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INTEGRANDOCOLEGIO ““Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”
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El objeto de este capítulo es presentar algunos de los conceptos fundamentales de la geometría analítica plana.Estos conceptos son fundamentales en el sentido de que constituyen la base del estudio de la geometría analítica. En particular, se hará notar cómo se generalizan muchas de las nociones de la geometría elemental por los métodos de la geometría analítica. Esto se ilustrará con aplicaciones de las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.
Introducción
El sistema de los números reales es el conjunto R, el cual está asociado a la recta numérica real o eje x.Entonces, el producto R x R = R2 es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que está determinado por dos rectas numéricas reales perpendiculares, siendo éstas: horizontal y vertical, respectivamente. Dichas rectas son los ejes de coordenadas rectangulares o plano cartesiano y a la intersección de los ejes se denomina origen de coordenadas.
(0;0)
-4 -1-2-3 1 2 3 4
1234
-2-3-4
-1
-∞
+∞
+∞
-∞
Eje x
Eje y
Plano Cartesiano
(x0 ; y0) donde: x0 : es la abscisa y0 : es la ordenada
Notación de par ordenado
Ubicación de un punto en el Plano Cartesiano
Carl Friedrich Gauss
Nació: 30 de abril de 1777 en Brunswick, Ducado de Brunswick (hoy Alemania).Murió: 23 de febrero de 1855 en Göttingen, Hanover (hoy Alemania).Gauss es uno de los matemáticos más grandes de la historia (le llamaron el Príncipe de los matemáticos).En 1792, con una beca del Duque de Brunswick, entró en el Colegio Carolino de Brunswick. En esta época descubrió varios teoremas, algunos ya conocidos, pero ignorados por él.En 1795 Gauss fue a estudiar a la Universidad de Göttingen, también con una beca del Duque de Brunswick. Gauss dejó Göttingen
en 1798 sin diplomarse, pero en esta época hizo uno de sus más importantes descubrimientos: la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás. Gauss se interesó desde muy joven por la geometría no euclideana. Discutió el tema con Farkas Bolyai y otros, sin embargo, no publicó nada porque creía que su reputación se pondría en entredicho. Más tarde, cuando Lobachevski publicó su trabajo sobre el tema, dijo en una carta a Schumacher que él estaba convencido de ello desde hacía 54 años (lo que supone que ya lo había pensado cuando tenía 15 años).
x0O(0;0)
y0
Origen de coordenadas
x
Eje de Abscisas
Punto de abscisa x0 y ordenada y0
P(x0, y0)
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos cualesquiera (P y Q) en el plano cartesiano, está dado por:
División de un segmento en una razón dadaPunto de división:
Se llama así a aquel punto que divide a un segmento en una división dada. Consideramos los puntos A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2), y el segmento de recta que determinan ambos. Sea P(x ; y) un tercer punto de dicho segmento que lo divida en una razón dada r, así:
Por semejanza de triángulos:
Luego:
x - x1
x2 - x=r
De manera similar, se concluye que:
x=nx1 + mx2
n + m
y=ny1 + my2
n + m
o
y=y1 + r . y2
1 + ro
Punto medio de un Segmento:
Dado el segmento de extremos A y B cuyas coordenadas son A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) y M es el punto medio de AB, tal que M(x;y). Luego, las coordenadas del punto M se determinan mediante la semisuma de las respectivas coordenadas de A y B.
* En la figura, por base media en los trapecios rectángulos AA’B’B y AA’’B’’B, se cumple lo siguiente:
x1 + x2
2x=
y1 + y2
2y=
En la figura mostrada:
PMQ: Aplicando el Teorema de Pitágoras.
d2(P,Q) = (x1 - x0)
2 + (y1 - y0)2 d(P,Q) = (x1-x0)
2 + (y1- y0)2
xx – x1 D
P(x;y)
y
x1O x2 xx2–x
y – y1
C
B (x2;y2)
y1A(x1; y1)
y
y2 n
m
x0x
d
x1 – x0
Q(x1; y1)
(y1–y0)
M
P(x0;y0)y1
y0
x1
y
= rAPPB
Demostración:
x1 + r . x2
1 + rx=
= = =rAPPB
ADPC
x-x1
x2-x
A(x1;y1)y1
y
M(x;y)
A’
B(x2;y2)
x1
x
x2
B’
A’’
B’’
y2
y
x
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Cálculo de las coordenadas del baricentro de la región triangularLas coordenadas del baricentro de una región triangular siempre están en función de las coordenadas de sus vértices.
