geometria 5° 3 b

29 30COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria GEOMETRÍA5to Secundaria

TEOREMA DE THALES

A

B

F

E

L1

L2

L3C

D

EFDE

BCAB =

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

B

c

m n

αa

α

n

a

m

c=

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

c

m

α

a

α

n

SEMEJANZA DE TRIANGULO

α°A

θ°

β°CH

B'

α°A'

θ°

β°C' H'

B

~

K'H'B

BH

'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB====

PRACTICA DE CLASE

01.El Perímetro de un ∆ rectángulo es 132 y la suma de los cuadrados de los 3 lados es 6050. Hallar los lados.

02. Hallar “x” en la figura:

4xx+2

4x+1

03.Hallar “x” en la figura:

5x+2x+3

3x +12

04. Hallar el área del triángulo:

A

B

HB

9 16

05.Los catetos de un triángulo miden: 2 3 y

3 2 . Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

06.Si L1 // L2 // L3. Hallar x.

9

x x+2

x+6

L1

L2

L3

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

07.De la figura hallar m/n. Si L1 // L2 // L3.

9

nL1

L2

L3

3m

a) 1/3 b) 3/2 c) 4/1d) 1/4 e) 3/4

08.Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6.

A D C

B

α α

a) 8b) 10c) 12

d) 14e) 6

09.Hallar CE, si AB = 20, BC = 10 y AC = 21.

A C E

B

θ

θ

a) 10 b) 42 c) 21d) 20 e) 28

10.Hallar x.

x x9 25

α α

a) 10 b) 12 c) 15d) 25 e) 30

11.En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la mediana BM. Hallar BM, si m MBC = m BAC + m ACB.

a) 12 b) 8 c) 16d) 8 2 e) 8 3

12.Hallar el lado del cuadrado PQRS. Si AP = 1, SC = 9.

A C

B

P S

RQ

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

13.Hallar MN, si AB = 9 , BC = 6 , MC = 2 y AB // MN.

A C

B

N

M

a) 2 b) 6 c) 4d) 3 e) 5

S5GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

SEMEJANZA Y

III


14.Hallar EF. Si BF = 3; AB = 9, AC = 6.

A C

B

FE

α

α

a) 2 b) 6 c) 4d) 3 e) 5

15.Hallar BC si AN = 3NB = 9

A

C

BNα

α

a) 9 b) 6 c) 5d) 4 e) 7

16. En un triángulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E sobre AB y F en BC). Hallar BE.

a) 9 b) 18 c) 25d) 24 e) 15

17.Si ABCD es un cuadrado. Hallar FE.

A

B C

D

F

QE

6

6

a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 8,5

18.Hallar PQ, si PQ // AC.

A

B

C

P Q

5

12

3

a) 7,5 b) 6,5 c) 7d) 6 e) N.A.

19.Calcular “x”. Si AB = 12 y CD = 6.

A

B

C

D

O

x

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

20.Si AC//MN ; AC=10 MN=4 ; BC=12. Hallar BN.

A

B

C

M N

a) 3,8 b) 3,5 c) 4d) 4,8 e) 3,5

21.Hallar el lado del cuadrado MNPQ. Si: AC=10 y la altura del triángulo es 12.

A

B

C

M

Q

P

Q

a) 15,6 b) 05,6 c) 38,5

d) 18,5 e) 45,5

22.Si: BE=3 ; EC=5 . Hallar HC

B

C

θ

Aθ

ε

Ha) 10 b) 12 c) 16d) 17 e) 19

23.Hallar AB, Si: BN=7 ; MC=5 ; AC=8

a) 8,75 b) 9 c) 10d) 9,05 e) 9,52

EJERCICIOS PROPUESTOS 01

01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2

CNA

M

B

T

53°θθ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17

B

N

Q

CA

M

R

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) N.A

03. En la figura mostrada BE = a y EC = b. Hallar "AE".

C

B

A

E

30 - 3

10+2α

α

a) 2a+b b) a + b c) a + 2bd) 0 e) N.A

04.En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM , Calcular el

∠MCA si BH = MC

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) N.A

05.Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto

medio AC ; M = Punto medio BC .

