ecuaciones trascendentales

TEORIA DE SINONIMOS

LGEBRAlgebraDefinicin:

Ciencia que estudia las cantidades en su forma ms generalizada posible, utilizando para esto nmeros y letras.

Se dice de manera generalizada ya que a diferencia del Aritmtica; en el lgebra las cantidades se representan por letras y estas pueden representar a todos los valores (generalizacin).

SMBOLOS:

Los smbolos que se utilizan en lgebra son los nmeros y las letras.

Los nmeros se emplean para representar a las cantidades conocidas.

Las letras se emplean para representar a las cantidades tanto conocidas como desconocidas as:

Para las cantidades conocidas emplearemos generalmente las primeras letras del alfabeto: a, b, c, ...

Para las cantidades desconocidas emplearemos generalmente las ltimas letras del alfabeto: ..., x, y, z.,

Si una letra representa diferentes valores; entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o subndices.

a, a, .... se lee a prima , a segunda ,...

a1 , a2 , .... se lee a sub uno , a sub dos ,...

NOTACIN MATEMTICA:

Es una representacin simblica de una expresin matemtica que nos permite diferenciar las variables y las constantes.

Variables:

Son aquellas expresiones que para cada problema cambian de valor; se les representa mediante las ltimas letras: ...x,y,z.

Constantes: Son aquellas expresiones que tienen un valor fijo para todo problema.

Ejemplo:

NOTA: Dentro de las constantes; algunas son:

I)Constantes absolutas: (; 4.3

II) Constantes relativas: g (aceleracin de la gravedad; depende del radio de la tierra)

Ejercicios para el lector: Indicar las variables y constantes en:

P(x,y) =

Q(x,y) =

TRMINO ALGEBRAICO: Mnima expresin algebraica, donde no participan las operaciones de adicin ni sustraccin.

Ejemplos:

NOTA:

2x + 1 no es un trmino algebraico

Partes de un Trmino Algebraico:

TRMINOS SEMEJANTES:

Son aquellos trminos algebraicos que presentan las mismas variables afectadas del mismo exponente.

Son semejantes los siguientes:

Nota: Los trminos que son semejantes, se pueden sumar o restar; operando los coeficientes y colocando las mismas variables con sus mismos exponentes.

Ejemplo:

=

EXPRESIN ALGEBRAICA:

Conjunto de nmeros y letras unidos entre si por las diferentes operaciones aritmticas (adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin o raz aritmtica); en un nmero limitado de veces.

CLASIFICACIN:

De acuerdo al exponente:

Se clasifican en:

EXPRESIN ALGEBRAICA RACIONALEs cuando la parte literal se caracteriza por tener EXPONENTES ENTEROS o tambin porque el sub radical no tiene letras.

Ejemplos:

Se subdivide en:

EXPRESIN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA(E.A.R.E.): Es cuando la parte literal se caracteriza por tener

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS o no tiene letras en el denominador.

Ejemplos:

(E.A.R.E.) (E.A.R.E.)

EXPRESIN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA (E.A.R.F.)

Es cuando la parte literal se caracteriza por tener algn EXPONENTE ENTERO NEGATIVO o tiene letras en el denominador.

Ejemplos:

Q(x,y,z) = (E.A.R.F.) Q(x,y,z) = (E.A.R.F.) (E.A.R.F.)

EXPRESIN ALGEBRAICA IRRACIONALEs cuando la parte literal se caracteriza por tener exponentes FRACCIONARIOS o tambin porque el sub radical tiene letras.

Ejemplos:

(E.A.I.)

(E.A.I.)

De acuerdo al nmero de trminos: (Polinomios: Expresiones algebraicas racionales enteras).

Atendiendo al nmero de trminos que posea la expresin algebraica; esta se puede clasificar en:

Monomio

(1 trmino.

Binomio

(2 trminos.

Trinomio

(3 trminos.

Cuatrinomio

(4trmino. Polinomio de cinco trminos

( 5 trminos.

Polinomio de n trminos

(n trminos.

EXPRESIONES TRASCENDENTES:

Llamadas tambin no algebraicas, conjunto de nmeros y letras unidos entre si por las diferentes operaciones aritmticas ; en un nmero ilimitado de veces ; se tienen:

a) Trigonomtricas :

b) Exponenciales :

c) Logartmicas :

d) Circulares :

e) Hiperblicas :

f) Expresiones de infinitos trminos :

Teora de exponentes

TEORA DE EXPONENTES

Tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos.

La operacin que permite la presencia del exponente es la potenciacin.EXPONENTE NATURAL:

Es el exponente entero y positivo que nos indica el nmero de veces que se repite una expresin como factor.

En general:

Ejemplos:

1)

2) ; 6n 1 ( N

3) no tiene sentido ya que no es un nmero natural.

EXPONENTE CERO

Todo nmero diferente de cero elevado al exponente cero es la unidad.

Ejemplo:

1) (5 )0 = 1

2) = 00 (indeterminado)

EXPONENTE NEGATIVO

La expresin diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fraccin cuyo numerador es uno y cuyo denominador es igual a la misma expresin pero con exponente positivo.

Ejemplos:

1)

2)

EXPONENTE FRACCIONARIO

Todo exponente fraccionario se puede convertir en raz; numerador al exponente y denominador al ndice.

Ejemplo:

1

POTENCIACIN

Operacin que consiste en repetir como factor un numero llamado base; tantas veces lo indica otro llamado exponente.

Adems:1) P: Potencia.

2) b : Base.

3) e : Exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES

1) Producto de bases iguales:

Se escribe la misma base y los exponentes se suman.

Ejemplos:

a)

b)

2) Divisin de bases iguales:

Se escribe la misma base y los exponentes se restan.

Ejemplos:

a)

b)

3) Potencia de potencia:

Se escribe la misma base y por exponente se pone el producto de los exponentes.

Ejemplo:

a)

4) Potencia de producto:

Para efectuar esta operacin se eleva a cada factor al mismo exponente.

Ejemplo:

a) G

5) Potencia de cociente:

Para efectuar esta operacin se eleva tanto al numerador como al denominador al mismo exponente.

Ejemplos:

a)

6) Exponente de exponente:

Se reconoce por la ausencia del signo de coleccin; para efectuar esta operacin se toma de dos en dos de arriba hacia abajo.

Donde:

Ejemplo:

a)

RADICACIN

DEFINICIN:

Dados un nmero real a y un nmero natural n mayor que uno; b se llama raz nsima principal de a y se denota por si y solo si donde a y b ( R y n ( N {1} bajo la condicin de que si n es par; entonces a, b (

As tenemos:

1 ya que 24 = 16 (2 raz principal).

2 puesto que (2)3 = 8 (nica en R).

IDENTIDAD FUNDAMENTAL:

7) Raz de raz:

Se coloca un solo ndice resultado del producto de todos los ndices.

Ejemplo:

8) Raz de producto:

Esta operacin se realiza extrayendo la raz a cada factor.

Ejemplo:

9) Raz de cociente:

Esta operacin se realiza extrayendo la raz tanto del numerador como del denominador.

Ejemplo:

INTRODUCIR UN FACTOR DENTRO DE UN RADICAL:

Para introducir un factor a un radical se multiplica el exponente del factor por el ndice del radical y a esta se afecta del radical.

Ejemplo:

RADICALES SUCESIVOS:

1)

Ejemplo:

2)

3)

Regla de: Flechita flechn ( x + x + x + ...)

4)

Regla de: Flechita flechn (x x + x ... alternado)

Ejercicios de aplicacin

Nivel A1) Reduzca :

a) 1 b) 4c) 2nd) 23e) 2n

2) Simplifique:

n(Z+ {1}

a) 0b) nc) n2d) 1e) 2n

3) Reducir:

a) 8 b) 6c) 3d) 9e) 5

4) Calcular el valor de :

a) 1 b) 2c) 3d) 6e) 10

5) La simplificacin de la expresin

es :

a) 4 b) 6c) 8d) 10e) 12

6) Al simplificar

Se obtiene:

a) 25 b) 50c) 75d) 150e) 225

7) Simplificar: ; x ( Ra) x3 b) x7 c) x2 d) x5e) x20

8) Al simplificar la expresin:

; se obtiene :

a)

b)

c)

d)

e) a

9) Si:

Hallar:

a) 16 b) 8c) 4d) 64e) 32

10) Calcular el valor de :

Si:

a) 4 b) 8c) 16d) 64e) 128

Nivel B11) Si la expresin:

Se reduce a uno. Hallar n.

a) 4/3b) 4/5c) 1/3

d) 2/3e) No existe

12) Hallar n de:

a) 1 b) 3c) 5d) 7e) 9

13) Hallar la relacin entre a y b si se tiene:

a) b =2ab) a = 4b c) a = 2b

d) a = b e) a = 3b

14) Si: ; la simplificacin de

E =

Es:

a)

b)

c)

d)

e)

15) Indique el equivalente reducido de :

a) 80 b) 96c) 100d) 125e) 1

16) El valor mas simple de:

a)

b) 9c) 3d) 1e)

17) Si x ( R+ {1}Halle el valor de n que verifica la igualdad:

Y otorgue como respuesta de: (2n + 3) ( 7

a) 3 b) 2c) 4d) 5e) 1

18) Al simplificar la expresin:

Se obtiene:

a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 10

19) Calcular el valor de:

a) 1 b) 2c) 1/2d) 3e) 1/3

20) De las afirmaciones:

I)( a ( Q, se tiene = a

II) ( a ( Q, ( r ( R; existe arIII)( a ( Q, ( r ( R, existe ar, entonces existe raSe puede decir que:

a) I , II , III son falsas.

b) Solo II es verdadero.

c) Solo II y III son falsas.

d) Solo II y III son verdaderas.

e) Solo II es falsa.

Nivel C21) Dar el valor de verdad de las siguientes proporciones:

I)

II)

III) Si:

a) VVF b) FFF c) FVF d) VVV e) FFV

22) Indique el exponente final de Z en:

a) 9/100 b) 11/81 c) 10/81d) 14/91e) 1/9

23) Sean {a, b, c} ( N, tales que:

Halle el reducido de:

a) 2 b) 1c) 16d) 32e) 128

24) El valor mas simple de:

Es:

a) b) 3c) 9d) 1e)

25) Simplificar la expresin:

a) aa b) aa c) a d) e)

26) Calcular:

Sabiendo que:

a)

b)

c)

d)

e)

27) Determine el valor de: Cuando: x=2100

a) 0 b) 1c) 1d) 1/64e) 2200

28) Indicar el signo de la siguiente expresin:

;

a) Positivo b) Negativo c) A y b

d) Ningunoe) 0

29) Seale el valor numrico de :

;

; m ( Z ( m > 9

a) m b) 1c) mmd)

e) 1/m30) Calcular:

Tal que:

( n ( R {0,1}

a) 4 b)

c) 2 d) 3

e) 4

ECUACIONES EXPONENCIALES

ECUACIONES EXPONENCIALES

Llamadas tambin trascendentes; se denomina ecuacin exponencial a toda igualdad condicional (ecuacin) que se caracteriza por presentar a su incgnita o incgnitas formando parte de algn exponente.

FORMA GENERAL:

Sea a > 0 y P(x) y Q(x) funciones arbitrarias de la variable x

Ntese que: como

Tener en cuenta los siguientes teoremas:

Teorema: Sea a > 0 .Si x es una variable real , entonces la expresin ax es siempre positiva ; para todo x ( R

Es decir: Si a > 0 entonces ax > 0; ( x ( R

Teorema : Sea a > 0 ( a ( 1, entonces

Ejemplo:

Se verifica para: x = 7/17.

CRITERIOS DE RESOLUCIN:

Las ecuaciones exponenciales se transforman en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas tcnicas que describiremos enseguida.

I)BASES IGUALES: (A bases iguales; exponentes iguales).

