familias de campos ondulatorios fundamentales de la ......3.3. sistema de coordenadas rectangulares....

Familias de CamposOndulatorios Fundamentales de

la Ecuacion de Helmholtz enSistemas de CoordenadasCurvilıneas Ortogonales

por

Jose Adan Hernandez Nolasco

Tesis presentada en el cumplimiento parcial delos

Requisitos para el Grado de Dr. en Optica

en el

Instituto Nacional de Astrofısica, Optica yElectronica

Asesor de Tesis:

Dr. Sabino Chavez Cerda, INAOE

Junio 2012Tonantzintla, Puebla

c⃝INAOE 2012

CON TODO MI CORAZON A DAIANA, ALEXIS Y TAMMY,

Reconocimientos

Agradezco al Dr. Sabino Chavez Cerda por su invaluable apoyo y supervision en

desarrollo de este trabajo de tesis, por sus orientaciones y sus acertadas crıticas, sobre todo

por haberme guiado al interesante tema la fısica matematica de la propagacion de la luz.

Agradezco tambien a todos y cada uno de los miembros del jurado que evaluaron mi

trabajo, Dr. Daniel Malacara Hernandez, Dra. Rocıo Jauregui Renaud, Dr. Jesus Rogel

Salazar, Dr. Victor Arrizon Pena y al Dr. Julian David Sanchez de la Llave, por el tiempo

que me dedicaron y por sus enriquecedores comentarios y sugerencias.

En lo personal, quiero agradecer infinitamente mi maravillosa familia que me apoyo y

soporto mis ausencias en el desarrollo de estes trabajo: Mi esposa Tammy Sammy, mi hijo

Alexis David y mi hija Daiana Gissel.

Hernandez Nolasco Jose Adan

Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica

Abril 2012

iii

Familias de Campos Ondulatorios Fundamentales de la Ecuacion

de Helmholtz en Sistemas de Coordenadas Curvilıneas

Ortogonales

Hernandez Nolasco Jose Adan, M.Sc.

Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica, 2012

Asesor de la tesis: Sabino Chavez Cerda, Ph.D.

The Scalar Helmholtz Equation is separable in eleven orthogonal coordinate systems. Despite

being one of the most studied equations in Mathematical Physics, this fact is not mentioned

and the whole story is hard to find in the classical textbooks or even specialized literature.

Moreover, even when mentioned, the geometry of some of those coordinate systems is not

properly illustrated in the literature.

In order to transform the differential operator of the Helmholtz equation the

corresponding metric for the curvilinear coordinates is used. For some of these, after

performing the transformation, the resulting equation can be very cumbersome and the

method of separation of variables does not apply in a simple and straightforward way. This

leads to look for an alternative method also barely known that is the Stackel determinant, this

allows to get the three separated differential equations for each of the curvilinear coordinates.

The method can be used for the eleven coordinate systems. From which emerge fifteen

different differential equations to solve.

To represent the whole families of scalar wave fields it is necessary to solve each of the

three equations for each one of the curvilinear coordinates. In most of the cases the solutions

are given in terms of not widely known special functions and in some cases their numerical

evaluation is not an easy task.

We will present in an understandable and visual way the eleven coordinate systems

in which the Helmholtz equation is separable. We will show the surfaces associated with

them, whose intersections determine univocally a point in a three dimensional space. We

will present the normalization in a canonical form, the corresponding sets of ordinary

differential equations resulting from the separation of the Helmholtz equation, providing

a graphical picture of the fundamental solutions that enable the representation of radiating

electromagnetic wave fields for each of the curvilinear coordinate systems.

ii

Fundamentals WaveFields Family of the Helmholtz Equation in

Orthogonal Curvilinear Coordinate Systems

Hernandez Nolasco Jose Adan, M.Sc.

Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica, 2012

Asesor de la tesis: Sabino Chavez Cerda, Ph.D.

The Scalar Helmholtz Equation is separable in eleven orthogonal coordinate systems. Despite

being one of the most studied equations in Mathematical Physics, this fact is not mentioned

and the whole story is hard to find in the classical textbooks or even specialized literature.

Moreover, even when mentioned, the geometry of some of those coordinate systems is not

properly illustrated in the literature.

In order to transform the differential operator of the Helmholtz equation the

corresponding metric for the curvilinear coordinates is used. For some of these, after

performing the transformation, the resulting equation can be very cumbersome and the

method of separation of variables does not apply in a simple and straightforward way. This

leads to look for an alternative method also barely known that is the Stackel determinant, this

allows to get the three separated differential equations for each of the curvilinear coordinates.

The method can be used for the eleven coordinate systems. From which emerge fifteen

different differential equations to solve.

To represent the whole families of scalar wave fields it is necessary to solve each of the

three equations for each one of the curvilinear coordinates. In most of the cases the solutions

are given in terms of not widely known special functions and in some cases their numerical

evaluation is not an easy task.

We will present in an understandable and visual way the eleven coordinate systems

in which the Helmholtz equation is separable. We will show the surfaces associated with

them, whose intersections determine univocally a point in a three dimensional space. We

will present the normalization in a canonical form, the corresponding sets of ordinary

differential equations resulting from the separation of the Helmholtz equation, providing

a graphical picture of the fundamental solutions that enable the representation of radiating

electromagnetic wave fields for each of the curvilinear coordinate systems.

Indice general

Indice de figuras V

Indice de cuadros VII

Capıtulo 1. Introduccion 1

Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz 5

2.1. Ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales 11

3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Coordenadas Rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Coordenadas Elipticoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5. Transformacion conformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1. Transformaciones conformales 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz 63

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . 75

i

ii Indice general

4.2.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3. Determinante de Stackel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz 95

5.0.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.0.2. Condicion de radiacion de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1. Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.2. Coordenadas Cilındricas Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2. Coordenadas Rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1. Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.2. Coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.3. Coordenadas Esferoidales Oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.4. Coordenadas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz 131

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.2. Coordenadas Elipticoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2.1. Coordenadas Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2.2. Coordenadas Paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2.3. Coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros 153

7.1. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz 159

A.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Indice general iii

A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.10.Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.11.Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Apendice B. Determinante de Stackel 179

B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

B.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

B.10.Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.11.Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias 205

C.1. Funcion armonica simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

C.3. Funcion Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

C.4. Funcion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

C.5. Funcion de Onda Esferoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

C.5.1. Funcion de Onda Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

C.5.2. Funcion de Onda Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

C.6. Funcion de Onda Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

C.7. Funcion de Onda Paraboloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

C.8. Funcion Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

C.9. Funcion de Onda Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Bibliografıa 231

iv Indice general

Indice de figuras

3.1. Grafica de sistema de coordenado representado erroneamente, a) Cilındrico

Circular y b) Conico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Superficies del sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4. Superficies del sistema de coordenadas cilındricas circulares . . . . . . . . . . 18

3.5. Sistema de coordenadas cilındricas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6. Superficies de las coordenadas cilındrica elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7. Sistema de coordenadas cilındricas elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.8. Superficies de la coordenadas cilındricas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 23

3.9. Sistema de coordenadas cilındricas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.10. Superficies de las coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.11. Sistema de coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.12. Superficies de las coordenadas esferoidales prolatas . . . . . . . . . . . . . . 29

3.13. Sistema de coordenadas esferoidales prolatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.14. Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.15. Sistema de coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.16. Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.17. Sistema de coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.18. Superficies de las coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.19. Sistema de coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.20. Superficies de las coordenadas conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.21. Sistema de coordenadas conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.22. Superficies de las coordenadas paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.23. Sistema de coordenadas paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.24. Superficies de las coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.25. Sistema de coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.26. a) Coordenadas rectangulares , b) coordenadas circulares . . . . . . . . . . . 49

3.27. a) Coordenadas rectangulares, b) Coordenadas elıpticas . . . . . . . . . . . . 51

3.28. a) Coordenadas rectangulares, b) coordenadas circulares . . . . . . . . . . . 53

v

vi Indice de figuras

3.29. a) Coordenadas circulares, b) coordenadas elıpticas . . . . . . . . . . . . . . 55

3.30. a) Coordenadas circulares , b) coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . 57

3.31. a) Coordenadas elıpticas, b) coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . 60

5.1. Solucion fundamental en coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Circulares . . . . . . . . . 102

5.3. Funcion Mathieu Angular Par a) q=10 b) q=25 . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4. Funcion Mathieu Angular impar a) q=10 b) q=25 . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Elıpticas primer tipo . . . 107

5.6. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Elıpticas segundo tipo . . . 108

5.7. Funcion cilındrica parabolica para µ a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . 109

5.8. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Parabolicas . . . . . . . . . 111

5.9. Funcion asociada de Legendre a) primer tipo b) segundo tipo . . . . . . . . . 113

5.10. Solucion fundamental en coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.11. Funcion de onda angular prolata de primer tipo a) m=0, c=5 y b) m=2, c=5 117

5.12. Funcion de onda angular prolata de segundo tipo a) m=0,c=5 b) m=2,c=5 . 117

5.13. Funcion de onda Angular de segundo tipo a) m=0,n=0 b) m=1,n=1 . . . . . 118

5.14. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . 120

5.15. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . 121

5.16. Funcion de onda Angular oblata de primer tipo a)m=0, c=5 b) m=1, c=5 . 124

5.17. Funcion de onda Angular oblata de segundo tipo a) m=1, c=1 b) m=2, c=1 124

5.18. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Oblatas . . . . . . . . . . 126

5.19. Solucion fundamental en coordenadas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.20. Funcion de onda Bessel modificada a) q = 3 y p b) q = 4 y p . . . . . . . . . 130

6.1. Solucion fundamental en coordenadas Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2. Funcion Lame de primer tipo a) Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3 b) Lm2n+2 con

n = 8 y m = 0, 1, 2, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3. funcion Lame de primer tipo a) Mm2n+1 b) Nm

2n+3 . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4. Lame function first kind a) Km2n+1 b) Lm2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5. Lame function a) Mm2n+1 b) Nm

2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.6. Funcion de onda paraboloidal angular par a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 1 . 141

6.7. Funcion de onda paraboloidal impar a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 3 . . . . 142

6.8. Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.9. Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.10. Solucion fundamental en coordenadas Paraboloidales . . . . . . . . . . . . . 146

6.11. Funcion de onda Lame % = σ = τ = 0, n = 0,m = 0 . . . . . . . . . . . . . . 149

6.12. Solucion fundamental en coordenadas Elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . 151

Indice de cuadros

7.1. Resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 156

C.1. Tipos de la funcion Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

C.2. Coeficientes de la matriz tridiagonal de la funcion Lame . . . . . . . . . . . . 226

vii

viii Indice de cuadros

Capıtulo 1

Introduccion

La ecuacion de Helmholtz es ampliamente utilizada en el tratamiento de la radiacion

de ondas electromagneticas. A pesar de ser una de la ecuaciones mas estudiadas de la fısica

matematica su estudio es comunmente restringido a unos pocos sistemas de coordenadas, sin

embargo sucede que la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz tiene separacion simple

en once sistemas de coordenadas [1, 2].

Para cada uno de los once sistemas de coordenadas la ecuacion de Helmholtz se

soluciona separandola en tres ecuaciones diferenciales ordinarias y estas a su vez tienen

como solucion funciones especiales. Es importante destacar que algunas de estas funciones

fueron construidas de manera independiente, es decir, en diferentes tiempos y para diversas

aplicaciones fısicas, principalmente como resultado de la busqueda de soluciones a problemas

fısicos asociados a condiciones de frontera con diversas formas geometricas. Por ejemplo, la

funcion de Mathieu fue introducida en 1868 por Emile Mathieu, cuando determino los modos

de vibracion de una membrana de frontera elıptica [3]. La funcion Bessel fue propuesta por

Bernoulli in 1738 [4]. La funcion Lame fue construida por Gabriel Lame 1837 al estudiar las

temperaturas en un elipsoide [5]. La funcion de onda esferoidal fue propuesta por Niven en

1880 con la finalidad de tratar el problema de conduccion de calor en cuerpos esferoidales

[6]. Solo por mencionar algunas.

Sin embargo, fue hasta 1934 cuando Eisenhart demostro que la ecuacion escalar

tridimensional de Helmholtz es separable en once sistemas de coordenadas ortogonales. El

trabajo de Eisenhart se baso en las demostraciones de separabilidad hechas por Stackel [2].

Fue entonces que se pudo apreciar la estrecha relacion entre las funciones especiales que

son soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa esta ecuacion

tridimensional, ya que forman una familia de funciones que tienen su origen en la misma

ecuacion, la ecuacion de Helmholtz.

A pesar del tiempo que ha transcurrido desde que Eisenhart demostro la separabilidad

en los once sistemas coordenados, aun en la actualidad en la literatura de la fısica matematica

es comun encontrar solo tratamientos para solucionar problemas de radiacion con geometrıa

1

2 Capıtulo 1. Introduccion

rectangular, cilındrica circular y esferica.

El libro de Margenau es el primer texto donde se presentan de manera conjunta los once

sistemas de coordenadas, pero unicamente aparecen las metricas y unas pocas graficas[7].

Posteriormente Morse and Feshbach, muestran en su totalidad la separacion de la ecuacion

de Helmholtz para los once sistemas de coordenadas ası como las graficas de dichos sistemas,

sin embargo, estas graficas son confusas y es complicado observar las superficies asociadas a

cada coordenada[8]. En este libro las separaciones se llevan a cabo empleando el determinante

de Stackel y es de los pocos textos que muestran esta tecnica de separacion, la cual es difıcil

de encontrar en libros de actualidad.

Despues, Moon y Spencer por varios anos desarrollaron un numero considerable de

trabajos, bastante completos, sobre la separacion de las ecuaciones de Helmholtz y la de

Laplace [9, 10, 11, 12], que finalmente reunieron en el texto “Field Theory Handbook”[13].

Mas tarde, uno de los textos mas ampliamente utilizado para los estudiantes de la fısica,

Arfken presento en sus dos primeras ediciones los once sistemas de coordenadas[14], pero sin

exponer totalmente las graficas de los once sistemas de coordenadas, mas aun, a partir de

la tercera edicion se reduce a presentar unicamente los tres sistemas mas conocidos, y eso

continua hasta las ediciones actuales, de la razon por la que no presenta el resto de los sistemas

de coordenadas Arfken menciona: “En parte porque las necesidades son poco frecuentes

pero sobre todo porque el desarrollo de la computacion y la eficiencia de las tecnicas

de programacion reduce la necesidad de estos sistema de coordenadas”[15]. Sin embargo,

nosotros consideramos que realmente ofrece mayores ventajas manejar la radiacion de onda

en los sistemas de coordenadas que mejor se adapte a las condiciones de frontera y a las

simetrıas del problema a tratar. En este mismo sentido, consideramos que la representacion

correcta de los sistemas de coordenadas respetando sus propiedades y caracterısticas, permite

relacionarlos apropiadamente con los sistemas fısicos a estudiar.

Recientemente el ano pasado se presento el libro de Willatzen, donde presenta

la ecuacion de Helmholtz de forma completa en los once sistemas de coordenadas[16],

sin embargo las graficas de las coordenadas no muestran mejorıa con respecto a los

libros mencionados anteriormente, muestra ejemplos, pero hace enfasis en la ecuacion de

Schrodinger y aplicaciones principalmente de potenciales; de la misma forma trata las

funciones especiales pero de manera general sin presentar graficas de la mayorıa de estas

funciones.

A pesar de que la ecuacion de Helmholtz ha sido ampliamente estudiada, en la

actualidad se continuan descubriendo nuevas propiedades y aplicaciones de sus soluciones.

Por ejemplo: Los haces adifraccionales surgen da las soluciones en coordenadas cilındricas

circulares (haces Bessel) [17, 18], de las cilındricas elıpticas (haces Mathieu) y en las

cilındricas parabolicas (haces parabolicos) [19], de el estudio de las moleculas asimetricas

tenemos las soluciones en coordenadas Conicas (funciones Lame) [20], en el estudio de

3

las antenas esferoidales (funciones de onda Esferoidales)[21], los eigenmodos para una

cavidad delimitada por dos paraboloides (funciones de onda Bessel) [22], por mencionar

algunas. Por lo tanto, las aplicaciones existentes y las que se continuan descubriendo de

las diferentes soluciones de la ecuacion de Helmholtz son y seguiran siendo transcendentes,

incluso destacamos que estas soluciones se emplean en temas actuales de la fısica como es el

estudio de la propagacion de ondas en metamateriales (cloaking) y la transformacion optica

[23, 24].

Por otra parte, la tecnica tradicional de llevar a cabo la separacion de variables de

una ecuacion diferencial parcial, es proponer una solucion que consiste de tres funciones

mutuamente independientes, una para cada variable [15], no obstante, en el caso en el caso

de la ecuacion de Helmholtz para los sistemas de coordenadas con caracterısticas elıpticas,

es complicado de implementar, ası que la separacion de variables basada e el determinante

de Stackel, es una buena alternativa para realizar la separacion. Este se construye a partir de

los factores de escala correspondientes a cada sistema de coordenadas, y permite realizarlo

de una manera sistematizada. El determinante de Stackel es virtualmente desconocido en la

literatura fısica matematica actual.

Contar con todas las soluciones fundamentales de la ecuacion de Helmholtz, y una

correcta definicion de los sistemas de coordenadas, permite sin duda expresar el fenomeno

fısico de la radiacion de ondas de una manera efectiva y comprensiva para toda la comunidad

cientıfica. Destacamos la manera en que las superficies coordenadas nos permiten representar

los frentes de onda de los campos propagantes de manera clara y relacionarlas con los

ecuaciones que modelan estos fenomenos fısicos y que de no hacerlo solo serıan simplemente

formulas matematicas abstractas.

En este trabajo proponemos la representacion de los campos electromagneticos

oscilatorios fundamentales de la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz en los once

sistemas de coordenadas en la que es separable, estos son: rectangular, cilındrico circular,

cilındrico elıptico, cilındrico parabolico, esferico, esferoidal alargado, esferoidal achatado,

parabolico, conico, paraboloidal y elipsoidal. Nos enfocamos en soluciones que nos permitan

representar ondas viajeras, es decir, aquellas donde el vector de propagacion sea positivo. Esto

es porque existen algunas soluciones que matematicamente son correctas, pero fısicamente

no representan ondas propagantes.

Presentamos la teorıa para obtener la solucion de la ecuacion vectorial de Helmholtz a

partir de la solucion escalar. Por lo que despues de obtener todas las soluciones escalares, de

acuerdo a esta teorıa es posible resolver la ecuacion vectorial de onda.

Estudiaremos los sistemas de coordenadas en el cual la ecuacion de Helmholtz es

separable y presentaremos la correspondiente ecuacion de Helmholtz asociada a cada una de

ellos.

Presentaremos la separabilidad de la ecuacion de Helmholtz, utilizando la tradicional

4 Capıtulo 1. Introduccion

tecnica de separacion de variables, y el metodo alternativo del determinante de Stackel.

Presentaremos tambien las soluciones fundamentales de la ecuacion escalar de

Helmholtz, para los once sistemas de coordenadas, las cuales dividimos en dos grupos,

primero en el capıtulo 6, analizamos las soluciones de los sistemas con simetrıa axial y

rotacional, y en el capıtulo 7 lo hacemos para los sistemas clasificados como elipticoidales.

Para cada caso construimos la solucion fundamental que permite representar campos

electromagneticos radiantes.

En el capitulo final, presentamos las conclusiones a las que llegamos con el desarrollo

de este trabajo.

Finalmente tenemos tres apendices con las operaciones y calculos a detalle de las

operaciones para obtener la ecuacion de Helmholtz correspondiente a cada sistema de

coordenadas, los determinantes de Stackel y las soluciones a las ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Capıtulo 2

De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de

Helmholtz

En este capıtulo presentamos las ecuaciones de Maxwell, y mostramos como estas

ecuaciones son la base obtener la ecuacion de onda y posteriormente la ecuacion de Helmholtz.

Explicamos ademas, la teorıa para obtener la solucion de la ecuacion de onda vectorial

a partir de la solucion escalar, es decir, de acuerdo a esta teorıa una vez que se cuenta

con las soluciones escalares, es posible construir las soluciones vectoriales de la ecuacion de

Helmholtz.

2.1. Ecuacion de onda

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen

completamente el fenomeno electromagnetico, ellas expresan como las cargas electricas

producen campos electricos, los campos magneticos variantes en el tiempo producen

campos electricos, la ausencia experimental de monopolos magneticos, como una corriente

electrica y los campos electricos variantes en el tiempo producen campos magneticos. La

interdependencia de los campos electricos y magneticos es un punto clave de la descripcion

de la naturaleza ondulatoria de la radiacion de campos oscilantes.

Una funcion basica de las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagneticos es

la existencia de las soluciones de onda viajeras que representan el transporte de energıa de

un punto a otro. En este sentido, en un medio simple no conductor, con ausencia de fuentes,

las ecuaciones de Maxwell en el Sistema Internacional de Unidades se leen [25]

5

6 Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz

∇×E = −∂B∂t

, (2.1)

∇ ·E = 0, (2.2)

∇ ·B = 0, (2.3)

∇×B = µ0ε0∂E

∂t. (2.4)

La ecuacion (2.1) es la ley de Induccion de Faraday, la ecuacion (2.2) es la Ley de

Gauss Electrica, la ecuacion (2.3) es la Ley de Gauss magnetica y la ecuacion (2.4) es la Ley

Circuital de Ampere.

Donde E = E(r, t) y B = B(r, t) son los vectores de campo electrico y de induccion

magnetica respectivamente, ε es la constante de permitividad y µ es la constante de

permeabilidad.

Tomando como base estas ecuaciones podemos obtener la ecuacion de onda [26]. Para

ello el operador rotacional es aplicado en ambos lados de las ecuaciones (2.1) y (2.4), se

obtiene

∇(∇ · E)−∇2E = − ∂

∂t[∇×B];

∇(∇ ·B)−∇2B = µ0ε0∂

∂t[∇× E].

(2.5)

De acuerdo con las ecuaciones (2.2) y (2.3) la divergencia de E y B es cero, y

sustituyendo las ecuaciones (2.1) y (2.4) en el rotacional. La ecuacion de onda tanto para el

campo electrico como para el magnetico es

[∇2 − 1

c2

∂2

∂t2

]{E

B

}= 0. (2.6)

Donde c = 1√µ0ε0

. Los campos E y B dependen de la posicion y el tiempo. Sı separamos

la componente temporal asumiendo un comportamiento armonico, es decir, teniendo una

solucion temporal eiωt, entonces sustituyendo esta solucion en la ecuacion (2.6), tenemos

[∇2 + k2]

{E

B

}= 0. (2.7)

2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz 7

Esta es la ecuacion vectorial de Helmholtz, donde k = ω/c es el numero de onda

y representa la magnitud del vector de onda k = (kx, ky, kz), asociado con la direccion

de propagacion de la onda. Es importante mencionar que en este trabajo nos centraremos

unicamente en valores reales de k para esta ecuacion, ya que esto especifıca que solo estan

permitidas soluciones oscilatorias propagantes y no evanescentes o crecientes.

2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz

La solucion E o B de esta ecuacion es una funcion vectorial, con la cual podemos

estudiar propiedades fısicas tales como la polarizacion, el momento angular, el momento

lineal, los cuales son determinados por la solucion rigurosa de la ecuacion vectorial de onda.

Sin embargo, esta ecuacion en su forma vectorial es extremadamente difıcil de resolver

[8, 26]. Las soluciones completas de la ecuacion de onda vectorial en una forma aplicable

a la solucion de problemas de frontera se conocen en la actualidad unicamente para ciertos

sistemas separables [26]. Esto fue planteado por Stratton en 1941, sin embargo, hoy en

dıa aun esta pendiente encontrar la solucion de la ecuacion de onda vectorial para algunos

sistemas de coordenadas.

Una manera de resolver la ecuacion de onda vectorial es especificar las componentes

del campo vectorial para cada una de las tres coordenadas del sistema de coordenadas

tridimensionales para el cual se este resolviendo, que resulta ser apropiado para solucionar

el problema vectorial; esto reduce el problema a obtener tres campos escalares [8].

Posteriormente a partir de las soluciones escalares construir las soluciones vectoriales, que aun

ası realizarlo no es trivial. En este sentido, podemos trabajar para encontrar las soluciones

unicamente para el campo electrico E o para el campo magnetico B, teniendo presente que

estan estrechamente relacionados por las ecuaciones de Maxwell.

Trabajando con E, unicamente cuando la ecuacion de onda vectorial es resuelta en

coordenadas rectangulares es que las tres ecuaciones independientes quedan de la siguiente

manera [26].

∇2Ej + k2Ej = 0, (j = x, y, z). (2.8)

El operador escalar ∇2 puede ser expresado en coordenadas curvilıneas tal como en

coordenadas rectangulares utilizando los factores de escala propios del sistema coordenado.

Ademas, todos estos campos escalares tienen la propiedad de invariancia bajo una

transformacion de las coordenadas.

Ahora mostramos como a partir de la solucion escalar es posible construir la solucion

vectorial.


La identidad del operador Laplaciano ∇2 actuando sobre un vector ∇2E = ∇∇ · E −∇× (∇× E), y sı lo sustituimos en la ecuacion 2.7, podemos escribir

∇(∇ · E)−∇× (∇× E) + k2E = 0. (2.9)

Entonces, una forma de resolver la ecuacion vectorial (2.9) es reemplazarla por un

sistema simultaneo de tres ecuaciones escalares, sin embargo la ecuacion para los sistemas

coordenados mas complejos, resulta impractico. En nuestro caso partimos de la ecuacion

escalar de Helmholtz, donde la funcion escalar E es una solucion de esta ecuacion

∇2E + k2E = 0. (2.10)

Nosotros ahora construiremos tres soluciones vectoriales independientes como a

continuacion se muestra [26]

L = ∇E,M = ∇× aE,

N =1

k∇×M.

(2.11)

Donde a es una constante vectorial de longitud unitaria. L, M y N son funciones

vectoriales, y si ademas L es sustituido dentro de la ecuacion (2.9), tenemos

∇(∇ · L)−∇× (∇× L) + k2L = 0,

∇(∇ · ∇E)−∇× (∇×∇E) + k2∇E = 0 (donde ∇×∇E = 0),

∇(∇2E + k2E) = 0 (donde ∇2E + k2E = 0).

(2.12)

Por lo tanto L satisface la ecuacion de onda vectorial. Asumimos que la funcion vectorial

M tiene divergencia cero∇·M = 0, por esa razon es posible definir N = 1k∇×M sustituyendo

en la ecuacion (2.9), asumiendo que k es una constante

∇(∇ ·N)−∇× (∇×N) + k2N = 0,

1

k[∇(∇ · ∇ ×M)−∇× [∇× (∇×M)] + k2∇×M] = 0 [donde ∇ · (∇×M) = 0],

∇× [−∇× (∇×M) + k2M] = 0,

∇× [∇(∇ ·M)−∇× (∇×M) + k2M] = 0 [donde ∇ ·M = 0].

(2.13)

2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz 9

Por consiguiente N satisface la ecuacion (2.9), y tambien ∇·N = 0. Ahora para funcion

M reemplazando en la ecuacion (2.9), tenemos

∇(∇ ·M)−∇× (∇×M) + k2M = 0,

∇2M + k2M = 0,

∇2(∇× aE) + k2(∇× aE) = 0,

∇2[∇E × a + E(∇× a)] + k2[∇E × a + E(∇× a)] = 0,

∇2(∇E × a) + k2(∇E × a) = 0 (since ∇× a = 0),

(∇2(∇E) + k2∇E)× a = 0,

[∇(∇2E + k2E)]× a = 0.

(2.14)

por lo tanto M tambien satisface la ecuacion (2.9).

De esta manera demostramos que L, M and N satisfacen la ecuacion vectorial de

Helmholtz. Sı nosotros hubieramos propuesto la funcion vectorial N con divergencia cero

tambien encontrarıamos que M tambien tendrıa divergencia cero, ası, debido a estos

argumentos de simetrıa podemos escribir M como sigue

M =1

k∇×N. (2.15)

Por otro lado, L = ∇E y M = ∇ × aE, de esta forma M = L × a, por lo tanto

deducimos que el vector M es perpendicular al vector L, o

L ·M = 0. (2.16)

Las funciones vectoriales L, M y N tienen ciertas propiedades notables que surgen

directamente de sus definiciones. Esta son

∇× L = 0,

∇ · L = ∇2E = −k2E.(2.17)

Las soluciones particulares de la ecuacion (2.10), son continuas, y de valor unico para un

dominio dado, forman un conjunto discreto de soluciones particulares En. Asociada con cada

funcion caracterıstica En hay tres soluciones vectoriales Ln, Mn, Nn de la ecuacion (2.9),

que son no-coplanares entre sı. Presumiblemente la ecuacion de onda puede ser representada

como una combinacion de las funciones vectoriales caracterısticas; ya que Ln, Mn, Nn poseen

propiedades ortogonales. Cuando la funcion dada es puramente solenoidal, es decir con

divergencia igual a cero, la expansion es hecha unicamente en terminos de Mn y Nn. Sin

embargo, sı la divergencia de la funcion no se anula, los terminos de Ln deber ser incluidos.


Entonces el campo vectorial se puede representar por una expansion en terminos de

estas funciones vectoriales caracterısticas y debido a la independencia lineal de las funciones

podemos elegir los coeficientes para que sea satisfecha la ecuacion [8, 26]

E =∑n

(anLn + bnMn + cnNn), (2.18)

los coeficientes an, bn y cn son numeros complejos.

De este modo se encuentra que teniendo la solucion escalar de la ecuacion de Helmholtz

es posible construir su solucion vectorial.

Este enfoque ha sido utilizado por otros autores, donde se obtienen las soluciones de

la ecuacion vectorial de Helmholtz solo por unos pocos sistemas de coordenadas, sobre todo

para los de simetrıa de traslacion y para el sistema de coordenadas esfericas [27, 28, 29], pero

aun faltan algunos por elaborar. En este trabajo nos enfocamos unicamente en encontrar las

soluciones escalares para los once sistemas de coordenadas en los cuales es separable la

ecuacion de Helmholtz y permanece como trabajo futuro las soluciones vectoriales para los

mismos once sistemas de coordenadas.

2.3. Conclusiones

En este capıtulo presentamos las ecuaciones de Maxwell, ası como, la deduccion de la

ecuacion de Helmholtz a partir de estas.

Tambien mostramos el metodo para resolver la ecuacion de onda vectorial utilizando los

vectores L, M y N; los cuales se obtienen a partir de las soluciones escalares.

Nos enfocaremos a encontrar las soluciones de la de la ecuacion de onda escalar en

los once sistemas de coordenadas en los que es separable, para ello en el siguiente capitulo

haremos la descripcion detallada de estos once sistemas de coordenadas. .

Capıtulo 3

Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales

En este capıtulo, presentamos las superficies asociadas a cada uno de los once sistemas

de coordenadas tridimensionales en los cuales la ecuacion escalar de Helmholtz es separable.

Escribimos la ecuacion de Helmholtz para cada uno de estos sistemas de coordenadas,

los cuales hemos clasificado de acuerdo a su simetrıa en tres grupos: coordenadas cilındricas,

coordenadas rotacionales y coordenadas elipticoidales.

En la seccion 3.2 como un ejemplo de la generacion y conversion entre sistemas de

coordenadas, realizamos la transformacion conformal entre cuatro sistemas coordenadas 2D.

3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permite definir unıvocamente

la posicion de un punto en un espacio Euclidiano. Sin duda, para que un sistema de referencia

espacial se pueda considerar un sistema de coordenadas tiene que cumplir con esta definicion,

ademas, si el sistema coordenado es ortogonal, la interseccion de las superficies coordenadas

siempre deberan ser perpendiculares.

Sin duda la geometrizacion es una herramienta poderosa para la fısica y las matematicas,

esto permite la visualizacion de las interrelaciones que de otra manera quedarıan como una

simple formula abstracta [9]. En este sentido vamos a comentar de la necesidad de una

apropiada representacion de los diferentes sistemas de coordenadas. El sistema de coorde-

nadas que es usado mas ampliamente es el Cartesiano, pero desafortunadamente, no todos

los problemas fısicos se adaptan bien a solucionarlos en este sistema coordenado, por ejem-

plo, para estudiar el efecto de introducir una esfera dielectrica en un campo electrico, uno

utiliza coordenadas esfericas, pues las coordenadas cartesianas podrıan no ser apropiadas u

obtener soluciones confusas.

11

12 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales

Lo trascendente es que el sistema coordenado se podrıa seleccionar de acuerdo con la

geometrıa del sistema fısico, determinado por sus condiciones de frontera. Incluso cuando un

ajuste exacto del sistema de coordenadas a la geometrıa del problema no es posible, bien se

puede recurrir a un ajuste local, es decir, una superficie en general puede ser adecuadamente

aproximada por una de las superficies mas particulares que aparece en un sistema de coor-

denadas determinado [30]. En muchos casos las ondas propagantes tienen una forma simple

y tratable en terminos del sistema de coordenadas que mejor se adapte a la geometrıa del

problema, mientras que en coordenadas rectangulares es bastante compleja [8].

Como se menciono el sistema de coordenadas rectangular o cartesiano, representado

por las variable x, y, z es el mas comunmente utilizado, ademas se emplea como referencia

para el resto de los sistemas de coordenadas. En este sistema, un unico punto (x, y, z) es

ubicado en el espacio por una unica interseccion de tres planos perpendiculares, los cuales

corresponden a un valor de cada una de las variables coordenadas. En este sentido, en un

sistema de coordenadas curvilıneas cuyas superficies son descritas por q1 =constante, q2 =

constante, q3 = constante, podemos identificar un punto por (q1, q2, q3) ası como por (x, y, z).

Especificando x, y, z en terminos de ql , q2, q3 :

x = x(q1, q2, q3),

y = y(q1, q2, q3),

z = z(q1, q2, q3),

(3.1)

y las relaciones inversas

q1 = q1(x, y, z),

q2 = q2(x, y, z),

q3 = q3(x, y, z).

(3.2)

Estas relaciones identifica a cada sistema de coordenadas. De igual manera los sistemas

de coordenadas ortogonales pueden ser determinados por las metricas h1, h2 y h3, tambien

llamados factores de escala. Estos resultan de obtener el cuadrado de la distancia entre dos

puntos vecinos [15]

ds2 = h21(dq1)2 + h2

2(dq2)2 + h23(dq3)2, (3.3)

3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas 13

donde

h21 =

(∂x

∂q1

)2

+

(∂y

∂q1

)2

+

(∂z

∂q1

)2

,

h22 =

(∂x

∂q2

)2

+

(∂y

∂q2

)2

+

(∂z

∂q2

)2

,

h23 =

(∂x

∂q3

)2

+

(∂y

∂q3

)2

+

(∂z

∂q3

)2

.

(3.4)

Esta expresion es ası de simplificada debido a que el sistema es ortogonal. Ahora

conociendo los factores de escala para cada sistema de coordenadas, podemos obtener

las ecuaciones para el volumen, gradiente, rotacional, Laplaciano entre otras operaciones

vectoriales para cada uno de ellos. Ası por ejemplo, un elemento de area general para

cualquiera de los sistemas coordenados curvilıneos en la superficie q1q2 es

ds = (h1dq1)(h2dq2) = h1h2dq1dq2. (3.5)

Similarmente, un elemento de volumen es

dv = (h1dq1)(h2dq2)(h3dq3) = h1h2h3dq1dq2dq3. (3.6)

La mayor parte de la ecuacion de Helmholtz la constituye el operador Laplaciano, por lo

que es importante presentar su ecuacion general para cualquier sistema de coordenadas[14].

∇2E =1

h1h2h3

[∂

∂q1

(h2h3

h1

∂

∂q1

E

)+

∂

∂q2

(h1h3

h2

∂

∂q2

E

)+

∂

∂q3

(h1h2

h3

∂

∂q3

E

)]. (3.7)

Observamos en esta ecuacion que, con los factores de escala de cada sistema de

coordenadas ortogonales, podemos construir su correspondiente Laplaciano.

El numero de sistemas coordenados puede ser muy grande, por ejemplo, Spencer pre-

senta veintiun diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales con simetrıa de traslacion

donde el operador Laplaciano se puede construir a partir de sus correspondientes factores

de escala [9]. Sin embargo, se ha demostrado que la ecuacion de Helmholtz es separable

unicamente en once tridimensionales sistemas de coordenadas ortogonales [2, 1], estos son:

Rectangulares, Cilındricas circulares, Cilındricas elıpticas, Cilındricas parabolicas, Esfericas,

Esferoidales alargadas, Esferoidales achatadas, Parabolicas, Conicas, Paraboloidales y Elip-

soidales.

El sistema de coordenadas mas general es el sistema Elipsoidal, los diez sistemas restantes


son un caso particular de este sistema [8].

Se ha encontrado en varios casos de la limitada literatura existente donde se muestran

los once sistemas de coordenadas, que la representacion grafica de la interseccion de las

superficies coordenadas no es adecuada, y esto conlleva a introducir errores al querer

representar puntos en el espacio tridimensional. Ademas en el caso de los campos hace

difıcil la percepcion de su comportamiento descrito por sus correspondientes soluciones.

Por ejemplo, incluso para el simple caso de las coordenadas cilındricas circulares de la

Figura 3.1a (Tomada del texto: Partial Differential Equations with Mathematica [31]) en

el cual se observan dos puntos de interseccion resaltados con esferas rojas. Para sistemas de

coordenadas mas complejos, la sobredefinicion de puntos en el espacio es mayor, como se

muestra en la Figura 3.1b, en el cual la interseccion de las superficies coordenadas ocurre en

ocho puntos del espacio tridimensional (tomado del artıculo: Angular Momentum in Sphero-

Conal Coordinates [34]).

(a) (b)

Figura 3.1: Grafica de sistema de coordenado representado erroneamente, a) Cilındrico

Circular y b) Conico

Por otra parte, debido a que los once sistemas de coordenadas tienen alguna similitud

en sus simetrıas, los podemos clasificar en tres grupos: Coordenadas cilındricas, estas tienen

simetrıa con el eje de traslacion, y en ellas la superficie correspondiente a z es un plano per-

pendicular a este eje; Coordenadas rotacionales, estas tienen simetrıa con el eje de rotacion y

3.2. Coordenadas Cilındricas 15

Coordenadas elipticoidales, debido a que al menos dos de sus superficies coordenadas tienen

caracterısticas elıpticas, tambien son llamadas generales.

Para cada sistema de coordenadas de una forma sistematica presentamos su conversion

a coordenadas rectangulares, escribiremos para cada variable coordenada sus unidades y

su respectivo dominio. Mostramos sus metricas (factores de escala) que los caracterizan.

Tambien escribiremos la ecuacion de Helmholtz; para observar los detalles de los calculos que

llevan a obtener la ecuacion de Helmholtz a partir de los factores de escala, los presentamos

en el apendice A.

Despues, presentamos las graficas de las superficies asociadas a cada variable coordenada del

sistema de coordenadas, junto con la descripcion de el comportamiento de esta superficies

para diferentes valores, y otra grafica mostrando la interseccion unıvoca de las tres superficies,

en las cuales resaltamos ese unico punto de interseccion mediante una esfera roja.

3.2. Coordenadas Cilındricas

Esta clasificacion es asignada a los sistemas de coordenadas que tienen simetrıa con el

eje de traslacion, normalmente el eje z, ademas tienen en comun un plano perpendicular a

este eje, que se mueve a lo largo de el.

Coordenadas Rectangulares

El mas simple de todos los sistemas coordenados es el rectangular, tambien llamado

Cartesiano. Este sistema coordenado es usado como referencia para los otros sistemas, por

esta razon en todos los casos se presentaran las ecuaciones de conversion hacia este sistema.

Ahora, las variables (x, y, z) son empleadas para este sistema, por lo tanto, tenemos las

siguientes ecuaciones de conversion

x = x,

y = y,

z = z.

(3.8)

Donde x ∈ (−∞,∞), y ∈ (−∞,∞) y z ∈ (−∞,∞). Estas variables son dadas en

unidades de longitud. Los correspondientes factores de escala son:

hx =1,

hy =1,

hz =1.

(3.9)


Y la ecuacion de Helmholtz es:

∂2E

∂x2+∂2E

∂y2+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (3.10)

Este sistema es descrito por tres planos perpendiculares entre sı, en la Figura 3.2

tenemos: a) sı tomamos x constante, tenemos el plano yz que se mueve a lo largo del eje x, b)

para y constante el plano xz que se mueve a lo largo del eje y y c) para z constante el plano

xy plane que se mueve a lo largo del eje z. La interseccion de los tres planos la presentamos

en la Figura 3.3. Para este sistema es bastante claro que las tres superficies coordenadas se

intersectan en un solo punto para cualquier valor de las variables coordenadas.

(a) (b) (c)

Figura 3.2: Superficies de las coordenadas rectangulares, a) x constante, b) y constante and

c) z constante


Figura 3.3: Sistema de coordenadas rectangulares

Coordenadas Cilındricas Circulares

Este sistema de coordenadas es tambien de los mas conocidos y utilizados. Es apropiado

para el estudio de ondas electromagneticas en una guıa de onda cilındrica, modos de vibracion

de membranas circulares delgadas, modos transversales electromagneticos en guıas opticas,

solo por mencionar algunas aplicaciones. La transformacion de coordenadas cilındricas

circulares (ρ, ϕ, z) a rectangulares (x, y, z) es definida por las siguientes ecuaciones

x = ρ cosϕ,

y = ρ sinϕ,

z = z.

(3.11)

Donde ρ ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, 2π] y z ∈ (−∞,∞). Las magnitudes de la variable ρ y z estan

dadas en unidades de longitud y ϕ en unidades angulares. Los correspondientes factores de

escala son:


hρ = 1,

hϕ = ρ,

hz = 1.

(3.12)

La ecuacion de Helmholtz para este sistema de coordenadas es

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂E

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2E

∂ϕ2+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (3.13)

Este sistema es descrito por las superficies mostradas en la Figura 3.4: a) para ρ

constante, cilindros circulares teniendo como eje comun al eje z, su radio crece de acuerdo

a el valor de ρ; b) para ϕ constante, tenemos semiplanos rectangulares verticales iniciando

en el eje z, estos giran alrededor de este eje de acuerdo al valor del angulo ϕ, y c) para z

constante, planos perpendicular al eje z y centro en este mismo eje, tiene frontera circular y

se posicion depende del valor de z. La interseccion de estos tres planos podemos observarla

en la Figura 3.5.

(a) (b) (c)

Figura 3.4: Superficies de las coordenadas cilındricas circulares, a) ρ constante, b) ϕ constante

and c) z constante


Figura 3.5: Sistema de coordenadas cilındricas circulares

Coordenadas Cilındricas Elıpticas

Si la condicion de frontera en un problema fısico se puede relacionar geometricamente

con el perımetro de una elipse, por ejemplo en el analisis de los modos de vibracion de una

membrana elıptica, los modos de propagacion en una fibra optica elıptica, y las oscilaciones

de agua en un lago de forma elıptica [32], el uso de las coordenadas elıpticas es conveniente.

La transformacion de coordenadas cilındricas elıpticas (ξ, η, z) a rectangulares es definida

por las siguientes ecuaciones [14, 8]

x = d cosh ξ cos η,

y = d sinh ξ sin η,

z = z.

