Física General 1Proyecto PMME

Instituto de FísicaFacultad de Ingeniería de la UdelaR

Natalia Alvarez – Mariana del Castillo – Miguel Renom

Estudio de un Movimiento Bidimensional en el Fútbol

Presentación del problemaIntroducción

En esta presentación se estudiará un problema de cinemática bidimensional tratando las diferentes variables involucradas en el movimiento y modificando los diferentes parámetros iniciales para observar el posible comportamiento del mismo.

LetraUn golero (Juan) patea la pelota hacia adelante y hacia arriba (desde el pasto) con velocidad inicial Vo y un ángulo α respecto a la cancha. En ese instante, un mediocampista (Pedro) que se encuentra a una distancia D delante del golero comienza a correr con velocidad constante V1 hacia adelante. ¿En dónde cae la pelota con respecto a Pedro? ¿Cuánto tiempo estuvo la pelota en el aire? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

Presentación del problema

ResoluciónPrimeros pasos para resolver el problema

Planteamiento de las ecuaciones para el estudio del movimiento

Elección de un Sistema Referencial para plantear las ecuaciones. En este caso lo plantearemos desde un referencial ubicado sobre Pedro.

Se utilizarán todas las ecuaciones descriptas para movimiento en dos dimensiones salvo que en vez de trabajar con vx se trabajará con v’x=vox-v1 (siendo ésta la velocidad horizontal observada desde Pedro).

ˆ ˆ0 ( )a i g j

1ˆ ˆ( ) ( )ox oyv v v i gt v j

2

1ˆ ˆ( ) ( )

2ox oy

gtr v v t d i v t j

Comencemos por responder la primer pregunta…¿En dónde cae la pelota con respecto a Pedro?

Para calcular la coordenada donde cae la pelota con respecto a Pedro, despejo el tiempo de la ecuación de recorrido (r) en el versor i y la suplanto en la de recorrido en el versor j, así obtenemos:

Resolución

12 2oo

vx v sen v sen d

g

Despejando y suplantando voy y vox por sus expresiones dependiendo de α obtenemos:

Continuamos con la segunda pregunta…¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?

Teniendo la coordenada x donde cae la pelota y sabiendo la ecuación para el recorrido en el versor i se llega a la siguiente expresión:

Resolución

1 1

2 oyf ox ox f

vx v v d v v t d

g

2 of

v sent

g

Despejando y suplantando por los valores dependiendo de α, obtengo tf:

Finalizando la resolución…¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

Sabiendo que el módulo de la velocidad según j en la altura máxima vale 0 (Cero) y que por simetría de la curva (dado que la coordenada y inicial y final son iguales), el tiempo en la altura máxima, es igual a la mitad del tiempo total, obtengo:

Resolución

0hmáx oyv gt v

oyhmáx

vt

g

2 2

2o

máx

v senh

g

Estudio del problema para casos particulares de relaciones entre las velocidades de la pelota y Pedro

Para el estudio de algunos casos particulares se partirá de las siguientes ecuaciones:

Extensión del problema

1 2oxoy

dgv v

v

22

211

2 2y oy oy

oxox

g x d x dgtr v t v

v vv v

1'x oxv v v a

b

c1ox

x dt

v v

Caso 1: vox=v1 En este caso se plantea la situación en que la velocidad inicial en el eje x es igual a la

velocidad de Pedro (mi sistema referencial). Dado que la velocidad según Pedro venía dada por la ecuación v’=vox-v1 y la posición por la ecuación x=(vox-v1)t-d; se observa que la pelota

se mueve junto a Pedro y la distancia a la cual se encuentra respecto a él es constante e igual a -d.

Caso 2: vox=v0 Para este caso, donde la velocidad en x es igual a la velocidad inicial impresa sobre la pelota,

tenemos que la coordenada en y es constante y vale 0. Carecemos de una forma de determinar el tiempo que la pelota está en el aire porque la pelota nunca se despegó del piso. Lo que sí es posible calcular es el tiempo que demora la pelota en llegar a Pedro (x=0).

Extensión del problema

0)1( dtvoxvx 1vv

dt

ox

Caso 3: x=0 Aquí se analizará la relación que debe haber entre vox y v1 para que la pelota llegue a Pedro (y

éste la agarre), lo que significa que la distancia entre ambos (x) es nula.

Extensión del problema

12

0oyox

vx v v d

g 1 2ox

oy

dgv v

v

Comportamiento del sistema para diferentes ángulos α

En este apartado se mostrará qué valor debe tomar α para que la distancia x sea máxima. Para ello se derivó con respecto a α la expresión de x. Por medio de relaciones trigonométricas se obtiene una ecuación de segunda grado en cos (α) la cual tenemos que resolver y luego analizar si sus raíces tienen sentido físico o no.

Extensión del problema

Comportamiento del sistema para diferentes ángulos α

Extensión del problema

2 21 1 8

arccos4

o

o

v v v

v

21 1

22 cos2 2 cos 2cos 1 coso o

o o

dx v vv v v v

d g g

12 2oo

vx v sen v sen d

g

21

22 cos cos 0o

o o

dx vv v v

d g

2 21 1 8

cos4

o

o

v v v

v

De este tratamiento se desprenden dos valores de cos (α). Se debe recordar que el α que buscamos se encuentra en el intervalo [0,π/2]; intervalo en el cual el valor de cos (α) es mayor a 0. De esto último se concluye que la función alcanza un valor máximo en:

Comportamiento del sistema para diferentes ángulos α

Se intentará encontrar el ángulo para el cual x=0. Para ello disponemos de:

Extensión del problema

12 2 0oo

vx v sen v sen d

g 1cos

2oo

dgsen v v

v

)cos2cos)(cos1(2

211

22

2

vvvvv

dgoo

o

1cos

2oo

dgsen v v

v

El tratamiento matemático de la función que depende de α consideramos que es irrelevante en cuanto al problema físico en sí. Se puede resolver por métodos gráficos como Rolle y Ábacos o sustituyendo por entidades trigonométricas de forma tal de obtener una expresión en una función cuya única variable sea α. De esta forma se llega a una ecuación de cuarto grado que puede ser resuelta por medio de relaciones entre coeficientes y raíces u otros métodos de cálculo numérico.

Estudio del sistema cuando Juan lanza la pelota desde una altura por encima del piso

Para este caso las ecuaciones de movimiento quedan exactamente igual que las usadas salvo que en la ecuación de recorrido en el versor j debemos agregar un término de y inicial diferente de 0.

Extensión del problema

2

1ˆ ˆ( ) ( )

2ox oy o

gtr v v t d i v t y j

Desfasaje en el tiempo inicial de la pelota y Pedro.

Seguir trabajando desde un referencial Pedro se hace más complicado en este caso, por eso trabajaremos desde un referencial ubicado en la tierra y transformaremos el resultado al final.

Para ello definiremos tp como el tiempo de la pelota, tt como el tiempo de Pedro y to la

diferencia en el tiempo entre ambos. Este último será considerado positivo y negativo para diferenciar que en un caso la Pedro empieza a correr antes y en el otro después que Juan lanza la pelota. Los parámetros tp y to son conocidos.

Extensión del problema

otttpt

Desfasaje en el tiempo inicial de la pelota y Pedro.

Análisis de la pelota:

Extensión del problema

),( oyvptgoxvv

)2

2,( ptoyv

pgtptoxvr

oxv

xptptoxvx

),0( ga

02

2

oxoy

ox v

xv

v

xgy

y=0 en el fin (cuando llega al piso)

A ese x debo restarle la coordenada final de Pedro para saber la coordenada de la pelota respecto Pedro.

Desfasaje en el tiempo inicial de la pelota y Pedro.

Análisis de Pedro:

Extensión del problema

0

a

1vv

dtvx2

1dt

oxv

xv

fx

01

dtv

xv

g

senvr o

o

ox

cos1

)2('

2

Combinando las ecuaciones descriptas anteriormente para los análisis de la pelota y de Pedro obtenemos:

Siendo r’ la posición de la pelota respecto a Pedro.