geometria descriptiva

GEOMETRA DESCRIPTIVA

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin


TINS

INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS, INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA,

INGENIERA TEXTIL, INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERA AERONUTICA, INGENIERA AUTOMOTRIZ,

INGENIERA MARTIMA, INGENIERA NAVAL, INGENIERA TEXTIL

TEXTOS DE INSTRUCCIN (TINS) / UTP

Lima - Per


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GEOMETRA DESCRIPTIVA Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin Elaboracin del TINS : Arq. Vctor Narvez Garca

Ing. Jorge Monzn Fernndez

Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico : Instituto de Investigacin

Produccin : Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.


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El presente material de lectura contiene una compilacin de temas de obras de Geometra Descriptiva publicadas lcitamente, acompaadas de resmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin. ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.


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5

PRESENTACIN

El presente texto elaborado en el marco de desarrollo de la Ingeniera, es un material de ayuda instruccional, en las carreras de Ingeniera de: Sistemas, Industrial, Electrnica, Mecatrnica, Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronutica, Martima y Naval para la Asignatura de Geometra Descriptiva, en los ciclos bsicos de estudios. Decanta la iniciativa institucional de innovacin del aprendizaje educativo universitario, que en acelerada continuidad promueve la produccin de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. Esta primera edicin secuencialmente elaborada en conexin al texto de Dibujo de Ingeniera, en el espacio de la Ingeniera Grfica, recopilada de diversas fuentes bibliogrficas, de uso ms frecuente en la enseanza de Geometra Descriptiva, est ordenada en funcin del syllabus de la Asignatura arriba mencionada. La conformacin del texto ha sido posible gracia al esfuerzo y dedicacin acadmica de los profesores: Arq. Vctor Narvez e Ing. Jorge Monzn; contiene los siguientes temas: Introduccin. Trata inicialmente de la proyeccin de puntos en un plano de proyeccin, donde el observador se halla en el infinito y observa el punto perpendicularmente al plano de proyeccin, obteniendo en ste una imagen. Proyeccin de Slidos. Basndose en la proyeccin de puntos se proyectan los puntos ms destacados de un slido, hasta conseguir su proyeccin en los planos seleccionados. Incluye la visibilidad del slido. La Recta. La representacin de un segmento recto, da lugar a la representacin de una recta infinita: su orientacin, verdadera magnitud y pendiente. Se estudia sus relaciones de paralelismo y perpendicularidad. As como situaciones especiales de interseccin o cruce entre ellas. El Plano. Se representa simblicamente mediante la proyeccin de un tringulo, estudindose su orientacin, verdadera magnitud y pendiente. As como sus posiciones notables. Interseccin de una Recta con un Plano. Se trata de conocer el elemento comn (punto) entre una recta al intersectar a un plano. Utilizando los mtodos de vistas auxiliares, mtodo directo o diferencia de cotas para resolverlo. Se completa con visibilidad. Interseccin entre Planos. Se trata de hallar el elemento comn (recta) entre planos que se intersectan. Aplicando los mtodos de vistas auxiliares, mtodo directo o diferencia de cotas para resolverlo. Se completa con visibilidad.


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Interseccin Recta con Poliedros y Superficies de Revolucin. Los poliedros y superficies de revolucin son del tipo convexo, de all se tiene que la interseccin con una recta da lugar a un punto de penetracin y otro de salida. Se completa con visibilidad. Interseccin plano con poliedros. El plano produce una seccin al intersectar el poliedro. Si secciona totalmente el volumen, se dice que ha producido una interseccin por penetracin. Si es una seccin parcial, se dice que se ha producido una interseccin por mordedura. Se completa con visibilidad. Interseccin Plano con Superficie de revolucin. El plano produce una seccin al intersectar a la superficie de revolucin. Si secciona totalmente a la superficie de revolucin, se dice que se ha producido una interseccin por penetracin. Si es una seccin parcial, se dice que se ha producido una interseccin por mordedura. Se completa con visibilidad. Interseccin entre Poliedros. Se trata de obtener las secciones de entrada y de salida, producido por uno de los poliedros en el otro, dando lugar a una penetracin total o por mordedura. Se completa con visibilidad. Interseccin entre Superficies de Revolucin. Se trata de obtener las secciones de entrada y de salida, producido por una de las superficies de revolucin en la otra, dando lugar a una penetracin total o por mordedura. Se completa con visibilidad. Interseccin entre poliedros y superficies de revolucin. Se trata de obtener las secciones de entrada y de salida, producida por uno de los volmenes en el otro, dando lugar a una penetracin total o por mordedura. Se completa con visibilidad. Desarrollo de poliedros. Se trata de hallar el desdoblamiento de las caras de una superficie polidrica, lo que posteriormente permite obtener la forma original del cuerpo cuya superficie se ha desdoblado. Aplicando los mtodos de: rectas radiales, mtodo de la triangulacin y mtodo del desarrollo aproximado. Desarrollo de superficies de revolucin. Se trata de obtener por desenrrollamiento el rea grfica de las superficies de base y lateral mediante los mtodos de: rectas radiales, mtodo de triangulacin y mtodo de desarrollo aproximado. Al cierre de estas lneas de presentacin, el reconocer institucional a los profesores que han contribuido al acopio acucioso de temas y a la consiguiente estructuracin didctica del presente texto.

LUCIO H. HUAMN URETA Vicerrector de Investigacin


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NDICE

I. Introduccin. ..................................................................................... 11

II. proyeccin de Slidos. ...................................................................... 21

III. La Recta. ........................................................................................... 27

IV. El Plano. ............................................................................................ 67

V. interseccin de una Recta con un Plano. ........................................... 71

VI. interseccin entre Planos. .................................................................. 79

VII. interseccin Recta con Poliedros y Superficies de Revolucin. ....... 83

VIII. interseccin plano con poliedros. ...................................................... 95

IX. interseccin Plano con Superficie de revolucin. .............................. 115

X. interseccin entre Poliedros. ............................................................. 127

XI. interseccin entre Superficies de Revolucin. .................................. 159

XII. interseccin entre poliedros y superficies de revolucin. ................. 167

XIII. Desarrollo de poliedros. .................................................................... 173

XIV. Desarrollo de superficies de revolucin. ........................................... 203

BIBLIOGRAFA ........................................................................................... 239


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DISTRIBUCIN TEMTICA

Clase N Tema Semana Horas

1 Introduccin. Proyeccin de un punto. Sistema ASA y DIN. 1 4

2 Proyeccin de un slido, vistas principales y auxiliares. 2 4

3 La recta. Propiedades de la recta. 3 4

4 Rectas paralelas y perpendiculares. 4 4

5 Rectas que se cruzan. 5 4

6 El plano. Propiedades. 6 4

7 Interseccin recta con plano. 7 4

8 Interseccin plano con plano. 8 4

9 Interseccin recta con poliedros y superficies de revolucin. 9 4

10 E X A M E N P A R C I A L 10

11 Interseccin plano con poliedros. 11 4

12 Interseccin plano con superficie de revolucin. 12 4

13 Interseccin entre poliedros. 13 4

14 Interseccin entre superficies de revolucin. 14 4


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DISTRIBUCIN TEMTICA

Clase N Tema Semana Horas

15 Interseccin entre poliedros y superficies de revolucin. 15 4

16 Desarrollo de poliedros rectos. 16 4

17 Desarrollo de poliedros oblicuos y truncados. 17 4

18 Desarrollo de superficies de revolucin rectos. 18 4

19 Desarrollo de superficies de revolucin oblicuos y truncados. 19 4


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CAPTULO I INTRODUCCIN

1.1 INTRODUCCIN Antecedentes Histricos.- La Geometra Descriptiva, es la ciencia del

dibujo que trata de la representacin exacta de objetos compuestos de formas

geomtricas y la solucin grfica de problemas que implican las relaciones de

esas formas en el espacio.

La palabra descriptiva en el nombre de Geometra Descriptiva

significa representar o describir por medio de dibujos.

La Geometra Descriptiva emplea los teoremas tanto de la Geometra

Plana como los de la Geometra del Espacio.

La ciencia de la Geometra Descriptiva fue creada por el genio Gaspard

Monge en la escuela militar de mecieres, Francia, publicando su primer libro en

1795 (conservado como secreto militar de gran valor) durante unos 30 aos. El

tema se desarroll como un medio grfico fcil para resolver problemas en el

diseo de fortificaciones que previamente haban sido resueltos por laboriosos

clculos matemticos. Fue as como la Geometra Descriptiva es reconocida

como una materia en el entrenamiento de ingenieros, incluyndola en el currculo

de todas las escuelas de ingeniera.

El Mtodo Directo de dibujo se conoce como mtodo de cambio de

posicin del observador. Cuando el dibujante dibuja una vista frontal, se imagina


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que l ocupa una posicin directamente enfrente del objeto, cuando traza una

vista superior, mentalmente cambia su posicin de modo que queda mirando al

objeto hacia abajo.

El Mtodo Directo de la Geometra Descriptiva se basa en la misma

actitud mental, y lo esencial es:

1. La actitud mental directa

2. Visualizacin

3. Anlisis

4. Construcciones prcticas de dibujo sobre lmina que estn de acuerdo

con la concepcin anterior

Objetivo.- EL objetivo del presente curso es capacitar al estudiante de

ingeniera familiarizndolo con las reglas de esta rama de la geometra y logre

resolver por mtodos exclusivamente grficos y empleando la representacin por

medio de proyecciones, los problemas de la Geometra del Espacio y sus

aplicaciones en el campo de la Ingeniera.

Esta tcnica nos ensea a representar objetos y a resolver problemas

espaciales sobre un plano.

Esta disciplina bsica es muy importante, tal es as que tiene mltiples y

variadas aplicaciones en el Diseo Mecnico (diseo de elementos de mquinas,

de tolvas de almacenamiento, en las conexiones de tuberas, sistemas de

ventilacin, aire acondicionado) en la Ingeniera Civil (levantamiento de planos

topogrficos, diseo de canales de irrigacin, puentes estructurales) en las

Matemticas (Anlisis Vectorial), en la industrial naval, aeronutica, en la


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minera, la arquitectura, etc.

