lgebra lineal

Ecuaciones Lineales

Una ecuacin lineal sobre el cuerpo real {R} es de la forma: a1x1 + a2x2 + + anxn = b. Donde a,b {R} y b = cte.

Una solucin de la ecuacin lineal es una sucesin de n nmeros: S1, S2, , Sn, con la propiedad de que al sustituir estos valores se satisface la ecuacin. La solucin se puede representar en forma de una n-upla.

u = (S1, S2, , Sn)

En forma ms general, un sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas o simplemente un sistema lineal, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con m incgnitas.

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

. . . .

. . . .

. . . .am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

Una n-upla u = (S1, S2, , Sn) de nmeros reales es una solucin del sistema si satisface cada una de las ecuaciones del sistema.

Adems, cuando b1, b2, , bn = 0 entonces se dice que el sistema es homogneo. Un sistema homogneo tiene una solucin de:n-upla = (0, 0 , , 0) llamada la solucin trivial.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene lo siguiente:1. Ninguna solucin.2. Exactamente una solucin.3. Un nmero infinito de soluciones.En este caso podemos decir que un sistema lineal es consistente si tiene una solucin o una

infiinfinidad de soluciones, y es inconsistente si el sistema lineal no tiene ninguna solucin.

Solucin por el mtodo de eliminacin de Gauss.

Considerando el siguiente sistema lineal:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

. . . .

. . . .

. . . .am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

Este mtodo consiste en reducir el sistema a un sistema equivalente ms simple.

En otras palabras, es reemplazar la -isima columna la ecuacin lineal li por la ecuacin que se obtiene multiplicando la primer ecuacin l1 por el coeficiente ai de tal forma que se cancele la primer incgnita en las li, resultando un nuevo sistema.

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a22x2 + + a2nxn = b2 . . .

. . . . . . am2x2 + + amnxn = bn

Este procedimiento se utiliza hasta que el sistema se encuentra en forma escalonada, hasta que se presenta de esta manera:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a22x2 + + a2nxn = b2 . . . .

. . amnxn = bn

Entonces el valor de xn se encuentra

fcimente en xn = bnamn

z = z = 1 y = 7 4(z) = 7 4 y = 3

x = 4 2(3) + 3(1) x = 1

Matrices

Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de m , n de {R} ordenados en m filas y n columnas.

a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . . . .

am1 am2+ + amn

Decimos que A es igual a (m) (n) donde A i j se llaman elementos de la matriz, el primero de los subndices i indica la fila y j indica la columna.

[ ai1, ai2, ain ] si (1 i m)

La j -sima columna de A es:

Si (1 j n )

Mtodo de Gauss Jordan para sistemas lineales

Para resolver un sistema lineal por este mtodo es necesario el siguiente procedimiento:1. Se forma la matriz aumentada.2. Se transforma la matriz aumentada a su

forma escalonada, mediante operaciones elementales de filas.3. El sistema lineal que corresponde a la matriz escalonada, tiene exactamente las misma soluciones que el sistema dado.

4. Las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar.

Si se tiene el siguiente sistema lineal:

La matriz del coeficiente est formada por todos los coeficientes de las incgnitas del sistema.

a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . . . .

am1 am2+ + amn La matriz aumentada se presenta:

Ejemplo:

2x + 4y + 6z = -122x 3y 4z = 152x + 4y + 5z = -8

z = -1 y = -5 -2(-1) y = -3 x = -6 - 2(-3) -3(-1) x = 3

Matrices especiales

La primera de estas matrices que definiremos es la matriz cuadrada la cual se llama as por que su nmero de filas es igual al nmero de columnas, es decir m=n.

La matriz cuadrada tiene la caracterstica que la diagonal principal est formada por los elementos de los cuales i = j.

De una manera conjuntista, esta diagonal se define con la siguiente igualdad:

D = { aij / i = j }

B= Dp= 1 , 2A= Dp= 3 , 2 , 8

Matriz triangular superior

Esta es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros.

