preuniversitario - geometria 5°
DESCRIPTION
con mucho cariño para los estudiantesTRANSCRIPT
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Ao
EL SATELITE SPUTNIK 1Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave enrbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaero de viajepor el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slo meda 58 cm deancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos ytransmita informacin sobre la atmsfera terrestre. Tras un vuelo de 57 das,volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 2
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.
TELF.: 5400814 / 98503121
DPTO. DE PUBLICACIONES
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 3
r
t
r
A
t B
P: punto de tangencia
r : radio
T: recta tangente
rP
t
A
B
r
r0AP = BP
P
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA PROPIEDAD DE TANGENCIA
Concepto: Es el lugar geomtricode todos los puntos en un planoque equidistan de un punto fijollamado: centro, la distancia delcentro cualquier punto de lacircunferencia se llama radio.
Lneas notables en la circunferencia:
* Radio : r
* AB : CUERDA.-Es un segmento que une dospuntos de la circunferencia.Cuando pasa por el centro sellama dimetro (cuerda mxima),
* : RECTA TANGENTE.-Es la recta que toca en un slopunto a la circunferencia.
Teoremas Fundamentales
TEOREMA I
TEOREMA DEL RADIO Y LATANGENTE
Todo radio que llega al puntode tangencia es perpendicular a larecta tangente.
TEOREMA II
TEOREMA DE LAS DOSTANGENTES.
Si desde un punto exterior setrazan dos tangentes a una mismacircunferencia, los segmentoscomprendidos entre los puntos detangencia y el punto exterior soncongruentes.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 4
r
A
C
b a
c B
a + b = c + 2r
a + c = b + d
a - c = b - d
A
C
D
b
a c
B
A
Bb
aC
D
RS
c
d
QP
TEOREMA IIITEOREMA DE LA BISECTRIZDEL NGULO FORMADO POR 2TANGENTES.
El segmento que une el vrtice delngulo formado por dos tangentescon el centro de la circunferencia,es bisectrz del ngulo.
TEOREMA IV
TEOREMA DE PONCELET
En todo tringulo rectngulo: lasuma de catetos es igual a lahipotenusa ms el doble del radiode la circunferencia inscrita.
TEOREMA V
TEOREMA DE PITOT
En todo cuadriltero circunscritoa una circunferencia se cumpleque 2 lados opuestos sumanigual que los otros 2
TEOREMA VI
TEOREMA DE STEINER
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 5
A B
CD
R
P
A
B
T 10
A
BC
D
E
F
A
B C
D
E
T
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01.- En la figura A, B, R, D y C sonpuntos de tangencia. AP = 10y DP = 3 y PC = 2.Calcular BP
Rpta.:
02. AB = 16, calcular X
Rpta.:
03. Si AB + CD = a; BC + AD = b.Calcular EF
Rpta.:
04. Si el lado del cuadrado mide 4.Calcular TE
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 6
A
B
C
M
L
R
E
N
F
R
M
A B
P
Q
0
A B
R
r
05. Del grfico AB = 10, BC = 8,AC = 12; calcular el permetrodel tringulo MLC.
Rpta.:
06. Hallar MN en funcin de R.
Rpta.:
07. Hallar PQ si: AP = 4; P espunto de tangencia.
Rpta.:
08. Hallar AB si: R = 25; r = 7 lascircunferencias son concntricas.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 7
A
B
R
X
C
R
A
B
C
D
T
R
P N
r
A
B M C
N D
09. Hallar X si AB = 8 y BC = 15.
Rpta.:
10. En la figura adjunta hallar ADsi TC = 4, CD = 7 y R = 2.
Rpta.:
11. Dadas las circunferenciastangentes interiores. Si R = 10y r = 6. Siendo P y Ncentros de las circunferencias.
Rpta.:
12. Segn el grfico calcularMN + ND. Si AB BC = 2 yCD = 6 (A, N y M son puntosde tangencia)
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 8
24
135
A
B C
D
r
A
B
C D
r1
r2
0
M
A
B
C
N
Y X
R
13. Del siguiente grfico calcularr. Si: BC = 27 .
Rpta.:
14. En el grfico calcular r1 + r2.Si: AB = 9 y AD = BC + CD.
Rpta.:
15. En el grfico; la circunferenciamostrada esta suscrita en elcuadriltero OMCN; calcularBC si AM = 9, MC = 5, BN = 8.
Rpta.:
16. Segn el grfico X, R, Y sonlos inradios de los tringulosPTC, ABC, AQP.Respectivamente, calcularR. Si x + y = 4
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 9
A
B C
DE
0P
S
PT
Q
R
r
A
BP
C
Q DX
A
BQ
P
C53
17. De la figura, calcular PD, siBC = 6, ED = 2 y O es centrodel cuadrado ABCD.
Rpta.:
18. En la figura R = 3, r = 2 y
m = ST = 2(mQT ).
Calcular PS, si T, Q, S sonpuntos de tangencia.
Rpta.:
19. En la figura X e Y son lascircunferencias inscritas en loscuadrilteros ABPQ y PQDCrespectivamente. Calcular PQ,Si AB = 6, BC = 10, CD = 3 yAD = 9.
Rpta.:
20. Del grfico calcular el inradiodel tringulo ABC Si: PQ = 2( PQ es la sagita de la cuerdaBC).
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 10
A
B
C
D
DA
CB
r
A
B
C
Q F
P
A
B
CF
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. En la AB = 9, AD = 11 y BC = 5.Calcular CD
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
02. En la figura AB = 24, BC = 7 yAD = 20, calcular r
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
03. La figura muestra a unacircunferencia inscrita en el
tringulo ABC. Si: AQ = 4,BQ = 5 y FC = 7. Hallar elpermetro del tringulo ABC.
A) 16 B) 18 C) 38D) 36 E) 32
04. La figura muestra a untringulo ABC y a lacircunferencia ex inscritarelativa al lado AB. Si AB = 8,BC = 12 y AC = 16. Hallar FC.
A) 14 B) 15 C) 18D) 22 E) 36
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 11
A
B
C
R
r
A
B
C
D
R
A
B
C
P
Q
A
B
CP
Q D
AB
CT
R
53
05. En la figura hallar R + r .Si AB = 15 y BC = 8.
A) 10 B) 10,5 C) 11,5D) 14 E) 15
06. Segn el grfico calcular R.Si BC = 6, CD = 5 y AD = 15.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
07. Calcular AB si el permetro deltringulo PQC es 8.
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
08. En la figura se cumple queAB + CD = 24 y BC + AD = 40;calcular PQ.
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
09. Del siguiente grfico. HallarAB + AC. SI TC = 3 y R = 5
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 12
A B
C
D
r
90 - 2
B M N
Q
A T
L
G R
B C
A DPJ
A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20
10. Del grfico adjunto calcularAC +2r. Si BC = 3 y BD = 4.
A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15
11. Calcular la longitud de lacircunferencia cuyo radio mideR, tal que:
R = 8 + 4 + 2 + 1 + + +
A) 4pi B) 6pi C) 8pi
D) 16pi E) 32pi
12. Calcular el valor de la relacinX/L sabiendo que son laslongitudes de dos cuadrados,adems: A y D son centros delos arcos BD y AC.
A) 2/3 B) 3/4 C) 4/5D) 3/5 E) 1/3
13. En la figura AT = 9, BM = 4.Calcular MT.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
14. Segn el grfico PA = 4, R =3.La m APO = m MNB.Hallar MN.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 13
A
N
P
B
M
0
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
15. La hipotenusa y un cateto deun tringulo rectngulo miden30 y 24. Hallar el radio de lacircunferencia Ex inscrita alotro cateto.
A) 10 B) 9 C) 7D) 12 E) 8
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 14
A B
C
360
r L = 2c r
A
radi
o
radio0
O
B
Om AOB=
cuerda
O
A
B
cuerda
P
Om APB= 2
TEMA: CIRCUNFERENCIA - NGULOS
DEFINICIONES PREVIAS
1.- Arco de circunferencia. Sedenomina arco a una partede la circunferencia compren-dida entre dos puntos de ella.De la figura:
AB: Es el arco menorcorrespondiente a lacuerda AB .
ACB: Es el arco mayorcorrespondiente a lacuerda AB.
2.- Medida de unacircunferencia. Una circun-ferencia se puede medir tantoen unidades angulares comoen unidades lineales.
En unidades angulares.- La medidade una circunferencia es 360, nointeresa cuanto mide el radio.
En Unidades Lineales.- Es iguala 2 por el radio. A mayorradio, mayor longitud.
TEOREMAS SOBRE LOS NGULOSEN LA CIRCUNFERENCIA
1) ngulo Central
2) ngulo Inscrito
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 15
rA B
AB : Dimetro
O
cuerda
Tangente
Q
AP
Om APQ= 2
O
O
cuer
da
SecanteB P
COOm PBC= 2
O
0O
A
B
OOm AOB= 2
O
0O
AB
DC
OOm AOC= 2
Corolario I: Todos los ngulosinscritos en un mismoarco tiene igual medida.
Corolario II.- Todo ngulo inscritoen una semicircunferencia esngulo recto.
3) ngulo Semi Inscrito
4) ngulo Ex-inscrito
5) ngulo Interior
6) ngulo Exterior
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 16
ObO
b OO = 180O
O
O
CASO PARTICULAR
TEOREMA DEL NGULOCIRCUNSCRITO
Consecuencia Son iguales
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 17
T
P
Q
X
X
B
CA
D
X
AB
C
M
T P
QR0
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Si PT = 80 y QT = 60.Hallar X
Rpta.:
02. Si ABCD es un romboide,hallar X
Rpta.:
03. En la figura mostrada, calcularel valor de X si m BAC = 184( A es punto de tangencia).
Rpta.:
04. Segn el grfico calcularm TMQ, si PQ = R ( T espunto de tangencia).
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 18
A H B
M
T
AC
D
60
50
A B
CD
EX 150
A
BC
D
E0
X
05. En el grfico m TB = 140.Calcular la medida del nguloque forman las bisectrices delos ngulos MTH = TBA.
Rpta.:
06. Segn el grfico calcular lam AD. Si A y D son puntos detangencia.
Rpta.:
07. Calcular X. Si O es centro yOB = DE.
Rpta.:
08. En la figura O es centro de lasemicircunferencia y AB = CD,calcular X.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 19
A B
C DX
80
A
B
C
80
X
0
A
B
C
D
PX
A B
CD
E
X
09. Si A, B, C y D los puntosde tangencia, calcular X.
Rpta.:
10. Si O es centro calcular X.
Rpta.:
11. Si AB = BC y m BD = 180.Calcular X.
Rpta.:
12. En la figura A y B sonpuntos de tangencia.Calcular X.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 20
2X
X
A
B
C
A B
CD
P
60
X
A
B
C
80
XA
BC
D
E
H
30
13. En la figura A, B y C sonpuntos de tangencia.Hallar X.
Rpta.:
14. En la figura B, C, D y Eson puntos de tangencia,calcular la m CH.
Rpta.:
15. Hallar X. Si A, B, C y Dson puntos de tangencia.
Rpta.:
16. Calcular X.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 21
A
B
CD
S
T
X
D R
T
O
X
40
U
N
C
P
X
A
B
C
D
4X
X
17. Calcular X.
Rpta.:
18. Calcular X. Si m DC = 80 ym DS = 40.
Rpta.:
19. En la figura. Hallar X.Si m DR = m RO (T punto detangencia).
Rpta.:
20. Si m PUN = 12 , calcular X.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 22
A
B
C
DP
P
R
53
X
Q X
A
B
T
A B
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Del grfico mostrado calcularm BC.Si m BAD = 4; m BAD =m CBD = 40
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
02. Segn el grfico calcular elvalor de X (P, Q, R sonpuntos de tangencia).
A) 15 B) 30 C) 37D) 53 E) 60
03. Del grfico calcular ( + ).Si m AB = 80
A) 200 B) 220 C) 240D) 260 E) 230
04. Calcular X si m AB = 150(T es punto de tangencia)
A) 15 B) 20 C) 30D) 45 E) 60
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 23
2 3
X 20
A
T
M
B0
20
A
B
C
Q
I
A
B CD
EFO
X
05. En la figura Hallar
A) 18 B) 20 C) 36D) 48 E) 72
06. EN la figura mostrada, HallarX.
A) 30 B) 50 C) 70D) 80 E) 85
07. En la semicircunferencia hallarm AT. Si O es centro.
A) 40 B) 20 C) 45D) 60 E) 80
08. Si AC = 24 I: Incentro.Hallar IQ
A) 2 B) 2 2 C) 3 2D) 4 E) 6
09. En el grfico mostrado hallarm FBE si m EBD = 30.
A) 15 B) 20 C) 25D) 30 E) 60
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 24
X
100
60
X
X
0
A
BC
D
E
T2X
10. En el grfico mostrado. Hallarel valor de X.
A) 80 B) 90 C) 100D) 110 E) 120
11. En la figura mostrada, hallar elvalor de X.
A) 100 B) 120 C) 140D) 150 E) 160
12. En la figura hallar X si O escentro.
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
13. Segn el grficom DTC = m CE = 2m BAD = 2x.Hallar X.
A) 30 B) 40 C) 50D) 60 E) 70
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 25
A
B
CDX
2
40
1020
A 0 C
B
X
14. Segn el grfico. Hallar X.
A) 60 B) 70 C) 80D) 90 E) 100
15.- Si AB = BC. Hallar X
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 60
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 26
A E
B F
C G
D H
B
a m
E F
b n
A C
TEMA: SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD:PRINCIPALES TEOREMAS:1.TEOREMA DE LAS PARALELAS
EQUIDISTANTESTres o ms rectas paralelasy equidistantes determinansobre cualquier recta secante,segmentos congruentes .
Si L1 // L2 // L3 // L4Entonces:
GHFGEFCDBCAB
2.TEORIA DE THALES DE MILETO.-Si tres o ms rectas paralelasson cortadas por 2 rectas secantes,los segmentos determinados en laprimera secante secante sonproporcionales a los segmentosdeterminados en la segundasecante.
Si L1 // L2 // L3 // L4
Entonces
GHCD
FGBC
EFAB
==
Tambin podra ser:
FHEF
BDAB
GHEG
CDAC
== ;
Casos ParticularesA) En el Tringulo (EF // AC )
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 27
m n AB F
C
a b
a = bm na = mb n
a = bm na = mb n
AB
C
c
a b
m n
CBAB
n
bm
a==
EAEB
FCFB
BAEB
BCFB
== ;
B) En el Trapecio
Si ADBCPQ ////
Entonces
DCAB
n
ym
x==
3.TEOREMA DE LA BISECTRIZINTERIOREn todo tringulo, los ladoslaterales a una bisectriz sonproporcionales a los segmentosdeterminados por la bisectriz dellado opuesto.
4.TEOREMA DE LA BISECTRIZEXTERIOREn todo tringulo una bisectrizexterior determina sobre laprolongacin del lado opuesto,segmentos proporcionales a loslados laterales a dicha bisectriz.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 28
CI = a + bIF cI: Incentro del ABC
AB
C
a bI
Fc
A
B
C c
a
bm
n
a.b.c = m.n.
Prolongacin
A
B
Cc
a
bm
n
b
a.b.c = m.n.
B
C
c a
m nA
5. TEORA DEL INCENTROEn todo tringulo, el incentrodivide a cada bisectriz en 2segmentos que sonproporcionales a la suma de laslongitudes de los lados lateralesy al lado donde cae la bisectriz.
6.TEOREMA DE MENELAOEn todo tringulo al trazar unarecta secante a dos lados perono paralela al tercer lado, seforman seis segmentosconsecutivos. Empezando.
7.TEOREMA DE CEVAEn todo tringulo al trazar trescevianas concurrentes, empezandopor cualquier vrtice, se cumpleque: El producto de las longitudesde tres segmentos no consecutivoses igual al producto de laslongitudes de los otros tres.
8.TEOREMA PARA CALCULARLA LONGITUD DE UNABISECTRIZ INTERIOR.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 29
A
x
B
C
c
ab
m n
SEMEJANZA DE TRINGULOS
Dos tringulos son semejantescuando tienen sus ngulosrespectivamente congruentes.
Si dos tringulos son semejantes,sus lados homlogos sonproporcionales.
9. TEOREMA PARA CALCULARLA LONGITUD DE UNABISECTRIZ EXTERIOR.
Si ABC ~MNL
kcn
bm
a===
k: Razn de semejanza.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 30
A C
ac
b
B
A C
c
b
B
q
nM Q
N
Si c = q b nABC MNQEntonces
y m A m M< <
CASOS DE SEMEJANZA DETRINGULOS
1er Caso: (A.A)Dos ngulos congruentes
2do Caso: (L.A.L.)Un ngulo congruente y los ladosque lo forman son proporcionales.
3er Caso: (L.L.L.)
Tres lados proporcionales.
M L
lNABC MNL
ABC MNLEntonces
A C
c a
b
B
lnM L
N
m
Si a=
b=
c m n l
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 31
A
B
CF
E
DG
A
B
CP
Q R
S
A
B C
D
M
A
B
C
D
E
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Si AD//BE//CF ; EG//AF ;
23
BCAB
= tambin GD = 6.
Calcular AG
Rpta.:
02. Calcular el lado del cuadradoPQRS. Si AP = 1 y SC = 4.
Rpta.:
03. Si BC = 4, AD = 9, BM = MA,calcular AB
Rpta.:
04. Si AB = 15, AD = 6, DC = 4 yAE = 3. Calcular BD
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 32
A
B
C
M N
H
A
T C
B
A
B
CE
D
A
B
CP Q
05. Calcular HB si MN // ACAM = 6 y MH = 2
Rpta.:
06. Si T es punto de tangencia,AB = 9, BC = 4. Calcular TB.
Rpta.:
07. De la figura mostrada BC = 8,CD = 12, DE = 9. Calcular AB.
Rpta.:
08. Del grfico AP = 3 y PC = 2.Calcular QC.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 33
A
B
E
FQ
P C
b
P
Q
R
S
h
A
B C
D
PQ
09. Del grfico mostrado se tieneAB // PF // QE. Si BE = 4 yEF = 3; Hallar FC.
Rpta.:
10. Del grfico AB = 5 y BC = 12.Hallar PQ.
Rpta.:
11. Calcular el lado del cuadradoPQRS en funcin de b y h.
Rpta.:
12. En un trapecio de bases 6 y 9;hallar la altura del trapecio sila distancia desde lainterseccin de las diagonalesa la base mayor es 6.
Rpta.:
13. Los catetos de un tringulomiden a y b calcular lalongitud de la bisectriz interiorrelativa a la hipotenusa.
Rpta.:
14. En la figura AB = 2, BP = 6.Hallar BC.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 34
A
B
P C
AB
C
P
A
B
P C
Q
EF
B
AP S
Q
C
M
N
A
B C
D
P
Rpta.:
15. En la figura AP = 5, PC = 4.Hallar BC.
Rpta.:
16. ABCD es un cuadrado, BP = 2,PC = 4. Hallar MN.
Rpta.:
17. Segn el grfico AB//QE//PF. SiBE = 4, EF = 2.Hallar FC.
Rpta.:
18. Segn el grfico hallar AB. SiAB//QS si QS = 3.
Tambin5
QC4
QP3
AP==
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 35
B A
C
P
A
B
C
D
P
R
19. Segn el grfico AP = 2, PB = 4.Calcular AC.
Rpta.:
20. Si ABCD es un rombo de ladoQ y BP = b. Hallar PR.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 36
A
B
C
X-3 X-2
M N
4 5
A
B
C D
E
F
1
2
3
L
L
L
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Del grfico L1 // L2 // L3Si EF AB = 3 y AC = 16.Hallar EF siendo adems DF = 24
a) 8 b) 9c) 10 d) 12e) 6
02. Del grfico MN = 5,5 MN//AC.Hallar AC.
a) 8 b) 9c) 10 d) 11e) 12
03. en un tringulo ABC, lamediatriz de AC corta a BC enP y a la prolongacin de ABen Q. Si 2AB = 3BQ y BP = 3.Calcular PC.
a) 6 b) 7c) 7,5 d) 8e) 9
04. En un trapecio ABCD sobreAB y CD se ubican los puntosP y Q respectivamente tal quePQ // BC // AD y 3QD = 5CQ.Hallar PQ si adems BC = 2,AD = 10.
a) 4 b) 5c) 6 d) 6,5e) 8
05. En un tringulo ABC se sabeque AC = 12, BC = 10 se trazala bisectrz interior CD y luegoDM paralelo a AC (M en BC).Calcular DM.
a) 6 b) 5c) 5,5 d) 6,5e) 60/11
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 37
A B C D
A
B
C
D
P
QR
06. En un tringulo ABC se trazanlas bisectrices AE y CDquienes se cortan en P siAD = 1, BD = 2, BE = 3.Calcular: EC
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 6
07. AB = 7, BC = 9 son los ladosde un tringulo ABC, si labisectriz interior de Bdetermina sobre AC dossegmentos cuya diferencia delongitudes es 1. Hallar AC.
a) 10 b) 8c) 8,5 d) 9,5e) 10,5
08. Del grfico hallar CD.Si AB = 6 y BC = 2.
a) 3 b) 4c) 3,5 d) 4,5e) 2,5
09. Se tiene un trapeciorectngulo ABCF en talmanera que la base BC = 1 yla base AF = 4 sobre la alturaAB se toma el punto medioR tal que CRF = 90. HallarCF.
a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7
10. Del grfico se cumple que8PB = 7AQ y CR = 4.Calcular RD.
a) 3 b) 3,5c) 3,2 d) 2,8e) 1,6
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 38
A
Q
B
R
CP H S
B
DP
C
AB
CD
M P N E
A
B
C
M N
P
11. Si PQRS es un cuadrado.Hallar QR adems AC = 12,BH = 8.
a) 4 b) 3c) 4,8 d) 6e) 3,5
12. En la figura BD = 4, DP = 2.Hallar PC
a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7
13. En la figura AM = 4, NC = 8,PC = 10. Calcular AP siAD//EC.
a) 4 b) 2c) 5 d) 8e) 6
14. Hallar el lado del cuadradoMBNP si AB = 6 y BC = 10.
a) 2 b) 3c) 3,75 d) 5e) 8
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 39
A
B
CD
I
15. En la figura calcular BC siIC = 6 y CD = 2 donde I esincentro.
a) 4 b) 6c) 18 d) 9e) 12
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 40
a = m. c b = n . c2 2
TEMA: RELACIONES MTRICAS
A) RELACIONES MTRICAS ENEL TRINGULO RECTNGULO
Elementos de un tringuloRectngulo.
a y b = Son las longitudes de loscatetos ACyBC .
c = Es la longitud de laHipotenusa AB
h = Es la altura relativa a laHipotenusa.
m = Es la longitud de laproyeccin del catetoBC sobre la hipotenusa.
n = Es la longitud de laproyeccin del catetoAC sobre la hipotenusa.