Nomenclatura.- Las esquinas de un objeto y otros puntos del dibujo

hecho en el estudio de la Geometra Descriptiva se marcan por letras o nmeros.

Las letras tienen subndices que identifican la vista plano de

proyeccin.

Se numeran los puntos usados para las construcciones en la solucin de

un problema.

Ejemplo: Si B es la esquina de un slido u objeto, entonces BH es la

proyeccin de dicho punto o vrtice en la Vista Superior u Horizontal, BF en la

Vista Frontal, BP en la Vista de Perfil o Lateral derecha, B1 en una Vista Auxiliar

y B2 en una Vista Oblicua de la esquina.

Normas

Toda letra o nmero que se dibuje en el depurado sern normalizados.

Se evitarn los dobles trazos. Los trazos de las lneas para los datos de un problema deben

dibujarse claramente, pero no tan marcados, como las lneas (HB

B) de acabado del resultado buscado. Las lneas de construccin

y las lneas de referencia deben dibujarse con trazos finos y como

lneas continuas ligeras (H 2H).

Las lneas no visibles de un slido proyectado en el depurado sern trazos discontinuos y normalizados.

Se evitar en lo posible en escribir las letras o nmeros de la nomenclatura sobre las lneas trazadas en el dibujo.


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Se tendr orden y limpieza al resolver un problema en el depurado presentndolo lo ms claro posible.

Toda construccin auxiliar til y necesaria que se realice posterior de la lmina, siendo muy claro y conciso del mtodo empleado.

Todo trazo que se realice para resolver un problema se har mediante el uso de reglas y escuadras u otro instrumento de

dibujo (comps, transportador) y empleando mtodos tcnicos de

dibujo, es decir que toda construccin ser grfica.

1.2 PROYECCIONES GENERALIDADES

Generacin de un espacio de tres dimensiones

Punto Esfera de dimetro cero (en sentido matemtico)

Punto, espacio de dimensin cero

P es un punto ideal

P. no tiene dimensin y que ocupa un espacio cero

Lnea Recta, espacio de dimensin uno.

* Cuando P se traslada en una

misma direccin hasta una

posicin final, generar una

lnea recta, considerado como

un espacio de una dimensin.


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Plano, espacio de dimensin dos.

* Si una recta ideal, se traslada paralela a s misma, de una posicin

dada a otra posicin final, la lnea habr generado un Plano en el

cual puedan efectuarse dos dimensiones una a lo largo de la lnea y

otra en direccin del movimiento de traslacin de la misma.

Slido Geomtrico, espacio de dimensin tres.

Si un plano se traslada en una direccin paralela as mismo, de una

posicin dada a otra posicin final, el plano habr generado un Slido

Geomtrico que limita un espacio de tres dimensiones.

Proyeccin.- Proyeccin es la interseccin de una lnea visual con un


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plano de proyeccin, es decir, grficamente tenemos:

Tipos de Proyeccin

a) Proyeccin cnica o dibujo en perspectiva

Este mtodo se usa para hacer un dibujo realista. Ejemplo: En el cine, fotografa.

b) Proyeccin cilndrica

b1) Proyeccin oblicua. Usado

en sombras e iluminacin b2) Proyeccin ortogonal. Usado en

geometra descriptiva


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Planos Principales de Proyeccin H, F y P

Plano de proyeccin horizontal (Vista de Planta). (H)

Plano de proyeccin frontal (Vertical o Vista de Elevacin vertical). (F)

Plano de proyeccin de perfil (Vista de Elevaciones Derecha e Izquierda

o Vistas Laterales Derecha o Izquierda). (P)

Los tres planos mutuamente perpendiculares, el horizontal, el vertical y el

de perfil, as como las lneas, proyectoras que se dibujan desde un punto en el

espacio y perpendiculares a cada uno de estos planos, constituyen las nociones

bsicas de la proyeccin ortogonal en que se basa la Geometra Descriptiva.

Sistema Diedrico

Si tenemos 2 planos H y P

mutuamente perpendiculares se

generan 4 diedros consecutivos

I, II, III y IV diedro, como se

muestra en la figura.


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Sistema de Proyeccin del I cuadrante.- Norma DIN (Alemania, Rusia,

Europa, Deutsche Industrie Norman). En relacin a los planos H, F y P. El

observador ocupa una posicin tal, que el objeto se muestra entre el Observador

y los Planos de Proyeccin.

Aplicacin: En Arquitectura consideran: Observador Objeto Plano de

Proyeccin.

Sistema de Proyeccin del III cuadrante.- Norma ASA (EE.UU.,

Inglaterra, Canad, American Standard Asociation).

En relacin a los planos H, F y P. El observador ocupa una posicin tal

que los planos de proyeccin (mutuamente perpendiculares) se encuentran entre

el observador y el objeto.

Vistas Auxiliares. Primarias y Secundarias

Aplicacin: En Ingeniera consideramos: Observador Plano de

Proyeccin Objetos.


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Posicin relativa de puntos entre si

El punto. Proyectantes del Punto

Espacialmente En el depurado

Posiciones relativos entre puntos. Orientacin


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Graficacin de un punto por coordenadas

*En el depurado H/F *En el depurado H/P


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CAPTULO II

PROYECCIONES DE UN SLIDO

PROYECCIONES AXONOMTRICAS

Sistema Didrico

Lnea de la Tierra. La interseccin de dos planos que se cortan recibe el nombre

de arista, cuando estos planos son el horizontal (P.H.) y el vertical (P.V.) esta

arista recibe el nombre de LINEA DE TIERRA (L.T.).


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Consiste en una PROYECCIN ORTOGONAL en la que se utilizan dos planos

de proyeccin perpendicular entre s.

Cuando los dos Planos del Diedro se extienden al infinito, dividen al espacio en

cuatro ngulos diedros que se denominan cuadrantes y se enumeran a partir del

superior derecho como se muestra en la grfica.


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Las proyecciones toman el nombre segn el plano en que se encuentran, en este

caso sern Proyeccin Horizontal (P.H.) y Proyeccin Vertical (P.V.).

Triedro. Cuando dos vistas de una pieza son insuficientes para definir con

claridad la forma real de la misma, se recurre al uso de un tercer plano lateral

(P.L.) formandose el denominado triedro.


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Sistemas de Representacin

Existen dos sistemas para la representacin de las Proyeccione Ortogonales,

relacionados con la ubicacin de la pieza en el Primer o Tercer Cuadrante.

PRIMER CUADRANTE Normas D.I.N. (3 vistas)

PROYECCIN ISOMTRICA

Proyecciones o Perspectiva Isomtrica. Es un tipo de Proyeccin Cilndrica

que utiliza un solo plano de proyeccin (la hoja de dibujo), pero sobre este

aparecen las tres dimensiones del cuerpo (largo, ancho y alto).


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Representacin de Elementos Circulares en Perspectiva Isomtrica


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CAPTULO III

LA RECTA

Determinacin de una Recta.- Una recta queda bien definida por dos puntos de

paso, de manera que para hallar las proyecciones de una recta ser suficiente

proyectar dos puntos de ella, como se ven en la figura.

Un punto est contenido en una recta, cuando sus proyecciones estn

contenidas en las respectivas proyecciones de la recta.


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Propiedad.- Si un punto pertenece a un segmento, lo decidir en una

cierta razn, entonces las proyecciones de dicho punto dividirn a las respectivas

proyecciones del segmento en la misma razn, cumplindose la siguiente

proporcin mltiple.

11

11

BP

PA

BP

PA

BP

PA

PBAP

FF

FF

HH

HH ===

KPBAP =

Posiciones Particulares de una Recta.- Las posiciones particulares que

una recta puede tomar en el espacio son seis:

Recta Horizontal

Paralela al plano horizontal, y se ve en el plano horizontal en Verdadera

Magnitud (VM). En el depurado, se proyecta paralela al pliegue H/F en la

proyeccin frontal y muestra su VM en la proyeccin horizontal.


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Recta Frontal

Es paralela al plano de proyeccin frontal y se proyecta en VM en sta

vista y paralela al pliegue H/F en la vista horizontal.


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Recta de Perfil

Es paralela al plano de proyeccin de perfil y se proyecta perpendicular al

pliegue H/F en las proyecciones frontal y horizontal, mostrando su VM en la

vista de perfil.

Recta Vertical

Es perpendicular al plano de proyeccin horizontal y en sta vista se

proyecta como un punto, en la proyeccin frontal o cualquiera de elevacin

aparecer en VM y perpendicular al pliegue respectivo.


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Recta Normal u Ortofrontal

Es perpendicular al plano frontal y se proyecta como un punto, en la

proyeccin horizontal o cualquiera adyacente aparece en VM y perpendicular al

pliegue respectivo.


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Recta Ortoperfil

Es perpendicular al plano de perfil, en donde se proyecta como un punto

y aparece en VM en la vista horizontal, frontal; adems de ser perpendicular al

pliegue respectivo (F/P)


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Verdadera Magnitud de una Recta, Recta como Punto

Para hallar una recta en su VM, se le deber proyectar en un plano

paralelo a ella, es decir se deber trazar una lnea de pliegue paralela a cualquier

proyeccin de la recta.

Para hallar una recta como punto, primero se halla en VM y luego se la

proyecta, tal como se ve en la figura.

Orientacin y Rumbo de una Recta

Est dada por el ngulo que sta se desva de la lnea Norte Sur hacia el

Este u Oeste y se denota: (N/S) (E/O) .

Slo se mide en la vista horizontal.


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Inclinacin de una Recta

Esta dada por el ngulo que la recta forma con el plano de proyeccin

horizontal y puede ser en sentido de elevacin o depresin.

RUMBO INCLINACIN PENDIENTE (%)

AB NE Depresin 100tan descendente BA SO Elevacin 100tan ascendente


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Pendiente de una Recta

Est dada por la tangente del ngulo de inclinacin expresada en

porcentaje en sentido ascendente o descendente.

Para medir el ngulo que una recta hace con el plano de proyeccin

horizontal en el depurado, se debe hallar una Vista de Elevacin donde la recta

aparezca en VM.


AB S E Depresin m% descendente BA N O Elevacin m% ascendente


AB NE Depresin m% descendente BA SO Elevacin m% ascendente


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Ejemplo: AB (60 O, 100% desc., 5 m)

Orientac. Pendiente V.M.

Para medir el ngulo con el plano.


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Ejercicio

Sea AB(N 30 E, 150% Ascendente, 10m). Halle el segmento AB y las

proyecciones respectivas.

Posicin Relativa de Rectas entre s

Dos rectas en el espacio puede ser:

Coplanares: Cuando pertenecen a un mismo plano y stas a su vez

pueden ser:

Concurrentes: Cuando tienen un punto en comn, el cual deber

estar en todas las proyecciones de ambas rectas a la vez.

Paralelas: Son rectas que prolongadas indefinidamente no tienen

punto en comn y todas las proyecciones se van a proyectar

siempre paralelas.


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Rectas Alabeadas que se cruzan

Son rectas que pertenecen a diferentes planos y no tienen ningn punto en

comn.

AB pasa a unidades ms alto que CD

AB pasa b unidades delante de CD


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PQ = a, distancia (luz) libre vertical

Entre AB y CD

RS = b, distancia (luz0

) normal entre AB y CD

Rectas Perpendiculares

Van a ser aquellas coplanares o alabeadas que forman 90, ya sea que se

corten o se crucen en el espacio. En el depurado para ver la perpendicularidad

ser suficiente hallar una vista donde por lo menos una de ellas aparezca en VM.

Ejercicio de Aplicacin:

Completar la proyeccin frontal del segmento CD sabiendo que es

perpendicular a AB y que la cota de C es igual a la de A.

PARALELISMO

RECTAS PARALELAS.- Dos rectas paralelas se muestran paralelas en todas

sus proyecciones. Si una recta se proyecta de punta, todas las rectas paralelas a

ella se proyectarn tambin de punta.


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RECTAS PARALEAS A UN PLANO.- Para que una recta sea paralela a un

plano debe serlo a por lo menos una recta contenida en dicho plano.

PLANOS PARALELOS.- Si dos planos son paralelos entre s, todas las rectas

contenidas en uno de ellos son paralelas al otro plano. La condicin mnima para

que dos planos sean paralelos entre s es que uno de ellos contenga dos rectas

paralelas al otro plano.

Ejemplo: Por un punto trazar un plano al otro plano dado.


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Ejemplo: Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas.

Ejemplo: Por una recta trazar un plano paralelo a otra recta dada.

3.2 PERPENDICULARIDAD

RECTAS PERPENDICULARES.- Dos rectas son perpendiculares entre

cuando una de ellas se encuentra en verdadera magnitud.


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RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO.- Si una recta es perpendicular a

un plano lo ser a todas las rectascontenida en este plano. La condicin mnima

para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas

contenidas en el plano.

Si un plano se proyecta de canto, todas las rectas perpendiculares a l se

proyectan en verdadera magnitud.

Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano.

Primer Mtodo

Segundo Mtodo (plano de canto)


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Por un punto trazar um plano perpendicular a una recta.

Ejemplo: Trazar un plano que contenga a una recta y sea perpendicular a un

plano.


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1.3 PROBLEMAS Problema N1.- En las proyecciones horizontal, frontal y perfil derecho

(ASA) unir con rectas los puntos P, Q, R, T, P; que tienen por

coordenadas respecto al vrtice inferior izquierdo las siguientes:

P(2,4,12)

Q(9.5, --, --)

R(1, --, --)

S(--, --, 13.5)

T(--,--,--)cm

Lnea de pliegue FP (10)

Sabiendo que cumplen las siguientes condiciones:

a) Las cotas de los puntos P y S son: 2.5 y 0.5 respectivamente

b) Q est al mismo nivel de P

c) S est a 3.5cm al oeste de Q

d) Q est a 4cm delante de S

e) R est 2cm al sur de Q y 3.5cm debajo de P

f) T se encuentra a 2cm a la izquierda de Q, 5cm debajo de S y 4.5cm al

sur de P. Escala 1: 125

Problema N2.- Por el punto P pasa una recta m cuya orientacin es

N40O y cuya pendiente ascendente es de 40%. El cuadriltero ABCD

tiene orientacin N70E. Si el punto S, el punto P y la recta m son

coplanares con ABCD, hallar la pendiente del cuadriltero y la

trayectoria de una billa que rueda sobre l, partiendo del punto D y que

luego de abandonarlo, cae verticalmente 2cms. Escala 1:2.

A(9, --, 22)

C(2, --, 13)

P(11, --, 20)

B(16, 3, --)

D(5, 10, --)

S(5, 5, 13)cms


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Solucin

Procedimiento:

Medimos las orientaciones tanto de la recta como la del plano sobre los puntos P y S respectivamente; teniendo en cuenta que la

orientacin del plano le d una recta horizontal que pasa por S

(luego en F ser paralela a H-F)

Dichas orientaciones se cortan en MH ; MF se encontrar bajando la lnea de referencia hasta que corte a la horizontal.

Como M pertenece a ambas rectas, usamos H-1 y a partir de M medimos la pendiente de m.

Como P pertenece a m entonces ubicamos P1; M, P y S forman el plano del cuadriltero (el tringulo MPS ha sido dibujado en H y F

con trazo discontinuo solo por razones didcticas).

Bastar entonces, con llevar (en la vista 2) a este plano de canto, medir la pendiente pedida y llevar las cotas y lneas de referencia


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necesarias para completar el cuadriltero ABCD.

Para la trayectoria de la billa se tendr que trazar por D una paralela a la recta de mxima pendiente (pues esa es la direccin que sigue)

ubicando en el borde EHFH

En F tomamos EFFF=2cm

Problema N3.- Se tiene un tringulo issceles ABC, los lados iguales

son AC yBC; completar las vistas del tringulo sabiendo que el lado CB

tiene una orientacin N45E y una pendiente negativa de 30. Escala 1:1.

A(2, 6, 13) C(4, 7, 9) cm

Solucin


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Procedimiento:

A partir de CH medimos la orientacin, en la vista 1 BC aparecer en VM pues H-1 es paralela a la orientacin y por consiguiente

podremos medir los 30 teniendo en cuenta que las cotas deben

aumentar de C1 a B1.

En la vista 2 se halla la VM de AC, la cual la llevamos la vista 1, hallando B1

Llevamos la lnea de referencia de B1, hallando BH.

Luego, se completan proyecciones.

Problema N4.- Un cazador ubicado en C dispara en direccin N40O y

con un ngulo de elevacin de 20; el proyectil, luego de recorrer 600

mts., hace impacto en una paloma que parte de P. Determinar el rumbo de

la trayectoria del vuelo de la paloma. Suponer que tanto el vuelo de la

paloma como la trayectoria del proyectil son rectilneos y no influyen ni

la gravedad ni la resistencia del aire. Escala 1:12500.

P(3, 0, 3.5) P(3, 0.5, 3.5) C(13, 0.5, 3.5) cm

Solucin


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Nota.- Los puntos P y C se ubican haciendo uso de la escala 1:1 desde el

vrtice inferior izquierdo de la zona.

Procedimiento:

Ubicando el punto X donde el disparo toca a la paloma, quedar determinada la trayectoria del ave pues se conoce P.

H-1 es una lnea de pliegue paralela a la orientacin N40O, por lo tanto en 1 se tendr a la trayectoria del disparo en VM y podremos

tomar los 20 medidos de tal manera que las cotas vayan

disminuyendo, tambin aqu medimos los 600 mts ubicando X1.

Llevando la lnea de referencia de X, obtendremos XH sobre la orientacin N40O.

Luego, completamos proyecciones.

Problema N5.- Completar las proyecciones del tringulo ABC cuya

orientacin es S60E y cuya pendiente es 45SO.


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A(6, 3, 8) B(6.5, --, 5) C(9.5,--,7) Escala 1:0.75

Solucin

Procedimiento:

Sabemos que la orientacin de un plano la da una recta horizontal, la cual en H est en V.M.; entonces la medimos a partir de A.

En la vista 1, dicha horizontal est de punto y por lo tanto, el plano de canto; se podr entonces medir los 45 de manera tal que las

cotas vayan aumentando en una direccin que sea sur-oeste.

Nota.- Como verificacin, en el problema ya resuelto, se puede soltar

una billa en el punto ms alto (en este caso el punto C) y se ver que

dicha billa caer hacia un punto cercano a B, esta trayectoria en H

corresponde al sur-oeste.


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Problema N6.- Completar las protecciones del paralelogramo ABCD

cuya orientacin es S30E, y tiene pendiente 25NE. Escala 1:1.25

A(5, 5, 10) B(8, --,13) C(13,--,10)cms

Solucin

Procedimiento:

Por paralelismo, en el plano de proyeccin horizontal encontramos el punto DH.

Trazamos una recta por el punto AH con orientacin S30E.


51

En la vista 1, obtenemos el plano de canto, luego, podremos llevar los puntos al plano de proyeccin frontal tomando sus distancias

respectivas

Problema N7.- Los segmentos AB y AD son los lados de un rectngulo

ABCD. Completar sus proyecciones y hallar la verdadera magnitud de

dicho rectngulo.

A(1.5, 5, 9) B(1.5, 2.5, 6.5) D(3.5,4,--) cms Escala 1:0.75

Solucin

Procedimiento:

En el plano de proyeccin frontal completamos el rectngulo trazando paralelas.

En el plano de proyeccin de perfil, el lado AB est en V.M.; en esta misma vista, trazamos las perpendiculares a dicha recta


52

obtenindose los puntos CP y DP.

El rectngulo est por lo tanto definido completamente, pues es conocido en los planos frontal y de perfil.

Tomamos la vista #2 en la cual el rectngulo aparecer en verdadera magnitud.

Problema N8.- La base AB de un tringulo issceles descansa sobre

XY, siendo M un punto perteneciente a la altura CN y tal que 21=

MCM

.

Determinar las proyecciones del tringulo. Escala 1: 1.25

X(5, 9, 17) M(11.5,9,17) Y(14,14,22) A(115,--,--) cm

Solucin


53

Procedimiento:

En la vista #1 llevamos la base en VM, o sea a XY (que la contiene); en esta vista se podr trazar por M la perpendicular

(altura del tringulo) y hallar N sobre la recta XY.

