02 diapos geometria espacio ii

7/23/2019 02 Diapos Geometria Espacio II

1/20


2/20

Generatriz

Directriz

Superficie

Prismtica

SUPERFICIE

CILINDRICASUPERFICIE

PRISMTICA

Es la superficie generada por una recta

secante a un plano que se desplazaparalelamente a travs de una

poligonal cerrada contenida en dicho

plano. Directriz

Generatriz

Superficie

Cilndrica


3/20

PRISMA

h

bP

Desarrollo de la " "SUPERFICIE L

del PRISMA

ATERAL

RECTO

B

PRISMA RECTO

ristas Laterales

ristas basales

A

F

B C D E

G H I J

LA =rea Lateral bP h

Area total

TA =

LA B

2( )A

Volumen: BA h

del desarrollo de la

Superficie Lateral

iagonal

B

2 2 2

=Pd + h

d

Es un poliedro comprendido entre dos polgonos

congruentes

(bases) y paralelos, cuyas

caras

laterales

son

regiones

rectangulares

perpendiculares

a

las

bases

.

Perimetro de la Base

V=

iagonal del Prisma

I

J

F

G

D

E

A

BC

H


4/20

1O

2O

r

h h

Desarrollo de la " "SUPERFICIE

del Cil

LATE

in

RAL

dro

Perimetro de Base

dg

CILINDROCILINDRO CIRCULAR

RECTO:

=2r

Area Lateral

.

BP h =2r.g

Es un slido generado por la

rotacin

completa

de

una

regin

rectangular, teniendo como

eje

de

giro

a

una

recta

que

contiene

a

uno

de

sus

lados

6

ABCD: SECCION AXIAL del cilindro

CILINDRO EQUILATERO

LA =

bP

ABCD (SECCION AXIAL)Si

es un cuadrado, osea 2r g =

r

r

ener triz

Eje del

ilindro

Area Total )L B

A + 2(A =T

A = 2r.g+ 22(r )

Volumen

.

BA h=

2

r.gV=


5/20

90

TA = 2( +ab bc+ac)

V=abc

PARALELEPPEDOS

Cubo o Hexaedro Regular

aralelepipedo Recto

Paralelepipedo Rectangular

Rectoedro u Ortoedro)

Romboedros

D = a 3

2

T

A = 6a

3V =a

RegionesParalelogramicas

Todas sus caras sonRegiones Rombales

Todas sus CarasRegiones

Rectangulares

BasesRomboide

Caras LateralesRegiones

Rectangulares

a

bc

2 2 2 2= + bD +a c

22

T aDA = + b+c+

D


6/20

TRONCO DE

PRISMA RECTO

: Medida del entre

los Planos que contiene

Angulo Die

n a las B

dro

ases

L: Suma de las Areas de las caras lateA rales

LT=AA +A+B

V=

= + +

a

1G

2G

e

b

c

1 2

Donde :

G y G : Baricentros de las

bases triangulares.

: Distancia entre los

baricentros de las

e

bases.

.

B.e

B=A .cos

V=B.e

+= B.

3

a b

Es una porcin de prisma recto comprendido entre

una

de

sus

bases

y

una

seccin

planadeterminada

por

un

plano

secante

no

paralelo

base

.

e=3

b+a

Tronco de Prisma Triangular Recto

Area

de la superficie Lateral

(A

L

):

Area

de la superficie Total

(A

T

):

Volumen:

a

be

a

e

V=B.e

=B3

a.

e3

a=


7/20

V= .eBl

.

+ + + d

4

a b c= Bl

Tronco de Prisma recto de Base Cuadrada

a b c d

4

e + + +

=

DA

BC

F

G

E

Ha

b c

d

e

1Bl

Bl

rea de la base inferior

Volumen:

B :l

rea de la base superior1B :l

e=2

d+b

a

2

c+a+c=b+d


8/20

Tronco de Cilindro

Circular recto

L

A (Perm. Base).e

T

A

B

V A .e

Elipse

G

r1O

2O

e

g g gg

G-g

G

= +

Perim. Base=2r

r r

r

2 r.

e

LA

BA ElipseA 2 r.e

2r .a.b

2 2 2

=( - )G g +(r)

Es una porcin de cilindro de revolucincomprendido entre una de sus bases y un

plano no paralelo a dicha base secante atodas sus generatrices.

=

B

V A .e

a

b


9/20

SUPERFICIE PIRAMIDAL SUPERFICIE CNICA


10/20

PIRMIDE

O

A

B C

D

H P

h p

a

PIRMIDE REGULAR

L pA (Semiperimetro Base).a

T L BaseA A A

Base1

V A . h3

: Medida del angulo que forman el apotema

de la piramide con la base

Elementos

O : Vrtice o Cspide

:Caras Laterales

ABCD: Base

OP= ap: Long. Apotema de la PirmideHP:Long. Apotema de la Base

DOC DOA AOB y BOC

: Medida del angulo que forman laarista lateral con la base.