- Los siguientes teoremas nosdescriben las principales relacionesque hay entre las longitudes de loslados, altura y proyecciones de untringulo rectngulo.
TEOREMA 1En todo tringulo rectngulo, el cuadradode un cateto es igual al producto de suproyeccin por la hipotenusa.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 2 (Teorema de Pitgoras)En todo tringulo rectngulo, lasuma de los cuadrados de loscatetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.
En la figura se cumple que:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 41
h = m . n2 1 + 1 = 1 a b h2 2 2
TEOREMA 3En todo tringulo rectngulo, elcuadrado de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto delas proyecciones de los catetossobre la misma.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 4En todo tringulo rectngulo, elproducto de catetos es igual alproducto de la hipotenusa por sualtura relativa.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 5En todo tringulo rectngulo lasuma de las inversas de loscuadrados de los catetos es igual ala inversa del cuadrado de la alturarelativa a la hipotenusa.
En la figura se cumple que:
B. RELACIONES MTRICAS ENEL TRINGULO OBLICUNGULO
1)TRINGULO OBLICUNGULOLos tringulos que no sonrectngulos, son oblicungulos,luego un tringulo oblicungulopuede ser acutngulo u obtusngulo.
2)COMO RECONOCER SI UNTRINGULO ES ACUTNGULO UOBTUSNGULO
Se aplican las siguientespropiedades:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 42
< 90 c < a + bo 2 2 2
> 90 c > a + bo 2 2 2
- Es Acutngulo: Si el cuadradode un lado que se opone a unngulo agudo siempre esMENOR que la suma de loscuadrados de los otros dos.
NOTA: Todos los ngulos deltringulo son menores que 90.
- Es Obtusngulo: Si el cuadradode un lado que se opone a unngulo obtuso siempre esMAYOR que la suma de loscuadrados de los otros dos.
NOTA: Un ngulo de los tres ngulosdel tringulo es mayor que 90.
3)PROYECCIN DE UN LADOSOBRE OTRO LADOEn el tringulo es importanteconocer la proyeccin de un ladosobre otro, para ello siempre setraza una altura.
- En el tringulo acutngulo: Enel tringulo acutngulo, laproyeccin de un lado sobre otroesta contenido en este ltimo.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 43
- En el tringulo obtusngulo:En el tringulo obtusngulo, paraencontrar la proyeccin de unlado sobre uno de los ladosadyacentes al ngulo obtuso, sedebe prolongar este ltimo.
4)TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1En todo tringulo, el cuadradode un lado que se opone a unngulo Agudo es igual a la sumade los cuadrados de los otrosdos, menos el doble producto deuno de ellos por la proyeccin delotro sobre aquel.
Si: < 90
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 44
AB
C
cM
mc
AB
C
cxP
a b
M
TEOREMA 2
En todo tringulo, el cuadrado dellado que se opone a un nguloobtuso es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos, ms eldoble producto de uno de ellos porla proyeccin del otro sobre aquel
Si > 90
5)TEOREMA DE LA MEDIANA
En todo tringulo la suma de loscuadrados de los lados lateralesa una mediana es igual al dobledel cuadrado de la mediana msla mitad del cuadrado del ladodonde cae la mediana.
As en la figura:
mC es la mediana relativa allado c.
Entonces:
22
2222 cmba C +=+
TEOREMA DE LA PROYECCINDE LA MEDIANA
En todo tringulo, se cumple losiguiente:
Si x es la proyeccin de lamediana CM , entonces:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 45
A
B
CH
Q
A
B
H
Q
C
A
B
CP
A
B
M
C
0
A
B
CP
A
B C
D
PQ
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. De la figura AB = 12, BQ = 9 yAH = HC. Calcular QC
Rpta.:
02. De la figura calcular BQ. SIAH = 4, HC = 9 y HQ = 2.
Rpta.:
03. Calcular AP, si AB = 12,BC = 16, AB es dimetro dela semicircunferencia.
Rpta.:
04. Calcular , Si BM = 3MC Oes centro.
Rpta.:
05. Calcular PQ, si AP = 4 y BC = 10.
Rpta.:
06. En la figura AP = 2, PC = 7,calcular BP.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 46
A
B C
D
P
H
A B C
P
Q
L E
A
B C
L
07. En la figura ABCD es uncuadrado, calcular PH siBH = 2, HC = 8.
Rpta.:
08. Se tiene un tringulo isscelesABC (BC = AC) cuyos ladosAB y BC miden 4 y 7respectivamente, calcular lalongitud de la proyeccin dellado AB sobre el lado AC.
Rpta.:
09. En el grfico calcule PC , si L // BQAB = 8, QC = 6 y (AP)(PB) = 20.
Rpta.:
10. Se tiene un tringulo ABC,sobre AB se ubica el punto N,tal que BM es mediana deltringulo ABC la mNMB = 90 y m BCA = 2mNMA. Calcule BM, si (AB)2 (BC)2 = 32.
Rpta.:
11. En un trapecio isscelesABCD ( )AD//BC con centro enA y radio AB se traza un arco,tal que la longitud delsegmento tangente trazadodesde C a dicho arco es 2 10y BC = 4. Calcule la longitudde la proyeccin deCD sobre AD .
Rpta.:
12. Segn el grfico: BF = EA,BC = 3AL y 25(AL)2 +9(BE)2 = 100, calcule CO.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 47
A
T
B
E
D
FC
A B
C
0
M
A B C
D
E
13. En el grfico mostrado calcularAE, si BT = 20, AF = 4, FC = 5,BC = 25 y T es punto detangencia.
Rpta.:
14. En el grfico, se cumple:(OB)2 + 3(OM)2 =12Calcular AM
Si O es centro de lacircunferencia.
Rpta.:
15. Segn el grfico A y C sonpuntos de tangencia BC =2BE y (AD)2 + (DC)2 = 160,calcule AB.
Rpta.:
16. En un trapecio ABCD( )AD//BC , en AD se ubica unpunto M, tal que CM//AB , porM se traza una perpendiculara AD , que interseca a laprolongacin de CB en N, SiAB = 13, BC = 6, CD = 15 yAD = 20. Calcular la relacinentre las medidas de losngulos ANM y CDA.
Rpta.:
17. En un tringulo ABC (AB > BC)se traza la bisectriz interiorDE, tal que AC = CE si
(AC)2 ( ) 184
AB 2= calcule BE.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 48
A
B
C
L
N
P
R90 - 3 2
T
E D
N
B C
r
A B
M
H
R
0
18. Segn el grfico R = 5.Calcule NC (P, L, N, sonpuntos de tangencia).
Rpta.:
19. De la figura calcule TE. SIBEDC es un rectngulo en elcual (r)(DE) = 6 y DN = NB,adems T es punto detangencia.
Rpta.:
20. El grfico siguiente AB = MH = 8,calcule R.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 49
A
B C
D
N
F
M
P
Q R
SA B
A
B C
D
E
rR
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. En la figura r = 3 y R = 4.Calcular OQ.
a) 2 2 b) 5 2 c) 3d) 4 e) 5
02. Calcular la medida del ladodel cuadrado ABCD siNF = 2, FM = 3 y F es puntode tangencia.
a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 10
03. Si PQRS es un cuadrado y AB = 10.Calcular QR.
a) 1 b) 2c) 3 d) 5e) 2
04. Del grfico calcular X.
Si CD = DE = AE =2
AB
a) 45 b) 30c) 37 d) 60e) 53
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 50
A
B
D
R
C
A
B
CH T
A
C
D
N HB
M
A
B C
D
G FM
05. En el grfico calcule AD. Si3CD = 2BC y R = 6.
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
06. Segn el grfico AH = 1, TC =12. Calcule HT (B y T sonpuntos de tangencia).
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
07. En el grfico 2(AN) = 6(NB) = 3(BM).Calcule DH, si DB = DM, CN = 3y ND = 11.
a) 11 b) 10c) 9 d) 8e) 12
08. Segn el grfico calcule (MF)2 (MG)2 si CD = 4 BD = 7,sabiendo que ADFG es uncuadrado y ABCD es unromboide.
a) 11 b) 22c) 33 d) 44e) 55
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 51
A
B
T
F
0 E
M
P
ET
A
Q R
CP T
09. Segn el grfico AOB es uncuadrante de centro O,calcule AT, si TF = 2 y FE = 7(T, A, F, son puntos detangencia).
a) 5 b) 2c) 2 2 d) 3e) 3 2
10. En la figura calcule PT si TM = 4(T y P son puntos detangencia).
a) 4 2 b) 4c) 2 2 d) 5e) 6
11. En un trapecio rectnguloABCD m BAD = m ABC =90. Halle la longitud de labase media. Si BC = 11; BD =20, CD = 13.
a) 12 b) 11c) 13,5 d) 14e) 15
12. Segn el grfico, loscuadrilteros AQRP y PQRCson paralelogramos . CalculePQ, si (AP)2 (AQ)2 = 15 y(PC)(TC) = 7,5.
a) 29 b) 31c) 30 d) 33e) 35
13. En un rombo ABCD, sea Mpunto medio de AD , tal que(BM)2 + (CM)2 = 80 calcular elpermetro de la regin limitadapor el rombo.
a) 16 b) 16 2c) 18 d) 20e) 28
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 52
A
BL
C T
N
14. Segn el grfico: AB = 15,AC = 13, CT = 8. Calcular lam NTL (L, N, T, son puntosde tangencia).
a) 10 b) 15
c) 16 d)2
53
e) 18
15. Se tiene el tringulo ABC, setraza la semicircunferencia dedimetro AC , que interseca aBC en T. calcular MN, siendoM y N los puntos medios deMB , siendo M y N los puntosmedios de AB y del arcoTNC, BC = 6 y AC = 8.
a) 5 b) 41 c) 37d) 77 e) 5 2
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 53
Aa d
c b
BC
D
P
A
P
B ba
cdC D
TEMA: RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.En una misma circunferencia, si doscuerdas se cortan se cumple que: elproducto de las partes de la primeracuerda es igual al producto de laspartes de la segunda.
