Función exponencial

Las funciones exponenciales son muy útiles en situaciones del

mundo real. Las funciones exponenciales se utilizan en modelado de

poblaciones, en la arqueología a establecer la fecha de los hallazgos,

mediante la prueba del carbono 14 a los médicos forenses les ayuda a

determinar el tiempo de la muerte, calcular las inversiones, así como

muchas otras aplicaciones.

• El enfriamiento de un cuerpo

La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el

enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la

diferencia con la temperatura ambiente.

La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos

un cuerpo en un ambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo

de un tiempo t la temperatura del cuerpo es

T(t) = Ta + (T0 − Ta) e−α t

donde α es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que

es particular de cada cuerpo.

Una aplicación interesante de esta ley consiste en determinar el

instante de fallecimiento de una persona, después de algunas horas de

muerta. Esta información es de crucial importancia en criminología y en

estudios forenses.

El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante

según que un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa

en que los mamíferos, cuando estamos vivos, tenemos una temperatura

muy estable e igual a T0 = 37 ºC. Al morir, la temperatura corporal

comienza a descender hasta alcanzar la temperatura ambiente Ta.

Crecimiento de poblaciones

Muchas veces los científicos se iniciarán con un cierto número de

bacterias o de los animales y ver cómo la población crece. Por ejemplo,

si la población se duplica cada 5 días, esto puede ser representado como

una función exponencial. La mayoría de la población implican el uso de

modelos el número e.

Forma general para los modelos poblacionales. La mayor parte del

tiempo, empezamos con una ecuación que parece

P = Po ekt

P representa la población después de una cierta cantidad de tiempo

Po representa la inicial de la población o la población al principio

k representa el crecimiento (o decadencia) tasa

t representa la cantidad de tiempo

Recordemos que e no es una variable, tiene un valor numérico. No

se reemplace por otro valor.

• Desintegración radioactiva

Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente

emitiendo radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que

determinada substancia se reduce a la mitad, llamado vida media, es

una constante característica de ella e independiente de la cantidad que

haya.

La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el

número de átomos de un elemento radiactivo transformados en un

tiempo determinado es proporcional al número de átomos de ese

elemento que estén presentes en la substancia, en particular, la fórmula

que describe la desintegración es de la forma:

N(t) = N0 e−k t

donde N0 es la población inicial, y k es la constante de desintegración

radiactiva.

La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a

veces para determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las

edades de las rocas de más de 2000 millones de años pueden

establecerse mediante la desintegración radiactiva del uranio (de 4500

millones de años de vida media).

En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10−6 gramos de

C14. Tras su muerte, el organismo deja de absorber carbono y la

proporción de C14 decrece a medida que se va desintegrando. Su vida

media es de unos 5730 años, de modo que es posible estimar la edad de

restos orgánicos: los arqueólogos han fechado así conchas, semillas,

objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas rupestres.

Logaritmo

Los logaritmos que fueron inventados por John Napier con el fin de

eliminar los cálculos tediosos involucrados en la multiplicación, división,

potenciación y extracción de raíces de números grandes que se

presentan en astronomía y en otras ciencias. Con el advenimiento de las

computadoras y las calculadoras, los logaritmos ya no tienen

importancia para este tipo de cálculos. Sin embargo, las aplicaciones de

los logaritmos se presentan en problemas que derivan de las

aplicaciones de la función exponencial, puesto que es el inverso de las

funciones exponenciales. Debido a las leyes de los logaritmos, también

resultan ser útiles en la medición de la intensidad de un sonido, la

intensidad de los terremotos y muchos otros fenómenos. En esta sección

estudiaremos algunas de estas aplicaciones.

Cuando una cantidad física varía en un rango muy grande, a

menudo resulta conveniente tomar su logaritmo a fin de tener un

conjunto de números más manejables; 3 de estas situaciones son las

siguientes:

1. La escala del pH, que mide la acidez;

2. La escala de Richter, que mide la intensidad de los terremotos;

3. La escala de decibeles, que mide la intensidad de los sonidos.

Otras cantidades que se miden en escalas logarítmicas son la

intensidad luminosa, la capacidad de información y la radiación.

Trigonometría

La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que

consideraban al cielo como el interior de una esfera, de modo que

resultó natural estudiar primero los triángulos sobre una esfera (por

Menelao de Alejandría, año 100 a de C ) y que los triángulos en el plano

fueran estudiados mucho después. El primer libro que contiene un

tratamiento sistemático de trigonometría plana y esférica fue escrito por

el astrónomo persa Nasír ed-dín (alrededor del 1250 a. C).

Regiomontano (1436-1476) es el autor principal a quien se debe el

traslado de la trigonometría astronómica a tas matemáticas. Su trabajo

fue mejorado por Copérnico (1473-1543) y por el alumno de Copérnico.

Rhaeticus (1514-1576). La obra de Rhaeticus fue la primera en definir

las seis funciones trigonométricas como razones entre lados de

triángulos, aunque no le dio a las funciones sus nombres actuales. El

crédito de esto se lo lleva Thomas Fincke (1583), pero en su época esa

notación no fue aceptada universalmente. La notación quedó

establecida a partir de los libros de texto de Leonardo Euler (1707-

1783).

Desde entonces la trigonometría ha venido evolucionando desde su uso

por agrimensores, navegantes e ingenieros, hasta las aplicaciones

actuales corro el movimiento de las mareas en los océanos, el alza y

caída de los recursos alimenticios en determinadas condiciones

ecológicas, patrones de ondas cerebrales y muchos otros fenómenos.

Hay dos enfoques aceptados ampliamente para el desarrollo de las

funciones trigonométricas: uno utiliza círculos, en especial el círculo

unitario; el otro se vale de los triángulos rectángulos. La trigonometría

del triángulo rectángulo es un caso especial del enfoque del círculo

unitario.

En la ingeniería Civil se emplean para los cálculos en las

estructuras, que generalmente están compuestas por triángulos, estas

son las funciones que menos requieren presentación en cuanto a sus

aplicaciones puesto que su reputación las precede desde la invención de

las mismas.

La trigonometría es una de las ramas más versátiles de las

matemáticas. Desde su invención en la antigüedad, ha sido importante

tanto en aplicaciones teóricas como prácticas. En los tiempos modernos

se ha aplicado en campos tan diversos como el procesamiento de

señales en la industria telefónica, la codificación de música en

reproductores de discos compactos, la determinación de las distancias a

las estrellas, el diseño de sistemas de navegación en el transbordador

espacial, la producción de rastreos CAT para uso médico y muchos otros.

Es una herramienta indispensable para los ingenieros electricistas, los

físicos, los científicos de la computación y prácticamente para todas las

ciencias. El poder y la versatilidad de la trigonometría provienen del

hecho de que puede considerarse de dos maneras diferentes. Una de

ellas define la trigonometría como el estudio de funciones de números

reales; la otra, como el estudio de funciones de ángulos. Las funciones

trigonométricas definidas en estas dos formas son idénticas: asignan el

mismo valor a un número real dado (en el segundo caso, el número real

es la medida de un ángulo).

Hiperbólicas

Si se considera un cable que soporta una carga uniformemente

distribuida a lo largo del mismo cable. Los cables que cuelgan bajo la

acción de su propio peso están cargados de esta forma. Como lo son los

cables en las redes de transmisión eléctrica y los cables en los puentes

colgantes, donde las fuerzas están ejercidas solo en sus extremos y a lo

largo del cable mediante su propio peso, la ecuación que describe la

forma que toma este tipo de cable se le llama catenaria y es formada

por una función hiperbólica, veamos:

y=ccosh xc