El vrtice A pertenece a la base y a XY; adems N es punto medio de la base del tringulo, luego podremos hallar el vrtice B.

Como MN=2CM, con centro en M1 y radio C1 que pertenece a la perpendicular trazada.

Se completan proyecciones llevando lneas de referencia.

Problema N9.- Hallar las proyecciones horizontales y frontal y todas las

necesarias completas de un rectngulo JKLM (ordenadas en sentido

horario) sabiendo que X e Y son puntos de paso de los lados opuestos de

vrtice J y que la diagonal JL forma un ngulo de 35 con ML

(JLM=35). Escala :1.25

J(5, 4.5,13.5) X(3, 2.5,8.5) Y(6,2.5,9.5)

Solucin


54

Procedimiento:

Los puntos J, X e Y pertenecen al plano del rectngulo requerido, luego nos bastar con hallar el tringulo JXY en verdadera

magnitud; lo cual se logra en la visa 2.

Sobre X2Y2 trazamos un arco capaz de 90 (lugar geomtrico de L2). Por dato el ngulo JLM=35, entonces arco Y2Z2=70, con lo

cual se obtiene el punto Z2.

Se une J2 con Z2, recta que al prolongarse intersecta al L.G. hallado en L2.

Por paralelismo y perpendicularidad se obtienen los vrtices restantes, completndose las vistas llevando lneas de referencia.


55

Problema N10.- Hallar las proyecciones horizontal y frontal y todas las

necesarias completas de la parte del cuadrado en un plano triangular JKL

de orientacin S85E y pendiente 39NE. Se sabe que dos de los lados del

cuadrado son frontales y que el centro del mismo est en el punto P

contenido en el plano JKL y sus lados miden 3 cms. Escala 1: 1.25

J(3,4,12) K(7,--,14) L(9,5,--) P(6.5,--,12) cms

Solucin

Procedimiento:

Usando la orientacin y pendiente dadas, ubicamos el tringulo JKL que en la vista #1 aparece de canto y en la #2, la obtenemos en

VM.


56

En la fig. (a) se halla el radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado de lado 3 cms.

Tomamos una recta (JP) frontal que indicar la direccin de dos de los lados, con lo cual, en la vista #2, podremos construir el

cuadrado respectivo ABCD y tomar de l la parte que est

contenida en el tringulo JKL. Se completan proyecciones con

lneas de referencia.

Nota.- El tringulo JKL se los muestra en todas las proyecciones con

trazo discontinuo tan slo por motivos didcticos y para resaltar la parte

del cuadrado situado en el tringulo.

Problema N11.- Hallar las proyecciones frontal y horizontal y todas las

necesarias completas de un tringulo rectngulo en J contenido en un plano

de orientacin S67O y pendiente 57N.O. Se sabe adems que la

hipotenusa est a la izquierda de J, es de perfil, mide 6 cms y los

segmentos en que queda dividida al trazar la altura del tringulo desde el

vrtice J son inversamente proporcionales a los nmeros 0.8 y 1.5. Escala

1: 1.25. J(13,5,11) cm

Solucin


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Procedimiento:

Ubicada la orientacin S67O a partir de J (en H), tomamos la vista #1 en la cual el plano que contiene el tringulo estar de canto.

En H tomamos una recta arbitraria 1-2 (de perfil), recta que nos indicar la direccin de la hipotenusa. En la vista 2, el tringulo

aparecer en VM; para lo cual, a partir de J2 se traza una

perpendicular a la recta 1-2.

En el problema, se nos especifica una divisin inversa a los nmeros 0.8=4/5 y 1.5=3/2, luego habr que dividir la hipotenusa

directamente proporcional a 5/4 y 2/3.


58

En la figura (a) tomamos la unidad en nuestro caso una unidad=4 es Esc. 1:125) arbitraria, y de ella tomaremos 5/4 (segmento KQ)

Debemos sumar a KQ un segmento tal que sea los 2/3 de la unidad (QR=4), ste ser el segmento QP

En la figura (b), dividimos los 6cms (hipotenusa) usando la divisin hallada con el segmento KP, obtenindose as el punto M de

divisin. Luego, sobre la hipotenusa KL se ha construido el

tringulo rectngulo respectivo y se halla h en la figura (c).

Luego, sobre la perpendicular en la vista #2 tomamos h y los segmentos de divisin a partir de M2. Hay dos soluciones, de las

cuales se muestra el tringulo JKL.

La segunda solucin (tringulo JKL) se indica con trazo discontinuo (solo por motivos didcticos).

Nota.- Tambin se pudo hacer lo siguiente para dividir el segmento de 6

cms directamente 5/4 y 2/3:

Por ejemplo, un segmento de 3 unidades es proporcional a 2 y 1,4 y 2,6 y 3; es decir, a mltiplos de 2 y 1.

Entonces, un segmento que es proporcional a 5/4 y 2/3 tambin lo


59

ser a )12(32

)12(45 y o sea a 15 y 8.

Por lo tanto, tomaremos el segmento de 6 cms y lo dividiremos en 23 partes iguales haciendo uso de otra recta de 23 unidades (en

cualquier escala) obtenindose el punto de divisin proporcional a

15 y 8 (punto M).

Problema N12.- Desplazar el punto D paralelamente a una recta que

tiene orientacin S30O y una pendiente de 60% de tal manera que la

nueva recta CD sea perpendicular a la recta AB. (D posicin final del

punto D). Escala 1:1.25.

A(7,4.5,6.5)

B(10,2,9.5) C(5,2,9) D(7,3.5,11)cms

Solucin


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Procedimiento:

En primer lugar, ubicamos una recta con la orientacin y pendiente dadas en un punto arbitrario, p. Eje. En el punto X (recta XY). Para

ello, en H tomamos la orientacin S30O a partir de X y la

limitamos con el punto Y (arbitrario).

En la vista 2 hemos medidos una pendiente de 60% y hemos hallado Y2 en la interseccin con la lnea de referencia de YH.

Luego, en la vista 1 aparece AB en VM y podemos trazar por C una perpendicular a dicha recta, perpendicular que corta a la paralela

por D a XY en D1.

Para hallar DH, bastar con llevar la lnea de referencia de D1 hasta encontrar a la paralela por D a XY.


61

Problema N13.- El punto B est situado con respecto a A, 100 mts a la

derecha; 25 mts al norte y en la misma cota. Desde el punto A el eje de

una tubera de agua con rumbo hacia B, con una pendiente descendente

de 25%. Se requiere unir el punto B a la tubera que pasa por A, mediante

un ramal de 30 mts de longitud.

a) Determinar el punto X de conexin de ambas tuberas para que la

longitud total AX+XB sea mnima.

b) Determinar la pendiente de la tubera BX

c) Hallar las proyecciones horizontal y frontal de ambas tuberas.

A(50,50,80)m Escala 1:1250

Solucin

Procedimiento:

En la vista 1 obtenemos el lugar geomtrico del punto X empleando la pendiente de la tubera que parte de A (en Verd. Magnitud)

A partir de B1 y con radio 30 mts, hallamos los puntos X1 y X1;


62

pero como AX+BX debe ser mnimo, tal solo dar solucin X1.

Regresamos el punto X a los planos de proyeccin H y F, obtenindose as los ejes de ambas tuberas.

Problema N14.- En O, P y Q hay tres puntos de observacin: desde O

se detecta la presencia de un OVNI (A) en direccin S30E, con un

ngulo de elevacin de 45 y 2000m por encima de O. Desde P se

observa asimismo la presencia de otro OVNI (B) en direccin sur, con un

ngulo de elevacin de 30 y a 2500, de este observador. Desde Q se

observa, 10 segundos ms tarde, que los dos OVNIS se encuentran en un

punto (I) situado en la direccin N45O, 2000m por debajo y a una

distancia de 6000 m de Q.

Determinar:

Caractersticas de las trayectoras de los OVNIS Velocidad de ambos OVNIS

O(5,7,19) P(9,5,17) Q(13,6,14) cms

Nota.- Slo las coordenadas de los puntos estn en Esc. 1: 1.25.

Escala 1: 125000

Solucin


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I

Caractersticas:

De AI: Rumbo N77E

Pendiente=58 descendente

V.M=5900 MTS

Veloc.=590 m/seg

De BI: Rumbo Norte

Pendiente=30 descendente

V.M=3700 MTS

Veloc.=370 m/seg

Procedimiento:

Debe tenerse en cuenta que no se dan las trayectorias de los OVNIS sino de las visuales que las ubican (por eso sealamos la palabra

en del enunciado)


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HI es una lnea paralela a S30E y por tanto en 1 podemos medir los 45 de elevacin y los 2000 mts, ubicando A1, AH se encuentra

sobre la orientacin respectiva.

Anlogamente hallamos B, slo que los 2500m se miden sobre la VM los 2000 mp; IH se encuentra sobre la recta de orientacin

N45O

Para hallar I usamos la vista 3 en la cual se pueden medir los 6000m

Unimos A con I; B con I y tenemos las trayectorias buscadas.

Problema N15.- AB es una recta contenida en un hexgono regular

orto-perfil y P es uno de los vrtices de dicho hexgono. Determinar las

proyecciones horizontal y frontal y todas las necesarias completas del

hexgono, sabiendo que el centro de la circunferencia en la que est

inscrito el hexgono se encuentra como punto medio de la recta AB.

Indicar adems el valor del lado.

Escala 1:1

A(3, 3.5,11) B(5,5,13) P(4,5.5,--)

Solucin


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Procedimiento:

Como el hexgono es orto-perfil, el vrtice P y la recta AB estn contenidos en la vista de filo del plano en el plano de proyeccin de

perfil; as ubicamos ApBp.

En la vista 1 el hexgono aparece en VM y podremos construirlo, pues X es el centro de la circunferencia que lo contiene, siendo P

uno de sus vrtices. Luego, completamos proyecciones.

Problema N16.- Se tiene una caja de forma hexagonal de 2cm de altura

y 4 cms de radio. Se pide determinar la longitud de la diagonal que une

un vrtice de la tapa con el opuesto del fondo.