A=

B= Matriz diagonal

Esta es una matriz cuadrada en la cual los elementos que no estn en la diagonal principal son todos nulos.

A= B=Matriz escalar

Es una matriz Diagonal, en la que en ella todos los elementos de la diagonal principal deben de ser iguales.

A= B=Matriz identidad

Esta es una matriz escalar, slo que en ella todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

A= B=Matriz simtrica

Es una matriz cuadrada en la cual debe cumplirse que aij = aji i , j. Sin tomar en cuenta la diagonal principal.

B= Matriz antisimtrica

En esta matriz cuadrada debe cumplirse la siguiente igualdad aij = -aji i , j.

B=

A = { 5, 0.25, 3, , , 0, 8, -5, }

irracionales: ,

Racionales: 5, 0.25, 3, ,, 0, 8, -5,

Leyes de los exponentes

7) 8)

Ejemplos:

2) 3) Suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros naturales.1) (5+2) 2 + 3 (6-1) = (7) (2) + (3) (5)

= 14 + 15 = 29

2)(8 - 2) 5 3 (6 - 4) + 3 (7 - 2)(5 + 4)

= (6) (5) (3) (2) + (3) (5) (9)

= 55 + 182 = 1 + 9 = 10

=60 2 + 18 (6)(3) = 30 + 18 18

=9 [ 15 5 6

2] = 9 (3 3) = 0

Residuos

Residuo por defecto (234 = 5) 3

Residuo por exceso (234 = 6) 1

Descomposicin de factores primos

Mnimo comn mltiplo y mximo comn

divisor.

El MCM de dos o ms nmeros es el mayor

nmero que los divide a todos exactamente y

se obtiene con el producto de los factores

primos elevados a la menor potencia.

El mximo comn divisor (MCD) de dos

nmeros es el menor de dos mltiplos comunes

a los mismos.

MCM = = 12,600

MCD = = 60Operaciones con nmeros racionales

2) 3)

4) Operaciones con nmeros irracionales

1)

2)

Racionalizacin

Cuando nos piden racionalizar el denominador tenemos que eliminar las races que se tengan en el denominador sin importar cuntas nos queden en el numerador.

Si la raz del denominador tiene un solo trmino, se multiplica tanto el numerador como el denominador por la raz del denominador.

Si el denominador tiene dos trminos se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

Nmeros complejos

Nos sirven para resolver ecuaciones en las que las variables tengan como solucin races negativas.

Forma trigonomtrica y representacin

geomtrica de los nmeros complejos

Forma cartesiana Forma polar

Transformacin de forma polar a

cartesiana

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos.

z1=r1(cost1+isin1)z2=r2(cost2+isin2)z1z2=r1 r2 cost1cost2+isint,cost2+isint2cost,+i2sint,sint2

z1xz2=r1r2cost1cost2-sint1sint2cos(t1+2)+isint1cos2+sint2cost1sin(t1+2)z1z2=r1r2cos1+2+isin1+2

z1z2=r1r2(cost1+isint1)(cost2+isint2)cost2-isint2cost2-isint2=r1r2cost1-2+i sin(t1-2)

Si z1 es igual a 4cos75+isin75 y z2=12(cos45+isin45) encontrar z1z2 y z1z2 y expresarlo en su forma cartesiana.

a) z1z2=412cos75+45+isin75+45=2cos120+isin(120)

b) a=rcos=2cos120=-1c) b=rsin=2sin120=3d) z=-1+i3e)

f) z1z2=412cos75-45+isin(75+45)=8[cos30+isin30]

g) a=rcos =8cos30=43h) b=rsin=8sin30=4i) z=43+4ij)

1. z1=6cos3+i sin32. z2=2(cos4+isin4)3. z1z2=62cos3+4+isin3+4

4. =23cos1803+1804+isin1803+1804

5.6.7.

