156343146 geometria del espacio

7/27/2019 156343146 Geometria Del Espacio

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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” GEOMETRÍA

5º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008

VI. GEOMETRÍA DELESPACIO

1. INTRODUCCIÓN .

La geometría del espacio o estereometría

tiene por objeto el estudio de las figurassólidas o del espacio, es decir de lasfiguras cuyos puntos no pertenecen todosa un mismo plano, si no al espaciotridimensional, por ejemplo el prisma, elcilindro, la esfera, etc.

2. PLANO:Es una superficie ilimitada de puntosdonde toda recta que pase por dos de suspuntos está íntegramente contenida en elplano.

Si A y B pertenecenal plano “P”;entonces la rectaesta contenida en“P”.

“Q” : no es unplano.

POSTULADOS PARA LADETERMINACIÓN DE UN PLANO.

Un plano queda determinado por :

1° Tres puntos no colineales.2° Una recta y un punto exterior a ella.3° Dos rectas secantes.4° Dos rectas paralelas.

2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS

a).- Secantes .- Tiene una recta común.

b).- Paralelos.- No tienen punto común.

2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UNPLANO

a).- Secantes . Tienen un punto común.

A : Punto común

b).- Paralelas: No tiene punto común.

Si “ l “ es paralela a cualquier recta

contenida en el plano entonces “ l ” es

paralelo al plano.

2.3 TEOREMASa) Recta perpendicular a un plano.

Una recta es perpendicular a un planosi es perpendicular a dos rectascontenidas en él.

b) Teorema de las tresperpendiculares

Si por el pie de una perpendicular aun plano se traza una segundaperpendicular a una recta contenidaen el plano el punto de intersección deesta segunda y un punto cualquiera dela primera determinan una terceraperpendicular a la recta contenida enel plano.

3. ÁNGULO DIEDROEs la figura por dos semiplanos quetienen una recta común llamada aristadel ángulo diedro.

Elementos : Caras : P y Q

Arista : AB

Notación : Un ángulo diedro AB.θ es el ángulo plano o rectilíneo de la

medida del diedro.

4. ÁNGULO TRIEDROEs la figura que esta formada por 3regiones angulares los cuales tiene elmismo vértice.

Elementos :• Vértice : “O”

• Arista : OA , OA , OC

• Caras : a°, b° y c°

Teorema : o° < a° + b° + c° <360°

5. POLIEDROEs el sólido formado por 4 o máspolígonos planos, donde cada lado deun polígono pertenece a dos caras delsólido.

• Poliedro convexo

• Poliedro no convexo

Teorema de Euler. En todo poliedrose cumple :

C + V = A + 2

C = # de caras

V = # de vértices

A = # de aristas

124

B

A

B

P

Q

P

P

P// Q

P

L

A

Q

l

P

l

l2

l1

P

l2

l1

l3

P Q

F

H

E θ

B

A

A

B

C

a° b°

c°

O

Q

l

l : recta común





5.1.- POLIEDROS REGULARESSon aquellos poliedros cuyas carasson polígonos regulares, solamenteexisten 5 poliedros regulares y son:

a.- TETRAEDRO REGULAR

G = BaricentroCaras = Triángulos equiláteros

b.- EXÁGONO REGULAR (CUBO)

* Caras : Cuadrados

c.- OCTAEDRO REGULAR

• Caras: Triangularesequiláteras.

d.- DODECAEDRO e.- ICOSAEDROREGULAR REGULAR

* Caras: * Caras :

pentágonos Triángulosregulares equiláteros

6. SÓLIDOSGEOMÉTRICOS

6.1.- EL PRISMAEs el sólido cuyas caras bases sonparalelas y congruentes todas la caraslaterales son paralelogramos.

CLASES :• Prisma recto .- Es aquelcuyas aristas laterales sonperpendiculares a las bases.

• Prisma oblicuo .- Es aquelcuyas aristas laterales no sonperpendiculares a las bases.

• Prisma regular .- Es unprisma recto cuyas bases sonpolígonos regulares.

• Prisma irregular .- Es aquel

cuyas bases son pol ígonoirregulares.

OBSERVACIONES:

1. Un prisma se denomina según elpolígono que limita su base, así losprismas serán tr iangulares,cuadrangulares, pentagonales, etc.,según que sus bases sean regiones

triangulares, cuadrangulares ypentagonales, etc.

2. Un pr isma es recto si las ar istaslaterales son perpendiculares a lasbases, en caso contrario será oblicuo.

3. En un prisma recto las caras lateralesson regiones rectangulares.

4. Un prisma recto es regular si susbases son regiones limitadas por polígonos regulares.

6.1.1.- PRISMA RECTO

a. El área de la

superficie lateral de un prisma rectoes igual al producto del perímetro dela base y la altura.

Slateral = 2P (base) . h

b. El área de lasuperficie de un prisma recto es igualal área de la superficie lateral más 2veces el área de la base.

S total = S lateral + 2S (base)

c. El volumen de

un prisma recto es el producto delárea de la base y su altura.