En la figura mostrada:
‘‘G’’ es el baricentro de la región triangular ABC.
Luego: x=x1 + x2 + x3
3
y=y1 + y2 + y3
3
Inclinación de una Recta
Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas.
Se mide a partir del eje ‘‘x’’ hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario.
β αx
L
y
L1
α : Medida del ángulo entre la recta ‘‘L’’ y el eje ‘‘x’’. β : Medida del ángulo entre la la recta ‘‘L1’’ y el eje ‘‘x’’.
Pendiente de una Recta
Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra ‘‘m’’ minúscula.
En la figura anterior:
* Sea ‘‘m’’ la pendiente de la recta ‘‘L’’ → Luego: Si α < 90°, entonces ‘‘m’’ es positiva.
* Sea ‘‘m1’’ la pendiente de la recta ‘‘L1’’ → Luego: Si β > 90°, entonces ‘‘m1’’ es negativa.
m = tgα
m = tgβ
Cálculo de la Pendiente
La pendiente de una recta puede ser calculada conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.
* En la figura:
Sea la recta ‘‘L’’ cuya pendiente es ‘‘m’’.
Luego: m = tgα
En el AMB:
tgα=y2 – y1
x2 – x1
Cálculo de la Medida Angular entre dos rectas
Sean: L1 : cuya pendiente es m1 L2 : cuya pendiente es m2
Luego: m1 = tgβ ; m2 = tgα
A(x1; y1)αx2 - x1
y2 - y1
B(x2;y2) L
M
m=y2 – y1
x2 – x1
β
L1
α
L2
θB
AC
y
O
C(x3;y3)
B(x2;y2)
G(x;y)
A(x1, y1)
x
yy
x
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∆ ABC : Propiedad θ = α - βLuego: tg θ = tg (α - β)
tg θ =
Propiedades
m1 = m2 Si: L1 // L2
y
x
L1 L2
α α
Si L1 L2m1 . m2 = -1
y
x
L1 L2
tgα - tgβ1+tgα . tgb
tg θ = m2 - m1
1+m2 . m1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea L la recta cuya ecuación es: y=mx+b o Ax+By+C=0
La distancia de un punto P, exterior a la recta, está dada por:
y
x
L
P(x0, y0)
d
d=|y0-mx0-b|
m2+1o
d=|Ax0+By0+C|
A2+B2
SUPERFICIE DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Se sabe que A(x1; y1); B(x2; y2); y C(x3; y3) son las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC como se muestra en el gráfico y “S” es el área de su región.
y
x0
S
C(x3; y3)
A(x1; y1)
B(x2; y2)
Para calcular el área “S” se colocan las coordenadas de sus vértices en columna, tomados en sentido antihorario, repitiéndose las coordenadas del primer vértice. Luego se procede como a continuación se indica:
ABCA
x2y1x3y2x1y3
N
x1
x2
x3
x1
y1
y2
y3
y1
x1y2x2y3x3y1
M
{=+ +}
Finalmente: S=M - N2
Ejemplo:
Calcula la superficie de la región triangular cuyos vértices son: A(3; 2), B(-4; 1) y C(4; -5).
Resolución:
ABCA
-84
-15-19
3-443
21-52
3208
31
{=+ +}
Finalmente:
S= = =31 - (-19)2
31+192
502
→ S=25
Ejemplo:
Calcula la superficie de la región triangular cuyos vértices son A(7; -3), B(2; 5) y C(-4; 3).
Rpta.: S=22
y
xS
B(-4; 1)
A(3; 2)
C(4; -5)
Ejemplos:
1. Halla la distancia del punto (6; -5)
a la recta y=- x+4.23
Resolución:
d= →|-5- 6-4|
2+1
23
- )(23
- )(d= 15 13
13
2. Halla la distancia del punto (-2; -1) a la recta 3x+5y-2=0.
Resolución:
d= →|3(-2)+5(-1)-2|
32+52d= 13 34
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1) Del segmento mostrado, calcula las coordenadas del punto “P”.
