: = + +

Ponderacin de un escalar por un vector

Sea m , vector entonces m = Producto de vectores

a) Producto punto o escalar: Se multiplican componentes iguales y los productos obtenidos se suman, es decir:

Sean , = ! ! ! = Escalar

Tambin: = |||| cos

b) Producto cruz o vectorial: Se obtiene a partir del desarrollo del determinante de una matriz cuadrada de orden 3x3, es decir: = =

Tambin: | | = |||| sen

Notas

Recordar que el producto cruz no es conmutativo, es decir Los vectores se rigen en direccin y sentido por la regla de la

mano derecha. Los vectores son perpendiculares al plano que forman los

vectores . es el ngulo entre los vectores .

Preguntas Seleccin Mltiple (Vectores)

1) La magnitud de los vectores representados en la figura es de 20 cm y 12 cm,

respectivamente. De acuerdo a esto, la magnitud del vector = + es: A) 8 cm B) 12 cm C) 20 cm D) 23,3 cm E) 32 cm

2) Considere los vectores de la figura. Cul de las siguientes flechas representa mejor al

vector ? A) B) C) D) E)

3) La tabla que se muestra da la magnitud y la direccin de tres vectores:, . Cules son

la magnitud y la direccin del vector ? A) 1 cm hacia la izquierda Vector Magnitud Direccin B) 1 cm hacia la derecha x 3 cm Hacia la izquierda C) 5 cm hacia la izquierda y 2 cm Hacia la derecha D) 5 cm hacia la derecha

z 3 cm Hacia la izquierda

E) Ninguno de los anteriores

4) Considere nuevamente los vectores especificados en la tabla anterior. Cules son la magnitud y la direccin del vector + + ? A) 4 cm hacia la izquierda B) 4 cm hacia la derecha C) 8 cm hacia la izquierda D) 8 cm hacia la derecha E) Ninguno de los anteriores

5) Cul(es) de las siguientes operaciones est(n) definida(s)? I Multiplicacin de un escalar por un vector II Divisin de un escalar por un vector III Divisin de un vector por un escalar A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

6) Indique cuales de las siguientes unidades son unidades derivadas en el sistema internacional.

I Newton (N) III Calora V Kilogramo (kg) II Ampere (A) IV Joule (J) VI m3

c) I, II y IV d) II y IV e) I, II y VI f) II, III y V g) I, III, IV y VI

7) Indique cules de las siguientes unidades son unidades fundamentales del sistema

internacional: I Newton (N) III Joule (J) V Candela (c) II Ampere (A) IV Grado Kelvin (K) VI Volt (v)

A) I, II, IV y V B) II, IV y V C) IV, V y VI D) I, II y V E) Todas

8) dos vectores. Si = 2 , entonces la alternativa que representa mejor el vector

resultante de la operacin es:

A) D) B) E) Cero C)

9) Sean = (2, -3, 0), = (4, -1, 1) entonces el mdulo de es: A) B) C) 3 D) 7 E)

218

13

10) Sean =(2, 0, 3) y =(4, -1, 10) entonces: es: A) 72 B) 0 C) 38 D) 38 E) 72

11) En la figura, el vector es igual a :

A) B) + C) D) Cero E) Ninguno

12) Sean =(1, -1, 3) y =(4, 0, -2) entonces, | | =?

A) 2 B) C) 10 D) 6 E) Ninguna de las anteriores.

13) Decir que el ngulo de orientacin de un vector es 300 es lo mismo que decir que es -60.

A) Falso B) Verdadero C) Faltan datos respecto del mdulo D) Falso, es lo mismo que -300 E) N.A.

14) Un versor o vector unitario es un vector........

A) ...nulo B) ...perpendicular al vector original C) ...no definido D) ... de mdulo 1 E) N.A.