Volumen = S(base) . h

6.1.2.- PRISMA OBLICUO

a. El área de la superficie lateral deun prisma oblicuo es igual al productodel perímetro de la sección recta y laarista lateral.

Nota .- La sección recta es el polígonocuyos lados son perpendiculares a lasaristas laterales del prisma oblicuo.

Además su área es diferente al áreade la base.

b. El área de la superficie total de unprisma oblicuo es igual al área de lasuperficie lateral más 2 veces el áreade la base.

c. El volumen de un pr isma obl icuoes igual al producto del área de labase y su altura o también elproducto del área de la sección rectay una arista lateral.

6.1.3.- TRONCO DE PRISMA

Es la porción de prisma comprendidoentre una de las bases y la sección quedetermina un planos secante a lasaristas y no paralelo a las bases.

125

Ga a

h

3aS 2=

12aV

3

=

3

6ah=

d

a

a

S=6a2

V=a3

d = a 3

aa

S = 2a23

V =3

2a3

d =a 2

h

B

B

Cara lateral

Base Arista básica

Arista lateral

B

B

Secciónrecta

a

h

Slateral = 2P (sección recta) . a

Stotal = S lateral + 2S(base)

Volumen1 = S(base) . h

Volumen2 = S(sección recta) . a

V = S(base) . h

b

B

ach

G





6.2.- EL PARALELEPÍPEDO Es el prisma cuadrangular cuyas basesson paralelogramos.

Paralelepípedo Rectangular .- Es unparalelepípedo recto, cuyas bases sonrectángulos. También se llama ortoedro orectoedro.

1. El volumen de un paralelepípedoes igual al producto de sus 3

dimensiones.

2. Diagonal : d

6.3.- CILINDRO6.3.1 CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE

REVOLUCIÓN.- Es el sólido generado por un rectángulo,

cuando gira alrededor de uno de suslados tomados como eje.

Nota .- Las fórmulas aplicadas en un prisma recto también se aplican al cilindro de revolución.

a. El área de la superf ic ie lateral deun cilindro recto es igual al producto delperímetro de la base y su altura.

b. El área de la superficie de uncilindro recto es igual al área de lasuperficie lateral más 2 veces el áreade la base.

Stotal = 2πR . g + 2π R2

Stotal = 2πR (g + R)

c. El volumen de un cilindro es igualal producto del área de la base y sualtura.

Volumen = πR2 . g

6.3.2.CILINDRO OBLICUOSi se corta a un cilindro recto con dosplano paralelos se obtiene un cilindrooblicuo cuyas bases son elipses.

Nota.- B: elipseSección recto : círculo

a. El área de la superficie lateral es uncírculo oblicuo es igual al productodel perímetro de la sección recta y lageneratriz.

Slateral = 2πr . g

b. El área de la superficie total de uncilindro oblicuo es igual al árealateral más 2 veces el área de labase (elipse).

c. El volumen de un cilindro oblicuo es

igual al producto del área de la basey su altura o también el producto delárea de la sección recta y sugeneratriz.

6.4.- LA PIRAMIDEEs el sólido cuya base es una regiónpoligonal y cuyas caras laterales son

regiones triangulares, que tienen unvértice común.

6.4.1 PIRÁMIDE REGULAREs la pirámide cuya base es una regiónpoligonal regular y cuyo pie de la alturacoincide con el centro de la base.

a. El área de la superficie lateral de unapirámide regular es igual al productodel semiperímetro de la base y suapotema.

b. El área de la superficie total de unapirámide regular es igual al área de lasuperficie lateral más el área de labase.

c. El volumen de toda pirámide es iguala 1/3 del producto del área de la base ysu altura.

6.4.2 TRONCO DE PIRÁMIDEEs la porción de una pirámide,comprendido entre la base y la secciónque determina un plano secante a lasaristas. Si el plano secante es paralelosa la base, el tronco de pirámide sedenomina de bases paralelas.

6.5.- EL CONO

126

h=3

cba ++

Volumen = a.b.c

d2 = a2 + b2 + c2

B

B

h

R

g

Slateral = 2P(base) . h

Slateral = 2πR. g

2πR

g

Stotal = S(lateral) + 2S(base)

Volumen = S(Base) . h

B

B

hr

Secciónrecta

g

Slateral = 2P(sección recta) . g

Stotal = Slateral + 2S (base)

Volumen = Sbase . h

Volumen = S (Sección recta) .g

B

Apotema dela pirámide(ap)

Vértice Altura de la

pirámide (h)

Slateral = P(base).ap

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen =3

1S(Base) . h

B1

B2

Volumen = )BB.BB(3

h2211 ++

d

a

b

c





Es el sólido geométrico determinado alhacer girar una vuelta a un triángulorectángulo. Alrededor de uno de suscatetos tomado como eje.Por tal motivo se le llama circular recto ocono de revolución.

NOTA.- Las fórmulas aplicadas en unapirámide regular son aplicadas también enel cono circular recto.

1)

2)

Stotal = πR. g+πR2

Slateral = πR (g + R

3)

6.5.1 TRONCO DE CONOEs la porción de cono comprendidoentre la base y la sección que

determina un plano secante a dichocono, si el plano es paralelos a la base,el tronco de cono se denomina debases paralelas.

1)

2)

3)

6.6. LA ESFERAEs el sólido geomét5ico determinado alhacer girar una vuelta a un semicírculo,alrededor de su diámetro tomado comoeje.6.6.1 SUPERFICIE ESFÉRICA.-

Es la superficie que genera unasemicircunferencia cuando gira unavuelta alrededor de su diámetrotomado como eje.

1)

2)

Uso esférico (superficie)Cuña esférica (volumen)

7. TEOREMA DE PAPPUS – GULDIM

a. El área generada por una figura que gira alrededor de un ejecoplanar y exterior, es igual al productode la longitud de la figura, por lalongitud de la circunferencia quedescribe su centro de gravedad.

b. El volumen engendradopor la rotación de una figura que giraalrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del área de lafigura por la longitud de lasemicircunferencia que describe sucentro de gravedad.

Corte del volumenobtenido

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Calcula el volumen de unparalelepípedo rectangular, el área de lasuperficie total es 180m2 la diagonal de labase mide 10m y la suma de laslongitudes de las tres dimensiones es17m.Solución:

Del gráfico: b2 + c2 = 100

2(ab+bc+ca) = 180 ab+bc=90 …(II)a+b+c=17 …

(I)De (I)2:a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 172

a2 + 100 + 180 = 289

a = 3De (II):a(b + c) + bc = 903 x 14 + bc = 90bc = 48

Nos piden:V = 3 x 48

V = 144m3

2.- Halla el volumen de un paralelepípedorectangular sabiendo que las longitudesde sus tres dimensiones se hallan enprogresión aritmética y que ellas suman18m. Su área total es 208m2.

Solución:

* a - r + a + a + r = 18 a = 6* 2[a(a - r) + (a - r)(a + r) + (a + r)a] = 208

a2 - ar + a2 – r 2 + a2 + ar = 1043 x 62 – r 2 = 104

r = 2

127

Slateral = πR. g

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen =1

Sesférica = 4πR2

Volumen =4

πR3

R

R

θ

R

θ

A eje

x

B

l

Corte de lasuperficie obtenida

eje

S = 2π x (l)

ejeCorte delvolumenobtenido

V=2π x (S)

BR

h

g

Volumen =h

Slateral =(PB1 + PB2)g

Stotal = Slateral + SB1 + SB2

S=°90

R2θπ V=

°270

R3θπ

C.G.

S

eje

x

a

10c

b

a

a-r a+r

B1

B2

r

g h

R





Nos pidenV = 6 x 4 x 8V = 192m

3

3.- En un paralelepípedo rectángulo el áreade la base es 60m2, la suma de laslongitudes de todas las aristas es 96m yla suma de los cuadrados de laslongitudes de sus tres dimensiones es200m2. halla la longitud de la altura delsólido.

Solución:

Del gráfico: a x b x Senθ = 60Datos:* 4(x + a + b) = 96

x + a + b = 24 ...(I)

* x2 + a2 + b2 = 200

De (I)2

x

2

+ a

2

+ b

2

+ 2(ax + bx + abSenθ )= 24

2

200 + 2[x(a + b) + 60] = 576x(a + b) = 128

De (I): a + b = 24 – xluego:x(24 - x) = 8(24 - 8) x = 8m

4.- Halla el volumen de un paralelepípedorectangular si su diagonal mide 10u yforma un ángulo que mide 45° con labase y un ángulo que mide 30° con unacara lateral.

Solución:

En el POROR = OP = 25 (Notable 45°)

En el PAR:

AR = 5(Notable de 30° y 60°)

En el OAR:

OA = 5(Teorema de Pitágoras)

Nos piden: V = 5x 25 x5

V = 125 2 u 3

5.- Cuál es el volumen de un prismaoblicuo si la sección recta es un triángulocircunscrito a un círculo de 3m de radio yel área lateral del sólido es 28m2.Solución:

Sea “2p” el perímetro de la sección recta(SR)Dato: AL = 28 2p x a = 28

p x a = 14Del gráfico: ASR = 3pNos piden:V = 3p x aV = 3 x 14

V = 42m3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08

NIVEL I

1).- Se tiene un círculo de diámetro AB; por “A” se levanta una perpendicular al planodel círculo, tomándose en ella un punto“P”. Si “O” es el centro del círculo, PO=5y PB=2√13. Calcula el área del círculo.

a) 3π b) √3π c) 9πd) 16π e) 25π

2).- Verdadero (V) o Falso (F):( ) La proyección de un segmento sobre

un plano es mayor que dichosegmento.( ) La proyección de un segmento sobre

un plano paralelo a él, es congruentecon dicho segmento.

( ) La proyección de un segmento sobreun plano perpendicular a él, es unpunto.

a) VVV b) VFV c) FVVd) VFF e) FFF

3).- Se tiene una circunferencia de centroO y diámetro 12cm. Por O, pasa unarecta LO perpendicular al plano de lacircunferencia. F, es un punto de L, talque OF=8cm. Halla la distancia de F acualquier recta tangente a lacircunferencia.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 11

4).- En una circunferencia de centro O, seinscribe un triángulo ABC, recto en B. Seeleva BF perpendicular al plano ABC,de modo que BF=AC. Si AB=6 y BC=8.Halla OF.a)3 2 b)4 5 c) 5 5

d) 6 5 e) 2 5

5).- Indica verdadero (V) o falso (F):• Tres puntos determinan siempre un

plano.• Dos rectas determinan siempre un

Plano.• Si una recta es paralela a un plano,

será paralela a todas las rectascontenidas en dicho plano.

• Si una recta es perpendicular a unplano, será perpendicular a todas lasrectas contenidas en dicho plano.

Cuantas proposiciones son verdaderas.

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 0

6).- En un cubo, cuyas aristas tienenlongitud “a” cada una, halla la distanciade un vértice al centro de una caraopuesta.

a)2

3a b)3

3a c)

2

2a

d)2

6a e)2

5a

7).- ABCD, es un cuadrado de lado “a”. Por B, se eleva BE perpendicular al plano

ABCD, tal que BE=a. Si “O” es centro delcuadrado y “H” punto medio de CD, hallael área de la región triangular EOH.

a)8

5a2b)

6

5a2 c)8

3a2

d)5

3a2 e)8

5a2

8).- ABC es un triángulo equilátero de lado“L” por B, se eleva BR perpendicular alplano ABC, de modo que: BR=L/2. Setrazan luego RA y RC .Halla el áreade la región triangular ARC.

a)2L

2

b)3L

2

c)24L

2

d) 5L2

e)6L2

9).- Halla el máximo número de planos quedeterminan “n” puntos en el espacio.

a)2

)1n(n +b)

6

)1n(n −

128

x

baθ

θ60m2

5

5

5

A R

P

30°

10

O

5

5 45°

SR

3

a





c)6

)2n)(1n(n −−

d)

2

)2n)(1n(n −−

e)6

)3n)(2n)(1n(n −−−

10).- Halla el máximo de planos que

determinan “n” rectas en el espacio.

a)6

)1n(n −b)

2

)1n(n −

c)2

)1n(n +d)

3

)1n(n −

e)3

)2n)(1n(n −−

NIVEL II1).- Dados 20 puntos no colineales y no

coplanares, ¿cuántos planos comomáximo se podrán determinar con estospuntos?.a) 1130 b) 1140 c) 1150d) 1160 e) 1170

2).- Halla el máximo número de planos quedeterminan 10 rectas y 12 puntos delespacio.a) 220 b) 385 c) 150d) 260 e) 370

3).- Cuántas de las siguientesproposiciones son verdaderas:

( ) Dos rectas paralelas a un plano, sonparalelas entre sí.

( ) Dos rectas perpendiculares a un

plano, son paralelas entre sí.( ) Una recta paralela a uno de dosplanos perpendiculares, es paralela alotro plano.

( ) Tres puntos no colineales determinanun plano y solo uno.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

4).- ABCD: Región cuadrada; PB esperpendicular al plano ABCD; AB=2 Y

PB=3. Calcula la medida del ánguloformado por PD y el plano ABCD.

a) 30b) 37c) 45d) 16e) 15

5).- En la figura ABCD: Región cuadrada,PB es perpendicular al plano ABCD,PB=BC=2 , “O” es centro. Calcula ladistancia de “O” a PD.

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

6).- Cuantos planos se determinan comomáximo con 10 rectas y 8 puntosa) 180 b) 181 c) 182d) 183 e) 184

7).- ABCD cuadrado BP plano ABCD, AD =2√2 Y BP = 3 . Calcula PO. (“o” centrodel cuadro ABCD)

a) √11b) 2√3c) √13d) √14e) √15

8).- Se muestra un círculo de centro “0”PA; es perpendicular al plano del círculom AR = 60; AB = 10 y PR = 6 . CalculaPB.

a) √110 b) √111c) √112 d) √113 e) √114

9).- ABC, es un triángulo equilátero de lado6 cm. Contenido en un plano P. Seelevan : PCRyPBQ ⊥⊥ , demodo que BQ=6cm y CR=3cm. Halla elárea de la región triangular AQR

a) 9 2 b) 9 6 c) 3

2

d) 3 6 e) 2

10).- BAC, es un triángulo recto en A, AB=6 y AC=8. Por su incentro I se eleva

IH Perpendicular al Plano ABC, siendo

IH=3. Halla HC.a) 10 b) 7 c) 5d) 6 e) 8

NIVEL III : SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1. La base de un prisma recto, es base deun tetraedro regular de altura 2 6 cm.Y el área lateral del prisma es igual alárea total del tetraedro. Halla elvolumen del prisma.

a) 50cm b) 51 c) 52

d) 53 e) 54

2. Halla el área lateral de un prismaoblicuo, cuya sección recta es unhexágono regular de área 24 3 U2.

La altura del prisma es 3 3 u y lasaristas laterales forman ángulos de 60°con la base.

a) 140 u2 b) 142 c) 144d) 146 e) 150

3. Halla el volumen de un prisma oblicuotriangular, sabiendo que el área de unacara lateral, es 5cm2 y la distancia dela arista opuesta a ésta es 10cm.

a) 35cm3 b). 25 c) 27d) 28 e) 29

4. La base de un tronco de prisma oblicuotriangular, tiene área 12. Halla elvolumen del sólido, sabiendo que lasaristas laterales están inclinadas 60°respecto a la base y tienen longitudes3, 4 y 5 respectivamente.

a) 22 3 b) 23 3 c) 24 3

d) 25 3 e) 26 3

5. Halla el volumen de un tronco deprisma recto, cuyas bases son untriángulo equilátero FED y un triángulorectángulo isósceles ABC. Además unacara lateral es un rectángulo de lados 3

2 y 6; siendo los mayores son lasaristas laterales.

a) 30 b) 30.5 c) 31d) 31.5 e) 31

6. Halla el área lateral y el volumen deuna pirámide regular hexagonal,sabiendo que las caras laterales formandiedros de 45° con la base y las aristasbásicas tienen longitudes “a” Dar comorespuesta el volumen.

a)3

a4

5

b)3

a2

3

c)

3a4

3

d) 3a4

1e) 3a

7

3

7. Las áreas de las bases de dospirámides semejantes, son entre si 4 esa 9. Halla la relación de sus volúmenes.

129

AD

CB

P

AD

CB

P

O .

A

B

P

X

O

C

D

A

P

R

B

.O





a) 1/8 b) 8/27 c) 27/64d) 1/27 e) 1/64

8. En que relación se encuentran losvolúmenes de los sólidos parciales quedetermina el plano mediatriz de laaltura de una pirámide.

a) 1/8 b) 3/8 c) 5/6d) 1/7 e) 1/2

9. El volumen de un tetraedro ABCD, es30 u3 sobre ADy AC, AB , setoman los puntos “M”, “N” y “R”,respectivamente. Si : AM=MB; AN=2NCy 2AR=3RD, Halla el volumen delsólido BCDRMN.

a) 20u3 b) 21 c) 24d) 26 e) 28

10.El volumen de un tronco de pirámidecuadrangular regular es 74 cm3. Si sualtura mide 6cm y el área de una de lasbases es 16 cm2 . Halla el área de laotra base, en cm2.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 5

11.Un cilindro está lleno de agua hasta lamitad. Se suelta un pedazo metálico yel nivel del agua sube a 3,5 cm. Si eldiámetro del cilindro es 8cm. ¿cuál esel volumen del pedazo?.

a) 150 b) 152 c) 174d) 176 e) 175

12. AB y CD , son generatricesopuestas de un cilindro circular recto yO punto medio deBC . Siendo E un

punto de CD , tal que AEOE⊥ ,CE = 8cm. Y ED = 9cm. Halla el áreatotal del sólido.

a). 270π b) 272π c) 274

π

d) 276π e) 278π

13.En un vaso que tiene la forma de uncilindro recto de resolución, la altura esel doble del diámetro de la base. Si elvaso contiene un líquido que ocupa las¾ partes de su capacidad, determinar el ángulo que debe inclinarse desde suposición normal hasta el instante en

que el líquido esté por derramarse.a) 43° b) 44° c) 45°d) 46° e) 47°

14. Halla el volumen de un cilindro oblicuo,de base circular; sabiendo que lageneratriz mide igual que el diámetrode la base y la distancia del centro Qde una de dichas bases a los extremosde un diámetro AC de la otra, son 9y 13cm.;respectivamente.

a) 3cm1460π b)

3

cm1461πc) 3cm1462π d)

3cm1463π

e) 3cm1464π

15.Una población con 5 000 habitantesconsume en promedio por persona 20litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico queabastezca a la población y que tengoademás capacidad para una reserva de25% del consumo diario y tal que laaltura sea 4 veces el diámetro.

a)32

1

πb)

32

2

πc)

32

3

π

d)3

3

5

πe)

32

5

π

16.La superficie lateral de un cono derevolución se interfecta por un planoparalelo a la base, determinando uncono parcial. Si las áreas laterales delcono parcial y tronco del cono, sonentre sí como 4 es a 5; Halla la relaciónde volúmenes del cono parcial al conototal.

a) 1/8 b) 1/27 c) 8/27d) 27/64 e) N. A.

17. Dado un cono de revolución, de vérticeE, y volumen 54cm3 ,se traza undiámetro AC en el círculo de la base.Halla el volumen del tronco de conoque se determina al trazar un planoparalelo a la base, por el baricentro dela región triangular AEC

a) 35cm3. b) 36cm3. c) 38cm3.d) 39cm3. e) 34cm3.

18. Un cono de revolución, se llamaequilátero, si la generatriz mide igualque el diámetro de la base. Halla elvolumen de un cono equilátera,conociendo el radio r de la esferainscrita en él.

a) 2πr 3. b) 3πr 3. c) 4πr 3.d) 5πr 3. e) 6πr 3.

19.Halla el volumen de un tronco de conode revolución, sabiendo que los radiosde las bases, miden 8 y 12cm.,respectivamente y que el área de lasuperficie lateral es igual a la suma de

áreas de las bases.

a) 3244 π/5cm3. b) 3234 π/5cm3.c) 3224 π/5cm3. d) 3264 π/5cm3.e) 3274 π/5cm3.

20.Halla el volumen de un tronco de conode revolución, cuyas bases tienenradios 4 y 9cm., respectivamente. Elárea total del cono, es 266πcm2.

a) 530πcm3. b) 531πcm3.

c) 532πcm3. d) 533πcm3.e) 534πcm3.

21.En una esfera de radio “R”, una zonaesférica de altura R/4, es equivalente aun Huso. Halla el ángulocorrespondiente al Huso.

a) 25° b) 35° c) 45°d) 55° e) 65°

22.Halla el volumen, en m3, de unsegmento esférico de una base, cuyocasquete tiene área 40π m2 y el radiode la esfera mide 10m.

a) 200π/3 m2 b) 300π/3 m2

c) 500π/3 m2 d) 400π/3 m2

e) 600π/3 m2

23.Halla el área de la superficie del sólidoque se genera al girar la f igurasombreada, alrededor del eje diametralCD , si mBC =120° y radio “r”.

a) 3/2πr 2 b) 5/2πr 2c) 7/2πr 2

d) 9/2πr 2 e) 1/2πr 2

24.Se funde una bola de plomo de radio8cm para obtener luego bolitas delmismo material, con radio 1cm cadauna. ¿Cuántas bolitas, como máximose obtendrán?.

a) 14 b) 24 c) 34d) 54 e) 64

25.En un recipiente que tiene la forma deun cilindro circular recto de altura igual

al radio, se deposita arena, adoptandoésta la forma de una semiesfera cuyocírculo máximo coincide con la base delcilindro igual al radio de su base. ¿Quéfracción del volumen del recipiente noestá ocupado?.

a) 2/3 VC b) 4/3 VC c) 5/3 VC

d) 7/3 VC e) 1/3 VC

130





CLAVES DE RESPUESTAS

NIVELI

1) c 2) c 3) c

4) c 5) a 6) -

7) e 8) a 9) c

10)a

NIVEL II

1)b 2)b 3)b 4)b 5)c

6)b 7)c 8)b 9)b 10)b

NIVEL III

1) e 2) c 3) b 4) c 5)d

6) c 7) b 8) d 9) c 10)d

11)e 12)d 13)c 14)a 15)e

16)c 17)c 18)b 19)d 20)c

21)c 22)d 23)d 24)e 25)e

VII. GEOMETRÍAANALÍTICA

1. ECUACIÓN DE LARECTA

1.1. LA RECTA.Es un conjunto de puntos tal que al tomar dos puntos cualesquiera, la pendiente esconstante.

1.2.PENDIENTE DE UNA RECTA (m)Es la tangente del ángulo de inclinación dela recta.

El ángulo de inclinación se mide desde elsemi-eje positivo de las x en sentidoantihorario a la recta.

α= tanm 12

12

xx

yym

−

−

=

1.3. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

En general :12

12

mm1

mmtg

+

−

=φ

Donde : m2 = tanα; m1=tanβ

Observación

I) Si L1 // L2 : m1 = m2

II) Si L1 L2 : m1 x m2 = -1

1.4. ECUACIÓN DE LA RECTA :

A.- ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Datos:m : pendiente(x0; y0) : punto de paso

B) ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

∆X + BY + C = 0o A, B y C son coeficientes no

todos nulos a la vez.o La recta es horizontal cuando :

A=0 y B ≠ 0o La recta es vertical cuando: B=0

y A ≠ 0

o La recta es oblicua cuando A ≠

0 y B ≠ 0.

Donde . m= -B

A

1.5. DISTANCIA DE UN PUNTO A

UNA RECTA

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Halla la pendiente de la recta que pasapor los puntos (2; -2) y (-1; 4)Solución :

Hemos visto ya como calcular lapendiente :

m =12

12

xx

yy

−

−; donde (x1; y1) = (2; -2)

(x2; y2) = (-1; 4)m =

21

24

−−

−−= -2

2) Halla la ecuación de una recta cuyoángulo de inclinación mide 45º y queinterseca al eje Y en el punto (0; 4)

Solución :

Conocemos θ=45º, también b = 4

Además sabemos que: m=tgθ = tg45º=1

Aplicando : y=mx+b ∴ y = x + 4

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº091).- Señala la ecuación de la recta que

pase por (0,1) y (-3,0)

a) x+3y-3=0 b) x-3y+3=0c) 3x-y=1 d) 3x+y=1e) N.A

2).- Halla “a” para que las rectas :L1 : 2x – 3y+7=0

131

LY

X

α

(x1, y

1)

(x2, y

2)

L1

α

L2

φ

β

Y L

X

(x0; y

0)

Ax + By + CP(x

0, y

0)

dd=

22

00 CBY AX ++

(2; -2)

Y

X

(-1; 4)

X

(0;4)=(0;b)

45º

Y





L2 : ax+2y+1=0 ; sean paralelas

a) 4/3 b) 3/4 c) –4/3d) –3/4 e) 1

3).- Halla “a” para que las rectas:

L1 : 2x+5y+7=0L2 : ax-y+1=0 ; sean perpendiculares

a) 5/2 b) –5/2 c) 2/5d) –2/5 e) N.A

4).- Halla la ecuación de la recta cuyosinterceptos con x e y miden 3 y 2respectivamente.

a) 2x + 3y=6 b) 2x-3y=6c) 3x+2y=6 d) 3x-2y=6 e) x+2y=12

5).- ¿Cuál es la pendiente de :L: 3y-2x+1=0?

a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3

d) –2/3 e) –1/3

6).- Calcula el área del triángulo queforman la recta : L : 2x-y+18=0; con losejes cartesianos.

a) 18 b) 9 c) 81 d) 27 e) N.A

7).- Calcula el área del cuadriláteroformado por las rectas : L 1: y=3x; L2: x=4;L3: y=18 y el eje de ordenadas.

a) 24 b) 12 c) 48 d) 96 e) N.A

8).- ¿Cuál es la ecuación de la recta quepasa por: A(-2,3) y B(1,2)?

a) x+3y-7=0 b) 2x+3y-8=0c) 2x-3y+4=0 d) x+3y-1=0e) N.A

9).- Halla la ecuación de la recta mediatrizdel segmento cuyos extremos son A(-1,5) y B(3,9).

a) 2x+y=3 b) x+y=4c) 2x-y+7=0 d) 3x+y=2e) N.A

10).- Halla la ecuación de la mediatriz delsegmento que los ejes coordenadosdeterminan en la recta: L : 4x – 3y-12=0

a) 4x+3y+18=0 b) 6x+8y+7=0c) 6x+8y+9=0 d) 3x+4y-5=0

e) 4x-3y-2=0

11).- Halla la ecuación de la recta que pasapor el punto P(-1;2) a igual distancia delos puntos A(-5;2);B(1;6)

a) 2x-y=0 b) 2x+y=1c) 2x+y=0 d) 2x+3y=5e) x+y-1=0

12).- Halla el valor “K” para que la rectaL:2x+3y+K=0; forme con los ejescoordenados un triángulo del área iguala 3u2.

a) 1 b) 3 c) –5 d) –6 e) 4

13).- Halla la ecuación de la recta que pasapor (0,0) y por el punto de intersecciónde las rectas :

3x+4y-7=05x+3y-8=0

a) y=2x b) y=x c) y=-xd) y=3x e) 2y=x

14).- Halla la ecuación de la recta quecontienen a la altura relativa al lado BC

del triángulo ABC, si: A(-11;-1);B(2;1);C(1;3)

a) y=x=1 b) y=x+2 c) 2y=x+1d) 2y=x+2 e) N.A.

15).- Indica la ecuación de la mediatriz delsegmento cuyos extremos son:

A(8;10) y B(-2;4)

a) 5x-3y=36 b) 3x+5y=36c) 5x+3y=36 d) 3x-5y=36e) N.A

16).- Halla la ecuación de la recta cuyainclinación es 30º y su ordenada -2.

a) 3 x-3y-6 b) x- 3 y-6

c) 3 x+3y-6 d) x+ 3 y+6

e) N.A

17).- Halla la ecuación de la recta cuyainclinación es 135º y su ordenada 3.

a) x+y+3=0 b) x-y-3=0c) x+y-3=0 d) x-y+3=0e) N.A

18).- ¿Cuál es la pendiente de la recta3x+4=0?

a) 2/3 b) 4/3 c) 1/3d) 3/2 e) N.A

19).- Calcula la pendiente de la recta x/3 =y/7

a) -5/3 b) -7/3 c) -2/3d) 7/3 e) N.A

20).- Halla la ecuación de la recta que pasapor los puntos : P(-3;-2) y Q (2;3)

a) x+y+1=0 b) x-y-1=0c) x-y+1=0 d) x+y-1=0e) N.A

21).- Halla la ecuación de la recta que pasapor los puntos: R(-4;1) y M(3;-2)

a) 3x+7y+5=0 b) 7x-3y+5=0c) 3x-7y-5=0 d) 7x+3y-5=0e) N.A

22).- Los vértices de un cuadrilátero: A(-1;1); B(3;0); C(4;3); D(0;2). Halla laecuación de la diagonal mayor.