Se debe expresar a la ecuacin exponencial, de tal manera que las potencias tengan bases iguales, luego se igualan los exponentes de las potencias y se resuelve la ecuacin obtenida; es decir:

II)Para los casos donde existan trminos de la forma kx; se hace un cambio de variable de la forma kx = y; mediante el cual se tiene una ecuacin algebraica respecto a y

Ejemplo: Resolver

Rpta : x = 3III)EXPONENTES IGUALES: (A exponentes iguales; bases iguales).

IV)POR ANALOGA, COMPARACIN, SEMEJANZA O PARECIDO: (Simplemente por comparacin de bases y exponentes).

Si:

NOTA: Esta ltima, no siempre podemos concluir que x = a.V)Una de las propiedades de mayor utilidad es la siguiente:

Que resulta de aplicar la propiedad:

ADICIONALES

Nivel A1) Si: y Halle el valor de za) 2 b) 2/3c) 3/2d) 1/2e) 5/8

2) Si. Calcule: E =.

a) 4 b) 40c) 93d) 100e) 120

3) Si se cumple que:

Calcule: E =

a) 21 b) 25c) 37d) 42e) 28

4) Resolver: e indicar la suma de sus races.

a) 3 b) 4c) 7d) 10e) 8

5) Al resolver: , el valor de x es:

a) 2 b) 1/2c) 1/4d) 1/8 e) 1/166) Resolver la ecuacin exponencial:

a) 7 b) 5c) 7/5d)

e)

7) Si: Calcule: x18a) 0b) 1c) 3d) 6e) 9

8) Hallar x en:

a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 10

9) Hallar n:

a) 1/3 b) 33 c) 3d) 13e) 9

10) Del sistema: Hallar x.

a) 1/2 b) 2/3c) 3/2d) 2e) 4

Nivel B11) Hallar a:

a) 1 b) c) d) e) 2

12) Si:

Entonces el valor de: ; es:

a) 32 b) 29c) 76d) 23e) 37

13) Si se cumple: Calcular n:

a) 5 b) 10c) 15d) 20e) 25

14) Al reducir:

Se obtiene x10, calcular n:

a) 9 b) 6c) 3d) 12e) 15

15) Si se cumple:

Calcular n2:

a) 10 b) 1000c) 150d) 100e) 50

16) Calcular: , si

a) 3 b) 6c) 9d) 15e) 27

17) Seale un valor de x tal que cumpla la relacin:

a) 5b)

c) 3d) 15e) 3/5

18) Indicar un valor positivo de x aumentando en 1/2 que resulta de:

a) 1/2 b)5/2c) 3/2d) 9/3e) 9/2

19) Si:

Calcular: x2a) 1/9 b) 1/18c) 1/81d) 9e) 81

20) Halle x en:

a)

b) 9c) 15d) 159e) 195

Nivel C21) Luego de resolver la ecuacin exponencial:

Seale M si: M=

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5


Donde x satisface la ecuacin:

a) 1 b) 2c) 3d)

e)

23) Calcular la suma de las races de la ecuacin:

a) 20 b) 12c) 18d) 15e) 10


Donde x satisface la ecuacin:

; es:

a) 1 b) 0c) 1d) 2e) 3


Donde el valor de x satisface:

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

26) La relacin que deben cumplir x e y para que se verifique la ecuacin:

es :

a) y = 2x b) x = 2yc) y = 3x

d) x = 3ye) x = y


Si se cumple que:

a) 1 b) 3c) 4d) 5e) 6

28) Determinar el valor de:

Si se sabe que: (

a) 3 b) 2c) 1d) 2e) 1

29) Calcular el valor de x en la ecuacin:

a) 3 b) 5c) 1/3d) 1/5e) 2

30) Si:

A qu es equivalente:

a) 1 b) c) xx+1 d) x2e) x

EXPRESIONES AL INFINITO

EXPRESIONES AL INFINITO

(n) (n+1)

(n)(n+1)(n+2)

(Solo para + y se escoge el del medio).

( k ( N ( m ( N {1}


Nivel A1) Calcule el valor aproximado de :

a) 10 b) 12c) 20d) 50e) 62

2) Resolver:

a) 3 b) 5c) 7d) 9e) 11

3) Si:

Calcule: n + m 2p

a) 0 b) 1c) 3d) 5e) 6

4) Calcule el valor aproximado de:

a) 0 b) 1c) 5d) 6e) 10

5) Calcular:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6) Despus de operar el exponente de x:

a) 1/5b) 1/2c) 1/3d) 1/7e) 1/217) Indique el exponente de x:

a)

b)

c)

d)

e)

8) Hallar el valor numrico de la expresin para: a = 32

a) 4 b) 16c) 32d) 8e) 2

9) Reducir:

a) a5b3b) a5b6 c) a3b5 d) a6b2e) a6b3

10) Si:

Calcular:

a) 1 b) 3c) 5d) 2e) 4

Nivel B11) Hallar la suma de los exponentes de a y y luego de efectuar:

a) 5/3 b) 5/22c) 5/11d) 6/5e) 3/2

12) Despus de resolver:

; ;

Hallar:

a) 1b) 1/6c) 1/3d) 1/8e) 1/1613) Calcular:

a) 10 b) 12c) 2d) 1/8e) 10/714) Calcular n en la igualdad:

a)

b)

c)

d)

e) 3

15) Hallar P = nm1 1 si se cumple que:

a) 2 b) 1c)

d)

e) 1/2

16) Resolver:

a) 2 b) 4c) 16d) 32e) 64

17) Efectuar:

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

18) Efectuar:

a) x b) xnc) x2nd) x1/2e) x2

19) El equivalente de:

Se encuentra en el intervalo:

a) ]1 ,3[b) ]5/2 , 3[c) ]1/2 , 7/2[d) ]3 , 5[e) ]4, 7[

20) Calcular el exponente final de x en:

S(x) =

a) 3n 1/2n b) 3n 1/3nc) 3n 1/2d) 3n/2n e)

Nivel C21) Reducir:

a) 2 b)

c)

d)

e) 18

22) Si:

Hallar: A ( B

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

23) Determinar el valor de:

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

24) Hallar el valor de E en:

a)

b)

c)

d)

e) 2

25) Si:

Indicar:

a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 10

26) Si n es un numero impar de n radicales

; de n radicales

n radicalesEntonces: A ( B es:

a) 4 b) 2c) 1d) 1/2e) 1/427) Indicar el exponente final de x en:

a)

b)

c) 1d) 3e)

28) Calcular aproximadamente:

a) 2 b)

c)

d) 16e)

29) Calcular el exponente final de x en:

a) 1b) 2c) 3d) 1/2e) 1/430) Dada la siguiente sucesin:

; ; ; Calcular:

a) 2b) 4c) 5d) 1/2e) 1/4

PolinomiosCLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS:

Es una expresin algebraica, cuyos trminos son todos racionales enteros, cuando los coeficientes son reales, se dice que es un polinomio en R.

NOTACIN POLINOMICA:

Si el polinomio tiene una sola variable x su notacin ser: Donde:

; n grado del polinomio.

a0 = Coeficiente principal no nulo.

an = Trmino independiente.

Indicndose que n es un entero ( o , es llamada un POLINOMIO DE GRADO n en la variable x y siempre que el coeficiente an llamado COEFICIENTE PRINCIPAL sea diferente de cero .

Se denota en las formas P(x); Q(x); R(x), etc.

NOTA: Un polinomio de grado cero es cualquier nmero constante distinto de cero. El nmero CERO es el nico polinomio para el cual el grado NO ESTA DEFINIDO.RACES DE UN POLINOMIO:

Por el teorema del factor sabemos que dado un polinomio P(x) con grado mayor o igual que 1; un nmero r se llama raz o cero del polinomio P(x) si P(r) = 0 (o sea se anula para x = r )

Ejemplos:

P(x) = 2x2 3x + 1 tiene por races a x = 1 y x = 1/2

Porque P(1) = P(1/2) = 0

O sea se anula para x = 1 y x = 1/2

P(x) = x2 + 1 ; ( x ( R ; no tiene ninguna raz real porque todo x2 ( 0

En cambio si consideramos al polinomio P(x) sobre el campo C entonces si existirn dos races imaginarias para P(x).

Entonces: P(x) = x2 ( 1 ) = x2 ( i2 ) = (x + i)(x i).

Luego: x = i ; x = i As resulta que el polinomio tiene dos races complejas.

Recordar que:

Observacin:

Si observamos los ejemplos anteriores tienen como races a racionales, reales y complejas adems ocurre que todo polinomio con coeficiente en R y C tiene sus races en C necesariamente.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA:

Todo polinomio de grado positivo n:

con grado ( 1 y

a0 ( 0 definido sobre el campo de los nmeros complejos; tiene por lo menos una raz; ya sea real o compleja.NMERO DE RACES DE UN POLINOMIO

Todo polinomio de la forma ; a0 ( 0 tiene exactamente n races.

REPRESENTACIN DE ACUERDO AL GRADO.

De primer grado: ax + b. De segundo grado: ax2 + bx + c

De tercer grado : ax3 + bx2 + cx + dTRMINOS SEMEJANTES:

Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas partes literales, afectada de los mismos exponentes, dos o mas trminos se pueden sumar o restar solo si son semejantes.

Ejemplo:

( Reduciendo

( No son semejantesVALOR NUMRICO DE UN POLINOMIO

Definicin:

Es el resultado que se obtiene al reemplazar la variable o las variables de una expresin por valores determinados tal que al reemplazar en la expresin original se obtenga una cantidad determinada.

Ejemplo:

Si:

Los valores numricos sern:

Para.

x = 2

x = 1

x = a + 1

x = x 2

TEOREMAS:

1) Sumatoria de coeficientes :En todo polinomio, la suma de los coeficientes, se obtiene reemplazando a su(s) variable(s) por la unidad.

Ejemplo:

Sea:

Corolario: En un polinomio de ms de una variable; la suma de coeficientes se halla reemplazando cada una de las variables por el nmero 1.

En P(x, y) =

2) Trmino Independiente:

En todo polinomio el trmino independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a su(s) variable(s) por cero.

Ejemplo:

Sea:

Corolario:

En un polinomio de mas de una variable; el trmino independiente se halla reemplazando cada una de las variables por el nmero 0.

En P(x,y) =

CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en reemplazar la variable de la expresin o polinomio; por una nueva variable o por un nuevo polinomio de tal manera que el polinomio resultante dependa (o quede en funcin) de dicho cambio.

Ejemplos:

Si P(x) = 6x 7

Para: x = 5z entonces P(5z) = 6(5z) 7 = 30z 7 .

Si P(x 2) = x + 12 calcular P(5).

Primer mtodo:

P(x 2) = (x 2) + 14 desdoblando para buscar que se parezcan.

Ahora: P(y) = y + 14

Finalmente: P(5) = 5 + 14 = 19

Segundo mtodo:

Para x 2 = 5 entonces x = 7.

Ahora: P(5) = 7 + 12 = 19

Recomendacin: Es mas practico utilizar el segundo mtodo por la facilidad de la manipulacin de las cantidades.


Nivel A1) Si: P(x 3) = 5x 7; P[F(x) + 2 ] = 10x 17;

El valor de F (x 2) es:

a) 2x + 11 b) 11x 2 c) 11x + 2 d) 12e) 2x 11

2) Si el polinomio:

P (1 x) = 4x2 2x 5

El valor numrico de:

P(1) + P(3) es:

a) 10 b) 12c) 18d) 20e) 5

3) Si : P(x) = ax2 + b y

P(P(x)) = 8x4 + 24x2 + c .