36 24

X

M

P

C

B

AO

o o

a) 20º b) 21º c) 24º d) 25º e) N.A

06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto



N

B

M

AP C

P

a) Triángulo Podarb) Triángulo Medianoc) Triángulo A y Bd) Triángulo Orticoe) N.A

07.En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10 3 ?

a) 5 2 b) 8 3 c) 18 d) 15 e) 12

08. Calcular BD si AE = 30º

A BC

DE

a) 0 b) 5º c) 10ºd) 15º e) N.A

09.En la figura , MF es mediatriz de

BC;BH es altura. Calcular el valor del ángulo A.

B

M

A H F C

α

α8

a) 9º b) 81º c) 71ºd) 18º e) N.A

10. En el gráfico hallar PQ ;

PA C

M N

B

Q

a) √2 b) 2√2 c) 8d) 4 e) N.A

11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro

a) 3 b) 1/3 c) 0,25 d) 0,5 e) 1

12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC

interseca en N al lado BC y a la

prolongación de AB en "E". Hallar BE , si

AB = 16 y CN = 5BN

a) 3 b) 4 c) 8 d) 5 e) 7

13.Calcular el perímetro de un triángulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es

un número entero

a) 20 b) 27 c) 30d) 35 e) 31

14.En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior AD , por D se traza una paralela a

AC que corta a AB en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3

a) 5 b) 4,5 c) 4d) 3 e) 6

15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros, calcular AD, si BE = 9

B

CE

D

A

a) 12,5 b) 10 c) 18d) 9 e) 12

16.En la figura, el triángulo ABC es equilátero de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

A

MB

N

C

a) 4 b) 8 c) 2√3d) 4√3 e) 2√2

17.Calcular uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos.

a) 15° b) 20° c) 30° d) 75° e) 45°

18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de

lado, por el punto medio D del lado AB se

traza DE perpendicular a BC . Hallar la

distancia de E al lado BC .

a) 2√3 cm b) 3√3 cm c) 4√3 cmd) √3 cm e) 4 cm

19.¿Cuántos puntos del plano de un triángulo equidistan de sus lados?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ningún punto

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

A D

X

C

6

B

4 3

12

a) 3√3 b) 4√3 c) 4√2d) 6√2 e) 8√2



TAREA DOMICILIARIA

01.En la figura mostrada ABCD es un

paralelogramo. ′A A = 4 , ′C C = 2 .

Hallar BB

,

D

CA

A B C

B

,,,

a) 4 b) 2 c) 6d) 8 e) 10

02. Hallar la longitud de DH si AE = 5 ; BF = 4 y CG = 3

AB

C D

E F G HT

a) 12 b) 12/5 c) 5/12d) 5 e) 6

03.Los lados del rectángulo miden 20 y 30m respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de 360 m de perímetro semejante al dado ?

a) 72 y 108 m b) 80 y 100 mc) 75 y 150 m d) 68 y 102 me) 96 y 144 m

04. Hallar " x " si AB = BC y BE = BD

A D

E

Cx

20

B

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) N.A

05.Si las áreas de los siguientes triángulos semejantes están en razón de 9 : 1

x 12¿Cuál será el valor de x ?

a) 2 b) 4 c) 5 d) 12/9 e) N.A

06.En la figura AB // CD , BC // DE si OA = 12

, OE = 48. Hallar CED

B

O A C E

a) 24 b) 26 c) 28 d) 14 e) N.A

07.Hallar PQ si PR = 7

αα R

P

Q

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) N.A

08. Hallar EF en función de a y b

6

a E

1F 5

b

a) b6a7

ab

+b)

b7a6

ab

+

c) b7a6

a

+d)

b6a7

b

+e) N.a.

09. Hallar : PQ

ααR

2P

Q

a) 4 b) 5 c) 3d) 6 e) N.A

10.Si por el centro de un cuadrado de 40 cm de perímetro, se traza una perpendicular al centro de dicho cuadrado, hallar la longitud de dicha perpendicular (H) para que al unir el punto exterior con los vértices de dicho cuadrado formen 4 triángulos congruentes.H = perpendicular ; L = lado; R = radio

a) H = L b) H = L2 √3 c) H = Rd) H = 2πR e) N.A

11.La base de un triángulo mide 4 m, calcular la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes.

a) 3(√3 - 1) b) √5 - 2 c) 2√2d) 4(√3 - 1) e) N.A

12. Hallar NC si AB // MP // NQ; AM // PN

A

P

Q

B

M

N

b

a

C



a) ba

a 2

+b)

ba

a 2

−c)

ba

ab

+

d) ba

b2

+e)

ba

b 2

−

13. Si : AB // DC // MN ; AM/MD = 1/4AB = 7, DC = 17, Hallar MN

A

M

D

B

N

C

a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

1. TEOREMA DE EUCLIDES (I)

m nc

a b

m.c2cab 222 −+=

n.c2cba 222 −+=

Aplicación:

Hallar “x”

x

10

810

Aplicando Euclides:

(10)2 = (10)2 + (8)2 – 2(10)x

100 = 100 + 64 – 20x

20x = 64

x = 3,2

2. TEOREMA DE EUCLIDES (II)

a

c m

a

b

cm2cba 222 ++=

Aplicación:

Hallar “x”

8

4 2 x

4

Aplicando Euclides:

82 = 42 + (4 2 )2 + 2(4 2 ) (x)

64 = 16 + 32 + 8 2 x

16 = 8 2 x

x = 2

TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)

m

b

n

xa

Ceviana

c

mncnambcx 222 −+=

Aplicación:

Hallar “EG”

3 2

E

3 5 2x

A G B

Aplicando el T de la Cevianax25 = 22 . 3 + (3 5 )2 . 2 – (2) (3) (5)

x25 = 12 + 90 – 30

x25 = 72

X = 5

106

TEOREMA DE LA MEDIANA

bx

a

c

2

cx2ba

2222 +=+

Aplicación:Hallar AM

m

x

12

8 10

A

Aplicando T. De la Mediana

82 + 102 = 2x2 + 2

122

64 + 100 = 2x2 + 2

144

x = 46

TEOREMA DE HERÓN:


RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA


ba

c

H

( )( ) ( )cpbpappc

2H −−−=

Desde: P = 2

cba ++

Aplicación:Hallar “x”

76

5

x

Aplicando Herón:

92

576P =

++=

∴P = 9

( ) ( ) ( )79695995

2x −−−=

∴ x = 65

12

En la Circunferencia:

C

B

D

A

T P

T : punto de tangencia

PT : tangente

CD y AB : cuerdas

PB : secante

AP : parte externa de la secante BP

PROPIEDADES:

01.TEOREMA DE LAS CUERDAS:Si por un punto del interior de una circunferencia se trazan dos cuerdas, se cumple que los productos de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales.

C

B

D

A x P y

b

a

PD.PCPB.AP =

También: x . y = a . b

02.TEOREMA DE LA SECANTE:

Si por un punto extensor de una circunferencia se trazan las secantes, se cumple que los productos entre cada secante entero y la respectiva parte externa son iguales.

C

B

D

A

P

PC.PDPB.AP =

03.TEOREMA DE LA TANGENTE:Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante se cumple que tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su parte externa.

B

A

T P

PB.PATP 2 =


x

8

x

4

Solución:

12 . 4 = (2x) (x)

x = 2 6

Aplicación:

Hallar “x”

4

x

2

Solución:

42 = (2 + x) 2

8 = 2 + x

x = 6

Aplicación:

Hallar “x”

B

A

T

5

O

N

x

30º

2 5

Solución:



B

A

T

5

O

N

x

30º

2 5

K

5

5

- En el triángulo rectángulo OTB : TB =

5

- Por propiedad: KT = TB = 5

- Por teorema de cuerdas:

5 . x = 5 . 5

x = 1

PRACTICA DE CLASE

01. Hallar "x" :

R

X

a) R( 2 -1) b) R 2 c) R

d) R(1- 2 ) e) N.A

02. Calcular x si r = 2

rr x

a) 3 /2 b) 3 /4 c) 3

d) 2 e) N.A

03. Hallar "x" si OA = OB =R

R

x

a) 2/9R b) R/9 c) Rd) 2R e) N.A

04.Sea un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, la bisectriz exterior del ángulo β corta a la prolongación del lado AC en D y el arco AB en E. Hallar BD si AE = 8m y EB = 4m.

a) 5m b) 6m c) 8md) 12m e) 16m

05.En el sgte gráfico calcular el ángulo AED si : CD = tangente; AB=diámetro; DCA=20º

A

E D

BC

a) 160º b) 145º c) 135ºd) 125º e) 150º

06.Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = AC), tomándose AC como diámetro se traza una circunferencia que corta el lado BC en D de modo que BD = 10 m ; luego se traza DE perpendicular a AC de modo que DE = 8 m . Calcular AC.

a) 16 b) 16,5 c) 16,66d) 17 e) N.A

07. En la figura BAC = 10º, arcoDE = 32º. Hallar arcoFG

D

GF

BC

E

a) 26º b) 42º c) 32ºd) 48º e) 52º

08.dadas dos circunferencias secantes en B y D de radios 2,5 y 6 mts , la perpendicular trazada por D a la cuerda común corta a la circunferencia menor y mayor en A y C respectivamente, la prolongación de AB corta a la mayor en E. Hallar EB si AC = 14 m.a) 1 m b) 0,8 m c) 1,7 m

d) 2,5 m e) 2,7 m

09.Dado un triángulo ABC recto en A, tomando como diámetro AC se describe una circunferencia que corta en M a la hipotenusa y a la prolongación de la mediana relativa a dicha hipotenusa en N Hallar MN si AB = 4m y BM = 2m.

a) 3 m b) (3 3 /2)m c) 2 3 md) 2m e) 4m

10.Hallar "x" . P y Q incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC.

B

PQ x

CHA

a) 40º b) 42º c) 45ºd) 50º e) N.A

11.Hallar "x" . I1 y I2 son incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC

B

llx

HA C

12

a) 85º b) 86º c) 88º d) 90º e) N.A

12. Hallar el perímetro del ∆ PQH. P y Q incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC, además MN = 20



B

PM

AH

NQ

C

a) 5º b) 10º c) 15ºd) 20º e) N.A

13.En la figura hallar el radio si

AC. AF + BC.BE = 144. Además "O" es el centro de la circunferencia.

