Cuenca, 11 de noviembre de 2013

Clase 13 Geometra del espacio

Figuras geomtricas en el espacio

Definiciones:

Geometra del espacio: Rama de las matemticas encargada de las propiedades y medida de las figuras geomtricas en el espacio tridimensional, denominados slidos en el espacio como por ejemplo el cono, el cilindro la pirmide , la esfera, etc. Tambin llamada geometra tridimensional o Estereometria.

Figura en el espacio o cuerpo geomtrico es el conjunto de puntos que no estn contenidos en un mismo plano, es la porcin de espacio limitado.

Posicin relativa de algunas figuras en el espacio

Posicin relativa de los rectas en el espacio:

1. Rectas paralelas: Dos rectas paralelas siempre estn contenidas en un mismo plano. Ejemplo L1 y L3

2. Rectas alabeadas: Dos rectas alabeadas no se interceptan, no son paralelas y no existe un plano que las contenga. Se encuentran en planos paralelos, pero las rectas no son paralelas. Ejemplo L1 y L2.

3. Rectas secantes: Dos rectas secantes son siempre coplanares (estn en un mismo plano) y se intersectan en un punto. Ejemplo L4 y L2.

Posicin relativa de plano y recta en el espacio

Recta conten ida en el plano

Cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano

Recta y plano paralelos cuando n ingn punto de la recta pertenece al plano

Recta y plano secantes la recta y el plano tienen un punto en comn

Posicin relativa de dos planos en el espacio

Dos planos pueden tomar las siguientes posiciones relativas en el espacio: coincidentes, paralelos y secantes.

Dos planos coincidentes tienen puntos en comn. Dos planos paralelos no tienen puntos en comn. Dos planos secantes tienen una recta en comn.

Nota: Un plano siempre divide al espacio en dos semiplanos.

Angulo Diedro.- Definicin: Un ngulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una arista comn.

A los semiplanos se les denomina cara del diedro y, al borde comn arista del diedro. ngulo rectilneo correspondiente a un diedro es el ngulo plano formado por dos rectas, una en cada cara, perpendiculares a la arista en el mismo punto. La medida del ngulo diedro es igual a la medida del ngulo rectilneo

MN y NP perpendiculares A AB

NGULOS POLIEDROS

Un ngulo poliedro es la regin del espacio limitada por tres o ms planos que concurren en un punto llamado vrtice.

Cada uno de estos planos es una cara del ngulo poliedro.

Dos caras consecutivas forman un ngulo diedro. El ngulo poliedro ms sencillo es un ngulo triedro, formado por tres caras.

Una propiedad del ngulo poliedro es que tiene el mismo nmero de caras y de ngulos diedros que de aristas.

CUERPOS GEOMETRICOS

Clasificacion:

Poliedros: es un slido con lados planos (del Griego poly- que significa "muchas" y -edron que significa "caras"). Ejemplo: pirmides y prismas. Cada superficie plana (o "cara") es un polgono.

Elementos del poliedro

En cada vrtice deben concurrir al menos tres aristas. La diagonal del poliedro es el segmento de recta que une dos vrtices situados en caras diferentes.

Clasificacin de los poliedros

Los poliedros tienen mltiples clasificaciones segn su procedencia, por ello podemos hablar de Convexos, Cncavos, Regulares y e Irregulares.

Poliedro Convexo

Se dice que un poliedro es convexo cuando toda recta slo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Propiedades:

Cada arista de una cara pertenece tambin a otra cara y nicamente a otra. Dichas caras se denominan contiguas.

Dos caras contiguas estn en planos distintos. Est limitado por polgonos convexos. El nmero de aristas (A) es igual al nmero de caras (C) ms el nmero de vrtices (V)

disminuido en dos. A = C-(V-2)

C + V A = 2.

Poliedro Cncavo

Se dice que un poliedro es cncavo cuando una recta corta su superficie en ms de dos puntos, por lo que posee algn ngulo diedro entrante.

Denominacin segn el nmero de caras

# caras: Nombre:

4 tetraedro 5 pentaedro 6 hexaedro 7 heptaedro 8 octaedro 10 decaedro 12 dodecaedro 20 icosaedro

Poliedro Regular

Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud, a los poliedros regulares se les conoce como solidos platnicos y son cinco:

Tetraedro regular

Su superficie est formada por 4 tringulos equilteros iguales.

Tiene cuatro vrtices cuatro ngulos triedros, seis ngulos diedros y seis aristas.

Es una pirmide triangular regular

Hexaedro regular o cubo

Su superficie est constituida por 6 cuadrados

Tiene 8 vrtices 8 ngulos triedros, 12 ngulos diedros, 12 aristas y 4 diagonales concurrentes y congruentes.

Octaedro regular

Su superficie consta de ocho tringulos equilteros.

Tiene 6 vrtices, 6 ngulos tetraedros, 12 ngulos diedros y 12 aristas.

Se puede considerar formado por la unin, desde sus bases, de dos pirmides cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro regular

Su superficie consta de 12 pentgonos regulares.

Tiene 20 vrtices, 20 ngulos triedros, 30 ngulos diedros y 30 aristas.

Icosaedro regular

Su superficie consta de veinte tringulos equilteros.

Tiene 12 vrtices, 12 ngulos pentaedros, 30 ngulos diedros y 30 aristas.

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polgonos que no son todos iguales.

Otro tipo de poliedros importante son los prismas y las pirmides

Prisma es un slido determinado por dos polgonos paralelos y congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, denominados caras.

Los primas se nombran segn el polgono de la base, as:

Elementos del prisma

Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas bsicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales; stas son iguales y paralelas entre s.

Clasificacin de los prismas

Los prismas se clasifican segn la forma de sus caras laterales en:

Prismas rectos: Son aquellos cuyas caras laterales son rectngulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. En los prismas rectos la altura es congruentes con la longitud de las aristas laterales. Prismas oblicuos: Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectngulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

A su vez, los prismas rectos se clasifican en:

Prismas regulares: Son aquellos cuyas bases son polgonos regulares. Prismas irregulares: Son aquellos cuyas bases son polgonos irregulares.

Paralelepipedos es un prisma cuyas bases son paralelogramos, es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos.

A un paraleleppedo recto rectangular se denomina ortoedro

Aplicaciones:

Demostrar que en un paraleleppedo recto rectangular el cuadrado de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.

D2= a2+b2+c2

Calcular la longitud de la diagonal de un cubo

Piramides: Una pirmide es un poliedro limitado por una base, que es un polgono; y por caras, que son tringulos coincidentes en un punto denominado vrtice.

Altura (h) es la distancia mnima entre el plano que contiene la base y el vrtice de la pirmide.

Una pirmide recta es un tipo de pirmide cuyas caras laterales son tringulos issceles. En este tipo de pirmides la recta perpendicular a la base que pasa por el pice (altura) equidista de los vrtices de la base, es decir corta a la base por su circuncentro.

Una pirmide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son tringulos issceles.

Una pirmide regular es una pirmide recta cuya base es un polgono regular.

En una pirmide regular recta se denomina apotema la altura de sus caras, que son tringulos issceles.

La pirmide truncada es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar una pirmide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vrtice.

Una pirmide truncada tiene dos bases paralelas semejantes, las caras laterales son trapecios que unen los lados semejantes de las bases paralelas y la altura es la distancia mnima entre las bases.

La altura de las caras laterales (trapecio) se denomina apotema de la pirmide.

Aplicaci n:

Calculamos la apotema lateral del tronco de pirmide, conociendo la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado: