Proyecto PMME

Física General 1 – Curso 2007

Dinámica del movimiento circular

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Anahí Martínez – Paola Kochen

Contenidos:• Objetivo• Introducción• Fundamento Teórico• Problema• Comportamiento del sistema al variar sus

parámetros• Conclusiones

Objetivo:Objetivo:

Observar cómo influyen los Observar cómo influyen los distintos parámetros en el distintos parámetros en el

equilibrio del sistema.equilibrio del sistema.

Fundamento teórico:Fundamento teórico:Leyes de Newton:Leyes de Newton:• Primera ley :Primera ley :

Si Si

• Segunda ley:Segunda ley:

• Tercera ley (de acción y reacción):Tercera ley (de acción y reacción):

00 aFneta

www.cosmosmagazine.com

Sir Isaac Newton amF

BAAB FF

Fuerza de rozamiento:Fuerza de rozamiento:• La fuerza de rozamiento es una fuerza que La fuerza de rozamiento es una fuerza que

aparece cuando hay dos cuerpos en contacto.aparece cuando hay dos cuerpos en contacto.• Exciten dos fuerzas de rozamiento: fuerza de Exciten dos fuerzas de rozamiento: fuerza de

rozamiento estático (frozamiento estático (fss) y fuerza de rozamiento ) y fuerza de rozamiento

dinámico (fdinámico (fkk).).

• ffkk: :

• ffss:: NF ss

NF kk

Movimiento circular uniforme:Movimiento circular uniforme:• Es aquel movimiento en el que un móvil se Es aquel movimiento en el que un móvil se

desplaza alrededor de un punto central, desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales.espacios iguales.

• Dinámica:Dinámica: por la segunda ley de por la segunda ley de Newton: Newton:

Sabemos que:Sabemos que: , entonces:, entonces:

R

vac

2

R

vmFr

2

R

v

RmFr2

El El problema:problema:

Una perla de masa Una perla de masa m m se mueve enhebrada se mueve enhebrada en una guía rectilínea en una guía rectilínea inclinada un ángulo α inclinada un ángulo α respecto a la vertical. respecto a la vertical. La guía gira en torno La guía gira en torno a un eje vertical a a un eje vertical a velocidad angular velocidad angular constante impuesta y constante impuesta y de valor ω. de valor ω.

m

g

Pregunta 1:Pregunta 1:

Si el contacto entre la perla y la guía es liso, ¿A Si el contacto entre la perla y la guía es liso, ¿A qué distancia del eje de giro la perla permanece qué distancia del eje de giro la perla permanece en equilibrio relativo a la guía?en equilibrio relativo a la guía?

Resolución, pregunta Resolución, pregunta 1:1:

1- Diagrama del cuerpo libre1- Diagrama del cuerpo libre

2- Ecuaciones de la perla:2- Ecuaciones de la perla:

dmNi 2cos)ˆ mg

N

Ncos

Nsen

m

gĵ

î

0)ˆ mgNsenj

3- Según el cociente de las ecuaciones 3- Según el cociente de las ecuaciones anteriormente planteadas:anteriormente planteadas:

dmN

mgNsen2cos

d

g2

tan

tan2

gd

Pregunta 2:Pregunta 2:Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso (presentando un coeficiente de rozamiento (presentando un coeficiente de rozamiento estático μestático μss (μ(μss <1) y dinámico μ <1) y dinámico μk k (μ(μkk <1)), ¿Cuál <1)), ¿Cuál

es la velocidad angular máxima ω para la cual la es la velocidad angular máxima ω para la cual la perla permanece en equilibrio relativo a la guía a perla permanece en equilibrio relativo a la guía a una distancia una distancia Do Do del eje de giro? Considere que del eje de giro? Considere que α α = 45º= 45º..

Resolución, pregunta 2:Resolución, pregunta 2:

1- Diagrama del1- Diagrama del

cuerpo libre:cuerpo libre:

2- Ecuaciones de 2- Ecuaciones de

la perla:la perla:

02cos)ˆ DmsenfNi s

fs cos

N

mg

Nsen

fs

fs sen

ĵî

g

Ncosα0cos)ˆ mgfNsenj s

3- Despejamos la normal de la segunda ecuación 3- Despejamos la normal de la segunda ecuación (respecto al versor (respecto al versor î), y sustituimos este valor en î), y sustituimos este valor en la primera (es decir, respecto al versor ĵ)la primera (es decir, respecto al versor ĵ)

Despejamos fDespejamos fss::

0coscos

tan2

02

s

s fmgsenf

Dm

senDmmgf s 02cos

4- Sabemos que: 4- Sabemos que:

Es decir que la fuerza de rozamiento estático no Es decir que la fuerza de rozamiento estático no tiene un valor fijo, sino que un rango de valores.tiene un valor fijo, sino que un rango de valores.