RBA

C

FE

O

a) 3√2 b) 4 c) 12d) 5 e) 6

14. En la figura, calcular la longitud de FM

R

R RF

M

A

O B

a) 3R/5 b) R 5 /5 c) 3R 5d) 3R 5 /5 e) N.A

15. En la figura : ED / / BC ,

Hallar ED si : AB = 2BC

CentroO

F D

B

A

CE

Tangente

a) 13 b) 15 c) 14d) 16 e) N.A

16. Sean las rectas L1 // L2 // L3 Calcular la longitud de BC

A

B

L

L

L

1

22

3

1M

6060

a) 21 /7 b) 2 21 /7 c) 2 21

d) 21 /3 e) 2 21 /3

17. Hallar AF .

AO = OB = BC = R

A

E

CB

FD

O

a) 7 21 /3 .R b) 21 /3R

c) 2R 21 d) R/3

e) R/2 . 21

18. En la figura : Calcular : MO

AO R

M

B

C

8

2

x

a) 2,5 b) 3 c) 3,5d) 4 e) 5

19. En la figura : ME = LJ = a y

ML = EF . Calcular MA.MB

A BEL

JF

M

a) a2 b) 3a2/2 c) a2/2d) 2a2/3 e) a2

20. En el semicírculo mostrado:

AB ,CD, AD son tangentes. Siendo

AB = 10 , DC = 2,5 . Calcular EF

B

A

10E

F

D

C

2,5x

a) 2,5 b) 2 c) 4d) 5 e) 4,5


01. Si r = 3 y AC = 9 . Calcular AQ

QB

T CA

r

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

02. En la figura : O y B. son centros. Los radios mide 6 y 10 . Hallar PE.

A

E

O

P

B

a) 8 b) 7 c) 8,2d) 2,5 e) 7,2

03. Calcular el perímetro del triángulo ABC si PQ = 16.

B

A

OP Q

a) 16 b) 17 c) 18



d) 19 e) 20

04. En el gráfico si : AO = OB = R y AD = BC. Hallar "r"

R

D

C

O

r

A B

a) 3R/4 b) 3R/5 c) R/4d) 2R/5 e) 3R/8

05.Si : AO = OB = 7 además PH = HB = QH.Calcular OP

A

P

O

Q

B

a) 7(√2-1) b) (√2-1) c) 7(√2+1) d) (√2-1)/2 e) N.A

06.En un triángulo ABC donde AB = 6, BC = 8 y AC = 9 se traza una circunferencia interior a dicho triángulo que es tangente a los lados

BC y AC en "P" y "Q" respectivamente. calcular OM("O" es centro de la circunferencia de radio igual a 2 y "M" punto medio de AB ).

a) 7 30 /2 b) 9 30 /2 c) 30 /2

d) 5 30 /2 e) 3 30 /2

07.El apotema de un triángulo equilátero inscrito mide 8 cm. Hallar el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia.

a) 96 cm b) 90 cm c) 86 cmd) 80 cm e) N.A

08.En la figura adjunta hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo unixtilíneo AMD.

A Da

a

CMB

x

a) 3/8.a b) 8/3.a c) 8ad) 3a e) N.A

09. Hallar EF

A

C

24

EB

Fo12

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A

10.Hallar AB. m // AC

B m

A

4 E

F

5C

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A

11.Hallar "x"

x

8

10

αα

a) 9 b) 12 c) 18d) 24 e) N.A

12. Hallar "x"

60o30o

x

2 3

a) 4√3 b) 6√3 c) 6d) 12 e) 12√3

TAREA DOMICILIARIA

01.Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de diámetro 6m.

a) 6√3 b) 3√3 c) 4√3d) 3 e) 6

02.Hallar : AB si R = 12 ; r = 3

Rr

A B

a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) N.A

03.En un triángulo ABC (A =75°;

B =90°) se traza la altura BH y la mediana BM. Hallar el inradio del triángulo BHM si AC = 12

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A

04.En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es 20m. La suma del inradio con el circunradio es:

a) 20m b) 15m c) 10md) 5m e) N.A

05.Se tiene dos circunferencias O y O' secantes en A y B; se trazan los diámetros AOC y



AO'D. Calcular la longitud del segmento que

une los puntos medios de OB y ′O Bsi CD = 8m

a) 1m b) 2m c) 3md) 4m e) 5m

06.Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6m y 8m tomando como diámetros dichos catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos 'E" y "F" sobre la hipotenusa. ¿ Cuál es la longitud de EF?

a) 2m b) 1m c) 1,4md) 1,5m e) 0 m

07.En un triángulo ABC se traza la circunferencia ex-inscrita relativa a BC, la prolongación de AB es tangente a la circunferencia en "M". Hallar el perímetro del triángulo ACB, si AM = 28.

a) 28 b) 56 c) 14 d) 42 e) N.A

08.El área del cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo completo como:

a) 1:2 b) 2:5 c) 2:3 d) 3:5 e) 6:4

09.En una circunferencia se traza una cuerda

AB cuyo punto medio es M, por M se

traza la cuerda CD tal que CM = 4 y MD = 2. Hallar AB.

