geometria descriptiva

SESION 1 GEOMETRIA PLANAINTRODUCCIN El conocimiento de hechos geomtricos aislados se remonta a la prehistoria. Por cierto los primeros egipcios y babilonios (4000-3000 a. de C.) conocan muchas relaciones geomtricas prcticas. La construccin de las pirmides requiri de un conocimiento considerable de la geometra prctica; pero fueron los antiguos griegos los que reunieron los hechos geomtricos conocidos, los que descubrieron nuevos hechos y los ordenaron en un sistema lgico uniforme. La palabra geometra deriva de dos palabras griegas, "ge" que significa "tierra" y "metrei" que significa "medir" mostrando que originalmente se haba pensado en ella como de "una medida de la tierra". Este proceso de organizacin y descubrimiento necesit siglos para desarrollarse y ocup la mente de numerosos hombres competentes. Los siglos antes, durante y despus del perodo de mayor influencia poltica griega (siglos IV y V a. de C.) eran perodos de intensa actividad intelectual. Las mentes lderes estaban interesadas en todo tipo de ideas. El ms conocido de los gemetras de la Grecia antigua es Euclides, que escribi los Elementos, (cerca de 300 a. de C.). Este trabajo es el manual de ms fama que jams ha existido y fue utilizado en el mundo entero hasta bien entrado nuestro siglo; se compone de 13 libros; los seis primeros se refieren a la geometra plana, los otros a aritmtica y geometra slida. Los Elementos no solo fue ampliamente utilizado como escrito, sino que tambin sirvi de modelo para innumerables libros. Isaac Newton, el famoso matemtico y fsico Ingls escribi su gran libro Principia, en el "estilo geomtrico" aunque a menudo este estilo interfera en el camino que emprendi en sus descubrimientos. La mayora de los libros utilizados hoy en da en la enseanza de la geometra son en alguna medida una versin simplificada de los Elementos de Euclides. Es asombroso y a la vez un gran tributo que se le rinde a Euclides, ver que su libro ha conservado su valor por ms de 2000 aos. Poco se sabe acerca de la vida de Euclides, excepto que probablemente estudi sus matemticas con discpulos de Platn y que posteriormente fund su propia escuela en Alejandra. Sin duda l hizo pleno uso de los escritos anteriores, pero la organizacin de los Elementos es propia de l, as mismo que sus importantes perfeccionamientos.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Muchos grandes matemticos griegos siguieron a Euclides, entre ellos se cuentan Apolonio (III siglo a. de C.) y Arqumedes (III siglo a. de C). Arqumedes, una de las mentes ms importantes de la poca antigua, hizo interesantes trabajos en matemtica, fsica e ingeniera. Fue contratado como consejero tcnico en asuntos blicos por el rey de Siracusa; fue muerto por un soldado en el sitio de esta ciudad en 212 a. de C. OBJETIVOS Entender los conceptos bsicos de la geometra plana como son punto, lnea recta, segmento, polgono, circunferencia, ngulo, etc. entre otros que sern bsicos en el estudio y el ejercicio de la Ingeniera Civil, en las reas de Anlisis Estructural y Diseo Geomtrico de Vas. Identificar con facilidad los elementos que conforman un polgono, las clases y su denominacin.

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. El diseo de obras de ingeniera civil, bsicamente es el conjunto de elmentos geomtricos simples, que se conjugan de cierta manera para crear las estrucutas conocidas por todos, en las construcciones de obras de infraestructura. En el municipio en el cual usted reside, identifique un paso elevado, puente vehicular, puente peatonal, puente caballar, metlico o de concreto e identifique las figuras geomtricas bsicas de las cuales est compuesto. Descrbalas mediante un plano y discuta sus observaciones con sus compaeros de grupo de estudio.


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1.1 DEFINICIONES Antes de entrar a estudiar la geometra plana es necesario recordar algunos conceptos bsicos que facilitarn su comprensin. Punto Es un trmino no definido, pero lo podemos asociar con la marca hecha por un lpiz. Se denota mediante letras maysculas A, B, etc. Recta Otro trmino no definido, un hilo tenso nos da en la prctica el concepto geomtrico de recta. Las rectas se denotan por letras minsculas l, m, n, etc. Segmento Se llama segmento a una porcin de recta limitada por sus dos puntos extremos. A BFigura 1.1 Segmento AB

1.2 NGULOS El ngulo es el espacio comprendido entre dos rectas unidas en un punto llamado vrtice. Los ngulos se denominan mediante tres letras maysculas: dos de ellas situadas a los extremos y la otra, en el punto de unin. Tambin se denominan mediante una letra minscula cerca del vrtice. C A BFigura 1.2 ngulos

a

Los siguientes son los principales tipos de ngulos: ngulo recto: es aquel cuya medida es 90 ( en la figura 1.3) ngulo obtuso: su medida es superior a los 90 ( en la figura 1.3) ngulo agudo: su medida es inferior a los 90 ( en la figura 1.3)


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Figura 1.3 Tipos de ngulos

1.3 TRINGULOS Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la unin de los segmentos AB, AC y BC se denomina tringulo. C

AFigura 1.4 Tringulo

B

Los tringulos se pueden clasificar segn algunas caractersticas: a) Segn la medida de sus lados. La clasificacin de los tringulos segn la medida de sus lados o de sus ngulos es la siguiente: Escaleno, el tringulo que tiene los tres lados diferentes (ningn lado congruente). (Figura 1.5 a) Issceles, el tringulo que tiene dos lados de igual longitud. (Figura 1.5 b) Equiltero, el tringulo que tiene sus tres lados congruentes, es decir de igual longitud. (Figura 1.5 c)

a

bFigura 1.5 Clases de tringulos segn sus lados

c

b) Segn la medida de sus ngulos. Acutngulo, el tringulo que tiene sus tres ngulos agudos (Figura 1.6 a).ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 5


Obtusngulo, el tringulo que tiene un ngulo obtuso (Figura 1.6 b). Rectngulo, el tringulo que tiene un ngulo recto (Figura 1.6 c).

a

bFigura 1.6 Clases de tringulos segn sus ngulos

c

1.4 RECTAS PARALELAS Rectas paralelas son aquellas que en toda su extensin, mantienen una misma distancia (equidistantes) y por ms que se prolonguen no llegan nunca a unirse. Figura 1.7. Por ejemplo: los lados de una mesa cuadrada son paralelos, los bordes opuestos de una hoja rectangular, los rieles del ferrocarril, etc. B A D

CFigura 1.7 Rectas Paralelas


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1.5 POLGONOS La figura 1.8 representa una lnea poligonal cerrada. Est formada por segmentos que son AB, BC, CD, DE y EF. E A D

BFigura 1.8 Lnea poligonal cerrada.

C

Se nombra por las letras que llevan sus vrtices: Lnea poligonal ABCDE. Si a la lnea poligonal ABCDE le aadimos la superficie que est dentro de ella, entonces tenemos un polgono. Un polgono es la figura formada por una lnea poligonal cerrada ms su regin interior. Elementos de un polgono En los polgonos podemos identificar una serie de elementos que nos facilitan su identificacin, as como su clasificacin (figura 1.9). Estos son: Lado, que es cada uno de los segmentos del polgono. Vrtice, es el punto donde se unen dos segmentos consecutivos. ngulo, es el espacio comprendido entre dos lados consecutivos. Diagonal, es el segmento que une dos vrtices no consecutivos. VERTICE DIAGONAL

LADO ANGULOFigura 1.9 Elementos de un polgono


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Clasificacin de los polgonos: Polgono regular: es aquel que tiene todos sus lados y ngulos iguales. Polgono irregular: es aquel que tiene sus lados y sus ngulos desiguales. Polgono inscrito: es aquel polgono construido dentro de una circunferencia y en el que los vrtices de sus ngulos estn en contacto con la misma. Polgono circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia.

ngulos de un polgono En un polgono se contemplan dos tipos de ngulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos ( en la figura 1.10) y los exteriores ( en la figura 1.10) son sus suplementarios.

Figura 1.10 ngulos de un polgono

Suma de ngulos interiores Conocemos la suma de los ngulos de cualquier tringulo, que es 180. Como cualquier polgono se puede dividir en tringulos se podr calcular cul es la suma total en cada caso. Un cuadriltero se puede dividir en 2 tringulos, un pentgono en 3, un hexgono en 4, etc.; siempre dos menos que el nmero de lados. En definitiva, un polgono de n lados se puede descomponer en n-2 tringulos y, por tanto, la suma de los ngulos interiores ser: 180(n-2). Si el polgono es regular el valor de uno de los ngulos interiores es: 180(n-2)/n.


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Suma de ngulos exteriores La suma de los ngulos exteriores de cualquier polgono es 360. Teniendo en cuenta que el ngulo interior y el exterior suman 180, en un polgono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n180, como los interiores suman 180(n-2) la diferencia es n180 1.6 CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. A esa distancia comn se le llama radio de la circunferencia.