Coordenada del vrtice del fondo A(4.5,1,5) cms

A partir del vrtice inferior izquierdo. Escala 1:1


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67

CAPTULO IV

EL PLANO

4.1. Determinacin de un plano

Un plano queda determinado en cualquiera de las siguientes formas:

a) tres puntos no colineales

b) un punto y una recta

c) dos rectas que se cortan

d) dos rectas paralelas

e) por su orientacin y pendiente y un punto perteneciente a l

f) por figuras geomtricas: tringulares, cuadrilteros o polgonos.

4.2. Rectas contenidas en un plano.

Si una recta corta a dos rectas contenidas en un plano, esta recta est tambin

contenida en el plano.

4.3 Puntos contenidos en un plano

Si un punto se encuentra contenido en un plano, estar contenido tambin en una

recta que pertenezca a este plano.


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4.4 Posiciones particulares del plano

Plano horizontal: Es un plano paralelo al plano horizontal de proyeccin. Se

proyecta en VM en la vista horizontal y en la vista frontal se le ve de canto y

paralelo a la lnea de tierra.

Plano frontal: En un plano paralelo al plano frontal de proyeccin. SU VM se

tiene en la vista frontal y en a vista horizontal se proyecta de canto y paralela a la

llnea de tierra.

Plano de perfil: Es un plano palralelo al plano de perfil de proyeccin. Su VM

est en la vista de perfil y se le ve de canto en las vistas horizontal y frontal,

siendo esdtas vistas de canto perpediculares ala lnea de tierra.

Plano vertical: Es perpendicular al plano horizontal de proyeccin. Se le ve de

canto en la vista horizontal.

Plano normal: es perpendicular al plano horizontal de proyeccin. Se le ve de

vanto en la vista horizontal.

Plano perpendicular al plano de perfil: Se le ve de canto en la vista de perfil.

4.5 Vista De canto de un plano

Principio fundamental: Si una recta contenida en un plano se proyecta de punta,

el plano se proyectar de canto.

4.6 Verdadera magnitud de un plano

Principio fundamental: Un plano se proyecta, en VM sobre un plano de

proyeccin paralelo a l.


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4.7 Orientacin y pendiente de un plano

Orientacin de un plano. La orientacin de un plano est definida por la

orientacin de las rectas horizontales pertenecientes al plano.

Pendiente de un plano. La pendiente de un plano es el ngulo diedro determinado

por este plano y un plano horizontal.

Recta de mxima pendiente

Y la pendiente del plano se considerar hacia abajo

4.8 Proyecciones de un crculo

Un crculo se proyectar como tal nicamente en un plano de proyeccin

paralelo a l. Si el plano de proyeccin no es paralelo al crculo, ste se ver

como una elipse.

Rectas notables de un plano


70


71

CAPTULO V INTERSECCIONES: ENTRE RECTAS Y PLANOS,

Y ENTRE PLANOS Si una recta o un plano, no son paralelos ni estn contenidos en otro plano, entonces existe interseccin entre recta y plano, o entre planos. Determinar los puntos de interseccin cuando se proyectan en los planos de proyeccin, constituye el objetivo presente captulo. Visualizaremos la forma de hallar dichos puntos de interseccin mediante el mtodo del plano cortante. METODO DEL PLANO CORTANTE Un plano cortante, es un plano ilimitado, que se proyecta de canto en el plano de proyeccin desde donde empezamos a hacer el anlisis de las intersecciones. El plano cortante, es un plano que introducimos en la resolucin del problema en una posicin adecuada a cada caso y en nuestro criterio; por proyectarse de canto, lo utilizaremos siempre esa posicin de corte, es decir como plano cortante. Este mtodo es un artificio que nos permite localizar fcilmente los puntos de interseccin en dos proyecciones adyacentes, sin necesidad de una tercera vista (salvo cuando la recta o el plano se hallen de perfil).

NOTA: Luego de determinar los puntos de interseccin, siempre ser conveniente realizar el correspondiente anlisis de visibilidad de las proyecciones.


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Hallar la interseccin entre la recta MN y el plano ABC.


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Interseccin Recta con Plano

La interseccin est representada por el punto I y se ha aplicado el mtodo

directo.


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Hallar la interseccin entre la recta PQ y el plano RST.


75

La representacin del plano RST se reduce a RST.


76

Hallar la interseccin entre MN y el plano RST.


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El plano RST se reduce a RTS y luego aplicamos el mtodo directo.


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APLICACIONES DEL MTODO DE PLANO DE CANTO A. INTERSECCIN DE UNA RECTA Y UN PLANO EN POSICION

PARTICULAR Denominamos planos en posicin particular a los planos horizontales, frontal, de perfil, y a los planos vertical, normal y perpendicular al planote perfil. Estos planos en general se proyectan de canto en un plano adyacente. La interseccin de una recta con un plano en posicin particular se verifica mediatamente en la vista donde el plano dado se proyecta de canto. B. INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON UN PLANO OBLICUO Determinamos una vista auxiliar en la cual el plano aparezca de canto; en esta vista el punto de interseccin entre la recta y el plano se observa a simple inspeccin. El punto as obtenido llevamos a las vistas primitivas, estableciendo la visibilidad correspondiente en las proyecciones.


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CAPTULO VI INTERSECCIN ENTRE PLANOS

A. INTERSECCIN DE UN PLANO OBLICUO CON UN PLANO EN POSICION PARTICULAR La interseccin de un plano oblicuo y un plano en posicin particular. Este queda determinado en la vista donde el plano en posicin particular queda de canto.

La interseccin se muestra segn una recta comn a los dos planos.

(a) Interseccin por penetracin (b) Interseccin por mordedura

B. INTERSECCIN DE PLANOS OBLICUOS Si dos planos son oblicuos, se determina fcilmente los puntos de interseccin entre estos planos, en la vista donde uno de ellos se proyecte de canto. En esta vista aparece los puntos donde dos aristas del segundo plano es cortado por el planote canto en dos puntos; estros dos puntos nos determinan la lnea de interseccin comn de los dos planos. C. INTERSECCIN DE DOS PLANOS OBLICUOS Para determinar la lnea de interseccin o Traza entre dos planos oblicuos por el mtodo del plano cortante, se sigue el siguiente proceso:


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MTODO

Consideramos los lados de uno de los planos como rectas independientes, ubicando los puntos de interseccin con el otro plano, aplicando el tetrodo del plano cortante.

Determinamos los puntos de interseccin de los lados de un plano con los del otro, obtenindose dos puntos, que al unirlos nos dar la recta de interseccin o traza entre los dos planos.

D. MTODO GENERAL DE INTERSECCIN ENTRE DOS PLANOS ILIMITADOS Si se tienen dos planos ilimitados, al ser intersectados por un tercer plano este ltimo intersectar a los dos planos segn dos rectas y las dos rectas se intersectarn en un punto X; este punto de interseccin de los tres planos. Ubicado otro punto Y con el mismo proceso, y unido los dos puntos hallados, se habrn determinado la recta de interseccin o traza XY de los dos planos ilimitados. ANOTACIONES FUNDAMENTALES

a) Dos rectas situadas en dos planos que se cortan, no pueden ser paralelas entre s, a menos que ambas rectas sean paralelas a la recta de interseccin de los planos.

b) Si las rectas, en un lugar de cortarse fueran paralelas, nos demuestra que son paralelas a la lnea de interseccin de los dos planos, pero inconsistentemente, puesto que aunque se conoce la direccin de la lnea de interseccin, se desconoce su posicin. En este caso utilizaremos otro plano cortante (vertical y con diferente orientacin), u otro plano cortante (normal con diferente pendiente), para ubicar un punto de interseccin, por donde trazamos una recta paralela a las ya determinadas. Luego se conoce la direccin y posicin de la recta de interseccin.

c) Si estos ltimos planos cortantes, cortan tambin a los planos dados segn dos rectas paralelas, es que los planos dados son paralelos.

d) Cuando las rectas determinadas con el plano cortante secante a los planos dados, se muestren casi paralelas o cortndose bajo un ngulo muy pequeos o muy grande, existe inconsistencia en la exactitud del punto determinado; luego se debe tener cuidado en disponer los planos cortantes, para que nos ubiquen puntos de ntida interseccin.


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e) El lector debe estar familiarizado con las tres aplicaciones reseadas en el presente capitulo por el mtodo del plano cortante, para hallar puntos o rectas de interseccin.

Interseccin -051129

Definir la proyeccin didrica del tringulo (K,L,M), contenido en el plano (), dado que:

El lado (K,L) esta en el plano (). Estando (K) en el primer bisector y (L) en el plano vertical de proyeccin.

El vrtice (M) est contenido en la recta (r)

1 (98;29;39)2 (115;10;78)3 (156;80;30)

(40;00;60)(107;00;00)(135;75;00)

ABC

(170;30;4)(75;71;80)

Pr

Q


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83

CAPTULO VII

INTERSECCIN DE RECTAS CON SUPERFICIES

POLIEDRICAS Y DE REVOLUCIN A. CONCEPTO SOBRE SUPERFICIES Consideramos como superficie a la frontera sin espesor entre dos zonas vecinas del espacio. En general, si al espacio tridimensional en su totalidad lo tomamos como un conjunto, y se tiene un subconjunto cualquiera de ella, a la zona contigua que es comn o que es frontera entre ellos, denominaremos superficie.

Cuando esta superficie no tienen puntos interiores (Fig. 7.1-a-b), como es una porcin del espacio bidimensional o una porcin de curva, entonces tendremos una superficie plana o una superficie curva, respectivamente.

Tambin se tiene idea de superficie, cuando se vara consecutivamente cierta lnea (recta y/o curva) en el espacio y se tiene un conjunto de puntos engendrados por dicha variacin (Fig.7-1-b).

(a) Superficie plana (b) Superficie Curvilnea Fig. 7.1 Ejemplo de Superficies Fig. 7.2

Cuando la superficie contiene puntos interiores, decimos que la superficie limita un cuerpo o que contiene un recinto cerrado, cuya caracterstica fundamental es su volumen (Fig. 7.2). En el presente captulo nos referimos a ste tipo de superficie de mltiples caras (poliedros), y superficies engendradas por revolucin (superficies cnicas, cilndricas, esfricas, etc.).


