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Funciones Trascendentales

Funciones Trascendentales

Veronica Briceno V.

noviembre 2013

Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 1 / 13

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Funcion Logaritmo Natural

Funcion Exponencial


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Funcion Logaritmo NaturalFuncion Exponencial


Funcion Logaritmo Natural

MAT021

y = ex ⇐⇒ x = ln(y)

DefinicionSea L :]0,+∞[→ R definida por:

L(x) =∫ x

1

dtt

Observacion

L(x) = ln(x)


Propiedades

1 ln(1) = 02 Si x > 0 entonces ln(x) > 03 Si 0 < x < 1 entonces ln(x) < 0

Demostrar usando definicion.


Teorema

Sean a,b ∈ R+ y r ∈ R se verifica:1 ln(a · b) = ln(a) + ln(b)2 ln(a

b ) = ln(a)− ln(b)3 ln(ar ) = r ln(a)4 ln(1

a) = − ln(a)Demostrar usando definicion.


Ejercicio Propuesto

Analizar la grafica de ln(x), para ello estudiar:crecimiento / decrecimientoconcavidad convexidad


Funcion Exponencial

DefinicionSea exp : R→]0,+∞[ definida por:

exp(x) = L−1(x)

Observacion

exp(x) = ex


Propiedades

1 exp(0)=12 exp(x) > 0, ∀x ∈ R



Teorema

Sean a,b, r ∈ R1 exp(a + b) = exp(a) · exp(b)2 exp(a− b) = exp(a)

exp(b)

3 exp(ra) = exp(a)r



Ejercicio Propuesto

Analizar la grafica de ex , para ello estudiar:crecimiento / decrecimientoconcavidad convexidad


Derivadas e Integral

Ya sabemos que:ddx (e

x) = ex

ddx (ln x) = 1

x∫exdx = ex + c


Ejercicios PropuestosEncontrar el valor de a ∈ R+ ∪ {0} de modo que se cumpla:∫ 2

1ln(ax)dx = 0

Justifica la desigualdad:

1n + 1

< lnn + 1

n<

1n

INDICACION:Dado n ∈ N existe x ∈ [n,n + 1] tal que 1

n+1 < 1x < 1

nDemuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:

x1 + x

< ln(x + 1) < x

Muestre que y = exp(x) es la unica funcion derivable que cumpley ′(x) = y(x) con y(0) = 1.



1ln(ax)dx = 0


1n + 1

< lnn + 1

n<

1n


n+1 < 1x < 1

n

Demuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:

x1 + x

< ln(x + 1) < x




1ln(ax)dx = 0


1n + 1

< lnn + 1

n<

1n


n+1 < 1x < 1

nDemuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:

x1 + x

< ln(x + 1) < x



Ejercicios Propuestos

Calcular para a > 1: ∫ a

1lnxdx +

∫ lna

0eydy

y dar una interpretacion geometrica de esta cantidad.

Muestre que si 0 < a < b entonces

√ab <

b − alnb − lna

<a + b

2

Muestre que la funcion

f (x) ={

e−1/t si t > 00 si t = 0

es C∞(R).


Ejercicios Propuestos

Calcular para a > 1: ∫ a

1lnxdx +

∫ lna

0eydy

y dar una interpretacion geometrica de esta cantidad.Muestre que si 0 < a < b entonces

√ab <

b − alnb − lna

<a + b

2

Muestre que la funcion

f (x) ={

e−1/t si t > 00 si t = 0

es C∞(R).


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