TE TANGENB

E ANT SECA

O ETR DIAMO C

D

RA DI O

CU ERD AARCO

E

Figura 1.11 Circunferencia

Segmentos y lneas fundamentales de la circunferencia. Radio: se llama radio a una lnea recta que saliendo del centro, toca cualquier punto de la circunferencia (OC, OD y OE en la figura 1.11). Dimetro: el dimetro es un segmento cuya longitud es dos veces el radio de la circunferencia (CD en la figura 1.11) Arco: el arco es una parte de la circunferencia, limitada por una cuerda. Porcin de curva. Cuerda: es una lnea recta que toca dos extremos de un arco. La cuerda mayor es el dimetro. Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos. Se prolonga por fuera de la circunferencia (AB en la figura 1.11). Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 9


1.6.1 NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA ngulo central es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. (figura 1.12)

Figura 1.12Angulo central de una circunferencia

La medida del arco AB es la del ngulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB Esta igualdad nos permite medir en funcin del ngulo central o arco el resto de ngulos que pueden definirse en la circunferencia. Angulo inscrito es aquel que tiene su vrtice en la circunferencia. El ngulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso lmite (Figura 1.13). El ngulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Figura 1.13 Angulo Inscrito en una circunferencia


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Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del crculo. La medida del ngulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden l y su opuesto (Figura 1.14).

Figura 1.14 Angulo interior de una circunferencia

ngulo exterior es aquel que tiene su vrtice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ngulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca (Figura 1.15)

Figura 1.15 Angulo exterior de una circunferencia

1.6.2 TANGENTES La tangente a una circunferencia es cualquier recta que la toque en un punto, y slo en uno (figura 1.16) Propiedades: Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio. Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio.


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B A R

R C R

F

D

E

Figura 1.16 Tangentes de una circunferencia

1.7 POLGONOS REGULARES Los polgonos regulares son aquellos que tienen sus lados y sus ngulos iguales, tal como los representados en la figura1.17

Figura 1.17 Polgonos Regulares

Nombre de los polgonos Los polgonos tienen distintos nombres dependiendo del nmero de lados que tengan: Los polgonos de 3 lados se llaman tringulos. Los polgonos de 4 lados se llaman cuadriltero. Los polgonos de 5 lados se llaman pentgono. Los polgonos de 6 lados se llaman hexgono. Los polgonos de 7 lados se llaman heptgono. Los polgonos de 8 lados se llaman octgono. Los polgonos de 9 lados se llaman enegono. Los polgonos de 10 lados se llaman decgono. Los polgonos de 11 lados se llaman endecgonos. Los polgonos de 12 lados se llaman dodecgonos. Los polgonos de 15 lados se llaman pentadecgonos. Los polgonos de 20 lados se llaman icosgonos. El polgono que tiene mayor nmero de lados es la circunferencia porque tiene infinitos lados.


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ngulo central en un polgono regular Si pensamos en el polgono inscrito en una circunferencia el ngulo central se corresponde al que forman dos radios consecutivos del polgono. La medida de todos los ngulos centrales es de 360, la misma que la de los ngulos exteriores.


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ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL 1. Calcula los valores que faltan en la tabla, considerando que a, b y c son los lados de un tringulo cualquiera, y h la altura correspondiente al lado b. a 5cm. 10m. 9cm. 12cm. b 14cm c 16cm. 8m. 6cm. 31cm. h 8cm. 12m2 permetro rea

2. Completa la informacin de la siguiente tabla, segn lo expuesto sobre polgonos N de N de N de Figura Nombre N de lados ngulos vrtices diagonales interiores


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SESION 2FIGURAS SEMEJANTES Y AREAS

INTRODUCCIN En el estudio de la geometra plana es de suma importancia el conocimiento y dominio de los elementos bsicos como son: la lnea recta, el tringulo, el circulo, etc., y las diferentes relaciones que se pueden establecer entre otros de la misma naturaleza, pero de diferente tamao, forma o posicin. Es ah donde se deben emplear los criterios de semejanza y proporcionalidad entre tringulos, poligonos y dems forms geomtricas. El clculo del rea de una regin plana es bastante empleado en los diferentes campos de la ingeniera y particularmente en la ingeniera civil, es por ello que se deben afianzar las diferentes estrategas que se pueden emplear en la determinacin del rea de una regin especfica. Lo que se podra hacer para cualquier regin es compararla con las formas sencillas y comunes como son: el tringulo, los cuadrilateros, los poligonos regulares, la circunferencia, etc., y a partir de all descomponer o transformar dicha regin en otras que sean ms sencillas de analizar. OBJETIVOS Identificar las aplicaciones de los conceptos bsicos de la geometra plana como son punto, lnea recta, segmento, polgono, circunferencia, ngulo, entre otros, empleados en el estudio de figuras complejas como las reas y la semejanza de polgonos. Desarrollar la capacidad para encontrar el rea de las diversas regiones planas, llevandolas a figuras geomtricas sencillas como el tringulo, rectngulo, etc. Identificar cuando dos figuras geomtricas son semejantes y de acuerdo con que criterios.


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CONDUCTA DE ENTRADA 1. Para facilitar el estudio de sta sesin, el estudiante debe tener claridad en el significado de algunos trminos, por ello se debe dar la definicin o mejor an lo que usted entiende por: a) Proporcin b) Semejanza c) Polgono d) Area e) Divisin f) Transformacin 2. A partir de su interpretacin de la definicin de polgono, cuales cree usted que son las clases de polgonos que se pueden identificar. 3. Mediante los elementos de dibujo que usted muy bien domina, a partir de un circulo de radio dado, circunscriba en l un pentgono. Realice el mismo ejercicio mediante un asistente de diseo por computador.

2.1

FIGURAS SEMEJANTESESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 16


2.1.1 LNEAS PROPORCIONALES Segmentos conmensurables. Dos segmentos son conmensurables si la razn que hay entre sus longitudes es un nmero racional. Esto es, si tenemos un segmento que se tome como unidad de medicin, ese segmento cabe un nmero entero de veces en los dos segmentos (figura 2.1) A C B D

Figura 2.1 Segmentos conmensurables

Segmentos proporcionales. Dos segmentos son proporcionales si se puede formar una proporcin con los nmeros que representan las longitudes de sus partes. En la figura 2.1 el segmento CD tiene dos veces la longitud de AB, luego AB=1 y CD=2, y AB/CD=1/2 2.1.2 TRINGULOS SEMEJANTES Semejanza de tringulos. Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales; sin embargo, para afirmar que dos tringulos son semejantes no es necesario probar que los tres ngulos correspondientes son congruentes y que los tres lados correspondientes son proporcionales, sino que bastar con que cumpla con tres de las seis condiciones, generndose tres casos o criterios de semejanza, mismos que se enuncian a continuacin: Criterio AAA de semejanza. Si dos tringulos tienen sus tres ngulos correspondientes congruentes, entonces los tringulos son semejantes. En la Figura 2.2 los ngulos y , y , y y son congruentes entre s, por tanto el tringulo ABC es semejante al tringulo DEF. Criterio LAL de semejanza.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 17


Dos tringulos son semejantes si tienen un ngulo congruente comprendido entre lados proporcionales. En la figura 2.2 los ngulos y son congruentes y adems los lados BA y BC son proporcionales a los lados ED y EF respectivamente, luego el tringulo BAC y EDF son semejantes. E B C D Figura 2.2 Tringulos semejantes

A

F

Criterio LLL de semejanza. Si los lados correspondientes de dos tringulos son proporcionales, entonces los tringulos son semejantes. En la figura 2.2, los segmentos AB y DE son proporcionales, as como los segmentos BC y CA con los segmentos EF y FD respectivamente, por tanto los tringulos CAB y FDE son semejantes.

2.1.3 POLGONOS SEMEJANTES Dos polgonos son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamao. Criterio de semejanza entre dos polgonos Para que dos polgonos (con el mismo nmero de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes: Los ngulos respectivos han de ser congruentes (iguales). Los lados respectivos han de ser proporcionales: Los vrtices, lados y ngulos correspondientes a dos polgonos semejantes se llaman homlogos; y a la constante de proporcionalidad, la cual se obtiene dividiendo las longitudes de dos lados homlogos se llama razn de semejanza. En la figura 2.3 se muestran dos polgonos semejantes, de all se puede establecer que los ngulos A, B, C, D y E son de igual magnitud con P, Q, R S y T. As mismo los lados AB, BC, CD, DE y EA son proporcionales a los lados PQ, QR, RS, ST, TP respectivamente.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 18


D S E A B POLIGONO IRREGULAR A C T R P Q POLIGONO IRREGULAR B

Figura 2.3 Polgonos semejantes

2.1.4 RELACIONES MTRICAS ENTRE LAS LNEAS DEL CRCULO Las relaciones mtricas entre las lneas del crculo son las siguientes: Relaciones entre los segmentos de la cuerda: Si dos cuerdas se cortan en un punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda Relacin entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. Relacin entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple que la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su segmento exterior AREAS

2.2

rea es el nmero positivo que se le asigna a la superficie de una figura geomtrica y hace referencia a su extensin.


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2.2.1 DETERMINACIN DE REAS Antes de determinar el rea de cualquier figura geomtrica es conveniente establecer los trminos que se emplean frecuentemente: Polgono, figura plana de varios ngulos limitada por lneas rectas. Radio, segmento trazado desde el centro del crculo a la circunferencia. Vrtice, punto donde concurren los dos lados de un ngulo. Apotema, perpendicular trazada del centro de un polgono regular a uno de sus lados. Area, superficie comprendida dentro de un permetro. Cateto, cada lado del ngulo recto en un tringulo rectngulo. Diagonal, lnea recta que va de un vrtice a otro no inmediato en un polgono. Dimetro, lnea recta que pasa por el centro del crculo y termina por ambos extremos en la circunferencia. Permetro, lnea que limita una figura plana. TRINGULO

2.2.1.1

El tringulo es un polgono formado por tres lados y tres ngulos. La suma de todos sus ngulos siempre es 180 grados. Para calcular el rea se emplea la siguiente frmula: rea del tringulo = (base x altura) / 2

77,8 6 baseFigura 2.3 Tringulo

41 7, 6 altura


20


2.2.1.2

RECTNGULO

El rectngulo es un polgono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ngulos son de 90 grados cada uno. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del rectngulo = base x altura

71 1 , 2 base

altura

Figura 2.4 Rectngulo

2.2.1.3

ROMBO

El rombo es un polgono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 24 ,4 1 0 diagonal menor 736 ,2 diagonal mayor

Figura 2.5 Rombo

3 5


21


2.2.1.4

TRAPECIO

El trapecio es un polgono de cuatro lados, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del trapecio = [(base mayor + base menor) x altura] / 2,6 base 633 menor

10 8 0, base1mayor

Figura 2.6 Trapecio

2.2.1.5

PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polgono de cuatro lados paralelos dos a dos. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del paralelogramo = base x altura

baseFigura 2.7 Paralelogramo

altura

40 7,7 altura


22


2.2.1.6

POLGONO REGULAR

Pentgono El pentgono regular es un polgono de cinco lados iguales y cinco ngulos iguales. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del pentgono = (permetro x apotema) / 2

MA TE O AP

Figura 2.8 Pentgono Regular

Hexgono El hexgono regular es un polgono de seis lados iguales y seis ngulos iguales. Los tringulos formados, al unir el centro con todos los vrtices, son equilteros. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del hexgono = (permetro x apotema) / 2

AP OT EM A

Figura 2.9 Hexgono regular


23


2.2.1.7

CIRCULO

El crculo es la regin delimitada por una circunferencia, siendo sta el lugar geomtrico de los puntos que equidistan del centro. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del crculo = 3'1416 x (radio)

R

Figura 2.10 Circulo

2.2.1.8

SECTOR CIRCULAR

Un sector circular es la regin delimitada por un arco y dos radios. El rea de esta figura se calcula mediante la frmula: rea del sector circular = x (radio) / 2

RFigura 2.11 Sector circular

Se debe aclarar que el ngulo se debe expresar en radianes, ya que el rea es un nmero real y el ngulo en radianes tambin, mientras que si se expresa en grados no se tendr un valor apropiado. 2.2.2 RELACIONES MTRICAS ENTRE LAS REASESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 24


Las reas de los polgonos regulares cumplen algunas relaciones entre s de acuerdo con el teorema de Pitgoras. 2.2.3 TEOREMA DE PITGORAS

El gran matemtico griego Pitgoras descubri una situacin muy especial que se produce en el tringulo rectngulo y que se relaciona con sus lados. El teorema de Pitgoras establece que el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos. El rea del hexgono regular construido sobre la hipotenusa del tringulo rectngulo, es igual a la suma de las reas de los otros dos hexgonos construidos sobre los catetos del tringulo. (Los lados de los hexgonos miden lo mismo que los lados a los que estn unidos). Por lo anterior el rea del hexgono C es igual a la suma de las reas de los hexgonos A y B en la figura 2.12 El resultado es cierto utilizando cualquier otro polgono regular en lugar de hexgonos, y tambin si se construyen cualquier tipo de polgonos semejantes sobre los lados del tringulo rectngulo.

HEXAGONO C

HEXAGONO B

HEXAGONO A

Figura 2.12 Teorema de Pitgoras

2.2.4 APLICACIONESESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 25


La zona sombreada representa un terreno (figura 2.13). Cul es la superficie del lote, si los terrenos que lo limitan son cuadrados y el rea es la que se indica en la figura?

Area 144 Hm2 Area 169 Hm2

Figura 2.13 Terreno triangular

Como el lote tiene forma de tringulo rectngulo, bastar con aplicar el teorema de Pitgoras para calcular el rea del lote que se ubica en el cateto del cual no se conoce el rea. rea lote = 169 144 = 25 Hm Ahora se debe calcular la longitud de los catetos, 12 Hm y 5 Hm respectivamente. Aplicamos la frmula para el rea del tringulo: rea = 5x12/2 = 30 Hm. 2.2.5 POLGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS Circunferencia circunscrita Todos los polgonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. El radio y el centro de dicha circunferencia son el radio y el centro del polgono regular. Una forma de construccin de polgonos regulares es dividir la circunferencia en un nmero de arcos iguales y unir los puntos de la divisin obtenindose elESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 26


correspondiente polgono inscrito regular. Cuanto mayor sea el radio de dicha circunferencia mayor ser el polgono regular obtenido. Apotema de un polgono regular La apotema de un polgono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polgono. Es bsica para conocer el rea del polgono ya que es la altura de cada uno de los tringulos formados por cada dos radios y el lado. rea de un polgono regular El rea de cualquier polgono es el de la suma de las reas de los tringulos en que se puede dividir. Si el polgono es regular el mtodo se simplifica, ya que puede dividirse en tringulos iguales con un vrtice en el centro del polgono y los otros dos en los extremos de cada lado. Puesto que la apotema es la altura de cada uno de esos tringulos, su rea es el producto del lado por la apotema partido por dos. Al multiplicar por el nmero de lados se obtiene al rea del polgono regular: el permetro por la mitad de la apotema.

Figura 2.14 Polgonos regulares circunscritos

2.2.6 TRANSFORMACIN DE FIGURAS La transformacin de figuras es un mtodo bastante efectivo para determinar el rea de figuras geomtricas complejas que no son equivalentes en forma global a ninguna de las figuras analizadas anteriormente, pero que se pueden transformar o descomponer en figuras como las estudiadas hasta ahora. En la figura 2.19 se muestra una figura geomtrica de la que se quiere calcular el rea correspondiente.


27


4 0

5, 33

0 O 5

6 6

70

80

80

7 0

Figura 2.15 Transformacin de figuras

Como se puede apreciar en la figura 2.15, se ha transformado la figura geomtrica inicial en la suma de varias regiones geomtricas sencillas como el rectngulo, el tringulo y un sector circular, adems como tiene un hueco circular , le debemos restar el rea del circulo. De esta forma se puede determinar el rea a partir de la transformacin realizada, con clculos ms sencillos. 2.2.7 DIVISIN DE FIGURAS La divisin de figuras es otro mtodo bastante til y prctico para determinar el rea de algunas figuras geomtricas, como los polgonos irregulares y que no se asemejan a ninguna de las figuras estudiadas anteriormente. En ste mtodo la figura se debe dividir en tringulos cuyas dimensiones sean conocidas o que se facilite su clculo a travs de las herramientas que nos brinda la trigonometra.

3 5


28


En la figura 2.16 se muestra un poligono irregular, del cual se requiere determinar el rea. Como se puede apreciar en la figura es posible divirla mnimo en tres tringulos, al trazar diagonales desde los vrtices, y el rea del tringulo la podemos calcular de 1 acuerdo con la frmula A = bh ; sin embargo se debe tener cierta habilidad para 2 poder realizar una divisin apropiada que facilite el clculo. En la primera alternativa propuesta se obtienen tres tringulos distintos, de los cuales se conocen las dimensiones de algunos lados y habr que utilizar la trigonometra para poder determinar las dimensiones de los lados que no se conoce, o lo que es ms critico an, se debe tomar un lado como base y determinar la altura, para poder aplicar la frmula. En la segunda alternativa se realiza una divisin aprovechando la simetra de la figura, obteniendo tres tringulos, de los cuales dos son semejantes (mejor an congruentes, es decir iguales, los tringulos 1 y 3) y el otro es isoceles (dos lados iguales) por ello los clculos que se deben realizar se reducen significativamente.

30B

C

30B D 2

C B D

30

C

40

40

40

10 5

119

1

50

50

30

30

3 A 50 E

A

50

E

A

50

E

Figura 2.16 Divisin de figuras

3029

1


50

3

2

D

90


ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL 1. Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Adems se tiene que m = 6 cm., n = 10 cm. y que p = 8 cm. Determina la medida del segmento q. 2. Dos segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Si m = 6 cm., n = 8 cm. y p + q = 21 cm. Cuales son las medidas de p y q? 3. Dos segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d, respectivamente. Si a = 3 m., b = 4 m. y c + d = 28 m. Cuales son las medidas de c y d? 4. Dos tringulos tienen sus lados proporcionales. Si el permetro del primero es 45 m. y los lados del segundo tringulo miden 4 m., 5 m. y 6 m., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer tringulo y la razn de proporcionalidad. 5. Dos tringulos tienen sus lados proporcionales. Si el permetro del primero es 130 cm. y los lados del segundo tringulo miden 12 cm., 10 cm. y 4 cm., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer tringulo y la razn de proporcionalidad. 6. Determina los lados de un tringulo sabiendo que su permetro mide 180 cm. y que sus lados son proporcionales a 3, 5 y 10. 7. Si el tringulo ABC es semejante con el tringulo PQR entonces: La razn entre los lados correspondientes es: _______ = _______ = _______ El ngulo CAB es congruente con el ngulo _______ El ngulo ABC es congruente con el ngulo _______ El ngulo ACB es congruente con el ngulo _______ 8. Determina si son verdaderas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta. Todos los tringulos equilteros son semejantes. Todos los tringulos issceles son semejantes. Hay tringulos esclenos y tringulos rectngulos que son semejantes.


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SESION 3 GEOMETRIA DEL ESPACIOINTRODUCCIN La geometra del espacio es el rea de la geometra que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geomtricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, tambin llamadas slidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirmide, la esfera y el prisma. La geometra del espacio ampla y refuerza las proposiciones de la geometra plana, y es la base fundamental de la trigonometra esfrica, la geometra analtica del espacio, la geometra descriptiva y otras ramas de las matemticas. Se usa ampliamente en ingeniera y en ciencias naturales. Sin embargo aqu no se cubrirn todas las temticas, pues el objetivo de la sesin es sentar las bases de la geometra descriptiva, la cual se desarrollar desde la sesin No 4. Tambin es preciso mencionar que las cnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a la fsica. Por ejemplo, las propiedades de reflexin son de gran utilidad en la ptica. Pero sin duda lo que las hace ms importantes en la fsica es el hecho de que las rbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, ms an, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cnica. El astrnomo alemn Johannes Kepler (15701630) descubri que las rbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos. OBJETIVOS Conocer los mtodos para realizar una proyeccin sobre un plano. Conocer las figuras en 3D para su posterior identificacin y empleo en programas de diseo asistido por computador. Conocer el origen geomtrico de las curvas cnicas, sus constantes y sus aplicaciones.


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CONDUCTA DE ENTRADA 1. Para facilitar el desarrollo de sta sesin, es conveniente que el estudiante realice una breve descripcin de los diferentes tipos existentes de proyeccin sobre un plano. 2. Identifique en la figura general, las figuras parciales de las cuales est compuesta.

Figura P-2

3. En la figura calcule el rea total.

Figura P-3


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3.1

LNEAS RECTAS Y PLANOS

La lnea es uno de los trminos indefinidos de la geometra. Las lneas se extienden indefinidamente y no tienen ni espesor ni anchura. Las lneas son representadas con flechas en los extremos y se las nombra con letras minsculas. A veces, una lnea se la puede nombrar usando las flechas sobre las letras maysculas cuando esta representando dos puntos en la lnea.

Figura 3.1 Lnea recta

El plano es otro de los trminos indefinidos de la geometra. Los planos se extienden indefinidamente en cualquier direccin y no tienen espesor. Un plano esta representado por una figura de mnimo tres lados y se lo nombra con una letra mayscula o por tres puntos que no estn sobre la misma lnea.

Figura 3.2 Plano

3.2

RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el punto de interseccin. En la Figura 3.3a, la recta R es perpendicular a S, T, V, etc.

Figura 3.3 Recta perpendicular a un plano


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3.2.1 TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyeccin (Fig. 3.3b) o est contenida en l (Fig. 3.3c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano. Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectas perpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano de proyeccin, el ngulo formado por R y T se proyecta sin deformacin. 3.2.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la traza P del plano en el plano de proyeccin, las proyecciones de R y P deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de dicho plano (Fig. 3.4).

Fig. 3.4 Perpendicularidad entre recta y plano

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta con trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homnimas de la recta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 3.4) El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontal que, pasando por el punto, tenga su proyeccin horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 34


Perpendicularidad entre planos: si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) que contenga a la recta R es perpendicular a (P). Perpendicularidad entre rectas: para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular a la recta S. 3.3 PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

3.3.1 PARALELISMO Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homnimas paralelas. Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio an sindolo sus proyecciones didricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil tambin lo sean (Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Rectas no paralelas

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano. Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 3.5). El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paralelo a R.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 35


Fig. 3.6 Rectas Paralelas

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos rectas paralelas, de aqu que los planos paralelos tengan sus trazas homnimas paralelas. Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfil para ser paralelos en el espacio (Fig. 3.6). Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemos auxiliarnos de una recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal, trazamos su proyeccin horizontal por la proyeccin horizontal del punto dado, paralela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la recta horizontal, trazamos Q', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre la lnea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 3.6). 3.4 PROYECCIONES SOBRE UN PLANO

La geometra descriptiva es la ciencia que estudia la representacin de los elementos del espacio sobre el plano. Para ello utiliza algunos mtodos, llamados sistemas de representacin, que se basan en el concepto de proyeccin desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representacin han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representacin podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representacin lo podamos reconstruir en el espacio. Del concepto de proyeccin desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representacin. Si elESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 36


punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyeccin es cnica, y cilndrica, si es impropio. La proyeccin cilndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyeccin.

Figura 3.7 Proyecciones sobre un plano

En el Sistema Didrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyeccin cilndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diedro rectngulo. Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un nico plano de proyeccin, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical. De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un nico plano 3.5 NGULOS POLIEDROS

Si todos los puntos de un polgono convexo se unen con un punto exterior a su plano se obtienen diferentes semirectas, cuya unin recibe el nombre de ngulo poliedro. Cuando el polgono es un tringulo se obtiene un triedro. Los poliedros son los cuerpos (slidos) limitados en su superficie por polgonos planos. Por lo que es necesario recordar los dos tipos de polgonos existentes: Polgono convexo: Un polgono es convexo si y solamente si cualquier lnea que contiene un lado del polgono no contiene un punto en el interior del polgono.


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Figura 3.8 Polgono convexo

Polgono cncavo: Un polgono es cncavo si y solamente si no es un polgono convexo.

Figura 3.9 Polgono convexo

3.6

CURVAS

3.6.1 NOCIONES PRELIMINARES

El matemtico griego Menecmo (vivi sobre el 350 A.C.) descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor), el primero en estudiar detalladamente las curvas cnicas y encontrar la propiedad plana que las defina. Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hiprbolas y parbolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cnica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hiprbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cnica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista). Las parbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cnica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).


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Figura 3.10 Forma de obtener una curva cnica

Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad). Si esta constante est comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es una parbola y si es mayor que uno es una hiprbola. 3.6.2 ELIPSE Se llama elipse al lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La lnea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vrtices de la elipse a los puntos donde sta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal. Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal, respectivamente.


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Figura 3.11 Elipse

3.6.3 PARBOLA

Se llama parbola al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz de una parbola recibe el nombre de parmetro de la parbola (suele denotarse por p). Dada una parbola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vrtice de la parbola al punto donde sta corta a su eje. Para simplificar la parbola, se supondr que el vrtice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.


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Figura 3.12 Parbola

3.6.4 HIPRBOLA Se llama hiprbola al lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hiprbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hiprbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hiprbola. Los puntos donde la hiprbola corta a los ejes (se ver que nicamente corta al eje real) se llaman vrtices de la hiprbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hiprbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.


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Figura 3.13 Hiprbola

3.7

APLICACIONES

3.7.1 DE LA ELIPSE Propiedad ptica Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejar hacia el otro foco.

Figura 3.14 Espejo elptico

La propiedad ptica de la elipse se aplica en las galeras de murmullos como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de Mxico, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuandoESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 42


murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, an cuando su voz sea inaudible para otras personas del saln. Otra aplicacin de la propiedad ptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrar en el otro foco.

Figura 3.15 Galera de los Murmullos

Astronoma Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la astronoma. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de Marte, al aplicar el modelo de Coprnico de rbitas circulares alrededor del sol, vio que los clculos discrepaban ligeramente de la posicin real del planeta en el firmamento. As que intent ajustar la rbita a otras curvas y finalmente encontr que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. As encontr su primera ley del movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya rbita era ms excntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus, cuya rbita es prcticamente circular, posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

Figura 3.16 Orbita elptica

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son: 1. Los planetas se mueven en rbitas elpticas, uno de cuyos focos es el Sol.


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2. Los planetas barren reas iguales en tiempos iguales. Es decir, en la figura , si el tiempo que tarda el planeta en ir de A a B es igual que el que tarda en ir de C a D, entonces el rea OAB es igual al rea OCD. 3. El cuadrado del perodo de un planeta (el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol) es proporcional al cubo de su distancia media (la longitud del semieje mayor de la elipse) al sol. Kepler encontr sus leyes empricamente, pero fue Newton, utilizando el Clculo Diferencial que acababa de inventar, y su modelo de gravitacin universal, quien prob dichas leyes. 3.7.2 DE LA PARBOLA Propiedad ptica Una propiedad geomtrica simple de la parbola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parbola, la tangente en P forma ngulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parbola. Un principio de la fsica dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. Se sigue que si la parbola gira en torno a su eje para formar una concha reflectora hueca, todos los rayos de luz que partan del foco se reflejarn, despus de chocar con la concha, paralelos al eje. Esta propiedad de la parbola se usa en el diseo de faros buscadores, en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto.

Figura 3.17 Faro buscador


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Trayectoria parablica de un proyectil La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parbola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.

Figura 3.18 Trayectoria de un proyectil

Puentes colgantes El cable de suspensin de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parbola.

Figura 3.19 Puente colgante

3.7.3 DE LA HIPRBOLA Propiedad ptica Consideremos un espejo que tenga forma de hiprbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejar alejndose directamente del otro foco. La demostracin es enteramente anloga a la propiedad ptica de la elipse. Las propiedades pticas de la parbola y de la hiprbola se combinan en el diseo del telescopio reflector del tipo Cassegrain. Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 45


Sistema de navegacin LORAN La propiedad de la definicin de la hiprbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hiprbola a los focos es constante, se utiliza en la navegacin. En el sistema de navegacin LORAN (acrnimo de long range navigation), una estacin radioemisora maestra y otra estacin radioemisora secundaria emiten seales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos seales estar probablemente ms cerca de una de las estaciones, habr una diferencia entre las distancias recorridas por las dos seales, lo cual se registrar como una pequea diferencia de tiempo entre las seales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias ser tambin constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria ser una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deber quedar en la interseccin de las dos hiprbolas correspondientes.

Figura 3.20 Navegacin Loran


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Astronoma (Trayectorias de cometas) Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atrado por el sol, describir una rbita hiperblica, teniendo como un foco al sol y saldr nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas. En la figura 3.18 se muestra cmo se pueden combinar las propiedades pticas de la parbola y la hiprbola para construir un telescopio.

Figura 3.21 Combinacin de propiedades pticas


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EVALUACION FINAL 1. Investigue sobre los poliedros regulares existentes, su denominacin y caractersticas principales. Dibuje cada uno de ellos mostrando caractersticas. Realice el ejercicio con ayuda de un paquete de diseo. 2. De acuerdo con los tipos de curvas cnicas, identifique en qu rea o proceso de la ingeniera Civil se emplean y bajo que caractersticas.


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SESION 4 GEOMETRIA DESCRIPTIVAINTRODUCCIN Una de las formas de comunicacin ms empleadas a nivel mundial es la expresin grfica, la cual se constituye en un lenguaje universal, en donde es posible transmitir cualquier sensacin, idea, diseo, etc. y sobre todo para sta ltima se constituye en un lenguaje obligatorio entre los ingenieros y arquitectos que centran su ejercicio profesional en el diseo de elementos por mencionar algo sencillo, hasta sistemas mucho ms complejos que difcilmente se podran comunicar de otra forma. Sin embargo se hace necesario representar fielmente los objetos de tres dimensiones (longitud, altura y profundidad), en superficies de dos dimensiones y esto se ha ido resolviendo con el paso del tiempo, dando origen a lo que hoy denominamos la geometra descriptiva, la que permite hacer la representacin con exactitud y con sus ms mnimos detalles de un objeto, una pieza mecnica, una estructura etc., para su correcta construccin; as como resolver complejos problemas de ingeniera o arquitectura grficamente. OBJETIVOS Entender los conceptos bsicos de la geometra descriptiva como son punto, lnea recta y plano, entre otros que sern de gran utilidad durante el estudio y el ejercicio de la Ingeniera Civil. Desarrollar la capacidad para encontrar las diversas proyecciones de un punto, lnea o plano.


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CONDUCTA DE ENTRADA 1. La geometra descriptiva se fundamenta en coceptos bsicos, por ello es necesario que el estudiante repase dichos conceptos y defina los siguientes trminos: a) Geometra Descriptiva b) Plano de Proyeccin c) Proyeccin de un punto d) Proyectante e) Proyeccin Ortogrfica 2. En la geometra descriptiva se emplean elementos bsicos, a partir de los cuales se facilita el tratamiento de los slidos para proyectarlos segn las necesidades. Por lo anterior es fundamental tener claridad y solidez sobre la interpetacin de dichos elementos. Indique lo que usted entiende por cada uno de ellos: a) Punto b) Lnea recta c) Plano


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4.1 PROYECCIONES Los slidos tienen tres dimensiones: longitud, altura y profundidad y en la figura 4.1 en la proyeccin mostrada sobre el plano vertical, solamente aparecen su longitud y su altura. Para que aparezca la tercera dimensin, o sea su profundidad, el ingeniero necesita proyectarlo sobre otro plano de proyeccin H como aparece ah mismo.

Figura 4.1 Planos horizontal y vertical de proyeccin

Si los planos anteriores se trazan paralelamente a superficies fundamentales del slido, las proyecciones representan la verdadera forma y magnitud de estas. Estos planos V y H se denominan plano vertical de proyeccin y plano horizontal de proyeccin respectivamente, cuando cumplen con las siguientes definiciones: a) Plano Horizontal de Proyeccin: Es aqul en donde todos los puntos que lo componen, estn a igual altura del plano de comparacin determinado por el nivel del mar. La proyeccin del slido en este plano se llama proyeccin horizontal y las proyectantes que deben ser perpendiculares a l, son lneas verticales en el espacio. b) Plano Vertical de Proyeccin: Es un plano perpendicular al Horizontal y la proyeccin del slido sobre l se llama proyeccin vertical. Las proyectantes, queESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 51


deben ser tambin perpendiculares a dicho plano, son lneas horizontales en el espacio. Son estos, los planos bsicos de todo sistema de proyeccin. De acuerdo a esto para describir correctamente un slido bastara con proyectarlo en dichos planos, pues all se dan sus tres dimensiones. Aunque esto es cierto para aquellas configuraciones sencillas; pero los slidos con configuraciones ms complejas requieren de una tercera proyeccin denominada Plano de Perfil o P (figura 4.2), que se puede definir as: Plano de Perfil (lateral): Este plano es vertical tambin; pero con la particularidad de ser perpendicular a los planos horizontal y vertical a la vez. Las proyectantes de ste plano son lneas horizontales, perpendiculares a las proyectantes del plano vertical. Se le denomina as para distinguirlo del plano vertical.

Figura 4.2 Plano de proyeccin de perfil

Para comprender mejor, se puede considerar que estos tres planos fundamentales formen el rincn de una caja de cartn; en tal ejemplo, el plano Horizontal H se asimilara a la tapa superior, el plano Vertical V a la cara anterior y el de Perfil P a la cara lateral, tal como se aprecia en la figura 4.3.


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Figura 4.3 Planos fundamentales de proyeccin

Si se coloca el slido suspendido en el espacio interior de esta caja, en tal forma que la mayora de sus caras sean paralelas a dichos planos (figura 4.4), y se le proyecta sobre ellos, se obtienen sus tres proyecciones: la proyeccin horizontal sobre el plano H, la proyeccin vertical sobre el plano V y la proyeccin de perfil sobre el plano P.

Figura 4.4 Slido y proyecciones fundamentales en el espacio

Pero esta situacin real del espacio, debe ser representada sobre superficies bidimensionales como lo es la hoja de papel o la pantalla del computador. Para lograrlo, es necesario abrir esta caja convencional llevando los planos horizontal y de perfil, junto con las proyecciones respectivas al mismo plano que el vertical, hacindolos girar 90. As se obtiene la posibilidad de dibujar como se indica en la figura 4.5, las tres proyecciones fundamentales del slido.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 53


Figura 4.5 Slido y proyecciones principales en el plano

Se han mencionado hasta ahora las proyecciones fundamentales de un slido; pero, al asimilar los planos de proyeccin a las caras de una caja de forma rectangular (paraleleppedo rectangular), se observa que sta no posee nicamente tres caras, sino seis y adems son paralelos de dos en dos. Esto permite establecer los seis planos principales de proyeccin, los cuales reciben su nombre de acuerdo con las denominaciones dadas a las superficies del slido y a su situacin en el espacio, estas son: horizontal superior e inferior, vertical anterior y posterior, y perfil derecho e izquierdo.P erfi I uierd o l zq H o ri o n tal S up erior z

V erti a l P o s terior c

P erfl D ere ch o i V e rt a l A n terior ic

H ori nta l I zo nferior

Figura 4.6 Planos Principales de Proyeccin de un slido


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4.1.1 PLANOS Y PROYECCIONES ADYACENTES Al analizar la representacin de los planos de proyeccin despus de la rotacin necesaria para ponerlos sobre la hoja de papel (figura 4.7), podemos apreciar que los planos horizontal inferior, horizontal superior, perfil derecho y perfil izquierdo rodean al vertical anterior. Esta ubicacin nos indica que stos planos son adyacentes al vertical anterior y que a su vez ste es adyacente a cada uno de ellos.