84

CLASIFICACIN DE SUPERFICIES Las superficies se clasifican en tres grandes grupos: 1. Superficies planas y/o curvas, entendindose por ellas, a las que no tienen

puntos interiores o que no forman recintos cerrados. 2. Superficies de recinto cerrado.

2.1. Superficies Polidricas. 2.11. Poliedros regulares 2.12. Poliedros irregulares

2.2. Superficies de revolucin: son engendradas por el movimiento de lneas rectas o curvas que giran alrededor de un eje o se desplazan por una directriz dada. 2.21. Superficies regladas

2.211. Superficies regladas de curvatura simple: cilndricas cnicas (desarrollables)

2.212. Superficies regladas (no desarrollables) o alabeadas. 2.22. Superficie de doble curvatura: engendrados por el movimiento

de dos lneas curvas. El paraboloide alargado o achatado, la esfera, son ejemplos de superficies de revolucin de doble curvatura.

3. Superficies de evolucin: Son engendrados a travs de una directriz curvilnea, por otra lnea curva que evoluciona desplazndose paralelamente a s misma.

B. SUPERFICIE POLIDRICA Es aquella porcin del espacio tridimensional limitada por polgonos regulares o irregulares denominados caras del poliedro, los que se unen mediante aristas que convergen en vrtices. Poliedros Regulares: Son aquellos poliedros convexos1, cuyas caras son polgonos regulares de un mismo nmero de lados, convergiendo sus vrtices en un mismo nmero de aristas, como son: el tetraedro regular, el cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. (Fig. 7.3-a) Poliedros irregulares: Son ejemplos de ste tipo de superficies: los tetraedros irregulares, los prismas, paraleleppedos, pinacoides, pirmides, cualquier poliedro no convexo y los poliedros truncados2. (Fig. 7.3-b)

1 Convexo: Un poliedro es convexo cuando todo l est a un lado del plano que forma cada cara

del mismo. 2 Truncado: Un poliedro se denomina truncado cuando la estructura del mismo es cortado por un

plano paralelo de la base o por un plano inclinado.


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Octaedro cubo pirmide Poliedro no convexo

(a) Poliedros regulares (b) Poliedros irregulares Fig. 7.3

C. SUPERFICIES DE REVOLUCIN Son aquellas superficies que se generan en arreglo a leyes; por ejemplo el desplazamiento de lneas rectas o curvas (generatrices) a lo largo de una lnea recta o curva o un punto (directriz), hasta lograr en conjunto una estructura. Cuando la superficie es engendrada por lneas rectas (generatriz), se llaman superficies regladas; ejemplos de tales superficies son las superficies cnicas y las superficies cilndricas. Una superficie no reglada es aquella engendrada por lneas curvas a travs de lneas curvas irregulares.

Superficie Cnica Es aquella generada por una lnea recta (generatriz), que teniendo un

punto fijo (vrtice) se desplaza a lo largo de una lnea curva (directriz). Ver Fig. 7.4-a.

Cono: Es una superficie-cnica cuya directriz es una lnea cerrada,

limitada por un plano que forma la base (Fig. 7.4-v). Un caso particular es el cono recto y los conos truncados.

Superficie Cilndrica Es la superficie generada por una lnea recta (generatriz) desplazndose

paralelamente a una direccin dada a lo largo de una curva (directriz). Ver Fig. 7.5-a.

Cilindro: Es un cuerpo limitado por una superficie cilndrica cuya

directriz es cerrada, y por dos planos paralelos que hacen de bases del cilindro. Son esos particulares de cilindro: el cilindro recto y los cilindros truncados.


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Superficie Esfrica Es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo. Al

punto fijo se le denomina centro y valor absoluto de la distancia constante se le denomina radio de la esfera. (Fig. 7.6).

(a) Superficie cnica (b) Cono

Fig. 7.4

(a) Superficie cilndrica (b) Cilindro Superficie esfrica Fig. 7.5 Fig. 7.6

D. INTERSECCIN DE RECTAS CON SUPERFICIES POLIDRICAS

Y DE REVOLUCIN De acuerdo como se, presenta el problema, podremos resolverlo: (a) por simple inspeccin, o (b) con el auxilio de planos cortantes auxiliares que convengan la recta dada, y que corten la superficie polidrica o de revolucin segn una traza donde los puntos comunes al poliedro, al plano cortante y a la recta dad (contenida en el plano cortante) sern los puntos de interseccin que se buscan. Este modo de determinar el (los) punto (puntos) de interseccin con una superficie polidrica o de revolucin es general. Y consiste en trazar por la recta un plano cortante que la contenga; al determinar la interseccin del plano cortante con la superficie, la interseccin de la recta con la superficie se hallar en la interseccin del plano cortante con la superficie. D1. POR SIMPLE INSPECCIN Realizamos el anlisis del conjunto, deduciendo cual es la posicin de la recta respecto a la superficie polidrica o de revolucin.


87

D2. CON EL AUXILIO DE PLANOS CORTANTES. Por la recta dada trazamos un plano auxiliar que la contenga (plano cortante), luego hallamos la lnea de interseccin de este plano con la superficie; los puntos de interseccin de la recta dada con la lnea de interseccin del plano auxiliar con la superficie polidrica o de revolucin, sern los puntos de interseccin que buscamos entre la recta y la superficie polidrica o de revolucin. El plano cortante, que debe elegirse a travs de la recta, en superficies polidricas o de revolucin, debemos elegirlo de modo que podamos obtener secciones de fcil interpretacin, pudiendo ser: a. Planos cortantes perpendiculares al plano principal de proyeccin

a.1. Mtodo del Plano cortante perpendicular al plano principal de proyeccin.

b. Plano cortante que pasando por el vrtice contenga a la recta y forme traza con el plano de la base de la superficie polidrica o de revolucin.

D3. INTERSECCIN DE RECTAS CON POLIEDROS CONICOS

(PUEDE LEERSE PIRAMIDES) Se trata de hallar los puntos de interseccin entre la superficie dada y la recta AB. Si bien la superficie dada representa una pirmide de base hexagonal, puede tambin el lector imaginarlo como un cono (al aumentar el nmero de lados de la base, sta se convierte en directriz, y las aristas en generatrices), como un cilindro (si al vrtice V del cono lo llevamos al infinito), o simplemente como un prisma de base hexagonal (si mantenemos el nmero de lados de la base y llevamos al infinito el vrtice V). PROCEDIMIENTOS El procedimiento para determinar los puntos de interseccin es el siguiente: - Por la recta dada elegimos un plano cortante, que para mayor comodidad lo

elegimos pasando por el vrtice V. - El plano cortante queda limitado por las rectas que parten del vrtice V,

tocan los extremos de la recta en X e Y, y se prolongan tocando los puntos M y N respectivamente del plano de la base o de su prolongacin.

- Este plano cortante corta a la base del poliedro segn la traza MN.


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Para efectos de resolver problemas, el lector debe imaginarse que le poliedro tiene base, y que a su vez posea la caracterstica de poder ser prolongada tanto como sea necesario, para poder definir sin ambigedades la traza o interseccin con el plano cortante oblcuo. - Esta traza toca el hexgono de la base segn dos puntos: 1 y 2. - Si unimos estos puntos con el vrtice tendremos 1V y 2V rectas que

pertenecen a las caras RQV y STV respectivamente, y que intersectan en K y L a la recta AB.

- Los puntos K y L pertenecen el poliedro y tambin a la recta, son los puntos de interseccin entre la recta y el poliedro dado, llamados tambin puntos de entrada y salida indistintamente.

- Conclumos analizando la visibilidad del conjunto. Por la similitud que presenta el procedimiento y mtodos de construccin de la interseccin de rectas con: pirmides y conos, prismas y cilindros, lo desarrollamos en este orden y en la misma secuencia. El lector podr corroborar posteriormente que esta gradacin (lase orden), coadyuba a generalizar paulatinamente lo que se trata.

D4. INTERSECCIN DE RECTAS CON CONOS.- MTODO - Por uno de los puntos extremos (por el extremo o por su prolongacin) de

la recta dada, trazamos una recta tal como VX que lo prolongamos hasta tocar en el punto M en el plano de la base del cono (o de la pirmide).

- Repetimos este procedimiento con otro punto cualquiera tal como Y, y logramos una recta como VN.

- La recta MN corta a la curva directriz (o el polgono de la base) segn los puntos 1 y 2.

- Los puntos de interseccin buscados estarn dados, donde 1V y 2V cortan a la recta dada segn los puntos K y L.

- Conclumos analizando la visibilidad del conjunto. D5. INTERSECCIN DE RECTAS CON PRISMAS Y CILINDROS.-

MTODO - Por un punto X (o por uno de los extremos de la recta dada) se traza una

paralela a las aristas laterales del prisma (o las generatrices, si se trata de cilindros), la que prolongamos hasta hallar un punto M de interseccin con el plano de la base.

- Repetimos este procedimiento por el otro extremo, obteniendo el punto Y sobre la recta y N sobre el plano.


89

- La traza MN corta al polgono de la base (o la curva directriz) segn los puntos 1 y 2.

- Luego trazamos 1P y 2Q paralelas a las aristas laterales del prisma (o a las generatrices del cilindro), obtenindose K y L, puntos de interseccin entre la recta y el prisma (o cilindro).

- Se ha formado el plano cortante XMYN que forma la traza MN con el plano de la base del poliedro.

E. SUPERFICIES ESFRICAS E1. LOCALIZACIN DE UN PUNTO SOBRE UNA ESFERA Para localizar un punto sobre una esfera determinamos sobre su superficie una lnea (circunferencia) que lo contenga. Para ello elegimos un plano cortante por el punto dado, el que corta a la esfera segn una traza circular. E2. INTERSECCIN DE UNA RECTA CON UNA ESFERA Una esfera de radio R intersectada por una recta AB. Determinamos los puntos de interseccin por el siguiente mtodo: - Por la recta dada disponemos un plano cortante vertical o normal (vertical

Q, en nuestro ejemplo), el que corta a la esfera segn una traza (lase interseccin) de radio mn=r.

