CLCULO Prueba parial. 27 de otubre de 2014 E1 (2 puntos)

Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Nota E1

TEST (1,5 PUNTOS)

Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta. Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.

V F

X

1. Si a > 0 es un nmero irraional, entones las raes a son irraionales.

X

2. El onjunto

{1

n2 + 1, n N

}tiene supremo e nmo.

X

3. Las dos raes uadradas z1, z2 de ualquier nmero omplejo no nulo verian z1 + z2 = 0.

X

4. Si |z| 1 e Im(z) = 1, entones z es imaginario puro.

X

5. Si f(x) > g(x) para todo x > 0, entones lmx0+

f(x) > lmx0+

g(x), asumiendo que ambos

lmites existen.

X

6. Si f(x) es derivable en (a, b), entones la derivada f (x) es una funin aotada en (a, b).

PREGUNTAS DE RESPUESTA CORTA (0,5 PUNTOS)

Aierto 0,25 Error 0 Blano 0.

A. Indique los valores de x R {0} para los que se veria 1x+

1

x2> 0: x (1, 0) (0, +)

B. lmx0

e1/x2

cos

(1 + x

x2

)= 0

CLCULO Prueba parial. 27 de otubre de 2014 E2 (3 puntos)

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Nota E2

Ejeriio 2.

2.1 (1 punto) Determine el onjunto de valores reales de a y b que haen a la funin

f(x) =

a

1 + ebxsi x < 0

3x + 2

x2 x 6 si 0 x < 1

ontinua en su dominio.

2.2 (1,25 puntos) Determine los valores de a y b que haen a f derivable en su dominio.

2.3 (0,75 puntos) Sea a > 0. Estudie si es invertible la funin g : R (0, a) denida por

g(x) =a

1 + ex.

Soluin.

2.1 Independientemente de los valores de a y b, la funin f es ontinua en los intervalos (, 0) y (0, 1)por ser oiente de funiones ontinuas on denominador no nulo; en el segundo de los asos, obsrvese que

las raes del denominador se enuentran en x = 2 y x = 3, puntos que estn fuera del intervalo (0, 1).Las posibles restri

iones en los valores de a y b se obtendrn por tanto del requisito de ontinuidad en

x = 0, donde ha de veriarselm

x0f(x) = f(0) = lm

x0+f(x),

es deir,

lmx0

a

1 + ebx=

a

2=13

= lmx0+

3x + 2

x2 x 6 .De la segunda identidad se obtiene

a =23

,

nio valor de a que hae a f ontinua en su dominio, esto es, en (, 1). Para este valor de a, f es

ontinua en (, 1) on independenia del valor que tome b.

2.2 El estudio de la derivabilidad de f puede restringirse al aso a = 2/3, pues en aso ontrario f nosera ontinua y por tanto no podra ser derivable.

En los intervalos (, 0) y (0, 1) la funin es derivable por ser oiente de funiones derivables ondenominador no nulo. Hay que estudiar entones la derivabilidad en x = 0, lo que equivale, por deniin,a estudiar la existenia del lmite

lmx0

f(x) f(0)x

,

siendo f(0) = 1/3. Por estar f denida a trozos, es natural estudiar la existenia del lmite anterior apartir de los lmites laterales, que han de existir y veriar

lmx0

f(x) f(0)x

= lmx0+

f(x) f(0)x

.

Con el valor a = 2/3, el primero de estos lmites resulta

lmx0

f(x) f(0)x

= lmx0

2/31+ebx

+ 1/3

x= lm

x0

1 + ebx3x(1 + ebx)

= lmx0

bx3x(1 + ebx)

=b6

, (1)

habiendo empleado en la penltima desigualdad la equivalenia ebx 1 bx, vlida en torno a x = 0.El segundo de los lmites laterales es

lmx0+

f(x) f(0)x

= lmx0+

3x+2x2x6

+ 13

x= lm

x0+

9x + 6 + x2 x 63x(x2 x 6) = lmx0+

x2 + 8x

3x(x2 x 6)

= lmx0+

x + 8

3(x2 x 6) =49

. (2)

Igualando los resultados obtenidos en (1) y (2) se obtiene

b =8

3.

Por lo tanto, f es derivable en su dominio si y slo si

a =23

, b =8

3.

2.3 Para ualquier valor de a, la funin g(x) es derivable en R, siendo la derivada

g(x) =aex

(1 + ex)2.

Bajo la hiptesis a > 0, el numerador de este oiente es positivo para ualquier x; el denominador lo esen ualquier aso por ser un uadrado no nulo. Por tanto, g(x) > 0 para todo x R, de manera que lafunin g es estritamente reiente y, por tanto, inyetiva.

De heho g es tambin sobreyetiva, pues

lmx

g(x) = 0, lmx+

g(x) = a,

y por ser g estritamente reiente, se dedue que el onjunto imagen es el intervalo (0, a); esto impliaque g es biyetiva y, por ello, invertible.

Aunque no se pide en el enuniado, la funin inversa g1 : (0, a) R puede obtenerse despejando xen funin de y en la identidad

y =a

1 + ex,

lo que ondue a la expresin

g1(y) = ln

(y

a y)

.