Figura 4.7 Planos principales de proyeccin en el plano (Sistema Americano)

Lo anterior permite establecer cuando un plano se denomina adyacente con relacin a otros. Las proyecciones situadas en estos planos, como es de esperarse, llevan las mismas denominaciones: Proyeccin adyacente horizontal, cuando est situada sobre un plano adyacente al Horizontal; Proyeccin adyacente vertical, cuando est situada sobre un plano adyacente al Vertical; etc. 4.1.2 LNEAS DE REFERENCIA Las aristas de la caja convencional utilizada como medio de comparacin son las lneas de referencia; las cuales son las intersecciones entre si de los planos de proyeccin.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 55


Las lneas de referencia tienen como notacin dos letras maysculas que corresponden a las iniciales de los planos que se intersectan. As la lnea de referencia entre los planos vertical y perfil se notar como V/P y entre los planos horizontal y vertical se denominar H/V. Otras notaciones de lneas de referencia pueden ser la R/S o la X/Y, que se entienden como las intersecciones de los planos R y S, o del plano X con el Y. Se debe notar que las lneas de referencia, separan dos planos que en el espacio son perpendiculares entre s, tal como se muestra en la siguiente figura.Pl o S an

S R S R

L i ea d e n R eferen ci a

Pl o R an

Figura 4.8 Lneas de Referencia

Vale la pena anotar que las lneas de referencia representan a uno de los planos que se intersectan, visto como una lnea o filo cuando el observador lanza visuales o proyectantes perpendiculares sobre el otro plano. 4.1.3 PROYECCIONES PRINCIPALES EN OTROS SISTEMAS Existen dos sistemas para organizar las seis proyecciones principales de un slido, en la figura 4.7 se representa el sistema americano o denominado tambin proyeccin en el tercer cuadrante (ISO A), pero tambin existe otro sistema muy similar al anterior, el europeo, tambin denominado proyeccin en el primer cuadrante (ISO E). En el sistema americano el plano vertical anterior es el que sirve de base para rotar los planos restantes 90; colocndose entonces, el horizontal superior por encima de ste y el de perfil derecho a su derecha.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 56


En el sistema europeo es el plano vertical posterior el que sirve de base para ejecutar dicha rotacin, es decir, en el sistema americano los planos de proyeccin se encuentran entre el observador y el objeto, mientras que en el europeo, el objeto se encuentra entre el observador y los planos de proyeccin. Las figuras 4.9a y 4.9b muestran la forma de proyectar y como se desdoblan o rotan los planos en el sistema europeo.

Figura 4.9a Proyeccin en el sistema europeo

Figura 4.9b Planos principales de proyeccin en el plano (Sistema Europeo)

Es conveniente anotar que algunos autores utilizan diferentes denominacionesESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 57


para las proyecciones principales de un slido, donde el concepto de vista es equivalente al de Proyeccin, como por ejemplo: vista frontal, elevacin o alzado para referirse a la proyeccin vertical anterior vista superior o planta para referirse a la proyeccin horizontal superior vista lateral derecha, elevacin o alzado lateral para referirse a la proyeccin de perfil derecho.

4.1.4 VISUALIZACIN En las proyecciones fundamentales de un slido se indican las tres dimensiones (figura 4.10), las cuales permiten elaborar un dibujo que represente la forma aproximada en el plano (hoja de papel). Para ello se deben trazar tres ejes, uno vertical, sobre el que se toma a la escala apropiada la altura; y otros dos formando ngulos de 30 con relacin a una lnea horizontal o perpendicular a la vertical trazada anteriormente, sobre estas se colocan, en el eje de la derecha la profundidad y en el eje de la izquierda la longitud.

Figura 4.10 Proyecciones principales de un slido


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Los ejes perpendiculares entre s en el espacio son la base de la proyeccin isomtrica. Sobre los ejes (figura 4.11) se determinan las tres dimensiones fundamentales del slido, marcando los puntos correspondientes por donde se trazan lneas paralelas a los ejes y como resultado se obtendr un paraleleppedo, el cual debe contener al slido. En la parte superior de dicho paraleleppedo se dibujan las lneas que conforman la vista superior, de igual manera se procede con la proyeccin vertical y de perfil en los planos respectivos. Se aprecia como el slido representado en la figura 4.11 tiene la forma de una L y si se borran las partes sobrantes de los trazos iniciales se puede obtener el contorno general.

Figura 4.11 Proyeccin isomtrica

Segn lo anterior se establece que la Geometra Descriptiva es sencilla, ya que solo con observar detalladamente el slido planteado y proyectar sobre los planos principales, en la forma ya expuesta sus puntos, lneas, superficies y contornos.


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Figura 4.12 Proyeccin isomtrica del slido en estudio

4.1.5 TALLER DE APLICACIN Para la proyeccin isomtrica del slido representar las proyecciones principales en el sistema americano.


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1. Se debe construir un paraleleppedo que contenga al slido y que sea paralelo a cada una de sus caras.

2. Se traza la proyeccin sobre cada cara del paraleleppedo, asumiendo que los planos de proyeccin se encuentran entre el observador y el objeto, segn se explico anteriormente.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 61


3. Se desdobla el paraleleppedo rotando cada cara 90 sobre el plano vertical

4. Cada cara representar una de las proyecciones principales.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 62


H V

V P

4.2 EL PUNTO Y LA LNEA Punto y recta son los conceptos bsicos de la geometra. Todo intento para representar fsicamente estos conceptos son solamente una aproximacin. Estos trminos son no definidos; sin embargo, podemos sugerir la idea intuitiva de cada uno de ellos: La marca hecha por la punta de un lpiz afilado sobre un papel nos da la idea de un punto. Los puntos los denotamos mediante letras maysculas A, B, C. Un hilo tenso da la idea de una recta. Una recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.

Las rectas se denotan por letras minsculas l, m, n. Si A y B son dos puntos contenidos en la recta l, la recta se puede denotar AB (se lee recta AB) 4.2.1 PROYECCIONES PRINCIPALES DEL PUNTO En la introduccin se dio la definicin de la proyeccin ortogrfica de un punto, se estableci tambin la mutua perpendicularidad de los planos de proyeccin, de lo cual se deduce: En primer lugar que sus intersecciones o lneas de referencia son perpendiculares entre s. En segundo lugar que la perpendicularidad que existe entre las proyectantes y las lneas de referencia.ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 63


Al realizar un anlisis de la figura 4.13, en donde se representa la proyeccin ortogrfica del punto B del espacio sobre los tres planos principales y segn las anteriores deducciones, se establece que la proyectante con relacin al plano vertical BbV o distancia z es paralela a sus proyecciones sobre los planos horizontal y de perfil, y de igual magnitud; que la proyectante con relacin al plano horizontal BbH o distancia y, paralela a sus proyecciones sobre los planos vertical y de perfil, y de igual magnitud; y que la proyectante con relacin al plano de perfil BbP o distancia x es paralela a sus proyecciones sobre los planos horizontal y vertical, y de igual magnitud.

Figura 4.13 Proyeccin ortogrfica de un punto

Al efectuar la rotacin de los planos H y P (figura 4.14), se aprecia que las proyecciones sobre dichos planos de la lnea proyectante del punto B con relacin al plano V, distancia x, asumen posiciones perpendiculares a las lneas de referencia H/V y V/P respectivamente; y adems, tanto las proyecciones kH y kV como kV y kP estn sobre la misma lnea, es decir la prolongacin de la distancia x.


64


bH H V bH

B V P bV

bP

bP

Figura 4.14 Rotacin de los planos H y P sobre el V

En la figura 4.15 se muestran los planos y las proyecciones del punto como deben ser dibujados en la hoja de papel. All se observa que el plano vertical es adyacente comn al horizontal y al de Perfil; tambin que la distancia x de la proyeccin horizontal kH a la lnea de referencia H/V es la misma distancia x de la proyeccin de perfil kP a la lnea de referencia V/P.


65


bH

H V

bP bV V P

Figura 4.15 Proyecciones principales de un punto

La distancia x establece la ubicacin del punto K del espacio por detrs del plano vertical (figura 4.13) y se proyecta no sobre l, sino igual en magnitud y paralelamente sobre sus planos adyacentes como lo son el de perfil y el horizontal. Al analizar lo representado en la figura 4.15 se deducen las reglas bsicas para las proyecciones de un punto: Dos proyecciones adyacentes deben estar unidas por una recta perpendicular a la lnea de referencia o interseccin de los planos que las contienen. La distancia que debe existir entre la lnea de referencia y una de las dos proyecciones adyacentes, es igual a aquella que fija la posicin del punto real del espacio, con respecto al plano adyacente comn. Por lo anterior, para obtener una proyeccin principal adyacente de algn punto, conociendo dos de sus proyecciones principales, la una adyacente comn y la otra adyacente, se debe trazar desde la primera una perpendicular a la lnea de referencia y sobre ella se toma una distancia igual a la que exista entre la otra lnea de referencia y la segunda proyeccin conocida.


66


4.2.2 PROYECCIONES AUXILIARES DEL PUNTO En la figura 4.16 se representa la proyeccin del punto A sobre los planos auxiliares M y N con relacin al plano horizontal. All se aprecia como la distancia y que establece la ubicacin del punto en el espacio con relacin a l, se proyecta igual en magnitud y paralelamente sobre sus planos adyacentes que lo son en este caso, los auxiliares M y N y el vertical.

Figura 4.16 Planos de proyeccin auxiliar de un punto

Esta misma proyeccin es ilustrada en la figura 4.17 de manera bidimensional, con el objeto de analizarla y ver que la proyeccin adyacente comn aH est unida a sus adyacentes aN, aV, y aM por rectas perpendiculares a las lneas de referencia H/N, H/V y H/S; tambin se puede apreciar que las proyecciones adyacentes estn ubicadas a la misma distancia y, medida sobre los planos que las contienen a partir de las lneas de referencia mencionadas ya. Si tomamos planos de proyeccin similares a los anteriores, se obtendrn una cantidad ilimitada de proyecciones auxiliares del punto, denominadas auxiliares horizontales por que los planos que las contienen son adyacentes al plano horizontal.