Resolución:
2k
P
A(2; 7)
5k
B(6; -2)
2k
P
A(2; 7)
B(6; -2)
5k
x0= = =
y0= = =
→ P(x0; y0)=P ;
2(6)+5(2)2+5
12+107
227
2(-2)+5(7)2+5
-4+357
317
317
227 )(
2) Calcula las coordenadas del punto “G”.
* El punto “G” es baricentro, porque basta trazar dos medianas para determinar dicho baricentro.
MA(2; 5)
NC(8; 3)
B(-4; 1)
G
Resolución:
MA(2; 5)
NC(8; 3)
B(-4; 1)
G(x0;y0)
x0= = =2
y0= = =3
→ G(x0; y0)=G(2; 3)
2+(-4)+83
63
5+1+33
93
3) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son: A(1; 1), B(-3; 5) y C(5; 0).
Resolución:
y
x
S
B(-3; 5)
A(1; 1)
C(5; 0)0-3
1
1 5
5
22-102
S= = =6122
Resolución:
H
C(5; -3)
B(3; 7)
A(-1; 1)
(base)(altura)2
S= = (BC)(AH)2
→ AH= ....(I)2SBC
* Calculamos el área “S”:
41-(-11)2
S= =
S=26
522
* Calculamos “BC”:
BC= (3-5)2+(7-3)2
BC= 4+100BC= 104= 4.26BC=2 26
* Reemplazamos “S” y “BC” en (I):
AH=
AH= 26
2.262 26
Nivel I
1) Encuentra la distancia entre los dos puntos dados A(7; 1) y B(2; 3).
a) 3 b) 4 c) 28d) 29 e) 31
2) Encuentra el punto medio del segmento que une a los puntos dados P(3; 6) y Q(6; 1).
a) (1; 1) d) (9/2; 7/2) b) (-3; 4) e) (1/2; -3/2) c) (1; 0)
3) Determina el valor de “b” si la distancia entre los puntos A(7; 1) y B(3; b) es 5.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ACBA
50510
15-31
1051
025-322
{S= =+ +}1
212
4) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-1; 1), B(3; 7) y C(5; -3). Calcula la longitud de la altura relativa al lado BC.
* La longitud de la altura relativa al lado BC es “AH”, calculamos el área “S” aplicando:
ACBA
5-9-7-11
-153-1
1-371
335 341
{S= =+ +}1
212
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MIA Nivel II
4) Halla las coordenadas del punto “P” que equidista de los tres puntos dados: A(-11; 3), B(6; 10) y C(1; 11).
a) (1; -3) d) (5; 3) b) (1; -2) e) (6; 0) c) (-3; 4)
5) Si P(x; x + 3) es un punto que equidista de A(4; 3) y B(-3; 1), halla el valor de “x”.
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/6 e) 1/10
6) Calcula la longitud de la mediana BM del triángulo cuyos vértices son A(-3; -2), B(2; 5) y C(9; -6).
a) 41 b) 40 c) 82d) 48 e) 51
7) Calcula la distancia del baricentro del triángulo ABC al origen de coordenadas, sabiendo que: A=
(-2; -8), B=(-4; 6) y C= (9; 8).
a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 7
8) Si M, N, P y Q son puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, ¿cuál es mayor MP o NQ?
a) MP d) Faltan datos b) NQ e) AD c) Son iguales
9) Calcula el área de la región cuadrangular que se muestra.
a) 18u2 b) 20u2 c) 25u2
d) 36u2 e) 40u2
P
x
y B(3;4)
A(-5; -2)
10) En la figura mostrada, ¿cuáles deben ser las coordenadas del punto “P” para que AP sea el triple de PB?
a) (-1; 5/2) d) (0; 2) b) (1; -5/2) e) (0; 5/2) c) (1; 5/2)
12) Calcula la pendiente de una recta que pasa por los puntos A(3; 4) y B(-1; 7).
a) 3/4 b) -3/4 c) 4/3d) -4/3 e) 2/3
13) Una recta pasa por los puntos A(2a-1; 4) y B(3; a+1) y su pendiente es 2. Calcula el valor de “a”.