Si AB y CD se cortan en Pdeterminan los segmentos:
En AB : AP = a; PB = bEn CD : CP = c; PD = dLuego a.b = c.d .
2.TEOREMA DE LOS SECANTESSi desde un punto exterior setrazan dos secantes a una mismacircunferencia se cumple que: laprimera secante por su parteexterna es igual a la segunda,tambin por su parte externa.En la figura se trazan:Se han trazado desde P, lassecantes PA y PCPA = a ; PB = bPC = d ; PD = c.Luego a.b = c.d .
3.TEOREMA DE LA TANGENTE YLA SECANTESi desde un punto exterior setrazan una tangente y una secantea una misma circunferencia, secumple que: la tangente alcuadrado es igual a la secante porsu parte externa.
En la figura PA es la tangente yPC la secante
Si: PA = T; PC = a; PB = b
Luego
T2 = a.b .
A
B baC
TP
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 54
AD EB C
B
A
P
C
D
B F CA D
A
B
C
D
E F
G
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Si AB = 10, RC = 4 y CD = 1,calcular DE.
Rpta.:
02. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9,calcular PD.
Rpta.:
03. Calcular el rea de la reginsombreada. Si AB = 15, FC = 4y CD = 12.
Rpta.:
04. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2.Calcular FG
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 55
P
T
A H 0 B
R
A
B
E
C
R
A
B C
D
M
05. Una circunferencia tiene 10cm. de radio se traza unacuerda AB sobre la cual seubica un punto M de modoque los segmentosdeterminados sobre dichacuerda miden 5 y 12. Calcularla distancia del punto M alcentro de la circunferencia.
Rpta.:
06. En la figura hallar OH siAP = 4 y R = 6 (T punto detangencia).
Rpta.:
07. En un tringulo ABC, inscritoen una circunferencia, el ladoAB mide 6, el lado BC = 8 y laaltura BH = 4; hallar el radiode la circunferencia.
Rpta.:
08. En la figura mostrada hallarR si BE = 4, EC = 9.
Rpta.:
09. Si ABCD es un cuadrado delado igual a 4 y M es unpunto cualquiera en el arcoAB. Hallar MB si MD = 5.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 56
A
BC
DO
M
N
A
B
C
D
EF
G
rO
A
L
B
C
D
10. El dimetro de unacircunferencia divide a unacuerda en dos segmentos quemiden 2 y 6; hallar la distanciadel centro de la circunferenciaa dicha cuerda, si el radiomide 5.
Rpta.:
11. El dimetro AB de unacircunferencia se prolongahasta un punto P y se trazala recta tangente PT; hallar elradio de la circunferencia; sise sabe que PT = 2 10 yPB = 4.
Rpta.:
12. Segn el grfico, calcule AB,si: BM = 3 y MN = 2.
Rpta.:
13. En el grfico mostrado AE =EC = 8, FC = 2, BF = 4 y C espunto de tangencia. CalculeDC.
Rpta.:
14. Segn el grfico, calcule AB,si AL = 5 y LC = 4 (A y D sonpuntos de tangencia).
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 57
T
MP Q N
A O B
A
D
B
T C
A O
M N
B
O2
15. Segn el grfico MP = PQ;Calcule ON. Si PT = 4, sientoT punto de tangencia.
Rpta.:
16. En el grfico mostrad D y Tson puntos de tangencia.Calcule AC, si CD = X, AT =Y.
Rpta.:
17. En el grfico siguiente O2, esun punto de tangencia.Si AO = 10, calcule MN.
Rpta.:
18. En un rectngulo ABCD, setraza interiormente unasemicircunferencia dedimetro AR ( AR estacontenido en AD ). De C setraza CT tangente a ella (T espunto de tangencia). CalculeAC, si: (CT)2 + (AR) (AD) = 18.
Rpta.:
19. En el grfico, calcule el radiode la semicircunferencia,sabiendo que (MP)(PB) = 32.Siendo M y O puntos detangencia.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 58
O
P QT
M
A
A O B
M
P
Rpta.:
20. Segn el grfico, calcule OM.SI MT = 6 adems el punto Tes punto de tangencia.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 59
A
BC
D
B
A
C
D
F
E
C B A
T
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Calcule BC si AB = 3, CD = 4.
a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 2
02. Calcular BC, si BF = 3, EF = 9 yFD = 16.
a) 16 b) 36 c) 21d) 46 e) 37
03. Calcular el arco del crculo.Si AT = 6 y AB = 3
a) 3pi b) 6pi c) 8pi
d)2
9pi e)4
81pi
04. En un cuadrado ABCD cuyo
lado mide 2 5 la
circunferencia inscritadetermina en el lado AD elpunto P . Si BP interseca a lacircunferencia en el punto R.Calcular BR.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 1
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 60
A
B
C
E F
M
A
B
O
E
P
B
A
P
C
DM
A
B
N C
L O
05. En la figura hallar FC, siAE = 4, FB = 3 y BF = 12;adems AM = MC.
a) 6 b) 1 c) 4d) 3 e) 2
06. Si AOB es un cuadrante deradio 3, hallar EP si AP = 1.
a) 1 b) 2 c) 3,2d) 4 e) 1,4
07. En el grfico (OA)2 (OL)2 = 12,calcular (BL) (LN).
a) 5 b) 17 c) 6d) 7 e) 4
08. En la figura mostrada a y B sonpuntos de tangencia, calcular lam PAB, si m BMD = 140.
a) 70 b) 60 c) 50d) 80 e) 65
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 61
A
B
NT
C
A
B
C
E
P
L
A
B C
D
T
09. Segn el grfico, calcular AT siAB = 6 (T punto de tangencia)
a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 8
10. En una circunferencia seinscribe el tringulo ABC,donde se trazan las alturas APy BM (H: ortocentro) si HP = a yHM = b calcule (AM)(MC) -(BP)(PC) Si b > a
a) a2 + b2 b) b2 -a2 c) ab
d)2
ab e)3
ab
11. Segn el grfico AE = 8.Calcule (AC) (AB) .
a) 37 b) 40 c) 50d) 64 e) 70
12. Segn el grfico ABCD es un
cuadrado 3(AT) = 21 (AB).
Calcule la medida del arco AD(T es punto de tangencia).
a) 37 b) 40 c) 45d) 74 e) 106
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 62
A
B
CD
EF
OR
A
B
L
P
RO
13. En el grfico mostrado O escentro R = 4 C es punto
medio de DE . Calcule AB.
a) 3 b) 3 2 c) 4
d) 4 2 e) 5
14. Segn el grfico, si PL = 3 yAP = R, calcule R.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15
15. La medida de los catetos de untringulo rectngulo es e 5 y 12;hallar la altura relativa a lahipotenusa.
a) 1 b) 2 c) 3,6d) 4,6 e) 5
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 63
S = L . 32
4
S = H . 32
3
a
b
S = 1 ab. Sen 2
b
h
b b
TEMA: REAS DE REGIONES PLANAS
a)REAS DE REGIONESTRIANGULARES
REGIN: Es aquella parte de unasuperficie plana por una lnea.
REA: Es el nmero que indica lamedida de una regin, es decir esigual al nmero de veces que seutiliza la regin unitaria.
1.FORMULA GENERAL.-El rea de un tringulo es igual alsemiproducto de su base y la alturacorrespondiente.
Donde: S = Superficie o rea delTringulo
h = alturab = base
2.hbS =
2.REA DE UN TRINGULOEQUILTERO
3.FRMULA TRIGONOMTRICAEl rea del tringulo es igual alsemiproducto de dos ladosmultiplicado por el seno del ngulocomprendido entre dichos lados.
4.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DE SUS LADOS OFRMULA DE HERN
))()(( cPbPaPPS =donde: P = semipermetro
2cbaP ++=
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 64
a
c
b
2XX
2cbaP ++=
a
c
br
RcbaS
4..
=
a c
b
R
A Cnm
B
5.RELACIN DE REASAl trazar medianas
6.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DEL INRADIOEl rea de un tringulo es igual alsemiperimtro por el inradio.
S = P.r
Donde:
7.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DE EL CIRCUNRADIO
8.SABC = m.n
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 65
a
a
d
A
B
D
Cb
H
A b D
B C
h
A
D
B
CA
a
A
a
a
a
B. REA DE REGIONESCUADRANGULARES
1.REA DE UNA REGINCUADRADA
S = a2 .
2
2dS =
2.REA DE UNA REGINRECTANGULAR
S = b . H .
3.REA DE UNA REGINPARALELOGRMICA
S = b. h .
4.REA DE UNA REGINROMBAL
2. BDACS =
5.REA DE UNA REGINTRAPECIAL
BC // AD
hbaS
+=
2
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 66
bB C
DA a
h
B
A
C
D
A
Brab
D
c
d
C
a
b
a c
d
b
6.FRMULA TRIGOMTRICA
SenBDACS .2.
=
7.REA DE CUADRILTEROCINCUNSCRITO
S = p . rDonde:
2dcbaP +++=
8.REA DE UN CUADRILTEROEX INSCRITO.-El rea de un cuadriltero Ex-Inscritoes igual al producto de la diferenciaentre el Semipermetro y la suma dedos lados por el ex-radio de lacircunferencia relativa a dichos lados.
P = semipermetro
)( baPrS abABCD =
9.REA DE UN CUADRILTEROINSCRITO
))()()(( dPcPbPaPS =donde:
2dcbaP +++=
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 67
0R
0 R
RA
Rr
rR
10. EN UN TRAPEZOIDE.-Si M, N, P y Q, son puntosmedios, se cumple que:
2)(
)(ABCD
MNPQS
S =
b) AREA DE REGIONESCIRCULARES
rea del crculo (A0)
A0 = R2
Permetro (2p)2p = 2 R
REA DEL SECTOR CIRCULAR
360.
2 RA =
REA DE LA CORONA CIRCULAR
ACC = (R2 - r2)
REA DEL TRAPECIO CIRCULAR
360)( 22 rRA =
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 68
A
B
A = A - AREA DEL SEGMENTO CIRCULAR
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 69
A
B C
P
Q
S
O
M
A
B C
D
P
Q
R
S
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Los catetos de un tringulorectngulo ABC recto en Bmiden 6 y 8. Hallar el rea deltringulo AOC, siendo O elcentro de la circunferenciainscrita.
Rpta.:
02. En la figura se muestra uncuadrado ABCD de rea 20;calcular el rea del cuadrilteroPQRS; si P, R, S sonpuntos de tangencia.
Rpta.:
03. Hallar el rea de un trapecioissceles, circunscrito a unacircunferencia, si las basesmiden 2 y 10.
Rpta.:
04. Del grfico AB = 8, BC = 15 ySM = MC. Calcular el rea de laregin sombreada (P, Q, S sonpuntos de tangencia).
Rpta.:
05. Del grfico AB = R 3 , BC = 4,
AC = 6, calcular el rea de laregin sombreada.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 70
A
B
C
R
A
B
CP
M N L
QS
A
B C
D
E F
G
B
A
C
D
M
T
S
N
Rpta.:
06. Del esquema, calcule el reade la regin triangular ABC siMN = 2(NL) = 2 (P, Q, S sonpuntos de tangencia).
Rpta.:
07. En el grfico se muestran loscuadrados ABCD, DEFG. SiAB = 2(FG) = 6; calcule el reade la regin sombreada.
Rpta.:
08. Del grfico calcular el rea de laregin sombreada si R = 1 (M,N, S, T son puntos detangencia).
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 71
A
B M C
DO
A
B
G
CM
A
B C
DP
B
CA
R
O
09. Del esquema BM = 10 y MC =16, calcular el rea en la reginparalelogramica ABCD.
Rpta.:
10. Del grfico calcular el rea de laregin sombreada si G es elbaricentro de la regintriangular ABC si BC = 15 yGM = 2.
Rpta.:
11. Calcular el rea de la reginsombreada si AB = 6 y RD = 4.
Rpta.:
12. Calcular el radio de lasemicircunferencia de centroO . Si AB = 6, BC = 8 y el readel tringulo ABC es 21.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 72
B
A
C
D
N
O O1D B
A
30
O
A
BC
T
A
B
C
Q
P
13. Hallar el rea de un tringulo sisus lados miden 13, 14, 15.
Rpta.:
14. Si ABCD es un cuadrado delado 4. Hallar el rea de laregin sombreada. Si AN = 1.
Rpta.:
15. Calcular el rea de la reginsombreada si OA = OB y R =
2 3 .
Rpta.:
16. En la figura calcular el rea dela regin triangular ABC, si Tes punto de tangencia.
Rpta.:
17. Si lo tringulos ABC y PBQ sonequilteros AC = 6, calcular elrea en la regin sombreada.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 73
B
CA R
A BC
O OR R
X
A C
O Y
r
18. Hallar el rea del crculosombreado. Si AB = 13, BC = 14,AC = 15.
Rpta.:
19. Calcular el rea de la regin
sombreada R = 2 y la medidadel arco AB = 60
Rpta.:
20. Hallar el rea del crculosombreado, si el ngulo AOCmide 120 y XY es dimetrodel semicrculo de centro O(R = 2 3 +3)
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 74
F
M
G
H
A P D
B C
S
QS2
1
B
CA H
Q
D
A M
B45 -
45
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. En el grfico F, M, G, H soncentros de los crculos. Si loscrculos son congruentes y susradios miden R calcular elrea de la regin FHGM.
a) 4R2 3 b) 6R2 3c) 2R2 3 d) 5R2 3e) 9R2 3
02. ABCD es un romboide S1 = 25,S2 = 9. Calcular S (PQCD)
a) 29 b) 30 c) 31d) 36 e) 39
03. En la figura BP = 3; AC = 12.Calcular el rea de la regintriangular AQC.
a) 15 b) 18 c) 24d) 36 e) 60
04. Calcular el rea de la regintriangular BMD. Si AC = 10.
a) 5 b) 10 c) 5 2
d)2
25 e) 25
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 75
C B A
T
O
A
P
B C
A
B
C
M NG
A
B
C
1
S
2
3
1
S
S
05. Calcular el rea de la reginsombreada si AB = 8, CB = 4, siT es punto de tangencia (Ocentro de la circunferencia)
a) 6pi b) 8pi c) 10pi
d) 12pi e) 9pi
06. Calcular el rea de la reginsombreada si AB = 8, BC = 4, siP y C son puntos de tangencia.
a) 4pi b) pi c) 15pi
d) 9pi e) 8pi
07. Del grfico S(ABC) = 120, calcularS(MNG) G baricentro deltringulo MBN.
a) 5 b) 6 c) 7,5d) 10 e) 12
08. Del grfico calcular S1 + S2 +S 3
a) 14 b) 15 c) 16d) 16,5 e) 20
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 76
A
B C
D
Q
A 12A
A
B C
D
E F
G
A
B C
D
E
H
1 2A A
09. En un tringulo ABC se trazanlas medias AN y BM, las cualesse cortan en G; si la medidadel ngulo AGM es igual a 60.Hallar el rea del ABC. Se sabeque AN = 6 y BM = 9.
a) 18 3 b) 9 3 c) 36d) 18 e)27
10. Calcular el rea de unhexgono regular, cuyo lado esigual al lado de un cuadradoinscrito en el crculo de 2m deradio.
a) 1 b) 2 c) 3 3d) 4 3 e) 12 3
11. En la figura el cuadrilteroABCD es un trapecio si:(AD)(BQ) = 8, calcule: A1 A2siendo A1 y A2 las reas en lasregiones sombreadas.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
12. En el grfico, las reas de lasregiones triangulares BFC yAFD estn en razn de 1 a 2.
Calcular:
a) 0 b) 1/3 c) 3/4d) 6/7 e) 9/4
13. En el grfico ABCD es unrectngulo Si: BE = 8 y EC = 2.Calcule A1 + A2.
a) 20 b) 12 c) 13d) 10 e) 18
cuadradosson
EDEFGyABCD
DEFG
ABCD
A
A
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 77
A D
B C
M
N
A D
B C
M
NAB
14. Calcule la razn, entre el reade la regin sombreada y elrea de la regin romboidalABCD si AM = MD y DN = NC.
a) b) 1 c) 2d) 1/3 e) 2/5
15. En el grfico, el rea de laregin romboidal ABCD es 12:MD = 2(AM) y BN = NM.Calcule BA + B.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 78
MISCELANEA
01. Desde un punto E exterior auna circunferencia se trazanlas rectas tangentes ET y ES(T y S puntos de tangencia) yla recta secante EMN; demodo que: m SN = 2 (m SM)y m QES = 120 (Q en laprolongacin de TE ). CalculemSM.
a) 60 b) 75 c) 70d) 80 e) 90
02. Desde un punto P exterior auna circunferencia se trazanlas rectas tangentes PA y PB(A y B puntos de tangencia)tal que m APB = 40; en elmayor arco AB se ubica unpunto R, siendo M y N lospuntos medios de losmenores arcos AR y RBrespectivamente. Calcule lamedia del ngulodeterminado por lossegmentos AM y BN.
a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 37
03. En un cuadrante AOB setraza la circunferencia inscrita
tangente a OB y al arco AB
en P y Q respectivamente. Sila suma de los exradiosrelativos a los lados PA y PQdel tringulo AQP es 30 cm.Calcule la distancia de O allado AQ.
a) 12 cm b) 15 cm c) 10 cmd) 18 cm e) 9 cm
04. En un tringulo ABC la sumade distancias del ortocentro asu lados es 24 u. Calcule lasuma de distancias delcircuncentro de dichotringulo a los lados de sutringulo mediano.
a) 10 u b) 18 u c) 16 ud) 12 u e) 15 u
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 79
05. Se tiene un tringulo ABCacutngulo, se ubica unpunto F en la regin interiordesde el cual se trazan lasperpendiculares FD y FE alos lados AB y BC
respectivamente (D AB y
E BC ) si De = 4, BF = 6 yAC = 12. Calcule elcircunradio del tringulo ABC.
a) 10 b) 8 c) 12d) 11 e) 9
06. En un tringulo ABC, setrazan las cevianas interioresBI y CM que se intersecan enN. Si BN = NI; IC = 2(IA) yMN = 2. Calcule NC.
a) 4 b) 8 c) 10d) 9 e) 6
07. Se tienen las circunferenciasC1 y C2 tangentes exterioresde radios 6 y 8 que a su vezson tangentes interiores conla circunferencia C3 cuyoradio es 21. Calcule la
distancia del centro de C3 a larecta que une los centros deC1 y C2.a) 11 b) 12 c) 11,5d) 9 e) 10,5
08. Dado un tringulo ABC, en elcual, la m BAC = 37 y lacircunferencia exinscrita altringulo relativa a BC cuyoradio es igual a 6 cm, estangente a lasprolongaciones de AB y ACen P y Q respectivamente,luego en PB y AC se ubicanlos puntos M y Nrespectivamente, tal que MNes tangente a dichacircunferencia y ademsMN interseca a BC en L. Si ladistancia entre los incentrosde los tringulos ABC y AMN
es igual a 10 cm. Calcular ladiferencia de las reas de lasregiones NLC y MBL.
a) 16 cm2 b) 18 cm2 c) 20 cm2
d) 21 cm2 e) 24 cm2
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO QQuuiinnttoo AAoo
GGeeoommeettrraa 80
ndice
Circunferencia Propiedad de Tangencia . 03 Circunferencia ngulos 14 Proporcionalidad y Semejanza de Tringulos 26 Relaciones Mtricas en Tringulo .. 40
Rectngulo .
Relaciones Mtricas en Tringulo .. 41Oblicungulo .
Relaciones Mtricas Circunferencia 33 reas de las Regiones Planas .. 63
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 81
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Ao
INDICE Recta y Plano . 83 Poliedros .. 95 Prisma . 108 Pirmide ..116 Cono .125 Cilindro 137 Esfera ..148 Miscelnea .160
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 82
PEDIDOS
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO.
TELF.: 3312667 93283143
DPTO. DE PUBLICACIONES
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 83
TEMA: RECTA Y PLANO
NOCIONES FUNDAMENTALES
Espacio.- Extensin indefinida y sin lmites conocidos, que es el medioen el cual se hallan cuantas cosas existen en el universo tiene naturalezamaterial.
Geometra del Espacio o Estereometra.- Estudia la forma y extensinde la figuras geomtricas cuyos puntos no estn en un mismo plano(espacio tridimensional)
1) RECTAS Y PLANOS
POSTULADO DEL PLANOEl plano es una superficie ilimitada en todas sus partes que contieneexactamente a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dichasuperficie.
* La idea del plano, la recta y el punto es un concepto intuitivo puramenteexperimental.
REPRESENTACION DEL PLANO
El plano puede considerarse como ilimitado en los sentidos, no tienefigura alguna y seria imperceptible para nuestros sentidos si nosealaremos en el ciertos, limites, los limites con que sealamos unaparte del plano son arbitrarios, as podemos limitarlo en forma detringulo, de polgono, de crculo, pero la costumbre de limitar unrectngulo o romboide como se ve en el suelo, paredes, en los cuadrado,en las mesas, etc.