- Proyectamos en un plano adyacente, donde la recta dada aparezca en VM, la circunferencia de la traza tambin se proyecta en VM y los puntos 1 y 2 ntidamente, lo que trasladamos a las dems vistas.

Visibilidad: al analizar la visibilidad de un plano de proyeccin de las proyecciones de la esfera y la recta, debe el lector tener presente que la superficie semiesfrica se encuentra en el plano adyacente a la que se est analizando.


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7.3 Interseccin recta con paraleleppedo

Hallar la interseccin entre la recta y el paralelepipedo.


91

Interseccin recta con prisma

Hallar la interseccin recta con prisma.


92

Hallar la interseccin recta con prisma.


93

7.4 Interseccin recta con cono

Este problema se resuelve conteniendo la recta en un plano cualquiera y

hallando la seccin de este plano sobre el cono. Los puntos de interseccin

de esta seccin con la recta sern los puntos buscados.


94

7.5 Interseccin recta con cilindro

Cilindro oblcuo. Si se construyen vistas sucesivas, hasta mostrar el eje del

cilindro como un punto, el problema se reduce al anlisis expuesto

anteriormente. No obstante, el mtdo del plano cortante en dos vistas es el

ms usado en el caso de un cilindro oblcuo, debido a que es ms fcil de

comprender y ms rpido.

Un plano cortante que contenga a la lnea dada y sea paralelo al eje del

cilindro, cortar al cilindro en dos de sus elementos. La interseccin de la

lnea dada con estos elementos determinar los puntos de penetracin.

Lnea que corta un cilindro oblcuo.


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CAPTULO VIII INTRERSECCIN DE PLANOS CON SUPERFICIES

POLIDRICAS Y DE REVOLUCIN A. INTERSECCIN DEL PLANO CON PIRMIDE METODO 1: DEL PLANO CORTANTE Para determinar por este mtodo la seccin plana de interseccin: a) Se pasan planos cortantes por las aristas de la pirmide (siendo la forma

ms usual); o, b) Planos constantes por las rectas que conforman el plano dado, buscndose

luego, las intersecciones.

Luego de determinados los puntos de interseccin, se unen los puntos con aristas contiguas formndose de ese modo la seccin plana de interseccin entre el plano y el poliedro. Finalmente, realizamos el anlisis de la visibilidad correspondiente, teniendo en consideracin las aristas visibles e invisibles del poliedro. NOTA: La visibilidad de las intersecciones la analizaremos luego de conocer, primero, la visibilidad del slido y el plano dados.

B. INTERSECCIN DE PLANO CON PRISMA Dadas las proyecciones del plano y el prisma, trazamos planos cortantes por las aristas del prisma, determinndose puntos de interseccin en el plano, los que unidos sucesivamente nos genera la seccin plana. C. INTERSECCIN DE PLANO CON CONO MTODO NICO: DE LOS PLANOS CORTANTES Para determinar los puntos de interseccin de un cono con un plano, disponemos planos cortantes que pasando por el vrtice, contengan una o dos generatrices del cono (segn que el plano cortante sea tangente o secante al cono), que corte al plano de la base y el plano dado segn trazas de lneas rectas; las generatrices contenidas en estos planos cortantes, cortan a su vez al plano dado segn puntos que pertenecen a la traza entre el plano y el cono dados. Un nmero de planos cortantes sern convenientes, especialmente si los disponemos en mayor nmero en lo que a nuestra vista son los contornos (los


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que la experiencia nos dice que deben quedar ntidamente determinados), donde la lnea curva de interseccin cambie de visible a invisible. La visibilidad de estas superficies esta ligada a la visibilidad de las generatrices en cualquier plano de proyeccin dado. As, sern visibles los puntos que pertenecen a generatrices visibles, e invisibles aquellos que pertenecen a generatrices invisibles. CASO 1: CUANDO EL PLANO DADO EST DE CANTO Se brinda las proyecciones de un cono de vrtice V, y el plano ABC, en una disposicin tal que el plano dado en la vista del plano H, se proyecta de canto. Luego de analizar la visibilidad del conjunto, para hallar la interseccin se ha trazado 6 planos cortantes (cortantes verticales), dos de ellos, los que contienen las generatrices 1V y 6V, son tangentes al cono, en tanto que los que contienen a 2V y 10V, 3V y 9V, 4V y 8V, y 5V y 7V, son secantes; donde, por ejemplo, en el plano cortante 5V7 se hallan contenidas las generatrices 5V y 7V, intersectando el plano dado en los puntos 5 y 7, que son los puntos de inte4seccin buscados. Hallando otros puntos delineamos la traza completa, analizando luego su visibilidad, teniendo en cuenta que sern visibles slo aquellos puntos que pertenecen a generatrices visibles del cono. La seccin plana de interseccin se podr determinar en un plano anexo, paralelo al plano dado. CASO 2: CUANDO EL PLANO DADO SE PROYECTA

OBLICUAMENTE EN DOS VISTAS DADAS - Luego de analizar la visibilidad del conjunto, es decir, del plano ABCD y

el cono de vrtice V, para hallar su interseccin se sigue el siguiente proceso:

- Se dispone planos cortantes normales, en este caso hemos trazado 8 planos cortantes, 6 secantes al cono y 2 tangentes).

- Pata hallar los puntos de interseccin, tomemos como ejemplo el plano cortante que contiene a las generatrices 6V y 10V, el cual corta al plano de la base segn la recta 6-10 y al plano dado, segn XY; y las generatrices 6V y 10V, contenidas en este plano cortante, intersectan el plano ABCD en los puntos 6 y 10 que se encuentran en la traza XY de este plano con el plano cortante. Estos puntos pertenecen a la interseccin buscada.


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- Finalmente, analizamos la visibilidad de la interseccin, teniendo en cuenta las generatrices visibles e invisibles y los lmites del contorno que se muestran a nuestra vista.

C1. SECCIONES PLANAS DE UN CONO DE REVOLUCIN Un cono de revolucin al ser seccionado por un plano secante que no pase por el vrtice nos ofrece cuatro tipos de secciones planas: una circunferencia, una elipse, una parbola o una hiprbola; segn que dicho plano sea perpendicular al eje del cono, corte todas las generatrices del cono, sea paralelo a una sola generatriz a dos generatrices del cono de revolucin. Seccin Circular: Si el plano secante es paralelo a la base del cono. La traza o interseccin entre el plano y el cono es un CIRCULO. Seccin Elptica: Si el plano corta todas las generatrices del cono, formando con la base del cono un ngulo () menor que la formada entre las generatrices y la base del cono (). La interseccin entre el plano y el cono es una ELIPSE. Seccin Parablica: Cuando al cortar el plano secante al cono, mantiene paralelismo con una sola generatriz de dicho cono, es decir, =. La traza entre el plano y el cono es una PARABOLA. Seccin Hiperblica: Si el plano secante es paralelo a dos generatrices del cono El ngulo entre el plano y la base del cono, es mayor que el ngulo entre las generatrices y la base del cono: >. D. INTERSECCIN DE PLANO CON CILINDRO De la interseccin de un plano con un cilindro se obtiene una seccin que puede ser un crculo o una superficie elptica, para determinar lo discurriremos dos mtodos: MTODO 1: DISPONIENDO EL PLANO DADO DE CANTO Proyectamos el plano dado de canto y el cilindro en cualquier posicin, y procedemos a determinar los puntos de interseccin por simple inspeccin. METODO 2: MEDIANTE PLANOS CORTANTES Pasamos un nmero determinado de planos cortantes que contengan generatrices del cilindro y hallamos los puntos de interseccin con el plano dado, analizando de inmediato la visibilidad del conjunto.


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Se ha trazado planos cortantes por las generatrices del cilindro, siendo recomendable disponer el mayor nmero de planos cortantes por los lmites del contorno parta determinar la curvatura de la traza (lnea de interseccin) con mayor fidelidad. E. INTERSECCIN DE PLANO CON ESFERA La seccin plana que resulta de la interseccin de un plano con una esfera es un crculo plano, cuya traza es una circunferencia. Esta seccin circular se proyecta como crculo en el plano de proyeccin donde el plano dado se proyecta en VM. En las vistas donde el plano dado no se halla en VCM la proyeccin tiene forma elptica. La determinacin de los puntos de interseccin entre un plano y una esfera lo conoceremos por mtodos.


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8.1 Interseccin de un Plano a una Pirmide


100

Hallar la interseccin de la pirmide y el plano ABCD.


101

Interseccin de Plano con Pirmide

Propuesta: Determinar la interseccin que produce en la pirmide el plano

definido pot los puntos A, B y C.


102

Desarrollo Esfera Truncado


103

Plano Pirmide

Determinar la seccin producida por el plano limitado PQR en la pirmide

VABC. Visibilidad del conjunto.


104

Hallar la interseccin del plano y la pirmide.


105

PRISMA CON EL PLANO

En el sistema se define un prisma recto de base triangular y una superficie

plana triangular ABC. Se pide, calcular la seccin de la superficie

triangular con las caras del prisma. Dibujar en las tres vistas dadas las

lneas de interseccin resultantes y completar la visualizacin del

conjunto tringulo-prisma distinguiendo entre las partes vistas y las

ocultas.


106

INTERSECCIN DE PLANO CON PRISMA

Propuesta: Determinar la interseccin producida en el prisma por el plano

definido por los puntos A, B, C.


107

INTERSECCIN DE PLANO CON PRISMA


108

PLANO PRISMA

Hallar la seccin producida por el tringulo PQR en el prisma oblcuo

ABC A B C. Considerar que al tringuulo PQR le falta un tringulo

P Q R de baricentro comn con el y con los lados respectivamente

paralelos y tal que rea PQR=4.


109

INTERSECCIN DE PLANO CON PARALELEPIPEDO


110

Vista tridimensional de la interseccin de un plano y un paralelepdedo.


111

INTERSECCIN DE PLANO CON PARALELEPIPEDO


112


113

Hallar la interseccin del plano RST y el paraleleppedo ABCD - ABCD.


