elipse
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Ecuaciones de una elipse
yo
Definición de la elipse
1 2 2d d a
Sea ‘d1’ la distancia de un puntoa otro punto llamado FOCO (F1),
Sea ‘d2’ la distancia de un puntoa otro punto llamado FOCO (F2),
Sea ‘a’ la distancia mayor de un vertice a otro punto llamadoCENTRO. (Radio Mayor)
ENTONCES LA ELIPSE ES EL LUGAR GEOMETRICO QUE SE DETERMINA POR TODOS AQUELLOS PUNTOS CUYA SUMA DE LAS DISTANCIAS D1 Y D2 ES CONSTANTES (LA MISMA) E IGUAL AL EJE MAYOR (EL EJE MAYOR ES DOS VECES EL RADIO MAYOR a)
Ecuación canónica de una elipse
a = Radio Mayor
b = Radio Menor
c = distancia del centro al foco
Se debe cumplir que
2 2 2a b c
c
ba
Ahora si la Ecuación canónica de una elipse
c
ba
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 2
2 2
15 4
125 16
x y
x y
Ejemplo simple
Ejercicio pa’ calentar
Determine la ecuación de la elipse cuyo foco es (-3, 0) y un vértice en (6,0)
De acuerdo a los datosse puede determinar
que a=6 y c=3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
6 3
6 3
3
27
6 9
27
9 3
3 3
a b c
b
b
b
b
b
b
b
2 2
2 21
x y
a b
2 2
136 27
x y
Y la gráfica
¿ Y si el centro de la elipse no es el origen?
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
2 2( 2) ( 2)1
36 16
x y
Ecuacióncanónica
Y como es la ecuación general
Expliquemos con un ejemplo: A partir de la canónica llegar a la general
2 2 0A x B y Cx Dy E
2 2( 1) ( 3)1
25 16
x y
2 2( 1) ( 3)1
25 1625 16
25
x y
216 ( 1)
25
x 25 16 2( 3)
16
y
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
( 1) ( 3)
( 2 1) ( 6 9)
16 32 16 25 15
25 16
0 225
16 25 32 150 1
16
6 225 400 0
16 25 32 150 15
25 400
16 25 400
400
9 0
x y
x x y y
x x y y
y
y
x x
x x y
y
Que pasa si el radio mayor esta sobre el eje y
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
b a
a = radio mayorb = radio menorh,k = las coordenadas del centro de la elipse
De la figura anterior pasar la ecuacióna la forma general
De la figura anterior pasar la ecuacióna la forma general
2 2( 6) ( 7)1 25 36
25 36
25
x y
236( 6)
25
x 25 36 2( 7)
36
y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
25 36
36 25 25 36
36 25 25 36
36 25
36
( 6) ( 7)
( 12 36) ( 14 49)
432 1296 350 1225 900
432 350 1296 1225 900 0
4
25
32 350 162136 25 0
x y
x x y y
x x y y
x y x y
x y x y
Pasar de la forma general a la forma canónica
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
432 350 1621 0
432 350 1621
36( 12 ) 25( 14 ) 1621
36( 12 ) 25( 14 ) 1621 36 36 25 49
36( 6) 25( 7) 900
36( 6) 25( 7) 900
900 900
36 25
36 4
900
( 6) ( 7)1
25 3
6 25
6
9
3
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
x y
Ecuación de la elipse2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
16 25 32 150 159 0
16 32 25 150 159
16 32 25 150 159
16( 2 ) 25( 6 ) 159 16 225
16( 2 ) 25( 6 ) 400
16( 1) 25( 3) 400
1 9
1 9
( 1) ( 3)1
25 16
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
Ejercicio, para trabajar individual en clase, no se puede parar ni hablar , ni
respirar
Para la ecuación dada, determine su centro, coordenadas de cadauno de los vértices, focos. Y realice un bosquejo de la elipse
Solución análitica
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
4 9 8 90 193 0
9 90 193
9( 10 ) 193
9( 10 25 ) 193 4 1 9 25
4 8
4( 2 )
4( 2 1 )
4( 1) 9( 5) 36
9( 5) 36
36 36
( 5)
4( 1)
36
( 1
9 4
)1
x y x y
y y
y y
y y
y
x x
x x
x x
y
x
x y
x
Ordenar las variables
Sacar factor comun
Completar el cuadrado y Balancear la ecuación
2 2( 1) ( 5)1
9 4
x y C (-1,5)
Comparando la ecuación2 9
9 3
a
a
2 4
4 2
b
b
b
a
c
2 2 2
2
2
2
9 4
9 4
5
5
a b c
c
c
c
c
Ejercicios de tarea, refáciles………
Determinar las ecuaciones (canónica y luegogeneral) de la elipse para cada uno de los siguientes casos, No olvide gráficar la solución
1. Vértices en (-3,2) y (5,4)2. Focos (3,-1) y (10,-1) radio menor =2 3. Centro (-1,-1), radio mayor=4, vértice (-1,1)4. Foco (6,0) y vértice (0,4)5. Foco(-4,0) centro (1,0) y radio menor=1
Ejercicios para que los hagan de verdad, si no como aprenden
Para cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es un elipse o una circunferencia.
Si es una circunferencia, determine su centro y su radio (graficar)Si es una elipse, determine sus radios, centro, focos y vértices(graficar)