(3.14)

Donde ξ ∈ [0,∞), η ∈ [0, 2π], z ∈ (−∞,∞) y d es la longitud semi-focal de la elipse en

unidades de longitud y contiene informacion de su excentricidad, ξ y η son adimensionales

las unidades estan establecidas por d, z tambien esta dada en unidades de longitud.


Los correspondientes factores de escala son:

hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,

hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,

hz = 1.

(3.15)

La ecuacion de Helmholtz en este sistema de coordenadas es

1

d2(sinh2 ξ + sin2 η)

(∂2E

∂ξ2+∂2E

∂η2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (3.16)

En la Figura 3.6 mostramos las superficies que describen este sistema: a) para ξ

constante, tenemos un cilindro elıptico confocal centrado en el origen, cuyo eje se encuentra

sobre el eje z, cuando ξ = 0 el cilindro colapsa a un plano de longitud 2d; b) para η constante,

tenemos la cuarta parte de un cilindro hiperbolico, cuando η = 0 es un plano que inicia en

el foco positivo d, al incrementar su valor adquiere la forma hiperbolica moviendose hacia

la parte negativa del eje y, con un desplazamiento similar al de la coordenada acimutal

en las coordenadas cilındricas circulares, pero esta a la vez que gira toma la forma del

cilindro hiperbolico, su centro es en la lınea que une los puntos focales, continua la rotacion

hasta ser un plano nuevamente cuando η = π/2, pero ahora iniciando en el origen de lado

negativo del eje y, continuando con el incremento en sus valores, adquiere nuevamente la

forma hiperbolica, moviendose de la parte negativa del eje y a la parte negativa del eje x,

hasta formar un plano que inicia en el foco ubicado en la parte negativa del eje x, cuando

η = π.

(a) (b) (c)

Figura 3.6: Superficies de las coordenadas cilındricas elıpticas, a) ξ constante, b) η constante

and c) z constante


Figura 3.7: Sistema de coordenadas cilındricas elıpticas

Para el resto de los valores, la superficies tienen forma hiperbolica nuevamente, pero

ahora de la parte negativa del eje x a la parte positiva del eje y el cual vuelve a ser un plano

cuando η = 3π/2, continua su rotacion sobre el eje y positivo hacia la parte positiva del eje

x, una vez que termina el ciclo es otra vez un plano cuando η = 2π. Finalmente en c) para z

constante, tenemos planos perpendiculares al eje z, que se mueven a lo largo de ese mismo

eje, pero el contorno del plano es elıptico.

En la Figura 3.7, podemos observar la interseccion de las tres superficies, resaltando la

interseccion en un solo punto de las tres superficies.


Coordenadas Cilındricas Parabolicas

Este sistema es adecuado para el estudio del campo electrico alrededor de un placa

conductora semi-infinita. La transformacion de coordenadas cilındricas elıpticas (µ, ν, z) a

rectangulares es definido por las siguientes ecuaciones

x = µν,

y =1

2(µ2 − ν2),

z = z.

(3.17)

Donde µ ∈ [0,∞), ν ∈ (−∞,∞) y z ∈ (−∞,∞). Las unidades de µ y ν son en raız cuadrada

de unidades de longitud y z es en unidades de longitud.

Los factores de escala correspondientes son:

hµ = (µ2 + ν2)1/2,

hν = (µ2 + ν2)1/2,

hz = 1.

(3.18)

La ecuacion de Helmholtz para este sistema es.

1

µ2 + ν2

(∂2E

∂µ2+∂2E

∂ν2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (3.19)

Ahora en la Figura 3.8 mostramos las superficies correspondientes a este sistema

coordenado: a) para µ constante cilindros parabolicos con foco en el eje z, cuando µ = 0

tenemos medios planos iniciando el eje z hacia la parte positiva del eje x, es decir, la longitud

del lado recto de la parabola es cero, y al incrementar el valor de µ el medio plano toma la

forma de cilindro parabolico, al mismo tiempo que aumenta la distancia focal y la longitud

del lado recto pero el foco permanece fijo.


(a) (b) (c)

Figura 3.8: Superficies de la coordenadas cilındricas parabolicas, a) µ constante, b) ν

constante y c) z constante

Figura 3.9: Sistema de coordenadas cilındricas parabolicas


En b) para ν constante tenemos medio cilindro parabolico con apertura hacia la parte

negativa del eje x, con foco en el eje z, cuando ν = 0 es un medio plano saliendo del foco

hacia la parte negativa del eje x, y para ν > 0 es un medio cilindro parabolico hacia la parte

negativa del eje x, localizado en el lado negativo del eje y, y al aumentar su valor incrementa

su distancia focal ası como la longitud del lado recto, pero manteniendo fijo su foco, y cuando

ν < 0 similarmente tenemos media parabola, solo que ahora, localizada en el lado positivo

del eje y; y c) para z constante planos perpendiculares al eje z, y se mueve a lo largo del eje

z, con un contorno similar a la interseccion de dos parabolas.

En la Figura 3.9 podemos ver la intersection de las tres superficies, al igual que en el resto de

los sistemas resaltamos el unico punto de interseccion de las tres superficies para cualquier

valor de ellas.

3.3. Coordenadas Rotacionales

Estos sistemas de coordenadas tienen en comun las superficies con simetrıa de rotacion

sobre el eje z, adicionalmente, tienen en comun una superficie que es un semi-plano que rota

alrededor del eje z. A pesar de que el sistema de coordenadas cilındricas circulares comparte

algunas caracterısticas con esta clasificacion, es mas afın con la clasificacion de coordenadas

cilındricas.

Coordenadas Esfericas

Este sistema de coordenadas es junto con los sistemas rectangulares y cilındricos

circulares los mas conocidos. Este sistema es ampliamente utilizado en problemas donde

se tiene simetrıa respecto a un punto, por ejemplo, las fuentes puntuales. La transformacion

de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) a coordenadas rectangulares esta definida por las siguientes

relaciones

x = r sin θ cosϕ,

y = r sin θ sinϕ,

z = r cos θ.

(3.20)

3.3. Coordenadas Rotacionales 25

Donde r ∈ [0,∞) es la coordenada radial, θ ∈ [0, π] es la coordenada polar y ϕ ∈ [0, 2π]

es la coordenada acimutal. r esta dado en unidades de longitud, θ y ϕ son adimensionales,

son angulos. Los correspondientes factores de escala son:

hr = 1,

hθ = r,

hϕ = r sin θ.

(3.21)

La ecuacion de Helmholtz para este sistema es

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂

(sin θ

∂E

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2E

∂ϕ+ k2E = 0. (3.22)

En la Figura 3.10 mostramos las superficies que describen este sistema: a) para r

constante tenemos esferas centradas en el origen, inicia siendo un punto cuando r = 0 e

incrementa su tamano de acuerdo con el valor de r; b) para θ constante tenemos conos de

revolucion con vertice en el origen, con eje en el eje z, cuando θ = 0 tenemos una lınea sobre

la parte positiva del eje z, al incrementar θ el valor del radio del cono comienza a incrementar,

en otras palabras, el cono se abre, hasta formar un plano en el origen perpendicular al eje

z cuando θ = π/2, al continuar incrementando el valor de θ, el radio del cono decrece, es

decir, el cono se cierra, pero ahora hacia la parte negativa del eje z, hasta convertirse en

una lınea sobre la parte negativa del eje z cuando θ = π; y en c) para ϕ constante, tenemos

medios planos verticales saliendo del eje z, girando sobre el eje z en direccion opuesta a

las manecillas del reloj, de acuerdo al valor del angulo ϕ, el contorno de este semiplano es

circular. La interseccion de las tres superficies la presentamos en la Figura 3.11, un error

que ocurre al representar las superficies de este sistema coordenado es mostrar dos conos al

mismo tiempo, asignando dos valores a θ simultaneamente, y en realidad solo debe estar un

cono que se abre y se cierra desde la parte positiva del eje z hasta la parte negativa de este

mismo eje.


(a) (b) (c)

Figura 3.10: Superficies de las coordenadas esfericas, a) r constante, b) θ constante y c) ϕ

constante

Figura 3.11: Sistema de coordenadas esfericas


Coordenadas Esferoidales Prolatas

Este sistema tridimensional es generado por la rotacion de una elipse bidimensional

alrededor de su eje mayor. Las coordenadas esferoidales prolatas son bastante importantes

en fısica, principalmente por su utilidad en el tratamiento de problemas denominados ((dos-

centros)). Por ejemplo estos ((dos-centros)) podrıan corresponder a los dos puntos focales de

un elipsoide e hiperboloide de revolucion [14]. Para transformar de coordenadas esferoidales

alargadas (ξ, η, ϕ) a coordenadas rectangulares (x, y, z), tomando como eje de simetrıa el eje

z, tenemos las siguientes relaciones

x = d sinh ξ sin η cosϕ,

y = d sinh ξ sin η sinϕ,

z = d cosh ξ cos η.

(3.23)

Donde, de manera equivalente al sistema esferico ξ ∈ [0,∞) es la variable radial,

η ∈ [0, π] es la variable polar y ϕ ∈ [0, 2π) es la variable acimutal, d es la mitad de la

distancia entre los puntos focales del sistema coincidiendo exactamente en el origen. Estas

tres variables son adimensionales, las dimensiones son proporcionada por la constante d y

esta en unidades de longitud. Los correspondientes factores de escala son:

hξ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2,

hη = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2,

hϕ = d sinh ξ sin η.

(3.24)

Para este sistema, la ecuacion de Helmholtz resulta

1

sinh ξ

∂

∂ξ

[sinh ξ

∂

∂ξE

]+

1

sin η

∂

∂η

[sin η

∂

∂ηE

]+

(sinh2 ξ + sin2 η

sinh2 ξ sin2 η

)∂2E

∂ϕ2+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E = 0. (3.25)

Sin embargo tenemos otra manera de representar las coordenadas esferoidales alargadas,

esto es, haciendo el cambio de variable, ξ ⇒ cosh ξ y η ⇒ cos η , resulta.

x = d(ξ2 − 1)1/2(1− η2)1/2 cosϕ,

y = d(ξ2 − 1)1/2(1− η2)1/2 sinϕ,

z = dξη.

(3.26)


Con estos nuevos valores: ξ ∈ [1,∞), η ∈ (−1, 1) y ϕ ∈ [0, 2π). Las superficies

permanecen sin cambios.

Los correspondientes factores de escala para esta representacion son:

hξ = d

(ξ2 − η2

ξ2 − 1

)1/2

,

hη = d

(ξ2 − η2

1− η2

)1/2

,

hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)

]1/2.

(3.27)

Resultando ahora ası, la ecuacion de Helmholtz

∂

∂ξ

[(ξ2 − 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0.

(3.28)

Este sistema, es descrito por las siguientes superficies que podemos observar en la Figura

3.12: a) Para ξ constante, un esferoide con eje mayor a lo largo del eje z, recordemos que este

esferoide es un elipsoide de revolucion, cuando ξ = 0 es una lınea que conecta los dos puntos

focales, de acuerdo al incremento en los valores de ξ, la superficie toma la forma del esferoide

y crece de acuerdo a estos valores, pero permanecen fijos los puntos focales; en b) para η

constante, tenemos un cono hiperbolico de revolucion, cuando η = 0 solo es una lınea en la

parte positiva del eje z iniciando en el foco, al incrementar su valor el cono hiperbolico se

forma y se va abriendo cada vez mas a la vez que se desplaza hacia el origen hasta formar un

plano en este punto perpendicular el eje z cuando η = π/2, al continuar con incrementando

su valor, este toma nuevamente la forma de cono hiperbolico, pero ahora en la parte negativa

del eje z, se va cerrando hasta hacerlo completamente, formando una lınea en el negativo eje

z, iniciando en z = −d cuando η = π; y finalmente c) para ϕ constante, tenemos un medio

plano a traves del eje z-axis, girando sobre este eje de acuerdo al valor del angulo ϕ. En la

Figura 3.13 podemos ver las tres superficies simultaneamente, resaltando el unico punto de

interseccion.

Es importante mencionar que si suponemos un caso extremo, donde la distancia interfocal

se va colapsando y ambos focos se reducen a uno solo, la simetrıa cambiara de esferoidal a

esferica, es decir, tendremos el sistema de coordenadas esfericas.


(a) (b) (c)

Figura 3.12: Superficies de las coordenadas esferoidales prolatas. a)ξ constante, b) η constante

y c) ϕ constante

Figura 3.13: Sistema de coordenadas esferoidales prolatas


Coordenadas Esferoidales Oblatas

Para este sistema, cuando la elipse bidimensional es rotada alrededor de su eje menor,

generamos este sistema de coordenadas. Este sistema de coordenadas ha sido ampliamente

utilizado para describir el campo de fuerza gravitacional terrestre. La transformacion de

coordenadas esferoidales achatadas (ξ, η, ϕ) a coordenadas rectangulares, tomando como eje

de simetrıa el eje z, son llevadas de acuerdo a las siguientes ecuaciones

x = d cosh ξ cos η cosϕ,

y = d cosh ξ cos η sinϕ,

z = d sinh ξ sin η.

(3.29)

Donde, el dominio de las variables es igual al de las coordenadas esferoidales prolatas

ξ ∈ [0,∞), η ∈ [−π/2, π/2], y ϕ ∈ [0, 2π) y d es la mitad de la distancia entre los

puntos focales. Nuevamente las tres variables tambien son adimensionales, las unidades las

proporciona d, y esta dada en unidades de longitud.

Los correspondientes factores de escala son:

hξ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2,

hη = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2,

hϕ = d cosh ξ sin η.

(3.30)

Y la ecuacion de Helmholtz para este sistema es

1

cosh ξ

∂

∂ξ

[cosh ξ

∂E

∂ξ

]+

1

sin η

∂

∂η

[sin η

∂E

∂η

]+

(cosh2 ξ − sin2 η)

cosh2 ξ sin2 η

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(cosh2 ξ − sin2 η)E = 0 (3.31)

Este sistema de coordenadas tambien tiene otra representacion, cambiando las variables

ξ ⇒ sinh ξ y η ⇒ sin η, tenemos las siguientes relaciones.

x = d(ξ2 + 1)1/2(1− η2)1/2 cosϕ,

y = d(ξ2 + 1)1/2(1− η2)1/2 sinϕ,

z = dξη.

(3.32)

Los nuevos valores son: ξ ∈ [0,∞), η ∈ (−1, 1) y ϕ ∈ [0, 2π. Las superficies no cambian.

Para estos tenemos los siguientes factores de escala


hξ = d

(ξ2 + η2

ξ2 + 1

)1/2

,

hη = d

(ξ2 + η2

1− η2

)1/2

,

hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)

]1/2.

(3.33)

Y la ecuacion de Helmholtz ahora es

∂

∂ξ

[(ξ2 + 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0.

(3.34)

En la Figura 3.14, podemos apreciar las superficies correspondientes a este sistema co-

ordenado que describimos a continuacion: a) Para ξ constante esferoides achatados, cuando

ξ = 0 tenemos un disco de radio d en el origen perpendicular al eje z, al incrementar el valor

de ξ, el disco toma la forma del esferoide achatado e incrementa su tamano de acuerdo al

valor de ξ, pero el punto focal permanece constante para cualquier tamano del esferoide. b)

Para η constante, medio hiperboloide de una hoja, con eje a lo largo del eje z, cuando η = 1,

es decir su maximo valor, tenemos una lınea en la parte positiva del eje z, al decrementar su

valor, este toma la forma de medio hiperboloide pero va reduciendo su longitud del eje menor

hasta ser cero cuando η = 0, en otras palabras, se forma un plano con un orificio circular

de radio d, continuando con la disminucion del valor de η, toma nuevamente la forma del

medio hiperboloide, solo que ahora en la parte negativa del eje z, y la longitud del eje menor

comienza a incrementarse hasta infinito cuando η = −1, es decir, hasta que es una lınea en

z negativa. Y c) para ϕ constante medios planos a traves del eje z, girando en z de acuerdo

al valor del angulo ϕ.

La figura 3.15 muestra la interseccion de estas tres superficies.


(a) (b) (c)

Figura 3.14: Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas. a) ξ constante b) η constante

y c) ϕ constante

Figura 3.15: Sistema de coordenadas esferoidales oblatas


(a) (b) (c)

Figura 3.16: Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas. a) ξ constante b) η constante

y c) ϕ constante

Figura 3.17: Sistema de coordenadas esferoidales oblatas


Existe un dominio alternativo para este sistema coordenado, en el cual, la ecuacion de

Helmholtz es invariante a estos cambios, esto dependera de la aplicacion fısica que se le de,

siempre y cuando se siga abarcando en su totalidad el espacio, por ejemplo para los haces

noparaxiales exactos [33].

En este caso tenemos −∞ < ξ < ∞, 0 ≤ η ≤ 1 y 0 ≤ ϕ < 2π. Las superficies ahora

son presentadas en la Figura 3.16: a) para ξ constante medio esferoide achatado, para ξ = 0

tenemos un disco de radio d en el origen perpendicular al eje z, sı ξ 6= 0 tenemos medio

esferoide para ξ > 0 hacia la parte positiva del eje z y para ξ < 0 hacia la parte negativa del

eje z. b) Para η constante, un hiperboloide completo de una hoja, con eje en el eje z, cuando

η = 0 es un plano con un orificio circular de radio d, cuando 0 < η < 1 tiene la forma del

hiperboloide e incrementa la longitud del eje menor conforme aumenta el valor de η hasta

ser infinito cuando η = 1, es decir, es una lınea sobre todo el eje z. Y en c) para ϕ constante

medios planos a traves de z-axis girando en el eje z de acuerdo al valor del angulo ϕ, esta

superficie no cambia a la anterior con los rango cambiados.

La Figura 3.17 muestra la interseccion de las tres superficies con estos dominios

alternativos, que a pesar de modificar los dominios, en realidad solo se alternaron sus

dominios, lo indispensable es mantener la cobertura de todo el espacio y sobre todo respetar

la interseccion de las tres superficies en un unico punto.

Coordenadas Parabolicas

Este sistema es generado por la rotacion de dos parabolas bidimensionales alrededor

sobre el eje z. Una aplicacion de las coordenadas parabolicas es en el analisis del efecto Stark

[14]. Las ecuaciones de transformacion de coordenadas parabolicas (µ, ν, ϕ) a rectangulares

(x, y, z) son

x = µν cosϕ,

y = µν sinϕ,

z =1

2(µ2 − ν2).

(3.35)

Donde µ ∈ [0,∞), ν ∈ [0,∞] y ϕ ∈ (0, 2π). µ y ν estan dadas en raız cuadrada de


unidades de longitud y ϕ en unidades angulares. Los correspondientes factores de escala son:

hµ = (µ2 + ν2)1/2,

hν = (µ2 + ν2)1/2,

hϕ = µν.

(3.36)

La ecuacion de Helmholtz para este sistema es

1

µ(µ2 + ν2)

∂

∂µ

(µ∂E

∂µ

)+

1

ν(µ2 + ν2)

∂

∂ν

(ν∂E

∂ν

)+

1

µ2ν2

∂2E

∂ϕ2+ k2E = 0. (3.37)

Ahora en la Figura 3.18 podemos ver las superficies que describen este sistema de

coordenadas: a) Para ν constante paraboloides de revolucion que se extienden hacia la parte

positiva del eje z, con foco en el origen, cuando ν = 0 tenemos una lınea en z positiva y al

incrementar el valor de ν incrementa la longitud focal, pero el foco permanece fijo, es decir,

la parabola se va abriendo a la vez que se mueve hacia el lado negativo del eje z. b) Para

µ constante, paraboloides de revolucion que se extienden en la direccion negativa del eje z,

con foco en el origen, cuando µ = 0 tenemos una lınea en la parte negativa del eje z, al

incrementar el valor de µ incrementa la distancia focal, pero el foco permanece fijo, en otras

palabras, la parabola se va abriendo a la vez que se mueve hacia la parte positiva del eje z. Y

c) para ϕ constante tenemos medios planos a traves del eje z, el cual gira alrededor de este

mismo eje, de acuerdo al valor del angulo ϕ, este semiplano que inicia en el eje z presenta

un contorno similar a la interseccion de dos medias parabolas, la parte positiva la media

parabola negativa, y en la parte negativa del plano limitado con media parabola positiva.

En la Figura 3.19 presentamos la interseccion de las tres superficies, se puede apreciar sobre

las lıneas de contorno de las parabolas como el semiplano rota sobre el eje z y la interseccion

permanece para un solo punto.


(a) (b) (c)

Figura 3.18: Superficies de las coordenadas parabolicas. a) ν constante, b) µ constante y c)ϕ

constante

Figura 3.19: Sistema de coordenadas parabolicas

3.4. Coordenadas Elipticoidales 37

3.4. Coordenadas Elipticoidales

Estos sistemas tienen en comun que la superficie equivalente a la coordenada acimutal,

se mueve a lo largo de trayectorias elıpticas o trayectorias elipticoidales, y en este sentido,

a este grupo de sistemas de coordenadas nosotros lo denominamos elipticoidales. Tambien

estos sistemas son llamados generales debido a que los otros sistemas pueden ser considerados

casos particulares de estos, por ejemplo de las coordenadas paraboloidales puede obtenerse

los parabolicas, de las conicas las esfericas, y todas pueden ser deducidas de las coordenadas

elipsoidales [30].

Coordenadas Conicas

Este sistema de coordenadas tambien es llamado coordenadas esfero-conicas [34, 35, 36],

es usado en el estudio del scattering de ondas electromagneticas por conos elıpticos

conductores, para describir las eigen-funciones del momento angular de un rotor asimetrico,

por mencionar algunas aplicaciones. En los trabajos referentes a este sistema de coordenadas

es comun encontrar graficas erroneas donde se presentan multiples puntos de interseccion

simultaneos entre las superficies coordenadas como el mostrado en la Figura 3.1.

Las ecuaciones de transformacion de las coordenadas conicas (r,θe,ϕe) a rectangulares (x, y, z)

son

x2 =

(rθeϕeab

)2

,

y2 =r2(θ2

e − a2)(ϕ2e − a2)

a2(a2 − b2),

z2 =r2(θ2

e − b2)(ϕ2e − b2)

b2(b2 − a2).

(3.38)

Donde (0 ≤ r < ∞), a y b son parametros que satisfacen las condiciones

b2 > θ2e > a2 > ϕ2

e ≥ 0. r, θe y ϕe esta dada en unidades de longitud. Los correspondientes

factores de escala son:


h1 =1,

h2 =r

√θ2e − ϕ2

e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e),

h3 =r

√θ2e − ϕ2

e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(3.39)

La ecuacion de Helmholtz es este sistema es

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

√(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

r2(θe − ϕ2e)

∂

∂θe

(√(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)∂E

∂θe

)+

√(b2 − ϕ2

e)(c2 − ϕ2

e)

r2(θe − ϕ2e)

∂

∂ϕe

(√(b2 − ϕ2

e)(c2 − ϕ2

e)∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0. (3.40)

Este sistema de coordenadas tambien puede ser representado mediante funciones

elıpticas jacobianas, sin embargo, nosotros nos enfocaremos a la forma algebraica de su

representacion.

Si observamos detenidamente, este sistema es similar al sistema de coordenadas esferi-

cas. Es importante resaltar que un apropiado uso de signos, nos permite obtener graficas

precisas de las superficies que describen este sistema coordenado, esto, debido a que tenemos

en la funciones dos raıces cuadradas, por lo tanto se tienen cuatro posibles combinaciones

para cada superficie.

El sistema de coordenadas conicas es descrito por las siguientes superficies, y de esta

manera lo podemos ver en la Figura 3.20: a) Para r constante, esferas centradas en el origen,

de radio r que incrementa el tamano de acuerdo al valor de r, la esfera es construida con las

cuatro combinaciones de los signos.

En b) para θe constante, cono de seccion cruzada elıptica, con vertice en el origen y eje a

lo largo del eje z, pero unicamente es posible apreciar un cono a la vez, el cual es construido

graficando a la vez un par de combinaciones, cuando θe ' a tenemos un cono totalmente

aplanado ubicado en la parte positiva del eje z, al incrementar su valor toma la forma del


cono elıptico, y este se va abriendo cada vez mas, de tal manera que cuando θe ' b tenemos

un plano en z = 0 perpendicular al eje z, ahora tomando el otro par de combinaciones de

signos de las raıces, y θe ' −b es un plano similar al de b, ahora cuando sus valores se estan

aproximado a −a el cono comienza a cerrarse pero en esta ocasion hacia la parte negativa del

eje z hasta que cuando θe ' −a se forma el cono totalmente aplanado en la parte negativa

del eje z.

Finalmente en c) para ϕe constante, medios conos de seccion transversal elıptica con

vertice en el origen y ejes a lo largo del eje x, si graficaramos todas las posibles combinaciones

de signos a la vez, tendrıamos dos conos completos al mismo tiempo, lo que ocasionarıa mas

de un punto de interseccion a la vez, lo apropiado es tener solo medio cono.

Para ello consideramos la siguiente combinacion de los signos de las raıces: primera positiva

y segunda negativa, de esta manera cuando ϕe ' a tenemos un cono totalmente aplanado

centrado en el eje x positivo y conforme disminuye el valor adquiere la forma del medio cono,

y podemos ver como gira sobre el eje z, y cuando ϕe = 0 es un semiplano perpendicular al

eje x en la parte negativa del eje y, continuando con el decremento retoma nuevamente la

forma del medio cono elıptico, solo que ahora en parte negativa del eje x hasta forma el

medio plano conico cuando ϕe ' −a, ahora para la siguiente parte consideramos la com-

binacion negativa-positiva, y cuando ϕe incrementa el valor con respecto a −a se forma el

medio cono elıptico, pero en esta ocasion , girando en la parte positiva del eje y hasta forma

el semiplano perpendicular al eje x ubicado en el lado positivo del eje y cuando ϕe = 0 y al

continuar con los incrementos adquiere nuevamente la forma del medio cono elıptico, hasta

que es totalmente aplanado cuando ϕe ' a.

Esta variable es equivalente a la coordenada acimutal en las coordenadas esfericas, solo que

en este sistema tiene trayectoria elipticoidal debido a la forma elıpticas que adquiere la su-

perficie a la vez que va girando sobre el eje z.

En la Figura 3.21 podemos observar las tres superficies del sistema de coordenadas

conicas y resaltando el unico punto de interseccion, al igual que las lıneas en cada superficie

muestra las formas elıpticas que adquieren para los diferentes valores de las variables

coordenadas.


(a) (b) (c)

Figura 3.20: Superficies de las coordenadas conicas. a) r constante , b) θe constante y c) ϕeconstante

Figura 3.21: Sistema de coordenadas conicas


Coordenadas Paraboloidales

Este sistema puede ser aplicado al estudio de la distribucion de campos de reflectores

y lentes paraboloidales. Las ecuaciones de transformacion de coordenadas paraboloidales

(µe,νe,ϕe) a rectangulares son

x2 =(µe − c)(c− νe)(c− ϕe)

(c− b),

y2 =(µe − b)(b− νe)(ϕe − b)

(c− b),

z = µe + νe + ϕe − b− c.

(3.41)

Donde∞ > µe > c > ϕe > b > νe, ademas, b y c son los parametros de los paraboloides

y los hiperboloides. Todas las variables y parametros son dados en unidades de longitud. Los

correspondientes factores de escala son

hµe =

√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − c)(µe − b)

,

hνe =

√(µe − νe)(ϕe − νe)

(c− νe)(b− νe),

hϕe =

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕ− be)

.

(3.42)

La ecuacion de Helmholtz en este sistema es:

f(µe)

(µe − νe)(µe − ϕe)∂

∂µe

(f(µe)

∂E

∂µe

)+

f(νe)

(µe − νe)(ϕe − νe)∂

∂νe

(f(νe)

∂E

∂νe

)+

f(ϕe)

(µe − ϕe)(ϕe − νe)∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0, (3.43)

donde

f(µe) =√

(µe − c)(µe − b),

f(νe) =√


f(ϕe) =√

(c− ϕe)(ϕe − b).

(3.44)


Este sistema es similar al de las coordenadas parabolicas. En la Figura 3.22 podemos

apreciar las superficies que describen este sistema de coordenadas: a) para νe constante,

paraboloides confocales de seccion transversal elıptica abriendo hacia arriba, cuando νe ' c

tenemos un semiplano parabolico paralelo al plano yz en la parte positiva del eje z cuyo valor

mas pequeno esta en z = b conforme disminuye su valor νe, el semiplano adquiere volumen

y toma la forma del paraboloide ensanchandose cada vez mas a la vez que se desplaza hacia

la parte negativa del eje z. En b) Para µe constante tenemos un paraboloide con seccion

transversal elıptica abriendo hacia abajo, cuando µe ' c tenemos un semiplano con forma

parabolica paralelo al plano xz cuyo valor maximo esta en z y vale c, al incrementar el valor

de µe se forma el paraboloide, es decir, el plano en realidad es un paraboloide totalmente

aplanado y al incrementar el valor de µe adquiere volumen, y a la vez que se va ensanchando

se mueve hacia la parte positiva del eje z de acuerdo al incremento de µe Y c) para ϕeconstante tenemos un cuarto de hiperboloide-paraboloide, en este caso, podemos considerar

cuatro combinaciones para los signos de las raıces de las ecuaciones de conversion de tal

manera que se mantenga siempre un solo punto de interseccion de las tres superficies, para

positivo-positivo y ϕe ' b tenemos un semiplano iniciando en el eje z hacia la parte positiva

del eje x paralelo al plano xz delimitado por una parabola con apertura hacia arriba tanto en

la parte superior como en la inferior y en el lado derecho por una parabola con apertura hacia

abajo, los valores del plano en el eje z para x = 0 van de 0 a b, al incrementar el valor de νe la

superficie adquiere volumen con la forma de un cuarto de hiperboloide-paraboloide girando en

el sentido contrario de las manecillas del reloj, del eje x positivo hacia el eje y negativo hasta

que ϕe ' c que vuelve a ser un plano, pero en la parte negativa del eje y paralelo al plano yz

limitada en la parte superior e inferior por una parabola con apertura hacia abajo, saliendo

del eje z y su manor valor en z es c, el otro extremo es limitado por una seccion parabolica

con apertura hacia arriba; ahora tomando la combinacion positiva-negativa, tenemos que las

formas y movimientos de la superficie son similares a las de la combinacion anterior, pero

inicia con la superficie final de la combinacion anterior, es decir, el plano yz para ϕe ' c

moviendose de y negativo hacia x negativo, terminando con el semiplano xz para ϕe ' b;

para la combinacion negativo-negativo, comenzamos con el semiplano xz para ϕe ' b y

finalmente la combinacion positivo-negativo comenzamos con el semiplano yz para ν ' c y

terminamos con el semiplano xz para ϕe ' b. Todos esto se observa como una rotacion sobre

el eje z con trayectoria elipticoidal.

Ahora en la Figura 3.23 mostramos la interseccion de estas tres superficies, en las lıneas

de contorno de las superficies es posible apreciar las trayectorias y formas para diferentes

valores de las variables coordenadas.


(a) (b) (c)

Figura 3.22: Superficies de las coordenadas paraboloidales. a) νe constante, b) µe constante

and c) ϕe constante

Figura 3.23: Sistema de coordenadas paraboloidales


Coordenadas elipsoidales

Este es el sistema de coordenadas mas general, los otros diez sistemas de coordenadas

pueden ser considerados casos especiales de este sistema de coordenadas [8]. Este sistema se

utiliza en el estudio de, entre otros, de los problemas de dispersion electromagnetica y escalar

causados por un elipsoide, y la difraccion por una placa elıptica o traves de una abertura

elıptica.

Las ecuaciones de transformacion de coordenadas elipsoidales (ξe,ηe,ϕe) a coordenadas

rectangulares, es definido por lo siguientes ecuaciones [9]

x2 =

(ηeξeϕebc

)2

,

y2 =(ξ2e − b2)(η2

e − b2)(b2 − ϕ2e)

b2(c2 − b2),

z2 =(ξ2e − c2)(c2 − ηe)(c2 − ϕe)

c2(c2 − b2).

(3.45)

Sujeta a ξ2e > c2 > η2

e > b2ϕe ≥ 0. Todas las variables y parametros de este sistema

estan dados en unidades de longitud.

Los factores de escala son:

hξe =

√(ξ2e − η2

e)(ξ2 − ϕ2

e)

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2),

hηe =

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

(η2e − b2)(c2 − η2

e),

hϕe =

√(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(3.46)

La ecuacion de Helmholtz en este sistema es

f(ξe)

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

∂

∂ξe

(f(ξe)

∂E

∂ξe

)+

f(ηe)

(ξ2e − η2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ηe

(f(ηe)

∂E

∂ηe

)+

f(ϕe)

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0, (3.47)


donde

f(ξe) =√

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2),

f(ηe) =√

(η2e − b2)(c2 − η2

e),

f(ϕe) =√

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(3.48)

Este sistema es descrito por las siguientes superficies que presentamos en la Figura

3.24: a) Para ξe constante, elipsoides con focos en el eje x, cuando ξ2e ' c2 tenemos un disco

elıptico en z = 0 con eje mayor igual a 2c y longitud focal b, al incrementar el valor de ξe el

disco adquiere volumen tomando la forma elipsoidal y crece de acuerdo al valor de ξe, pero

sus puntos focales permanecen fijos.

b) Para ηe constante, medio hiperboloide de una hoja pero de seccion transversal elıptico,

cuando ηe ' b tenemos el medio hiperboloide totalmente aplanado en eje z positivo paralelo

al plano xz y al incrementar el valor de ηe el hiperboloide adquiere volumen aumentando

su apertura, hasta ser un plano en el origen perpendicular al eje z el cual tiene un orificio

elıptico con eje mayor igual a 2c, cuando ηe ' c; ahora continuando con los valores negativos

del rango η ' −c y al aumentar el valor de ηe con respecto a −c se forma la otra mitad del

hiperboloide hasta aplanarse totalmente cuando ηe ' −b. Finalmente en c) para ϕe constante,

tenemos un cuarto de hiperboloide de 2 hojas de seccion transversal elıptica, debido a las

raıces cuadradas en las ecuaciones de conversion, tenemos cuatro posibles combinaciones de

los signos de estas ecuaciones; para la primera combinacion y ϕe ' b tenemos un plano

paralelo al plano xz cuyas frontera forman una parabola, localizado en el eje x positivo, al

disminuir el valor adquiere volumen con la forma del cuarto de hiperboloide y moviendose

de x positivo a y negativo, hasta formar un semiplano saliendo del eje z paralelo al plano yz

cuando ϕe ' 0, para la segunda combinacion comenzamos en ϕe ' 0 y disminuyendo el valor

nuevamente el plano toma la forma del cuarto de hiperboloide a la vez que se mueve de y

negativo a x negativo hasta formar un plano paralelo al plano yz cuando ϕe ' 0 localizado

en la parte negativa del eje x; para la tercera combinacion tendremos el desplazamiento de

el lado negativo del eje x hacia la parte positiva del eje y; y para finalizar con la cuarta

combinacion, el desplazamiento es de la parte positiva del eje y hacia la parte positiva del

eje x; todo este recorrido es similar a la rotacion en sentido contrario a las manecillas del

reloj que se presenta en la coordenada acimutal de las coordenadas esfericas, solo que con

trayectorias elipticoidales.

Ahora en la Figura 3.25 tenemos el conjunto de superficies que forma el sistema

de coordenadas elipsoidales. Es importante recordar que de este sistema de coordenadas

podemos deducir el resto de coordenadas como un caso particular de este.


(a) (b) (c)

Figura 3.24: Superficies de las coordenadas elipsoidales. a) ξe constante, b) ηe constante y c)

ϕe constante

Figura 3.25: Sistema de coordenadas elipsoidales

3.5. Transformacion conformal 47

3.5. Transformacion conformal

La transformacion conformal, es una transformacion en el plano complejo, esta tecnica

es utilizada para hacer transformaciones entre sistemas de coordenadas donde se conservan

la magnitud y sentido del angulo de interseccion entre dos curvas cualesquiera; incluso es

utilizada para generar nuevos sistemas coordenados. Es comun encontrar la relacion de

coordenadas rectangulares a otros sistemas de coordenadas y viceversa, sin embargo, es

poco usado las relaciones entre los sistemas de coordenadas sin pasar por las rectangulares,

por ejemplo la relacion directa entre coordenadas cilındricas circulares con las cilındricas

parabolicas.

Ahora mostraremos las relaciones directas entre los cuatro sistemas de coordenadas que

clasificamos como cilındricos, pero unicamente para su plano caracterıstico, descartando el

elemento en comun de estos sistemas, la coordenada z. En este conjunto de sistemas de

coordenadas la ecuacion de Helmholtz es separable.

3.5.1. Transformaciones conformales 2D

La transformacion conformal se lleva a cabo en el plano complejo, y no es mas que,

encontrar la funcion que permite realizar la transformacion de un plano a otro. Los angulos

siempre se conservan. Se toma una relacion arbitraria entre el plano w y el plano z

z = f(w), (3.49)

donde w = u + iv, z = x + iy y f es una funcion arbitraria que transforma los puntos

del plano z en puntos del plano w. Si la transformacion z = f(w) en w0 retiene la magnitud

y la direccion del angulo de interseccion de dos curvas intersectadas en cualquier w0, la

transformacion es conformal. Otra importante funcion es la transformacion uno a uno, es

decir, biunıvoca. Por lo tanto tambien se puede

w = g(z). (3.50)

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se aplican a esta transformacion [37].

∂x

∂u=∂y

∂v,

∂x

∂v= −∂y

∂u, (3.51)

x = χ1(u, v),

y = χ2(u, v),(3.52)


y el otro camino

u = ζ1(x, y),

v = ζ2(x, y),(3.53)

Con esta herramienta matematica podemos transformar a una funcion real E(x, y) en

una funcion E(u, v) definida en el plano w a traves de un cambio de variables. Sı consideramos

llevar estas transformaciones a funciones que puedan ser utilizadas para la representacion

de la propagacion de ondas, podemos considerar que E(x, y) es una funcion armonica en el

plano z,

∂2E

∂x2+∂2E

∂y2= 0. (3.54)

Ademas sı la transformacion que define el cambio de las de variables w = u(x, y)+ iv(x, y) =

f(z) es analıtica, puede ser demostrado que:

∂2E

∂u2+∂2E

∂v2= 0. (3.55)

Donde E(u, v) es una herramienta armonica en el medio w. Las funciones z = f(w)

y w = g(z) transforman los contornos, ası que podemos aplicar esta propiedad a las

ondas viajeras, es decir, una solucion armonica en un sistema de coordenadas ortogonal

sera invariante para otro sistema coordenado.

A continuacion mostramos la transformacion conformal en ambos sentidos entre los

cuatro sistemas de coordenadas bidimensionales donde la ecuacion de Helmholtz es separable,

de rectangular a circular (polar), de rectangular a elıptica, de rectangular a parabolicas,

despues de circular (polar) a elıptica, de circular a parabolica y finalmente de elıptica a

parabolica.


rectangular � circular

Figura 3.26: a) Coordenadas rectangulares , b) coordenadas circulares

El sistema de coordenadas rectangulares es el sistema de mayor uso, el sistema es

definido por dos lıneas rectas perpendiculares entre sı, para x constante, tenemos lıneas

verticales, donde x ∈ (−∞,∞), para y constante lıneas horizontales, donde y ∈ (−∞,∞).

Adicionalmente este sistema es comunmente empleado como referencia para representar los

otros sistemas coordenados.

El sistema de coordenadas circular (polar) es definido por cırculos para r constante,

donde r ∈ [0,∞), para φ constante, lıneas rectas iniciando en el origen con angulo φ, donde

φ ∈ [0, 2π]

A continuacion obtenemos las ecuaciones de transformacion entre estos dos sistemas

de coordenadas bidimensionales. Dada una funcion compleja, y aplicando operaciones alge-

braicas simples separamos la parte real de la parte imaginaria, y posteriormente aplicamos

condiciones de igualdad.

De coordenadas circulares a rectangulares, es una transformacion de la funcion

exponencial compleja. Haciendo uso de la identidad de Euler, es relativamente simple separar

la parte real de la parte imaginaria.

x+ iy = reiϕ,

x+ iy = r(cosϕ+ i sinϕ),

x+ iy = r cosϕ+ ir sinϕ.

(3.56)


Ahora sabemos que la igualdad anterior se cumple, si y solo si, las partes reales son

iguales y las partes imaginarias tambien, con esto obtenemos las ecuaciones para realizar el

cambio de coordenadas.

x = r cosϕ,

y = r sinϕ.(3.57)

Para transformar de rectangular a circular (polar), empleando el resultado previo,

primero vamos a obtener r en funcion x y de y, para esto, elevamos ambas ecuaciones

al cuadrado y al igualarlas obtenemos,

r2 cosϕ2 + r2 sin2 ϕ = x2 + y2,

r2(cosϕ2 + sin2 ϕ) = x2 + y2,

r =√x2 + y2,

(3.58)

y para ϕ, dividimos y entre x en la ecuacion (3.57) y obtenemos

r sinϕ

r cosϕ= 2

y

x,

tanϕ =y

x,

ϕ = arctan (y

x).

(3.59)

Los resultados para la transformacion de rectangulares a circulares son

r =√x2 + y2,

ϕ = r arctan (y

x).

(3.60)

Con esto tenemos ya la transformacion en ambos sentidos, entre coordenadas

rectangulares y circulares.


rectangular � elıpticas

Figura 3.27: a) Coordenadas rectangulares, b) Coordenadas elıpticas

Las coordenadas elıpticas son definidas por elipses para ξ constante, con una distancia

entre los puntos focales igual a 2h, donde ξ ∈ [0,∞); para η constante, un cuarto de hiperbola,

iniciando como una lınea que sale del punto h en el lado positivo del eje x realiza una rotacion

en sentido contrario de las manecillas del reloj, donde η ∈ [0, 2π]. Sin embargo, es posible

variar los dominios de las variables, mas bien alternar los dominios, pues es imprescindible

cubrir todo el espacio y mantener la interseccion en un solo punto, por ejemplo, sı ξ constante

y ξ ∈ (−∞,∞) tenemos medias elipses, iniciando en la parte negativa del eje y, se va

aplanando hasta formar una lınea que une los dos puntos focales justo cuando ξ = 0,

posteriormente al incrementar el valor de ξ la lınea toma la forma elıptica pero ahora en


la parte positiva del eje y; para η constante, tenemos media hiperbola que comienza en la

parte positiva del eje x inicia como una lınea cuando η = 0 al incrementar su valor se forma

la media hiperbola ensanchandose cada vez mas hasta ser una lınea recta cuando η = π/2

al continuar incrementando vuelve a tomar la forma hiperbolica, solo que ahora en la parte

negativa del eje x, y esta se va cerrando hasta formar una lınea cuando η = π.

Para la transformacion tenemos como base una funcion hiperbolica, la cual nos da las

coordenadas elıpticas, para encontrar la conversion tenemos

x+ iy = cosh(ξ + iη),

= cosh ξ cosh iη + sinh ξ sinh iη,

= cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η.