67


Figura 4.17 Proyecciones auxiliares de un punto

Si ahora se toma un plano auxiliar al plano vertical, como lo es el plano auxiliar K en la figura 4.18, se puede apreciar que la proyeccin vertical aV o adyacente comn, est unida a sus adyacentes aH, aK y aP por rectas perpendiculares a las lneas de referencia H/V, V/K y V/P respectivamente; y que sobre estas se tomaron distancias iguales a la proyectante D que es la que establece la ubicacin del punto proyectado A con relacin al plano adyacente comn V. Tambin se puede obtener una ilimitada cantidad de proyecciones auxiliares adyacentes al plano vertical las cuales se denominan auxiliares verticales.


68


Figura 4.18 Proyecciones auxiliares de un punto adyacentes a la vertical

4.2.3 PROYECCIONES PRINCIPALES DE LA LNEA Al igual que las proyecciones principales del punto, cuando hablamos de las proyecciones principales de una lnea, hacemos referencia a las proyecciones de una lnea cualquiera sobre los planos horizontal, vertical y de perfil. Sin embargo empezaremos por ilustrar algunas lneas particulares y sus caractersticas generales. 4.2.3.1 LNEA VERTICAL La lnea vertical es una lnea perpendicular al plano horizontal de proyeccin. En las figuras 4.19 y 4.20 se muestra la lnea 3-8, que por su posicin en el espacio es similar a la lnea 1-9. Esta lnea vertical al igual que otras del mismo tipo tienen las siguientes caractersticas generales: a) Es paralela a los planos vertical y de perfil. b) Las proyecciones en los planos vertical y de perfil la mostrarn en Verdadera Magnitud o longitud real; y por tanto paralelas a la lnea de referencia V/P. c) En la proyeccin horizontal, sus dos puntos extremos se confunden en uno solo, pero identificado con dos (2) letras o nmerosESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 69


2 2 1 7 3 4

3

4

1

6 9 5

8

7 6 9

5

Figura 4.19 Lneas de un slido en el espacio

3H8H

L

H V L

3V

3P

VM

VM8P V P

8V

Figura 4.20 Proyecciones principales de una lnea vertical


70


4.2.3.2 LNEA HORIZONTAL La lnea horizontal es toda lnea paralela al plano horizontal de proyeccin; lo que quiere decir, que todos sus puntos estn a la misma altura respecto a l, y tambin que en la proyeccin horizontal se representa en su Verdadera Magnitud (VM). Es el caso, por ejemplo de la lnea 1-2 (figura 4.19) Una lnea horizontal puede tener tres posiciones diferentes en el espacio con relacin a los planos vertical y de perfil; estas son: De punta, es decir perpendicular al plano de proyeccin vertical. En la figura 4.18 se destaca del slido la lnea 1-2 similar a la 5-8, como ejemplo de sta posicin. Sus caractersticas son: a) Los puntos extremos se confunden en uno solo, pero se identifican con dos letras o nmeros en la proyeccin vertical. (1V-2V en la figura 4.21). b) Paralela a los planos horizontal y de perfil, y por ello aparece en su verdadera magnitud en estas proyecciones. (Proyecciones 1H-2H y 1P-2P en la figura 4.21)

2H

L

VM L11H H V L1 1V2V 1P L VM 2P

V P

Figura 4.21 Proyecciones principales de una lnea horizontal de punta

Perpendicular al plano de perfil, que es lo mismo que decir paralela al plano vertical. Por ejemplo se muestra la lnea 2-3 del slido de la figura 4.19. Sus caractersticas son:

a) Los puntos extremos se confunden en uno solo, pero se identifican con dosESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 71


letras o nmeros en la proyeccin de perfil. (2P-3P en la figura 4.22). b) Paralela a los planos horizontal y vertical, y por ello aparece en su verdadera magnitud en stas proyecciones. (Proyecciones 2H-3H y 2V-3V en la figura 4.22).

2H VM

3H

L

H V VM 2V 3V V P L 3P2P

Figura 4.22 Proyecciones principales de una lnea horizontal perpendicular al plano de perfil

Horizontal cualquiera al no tener ninguna de las dos posiciones anteriores. Es la ms utilizada en la Geometra Descriptiva. Por ejemplo la lnea 1-4 del slido de la figura 4.19, Es paralela al plano horizontal, pero su posicin con relacin a los planos Vertical y de perfil puede ser cualquiera. Las caractersticas de estas lneas son:

a) Se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano de proyeccin horizontal.(1H-4H en la figura 4.23) b) En la proyeccin vertical debe aparecer paralela a la lnea de referencia H/V c) En las proyecciones vertical y de perfil, aparecer con una menor longitud con relacin a la magnitud que posee la lnea en el espacio. d) El ngulo que se observa en la proyeccin horizontal, es el ngulo que la lnea forma con el plano de Perfil, y el ngulo es el que forma con el plano Vertical.


72


4H

1H

VM

L1

LH V L1 L VM 1P V P 4P

1V

4V

Figura 4.23 Proyecciones principales de una lnea horizontal cualquiera

4.2.3.3 LNEAS OBLICUAS Se denominan lneas oblicuas a las lneas que adoptan posiciones diferentes a las anteriormente mencionadas. Tambin existen tres tipos distintos de lneas oblicuas y ellas son: De perfil cuando es paralela al plano de perfil, pero sin ser vertical. En la figura 4.19 se aprecia la lnea 4-5, similar a la 2-9 del slido, como ejemplo de esta posicin. Las caractersticas son: a) Perpendicular a la lnea de referencia H/V, en sus proyecciones vertical y horizontal. (Proyecciones 4H-5H y 4V-5V de la figura 4.24) b) Aparece en Verdadera Magnitud en la proyeccin de perfil. c) El ngulo es el que ella forma con el plano vertical y el ngulo es el que la lnea forma con el plano horizontal


73


4H

L

L1

5H H V L

4V

VM

4P

5V L1 5P V P

Figura 4.24 Proyecciones principales de una lnea oblicua de perfil

Frontal cuando es paralela al plano de proyeccin vertical, tambin denominado plano frontal. Esta posicin se destaca con la lnea del slido determinada por los puntos 1 y 5 de la figura 4.19. Las caractersticas son: a) Aparece en verdadera magnitud en el plano vertical. ( 1V-5V en la figura 4.25) b) Paralela a las lneas de referencia H/V y V/P en las proyecciones horizontal y de perfil respectivamente, ya que la lnea es paralela al plano V en el espacio. c) El ngulo es el que la lnea forma con el plano de proyeccin de perfil y el ngulo es el que forma la lnea real con el plano horizontal. Los ngulos se proyectan en Verdadera Magnitud sobre el plano vertical (ver figura 4.25)


74


1H

5H 5H

L

1V

H V

L 1P

VM

5V V P 5P

Figura 4.25 Proyecciones principales de una lnea oblicua frontal

Oblicua total cuando no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos principales de proyeccin. La lnea del slido determinada por los puntos extremos 2 y 6 tiene sta posicin (figura 4.19). Las caractersticas son: a) En ninguna de las proyecciones principales aparecer en verdadera magnitud (figura 4.26) b) La lnea forma con cada uno de los planos principales de proyeccin ngulos que no aparecen en su verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones principales.


75


2H

6H

L

H V 2V

L1

L1 2P

6V V P

L

6P

Figura 4.26 Proyecciones principales de una lnea oblicua total

4.2.4 PROYECCIONES MLTIPLES DE LA LNEA Una lnea se define a partir de dos puntos extremos y por tanto para obtener las proyecciones mltiples de una lnea, lo que se debe hacer es obtener las proyecciones de sus puntos extremos. Anteriormente se explic como obtener una serie de proyecciones encadenadas del punto, las cuales se denominan mltiples. Conocidas las proyecciones horizontal y vertical de la lnea ST (figura 4.27), a partir de stas se puede obtener una serie de proyecciones mltiples sobre los planos de proyeccin A, B, M, N y O. Se deben trazar proyectantes perpendiculares a las lneas de referencia que indican las intersecciones de las planos y sobre stas tomar las distancias correspondientes como se indic para el caso del punto. Obsrvese que la lnea de referencia H/A se tom paralela a la proyeccin sHtH para obtener sobre la verdadera magnitud de la lnea el plano A.