15) Si se suma un vector de mdulo 10, horizontal y sentido hacia la izquierda; con otro colineal,

cuyo mdulo es 5, pero sentido hacia la derecha, el resultado de la suma es: A) Un vector de mdulo 5, horizontal, y hacia la derecha B) Un vector de mdulo 5, horizontal, y hacia la izquierda C) Un vector de mdulo 15, horizontal, y hacia la derecha D) Un vector de mdulo 15, horizontal, y hacia la izquierda E) N.A.

30237

26

16) La suma de un vector con un escalar da por resultado: A) Un escalar B) Un vector C) Un vector o un escalar segn el caso D) No se puede realizar tal operacin E) N.A.

17) El mtodo del paralelogramo se utiliza para sumar vectores colineales.

A) Falso, se usa para vectores concurrentes B) Verdadero C) Depende de la situacin planteada D) Se usa para cualquier tipo de vectores E) N.A.

18) Si a un vector se lo multiplica por un nmero negativo, se obtiene un vector cuyo sentido es: A) Igual al vector original B) Perpendicular al vector original C) Nulo D) Opuesto al vector original E) N.A.

19) La suma de un vector con su idntico , da por resultado:

A) No se puede llevar a cabo tal operacin B) 2 C) - D) cero E) N.A.

20) Si a un vector se le suma un vector , se obtiene lo mismo que al restarle al vector el

opuesto de : - A) Falso B) Depende de los vectores que intervienen en la operacin C) No se puede realizar tal operacin D) Verdadero E) N.A.

21) El producto del nmero -5 por un vector da otro vector:

A) mdulo igual al vector original y quntuplo ngulo B) De mdulo cinco veces mayor que el del vector original y quntuplo ngulo C) De mdulo cinco veces mayor que el del vector original e igual ngulo D) De mdulo cinco veces mayor que el del vector original y ngulo igual al original ms

180 E) De mdulo cinco veces mayor que el del vector original y ngulo igual en valor absoluto

que el original, pero signo opuesto.

22) La suma de un vector en la direccin "x" positiva con otro en la direccin "y" negativa, ambas de igual mdulo, da por resultado un vector resultante cuya inclinacin respecto del eje "x" es: A) grados B) 50 grados C) -45 grados D) Faltan datos E) N.A.

23) Si cada uno de los vectores que se muestra en el siguiente esquema, tiene un mdulo de 10 cm,

determine el mdulo de los vectores de las siguientes operaciones: I) + II) + + III) + + +

A) 20 cm; 30 cm; 40 cm B) 14,14 cm; 10 cm; 0 C) 20 cm; 10 cm; 0 D) 10 cm; 10 cm; 0 E) N.A.

24) La suma de dos vectores en el primer cuadrante da:

A) vector que puede ubicarse en cualquier cuadrante B) Cero C) Un vector en el primer y segundo cuadrante D) Un vector en el primer cuadrante E) N.A.

25) La suma de los dos vectores mostrados da por resultado:

A) B) C) D) E) 26) El mdulo del vector (3 ; 4) es:

A) 25 B) 5 C) 3,4 D) 5 E) N.A.

27) Si al vector B se le resta el vector A, se obtiene:

A) B) C) D) E) 28) El vector (3; 5) sumado al vector (1; 2) da por resultado:

A) (7; 4) B) (3; 10) C) (5; 6) D) (4; 7) E) N.A.

29) El producto de un vector con un escalar da por resultado

A) Un escalar B) Un vector C) Un vector o un escalar segn el caso D) No se puede realizar tal operacin E) N.A.

30) El mtodo del paralelogramo se utiliza para sumar vectores colineales.

A) Falso, se usa para sumar vectores paralelos B) Verdadero, se usa tambin para sumar vectores concurrentes C) Verdadero, pero adems depende del problema particular planteado D) Falso, se usa para sumar todo tipo de vectores coplanares E) N.A.

31) Si a un vector lo multiplico por un nmero negativo, se obtiene un vector cuyo sentido es:

A) Igual al del vector original B) Perpendicular al vector original C) Nulo D) Opuesto al del vector original E) N.A.

32) Un vector, en el plano cartesiano, va desde el punto (1;5), al punto (6;25).

