formulario matemáticas superiores v2015

8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015

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INSTITUTO

TECNOLÓGICO

DE

AGUASCALIENTES

DEPARTAMENTO

DE

CIENCIAS

BÁSICAS

FORMULARIO

BÁSICO

DE

MATEMÁTICAS

SUPERIORES



Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 1

ÍNDICE

Geometría 2

Propiedades de los exponentes, raíces y logaritmos 3

Productos y cocientes notables 4

Operaciones con fracciones 5

Solución ecuaciones de segundo y tercer grados 6

Identidades Trigonométricas 7

Geometría Analítica del Espacio 13

Sumatorias 16

Reglas Generales de Derivación 17

Tablas de Integrales 18

Integrales Impropias 23

Vectores 24

Integrales Múltiples 25

Fórmulas Misceláneas 27

Números Complejos 29

Tabla de Transformadas de Laplace 31

Series de potencias 34




Geometría

Volumen 43

3 r

Área de la Superficie 4 2 r

r

Volumen r h2

Área de la superficie lateral 2 rh

r

h

Volumen 13

2 r h

Área de la superficie lateral r r h r l 2 2

h

r

l

Volumen 1

32 2 h a ab b

Área de la superficie lateral

a b h b aa b l

2 2

h

a

b

l




PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES, RAÍCES Y LOGARITMOS.

. . . .. _ na a a a n veces 0 1a 1nma a

( )n nab a b ( )mqqm p nq mpna a a

n m n ma a a a 1a a ( )n n nab a b ( )n m n ma b a b p np mpn ma b a b

n m n ma a a a ( )( ) n mn ma a 1n

m m n

a

a a

nn m

m

a

a bb

a b a b

3n n n na a a a ( )n nba b a n

m nm a a m

n mn

ba b

a

a b a b

( )( )n n nba ca b c a 1 1a

a

1nmnm

m

aa

a

1n

m n m

a

b a b

2 2 2( ) 2a b a ab b

( )( )( ) p n m pn ma a a a 1nna

a 1

( 1)nm

m nmma a

p npn

mpm

a a

b b

ñ qq mm p pñn nña b a b

3( ) )(n n n na a a a 1nna

a

n n

mm

a a

bb

1 nn

m m

aa

b b

( ) p p pn m n mc a b a c b c

nn m

m

aa

a

n

m nma a n m n ma b a b 1n

m n m

a

b a b

n m n m

p p p

a b a b

c c c

p nmpn m q qa a a a a n

n

aab

b

n m

m n

a b

b a

m n

n m p p

b aa b

c c

2.17828182818e ne x log lne x x loga x n 10log log x x

ln 1e ln ae a n x ln 10n x

na x ln lnna n a

lnlog

ln

ea

a

e

ln( ) ln lnab a b 10log x n log10 a a log logm n

a a

nb b

m

ln lnm n na a

m ln ln

a b

b a ln ln ln

aa b

b

1

log logco aa

log ( ) log loga a abc b c

1log logco a a 10log 10 1 log logma ab m b log 10 aa log log loga a a

bb c

c

x x ln4log2.30258509 10




PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS COCIENTES

+6abc

√

√

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

√ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

√ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

√ √

BINOMIO DE NEWTON




OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma Resta Producto Cociente




SOLUCIONES EXACTAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

La Ecuación Cuadrática (o de segundo grado)

√

La Ecuación Cúbica (o de tercer grado)

Las soluciones son:

√

√




TRIGONOMETRÍA

TABLA DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASEN EL PLANO CARTESIANO

Cuadrante I II III IVSEN COS TAN COT SEC CSC

TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASÁNGULOS NOTABLES

DEG

SEN

√ √

√

√

√ √

√

√

COS √

√

√ √

√

√

√ √

TAN

√ √ √ √

√ √ √

√

COT √

√ √ √ √

√

√ √

SEC

√ √ √ √

√ √ √

√

CSC √

√

√ √ √ √

√ √

RAD

TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASDE ÁNGULOS MAYORES DE A SU EQUIVALENTE DE ÁNGULOS

MENORES DE (REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE)




IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES DE UN ANGULO

SenSenCosSenCosSenCosSenSenCosCosCosCos

SenSenSenSenCosCosCosSenCosCosCosSenSen

Cot Cot

Cot Cot Cot

TanTan

TanTanTan

SenSenCosCosCos

SenCosCosSenSen

xCo xCot

xSec xTan

xSen xCos

xCos xSen

xCos xSen

xSen

xCos xCot

xCos

xSen xTan

xCot xTan

xSec xCos

xCo xSen

)(

)(

1

1

sec1

1

1

1

1

1

1

1sec

22

22

2

2

22

:ángulos2dediferenciaoSuma

:sPitagóricasIdentidade

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES

xCot

xCot xCot

x

x

x

x x

x x

x x x

x x x

2

12

tg1

tg2

2tg

sen212cos

1cos22cos

sencos2cos

cossen22sen

2

2

2

2

22

:doble ángulo

del ricastrigonomét sIdentidade

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:




1tg3

tg3tg3tg

tg31

tgtg33tg

cos3cos43cos

sen4sen33sen

2

3

2

3

3

3

c

ccc

Identidades de ángulo cuádruple:

tg4tg4

1tg6tg4tg

tgtg61

tg4tg44tg

1cos8cos84cos

sencos4sencos84sen

3

24

42

3

24

3

cc

ccc

Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:(teorema de Moivre)

!!)(

!

....sencossencossencossen

...sencossencossencoscoscos

5553331

666444222

r r n

nC

C C nn

C C C n

r

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

:donde

cos1

sen

sen

cos1

cos1

cos1

2cot

cos1

sen

sen

cos1

cos1

cos1

2tg

2

cos1

2cos

2

cos1

2sen

x

x x

x

x x

x x

x x

:mitad ángulo del

ricastrigonomét sIdentidade




SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES

cossen

)(costgtg

222

222

sensen

)(sentgtg

sencos

)(costgtg

coscos

)(sentgtg

222

222

2

2

22

2

c

SenSenCosCos

CosCosCosCos

cc

c

SenCosSenSen

CosSenSenSen

SenSenCosCos

CosCosCosCos

CosCosSenSen

CosSenSenSen

:

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE OTRA(del mismo ángulo):

1cos1sec

1

tg

1

cos1

cos

sen

sen1tg

1cos

11sec

tg

1

cos

cos1

sen1

sentg

cos

1cos

sec

1

tg1

tg

tg1

1sen1cos

cos

1

sec

1sec

tg1

1

tg1

tgcos1sen

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

ecc

ecc

ec

ec

c

c

ecc




PRODUCTO DE FUNCIONES

)(cos)(cos)(cos)(coscoscoscos

)(cos)(cos)(cos)(coscossensen

)(sen)(sen)(sen)(sencoscossen

)(sen)(sen)(sen)(sensensensen

)(sen)(sencossen

)(cos)(coscoscos

)(cos)(cossensen

4

1

4

1

4

1

4

1

21

2

1

2

1

POTENCIAS DE FUNCIONES

)32cos44(coscos

)32cos44(cossen

)cos33(coscos

)3sensen3(sen

)2cos1(cos)2cos1(sen

8

14

8

14

4

13

4

13

2

12

2

12

sen sen A A cos cos A A

A A tantan

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.

Ley de los senos a

A

b

B

c

C sen sen sen

Ley de los cosenos c a b a b C 2 2 2 2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a b

a b

tan A B

tan A B

1

2

1

2

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b




http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Degree-Radian_Conversion.svg




Geometría Analítica del Espacio




Considerando P x y z 1 1 1 1 , , y P x y z 2 2 2 2 , ,

Vector que une P1 y P2 :

PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,

Distancia entre dos puntos:

d x x y y z z l m n 2 12

2 12

2 12 2 2 2

Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:

x x l t 1

y y mt 1 z z n t 1

-Forma Simétrica:

t x x

l

1 t y y

m

1 t z z

n

1

Cosenos Directores:

cos

x x

d

l

d

2 1 cos

y y

d

m

d

2 1 cos

z z

d

n

d 2 1

donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva delos ejes x, y, z respectivamente.

Ecuación del Plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

1 2 3, , :

a x x a y y a z z 1 1 2 1 3 1 0

-Forma General: Ax By Cz D 0

cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

d Ax By Cz D

A B C

0 0 0

2 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.




Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

cos

sen

o r x y

tan

z z

y

x

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P (x,y,z)

(r,z){

x

O

Coordenadas esféricas:

x r

y r

z r

sen cos

sen sen

cos

o r x y z

tan y

x

z

x y z

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,{

(x,y,z)

O

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan

m m

m m

2 1

1 21




Sumatorias:

a)1

n

i

c nc

b)1 1

n n

i i

i i

ca c a

c)1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

d)1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

e)1

( 1)1 2 3 .....

2

n

i

n ni n

f)3 2

2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 ........

6 3 2 6

n

i

n n n n n ni n

g)

22 4 3 23 3 3 3 3

1 1

( 1)1 2 3 .........

2 4 2 4

n n

i i

n n n n ni n i

h)3 2 2 5 4 3

4 4 4 4 4

1

( 1)(6 9 1) ( 1)(2 1)(3 3 1)1 2 3 .........

30 30 5 2 3 30

n

i

n n n n n n n n n n n n n ni n

i)( 1) ( 1) ( 1 )( )

2 2 2

n

i m

n n m m n m n mi




Reglas Generales de Derivación

d

dxc( ) 0

d

dx cx c

d

dx cx ncxn n 1

d

dx u v w

du

dx

dv

dx

dw

dx

d

dx cu c

du

dx

d

dx uv u

dv

dx v

du

dx

d

dx uvw u v

dw

dx u w

dv

dx v w

du

dx

d

dx

u

v

v dudx u dv

dx

v

2

d

dx u nu

du

dxn n 1

dF

dx

dF

du

du

dx (Regla de la cadena)

du

dx dxdu

1

dF

dx

dF du

dxdu

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

d

dxu

e

u

du

dxa aa

alog log

, 0 1

d

dx u

d

dx u u

du

dxeln log

1

d

dxa a a

du

dx

u u ln

d

dxe e

du

dx

u u

d

dxu

d

dxe e

d

dxv u vu

du

dxu u

dv

dx

v v u v u v v ln ln ln ln1




Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d

dxu u

du

dxsen cos

d

dxu u

du

dxcot csc 2

d

dxu u

du

dxcos sen

d

dxu u u

du

dxsec sec tan

d

dxu u

du

dxtan sec 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot

d

dxu

u

du

dxusen sen

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucos cos

1

2

11

10

d

dxu

u

du

dxutan tan

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucot cot

1

2

11

10

d

dx u

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si usec

sec

sec

12 2

12

21

1

1

1

1

0

d

dx u

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si ucsc

csc

csc

1

2 2

12

21

1

1

1

1

0

0

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh

d

dxu u

du

dxcoth csc h2

d dx

u u dudx

cosh senh d dx

u u u dudx

sec sec tanhh h

d

dxu u

du

dxtanh sec h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h

d

dxu

u

du

dxsenh-1

1

12

d

dx u

u

du

dx

si u u

si u ucos

cosh ,

cosh ,h-1

1

1

0 1

0 12

1

1

d dx

uu

dudx

utanh

1

21

11 1

d

dx u

u

du

dx u o ucoth

1

2

1

1 1 1

d

dx u

u u

du

dx

si u u

si u usec

sec ,

sec ,h

h

h

-1

1

1

0 0 1

0 0 12

1

1




d

dx u

u u

du

dx u u

du

dx si u si ucsc ,h-1

1

1

1

10 0

2 2

Tablas de Integrales

u dv uv v du csc cot cscu u du u C

u dun

u C nn n

11

11 C uduu seclntan

du

u u C ln cot ln senu du u C

e du e C u u C uuduu tanseclnsec

a dua

a C u

u

ln

csc ln csc cotu du u u C

sen cosu du u C du

a u

u

a C

2 2

1

sen

C uduu sencos

C a

u

aua

du 1

22 tan

1

C uduu tansec 2 du

u u a a

u

a C

2 2

11

sec

csc cot2 u du u C du

a u a

u a

u a C 2 2

1

2

ln

C uduuu sectansec du

u a a

u a

u a C 2 2

1

2

ln

a u duu

a ua

u a u C 2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln duu a u a

a u au

C 2 2

2 2

1

ln

u a u duu

a u a ua

u a u C 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

8 2

8 ln du

u a u

a u

a u C

2 2 2

2 2

2

a u

u du a u a

a a u

u C

2 2

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2

/

a u

u du

a u

u u a u C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u du2 2 a u du

ua u

a u

a C 2 2 2 2

2

1

2 2 sen

du

a uu a u C

2 2

2 2

ln u a u du

uu a a u

a u

a C 2 2 2 2 2 2 2

4

1

8 2

8 sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 ln

a u

u du a u a

a a u

u C

2 2

2 2

2 2

ln




a u

u du

u a u

u

a C

2 2

2

2 2 11 sen u a du

uu a

au u a C 2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

u du

a u

ua u

a u

a C

2

2 2

2 2

2

1

2 2 sen u u a du

uu a u a

au u a

2 2 2 2 2 2 2

4

2 2

8 2

8 ln C

du

u a u a

a a u

u C 2 2

2 21

ln

u a

u du u a a

a

u C

2 2

2 2 1

cos

du

u a u a u a u C

2 2 2 2

2 21

u a

u du

u a

u u u a C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u duu

u a a ua u

a C 2 2

32 2 2 2 2

4

1

8 2 5

3

8 sen du

u au u a C

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2

C auua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

du

u u a

u a

a u C 2 2 2

2 2

2

du

u a

u

a u aC

2 23

2 2 2 2

udu

a bu b a bu a a bu C

1

2 ln u du

a bu b a b u abu a bu

2

3

2 2 22

15 8 3 4

u du

a bu b a bu a a bu a a bu C

2

3

2 21

2 4 2

ln

du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

1

0ln , si

20

1

a

a bu

a C atan , si

du

u a bu a

u

a bu C

1

ln a bu

u du a bu a

du

u a bu

2

du

u a bu au

b

a

a bu

u C 2 2

1

ln

a bu

u du

a bu

u

b du

u a bu

2 2

udu

a bu

a

b a bu b a bu C

2 2

1ln

u a bu du

b nu a bu na u a bu du

n n n

2

2 3

32 1

du

u a bu a a bu a

a bu

uC

2 2

1 1ln

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

2

2 1

2

2 1

1

C buaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n

1

2 3

2 11 1

u a budub

bu a a bu C 2

15 3 22

32

udu

a bu b bu a a bu

2

3 22




2

1

224

2

4

2

bac

baxtg

baccbxax

dx

C acbbax

acbbax

acbcbxax

dx

42

42ln

4

1

2

2

22

cbxax

dx

a

bcbxax

acbxax

xdx2

22 2

)ln(2

1

cbxax

dx

a

acbcbxax

a

b

a

x

cbxax

dx x22

22

22

2

2

2)ln(

2

cbxax

dx x

a

b

cbxax

dx x

a

c

am

x

cbxax

dx x mmmm

2

1

2

21

2 )1(

cbxax

dx

c

b

cbxax

x

ccbxax x

dx22

2

2 2ln

2

1

)(

cbxax

dx

c

acb

cx x

cbxax

c

b

cbxax x

dx22

2

2

2

222

2

21ln

2)(

)()()1(

1

)( 222112 cbxax x

dx

c

a

cbxax x

dx

c

b

cxncbxax x

dxnnnn

cbxax

dx

bac

a

cbxaxbac

bax

cbxax

dx222222 4

2

))(.4(

2

)(

cbxax

dx

bac

b

cbxaxbac

cbx

cbxax

xdx222222 4))(4(

2

)(

cbxax

dx

bac

c

cbxaxbaca

bc xacb

cbxax

dx x2222

2

22

2

4

2

))(4(

)2(

)(

m

n

m

n

m

n

m

cbxax

dx x

amn

bmn

cbxax

dx x

amn

cm

cbxaxamn

x

cbxax

dx x

()12(

)(

)()12

)1(

)()12()( 2

1

2

2

12

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

cbxax

dx x

a

b

cbxax

dx x

a

c

cbxax

dx x

acbxax

dx x

)()()(

1

)( 2

22

2

32

12

32

2

12

)(

1

)(2)(2

1

)( 222222 cbxax x

dx

ccbxax

dx

c

b

cbxaxccbxax x

dx

22222222 )(

2

)(

3

)(

1

)( cbxax x

dx

c

b

cbxax

dx

c

a

cbxaxcxcbxax x

dx

mnmnmnm cbxax x

dx

cm

bnm

cbxax x

dx

cm

anm

cbxaxcxmcbxax x

dx

()1(

)2(

)()1(

)32(

)()1(

1

)( 21221212

sen sen2 1

2

1

4 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1

212u du u u u u C

cos sen2 12

14 2u du u u C sen sen cos senn

nn nu du u u

n

n u du

1 1 21




C uuduu tantan 2 cos cos sen cosnn

n nu du u un

n u du

1 1 21

C uuduu cotcot2

duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan

sen sen cos3 13

22u du u u C cot cot cotn n nu dun

u u du

1

11 2

cos cos sen3 1

3

22u du u u C sec sec sec

n n n

u du n tanu u

n

n u du

1

1

2

12 2

C uuduu coslntantan 2

213

csc cot csc cscn n nu dun

u un

n u du

1

1

2

12 2

cot cot ln sen3 1

22

u du u u C

sen sen

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a b C

2 2

sec sec ln sec3 1

212u du u tanu u tanu C

cos cos

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a b C

2 2

sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a b C

2 2 u u du u u n u u dun n ncos sen sen 1

u u du u u u C sen sen cos

sen cosn mu u du

sen cos

sen cosn m

n mu u

n m

n

n m u u du

1 121

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

m

n m u u du

1 1

21

u u du u u u C cos cos sen u u du

uu

u uC cos cos

1

2

1

22 1

4

1

4

u u du u u n u u dun n nsen cos cos 1

C

uu

uduuu

2tan

2

1tan 1

21

sen sen 1 1 21u du u u u C u u du

n u u

u du

unn n

n

sen sen ,

1 1 1

1

2

1

1 11

cos cos 1 1 21u du u u u C u u du

n u u

u du

unn n

n

cos cos ,

1 1 1

1

2

1

1 11

C uuuduu 2

2111 1lntantan

1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

u u duu

uu u

C sen sen

1

2

1

22 1

4

1

4

ue dua

au e C au au 112 ln lnu du u u u C

u e dua

u en

a u e dun au n au n au 1

1

u u duu

nn u C n

n

ln ln

1

21

1 1

e bu due

a b a bu b bu C au

au

sen sen cos

2 2 1

u u du u C

ln lnln

e bu due

a b a bu b bu C au

au

cos cos sen

2 2




senh coshu du u C C uduu21tanlnsech

cosh senhu du u C C uduu tanhsech 2

C uduu coshlntanh C uduu cothcsch2

coth ln senhu du u C C uduuu sechtanhsech

C utanduu senhsech 1 C uduuu cschcothcsch

22

22

2 2

2

1au u duu a

au ua a u

a C

cos

du

a u u

a u

a C

2 2

1

cos

u au u duu au a

au ua a u

aC 2

2 3

62

22

2

2

3

1

cos

u du

au ua u u a

a u

a C

22

2

2 1

cos

22

2

2

2 1a u u

u du a u u a

a u

a C

cos

du

u a u u

a u u

a u C

2

2

2

2

2 2 22

2

2

1a u u

u du

a u u

u

a u

a C

cos

C

a

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2

Integrales Impropias

Intervalos no acotados

a) Si

es continua sobre

, entonces

∫

∫

b) Si es continua sobre , entonces

∫

∫




c) Si es continua sobre , entonces

∫

∫

∫

En a) y b), cuando los límites existen, las integrales convergen. Si el límite no existe, lasintegrales divergen. En c), la integral de la izquierda converge suponiendo que ambas del

lado derecho convergen; Si cualquiera de las de la derecha diverge, entonces la integral dela izquierda diverge.

Discontinuidades infinitas

a) Si es continua sobre y | | cuando , entonces:

∫

∫

b) Si

es continua sobre

y

| | , entonces:

∫

∫

c) Si | | cuando para alguna en y es continua en todos los demásnúmeros , entonces:

∫

∫

∫

En a) y b), cuando los límites existen, las integrales convergen. Si el límite no existe, las

integrales divergen. En c), la integral de la izquierda converge siempre que ambas del ladoderecho convergan; Si cualquiera de las de la derecha diverge, entonces la integral de laizquierda diverge.

Vectores

A B A B cos 0

donde es el ángulo formado por A y B

A B A B A B A B1 1 2 2 3 3

donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k

B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:




Producto cruz: AxB

i j k

A A A

B B B

1 2 3

1 2 3

k ji ˆˆˆ122131132332 B A B A B A B A B A B A

Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen

El operador nabla se define así:

z y x

k ji

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A( x,y,z ) tienen derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

k jik ji

z

U

y

U

x

U U

z y x

U

Divergencia de A = div A

k jik jiA 321 A A A z y x

A

x

A

y

A

z

1 2 3

Rotacional de A = rot A

k jixk jixA 321 A A A z y x

321

k ji

A A A

z y x

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = 2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

U U U

Integrales Múltiples

F x y dydx

y f x

f x

x a

b ,( )

1

2

F x y dy dx

y f x

f x

x a

b

,( )

1

2

donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

F x y dxdy x g y

g y

y c

d

,( )

1

2

F x y dx dy

x g y

g y

y c

d

,( )

1

2




donde x g y 1( ) , x g y 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c yd son las ordenadas de H y G.

Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar paraconsiderar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

s s t r t dt a

t ( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t , .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t t r t

r t ( )

( )

( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal )()()( t t t bt n

x

n sr s

r s( )

( )

( )

Vector binormal)()()(

t r r t r r t b

xx

b s r s r sr s

( )

( )

( )( )

x

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo

b t n n b t t n b x x x, ,

Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

r r t r t 0 0

x x

x

y y

y

z z

x

0

0

0

0

0

0

Plano osculador t n, en t 0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

r r t r t xr t 0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y Torsión

t r t r t

r t

t r t r t r t

r t r t

x x

x3 2

s r s

Plano Normal

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z 0 0 0 0 0 0 0




Plano Rectificante t b, en t 0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t n t 0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

aT a T a

.

a N a N

x a

.

Propiedades de la Divergencia

i) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )

ii) div (

F ) = div(

F ) + ( grad )

F

iii) div (

F +

G ) = G rot (

F ) -

F rot (

G )

Fórmulas misceláneas

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt

t t a x sen t a y cos1

Trabajo W b

ar d F

b

baaComp

b

Longitud de arco de y f x en a b y dxa

b

, ( ) 1 2

R

dA y xm , R

x dA y x y M , R

y dA y x x M ,

Centro de gravedad de una región plana

b

a

b

a

dx x f

dx x xf x

)(

)(,

b

a

b

a

dx x f

dx x f

y)(

)(2

1 2




Longitud de arco en forma paramétrica

dt

dt

dy

dt

dx L

22

Momento de inercia de R respecto al origen R

o dA y x y x I ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

xd x f x F S b

a

2)(1)(2

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

b

at d t F t V )(2

Cálculo del volumen b

adx x AV )(

b

a

dx x f V 2

Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )

Solución ye Q x e dx k P x dx P x dx( ) ( )

( )

Ecuación del resorte helicoidal r t t t t

( ) cos , sen ,2

Derivada direccional D f x y z f x y z u

, , , , u (

u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC

q E t 1

Fuerza ejercida por un fluído dy y L y F b

a)(

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g

2 20




NÚMEROS COMPLEJOS

Potencias de la Unidad Imaginaria:

RESULTADO POTENCIAS

Operaciones básicas forma Binomia

̅ ̅ ̅ ̅

∑

Donde el coeficiente de cada término del desarrollo es

FORMAS DE EXPRESARUN NÚMERO COMPLEJO

FORMA CARTESIANA

FORMA BINOMIA

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA

FORMA EXPONENCIAL O DE EULER




Operaciones fundamentales en forma Polar

√ y

(en grados y radianes)

√ * + (en grados)

√ *

+ (en radianes)

Donde

⁄ ( √ ) [

]

( √ ) [ ] Operaciones fundamentales en forma exponencial (o de Eüler)

() ()

√ √ ( )




TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

)(t f L )()( s F t f

1

s

1

t 2

1

s

nt 1

!n s

n, n es entero positivo

2

1t

s

2

1

t 2

3

2 s

t 1 )1( s

, 1

kt sen 22 k s

k

kt cos 22 k s

s

kt sen2 )4(

222

2

k s s

k

kt 2cos )4(

222

22

k s s

k s

at e a s

1

kt senh 22 k s

k

kt cosh 22 k s

s

kt senh2

)4(

222

2

k s s

k

kt 2

cosh )4(

222

22

k s s

k s

at te 2)(

1

a s

at net 1)(

! n

a s

n , n es entero positivo




kt seneat 22)( k a s

k

kt eat

cos 22)( k a s

a s

kt senheat 22)( k a s

k

kt eat cosh 22)( k a s

a s

kt sent 222 )(

2

k s

ks

kt t cos 222

22

)( k s

k s

kt kt kt sen cos 222

2

)(

2

k s

ks

kt kt kt sen cos 222

3

)(2

k sk

kt senht 222 )(

2

k s

ks

kt t cosh 222

22

)( k s

k s

ba

ee bt at

))((

1

b sa s

ba

beae bt at

))(( b sa s

s

kt cos1 )( 22

2

k s s

k

kt senkt )( 222

3

k s s

k

)( 22 baab

at senbbt sena

))((

12222 b sa s

22

coscos

ba

at bt

))(( 2222

b sa s

s

kt senhkt sen 44

2

4

2

k s

sk

kt kt sen cosh 44

22

4

)2(

k s

k sk

kt senhkt cos 44

22

4

)2(

k s

k sk




kt kt coshcos 44

3

4k s

s

)(0 kt J 22

1

k s

t

ee at bt

b s

a s

ln

t

kt )cos1(2

2

22

ln s

k s

t

kt )cosh1(2

2

22

ln s

k s

t

at sen

s

aarctan

t

bt at sen cos

s

ba

s

ba

arctan

2

1arctan

2

1

t aet

421

s

e sa

t aet

a 4

3

2

2

sae

t

aerfc

2

s

e sa

t

aerfcae

t t a

22 42

s s

e sa

t

at berfcee t bab

2

2

)( b s s

e sa

t

aerfc

t

at berfcee t bab

22

2

)( b s s

be sa

)(t 1

)( 0t t 0 st e

)(t f eat )( a s F

)( at f U )( at )( s F e as

U )( at

s

e as

)()( t f n )0(....)0()( )1(1 nnn f f s s F s

)(t f t n )()1( s F ds

d n

nn

t

d t g f 0

)()( )()( sG s F




TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

L )(0 s f f s f L 00023 f f s f s f s f LLL

002 f f s f s f LL 0.....00 121 nnnnn f f s f s f s f LL

TRANSFORMADA DE INTEGRAL

s st f

sd f

t

,01

0

LL

SERIES DE POTENCIAS

∑

|| ∑

||

∑

∑

||

∑

|| ∑

∑

∑

∑

∑

||

∑

∑

||



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2014

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