(3.61)

Esto, haciendo uso de las identidades cosh iη = cos η y sinh iη = i sin η. Conseguimos

de esta manera las ecuaciones de transformacion de coordenadas rectangulares a elıptica. E

igualando las partes reales e imaginarias.

x = cosh ξ cos η,

y = sinh ξ sin η.(3.62)

De rectangular a elıptica realizamos los siguientes calculos

cosh (ξ + iη) = x+ iy,

ξ + iη = acosh(x+ iy),(3.63)

Ahora el acosh de un numero complejo, es otro numero complejo, es decir, una parte

real y una parte imaginaria.

ξ + iη = Re(acosh(x+ iy)) + Im(acosh(x+ iy)). (3.64)

Despues igualando la parte real e imaginaria obtenemos las funciones de transformacion,

ξ = Re[acosh(r + iy)],

η = Im[acosh(x+ iy)].(3.65)


rectangular � parabolicas

Figura 3.28: a) Coordenadas rectangulares, b) coordenadas circulares

Las lıneas que describen las coordenadas parabolicas son: para µ constante, parabolas

horizontales con foco en el origen, con apertura hacia la parte negativa del eje x, donde

µ ∈ (0,∞), para µ = 0 tenemos una lınea en la parte negativa del eje x, es decir, la longitud

del lado recto es cero, al aumentar el valor µ aumenta la longitud del lado recto y la parabola

se desplaza hacia la parte positiva del eje x de tal manera que el punto focal permanece fijo.

Para ν constante tenemos medias parabolas con apertura hacia la parte positiva del eje x,

donde ν ∈ [0,∞), para ν < 0 tenemos media parabola ubicada en la parte negativa del eje

y, esta se va acercando al origen, es decir, la longitud del lado recto disminuye cada vez

mas, hasta que es cero cuando ν = 0 y tenemos una lınea recta en la parte positiva del

eje x, para ν > 0 tenemos la otra mitad de la parabola solo que ahora en la parte positiva

de y aumentando la longitud del lado recto, el foco permanece fijo, esta lınea parece rotar

alrededor del eje y similar a la coordenada angular en las coordenadas polares.

Para obtener las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a coordenadas

rectangulares, consideramos una funcion cuadratica 12w2, por lo tanto, desarrollamos la

siguiente operacion


x+ iy =1

2(µ+ iν)2,

=1

2(µ2 + i2µν − ν2),

=1

2(µ2 − ν2) + iµν.

(3.66)

Demostrando de esta manera

x =1

2(µ2 − ν2),

y = µν.(3.67)

Ahora, para el caso inverso, es decir, de rectangulares a parabolicas, procedemos hacer

lo siguiente: elevamos al cuadrado las igualdades de la ecuacion (3.67) y sumamos, realizando

operaciones tenemos

1

4(µ2 − ν2)2 + (µν)2 = x2 + y2,

1

4µ4 − 2

4µ2ν2 +

1

4ν4 +

4

4µ2ν2 = x2 + y2,

1

4µ4 +

2

4µ2ν2 +

1

4ν4 = x2 + y2,

1

4(µ2 + ν2)2 = x2 + y2,

1

2(µ2 + ν2) =

√x2 + y2

(3.68)

Restamos de ambos lados de la igualdad 12(µ2 − ν2), pero de la ecuacion (3.67) esto es

igual a x , por lo tanto, esto resulta

1

2(µ2 + ν2)− 1

2(µ2 − ν2) =

√x2 + y2 − 1

2(µ2 − ν2)2,

1

2µ2 +

1

2ν2 − 1

2µ2 − 1

2ν2 =

√x2 + y2 − x,

ν2 =√x2 + y2 − x,

ν =

√√x2 + y2 − x,

(3.69)

y ahora de la ecuacion (3.67) podemos obtener µ.


µν = y,

µ =y

ν,

µ =y√√

x2 + y2 − x.

(3.70)

Con esto encontramos las funciones para la conversion de rectangular a parabolicas.

Que en conjunto son los siguientes:

µ =y√√

x2 + y2 − x,

ν =

√√x2 + y2 − x,

(3.71)

circular � elıpticas

Figura 3.29: a) Coordenadas circulares, b) coordenadas elıpticas

Para transformar de elıpticas a circulares, tomamos las funciones complejas de los

resultados previos, donde tenemos separadas las parte real y la parte compleja

r cosϕ+ ir sinϕ = cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η, (3.72)


para satisfacer la identidad en los numeros complejos tenemos

r cosϕ = cosh ξ cos η,

r sinϕ = sinh ξ sin η,(3.73)

para encontrar r elevamos al cuadrado y sumamos las ecuaciones previas, realizamos

las siguientes operaciones

r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ = (cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2,

r2 = cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η,

r =

√cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η,

r =

√1

2(cosh 2ξ + cos 2η).

(3.74)

Para ϕ dividimos entre sı las ecuaciones (3.73), para obtener

r sinϕ

r cosϕ=

sinh ξ sin η

cosh ξ cos η,

tanϕ = tanh ξ tan η,

ϕ = arctan (tanh ξ tan η).

(3.75)

De esta manera las funciones de transformacion son

r =

√1

2(cosh 2ξ + cos 2η),

ϕ = arctan (tanh ξ tan η).

(3.76)

Ahora en el sentido opuesto, para transformar de coordenadas circulares a elıpticas,

iniciamos nuevamente de las funciones complejas de cada sistema, y de esto aplicamos cosh

en ambos lados.

cosh ξ + iη = reiϕ,

ξ + iη = acosh reiϕ.(3.77)

Tal como se menciono anteriormente el resultado del acosh de un numero complejo es

un numero complejo, entonces aplicamos la condicion de igualdad para obtener, para obtener

ξ = Re[acosh(reiϕ)],

η = Im[acosh(reiϕ)].(3.78)


circular � parabolicas

Figura 3.30: a) Coordenadas circulares , b) coordenadas parabolicas

Debido a que ya hemos comentado de los rangos y trayectorias que describen estos

sistemas de coordenadas, ahora, nos centraremos solo en deducir las transformaciones.

Para llevar de coordenadas parabolicas a coordenadas circulares, primero colocamos los

dos numeros complejos como la suma la parte real mas la parte imaginaria

reiϕ =1

2(µ+ iν)2,

r cosϕ+ ir sinϕ =1

2(µ2 − ν2) + iµν,

(3.79)

y al satisfacer la igualdad de los numeros complejos, tenemos

r cosϕ =1

2(µ2 − ν2),

r sinϕ = µν.(3.80)

Ası, para encontrar r, elevamos al cuadrado las ecuaciones previas y las sumamos


r2 cosϕ2 + r2 sinϕ =1

4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,

r2(cosϕ2 + sinϕ) =1

4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,

r =

√1

4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,

r =

√1

4(µ2 + ν2)2,

r =1

2(µ2 + ν2).

(3.81)

Para ϕ dividimos las ecuaciones (3.80) y desarrollamos las siguientes calculos

r sinϕ

r cosϕ= 2

µν

µ2 − ν2,

tanϕ = 2µν

µ2 − ν2,

ϕ = arctan (2µν

µ2 − ν2).

(3.82)

de esta manera, las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a circulares

son

r =1

2(µ2 + ν2),

ϕ = arctan (2µν

µ2 − ν2).

(3.83)

Realizamos los calculos para obtener las funciones de transformacion de circulares a

parabolicas. Debido a que las coordenadas circulares tambien se pueden separar en una

parte real y una imaginaria, equivalente a x+ iy, ahora en terminos de r y ϕ. Sustituimos en

la ecuacion (3.71), primero para µ y desarrollamos operaciones algebraicas para simplificar


µ =r sinϕ√√

(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 − (r cosϕ),

µ =r√

1− cos2 ϕ√r − (r cosϕ)

,

µ =

√r2(1− cos2 ϕ)√r(1− cosϕ

,

µ =√r(1 + cosϕ),

µ =√

2r cosϕ

2.

(3.84)

posteriormente lo hacemos para ν

ν =

√√(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 − (r cosϕ),

ν =√r(1− cosϕ),

ν =√

2r sinϕ

2.

(3.85)

Y de esta forma, las funciones de transformacion de coordenadas circulares a elıpticas

son:

µ =√

2r cosϕ

2,

ν =√

2r sinϕ

2,

(3.86)


elıpticas � parabolicas

Figura 3.31: a) Coordenadas elıpticas, b) coordenadas parabolicas

Para terminar con estos pares de transformaciones, obtendremos las funciones de

conversion de coordenadas elıpticas a coordenadas parabolicas. Iniciamos con las funciones

complejas representativas de cada sistema

cosh (ξ + iη) = (1

2(µ− iν)2)

ξ + iη = acosh (1

2(µ2 − ν2) + iµν)

(3.87)

recordando una vez mas que el acosh de un numero complejo es otro numero complejo,

por lo tanto, podemos aplicar la condicion de igualdad de los numeros complejos, es decir

ξ = Re[acosh(1

2(µ2 − ν2) + iµν)],

η = Im[acosh(1

2(µ2 − ν2) + iµν)].

(3.88)

Estas son las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a elıpticas.

Para transformar de coordenadas elıpticas a parabolicas, colocamos sus funciones

complejas representativas de cada sistema separadas en su parte real e imaginaria

3.6. Conclusiones 61

1

2(µ2 − ν2) + iµν = cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η. (3.89)

Y reemplazando los resultados en la ecuacion (3.87), esto debido a que hemos separado

la parte real de la parte imaginaria, encontramos para µ

µ =sinh ξ sin η√√

(cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2 − (cosh ξ cos η),


cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η − (cosh ξ cos η)

,


12(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η)

.

(3.90)

y para ν tenemos

ν =

√√(cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2 − (cosh ξ cos η),

ν =

√√cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η − (cosh ξ cos η),

ν =

√√1

2(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η).

(3.91)

Despues, las funciones resultantes son


12(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η)

,

ν =

√√1

2(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η).

(3.92)

De esta manera, tenemos los pares de funciones para la transformacion entre los sistemas

bidimensionales en los que se puede separar la ecuacion de Helmholtz.

3.6. Conclusiones

En este capıtulo, presentamos las metricas que identifican los once sistemas de

coordenadas, junto con la ecuacion de Helmholtz correspondiente para cada uno de estos

sistemas de coordenadas.


Del mismo modo hemos presentado los graficos de las superficies que forman cada uno

de los once sistemas de coordenadas acompanado con una descripcion de sus movimientos y

dominios de cada uno de ellos, pero resaltando las caracterısticas unıvocas para representar

a un solo punto en el espacio.

Por ultimo, hemos obtenido las funciones de transformacion entre los cuatro sistemas

de coordenadas bidimensionales en los que la ecuacion de Helmholtz es separable, haciendo

uso de la transformacion conformal.

Ya que hemos presentado la ecuacion de Helmholtz, en el capıtulo siguiente vamos a

continuar con su separabilidad.

Capıtulo 4

Separabilidad de la ecuacion tridimensional de

Helmholtz

En este capitulo, obtenemos la familia completa de ecuaciones diferenciales ordinarias

en la cuales la ecuacion de Helmholtz es separable.

En la seccion 4.1 llevaremos a cabo la separacion de variables de la ecuacion de

Helmholtz, empleando la tradicional tecnica, para lo cual mostramos las operaciones

algebraicas que conllevan a la separacion de esta ecuacion diferencial parcial. Adicionalmente

presentamos el determinante de Stackel como una tecnica alternativa para llevar a cabo la

separacion de variables de la ecuacion de Helmholtz de una manera sistematizada para los

once sistemas de coordenadas. Al llevar a cabo la separacion buscamos en todo momento

que las ecuaciones resultantes sean apropiadas para la representacion de ondas viajeras

4.1. Introduccion

En el metodo de separacion de variables lo que se busca es transformar el problema

de resolver una ecuacion diferencial parcial de tres variables a el problema de resolver tres

ecuaciones diferenciales ordinarias, una para cada variable.

En algunos casos, aplicando esta tecnica, a la ecuacion de Helmholtz en sus diferentes

sistemas de coordenadas es algebraicamente directo, pero en algunos se requiere de cambios

de variable no triviales. Esto nos llevo a investigar un metodo alternativo, que esta basado

en el determinante de Stackel que es construido a partir de los factores de escala de cada

sistema coordenado.

Esta tecnica es poco conocida, sin embargo, ofrece una buena alternativa y sobre todo

sistematizada para obtener las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la

ecuacion de Helmholtz

Este determinante es aplicado a los once sistemas coordenados. Es importante

mencionar que las coordenadas paraboloidales y elipsoidales no es posible separar la ecuacion

63

64 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz

de Helmholtz de una manera clara, situacion que no se presenta con el uso del determinante

de Stackel [11].

Este metodo alternativo nos permitio corroborar lo correcto de las ecuaciones obtenidas

por el metodo comun en los once sistemas de coordenadas.

4.2. Separacion de variables

La tecnica comunmente utilizada para encontrar la solucion de la ecuacion tridimen-

sional de Helmholtz, es “Separacion de variables”, esto es, la ecuacion diferencial parcial

con n independientes variables es separada en n ecuaciones diferenciales ordinarias. Cada

separacion introduce una constante, denominada constante de separacion, de esta manera,

si tenemos n variables, podrıamos introducir n− 1 constantes [14, 11].

El tradicional proceso de separacion de variables, consiste en proponer que la solucion

es una funcion de las tres variables independientes, como el producto de tres funciones, una

funcion para cada variable. Esta propuesta de solucion es sustituida dentro de la ecuacion

diferencial, se llevan a cabo las derivadas, y posteriormente se divide toda la ecuacion entre

la solucion propuesta.

Mas tarde, se busca a traves de operaciones algebraicas, que de un lado de la igualdad

se pueda tener una parte de la ecuacion que solo contenga una de las variables y en el otro

lado los terminos con el resto de las variables.

Una vez que tenemos lo anterior, ambos lados de la ecuacion son independientes, y

posteriormente podemos proponer que son iguales a una constante, denominada constante

de separacion, de esta manera, tenemos que repetir el proceso de separacion con el lado

de la ecuacion que contiene las dos variables restantes, y ası obtenemos las tres ecuaciones

diferenciales ordinarias. Este proceso se repite para los once sistemas de coordenadas.

En la siguiente seccion realizaremos la separacion de variables para los once sistemas

de coordenadas, pero debido a que el procedimiento es estandar para todos los sistemas de

coordenadas, podemos reducir el proceso al mınimo.

4.2.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)

Iniciando con la ecuacion de Helmholtz en coordenadas rectangulares

∂2E

∂x2+∂2E

∂y2+∂2E

∂z2+ k2E = 0, (4.1)

proponemos la solucion de la forma

E(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (4.2)

4.2. Separacion de variables 65

Ahora sustituimos en la ecuacion y realizando las derivadas, tenemos

∂2X(x)Y (y)Z(z)

∂x2+∂2X(x)Y (y)Z(z)

∂y2+∂2X(x)Y (y)Z(z)

∂z2+ k2X(x)Y (y)Z(z) =0, (4.3)

Y Zd2X

dx2+XZ

d2Y

dy2+XY

d2Z

dz2+ k2XY Z =0. (4.4)

Ahora dividiendo entre XY Z y organizando

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+

1

Z

d2Z

dz2+ k2 = 0, (4.5)

1

X

d2X

dx2= −k2 − 1

Y

d2Y

dy2− 1

Z

d2Z

dz2. (4.6)

Ahora, como el primer termino es independiente de y y z. Y x, y, y z son todas

coordenadas independientes. Por lo tanto la primera y segunda expresion pueden ser iguales

a una constante independiente de x, y o z. Esta es llamada constante de separacion. Por lo

tanto serıa

1

X

d2X

dx2=− k2

x, (4.7)

−k2 − 1

Y

d2Y

dy2− 1

Z

d2Z

dz2=− k2

x. (4.8)

Para esta ultima ecuacion podemos acomodarla como sigue

1

Y

d2Y

dy2= −k2 + k2

x −1

Z

d2Z

dz2. (4.9)

Aplicando la misma consideracion de independencia entra las variables en ambos lados

de la ecuacion, igualamos a una constante −k2y y obtenemos

1

Y

d2Y

dy2=− k2

y, (4.10)

1

Z

d2Z

dz2=− k2 + k2

x = −k2z . (4.11)

Proponemos que las constantes k2 = k2x + k2

y + k2z para producir simetrıa en el conjunto

de ecuaciones. Finalmente obtenemos las tres ecuaciones diferenciales ordinarias


d2X

dx2+ k2

xX = 0,

d2Y

dy2+ k2

xY = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(4.12)

4.2.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas circulares es

1

ρ

∂

∂ρ(ρ∂E

∂ρ) +

1

ρ2

∂2E

∂ϕ2+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (4.13)

para resolver esta ecuacion, proponemos la solucion de la forma E(ρ, θ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z),

sustituyendo dentro de (4.13), tenemos

ΦZ

ρ

d

dρ(ρdR

dρ) +

RZ

ρ2

d2Φ

dϕ2+RΦ

d2Z

dz2+ k2RΦZ = 0. (4.14)

Dividiendo por RΦZ, y moviendo el diferencial con respecto a z al lado derecho

1

ρR

d

dρ(ρdR

dρ) +

1

Φρ2

d2Φ

dϕ2+ k2 = − 1

Z

d2Z

dz2. (4.15)

La funcion de z en el lado derecho de la ecuacion es independiente de la funcion de ρ and

ϕ en el lado izquierdo. Nosotros resolvemos esto para cada lado de la ecuacion e igualamos

a una constante, seleccionamos k2z y obtenemos las siguientes ecuaciones.

1

Z

d2Z

dz2= −k2

z (4.16)

1

ρR

d

dρ(ρdR

dρ)+

1

Φρ2

d2Φ

dψ2+ k2 = k2

z . (4.17)

para la ultima ecuacion, si k2t = k2 − k2

z , multiplicando por ρ2, y reordenando los

terminos, tenemosρ

R

d

dρ(ρdR

dρ) + k2

t ρ2 = − 1

Φ

d2Φ

dϕ2. (4.18)


De nueva cuenta, el termino de la derecha es independiente de ρ, y de esta manera podemos

igualar a la constante n2, tenemos

d2Φ

dϕ2= −n2Φ (4.19)

ρ

R

d

dρ(ρdR

dρ) + k2

t ρ2 = n2. (4.20)

Ordenando la ultima ecuacion

ρd

dρ(ρdR

dρ) = −(k2

t ρ2 − n2)R (4.21)

ρd

dρ(ρdR

dρ) + (k2

zρ2 − n2)R = 0. (4.22)

Haciendo la derivada, obtenemos la ecuacion

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+ (k2

t ρ2 − n2)R = 0, (4.23)

Esta es la ecuacion de Bessel.

Finalmente obtenemos el conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+ (k2

t ρ2 − n2)R = 0,

d2Φ

dϕ2+ n2Φ = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(4.24)

. La solucion general de la ecuacion tridimensional de Helmholtz es una combinacion lineal

del conjunto de soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

4.2.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas elıpticas es

1

d2(cosh2 ξ − cos2 η)

(∂2E

∂ξ2+∂2E

∂η2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (4.25)


Proponemos E(ξ, η, z) = R(ξ)Φ(η)Z(z). Substituyendo y derivando obtenemos

1

d2(sinh2 ξ + sin2 η)(ΦZ

d2R

dξ2+RZ

d2Φ

dξ2) +RΦ

d2Z

dz2+ k2ψ = 0, (4.26)

ahora dividimos entre RΦZ y acomodando, la ecuacion se convierte en

1

d2(sinh2 ξ + sin2 η)(

1

R

d2R

dξ2+

1

Φ

d2Φ

dη2) + k2 = − 1

Z

d2Z

dz2. (4.27)

Como en la ecuacion diferencial el lado derecho de la igualdad no depende de las

variables η and ξ podemos igualar a la constante k2z . Las ecuaciones resultante son

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0, (4.28)

1

d2(sinh2 ξ + sin2 η)(

1

R

d2R

dξ2+

1

Φ

d2Φ

dη2) + k2 − k2

z = 0. (4.29)

Ahora aplicamos las siguientes identidades trigonometricas sinh2 η = 12(cosh 2η − 1) y

sin2 ξ = 12(1− cos 2ξ) ası como la igualdad sin2 ξ = 1

2(1− cos 2ξ). Ademas el vector de onda

esta compuesto por una parte longitudinal y una transversal por lo tanto podemos proponer

la igualdad k2t = k2 − k2

z . Sustituyendo estas identidades tenemos

2

d2(cosh 2ξ − cos 2η)(

1

R

d2R

dξ2+

1

Φ

d2Φ

dη2) + k2

t =0,

1

R

d2R

dξ2+

1

Φ

d2Φ

dη2=−k2

t d2

2(cosh 2ξ − cos 2η),

1

R

d2R

dξ2+k2t d

2

2cosh 2ξ =− 1

Φ

d2Φ

dη2+k2t d

2

2cos 2η.

(4.30)

los terminos ahora son independientes cada uno, por lo tanto podemos igualar a una

constante an, despues hacemos de la siguiente manera

1

R

d2R

dξ2+k2t d

2

2cosh 2ξ = − 1

Φ

d2Φ

dη2+k2t d

2

2cos 2η = an. (4.31)

Despues de separar las siguiente ecuaciones

1

R

d2R

dξ2=an −

k2t d

2

2cosh 2ξ (4.32)

− 1

Φ

d2Φ

dη2=an −

k2t d

2

2cos 2η, (4.33)


igualamos ambas ecuaciones a cero

d2R

dξ2− (an −

k2t d

2

2cosh 2ξ)R =0, (4.34)

d2Φ

dη2+ (an −

k2t d

2

2cos 2η)Φ =0. (4.35)

Estas ecuaciones son conocidas como ecuacion de Mathieu Radial y Angular

respectivamente.

Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias

d2R

dξ2− (an −

k2t d

2

2cosh 2ξ)R = 0,

d2Φ

dη2+ (an −

k2t d

2

2cos 2η)Φ = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(4.36)

4.2.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas parabolicas es

1

µ2 + ν2

(∂2E

∂µ2+∂2E

∂ν2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0. (4.37)

Proponemos E(µ, ν, z) = R(µ)Φ(ν)Z(z). Sustituyendo y desarrollando las derivadas

obtenemos

1

µ2 + ν2(ΦZ

d2R

dµ2+RZ

d2Φ

dν2) +RΦ

d2Z

dz2+ k2RΦZ = 0. (4.38)

Dividimos entre RΦZ. Adicionalmente, pasamos el diferencial respecto de z al lado

derecho de la igualdad, siendo esto

1

µ2 + ν2(

1

R

d2R

dµ2+

1

Φ

d2Φ

dν2) + k2 = − 1

Z

d2Z

dz2. (4.39)

El termino con la variable z es independiente de las otras variables, entonces podemos

igualar a una constante de separacion k2z , y tenemos las siguientes ecuaciones


1

Z

d2Z

dz2= −k2

z , (4.40)

1

µ2 + ν2(

1

R

d2R

dµ2+

1

Φ

d2Φ

dν2) + k2 = k2

z , (4.41)

ahora trabajamos con la ultima ecuacion, considerando k2t = k2 − k2

z ,

1

R

d2R

dµ2+

1

Φ

d2Φ

dν2= −k2

t (µ2 + ν2), (4.42)

1

R

d2R

dµ2+ k2

tµ2 = − 1

Φ

d2Φ

dν2− k2

t ν2. (4.43)

los terminos de la derecha y de la izquierda son independiente, podemos igualar a la

constante kta, la constante a es adimensional y el numero de onda kt tiene unidades 1/m, al

sustituir estas constantes aseguramos la congruencia en las unidades entre todos los terminos

de las ecuaciones, algunos autores no consideran las unidades fısicas al momento de proponer

las constantes de separacion [13]. Obtenemos las siguientes ecuaciones

1

R

d2R

dµ2+ k2

tµ2 = kta, (4.44)

− 1

Φ

d2Φ

dν2− k2

t ν2 = kta, (4.45)

ambas ecuaciones las igualamos a cero, tenemos

d2R

dµ2+ (k2

tµ2 − kta)R = 0, (4.46)

d2Φ

dν2+ (k2

t ν2 + kta)Φ = 0. (4.47)

Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias

d2R

dµ2+ (k2

tµ2 − kta)R = 0,

d2Φ

dν2+ (k2

t ν2 + kta)Φ = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(4.48)


4.2.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas es

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂

(sin θ

∂E

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2E

∂ϕ2+ k2E = 0, (4.49)

a fin de aplicar separacion de variables sugerimos la solucion E(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),

sustituimos en la ecuacion anterior y desarrollando las derivadas, resulta

1

r2

[ΘΦ

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2 sin θRΦ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+RΘ

1

r2 sin2 θ

d2Φ

dϕ2

]+ k2RΘΦ = 0, (4.50)

ahora dividimos entre RΘΦ y expandimos la ecuacion

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Θ sin θ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+

1

r2Φ sin2 θ

d2Φ

dϕ+ k2 = 0, (4.51)

despues multiplicamos por r2 sin2 θ para obtener

r2 sin2 θ

[1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Θ sin θ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+ k2

]= − 1

Φ

d2Φ

dϕ. (4.52)

Como el diferencial de la derecha no depende de r o θ, podemos igualar a la constante

m2, luego tomando el lado derecho de la igualdad, tenemos

d2Φ

dϕ= −m2Φ, (4.53)

para el lado izquierdo de la igualdad nos queda

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Θ sin θ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+ k2 =

m2

r2 sin2 θ, (4.54)

multiplicando por r2 y ordenando

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 = − 1

sin θΘ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+

m2

sin2 θ. (4.55)

Las variables estan separadas ahora e igualamos a las constante n(n + 1). De el lado

derecho de esta igualdad tenemos

− 1

sin θΘ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)+

m2

sin2 θ=n(n+ 1),

1

sin θ

d

d

(sin θ

dΘ

dθ

)− m2

sin2 θΘ + n(n+ 1)Θ =0.

(4.56)


Esta ecuacion diferencial ordinaria es la ecuacion asociada de Legendre

Tomando el lado izquierdo de la ecuacion (4.55)

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 =n(n+ 1),

d

dr

(r2dR

dr

)=n(n+ 1)R− k2r2R,

d

dr

(r2dR

dr

)=r2(

n(n+ 1)R

r2− k2R),

d

dr

(r2dR

dr

)+(k2r2 − n(n+ 1)

)R =0.

(4.57)

Esta ecuacion es conocida como ecuacion de Bessel esferica

Entonces tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias

d

dr

(r2dR

dr

)+[k2r2 − n(n+ 1)

]R = 0,

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)− m2

sin2 θΘ + n(n+ 1)Θ = 0,

d2Φ

dϕ+m2Φ = 0.

(4.58)

4.2.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)

La forma algebraica de la ecuacion de Helmholtz para las coordenadas esferoidales

prolatas es

∂

∂ξ

[(ξ2 − 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0.

(4.59)

Para resolver la ecuacion diferencial, proponemos una solucion de la forma E(ξ, η, ϕ) =

R(ξ)Θ(η)Φ(ϕ) que al reemplazar en la ecuacion anterior, encontramos

ΘΦd

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+

RΦd

dη

[(1− η2

) ddη

Θ

]+

RΘ(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

d2Φ

dϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)RΘΦ = 0. (4.60)


Ahora dividimos entre RΘΦ, tenemos

1

R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

1

Φ

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

d2Φ

dϕ2+k2d2(ξ2− η2) = 0,

(4.61)

multiplicamos por (ξ2−1)(1−η2)(ξ2−η2)

y acomodando nos resulta

(ξ2 − 1)(1− η2)

(ξ2 − η2)R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+

(ξ2 − 1)(1− η2)

(ξ2 − η2)Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 − 1)(1− η2) = − 1

Φ

d2

dϕ2Φ. (4.62)

Nuevamente el termino de el lado derecho de la igualdad depende solo de ϕ, ası que

podemos igualar a la constante m2 y obtenemos

− 1

Φ

d2

dϕ2Φ = m2,

d2

dϕ2Φ +m2Φ = 0.

(4.63)

Para el lado izquierdo de la igualdad tenemos

(ξ2 − 1)(1− η2)

(ξ2 − η2)R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+

(ξ2 − 1)(1− η2)

(ξ2 − η2)Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 − 1)(1− η2) = m2. (4.64)

Para separar multiplicamos por (ξ2−η2)(ξ2−1)(1−η2)

y organizando resulta

1

R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 − η2) =

m2(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2). (4.65)

El termino de la derecha es

m2(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)=

m2

(1− η2)+

m2

(ξ2 − 1). (4.66)

Acomodando la ecuacion (4.65) tenemos


1

R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+ k2d2ξ2 − m2

(ξ2 − 1)= − 1

Θ

d

dη

[(1− η2

) ddη

Θ

]+

m2

(1− η2)+ k2d2η2.

(4.67)

Ahora las variables estan separadas, entonces podemos igualar a la constante an,m, para

el termino de la izquierda tenemos

1

R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]+ k2d2ξ2 − m2

(ξ2 − 1)= an,m,

1

R

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]= an,m − k2d2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1),

d

dξ

[(ξ2 − 1

) dRdξ

]−(an,m − k2d2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1)

)R = 0.

(4.68)

Y para el termino de la derecha de la ecuacion (4.67)

− 1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

m2

(1− η2)+ k2d2η2 = an,m,

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]= −an,m + c2η2 +

m2

(1− η2),

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

(an,m − k2d2η2 − m2

(1− η2)

)Θ = 0.

(4.69)

Finalmente realizamos las derivadas y de esta manera tenemos el conjunto de ecuaciones

diferenciales ordinarias

(ξ2 − 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ−(an,m − k2d2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1)

)R = 0,

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+

(an,m − k2d2η2 − m2

(1− η2)

)Θ = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(4.70)


4.2.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)

La forma algebraica de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas es

∂

∂ξ

[(ξ2 + 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0.

(4.71)

Para separar la ecuacion diferencial proponemos una solucion de la forma E(ξ, η, ϕ) =

R(ξ)Θ(η)Φ(ϕ), que al sustituirla en la ecuacion anterior obtenemos

ΘΦd

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+

RΦd

dη

[(1− η2

) ddη

Θ

]+

RΘ(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

d2Φ

dϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)RΘΦ = 0. (4.72)

Ahora dividimos entre RΘΦ

1

R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

1

Φ

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

d2Φ

dϕ2+ k2d2(ξ2 + η2) = 0.

(4.73)

multiplicamos por (ξ2+1)(1−η2)(ξ2+η2)

, esto da

(ξ2 + 1)(1− η2)

(ξ2 + η2)R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+

(ξ2 + 1)(1− η2)

(ξ2 + η2)Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 + 1)(1− η2) = − 1

Φ

d2

dϕ2Φ, (4.74)

ahora el termino del lado derecho de la igualdad depende solo de ϕ, podemos igualar a

la constante m2 y resulta

− 1

Φ

d2

dϕ2Φ = m2,

d2

dϕ2Φ +m2Φ = 0.

(4.75)

Para los terminos del lado izquierdo de la igualdad, tenemos

(ξ2 + 1)(1− η2)

(ξ2 + η2)R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+

(ξ2 + 1)(1− η2)

(ξ2 + η2)Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 + 1)(1− η2) = m2. (4.76)


Para separar multiplicamos por (ξ2+η2)(ξ2+1)(1−η2)

y ordenando

1

R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+ k2d2(ξ2 + η2) =

m2(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2). (4.77)

Para el termino de la derecha resulta

m2(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)=

m2

(1− η2)− m2

(ξ2 + 1). (4.78)

Ordenando la ecuacion (4.77) tenemos

1

R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+ k2d2ξ2 +

m2

(ξ2 + 1)= − 1

Θ

d

dη

[(1− η2

) ddηS

]+

m2

(1− η2)− c2η2.

(4.79)

Las variables estan separadas, por lo tanto, podemos igualar a la constante an,m, para

el termino del lado izquierdo de la igualdad resulta

1

R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]+ k2d2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1)= an,m,

1

R

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]= an,m − k2d2ξ2 − m2

(ξ2 − 1),

d

dξ

[(ξ2 + 1

) dRdξ

]−(an,m − k2d2ξ2 − m2

(ξ2 + 1)

)R = 0.

(4.80)

Y para los terminos de la derecha

− 1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

m2

(1− η2)− k2d2η2 = an,m

1

Θ

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]= −an,m − k2d2η2 +

m2

(1− η2),

d

dη

[(1− η2

) dΘ

dη

]+

(an,m + k2d2η2 − m2

(1− η2)

)Θ = 0.

(4.81)

Finalmente realizamos la derivadas para obtener el conjunto de ecuaciones diferenciales

ordinarias:

(ξ2 + 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ−(an,m − k2d2ξ2 − m2

(ξ2 − 1)

)R = 0,

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+

(an,m + k2d2η2 − m2

(1− η2)

)Θ = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(4.82)


4.2.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas es

1

µ(µ2 + ν2)

∂

∂µ

(µ∂E

∂µ

)+

1

ν(µ2 + ν2)

∂

∂ν

(ν∂E

∂ν

)+

1

µ2ν2

∂2E

∂ϕ2+ k2E = 0. (4.83)

Proponemos una solucion de la forma E(µ, ν, ϕ) = M(µ)V (ν)Φ(ϕ), que al sustituirla

en la ecuacion (4.83) y realizando las derivadas nos resulta

V Φ

µ(µ2 + ν2)

d

dµ(µdM

dµ) +

MΦ

ν(µ2 + ν2)

d

dν(νdV

dν) +

MV

µ2ν2

d2Φ

dϕ2+ k2MV Φ = 0. (4.84)

Dividimos por MV Φ y al mismo tiempo multiplicamos por µ2ν2 para obtener

µν2

M(µ2 + ν2)

d

dµ(µdM

dµ) +

µ2ν

V (µ2 + ν2)

d

dν(νdV

dν) + k2(µ2ν2) = − 1

Φ

d2Φ

dϕ2. (4.85)

Ahora el termino del lado derecho es independiente de µ y ν, por lo tanto podemos

igualar a la constante m2

− 1

Φ

d2

dϕ2Φ = m2,

d2

dϕ2Φ +m2Φ = 0.

(4.86)

El termino del lado izquierdo de la ecuacion (4.85) tenemos

µν2

M(µ2 + ν2)

d

dµ(µdM

dµ) +

µ2ν

V (µ2 + ν2)

d

dν(νdV

dν) + k2(µ2ν2) = m2. (4.87)

A fin de separar las variables en esta ecuacion, multiplicamos por µ2+ν2

µ2ν2

1

Mµ

d

dµ(µdM

dµ) +

1

V ν

d

dν(νdV

dν) + k2(µ2 + ν2) =

m2(µ2 + ν2)

µ2ν2, (4.88)

organizando

1

Mµ

d

dµ(µdM

dµ) + k2µ2 − m2

µ2= − 1

V ν

d

dν(νdV

dν) +

m2

ν2− kν2. (4.89)

Las variables estan separadas y podemos ahora igualar a la constante kq2, donde q

es adimensional y k es el numero de onda y esta dado en unidades de longitud−1, esto

nos permite obtener congruencia en todos los terminos de la ecuacion, a pesar de que


matematicamente no es una restriccion, fısicamente es necesario tener esta congruencia entre

los terminos

− 1

V ν

d

dν(νdV

dν) +

m2

ν2− k2ν2 = kq2,

1

ν

d

dν(νdV

dν) = −(kν2 + kq2 − m2

ν2)V

1

ν

d

dν(νdV

dν) + (k2ν2 + kq2 − m2

ν2)V = 0,

d2V

dν2+

1

ν

dV

dν+ (k2ν2 + kq2 − m2

ν2)V = 0.

(4.90)

Y del lado izquierdo

1

Mµ

d

dµ(µdM

dµ) + k2µ2 − m2

µ2= kq2,

1

µ

d

dµ(µdM

dµ) = −(k2µ2 − kq2 − m2

µ2)M,

1

µ

d

dµ(µdM

dµ) + (k2µ2 − kq2 − m2

µ2)M = 0,

dM

dµ2+

1

µ

dM

dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2

µ2)M = 0.

(4.91)

Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.

d2M

dµ2+

1

µ

dM

dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2

µ2)M = 0,

d2V

dν2+

1

ν

dV

dν+ (k2ν2 + kq2 − m2

ν2)V = 0,

d2

dϕ2Φ +m2Φ = 0.

(4.92)

4.2.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas conicas es

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

f(θe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

∂

∂θe

(f(θe)

∂E

∂θe

)+

f(ϕe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+k2E = 0.

(4.93)


Donde

f(θe) =√

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e),

f(ϕe) =√

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(4.94)

Para separar esta ecuacion proponemos una solucion E(r, θe, ϕe) = R(r)Θ(θe)Φ(ϕe),

desarrollando las derivadas, resulta

ΘΦ

r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

RΦf(θe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)RΘf(ϕe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

d

dϕ

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ k2RΘΦ = 0. (4.95)

Dividimos entre RΘΦ. Despues de los terminos con las variables diferentes de r los

pasamos al otro lado de la igualdad y multiplicando todo por r2 resulta

k2r2 +1

R

d

dr

(r2dR

dr

)= − f(θe)

Θ(θ2e − ϕ2

e)

d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)− f(ϕe)

Φ(θ2e − ϕ2

e)

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

).

(4.96)

Notemos que los terminos en el lado izquierdo de la igualdad son independientes de las

variables θe and ϕe, por lo tanto, podemos igualar a la constante n(n+ 1), el resultado es:

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 = n(n+ 1),

d

dr

(r2dR

dr

)= −

(k2r2 − n(n+ 1)

)R,

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+(k2r2 − n(n+ 1)

)R = 0.

(4.97)

Esta es la ecuacion de Bessel esferica. Por otra parte, para el lado derecho de la ecuacion

(4.96) tenemos

− f(θe)

Θ(θ2e − ϕ2

e)

d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)− f(ϕe)

Φ(θ2e − ϕ2

e)

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)= n(n+ 1), (4.98)

multiplicamos esta ecuacion por (θ2e − ϕ2

e) y organizando

− f(θe)

Θ

d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)− n(n+ 1)θ2

e =f(ϕe)

Φ

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)− n(n+ 1)ϕ2

e. (4.99)

Las variables estas separadas, por lo tanto podemos igualar a la constante q(b2 + c2).

Para los terminos del lado izquierdo de la ecuacion y al multiplicarla por −1 los resultados


son

f(θe)

Θ

d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)+ n(n+ 1)θ2

e = −q(b2 + c2),

f(θe)d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)= −

[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2

e

]Θ,

f(θe)d

dθe

(f(θe)

dΘ

dθe

)+[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2

e

]Θ = 0,

(4.100)

y para el otro lado de la igualdad

f(ϕe)

Φ

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)− n(n+ 1)ϕ2

e = q(b2 + c2),

f(ϕe)d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)=[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2

e

]Φ,

f(ϕe)d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)−[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2

e

]Φ = 0.

(4.101)

Estas dos ecuaciones diferenciales tienen como solucion las funciones especiales Lame.

Eventualmente sustituimos las funciones f(θe) y f(ϕe), y derivando tenemos el conjunto

de ecuaciones diferenciales ordinarias para el sistema de coordenadas conicas

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+[n(n+ 1) + k2r2

]R = 0,

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)d2Θ

dθ2e

− θe(2θ2e − (b2 + c2)

dΘ

dθe+[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2

e

]Θ = 0,

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)d2Φ

dϕ2e

+ ϕe(2ϕ2e − (b2 + c2)

dΦ

dϕe−[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2

e

]Φ = 0.

(4.102)

4.2.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas paraboloidales es


f(µe)


∂µe

(f(µe)

∂E

∂µe

)+

f(νe)


∂νe

(f(νe)

∂E

∂νe

)+

f(ϕe)


∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0. (4.103)

Donde

f(µe) =√

(µe − c)(µe − b),

f(νe) =√


f(ϕe) =√

(c− ϕe)(ϕe − b).

(4.104)

Ahora multiplicando la ecuacion por (µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe), resulta

(ϕe − νe)f(µe)∂

∂µe

(f(µe)

∂E

∂µe

)+ (µe − ϕe)f(νe)

∂

∂νe

(f(νe)

∂E

∂νe

)+ (µe − νe)f(ϕe)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)E = 0. (4.105)

Para separar la ecuacion proponemos una solucion de la forma E = M(µe)V (νe)Φ(ϕe).

Sustituyendo en la ecuacion anterior y desarrollando las derivadas, tenemos

(ϕe − νe)f(µe)V Φd

dµe

(f(µe)

dM

dµe

)+ (µe − ϕe)f(νe)MΦ

d

dνe

(f(νe)

dV

dνe

)+ (µe − νe)f(ϕe)MV

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ k2(µe − νe)(µ− ϕe)(ϕe − νe)MV Φ = 0. (4.106)

Dividiendo entre MV Φ, resulta

(ϕe − νe)f(µe)

M

d

dµe

(f(µe)

dM

dµe

)+ (µe − ϕe)

f(νe)

V

d

dνe

(f(νe)

dV

dνe

)+ (µe − νe)

f(ϕe)

Φ

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = 0. (4.107)

Es complicado realizar la separacion por metodos usuales. Sin embargo, podemos


proponer las siguientes igualdades [57]

f(µe)

M

d

dµe

(f(µe)

dM

dµe

)=[α0 − α1µe − k2µ2

e

],

f(νe)

V

d

dνe

(f(νe)

dV

dνe

)=[α0 − α1νe − k2ν2

e

],

f(ϕe)

Φ

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)=[−α0 + α1ϕe + k2ϕ2

e

].

(4.108)

Para verificar la igualdad, sustituimos los terminos con los diferenciales por las

igualdades propuestas en la ecuacion 4.107

(ϕe − νe)[α0 − α1µe − k2µ2

e

]+ (µe − ϕe)

[α0 − α1νe − k2ν2

e

]+ (µe − νe)

[−α0 + α1ϕe + k2ϕ2

e

]+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = 0, (4.109)

primero, la suma de los terminos con α0 resulta cero, y estos no afectan los terminos

que contienen k2

(ϕe − νe)α0 + (µe − ϕe)α0 + (µe − νe)(−α0) = 0,

ϕeα0 − νeα0 + µeα0 − ϕeα0 − µeα0 + νeα0 = 0.(4.110)

Para los terminos con α1 nos resulta cero tambien, y de igual manera no afecta los

terminos con k2

(ϕe − νe)(−α1µe) + (µe − ϕe)(−α1νe) + (µe − νe)(α1ϕe) = 0,

−ϕeµeα1 + νeµeα1 − µeνeα1 + ϕνeα1 + µeϕeα1 − νeϕeα1 = 0,(4.111)

por lo tanto la ecuacion se reduce a

−(ϕe−νe)(k2µ2e)−(µe−ϕe)(k2ν2

e )+(µe−νe)(k2ϕ2e)+k

2(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe) = 0, (4.112)

trabajando con el ultimo termino de esta ecuacion

k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = k2[(µ2e − µeϕe − νeµe + νeϕe)(ϕe − νe)],

= k2[µ2eϕe − µeϕ2

e − νeµeϕe + νeϕ2e − µ2

eνe + µeϕeνe + ν2eµe + ν2

eϕe)],

= k2[µ2eϕe − µ2

eνe + νeϕ2e − µeϕ2

e + ν2eµe + ν2

eϕe],

= k2[µ2e(ϕe − νe) + ν2

e (µe + ϕe)− ϕ2e(µe − νe)],

= k2µ2e(ϕe − νe) + k2ν2

e (µe + ϕe)− k2ϕ2e(µe − νe).