NF ss

a) a) Ahora lo que hacemos Ahora lo que hacemos es es sustituir la normal en la sustituir la normal en la desigualdad, y luego sustituimos el valor de fdesigualdad, y luego sustituimos el valor de fss, ,

obteniendo:obteniendo:

NF ss

cos(

)(cos

0 s

s

senD

seng

b)b) Realizando el Realizando el procedimiento procedimiento anterior anterior nuevamente obtenemos:nuevamente obtenemos:

NF ss

)cos(

)(cos

0

s

s

senD

seng

Es decir que Es decir que ωω puede variar en un rango de : puede variar en un rango de :

)cos(

)(cos

)cos(

)(cos

00

s

s

s

s

senD

seng

senD

seng

Para el caso particular de Para el caso particular de αα = 45º, obtenemos: = 45º, obtenemos:

Es decir que la velocidad angular máxima es:Es decir que la velocidad angular máxima es:

)0 1(

)1(

s

s

D

g

)0 1(

)1(

s

s

D

g

Comportamiento Comportamiento del sistema al del sistema al

variar sus variar sus parámetrosparámetros

Caso 1) El contacto entre la perla y la guía es liso.Caso 1) El contacto entre la perla y la guía es liso.

Analizamos el gráfico de la velocidad angular, en Analizamos el gráfico de la velocidad angular, en función del ángulo (en grados); para observar función del ángulo (en grados); para observar como varía la misma acorde el ángulo adquiere como varía la misma acorde el ángulo adquiere distintos valores. distintos valores.

Mantenemos fijo DMantenemos fijo D00 / D / D00= 1m = 1m

Velocidad angular

0

2

4

6

8

10

12

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ángulo (grados)

Si analizamos la ecuación obtenida, Si analizamos la ecuación obtenida, observamos que existe una proporcionalidad observamos que existe una proporcionalidad

inversa entre ω y el ángulo. Por ende, es inversa entre ω y el ángulo. Por ende, es coherente el gráfico adjunto en donde si coherente el gráfico adjunto en donde si

mantenemos la distancia del eje de giro fija, la mantenemos la distancia del eje de giro fija, la velocidad angular disminuye a medida que el velocidad angular disminuye a medida que el ángulo de giro toma valores más grandes. ángulo de giro toma valores más grandes.

Caso 2 ) En este segundo caso el contacto entre Caso 2 ) En este segundo caso el contacto entre la perla y la guía es rugoso.la perla y la guía es rugoso.

Para un mejor análisis y entendimiento nos Para un mejor análisis y entendimiento nos planteamos los gráficos de las respectivas planteamos los gráficos de las respectivas velocidades angulares, máxima y mínima; en velocidades angulares, máxima y mínima; en función del ángulo (en grados); manteniendo fijo función del ángulo (en grados); manteniendo fijo DD00 / D / D00 = 1m y considerándose dos µ (mu) = 1m y considerándose dos µ (mu)

distintos / µ 1 = 0,2 y µ 2 = 0,8distintos / µ 1 = 0,2 y µ 2 = 0,8

Velocidad angular máxima (µ = 0,2)

0

2

4

6

8

10

12

14

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ángulo (grados)

Velocidad angular máxima ( µ= 0,8)

0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ángulo (grados)

En éste análisis observamos que la velocidad En éste análisis observamos que la velocidad angular máxima en determinados valores del angular máxima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el denominador de dicha pues si analizamos el denominador de dicha ecuación tenemos que:ecuación tenemos que:

)cos(0 ssenD

00 D

cosssen

Se tiene que cumplir:

Notamos que cuando:Notamos que cuando:

no existe no existe ωωmaxmax alguno. Y cuando: alguno. Y cuando:

el valor de el valor de ωωmaxmax tenderá a infinito tenderá a infinito..

Si Si ωωmax max no existe, la perla nunca desliza hacia no existe, la perla nunca desliza hacia

arriba, cualquiera sea la velocidad angular.arriba, cualquiera sea la velocidad angular.

cosssen

cosssen

Velocidad angular mínima (µ = 0,2)

0

1

2

3

4

5

6

7

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ángulo (grados)

Velocidad angular mínima (µ = 0,8)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ángulo (grados)

En éste análisis observamos que la velocidad En éste análisis observamos que la velocidad angular mínima en determinados valores del angular mínima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el numerador de dicha pues si analizamos el numerador de dicha ecuación observamos que se tiene que ecuación observamos que se tiene que cumplir dicha relación:cumplir dicha relación:

Pues está claro que si es menor no existe Pues está claro que si es menor no existe ωωmínmín alguno.alguno.

Si Si ωωmín mín no existe, la perla nunca desliza hacia no existe, la perla nunca desliza hacia abajo, cualquiera sea la velocidad angular.abajo, cualquiera sea la velocidad angular.

senscos