gravitacion universal
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1 Marcos Guerrero
GRAVITACION
UNIVERSAL
LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL.
“La magnitud de cada una de las fuerzas gravitacionales
con que interactúan dos masas puntuales es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”
2
21
r
mmF
1m 2my son masas gravitacionales.
2
Marcos Guerrero
Marcos Guerrero
3
Principio de la balanza de Cavendish, empleada para determinar
el valor de G.
2211 /1067.6 kgmNG
12212
2112 r̂
r
mmGF
21221
2121 r̂
r
mmGF
De la misma manera:
En general:
rr
mmGF ˆ
2
21Forma vectorial de la ley
de Gravitacion Universal
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Marcos Guerrero
2
21
r
mmGF
Forma escalar de la ley de
Gravitación Universal
G es la constante de Gravitación Universal.
2211 ..1067,6 kgmNxG
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Marcos Guerrero
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Marcos Guerrero
El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
El campo gravitatorio
La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:
g
x
y
z
r
Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra
situada a cierta distancia, se introduce el concepto de
campo de fuerzas
La masa m hace que las propiedades del espacio que
la rodea cambien, independientemente que en su
proximidad se sitúe otra masa m’
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la
fuerza por unidad de masa, calculada en dicho punto
g
m
m’
rrusiendo)u(
r
'mmGF rr2 r
r
'mmGF
3
rr
mG
'm
Fg
3cuyo módulo es:
r
mGg
2y se expresa en N/kg en el S.I.
La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF
El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
Representación del campo
Los campos de fuerzas se representan
mediante líneas de campo
En el campo gravitatorio, las líneas de
campo no parten de ningún punto
definido, carecen de fuentes, y acaban en
los cuerpos con masa o sumideros
Características de las líneas de campo
Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo
Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa
colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
m M
El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
Principio de superposición
r1
r2
r3
g1
g2
g3
g3
g 1
g T
La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se
obtiene calculando la creada por cada una de ellas y sumando los resultados parciales
m1
m2
m3
P
g...ggg n21Tu.
r
mG i
i2
in
1i
siendo r
ru
i
ii
También se puede aplicar al cálculo de la
fuerza ejercida sobre cierta masa por la
acción de un conjunto discreto de ellas
gmF TT
n
1iF
i
Si un cuerpo está sometido a la acción
de varias fuerzas gravitatorias, el
efecto total resultante es la suma de los
efectos individuales de cada fuerza
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Marcos Guerrero
© David Hoult 2009
2r
MGg
© David Hoult 2009
g 1
r2
© David Hoult 2009
g 1
r2
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
outside the sphere g 1
r2
outside the sphere g 1
r2
© David Hoult 2009
inside the sphere
outside the sphere g 1
r2
g r
© David Hoult 2009
inside the sphere g r
outside the sphere g 1
r2
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
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Marcos Guerrero
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Problema
Marcos Guerrero
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Solución
Marcos Guerrero
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Problema
Marcos Guerrero
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Solución
PESO E INGRAVIDEZ.Una cosa es el peso, y otra es la sensación de peso.
La fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la nave y sus tripulantes, el peso,
proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlos en movimiento orbital.
Al no existir una fuerza de contacto que los sostenga, los astronautas no tienen
sensación de peso y se encuentran en un estado de ingravidez, exactamente igual que
la que se experimenta en una caída libre (como si se encontraran en el interior de un
ascensor que se está cayendo).
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Marcos Guerrero
En el techo del ascensor se encuentra sostenido un dinamómetro que a su vez
sostiene una bolsa de masa m. Además se encuentra una persona en el interior
del ascensor.
El ascensor se encuentra en reposo o se mueve a velocidad constante hacia arriba
o hacia abajo.
La lectura del dinamómetro es igual al
peso de la bolsa y la persona tiene una
sensación de una fuerza igual a su peso.
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Marcos Guerrero
El ascensor se mueve hacia arriba con una aceleración constante de magnitud
igual a la mitad de la aceleración de la gravedad.
La lectura del dinamómetro es mayor al
peso de la bolsa y la persona tiene una
sensación de una fuerza mayor a su peso.
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Marcos Guerrero
El cable del ascensor se rompe y se mueve hacia abajo con una aceleración
constante de magnitud igual a la aceleración de la gravedad.
La lectura del dinamómetro es cero y la
persona no tiene una sensación de una
fuerza (ingravidez).
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Marcos Guerrero
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Problema
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Solución
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Solución
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
(Ug)
Imaginemos que tenemos una masa m que se mueve del punto A al punto B.
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Marcos Guerrero
La fuerza gravitacional se encargará de mover la masa m del punto A al punto B.
Recordemos que la magnitud de la fuerza gravitacional entre la Tierra y la masa viene
dada por la expresión:
2r
mGMF T
g
De esta expresión podemos observar que la fuerza gravitacional es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos masas.