a) 8 b) 4 c) 4√2d) 3√2 e) √6

10. Calcular AF, si DC = CB = BA, FC = 6, CE = 2

D C

E BA

F

a) 4 b) 5 c) 6 d) 10 e) 8

11.Por un punto exterior a una circunferencia se traza una secante cuya parte externa mide 4 y su parte interna mide 8, por el mismo punto se traza otra secante cuya parte externa mide 3. calcular la parte interna de la última secante trazada.

a) 16 b) 10 c) 12 d) 15 e) 6

12.Un rectángulo se inscribe en una circunferencia de radio 5, si uno de sus lados mide 6. Hallar su otro lado desigual.

a) 7 b) 6 c) 8

d) 11 e) 11

13. El radio de la circunferencia mide √2, ademásAB = L3 , AC = L4. Hallar BC

A

B

C

a) √2+√6 b) √2+√6 c) √3+1d) √3+2 e) N.A

14. AB y CD son dos diámetros perpendiculares de un circulo de centro O.

AM es cualquier cuerda que pase por A.

Dicha cuerda intersecta a CD en el punto

P. Entonces AP . AM es igual a:

a) AO .OB b) AO . AB c)

CP .CD

d) CP .PD e) CO .PO

15. Hallar "x" (O centro)

8

6BA O

x

a) 9,1 b) 7,1 c) 8,1 d) 5,1 e) 4,1

16. De la figura : calcular "AC" CF = 6; ED = 5

CA

B

ED

F

a) 6 b) 10 c) 7 d) 8 e) 9

17.De la figura, ABCD es un cuadrado, calcular MD, si AD = 5 ,PB = 7.

D

M

A

B PC

a) 60/13 b) 13/60 c) 60/17d) 17/60 e) N.A

18. Si : R/r = 5/3 Hallar : AM Si : MB = 4

A

B

MR

r

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

19. Hallar "BT" si AB = 4 y BC = 9

A

B

T C

α α

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

20. La intersección de las mediatrices de tres cuerdas cualquiera no es el centro de una circunferencia

PORQUEEl punto de intersección varía de acuerdo a



las longitudes de las cuerdas

En el triángulo ABC

C

m n

Hb

a

a y b : catetosc : hipotenusam: proyección de a sobre Cn: proyección de b sobre Ch: altura relativa a la hipotenusa C

Propiedades:

01.Un cateto elevado al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa por su proyección.

C

m

a

c.ma 2 =

Aplicación:Hallar “a”

3 4

ba

Solución: ¬

a2 = (7) (3)a = 21

Solución:

3 4

b

b2 = (7) (4)b = 2 7

02.El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa y su altura relativa a ella.

C

Hba

CHab =

Aplicación:

Halla “x”

3

4

x

Solución: Según el gráfico la hipotenusa mide 5 luego por propiedad se cumple.(3) (4) = (5) (x)∴ x = 12/5

Aplicación: Hallar AB

8

A

B10

Rpta: ............................................................

03.La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

a

H

b

abH 2 =


2

x

3

Solución:X2 = (3) (2)


RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO


X = 6

Aplicación: Hallar “x”2

x

6

Rpta: ..........................................................04.En todo triángulo la suma de los cuadrados de

los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.


2x

3

Solución:22 + 32 = x2

4 + 9 = x2

x = 13

Aplicación:Halla “x”

5

x

13

Rpta: ...........................................................

05.En todo triángulo rectángulo se cumple que la inversa del cuadrado de la altura es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos.

aH

b

222 b

1

a

1

H

1+=

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2

CNA

MB

T

53oθθ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17

B

N

Q

CA

M

R

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) N.A

03. En la figura mostrada BE = a y EC = b. Hallar "AE".

C

B

A

E

30 - 310+2α

a) 2a+b b) a + b c) a + 2bd) 0 e) N.A

04.En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM , Calcular el

∠MCA si BH = MC a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) N.A

05.Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto

medio AC ;

M = Punto medio BC .