Con estos datos determine: el vector y la recta sobre la que est inscrito (dibujado) el mismo. A) Vector: = (5;20) recta: y = 4x + 1 B) Vector: = (6;25) recta: y = 4x + 1 C) Vector: = (1;5) recta: y = 4x + 1 D) Vector: = (6;25) recta: y = 4,16x E) N.A.

33) "Todos los vectores cuyo ngulo de orientacin tiene un valor comprendido entre 180 y 270 pertenecen al cuarto cuadrante" A) Verdadero B) Faltan datos C) Falso, pertenece al cuarto cuadrante D) Falso, pertenece al tercer cuadrante E) N.A.

34) El vector = (10; 0), tiene mdulo y ngulo dados por:

A) Mdulo 10 y ngulo 0 B) Mdulo 0 y ngulo 0 C) Mdulo 10 y ngulo 90 D) Mdulo 10 y ngulo 10 E) N.A.

35) La suma de un vector en el primer cuadrante, con otro vector en el segundo cuadrante da:

A) Un vector en el primer cuadrante B) Un vector en el tercer cuadrante C) Un vector en el segundo cuadrante D) Un vector en el primer o segundo cuadrante E) N.A.

36) La suma de los dos vectores siguientes da por resultado:

A) B) C) D) E) 37) La suma de un vector con su opuesto - da por resultado:

A) No se puede realizar tal operacin B) 2 A C) -A D) Cero E) N.A.

38) El producto del nmero 2 por un vector da otro vector:

A) De modulo igual y doble ngulo B) De mdulo doble y doble ngulo C) De mdulo doble e igual ngulo D) De mdulo doble y ngulo igual al original mas 180 E) N.A.

39) El mdulo del vector (30 , 40) es: A) 25 B) 5 C) 3,4 D) 50 E) 2500

40) Si al vector se le resta el vector , se obtiene:

A) B)

C) D) E)

41) Si al vector (3 , 5) se le suma el vector (1 , 2) y a este resultado se le resta el vector (4, 8) se

obtiene por resultado el vector: A) (7 , 4) B) (3 , 10) C) (5 , 6) D) (4 , 7) E) (0 , -1)

42) Determine la ecuacin de la recta que tiene igual direccin que el vector = (3, 4), y que

adems pasa por el punto (1, 8). A) y = 4x + 0 B) y = 3x + 5 C) y = 6,67x + 1,33 D) y = 1,33x + 6,67 E) N.A.

43) Indique cul de las siguientes afirmaciones es correcta:

A) El producto escalar es nulo cuando los vectores son paralelos, y el vectorial lo es cuando son perpendiculares.

B) El producto vectorial es nulo cuando los vectores son paralelos o antiparalelos, y el escalar es nulo cuando son perpendiculares.

C) Tanto el producto escalar como el vectorial son nulos cuando los vectores son perpendiculares.

D) Tanto el producto escalar como el vectorial son nulos cuando los vectores son paralelos. E) N.A.

44) Qu mdulo y qu ngulo tiene el siguiente vector: = (-8 , -12)? A) 14,42 y 303,7 grados B) 14,42 y -56,30 grados C) 14,42 y 236,30 grados D) a y b son correctas E) a, b y c son correctas

45) En el siguiente grfico, si A = 3 y B = 4, Cul es el mdulo del vector resultante, y su ngulo

de inclinacin? y A) 5 y 36,8 grados B) 15 y 216,8 grados C) 5 y 216,8 grados x D) Faltan datos E) N.A. R

46) Qu mdulo y qu ngulo tiene el siguiente vector: = (12, 8)?

A) 14,42 y 33,6 grados B) 208 y 2 grados C) 56,30 y 14,42 grados D) Faltan datos E) N.A.