El valor de a + b + c es:

a) 28 b) 32c) 30d) 31e) 26

4) Si : Tn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1)

Hallar el valor de:

R = (T10 T9)+(T8 T7)+(T6 T5)+(T4 T3)+(T2 T1)

a) 57 b) 53c) 51d) 55e) 59

5) Dado :

Calcule f(f(4))

a) 4 b) 8/5c) 4d) 0e) 8/5

6) Si: P(x) = 3x2 2x 1

Entonces:

a) 5b) 4c) 1/2d) 1/4e) 1

7) Si: P(x) = xn xn1 + xn2 + x2 x + 1; n es par

Calcular el valor de:

a) nb) 2nc) n + 1d) n 1e) n/2

8) Dado: ;

a) x b) 2xc) x/2d) 3xe) 4x9) Suponiendo que: f[f(x)] = 4x + 27

Calcular: f(3).

a) 14b) 15c) 16d) 13e) 17

10) Se define en R+: f(x2 6x) = x + 8Calcular: f(a)a)

b)

c)

d) 11+

e) a + 8.

Nivel B11) Si : F(x) = F(x 1) + F(x 2);

Adems: F(1) = 3 ; F(2) = 4.

Calcular el valor de: F{F[F(0)]}

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 7

12) Seale el valor de x(11) .

Sabiendo que: x(2a 1) = x(2a + 1) a + 1;

Adems: x(3) = 1

a) 8b) 9c) 10d) 1e) 11

13) Si: ;

Adems: F [F(x)] = 2Hallar el valor de:

a) 80b) 81c) 8d) 83e) 84

14) Si: H[H(x) 1 ] = H(x 2) + H(x + 1) + 2 ( H(2) = 1

Calcule: H(3).

a) 4 b) 2c) 0 d) 2 e) 3

15) Dado el polinomio:

Hallar n; tal que el trmino independiente del polinomio sea igual al doble de la suma de coeficientes del mismo.

a) 2b) 1c) 0d) 3e) 4

16) Si se cumple: P( x + 1 ) = P( x 1 ) + xCalcule: P(7) si P(1) = 2

a) 0 b) 1c) 10d) 15e) 20

17) Sean:

M(x) = 2x + 4

M[A(x) + 2B(x)] = 5x + 11

M[A(x) 2B(x)] = 3x 7

Calcule: A(3) + B(1)

a) 7 b) 4c) 8d) 1/2e) 15/218) Si: P(x) = x 3 ( P( f2(x) + g2(x) ) = x2 + 1

Adems: P(f(x) + g(x) ) = x + 1

Entonces el polinomio: P(f(x) ( g(x) ) es.

a) 6x + 4 b) 4x 2c) 4x + 3

d) 3x 4e) 3x + 2

19) Sea el polinomio P(x) ; el cual verifica:

; a ( 0

Calcular el valor de P(2).

a) 3b) 3c) 2d) 2e) 0

20) Sean los polinomios :

P(x) = 2x2 15

Q(x,y) = 2x + 3y 2

Halle el trmino independiente del polinomio H(t) .

Si : H(t) = Q[ P(3),3t 1 ]

a) 5 b) 15c) 2d) 1e) 7

Nivel C21) Si :

Calcular:

a) 1/3 b) 1/5c) 1/4d) 1/6 e) 1/2


Hallar: F(1 y)

a) 1/y b) 2yc) 3yd) ye) 2 y

23) Sea f(x) = ax + b

Halle:

a) anb) an+1c) 1d) a 1e) (a 1)n

24) Dado: F(F(F(x))) + 2 F(F(x)) + 3F(x) = 6x

Calcule: F(a + b) + F(a b).

a) 2b b) ac) 2ad) be) a

25) Sea una expresin:

Tal que: .

Halle el mnimo valor de f.

Adems f(0) = 1a) 2 b)1c) 2d) 1e) 0

26) Se tiene:

Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

27)

Halle f(1/2).

a) 6b) 4c) 2d) 1 e) Infinito

28) Sea:

Donde: n(Z+;

Determine:; m ( N.

a) b) c)

d) e)

29) Sean los polinomios idnticos:

,

Calcular:

a) 1/3b) 2c) 3d) 10 e) 33

30) De la expresin:

Hallar el valor de:

a) 128b) 256c) 1280d) 2 e) 4

Grado de expresin algebraica

GRADO DE EXPRESIN ALGEBRAICASSe denomina grado a la caracterstica relacionada con los exponentes de las variables de una expresin algebraica; este grado es un nmero natural. Se distinguen dos tipos.

GA: Grado absoluto.

GR: Grado relativo.

1) GRADO ABSOLUTO (GA):

Esta referido al conjunto de todas las variables.

a) EN UN MONOMIO: El grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:

M(x, y, z) =

( GAM = 4 + 3 + 8 = 15

(Solo se suman los exponentes de las variables).

M(x, y, z) =

( GAM = 3 + 1 + 1 = 5

Observa que el monomio tiene como variables a x; y; z y no as a w el cual se considera constante; desde luego tiene grado cero.

b) EN UN POLINOMIO: El grado absoluto es la mayor suma de exponentes de variables obtenida en uno de sus trminos.

Ejemplo:

Entonces como grado absoluto escogemos el mayor de entre los tres que es: GAP = 12.

2) GRADO RELATIVO (GR):

Esta referido a una sola variable.

a) DE UN MONOMIO: El grado relativo de una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo:

M(x, y, z) =

Luego:

Grado relativo respecto a x: GRx = 3

Grado relativo respecto a y: GRy = 8

Grado relativo respecto a z: GRz = 1

b) DE UN POLINOMIO: El grado relativo de una variable es el mayor exponente que presenta dicha variable en uno de los trminos del polinomio.

Ejemplo:

P(x, y, z) =

Luego:

Grado relativo respecto a x:

El mayor de (2, 1, 5) ( GRx = 5

Grado relativo respecto a y:

El mayor de (1, 1, 3) ( GRy = 3

Grado relativo respecto a z:

El mayor de (1, 3, 4) ( GRz = 4

RECUERDA: Que solo se consideran variables aquellas que se encuentran dentro de la notacin polinmica.

P(x, y) =

Solo son variables x e y; y no as z que es una constante con grado cero.

GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

OPERACINPROCEDIMIENTOGRADO RESULTANTE

Adicin :

El grado de la suma o sustraccin es el del polinomio de mayor grado

Sustraccin:

Multiplicacin:

El grado del producto es la suma de los grados de los polinomiosm + n

Divisin:

El grado de la divisin es la resta de los grados de los polinomiosm n

Potenciacin:

El grado de la potenciacin es el producto de los exponentesm ( n

Radicacin:

El grado de la radicacin es el cociente de transformacin con m ( 0

Constante: KEl grado de toda constante o trmino independiente siempre es cero0

NOTA! Si solamente nos indican grado; se refiere exclusivamente al Grado Absoluto.


Nivel A1) A continuacin se muestran trminos semejantes:

; ;

Luego de sumar los tres trminos indicar cu coeficiente.

a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 10

2) Si A; B y C son polinomios de grados 25; 30 y 22 respectivamente.

Cul es el grado de:

a) 1 b) 11c) 12d) 14e) 15

3) Hallar el coeficiente de:

M(x, y) =

Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14.

a)

b)

c) 8/9d) 9/16e) 81/164) Hallar n si la expresin es de sexto grado:

M =

a) 5b) 6c) 7d) 9e) 11

5) Si el grado absoluto del polinomio:

Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. El grado relativo a y es.

a) 3b) 5c) 2 d) 4e) 7

6) Dados los polinomios:

; ;

;

Si el grado del producto de los tres polinomios es 25; entonces el valor de n es:

a) 9b) 5c) 2 d) 4e) 3

7) Dados los polinomios: P(x); Q(x) tal que los grados de:

Son 22 y 12 respectivamente.

Halle el grado de:

a) 12 b) 18c) 22d) 24e) 30

8) Sabiendo que el grado relativo a y en el monomio.

es mnimoCalcular n.

a) 3 b) 5c) 7d) 9e) 11

9) Hallar el grado de:

a) b)

c)

d)

e)

10) Hallar a y b si el siguiente monomio tiene grado absoluto igual a 19 i el grado relativo respecto a y es igual a 7.

P(x,y) =

a) 1,2 b) 1,5c) 2,2d) 2,0e) 2,5

Nivel B11) Si : P es un polinomio definido por :

Tal que si le restamos ;

Su grado absoluto disminuye;

Entonces el grado relativo respecto a x es:

a) 5 b) 4c) 3d) 2e) 1

12) Determinar el valor de m si el grado del polinomio es 3410.

a) 10 b) 11c) 12d) 20e) 19

13) Si P es un polinomio definido por :

Tal que su grado absoluto es 63; entonces el valor de:

; es:

a)

b)

c)

d)

e)

14) Si P y Q son dos polinomios tal que:

gr(P) = 5 ( gr(Q)=3 ,

Entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I)Grado (P2 + Q2) = 12II)Grado (P3 + Q2) = 10III)Grado (P + Q2)2 = 12

a) FFV b) VFVc) FVVd) VFFe) FFF

15) Si P es un polinomio definido por:

Dato I: GA(P) = 24

Dato II: GR(x) = GR(y)

Entonces; para hallar la suma de coeficientes del polinomio P.

a) El dato I es suficiente y no el dato II.

b) El dato II es suficiente y no el dato I.c) Es necesario utilizar los datos I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado es suficiente.e) Se necesitan ms datos.

16) Si el gr(P) = m ; gr(Q) = p ; gr(R) = r

Con m, n, p, r ( Z+; m ( n ( p ( r

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) gr(P ( Q) = m + p

II) gr

III) gr (P + Q + R) = max {m, p, r}

IV) gr ; (m + r) es divisible por n.

a) VVFVb) VFVVc) VVVFd) VVVVe) VVFF

17) Cuantas letras se debe tomar para que el grado absoluto del monomio:

sea 1120.

a) 18b) 12c) 13d) 11e) 14

18) Hallar m + n Si el polinomio

Es de GA=41 y Adems el GR(x) es al GR(y) como 5 es a 2.

a) 8 b) 9c) 12d) 7e) 10

19) Hallar el termino independiente de un polinomio de tercer grado P(x) tal que:

P(4) = P(3) = P(7) = 0 ( P(1)=1760.

a) 924b) 924c) 923d) 923e) N.A.20) Si P es un polinomio definido por:

Entonces el nmero de valores enteros que admite n es:

a) 2 b) 3c) 4d) 5e) 6

Nivel C21) Si la suma de los grados absolutos de los trminos del polinomio

Es .

Entonces el valor de n es:

a) 17 b) 15c) 14d) 16e) 18

22) Sea P un polinomio definido por:

Si la suma de coeficientes excede en 23 al trmino independiente; entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:I) El polinomio es de grado 2II) La suma de coeficientes es 25III) El trmino cuadrtico del polinomio P(x) es 12x2a) VVV b) VFVc) VVFd) FVVe) FFV

23) Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I)Si:

Entonces P es un polinomio de grado 3 sobre R.

II) Si: Entonces Q es un polinomio de cuarto grado sobre Q.

III)Si:

Entonces H(x) es un polinomio factorizable sobre C

a) FVF b) FFVc) FVVd) FFFe) VVF

24) Sea un polinomio:

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I)El mnimo valor de n es par.

II)El mximo valor de n es impar.

III)El mximo grado absoluto que admite P(x, y) es 9.

a) FVVb) VFFc) VFVd) FFF e) VVV

25) Determinar el valor de m si el grado del polinomio.

es 3410.

a) 10 b) 11c) 12d) 20e) 19

26) Siendo la expresin:

Es de quinto grado.

Cual ser el grado de este otro polinomio?

a) 16 b) 18c) 4d) 6e) n

27) En la expresin:

Los grados relativos a x e y son respectivamente 7 y 4 segn esto.

Calcular el grado de:

a) 11 b) 12c) 13d) 14e) N.A.

28) Si el grado del monomio:

Es 729.

Cul ser el grado de esta otra expresin?

a) 9 b) 3c) 7d) 21e) 10

29) Si el monomio:

Es de grado 9. Calcular n

a) 3 b) 24c) 9d) 72e) 3

30) Cul es el grado de:

Rpta.:

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS ESPECIALES

Existen una variedad de polinomios, de entre los cuales tenemos los ms importantes; que obedecen a ciertas caractersticas y de acuerdo a ello son:

1) POLINOMIO ORDENADO COMPLETO :

Los exponentes de una de las variables llamado variable ordenatriz estn ordenados y completos de manera que aumentan o disminuyen (creciente o decreciente).