a) 4x-5y+1=0 b) 4x-5y-1=0c) 4x+5y+1=0 d) 4x+5y-1=0e) N.A

23).- ¿Pertenece el punto P(3;9/2) a larecta que pasa por los puntos A(5;7) yB(2;3)?

a) Si b) Noc) Puede ser d) Faltan datose) N.A

24).- La pendiente de una recta es 8, y

pasa por el punto P(7;1). Halla laecuación.

a) 4x-y=33 b) 4x-y=55c) 8x-y=55 d) 8x+y=55e) N.A

25).- Una recta pasa por Q(-5;3) y unaperpendicular a ella desde el origenforma con el eje “x” un ángulo de 225º.Hall la ecuación de la primera recta.

a) x+y+8=0 b) x-y-8=0c) x-y+8=0 d) x+y-8=0e) N.A

26).- Halla la ecuación de la recta que pasapor P(3;-2) y es paralela a la recta quepasa por P(3;-2) y es paralela a la recta: 2x+3y=5

a) 2x+3y=0 b) 2x+3y=1c) 2x+3y=2 d) 2x+3y=3e) N.A

27).- Halla la ecuación de la recta que pasapor (5;3) y es perpendicular a la rectaque une los puntos : (5;2) y (-3:4).

a) 3x-4y-11=0 b) 3x+4y-11=0c) 3x+4y+11=0 d) 4x-3y-11=0e) N.A

28).- ¿Qué valor debe tener “m” para quela recta y=mx-7 pase por la intersecciónde las rectas y=2x-4; y=5x-13?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A

132





29).- ¿Cuál es la ecuación de la recta quepasa por el origen y es perpendicular ala recta 3x-2y=6?

a) 2x+3y=0 b) 2x+3y=1c) 2x+3y=2 d) 2x+3y=3e) N.A

30).- Halla la ecuación de la recta que pasapor la intersección de las rectas 2x+3y-

12=0 y 3x+2y-13=0 y sea paralela a larecta x+y+7=0

a) x+y-7=0 b) x-y+7=0c) x+y+5=0 d) x+y-5=0e) x-y+5=0

31).- Sea el triangulo formado por lospuntos A =(2;-3), B=(3;-1), C= (-1;3).Halla la ecuación de la mediana relativaal lado BC.

a) x+4y+5=0 b) x-4y-5=0c) 4x+y-5=0 d) 4x-y+5=0e) x+4y-5=0

32).- Halla la ecuación de la rectaperpendicular a y=3x+5; tal que pasepor (2;3)

a) 3y+x-11=0 b) y+3x-11=0

c) 3y+3x-11=0 d) 3y+x-10=0

e) 3y+x+11=0

33).- Halla la ecuación de la recta que pasapor (5;7) y sea paralela a : y=x/3 + 1

a) 3y+x-16=0 b) 3y-x-16=0c) y-3x-16=0 d) y+3x-16=0e) N.A

34).- Halla la ecuación de la recta que seaparalela al eje de las ordenadas y pasapor una distancia de 3 del origen en lesemieje positivo de las abscisas.

a) x=-3 b) y=-3c) y=3 d) x=3

e) N.A

35).- Calcula la ecuación de la recta quepasa por el origen y por la intersecciónde las rectas : y=4; x=3

a) 3y=4x b) 4y=3xc) y=4x d) y=3xe) 3y=-4x

36).- Calcula “n” si la rectas sonperpendiculares : L1 : (n-1)y=5x+n-7,L2

: 3y=2x+n-nx+3

a) 2,5 b) 3,5 c) 2d) 7 e) 4

37).- Calcula el valor de “k” para que larecta 4y+kx+8=0 pasa por laintersección de las rectas :

L1 : 5y+6x+7=0; L2 : 2y-3x-8=0

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 038).- Halla la pendiente de las rectas L 1

que forma un ángulo de 45º con L : 3x-y+1=0 y que pasa por (0;1)

a) 1/2 b) -2 c) 2d) 2/3 e) 1/2 y -2

39).- En la figura dada, calcula la ecuaciónde la recta “L”

a) 4y + 3x=16 b) 4y – 3x = 116

c) 3x – 4y = 16 d) 3y + 4x =16e) 3y – 4x = 16

40).- Del gráfico, calcula “m+n”L1 : 3y + 4x -12 = 0

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) c 3) a 4) b

5) c 6) c 7) c 8) a

9) e 10)b 11)c 12)d

13)b 14)e 15)d 16)e

17) c 18) e 19) d 20) c

21) a 22) b 23) b 24) c

25) a 26)d 27)d 28)c

29)a 30)c 31)c 32)a

33) b 34)d 35)a 36)b

37)c 38)b 39)b 40)d

133

L y

xB37º

A

4

0

L1

y

x

n

4

0

m(2, 3)

(5, 4)

156343146 geometria del espacio

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