“Grandes Matemáticos”Ευκλείδης y Carl Friedrich Gauss

Euclides

• A pesar de que su vida es poco conocida, su obra es ampliamente conocida, además uno de sus temas más importantes es la base de la geometría convencional o llamada geometría Euclidiana.

“El padre de la Geometría”•

• Vivió en Alejandría, y allí fundó una escuela de estudios matemáticos llamada “Primera escuela de Alejandría”.

• Se dice que estudió en la escuela fundada por Platón, en Atenas.

• Todo esto se sabe de él es gracias a Proclo, quien fue un filósofo neoplatónico griego e historiador griego.

325 A.C 265 A.C

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Se barajan 3 hipótesis sobre él:1. Fue un personaje matemático histórico

que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.

2. Líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte

Obras• “Los Elementos” Tratado de geometría

Recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época

• Argumentación Axiomaprincipios o propiedades

que se admiten como ciertas por ser evidentes

Postulados

Los 5 Postulados de Euclides1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así:

“Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela”

Los Elementos• Recopilación de 13 Libros

Libro I Triángulos, Paralelas, Primeros Postulados y definiciones.

Libro II

Libro v

Libro III

Libro IV

Álgebra Geométrica

Geometría del Círculo

Polígonos Regulares

Teoría de las Proporciones

Libro VI Teoría de la Geometría Plana

Libro VII al X

Aritmética

Libro XI Segmentos Irracionales

Libro XII Tratado que habla sobre los Círculos y esferas

Teorema de Euclides• En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media

proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella

Carl Friedrich Gauss

• Nace el 30 de abril de 1777, en Brunswick, Alemania• Hijo de una familia de bajos recursos• Demuestra gran habilidad desde pequeño, aprendiendo

a leer y resolver operaciones aritméticas a la edad de 3 años

• A los siete años descubrió por si mismo como sumar los números de 1 a 100 de forma casi inmediata

• A los diez años descubrió como calcular raíces cuadradas con 50 decimales

• Con sus grandes avances, el du• Muere el 26 de febrero de 1855, Göttingen, Alemania• Dedico su vida a los estudios de matemáticas, física y

astronomía

(El Príncipe de la Matemática)

Obras

Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.

Publica Disquisitiones Arithmeticae

Construccion de un heptadecagono con regla y compas

Determinacion de la orbita de Ceres

Invencion del Heliotropo

Anécdotas • Una mañana, siendo Gauss un niño y encontrándose en el

colegio, se formó un gran escándalo en su clase. Su profesor, enfadado, castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales pensando que con ello los mantendría entretenidos y callados un buen rato. Pero a los pocos instantes Gauss se acercó a su mesa asegurando que ya había realizado la operación. Su profesor no lo podía creer: un alumno afirmaba que La suma de los 100 primeros números naturales es 5050 habiendo realizado ese cálculo en unos pocos segundos y era correcto.

Ítem de sus Obras

• El polígono. • Las Disquisiciones.• Un nuevo planeta• Gauss y la Geodesia.• En el mundo del magnetismo.• La doble periodicidad de las funciones elípticas.

La característica principal de la obra de Gauss, especialmente en matemática pura es haber razonado con lo particular como si fuera general.

Bibliografía

http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/

http://www.portalplanetasedna.com.ar/gauss.htm

Autores

• Ismael Flores Eriz.• Katherine Ormeño Bastías.• Anyela Pérez Saavedra.• Manuel Ponce Jara.

Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono

regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse

regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de

ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento

algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en

matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.

En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae", obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría. Además de organizar lo ya existente sobre los números enteros, Gauss aportó ideas propias. Fundamentó su teoría a partir de una aritmética de números congruentes que utilizó en la demostración de importantes teoremas, quizás el mas famoso de todos y el favorito de Gauss sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. En esta obra se muestra claramente una tendencia en todo el trabajo de Gauss, en sus demostraciones se elimina toda traza que pueda hacer ver el proceso que las ha hecho posibles. Esto ha sido un elemento negativo para las generaciones siguientes que han tenido muchos problemas para comprender los métodos empleados por Gauss.

No se puede dejar sin señalar la aportación de Gauss a la teoría de números complejos. Después de que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los represento geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. En 1811 Gauss demostró el hoy llamado teorema de Cauchy (él no llegó nunca a publicarlo). También elaboró un método para descomponer los números primos en producto de números complejos.

El descubrimiento del "nuevo planeta", llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al joven matemático. Era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss acepto este reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que el había predicho con sus detallados cálculos. Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían representarse mediante una curva acampanada (hoy conocida como campana de Gauss). También utilizó el método de mínimos cuadrados. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar.

Hacia 1820 Gauss comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma teórica como e forma práctica. En 1821 se

le encargo, por parte de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, el estudio geodésico de Hannover. A tal fin Gauss ideó el heliotropo, instrumento que

refleja la luz del Sol en la dirección especificada, pudiendo alcanzar una distancia de 100 Km y haciendo posible la alineación de los instrumentos topográficos. Trabajando con los datos obtenidos en sus observaciones elaboró una teoría sobre superficies curvas, según la cual, las características de una superficie se

pueden conocer midiendo la longitud de las curvas contenidas en ella. A partir de los problemas para determinar una porción de superficie terrestre surgieron

problemas más profundos, relativos a todas las superficies alabeadas, terminándose por desarrollar el primer gran periodo de la geometría

diferencial.

A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un

magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con

las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.

Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas. En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes.