udc - calculo examen parcial cuestiones nota 1:...

NOMBRE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CALCULO Examen parcial

Cuestiones (1h 10 min.) 25 de Enero de 2011

Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.

1.– Expresar como union de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos xque verifican:

2x− 5

x< 3, x 6= 0

(1 punto)

2.– Completa la siguiente expresion:

A =◦A ∪.....

(1 punto)

3.– Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

Sea B un subconjunto de un conjunto compacto A ∈ IR2. Se puede asegurar que:

a) B es cerrado.

b) B es compacto.

c) B es acotado.

(1 punto)

4.– Calcular el lımite de la siguiente sucesion

lımn→∞

n sen(nπ)

(1 punto)

5.– Demostrar aplicando el principio de induccion la siguiente relacion, con n ≥ 4

2n ≤ n!

(1 punto)

NOMBRE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


6.– Utilizando equivalencias, calcular el lımite de la sucesion lımn→∞

n(

n√a− 1

), con a > 0.

Indica las equivalencias que utilizas.

(1 punto)

7.– Dada la ecuacion x3 − cosx =π

2, obtener un intervalo en el que podamos asegurar la

existencia de una y solo una solucion. Justificar la respuesta e indicar claramente losteoremas utilizados, justificando su uso.

(1 punto)

8.– Calcular la derivada de las siguientes funciones, simplificando la expresion final lomaximo posible:

a) f(x) = sen(x senx) + sen(senx2)

b) f(x) = arctan

(a+ x

1− ax

)c) Calcular los extremos de la funcion del apartado b) en el intervalo [2, 10], con a = 1

(1 punto)

9.– Determinar el dominio de h(a) = ln(

ln(a

2

)).

(1 punto)

10.– Demostrar que toda funcion diferenciable en un punto es continua en dicho punto.

(1 punto)

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CALCULO Examen parcial

Problemas (1h 20 min.) 25 de Enero de 2011


1.– Se considera la funcion:

f(x) =

senx

1 + e1/ senx, x 6= 0

0, x = 0

a)Hallar el dominio de definicion de f(x).

b)Estudiar la continuidad de f(x) en x = 0 y en x = π.

c)Estudiar la derivabilidad de f(x) en x = 0 y en x = π.

(2.5 puntos)

2.– Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 centrado en x = 1 de f(x) = ln(x), yobtener una cota del error cometido al calcular ln(1.1).

(2.5 puntos)

NOMBRE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.– Calcular el lımite de la siguiente sucesion

lımn→∞

(−1)n

nsen

[(n3 + 3n2 + log n

n!

)n]

(1.5 puntos)

4.– Se define el conjunto

A = {(x, y) ∈ IQ2/x2 + y2 < 1, y ≥ x}

Se pide:

a) Dibujar el conjunto A.

b) Determinar◦A, A, A′, ∂A, Ais(A).

(2 puntos)

5.– Calcula el modulo del siguiente numero complejo

(2 + i√

5)(1 + i√

3)3

(√

5 + i√

3)

(1.5 puntos)

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