Ejemplos:

P(y) =

(Decreciente)

(Creciente).

(No es ordenado ni completo)

(Ordenado en forma decreciente respecto a x )

OBSERVACIONES:

Dado un polinomio completo en una variable, el nmero de trminos es igual a su grado aumentado en 1.

(Es de grado cuarto; entonces tiene 5 trminos).

Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos trminos consecutivos difieren en la unidad.

Observa que los trminos independientes contienen a x con exponente cero.2) POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO :

Los exponentes estn ordenados pero tambin incompletos.

Ejemplo:

P(x) =

3) POLINOMIO HOMOGNEO :

Un polinomio de dos o ms trminos y dos o ms variables es homogneo si cada trmino tiene el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

P(x, y) =

GA = 7 (3 trminos).

Entonces es homogneo de grado 7 o tiene grado de homogeneidad 7.

TRMINOS SEMEJANTES:

Dos o ms trminos sern semejantes si presentan la misma variable afectada del mismo exponente.

Ejemplo:

4 ; 7 ; 12 (son semejantes)Se pueden sumar o restar: 4 7 + 12= 9

4) POLINOMIOS IDNTICOS O IGUALES : Dos polinomios reducidos sern idnticos cuando los coeficientes que afectan a sus trminos semejantes son iguales.Luego:

Son idnticos si y solo si:

; ; ; ..... ;

Ejemplo:

( A = m, B = n, C = q.

( m = 5, b = 5, D = 3

5) POLINOMIOS EQUIVALENTES:

Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numrico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.

Ejemplo:

;

Hagamos: x = 2; y = 1; En P(x, y) = P(2, 1) =

Hagamos: x = 2 ; y = 1 En Q(x,y) = Q(2,1) = 4(2)(1) =8Entonces: P(2,1) = Q(2,1)

En consecuencia P(x,y) ( Q(x,y) son polinomios equivalentes y se les podr representar as:

P(x, y) < > Q(x, y)

6) POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO:

Un polinomio es idnticamente nulo, si sus valores numricos para cualquier valor o valores asignados a las variables resulta ser siempre cero:

Se denota por P(x,y) ( 0.

Tambin:

Si:

Es idnticamente nulo; entonces todos sus coeficientes son cero.

Luego:

Ejemplo:

es idnticamente nulo

A = B = C = 07) POLINOMIO ENTERO EN X:

Es aquel que depende nicamente de la variable x siendo sus coeficientes nmeros enteros.

Ejemplo:

(es un polinomio entero en x de tercer grado).

8) POLINOMIO MNICO:

Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad.

Ejemplo:

(polinomio mnico de segundo grado)

NOTA!

Se llama coeficiente principal al coeficiente del trmino de mayor grado.


Nivel A1) Si P es un polinomio homogneo definido por :

Entonces la suma de coeficientes de polinomio P es:

a) 820 b) 500c) 452d) 405e) 331

2) En la siguiente identidad:

Determinar el valor de (2B+3C)

a) 2/11 b) 6/11c) 7/11d) 3e) 6

3) Hallar el valor de m y n para que el polinomio sea homogneo.

P(X,Y)=

a) 10b) 20c) 5d) 4e) 15

4) Calcular:

Si:

Es idnticamente nulo:

a) 4b) 6c) 8d) 1e) 2

5) Cul es la suma de coeficientes del polinomio homogneo:

a) 12 b) 13c) 10d) 18e) 9

6) Hallar c. Si:

a) 1/2b) 13c) 10d) 18e) 9

7) Hallar : A + B

Si:

a) 10 b) 11c) 12d) 13e) 9

8) Dadas las proposiciones:

I) Todo polinomio completo es homogneo.

II) Un polinomio completo de quinto grado tiene cinco trminos.

III) Un polinomio completo d quince trminos es de grado 14.

Son falsas:

a) I y IIIb) II y IIIc) Solo Id) I y IIe) Todas9) Si la regla polinomial siguiente:

P(x) =

Es idnticamente nulo. Calcular: a + b + m

a) 27b) 37c) 17d) 20e) 18

10) A partir de la identidad :

P(x)=

Calcular: a + b + ca) 288b) 289c) 290d) 291e) 292

Nivel B11) P es un polinomio completo definido por :

Entonces la suma de coeficientes del polinomio P es:

a) 16 b) 20c) 22d) 24e) 28

12) Si a , b y c pertenecen al conjunto de los naturales y el desarrollo de:

Es un polinomio completo de 85 trminos cuyo trmino independiente es 72 y su coeficiente principal es 243.

Entonces el valor de (a+b+c) es:

a) 19 b) 21c) 23d) 24e) 81

13) Hallar: a + b + c ; Si:

Es independiente de x.

a) 16 b) 17c) 18d) 15e) 19

14) En el siguiente polinomio homogneo .Hallar la suma de coeficientes.

a) 4 b) 5c) 6d) 7e) 8

15) Hallar el nmero de trminos del polinomio ordenado y completo.

a) 4b) 6c) 5d) n 7 e) n 3

16) Hallar : a + b + c ;Si el polinomio es homogneo

a) 22b) 24c) 21d) 26e) 25

17) Calcular ab en el siguiente polinomio homogneo.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

18) Si P es un polinomio homogneo definido por :

Entonces el valor de: T = GR(x) GR(y) es

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

19) Si P es un polinomio homogneo definido por:

Entonces el valor de: T = GR(x) GR(y), es:a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

20) Si se cumple que: mx + my + nx ny 15x 7y = 0Para todo valor real de x e y; entonces el valor de:

M = m ( n; es:

a) 16 b) 36c) 44d) 70e) 12121) Si P es un polinomio idnticamente nulo definido por:

Entonces el valor de: ; es:

a) 2 b) 1c) 1d) 2e) 3

Nivel C22) De un polinomio P(x, y) completo , homogneo de grado 8 y ordenado en forma creciente con respecto a x se han tomado tres trminos consecutivos m1(x,y) ; m2(x,y) ; m3(x,y) tales que :

ElGR (x) en m1 es a; GR (y) en m1 es b + 2;

GR (x) en m3 es b ; El GR (y) en m3 es a + 2 .

Entonces el grado relativo de m2 con respecto a y es:

a) 5 b) 8c) 3d) 9e) 6

23) Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I)Si P(x,y) es un polinomio homogneo ; entonces P(x,y) es tambin homogneo.

II)Si Q(x,y) es un polinomio homogneo de grado 3 y Q(1,2) = 5; entonces Q(2,4) = 40

III)Si R(x,y) es un polinomio homogneo ; entonces R(1,1) es la suma de coeficientes del polinomio R.

a) VVF b) FVVc) VFVd) VVVe) VFF

24) Si P es un polinomio completo definido por:

Con respecto al polinomio:

Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I)Q(x,y) es un polinomio homogneo.

II)El grado del polinomio Q es un nmero impar.

III)El valor de Q(1,1) = 0

a) VFV b) FVVc) VVFd) FVF e) VVV 25) Sean P y Q dos polinomios definidos por :

Si P ( Q entonces el valor de T = A + B es:

a) 2 b) 1c) 0d) 1e) 2

26) Si P y Q son dos polinomios definidos por:

EMBED Equation.3 Tal que P(x, y, z) ( kQ(x, y, z) .

Entonces el valor de k es:

a) 2 b) 1c) d) 2e) 1

27) Si P es un polinomio completo y ordenado por :

Con n ( N.

Entonces el valor de: es:

a) n b) n 1c) nd) n + 1e) n2

28) Sean P y Q dos polinomios definidos por:

EMBED Equation.3

Si P ( Q entonces el valor de T = A + B es:

a) 2 b) 1c) 0d) 1e) 2

Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES:

Se les da este nombre por ser el resultado de multiplicaciones indicadas, con el agregado de ser notables porque estos resultados tienen formas que resultan fciles de identificar y que pueden ser escritas en forma directa, sin necesidad de efectuar todos los pasos de la multiplicacin.Se presentan los siguientes casos:

1) BINOMIO AL CUADRADO:

(suma)

(diferencia)

2) BINOMIO AL CUBO:

(desarrollado)

(semidesarrollado; equi. de Cauchy)

(desarrollado)

(semidesarrollado; equi. de Cauchy)

3) DIFERENCIA DE CUADRADOS:

(General.)

4) SUMA DE CUBOS:

5) DIFERENCIA DE CUBOS:

6) TRINOMIO AL CUADRADO :

(desarrollado)

(semidesarrollado)

7) TRINOMIO AL CUBO:

EMBED Equation.3 (semidesarrollada).

EMBED Equation.3

8) EQUIVALENCIA DE GAUSS:

9) PRODUCTO DE BINOMIOS:

10) IDENTIDADES DE LEGENDRE:

11) EQUIVALENCIAS DE ARGAND :

12) IDENTIDADES DE LAGRANGE:

IDENTIDADES CONDICIONALESSi: a + b + c = 0 ; se muestra que:

IDENTIDADES AUXILIARES:

CASOS ESPECIALES

Si :

EMBED Equation.3 Si :

EMBED Equation.3 Si :

EMBED Equation.3


Nivel A1) Reducir : E=

a) b)

c) d)

e) 0

2) Sabiendo que :

Reducir:

a) 1 b)1c) 2d) 2e) 0

3) Calcular: ab + ac + bc si :

a + b + c = 5 ;

a) 10 b)18c) 9d) 11e) 12

4) Si: ; ( a, b, c ( R.

Calcular: E =

a) 3 b) 2c) 1d) 4e) N.A.5) Si : . Calcular la raz cuadrada de:

E =

a) 9 b)3c) 16d) 4e) 7

6) Si :

Calcular: E =

a) 9 b) 12c) 18d) 18e) 21

7) Si :

Calcular: E =

a) 7 b) 8c) 9d) 10e) 69

8) Sabiendo que :

Donde: x ( Z+. Calcular: E =

a) 4 b) 6c) 10d) 5e) 1

9) Si:

,

Hallar:

a) 3/4 b) 4/3c) 5/2d) 2e) 3

10) Si:; entonces: E = es:

a) 2b) 4c) 2d) 4e) 3

Nivel B11) Si:

;

Hallar:

a) 34b) 35c) 36d) 37e) 38

12) Si:

Entonces el valor de:

a) 1 b) 2c) 4d) 6e) 1/3

13) Si:

Hallar:

a) 21 b) 4c) 21/4d) 4/21e) 214

14) Efectuar:

a) 4(a + b)b) 4(a + d)(b c)c) 4(b c)

d) (a + d)(b c)e) (a + b)/(c + d)

15) Sabiendo que: ;


a) 2 b) 13/6c) 6/13d) 7/12e) 12/7

16) Efectuar:

a) x b) 1c) 1d) x 1e) x

17) Sabiendo que: ;

Hallar:

a) 3 b) 6c) 9d) 12e) 18

18) Si: ; Hallar:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 32 e) 20


Hallar:; para:

a) 1 b) 2c) 1/2d) 3/4e) 3/2

20) Sabiendo que: ;

El valor de la expresin:

a)

b) 4c)

d) 5 e)

Nivel C21) Si: x + y + z=0 . Reducir:

a) xyz b) xyzc) 2xyz

d) 5xyze) 5/2xyz

22) Si :

a + b + c = 3

abc = 4Hallar:

a) 0.5 b) 2c) 0.2d) 0.25e) 1

23) Simplificar:

a) 1/3b) 3c) 2/3 d) 3/2 e) NA.

24) Si se verifica que:

Encontrar el equivalente de:

a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 1225) Se sabe que:

Adems:. Cuanto vale d:

a) 1 b) 2c) 4d) 8 e) 0

26) Si:


a) 1 b) 2c) 2d) 1e) 3

27) Si: ;Calcular el valor de:

a) 6b) 3c) 18d) 9e) 27

28) Si se cumple que: ;Calcular el valor de:

a) 856b) 794c) 868d) 784e) 486

29) Dadas las condiciones:

y


a) 33 b) 4c) 33d) 4e)33/4

30) Siendo: a, b , c, x; nmeros reales que verifican:

(I)

(II)Donde: ,Halle el valor de:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

Divisin algebraica

DIVISIN ALGEBRAICA

Definicin: Es la operacin que consiste en hallar una expresin denominada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor.

Cumplindose:

(Exacta)

(Inexacta)

Donde: D: dividendo.

d: divisor.

q: cociente.

r: resto o residuo.

CASOS QUE SE PRESENTAN:

A)DIVISIN DE MONOMIOS:

Para dividir monomios primero se dividen los coeficientes de acuerdo a la ley de signos, luego las partes literales de acuerdo a las leyes de exponentes.

Ejemplos:

;

B)DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO: Se divide cada uno de los trminos del polinomio entre el monomio dado.

Ejemplo:

Resolucin: La divisin puede escribirse:

C)DIVISIN DE POLINOMIOS:

C.1)Mtodo Clsico:

Se ensea y estudia este mtodo, para deducir las propiedades.Procedimiento:

Se ordenan y completan los polinomios en forma descendente con respecto a una sola letra o variable .En caso existan dos o mas letras, se asume a una de ellas como variable y las dems harn el papel de nmeros o constantes; si faltaran uno o ms trminos, estos se completarn con ceros. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor, obtenindose el primero del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y lo que se obtiene se resta del dividendo. Se baja el trmino siguiente del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo sea a los mas de un grado menos que el grado del divisor o en todo caso si la divisin es exacta el resto ser u polinomio idnticamente nulo.

Ejemplo ilustrativo:

Dividir: (

Resolucin: Completando y ordenando el dividendo.

Propiedades:

Al dividir dos polinomios homogneos el cociente resultar tambin otro polinomio homogneo. Si : x = 1 ( D(1) = d(1).q(1) + R(1)Se obtiene la suma de coeficientes.

Si : x = 0 ( D(0) = d(0).q(0) + R(0)Se obtiene el trmino independiente

C.2)Mtodo de Coeficientes Separados: El procedimiento es anlogo al anterior, solo que se trabaja con los coeficientes.

Utilizando el ejemplo anterior.

DIVISIN SINTTICA

C.3)MTODO DE GUILLERMO HORNER:

En un mtodo de coeficientes separados que permite encontrar el cociente y el resto de dividir del polinomio, para esto dividendo y divisor deben estar completos y ordenados descendentemente respecto a una variable.

Esquema:

Procedimiento:

Los dos polinomios deben estar completos y ordenados respecto a una variable; si faltara algn trmino se completar con CERO.

En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las dems harn el papel de nmeros o constantes.

Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor, obtenindose el primer coeficiente del cociente.

Este resultado se multiplica por los dems coeficientes del divisor (que han cambiado de signo) obtenindose la primera fila de resultados parciales .Estos resultados se escriben a partir de la segunda columna.

Se reduce la segunda columna y el resultado se divide entre el primero del divisor, obtenindose el segundo coeficiente del cociente.

Se repite este proceso a partir del paso c; hasta que los resultados parciales lleguen a la ltima columna del dividendo.

Para obtener los grados del cociente (q) y el residuo (r) nos basamos en las propiedades vistas en el mtodo clsico.


Dividir:

Resolucin: Verificando, los polinomios estn ordenados y completos, luego: utilizando el mtodo de Horner

De donde:

r(x) = 2xC.4)MTODO DE PAOLO RUFFINI:

Se considera como un caso particular del mtodo de Horner se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a esta forma (ax b).P(x) = (ax b) q(x)

Esquema:

CASO I:

Cuando el divisor es de la forma (x ( b)

Ejemplo ilustrativo: Dividir:

Resolucin: Ordenando y extrayendo coeficientes.

De donde:

x + 2 = 0

x = 2

CASO II:

Cuando el divisor es de la forma (ax ( b)


Dividir:

Resolucin: Ordenando y extrayendo coeficientes.

Ahora esos cocientes no son verdaderos son falsos; por eso dividimos entre 3:

De donde:

R(x) = 15


Nivel A1) Dividir : Dar como respuesta el resto

a)1 b)1 c)0 d)4 e)3

2) En la siguiente divisin indicada:

y el resto R(x) = x + 2 Indique el valor de aba) 36 b) 25 c) 30 d) 50 e) 154

3) Dividir:

Calcular el resto.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8e) 10

4) Calcular el valor numrico de: si la divisin es exacta.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

5) Dividir: 3x20 + x19 + 6x2 x 1 entre 3x+1 y dar como respuesta el trmino independiente del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2

6) La siguiente divisin es exacta. Hallar a y b..

a) 4,5 b) 4,5c) 4,2d) 5,4e) 4,5

7) Si en la siguiente divisin el residuo no es de primer grado. Calcular dicho residuo.

a) 10 b) 11 c) 22 d) 21 e) 15

8) En el esquema de HORNER, encontrar:

(a + b + c + d + n)

5 20 6a (3b) (17c) 9d

7

2

(n4) n (n+4) 34 3

a) 10 b) 11c) 9 d) 8 e) 10

9) Hallar (p + a) para que el polinomio:

X4 + pX2 + a, sea divisible entre: X2 + 2X + 5.

a)30 b)41 c)8 d)31 e)15

10) Determinar los valores de m , n y p respectivamente de manera que el polinomio:

P(x) = X5 2X4 +6X3 + mX2 + nX + p;

sea divisible por

Q(x) = (X 3)(x + 1)(X 1).

a) 3, 1, 1 b) 8, 5, 6 c) 1, 5, 6 d) 1, 2, 3e) 5, 16Nivel B11) El residuo de la divisin:

Es igual a (16) cuando Y es igual a:

a) 3 b) 0c) 2 d) 3 e) 5

12) En la siguiente divisin exacta:

Hallar el valor de:

a) 1b) 2c) 4d) 5 e) 7

13) Obtener el resto de la divisin siguiente:

Sabiendo que el dividendo es completo y ordenado.

a) 10b) 18c) 20d) 15 e) 6

14) Para que la divisin sea exacta. Cul debe ser el valor de n?.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e )5

15) Si P es un polinomio definido por:

Tal que al dividir P por un polinomio de segundo grado; se obtiene como cociente a y como residuo (2x + 1). Establecer la relacin correcta entre los valores de A y B.

a) AB > 0 b) AB < 0c) 2A > Bd) A = Be) B > A16) Si la siguiente divisin: es exacta; entonces indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones :

I)A + B = 12II) A = 3 ( B = 6III) A2 + B2 = 45a) FVV b) VFVc) VVVd) FVFe) FFV17) Si la siguiente divisin es inexacta:

; y tiene como residuo a

Entonces indicar el valor de las siguientes proposiciones:

I)m + n > p

II) m = 20 y n + p = 7

III) m + 4n + p = 0

a) FVF b) VVVc) FVVd) VVFe) FFV

18) Si la siguiente divisin :

Es inexacta y tiene como resto (2x + 5) entonces el valor de (B A) es:

a) 24 b) 22c) 22d) 124e) 46

19) Si la divisin:

Tiene como resto : entonces el valor de (a + b + c) es:

a) 12 b) 15c) 18d) 24e) 30

20) Si el polinomio

Es divisible por : ;

Entonces la relacin correcta entre loscoeficientes a, b, c y d es:

a) a b + 2c = d b) b a = 5c + d

c) d = 3a + 2bd) 3a + 2b + c = 0

e) a + b + c + d = 1

Nivel C21) Al efectuar la divisin indicada :

El coeficiente de x; en el residuo; tiene un desarrollo cuyo penltimo trmino es 1280.

Calcular el valor de n.

a) 5 b) 10c) 15d) 20e) 9

22) Dividir por Ruffini: y da como respuesta la suma de coeficientes del cociente

a) n2b) (n1)c) (n21)d) (n2)e) n3

23) Calcular A B si la divisin:

Es exacta.

a) 5 b) 6c) 7d) 8e) 9

24) Calcular: M + N + P si la divisin:

Es exacta:

a) 3b) 1c) 0d) 7e) 9

25) Cul es el valor de a si al dividir el polinomio

entre: x 1;

La suma de los coeficientes del cociente es 161 y el residuo es 16?

a) 1 b) 1c) 3d) 2e) 3

26) En una divisin efectuada por Horner, se obtuvo el siguiente esquema:

a6efghi

b

c224

336

d112

231425

El valor de (a + d + f + g) es:

a) 5 b) 0c) 4d) 1e) 2

27) Si la divisin es exacta.

Hallar una relacin entre los coeficientes:

a) D + E = C + Ab) AC = E c) AD = EC

d) A + D = Ce) AC = DE

28) Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene de la siguiente divisin:

a) 69 b) 65c) 63d) 63e) 69

29) Hallar el valor de a + b + c, si el resto de la divisin indicada e s

es:

a) 21 b) 20c) 30d) 40e) 50

30) Hallar el valor de a si al dividir:

Entre x 1, se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto.

a) 13 b) 155c) 160d) 163e) 165

Teorema del resto

TEOREMA DEL RESTO O DE RENATUS DESCARTES

Se emplea para hallar directamente el resto en la divisin, sin necesidad de efectuar toda la operacin.

El divisor debe de ser de la forma ax + b transformable a ella.

Se tiene:

Procedimiento:

1) Igualar el divisor a cero, despejar x.

2) Este valor reemplazar en P(x) y el valor obtenido es el resto.

Demostracin:

Utilizando el algoritmo de la divisin que se puede expresar as:

D(x) = d(x).q(x) + RP(x) = ( ax + b ).q(x) + R

Despejando de: ax + b = 0

Para x = en la identidad.P() =

( P() = R l.q.q.d

RESIDUOS ESPECIALES

Son divisiones que requieren de ciertas transformaciones y /o adecuaciones de modo tal que se pueda emplear el teorema del resto en forma coherente.

Sea: (

1)

Luego

2)

Luego

Simplemente:

Si al inicio multiplicas por una cantidad al final tienes que dividir entre la misma cantidad y viceversa.


Nivel A1) El polinomio:

se anula para las valores y x = 5 otro valor de "x" que tambin se anula es:

a) 1b) 2c) 3d) 2e) 1

2) Hallar el residuo de:

a) 0b) 4c) 3d) 5e) 4

3) Encontrar el residuo de la divisin :

Para n perteneciente a los naturales.

a) 1b) 3c) 4d) 5e) 4

4)

Hallar el resto.

a) 8X b) 16 c) 8x + 16

d) 30 e) 80

5) Hallar el residuo en:

a) 11X + 1 b) 11X 1 c) X 1

d) X + 1 e) 0

6) Hallar el resto en:

a) 3x b) 4x c) xd) x2 e) x2

7) Calcular el resto de dividir :

entre

a) 2x + 1 b) 2x 5 c) 2x d) 2x 1 e) 3x 1

8) Hallar el resto de:

a) 1 x b) 2 x c) 4 x d) 6 x e) 3 x 9) Calcular el resto en la divisin:

a) x b) x 1c) x + 1d) x + 2e) x 210) Determine el resto de la divisin:

a) x 2 b) 2x + 1c) x + 2

d) 2x 1e) 1 2x

Cocientes notables

COCIENTES NOTABLES

Definicin: Son aquellos cocientes cuyo desarrollo se pueden escribir en forma directa sin necesidad de efectuar la operacin indicada.

Forma General:

Donde: n ( N; n ( 2Notas:

Las bases tomadas verticalmente son iguales. Los exponentes en el numerador deben ser iguales.CASOS:

Se consideran C.N. aquellos cuyo resto o residuo sean iguales a cero, por combinacin de los signos encontramos cuatro casos.CASOSDESARROLLORESIDUO

Nulo.

Es C.N. si n es impar

DIVISIN INEXACTA

Nulo.