a) -1/2 b) -11/5 c) 11/5d) 5/11 e) -5/11
11) Del segmento mostrado, calcula las coordenadas del punto “B”.
a) B d) B b) B e) B c) B
2k
P(4; -1)
A(-1; 2)
3k
B
32
- ; )( 112
12
; - )( 172
232 )( 11
2; - 27
2 )( 112
; -
125 )( 13
5; -
14) Halla la pendiente de la recta L.
a) -1/3 b) - 3/3 c) 3/3d) 3 e) - 3
y
x
L
30°
15) Las rectas de pendientes m0=3/4 y m1=-1 se cortan. Halla el ángulo que forman.
a) 108° b) 98° c) 128°d) 138° e) 118°
16) Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135° y pasa por los puntos P(5; -1) y Q(k; 3). Halla k.
a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) -2
17) En la figura mostrada, ABCD es un rectángulo. Halla las coordenadas del vértice “B”.
a) (3; 2) b) (4; 3) c) (5; 2)d) (10; -5) e) (4; 5)
D C(5;6)
A(2;2)
y
xB
x
B(5;9)
D(12;2)
N
QA(3;4)
M P
y
C(10;11)
-2
-5
6 x
4
y
O
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Nivel III
O xA B
D
y
C(10; 4)
18) En la figura mostrada, ABCD es un trapecio isósceles. Calcula las coordenadas del vértice “C”.
a) (1; 3) b) (2; 7) c) (3; 7)d) (4; 5) e) (2; 5)
19) En la figura mostrada, calcula el área de la región sombreada.
a) 20u2 b) 21u2 c) 25u2
d) 30u2 e) 32u2
20) Una recta pasa por los puntos (-3; 1), (0; 4) y (8; n). Halla n.
a) 6 b) 12 c) 4 d) 8 e) 7
21) Halla el área del trapecio sombreado. (m: pendiente)
a) 78u2 d) 100 3u2
b) 78 3u2 e) 100 u2
c) 50 3u2
y
x
(10; 6 3)m=- 3
23) Un triángulo tiene por vértices A(-7;4), B (6; -1) y C(-2; 9). Calcula las coordenadas de su baricentro “G”.
a) G(-1;4) b) G(4;-1) c) G(2;3) d) G(3;-2) e) G(4;5)
24) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son:
A(-1;4), B(2; -1) y C(3;3)
a) 11/2 b) 13/2 c) 15/2 d) 17/2 e) 19/2
26) Calcula las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento cuyos extremos son: A(-5; 4) y B(4; -5)
a) (2; 1) y (1; 2) b) (-2; 1) y (1; -2) c) (-2; -1) y (-1; -2) d) (3; 1) y (1; 3) e) (-3; 1) y (1; -3)
27) Del triángulo mostrado, calcula “a+b”.
a) 5/3 b) 7/3 c) 3 d) 11/3 e) 13/3
B(2; 5)
C(6; -1)
A(-4; 7)
2S
SP(a; b)
28) Dos vértices de un triángulo son A(2; -3) y B(-3; 2) y las coordenadas de su baricentro es G(4; -1). Calcula las coordenadas de tercer vértice “C”.
a) (13; 2) b) (2; 13) c) (13; -2) d) (2; -13) e) (-4; 1)
30) El área de un triángulo es 3u2, y dos de sus vértices son los puntos A(3; 1) y B(1; -3). El centro de gravedad de este triángulo está situado en el eje “x”. Calcula el mayor valor de “a” si C(a; b).
a) -5 b) 5 c) 2 d) -2 e) 7
31) Se tiene un cuadrado ABOC, siendo “O” el origen del sistema. Si A(-1; 7), calcula el perímetro del cuadrado.
a) 28 b) 20 c) 24 d) 16 e) 12
33) Sea M(2; 2) , N(5; -2) y P(a; 0). Calcula un valor de “a”
si m→MPN= 90°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
CD(0;5)
A(-4; -1) B(6;-1)
y
x
22) Una recta de pendiente 2/5 pasa por los puntos A(3; -4), B(x; -2) y C(-7; y). Calcula “AB”.
a) 3 3 b) 29 c) 2 29 d) 31 e) 2 31
25) En un triángulo de vértices A(2; -3), B(4; 3) y C(-7; -1) se
traza AP, tal que BP/PC=1/3. Calcula “AP”.
a) 309/4 b) 409/4 c) 409/2 d) 309/2 e) 409/16
29) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(2; -3), B(0; 5) y C(-4; 2). Calcula la longitud de la altura relativa al lado BC.
a) 48/5 b) 33/5 c) 37/5 d) 38/5 e) 28/5
32) El lado de un rombo es igual a 5 10 y tiene como vértices opuestos a (4; 9) y (-2; 1). Calcula el área del rombo.
a) 100 b) 150 c) 200 d) 240 e) 360
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34) Calcula la ordenada de un punto ubicado sobre el eje de ordenadas, equidistante de A(4;-2) y B(2;2).
a) 0,5 b) -0,5 c) 1,5 d) -1,5 e) 2,5
35) El punto medio de un segmento, cuyos extremos están sobre los ejes cartesianos es (3;1). Halla la suma de las coordenadas de dichos extremos.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
36) En un triángulo ABC, A(1;4) B(3;-9) y C(-5;2). Calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC.
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 24
37) Tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD son A(2;3) B(1;1) y C(6;2). Determina las coordenadas del cuarto vértice “D”.
a) (-3; 2) b) (5; 3) c) (4; -1) d) (-5; 6) e) (7; 4)
38) Si M(-3;5) es un punto que divide al segmento AB en la razón 4:1, halla las coordenadas de A si B(-2;2).
a) (-3; -7) d) (-7; 17) b) (-7; -17) e) (-3; 17) c) (-3; -17)
39) Los vértices de un triángulo ABC son A(5;2), B(7;5) y C(3;2). Determina las coordenadas de su baricentro.
a) (5; 3) b) (3; 4) c) (4; 5) d) (4; 3) e) (1; 1)
40) Calcula el área de un triángulo, cuyos vértices son (4; 2); (6; 8) y (10; 6).
a) 10 u2 b) 12 u2 c) 14 u2
d) 16 u2 e) 18 u2
42) La figura muestra un trapecio isósceles con bases 3 y 5u de longitud. Si OA= 5, entonces las coordenadas del punto “B” son:
a) (2; 4) b) (2; 3) c) (3; 2) d) (5; 1) e) (4; 2)
y
x
A B
D C
M
y
x
A B
O C
43) En el plano cartesiano se tiene los puntos A(2; 3) y B(5; 8). Calcula la distancia entre los puntos A y B, y la pendiente del segmento AB.
a) 34 y 4/3 d) 29 y 3/4 b) 34 y 5/3 e) 5 y 4/3 c) 29 y 3/5
44) En un paralelogramo dos vértices consecutivos son(1; 3) y (5;-1). Si las diagonales se cortan en (7;2), calcula la suma de las coordenadas de los otros dos vértices.
a) 18 b) 24 c) 26 d) 28 e) 32
45) Una recta de pendiente 7/9 pasa por los puntos A(a; 5), B(3; 12) y C(4; c). Calcula “AB”.
a) 110 b) 115 c) 125 d) 130 e) 140
46) En un cuadrado AOBC, “O” es el origen del sistema. Si C(7;-1), calcula la diagonal del cuadrado.
a) 2 2 b) 4 2 c) 5 2 d) 6 2 e) 7 2
49) El área de un triángulo es 4u2, donde dos de sus vértices son los puntos A(2; 1) y B(3; -2). Si el centro de gravedad de este triángulo está situado en el eje “y”, calcula el mayor valor de “b” si C(a;b).
a) 14 b) 15 c) 28 d) 30 e) 45
41) En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con uno de sus vértices en el origen de coordenadas y cuyo lado tiene longitud “a” unidades. Si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio cuyas áreas están en la relación de 1:4. Calcula la tangente del ángulo MDC.
a) 1/4 b) 2/5 c) 1/3 d) 3/4 e) 3/5
47) En un triángulo ABC, calcula la longitud de la mediana BM si A(2;4), B(4; 9) y C(-4;2).
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 24
48) Los vértices de un triángulo son A(3; -5), B(-3;3) y C(-1;-2). Calcula la longitud de la bisectriz interior AP.
a) b) c)
d) e)
7 23
14 23
23
7 33
14 33