8. =23cos60+45+i sin 60+45=23(cos105+isin105)

9.

10. a=rcos=23cos10511. b=rsin105=23sin 10512. z=23cos105+isin10513.14.15. Teorema de Moiure16.17. Este teorema sirve para elevar los

nmeros complejos en su forma trigonomtrica a cualquier potencia.

18.

19. zn=rncosn+isin(n)20.

21. Ejemplo: 3+i^822. r=32+12=223. =tan-113=3024. a=zcos30=325. b=z sen 30=126. z8=28[cos830+isin(830)]27. =256[cos240+isin240]28. a=rcos=256cos240=-128

29. b=rsin=256sin240=-221.7030. z8=-128-i 221.731. Ejercicios32.

1. 1+I62. r=12+12=23. =tan-111=454. z6=1+i5. z6=26cos(645+isin(6(45)6. =8cos270+isin2707. a=rcos=8cos270=0

8. b=rsin=8cos270=-89. z=-8i 10. -2-2i411. r=-22+-22=2212. =tan-1-2-2=4513. z4=244(cos(445+isin(4(45)14. =64 (cos180+isin180)15. a=rcos=64cos180=-6416. b=rsin=64sin180=0

17. z=-6418. -3+i1019. r=-32+-12=220. =tan-11-3=-3021.

22. z10=210cos10-30+isin(10-30=1024 (cos-300+isin-300)

23.

24. a=1024cos-300=51225. b=1024sin-300=886.8126. z=512+886.81i

27.

28. -4-4i329. r=-42+-42=4230.

31. =tan-1-4-4=4532. z3=(42)(cos(345+isin(345)33. z3=181.01(cos135+isin13534. a=181.01cos135=-127.9935. b=181.01 sen 135=127.9936. z=-127.99+127.99i37.38.39. Expresiones algebraicas40.

41. Trminos: es una expresin algebraica, formada por nmeros, letras, signos o combinaciones entre ellos.

42.

43. 5, 4a, -3b, 5a44.45. Polinomio: es una expresin

algebraica formada por ms de 2 trminos, 2 trminos son semejantes si tienen las mismas literales, con los mismos exponentes, sin importar el coeficiente numrico.

46. -3x+4xS47. 3x-4x2No48.49. Operaciones con polinomios,

suma y resta50.51. Para sumar o restar

algebraicamente, los trminos tienen que ser semejantes, y para la multiplicacin se efecta, trmino a trmino y posteriormente se efecta una relacin de trminos semejantes.

52.

53. 3x+2y-2+4x+2-3y=3x+2y-2+4x+2-3y=7x-y

54. 4y+6y2-4xy-5xy+6y2-3y=4y+6y2-4xy-5xy-6y2+3y=7y-9xy

55.

56. Sustraer: 3x-2y+4 de 6x+2y+657. 6x+2y+6-3x-2y+4=6x+2y+6-

3x+2y-4=3x+4y+2

1. x+23x-9=3x2-9x+5x-18=3x2-4x-18

2.

3. 4x-2x+1x-2=4x2+4x-2x-2x-2=4x3+4x2-2x2-2x

4.5.6.7. Efectuar las siguientes

operaciones:8.

1. 4x-3y+6+3x-12y+6=4x-3y+6+3x-12y+6=7x-15y+12

2. Sustraer 4x-2y+6 de 9y-3x+2=9y-3x+2-4x-2y+6=9y-3x+2-4x+2y-6=-7x+11y-4

3. 3x-2y+1x-2=3x2-2xy+x-6x+4y-2=3x2-5-2xy+4y-2

4.

5.6. Productos notables7.8. Son los que tienen una

caracterstica con trmino comn:9.10. Binomio con un trmino comn11. x+ax+b=x2+xa+b+ab12. Binomios conjugados13. x-yx+y=x2-y2

14. Binomio al cuadrado15. x-y2=x2-2xy+y216. x+y2=x2+2xy+y217. Binomio al cubo18. x+y3=x3+3x2y+3xy2+y319. x+y3=x3-3x2y+3xy2-y320.