Siempre es C.N

Nulo.

Es C.N. si n es par

PROPIEDADES:

a. El desarrollo de un C.N tiene n trminos.b. El grado del desarrollo de un C.N es n 1y es un polinomio homogneo, completo y ordenado.c. Si el divisor es de la forma xa todos los trminos de su desarrollo son positivos.d. Si el divisor es de la forma x+a los trminos de sus desarrollo tienen signos en forma alternada ; lugar impar (+), lugar par ().FRMULA DEL TRMINO GENERAL:

Donde:

: Trmino buscado. n : nmero de trminos del cociente. x : Primera Base. a : Segunda Base.FRMULAS ADICIONALES

a) Trmino Central. (Solo si el nmero de trminos es impar.)

b) Trmino contado a partir del ltimo:

Observacin: Si se tiene Da lugar a un C.N. si se cumple: # de trminos.

Adems se tiene en un C.N. que:

Los exponentes de la variable x disminuye de r en r; mientras que los de la variable y aumentan de s en s.


Nivel A1) En el siguiente cociente notable: ;

El valor numrico del tercer trmino de su desarrollo para: x = 2 ( y = 1/4 es:

a) 32 b) 64c) 8 d) 1e) 16

2) En el cociente notable:

El nmero de trminos de dicho cociente es:

a) 9 b) 6c) 8d) 7e) 12

3) En el cociente notable:

Su coeficiente del trmino x24 es:

a) 7 b) 8c) 10d) 9e) 6

4) Calcular a + b si el segundo trmino en el desarrollo del siguiente cociente notable :

es:

a) 65 b) 55c) 75d) 45e) 70

5) Si el grado absoluto del octavo trmino del cociente notable:

; es 12.

El nmero de trminos de su desarrollo es:

a) 12 b) 36c) 8d) 10e) 24

6) El desarrollo del cociente notable:

Tiene 10 trminos.

El valor de (n m) es:

a) 10 b) 30c) 50 d) 80e) 20

7) Si el cociente notable:

Tiene 10 trminos.

Hallar el valor de (m + n)

a) 23 b) 21c) 25d) 35e) 50

8) Si la expresin es un C.N. .

Hallar el valor de m.

a) 3 b) 6c) 8d) 5e) 7

9) Indicar el nmero de trminos del siguiente C.N.:

a) 7 b) 10c) 3d) 18e) 15

10) Dadas las siguientes expresiones:

;

Determinar: P Q.

a) x b) c) d) e) 0Nivel B11) Que lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

El trmino que tiene como grado absoluto 34.

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

12) Si el desarrollo del siguiente C.N.

Tiene un trmino que contiene a

Determinar (n + p).

a) 10 b) 5c) 15d) 20e) 25

13) Indicar el nmero y el lugar que ocupa el trmino que contiene a: en el C.N.

a) 60 y 8b) 12 y 10c) 60 y 10

d) 12 y 8 e) 10 y 8

14) Suponiendo que: se encuentra contenido en el desarrollo del siguiente C.N.

Hallar n.

a) 13 b) 15c) 17d) 19e) 21

15) Calcular : m ( n si el del cociente notable:

; es :

a) 6 b) 12c) 15d) 24e) 18

16) En el CN:

Calcular el GA del trmino central de su desarrollo.

a) 55 b) 60c) 66d) 70e) 80

17) Calcular m si el grado absoluto del en el C.N.

; es 309.

a) 40 b) 48c) 50d) 45e) 60

18) Qu lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

El trmino que tiene grado absoluto igual a 252.

a) 30 b) 31c) 32d) 33 e) 34

19) Hallar el grado del trmino de lugar 6 del siguiente C.N.

.

a) 9 b) 10c) 18d) 19e) 21

20) Hallar el trmino 26 del C.N. ,

Luego dar la suma de sus exponentes.

a) 55 b) 45c) 65d) 75e) 85

Nivel C21) Hallar el coeficiente del tercer trmino del desarrollo de :

a) 2 b) 4c) 2d) 8e) 4

22) Simplificar:

a)

b)

c)

d)

e)

23) Dadas las siguientes expresiones:

;

Determinar: P Q.

a) x b)

c)

d)

e) 0

24) Simplificar:

a) b) c)

d) e)

25) Si: ; es una divisin notable exacta, calcule el valor numrico de:

a) 22 b) 61c) 79 d) 100e) 45226) Sabiendo el trmino quinto del cociente notable:

Es .

Calcular el nmero de trminos.

a) 10 b) 16c) 25d) 30e) 64

27) En el C.N.: .

Calcular : m,el trmino 10 y el nmero de trminos.

a) 12 ,,25b) 12 ,,25 c) 12 ,,24d) 12 ,,22

e) 12 ,,25

28) Hallar el trmino 21, en el siguiente C.N.

a) a b) a + 1c) a + 2 d) a 1e) 2a

29) Efectuar:

a)

b)

c)

d)

e)

30) Si T es el penltimo trmino del cociente:

Seale el trmino que sigue en el siguiente desarrollo:

a) b)

c)

d)

e)

Divisibilidad polinmica

DIVISIBILIDAD POLINMICALa divisibilidad algebraica tiene por objetivo determinar polinomios que no se conocen y calcular restos en divisiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente.

Se dice que un polinomio D(x) es divisible entre el polinomio d(x) si y slo si la divisin es exacta adems se dice que d(x) es un factor del polinomio P(x).

Para estudiar la divisibilidad algebraica; necesitaremos conocer los siguientes criterios o principios fundamentales:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Cuando dos polinomios son divisibles; entonces el resto es nulo (cero) R(x) = 0. Si un polinomio P(x) se anula para x = a; entonces P(x) es divisible entre (x a). Si un polinomio es divisible por separado entre varias expresiones ser divisible por el producto de ellas.Sea:

Entonces:

Si un polinomio es divisible entre el producto de varios factores, ser divisible por cada una de ellas respectivamente.Si:

Entonces

Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arrojara como resto dicho resto comn.As: sea P(x) un polinomio cualquiera y:

Entonces:

Si: P(x) es divisible entre (x a) entonces x = a;

Luego P(a) = 0

Adems: x = a; es un cero o raz de P(x). Recuerde que para determinar la sumatoria de coeficientes de un polinomio entero en x por decir P(x):

Trmino independiente de dicho polinomio:


Nivel A1) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio

a) 45b) 46c) 47d) 48e) 49

2) Un divisor del polinomio

es

a) x + 1b) x 2 c) x 1 d) x + 2e) x 3 3) Que valor debe de tener a para que sea divisor del polinomio

a) 0b) 1c) 2d) 1e) 6

4) Un divisor de : es:

a) x + ab) x a c) a 2x d) a + 2xe) x 2a 5) Calcular n si el trmino independiente de:

P(x) es 36 donde P(x) es:

a) 9b) 12c) 18 d) 24e) 60

6) Si un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es uno es divisible por (x 2) y (x 1) y al ser dividido por (x3) da como resto 20.

Hallar la suma de coeficientes.

a) 1b) 2 c) 0d) 3e) 4

7) Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x + 1)(x 2)(x + 3) el resto obtenido es x2 5x + 1 Encontrar cuales son los restos que se obtienen al dividir P(x) entre: (x + 1); (x 2) y (x + 3)a) 5 ; 7 ; 52b) 2 ; 5 ; 20c) 7 ; 5 ; 25

d) 7 ; 4 ; 21e) 7 ; 5 ; 25

8) Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtuvo por residuo 5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3.Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x 1).

a) 5 b) 6c) 7d) 8e) 9

9) Determinar un polinomio P(x) de 5 grado que sea divisible entre (2x4 3) y que al dividirlo separadamente entre (x + 1) y (x 2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.a) 12x5 3x4 15x + 6b) 10x5 4x4 15x + 6

c) 10x5 4x4 15x + 7 d) 10x5 4x4 15x + 6

e) 10x5 3x4 15x + 6

10) Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x + 3); (x + 2) y (x 5) , se obtenga siempre el mismo residuo (6) y al dividirlo entre (x + 1) el resto sea 42

a) 3x3 57x 95 b) 3x3 + 57x 95

c) x3 + 57x 96 d) 3x3 57x 96

e) 3x3 + 57x 59

Nivel B11) Determinar el termino independiente de un polinomio de quinto grado que sea divisible entre y que al dividirlo entre (x + 1) y (x 2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.

a) 6b) 5c) 2d) 3e) 4

12) Un polinomio de sexto grado tiene raz cuadrada exacta es divisible separadamente por (x2 + 1) y (x + 3) y si se le divide entre (x + 2) el resto es 225.

Hallar la suma de los coeficientes del polinomio.

a) 575 b) 576 c) 577d) 578e) 57913) Encontrar el resto de la divisin de un polinomio en P(x) entre (x 6) si se sabe que el trmino independiente del cociente es 2 y del polinomio es 11.

a) 1b) 1c) 2d) 2e) 0

14) Encontrar la sumatoria de coeficientes del polinomio de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3); (x+2) y (x 5) se obtiene siempre el mismo residuo igual a 6 y al dividirlo entre (x + 1) el resto sea 42.

a) 150 b) 140 c) 140d) 150e) 160

15) Si se divide un polinomio entre (x 1) se obtiene un resto que es 3 y al dividirlo entre (x + 2) el resto es 9.

Hallar el resto de dividirlo entre el producto:

(x 1)(x + 2)a) 2x + 5b) 4x + 5 c) 3x + 5 d) 2x + 5e) 2x 5 16) El valor que debe tener m para que el polinomio: sea divisible por el trinomio:

a) 6b) 6c) 5d) 5e) 3

17) Al dividir P(x) entre (x1)(x2) se halla por resto:

2x + 1

Qu resto encontrar si se divide P(x) entre:

(x 2)?.

a) 5b) 4c) 4d) 5e) 3

18) Un polinomio de cuarto grado en x ; cuyo primer coeficiente es la unidad , es divisible por y por (x 4) y al dividirlo por (x +3) da como residuo 56. Calcular cuanto dar el residuo al dividir por:

(x 2).

a) 24b) 24c) 42d) 42e) 30

19) Hallar el coeficiente principal de un polinomio P(x) que cumpla:

I)Sea de tercer grado.

II)Sea divisible por (x2).

III)Se anule para x=1.

IV)Su trmino independiente sea 8.

V)Al dividirlo entre (x3) se tenga 28 como resto.

a) 4b) 3c) 2d) 1e) 0

20) Se sabe que un polinomio entero en x de tercer grado cuyo primer coeficiente es la unidad, se anula para: x = 2 y para x = 3

Determinar dicho polinomio si la suma de sus coeficientes es igual a 10.

a) (x + 2)(x 3)(x + 4)

b) (x 2)(x 3)(x + 4)

c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)

d) (x + 2)(x 3)(x 4)

e) NA.

Nivel C21) Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios (x 4) y (x 2) se obtiene como residuo 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre el producto: (x 4)(x 2).

a) 2x + 5b) 2x + 4 c) 2x + 1 d) 2x + 5e) 2x 5

22) Hallar el resto de dividir:

entre (x + 1);

Sabiendo que al dividir P(x) entre (x 2) el resto es 40.

a) 50b) 8c) 40d) 30e) 60

23) Un polinomio P(x) de tercer grado es tal que al ser dividido separadamente entre los binomios (x 2); (x + 3) y (x 1) da de resto (4), si se le divide entre (x + 1) da de resto 44.

Seala el trmino independiente de dicho polinomio.

a) 10b) 100c) 40d) 20e) 60

24) Al dividir un polinomio P(x) separadamente por (x 1) y (x 2) se obtiene como restos 6 y 18 respectivamente.

Determinar el resto que se obtendr al dividir el polinomio P(x) por el producto

(x 1)(x 2).

a) 12x + 5b) 12x 5 c) 12x 6

d) 12x + 6e) x 5

25) Al dividir un polinomio P(x) entre (x+2) se obtiene como resto 6 y un cociente cuya suma de coeficientes en igual a 3.