(4.113)


Ası, vemos que es igual y opuesta a los tres primeros terminos, por lo tanto se cumple

la igualdad. Entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la ecuacion

de Helmholtz en coordenadas paraboloidales son

f(µe)d

dµe

(f(µe)

dM

dµe

)+ (k2µ2

e + α1µe − α0)M = 0,

f(νe)d

dνe

(f(νe)

dV

dνe

)+ (k2ν2

e + α1νe − α0)V = 0,

f(ϕe)d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)− (k2ϕ2

e − α1ϕe + α0)Φ = 0.

(4.114)

Ahora hacemos α0 = sk(b+ c) y α1 = kp, donde k es el numero de onda, y esta dada en

metros−1, al ser k parte de estas constantes, tenemos consistencia en las unidades de cada

termino de las tres ecuaciones. Finalmente reemplazamos f(µe), f(νe) y f(ϕe) y haciendo

las derivadas, el conjunto de ecuaciones es

(µe − c)(µe − b)d2M

dµ2e

+ [2µe − (b+ c)]dM

dµe+[k2µ2

e − sk(b+ c) + kpµe]M = 0,

(c− νe)(b− νe)d2V

dν2e

+ [2νe − (b+ c)]dV

dνe+[k2ν2

e − sk(b+ c) + kpνe]V = 0,

(c− ϕe)(ϕe − b)d2Φ

dϕ2e

− [2ϕe − (b+ c)]dΦ

dϕe−[k2ϕ2

e − sk(b+ c) + kpϕe]

Φ = 0.

(4.115)

4.2.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)

La ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales es

f(ξe)

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

∂

∂ξe

(f(ξe)

∂E

∂ξe

)+

f(ηe)

(ξ2e − η2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ηe

(f(ηe)

∂E

∂ηe

)+

f(ϕe)

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0. (4.116)

Donde

f(ξe) = (ξ2e − b2)(ξ2

e − c2),

f(ηe) = (η2e − b2)(c2 − η2

e),

f(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(4.117)


Primeramente, multiplicamos por (ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e), para obtener

(η2e − ϕ2

e)f(ξe)∂

∂ξe

(f(ξe)

∂E

∂ξe

)+ (ξ2

e − ϕ2e)f(ηe)

∂

∂ηe

(f(ηe)

∂E

∂ηe

)+ (ξ2

e − η2e)f(ϕe)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2(ξ2

e − η2e)(ξ

2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)E = 0. (4.118)

Ahora proponemos que la solucion E = R(ξe)Θ(ηe)Φ(ϕe). Y sustituyendo en la ecuacion

de Helmholtz y realizando las derivadas tenemos

(η2e − ϕ2

e)ΘΦf(ξe)d

dξe

(f(ξe)

dR

dξe

)+ (ξ2

e − ϕ2e)RΦf(ηe)

d

dηe

(f(ηe)

dΘ

dηe

)+ (ξ2

e − η2e)RΘf(ϕe)

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ k2(ξ2

e − η2e)(ξ

2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)RΘΦ = 0. (4.119)

Dividimos entre RΘΦ, resultando

(η2e − ϕ2

e)f(ξe)

R

d

dξe

(f(ξe)

dR

dξe

)+ (ξ2

e − ϕ2e)f(ηe)

Θ

d

dη

(f(ηe)

dΘ

dηe

)+ (ξ2

e − η2e)f(ϕe)

Φ

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ k2(ξ2

e − η2e)(ξ

2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e) = 0. (4.120)

Tratar de separar los terminos que dependen de una sola variable, es decir, llevarlos a

uno de los lados de la igualdad realizando operaciones algebraicas, tal y como se realizo para

la mayorıa de los sistemas coordenados es muy complicado, lo que se hace es proponer [57]

f(ξe)

R

d

dξe

(f(ξe)

dR

dξe

)=− α0 − α2ξ

2e − k2ξ4

e ,

f(ηe)

Θ

d

dηe

(f(ηe)

dΘ

dηe

)=α0 + α2η

2e + k2η4

e ,

f(ϕe)

Φe

d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)=− α0 − α2ϕ

2e − k2ϕ4

e.

(4.121)

Para verificar la igualdad, sustituimos las identidades propuestas en la ecuacion 4.120

(η2e − ϕ2

e)(−α0 − α2ξ2e − k2ξ4

e ) + (ξ2e − ϕ2

e)(α0 + α2η2e + k2η4

e)

+ (ξ2e − η2

e)(−α0 − α2ϕ2e − k2ϕ4

e) + k2(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2 − ϕ2) = 0, (4.122)

primero, para el termino con α0 resulta cero, y no afecta los terminos que contienen a

k2

(η2e − ϕ2

e)(−α0) + (ξ2e − ϕ2

e)(α0) + (ξ2e − η2

e)(−α0) = 0,

−α0η2e + α0ϕ

2e + α0ξ

2e − α0ϕ

2e − α0ξ

2e + α0η

2e = 0.

(4.123)


para los terminos con α2 tambien resulta cero, y tampoco afecta los terminos con k2

(η2e − ϕ2

e)(−α2ξ2e ) + (ξ2

e − ϕ2e)(α2η

2e) + (ξ2

e − η2e)(−α2ϕ

2e) = 0,

−α2η2eξ

2e + α2ϕ

2eξ

2e + α2ξ

2eη

2e − α2ϕ

2eη

2e − α2ϕ

2eξ

2e + α2ϕ

2eη

2e = 0,

(4.124)

por lo tanto la ecuacion se reduce

(η2e − ϕ2

e)(−k2ξ4e ) + (ξ2

e − ϕ2e)(k

2η4e)

+ (ξ2e − η2

e)(−k2ϕ4e) + k2(ξ2

e − η2e)(ξ

2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e) = 0, (4.125)

trabajando con el ultimo termino de esta ecuacion

k2(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e) = k2[(ξ4e − ξ2

eϕ2e − η2

eξ2e + η2

eϕ2e)(η

2e − ϕ2

e)],

= k2[ξ4eη

2e − η4

eξ2e + η4

eϕ2e − ξ4

eϕ2e + ξ2

eϕ4e − η2

eϕ4e],

= k2[ξ4eη

2e − ξ4

eϕ2e − η4

eξ2e + η4

eϕ2e + ϕ4

eξ2e − ϕ4

eη2e ],

= k2[ξ4e (η

2e − ϕ2

e)− η4e(ξ

2e − ϕ2

e) + ϕ4e(ξ

2e − η2

e)].

(4.126)

Ası, vemos que es igual y opuesta a los tres primeros terminos de la ecuacion 4.125, por

lo tanto se satisface la igualdad. De esta forma las ecuaciones diferenciales ordinarias en las

que la ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales se separa son:

f(ξe)d

dξe

(f(ξe)

dR

dξe

)+ (k2ξ4

e + α2ξ2e + α0)R =0,

f(ηe)d

dηe

(f(ηe)

dΘ

dη

)− (k2η4

e + α2η2e + α0)Θ =0,

f(ϕe)d

dϕe

(f(ϕe)

dΦ

dϕe

)+ (k2ϕ4

e + α2ϕ2e + α0)Φ =0.

(4.127)

Ahora hacemos α0 = q(b2 + c2) y α2 = p(p+ 1). Finalmente reemplazamos f(ξe), f(ηe)

y f(ϕe) y derivamos, el conjunto de ecuaciones diferenciales es

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)d2Re

dξ2e

+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]

dR

dξe+ [k2ξ4

e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]R = 0,

(η2e − b2)(c2 − η2

e)d2Θ

dη2e

− ηe[2η2e − (b2 + c2)]

dΘ

dη− [k2η4

e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]Θ = 0,

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)d2Φ

dϕ2e

+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]

dΦ

dϕe+ [k2ϕ4

e + p(p+ 1)ϕ2e + q(b2 + c2)]Φ = 0.

(4.128)


4.3. Determinante de Stackel

El metodo habitual de separacion de variables es difıcil de aplicar a las coordenadas

generales, por lo que en la busqueda de un metodo de solucion alternativo encontramos

el determinante de Stackel, que permite de una manera sistematizada separar la ecuacion

tridimensional de Helmholtz, para los once sistemas de coordenadas.

Lo que es mas, primero fue necesario llevar a cabo la separacion de variables para

todos los sistemas de coordenadas empleando el determinante de Stackel, y esto nos

permitio visualizar las identidades que tenemos que proponer para realizar la separacion

de variables en las coordenadas paraboloidales y elipsoidales, debido a que con operaciones

algebraicas para el despeje no es posible la separacion. Por lo tanto tenemos la separacion

de variables de la ecuacion de Helmholtz empleando los dos metodos.

En efecto, las condiciones de separabilidad de la ecuacion de Helmholtz, son basadas

en el trabajo de separabilidad de la ecuacion de Hamilton-Jacobi desarrollada por Stackel

y basada en la condicion de separabilidad de Robertson[2], es decir, la separabilidad de la

ecuacion de Helmholtz para los once sistemas de coordenadas se baso para ser demostrada y

desarrollada con el determinante de Stackel, pero el uso y presentacion de este determinante

fue disminuyendo, de tal manera, que hoy en dıa es poco conocido en la literatura actual de

la fısica matematica.

Para iniciar con la separacion de variables, hacemos uso de las propiedades de los

determinantes de tres filas. La relacion entre este determinante S y sus elementos Φm,n es

dado por la ecuacion [8]

S = |Φn,m| =

∣∣∣∣∣∣Φ1,1 Φ1,2 Φ1,3

Φ2,1 Φ2,2 Φ2,3

Φ3,1 Φ3,2 Φ3,3

∣∣∣∣∣∣ . (4.129)

El objetivo del determinante de Stackel, es encontrar todos los elementos de las

ecuaciones diferenciales ordinarias en las que es separable la ecuacion tridimensional de

Helmholtz, la cual tiene la siguiente forma

1

fn

∂

∂χn

[fn∂Xn

∂χn

]+ [α1Φn,1 + α2Φn,2 + α3Φn,3]Xn = 0. (4.130)

Para cada sistema de coordenadas, obtenemos las funciones y elementos que forman el

determinante de Stackel.

Iniciamos con los factores de escala y aplicamos la siguiente igualdad

h1h2h3/h2n = fn(χn)gn(χ). (4.131)

Esto es, el producto de la funcion fn de χn solo alguna funcion gn veces las otras χ’s

4.3. Determinante de Stackel 87

Con las funciones f , obtenemos el determinante S, con la siguiente ecuacion

S =f1(χ1)f2(χ2)f3(χ3)

h1h2h3

. (4.132)

Esta ecuacion junto con la ecuacion (4.131), integran la condicion de Robertson, la cual

unicamente la cumplen once sistemas de coordenadas para esta ecuacion[8].

Ahora podemos calcular los menores del determinante, ya que conocemos el determi-

nante S y los factores de escala hn.

Mn =S

h2n

. (4.133)

Despues, con la propiedad de ortogonalidad de los determinantes, usamos la siguiente

ecuacion para obtener los elementos del determinante, siempre teniendo en cuenta que φn1,

φn2 y φn3 deben ser funciones de χn unicamente.

para los elementos : Φ1,1, Φ2,1 y Φ3,1

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S, (4.134)

para los elementos: Φ1,2, Φ2,2 and Φ3,2.

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0, (4.135)

y finalmente para los elementos: Φ1,3, Φ2,3 y Φ3,3.

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0. (4.136)

De esta manera, obtenemos todos los elementos de la matriz de Stackel

En este sentido, a continuacion presentamos un detallado ejemplo de la obtencion de

las funciones y elementos que permiten construir el determinante de Stackel para el caso de

las coordenadas Cilındricas Elıpticas y conicas. La obtencion de la matriz de Stackel para el

resto de sistemas coordenados se pueden consultar en el Apendice B

Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)

Lo primero que se requiere es conocer los factores de escala, para este sistema son

hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,

hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,

hz = 1

(4.137)


Despues encontramos las funciones f , para ello hacemos los siguientes calculos

hξhηhz = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2(1) = d2(cosh2 ξ − cos2 η). (4.138)

Lo reemplazamos, y conseguimos lo siguiente

hξhηhzh2ξ

=d2(cosh2 ξ − cos2 η)

d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f1 = 1,

hξhηhzh2η


d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f2 = 1,

hξhηhzh2z


1= (1)

(d2(cosh2 ξ − cos2 η

)= ; f3 = 1.

(4.139)

Despues, encontramos el determinante S

S =hξhηhzf1f2f3


1= d2(cosh2 ξ − cos2 η). (4.140)

Sı nosotros aplicamos identidades trigonometricas cosh2 ξ = 12

cosh 2ξ + 12

y cos2 η =12

cos 2η + 12, ahora el determinante S es:

S =d2

2(cosh 2ξ − cos 2η), (4.141)

de esta forma, encontramos los menores.

M1 =S

h2ξ

=d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)

d2


= 1,

M2 =S

h2η

=d2


d2


= 1,

M3 =S

h2z

=d2


1=d2

2(cosh 2ξ − cos 2η).

(4.142)

Con estos resultados, procedemos a encontrar cada elementos de la matriz. Para la

primer columna, reemplazamos los valores de el menor M , la ecuacion es

(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,1 =

d2

2(cosh 2ξ − cos 2η). (4.143)

Recordemos que los elementos Φn,m puede contener unicamente variables χn. Por lo

tanto los valores que satisfacen la ecuacion es


(1)(d2

2cosh 2ξ) + (1)(−d

2

2cos 2η) +

d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) =

d2

2(cosh 2ξ − cos 2η). (4.144)

Luego tenemos Φ1,1 = d2

2cosh 2ξ, Φ2,1 = −d2

2cos 2η and Φ3,1 = 0.

Para la siguiente columna de la matriz los calculos son

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0,

(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,2 = 0,

(1) (−1) + (1)(1) +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) = 0.

(4.145)

Los resultados son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.

Finalmente para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0,

(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,3 = 0,

(1)

(−d

2

2(cosh 2ξ)

)+ (1)

(d2

2(cos 2η)

)+d2

2(cosh 2ξ − cos 2η) (1) = 0.

(4.146)

los resultados son Φ1,3 = −d2

2(cosh 2ξ), Φ2,3 = d2

2(cos 2η) y Φ3,3 = 1

De esta forma tenemos todos los elementos, y al sustituirlos en la matriz de Stackel

tenemos d2

2cosh 2ξ −1 −d2

2(cosh 2ξ)

−d2

2cos 2η 1 d2

2(cos 2η)

0 0 1

. (4.147)

Una vez que tenemos la matriz de Stackel y las funciones f(χ), sustituimos en la

ecuacion (4.130) y para cada valor tenemos

1

1

d

dξ

[1dR

dξ

]+

[α1d2

2cosh 2ξ − α2 − α3

d2

2cosh 2ξ

]R = 0, (4.148)

1

1

d

dη

[1dN

dη

]+

[−α1

d2

2cos 2η + α2 + α3

d2

2cos 2η

]N = 0, (4.149)

1

1

d

dz

[1dZ

dz

]+ α3Z = 0. (4.150)


Sı hacemos α1 = k2, α2 = an y α3 = k2z .

1

1

d

dξ

[1dR

dξ

]− (

k2d2

2cosh 2ξ − an −

k2zd

2

2(cosh 2ξ)R = 0, (4.151)

1

1

d

dη

[1dN

dη

]+ [−k

2d2

2cos 2η + an +

k2zd

2

2(cos 2η)]N = 0, (4.152)

1

1

d

dz

[1dZ

dz

]+ (k2

z)Z = 0. (4.153)

Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)


hr =1,

hθe =r

√θ2e − ϕ2

e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e),

hϕe =r

√θ2e − ϕ2

e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(4.154)

por simplicidad, definimos

g(θe) = (θ2e − b2)(c2 − θ2

e),

g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e).

(4.155)

Despues realizamos los siguientes calculos para encontrar las funciones f

hrhθehϕe = (1)r

√θ2e − ϕ2

e√g(θe)

r

√θ2e − ϕ2

e√g(ϕe)

=r2(θ2

e − ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

. (4.156)

Ahora

hrhθehϕeh2r

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

1=(r2)( (θ2

e − ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

); f1 = r2,

hrhθehϕeh2θe

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(θe)

=(√

g(θe))( 1√

g(ϕe)

); f2 =

√g(θe),

hrhθehϕeh2ϕe

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(ϕe)

=(√

g(ϕe))( 1√

g(θe)

); f3 =

√g(ϕe),

(4.157)


de esta manera, podemos ver que f1 = r2, f2 =√g(θe) y f3 =

√g(ϕe)

Una vez que conocemos las funciones f , podemos calcular el determinante S

S =hrhθehϕef1f2f3

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

r2√g(θe)

√g(ϕe)

=θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe), (4.158)

con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores

M1 =S

h2r

=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

1=

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe),

M2 =S

h2θe

=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(θe)

=1

r2g(ϕe),

M3 =S

hϕe=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(ϕe)

=1

r2g(θe).

(4.159)

Una vez que contamos con estos resultados, procedemos a obtener los elementos de la

matriz de Stackel. Para la primer columna y sustituyendo los valores de los menores M , la

ecuacion esθ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)Φ1,1 +

1

r2g(ϕe)Φ2,1 +

1

r2g(θe)Φ3,1 =

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe), (4.160)

los valores que satisfacen las condiciones son

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(1) +

(1

r2g(ϕe)

)(0) +

(1

r2g(θe)

)(0) =

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe), (4.161)

de esta manera Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.

Siempre tomando en cuenta las restricciones para cada fila, es decir, que la fila solo

debe ser funcion de una sola variable. Para la siguiente columna

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0,

y sustituyendo los menores

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)Φ1,2 +

(1

r2g(ϕe)

)Φ2,2 +

(1

r2g(θe)

)Φ3,2 = 0, (4.162)

los valores que satisfacen la ecuacion son

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)

(− 1

r2

)+

(1

r2g(ϕe)

)(θ2e

g(θe)

)+

(1

r2g(θe)

)(−ϕ2

e

g(ϕe)

)= 0. (4.163)


Por lo tanto Φ1,2 = − 1r2

, Φ2,2 = θ2eg(θe)

y Φ3,2 = −ϕ2e

g(ϕe). Para la tercera y ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

reemplazando los menores

θ2e − ϕ2

e

g(θ)g(ϕe)Φ1,3 +

1

r2g(ϕe)Φ2,3 +

1

r2g(θe)Φ3,3 = 0, (4.164)

la ecuacion satisface los siguientes valores

θ2e − ϕ2

g(θe)g(ϕe)(0) +

1

r2g(ϕe)(−1

g(θe)) +

1

r2g(θe)(

1

g(ϕe)) = 0, (4.165)

Entonces Φ1,3 = 0, Φ2,3 = −1g(θe)

y Φ3,3 = 1g(ϕe)

.

Tenemos ahora todos los elementos de la matriz de Stackel, estos son 1 − 1r2

0

0 θ2eg(θe)

−1g(θe)

0 −ϕ2e

g(ϕe)1

g(ϕe)

. (4.166)

sustituyendo g(θe) y g(ϕe) 1 − 1r2

0

0 θ2e(θ2e−b2)(c2−θ2e)

−1(θ2e−b2)(c2−θ2e)

0 −ϕ2e

(b2−ϕ2e)(c

2−ϕ2e)

1(b2−ϕ2

e)(c2−ϕ2

e)

. (4.167)

Con el determinante y las funciones f(χ) sustituimos en la ecuacion (4.130) y para cada

valor de χ tenemos1

r2

d

dr

[r2dR

dr

]+ (α1 −

α2

r2)R = 0. (4.168)

1√(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

d

dθe

[√(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)dΘ

dθe

]+ [

α2θ2e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)− α3

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)]Θ = 0, (4.169)

1√(b2 − ϕ2

e)(c2 − ϕ2

e)

d

dϕe

[√(b2 − ϕ2

e)(c2 − ϕ2

e)dE

dϕe

]− [

α2ϕ2e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

+α3

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

]E = 0, (4.170)


Realizamos las derivadas y proponemos α1 = k2, α2 = n(n+1) y α3 = q(b2 +c2), donde

n y q son adimensionales,

d2R

dr2+

2

r

dR

dr+ (k2 − n(n+ 1)

r2)R = 0, (4.171)

d2Θ

dθ2e

− θe[2θ2e − (b2 + c2)]

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

dΘ

dθe+ [

n(n+ 1)θ2e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)− q(b2 + c2)

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)]Θ = 0, (4.172)

d2E

dϕ2e

+ϕe[2ϕ

2e − (b2 + c2)]

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

dE

dϕe− [

n(n+ 1)ϕ2e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

+q(b2 + c2)

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

]E = 0. (4.173)

4.4. Conclusiones

En este capıtulo, desarrollamos la separacion de variables de la ecuacion escalar

tridimensional de Helmholtz en sus respectivos once sistemas de coordenadas, empleando

la tradicional tecnica de separacion de variables.

Tambien presentamos como una tecnica alternativa de la separacion de variables el

determinante de Stackel, el cual es poco conocido, pero permite una forma sistematizada de

separar la ecuacion de Helmholtz aun para las coordenadas mas complejas.

Una vez que tenemos la ecuacion de Helmholtz separada para todos los sistemas de

coordenadas, en el siguiente capitulo daremos inicio a encontrar sus soluciones fundamentales

Capıtulo 5

Campos de ondas simetricos de la ecuacion de

Helmholtz

En el capıtulo previo obtuvimos las ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de la

separacion de la ecuacion escalar de Helmholtz.

En este cap+itulo, presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales para

los sistemas de coordenadas con simetrıa de traslacion y de rotacion: rectangulares,

circulares cilındricas, cilındricas elıpticas, cilındricas parabolicas, esfericas, esferoidales

prolatas, esferoidales oblatas y parabolicas.

Para presentar estas soluciones fundamentales, primero normalizaremos las ecuaciones a

una forma canonica. Despues, estudiamos las condiciones y caracterısticas que estas funciones

deben cumplir, de tal manera que permitan representar ondas propagantes en cada uno de

los sistemas de coordenadas mencionados.

5.0.1. Soluciones

Al obtener la forma canonica de las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se

separa la ecuacion de Helmholtz, estas son adimensionales, es decir son independientes de

las unidades, lo que nos permite tratamiento mas practico para encontrar sus soluciones.

En nuestro caso, la normalizacion es realizada con respecto al numero de onda k, y de esta

manera, las soluciones pueden aplicarse a diferentes tipos de ondas fısicas, sin el problema

del manejo de grandes diferencias en los ordenes de magnitud entre una aplicacion y otra,

por ejemplo haces opticos, ondas electromagneticas, ondas mecanicas, ondas acusticas, entre

otras, sin ninguna complicacion

El metodo de expansion en series de potencias ofrece una buena alternativa para solucion

de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables, el metodo

de series comunmente empleado es el metodo de Frobenius [14].

En general, la tecnica consiste en: proponer una serie de potencias, la cual es sustituida

en la ecuacion diferencial, posteriormente desarrollamos las respectivas derivadas, escribimos

95

96 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz

la ecuacion resultante como una serie de potencias y factorizamos, resultando una ecuacion

en diferencias, que debe cumplir con ser cero, y finalmente esta ecuacion es resuelta de una

forma recursiva o matricial.

Otra razon por la que las series de potencias son apropiadas para encontrar las soluciones

es que estas se pueden llevar a un programa de computadora, que al realizar los calculos

obtienen resultados confiables de estas soluciones. Empleando esta tecnica de solucion,

obtuvimos en su mayorıa las funciones, mediante la implementacion de programas numericos

en el software matematico Matlab.

5.0.2. Condicion de radiacion de Sommerfeld

La condicion de radiacion, gobierna el comportamiento de los campos a grandes

distancias y esta basado en el principio de causalidad.

Si queremos mostrar que una solucion de la ecuacion de Helmholtz, puede representar

una onda propagante, la condicion de desvanecimiento en el infinito por si sola no es

suficiente. Por lo tanto, si tenemos un problema optico en el cual las fuentes estan en el

dominio finito (con una distribucion discreta o continua), y la cual puede ser resuelta para un

numero de onda k dado, podemos siempre agregar una funcion E0 a la solucion. Por lo tanto

los problemas de oscilacion (en contraste con los problemas de potencial) no son unicamente

determinados por las fuentes en el dominio finito. Por esta razon, es necesario considerar

una condicion mas rigurosa al infinito, esto es la condicion de radiacion. Sommerfeld [38]

escribio textualmente condicion de radiacion: ((las fuentes deben ser fuentes, no huecos, de

energıa. La energıa que es radiada de una fuente debe desvanecerse en infinito; la energıa no

debe ser radiada desde el infinito en las singularidades de el campo (las ondas planas son

excluidas ya que para ellas incluso con la condicion E = 0 no se lleva a cabo en infinito )).

Esta condicion es representada por la siguiente ecuacion

lımr→∞

r(∂u

∂r+ iku) = 0. (5.1)

Esta se le llama en general condicion de radiacion y se aplicara a todos los problemas

opticos, acusticos y electrodinamicos de oscilacion que se generan por las fuentes en el

dominio finito. Para el caso de un numero arbitrario de dimensiones h, la condicion toma la

forma general

lımr→∞

rh−1

2 (∂u

∂r+ iku) = 0. (5.2)

Desde el punto de vista fısico, podemos considerar dos valores para h, h = 2 para las

coordenadas clasificadas como cilındricas y h = 3 para el resto de las coordenadas.

Para cada sistema de coordenadas unicamente para una de las variables coordenadas

es la que va a satisfacer la condicion de Sommerfeld, y esta es la coordenada radial para la


cual su lımite superior es infinito.

5.1. Coordenadas Cilındricas

5.1.1. Coordenadas Rectangulares

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas rectangulares, obtuvimos

las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

d2X

dx2+ k2

xX = 0,

d2Y

dy2+ k2

yY = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(5.3)

Recordemos que las tres ecuaciones estan relacionadas por k2 = k2x + k2

y + k2z .

La primera cosa que haremos para este y los diez sistemas de coordenadas restantes,

es encontrar la forma canonica de cada ecuacion diferencial ordinaria. Ya se ha mencionado

al principio del capıtulo, lo relevante a la forma canonica para la interpretacion fısica de las

ecuaciones, que despues de todo, estas se derivan de una ecuacion completamente fısica.

Para la representacion en la forma canonica en este sistema, dividimos cada ecuacion

entre su correspondiente constante de separacion. Y luego hacemos los siguientes cambios de

variable kxx→ x, kyy → y y kzz → z. Recordando que x, y y z tienen unidades de longitud

y el numero de onda k esta dado en unidades de longitud−1. De esta forma, el resultado de

la multiplicacion es adimensional. Tenemos

d2X

dx2+X = 0,

d2Y

dy2+ Y = 0,

d2Z

dz2+ Z = 0.

(5.4)

Las ecuaciones 5.4 son llamadas del oscilador simple [39]. Tenemos la misma ecuacion

para las tres variables, la solucion es

C1 cosx+ C2 sinx, (5.5)


o tambien

C1eix + C2e

−ix. (5.6)

Donde i es el numero imaginario√−1; C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para detalles

de la obtencion de la solucion revisar el apendice C.

Ahora describiremos el significado fısico de esta soluciones. Recordemos que la ecuacion

de onda tiene solucion de la forma f(kx ± ωt), y esta representa ondas viajeras, entrando

o saliendo dependiendo del signo; donde la dependencia del tiempo fue separada cuando

se propuso la solucion e−iωt y nos resulto la ecuacion de Helmholtz. Por lo tanto, cuando

encontramos la solucion de la ecuacion de Helmholtz, y sı queremos la solucion de la ecuacion

de onda, debemos multiplicar nuestra solucion por e−iωt, y al observar el resultado, podremos

determinar si representa ondas viajeras o estacionarias. De esta forma, para soluciones de

la forma eikx, si x es real y positiva, tenemos ondas viajeras no atenuables en direccion de

x positiva. Esto es porque la multiplicacion de eikx por e−iωt, nos resulta ei(kx−ωt) la cual

representa ondas viajeras salientes

Soluciones de la forma coseno(kx) y seno(kx) con x real, representa ondas estacionarias.

Esto lo podemos ver al multiplicar cos kxRe (e−iωt) ya que esto es igual a cos kx cosωt, que

describe una onda que oscila en el tiempo pero su dependencia espacial es estacionaria. Por

otra parte, si aplicamos identidades trigonometricas, tenemos 12(cos kx− ωt + cos kx+ ωt),

esta representa la suma de don ondas viajando en sentido contrario, cuyo resultado es una

onda estacionaria

Como podemos ver diferentes soluciones de la ecuacion diferencial, puede representar

diferentes situaciones fısicas.

Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas

rectangulares es

Exyz = X(x)Y (y)Z(z). (5.7)

Estas soluciones son llamadas funciones de onda elementales. Combinaciones lineales

de las soluciones elementales de onda, tambien son soluciones de la ecuacion de Helmholtz.

Las soluciones se visualizan con las bien conocidas ondas planas, que son de la forma

ei(ωt∓k·r). (5.8)

Donde k = kxi + ky j + kzk es el vector de onda, cuya magnitud es el numero de onda k,

y r = xi + yj + zk, por otra parte k · r =constante, esto significa que hay un instante, la

fase de las ondas en una superficie de referencia forman un conjunto de planos, cada uno

perpendicular a la direccion de propagacion.

Es importante enfatizar, que las ondas planas no satisfacen la condicion de radiacion

de Sommerfeld, ya que para ellos, incluso la condicion E = 0 no se lleva a cabo en el infinito,

es decir nunca se atenuan[38].


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.1: Solucion en coordenadas Rectangulares a) Funcion seno b) Funcion coseno c)

Perfil del frente de onda d) Valor absoluto de la solucion fundamental

En la Figura 5.1 presentamos las graficas de las funciones coseno y seno en a) y b)

respectivamente, en c) mostramos el perfil del frente onda que corresponde exactamente

a una onda plana, y en d) tenemos el valor absoluto de la funcion que representa ondas

viajeras, donde podemos notar que su magnitud permanece constante para todos los valores,

esto significa que las ondas viajeras no se atenuan, probando de esta manera que no satisface


la condicion de radiacion de Sommerfeld. Otra situacion que se presente es que tenemos una

funcion par (coseno) y una funcion impar (seno), lo cual ocurre para todas las soluciones de

la ecuacion de Helmholtz en todos los sistemas de coordenadas. La ecuacion del oscilador

simple es la mas corta de todas las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la ecuacion

de Helmholtz se separa, y esta aparece para otros siete sistemas de coordenadas, por lo que

se hara referencia a las explicaciones y graficos que se muestran en esta seccion.

5.1.2. Coordenadas Cilındricas Circulares

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas circulares,

obtuvieron las siguiente ecuaciones diferenciales.

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+ (k2

t ρ2 − n2)R = 0,

d2Φ

dϕ2+ n2Φ = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(5.9)

La primera ecuacion es la conocida ecuacion de Bessel, para obtener la forma canonica

de esta funcion, multiplicamos el primer termino pork2t

k2t

y el segundo termino por ktkt

, de esta

forma, la ecuacion no se altera, y realizamos el siguiente cambio de variable ktρ→ ρ. Para la

segunda ecuacion, ϕ es un angulo y no tiene unidades, n es una constante adimensional, esta

ecuacion ya esta en su forma canonica. Para la tercera ecuacion, dividimos por la constante

de separacion y hacemos el siguiente cambio de variable kzz → z. La forma canonica de las

tres ecuaciones son

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+ (ρ2 − n2)R =0,

d2Φ

dϕ2+ n2Φ =0,

d2Z

dz2+ Z =0.

(5.10)

La ecuacion para la variable ϕ, tiene solucion einϕ, donde n es un numero entero. En el

caso de la ecuacion de la variable z, la solucion es e−iz.

Como se menciono la ecuacion para la variable ρ es la ecuacion de Bessel. Por lo tanto,

las soluciones son las funciones Bessel de orden n. Las funciones de Bessel de primer tipo,


Jn, no es la unica solucion fısica [18]. La ecuacion de Bessel es una ecuacion diferencial de

segundo orden y por lo tanto tambien tiene otra solucion, esta es la funcion Bessel de segundo

tipo, tambien llamadas funciones Neumann, Nm. Por lo tanto la solucion completa es

C1Jn(ρ) + C2Nn(ρ). (5.11)

Donde C1 o C2 son dos constantes arbitrarias, cada una puede ser una solucion, o una

combinacion lineal de ambas tambien lo es.

Con la suma de estas soluciones se obtienen funciones Hankel de orden n, Hn, la cual

son las soluciones fundamentales de la ecuacion de Bessel que representan ondas viajeras

[18]. Estas son:

H1n(κρρ) = Jn(ρ) + iNn(ρ),

H2n(ρ) = Jn(ρ)− iNn(ρ).

(5.12)

Para detalles de la obtencion de la soluciones, revisar el apendice C. Para comprobar

la condicion fısica de la solucion, es necesario conocer el desarrollo asintotico de la solucion,

para la funcion Bessel tenemos

Jn(ρ) ≈√

2

πρcos (ρ− nπ

2− π

4),

Nn(ρ) ≈√

2

πρsin (ρ− nπ

2− π

4),

H1n(ρ) ≈

√2

πρei(ρ−

nπ2−π

4),

H2n(ρ) ≈

√2

πρe−i(ρ−

nπ2−π

4).

(5.13)

De esta manera, recordemos que ρ → ktρ debido al cambio de variable que hicimos.

Podemos ver que las soluciones de tipo Jn y Nn por sı solas representan ondas estacionarias,

similarmente al coseno y seno respectivamente en las coordenadas rectangulares.

Ahora H1n representa ondas viajeras entrantes, y H2

n representa ondas viajeras salientes.

Y no menos importante, podemos notar que H1n y H2

n asintoticamente satisfacen la condicion

de radiacion de Sommerfeld.

La variable radial del sistema de coordenadas circulares, corresponde a la superficie

mostrada en la Figura 3.4 a), descrita por un cilindro circular derecha.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.2: Solucion en coordenadas cilındricas circulares, a) Funcion Bessel de primer tipo,

b) Funcion Bessel de segundo tipo, c) Perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la

solucion fundamental

En la Figura 5.2 podemos ver en a) la funcion Bessel de primer tipo de orden 0, 1, 2, 3 en

b) funciones Neumann de order 0, 1, 2, 3, en c) el perfil del frente de onda que es exactamente

una onda cilındrica, y en d) el valor absoluto de la suma Jn(ρ) + iNn(ρ) la cual representa

ondas viajeras, y podemos observar como decae a una razon de 1/√ρ, de igual manera

podemos ver que las lınea de la solucion fundamental son uniformes, por que si mostraran


oscilaciones, esto representarıa un error, ya que significarıa que la ondas se auto enfocan

durante la propagacion en un medio uniforme. Sin embargo nos permitimos comentar que

debido a que algunas soluciones implican sumas infinitas en las cuales podrıan presentarse

errores numericos al implementarlo en un programa de computadora.

5.1.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas elıpticas,

obtuvimos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

d2E

dξ2− (c− k2

t d2

2cosh 2ξ)E = 0,

d2N

dη2+ (c− k2

t d2

2cos 2η)N = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(5.14)

La variables ξ y η son adimensionales, las dimensiones son dadas por la constante d

(distancia del origen a los focos de la elipse), por lo tanto, proponemos q = (dkt/2)2, las

ecuaciones para estas dos variables estaran en su forma canonica al realizar este cambio.

Para la ecuacion correspondiente a la variable z hacemos el cambio de variable kzz → z. De

esta forma las ecuaciones canonicas son

d2E

dξ2− (a− 2q cosh 2ξ)E =0,

d2N

dη2+ (a− 2q cos 2η)N =0,

d2Z

dz2+ Z =0.

(5.15)

Las dos primeras ecuaciones son las ecuaciones de Mathieu, las cuales tienen como

solucion las funciones Mathieu [3].

Similarmente a las coordenadas cilındricas circulares, la ecuacion de Helmholtz podemos

separarla en una parte longitudinal que depende de la coordenada z y una transversal que

depende de las coordenadas η y ξ [19]. Estas ecuaciones tambien son llamadas ecuaciones

angular y radial de Mathieu.


La variable angular de este sistema es η con dominio [0, 2π), y a ella le corresponde la

ecuacion angular de Mathieu que tiene como solucion

C1ce(η, q) + C2se(η, q). (5.16)

Donde ce2η y se2η+1 son las funciones angular Mathieu par e impar respectivamente,

ademas C1 y C2 son constantes arbitrarias. Podemos ver en la Figura 5.3 que estas funciones

son oscilantes

(a) (b)

Figura 5.3: Funcion Mathieu Angular Par a) q=10 b) q=25

(a) (b)

Figura 5.4: Funcion Mathieu Angular impar a) q=10 b) q=25


La ecuacion correspondiente a la variable ξ con dominio [0,∞) tiene como solucion la

funcion Mathieu radial

C1Je(ξ, q) + C2Ne(ξ, q). (5.17)

Donde Je(ξ, q) y Ne(ξ, q) son las funciones Mathieu radiales par e impar respecti-

vamente. C1 y C2 son constantes arbitrarias. Si q es positiva tenemos una funcion radial

Mathieu oscilatoria, pero si q es negativa tenemos una funcion radial Mathieu evanescente

[32]. Por otra parte, al igual que en las funciones Bessel, tenemos las funciones Mathieu

Hankel, estas son

Me(1)m =Jem(ξ, q) + iNe(ξ, q),

Me(2)m =Jem(ξ, q)− iNe(ξ, q),

Mo(1)m =Jom(ξ, q) + iNo(ξ, q),

Mo(1)m =Jom(ξ, q)− iNo(ξ, q).

(5.18)

La expansion asintotica de la funcion Mathieu Hankel es

Me(1),(2)2m ' p2n

A0

√2

πv2

e±i(v2−π4

),

Me(1),(2)2m ' − p2n+1√

qA1

√2

πv2

e±i(v2−π4

),

Me(1),(2)2m ' s2n+2

qB2

√2

πv2

e±i(v2−π4

),

Me(1),(2)2m ' − s2n+1√

qB1

√2

πv2

e±i(v2−π4

).

(5.19)

Donde v2 =√qe−ξ y los coeficientes p y s son

p2n(q) = ce2n(0, q)ce2n(π

2, q),

p2n+1(q) = ce2n+1(0, q)ce′2n+1(π

2, q),

s2n+2(q) = se′2n+2(0, q)se′2n+2(π

2, q),

s2n+1(q) = se′2n+1(0, q)se2n+1(π

2, q).

(5.20)

donde el apostrofe en ce′ y se′ denota la derivada de ce y se con respecto a ξ.


Podemos ven en la Figura 5.5 la funcion radial Mathieu, en a) de primer tipo par, en b)

de segundo tipo par, en c) el perfil de onda descrita por un cilindro elıptico, y en d) el valor

absoluto de las soluciones fundamentales, las lıneas no presentan oscilaciones y decaen a una

razon de 1/√ξ. Esta funcion satisface perfectamente la condicion de radiacion de Sommerfeld.

En la Figura 5.6 presentamos la funcion radial Mathieu impar, en a) primer tipo, en b)

segundo tipo, en c) el perfil de la onda y en d el valor absoluto de la solucion fundamental

del sistema de coordenadas cilındrico elıptico, las lıneas no presentan oscilaciones y decaen

tambien a razon de 1/√ξ.

5.1.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas parabolicas

obtuvimos las siguientes ecuaciones

d2M

dµ2+ [µ2k2

t − 2kta]M = 0,

d2V

dν2+ [ν2k2

t + 2kta]V = 0,

d2Z

dz2+ k2

zZ = 0.

(5.21)

Las primeras dos ecuaciones las multiplicamos por 12kt

, y proponemos los cambios de

variable (2kt)1/2µ→ µ y (2kt)

1/2ν → ν, obteniendo de esta forma, su representacion canonica.

Para la tercera ecuacion, al igual que para los sistemas clasificado como cilındricos, dividimos

entre su constante se separacion y realizamos el cambio kzz → z. La forma canonica de las

tres ecuaciones para este sistema coordenado son

d2M

dµ2+ [

µ2

4− a]M = 0,

d2V

dν2+ [

ν2

4+ a]V = 0,

d2Z

dz2+ Z = 0.

(5.22)

Similarmente a las coordenadas cilındricas circulares y cilındricas elıpticas, la solucion de la

parte transversal es independiente de la coordenada longitudinal [40]. Para la coordenada z


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.5: Solucion en coordenadas cilındricas a) Funcion Radial Mathieu de primer tipo

par b) Funcion Radial Mathieu de primer tipo impar, c) Perfil de onda y d) Valor absoluto

de la solucion fundamental

o componente longitudinal, tenemos funciones armonicas de z, es decir, e−iz. Las ecuaciones

correspondientes a las variables µ y ν que son la parte transversal, tenemos las siguientes

soluciones

C1Pe(µ, a) + C2Po(µ, a), (5.23)

C1Pe(ν,−a) + C2Po(ν,−a). (5.24)


(a) (b)

(c)

Figura 5.6: Solucion en coordenadas cilındricas, a) Funcion radial Mathieu de segundo tipo

par, b) Funcion radial Mathieu de segundo tipo impar, y c) Solucion fundamental

Para estas expresiones utilizamos la notacion usada en [40]. Donde Pe es la solucion par

y Po es la solucion impar

Utilizando el metodo de Frobenius y su expansion de Taylor con µ = 0 la solucion es

[41]:

P (µ, a) =∞∑n=0

c2nµ2n

(2n)!

=1 + cµ2

2!+ (a2 − 1

2)µ4

4!+ (a3 − 7

2a)µ6

6!+ (a4 − 11a2 +

15

4)µ8

8!+ ...

(5.25)

donde c0 = 1, c2 = a y cn = acn−2 − (n−2)(n−3)cn−44

. Y por lo tanto


P (µ, a) =∞∑n=0

c2n+1µ2n+1

(2n+ 1)!

=z + cµ3

3!+ (a2 − 3

2)µ5

5!+ (a3 − 13

2a)µ7

7!+ (a4 − 17a2 +

63

4)µ9

9!+ ...

(5.26)

donde c1 = 1, c3 = a and cn = acn−2 − (n−2)(n−3)cn−44

.

Para las soluciones con respecto a la variable ν, unicamente cambiamos a por −a. Es

importante mencionar que la ecuacion de Helmholtz es este sistema coordenado, tambien se

obtienen como soluciones las funciones Weber, pero estas no muestran un comportamiento

oscilatorio para grandes valores, es decir, no satisfacen la condicion de radiacion de

Sommerfeld, por lo que no permiten representar ondas viajeras

Por el contrario las funciones parabolicas cilındricas, tienen el comportamiento

oscilatorio asintotico, y la envolvente decae como 1√µ. Esto es similar a lo que ocurre con el

resto de las coordenadas cilındricas

En la Figura 5.7, podemos apreciar el comportamiento oscilatorio de las funciones

parabolicas cilındricas, para µ par e impar.

(a) (b)

Figura 5.7: Funcion cilındrica parabolica para µ a) Par b) Impar

Sin embargo, la variable radial de el sistema de coordenadas cilındricas parabolicas

corresponde a la que mostramos en la Figura 3.8 (b), descrita por medio cilindro parabolico.