1. 3x-23x+4=9x2+12x-6x-8=9x2+x12-6-8=9x2+6x-8

2. 5x+2y25x-2y2=25x2-4y43. x-1+22=x+12=x2+2x+1

4. 2x-13=8x3-12x2+6x-15.6. Factorizacin.7.8. Factor comn9. ax+bx+cx=x(a+b+c)10. Diferencia de cuadrados11. x2-y2=(x+y)(x-y)12. Diferencia de cubos y suma 13. x3+y3=(x+y)(x2+xy+y2)14. x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)15. Diferencia cuarta16. x4-y4=(x+y)(x-y)(x2+y2)17. Trinomio al cuadrado

18. x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

19.

1. 20x2+3xy-2y2=20x2+8xy-5xy-2y2=4x5x+2y-y5x+2y=(5x+2y)(4x-y)

2. x2+5x=0 (x+5)(x-0)3. Expresiones racionales4.5. Llamaremos expresiones

racionales a un cociente de polinomios. Una expresin racional est en sus trminos mnimos o reducidos cuando el numerador y el denominador no poseen factor comn.

6. 30x2y3-18xy212x2y2=6xy2(5xy-3)62x2y2=5xy-32x

7.8.9.10.11. Operaciones con expresiones

racionales:12.13. Suma y resta14. Para sumar y restar, se tiene que

factorizar todos los denominadores, para posteriormente obtener un comn denominador con todos los factores comunes y no comunes elevados a la mxima potencia.

15. x2+9x4x2-11x-3-5x2-3x4x2-11x-3=x2+9x-5x2+3xx-34x+1=-4x2+12xx-34x+1=4x-x+3x-34x+1=-4xx-3x-34x+1=-4x4x+1

16.

17. Multiplicacin de operaciones racionales

18.19. Para efectuar las multiplicaciones se factoriza todos los denominadores y numeradores y posteriormente se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

20. x2-3x2x2+11x+5 6x2+x-13x2-10x+3= xx-32x+13x-12x+1x+5x-33x-1=xx+5

21.22.23.24.25.26. Divisin27.28. Se factorizan los numeradores y

denominadores y se efecta un producto de la siguiente manera, como en cualquier divisin de quebrados.

29. 8x2+2x-34x2-17x-1512x2-20x+76x2-37x+35=(4x+3)(2x-1)

(4x+3)(x-5)(6x-7)(2x-1)(x-5)(6x-7)=(2x-1)(x-5)(x-5)(2x-1)=2x2-10x-x+52x2-x-10x+5=1

30.

1. 2x+4=8x+4=4x=4-4=02.

3. 2x+4=-2x+8x+4=-x+4x+x=4-42x=0x=02=0

4.5. La suma de 15 y 2 veces cierto nmero es 33, encontrar dicho nmero:

6. 15+2x=332x=33-15x=182=97.8. Encuentre el nmero tal que el

doble sea menor en 12 que el triple del nmero.

9. 2x=3x-1212=3x-2x12=x10.11.12. Ecuaciones de segundo grado13.

1. x2-4=0x=4x=22.

3. 8x2-2x=18x2-2x-1=08x2-4x+2x-1=04x2x-1+2x-1=02x-14x-1=0

4. x=12 x=-145. 3.x2-x-6=0x-3x-2=0x=3 x=26.7. La suma de los cuadrados de 3 enteros impares positivos consecutivos es igual a 683, encontrar el menos de ellos:

8. x2+x+22+x+42=683x2+x2+4x+4+x2+8x+16=6833x23+12x3+203=6839. x=15 x=16 x=1710.11. Sistema de ecuaciones12. Resolver un sistema de

ecuaciones quiere decir encontrar los puntos que satisfacen todas las ecuaciones involucradas. Si cada ecuacin responde a una curva, el punto calculado corresponde al punto de interseccin.13. SISTEMAS DE ECUACIONES