DETERMINACION DE UN PLANO
Determinar un plano significa escoger uno de los infinitos planos queexisten en el espacio:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 84
a) Tres puntos no colineales determinan un plano.
A
BCP
b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.
P
A
c) Dos rectas secantes determinan un plano.
P
d) Dos rectas paralelas determinan un plano.
P
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 85
POSICIONES ENTRE RECTAS Y PLANOS
I) ENTRE RECTAS:
Rectas Secantes.- Si tienen un punto comn.
P
2L1L
Rectas Paralelas.- No tienen ningn punto en comn y adems ellospueden estar contenidas en un mismo plano.
P
2L1L
Rectas Alabeadas.- No tienen ningn punto en comn y ademsellas nunca deben estar contenidas en un mismo plano.
P
2L1L
31 LaantesecesL
21 L//L
alabeadassonLyL 21
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 86
* ngulo formado por dos rectas Alabeadas.- Para determinar lamedida del ngulo que forman dos rectas alabeadas se trazan 2rectas paralelas a dichas rectas alabeadas, entonces el nguloformado por las rectas trazadas ser el ngulo entre las 2 rectasalabeadas.
P
2L
1L ab
: ngulo formado por
21 LyL
II) ENTRE PLANOS:
Planos Secantes.- Se interceptan determinando una recta.
P
Q
2
1
L//b
L//a
Plano P secante al plano Q
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 87
Planos Paralelos.- Son planos que no se interceptan.
P
Q
III) ENTRE RECTA Y PLANO:
Secante.- Se interceptan determinando un punto.
P
A
L
Paralelas.- Si no tienen ningn punto en comn.
P
L
Plano P // plano Q
L es secante al plano Q
L es paralelo al plano P
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 88
DETERMINACIN DE NGULOS
Entre Rectas.- Para hallar el ngulo que forman dos rectas alabeadas,se toma un punto exterior o ambas y se trazan paralelas a cada una O setoma un punto de una de ellos y se traza una paralela a la otra.
1L
t
n
2L
m
* Se traza: m // L1 y m // L2 : ngulo entre L1 y L2* Se traza: t // L1 : ngulo entre L1 y L2
Entre Recta y Plano.- Para hallar el ngulo entre un plano y la rectasecante, se proyecta sobre le plano y se halla el ngulo entre la rectaL y su proyeccin BT.
P
B T
L
BT proyeccin de L sobre P : ngulo entre L y P
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 89
Entre Planos (ngulo Diedro).- Es la figura formada por dos semiplanos larecta comn se denomina arista y a dichos semiplanos se denomina caras.
Q
P
2L
1L
A B
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS Si una recta es perpendicular a un plano entonces ser perpendicular a
todas las rectas al plano.
Pmn
L
Teorema de tres perpendiculares: Si tenemos una recta L perpendicularel plano P; y del pie de esta trazamos una segunda perpendicular a unarecta m contenida en el plano entonces toda recta que pase por un punto dela recta L y por B ser perpendicular a m.
P
m
L
AB
P y Q: son caras del DiedroAB: aristas del DiedroNotacin: Diedro AB
ABLABL
2
1
Si
)Pn(nL
)Pm(mL
PL
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 90
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En el plano Q se traza el tringuloABC y exterior a dicho plano seubica el punto E, luego seubican los puntos medios de M yN de AE y BC respectivamentede modo que:
10AC
3MN
8EB
== ,
calcular la medida del nguloentre
EB y
AC .
Rpta.:
02) En la figura AB es
perpendicular al plano H
1L y
2L estn ubicado en dichoplano y 10CR = . Calcule(AR)2 (AP)2
HP
RC
B
A
237
253
Rpta.:
03) Los rectngulos ABCD y ABEFestn ubicados en planosperpendiculares AD = 24, BE = 10.Calcular la distancia entre loscentros de dichos rectngulos.
Rpta.:
04) En el plano Q se traza elcuadrante AOB, luego por O setraza OP perpendicular adicho plano de modo que lamAPB = 53. Calcular lamedida del diedro determinadopor la regin APB y el plano Q.
Rpta.:
05) En un plano se ubican lospuntos A y B exterior al planose ubica el punto P de modoque AP y BP forman ngulosque miden 30 y 45, con dichoplano respectivamente. SiAP = 6. Calcule BP.
Rpta.:
06) En la figura, las regionesrectangulares ABCD y ABEFestn ubicadas en planoperpendiculares, P es puntode tangencia y pertenece alplano ABCD, AB = 2(BC) = 4m;
m33AF = . Calcule el reade la regin triangular FPF.
B
A
P
C
E
F
D
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 91
07) En el plano Q se traza eltringulo rectngulo ABC rectoen B. Luego por A se traza APperpendicular al plano Q demodo que: AP = AB = BC.Calcule la medida del ngulo
entre
BP yAC .
Rpta.:
08) Dado una regin triangularABC, recto en B, AB = 6 yBC = 8 por el vrtice A setraza la perpendicular AP alplano que lo contiene
52AP = . Calcule la medidadel ngulo entre AB y PM ,siendo M punto medio de BC
Rpta.:
09) En el plano Q se trazan lospuntos colineales A , B y C y elcuadrado BCEF. Por el puntomedio M de BC se traza MPperpendicular al plano Q, demodo que AB = 4 y la medidadel ngulo entre PF y AE es90. Calcular el rea de laregin BCEF.
Rpta.:
10) En el plano Q se traza eltringulo equiltero ABC luegopor A se traza APperpendicular al plano Q, demodo que AP = AB. Calcular lamedida del ngulo
PB y
AC
Rpta.:
11) Los tringulos rectngulo ABC yADC rectos en B y Drespectivamente, estn ubicadosen planos perpendiculares, B y Ddistan de los planos que no loscontienen 6 y 4 respectivamente.Calcule la suma de las distanciasdel punto medio de BD haciadichos planos.
Rpta.:
12) Un cuadrante AOB(AO=OB=2)y un semicrculo cuyo dimetroes OB estn ubicado enplanos perpendiculares.Calcular el rea de la regintriangular AMB, siendo Mpunto medio del arco OB.
Rpta.:
13) Dado un ngulo diedro P - AB - Qcuya medida es , en la cara Pesta ubicado la regin triangularMNC cuya rea es A y en lacara Q esta ubicado la regintriangular MND, tal que D es laproyeccin ortogonal de C. Calculeel rea de la regin triangularMND en funcin de A y .
Rpta.:
14) Un hexgono regular ABCDEFcuyo lado mide 4, estacontenido en un plano H, por elvrtice B se traza laperpendicular BP al plano H,tal que PB = 8. Calcule el reade la regin triangular FPD.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 92
15) Una semicircunferencia cuyodimetro es AB y un tringuloequiltero ABC estn ubicadosen planos cuyo diedro mide60, P es punto medio delarco AB, AB = 4. Cunto distaP al plano que contiene eltringulo equiltero ABC?
Rpta.:
16) En un plano H esta ubicadouna circunferencia de centro O,cuyo radio mide 4m y un puntoP, tal que se trazan lastangentes PQ y PB , en el cualB y Q son puntos detangencia mBPQ = 60. PorO se traza OA perpendicularal plano H, tal que OA = 3m.Calcular el rea de la regintriangular ABQ.
Rpta.:
17) En un plano H estn ubicadolos puntos no colineales A, C yD por A se traza laperpendicular AB al plano Hsi: (AB)2 + (CD)2 = 36. calcularla longitud del segmento cuyosextremos son los puntosmedios de AC y BD .
Rpta.:
18) En el plano Q se traza elcuadrado ABCD, luego lospuntos medios M y N de CD yAD respectivamente,
}L{BMCN = . Por B se trazaBP perpendicular a dichoplano, de modo que4(NC) = 5(PB). Calcular lamedida del diedro entre laregin NCP y el plano Q.
Rpta.:
19) Un cuadrado ABCD cuyocentro es O y el tringuloequiltero AFB se encuentrancontenidos en planosperpendiculares, siendo Mpunto medio de EB , calcular lamediad del ngulo entre OM yel plano que contiene a dichocuadrado.
Rpta.:
20) Un cuadrad ABCD cuyo centroes O y el tringulo equilteroALB se encuentra encontenidos en planosperpendiculares si AB = 8,calcule OL.
Rpta.:
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 93
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Sean L1 y L2 dos rectas alabeadasortogonales, si AB es la distanciaentre dichas rectas (A L1 y B L2) y se forman los puntos C L1 yD L2, tal que AB2 + BD2 = AC2 =0,04, hallar CD.a) 1/4 b) 1/5 c) 1/2d) 1/3 e)
1003
02) Por los vrtices de un cuadradoABCD, se levantan lasperpendiculares AA , BB , CC yDD , de 6m, 4m, 10m y xm,respectivamente al plano delcuadrado. Calcular x. Si A, B, Cy D es un paralelogramo.a) 12m b) 13m c) 14md) 15m e) 10m
03) Tres planos paralelos determinarsobre una recta. Secante L1 lossegmentos AE y EB , ademssobre otra recta secante L2, lossegmentos CF y FD , sabiendoque AB = 8m, CD = 12m y FD EB = 1m, hallar CF.a) 4m b) 7m c) 5md) 1m e) 9m
04) La distancia del punto P delespacio, a un plano H es 15m yla proyeccin de PQ sobre elplano H mide 8m, Q L y L H.Hallar la distancia de P a L.a) 17m b) 18m c) 19md) 20m e) m215
05) Los puntos P y Q se encuentran endistintas semicircunferenciasrespecto al plano H y distan ambos
24m de el. Calcular PQ si los piesde las perpendiculares trazadasdesde ellas a dicho planodeterminan un segmento de 64m.a) 65m b) 70m c) 75md) 80m e) 82m
06) Determinar la longitud delsegmento PQ en el espacio, cuyasproyecciones sobre dos planosperpendiculares determinansegmentos cuyas longitudesdifieren en 5m y si PQ es 10m,mayor que la menor proyeccin.a) m215 b) m220 c) 25md) m225 e) 30m
07) Los segmentos AB y CD secruzan ortogonalmente: Si AB =12m y CD = 16m, hallar lalongitud del segmento., que unelos puntos medios de AC y BD .a) 12m b) 10m c) 15md) 6m e) 8m
08) Dado un cuadrado ABCD, seconstruye un tringulo equilteroABE en un plano perpendicular alcuadrado; si P es punto medio deAE y Q es punto medio de BC, alrea del tringulo PBQ es
2cm38 , Cunto mide el ladodel tringulo ABE?a) 6cm b) 8cm c) 4cmd) 10cm e) 5cm
09) Dado el rectngulo ABCD, AB =2m y BC = 4m. Por el vrtice B selevanta un segmento BE delongitud 3m perpendicular alplano del rectngulo, si M espunto medio de AD , hallar EM.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 94
a) m13 b) m17 c) m8d) m19 e) m21
10) Sea R un punto exterior a unplano que contiene a unrectngulo ABCD, siRA2 RB2 = 12 y RD RC = 3.Hallar RD + RCa) 6m b) 5m c) 2md) 3m e) 4m
11) En un plano H se tiene untringulo ABC recto en C, por Ase levanta la perpendicular AP alplano H; mABC = m < ACP =30 y AB = 4, hallar el rea deltringulo PBC
a) 2m34 b) 2m2 c) 2m32d) 4m2 e) 8m2
12) Un tringulo rectngulo. MNL, rectoen N y adems, mLMN = 30 seproyecta sobre un plano tal queMNL es el tringulo proyectadodonde mLMN = 45,LN = LN yMN = 6m. Hallar el rea de laregin triangular proyectada.
a) 2m52 b) 3m2 c) 6m2d) 8m2 e) 5m2
13) En la figura los plano ABCD sonperpendiculares a BC = 4cm. MQ= 6cm y CM = MD, hallar ladistancia de C a AE
P
Q
E
B
A
C
DM
a) b) c)d) e)
14) En la figura PA es perpendicularal plano EBC, EB = 6m, PA = AB= 4cm, EB BC, hallar el rea dela regin triangular ABC.