36 24

X

M

P

C

B

AO

o o

a) 20º b) 21º c) 24ºd) 25º e) N.A

06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto

N

B

M

AP C

P

a) Triángulo Podar

b) Triángulo Medianoc) Triángulo A y Bd) Triángulo Orticoe) N.A

07.En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10 3 ?

a) 5 2 b) 8 3 c) 18 d) 15 e) 12

08. Calcular BD si AE = 30º

A BC

DE

a) 0 b) 5º c) 10ºd) 15º e) N.A

09.En la figura , MF es mediatriz de

BC;BH es altura. Calcular el valor del ángulo A.

B

M

A H F C

α

α8

a) 9º b) 81º c) 71ºd) 18º e) N.A

10. En el gráfico hallar PQ ;



PA C

M N

B

Q

a) √2 b) 2√2 c) 8d) 4 e) N.A

11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentroa) 3 b) 1/3 c) 0,25d) 0,5 e) 1

12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC

interseca en N al lado BC y a la

prolongación de AB en "E". Hallar BE , si

AB = 16 y CN = 5BN

a) 3 b) 4 c) 8 d) 5 e) 7

13.Calcular el perímetro de un triángulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es un número entero

a) 20 b) 27 c) 30d) 35 e) 31

14.En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior AD , por D se traza una paralela a

AC que corta a AB en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3

a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3 e) 6

15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros,

calcular AD, si BE = 9

A

B

CE

a) 12,5 b) 10 c) 18d) 9 e) 12

16.En la figura, el triángulo ABC es equilátero de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

A

MB

N

C

a) 4 b) 8 c) 2√3d) 4√3 e) 2√2

17.Calcular uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos.

a) 15° b) 20° c) 30°d) 75° e) 45°

18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de

lado, por el punto medio D del lado AB se

traza DE perpendicular a BC . Hallar la

distancia de E al lado BC .

a) 2√3 cm b) 3√3 cm c) 4√3 cm d) √3 cm e) 4 cm

19.¿Cuántos puntos del plano de un triángulo equidistan de sus lados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ningún punto

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

A D

X

C

6

B

4 3

12

a) 3√3 b) 4√3 c) 4√2d) 6√2 e) 8√2


01.En un triángulo dos lado miden 9 cm y 7 cm. Hallar el perímetro (2p) del triángulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de los otros dos.

A

7cm

B

9cm

C

a) 35 cm b) 25 cm c) 30 cmd) 34 cm e) N.A

02.Los lados de un triángulo ABC miden AB = 4, BC = 5, AC = 6. Hallar el mayor segmento

que determina la altura BH sobre el lado

AC

a) 3 b) 3,8 c) 3,9d) 3,75 e) 3,85

03. Del gráfico mostrado; hallar x

A

30o

D

7

Cx

B2 3

a) √3 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

04.La base de un triángulo mide 15 m, se trazan dos rectas paralelas a la base, dividiendo en tres superficies equivalentes. calcular la longitud del segmento paralelo más cercano a la base

a) 3°3 m b) 4°2 m c) 5md) 5°6 m e) 7,5 m

05.En un triángulo ABC cuyo lado AB mide

12m, se toma un punto M y se traza MN

paralela a BC de tal manera que el triángulo quede dividido en la relación de 1 es

a 3. Calcular la longitud de AM .

a) 10m b) 8m c) 6md) 4m e) 7m

06.La diferencia de 2 lados de un triángulo es de 3 cm.; la bisectriz trazada del vértice del ángulo formado por estos lados determina en el lado opuesto, segmentos de 12 y 14 cm. Hallar los lados que forman el ángulo.

a) 18 y 21 cm b) 19 y 20 cm c) 20 y 23d) 16 y 19 e) N.A



07. Si : PB = 11, CB = 7, BA 8. Hallar :

AP

P

C B A

a) 16 b) 17,8 c) 297

d) 295 e) 19,5

08. Si los lados de un triángulo miden: 3, 3 y 7 cm respectivamente. ¿ Qué tipo de triángulo es :

a) Rectángulo b) Isósceles c) Equiláterod) Equiángulo e) N.A

09. Dos lados diferentes de un triángulo isósceles miden 12 y 5 metros. Hallar su perímetro .

a) 24m b) 20m c) 17md) 22m e)N.A

10.En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 48. Hallar la distancia del punto medio de la median relativa a la hipotenusa al baricentro del triángulo rectángulo.

a) 8 b) 10 c) 4 d) 2 e) N.A

11. Hallar "x"

4x

α

α

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A

12.Por el vértice " B " de un triángulo ABC se trazan perpendiculares, BP y BQ a las bisectrices interiores de los ángulos C y A respectivamente.

Calcular PQ si AB + BC =14 y

AC =10°

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A

13. Si BH = 2. Hallar AD

A

B D

CH

αα

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

14.En un triángulo ABC la bisectriz del ángulo B y la mediatriz de AC se intersectan. ¿Cuál de los gráficos es correcto ?

a)B

A C

b)α α

c)α

d)

A C

B

α α α

e) N.A

15. La relación correcta es: (Ver figura)

k z

m

n a

6

a) m + a + z = n + b + kb) abz = mnkc) maz = nbkd) maz = kzne) mna = kzb

16.En un triángulo rectángulo los catetos están en la relación de 3 a 4. Hallar la hipotenusa si el área de dicho triángulo es 48.

a) 20º b) 30º c) 40ºd) 45º e) N.A

17. En un triángulo recto ABC, recto en B, la mediatriz de AC corta BC en "P".

Si PC = 2 AB . Hallar C .

a) 30º b) 15º c) 45ºd) 25º e) 20º

18. Hallar el mínimo perímetro de un triángulo, sabiendo que sus lados son tres números pares consecutivos y que el mayor ángulo es el doble del menor.

a) 18 unidades b) 30 unidades c) 48 unidades d) 60 unidadese) 120 unidades

19. En un triángulo ABC, escaleno se construyen los triángulos equiláteros ABR y BCQ. Hallar : AQ si CR = 10√3

a) 10√3 b) 20√3 c) 25√3d) 30√3 e) N.A

20. En la figura hallar "x" si AP = PB y PC = 2AB

A P

B

Cx

a) 18º b) 19º c) 17ºd) 20º e) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01.HallarPQ , si PE = EC , AC = 8,

BC = 6 y CQ es bisectriz

P

A E

C

B

Qa

a

a) 4 b) 3 c) 3/4d) 4/3 e) 2



02.Hallar: AC, si AB = 8 y BC = 15.

A

B

C

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

03.Hallar AB, si AH = 3 y AC = 12.

A

B

CH

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

04.Hallar BH. Si AH = 1, HC = 4.

A

B

CH

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

05.Hallar AH, si AB = 2 y AC = 5.

A

B

CH

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 1,2

06.Hallar BH, si AB = 15, BC = 20.

A

B

CH

a) 9 b) 12 c) 16d) 6 e) 8

07.Hallar: BC, si AD = 18; DC = 7, AB = BD.

A

B

CD

a) 15 b) 12 c) 11d) 12,5 e) 20

08.Calcular “r”, si P y Q son puntos de tangencia.

r

2

rP

Q

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

09.Si AB = 6; PQ = 8; OF = 2. Hallar OH.

A

B

P

Q

FO

H

a) 2 b) 10 c) 11

d) 13 e) 15

10.Hallar R.

6

2

R

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 3 2

11.Se pide x.

x

10 17

15

a) 5 b) 7 c) 11 d) 6 e) 10

12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la mediana BM, tal que AB=BM=6. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

a) 3 b) 6 3 c) 3 3 d) 2 e) 2

3

13.Hallar “r” si el lado del cuadrado ABCD es 32.

r

a a

a) 8 b) 9 c) 10d) 8,5 e) 9,5

SOLUCIONARIO

N°Ejercicios Propuestos

01 02 03

01 D A C

02 C C D

03 A A B

04 C E D



05 C A C

06 A C A

07 D B C

08 C A E

09 B A E

10 B D C

11 B D A

12 B A

13 B A

14 B C

15 D C

16 D A

17 C C

18 B B

19 D A

20 B A


geometria 5° 3 b

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