CON 2 INCGNITASa) Suma y restab) Sustitucinc) Igualacind) Determinantes14. Resolver el siguiente sistema por el mtodo de suma y resta:

a) 5x-4y=191

b) 7x+3y=182c)

d) 15x-12y=5728x+12y=72e) x=12943=33y=18-73y=-33=-1f)

g) x=19+4y5719+4y5+3y=18h) 1335+28y5+3y=1815y+28y5=18+335y=-1x=19+4-15=-3i)j) Rodrigo vendi 2 autos recibiendo un total de 13000 dlares, si vendi 1400 ms por uno que por el otro Cul fue el precio de venta de cada uno?

k) a+b=13000

l) a+14000=bm) 2a=11600n) a=116002o) a=5800b=5800+1400p) b=7200q)r)s)t)u) Determinantes mtodo de Krammer

v) x+y+z=5w) -4x+2y-3z=-9x) 2x-3y+2z=5

y) t=111-42-32-32=4+12-6-4-9+8=5z)

aa)1=511-92-35-32=20+27-15-10-45+18=-5ab)

ac) 2=151-4-9-3252=-18-20-30+18+15+40ad)

ae)3=115-42-92-35=10+60.af)ag)Propiedades de las desigualdades

TRANSITIVIDAD:

ah)Si a

SUMA:

ai) Si a

7) -a=a=a8)

9) a2=a210)11)

12)x+1313)-3

30)csc=hco=ry

31)r=x2+y2, =angtanyx32)Obtener todas las expresiones

trigonomtricas de las siguientes expresiones.

33)cos=1234)sec=2, y=22-12=335)csc=13, sen=236)

37)tan=32=yx,

38) r=32+22=739)sen=37, cos=27, cot=2340)sec=73, csc=2741)42)Comprobar las siguientes

identidades.

43)tan+cot=seccos44)sencos+cossen=seccos45)sen2+cos2cossen=cosco

s46)sen2+cos2cossen47)

48)cot2=cos2+cotcos249)cot2-

cos2=cos2+coscossen250)cos2sen2-

cos2=sen2cos2+cos2sen2

51)cos2sen21-sen2=cos2cos2sen2=cos4sen2

52)cos4sen2=cos4sen253)

54)1sec2=sen2cos2+cos455)cos2=cos2sen2+cos256)cos2=cos257)

58)cotsec=csc59)cossen1cos=1sen,

1sen=1sen60)

61)sec2+csc2=1sen2cos2

62)sec2+csc2=seccsc263)sec2+csc2seccsc2=164)sec2sec2csc2+csc2sec2c

sc2=1, 65)1csc2+1sec2=166)sen2+cos2=167)

68)cota+b=cotacotb-1cota+cotb69)70)Congruencia en tringulos

71)Se dice que dos tringulos son semejantes si sus tres lados y sus ngulos son iguales.72)Y se denota a travs de:

73)ABCA'B'C' 74)

75)

76)

77)

78)79)Semejanza en tringulos80)Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son iguales, o si sus lados correspondientes son proporcionales.81)Y se denota a travs de:

82)ABC~A'B'C'83)Teorema 1.84)Si dos tringulos son

muatuamente equingulos son semejantes.85)Corolario.- Dos tringulos son semejantes si ambos tienen dos ngulos respectivamente iguales.

86)Cololario.- Si dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.87)Teorema 2.88)Si dos tringulos tienen un ngulo igual comprendido entre lados proporcinales, lo dos tringulos son semejantes.89)Teorema 3.90)Si los tres lados de un tringulo son respectivamente proporcinales a los del otro los dos tringulos son semejantes.91)Teorema 4.92)Dos tringulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares son semejantes.