La funcion de onda viajera es

Pe(a, ν) + iPo(a, ν) (5.27)


En la figura 5.8 presentamos las funciones cilındricas parabolicas para −a, las cuales

corresponde a la solucion de la ecuacion diferencial de la variable ν, en a) par, en b) impar,

en c) el perfil del frente de onda, y en d el valor absoluto de la solucion viajera, donde es

necesario que a > 1. La cual es congruente con la expansion asintotica para µ y a moderada

y corresponde a las siguientes igualdades [41].

W (a, µ) =

√2k

µ(s1(a, µ) cos

(1

4µ2 − a lnµ+

1

2φ2

)− s2(a, µ) sin

(1

4µ2 − a lnµ+

1

2φ2)

).

(5.28)

Donde s(a, µ) = s1(a, µ) + is2(a, µ), y s(a, µ) ∼∑∞

r=0(−i)r Γ(2r+1/2+ia)Γ(1/2+ia)

12rr!µ2r

En estas igualdades observamos como la funcion decae a razon de 1√(ν)

, lo que nos

permite corroborar que estas funciones cumplen con la condicion de radiacion de Sommerfeld.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.8: Solucion en coordenadas Cilındricas Parabolicas ν a) Funcion cilındrica parabolica

par b) Funcion cilındrica parabolica impar, d) Perfil del frente de onda y c) valor absoluto

de la solucion fundamental


5.2. Coordenadas Rotacionales

5.2.1. Coordenadas Esfericas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas, obtuvimos las

siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ (κ2r2 −Q)R = 0,

(1− x2)d2P (x)

dx2− 2x

dP (x)

dx+ [Q− m2

1− x2]P (x) = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(5.29)

La primer ecuacion es la conocida ecuacion de Bessel esferica. Trabajando con esta ecuacion,

primero multiplicamos el primer termino por k2

k2 , y el segundo por kk, esto no altera la ecuacion,

y despues hacemos el cambio kr → r. La segunda y tercera ecuacion son adimensionales, por

lo que podemos decir que ya estan normalizadas. Las formas canonicas para estas ecuaciones

son:

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ (r2 −Q)R = 0,

(1− x2)d2P (x)

dx2− 2x

dP (x)

dx+ [Q− m2

1− x2]P (x) = 0, x = cos θ,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(5.30)

Para la coordenada ϕ tenemos la familiar ecuacion del oscilador simple, con solucion e−imϕ.

Ademas, para la coordenada angular θ tenemos la funcion asociada de Legendre. Esta es una

ecuacion diferencial de segundo orden, por esta razon la solucion completa es

C1Pmn (x) + C2Q

mn (x). (5.31)

Donde Pmn es la funcion asociada de Legendre de primer tipo y Qm

n es la funcion asociada

de Legendre de segundo tipo. C1 y C2 son constantes arbitrarias. En la Figura 5.9 podemos

apreciar el comportamiento oscilatorio de estas funciones. Es comun, que en algunos textos

no se considere el rol de la funcion de segundo tipo, en la interpretacion fısica de la solucion

de las coordenadas esfericas, debido a que presenta singularidades en los extremos de su

intervalo [−1, 1].


(a) (b)

Figura 5.9: Funcion asociada de Legendre a) primer tipo b) segundo tipo

En este sistema es claro que la coordenada radial es r, y es mostrada en la Figura 3.10

(a), descrita por esferas concentricas centradas en el origen. La ecuacion correspondiente a

esta coordenada es la ecuacion de Bessel esferica. Similarmente a la coordenada radial en

coordenadas cilındricas, las jn no son la unicas soluciones, tambien tenemos las funciones

Neumann esfericas nn. No es necesario realizar los calculos para encontrar estas funciones,

debido a que es posible deducirlas a partir de las funciones Bessel empleando las siguientes

igualdades

jn(r) =

√π

2rJn+1/2(r),

nn(r) =

√π

2rNn+1/2(r),

(5.32)

la general solucion que representa ondas viajeras son las funciones Hankel esfericas, esta son

obtenidas a partir de las Bessel y Neumann esfericas

h(1)n (r) = jn(r) + inn(r),

h(2)n (r) = jn(r)− inn(r),

(5.33)

para aplicar la condicion de radiacion, es necesario conocer la expansion asintotica de las

funciones Hankel esfericas, estas son:

h(1)n (r) ≈ 1

reir−

n+12π,

h(2)n (r) ≈ 1

re−ir−

n+12π.

(5.34)


Podemos ver que la funcion tiene un comportamiento oscilatorio y su envolvente decae como1r, de esta manera, nosotros aplicamos la condicion de radiacion, por lo que la ecuacion 5.2

es

lımr→∞

r(∂u

∂r+ iκu) = 0. (5.35)

Y la funcion Hankel esferica, satisface esta condicion.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.10: Solucion en coordenadas Esfericas a) Funcion Bessel esferica de primer tipo b)

Funcion Bessel esferica de Segundo tipo, c) Perfil del frente de onda y d) valor absoluto de

la solucion fundamental


En la Figura 5.10 presentamos en a) Funciones Bessel esfericas de prime tipo, en b) funciones

Neumann esfericas, c) el perfil del frente de onda, y en d) el valor absoluto de la solucion

fundamental, en la que observamos que decae a razon de 1r

convergiendo a cero.

5.2.2. Coordenadas Esferoidales Prolatas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales prolatas

presentadas en el capıtulo cuatro, obtuvimos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

(ξ2 − 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ−(anm − d2k2ξ2 +

m2

ξ2 − 1

)R = 0, (5.36)

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+

(anm − d2k2η2 +− m2

1− η2

)Θ = 0, (5.37)

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0. (5.38)

Debido a las variables son adimensionales, ya que estas son dadas por la distancia focal d, es

suficiente con proponer el cambio c = kd para obtener la forma canonica de estas ecuaciones

(ξ2 − 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ− (an,m − c2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1))R = 0,

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+ (an,m − c2η2 − m2

(1− η2))Θ = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(5.39)

De esta manera podemos notar que la ecuacion para la variable ϕ es la ecuacion

armonica simple y por lo tanto tiene solucion e−imϕ, donde m es el numero de ciclos completos

para la funcion Φ. Las primeras dos ecuaciones son conocidas como: ecuacion de onda radial

prolata y ecuacion de onda angular prolata respectivamente.

Iniciamos trabajando con la ecuacion angular, esta es la ecuacion respecto a la variable

η. Esta ecuacion tiene tres puntos singulares, dos regulares en η = ±1 y uno irregular en

η =∞.

Esta ecuacion puede ser resuelta proponiendo soluciones en terminos de potencia de η

o en potencias de (1− η2) [41]. Sin embargo la propuesta de solucion mas utilizada es la que

esta basada en la generalizacion de el sistema esferico.


Cuando k = 0 y por lo tanto c = 0, la ecuacion angular se reduce a la funcion asociada

de Legendre, por esta razon, estas funciones pueden ser llamadas funcion de onda Legendre

[10]. De esta manera, las soluciones de esta ecuacion son propuestas como una suma infinita

de funciones asociadas de Legendre.

S(1)mn(c, η) =

∞∑r=0,1

′dmnr (c)Pmm+k(η). (5.40)

En el apendice C, podemos revisar explıcitamente las operaciones para estas funciones y los

valores caracterısticos de esta ecuacion.

Recordemos que la ecuacion es de segundo orden, y por lo tanto tiene una segunda

solucion, la funcion Angular de segundo tipo. Para la cual proponemos una solucion de la

forma

S(2)mn(c, η) =

∞∑r=−∞

′dmnr Qmm+k(η). (5.41)

La funcion asociada de Legendre de segundo tipo tiene un comportamiento asintotico

logarıtmico en |η| = 1, por lo tanto, la funcion angular de segundo tipo es singular en

estos puntos. Aunque estas soluciones han sido consideradas que no tienen aplicaciones

fısicas, nosotros consideramos que podrıan ser aplicadas al estudio de las fluctuaciones en

una superficie esferoidal debido a un impacto, donde el impacto podrıa ser representado por

la singularidad en uno de los extremos y las oscilaciones podrıan estar presente a lo largo de

la superficie del esferoide.

Ahora, en la Figura 5.11, mostramos la funcion de onda angular de primer tipo, para

c = 5 en (a) para m = 0 con n = 1, 2, 3, 4 y en (b) para m = 2 con n = 2, 3, 4, 5. Es

importante notar que n puede ser solo tan grande o igual que m.


(a) (b)

Figura 5.11: Funcion de onda angular prolata de primer tipo a) m=0, c=5 y b) m=2, c=5

Continuando ahora con la Figura 5.12 podemos ver la funcion de onda angular de segundo

tipo, donde podemos apreciar la singularidad en los extremos de estas funciones, esto es en

a) para c = 5 con m = 0 y n = 0, 1, 2, 3, en b) para c = 5, m = 2 y n = 2, 3, 4, 5

(a) (b)

Figura 5.12: Funcion de onda angular prolata de segundo tipo a) m=0,c=5 b) m=2,c=5

En la Figura 5.13 presentamos las funciones angular prolatas las cuales tienen un

comportamiento muy similar al Gaussiano, estas caracterısticas junto con otros parametros


fueron utilizados por Rodriguez [33] para establecer la conexion entre los parametros fısicos de

las soluciones de haces esferoidales noparaxiales y la familia de haces Gaussianos paraxiales.

(a) (b)

Figura 5.13: Funcion de onda Angular de segundo tipo a) m=0,n=0 b) m=1,n=1

Por otra parte, para la funcion de onda radial Rm,n(c, ξ), cuando k = 0 y en consecuencia

c = 0, esta ecuacion se reduce a la ecuacion de Bessel esferica. Entonces, en base a esto,

la solucion que se propone es una suma infinita de funciones Bessel esfericas. Tenemos la

siguiente solucion [6]

R(1)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!jm+r(cξ), (5.42)

R(2)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!ym+r(cξ), (5.43)

R(3)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!h

(1)(2)m+r (cξ), (5.44)

donde j, y y h son las funciones esfericas Bessel, Neumann y Hankel respectivamente. Los

valores caracterısticos am,n son similares a los de la ecuacion de onda angular y pueden ser

calculadas de la misma manera para estas funciones.

Para una extension de las operaciones y calculos para obtener estas soluciones, ver

Apendice C.


En la Figura 5.14 podemos observar el comportamiento oscilatoria de la funcion de

onda radial, en (a) primer tipo R(1)m,n(c, ξ), para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4; en (b) segundo

tipo R(2)m,n(c, ξ), in (c) podemos ver el perfil del frente de onda para estos campos radiantes, y

en (d) el comportamiento del valor absoluto para las soluciones fundamentales R(1)m,n+ iR

(2)m,n.

Podemos claramente notar que estas soluciones permiten representar campos radiantes, note

en la Figura (d) como la solucion fundamental decae como 1r, y esta tiende a cero conforme

incrementa ξ.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.14: Solucion en coordenadas Esferoidales Prolatas para los parametros m = 2, c = 5

a) Funcion de onda Radial Prolata Primer tipo b) Funcion de onda Radial Prolata segundo

tipo c) Perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la solucion fundamental

Ahora en la Figura 5.12 tenemos la funcion de onda Radial para los parametros m = 1, c = 5

y n = 1, 2, 3, 4 en (a) primer tipo en (b) segundo tipo y en (c) el comportamiento del valor

absoluto para la solucion fundamental.


(a) (b)

(c)

Figura 5.15: Solucion en coordenadas Esferoidales Prolatas con parametros m = 2 c = 5 a)

Funcion de onda Radial alargada primer tipo b) Funcion de onda Radial alargada segundo

tipo y c) Valor absoluto de la solucion fundamental

Similar a las funciones Bessel esfericas, en las funciones radial, tenemos una funcion de

onda radial de tercer tipo R(3)m,n y cuanto tipo R

(4)m,n. Todas estas funciones se relacionan como

sigue

R(3)m,n = R(1)

m,n + iR(2)m,n,

R(4)m,n = R(1)

m,n − iR(2)m,n.

(5.45)

Para realizar los calculos de las funciones radial de segundo tipo, estas funciones

presentan problemas para pequenos valores cξ, debido a que las funciones Bessel esfericas

converge muy lentamente, otra expansion es usada [6].


Recordemos que para representar ondas viajera, es necesario que las funciones satisfagan

la condicion de radiacion de Sommerfeld. Para lo cual debemos conocer el comportamiento

asintotico, por lo cual se tienen las siguiente ecuaciones [41].

R(1)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξcos [cξ − 1

2(n+ 1)π],

R(2)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξsin [cξ − 1

2(n+ 1)π],

R(3)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξei[cξ−

12

(n+1)π],

R(4)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξe−i[cξ−

12

(n+1)π].

(5.46)

Se puede apreciar que R(1)m,n y R

(2)m,n representan por si solas ondas estacionarias y R

(3)m,n y

R(4)m,n representan ondas viajeras entrantes y salientes respectivamente. Ademas, tienen una

atenuacion 1ξ, esto es consistente, ya que las ondas esferoidales convergen a esfericas.

5.2.3. Coordenadas Esferoidales Oblatas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas,

obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

(ξ2 + 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ−(anm − k2d2ξ2 − m2

ξ2 + 1

)E = 0, (5.47)

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+

(an,m + k2d2η2 − 1

1− η2

)N = 0, (5.48)

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0, (5.49)

Debido a que las variables son adimensionales, y las dimensiones son dadas por la

distancia focal d, por lo que unicamente con el cambio c = kd, obtenemos la forma canonica

de estas ecuaciones


(ξ2 + 1)d2R

dξ2+ 2ξ

dR

dξ− (an,m − c2ξ2 − m2

ξ2 + 1)R = 0, c = kd,

(1− η2)d2Θ

dη2− 2η

dΘ

dη+ (an,m + c2 − m2

1− η2)Θ = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(5.50)

Nuevamente tenemos presente la ecuacion armonica simple para la variable ϕ, y por

lo tanto tiene solucion e−imϕ. Esta ecuacion la tenemos presente en los cuatro sistemas de

coordenadas clasificados como rotacionales.

Las soluciones de la ecuacion con respecto a la variable η es la funcion de onda angular

oblata. La cual podemos obtener directamente de las prolata unicamente haciendo el cambio

c por −ic, de esta forma la funciones de onda angular achatadas de primer y segundo tipo

son definidas como sigue

S(1)mn(−ic, η) =

∞∑r=0,1

′dmnr (−ic)Pmm+k(η), (5.51)

S(2)mn(−ic, η) =

∞∑r=−∞

′dmnr (−ic)Qmm+k(η). (5.52)

Los coeficientes de expansion dmnr (−ic) pueden ser calculados usando las mismas

operaciones que para las alargadas, solo cambiando c por −ic.

En la Figura 5.16 podemos ver las funciones de onda Angular achatadas de primer tipo,

en (a) para m = 1, c = 5 y n = 0, 1, 2, 3 en (b) para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4,


(a) (b)

Figura 5.16: Funcion de onda Angular oblata de primer tipo a)m=0, c=5 b) m=1, c=5

Ahora en la Figura 5.17 presentamos la funcion de onda angular oblata de segundo

tipo, en (a) para m = 1, c = 1 y n = 1, 2, 3, 4, en (b) para m = 2, c = 1 y n = 2, 3, 4, 5. En

esta funcion tiene singularidades en ±1 similarmente a las prolatas.

(a) (b)

Figura 5.17: Funcion de onda Angular oblata de segundo tipo a) m=1, c=1 b) m=2, c=1


La funcion de onda radial oblata puede ser obtenida de la prolata, haciendo los siguientes

cambios c por −ic y ξ por iξ.

En la Figura 5.19 podemos ver el comportamiento de la funcion de onda radial achatada

de primer tipo, en (a) para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4, en (b) para m = 2, c = 5 y

n = 2, 3, 4, 5. En ellas es posible observar su comportamiento oscilatorio y su convergencia a

cero para valores de ξ grandes.

Estas funciones radiales achatadas tambien son de cuatro tipos, las ultimas dos son

combinaciones de las primeras dos

R(3)m,n(−ic, iξ) = R(1)

m,n(−ic, iξ) + iR(2)m,n(−ic, iξ),

R(4)m,n(−ic, iξ) = R(1)

m,n(−ic, iξ)− iR(2)m,n(−ic, iξ).

(5.53)

Con la consideracion de el rango alternativo −∞ < ξ < ∞, para este sistema de

coordenadas, fue como Rodriguez [42], explico a detalle el formalismo para los lımites de los

haces paraxiales y noparaxiales

Finalmente para este sistema de coordenadas es necesario tener la expansion asintotica

de estas funciones para constatar que satisface la condicion de radiacion. La convergencia es

similar a las coordenadas esferoidales prolatas debido a la multiplicacion (−ic)(iξ) = cξ.

R(1)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξcos [cξ − 1

2(n+ 1)π],

R(2)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξsin [cξ − 1

2(n+ 1)π],

R(3)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξei[cξ−

12

(n+1)π],

R(4)m,n −−−→

cξ→∞

1

cξe−i[cξ−

12

(n+1)π].

(5.54)

Por lo tanto, tenemos que R(1)m,n(−ic, iξ) y R

(2)m,n(−ic, iξ) representan ondas estacionarias

[18], R(3)m,n(−ic, iξ) R(4)

m,n(−ic, iξ) representan ondas viajeras entrantes y salientes respectiva-

mente. En la Figura 5.19 presentamos funciones de onda radial oblatas con parametros c = 5

y m = 1, en a de primer tipo para n = 1, 2, 3, 4, en b) de segundo tipo para n = 1, 2, 3, 4, en

c) el perfil de onda tıpico de este sistema coordenado un esferoide de revolucion achatado, y

en d el valor absoluto de la solucion fundamental. El comportamiento de convergencia a cero

a razon de 1/r se observa en las graficas de la solucion fundamental, sumado a la formula

de expansion asintotica de estas funciones se comprueba su cumplimiento de la condicion de

radiacion de Sommerfeld.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.18: Solucion en coordenadas Esferoidales Oblatas con parametros c = 5, m = 1

a)Funcion de onda radial oblata primer tipo b) Funcion de onda radial oblata segundo tipo

c) perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la solucion fundamental

5.2.4. Coordenadas Parabolicas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas, obtenemos

las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias


d2M

dµ2+

1

µ

dM

dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2

µ2)M = 0, (5.55)

d2V

dν2+

1

ν

dV

dν+ [k2ν2 + kq2 − m2

ν2]V = 0, (5.56)

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0. (5.57)

Para obtener la forma canonica de las dos primera ecuaciones, multiplicamos por 1k

cada

ecuacion, con en fin obtener en todos los terminos de las ecuaciones las variables multiplicadas

por el numero de onda k, una vez logrado esto hacemos el cambio de variable k1/2µ → µ

para la primer ecuacion y k1/2ν → ν para la segunda, resultando

d2M

dµ2+

1

µ

dM

dµ+ [µ2 − q2 − m2

µ2]M = 0,

d2V

dν2+

1

ν

dV

dν+ [ν2 + q2 − m2

ν2]V = 0,

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

(5.58)

La ecuacion con respecto a la variable acimutal ϕ, al igual que el resto de las coordenadas

rotacionales tiene solucion e−imϕ.

Las otras dos ecuaciones son practicamente iguales, la diferencia entre ellas es la con-

stante q2, en una positiva y en la otra negativa. Sı observamos detenidamente estas ecuaciones

podemos notar que es muy simular a la ecuacion Bessel. Cuando el numero de onda para

esta ecuacion es cero k = 0, tenemos exactamente la ecuacion de Bessel. Por esta razon, un

nombre apropiado para esta ecuacion es ecuacion de onda Bessel [10].

Tenemos un par de alternativas para resolver esta ecuacion, la primera es realizando

los cambios de variable µ2 = v y M = v−1/2V y obtenemos la ecuacion hipergeometrica

confluente (Whittaker) [43]. Al realizar estos cambios las soluciones involucran numero

complejos [22], y no es facil de apreciar su comportamiento oscilatorio.


La otra alternativa es resolver la ecuacion de Bessel utilizando el metodo de Frobenius,

el cual es claramente similar al de las funciones Bessel, y en efecto cuando k = 0, el resultado

corresponde a la funcion Bessel.

En el apendice C mostramos las operaciones necesarias para encontrar la solucion de la

ecuacion de onda Bessel, tambien tenemos su correspondiente solucion para la de segundo

tipo, la cual podemos llamar funcion de onda Neumann.

La solucion completa para valores no enteros de m, es

AJwm(q2, ν) +BJw−m(q2, ν). (5.59)

Para la solucion de la ecuacion correspondiente a la variable ν, unicamente cambiamos

q2 por −q2, es decir

AJwm(−q2, µ) +BJw−m(−q2, µ). (5.60)

Al igual que ocurre para las funciones Bessel convencionales, para valores enteros de m

es necesario utilizar las funciones de segundo tipo. La solucion fundamental para este sistema

implicara la suma de la de primer tipo mas el imaginario de la de segundo tipo, esto es

AJwm(q2, ν) + iBNwm(q2, ν). (5.61)

En la Figura 5.19, presentamos la funcion de onda Bessel, con parametro q = 8 y

m = 0, 1, 2, 3 en (a) de primer tipo, en (b) de segundo tipo o funcion de onda Neumann, en

c) el perfil del frente de onda y en d) el comportamiento del valor absoluto de la solucion

fundamental, donde podemos notar su comportamiento asintotico a cero al incrementar el

valor de la variable.

De estas soluciones, podemos determinar las funciones que representan ondas viajeras,

estas funciones son equivalentes a las funciones Hankel.

H(1)p (q2, ν) = Jwp(q

2, ν) + iNwp(q2, µ),

H(2)p (q2, ν) = Jwp(q

2, ν)− iNwp(q2, ν).(5.62)

Cuando el valor de ν tiende a infinito las funciones converge a las funciones parabolicas

cilındricas con atenuacion a una razon de 1√ν, esto lo podemos apreciar en la ecuacion

diferencial ordinaria de onda Bessel, pues para valores grandes tenemos un termino

multiplicado por 1ν

y otro por 1µ2 y se hacen cero para valore grandes quedando la ecuacion

diferencial cilındrica parabolica. Es ası, que satisface la condicion de radiacion de Sommerfeld.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.19: Solucion en coordenadas Parabolicas a) Funcion de onda Bessel, b) funcion de

onda Neumann c) perfil del frente de onda, y d) Valor absoluto de la solucion fundamental

Por otra parte, las funciones de onda Bessel para −q2, y continuando con las referencias

a las funciones Bessel, a esta funciones las llamamos funcion de onda Bessel modificada,

debido a que tambien puede ser obtenida haciendo el cambio µ→ iµ en la funcion de onda

Bessel. Pero la diferencia con las Bessel modificadas es que estas si oscilan. Al incrementar


el valor de q, las oscilaciones aparecen a una distancia cada vez mayor del origen, tal y como

lo vemos en las Figura 5.20.

(a) (b)

Figura 5.20: Funcion de onda Bessel modificada a) q = 3 y p b) q = 4 y p

Para este sistema de coordenadas encontramos que la variables que nos permite

representar campos radiantes, es la correspondiente a la variable ν cuyo perfil describe una

parabola negativa.

5.3. Conclusiones

En este capıtulo presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y

sus graficas, las cuales resultaron de la separacion de la ecuacion de Helmholtz en los sistemas

de coordenadas con simetrıa de traslacion y rotacion: rectangulares, cilındricas circulares,

cilındricas elıpticas, cilındricas parabolicas, esfericas, esferoidales prolatas, esferoidales

oblatas y parabolicas.

Tambien identificamos la ecuacion de la variable radial y mostramos que su solucion

nos representa ondas viajeras, mostramos las condiciones que deben satisfacer y mostramos

las graficas de esta solucion fundamental.

Para el siguiente capıtulo, continuaremos con las soluciones de los sistemas de

coordenadas menos comunes.

Capıtulo 6

Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de

Helmholtz

En este capıtulo, presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

correspondientes a los sistemas coordenados elipticoidales: conicas, paraboloidales y

elipsoidales

De manera similar al capıtulo previo, a fin de presentar las soluciones normalizamos las

ecuaciones en su forma canonica. Luego estudiaremos las caracterısticas de estas soluciones

que permiten representar ondas radiantes, para cada uno de estos sistemas de coordenadas

6.1. Introduccion

En los textos de la fısica matematica es difıcil de encontrar estos sistemas de

coordenadas, y aun mas difıcil es encontrar las soluciones a la ecuacion de Helmholtz para

estos sistemas de coordenadas. Sin embargo, en el cada vez mas importante estudio de los

fenomenos de campo relacionados con las condiciones de contorno o simetrıas complejas, que

pueden ser estudiados de una mejor manera en los sistemas de coordenadas que mejor se

adapten a ellos.

Presentaremos las soluciones (funciones especiales) que son poco comunes. Incluso

algunas de estas funciones sus graficas no se encuentran en la literatura, por ejemplo,

las funciones de onda paraboloidales, o algunas no muestran suficiente informacion de su

comportamiento, como por ejemplo las funciones de onda Lame [44]. Ya que estas funciones

son las mas complejas que se pueden obtener de la separacion de la ecuacion de Helmholtz.

Repetimos el procedimiento utilizado para los sistemas de coordenadas mas comunes,

primeramente vamos a normalizar la ecuacion en su forma canonica, por lo que, el resultado

son ecuaciones adimensionales. Esta normalizacion no se ha encontrado en la literatura para

las ecuaciones de algunos de estos sistemas de coordenadas, en ciertos textos los autores

no tuvieron en cuenta las unidades en los terminos de las ecuaciones, cuando se asignan

131

132 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz

las constantes de separacion, lo que conlleva a errores fısicos, porque las unidades no son

uniformes para todos los terminos de la ecuacion.

Una vez que tenemos las ecuaciones sin dimensiones, procederemos a encontrar sus

correspondientes soluciones, utilizaremos tambien el metodo de series de potencias. Sin

embargo, para los sistemas elipsoidales y paraboloidales, a pesar de que las ecuaciones para

estos sistemas son extremadamente difıciles de tratar, se lograron conseguir los resultados

mediante la propuesta de soluciones tal como las series de potencias, pero aun requiere una

mayor estabilidad de estos, debido a que, contamos con tecnicas numericas para encontrar y

estudiar un mayor numero de parametros. Mas detalles de las soluciones de estas ecuaciones

diferenciales ordinarias las podemos encontrar en el Apendice C.

Mas tarde, presentaremos los graficos donde se observa el comportamiento de estas

soluciones. A pesar de tener las soluciones, es indispensable tener precaucion para determinar

si estas soluciones pueden representar ondas viajeras, es decir, que satisfagan la condicion

de radiacion Sommerfeld.

6.2. Coordenadas Elipticoidales

6.2.1. Coordenadas Conicas

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas conicas, obtenemos las

siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ (k2r2 − n(n+ 1))R = 0, (6.1)

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)d2Θ

dθ2e

− θe[2θ2e − (b2 + c2)]

dΘ

dθe+ [n(n+ 1)θ2

e − q(b2 + c2)]Θ = 0, (6.2)

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)d2Φ

dϕ2e

+ ϕe[2ϕ2e − (b2 + c2)]

dΦ

dϕe− [n(n+ 1)ϕ2

e + q(b2 + c2)]Φ = 0. (6.3)

La primera ecuacion es la unica que contiene el numero de onda k, para obtener su

forma canonica, multiplicamos el primer termino por k2

k2 , y el segundo por kk. Posteriormente

hacemos el cambio de variable kr → r. Para las otras dos ecuaciones no es necesario hacer

los cambios .

El conjunto de tres ecuaciones diferenciales en su forma canonica es


r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ (r2 − n(n+ 1))R = 0,

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)d2Θ

dθ2e

− θe[2θ2e − (b2 + c2)]

dΘ

dθe+ [n(n+ 1)θ2

e − q(b2 + c2)]Θ = 0,

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)d2Φ

dϕ2e

+ ϕe[2ϕ2e − (b2 + c2)]

dΦ

dϕe− [n(n+ 1)ϕ2

e + q(b2 + c2)]Φ = 0.

(6.4)

La ecuacion (6.1) es exactamente la ecuacion Bessel esferica, si nosotros recordamos en

este sistema la superficie correspondiente a la variable r son esferas concentricas identicas a

las coordenadas esfericas.

Por lo tanto, la solucion completa de esta ecuacion es

Ajn(r) +Bnn(r), (6.5)

donde A y B son constantes arbitrarias, ademas jn y nn son las funciones Bessel esfericas

de primer y segundo tipo respectivamente, de las cuales obtenemos las de tercer y cuarto

tipo. Las llamadas funciones Hankel esfericas.

h(1)n (r) = jn(r) + inn(r),

h(2)n (r) = jn(r)− inn(r).

(6.6)

Estas funciones Hankel esfericas h(1)n (r) y h

(2)n (r) representan ondas viajeras entrantes

y salientes respectivamente. De manera individual jn y yn representan ondas estacionarias.

En la Figura 6.1, presentamos las funciones Bessel esfericas para n = 0, 1, 2, 3, en a) de

primer tipo, en b) de segundo tipo, en c el perfil del frente de onda y en d) el comportamiento

del valor absoluto de la solucion fundamental. La solucion es igual que para las coordenadas

esfericas, es decir, estas funciones pueden representar campos radiantes, las diferencias entre

estos dos sistemas se encuentra en los dos coordenadas restantes.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.1: a)Funcion Bessel esfericas, b)Funciones Neumann esfericas, c) Perfil del frente

de onda, y d) Valor absoluto de la solucion fundamental

Las ecuaciones restantes correspondientes a las variables θe y ϕe son llamadas ecuacion

de Lame, debemos tener presente que estas son equivalentes a las coordenadas angular y

acimutal en las coordenadas esfericas, pero con trayectorias elipticoidales. Ambas ecuaciones

son iguales.

Existes cinco formas de solucionar la ecuacion de Lame: la Jacobiana, la Weierstrassian,

dos formas algebraicas y una trigonometrica [45, 46, 60].


Para una forma mas general de esta ecuacion, proponemos los siguientes cambios

h2 = c2−b2c2

y el modulo complementario h′2 = b2

c2, y realizando algebra obtenemos la siguiente

ecuacion de Lame [46]

(1− θ2e)(1− h2θ2

e)d2Θ

dθ2e

− θe(1 + h2 − 2h2θ2e)dΘ

dθe+ (q − n(n+ 1)θ2

e) = 0. (6.7)

Tomando esta forma de la ecuacion Lame, y haciendo el cambio de variable θe → sn z,

donde sn en la funcion elıptica Jacobi, obtenemos la forma de Jacobiana de esta funcion.

A pesar de que la funcion Lame tiene mas de un siglo de ser conocida, es difıcil encontrar

en la literatura fısica-matematicas graficas de estas funciones. En recientes trabajos se han

presentado estudios y aplicaciones de la funcion Lame en su forma Jacobiana, incluyendo

algunas graficas [20, 48].

La solucion de esta ecuacion en su forma algebraica se realiza empleando series de

potencia, pero la mas utilizada es haciendo uso de las funciones Elıpticas Jacobianas.

Nosotros hemos descrito el sistema de coordenadas empleando la forma algebraica, por esta

razon las soluciones las encontraremos para la misma forma algebraica

Entonces proponemos la solucion de la forma

Lmn (θe) = θr/2e (1− θe)s/2(1− h2θ2e)t/2

n∑j=0

aj(1− θ2e)j, (6.8)

donde r, s, t son cero o uno, p = (1/2)(n − r − s − t). Para valores fijos de n existen

2n+ 1 parametros de separacion qmn . Tenemos ocho posibles soluciones, que corresponden a

las ocho posibles combinaciones r, s, t.

Al sustituir esta serie en la ecuacion (6.7), obtenemos una ecuacion de recurrencia, la

cual puede resolverse como un problema de eigenvalores.

La construccion de estas funciones son de manera similar a las funciones Mathieu, es

decir, para funciones par dos con diferentes periodos, y para impares otras dos con periodos

diferentes tambien [46]. Esto aplica perfectamente cuando se usa la forma Jacobiana, pero

para la forma algebraica, los periodos no son simples o dobles. Pero siguen siendo ocho

posibles soluciones, cuatro pares y cuatro impares. Para su representacion utilizamos las

siguientes variables

Km2n Lm2n+2 Mm

2n+2 Nm2n+2 Km

2n+1 Lm2n+1 Mm2n+1 Nm

2n+3. (6.9)

Para detalles de las operaciones realizadas para resolver la ecuacion de Lame, podemos

ver el Apendice C

Ahora mostramos las graficas de las funciones Lame de primer tipo, en las Figura 6.2

en (a) para Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Lm2n+2 con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.


(a) (b)

Figura 6.2: Funcion Lame de primer tipo a) Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3 b) Lm2n+2 con

n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.

En la Figura 6.3 podemos tenemos la funcion Lame de primer tipo, en (a) para Mm2n+1

con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Nm2n+3 con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.

(a) (b)

Figura 6.3: funcion Lame de primer tipo a) Mm2n+1 b) Nm

2n+3


En la figura 6.4 presentamos la funcion Lame de primer tipo , en a para Km2n+1 con

n = 9 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Lm2n+1 con n = 9 y m = 0, 1, 2, 3.

(a) (b)

Figura 6.4: Lame function first kind a) Km2n+1 b) Lm2n+1

En la Figura 6.5 tenemos la funcion Lame de primer tipo, en a para Mm2n+2 con n = 9

y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Nm2n+2 con n = 9 y m = 0, 1, 2, 3.

(a) (b)

Figura 6.5: Lame function a) Mm2n+1 b) Nm

2n+1


Es importante mencionar que estas funciones se utilizan para representar los elipsoidales

armonicos, las cuales son equivalentes las esfericos armonicos, debido a que estas funciones

tambien son soluciones de la ecuacion de Laplace en coordenadas elipsoidales.

6.2.2. Coordenadas Paraboloidales

Existen pocos trabajos de la solucion de la ecuacion de Helmholtz en este sistema

de coordenadas, e incluso hasta el momento no encontramos graficas en la literatura

especializada para estas soluciones.

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas Paraboloidales, tenemos

el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, resaltando la congruencia de la

unidades en todos los terminos de estas ecuaciones al incluir el numero de onda k como parte

de las constantes de separacion


dµ2e

+ [2µe − (b+ c)]dM

dµe+[k2µ2

e − sk(b+ c) + kpµe]M = 0,


dν2e

+ [2νe − (b+ c)]dV

dνe+[k2ν2

e − sk(b+ c) + kpνe]V = 0,


dϕ2e

− [2ϕe − (b+ c)]dΦ

dϕe−[k2ϕ2

e − sk(b+ c) + kpϕ]

Φ = 0.

(6.10)

Estas tres ecuaciones en esta forma algebraica son conocidas como Ecuacion de onda

Paraboloidal o tambien son llamadas ecuacion de onda baer [13], podemos notar que las tres

ecuaciones son iguales, en la ecuacion con respecto a νe, invertimos los factores (c−νe)(b−νe)por (νe − c)(νe − b), y en la ecuacion con respecto a ϕe invertimos el factor (c − ϕe) para

obtener −(ϕe − c) y multiplicamos la ecuacion por −1, de esta forma las tres ecuaciones

quedan exactamente iguales. Para obtener las soluciones de las variables coordenadas se debe

evaluar la ecuacion de Onda Baer para el rango correspondiente de la variable coordenada,

por ejemplo si queremos resolverla con respecto a ϕe la ecuacion la debemos evaluar en el

rango (b, c) que es el rango de esta variable.

En este sentido, primero obtendremos la forma canonica de estas ecuaciones, para ello

multiplicamos el primer termino por k2

k2 , y el segundo termino por kk, para despues proponer

el siguiente cambio ck = c, bk = b y kµ = µ. Repetimos este procedimiento para las tres

ecuaciones, y de esta forma tenemos las ecuaciones de las coordenadas paraboloidales en su

forma canonica



dµ2e

+ [2µe − (b+ c)]dM

dµe+[µ2e − s(b+ c) + pµe

]M = 0,


dν2e

+ [2νe − (b+ c)]dV

dνe+[ν2e − s(b+ c) + pνe

]V = 0,


dϕ2e

− [2ϕe − (b+ c)]dΦ

dϕe−[ϕ2e − s(b+ c) + pϕe

]Φ = 0.

(6.11)

Ahora, para la solucion de esta ecuacion diferencial son escasos los trabajos existentes,

y de los pocos existentes la mayorıa opta por solucionarla en su forma trigonometrica, pues

parecıa ser el camino viable para resolver esta ecuacion. Sin embargo hemos encontrado que a

pesar de que matematicamente resolvemos la ecuacion de manera correcta, no necesariamente

esta podrıa tener un significado fısico apropiado, congruente con la representacion de ondas

propagantes, que es precisamente el significado de la ecuacion de Helmholtz. En este sentido,

para las soluciones de la ecuacion de onda Paraboloidal, iniciamos trabajandola en su

forma trigonometrica, que es donde autores como Urwin y Arscott la resuelven [46, 49].

Encontramos que unicamente muestran resultados analıticos para la variable angular, sin

presentar graficas de estas soluciones.

Recordemos que los sistemas de coordenadas los obtenemos a partir de las ecuaciones de

transformacion, y estas ecuaciones no estas restringidas a una sola funcion, si no que pueden

emplearse funciones equivalentes que dan exactamente las mismas superficies coordenadas,

el sistema Paraboloidal nosotros lo hemos presentado a partir de funciones algebraicas,

pero tambien se tiene una forma trigonometrica de representarlo. Es precisamente en

la forma trigonometrica donde se han obtenido mas resultados de esta ecuacion. Por

esta razon consideramos que es importante mostrar las soluciones obtenidas en la forma

trigonometrica, para lo cual iniciaremos obteniendo la ecuacion de onda Paraboloidal en su

forma trigonometrica.

Para realizar la conversion de la forma algebraica a la trigonometrica, proponemos el

siguiente cambio de variable ψ = cos2 ϕe y tambien consideramos b = 0 y c = 1, obteniendo

la siguiente ecuacion

d2Φ

dψ2+ (β + γ cos 2ψ − 1

2cos 4ψ)Φ, (6.12)

donde β = 32

+ 2p − 4s y γ = 2(p + 1) esta es la ecuacion de onda Paraboloidal

en su forma trigonometrica, que tambien es general ya que si queremos las ecuaciones

para las otras dos variables coordenadas, unicamente tenemos que reemplazar ϕ → iµeor ϕ→ iνe + (1/2)π. La ecuacion 6.12 es conocida como la ecuacion de hill de tres terminos,

o tambien ecuacion de Whittaker-Hill [46, 49]. Ya en esta ecuacion, si deseamos resolverla


mediante series trigonometricas, tendremos una relacion de recurrencia de cinco terminos

entre los coeficientes, ası que la propuesta de series trigonometricas es complicada de aplicar.

Por lo tanto, proponemos los siguientes cambios

(1/2) = −(1/8)χ2, β = α− 1

8χ2, γ = −(p+ 1)χ, (6.13)

entonces tenemos

d2Φ

dψ2+ [α− 1

8χ− (p+ 1)χ cos 2ψ +

1

8χ2 cos 4ψ]Φ = 0. (6.14)

La transformacion

Φ = Ψe−14χ cos 2φ, (6.15)

se reduce a [46, 49].

d2Ψ

dφ2+ χ sin 2φ

dΨ

dφ+ (α− pχ cos 2φ)Ψ = 0, (6.16)

esta es la ecuacion de Ince. Esta ecuacion diferencial lineal fue estudiada primeramente

por Ince [50]. En esta ecuacion si hacemos que p tienda a infinito y χ a cero, de tal manera

que pχ sea finito, entonces esta ecuacion se convierte en la ecuacion de Mathieu. Es mas la

ecuacion de Mathieu tambien se puede obtener desde la forma algebraica, haciendo cero el

termino que contiene a el numero de onda k2, tenemos la Ecuacion de Baer y posteriormente

realizando un cambio de variable obtenemos la ecuacion de Mathieu, es decir la ecuacion de

Mathieu tambien aparece al separar la ecuacion de Laplace en coordenadas Paraboloidales.

Tal como para la ecuacion de Mathieu, las soluciones periodicas de la ecuacion de

Ince podrıan ser par e impar, con periodos simple o doble; recientemente Bandres [51, 52],

presento graficas y aplicaciones de estas funciones.

Para solucionarla podemos proponer una solucion de la forma

Ψ =∞∑r=0

A2r cos 2rφ. (6.17)

Ince demostro que, cuando p es par entero, es decir, p = 2n y ademas α se escoge de

manera que An+1 = 0, despues con r = n mostro que An+2 = 0 y tambien An+3=An+4=...0,

la solucion es una serie finita terminando en An cos 2nφ [50]. Ahora tenemos cuatro soluciones

y estas son representadas como sigue [46, 49]


C2m2n =

n∑r=0

A2r cos 2rφ,

C2m2n+1 =

n∑r=0

A2r+1 cos (2r + 1)φ,

S2m2n+2 =

n∑r=0

B2r+2 sin (2r + 2)φ,

S2m2n+1 =

n∑r=0

B2r+1 sin (2r + 1)φ.

(6.18)

Una vez que tenemos las soluciones polinomiales de la ecuacion de Ince, retomamos el

cambio que se hizo para obtener la ecuacion de Whittaker-Hill, y obtenemos

hcmp (φ, χ) = e−14χ cos 2φCm

p (φ, χ),

hsmp (φ, χ) = e−14χ cos 2φSmp (φ, χ),

(6.19)

Donde hc y hs son las funciones de onda paraboloidal trigonometrica par e impar

respectivamente. De esta forma, presentamos las graficas para estas funciones, que

corresponden a la coordenada φ, la cual es equivalente a la coordenada acimutal en las

coordenadas rotacionales y con la transformacion a la forma trigonometrica nuevos rangos

son: −π < φ < π. En la Figura 6.6, podemos ver la funcion de onda paraboloidal angular,

en (a) hc(φ, χ) para p = 2, m = 2 y χ = 0, 1, 2, 3, en (b) hc(φ, χ) para p = 3, m = 1 y

χ = 0, 1, 2, 3, estas son las funciones par de perıodo simple y doble.

(a) (b)

Figura 6.6: Funcion de onda paraboloidal angular par a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 1


En la Figura 6.7 mostramos la funcion de onda paraboloidal impar, in (a) para hs(ϕ, χ)

con p = 2, m = 2 y χ = 0, 1, 2, 3, en (b) hs(ϕ, χ) para p = 3, m = 1 y χ = 0, 1, 2, 3.

(a) (b)

Figura 6.7: Funcion de onda paraboloidal impar a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 3

El primer problema que encontramos es que el parametro χ es obtenido a partir de

proponer una igualdad que implica numeros imaginarios, debido a que nosotros normalizamos

la ecuacion solo es igual a i veces una constante. Sı este parametro es un numero complejo la

funcion de onda paraboloidal nos resulta un numero complejo. Matematicamente es correcto

pero fısicamente no nos proporciona significado.

Por otra parte, de acuerdo con el trabajo de Arscott y Urwin [46, 49], si nosotros

queremos obtener las soluciones para las otras dos variables de el sistema de coordenadas

paraboloidales, solo es necesario hacer los cambios φ→ iµe o ϕ→ iνe + (1/2)π. Por ejemplo

para µe tenemos

hcmp (iµ, χ) = e−14χ cosh 2µCm

p (iµ, χ),

hsmp (iµ, χ) = e−14χ cosh 2µSmp (iµ, χ).