El resto de dividir dicho polinomio entre (x 1) es:

a) 1b) 2c) 4d) 3e) 6

26) Al dividir un polinomio P(x) de 3er grado separadamente entre (x 1); (x + 2) y (x 3) resulta como residuo en los 3 casos igual a 3. Si al dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene como residuo 19 .Calcular el residuo de dividir P(x) entre (x 2).

a) 5 b) 5c) 4d) 4e) 7

27) Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x + 2) tiene raz cuadrada exacta .Al dividirlo entre (x 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16.

Calcular la suma de sus coeficientes.

a) 36 b) 37c) 38d) 39e) 40

28) Un polinomio entero en x de tercer grado se anula para x = 7 y para x = 3 y al dividirlo entre (x 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3.

Hallar el resto de dividirlo entre (x 8)

a) 52 b) 53c) 54d) 55e) 56

29) Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x a) y (x b) los restos obtenidos son (2b + a) y (2a + b) respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre: x2 (a+b)x + ab.

a) x + 2(a + b)b) x + 2(a + b)c) x + 2(a b)

d) x 2(a + b)e) x + 2(a2 + b)

30) Un polinomio de grado n y variable x es divisible entre (xn1 + xn2 + 1) y tiene por trmino independiente 2 .Adems dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x 2). Calcular el valor de n

a) 3 b) 4c) 5d) 6e) 7

factorizacinFACTORIZACINDEFINICIN: Es la transformacin de un polinomio en un producto indicado de sus factores primos, dentro de un determinado campo numrico.

As:

Teorema: La representacin factorizada de un polinomio es nica; salvo el orden de los factores.

POLINOMIO SOBRE UN CAMPO: Un polinomio esta definido sobre un campo cuando sus coeficientes pertenecen a ese campo.

As:

(Esta definido sobre los racionales puesto que sus coeficientes son racionales).

( no es racional pero si real; entonces P (x,y) esta sobre los reales).

; i =

(2i no es racional ni real pero si complejo entonces R(x) esta sobre los complejos).

FACTOR DE UN POLINOMIO: Un polinomio f(x) de grado no nulo es considerado factor de otro polinomio P(x) si existe un nico polinomio q(x) tal que:

Ejemplo 1:

(x + 2) es factor de

Puesto que:

Ejemplo 2:

En P(x) = x (x + 3)2(x 2)

Sus factores son: x; (x + 3); (x 2); (x + 3)2 ; ............... ; x(x + 3)2(x 2).

POLINOMIO IRREDUCTIBLE:Es aquel que no admite ser expresado como la multiplicacin de dos o ms factores sobre el mismo campo.

Ejemplo:

P(x) = 16x4 1 no es irreductible en los Q puesto que 16x4 1 = (4x2 + 1) (4x2 1)

P(x) = (4x2 + 1) (4x2 1) es irreductible en los Q pero no en los R puesto que : P(x) = (4x2 + 1) (2x + 1) (2x 1)

P(x) = (4x2 + 1) (2x + 1) (2x 1) es irreductible en los R pero no en los complejos puesto que: P(x) = (2x + i) (2x i) (2x + 1) (2x 1)

Factor Primo: Es el factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo.

Ejemplo:

Factorizando en el conjunto Q:

(Posee 2 factores primos en Q).

Factorizando en el conjunto R:

(Posee 3 factores primos en R).

Factorizando en el conjunto C :

(Posee 4 factores primos en C).

NOTA: Al factor de un polinomio tambin se le llama divisor que no necesariamente es primo.

OBSERVACIN: Generalmente el campo en el que se ha de trabajar es en de los RACIONALES (Q) salvo se indique lo contrario.NMERO DE FACTORES:a) El nmero de factores primos depende sobre que campo numrico en que se factorice.Ejemplos.

(Dos factores primos en Q)

(Tres factores primos en R)

(Cuatro factores primos en R)CONTEO DE FACTORES PRIMOS:

El nmero de factores primos de un polinomio se obtiene contando el nmero de factores bsales; es decir; los factores que se encuentran como base de una potencia y que contenga a la variable.

NOTA: Para realizar el conteo no se debe considerar el nmero de veces que acta un determinado factor.

Ejemplos:

Nmero de factores primos es 3 Nmero de factores primos es 2. Nmero de factores primos es 4.

NUMERO DE FACTORES TOTALES:

Sea: donde: a; b y c son primos entre si:

Ejemplo: Determinar el nmero de factores totales de:

( # Factores totales: (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36

NUMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS O DIVISORES ALGEBRAICOS:

Un polinomio factorizado presenta una cantidad determinada de factores algebraicos es decir expresiones que los dividen en forma exacta en el cual no se considera a ninguna constante; es decir en el conteo de los factores algebraicos no se considera a la unidad.

Sea: donde: a; b y c son primos entre si

Ejemplo:

Por frmula:

# Factores algebraicos = (1 + 1)(2 + 1) 1

# Factores algebraicos = (2)(3) 1 = 5

NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS O DIVISORES COMPUESTOS:

Donde:

FC: factores compuestosFAT : factores algebraicos totales

FP : factores primosNOTA: Un polinomio siempre se factorizar en el campo de los nmeros racionales (coeficiente enteros o fraccionarios) salvo se indique lo contrario. Normalmente se pedir calcular el nmero de factores algebraicos o divisores algebraicos; el nmero de factores primos; factores lineales, factores cuadrticos; etc.Ejemplo:

Factores primos: 2

Factores totales: 12

Factores algebraicos: 11 Factores compuestos: 11 2 = 9IMPORTANTE: Si en un ejercicio nos piden el nmero de factores; se sobreentiende que nos piden el nmero de factores primos.


1) Marque la alternativa correcta donde haya un polinomio que este factorizado.

a) (x + 2)2 + xb) x(x + 1) + 2c) x (x + 1)2d) x(x + 1) + x + 2

e) (x + 3)(x + 4)

2) Marque la alternativa donde est un polinomio definido sobre Q.

a) b) c)

d)

e)

3) Sea P(x) = x(x + 2)(x + 1)

En cul de las alternativas no es un factor algebraico de P(x) ?

a) x2 + 2xb) x2 2x c) x2 + x

d) x + 2 e) x2 + 3x + 2

4) Sea P(x) = x3 4x

En cul de las alternativas hay un factor algebraico de P(x)?.

a) x2 + 2 b) x2 2c) x2 + 2x

d) x2 + 4xe) x2 + 4

5) Respecto al polinomio: P(x) = 3(x + 2)(x + 9)

Indique verdadero (V) o falso (F).

I)3 no es factor de P(x).

II)(x + 2) es factor de P(x).

III)P(x) tiene 3 factores algebraicos.

IV)(x2 + 7x + 10) no es factor de P(x).

a) VFVF b) FVVF c) VVVF

d) VVVV e) VFVV

6) Cuntos factores algebraicos tiene el polinomio? P(x) = x(x + 2)(x + 1).

a) 9 b) 3c) 10d) 7e) 8

7) Sea P(x) = x96 1Marque la alternativa donde no hay un factor algebraico de P(x).

a) x16 + 1 b) x48 + 1 c) x24 1d) x12 1e) x32 + 1

8) Si (x +3) es factor de x2 + bx 3 indique el otro factor.

a) x + 2b) x + 1c) x 1d) 2x + 1 e) 2x 19) Si: x2 + x + 2 es factor de x4 +3x2 + 2x + ax + bHalle: E =

a) 1/2 b) 3/4c) 1/4 d) 3/2e) 2

10) Si: (x2 + x + 1) y (x2 + ax + b)

Son factores de (x4 + mx2 + n)Halle: E = a + b + m + n

a) 4 b) 2 c) 3 d) 0e) 1

11) Marque la alternativa donde haya un polinomio primo y uno no primo respectivamente.

a) x2 4 ; x2 + 1b) 2x2 2 ; 2x2 + 3

c) 4x2 1 ; x2 4.d) x2 + 1 ; x2 + 2

e) x2 + 3 ; x212) Sea P(x) = ( x4 1)( x2 + 2x 3 )

Cuntos factores primos tiene?

a) 2 b) 4c) 5d) 3e) 6

13) Sea P(x) = x2 (x2 + 3x + 2)Indique el nmero de sus factores primos.

a) 2 b) 3 c) 1 d) 5e) 4

14) Marque la alternativa donde no hay un factor primo de P(x,y) = xy ( x + 1)( y + 1 )

a) x b) y c) xyd) x + 1e) y + 1

15) Sea : P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1

De las siguientes proposiciones.

I)P(x) es primo.II)P(x) no es primo.III)P(x) tiene un factor lineal.

Son verdaderas.

a) I y II b) II y III c) solo I d) solo II e) I y III

16) Si (x 2) es un factor de: P(x) = x2 + 3mx 2.

Calcule: E = (2m + 3)2 (2m 3)2

a) 12 b) 12c) 8/3d) 8e) 8

CRITERIOS DE factorizacinCRITERIOS DE FACTORIZACINSon tcnicas a utilizar, de acuerdo a la forma que presenta al ejercicio.

I) FACTOR COMN AGRUPACIN DE TRMINOS.

a) FACTOR COMN: Cuando uno o varias cantidades se repiten.

Se extrae el valor que se repite, el cual constituye el factor comn.

El siguiente factor se hallar, dividiendo cada uno de los trminos del polinomio entre el factor comn.

a.1)Factor Comn Monomio: Cuando el factor comn es un monomio.

Ejemplo1: Factorizar:

El factor comn es:

Luego: Rpta.

Ejemplo 2: Factorizar:

El factor comn es:

Luego Rpta.

a.2)Factor Comn Polinomio: Cuando el factor comn es un polinomio.

Ejemplo 1:Factorizar

Factor comn: (a + b).

Luego: (Rpta).

Ejemplo 2: Factorizar

Factor comn: (a 1).

Luego:

Factor comn: (a 3).

Luego: Rpta.

b) AGRUPACIN DE TRMINOS: Se procede a agrupar los trminos buscando factores comunes (monomio o polinomio) para luego factorizar.

NOTA: Para agrupar correctamente, contar el nmero de elementos del polinomio para as saber de cuanto en cuanto agrupar.

Ejemplo 1: Factorizar:

Agrupando de dos en dos.

Factor comn:

Rpta.

Ejemplo 2:Factorizar:

Efectuando:

Agrupando:

Factor comn:

Finalmente:

Rpta.

1) Factorizar el polinomio:

P(x,y) = 3(x y)2(x + y) (x + y)2(x y) (x2 y2)

e indicar algn factor primo.

a) x + y b) x+ 2yc) xd) x + 3ye) N.A.

2) Factorizar:

P(x,y) = y(x2 + x + 1) + x(y2 + y + 1) + x2 + y2

e indicar el nmero de factores primos:

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

3) Factorizar: Q(x,y) = ab(x2 y2) + xy(a2 b2) E indicar un factor primo.

a) ay bx b) ax + by c) ax by

d) ax + bx e) ay + by

4) Expresar el polinomio:

P(x, y)=x3y xyz2 + x2y2 y2z2 x2yz + yz3 zx3 + xz3

Como factores e indicar la suma de estos

a) 2x +2y z b) 2x +2y 3z c) 2x +2y 2z

d) 2x +2y + 2z e) 2x +2y + z

5) Factorizar: P(x,y,z) = x( x2 y2 + xz ) y2z

E indicar un factor.

a) x + 2y b) x + yc) x 2y

d) xe) x + y + z

6) Factorizar: Q(x,y) = mn(x + y)2 + xy(m n)2

E indicar la suma de los coeficientes de los factores primos.

a) m + n b) m nc) 2n + 2n

d) m + 2ne) m 2n

7) Factorizar: k(x,y) = x5y3 + x2(x2y6 + x4y3)

E indicar el nmero de factores primos lineales

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 0

8) Factorizar e indicar un factor primo en

N(b,c,x) = bcx2 + xb2 + bc +c2x

a) cx + b2 b) bx2 + cc) bx + c

d) x + bce) x

9) Al factorizar : P(x) = x4 + x3 8x 8

Indicar un factor.

a) x2 + 2x + 4b) x2 2x 4c) x2 4x + 2

d) x2 2x + 2e) x2 x + 4

10) Indicar la suma de los trminos independientes de los factores primos obtenidos en:

P(x,y) = x2y + xy2 2xy x2 + xy(1y)

a) 1 b) 0c) 2 d) 2e) 1

11) Al factorizar :

P(x,y,z) = 9xz + 3x2 + 3yz + xy

Es posible afirmar:

a) Se obtienen 3 factores primos.b) Se obtienen 2 factores cuya suma de coeficientes es la misma.c) Un trmino en uno de los factores es 2x.d) El mayor coeficiente obtenido en uno de los factores es 9.e) Hay 2 correctas.