114


115

CAPTULO IX

INTERSECCIN PLANO CON SUPERFICIE DE

REVOLUCIN

INTERSECCIN DE PLANO CON CONO


116

Hallar la interseccin del plano ABT y el cono de vertice V.


117

Hallar la interseccin del plano ABC y el cono.


118

Visualizacin tridimensional de la interseccin de un plano con un cono.


119

SECCIONES PLANAS EN CONO


120

INTERSECCIN DE PLANO CON CONO


121


122

9.5 INTERSECCIN DE PLANO CON CILINDRO


123

INTERSECCIN DE PLANO CON CILINDRO


124

Hallar la interseccin del plano PQRS y el cilindro.


125

Secciones Planas en el Cilindro


126

Visualizacin tridimensional de la interseccin entre un plano y un cilndro.


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CAPTULO X INTERSECCIN DE SUPERFICIES TRIDIMENSIONALES

La interseccin entre dos slidos tridimensionales es la traza de encuentro de ambos cuerpos. Es de suma importancia para el tecnlogo o el ingeniero conocer los procedimientos que permitan hallar la interseccin o traza sobre superficies tridimensionales, sean stas polidricas o de revolucin, cuyas variadas aplicaciones exigirn con frecuencia conocer en detalle los diferentes mtodos para determinarlos. Son mltiples las aplicaciones de la obtencin de la traza o interseccin entre superficies; as por ejemplo, para determinar las costuras de interseccin para las cubiertas de embarcaciones martimas y aeronuticas, en la representacin de superficies topogrficas (taludes), en la minera para determinar las lneas de afloramiento de un lecho o filn de material, en la fabricacin tolvas de variada configuracin, etc. Para una adecuada comprensin de lo referente a interseccin de superficies se ha credo por conveniente desglosarlo en los siguientes acpites: a) Mtodo y tipos de intersecciones, donde se definen las diferentes maneras

que permiten determinar los puntos comunes entre dos superficies, indicndose en qu acpite se realiza la aplicacin respectiva de cada mtodo reseado.

b) Interseccin de superficies polidricas, donde tambin se explica los casos tpicos de interseccin poliedros y procedimientos de numeracin para facilitar el cometido.

c) Interseccin de superficies de revolucin, (cono, cilindro, esfera, etc.), donde se exponen los casos tpicos de interseccin de este tipo de superficies y los mtodos de numeracin que facilitan determinar la interseccin.

d) Interseccin entre superficies polidricas y de revolucin. El lector que tenga necesidad de conocer los diferentes mtodos de interseccin podr remitirse a la resea que se indica en el acpite (a) y hallar una o ms aplicaciones de dichos mtodos en los acpites (b), (c) o (d), respectivamente.


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A. MTODOS GENERALES DE INTERSECCIN ENTRE SUPERFICIES

Trataremos breve pero exhaustivamente los diferentes mtodos para determinar la traza de interseccin entre dos superficies tridimensionales. A1. MTODO DE RECTAS COM PUNTO Consiste en disponer uno de los slidos dados con las aristas (en el caso de prismas) o las directrices (en el caso de cilindros), como puntos en un plano auxiliar adyacente. Debido a que muchas veces para obtener las aristas (generatrices) de uno de los slidos como punto se requiere de un plano auxiliar (al presente mtodo muchos autores los denominan tambin mtodo de la VISTAAUXILIAR. A2. MTODO DE INTERSECCIN DE RECTA CON PLAO OBLICUO El presente mtodo se realiza recurriendo al principio de interseccin de una recta y un plano en dos planos principales adyacentes , ejecutando la interseccin de cada cara de un poliedro (lase plano), con las aristas o generatrices (lase rectas) del otro poliedro; la traza de interseccin de ambas superficies tridimensionales resulta de forma mediata uniendo los puntos de interseccin. A3. MTODO DEL LOS PLANOS CORTANTES Por la direccin que siguen las rectas principales (aristas o generatrices), se disponen uno o ms planos cortantes: paralelos entre si se trata de prismas o cilindros, o que pesen por el vrtice si se trata de conos (conos entre si, de conos con cilindros o prismas, etc). A4. MTODO DE LOS CILINDROS CORTANTES Usualmente este mtodo se emplea para determinar la interseccin de una superficie de revolucin (cono, espera, etc.), con un prisma o cilindro. - El eje del cilindro o cilindros cortantes se dispondrn paralelos al eje del

cilindro o prisma de modo que la base del o los cilindros cortantes se ubiquen contenidos como directrices en la superficie de revolucin. Entonces se tendr que la superficie de revolucin participa de la interseccin segn circunferencias y el cilindro o prisma segn sus generatrices.


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A5. MTODO DE LAS ESFERAS CORTANTES Se recurrir a las esferas cortantes cuando se tenga dos superficies de revolucin cuyos ejes se intersectan mutuamente y se hallan en un mismo plano en VM. - El punto de interseccin de los ejes de la superficies de revolucin dados se

toma como centro de una o ms esferas concntricas; cada una de estas esferas (si tiene un dimetro apropiado), intersectar a cada superficie de revolucin segn dos crculos. Estos crculos se intersectan a su vez segn puntos, que son los puntos de interseccin buscados y por lo tanto pertenecen a la traza de interseccin de los slidos dados.

- Bajo ciertas condiciones las esferas cortantes se podrn desplazar a lo largo del eje de uno de los slidos, lo que quiere decir que no necesariamente deben disponerse dichas esferas cortantes slo en el punto de (interseccin de los ejes de ambas superficies de revolucin.

B. INTERSECCIN DE SUPERFICIES POLIDRICAS B1. CASO DE INTERSECCIN TPICA DE POLIEDROS Y

PROCEDIMIENTO DE NUMERACIN 1. Mordedura o arrancamiento: cuando uno de los prismas est contenido

parcialmente en el otro. La traza de interseccin est formada por un polgono y el procedimiento de numeracin para determinar la interseccin y visibilidad, es como sigue:

- Cuando un prisma muerde al otro traza de interseccin est formada por un solo polgono.

- Se empieza a numerar por aquel punto (inte5rseccin de una cara y arista de ambos poliedros respectivamente), donde se encuentre una sola interseccin y se contina como se muestra en el grado, en sentido horario o antihorario, arbitrariamente a criterio del lector; enumerando los puntos de interseccin en las caras no visibles.

Caso particular: Cuando una de las aristas de uno de los poliedro es tangente a la arista del otro poliedro, en este caso la traza que se revela en la interseccin, podemos considerarlo como dos poligonales con un punto comn.

2. Por Penetracin: Cuando una de las superficies polidricas se halla

introducida completamente en la otra superficie polidrica.

Caso particular: Cuando dos primas tienen tangentes mutuamente dos aristas, entonces la traza de interseccin ofrece dos poligonales con dos puntos comunes.


130

B2. INTERSECCIN DE DOS PRISMAS a) MTODO DE LAS RECTAS COMO PUNTO Dadas las proyecciones en H y F de dos Prismas, para hallar la traza de interseccin entre ellos por ste mtodo, seguimos el siguiente proceso: - Proyectamos en un plano adyacente una nueva vista de los slidos dados

donde el otro prisma se proyectar con las aristas como punto; - Identificado el tipo de interseccin, luego procedemos a hallar los puntos

de interseccin de las aristas que se proyecten como punto con las caras del otro poliedro.

- Ubicado los puntos reinterseccin, realizamos el definitivo anlisis de la visibilidad ayudndonos de qu aristas son visibles o invisibles de los poliedros.

b) MTODO DE LOS PLANOS CORTANTES Luego de realizar los pasos previos para determinar la interseccin (completar con un trazo fino los slidos y numerar para determinar la interseccin). B3. INTERSECCIN ENTRE PRISMAS Y PIRMIDES Se pide hallar la interseccin entre una pirmide y un prisma; para desarrollarlo tenemos: MTODO 1: Disponiendo las aristas de punta en el plano adyacente, lo que dejamos en nuestros lectores. METODO 2: Realizamos para la ejecucin de lo propuesto una combinacin de los mtodos A2 y A3 (Interseccin de recta con plano y planos cortantes). - As, por la arista MN (lase recta MN) para hallar el punto de interseccin

con la cara VBC (lase plano VBC), disponemos un plano cortante vertical , el que segn los puntos a y b en VC y CB respectivamente, nos brinda el punto 2 de interseccin. Utilizamos el mismo plano cortante para ubicar el punto 1 en la cara BAV,

- La obtencin de los dems puntos y el anlisis de la visibilidad que queda indicado.


131

B4. INTERSECCIN ENTRE DOS PIRMIDES METODO: DE LOS PLANOS CORTANTES E INTERSECCIN DE

RECTA CON PLANO Se debe determinar los puntos de interseccin de las pirmides dadas. - Luego de realizar el anlisis preliminar de visibilidad y haber realizado los

pasos previos de reconocimiento de tipo de interseccin, para hallar los puntos de interseccin recurrimos al mtodo combinado de los planos cortantes e interseccin de recta con plano.

- Logrado los diversos puntos de interseccin, unimos dichos puntos, teniendo en cuenta la visibilidad de la traza respecto a las caras visibles o invisibles de los poliedros.

Como la obtencin de los puntos de interseccin se funda prcticamente en el procedimiento de intersectar aristas de uno de los poliedros con las caras del otro, para realizar un proceso ms sincronizado podremos recurrir a formar una tabla de orden de obtencin de los puntos de interseccin.


132

10.1 INTERSECCIN DE PIRMIDE CON PIRMIDE


133

Hallar la interseccin entre las pirmides de vrtice O y V.


134

Interseccin Pirmide con Pirmide


135

Hallar la interseccin entre las pirmides mostradas.


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PRISMA CON PRISMA

En la figura 1 se representan, incompletos, un tejado a dos aguas y una

chimenea. El tejado tiene dos faldones con igual pendiente respecto al

suelo horizontal. La chimenea es prismtica, de base superior triangular

ABC y aristas laterales verticales. Se pide, prolongando hacia abajo sus

aristas verticales, determinar, en las vistas de alzado y planta dadas, la

interseccin de las caras laterales de la chimenea con los faldones del

tejado.

geometria descriptiva

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