P
C
B
E2
a) 34cm2 b) 33cm2 c) 32cm2d) 31cm2 e) 30cm2
15) En la figura, el tringulo QPR estapor encima del plano L, con Q y Rpuntos del plano. Hallar FE, siES = 6m, EA punto medio de PR
L
5m
9m
F
QR
P
E
S
a) 3m b) 5/2m c) 12/7md) 15/2 e) 23/4m
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 95
TEMA: POLIEDROS
Es el slido limitado por cuatro o ms regiones poligonales planasdenominadas caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS delpoliedro y al segmento que tiene extremos; dos vrtices que no pertenecen auna misma cara se le denomina diagonal.
AristaCara
Vrtice
Diagonal
Clasificacin:
1) Por el nmero de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros,pentaedros, exaedros,.
2) Segn sus caractersticas:
a. Poliedro Convexo.- Si todos los ngulos diedros son convexos; unarecta secante lo corta siempre en dos puntos.
1
2
b. Poliedro Cncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cncavo. Unarecta secante lo corta en ms de dos puntos.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 96
12
34
5 6
c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polgonos regulares iguales.
d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular.
TEOREMA DE EULER
En todo polgono se cumple que el nmero de caras mas el nmero devrtices es igual al nmero aristas ms dos unidades
Donde: C = # de carasV = # de vrticesA = # de aristas
2AVC +=+
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 97
Propiedad: Si un polgono esta formado por polgonos de diferentenmero de lados, el nmero de aristas se calcula de lasiguiente manera.
2........pmpmpmA 332211 +++=
Donde:m1 , m2 , m3 , es el nmero de lados de cada polgono.p1 , p2 , p3 , ... es el nmero de polgonos que nos dan.
POLIEDROS REGULARESSon aquellos poliedros convexos cuyas caras son polgonos regularesiguales entre si:
- Los ngulos y los diedros son respectivamente iguales- Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde el
centro de las esferas viene a ser el centro del poliedro regular.
TEOREMA:Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular,octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.
Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equilteras
A
B
C
O
G
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 98
Notacin: Tetraedro Regular O ABC
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
36OG =
Volumen (V):
122V
3=
Superficie total o rea (A):
3A 2= Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, tambin se
le denomina cubo
B
A
G
C
E
D
F
H
Notacin: Exaedro Regular ABCD EFGH
Diagonal ( BH ):3BH =
Volumen (V):3v =
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 99
Superficie total o rea (A):
26A = Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equilteras.
BC
DA
M
N
Notacin: Octaedro Regular M ABCD N
Diagonal ( MN ):2MN =
Volumen (V):
32V
3=
Superficie total o rea (A):32A 2=
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 100
Dodecaedro Regular.- Sus caras son doce regiones pentagonales iguales.
Volumen (V):
1052147
25V
3 +=
Superficie total o rea (A):
552515A 2 +=
Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equilteras.
a
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 101
Volumen (V):
2537
6a5V
2 +=
Superficie total o rea (A):
3a5A 2=
POLIEDROS CONJUGADOSDos poliedros son conjugados cuando el nmero de caras de cada uno deellos es igual al nmero de vrtices del otro. El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro
regular solamente se puede inscribir una esfera y un tetraedro regular. El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el
exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedroregular y viceversa.
El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados
PoliedroTetraedroExaedroOctaedro
DodecaedroIcosaedro
# caras4681220
# vrtices486
2012
# aristas6
12123030
NMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO
Ad#CD# carasv2poliedro =
Donde:poliedroD# = Nmero de diagonales del poliedro.
v2C = Combinacin del nmero de vrtices de dos en dos.
#dcaras = Nmero de diagonales de todas las caras del poliedro.
A = # de aristas del poliedro.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 102
Para el exaedro regular Para el tetraedro regular Para el octaedro regular
#dcaras = 2(6) = 12 ; A = 12
28)!2()!6(
!8CC 82v2 ===
. Reemplazando en laecuacin
#D = 28 12 12 = 4
#Dcubo = 4
#dcaras = 0 ; A = 6
6CC 42v2 ==
. Reemplazando en laecuacin
#D = 6 0 6 = 0
#Dtetraedro = 0
#dcaras = 0 ; A = 12
15)!2()!4(
!6CC 62v2 ===
. Reemplazando en laecuacin
#D = 15 0 12 =3
#Doctaedro = 3
Para el dodecaedro regular Para el icosaedro
602
)35)(5(12d# caras =
= ; A = 30
190)!2()!18(
!20CC 202v2 ===
* Reemplazando en la ecuacin
#D = 190 60 30 = 100
#Ddodecaedro = 100
#dcaras = 0 ; A = 30
66)!2()!10(
!12CC 122v2 ===
* Reemplazando en la ecuacin
#D = 66 0 30 =36
#Dicosaedro = 36
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 103
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En el grfico mostrado, calcularel rea de la superficie deltetraedro P ABC, si V ABCD P es un octaedroregular y sus aristas tienen 4cmde longitud.
AD C
B
P
V
02) Calcule el nmero de vrtices deun poliedro en el cual el nmerode aristas es el doble del nmerode caras, adems, la diferenciaentre el nmero de aristas y elnmero de vrtices es igual a 8.
03) En el grfico mostrado, calcularla suma de las medidas de losngulos de las caras que limitandicho poliedro.
04) En un tetraedro regular A BCD,M es punto medio de la aristaAB, si AM = 2m. Calcular el reade la regin triangular DMC.
05) En un hexaedro regularABCD EFGH, O es centro dela cara EFGH y AE = 4m.calcular el rea de la regintriangular AOB.
06) En un hexaedro regularABCD EFGH cuyo centro esO y su arista mide 4m, M y Nson puntos medio de las aristasCD y DH respectivamente.Calcular el rea de la regintriangular MON.
07) En el grfico mostradoABCD EFGH es un hexaedroregular y O FGM es untetraedro regular si CG = 62 ,calcular la distancia de O haciala cara ABCD.
M
O
F
E
C
D
B
A
H
G
08) En un octaedro regular P ABCD Q , tal que M es punto mediode PC y AM = 52 . Calcular elvolumen del octaedro regular.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 104
09) Dado un octaedro regularP ABCD Q tal que M, N, R yS son puntos medios de PA ,PC , QC y QArespectivamente. Calcule el reade la regin cuadrangularMNRQ, si el volumen deloctaedro es 272 .
10) En un octaedro regular P ABCD Q, la suma de las reasde las caras del poliedro PABDes 2m)23(2 + . Calcular elvolumen del octaedro regular.
11) En la figura A BCD es untetraedro regular AM = MB, AN =ND, AR = RC, los planos MNQFy RNQP son perpendiculares a lacara BCD. Calcule la medida deldiedro NQ.
B
PQ
RM N
C
F
A
D
12) En la figura AB = BD = AD = AC= DC, calcular la medida deldiedro BC.
D
C
A
B
13) En el hexaedro regular ABCD EFGH, cuya arista mide 2m, Oes centro de la cara EFGHCunto dista el centro de la caraABCD del plano AOB?
14) En la figura ABCD es un tetraedroAO es la altura, O es centrode la cara BDC AM = MB y CN
= ND. CalculeFNMF
A
B
M
N
D
C
F
O
15) En la figura ABCD EFGH es unhexaedro regular. Calcule la
medida del ngulo entre
EB yFH
F
E
C
D
B
A
H
G
16) En la figura ABCD EFGH es unhexaedro regular, O es centro dela cara CDHG. Calcule la medida
del ngulo entre
EO y
CG
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 105
F
E
C
D
B
A
H
G
17) En el grfico se muestra unhexaedro regular ABCD EFGH,O es centro de la cara CDHG,CU = 1 y UG = 2. Calcular AR.
F
E
C
D
B
A
H
G
R
OP
18) En la figura, calcular la razn delvolumen entre el hexaedroregular ABCD EFGH y eltetraedro ACHF.
F
E
C
D
B
A
H
G
19) En la figura ABCD EFGH, esun hexaedro regular P HC yel rea de la regin triangularEBP es 2m28 , calcular elvolumen del hexaedro regular.