II) MTODO DE LAS IDENTIDADES: En este caso utilizaremos los productos notables pero en sentido inverso. Cabe recordar:

a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.).

Tener en cuenta que: En un T.C.P. el doble producto de las races cuadradas de los trminos extremos es igual al trmino central.

Es decir:

b) Diferencia de Cuadrados:

Ejemplos:

c) Suma o Diferencia de Cubos:

d) Entre otros:

Nivel A1) Despus de factorizar :

P(x,y,z) = x4yz 3x2yz 2xyz

Indique el nmero de factores primos.

a) 3 b) 4c) 5d) 6e) 7

2) Factorizar :

a)

b)

c)

d)

e)

3) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de un factor primo:

a) 2 b) 3c) 4d) 5e) 6

4) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de un factor primo :

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 6

5) Factorizar e indicar el nmero de factores primos.

a) 3b) 5c) 7d) 8e) 9

6) Factorizar y sealar un factor primo.

a) b)

c)

d)

e)

7) Factorizar:

a)

b)

c)

d)

e)

8) Factorizar e indicar un trmino de un factor:

a) xyb) xy3c) z2xd) xyze) 2xyz

9) Si Q es un polinomio factorizable definido por:Q(x,y) = 2x2 + 1 (4x3y + 6x2y2 + 4xy3+y4) Entonces un factor primo es:

a) 3xy y + 1 b) 2xy 2 c) x + y y2d) 1 2xy y2e) x y x2

10) Factorizar sobre Q:

E indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos.

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

Nivel B11) Si: (x + 1) y (2x2 3x 2) son dos factores del polinomio:

Entonces el otro factor es:

a) x + 7b) x 3 c) 2x + 1 d) x 1e) 3x 2

12) Factorizar :

P(x) = x6 + 4x3 + x2 + 2x+5 +2(x3+2)(x+1)

E indicar el trmino independiente de un factor primo

a) 3b) 6c) 9d) 10e) 12

13) Indicar aquel polinomio que no es factor de:Q(x, y) = x3 + 2x2y 4xy2 8y3 x + 2y

a) x 2y b) x + 2y + 1c) x 1 + 2y

d) x + 2y e) x + y

14) Descomponer en factores :

P(x) = (2x6 + 1)3 + (x + 1)3(x 1)3(x4 + x2 + 1)3

E indicar el nmero de factores primos.

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

15) Un factor de: ; es:

a) b)

c)

d)

e)

16) Factorizar: R(x) = x3(x19 2) (x2 + 1)(x4 x2 + 1)E indicar uno de los trminos obtenidos en los factores primos.

a) x3 b) x5c) x6d) x2e) x2 17) Sealar un factor primo que tiene el siguiente polinomio: P(z) = z(z+1)2 9z5a) z 1 b) z2 z 1 c) 3z2 + z + 1 d) z + 1 e) z2 + z + 1

18) Factorice :

Indique el factor de mayor grado obtenido.

a) x6 x3 + 1 b) x6 + x2 + 1c) x4 x2 + 1

d) x6 + x5 + 1e) x6 + x3 + 1

19) Hallar la suma de factores primos de: P(x) = x4 + 9x2 + 25

a) 2x2 10 b) 2x2 + 82x2 8

d) 2x2 + 10e) 2x2 + 6

20) Si al factorizar :

H(x,y) = x36 + 81y4 + 2(x9y)2Se evala cada factor primo para: x = y = 1

Hallar el producto de los valores obtenidosa) 42 b) 84c) 82d) 96e) 21

III) ASPA SIMPLESe emplea para factorizar expresiones de la forma:

PROCEDIMIENTO: Se descomponen los extremos, cuidando los signos. Se efecta el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el trmino central, entonces los factores sern las sumas horizontales.1) Factorizar:

Resolucin:

3x2+10xy+3y2 3x +y = xy

x +3y = 9xy

10xy

Los factores se toman horizontalmente.

Entonces: (3x + y)(x + 3y)2) Factorizar:

Resolucin:

x2+2ax+(a2b2)

x (a + b) = x(a + b)

x (a b) = x(a b)

2ax

Tomando horizontalmente.

Entonces: (x + a + b) (x + a b)Nivel A1) Factorice: P(x,y,z) = z2 +2xy (x2 + y2)

E indique un factor primo.

a) x + y b) z + x + y c) z + x y

d) z x y e) z + x

2) Factorice: P(x,y) = x4 6y2 + x2y

E indique el factor de menor suma de coeficientes.

a) x + 3y b) x2 2yc) x2 + 3y

d) x + 6y e) x2 + y

3) Factorice: P(x) = x3 (x3 1) 2; e indique algn factor primo

a) x 2 b) x2 x + 1 c) x2 + 1

d) x 1 e) x2 + x 1

4) Si: x + m ( nx + 2 son factores de 3x2 + 5x + 2 ; Halle: m n; m, n ( Z+

a) 2 b) 2 c) 0d) 1e) 3

5) Factorice: P(x) = x2 + ( x 2 )2 ( x + 2)2 9E indique la suma de factores primos.

a) 2x 6 b) 2x + 1c) 2x 8d) 2x + 8 e) 2x

6) Factorice: P(x) = ax(bx + a) + b2(x 1) + a2E indique un factor primo.

a) ax + b b) ax + a bc) bx + a + b

d) ax + a + b e) bx a +b

7) Factorice: P(x )= (x2 1)2 + (x + 1)(x 1) 12

E indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + 3 b) x2 + 3 c) x 2

d) x + 2 e) x + 1

8) Factorizar e indicar un factor primo:

a) 3x + yb) 3x y c) 7y + 6x

d) 7x + 6y e ) xy

9) Factorice sobre Q

E indicar la suma de sus factores primos lineales

a) xb) 2xc) 3xd) 4xe) 5x

Nivel B10) Factorizar el polinomio:

Y dar como respuesta la suma de coeficientes del factor de grado 3.

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

11) Factorice:

E indique uno de sus factores primos.

a) ax + a 2b b) ax + ac) ax 2b

d) ax + 1e) ax 1

12) Factorizar e indicar el factor primo cbico de:P(x) = x5 x4 + 2x2 2x + 1.

a) x3 + x + 1b) x3 + x2 + 1 c) x3 + x2 + x 1d) x3 x + 1 e) x3 x2 + 113) Factorizar:

F(a, b, c) = (a + b + c)2 + (a + b c)2+4c(a+b) 5(a+b+c)+2

E indique el factor primo de mayor trmino independiente

a) 2a + 2b + 2c + 1b) a + b + c 2

c) 2a + 2b + c 1d) a + b + c + 2

e) 2a + 2b + 2c 1

14) Factorizar:H(a,b,c) = 144a11b2 436a9b4 + 100a7b6E indicar el nmero de factores primos.

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

15) Factorizar: P(x) = x12 6x8 + 5x4 + 2x6 6x2 + 1

E indicar el nmero de factores totales:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6

16) Factorizar:

M(x,y) = (xy)(x3y)(x+4y)(x+6y) + 40y4

E indique el nmero de factores algebraicos.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

17) Factorizar:

G(x,y,z,w) = (3x + 2y + 3z)(9x + 6y + 7z + 4w)

+ 8z(w 2z)

E indicar el nmero de factores primos.

a) 2b) 4 c) 6d) 8e) 10

18) Qu polinomio no es factorizable?

a) x2 + 11x + 28 b) x2 + 4x 5 c) x2 4x + 3

d) x2 + 7x + 8e ) x2 7x + 6

19) Si la expresin : P(x) = 6x2 + px + b Se factoriza as: (ax 5 )(2x 1)Hallar: a p + b.

a) 8 b) 7c) 6d) 21e) 13

20) Sean : A = x2(x+ 3) y

B = x(4 x x2 )

C = y + x + 2

Indicar el nmero de factores primos lineales que origina: A + B + C.

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 0

IV) ASPA DOBLE: Nos permite factorizar polinomios de la forma:

Consiste en descomponer los trminos en x2 e y2, independientemente en dos factores cada uno de ellos, para luego efectuar los productos en aspa de dichos factores, la suma algebraica de estos trminos obtenidos debe verificar los tres trminos restantes, cuando esto ocurra los factores sern los que aparezcan en la 1era y 2da lnea.Esquema General:

Factorizar:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

mx py r

nx qy s

(i) (ii) (iii)

Donde debe cumplir:

i y ii : mqxy + npxy= bxy

ii y iii : psy + qry = ye

i y iii : msx+ nrx = dx

Los factores sern:

(mx + py + r)(nx + qy + s).

1) Factorizar: 6x2 + xy 2y2 + 9x y + 3.

Resolucin:

6x2 + xy 2y2 +9x y + 3

3x 2y 3 2x y 1 (i) (ii) (iii)

Entonces: (3x + 2y + 3)(2x y + 1)

2) Factorizar: 2x2 + xy 15y2 4x +10 y.

Resolucin: Completando.

2x2 + xy 15y2 4x +10y + 0

2x 5y 0 x 3y 2 (i) (ii) (iii)

Entonces: (2x5y)(x+3y2)Nivel A1) Factorice:

P(x,y) = 2x2 + 3y2 + 5xy + 13y + 9x + 4

E indique la resta de sus factores primos.

a) x + 2y 3 b) 2x + y + 1 c) x + y

d) x + y 2 e) x + 3y + 1

2) Factorice :

P(x, y) = (x + 2y)( x 2y) + 12y 9

E indique la suma de sus factores primos.

a) 2x b) 2x + 4y + 6 c) 2y 6

d) 2x + 6 e) 2x + 2y 6

3) Factorice :

P(x,y) = x4 3y2 2x2y + 2x2 2y + 1

E indique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 3b) 2c) 2d) 1e) 4

4) Factorice :

P(x,y,z) = x2 + 3xy +2y2 + 4xz + 7yz + 3z2

E indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + 2y + zb) x + y + 2z c) x + 2y + 3z d) x + y + 3z e) x + 2y + 2z

5) Despus de factorizar el polinomio :

P(x,y)=(x2+2x+1) + 3(x+1)y + 2y2 + 4(x+1)+3y5.

Indique la mayor suma de coeficientes de un factor primo.

a) 8 b) 4c) 9d) 2e) 11

6) Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos.

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5

7) Factorizar e indicar un factor primo :

a) 4y 5 b) 4y + 5 c) 2y + 3

d) 2y 3 e) x + y

8) Si P es un polinomio factorizable definido por:

Entonces un factor primo es.

a) x + y + 7 b) 5x 2y + 1 c) x y 7

d) 5x + 2y 1 e) x y + 7

9) Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones con respecto a este polinomio.

P(x) = x5 5x4 x3 + 16x2 11x + 2

I)Un factor primo es cbico de trmino independiente 2.

II)5x es un trmino de un factor primo.

III)3x es un trmino de un factor primo cuadrtico.

a) VVVb) VFFc) VVFd) FVFe) FVV

10) Seale un factor primo del polinomio :

; si los coeficientes a, b, c, d, e y f en ese orden son nmeros enteros consecutivos cuya suma es 27.

a) 2x 3y+ 4z b) x + y + z c) x + 2y + 3z

d)

ecuaciones trascendentales

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