Academia Cesar Vallejo

Quinto Grado 2011

LÓ G I CO M ATE M Á TI CO _ I

Í N D I C E

G E O M E TR

Í A Á N G U

LO S

I1 Concepto

I1 Elementos

I1 Bisectriz de un ángulo

I1 Clasificación:

• Por su medida

• Por su posición de sus lados.

• Por la suma de sus medidas.

• Ejercicios de ángulos

• Rectas paralelas cortadas por una secante.

• Teorema del Serrucho

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Reseña Histórica deArquímides

Arquímides (– 287 a – 212). Fue un científico griego

que perfec- cionó y generalizó el método de

exhaustión para el cálculo de superficie y

volúmenes. Estableció los principios generales de la

hidrostática y sentó las bases de la mecánica teórica.

Se le atribu- ye numerosas invenciones mecánicas,

como las poleas compues- tas, el tornillo sin fin y el

tornillo hidráulico.

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GEOMETRÍA

I . Á n g u l o :

Es el espacio comprendido entre dos rayos que tienen un mismo origen.

A

O

B

E l e m e nt o s :

a) La dos

b) Vértice

OA, OB

O

Notación:

AOB se lee ángulo AOB

m AOB

se lee medida del ángulo AOB.

I I . M a g n i t u d d e u n á n g u l o : E s la me dida de l á ng ulo y se mide c on e l

TRANSPORTADOR. Su unidad de medida es el GRADO SEXAGESIMAL (1°).

1° = 60'

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1' = 60''

1° = 3600''

G

III. B i s e c t ri z d e un á n g u l o : Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes

(iguales).

ACongruentes

O símbol

oP

OP : Bisectriz del AOB

B

IV. C la s i f i c a c i ó n d e l o s á n g u l os :

1 . P o r s u m e d i d a

Se clasifica en :

a) Á N G U L O A G U DO mide entre 0° y

90°

A

b) Á N G U L O R E C T O

mide 90°

M

c) Á N G U L O O B T U S O mide entre 90° y 180°

E

BC

ON

F

d) Á N G U L O LL A N O e) ÁNGULO CÓNCAVO f) ÁNGULO DE UNAmide 180°

P Q R

mide entre 180° y

360° B A

C

V U E L T A mide 360°

M P

2 . P o r l a p o s i c i ó n d e s u s l a d o s

Se clasifican en :

a) Á N G U L OS A D Y A C E N T E S c) Á N G U L O O B T U S O mide entre 90° y 180°

A N

B E H

Q

F GO

C O R I

AOB y BOCson

ADYACENTES

MON, NOP, POQ y QORson 4 ángulos CONSECUTIVOS

EGF y HGI son

OPUESTOS POR EL VERTICE

3 . P o r l a sum a d e su s m e d i d a s

Se clasifica en :

a) ÁNGULOS COMP LEMENTA RI OS

a) ÁNGULOS S UP LEMENTARI OS

A

BE

O CD F G

Dos ángulos son COMPLEM

ENTARIOS S I LA S UM A DE S US

M EDIDAS ES 90°

m AOB + m BOC =90°

Dos ángulos son S UPLEM ENTARIOS

S I LA S UM A DE S US M EDIDAS ES 180°

m DFE + m EFG = 180°

C O M P L E M E N T O DE U N Á N G U L O

Es lo que le falta a la medida

de un ángulo para ser igual a

90°

S U P L E M E N T O DE U N Á N G U L O

Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°

C = 90° – S = 180° –

V. T E O R E M A S

1 . “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180°”

180º

2 . “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice es 360°”

360º

3 . “Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son congruentes...”

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E J E M P LO S :

1 . Del gráfico hallar “x”. S o l u c i ó n :

x+124x

4x = x + 12°

4x – x = 12°

3x = 12°

x = 12 °

3

x = 4°

2 . Hallar "" S o l u c i ó n :

40°

++ 90° + 40° = 180°

2+ 130° = 180°

2 = 180° – 130°

2 = 50°

= 50°

2 = 25°

3 . Hallar " "

en: S o l u c i ó n :

+ + + 2+ 90° = 360°

5+ 90° = 360°

5 = 360° – 90°

5 = 270°

= 270°

5

= 54°

1 . De la figura, calcular

y 2 . En la figura, calcular

20°

0 120°

3 . En la figura, calcular 4 . En la figura, calcular

" "

27°

46°

5 . En la figura, calcular " "

6 . En la figura, calcular

7 . Del gráfico, hallar " "

8 . De la figura, calcular

" "

40º

50º 56°

9 . En la figura, calcular " "

1 0 . Del gráfico, hallar " "

2 4

5

7

64°

1 1 . Del gráfico, calcular " "

1 2 . Del gráfico, hallar " "

30°

30°

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1 3 . Calcular los complementos de : 1 4 . Calcular los suplementos de :