F
E
C
D
B
A
H
GP
20) En la figura ABCD EFGH es unhexaedro regular m22AB = Py Q son centros de las carasADHE y CDHG respectivamente.Calcular el rea de la reginACQP
F
E
C
DA
H
GQ
P
B
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 106
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En un octaedro regular O ABCD O, se ubican los puntos mediosM y N de OA y A'Orespectivamente. Calcule lamedida del ngulo diedrodeterminado por las regionestriangulares BND y BMD
a) 30 b) 37 c) 45d) 60 e) 90
02) En un octaedro regular V ABCD V se ubican los puntos mediosM y N de las aristas AV y CVrespectivamente. Calcule el reade la regin triangular MVN si el
volumen del octaedro es3
264
a) 3 b) 6 c) 9d) 10 e) 11
03) Calcular la razn entre las reas delas superficies de un octaedroregular y el poliedro cuyos vrticesson los centros de sus caras.
a) 3 b) 32 c) 33
d)2
33e) 2
04) El tetraedro regular A BCD, M yN son puntos medios de BD yDC respectivamente y el rea dela regin triangular MAN es
2m114 . Calcular el volumen deltetraedro regular.
a) 38m3 b) 70m3 c) 84m3
d) 3m23
128e) 76m3
05) En un hexaedro regularABCD EFGHA cuya arista mide4m, O es centro de la caraDCGH. Calcule el rea del aregin triangular EOF.
a) 2m53 b) 2m52 c) 2m54d) 2m55 e) 8m2
06) En un hexaedro regularABCD EFGH, en la arista AEse ubica el punto M, tal queAM = ME y en MC se ubica elpunto N (MN = NC) si 17GN = .Calcular la longitud de la arista dedicho hexaedro regular.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
07) En la arista AP de un octaedroregular O ABCD P, se ubica elpunto N, tal que el rea dela regin triangular PNC es 8.Calcular el rea de la superficiedel octaedro.
a) 45 b) 48 c) 60d) 50 e) 332
08) En un tetraedro regular A BCD,en la arista AB se ubica el puntoM, tal que AM = 3(MB) yBC = 12. cuanto dista M de lacara BCD.
a) 3 b) 2 c) 5d) 6 e) 7
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 107
09) En un tetraedro regular A BCD, cuya arista mide 6m, M yN son puntos medios de AC yBO respectivamente, siendo Ocentro de la cara BCD. CalculeMN.
a) 17 b) 13 c) 15d) 19 e) 21
10) En un tetraedro regular A BCD cuya arista mide 62 , Gde baricentro de la cara BCD,cuanto dista G de la cara ACD.
a)21 b) 1 c)
43
d)32
e)34
11) En un tetraedro regular A BCD, M es punto medio deCD , 32AB = , en laprolongacin de BM se ubica elpunto N tal que BM = MN.Calcule AN.
a) 6 b) 7 c) 62d) 72 e) 5
12) En un tetraedro regular P QRS, cuya arista mide 112 ,M es punto medio de PS y enla prolongacin de QR se ubica elpunto N, tal que QR = RN.Calcule MN.
a) 9 b) 10 c) 8d) 11 e) 13
13) En la figura P ABCD Q es unoctaedro regular, cuyo centro esO, PM = 3 y MC = 1.Cunto dista O de AM ?
A C
P
Q
D
M
0
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6d) 0,7 e) 0,8
14) En el grfico P ABCD Q esun poliedro regular,PM = MC = AN = NQ = 2m.Calcule el rea de la seccinplana BMDN
Q
A
P
C
B
D
M
O
N
a) 2m28 b) 2m26 c) 2m27d) 2m29 e) 10m2
15) En un octaedro regular P ABCD Q cuy arista mide 6m, M y N soncentros de las caras PCD y QCDrespectivamente. calcule MN.
a) m2 b) m3 c) m5d) m6 e) m22
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 108
TEMA: PRISMAEs el poliedro donde dos de sus caras son paralelas y congruentes denominadosbases y sus otras caras son regiones paralelogramicas. Un prisma se nombrasegn la cantidad de lados que tenga la base.Ejm: Si la base tiene seis lados se le denomina Prisma Hexagonal
AB C
F ED
HJ
KL
G
I
Base
Altura del
Prisma
Arista bsica
Aristalateral
Base
Cara lateral
Notacin: ABCDF GHIJKL
CLASES DE PRISMALos prismas se clasifican segn la inclinacin de su arista lateral con respecto alplano se de su base.
Prisma Oblicuo: Tiene las aristas laterales oblicuas con respecto al la base.
* En la figura se tiene un prisma triangular ABC DEF
BaseD
A
E
F
C
BBase
HSR
a
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 109
* SR: Seccin recta es perpendicular a todas las aristas.En todo prisma se realizan los siguientes clculos:
rea de la superficie lateral (ASL)a)P2(A SRSL = En donde:
2Psr: Permetro de laseccin recta.
a : Longitud de la aristalateral.
rea de la superficie total (ABASE))A(2AA BASESLST += En donde:
ABASE: rea de la base Volumen (V)
H)A(V BASE = En donde:H : Altura
a)A(V SR = En donde:ASR : rea de la seccin
recta
Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base, puedeser triangular cuadrangular, etc.; segn sea la base.
Base
Base
B
E
FD
A C
a h
* La arista es igual a la altura
En la figura semuestra el prismarecto ABC DEF
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 110
rea de la superficie lateral (ASL)
a)P2(A BASESL = En donde:2PBASE : Permetro de la basea : longitud de la asista lateral
rea de la superficie total (AST)
)A(2AA BASESLST += En donde:ABASE : rea de la base
Volumen (V)h)A(V BASE = En donde:
h : Altura
* Tronco de Prisma Triangular Recto
CB
Aa b
rea de la Superficie Lateral (ASL)
lateralescaraslasdeAreasASL =
rea de la Superficie Total (AST)
BdeAreaAdeAreaAA SLST ++=
Volumen (V)
3cba)BdeArea(V ++=
* Paraleleppedo rectngulo Rectoedro Ortoedro: Es aquel cuyas caras sonregiones rectangulares.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 111
H
G F
E
D
CB
A
ba
c
d
* a , b , c Son dimensiones del paraleleppedo rectangular
* Tiene 4 diagonales las cuales son congruentes y de igual longitud.
Diagonal (d)2222 cbad ++=
Nota:( a + b + c) = a + b + c + 2(ac + bc + ab)2 2 2 2
Suma delas 3
Dimensiones= d ASR
2 +
Superficie Lateral (ASL)
c)ba(2ASL +=
Superficie Total (AST)
)acbcab(2AST ++=
Volumen (V)
cbaV =
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 112
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Dado un prisma triangular regularABC DEF. Si CF = 3 )BC( ,
BD =4 10 cm. calcular elvolumen del prisma.
02. Se tiene un prisma cuadrangularregular ABCD-MNPQ en el cual Oes centro de la base ABCD, R espunto medio de la arista MN. Si4(OR) = 5 (PC) y MP = 6 2 m.Calcule el volumen del prisma.
03. Dado un prisma hexagonalregular ABCDEF MNPQRS devolumen igual a 108u3 y lasaristas laterales son de iguallongitud que las aristas bsicas.En las aristas BN y CP seubican los puntos G y H, talque BC//GH . Calcule elvolumen del prisma EHR-FGS.
04. En el prisma recto mostrado, lasbases son de regionestriangulares rectangularesissceles, adems el radio delcuadrante CFD es 4. Calcule elvolumen del prisma.
A B
C
DE
F
05. Se tiene un prisma cuadrangularregular ABCD EFGH, en laprolongacin de la arista GH y enel punto medio de DH se ubicanlos puntos P y M respectivamente,
tal que: m PMH =2
53 , AB =
PH y G dista de CH 4 cm.Calcule el volumen del prisma.
06. Calcule el volumen de un prismacuadrangular regular, si eldesarrollo de su superficie laterales una regin cuadrada cuyolado es de longitud L.
07. En un prisma hexagonal regularABCDEF-ABCDEF, en la caraCDDC se traza unasemicircunferencia, cuyodimetro es 'CC , en la cual seubica el punto P (P CC) ,luego se traza PH 'DD
'DDH . Si CP = 8u y CD = DH,calcule el rea de la superficielateral de dicho prisma.
08. Se tiene el prisma cuadrangularregular ABCD EFGH, tal que2(CG) = 3BC. Si el rea de lasuperficie lateral de dicho prismaes 72u2, calcule el rea de laregin triangular EBG.
09. En un prisma triangular rectoABC ABC, MD = 5, AB = BC= 6 m A B C = 120 y M es
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 113
punto medio de AC . Calcula elvolumen del prisma.
10. Dado un prisma cuadrangularregular ABCD EFGH. Si: m EDG = 60 y AC = 4 2 cm.Calcule el volumen del prisma.
11. En un cubo ABCD EFGH, seaO el centro de la cara ABCD yM un punto de CG . Calcule lam BOM.
12. En un prisma cuadrangularregular ABCD EFGH, O es elcentro de la base ABCD. Si (DG)2 (EO)2 = 4, calcula el rea de labase.
13. En un prisma recto triangularregular se inscribe un cilindro.Qu relacin existe entre lasreas laterales de stos doscuerpos?
14. Calcular el volumen de un prismarecto, que tiene por basescuadrados. Si la altura es 6 m. yel desarrollo de la superficielateral es un rectngulo de 10m.de diagonal.
15. Hallar el volumen de un prismaoblicuo cuadrangular, cuyo radiodel crculo inscrito en la seccinrecta mide 1 m y la altura delprisma es de 4m. (El ngulo deinclinacin del prisma es de 45 yla seccin recta es un cuadrado).
16. El desarrollo de la superficielateral de un prisma rectotriangular regular, tiene pordiagonal 12m. y por altura
6 3 m. Hallar el rea total delprisma.
17. La figura muestra un prismatriangular regular cuya aristalateral es igual a la altura de labase si el rea del tringulo AHPes 72 u2. Calcular el volumen delprisma.
A
D
C
E
F
BH
P
18. En un prisma recto ABCD A BC D, las bases tienen diagonalesperpendiculares. Si las reas delas regiones AA C C y BBDDson S1 y S2 respectivamenteadems AA = a. Calcular elvolumen del prisma.
19. Se tiene un prisma oblicuo, en elcual el rea de la superficielateral es 100 u2 y el radio de lacircunferencia inscrita en laseccin recta mide 6u. Calcular elvolumen del prisma.
20. En un tetraedro regular seinscribe un cilindro de revolucincuya generatriz es la mitad de laaltura del tetraedro. Calcula larazn de volmenes de dichosslidos.
-
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao
Geometra 114
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. En un prisma regular, la base es un:a) Crculob) Polgono Irregularc) Polgono Regulard) Romboe) N.A.
02. Responder con (V) si esverdadero y (F) si es falso:( ) Todo prisma recto es regular.( ) La pirmide regular tiene
sus aristas laterales iguales.( ) Solo el prisma recto puede
ser regular.a) VVV b) VFV c) FFFd) FVV e) VFV
03. El menor prisma que existe es elprisma:a) Hexagonal b) Triangularc) Cuadrangular d) Pentagonale) Circular
04. Cuntos lados tiene la base deun prisma, si tiene 900 aristas?a) 200 b) 300 c) 400d) 500 e) 600
05. El rea total de un ortoedro es144, uno de los lados de labase es el doble del otro lado eigual a la altura. Hallar ladiagonal del ortoedro.a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
06. La diferencia entre las reastotal y lateral de un rectoedro es24. Hallar el rea de una de susbases.
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15
07. De una lmina rectangular de 12cm. de ancho y 21 cm. de largo,se construye una caja abierta,cortando un cuadrado de 2 cm.de lado en cada esquina. Elvolumen de la caja en cm3 es:
a) 136 cm3 b) 190 cm3c) 292 cm3 d) 272 cm3e) 324 cm3
08. La superficie total de unparaleleppedo rectangular es180 cm2, la diagonal de la basemide 10 cm. y la suma de lasdimensiones es 17 cm. Cul esla longitud de la arista lateral?.
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cmd) 6 cm e) 8 cm.
09. En un prisma cuadrangularregular cuya arista bsica mide2 cm; la diagonal del desarrollode la superficie lateral mide 12cm., calcular el rea de lasup