93)94)Ley de senos.95)En todo tringulo, los lados son proporcionales a los senos de sus ngulo opuestos.96)La ley de los senos puede expresarse como:

97)asen =bsen =csen 98)En donde:

99)ab=sen sen , bc=sen sen , ca=sen sen

100)101) Ley de cosenos.102)103) En todo tringulo, el

cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido entre ellos

104)

105) a2=b2+c2-2bc cos106) b2=a2+c2-2ac cos107) c2=a2+b2-2ab cos108) La recta.109)

110) Al cambiar el parmetro escalar y el vector en direccin de la recta, puede desplazarse sobre la recta hasta un lado u otro conocido con el que obtenemos un vector posicin de cualquier punto sobre la recta.111) Si sustituimos componentes,

112) x,y,z=x0,y0,z0+ta,b,c113) Si igualamos componentes,

obtenemos las ecuaciones paramtricas de la recta

114) x=x0+at115) y=y0+bt116) z=z0+ct117) Si despejamos el

parmetro t de cada una de estas ecuaciones paramtricas obtenemos las ecuaciones en forma simtrica de la recta.

118)

119) x-x0a=y-y0b=z-z0c120)121) ngulo entre dos rectas.

122) 123)

124)125) 126)127)

128) =ang cosu1 u2u1u2129)130) Pendiente de una recta.131) 132)133)134)

135)136)137)138)139)140)141) Perpendicularidad.142) L1L2u1u2=0143)144) Paralelismo145) L1L2u1xu2=0146)147) Coincidencia

148) L1=L2u1xu2=0 y p0 L1 y L2

149)150) La circunferencia151)152) Circunferencia: Es el lugar

de todos los puntos en un plano que equidistan de otro llamado centro.153) Ecuacin ordinaria: con centro en el origen y radio r

154) x2+y2=r2155)156)157) Ecuacin Ordinaria: centro

(h,k) y radio r

158) x-h2+y-k2=r2159) Ecuacin General

Cartesiana: centro C(h,k) y radio r

160) Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0161)162)163) La Parbola164)165) Es el lugar geomtrico de

todos los puntos que

equidistan de un punto fijo foco y una recta Directriz.

166)167)168) Ecuacin Ordinaria169) y2=4px170) Elementos171) a) Vrtice172) b) Semi-parmetro173) c) Eje focal174) d) Foco175) e) Directriz176) f) Lado recto177)178) Ecuacin Ordinaria: vrtice

V(h,k)

179) y-k2=4p(x-h)180)181) Ecuacin General

Cartesiana:

182) Ay2+Dx+Ey+F=0183)184) La concavidad es hacia la

variable lineal (no tiene potencia 2) y en el sentido que indique 4p.

185)186) El lado recto es la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal.187) La elipse

188)189) Es el lugar geomtrico de todos los puntos cuyas

distancias a los focos es una cantidad constante llamada 2a

190)191) Elementos:192) a) Centro: C193) b) Radios: mayor a y menor b194) c) Orientacin (hacia el radio mayor)195) d) Vrtices196) e) Focos 197) f) Lado recto198) g) Directrices199) Ecuacin ordinaria de una

elipse con centro C(h,k)

200) x-h2a2+y-k2b2=1201) Ecuacin General

Cartesiana:

202) Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0203)204) La exentricidad de la elipse

oscila entre 01205)206) La hiprbola207)208) Es el lugar geomtrico de

todos los puntos cuya diferencia de distancias a los focos es una cantidad constante llamada 2

209)210) Elementos:211) a) Centro212) b) Orientacin (hacia la variable positiva)213) c) Semiejes real (a) y transverso (b)214) d) Vrtices A, A215) e) Asntotas

216) f) Focos217) g) Lado recto218) h) Directrices219) Ecuacin Ordinaria de una hiprbola con centro C(h,k)

220) x-h2a2-y-k2b2=1221) Ecuacin General

Cartesiana:

222) Ax2-Cy2+Dx+Ey+F=0