geometria espacio
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ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO
Presentation by Miguel Perez Fontenla, January 2011
ALGEBRA LINEAL
•Espacios Vectoriales•Vectores. Operaciones
•Geometría del Espacio•La Recta en el espacio•El plano en el espacio•Posiciones relativas …
•Producto escalar•Perpendicularidad•Aplicaciones, distancias, ángulos …
•Productos vectorial y mixto•Aplicaciones: Areas, distancias,•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …
Repasando ℝ2
•Vectores en el PlanoUn vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:
1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
AB b a b a
BA a b a b
Repasando ℝ2
•Operaciones con vectores
Repasando ℝ2
Definición: Espacio vectorial
Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:
Respecto a +,
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
El elemento simétrico de es su opuesto
Respecto a *
Distributiva respecto a la + de vectores
Distributiva respecto a la + de escalares
Asociativa mixta
Elemento neutro
Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K
u v v u
u v w v u w
0 0u u
u
u
u v u v
u u u
u u
1u u
Otras definiciones
Definición: vector
A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores
Los denotaremos por letras
Definición: escalar
A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares
Los denotaremos con las letras griegas
, , , , , , , , ,...u v w a b c i k j
, , , , , , ,....
Ejemplos de espacios vectoriales
•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana•n o conjunto de matrices cuadradas n x n• o conjunto de polinomios•V3 o conjunto de vectores libres del espacio•ℝ3 espacio euclídeo
Vectores en el espacio
•Vectores en el espacioUn vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B (origen A y extremo B) y el orden de éstos.
•Elementos de un vector
Vectores en el espacio
Operaciones con Vectores
Operaciones con Vectores
Combinación lineal de vectores
Combinación lineal de vectores
Base de un espacio vectorial
Base de un espacio vectorial
Coordenadas de un vector
•Sistemas de referenciaUn sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo O y una base del espacio
Lo denotaremos por
•El Sistema de referencia canónico
Es el que tiene como punto fijo
O(0,0,0) el origen
y como base tres vectores de
módulo 1
y perpendiculares entre si
, ,u v w
, , ,O u v w
, ,i j k
Coordenadas de un vector
•Coordenadas y módulo de un vector
Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector
Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos vectores
Operaciones con coordenadas
Suma y resta de vectores
Operaciones con coordenadas
Multiplicación de un vector por un escalar
Operaciones con coordenadas
Operaciones con coordenadas
Operaciones con coordenadas
Operaciones con coordenadas
Aplicaciones de los vectores
Punto medio de un segmento
Puntos alineados
Aplicaciones de los vectores
El espacio euclídeo ℝ3
Coordenadas de un vector en ℝ3
3 34
1 4, , / , , 0,0,0 , 3, 1,2 , 7 , , , 2, , ,...
3 5x y z x y z e
Sistemas de referencia en ℝ3
Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por donde
•O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas• son los vectores de su base canónica de V3
, , ,R O i j k
, ,i j k
Ecuaciones de la recta en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación continua
• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Ecuación implícita o cartesiana
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación vectorial
OP OA u
1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación paramétrica
1 1
1 2 3 1 2 3 2 2
3 3
, , , , , ,
x a u
x y z a a a u u u y a u
z a u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación continua
1 1
1 2 3 1 2 3 2 2
3 3
, , , , , ,
x a u
x y z a a a u u u y a u
z a u
1
11 1
32 1 22 2
2 1 2 3
3 3
3
3
x a
ux a u
z ay a x a y ay a u
u u u uz a u
z a
u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación implícita (o cartesiana)
1 2
1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 131 2
3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2321 2 3
2 3
0
0
x a y a
u u u x u a u y u a u x u y u a u az ax a y a
u y u a u z u a u y u z u a u az ay au u u
u u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
EjemploCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director 1,2,1u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ejemplo. SoluciónCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director •Vectorial •Paramétrica
•Continua
•Implícita
1,2,1u
, , 3,1,2 1,2,1x y z
3 1
1 2
2 1
x
y
z
33 1
1 11 2 3 2
2 22 1
2
xx
y yy x z
zz
4 1
3 12 5 5 3 5 7 05 3
1 1 3 6 3 7 02
3
x y
x y x y
y y z y zz
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación General o implícita
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Plano que pasa por 3 puntos
Ecuaciones del plano en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
¿Qué posiciones relativas se te ocurren?
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Paralelas
Secantes
Se cruzan
Coincidentes
?
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Ejemplo
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3
Posiciones relativas de recta y plano
¿Qué posiciones relativas se te ocurren?
1 1 1 1
2 2 2 2
0:
0
A x B y C z Dr
A x B y C z D
3 3 3 3: 0A x B y C z D
Posiciones relativas de recta y planoen ℝ3
•Contenida
•Secante
•Paralela
?
Posiciones relativas de recta y planoen ℝ3
Posiciones relativas de recta y plano
Posiciones relativas de recta y plano
Posiciones relativas de dos planos
¿Qué posiciones relativas se te ocurren?
1 1 1 1 1: 0A x B y C z D
2 2 2 2 2: 0A x B y C z D
Posiciones relativas de dos planos
•Contenida
•Secante
•Paralela
?
Posiciones relativas de dos planos en ℝ3
Posiciones relativas de dos planos
Posiciones relativas de tres planos
¿Qué posiciones relativas se te ocurren?
1 1 1 1 1: 0A x B y C z D
2 2 2 2 2: 0A x B y C z D
3 3 3 3 3: 0A x B y C z D
Posiciones relativas de tres planos
?
Posiciones relativas de tres planos
Posiciones relativas de tres planosAnimacion
http://evamate.blogspot.com/2009/02/videos-para-geometria-2-bach-ccnn.html
http://www.youtube.com/watch?v=9F17hNa3hBEaprox 3:40 minutos en adelante
Posiciones relativas de tres planos
Posiciones relativas de tres planos
Posiciones relativas de tres planos
Posiciones relativas de tres planos
Continua ….
Posiciones relativas de tres planos