(6.20)

Esta situacion es similar a lo que ocurre con las funciones radiales Mathieu, cuando

se solucionan mediante sumatorias de funciones hiperbolicas, salvo que con las funciones

Mathieu el problema con las funciones hiperbolicas se corrige al obtener sus soluciones


en terminos de las funciones Bessel, consiguiendo de esta manera obtener soluciones

convergentes para valores grandes [3]. Sin embargo para las funciones paraboloidales aun

no han sido obtenidas en termino de otras funciones.

De acuerdo con esta teorıa, cuando hacemos estos cambios de variables por imaginarios

la solucion podrıa representar ondas viajeras, sin embargo, al proponer estos cambios de

variable y ver las soluciones, es claro que, a pesar de que la suma de las funciones hiperbolicas

crece rapidamente, en la funcion exponencial elevada a una funcion coseno hiperbolico

numericamente hace que sea practicamente cero aun para valores pequenos. A fin de verificar

estas observaciones obtuvimos graficas para diferentes valores y parametros, donde podemos

revisar el comportamiento de estas funciones.

Debido a los ordenes de de magnitud resultantes de las multiplicaciones y sumas

de las funciones hiperbolicas, pudimos notar un comportamiento de incremente en la

magnitud de las funciones al resolver las impares, pero debido a los valores extremadamente

grandes, los resultados divergen. Esto solo nos permitio observar la funcion para valores

muy pequenos. Posteriormente consideramos resolver numericamente esta ecuacion en

la forma trigonometrica, fue ası que obtuvimos resultados para valores mayores, y nos

permitio observar el comportamiento de estas soluciones para el caso trigonometrico.

Ahora, en la Figura 6.8 presentamos la funcion de onda paraboloidal par para la variable

µ, en (a) obtenida a partir de hc(µ, χ) con χ = 0,5, m = 4 y p = 42, 44, 46, 48, en (b) funcion

de onda paraboloidal impar obtenida a partir de hs(µ, χ) con los mismo parametros, donde

es claro ver que la solucion par tiene un buen comportamiento, pero la solucion impar

incrementa su magnitud conforme aumenta el valor de µ. Lo cual definitivamente no nos

permitira representar ondas viajeras.

Con la finalidad de observar el comportamiento de estas soluciones para valores mayores

de µ la resolvimos empleando tecnicas de solucion numerica, las cuales presentamos en la

Figura 6.9, en esta podemos ver un comportamiento similar al que se obtuvo en la ecuacion de

Whittaker-Hill, es decir la funcion par oscila y disminuye su amplitud, solo que la frecuencia

aumenta y posteriormente tiende a cero de forma exponencial, tal y como se aprecia en

la Figura, ahora para la solucion impar oscila pero a la vez incrementa su amplitud al

incrementar µ, sin embargo, posteriormente la magnitud tambien disminuye de manera

exponencial. La frecuencia en ambos casos se incrementa a valores muy grandes. Con la

finalidad de obtener mas informacion realizamos graficas contra cosh2 µ donde la funcion

tendio a ser periodica pero los incrementos en la magnitud para la funcion impar se siguen

presentando. Si graficamos el absoluto de la suma de las funciones par e impar es creciente

con oscilaciones muy grandes, que tampoco permite la representacion de ondas propagantes.

Para tener mayor certeza de los resultados, estas funciones en la forma trigonometrica

fueron obtenidas con los mismos parametros que emplearemos para obtener las soluciones

en la forma algebraica. A pesar de que la forma trigonometrica de la funcion de onda


paraboloidal, no nos permite obtener las soluciones fundamentales de la ecuacion de

Helmholtz, estas funciones podrıan tener otras aplicaciones, tal como ocurre con las funciones

Weber en las coordenadas cilındricas parabolicas.

(a) (b)

Figura 6.8: Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar

(a) (b)

Figura 6.9: Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar


Ahora enfocandonos en la ecuacion de onda paraboloidal en la forma algebraica ecuacion

de onda Baer, realizamos algunos calculos empleando el metodo de Frobenius, pero aun

es necesario llevar a cabo mas pruebas de la solucion empleando este metodo. Entonces

decidimos resolverla empleando tecnicas numericas. Obtuvimos resultados alentadores al

resolverla en esta forma, debido a que estas son consistentes con los que se han sido obtenidos

para el resto de sistema de coordenadas.

Los valores de las constantes son b = 0 y c = 1, es decir, los mismos que empleamos para

realizar la transformacion a la forma trigonometrica. Al resolver la ecuacion de onda Baer

para valores entre b y c, tenemos oscilaciones que convergen unicamente para este rango, esto

es equivalente a la variable angular de los sistemas rotacionales, y para valores mas grandes

que c, este tiene un comportamiento que disminuye a razon de 1/√

(ν), es decir, converge a

cero con forme la variable independiente tiende a infinito.

En la Figura 6.10 presentamos los resultados para la ecuacion de onda paraboloidal, en

a) funcion par, en b) funcion impar, en c) el perfil del frente de onda y en d el valor absoluto

de la solucion fundamental.

Al observar esta Figura 6.10 podemos notar el comportamiento oscilatorio de las

soluciones, donde el primer valor de la funcion esta en la constante c. Tambien es posible

apreciar su convergencia a cero a razon de 1/√

(ν), lo que es congruente con la condicion

de radiacion de Sommerfeld, sin embargo en el valor absoluto de la solucion fundamental

tenemos la presencia de pequenos oscilaciones, las cuales son deficiencia del metodo numerico,

hemos realizado algunas pruebas y observamos que el problema se encuentra principalmente

en la fase de la solucion impar. Nosotros continuamos trabajando en la busqueda de optimizar

estos resultados numericos, y al mismo tiempo utilizar el metodo de Frobenius para una

solucion analıtica. En las cuales tenemos la certeza de obtener mejores resultados.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.10: Funcion de onda paraboloidal a) par, b) impar , c) perfil del frente de onda, y

d) valor absoluto de la solucion fundamental


6.2.3. Coordenadas elipsoidales

De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales, obtuvimos

el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales.

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)d2L

dξ2e

+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]

dL

dξe+ [k2ξ4

e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0,

(η2e − b2)(c2 − η2

e)d2M

dη2e

− ηe[2η2e − (b2 + c2)]

dM

dηe− [k2η4

e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]M = 0,

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)d2N

dϕ2e

+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]

dN

dϕe+ [k2ϕ4

e + p(p+ 1)ϕ2 + q(b2 + c2)]N = 0.

(6.21)

Podemos observar que las tres ecuaciones son iguales, la diferencia se encuentra en

el rango de las variables. Para obtener la forma canonica de la primer ecuacion, primero

multiplicamos por k2, adicionalmente el primer termino lo multiplicamos por k2

k2 , y el segundo

por kk, esto, permite que la ecuacion sea adimensional, y ahora podemos proponer el cambio

de variable ck → c, bk → b y kξe → ξe. Posteriormente repetimos el mismo proceso para

las dos ecuaciones restantes, solo que los cambios con sus respectivas variables coordenadas.

Ahora tenemos la forma canonica de las ecuaciones del sistema de coordenadas elipsoidales.

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)d2L

dξ2e

+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]

dL

dξe+ [ξ4

e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0,

(η2e − b2)(η2

e − c2)d2M

dη2e

+ ηe[2η2e − (b2 + c2)]

dM

dηe+ [η4

e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]M = 0,

(ϕ2e − b2)(ϕ2

e − c2)d2Φ

dϕ2e

+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]

dΦ

dϕe+ [ϕ4

e + p(p+ 1)ϕ2e + q(b2 + c2)]Φ = 0.

(6.22)

Las tres ecuaciones son iguales, y estas son conocidas como ecuacion de onda Elipsoidal

o ecuacion del onda Lame, de acuerdo con las variables coordenadas, podemos determinar

la region de convergencia de la solucion. Esto es consistente con las superficies que se

presentaron de este sistema, presentadas en el capıtulo 3, analizando esas figuras, esperamos

que la solucion nos permita representar ondas viajeras es la que corresponde a la ecuacion

de la variable ξe para la cual tenemos un elipsoide para valores c2 < ξ2e .

Desarrollos analıticos, enfocados en el caso asintotico de esta ecuacion fueron presentado

por Fedoryuk [53, 54, 55]. A fin de resolver esta ecuacion, encontramos dos metodos, el

primer metodo implica llevar a cabo cambio de variable y posteriormente proponer una


solucion tipo series de potencia, el cual fue propuesto por Arscott [56], sin embargo, en su

publicacion no proporciona graficas de estas soluciones, despues Willatzen [44], utilizando

tecnicas similares presento graficas pero con rangos muy cortos, que no permiten obtener

informacion apropiada del comportamiento de las soluciones, especialmente para analizar si

pueden representar ondas viajeras.

La otra tecnica de solucion es la numerica, que a pesar que aun es necesario mejorar la

precision de esta solucion, nos permiten obtener resultados satisfactorios para las soluciones

fundamentales de este sistema coordenado.

Nosotros trabajamos con ambas tecnicas, para la primera ya hemos tenido exito en la

obtencion de resultados, sin embargo, todavıa es necesario tener un control con los valores

propios de esta ecuacion, consideramos que es importante presentar los calculos de este

metodo tenemos la ecuacion para la variable ξe

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)∂2L

∂ξ2e

+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]

∂L

∂ξe+ [ξ4

e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0. (6.23)

Con un cambio en la notacion, esta ecuacion es identica a la ecuacion de Lame presen-

tada en Morse and Feshbach [8]. La ultima y la mas intratable de las ecuaciones diferenciales

ordinarias en las cuales se separa la ecuacion de Helmholtz [46]. Sin embargo, Arscott usa

una forma diferente de la ecuacion de onda elipsoidal. Al obtener la forma algebraica como

una ecuacion general de las tres ecuaciones del sistema, usando t como variable.

t(t− 1)(t− a)∂2L

∂t2+

1

2[3t2 − 2(1 + a)t+ a]

∂L

∂t+ [λ+ µt+ γt2]L = 0, (6.24)

hacemos la transformacion t = ξ2, y la ecuacion 6.23 resulta

t(t−b2)(t−c2)∂2L

∂t2+

1

2[3t2−2(b2 +c2)t+b2c2]

∂L

∂t+

1

4[q(b2 +c2)+p(p+1)t+ t2]L = 0. (6.25)

Sı proponemos una nueva variable t = b2t, tenemos

t(t−1)(t− c2

b2)∂2L

∂t2+

1

2[3t2−2(1+

c2

b2)t+

c2

b2]∂L

∂t+

1

4[q(b2 + c2)

b2+p(p+1)t+b2t2]L = 0. (6.26)

Comparando con la ecuacion 6.24, resulta que

c2

b2= a, q(b2 + c2) = 4b2λ, p(p+ 1) = −4µ, 1 =

4

b2γ. (6.27)


Ahora trabajamos con la ecuacion (6.24), es posible escribir L en la forma [56, 44]:

L(t) = t%/2(t− 1)σ/2(t− c)τ/2F (t), (6.28)

donde %, σ y τ son 0 o 1, es decir, ocho diferentes tipos de L son posibles, y F es

una integral funcion de t. Esta expresion para L(t) garantiza que cualquier solucion sigue

siendo una de las cuatro formas de solucion de cada ecuacion (??). La funcion F puede

ser encontrada numericamente, nosotros insertando la ecuacion (6.28) dentro de la ecuacion

(6.24) construimos la solucion; en el apendice C mostramos a detalle las operaciones y

calculos para encontrar F

La relacion de recurrencia que se obtiene cuando proponemos la solucion formada por

series de la forma F (t) =∑∞

r=0Ar(t− t0)r, tiene cuatro terminos, lo que no permite aplicar

operaciones matriciales para encontrar los eigenvalores, entonces se utiliza un metodo de

recurrencia hacia atras propuesto por Arscott [56].

La ecuacion de onda elipsoidal es un problema de dos parametros. a es un parametro

geometrico, γ tiene un significado fısico tal como la frecuencia. Entonces podemos conocer

estos dos parametros, y nuestro problema es usualmente determinado por los eigenvalores µ

y λ.

Con el desarrollo de estas operaciones, obtuvimos las graficas que presentamos en la

Figura 6.11, podemos observar que presenta un comportamiento oscilatorio acoplada a su

decaimiento, el cual asintoticamente es [53]

Lw ∼ ξ−1, exp−iγξ1/2. (6.29)

Figura 6.11: Funcion de onda Lame % = σ = τ = 0, n = 0,m = 0


Como se menciono, este metodo requiere dos eigenvalores, aun tenemos trabajo que

hacer para tomar el control total de estos parametros, que requieren alta precision, para

nuestro caso tomamos los eigenvalores de los resultados presentados por Willatzen [44].

Por otra parte, empleando tecnicas numericas hemos encontrado las soluciones

fundamentales a esta ecuacion. Ademas comparando los resultados numericos con los

obtenidos por el otro metodo, los resultados son muy similares.

En la Figura 6.12 presentamos los resultados numericos de la solucion a la ecuacion de

onda Lame, en a) par, en b) impar, en (c) el perfil del frente de onda y en d) el valor absoluto

de la solucion fundamental.

Para tener una mayor confianza en los resultados, hemos colocado una lınea en la

Figura d, esto es 1/r, y a pesar de que el metodo numerico requiere de mayor precision, en

lo referente al comportamiento oscilatorio y al decaimiento de las soluciones, cumple. Lo que

nos permite afirmar que satisface la condicion de radiacion Sommerfeld. Por lo tanto, estas

funciones pueden representar ondas viajeras, la funcion de onda elipsoidal pare e impar, por

si solas representan ondas estacionarias. Por lo tanto, las soluciones fundamentales estan

dadas por

Lwe(ξe) + iLwo(ξe). (6.30)

Seguiremos trabajando para obtener resultados numericos cada vez mas precisos y

exactos, lo mismo en encontrar soluciones analıticas empleando el metodo de Frobenius,

o alguna combinacion de estas, para tener mejores resultados de estas funciones.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.12: Funcion de onda Lame o elipsoidal, a) par, b) impar, c) perfil del frente de

onda, y d) Valor absolutos de la solucion fundamental

6.3. Conclusiones

En este capıtulo, hemos presentado, la normalizacion en su forma canonica para

ecuaciones diferenciales ordinarias de los sistemas de coordenadas elipticoidales.

Despues obtuvimos el total de soluciones para estos sistemas de coordenadas, se


comprobo que la solucion que nos permite representar ondas viajeras, se encuentra solo en

una variable de las tres que componen el sistema coordenado. Obtuvimos para esta variable

la solucion fundamental. Comprobamos que satisfacen la condicion de radiacion Sommerfeld,

y en este sentido, presentamos los graficos de estas soluciones.

En el siguiente capıtulo presentamos las conclusiones generales y e el trabajo futuro

para esta investigacion.

Capıtulo 7

Conclusiones Generales y trabajos futuros

Hemos realizado un estudio de la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz, para

los once sistema de coordenadas en el que se puede separar.

Iniciamos obteniendo la ecuacion vectorial de Helmholtz a partir de las ecuaciones de

Maxwell, indicamos que nos centramos en los valores positivos del numero de onda k, es

decir, solo las soluciones oscilatorias propagantes, que nos permiten la representacion de la

radiacion de campos electromagneticos. En este sentido, introdujimos el metodo para re-

solver la ecuacion vectorial de Helmholtz empleando las funciones vectoriales L, M y N , que

se obtienen a partir de las soluciones de la ecuacion escalar de Helmholtz.

Las ecuacion tridimensional escalar de Helmholtz se puede separar en los sigu-

ientes once sistemas de coordenadas: rectangular, cilındrica circular, elıptico cilındrico

parabolico cilındrico, esferico, alargado esferoidal, achatado esferoidal, parabolica,conicas,

paraboloidales y elipsoidales; y por lo tanto presentamos la correspondiente ecuacion de

Helmholtz para cada una de estas de coordenadas sistemas, mostramos como llegar a el-

las, a partir de la metricas o factores de escala de cada sistema de coordenadas. Tambien

presentamos apropiadamente, las superficies asociadas a las variables para cada uno de los

sistemas de coordenadas. Las clasificamos de acuerdo a sus caracterısticas en tres grupos, co-

ordenadas cilındricas, coordenadas rotacionales y las coordenadas elipticoidales destacando

la representacion unıvoca de un solo punto de interseccion de estas superficies para cada sis-

tema coordenado, ademas describimos las trayectorias o desplazamientos de estas superficies

en funcion del valor de sus variables.

A continuacion presentamos de manera resumida las superficies y las ecuaciones de

transformacion para los once sistemas de coordenadas.

153

154 Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros

Sistema de

coordenadasEcuacion de

transformacion

Superficies coordenadas Sistema

Rectangular

x = x

y = y

z = z −∞<x<∞ −∞<y<∞ −∞<z<∞

Cilındrico Circular

x = ρ sinϕ

y = ρ cosϕ

z = z 0≤ρ<∞ 0≤ϕ<2π −∞<z<∞

Cilındrico Elıptico

x = f cosh ξ cos η

y = f sinh ξ sin η

z = z 0≤ξ<∞ 0≤η<2π −∞<z<∞

Cilındrico

Parabolico

x = µν

y = 12(µ2 − ν2)

z = z 0≤µ<∞ −∞<ν<∞ −∞<z<∞

Sistema de

coordenadas

Ecuacion de

transformacionSuperficies coordenadas Sistema

Esfericas

x = r sin θ cosϕ

y = r sin θ sinϕ

z = r cos θ0≤r<∞ 0≤θ≤π 0≤ϕ<2π

Esferoidal prolata

x = d sinh ξ sin η cosϕ

y = d sinh ξ sin η sinϕ

z = d cosh ξ cos η0≤ξ<∞ 0≤η≤π 0≤ϕ<2π

Esferoidal Oblata

x = d cosh ξ cos η cosϕ

y = d cosh ξ cos η sinϕ

z = d sinh ξ sin η0≤ξ<∞ −π/2<η<π/2 0≤ϕ<2π

Parabolicas

x = µν cosϕ

y = µν sinϕ

z = 12(µ2 − ν2)

0≤µ<∞ 0≤ν<∞ 0≤ϕ<2π

155

Sistema de

coordenadasEcuacion de

transformacion

Superficies coordenadas Sistema

Conicas

x = rθeϕeab

y =√

r2(θ2e−a2)(ϕ2e−a2)

a2(a2−b2)

z =√

r2(θ2e−b2)(ϕ2e−b2)

b2(b2−a2)0≤<r<∞ a2<θe<b2 0≤ϕe<a2

Paraboloidal

x =√

(µe−c)(c−νe)(c−ϕe)(c−b)

y =√

(µe−b)(b−νe)(ϕe−b)(c−b)

z = µe + νe + ϕe − b− c 0≤ρ<∞ 0≤ϕ<π −∞<z<∞

Elipsoidal

x = ηeξeϕebc

y =√

(ξ2e−b2)(η2e−b2)(b2−ϕ2

e)b2(c2−b2)

z =√

(ξ2e−c2)(c2−ηe)(c2−ϕe)c2(c2−b2)

0≤ξ<∞ 0≤η<2π −∞<z<∞

Por otra parte, utilizando la transformacion conformal, se obtuvo la relacion entre los cu-

atro sistemas de coordenadas bidimensionales: Rectangulares, circulares, elıpticas, paraboli-

cas

Como una tecnica alternativa para llevar a cabo la separacion de variables de la ecuacion

de Helmholtz, presentamos el determinante de Stackel. Mostramos el procedimiento para con-

struir el determinante de Stackel y sus complementos, que permiten la separacion de una

manera sistematica, incluso a los sistemas de coordenadas donde el metodo tradicional es

complicado.

Una vez obtenidos los conjuntos de ecuaciones diferenciales para cada sistema de co-

ordenadas, normalizamos las ecuaciones en su forma canonica. Que facilita en gran medida,

llevar los resultados a los campos electromagneticos u opticos, sin preocuparse por las di-

mensiones de la longitud de onda.

Con el fin de presentar las soluciones, hemos mostrado graficas de las soluciones de las

ecuaciones diferenciales que se mencionan en la tabla 7.1. Cuando vimos el comportamiento

de las soluciones, tambien observamos que hay convergencias similares o incluso similitudes

entre las mismas funciones que son solucion, y como no serlo, si todas surgen de una ecuacion

en comun, la ecuacion de Helmholtz.


Cuad

ro7.

1:R

esum

ende

las

ecuac

iones

dif

eren

cial

esor

din

aria

sN

oO

rdin

ary

Diff

eren

tial

Sol

uti

on

1d2X

dx2

+X

=0

coskxx

,si

nkxx

2ρ

2d2R

dρ2

+ρdR dρ

+(ρ

2−n

2)R

=0

Jn(ktρ

),Nn(ktρ

)

3d2R

dξ2−

(a−

2qco

sh2ξ

)R=

0Jo n

(ξ,q

),Je n

(ξ,q

),No n

(ξ,q

),Ne n

(ξ,q

)

4d2N

dη2

+(a−

2qco

s2η

)N=

0cen(η,q

),sen(η,q

)

5d2R

dµ

2+

[µ2 4−a]R

=0

Pe(µ,a

),Po(µ,a

)

6r2

d2R

dr2

+2r

dR dr

+(r

2−n

(n+

1))R

=0

j n(kr),

nn(kr)

7(1−x

2)d

2P

(x)

dx2−

2xdP

(x)

dx

+[n

(n+

1)−

m2

1−x2]P

(x)

=0

Pm n

(x),Qm n

(x)

8(ξ

2−

1)d2R

dξ2

+2ξ

dR dξ−

(an,m−c2ξ2

+m

2

(ξ2−

1))R

=0

R1 mn(ξ,c

),R

2 mn(ξ,c

)

91−η

2)d

2N

dη2−

2ηdN dη

+(an,m−c2η

2−

m2

(1−η2))N

=0

S1 mn(η,c

),S

2 mn(η,c

)

10(ξ

2+

1)d2R

dξ2

+2ξ

dR dξ−

(an,m−c2ξ2−

m2

ξ2+

1)R

=0

R1 mn(iξ,−ic

),R

2 mn(iξ,−ic

)

11(1−η

2)d

2Θ

dη2−

2ηdΘ dη

+(an,m

+c2−

m2

1−η2)Θ

=0

S1 mn(η,−ic

),S

2 mn(η,−ic

)

12d2M

dµ

2+

1 µdM dµ

+(µ

2−q2−

m2

µ2

)M=

0Jwp(q

2,µ

),Nwp(q

2,µ

)

13(θ

2−b2

)(c2−θ2

)d2Θ

dθ2−θ[

2θ2−

(b2

+c2

)]dΘ dθ

+[n

(n+

1)θ2−q(b2

+c2

)]Θ

=0

Lm n

(θ)

14(µ−c)

(µ−b)d2M

dµ

2+

[2µ−

(b+c)

]dM dµ

+[ µ2 −

q(b

+c)

+p(p

+1)µ] M

=0

Pw

(µ)

15(ξ

2−b2

)(ξ2−c2

)d2L

dξ2

+ξ[

2ξ2−

(b2−c2

)]dL dξ

+[ξ

4+p(p

+1)ξ2

+q(b2

+c2

)]L

=0

Lwm n

(ξ)

1F

unci

onar

mon

ica

sim

ple

9F

unci

onde

onda

Angu

lar

Ala

rgad

a

2F

unci

onB

esse

l10

Funci

onde

onda

Rad

ial

achat

ada

3F

unci

onM

athie

uR

adia

l11

Funci

onde

onda

Angu

lar

achat

ada

4F

unci

onM

athie

uA

ngu

lar

12F

unci

onde

onda

Bes

sel

5F

unci

onci

lındri

caP

arab

olic

a13

Funci

onL

ame

6F

unci

onB

esse

les

feri

ca14

Funci

onde

onda

Par

abol

oidal

7F

unci

onL

egen

dre

15F

unci

onde

onda

Lam

e

8F

unci

onde

onda

Rad

ial

alar

gada

7.1. Trabajos futuros 157

Con el fin de presentar las soluciones, hemos mostrado graficas de las soluciones de las

ecuaciones diferenciales que se mencionan en la tabla 7.1. Cuando vimos el comportamiento

de las soluciones, tambien observamos que hay convergencias similares o incluso similitudes

entre las mismas funciones que son solucion, y como no serlo, si todas surgen de una ecuacion

en comun, la ecuacion de Helmholtz.

Dentro de los resultados relevantes se encontro que para todos los sistemas de

coordenadas, las soluciones que permiten representar ondas viajeras solo recaen en una sola

variable coordenada, incluso en sistemas en los que mas de una variable contiene rangos de

infinito, como las parabolicas y las paraboloidales, esta es la coordenada radial.

Del mismo modo, se encontro que las soluciones que nos permiten representar los campos

propagantes y que satisfacen la condicion de radiacion Sommerfeld, son las de tipo Hankel,

es decir, una solucion compleja, donde la parte real es la solucion par y la parte imaginaria

en la solucion impar. Y cuando se obtuvo el valor absoluto, sucedio como se esperaba, que

la amplitud de esta soluciones disminuyeran a una tasa de 1/r1/2 o 1/r de acuerdo con el

sistema de coordenadas. Ası de igual forma, concluimos que la solucion de par e impar por

si solas representan ondas estacionarias.

Con el desarrollo de este trabajo se han encontrado resultados importantes, pero esto

es solo el comienzo de algo mas grande, debido a que algunos resultados son mejorables, y

mas aun la enorme cantidad de aplicaciones fısicas que tendran y pueden tomar como base

los resultados que hemos presentado aquı.

7.1. Trabajos futuros

Ya que se tiene la totalidad de las soluciones de la ecuacion de Helmholtz, y de

acuerdo con la teorıa de funciones vectoriales L, M , N , podemos obtener la solucion

de la ecuacion vectorial de Helmholtz, a pesar de que ya se han realizado para algunos

sistemas de coordenadas aun estan pendientes otras mas, como los sistemas catalogados

como elipticoidales. Y ası, con las soluciones vectoriales se podra trabajar la polarizacion y

la transferencia de impulso, que solo es posible estudiarlos con estas soluciones.

Las ecuaciones que se muestran en la tabla 7.1 pueden ser constituidas como una

ecuacion Sturm-Liuville, y por lo tanto, se puede demostrar que las soluciones Sturm-Liuville

son ortogonales en un intervalo (a, b) [13]. Entonces, dado unas soluciones Sturm-Liuville y

una funcion arbitraria f en un intervalo (a, b), la funcion f puede ser expresada en terminos

de una sumatoria tipo serie de Fourier de funciones propias que se obtienen como solucion

de estas ecuaciones diferenciales.

Ası como podemos construir algun tipo de haces como la suma de ondas planas,

podrıamos hacerlo tambien para una suma de haces Bessel y construir otro tipo de frente


de onda, solo por mencionar algun ejemplo, en este sentido deja abierta la posibilidad de

aplicar estas soluciones ortogonales a problemas electromagneticos diferentes.

Las ecuaciones de Laplace, de Calor y de Schrodinger son casos particulares de la

ecuacion de Helmholtz, por lo que es posible lograr la separacion de variables para estas

ecuaciones y encontrar todas sus soluciones, aunque algunas de ellas podrıan ser similares a

los presentados en esta investigacion .

Apendice A

Construccion de la ecuacion Helmholtz

En este apendice mostramos la obtencion de la ecuacion de Helmholtz para los once

sistemas de coordenadas en las que es separable.

La ecuacion de Helmholtz es

∇2E + k2E = 0. (A.1)

Donde ∇2 es el Laplaciano, k es el numero de onda y E es la funcion escalar solucion

de la ecuacion

Esta ecuacion diferencial parcial esta compuesta por dos terminos, para obtener el

primer termino usaremos la forma general del Laplaciano para coordenadas ortogonales, el

cual esta basado en los factores de escala.

El Laplaciano en coordenadas ortogonales es [14]

∇2E =1

h1h2h3

[∂

∂q1

(h2h3

h1

∂

∂q1

E) +∂

∂q2

(h1h3

h2

∂

∂q2

E) +∂

∂q3

(h1h2

h3

∂

∂q3

E)

](A.2)

Donde (h1, h2, h3) son los factores de escala y (q1, q2, q3) son las variables de el sistema

de coordenadas

En general, primero realizamos las operaciones entre los factores de escala que

aparecen indicados en la ecuacion A.2, posteriormente sustituimos estos resultados en esta

ecuacion, realizamos algebra para simplificar, y finalmente una vez obtenido el Laplaciano lo

sustituimos en la ecuacion de Helmholtz. Estas operaciones las realizaremos para cada uno

de los sistemas de coordenadas, los cuales presentamos a continuacion

A.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)

Los factores de escala son

159

160 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz

hx =1

hy =1

hz =1

(A.3)

Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos

hxhyhz = (1)(1)(1)

= 1(A.4)

hyhzhx

= (1)(1)/(1)

= 1

(A.5)

hxhzhy

= (1)(1)/(1)

= 1

(A.6)

hxhxhz

= (1)(1)/(1)

= 1

(A.7)

Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los

factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo

∇2E =∂2E

∂x2+∂2E

∂y2+∂2E

∂z2(A.8)

Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de

Helmholtz en coordenadas Rectangulares

∂2E

∂x2+∂2E

∂y2+∂2E

∂z2+ k2E = 0 (A.9)

A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) 161

A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)


hρ = 1

hϕ = ρ

hz = 1

(A.10)


hρhϕhz = (1)(ρ)(1)

= ρ(A.11)

hϕhzhρ

= (1)(ρ)/(1)

= ρ

(A.12)

hρhzhϕ

= (1)(1)/(ρ)

=1

ρ

(A.13)

hρhϕhz

= (1)(ρ)/(1)

= ρ

(A.14)



1

ρ

∂

∂ρ(ρ∂E

∂ρ) +

1

ρ2

∂2E

∂ϕ2+∂2E

∂z2(A.15)


Helmholtz en coordenadas Cilındricas circulares

1

ρ

∂

∂ρ(ρ∂E

∂ρ) +

1

ρ2

∂2E

∂ϕ2+∂2E

∂z2+ k2E = 0 (A.16)


A.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)

Los factores de escala son

hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2

hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2

hz = 1

(A.17)


hξhηhz = (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)

= d2(cosh2 ξ − cos2 η)(A.18)

hηhzhξ

= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)/(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)

= 1

(A.19)

hξhzhη

= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)/(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)

= 1

(A.20)

hξhηhz

= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)/(1)

= d2(cosh2 ξ − cos2 η)

(A.21)



∇2E =1


(∂2E

∂ξ2+∂2E

∂η2

)+∂2E

∂z2(A.22)


Helmholtz en coordenadas Cilındricas elıpticas

1


(∂2E

∂ξ2+∂2E

∂η2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0 (A.23)

A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) 163

A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)


hµ = (µ2 + ν2)1/2

hν = (µ2 + ν2)1/2

hz = 1

(A.24)


hµhνhz = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2(1)

= µ2 + ν2(A.25)

hνhzhµ

= (µ2 + ν2)1/2(1)/(µ2 + ν2)1/2

= 1

(A.26)

hµhzhν

= (µ2 + ν2)1/2(1)/(µ2 + ν2)1/2

= 1

(A.27)

hµhνhz

= (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2/(1)

= µ2 + ν2

(A.28)



∇2E =1

µ2 + ν2

(∂2E

∂µ2+∂2E

∂ν2

)+∂2E

∂z2(A.29)


Helmholtz en coordenadas Cilındricas parabolicas

1

µ2 + ν2

(∂2E

∂µ2+∂2E

∂ν2

)+∂2E

∂z2+ k2E = 0 (A.30)


A.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)


hr = 1

hθ = r

hϕ = r sin θ

(A.31)


hrhθhϕ = (1)(r)(r sin θ)

= r2 sin θ(A.32)

hθhϕhr

= (r)(r sin θ)/(1)

= r2 sin θ

(A.33)

hrhϕhθ

= (1)(r sin θ)/(r)

= sin θ

(A.34)

hρhθhϕ

= (1)(r)/(r sin θ)

=1

sin θ

(A.35)



1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂

(sin θ

∂E

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2E

∂ϕ= 0 (A.36)


Helmholtz en coordenadas esfericas

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂

(sin θ

∂E

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2E

∂ϕ+ k2E = 0 (A.37)

A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 165

A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)

Para este sistema de coordenadas vamos a obtener la ecuacion de Helmholtz en su forma

algebraica y trigonometricas.

Para el caso trigonometrico tenemos los factores de escala

hξ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2

hη = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2

hϕ = d sinh ξ sin η

(A.38)

Para las operaciones entre los factores de escala trigonometricos tenemos

hξhηhϕ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2a(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η

= d2(sinh2 ξ + sin2 η)d sinh ξ sin η (A.39)

hηhϕhξ

=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η

d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2

= d sinh ξ sin η

(A.40)

hξhϕhη

=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η

d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2

= d sinh ξ sin η

(A.41)

hξhηhϕ

=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2

d sinh ξ sin η

=d(sinh2 ξ + sin2 η)

sinh ξ sin η

(A.42)



∇2E =

1

d3(sinh2 ξ + sin2 η) sinh ξ sin η

{∂

∂ξ

[(d sinh ξ sin η)

∂

∂ξE

]+

∂

∂η

[(d sinh ξ sin η)

∂

∂ηE

]

+∂

∂ϕ

(d(sinh2 ξ + sin2 η)

sinh ξ sin η

)∂

∂ϕE

}(A.43)


Simplificando

∇2E =

1

sinh ξ sin η

{∂

∂ξ

[(sinh ξ sin η)

∂

∂ξE

]+

∂

∂η

[(sinh ξ sin η)

∂

∂ηE

]

+

((sinh2 ξ + sin2 η)

sinh ξ sin η

)∂2E

∂ϕ2

}+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E (A.44)

Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la forma trigonometri-

ca de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales prolatas

1

sinh ξ

∂

∂ξ

[sinh ξ

∂

∂ξE

]+

1

sin η

∂

∂η

[sin η

∂

∂ηE

]+

(sinh2 ξ + sin2 η

sinh2 ξ sin2 η

)∂2E

∂ϕ2+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E = 0 (A.45)

Para la forma algebraica tenemos los siguientes factores de escala

hξ = d

(ξ2 − η2

ξ2 − 1

)1/2

hη = d

(ξ2 − η2

1− η2

)1/2

hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)

]1/2(A.46)

Las operaciones algebraicas entre los factores de escala

hξhηhϕ = d

(ξ2 − η2

ξ2 − 1

)1/2

d

(ξ2 − η2

1− η2

)1/2

d[(ξ2 − 1)(1− η2)

]1/2= d3(ξ2 − η2)

(A.47)

A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 167

hηhϕhξ

=d(ξ2−η2

1−η2

)1/2

d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2

d(ξ2−η2

ξ2−1

)1/2

=d (ξ2 − η2)

1/2(ξ2 − 1)

1/2(ξ2−η2

ξ2−1

)1/2

=d (ξ2 − 1)

1/2(1

ξ2−1

)1/2

= d(ξ2 − 1

)

(A.48)

hξhϕhη

=d(ξ2−η2

ξ2−1

)1/2

d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2

d(ξ2−η2

1−η2

)1/2

=d(ξ2−η2

1

)1/2

(1− η2)1/2(

ξ2−η2

1−η2

)1/2

=d (1− η2)

1/2(1

1−η2

)1/2

= d(1− η2

)

(A.49)

hξhηhϕ

=d(ξ2−η2

ξ2−1

)1/2

d(ξ2−η2

1−η2

)1/2

d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2

=d ξ2−η2

[(ξ2−1)(1−η2)]1/2

[(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2

=d(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

(A.50)

Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los

factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos


∇2E =

1

d2(ξ2 − η2)

{∂

∂ξ

[(ξ2 − 1

) ∂∂ξE

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂∂ηE

]+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

∂2

∂ϕ2E

}(A.51)

Despues, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion de Helmholtz y multiplicando por

d2(ξ2 − η2) obtenemos

∂

∂ξ

[(ξ2 − 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0

(A.52)

A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)

Para este sistema tambien encontraremos la ecuacion de Helmholtz para su forma

trigonometrica y algebraica

Para la forma trigonometrica tenemos los siguientes factores de escala

hξ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2

hη = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2

hϕ = d cosh ξ sin η

(A.53)

Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala trigonometricos tenemos

hξhηhϕ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η

= d2(cosh2 ξ − sin2 η)d cosh ξ sin η (A.54)

hηhϕhξ

=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η

d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2

= d cosh ξ sin η

(A.55)

hξhϕhη

=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η

d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2

= d cosh ξ sin η

(A.56)

A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) 169

hξhηhϕ

=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2

d cosh ξ sin η

=d(cosh2 ξ − sin2 η)

cosh ξ sin η

(A.57)


factores de escala trigonometricos en la ecuacion A.2, tenemos

∇2E =

1

d2(cosh2 ξ − sin2 η)d cosh ξ sin η

{∂

∂ξ

[(d cosh ξ sin η)

∂E

∂ξ

]+

∂

∂η

[(d cosh ξ sin η)

∂E

∂η

]+d(cosh2 ξ − sin2 η)

cosh ξ sin η

∂2E

∂ϕ2

}(A.58)

Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la forma trigonometri-

ca de ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas

1

cosh ξ

∂

∂ξ

[(cosh ξ)

∂E

∂ξ

]+

1

sin η

∂

∂η

[(sin η)

∂E

∂η

]+

(cosh2 ξ − sin2 η)

cosh2 ξ sin2 η

∂2E

∂ϕ2+k2d2(cosh2 ξ−sin2 η)E = 0

(A.59)

Para la forma algebraica tenemos los siguientes factores de escala

hξ = d

(ξ2 + η2

ξ2 + 1

)1/2

hη = d

(ξ2 + η2

1− η2

)1/2

hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)

]1/2(A.60)

Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala algebraicos tenemos

hξhηhϕ = d

(ξ2 + η2

ξ2 + 1

)1/2

d

(ξ2 + η2

1− η2

)1/2

d[(ξ2 + 1)(1− η2)

]1/2= d3(ξ2 + η2)

(A.61)


hηhϕhξ

=d(ξ2+η2

1−η2

)1/2

d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2

d(ξ2+η2

ξ2+1

)1/2

=d (ξ2 + η2)

1/2(ξ2 + 1)

1/2(ξ2+η2

ξ2+1

)1/2

=d (ξ2 + 1)

1/2(1

ξ2+1

)1/2

= d(ξ2 + 1

)

(A.62)

hξhϕhη

=d(ξ2+η2

ξ2+1

)1/2

d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2

d(ξ2+η2

1−η2

)1/2

=d(ξ2+η2

1

)1/2

(1− η2)1/2(

ξ2+η2

1−η2

)1/2

=d (1− η2)

1/2(1

1−η2

)1/2

= d(1− η2

)

(A.63)

hξhηhϕ

=d(ξ2+η2

ξ2+1

)1/2

d(ξ2+η2

1−η2

)1/2

d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2

=d ξ2+η2

[(ξ2+1)(1−η2)]1/2

[(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2

=d(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

(A.64)


factores de escala trigonometricos en la ecuacion A.2, tenemos

A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) 171

∇2E =

1

d2(ξ2 + η2)

{∂

∂ξ

[(ξ2 + 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2

}(A.65)

Despues, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion de Helmholtz y multiplicando por

d2(ξ2 + η2) obtenemos

∂

∂ξ

[(ξ2 + 1

) ∂E∂ξ

]+

∂

∂η

[(1− η2

) ∂E∂η

]+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)

∂2E

∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0

(A.66)

A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)


hµ = (µ2 + ν2)1/2

hν = (µ2 + ν2)1/2

hϕ = µν

(A.67)


hµhνhz = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2(µν)

= µν(µ2 + ν2)(A.68)

hνhzhµ

=(µ2 + ν2)1/2(µν)

(µ2 + ν2)1/2

= µν

(A.69)

hµhzhν

=(µ2 + ν2)1/2(µν)

(µ2 + ν2)1/2

= µν

(A.70)

hµhνhz

=(µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2

µν

=µ2 + ν2

µν

(A.71)




∇2E =1

µ(µ2 + ν2)

∂

∂µ

(µ∂E

∂µ

)+

1

ν(µ2 + ν2)

∂

∂ν

(ν∂E

∂ν

)+

1

µ2ν2

∂2E

∂ϕ2(A.72)


Helmholtz en coordenadas parabolicas

1

µ(µ2 + ν2)

∂

∂µ

(µ∂E

∂µ

)+

1

ν(µ2 + ν2)

∂

∂ν

(ν∂E

∂ν

)+

1

µ2ν2

∂2E

∂ϕ2+ k2E = 0 (A.73)

A.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)

Los factores de escala para este sistema coordenado son:

h1 =1

h2 =r

√θ2e − ϕ2

e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

h3 =r

√θ2e − ϕ2

e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(A.74)

Por simplicidad definimos

f(θe) =√

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

f(ϕe) =√

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(A.75)


hrhθehϕe = (1)r

√θ2e − ϕ2

e

f(θe)r

√θ2e − ϕ2

e

f(ϕe)

=r2(θ2

e − ϕ2e)

f(θe)f(ϕe)

(A.76)

hθehϕehr

=r

√θ2e−ϕ2

e

f(θe)r

√θ2e−ϕ2

e

f(ϕe)

1

=r2(θ2

e − ϕ2e)

f(θe)f(ϕe)

(A.77)

A.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 173

hrhϕehθe

=(1)r

√θ2e−ϕ2

e

f(ϕe)

r

√θ2e−ϕ2

e

f(θe)

=f(θe)

f(ϕe)

(A.78)

hrhθehϕe

=(1)r

√θ2e−ϕ2

e

f(θe)

r

√θ2e−ϕ2

e

f(ϕe)

=f(ϕe)

f(θe)

(A.79)



∇2E =1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

f(θe)

r2(θ2e − ϕ2)

∂

∂θe

(f(θe)

∂E

∂θe

)+

f(ϕe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)(A.80)


Helmholtz en coordenadas conicas

1

r2

∂

∂r

(r2∂E

∂r

)+

f(θe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

∂

∂θe

(f(θe)

∂E

∂θe

)+

f(ϕe)

r2(θ2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+k2E = 0

(A.81)

A.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)


hµe =


hνe =


(c− νe)(b− νe)

hϕe =

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕe − b)

(A.82)



f(µe) =√

(µe − c)(µe − b)

f(νe) =√


f(ϕe) =√

(c− ϕe)(ϕe − b)

(A.83)


hµehνehϕe =

√(µe − νe)(µe − ϕe)

f(µe)


f(νe)

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)

f(ϕe)

=(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)

f(µe)f(νe)f(ϕe)

(A.84)

hνehϕehµe

=

√(µe−νe)(ϕe−νe)

f(νe)

√(ϕe−νe)(µe−ϕe)

f(ϕe)√(µe−νe)(µe−ϕe)

f(µe)

=f(µe)


√(ϕe − νe)(νe − ϕe)

f(νe)f(ϕe)√

(µe − νe)(µe − ϕe)

=

√(ϕe − νe)(ϕe − νe)f(νe)f(ϕe)

(f(µe)

√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − νe)(µe − ϕe)

)

=(ϕe − νe)f(νe)f(ϕe)

f(µe)

(A.85)

hµehϕehνe

=

√(µe−νe)(µe−ϕe)

f(µe)

√(ϕe−νe)(µe−ϕe)

f(ϕe)√(µe−νe)(ϕe−νe)

f(νe)

=f(νe)

√(µe − νe)(µ− ϕe)

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)

f(µe)f(ϕe)√

(µe − νe)(ϕe − νe)

=

√(µe − ϕe)(µe − ϕe)f(µe)f(ϕe)

(f(νe)

√(µe − νe)(ϕe − νe)(µe − νe)(ϕe − νe)

)

=(µe − ϕe)f(µe)f(ϕe)

f(νe)

(A.86)

A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 175

hµehνehϕe

=

√(µe−νe)(µe−ϕe)

f(µe)

√(µe−νe)(ϕe−νe)

f(νe)√(ϕe−νe)(µe−ϕe)

f(ϕe)

=f(ϕe)

√(µe − νe)(µe − ϕe)


f(µe)f(νe)√

(ϕe − νe)(µe − ϕe)

=

√(µe − ϕe)(µe − νe)f(µe)f(νe)

(f(ϕe)

√(µe − ϕe)(ϕe − νe)(ϕe − νe)(µe − ϕe)

)

=(µe − νe)f(µe)f(νe)

f(ϕe)

(A.87)



∇2E =f(µe)


∂µe

(f(µe)

∂E

∂µe

)+

f(νe)


∂νe

(f(νe)

∂E

∂νe

)+

f(ϕe)


∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)(A.88)


Helmholtz en coordenadas paraboloidales

f(µe)


∂µe

(f(µe)

∂E

∂µe

)+

f(νe)


∂νe

(f(νe)

∂E

∂νe

)+

f(ϕe)


∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0 (A.89)

A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)



hξe =

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)

hηe =

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

(η2e − b2)(c2 − η2

e)

hϕe =

√(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(A.90)


f(ξe) =√

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)

f(ηe) =√

(η2e − b2)(c2 − η2

e)

f(ϕe) =√

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(A.91)


hξehηehϕ =

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

f(ξe)

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

f(ηe)

√(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

f(ϕe)

=(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

f(ξe)f(ηe)f(ϕe)

(A.92)

hηehϕehξe

=

√(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)

f(ηe)

√(ξ2e−ϕ2

e)(η2e−ϕ2

e)

f(ϕe)√(ξ2e−η2

e)(ξ2e−ϕ2e)

f(ξe)

=f(ξe)

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)√

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

f(ηe)f(ϕe)√

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

=

√(η2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

f(µe)f(ϕe)

(f(ξe)

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

)

=(η2e − ϕ2

e)

f(ηe)f(ϕe)f(ξe)

(A.93)

A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 177

hξehϕehηe

=

√(ξ2e−η2

e)(ξ2e−ϕ2e)

f(ξe)

√(ξ2e−ϕ2

e)(η2e−ϕ2

e)

f(ϕe)√(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)

f(ηe)

=f(ηe)

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)√

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

f(ξe)f(ϕe)√

(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

=

√(ξ2e − ϕ2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

f(ξe)f(ϕe)

(f(ηe)

√(ξ2e − η2

e)(η2e − ϕ2

e)

(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

)

=(ξ2e − ϕ2

e)

f(ξe)f(ϕe)f(ηe)

(A.94)

hξehηehϕe

=

√(ξ2e−η2

e)(ξ2e−ϕ2e)

f(ξe)

√(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)

f(ηe)√(ξ2e−ϕ2

e)(η2e−ϕ2

e)

f(ϕe)

=f(ϕe)

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)√

(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

f(ξe)f(ηe)√

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

=

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − η2

e)

f(ξe)f(ηe)

(f(ϕe)

√(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

)

=(ξ2e − η2

e)

f(ξe)f(ηe)f(ϕe)

(A.95)



∇2E =f(ξe)

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

∂

∂ξe

(f(ξe)

∂E

∂ξe

)+

f(ηe)

(ξ2e − η2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ηe

(f(ηe)

∂E

∂ηe

)+

f(ϕe)

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)(A.96)


Helmholtz en coordenadas elipsoidales


f(ξe)

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

∂

∂ξe

(f(ξe)

∂E

∂ξe

)+

f(ηe)

(ξ2e − η2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ηe

(f(ηe)

∂E

∂ηe

)+

f(ϕe)

(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

∂

∂ϕe

(f(ϕe)

∂E

∂ϕe

)+ k2E = 0 (A.97)

Apendice B

Determinante de Stackel

El objetivo del determinante de Stackel, es encontrar los elementos que forman las

tres ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la ecuacion tridimensional de

Helmholtz, estas ecuaciones ordinarias tiene la siguiente forma general

1

fn

∂

∂χn

[fn∂Xn

∂χn

]+ [α1Φn,1 + α2Φn,2 + α3Φn,3]Xn = 0 (B.1)

Para cada sistema de coordenadas, obtenemos los elementos que integran la matriz

de Stackel. Ası como las funciones que aparecen en la formula general de la ecuacion de

Helmholtz.

Dado que conocemos los factores de escala, los sustituimos en la siguiente igualdad

h1h2h3/h2n = fn(χn)gn(χ) n = 1, 2, 3 (B.2)

Esta ecuacion nos indica, que la que el producto de los tres factores de escala dividido

entre el cuadrado del factor de escala correspondiente a la variable χn es igual a la funcion

fn(χn) veces alguna funcion gn de las restantes χ’s. De esta forma es como determinamos la

fn de la ecuacion general de Helmholtz.

Con las funciones fn, obtenemos el determinante S, a partir de la siguiente ecuacion

S =f1(χ1)f2(χ2)f3(χ3)

h1h2h3

(B.3)

Esta ecuacion junto con la ecuacion B.2, integran la condicion de Robertson, la cual

cumplen unicamente once sistemas de coordenadas[8].

Una vez que conocemos S y empleando los factores de escala hn, calculamos los menores

del

Mn =S

h2n

(B.4)

179

180 Apendice B. Determinante de Stackel

Ahora, empleando la propiedad de ortogonalidad de los determinantes, y utilizando la

siguiente ecuacion obtenemos los elementos del determinante, pero siempre con la premisa

de que φn1, φn2 y φn3 deben ser funciones de χn unicamente.

Para los elementos Φ1,1, Φ2,1 y Φ3,1

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S (B.5)

para los elementos: Φ1,2, Φ2,2 y Φ3,2.

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0 (B.6)

y para los elementos restante: Φ1,3, Φ2,3 y Φ3,3.

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0 (B.7)

De esta manera tenemos todos los elementos del determinante de Stackel.

A continuacion procedemos a construir la matriz de Stackel para cada uno de los

sistemas de coordenadas en los que la ecuacion de Helmholtz es separable.

B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)

Los factores de escala

hx =1

hy =1

hz =1

(B.8)

Dado que conocemos los factores h procedemos a calcular las funciones fn, y obtenemos

los siguientes resultados

hxhyhzh2x

=(1)(1)(1)/(1) = 1; f1 = 1

hxhyhzh2y

=(1)(1)(1)/(1) = 1; f2 = 1

hxhyhzh2z

=(1)(1)(1)/(1) = 1; f3 = 1

(B.9)

a continuacion, calculamos el valor del determinante S, por lo tanto

S =hxhyhzf1f2f3

=(1)(1)(1)

(1)(1)(1)= 1 (B.10)

B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) 181

Para obtener los elemento que integran el determinante, calculamos el valor de los

menores Mi, estos son

M1 =S/h2x = 1

M2 =S/h2y = 1

M3 =S/h2z = 1

(B.11)

despues, calculamos los elementos del determinante, considerando las restricciones de

renglon, para la primer columna

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S (B.12)

reemplazando los menores Mn

(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (1)Φ3,1 = 1 (B.13)

Comunmente la constante de separacion se encuentra en la diagonal principal de la

matriz de Stackel, es decir, Φn,m para m = n, por esta razon, buscamos que estos elementos

tengan valores positivos. Esta ecuacion es igual a 1 entonces Φ1,1 = 1, por lo tanto los otros

elementos son Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.

La siguiente ecuacion

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (1)Φ3,2 = 0(B.14)

Para este caso, el elemento Φ2,2 lo hacemos 1, por considerar que es positivo, por lo

tanto para los otros elementos uno es −1 y el otro 0. De esta manera, los elementos quedan

Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.

y para la ultima ecuacion

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (1)Φ3,3 = 0(B.15)

los valores encontrados que cumplen con la igualdad son Φ1,3 = −1, Φ2,3 = 0 y Φ3,3 = 1.

De esta forma, tenemos todos los elementos del determinante al sustituirlos la matriz

es 1 −1 −1

0 1 0

0 0 1

(B.16)


B.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)

Los factores de escala para este sistema son

hρ =1

hϕ =ρ

hz =1

(B.17)

Con los factores de escala vamos a encontrar las funciones f , por simplicidad, primero

encontramos el siguiente termino

hρhϕhz = ρ (B.18)

ahora realizamos las operaciones, primero

hρhϕhzh2ρ

=ρ

1= ρ(1) ; f1 = ρ

hρhϕhzh2ϕ

=ρ

ρ= 1 ; f2 = 1

hρhϕhzh2z

=ρ

1= (1) (ρ) ; f3 = 1

(B.19)

Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S

S =hρhϕhzf1f2f3

=ρ

ρ= 1 (B.20)

con el determinante S y los factores de escala, calculamos los menores

M1 =S

h21

=1

1= 1

M2 =S

h22

=1

ρ2=

1

ρ2

M3 =S

h23

=1

1= 1

(B.21)

con estos resultados, podemos encontrar los elementos de la primer columna. Para la

cual se debe satisface que

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M1Φ3,1 = S (B.22)

B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) 183

Ademas tenemos que cumplir que el renglon n contiene solo la variable χn, sustituyendo

los menores encontramos que

(1)Φ1,1 + (1

ρ2)Φ2,1 + (1)Φ3,1 = 1 (B.23)

Podemos notar que los valores que satisfacen la ecuacion son

(1)(1) + (1

ρ2)(0) + (1)(0) = 1 (B.24)

por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0, Φ1,1 = 0

Para la siguiente columna, tenemos la ecuacion

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

(1)Φ1,2 + (1

ρ2)Φ2,2 + (1)Φ3,2 = 0

(1)

(− 1

ρ2

)+

(1

ρ2

)(1) + (1)(0) = 0

(B.25)

Por consiguiente Φ1,2 = − 1ρ2

, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.

Para la tercera y ultima columna, las operaciones son

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 +1

ρ2Φ2,3 + (1)Φ3,3 = 0

(1)(−1) +1

ξ21

(0) + (1)(1) = 0

(B.26)

los valores correspondientes son Φ1,3 = −1, Φ2,3 = 0 y Φ3,3 = 1

De esta forma tenemos todos los elementos de la matriz de Stackel 1 − 1ρ2−1

0 1 0

0 0 1

(B.27)

B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)


hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2

hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2

hz = 1

(B.28)


para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos

hξhηhz = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2(1) = d2(cosh2 ξ − cos2 η) (B.29)

lo reemplazamos, y obtenemos

hξhηhzh2ξ


d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f1 = 1

hξhηhzh2η


d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f2 = 1

hξhηhzh2z


1= (1)

(d2(cosh2 ξ − cos2 η

)= ; f3 = 1

(B.30)


S =hξhηhzf1f2f3


1= d2(cosh2 ξ − cos2 η) (B.31)

Sı aplicamos identidades trigonometricas cosh2 ξ = 12

cosh 2ξ+ 12

y cos2 η = 12

cos 2η+ 12

, ahora el determinante S es

S =d2

2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.32)

con estos resultados podemos calcular los menores

M1 =S

h2ξ

=d2


d2


= 1

M2 =S

h2η

=d2


d2


= 1

M3 =S

h2z

=d2


1=d2


(B.33)

Con estos resultados procedemos a obtener cada uno de los elementos de la matriz.

Para la primer columna, sustituimos los valores de los menores M , la ecuacion es

(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 +f 2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,1 =

f 2

2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.34)

Recordemos que los elementos Φn,m pueden contener unicamente χm. Por lo tanto los

valores que satisfacen la igualdad son

B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) 185

(1)(d2

2cosh 2ξ) + (1)(−d

2

2cos 2η) +

d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) =

d2

2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.35)

Luego entonces Φ1,1 = d2

2cosh 2ξ, Φ2,1 = −d2

2cos 2η y Φ3,1 = 0.

Para la siguiente columna tenemos

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,2 = 0

(1) (−1) + (1)(1) +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) = 0

(B.36)

Los resultados son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0

Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 +d2

2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,3 = 0

(1)

(−d

2

2(cosh 2ξ)

)+ (1)

(d2

2(cos 2η)

)+d2

2(cosh 2ξ − cos 2η) (1) = 0

(B.37)

con resultados Φ1,3 = −d2

2(cosh 2ξ), Φ2,3 = d2

2(cos 2η) y Φ3,3 = 1

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel d2

2cosh 2ξ −1 −d2

2(cosh 2ξ)

−d2

2cos 2η 1 d2

2(cos 2η)

0 0 1

(B.38)

B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)


hµ =√µ2 + ν2

hν =√µ2 + ν2

hz =1

(B.39)



hµhνhz =√µ2 + µ2

√µ2 + ν2(1) = ξ2

1 + ξ22 (B.40)

Ahora

hµhνhzh2µ

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1 ; f1 = 1

hµhνhzh2ν

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1 ; f2 = 1

hµhνhzh2z

=µ2 + ν2

1= µ2 + µ2 = (1)

(µ2 + ν2

); f3 = 1

(B.41)

Una vez obtenidas las funciones f , calculamos el determinante S

S =hµhνhzf1f2f3

=µ2 + ν2

1= µ2 + ν2 (B.42)

Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores

M1 =S

h2µ

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1

M2 =S

h2ν

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1

M3 =S

h2z

=µ2 + ν2

1= µ2 + ν2

(B.43)

Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer

columna

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = (1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2)Φ3,1 (B.44)

Los valores que satisfacen la condicion son

(1)(µ2) + (1)(ν2) + (µ2 + ν2)(0) = µ2 + ν2 (B.45)

Por lo tanto, tenemos que Φ1,1 = µ2, Φ2,1 = ν2 y Φ3,1 = 0.

Para la siguiente columna

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (µ2 + ν2)Φ3,2 = 0

(1)(−1) + (1)(1) + (0)(µ2 + ν2) = 0

(B.46)

B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) 187

los resultado que satisfacen la igualdad son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la

ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (µ2 + ν2)Φ3,3 = 0

(1)(−µ2) + (1)(−ν2

)+ (µ2 + ν2) (1) = 0

(B.47)

Los parametros que satisfacen la igualdad son Φ1,3 = −µ2, Φ2,3 = −ν2 y Φ3,3 = 1.

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel µ2 −1 −µ2

ν2 1 −ν2

0 0 1

(B.48)

B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)


hr = 1

hθ = r

hϕ = r sin θ

(B.49)


hrhθhϕ = (1) (r) (r sin θ) = r2 sin θ (B.50)

y ahora

hrhθhϕh2r

=r2 sin θ

1= r2 sin θ = r2 (sin θ) ; f1 = r2

hrhθhϕh2θ

=r2 sin θ

r2= (1) sin θ ; f2 = sin θ

hrhθhϕh2ϕ

=r2 sin θ

r sin θ= (1)r ; f3 = 1

(B.51)


S =hrhθhϕf1f2f3

=r2 sin θ

r2 sin θ= 1 (B.52)



M1 =S

h2r

=1

1= 1

M2 =S

h2θ

=1

r2=

1

r2

M3 =S

h2ϕ

=1

r2 sin2 θ=

1

r2 sin2 θ

(B.53)


columna sustituyendo los menores M tenemos

(1)Φ1,1 +1

r2 sin2 θΦ2,1 + (

1

r2 sin2 θ)Φ3,1 = 1 (B.54)

Los valores que satisfacen la ecuacion son

(1)(1) +1

r2(0) + (

1

r2 sin2 θ)(0) = 1 (B.55)

por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 and Φ3,1 = 0.


M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

1Φ1,2 +1

r2Φ2,2 +

1

r2 sin2 θΦ3,2 = 0

(1)

(− 1

r2

)+

1

r2(1) +

1

r2 sin2 θ(0) = 0

(B.56)

De esta forma obtenemos que Φ1,2 = − 1r2

, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 +1

r2Φ2,3 +

1

r2 sin2 θΦ3,3 = 0

(1)(0) +1

r2

(− 1

sin2 θ

)+

1

r2 sin2 θ(1) = 0

(B.57)

Entonces obtenemos que Φ1,3 = 0, Φ2,3 = − 1sin2 θ

y Φ3,3 = 1

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel 1 − 1r2

0

0 1 − 1sin2 θ

0 0 1

(B.58)

B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 189

B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)


hξ = d

(ξ2 − η2

ξ2 − 1

)1/2

hη = d

(ξ2 − η2

1− η2

)1/2

hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)

]1/2(B.59)


hξhηhϕ = d

(ξ2 − η2

ξ2 − 1

)1/2

d

(ξ2 − η2

1− η2

)1/2

d[(ξ2 − 1)(1− η2)

]1/2= d3(ξ2 − η2)

(B.60)

ahora

hξhηhϕh2ξ

=d3(ξ2 − η2)

d2(ξ2−η2

ξ2−1

) = (ξ2 − 1)(d) ; f1 = ξ2 − 1

hξhηhϕh2η

=d3(ξ2 − η2)

d2(ξ2−η2

1−η2

) = (1− η2)(d) ; f2 = 1− η2

hξhηhϕh2ϕ

=d3(ξ2 − η2)

d2 [(ξ2 − 1)(1− η2)]= (d)

((ξ2 − η2)

[(ξ2 − 1)(1− η2)]

); f3 = d

(B.61)


S =hξhηhϕf1f2f3

=d3(ξ2 − η2)

d(ξ2 − 1)(1− η2)= d2 (ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)(B.62)


M1 =S

h2ξ

=d2 (ξ2−η2)

(ξ2−1)(1−η2)

d2(ξ2−η2

ξ2−1

) =1

1− η2

M2 =S

h2η

=d2 (ξ2−η2)

(ξ2−1)(1−η2)

d2(ξ2−η2

1−η2

) =1

ξ2 − 1

M3 =S

h2ϕ

=d2 (ξ2−η2)

(ξ2−1)(1−η2)

d2 [(ξ2 − 1)(1− η2)]=

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2

(B.63)



columna, reemplazando los menores M tenemos

1

(1− η2)Φ1,1 +

1

(ξ2 − 1)Φ2,1 +

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,1 = d2 (ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)(B.64)


1

(1− η2)

(d2ξ2

ξ2 − 1

)+

1

(ξ2 − 1)

(− d2η2

1− η2

)+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2(0) = d2 (ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)(1− η2)(B.65)

Por lo tanto Φ1,1 = d2ξ2

ξ2−1, Φ2,1 = − d2η2

1−η2 y Φ3,1 = 0.


M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

sustituyendo los menores

1

(1− η2)Φ1,2 +

1

(ξ2 − 1)Φ2,2 +

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,2 = 0 (B.66)

obtenemos

1

(1− η2)

(−1

ξ2 − 1

)+

1

(ξ2 − 1)

(1

1− η2

)+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2(0) = 0 (B.67)

de esta forma Φ1,2 = − 1ξ2−1

, Φ2,2 = 11−η2 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0


1

(1− η2)Φ1,3 +

1

(ξ2 − 1)Φ2,3 +

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,3 = 0 (B.68)


1

(1− η2)

(− 1

(ξ2 − 1)2

)+

1

(ξ2 − 1)

(− 1

(1− η2)2

)+

(ξ2 − η2)

(ξ2 − 1)2(1− η2)2(1) = 0 (B.69)

por lo tanto Φ1,3 = − 1(ξ2−1)2

, Φ2,3 = − 1(1−η2)2

y Φ3,3 = 1

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackeld2ξ2

ξ2−1− 1ξ2−1

− 1(ξ2−1)2

− d2η2

1−η21

1−η2 − 1(1−η2)2

0 0 1

(B.70)

B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) 191

B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)


hξ = d

(ξ2 + η2

ξ2 + 1

)1/2

hη = d

(ξ2 + η2

1− η2

)1/2

hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)

]1/2(B.71)


hξhηhϕ = d

(ξ2 + η2

ξ2 + 1

)1/2

d

(ξ2 + η2

1− η2

)1/2

d[(ξ2 + 1)(1− η2)

]1/2= d3(ξ2 + η2)

(B.72)

Ahora

hξhηhϕh2ξ

=d3(ξ2 + η2)

d2(ξ2+η2

ξ2+1

) =(ξ2 + 1)(d) ; f1 = ξ2 + 1

hξhηhϕh2η

=d3(ξ2 + η2)

d2(ξ2+η2

1−η2

) =(1− η2)(d) ; f2 = 1− η2

hξhηhϕh2ϕ

=d3(ξ2 + η2)

d2 [(ξ2 + 1)(1− η2)]=(d)

((ξ2 + η2)

[(ξ2 + 1)(1− η2)]

); f3 = d

(B.73)


S =hξhηhϕf1f2f3

=d3(ξ2 + η2)

d(ξ2 + 1)(1− η2)= d2 (ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)(B.74)


M1 =S

h2ξ

=d2 (ξ2+η2)

(ξ2+1)(1−η2)

d2(ξ2+η2

ξ2+1

) =1

1− η2

M2 =S

h2η

=d2 (ξ2+η2)

(ξ2+1)(1−η2)

d2(ξ2+η2

1−η2

) =1

ξ2 + 1

M3 =S

h2ϕ

=d2 (ξ2+η2)

(ξ2+1)(1−η2)

d2 [(ξ2 + 1)(1− η2)]=

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2

(B.75)



columna, reemplazando los menores M , tenemos

1

(1− η2)Φ1,1 +

1

(ξ2 + 1)Φ2,1 +

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,1 = d2 (ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)(B.76)


1

(1− η2)

(d2ξ2

ξ2 + 1

)+

1

(ξ2 + 1)

(d2η2

1− η2

)+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2(0) = d2 (ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)(1− η2)(B.77)

obtenemos que Φ1,1 = d2ξ2

ξ2+1, Φ2,1 = d2η2

1−η2 y Φ3,1 = 0.

Siempre considerando las restricciones de renglon. Para la siguiente columna

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0


1

(1− η2)Φ1,2 +

1

(ξ2 + 1)Φ2,2 +

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,2 = 0 (B.78)

1

(1− η2)

(−1

ξ2 + 1

)+

1

(ξ2 + 1)

(1

1− η2

)+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2(0) = 0 (B.79)

de esta manera Φ1,2 = − 1ξ2+1

, Φ2,2 = 11−η2 y Φ3,2 = 0. Para la tercer columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0


1

(1− η2)Φ1,3 +

1

(ξ2 + 1)Φ2,3 +

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,3 = 0 (B.80)

los valores que satisfacen las restricciones son

1

(1− η2)

(1

(ξ2 + 1)2

)+

1

(ξ2 + 1)

(−1

(1− η2)2

)+

(ξ2 + η2)

(ξ2 + 1)2(1− η2)2(1) = 0 (B.81)

ası, encontramos que Φ1,3 = 1(ξ2+1)2

, Φ2,3 = − 1(1−η2)2

y Φ3,3 = 1

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackeld2ξ2

ξ2+1− 1ξ2+1

1(ξ2+1)2

d2η2

1−η21

1−η2 − 1(1−η2)2

0 0 1

(B.82)

B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) 193

B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)


hµ =(µ2 + ν2)1/2

hν =(µ2 + ν2)1/2

hϕ =µν

(B.83)


hµhνhϕ = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2µν = (µ2 + ν2)µν (B.84)

Ahora

hµhνhϕh2µ

=(µ2 + ν2)µν

(µ2 + ν2)= (µ)(ν) ; f1 = µ

hµhνhϕh2ν

=(µ2 + ν2)µν

(µ2 + ν2)= (ν)(µ) ; f2 = ν

hµhνhϕh2ϕ

=(µ2 + ν2)µν

µ2ν2= (1)

(µ2 + ν2

µν

); f3 = 1

(B.85)


S =hµhνhϕf1f2f3

=(µ2 + ν2)µν

µν= µ2 + ν2 (B.86)


M1 =S

h2µ

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1

M2 =S

h2ν

=µ2 + ν2

µ2 + ν2= 1

M3 =S

h2ϕ

=µ2 + ν2

µ2ν2=µ2 + ν2

µ2ν2

(B.87)


columna

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S

(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2

µ2ν2)Φ3,1 = µ2 + ν2

(B.88)


reemplazando los menores M

(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2

µ2ν2)Φ3,1 = µ2 + ν2 (B.89)

los valores que satisfacen son

(1)(µ2) + (1)(ν2) + (µ2 + ν2

µ2ν2)(0) = µ2 + ν2 (B.90)

por lo tanto Φ1,1 = µ2, Φ2,1 = ν2 y Φ3,1 = 0.

para la siguiente columna y reemplazando los menores

(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (µ2 + ν2

µ2ν2)Φ3,2 = 0 (B.91)


(1)(−1) + (1)(1) + (µ2 + ν2

µ2ν2)(0) = 0 (B.92)

de esta forma Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (µ2 + ν2

µ2ν2)Φ3,3 = 0

(1)(− 1

µ2) + (1)(− 1

ν2) + (

µ2 + ν2

µ2ν2) (1) = 0

(B.93)

ası, encontramos que Φ1,3 = − 1µ2 , Φ2,3 = − 1

ν2 y Φ3,3 = 1

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel µ2 −1 − 1µ2

ν2 1 − 1ν2

0 0 1

(B.94)

B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)


B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) 195

hr =1

hθe =r

√θ2e − ϕ2

e

(θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

hϕe =r

√θ2e − ϕ2

e

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(B.95)


g(θe) = (θ2e − b2)(c2 − θ2

e)

g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(B.96)


hrhθehϕe = (1)r

√θ2e − ϕ2

e√g(θe)

r

√θ2e − ϕ2

e√g(ϕe)

=r2(θ2

e − ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

(B.97)

Ahora

hrhθehϕeh2r

=

r2(θ2e−ϕ2)√g(θe)√g(ϕe)

1=(r2)( (θ2

e − ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

); f1 = r2

hrhθehϕeh2θe

=

r2(θ2e−ϕ2)√g(θe)√g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(θe)

=(√

g(θe))( 1√

g(ϕe)

); f2 =

√g(θe)

hrhθehϕeh2ϕe

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(ϕe)

=(√

g(ϕe))( 1√

g(θe)

); f3 =

√g(ϕe)

(B.98)

de esta forma, podemos ver que f1 = r2, f2 =√g(θe) y f3 =

√g(ϕe)


S =hrhθehϕef1f2f3

=

r2(θ2e−ϕ2e)√

g(θe)√g(ϕe)

r2√g(θe)

√g(ϕe)

=θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(B.99)



M1 =S

h2r

=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

1=

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)

M2 =S

h2θe

=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(θe)

=1

r2g(ϕe)

M3 =S

hϕe=

θ2e−ϕ2e

g(θe)g(ϕe)

r2(θ2e−ϕ2e)

g(ϕe)

=1

r2g(θe)

(B.100)


columna reemplazando los menores M , la ecuacion es

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)Φ1,1 +

1

r2g(ϕe)Φ2,1 +

1

r2g(θe)Φ3,1 =

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(B.101)


θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(1) +

(1

r2g(ϕe)

)(0) +

(1

r2g(θe)

)(0) =

θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(B.102)

por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.

para la siguiente columna

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0


θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)Φ1,2 +

(1

r2g(ϕe)

)Φ2,2 +

(1

r2g(θe)

)Φ3,2 = 0 (B.103)


θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)

(− 1

r2

)+

(1

r2g(ϕe)

)(θ2e

g(θe)

)+

(1

r2g(θe)

)(−ϕ2

e

g(ϕe)

)= 0 (B.104)

Por lo tanto Φ1,2 = − 1r2

, Φ2,2 = θ2eg(θe)

y Φ3,2 = −ϕ2e

g(ϕe). Para la tercer columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0


θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)Φ1,3 +

1

r2g(ϕe)Φ2,3 +

1

r2g(θe)Φ3,3 = 0 (B.105)

B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 197


θ2e − ϕ2

e

g(θe)g(ϕe)(0) +

1

r2g(ϕe)(−1

g(θe)) +

1

r2g(θe)(

1

g(ϕe)) = 0 (B.106)

De esta manera Φ1,3 = 0, Φ2,3 = −1g(θe)

y Φ3,3 = 1g(ϕe)

.

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel

1 − 1r2

0

0 θ2eg(θe)

−1g(θe)

0 −ϕ2e

g(ϕe)1

g(ϕe)

(B.107)

sustituyendo g(θe) y g(ϕe), el resultado final es

1 − 1r2

0

0 θ2e(θ2e−b2)(c2−θ2e)

−1(θ2e−b2)(c2−θ2e)

0 −ϕ2e

(b2−ϕ2e)(c

2−ϕ2e)

1(b2−ϕ2

e)(c2−ϕ2

e)

(B.108)

B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)


hµe =


hνe =



hϕe =

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕe − b)

(B.109)

por simplicidad definimos

g(µe) = (µe − c)(µe − b)g(νe) = (c− νe)(b− νe)g(ϕe) = (c− ϕe)(ϕe − b)

(B.110)



hµehνehϕe =

√(µe − νe)(µe − ϕe)√

g(µe)

√(µe − νe)(ϕe − νe)√

g(νe)

√(ϕe − νe)(µe − ϕe)√

g(ϕe)

=(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)√

g(µe)g(νe)g(ϕe)

(B.111)

Ahora,

hµehνehϕeh2µe

=

(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)

(µe−νe)(µe−ϕe)g(µe)

=(√

g(µe))( (ϕe − νe)√

g(νe)g(ϕe)

); f1 =

√g(µe)

hµehνehϕeh2νe

=


(µe−νe)(ϕe−νe)g(νe)

=(√

g(νe))( (µe − ϕe)√

g(µe)g(ϕe)

); f2 =

√g(νe)

hµehνehϕeh2ϕe

=


(ϕe−νe)(µe−ϕe)g(ϕe)

=(√

g(ϕe))( (µe − νe)√

g(µe)g(νe)

); f3 =

√g(ϕe)

(B.112)

De estos resultado podemos notar que f1 =√g(µe), f2 =

√g(νe) y f3 =

√g(ϕe)


S =hµehνehϕef1f2f3

=

(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)√

g(µe)g(νe)g(ϕe)=

(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)

(B.113)


M1 =S

h2µe

=

(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(ν)g(ϕe)

(µe−νe)(µe−ϕe)g(µe)

=(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)

M2 =S

h2νe

=

(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)

(µe−νe)(ϕe−νe)g(νe)

=(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)

M3 =S

h2ϕe

=

(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)

(ϕe−νe)(µe−ϕe)g(ϕe)

=(µe − νe)g(µe)g(νe)

(B.114)


columna

M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S

B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 199

reemplazando los menores M

(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)

Φ1,1 +(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)

Φ2,1 +(µe − νe)g(µe)g(νe)

Φ3,1 =(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)

g(µe)g(νe)g(ϕe)(B.115)

Recordemos que el renglon n pueden contener unicamente variables χn. Donde los

valores que satisfacen la ecuacion son


(µ2e

g(µe)

)+

(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)

(ν2e

g(νe)

)+

(µe − νe)g(µe)g(νe)

(−ϕ2

e

g(ϕe)

)=

(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)

(B.116)

por lo tanto Φ1,1 = µ2e

g(µe), Φ2,1 = ν2

e

g(νe)y Φ3,1 = −ϕ2

e

g(ϕe).

para la siguiente columna

M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0





Φ3,2 = 0 (B.117)



(−1

g(µe)

)+


(−1

g(νe)

)+


(1

g(ϕe)

)= 0 (B.118)

de esta forma Φ1,2 = −1g(µe)

, Φ2,2 = −1g(νe)

y Φ3,2 = 1g(ϕe)

. Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0





Φ3,3 = 0 (B.119)



(µeg(µe)

)+


(νe

g(µe)

)+


(−ϕeg(ϕe)

)= 0 (B.120)

Por lo tanto Φ1,3 = µeg(µe)

, Φ2,3 = νeg(νe)

and Φ3,3 = −ϕeg(ϕe)


Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackelµ2e

g(µe)−1g(µe)

µeg(µe)

ν2e

g(νe)−1g(νe)

νeg(νe)

−ϕ2e

g(ϕe)1

g(ϕe)−ϕeg(ϕe)

(B.121)

reemplazando g(µe), g(νe) y g(ϕe)µ2e

(µe−c)(µe−b)−1

(µe−c)(µe−b)µe

(µe−c)(µe−b)ν2e

(c−νe)(b−νe)−1

(c−νe)(b−νe)νe

(c−νe)(b−νe)−ϕ2

e

(c−ϕe)(ϕe−b)1

(c−ϕe)(ϕe−b)−ϕe

(c−ϕe)(ϕe−b)

(B.122)

B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)


hξe =

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)

(ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)

hηe =

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)

(η2e − b2)(c2 − η2

e)

hϕe =

√(ξ2e − ϕ2)(η2

e − ϕ2e)

(b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(B.123)

por simplicidad definimos

g(ξe) = (ξ2e − b2)(ξ2

e − c2)

g(ηe) = (η2e − b2)(c2 − η2

e)

g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c

2 − ϕ2e)

(B.124)

ahora

hξehηehϕe =

√(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)√g(ξe)

√(η2e − ϕ2

e)(ξ2e − η2

e)√g(ηe)

√(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)√g(ϕe)

=(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)√g(ξe)g(ηe)g(ϕe)

(B.125)

B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 201


hξehηehϕeh2ξe

=

(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2

e)(η2e−ϕ2



e)g(ξe)

=(√

g(ξe))( (η2

e − ϕ2e)√

g(ηe)g(ϕe)

); f1 =

√g(ξe)

hξehηehϕeh2ηe

=


e)(η2e−ϕ2


(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)g(ηe)

=(√

g(ηe))( (ξ2

e − ϕ2e)√

g(ξe)g(ϕe)

); f2 =

√g(ηe)

hξehηehϕeh2ϕe

=


e)(η2e−ϕ2


(ξ2e−ϕ2e)(η

2e−ϕ2

e)g(ϕe)

=(√

g(ϕe))( (ξ2

e − η2e)√

g(ξe)g(ηe)

); f3 =

√g(ϕe)

(B.126)

De estos resultado podemos ver que f1 =√g(ξe), f2 =

√g(ηe) y f3 =

√g(ϕe)

Ya que conocemos las funciones f , podemos calcular el determinante S

S =hξehηehϕef1f2f3

=


e)(η2e−ϕ2

e)√g(ξe)g(η)g(ϕe)√

g(ξe)g(ηe)g(ϕe)=

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ηe)g(ϕe)(B.127)


M1 =S

h2ξe

=


e)(η2e−ϕ2

e)g(ξe)g(ηe)g(ϕe)


e)g(ξe)

=(η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

M2 =S

h2ηe

=


e)(η2e−ϕ2


(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)g(ηe)

=(ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

M3 =S

h2ϕe

=


e)(η2e−ϕ2


(η2e−ϕ2

e)(ξ2e−η2

e)g(ηe)

=(ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

(B.128)


columna y reemplazando los menores M , la ecuacion es

((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

)Φ1,1 +

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

)Φ2,1 +

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)Φ3,1 =

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)


Si observamos en la ecuacion, nos damos cuenta que lo primero es buscar en todos los

terminos de la ecuacion tengan el mismo denominador y luego trabajar con el numerador


((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

)ξ4e

g(ξe)+

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

)−η4

e

g(ηe)+

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)ϕ4e

g(ϕe)=

(ξ2e − η2

e)(ξ2e − ϕ2

e)(η2e − ϕ2

e)


con esto, tenemos que todos los denominadores son iguales, y con un algebra podemos

ver que

(ξ2e − ϕ2

e)η4e − (η2

e − ϕ2e)ξ

4e + (η2

e − ξ2e )ϕ

4e = (ξ2

e − ϕ2e)(η

2e − ϕ2

e)(η2e − ξ2

e )

por lo tanto Φ1,1 = ξ4eg(ξe)

, Φ2,1 = −η4e

g(ηe)y Φ3,1 = ϕ4

e

g(ϕe).


M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0

sustituyendo los menores((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

)Φ1,2 +

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

)Φ2,2 +

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)Φ3,2 = 0 (B.131)

Nuevamente podemos notar que para todos los terminos de la ecuacion pueden tener el

mismo denominador, y en esta ocasion la suma de los numeradores es cero directamente.Por

lo tanto

((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

)1

g(ξe)+

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

)−1

g(ηe)+

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)1

g(ϕe)= 0 (B.132)

De esta forma Φ1,2 = 1g(ξe)

, Φ2,2 = −1g(ηe)

y Φ3,2 = 1g(ϕe)

. Para la ultima columna

M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0

reemplazando los menores((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕ)

)Φ1,3 +

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξ)g(ϕe)

)Φ2,3 +

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)Φ3,3 = 0 (B.133)

los valores que satisfacen son((η2e − ϕ2

e)

g(ηe)g(ϕe)

)ξ2e

g(ξe)+

((ξ2e − ϕ2

e)

g(ξe)g(ϕe)

)−η2

e

g(etae)+

((ξ2e − η2

e)

g(ξe)g(ηe)

)ϕ2e

g(ϕe)= 0 (B.134)

por lo tanto Φ1,3 = ξ2eg(ξe)

, Φ2,3 = ξ2eg(ξe)

and Φ3,3 = ϕ2e

g(ϕe)

B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 203

Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackelξ4eg(ξe)

1g(ξe)

ξ2eg(ξe)

−η4e

g(ηe)−1g(ηe)

−η2e

g(ηe)ϕ4e

g(ϕe)1

g(ϕe)ϕ2e

g(ϕe)

(B.135)

reemplazando g(ξe), g(ηe) y g(ϕe) tenemos el resultado finalξ4e

(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)1

(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)ξ2e

(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)−η4

e

(η2e−b2)(c2−η2

e)−1

(η2e−b2)(c2−η2

e)−η2

e

(η2e−b2)(c2−η2

e)ϕ4e

(b2−ϕ2e)(c

2−ϕ2e)

1(b2−ϕ2

e)(c2−ϕ2

e)ϕ2e

(b2−ϕ2e)(c

2−ϕ2e)

(B.136)

Apendice C

Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias

En esta seccion mostramos de forma resumida, las tecnicas y operaciones, que llevan a la

solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan de la separacion de la ecuacion

tridimensional de Helmholtz. Para cada uno de los once sistemas de coordenadas se obtienen

tres ecuaciones, pero algunas de ellas se repiten en mas de un sistema coordenado o en el

mismo sistema en mas de una coordenada, de esta forma tenemos 15 ecuaciones diferenciales

ordinarias diferentes. El metodo de solucion que prevalece para resolver las ecuaciones es el

de Frobenius. A continuacion damos inicio con la ecuacion mas sencilla de todas la funcion

armonica simple.

C.1. Funcion armonica simple

Esta ecuacion es

d2X

dx2+X = 0 (C.1)

Considerando la forma general de las ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de

segundo orden como:

ad2X

dx2+ b

dX

dx+ cX = 0 (C.2)

Proponemos unas solucion de la forma Cerx, donde r, y C son constantes arbitrarias.

Sustituyendo X = Cerx en la ecuacion C.1 y realizando las derivadas

ad2(Cerx)

dx2+ b

d(Cerx)

dx+ c(Cerx) =r2Cerx + arCerx + Cberx

=Cerx(ar2 + br + c) = 0

(C.3)

Esta igualdad es verdadera si y solo si, r es una raız de ar2 +br+c. Este polinomio es llamada

polinomio caracterıstico de la ecuacion C.2, y sus raıces r1 y r2 son las raıces caracterısticas.

205

206 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Las soluciones dependen de los resultados de r1 y r2, por ejemplo, si r1 6= r2 la solucion

es

X = C1er1x + C2e

r2x (C.4)

Ahora, para nuestro caso en particular, en la ecuacion armonica simple tenemos que

a = 1 y b = 0, entonces el polinomio caracterıstico queda r2 + c, donde c nos representa en

este caso el numero de onda al cuadrado c = k2, por lo tanto, r = ±ik, y la solucion es

X = C1eikx + C2e

−ikx (C.5)

Esta es la solucion de la ecuacion armonica simple.

Otro de resolver esta ecuacion armonica simple es mediante series de potencia. Para

ello proponemos una solucion de la forma X =∑∞

n=0 anxn. Reemplazandola en la ecuacion

C.1 y derivando, tenemos

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + an]xn = 0 (C.6)

se debe cumplir que

(n+ 2)(n+ 1)an+2 + an = 0 (C.7)

Escogiendo a0 = 1 y a1 = 0, para la solucion par, tenemos la siguiente relacion de

recurrencia

a2n =(−1)n

(2n)!(C.8)

al reemplazarla en la sumatoria tenemos

a2n =(−1)n

(2n)!x2n (C.9)

podemos ver, que la serie obtenida es la expansion de Taylor de la funcion coseno(x).

Esto es, encontramos que la funcion coseno es solucion de la ecuacion C.1. Si ahora escogemos

a0 = 0 y a1 = 1, para la solucion impar, el resultado es la funcion seno(x). Cada una de estas

funciones es solucion, y la suma de ellas tambien lo es, y por la identidad de Euler obtenemos

las soluciones en la forma exponencial que son las que nos representan ondas propagantes.

C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica 207

C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica

Esta ecuacion resulta en las coordenadas cilındricas circulares

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+ (ρ2 − n2)R = 0 (C.10)

presenta una singularidad regular en ρ = 0, donde n es un entero no-negativo y es el

orden de la funcion.

Para resolver esta ecuacion, proponemos una solucion en serie de potencias de la forma

R =∞∑m=0

amρm+p (C.11)

Donde ρ > 0 y a0 6= 0. Sustituyendo en la ecuacion y realizando las derivadas, resulta

ρ2

∞∑m=0

(m+ p)(m+ p− 1)amρm+p−2 + ρ

∞∑m=0

(m+ p)amρm+p−1+

ρ2

∞∑m=0

amρm+p − n2

∞∑m=0

amρm+p = 0 (C.12)

agrupando y factorizando, resulta

∞∑m=0

[(m+ p)(m+ p− 1) + (m+ p)− n2]amρm+p +

∞∑m=0

amρm+p+2 = 0 (C.13)

reescribimos los ındices de la ultima sumatoria en la forma∑∞

m=2 am−2ρm+p, y

evaluamos para m = 0, 1

(p2 − n2)a0xn + (1 + 2n)a1x

n+1+∞∑m=2

{[(m+ p)(m+ p− 1) + (m+ p)− n2

]am + am−2

}ρm+n = 0 (C.14)

el factor p2− n2 que multiplica a a0 debe ser cero, por lo tanto p = ±n, dado que a0 es

una constante arbitraria diferente de cero; en el segundo termino, el coeficiente es diferente

de cero para cualquier valor de n, debemos establecer a1 = 0, de esta forma podemos deducir

que a3 = a5 = a7 = ... = 0.


De esta manera a fin de satisfacer la igualdad, nos aseguramos que el termino entre

corchetes es tambien cero. Primero escogemos para p = n y tenemos

∞∑m=2

[m(m+ 2n)am + am−2]ρm+n = 0 (C.15)

para satisfacer la ecuacion, el termino entre corchetes tiene que ser cero; por lo tanto

tenemos la siguiente relacion de recurrencia

am =−am−2

m(m+ 2n)(C.16)

de esta relacion obtenemos

a2m =(−1)ma0

2mm!(m+ n)!(C.17)

si seleccionamos a0 = 1, la solucion correspondiente es dada por

R =∞∑m=0

(−1)mx2m+n

2mm!(m+ n)!(C.18)

acomodando y usando la identidad de la funcion Gamma, el resultado es

R =∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m+ n+ 1)

(x2

)2m+n

(C.19)

Esta es la funcion Bessel de primer tipo de orden n.

Ahora, si n no es entero y a0 6= 0, la segunda solucion independiente es definida

reemplazando n por −n.

Pero para n entero la segunda solucion es:

X =2

π

{[γ + ln (ρ/2)] Jn(ρ)− 1

2(ρ/2)−n

n−1∑m=0

(n−m− 1)!(ρ/2)2m

m!−

1

2(ρ/2)n

∞∑m=0

(−1)m(ρ/2)2m

m!(m+ n)!

[m∑l=1

1

l+

m+n∑l=1

1

l

]}(C.20)

Esta es conocida como funcion Bessel de segundo tipo o funcion Neumann

La ecuacion de Bessel esferica surge de la separacion de la ecuacion de Helmholtz en

coordenadas esfericas especıficamente para la coordenada radial

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ (κ2r2 −Q)R = 0 (C.21)

C.3. Funcion Mathieu 209

Las soluciones de esta ecuacion son las funciones Bessel esfericas y las Neumann

esfericas, y estas se pueden deducir a partir de las funciones Bessel, para ello utilizamos

las siguientes igualdades

jn(r) =

√π

2rJn+1/2(r)

nn(r) =

√π

2rNn+1/2(r)

(C.22)

De esta forma tenemos las soluciones la ecuacion de Bessel esferica.

C.3. Funcion Mathieu

Esta ecuacion resulta en la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas

cilındricas elıpticas, y tambien de la ecuacion de Laplace en coordenadas paraboloidales. La

forma estandar de la ecuacion Mathieu es

d2N

dη2+ (a− 2q cos 2η)N = 0 (C.23)

y de la ecuacion Mathieu modificada

d2E

dξ2− (a− 2q cosh 2ξ)E = 0 (C.24)

Pero debido a la variable coordenada de la cual resultan, tambien son llamadas ecuacion

Mathieu angular y Mathieu radial.

Primero trabajamos con la funcion angular. La solucion de la ecuacion C.23 es requerida

es muchos problemas fısicos por ser una funcion periodica univaluada con periodo π or 2π.

Los valores de a que satisfacen esta condicion son conocidos como valores caracterısticos

(eigenvalores). Las soluciones de primer tipo son denotadas como cem(η, q) y sem(η, q), los

sımbolos ce y se son abreviaciones de coseno − eliptico y seno − eliptico. Dado que estas

funciones son periodicas pueden ser expandidas como una serie seno o coseno de Fourier [43],

tenemos entonces


ce2n(η, q) =∞∑j=0

A2j(q) cos 2jη

ce2n+1(η, q) =∞∑j=0

A2j+1(q) cos (2j + 1)η

se2n+1(η, q) =∞∑j=0

B2j+1(q) sin (2j + 1)η

se2n+2(η, q) =∞∑j=0

B2j+2(q) sin (2j + 2)η

(C.25)

donde n = 0, 1, 2, ... y A y B son los coeficientes de expansion y dependen del parametro

q.

Sustituyendo una serie a la vez dentro de la ecuacion C.23 obtenemos las siguientes

relaciones de recurrencia, de manera resumida son

para ce2n(η, q)

aA0 − qA2 =0

(a− 4)A2 − q(2A0 + A4) =0

[a− (2j)2]A2j − q(A2j−2 + A2j+2) =0 (j ≥ 2)

(C.26)

para ce2n+1(η, q)

(a− 1− q)A1 − qA3 =0

[a− (2j + 1)2]A2j+1 − q(A2j−1 + A2j+3) =0 (j ≥ 1)(C.27)

para se2n+1(η, q)

(b− 1− q)B1 − qB3 =0

[b− (2j + 1)2]B2j+1 − q(B2j−1 +B2j+3) =0 (j ≥ 1)(C.28)

para se2n+1(η, q)

(b− 4)B2 − qB4 =0

[b− (2j + 2)2]B2j+2 − q(B2j +B2j+4) =0 (j ≥ 1)(C.29)

Los valores caracterısticos a(q) y b(q) pueden ser determinados resolviendo estas

relaciones como un problema de valores propios

C.3. Funcion Mathieu 211

a −q 0 0 . . . 0 0

−2q a− 4 −q 0 0 . . . 0

0 −q a− 16 −q 0 0 . . .

0 0. . . . . . . . . 0 0

· · · 0 0 −q a− (2j)2 −q 0

0 . . . 0 0. . . . . . . . .

A0

A2

A4

...

A2j

...

= 0 (C.30)

{[C1]− a[I]}[A] = 0 (C.31)

De esta forma, queda resuelto el problema, donde [A] es el vector caracterıstico

correspondiente al valor caracterıstico a. De manera similar son encontrados las soluciones

para el resto de las relaciones de recurrencia. Nosotros tomamos la ventaja de la manipulacion

de matrices del software Matlab, especıficamente las librerıas que tiene para solucionar

problemas de valores propios. Ahora, para la ecuacion de Mathieu modificada C.24, esta

solucion se puede obtener a partir de la solucion de la funcion Mathieu angular, reescribiendo

η por iξ, aplicando este cambio a las ecuaciones C.25 tenemos

Je2n(ξ, q) =∞∑j=0

A2j(q) cosh 2jξ

Je2n+1(ξ, q) =∞∑j=0

A2j+1(q) cosh (2j + 1)ξ

Jo2n+1(ξ, q) =∞∑j=0

B2j+1(q) sinh (2j + 1)ξ

Jo2n+2(ξ, q) =∞∑j=0

B2j+2(q) sinh (2j + 2)ξ

(C.32)

Las sumatorias en terminos de funciones hiperbolicas divergen rapidamente, y esto es

inconveniente para los calculos. Afortunadamente las funciones Mathieu modificadas pueden

ser expresadas es terminos del producto de funciones Bessel [3], y estas sumatorias convergen

apropiadamente.


Je2n(ξ, q) =ce2n(0, q)

A0

∞∑j=0

A2jJ2j(2√q sinh ξ)

Je2n+1(ξ, q) =ce2n+1(0, q)√qA1

coth ξ∞∑j=0

(2j + 1)A2j+1J2j+1(2√q sinh ξ)

Jo2n+1(ξ, q) =se′2n+1(0, q)√qB1

∞∑j=0

B2j+1J2j+1(√q sinh ξ)

Jo2n+2(ξ, q) =se′2n+2(0, q)

qB2

coth ξ∞∑j=0

(2j + 2)B2j+2J2j+2(√q sinh ξ)

(C.33)

Donde la prima (′) denota la derivada con respecto a ξ. De esta manera tenemos las

soluciones para las ecuaciones de Mathieu angular y radial.

C.4. Funcion de Legendre

Esta ecuacion diferencial corresponde a la ecuacion de la variable angular θ en el sistema

de coordenadas esfericas, es la ecuacion asociada de Legendre.

Haciendo Q = p(p+ 1), tenemos

(1− x2)d2P (x)

dx2− 2x

dP (x)

dx+

[p(p+ 1)− m2

1− x2

]P (x) = 0, x = cos θ (C.34)

Para resolver esta ecuacion, partimos de la ecuacion de Legendre

(1− x2)d2P (x)

dx2− 2x

dP (x)

dx+ p(p− 1)P (x) = 0 (C.35)

Para resolverla proponemos una solucion de la forma∑∞

j=0 ajxj, la sustituimos en la

ecuacion y realizando las derivadas, tenemos

(1− x2)∞∑j=0

j(j − 1)ajxj−2 − 2x

∞∑j=0

jajxj−1 + p(p+ 1)

∞∑j=0

ajxj = 0 (C.36)

Expandiendo,

∞∑j=0

j(j − 1)ajxj−2 −

∞∑j=0

j(j − 1)ajxj −

∞∑j=0

2jajxj + p(p+ 1)

∞∑j=0

ajxj = 0 (C.37)

C.4. Funcion de Legendre 213

Reescribimos los ındices en la primer sumatoria y factorizando, obtenemos

∞∑j=0

{(j + 2)(j + 1)aj+2 + [p(p+ 1)− j(j − 1)− 2j]aj}xj = 0 (C.38)

Para garantizar que la igualdad se cumpla, el factor entre corchetes debe ser cero. Al

igualarlo a cero obtenemos la siguiente relacion de recurrencia

aj+2 = −(p+ j + 1)(p− j)(j + 2)(j + 1)

aj (C.39)

Notemos que los valores de a0 determina a2, a4, ..., mientras que a1 determina a3, a5, ....

Con esto obtenemos

a2j =(−1)j(p+ 2j − 1)...(p+ 1)p...p(−2j + 2)

(2j)!a0

a2j+1 =(−1)j(p+ 2j)...(p+ 2)(p− 1)...(p− 2j + 1)

(2j + 1)!a1

(C.40)

Para cada valor de p podemos obtener una solucion P1(x), P2(x). Primero, las soluciones

pares a0 = 1 y a1 = 0, y posteriormente las impares a0 = 0 and a1 = 1.Tenemos

P1 =1− (p+ 1)p

2 · 1x2 + ...+ (−1)ja2jx

2j

P2 =x− (p+ 2)(p− 1)

3 · 2x3 + ...+ (−1)ja2j+1x

2j+1

(C.41)

Asumimos que p = n, donde n es un numero no negativo. Si n = j debemos tener

an+2 = 0; por lo tanto an+4 = an+6 · · · = 0, deducimos de esto que n = 2j y n = 2j + 1, por

lo tanto P1 tiene soluciones de grado 2j y P2 de grado 2j + 1.

P2j =1− (2j + 1)2j

2x2 + ...+ (−1)ja2jx

2j

P2j+1 =x− (2j + 3)2j

6x3 + ...+ (−1)ja2j+1x

2j+1

(C.42)

Es comun estandarizar esta funcion, para ello cada solucion se divide entre el valor de

la funcion en x = 1, de la siguiente manera

P2j =P1(x)

P1(1)

P2j+1 =P2(x)

P2(1)

(C.43)


Para el primer valor de n, tenemos

P0 = 1, P1 = x, P2 =1

2(3x2 − 1), P3 =

1

2(5x3 − 3x) (C.44)

Otra forma comun de obtener las soluciones es usar la formula [14]

Pn =1

2n

n/2∑j=0

(−1)j(2n− 2j)!

j!(n− j)!(n− 2j)!xn−2j (C.45)

o tambien la formula de Rodrigues

Pn =1

2nn!

(d

dx

)n(x2 − 1)n (C.46)

Una vez que tenemos la funcion de Legendre podemos obtener la funcion asociada de

Legendre [14], por la formula

Pmn (x) = (1− x2)m/2

dm

dxmPn(x) (C.47)

La ecuacion de Legendre es de segundo orden por lo que tiene dos soluciones, para

obtener la funcion asociada de Legendre de segundo tipo partimos de la funcion de Legendre

de primer tipo

Qn(x) = Pn(x)

[1

2ln

(1 + x

1− x

)− φ(n)

]+

n∑j=1

(−1)j(n+ j)!

(j!)2(n− j)!φ(j)

(1− x

2

)j(C.48)

Donde φ(0) = 0 y φ(n) = 1 + 12

+ 13

+ · · ·+ 1n

para (n > 0).

La formula final resultante es

Qmn (x) = (−1)m(1− x2)m/2

dm

dxmQn(x) (C.49)

C.5. Funcion de Onda Esferoidal

Las ecuaciones de onda esferoidal prolata son

(ξ2 − 1)d2E

dξ2+ 2ξ

dE

dξ−(an,m − c2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1)

)E = 0 (C.50)

(1− η2)d2N

dη2− 2η

dN

dη+

(an,m − c2η2 − m2

(1− η2)

)N = 0 (C.51)

El parametro que nos da las dimensiones en este sistema de coordenadas es d, el cual

es la distancia semi-focal del elipsoide.

C.5. Funcion de Onda Esferoidal 215

C.5.1. Funcion de Onda Angular

Cuando c = 0, la ecuacion de onda esferoidal se reduce a la ecuacion asociada de

Legendre, por lo tanto, la funcion de onda angular S, es encontrada a partir de una expansion

en series infinitas de la funcion asociada de Legendre, tanto la de primer tipo como la de

segundo tipo

S(1)mn(c, η) =

∞∑r=0,1

′dmnr Pmm+k(η) (C.52)

S(2)mn(c, η) =

∞∑r=−∞

′dmnr Qmm+k(η) (C.53)

Donde dmnr (c) son los coeficientes de expansion a ser determinados, Pmm+k(η) y Qm

m+k(η)

son las funciones asociadas de Legendre de primer y segundo tipo respectivamente, esto es

para el sistema prolato, y con el cambio de c por −ic lo tenemos para el sistema oblato. El

apostrofe en el signo de la sumatoria indica que la sumatoria es llevada a cabo para valores

pares de j cuando (n−m) es par y para valores impares cuando (n−m) es impar.

Sustituyendo (C.52) dentro de (C.50), obtenemos

∞∑r=0,1

′dmnr

{d

dη(1− η2)

d

dη[Pmm+k(η)] + [amn − c2ξ2 +

m2

(ξ2 − 1)]Pmm+k(η)

}= 0 (C.54)

Trabajando con la formulas adecuadas de las funciones de Legendre, obtenemos las

siguientes relaciones de recurrencia

(2m+ r + 2)(2m+ r + 1)

(2m+ 2r + 5)(2m+ 2r + 3)c2dmnr+2(c) +

[(m+ r)(m+ r + 1)

− amn(c) +2(m+ r)(m+ r + 1)− 2m2 − 1

(2m+ 2r − 1)(2m+ 2r + 3)c2

]dmnr (c)

+r(r − 1)

(2m+ 2r − 3)(2m+ 2r − 1)c2dmnr−2(c) (C.55)

Para simplificar, definimos


αr =(2m+ r + 2)(2m+ r + 1)

(2m+ 2r + 5)(2m+ 2r + 3)c2

βr =(m+ r)(m+ r + 1) +2(m+ r)(m+ r + 1)− 2m2 − 1

(2m+ 2r − 1)(2m+ 2r + 3)c2

γr =r(r − 1)

(2m+ 2r − 3)(2m+ 2r − 1)c2

(C.56)

la ecuacion C.55 se convierte en

α0dmn2 (c) + [β0 − amn(c)] dmn0 (c) =0

α1dmn3 (c) + [β1 − amn(c)]dmn1 (c) =0

γrdmnr−2(c), γrd

mnr−2(c), αrd

mnr+2(c) + [βr − amn(c)]dmnr (c) + γrd

mnr−2(c) =0, (r ≥ 2)

(C.57)

De esta ecuacion podemos determinar las coeficientes de expansion, ademas de que

esta representa un sistema homogeneo de ecuaciones que permite determinar la relacion

dmnr (c)/dmnr−2(c). A fin de obtener una solucion no trivial de este sistema, el determinante

debe ser cero, para lo cual necesitamos determinar los valores caracterısticos amn. Esto es

equivalente a resolver el problema tridiagonal de valores propios dado por [43].β0 α0

γ2 β2 α2

. . .

γ2r β2r α2r

. . .

dmn0

dmn2...

dmn2r...

= amn

dmn0

dmn2...

dmn2r...

(C.58)

(n−m) = par

y β1 α1

γ3 β3 α3

. . .

γ2r+1 β2r+1 α2r+1

. . .

dmn1

dmn3...

dmn2r+1...

= amn

dmn1

dmn3...

dmn2r+1...

(C.59)

(n−m) = impar

Con esto obtenemos la secuencia de valores caracterısticos amn(c) para m y c dados.

C.5. Funcion de Onda Esferoidal 217

Otro metodo es mediante el uso de relaciones de recurrencia. Una apropiada

normalizacion, podrıa eliminar la arbitrariedad de los coeficientes. De esta forma, cuando

c → 0, las funciones de onda angular se reducen a las funciones asociada de Legendre, por

lo tanto, podemos ver que dmnr satisface la relacion de normalizacion

S(1)mn(c, 0) = Pm

n (0) =(−1)(n−m)/2(n+m)!

2n(n−m

2

)!(n+m

2

)!

(n−m)even (C.60)

S ′(1)mn(c, 0) = P ′

mn (0) =

(−1)(n−m−1)/2(n+m+ 1)!

2n(n−m−1

2

)!(n+m+1

2

)!

(n−m)odd (C.61)

Para la evaluacion de la funcion de onda esferoidal de segundo tipo, es un poco mas

complicado, porque la sumatoria debe ser extendida de −∞ a +∞. La ecuacion (C.53) puede

ser expandida como sigue

S(2)mn(c, η) =

∞∑r=0,1

′dmnr Qmm+k(η) +

−2m+1,−2m∑r=−1,−2

′dmnr Qmm+k(η) +

∞∑r=2m+1,2m+2

′dmn−rQmm−k(η) (C.62)

C.5.2. Funcion de Onda Radial

Cuando c = 0 la ecuacion de onda esferoidal convergen a las funciones bessel esfericas.

Por lo tanto las funciones de onda radial Rmn(c, ξ), puede ser expandida como una serie de

funciones Bessel esfericas.

Las soluciones para el sistema prolato son Rmn(c, ξ) y para obtener las soluciones del

sistema oblato cambiamos c por ic y ξ por iξ, es decir, Rmn(−ic, iξ). Cuando c → 0,

las soluciones de primer tipo R(1)mn y segundo tipo R

(2)mn se reducen a las funciones Bessel

y Neumann esfericas respectivamente. Los valores caracterısticos amn son iguales a los

obtenidos para la ecuacion C.50, es decir, se pueden emplear los que se obtuvieron para

la funcion de onda Angular

La funcion de onda radial esta dada por [6]

R(1)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!jm+r(cξ) (C.63)

R(1)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!ym+r(cξ) (C.64)


R(1)mn(c, ξ) =

[∞∑

r=0,1

′dmnr2m+ r

r!

]−1(ξ2 − 1

ξ2

)m/2 ∞∑r=0,1

′ir+m+ndmnr2m+ r

r!h

(1)(2)m+r (cξ) (C.65)

donde j, y y h son las funciones Bessel, Neumann y Hankel esfericas respectivamente.

Las soluciones Smn(c, η) y Rmn(c, ξ) son proporcionales entre sı [43], podemos escribir

la solucion prolata

S(1)mn(c, z) = κ(1)

mn(c)R(1)mn(c, z) (C.66)

Donde el factor proporcional κ(1)mn(c) es [6]

κ(1)mn(c) =

(2m+ 1)(n+m)∑∞

r=0 dmnr (c)2m+r

r!

2m+ndmn0 (c)cmm!(n−m2

)!(n+m2

)!(n−m)even (C.67)

κ(1)mn(c) =

(2m+ 3)(n+m+ 1)∑∞

r=1 dmnr (c)2m+r

r!

2m+ndmn1 (c)cm+1m!(n−m−12

)!(n+m+12

)!(n−m)even (C.68)

para las funciones oblatas, tenemos

S(1)mn(−ic, iz) = κ(1)mn(−ic)R(1)mn(−ic, iz) (C.69)

C.6. Funcion de Onda Bessel

Las ecuaciones diferenciales ordinarias canonicas obtenidas de la separacion de la

ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas son

d2M

dµ2+

1

µ

dM

dµ+

[µ2 − q2 − m2

µ2

]M = 0 (C.70)

d2V

dν2+

1

ν

dV

dν+

[ν2 + q2 − m2

ν2

]V = 0 (C.71)

Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de onda Bessel [10], debido a que

cuando k → 0 en la ecuacion de Helmholtz, las ecuaciones resultantes son la ecuacion de

Bessel y la de Bessel modificada.

Estas ecuaciones de las coordenadas parabolicas pueden ser resueltas empleando el

metodo de Frobenius. Presenta una singularidad regular en µ = 0. Por lo tanto, proponemos

una solucion de la forma M =∑∞

m=0 anµm+β. Reemplazando en la ecuacion diferencial y

realizando las derivadas, tenemos

C.6. Funcion de Onda Bessel 219

∞∑m=0

am(m+ β)(m+ β − 1)µm+β +∞∑m=0

am(m+ β)µm+β

+∞∑m=0

amµm+β+4 +

∞∑m=0

amq2µm+β+2 −

∞∑m=0

amp2µm+β = 0 (C.72)

reescribiendo los subındices en las sumatorias del tercer y cuarto termino, las ecuaciones

resultan

∞∑m=0

µm+β[am[(m+ β)2 − p2

]+ am−4 + am−2q

2]

= 0 (C.73)

para m = 0 tenemos

a0[β(β − 1) + β − p2]xβ = 0 (C.74)

pero a 6= 0 resulta

β = ±p (C.75)

para m = 1 y tomando β = p

a1[1 + 2p]x1+p = 0 (C.76)

concluimos que a1 = 0, por lo tanto, a1 = a3 = a5..... = 0, para m = 2[a24(1 + p) + a0q

2]µ1+p (C.77)

y para m ≥ 4

∞∑k=4

µm+p[am[(m+ p)2 − p2

]+ am−4κ

2 + am−2q2]

= 0 (C.78)

con el fin de cumplir con la igualdad, los terminos entre corchetes deben ser cero

ak[(k + p)2 − p2

]+ ak−4κ

2 + ak−2q2 = 0 (C.79)

ahora obtenemos la siguiente relacion de recurrencia

am =am−4 + am−2q

2

(m+ p)2 − p2(C.80)

Por conveniencia, dejemos a0 = (q/2)p

Γ(p+1), y obtenemos la expansion en series de la funcion

de onda Bessel [10],


M(µ) =(qµ/2)p

Γ(p+ 1)

{1− (qµ/2)2

Γ(p+ 1)+

(qµ/2)4

2!(p+ 1)(p+ 2)

[1− 4(p+ 1)

q4

]− (qµ/2)6

3!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3)

[1− 4(3p+ 5)

q4

]}(C.81)

(µ/2) factorizado dentro del numerador de la serie, podemos representar el factor con

el siguiente determinante

∆m(p) =

q2 2 0 . . . 0

1 q2 4 0 . . . 0

0 1 q2 6 0 . . .

0 0. . . . . . . . . 0

· · · 0 0 1 q2 2(m− 1)

0 . . . 0 0 1 q2

(C.82)

despues, podemos representar la serie de una forma compacta

M(µ) = (qµ/2)p∞∑m=0

(−1)m∆m(p)(µ/2)2m

m!Γ(m+ p+ 1)(C.83)

con ∆0 = 1 y ∆1 = q2. Similarmente para β = −p

M(µ) = (qµ/2)−p∞∑m=0

(−1)m∆m(−p)(µ/2)2m

m!Γ(m− p+ 1)(C.84)

La solucion completa para valores no enteros de p, es

AMp(q, µ) +BM−p(q, µ) (C.85)

La solucion para la ecuacion de la variable ν, unicamente cambiamos q2 por −q2, es decir,

Np(q2, ν) = Mp(−q2, µ) (C.86)

Finalmente, como en las funciones Bessel para valores enteros de p es necesario obtener

la funcion de onda de segundo tipo. Definida por

C.7. Funcion de Onda Paraboloidal 221

M2m(q, µ) =

2

πq2p

{[γ + ln (qµ/2)] ∆m(−p)M1

p (q, µ)

− 1

2(q/2)p22pµ−p

p−1∑n=0

(p− n− 1)!∆n(−p)(µ/2)2n

n!

+1

2(qµ/2)p

∞∑n=0

(−1)n(µ/2)2n

n!(m+ p)!

{4

n+p−1∑l=1

(p−2l)Ml(l+1)−∆n(p)∆p(−p)

[n∑l=1

1

l+

m+p∑l=1

1

l

]}}(C.87)

Similarmente, sı k = 0, recuperamos la funcion de onda Bessel de segundo tipo.

C.7. Funcion de Onda Paraboloidal

La forma canonica de la ecuacion de onda paraboloidal es


dϕ2e

− [2ϕe − (b+ c)]dΦ

dϕe−[ϕ2e − s(b+ c) + pϕe

]Φ = 0 (C.88)

Si consideramos b = 0 y c = 1, obtenemos

√(ϕ)(1− ϕ)

d

dϕ(√

(ϕ)(1− ϕ)dΦ

dϕ)− (ϕ2 + pϕ− s)Φ = 0 (C.89)

haciendo el cambio de variable ϕ = cos2 z, y realizando las derivadas, tenemos

dϕ = −2 sin z cos zdz, y haciendo los calculos resulta

√cos2 z sin2 z

−2 sin z cos z

d

dz

(√cos2 z sin2 z

−2 sin z cos z

dΦ

dz

)−[(1

2[cos 2z + 1])2 + p(

cos 2z

2+

1

2)− s

]Φ = 0

(C.90)

1

−2

d

dz

(1

−2

dΦ

dz

)−{

(1

4[cos2 2z + 2 cos 2z + 1]) + p(

1

2[cos 2z + 1])− s

}Φ = 0 (C.91)

1

4

d2Φ

dz2−{

1

4

(1

2[cos 4z + 1] + 2 cos 2z + 1

)+ p(

1

2[cos 2z + 1])− s

}Φ = 0 (C.92)

multiplicamos todo por 4 y expandemos.


d2Φ

dz2−{(

1

2cos 4z +

1

2+ 2 cos 2z + 1

)+ (2p cos 2z + 2p)− 4s

}Φ = 0 (C.93)

d2Φ

dz2−{

1

2cos 4z + 2(1 + p) cos 2z +

3

2+ 2p− 4s

}Φ = 0 (C.94)

Si proponemos β = 3 + 2p − 4s y γ = 2(p + 1), obtenemos la ecuacion de Hill de tres

terminos que tambien es llamada ecuacion de Whittaker-Hill [49]

dΦ

dϕ2+ (β + γ cos 2ψ − 1

2cos 4ψ)Φ (C.95)

a fin de encontrar la solucion de esta ecuacion, proponemos

(1/2) = −(1/8)χ2, β = α− 1

8χ2, γ = −(p+ 1)χ (C.96)

la cual resulta

d2Φ

dϕ2+ α− 1

8χ− (p+ 1)χ cos 2ψ +

1

8χ2 cos 4ψΦ (C.97)

ahora, la trasformacion

Φ = φe−14χ cos 2ϕ (C.98)

reduce a [46, 49]

d2φ

dϕ2+ χ sin 2ϕ

dφ

dϕ+ (α− pχ cos 2ϕ)φ (C.99)

la cual es la ecuacion de Ince. Sı p y χ tienden simultaneamente a cero y a infinito

respectivamente, en la cual el producto pχ permanece finito, obtenemos la ecuacion de

Mathieu. Para resolver la ecuacion proponemos una solucion de la forma

φ =∞∑r=0

A2r cos 2rϕ (C.100)

.

Ince mostro que, cuando p es un entero par, es decir p = 2n y si ademas α es

seleccionada de tal manera que An+1 = 0, luego con r = n mostro que An+2 = 0 y tambien

An+3=An+4 = ..,0, ası la solucion es una serie finita terminando con An cos 2nϕ [50]. Despues

tenemos cuatro soluciones y estas estan representadas como sigue [46, 49]

C.7. Funcion de Onda Paraboloidal 223

C2m2n =

n∑r=0

A2r cos 2rϕ

C2m2n+1 =

n∑r=0

A2r+1 cos (2r + 1)ϕ

S2m2n+2 =

n∑r=0

B2r+2 sin (2r + 2)ϕ

S2m2n+1 =

n∑r=0

B2r+1 sin (2r + 1)ϕ

(C.101)

Sustituyendo C.108 dentro de la ecuacion C.99 obtenemos las siguientes relaciones de

recurrencia [50, 52]

C2m2n , p = 2n

(n+ 1)χA1 =aA0,

(n+ 2)χA2 =(a− 4)A1 − 2nχA0,

(n+ r + 2)χAr+2 =[a− 4(r + 1)2]Ar+1 + (r − n)χAr

(C.102)

S2m2n , p = 2n

(n+ 1)χB2 =(a− 4)B1,

(n+ r + 2)χBr+2 =[a− 4(r + 1)2]Br+1 + (r − n)χBr

(C.103)

C2m+12n+1 , p = 2n+ 1

(n+ 2)χA1 =[a− (n+ 1)χ− 1]A0,

(n+ r + 2)χAr+1 =[a− (2r + 1)2]Ar + (r − n− 1)χAr−1

(C.104)

S2m2n+1, p = 2n+ 1

(n+ 2)χB1 =[a+ (n+ 1)χ− 1]B0,

(n+ r + 2)χBr+1 =[a− (2r + 1)2]Br + (r − n− 1)χBr−1

(C.105)

Estas relaciones de recurrencia son resueltas como un problema de valores propios. Por

ejemplo para C2m2n tenemos


0 (n+ 1)χ 0 . . . 0

2nχ 4 (n+ 2)χ 0 . . . 0

0 (n− 1)χ 16 (n+ 3)χ 0 . . .

0 0. . . . . . . . . 0

· · · 0 0 (n− r + 1)χ 4(n− 1)2 2nχ

0 . . . 0 0 χ 4n2

(C.106)

Una vez obtenidos los polinomios de Ince, sustituimos los cambios realizados para

obtener la funcion de onda Paraboloidal

hcmp (ϕ, χ) = e−14χ cos 2ϕCm

p (ϕ, χ)

hsmp (ϕ, χ) = e−14χ cos 2ϕSmp (ϕ, χ)

(C.107)

Ahora, para el caso de la coordenada radial, es necesario que hacer el cambio ϕ→ iϕ,

y la solucion es

C2m2n =e−

14χ cosh 2ϕ

n∑r=0

A2r cosh 2rϕ

C2m2n+1 =e−

14χ cosh 2ϕ

n∑r=0

A2r+1 cosh (2r + 1)ϕ

S2m2n+2 =e−

14χ cosh 2ϕ

n∑r=0

B2r+2 sinh (2r + 2)ϕ

S2m2n+1 =e−

14χ cosh 2ϕ

n∑r=0

B2r+1 sinh (2r + 1)ϕ

(C.108)

Donde los coeficientes A y B son los mismo que la funcion de onda paraboloidal angular.

Estas ultimas series presentan problemas para su calculo, debido a que el primer factor es

una funcion exponencial elevada a otra exponencial negativa y esto ocasiona que se haga

tienda a cero aun para valores pequenos.

C.8. Funcion Lame

La funcion Lame se presenta cuando separamos la ecuacion de Helmholtz en

coordenadas Conicas y al separar la ecuacion de Laplace en coordenadas Elipsoidales

C.8. Funcion Lame 225

[45, 57, 5, 60]. Esta ecuacion puede ser resuelta en su forma Jacobiana, Weierstrassiana,

trigonometrica o algebraica. Cuando h → 1, la funcion de Lame degenera dentro de la

funcion de Legendre, mientras que cuando h→ 0 y n→∞, el producto n(n+l)h2 tiende a un

lımite finito, las funciones de Lame degenera dentro de las funciones de Mathieu periodicas.

Trabajaremos con la forma algebraica de la ecuacion de Lame. La forma mas general de la

ecuacion de Lame en su forma algebraica es [46]

(1− θ2)(1− h2θ2)d2Θ

dθ2− θ(1 + h2 − 2h2θ2)

dΘ

dθ+ (q − n(n+ 1)θ2) = 0 (C.109)

Para n valores fijos existen 2n+ 1 parametros de separacion qnm, con m = 0, 1, 2, ..., 2n,

eigenvalores, conducen 2n + 1 correspondientes funciones Lame. Para resolver proponemos

una solucion de la forma

Lmn (θ) = θr√

1− θ2s√

1− h2θ2t

p∑j=0

aj(1− θ2)j (C.110)

donde r, s, t son cero o uno y p = (1/2)(n − r − s − t). De acuerdo con el principal

producto en la ecuacion C.110 las funciones Lame son divididas en ocho tipos, esto, de

acuerdo con las posibles combinaciones de r, s, t. Sı nosotros definimos N = n/2 para n par

y N = (n − 1)/2 para n impar, en la tabla C.1 mostramos los ocho posibles tipos de las

funciones Lame [46].

Cuadro C.1: Tipos de la funcion Lame

Tipo Producto principal para n par para n impar

1 - N+1

2 h N+1

3√

1− θ2 N+1

4√

1− h2θ2 N+1

5√

1− θ2√

1− h2θ2 N

6 h√

1− θ2 N

7 h√

1− h2θ2 N

8 h√

1− θ2√

1− h2θ2 N

Para el tipo 1− 4 tenemos p = N y para el tipo 5− 8 tenemos p = N − 1. Sustituyendo

C.110 en C.109 obtenemos la siguiente relacion de recurrencia

FjQj−1 + (Gj − qmn )Qj +HjQj+1 = 0, j = 0, ..., p, (C.111)


∆m(p) =

G0 H0 0 . . . 0

F1 G1 H1 0 . . . 0

0 F2 G2 H2 0 . . .

0 0. . . . . . . . . 0

· · · 0 0 Fp−1 Gp−1 Hp−1

0 . . . 0 0 Fp Gp

(C.112)

con Q−1 = Qp+1 = Qp+2 = 0. Por lo tanto tenemos una tridiagonal Matriz, la cual se

resuelve como un problema de valores propios. qmn son los valores propios y Q son los vectores

propios. Para obtener una solucion unica establecemos Qp = 1.

Los coeficientes F,G,H dependen del tipo de funcion Lame, esto se muestra en la

siguiente tabla [58, 59, 48]

Cuadro C.2: Coeficientes de la matriz tridiagonal de la funcion Lame

Type Fj Gj Hj

1 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j − 1)h2 2N(2N + 1)h2 − 4j2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 1)h′2

2 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − 4jh2 + (2j + 1)2h′2 −(2j + 2)(2j + 1)h′2

3 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − (2j + 1)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 3)h′2

4 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 2)2h2 + (2j + 1)2h′2 −(2j + 2)(2j + 1)h′2

5 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2h2 + (2j + 2)2h′2 −(2j + 2)(2j + 3)h′2

6 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2h2 + (2j + 2)2h′2 −(2j + 2)(2j + 3)h′2

7 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 1)h′2

8 −(2N − 2j)(2N + 2j + 3)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − (2j + 2)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 3)h′2

Lo siguiente es implementar este sistema en un lenguaje de programacion o un software

matematico. Debido a la facilidad en el manejo de las operaciones matriciales hemos utilizado

el software Matlab para la implementacion.

C.9. Funcion de Onda Lame

La ecuacion de onda elipsoidal o Lame, resulta de la separacion de variables de la

ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales

La ecuacion de onda Lame en su forma algebraica es

t(t− 1)(t− a)∂2Lw

∂t2+

1

2[3t2 − 2(1 + a)t+ a]

∂Lw

∂t+ [λ+ βt+ γt2]Lw = (C.113)

C.9. Funcion de Onda Lame 227

Esta ecuacion es la ecuacion diferencial ordinaria mas complicada que resulta de la

separacion de la ecuacion tridimensional de Helmholtz [46, 44]. Esto, porque la solucion por

series involucra al menos cuatro terminos en la relacion de recurrencia entre los coeficientes de

dichas series. La ecuacion de onda Lame tiene tres singularidades regulares y una singularidad

irregular en infinito. Cuando el numero de onda k → 0, nos lleva a la ecuacion de Lame. Esta

ecuacion es un problema de dos parametros. Tenemos dos parametros conocidos a y γ, a es

el parametro geometrico y γ esta relacionado con la frecuencia. Los otros dos parametros de

la ecuacion λ y β son los valores propios a determinar. Esta ecuacion presenta ocho tipos de

solucion, similar a la ecuacion de Lame, estas soluciones tienen la forma

Lw(t) = t%/2(t− 1)σ/2(t− c)τ/2F (t) (C.114)

Donde F (t) es una funcion integral de t; %, σ y τ son 0 o 1, las ocho posibles

combinaciones de estas variables, nos dan como resultado ocho diferentes tipos de la funcion

de onda Lame Insertando la ecuacion C.114 dentro de la ecuacion C.115, conduce a la la

siguiente ecuacion diferencial [56, 44]

t(t−1)(t−a)∂2F (t)

∂t2+

1

2[A2t

2−2A1t+A0]∂F (t)

∂t+ [λ−λ0 + (β+β0)t+γt2]F (t) = (C.115)

donde

A0 = (2%+ 1)a, A1 = (1 + %)(1 + a) + τ + σa, A2 = 2(%+ σ + τ) + 3

λ0 =1

4[(%+ τ)2 + (%+ σ)2a], β0 =

1

4(%+ σ + τ)(%+ σ + τ + 1)

(C.116)

A fin de calcular la funcion de onda Lame, nosotros asumimos F (t) en la forma de series

de potencia en t.

F (t) =∞∑r=0

αr(t− t0)r (C.117)

donde t0 es una constante. Ahora insertando F (t) en la ecuacion C.115 nos lleva a la

ecuacion de recurrencia:

N0rαr + [N2

r+1 +N1r+1(r + 1) +N0

r+1r(r + 1)]αr+1

+ [N2r+2 +N1

r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2

[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0

r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 = 0 (C.118)


con

N0r = γ, N2

r+1 = β + β0 + 2γt0 N1r+1 =

1

2A2, N0

r+1 = 1

N2r+2 = λ− λ0 + (β + β0)t0 + γt20, +N1

r+2 = A2t0 − A1, N0r+2 = 3t0 − 1− a

N1r+3 =

1

2A2t

20−A1t0 +

1

2A0, N0

r+3 = (2t0− 1)(t0− a) + t20− t0, N0r+4 = (t20− t0)(t0− a)

(C.119)

Escogemos el parametro de expansion t0 = 1, para las ocho combinaciones de %, σ, y

τ , con esta seleccion de t0 el termino que implica αr+4 en la ecuacion C.118 desaparece y la

formula de recursion de cinco terminos se simplifica a una formula de recursion de cuatro

terminos.

Primeramente, especificamos el posible conjunto (discreto) de β y λ en γ = 0

correspondiente a el problema de la ecuacion de Laplace. De ello se deduce que el coeficiente

en αr+1 para r = n− 1 se hace cero cuando

β = −β0 − n(n− 1)− 1

2A2n (C.120)

In este caso, una solucion polinomial finita para F puede ser encontrada empleando la

condicion para λ que el determinante de la primera n + 1 ecuaciones se atenua, es decir, se

obtiene una ecuacion de grado n + 1 en λ. Por lo tanto, tenemos n + 1 λ soluciones para

cada valor de n [denotada λmn donde m = 0, 1, 2, ..., n] esta determinado que todos son reales;

esta indexacion es de las mas usadas para las funciones de onda Lame. Esta soluciones dan

valores iniciales en γ = 0 para el subsecuente calculo de las constantes de separacion β(γ) y

λ(γ) con valores finitos de γ. Valores de β(γ) y λ(γ) son obtenidos utilizando el metodo de

Newton el cual se sabe que es localmente convergente [56].

Este metodo de Newton es empleado como sigue: Una vez que los valores de β(γ) y

λ(γ) han sido calculado para un valor dado de γ, estimaciones de primer orden del nuevo

valor de β y λ [β + ∆β y λ+ ∆λ, respectivamente] correspondientes a γ + ∆γ son definidos

como sigue

β(γ + ∆γ) = β(γ) + ∆β, λ(γ + ∆γ) = λ(γ) + ∆λ, (C.121)

donde ∆β y ∆λ son dados por

∆β∂G

∂β

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

+ ∆λ∂G

∂λ

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

+ ∆γ∂G

∂γ

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

= 0

∆β∂H

∂β

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

+ ∆λ∂H

∂λ

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

+ ∆γ∂H

∂γ

∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]

= 0

(C.122)

C.9. Funcion de Onda Lame 229

y

G(β, λ, γ) = N0rαr + [N2

r+1 +N1r+1(r + 1) +N0

r+1r(r + 1)]αr+1

+ [N2r+2 +N1

r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2

[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0

r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 r = M − 2 (C.123)

H(β, λ, γ) = N0rαr + [N2

r+1 +N1r+1(r + 1) +N0

r+1r(r + 1)]αr+1

+ [N2r+2 +N1

r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2

[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0

r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 r = M − 1 (C.124)

El parametro M es seleccionado como un valor entero proximo a N/2 en la

implementacion numerica. Es necesario especificar como los valores αr, r = 0, 1, ..., N ,

para una serie de potencias F son determinadas antes de las derivadas parciales ∂G∂λ

, ∂G∂γ

,∂H∂β

, ∂H∂λ

y ∂H∂γ

pueden ser calculadas. Los αr son calculados tomando primero αN = 1,

αN+1 = αN+2 = αN+3 = αN+4 = 0 y despues calculando αr hacia atras hasta αM empleando

la ecuacion C.118 con r = N − 1, N − 2, ...,M . Donde la solucion encontrada satisface

αr = 0∀r > N + 1, y es convergente por construccion. A continuacion, la ecuacion C.118 es

utilizada con r = 0, 1, 2, ...,M − 3 para calcular α0 hacia adelante hasta αM . El valor inicial

de α0 es fijado de tal modo que al encontrarse los dos αM sean iguales. Las ecuaciones que

no se utilizan en la determinacion de los valores de αr son las ecuaciones de G y H en la

ecuacion C.123 la cual es usada en la aplicacion del metodo de Newton. Los coeficientes ∂G∂β

,

etc. pueden ser encontrados de las siguientes relaciones de recurrencia

∂G

∂β=−N2

r+1αr+1 − t0N2r+2αr+2

∂G

∂λ=−Nr+2αr+2

∂G

∂γ=−N2

rαr − 2t0N2r+1αr+1 − t20N2

r+2αr+2

(C.125)

obtenida por diferenciacion explıcita de la ecuacion C.123. Esto completa las

estimaciones de la derivacion de primer orden de las constantes de separacion β + ∆β y

λ+ ∆λ en γ + ∆γ.

El procedimiento iterativo que continua en la busqueda de los valores de convergencia

para β + ∆β y λ + ∆λ correspondiente a la actualizacion del valor γ + ∆γ, es obtenido al


emplear el metodo de Newton, ahora con ∆γ = 0 bajo los valores de β + ∆β y λ + ∆λ en

el paso de iteracion i e i+ 1 son similares.

EL procedimiento computacional basico puede ser descrito como sigue

Un par de valores de prueba β(0), λ(0) son seleccionados e i es establecida en 0;

Un valor moderadamente grande de N es tomado y estimados de α(i)r son calculados

La ecuacion C.123 y con la ayuda del metodo de Newton son utilizados para obtener

mejores estimaciones β(i+1), λ(i+1), el paso (2) es repetido reemplazando i por i + 1 y

ası se continua hasta que β(i), λ(i) y β(i+1), λ(i+1) cumplan con la precision requerida.

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familias de campos ondulatorios fundamentales de la ......3.3. sistema de coordenadas rectangulares....

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