C15° = 90° – 15° = 75°

C 26° = _____ _______

C 48° = ____ ______ __

C54° = __ _____ _____

C64° = ______ ______

S118° = 180° – 118° =

62° S125° = ________

______ S131° = ________

______ S142° = ________

______

S159° = ________ ______

1 5 . Calcular el suplemento del 1 6 . Hallar el suplemento del complemento

complemento de: del suplemento de 120°

SC 25° = 180° – (90° – 25°) = 180° –

65° = 115° SC 33° = _ _______ ____

SC 47° = _ _______ ____

SC 52° = _______

_______ SC 36° = _

_______ ____

1 . Del gráfico, hallar " "2 . En la figura, calcular " " y " "

50°140°

110°

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3 . Del gráfico, calcular " "

6 . Del gráfico, calcular " "

125°

15°

3 2

78° 92°

2 2

2

4 . De la figura, calcular " "

7 . Del gráfico, calcular " "

64°

50°

75°

5 . Del gráfico, hallar “x” 8 . De la figura, calcular " "

2x+220°

47°

R E C T A S P A R A L E L A S C O R T A D A S P O R L A S E C A N T E

I . P O S I C I O N E S R E L AT I VA S D E D O S R E C TA S E N E L P L A N O

1 . R E C T A S PA R A L E L A S : Dos rectas son paralelas (//), si su INTERSECCIÓN es

NULA.

m

Si m

n n

= m

//n

2 . R E C T A S S E C AN T E S : Dos rectas son secantes, si su INTERSECCION es un

PUNTO.

mSi m

n

= P

Pn

Las rectas m

y n

sonSECANTES

3 . R E C TA S P E R P E N D I C U L A R E S : Dos rectas son perpendiculares (

), si suINTERSECCIÓN es un ÁNGULO RECTO (90°).

m

n Si m

n

=

90°

m

n

L

1

I I . Á N G U L O S F O R M A D O S P O R D O S R E C T A S P A R A L E L A S Y U N A

S E C A N T E

Si las rectas L1 y L

2 son paralelas y están cortadas por una SECANTE

M, se cumplen las siguientes propiedades.

1 . L o s á n g u l o s c orr e s pondi e n t e s s o n c on g r u e n t e s : L1

1 5; 2 6; 3 7; 4 8 3 4

2 . L o s án g u l o s a lt e rno s i nt e rno s s on c on g ru e n t e s : 5 62

3 6; 5 4 7 8

3 . L o s á n g u l o s a l t e rno s e x t e rno s s o n c on g ru e n t e s :M

1 8; 2 7

4 . L o s á n g u l o s c on j u g a do s e x t e rno s so n sup l e m e n t a rio s :

m 1 + m 7 = 180º; m2 + m 8 = 180º

5 . L o s á n g u l o s c on j u g a do s in t e rno s so n sup l e m e n t a rio s :

m 3 + m 5 = 180º; m4 + m 6 = 180º

L E Y D E L S E R R U C H O

Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos como muestra la figura 1, se cumple que:

L 1 // L 2

L1 xa SUMA DE ÁNGULOS SUM A DE ÁNGULOS

y DIRIGIDOS A LA = DIRIGIDOS A LA

b IZQUIERDA DERECHA

zc

wL2 d

x+y+z+w

= a+b+c+d

L

E j e m p l o s :

1 . En la figura

//

, hallar " "L1 L2

S o l u c i ó n :

L120°

Aplicando la ley del serrucho

58° + 20° + 45° = 58° + 60°

2 . Hallar “x”, si

45°

60°

L2

L1 // L2

+ 65° = 118°

= 118° – 65°

= 53°

S o l u c i ó n :

3x1

2x+40°

L2

3x + 2x + 40° = 180°

5x = 180° – 40°

x = 1405

x = 28°

1 . Si L 1 // L 2 . Calcular " "

2 . Si L 1 // L 2. Calcular " "

36°

L1L1

128° L2

L2

3 . Si L 1 // L

2

. Calcular " "

4 . Si L 1 // L

2

. Calcular " "

120°

L1

L2

L1

146°

L 2

L

L

5 . Calcular . Si

L 1 // L

2

6 . Si L 1 // L 2 , Calcular " "L1

30°L1

50°

40°20° L2

10°

20°40°

L2

30°

7 . Si L 1 // L 2 , calcular " "

8 . Si L 1 // L 2 . Calcular " "

L180°

1

L2 100°

2

L

1 . Si L 1 // L

2

. Hallar " "

4 . Si L 1 // L

2

. Calcular “ ” en:

L132°

44°

18° L2

20°

60°

34°

L1

16° L2

2 . Si L 1 // L

2

. Hallar “x” 5 . Si L 1 // L

2

. Calcular “x” en:

L 1x°

73°2

x+20°

L1 L2

x+10°

3 . Si L 1 // L

2

. Calcular “ ” 6 . Calcular el valor de " "

en la

siguiente figura si

L1

L 1 // L 2 .

L1

150°

260° L2 L