11/20

CONO

CONO CIRCULAR RECTOElementos

Crculo de centro O: Base

Circunferencia de centro O:

Directriz

Regin triangular AVB:

Seccin Axial

V: Vrtice o Cspide

h :Altura

r : Radio de la Baseg : Generatriz

g h

r

h

r

V

O

L

A

A B

2 r

Desarrollo de la

del CONO

Superficie ateral

g g

g

L

A (Semiperimetro Base).g .r g

T L Base

A A A2

.r g r ( )r g r

Base

1V A . h

3

21 ( ).3

r h


12/20

TRONCO DE PIRMIDE REGULAR TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO

h ap

2 2 R LA

1

2 r

h g

R

r

Desarrollo de la Superficie Lateral

del Tronco de Cono

h

R

r

g

L p

Semiperimetro SemiperimetroA = + .(a )

Base Mayor Base Menor

T L B bA A A A

B b B bh

V A A A .A3

T

A

LA

V

( ). R r g

2 2

( ).

R r g R r2 2 2 2

.3

hR r R r

2 2..

3

hV R r R r

SEMEJANZA DE CILINDROS


13/20

SEMEJANZA DE CILINDROS

1Volumen: V

2Volumen: V

r

G

R

Hh

g

BAbA

B

H

2t

2pa

2

2m

BA

H

1Volumen: V

2Volumen: V

h1

B

1t

1p

a

bA

1m

1h

G

R

Hg

h

r

1Volumen: V 2Volumen: V

BA

bA

SEMEJANZA DE PIRAMIDES

SEMEJANZA DE CONOS

...

g r

G R

3 3

1

2

V

V

...

g r

G R

1

2

2 2T

T

A

A

b

B

A

A

1

2

3

T1

2 T

AV

V A

3

1

2

2

T 1

T 2

A V

A V

1

2

1

2

...p

p

a mh

H a m

3 33

1

2

V

V

1

2

...p

p

ah

H a

1

2

22

T

T

A

A

b

B

A

A

1

2

3

T1

2 T

AV

V A3

1

2

2

T 1

T 2

A V

A V

...g r

G R

3 31

2

V

V...

g rG R

1

2

2 2

T

T

AA

b

B

AA

1

2

3

T1

2 T

AV

V A3

1

2

2

T 1

T 2

A V

A V


14/20

Ejemplo 01:Dos cilindros circulares rectos sonsemejantes y las reas de sus superficies totalesson 18 y 50. En qu razn estn sus volmenes?

Ejemplo 02:Las bases de un tronco de pirmideregular tienen reas 16u2 y 9u2, siendo su altura 2u.Halle el volumen de la pirmide deficiente (en u3).

Ejemplo 03: El volumen de un cono de revolucin es27u3, su altura es trisecada por dos planos paralelosa su base, calcular el volumen (en u3) del solidocomprendido entre los dos planos paralelostrazados.

1Volumen: V

2Volumen: V

r R

Hh

T1

A 18 T1

A 50

1

2

3

T1

2 T

AV

V A

18

50

3

1

2

V

V

9

25

3

3 27

5 125

3

2 ap

DV

TV

Piramide

Deficiente

o

Parcial

Piramide Deficiente Piramide Total

B

9

B 16

h h

H

2

b

B

A

A

9

16 2

h

h

2

9

16 2

h

h

3

4 2h

h

6h

1: ( ).( )

3D bPide V A h

1(9).(6)

3DV

318DV u

h

1V 27

2V

h

h

3V

xV

311

3 27 27

hu

h

V

V

33

3

1

VV

V

312 88

3 27 27

hu

h

3

22 2

1

V VV V

V

8

: 8 1

Pide x 2 3V = V - V

3 xV = 7u


15/20

ESFERA

Esfera

V =

Superficie

Esfrica

A = 4

RO R

R

Crculo Menor

Crculo Mayor

PlanoSecante

PlanoTangente

360

2R

CIRCULO MAYOR)

=


16/20

R R

R R

HUSO ESFRICO CUA ESFRICA

Huso Esfrico

24 R

360

2

Huso Esfrico

A =

9

Cua Esfrica

360

3

Cua Esfrica

V =

27

TOTAL HUSO

ESFERICO

UA ESFERICA

A = A A

2 2

TOTAL

CUA ESFERICA

A = 4

R R

360


17/20

ZONA ESFRICA SEGMENTO ESFRICO DE DOS BASES

R h R

a

b

RhhR

3

Segmento

Esfrico

V = a b

6

360

Zona Esfrica

h

PERIMETRO

CIRCULO MAXIMODE UN

360

TOTAL ZONA R=a R=b

SEGMENTO ESFERICO ESFERICA

A = A A A

SEGMENTOESFERICO

2 2

TOTAL

= 2

Rh a b


18/20

CASQUETE ESFRICO SEGMENTO ESFRICO DE UNA BASE

h

A

B

h

R

R

2

Segmento

Esfrico

V = 3 -

3

h

R h

R

A

B

360

Casq Esfrico

=

h

PERIMETRO

CIRCULO M XIMODE UN

2

(Casq. Esfrico = AB

h

360

h

R

a

3

Segmento

Esfrico

V = a

6

ZONA ESFRICA DE UNA BASE

TOTAL ZONA R=a

SEG. ESFERICO ESFERICA

A = A A

2

TOTAL

SEE. ESFERICO

A = 2

h a


19/20

SOL

IDOS

SECTOR ESFRICO

2

anilloPN HV

6

ECTOR

Esfrico

V =

VILIN RO

ASECTOR BaseEsfrico

2V = .h

3

2

2

SECTOR

Es

SECTOR

Esfrico

frico

V =

2V = R .h

3

ANILLO ESFRICO


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