El área bajo la curva nos da el trabajo de la
fuerza gravitacional, por lo tanto tenemos:
2
1
r
r
rF drFWg
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2T
T
R
Gmg
y
WFg= -GmTm
dr
r2
r1
r2
ò =GmTm
r2-GmTm
r1
Imaginemos que tenemos una masa m que se mueve
desde el punto A que está en el infinito al punto P, por
lo tanto:
rr
r
1
2
Reemplazando en la siguiente ecuación tenemos:
Sustituyendo la componente radial e la fuerza
gravitacional, tenemos:
0
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Marcos Guerrero
Por lo tanto:
12 r
mGm
r
mGmW TT
Fg
r
mGmU T
Entonces podemos decir que la energía potencial gravitacional entre 2 masas
es:
r
GMmU
La energía potencial gravitacional de una masa m, en un punto p en el
espacio, se define como el trabajo que realiza la fuerza gravitacional
cuando la masa m se traslada desde el infinito hasta ese punto.
Definición:
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Marcos Guerrero
GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITACIONAL EN FUNCIÓN DE LA
DISTANCIA.
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Marcos Guerrero
CONSIDERACIONES DE ENERGÍA EN EL
MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.
TRAYECTORIAS CIRCULARES.
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Marcos Guerrero
La energía potencial gravitacional del satélite es:
La energía cinética del satélite es:
2
2
1mVEC
Recordemos que la rapidez orbital del satélite viene dada por la expresión:
r
GMV
Reemplazando la ecuación de la rapidez orbital en la de energía cinética tenemos:
U = -GMm
r
r
GMmEC
2
1
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Marcos Guerrero
La energía total del satélite viene dada por la expresión:
gTOTAL EPECE
Reemplazando las ecuaciones de energía cinética y energía potencial gravitacional
del satélite en la ecuación anterior, tenemos:
r
GMmETOTAL
2
1
Para una distancia fija r las ecuaciones de energía potencial
gravitacional, energía cinética y energía total del satélite
permanecen constantes.
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Marcos Guerrero
Marcos Guerrero
45
Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial
La componente de la fuerza dada en una dirección, es igual al negativo
de la derivada U respecto a la coordenada correspondiente. Para
movimiento en el eje x:
dx
dUFx
La fuerza gravitacional tiene componente solo en la dirección radial, así
que:
2)(
r
mGm
r
mGm
dr
d
dr
dUF TT
r
Si estamos cerca de la superficie terrestre la ecuación de U, se reduce a
U=mgy.
21
21
rr
rrmGmW Tgrav
Marcos Guerrero
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Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial
Si el cuerpo se mantiene cerca de la tierra, en el denominador podemos
sustituir de la siguiente manera:
Según la ecuación:
Tenemos:
2
21
T
TgravR
rrmGmW
2T
T
R
Gmg
)( 21 rrmgWgrav
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Marcos Guerrero
GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL ,
ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA TOTAL EN FUNCIÓN DE LA
DISTANCIA.
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Marcos Guerrero
TRAYECTORIAS ELÍPTICAS.
La componente tangencial de la fuerza gravitacional es la que produce
trabajo sobre el planeta haciendo que su energía cinética cambie.
Energía cinética del
planeta disminuye
conforme se mueve del
perigeo al apogeo.
Energía cinética del
planeta aumenta
conforme se mueve del
apogeo al perigeo.
Apogeo
o afelio
Perigeo o
perihelio
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Marcos Guerrero
Recordemos el teorema del trabajo y la energía cinética, entonces tenemos
que:
¿Por qué la energía cinética del planeta cambia conforma órbita alrededor
del sol?
ECWNETO
La única fuerza que produce trabajo sobre el planeta es la componente
tangencial de la fuerza gravitacional, por lo tanto:
ECWLgTANGENCIAF
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Marcos Guerrero
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Marcos Guerrero
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Problema
Marcos Guerrero
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Problema
Marcos Guerrero
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Solución
Marcos Guerrero
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Problema
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Solución
RAPIDEZ ORBITAL Y PERIODO
ORBITAL.Imaginemos que tenemos un satélite y que está orbitando alrededor de la Tierra, tal
como se muestra a continuación.
:ORBITALV
Velocidad orbital del satélite.:r Radio orbital del satélite.
:TM Masa de la Tierra.
:m Masa del satélite.
:GF
Fuerza gravitacional que ejerce la
Tierra sobre el satélite.
:TR Radio de la Tierra.
:Ca
Aceleración centrípeta del
satélite.
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Marcos Guerrero
Aplicando la Segunda Ley de la Mecánica de Newton para el satélite, tenemos:
CC amF
La fuerza centrípeta es suministrada por la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra
sobre el satélite y recordando la ecuación de la aceleración centrípeta, entonces tenemos
que:
r
VmF ORBITAL
G
2
Recordando la expresión de la fuerza gravitacional y reemplazando en la ecuación
anterior, tenemos:
r
Vm
r
GmM ORBITALT
2
2
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Marcos Guerrero
2
ORBITALT V
r
GM
De la ecuación anterior, despejemos la rapidez orbital, entonces tenemos:
Podemos observar que la rapidez orbital del satélite es independiente
de la masa del satélite, sino que depende de la masa de la Tierra, el
radio orbital y la constante de Gravitación Universal.
r
GMV T
ORBITAL
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Marcos Guerrero
:ORBITALVV Trayectorias posibles 1, 2 y 3
:ORBITALVV Trayectoria 4
:ORBITALVV Trayectorias posibles 5, 6 y 7
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Marcos Guerrero
Igualando las ecuaciones:
r
GMV T
ORBITAL
T
rVORBITAL
2
Tenemos:
r
GM
T
r T2
Ahora elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
222
r
GM
T
r T
Recordemos la ecuación de la rapidez orbital en función del periodo orbital y el radio
orbital (ecuación del M.C.U.) , entonces tenemos:
T
rVORBITAL
2:T Periodo orbital del satélite.
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Marcos Guerrero
Entonces tenemos:
r
GM
T
r T
2
224
De la ecuación anterior despejando T, tenemos:
TGM
rT
324
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Marcos Guerrero
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Problema
Marcos Guerrero
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Solución
Marcos Guerrero
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Solución
LEYES DE KEPLER.
F1 y F2 : puntos focales.
f : distancia focal.
f : distancia focal.
a: semieje mayor.
b: semieje menor.
e: excentricidad.
¿Qué es la excentricidad?
Es un número sin unidades que está entre 0 y 1 incluidos y que
determina el tipo de trayectoria.
Por ejemplo para una trayectoria circular la excentricidad es igual a 1
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Marcos Guerrero
PRIMERA LEY DE KEPLER.
“Todos los planetas se mueven en orbitas elípticas con el Sol en uno
de los puntos focales”.
También llamado ley de las órbitas.
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Marcos Guerrero
SEGUNDA LEY DE KEPLER.
“Una línea trazada desde el Sol a cualquiera de los planetas, barre
áreas iguales en intervalos de tiempos iguales”.
También llamado ley de las áreas.
21 tt21 AA
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Marcos Guerrero
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La rapidez con la que se barre el área,
dA/dt, se denomina velocidad de
sector:
De esta manera, es la magnitud del producto vectorial
que es 1/m veces el momento angular del planeta con respecto al Sol.
Tenemos, entonces,
vrsinrv
Finalmente:
TERCERA LEY DE KEPLER.
“El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es
proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta al Sol”.
También llamado ley de los períodos.
Si la trayectoria es elíptica la distancia media entre el planeta al Sol es el semieje
mayor en cambio si la trayectoria es circular la distancia media entre el planeta y el
Sol es el radio orbital.
Recordemos que el periodo orbital es:
SGM
rT
324
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Marcos Guerrero
Despejemos el periodo orbital al cuadrado, entonces tenemos:
32
2 4r
GMT
S
De la ecuación anterior podemos concluir que:
32 rT
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Marcos Guerrero
ORBITA GEOESTACIONARIA DE
UN SATÉLITE ALREDEDOR DE LA
TIERRA.
Definición:
Un satélite tiene una órbita geoestacionaria (geosincrónica)
cuando su periodo de rotación es igual al periodo de rotación de
la Tierra alrededor de su propio eje.
¿Cuál es el periodo de rotación de la Tierra alrededor de su propio eje?
24 horas
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Marcos Guerrero
Determine la distancia entre un satélite artificial y el centro de la Tierra para que este
tenga una órbita geoestacionaria.
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Marcos Guerrero
De la ecuación del periodo orbital despejemos r, entonces tenemos:
3
2
4
TGMr T
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Marcos Guerrero
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Problema
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Solución
Marcos Guerrero
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Problema
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Solución
Rapidez de Escape
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
© David Hoult 2009
EPG = zero
© David Hoult 2009
G P E = zero
Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el
cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se
asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a
cero
© David Hoult 2009
G P E = zero
Conforme el cuerpo se aleja del planeta va perdiendo
EC y ganando EPG
© David Hoult 2009
Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el
cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se
asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a
cero
G P E = zero
K E = - G P E© David Hoult 2009
Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el
cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se
asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a
ceroConforme el cuerpo se aleja del planeta va perdiendo
EC y ganando EPG
Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la
superficie del planeta es:
R
GMmG P E =
© David Hoult 2009
R
GMmG P E =
r
GMmG P E =
© David Hoult 2009
Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la
superficie del planeta es:
-½mve2K E =
R
GMmG P E =
R
GMmG P E =
© David Hoult 2009
Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la
superficie del planeta es:
-½mve2 =
R
-GMm
© David Hoult 2009
Tambien como g = GM/R2
R
2GMve
© David Hoult 2009
2gRve
R
2GMve
© David Hoult 2009
Tambien como g = GM/R2