ENSAYO

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Por: Cristian Alejandro Vásquez Tituana

Breve reseña histórica

Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar gráficamente el entorno que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en las cuevas prehistóricas, pero no es hasta el renacimiento cuando se intenta representar la profundidad.

Las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioli, Leonardo da Vencí, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos otros.

Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía.

El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge «Geometría descriptiva».

Aplicaciones

Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana (papel) encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado. Es por esto que la Geometría Descriptiva se encuentra en todos los planes de estudios de la Ingeniería, Arquitectura, Topografía, entre otras. Una parte de ella estudia la Proyección Acotada, en la cual se basan los planos topográficos y de vialidad, los cuales son trazados e interpretados por Geólogos.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

La geometría descriptiva, que adquirió el carácter de ciencia aplicada ya hace mucho tiempo, ha tenido un largo proceso de desarrollo; desde las representaciones trazadas en la edad de piedra y los Elementos de Euclides, pasando por los hallazgos de Descartes con la geometría analítica; hasta la aparición de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII cuando la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma. Después llegaron Möbius, Steiner y Leroy, entre otros.

En la época actual se pueden reconocer dos modelos: uno que considera a la geometría descriptiva como un lenguaje de representación y sus aplicaciones, y otro que la sitúa como un tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado asociado al de la Geometría proyectiva

Este arte tiene dos objetos principales.

El primero es representar con exactitud sobre los diseños de dos dimensiones los objetos que tienen tres, y que son susceptibles de una determinación rigurosa.

Bajo este punto de vista es una lengua necesaria al hombre de genio que concibe un proyecto, a los que deben dirigir su ejecución y en fin, a los artistas que por sí mismos deben ejecutar sus partes diferentes.

El segundo objeto de la geometría descriptiva es deducir de la descripción exacta de los cuerpos todo cuanto se sigue necesariamente de sus formas y de sus posiciones respectivas. En este sentido es un medio de investigar la verdad; ofrece ejemplos continuamente del paso de lo conocido a lo desconocido, y porque se halla siempre aplicada a objetos susceptibles de la mayor evidencia, es necesario que entre en el plan de la educación nacional. No solamente es a propósito para ejercitar las facultades intelectuales de un gran pueblo; y por lo mismo contribuir a la perfección de la especie humana, sino que también es indispensable a todos los obreros, cuyo objeto es dar a los cuerpos ciertas formas determinadas; y los progresos tan lentos de nuestra industria de deben atribuir a que los métodos de este arte se han difundido hasta ahora muy poco, o casi se descuidaron enteramente.

La educación nacional pues recibirá una dirección ventajosa familiarizando nuestros jóvenes artistas con la aplicación de la geometría descriptiva a las construcciones gráficas que son necesarias al mayor número de artes, y haciendo uso de esta geometría para la representación y la determinación de los elementos de las máquinas, por medio de las cuales el hombre, poniendo en contribución las fuerzas de la naturaleza, no se reserva, por decirlo así, en sus operaciones otro trabajo que el de su inteligencia.

No es menos ventajoso derramar el conocimiento de los fenómenos de la naturaleza, que puedan convertirse en provecho de las artes.

GEOMETRIA NATURAL

Fractales, una geometría natural

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con

el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.

Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión

1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.

Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Y GEOMETRIA NATURAL

En la naturaleza existe armonía y belleza, en las formas que observamos cotidianamente, como puede ser una gota de lluvia resbalando en la superficie del vidrio, las rocas que construyen una gama inmensa de creaciones inimaginables, las hojas de los árboles, las diversas estructuras de los animales, etc. En conjunto, forman un paisaje de belleza y funcionalidad, que reta al humano a crear.

Estas dos geometrías se unen y forman un estado de concordancia entre las dos las dos son útiles ya que una es el complemento de la otra auque la geometría descriptiva se refiera a las técnicas de carácter geométrico permitiendo representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por lo tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a traves de la adecuada lectura; y la natural es la geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano. Son en esencia las dos se necesitan mutuamente para hacer una geometría autentica para satisfacer todas las necesidades suscitadas en el medio en que se desenvuelven.