76


L4 sBtB sA B A

tA

L1H

VM

L2tH sM

tM

L5

L2sN

L L1

A

M

sH L4 H V

L3

L

N

VM

HtV

M

L3tN N O tOsO

L

L1

L5

sVFigura 4.27 Proyecciones mltiples de una lnea

4.2.5 MAGNITUD VERDADERA DE LA LNEA La Magnitud Verdadera (VM) de una lnea es la distancia real que existe entre los dos puntos extremos que la definen. En las proyecciones de la lnea que aparezca en verdadera magnitud se indicar con la notacin de las letras maysculas VM. Cuando se analizaron las diferentes posiciones de la lnea se observ que si sta es paralela a uno de los planos, la proyeccin que aparece en dicho plano mostrar a la lnea en su magnitud verdadera; y tambin que su proyeccin en uno de los planos adyacentes a ste la lnea puede estar paralela a la lnea de referencia o proyectarse como un punto. Lo anterior sirve de base para establecer dos conceptos fundamentales: 1. Para encontrar la verdadera magnitud de una lnea se debe trazar una lnea de referencia paralela a cualquiera de sus proyecciones y se establecer la verdadera magnitud en dicho plano, el cual es adyacente a la proyeccin de la lnea. 2. Para que la proyeccin de una lnea aparezca como un punto se proyectar primero en su verdadera magnitud. A la lnea oblicua total ST (figura 4.28) se le puede obtener la verdadera magnitudESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 77


si se proyecta sobre un plano como el A que le sea paralelo. Para hallar la proyeccin sobre este plano auxiliar A, se debe seguir el proceso mostrado en la figura 4.29:

Figura 4.29 Verdadera magnitud de una lnea oblicua

1. Trazar la lnea de referencia H/A o interseccin del plano horizontal con su auxiliar A, paralelamente a la proyeccin horizontal sHtH de la lnea. 2. Trazar las proyectantes perpendiculares a la lnea H/A desde las proyecciones horizontales sH y tH. 3. Tomar sobre las proyectantes y en el plano A, las distancias L y L1 iguales a las que hay entre la lnea de referencia H/V y las proyecciones sV y tV, es decir las distancias que hay entre los puntos extremos de la lnea del espacio y el plano de proyeccin H. 4. Los puntos encontrados determinan la proyeccin sAtA en verdadera magnitud de la lnea oblicua ST.


78


tA

VMsA

AL

HsH H V

tH

L1

L

L1

tV

tP

sV V P

sP

Figura 4.30 Verdadera magnitud de una lnea oblicua

4.2.6 TALLER DE APLICACIN Encontrar la verdadera magnitud de la Oblicua Total JK representada en la figura 4.31kH

j H H V kV j VFigura 4.31 Proyecciones H y V de una lnea Oblicua Total

1. Trazamos una lnea de referencia paralela a la lnea JK en su proyeccin H, es decir adyacente al plano horizontal 2. Trazamos las proyectantes por los puntos jH y kH perpendiculares a la lnea de referencia H/M. 3. Tomamos las distancias respectivas de jV y kV a la lnea de referencia H/V y las trasladamos a las proyectantes trazadas en el punto 2. 4. Unimos los puntos jM y kM, donde tenemos representada la lnea JK en verdadera magnitud. 5. Medimos la distancia entre jM y kM y est ser la magnitud real de la lneaESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 79


JK 6. Para comprobar el resultado hacemos lo mismo del paso 1, una proyeccin adyacente al plano vertical. El resultado es figura 4.32, donde se aprecia que la lnea representada magnitud en la proyeccin M tiene igual magnitud a la lnea proyeccin R.

pero trazamos ilustrado en la en verdadera obtenida en la

VM j M

kM

M H kH PARAL AS EL

j H H V PARAL AS EL j V kV V R

j R

VM kR

Figura 4.32 Proyecciones M y R de una lnea Oblicua Total en Verdadera Magnitud

4.3 EL PLANO Para determinar la posicin de un plano se deben situar tres puntos del mismo que no estn en lnea recta. Una superficie plana est limitada por un contorno de lneas rectas o curvas, aunque tericamente se puede suponer que se extiende indefinidamente. En la figura 4.33 se muestran cuatro formas de representar un plano oblicuo o inclinado determinado por los puntos A, B y C. En la figura 4.33 (a), se unieron los puntos A y B por una lnea, quedando definido el plano por el punto C y la lnea AB. En (b) se unieron los tres puntos formando el tringulo ABC, el cual define ahora el mismo plano de una forma ligeramente diferente. En (c) se traz una paralela a la lnea AB por el punto C, la cual acaba en el punto D, la lnea CD, conESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 80


lo aprecia que dos lneas paralelas definen tambin un plano. En (d) se prolongaron las lneas AC y BC despus del punto C, formando dos lneas que se cortan y que definen al plano; y adems se demuestra que los puntos E y F pertenecen a ese plano, al pertenecer a las lneas que lo definen

b H a H c H H V c V a V b V(a) (b)

b H a H c H H V c V a V b V(c)

b H a H c H

d H a H H V c H e H

b H f H H V

c V a V b V

d V a V

e f V V c V b V(d)

Figura 4.33 Representacin de una superficie plana

OBSERVACION: As como se vio al estudiar la lnea, un plano aparecer en su Verdadera Magnitud y forma, cuando se proyecta sobre un plano que le sea paralelo. 4.3.1 EL PLANO HORIZONTAL Es el plano paralelo al plano horizontal de proyeccin, de ah su nombre. En ste plano todos los puntos y lneas que lo definen y que pertenecen a l se encuentran a la misma altura con relacin al plano horizontal de proyeccin. En la figura 4.34 se representan las proyecciones del plano horizontal QRS sobre los tres planos principales de proyeccin y all se pueden apreciar las principales caractersticas: a) En la proyeccin horizontal se representa su verdadera magnitud y forma. b) En la proyeccin vertical aparece de filo y paralelo a la lnea de referencia H/V, as como en la proyeccin de perfil tambin aparece de filo yESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 81


perpendicular a la lnea de referencia V/P. c) Todas las lneas que delimitan el contorno del plano aparecen en las proyecciones verticales y de perfil confundidas en una sola lnea.rH

1L4 0, 4

sH qH H V FILO qVrV sV sPqP1L4 0, 4 2, 4 L174

L1 2, 474 FILO rP

V

P

Figura 4.34 Proyecciones principales de un plano horizontal

4.3.2 EL PLANO VERTICAL Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyeccin y por eso su nombre. Existen tres tipos diferentes de ellos, segn la posicin respecto al plano de proyeccin vertical, stos son: 1. Plano Frontal: aquel que adems de ser perpendicular al plano horizontal de proyeccin es paralelo al plano vertical. En la figura 4.35 se muestran las proyecciones de un plano frontal. Las caractersticas de ste tipo de plano son las siguientes: a) En la proyeccin vertical aparece su verdadera magnitud y forma. b) Se representa de filo (perfil) en sus proyecciones horizontal y de perfil y adems es paralelo a las lneas de referencia H/V y V/P.


82


oH2L3 7, 3

filo

qH

H V oV VM filo qV L 23 7,3 qPoP

pV

V P

pP

Figura 4.35 Proyecciones principales de un plano vertical frontal

2. Plano de perfil: aquel que es paralelo al plano principal de proyeccin de perfil P, de ah su nombre. En la figura 4.36 se representa un plano vertical de perfil. Las caractersticas del plano de perfil son: a) En la proyeccin de perfil se da su verdadera magnitud y forma. b) En las proyecciones horizontal y vertical aparece de filo, perpendicular a la lnea de referencia H/V y paralelo a la lnea de referencia V/P.


83


qH

L1

filooHpH

L

H V oVqV

L1 oP VM qP

filopV

V P

L

pP

Figura 4.36 Proyecciones principales de un plano vertical de perfil

3. Plano vertical cualquiera: aunque es perpendicular al horizontal de proyeccin, su posicin con relacin a los planos de proyeccin vertical y de perfil puede ser cualquiera. En la figura 4.37 se muestran las proyecciones del plano RST, el cual es vertical cualquiera y presenta las siguientes caractersticas: a) En ninguna proyeccin principal aparece su verdadera magnitud y forma. b) En la proyeccin horizontal aparece como un filo, pero no es perpendicular ni paralelo a la lnea de referencia H/V


84


qH

filo

oHpH

L

L1H V

L1 oP No VM qP

oV No VM

qV

pV

V P

L

pP

Figura 4.37 Proyecciones principales de un plano vertical cualquiera

Al analizar las figuras 4.35, 4.36 y 4.37 se evidencia fcilmente que los planos verticales siempre se representan como un filo en la proyeccin horizontal, sin importar la forma y la posicin que tenga con relacin a los planos V y P. 4.3.3 PLANOS INCLINADOS Son los planos diferentes de los planos verticales y de los planos horizontales. Existen tres tipos de planos inclinados: 1. Plano de Punta: es perpendicular al plano vertical de proyeccin. La figura 4.38 muestra un plano oblicuo de punta. Las caractersticas son: a) Aparece como filo en la proyeccin vertical, pero no es perpendicular ni paralelo a las lneas de referencia H/V y V/P. b) En las proyecciones en los planos horizontal y de Perfil, no aparece su verdadera magnitud ni su forma.


85


qH

L1

No VM pH oH

L

H V oVqV

L1 oP No VM qP

filopV

V P

L

pP

Figura 4.38 Proyecciones principales de un plano inclinado de punta

2. Plano oblicuo perpendicular al plano de proyeccin de perfil (P), pero inclinado respecto a los planos de proyeccin horizontal y vertical. En la figura 4.39 se muestra un plano de ste tipo. Las caractersticas son las siguientes: a) En la proyeccin de perfil se representa de filo. b) En las proyecciones en los planos horizontal y vertical, no aparece su verdadera magnitud ni su forma. Se debe tener cuidado para no confundir ste tipo de plano, con un plano horizontal o uno frontal, los cuales tambin se representan como un filo en la proyeccin de perfil.


86


pH

qH

L1

N

geometria descriptiva

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