47) En el siguiente esquema, se interpreta que el vector , es aquel vector cuyo punto de

aplicacin o "cola" se encuentra en "A" y su extremo en "B". Seale en las opciones propuestas a continuacin del dibujo mostrado, cul de ellas no es verdadera: B A) AB +BC +CA = 0 B) AB + BD + DC = AC C) BA + BC = BD A C D) AC + CD = AD E) AB + AD = BD D

48) Dado un vector arbitrario, Cunto debe valer el ngulo de inclinacin del mismo respecto del

eje de las "x" positivas, para que su componente "x" sea negativa, su signo opuesto al de la componente "y", y su mdulo el triple del mdulo de sta ltima? A) 108 B) -71 C) -18 D) 161 E) N.A.

49) De las siguientes afirmaciones: I.- Dos vectores iguales son paralelos II.- Dos vectores paralelos pueden ser diferentes entre s. III.- Dos vectores paralelos de sentido opuesto no son iguales. Es (son) verdadera(s) A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) Todas

50) Son vectores con mdulo 5 unidades:

I.- = 3i - 4j II.- = (5,0) III.- = 5i+j A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Todas

51) Si un vector tiene mdulo || y ngulo de inclinacin respecto del semieje positivo "x"

entonces se escribe en la forma: A) (|| sen ; || cos ) B) ( sen|| ; cos ||) C) (|| cos ; || sen ) D) Faltan datos E) N.A.

52) El vector cuyo mdulo es 15 y ngulo de orientacin 120 se escribe como:

A) (-10; 12) B) (-7,5 ; 13) C) (-4; 5) D) (7,5 ; 13) E) N.A.

Las preguntas 53, 54, 55, 56, 57 y 58 se refieren a los siguientes vectores: = -2i + 3j k = j 4k = i +5j 53) 2 + 3 ?

A) 5i 4j + 14k B) -5i 4j 14 k C) -5i + 4j 14k D) 5i + 4j + 14k E) Ninguna de las anteriores

54) | 2 + 3 |=? A)

B)

C)

D)

E) 55) =?

A)

B)

C)

D)

E) 1 56) 2 - 2 = ?

A) 35 B) 40 C) 24 D) -351 E) -400

57) = ?

A) -8i 11j 2k B) -21 C) -11i + 8j - 2k D) 11i - 8j + 2k E) -11i - 8j 2k

58) ||BxC| + |CxB|| = ?

A)

B)

C)

D) E) 0

212

221

196

41

237

265

26ji

+

245

24ji

+

265

26ji

+

265

26ji

33

55

77

99

6 cm 9 cm

15 cm

x

59) Qu mdulo y qu ngulo tiene el siguiente vector: = (-10 , -24)? A) 26 y 67 B) 26 y 247 C) 26 y -113 D) B y C son correctas E) A, B y C son correctas

60) Un vector B, en el plano cartesiano, va desde el punto (3,2), al punto (5,14).

Con estos datos determine: el vector y la recta sobre la que est inscrito (dibujado) el mismo. A) Vector B = (3,2) recta: y = 6x + 16 B) Vector B = (5,14) recta: y = -6x -20 C) Vector B = (2,12) recta: y = 6x -16 D) Vector B = (-2,12) recta: y = -6x+20 E) N.A.

61) En el tringulo rectngulo de la figura el valor del ngulo es aproximadamente:

A) 42 B) 24 C) 12 D) 48 E) 56

62) En el tringulo rectngulo de la figura si =60, entonces el valor de la hipotenusa es

aproximadamente: A) 60 cm B) 20 cm C) 100 cm D) 75 cm E) 30 cm

63) El vector B = (0,7), tiene mdulo y ngulo dados por: A) Mdulo 7 y ngulo 0 B) Mdulo 7 y ngulo 90 C) Mdulo 90 y ngulo 7 D) Mdulo 0 y ngulo 0 E) N.A.

64) Determine la ecuacin de la recta que tiene igual direccin que el vector || = (8, 6), y que

adems pasa por el punto (-3, 5). A) y = 8x + 2,25 B) y = 6x + 2,25 C) y = 7,25x+0,75 D) y = 0,75x+7,25 E) N.A.