Facultad de Arquitectura y Urbanismo (FAU)

Curso: Matemática

Tema: Desarrollo estadio “Free State”

Docente: Lic. Irma Luján

Fecha: 16/10/2010

Integrantes:

Barrios Asato José

Galarza Puertas Juan

Gómez Cadenas Carolina

Ortiz Mestanza Marylin

Torres Porras Geni

Pino Guzmán Mayda

Índice

A-Introducción

B- Elipse

1)-definición2) elementos3) ecuaciones4) ejemplos prácticos

C-Free State

D-Conclusión

Introducción

Las matemáticas que tanto problemas nos causa, que a veces ni le tomamos importancia, están en todos lados y aún más en lo que va a ser nuestro futuro, ARQUITECTURA, pues la podemos ver constantemente en los edificios, en la construcción de puentes, complejos deportivos, etc…

El tema que se nos mando a investigar y el cual vamos a tratar es la elipse cuyas propiedades cumplen ciertos patrones que son muy usados en el diseño y la construcción.

Podemos observar que es un elemento matemático muy usado para el diseño de elementos decorativos o mobiliarios como bandejas, mesas……Pero también han sido usados en la arquitectura para la construcción de estadios deportivos.

Justamente este es el tema a tratar en la cual se nos ha asignado uno de los estadios de uno de los eventos del deporte más importante en la última década como ha sido el Mundial Sudáfrica 2010, en el cual hemos podido apreciar la magnitud de este evento y su influencia en los diferentes ámbitos de la ciencia que trae consigo la mejora en la arquitectura de cada uno de los estadios que fueron escogidos como sede.

Aqui hablaremos sobre uno de ellos, el cual es nada menos que el estadio Vodacom Park(Free State) , ubicado en la ciudad en la provincia de Estado Libre, ciudad Bloemfontain, Sudáfrica.

La elipse

1)-Definición:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es igual a una constante positiva. Esos puntos fijos son llamados focos.

2)-Elementos de la elipse:

-Focos:

y que son los puntos fijos

-Eje focal:

Es la recta que pasa por los focos.

-Vértices:

Puntos V 1y V 2, donde el eje focal corta a la elipse.

- M:

Centro.

-Eje normal:

La recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal.

-Eje mayor:

Es el segmento V 1V 2=2a

-Eje menor:

Es el segmento B1B2=2b

-Lado recto:

Los segmentos LR y LR’

-Cuerda focal:

Segmento EP

-Diámetro:

Segmento TH

-Radio focal:

F1N y F2G

-Directrices:

D´1D´2 y D1Dalignl¿ 2 ¿¿¿.

-Excentricidad:

Es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

e= ca

,con 0<e<1

Dado quec=√a2−b2, también vale la relación:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

3)-Ecuaciones de la elipse:

3.1) FORMAS CANÓNICAS

A-Ecuación de la elipse de centro el origen y eje focal el eje x:

E :x2

a2+ y

2

b2=1

-Donde:

“a” es la longitud del semieje mayor.

“b” es la longitud del semieje menor.

Focos: F1(-c, 0) y F2(c, 0)

-Sus elementos son:

*los vértices de la elipse son V 1(-a, 0) y V 2(a,0)

*los extremos del eje menor son B1(0,-b) y B2(0,b)

*lado recto=2b2

a

*excentricidad e=ca<1

*los focos F1(-c, 0) y F2(c,0)

*ecuación de la directriz x=± a2

c

B-Ecuación de la elipse de centro del origen y eje focal al eje y:

E :x2

b2+ y

2

a2=1

-Donde

“a” es al longitud del semi eje mayor

“b” es la longitud del semieje menor

Las coordenadas de los focos F1(0,-c) y F2(0,c)

-sus elementos son:

*los vértices son V 1(0,-a) y V 2(0,a)

*los extremos del eje menor son B1(-b,0) y B2(b,0)

*los focos F1(0,-c), F2(0,c)

*excentricidad e=ca<1

*ecuación de la directriz y=± a2

c

*lado recto =2b2

a

3.2) FORMAS ORDINARIAS

A-Ecuación de la elipse de centro el punto c (h,k) y eje focal paralelo al eje X

E :( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

Donde:

Los vértices son V 1(h-a,k) y V 2(h+a,k) y los focos los puntos F1(h-c,k) y F2(h+c,k)

Sus elementos son:

*los vértices de la elipse son: V 1(h-a,k), V 2(h,a+k)

*los extremos del eje menor son B1(h,k-b) ,B2(h,k+b)

*los focos F1(h-c,k), F2(h+c,k)

*lado recto 2b2

a

*excentricidad e=ca<1

*ecuación de la directriz: x=h± a2

c

B-Ecuación de la elipse de centro el punto c (h,k) y eje focal paralelo al eje Y

E :( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

Donde:

“a” es al longitud del semi eje mayor

“b”es la longitud del semieje menor

Los puntos fijos son F1(h,k-c) y F2(h,k+c)

Sus elementos son :

*vértices V 1(h,k-a) y V 2(h,k+a)

*los focos son F1(h,k+c) y F2(h,k+c).

*los extremos del eje menor son B1(h-b,k) y B2(h+b,k)

*lado recto=2b2

a

*la excentricidad e=ca<1

La ecuación de al directriz y=k ± a2

c

3.3) ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

A x2+B y2+Cx+Dy+E=0

La ecuación representa una elipse sí y solo sí los coeficientes Ay B tiene el mismo signo,

entonces en este caso es la forma general de la elipse.

Esta ecuación se puede reducir a la forma ordinaria de la elipse y se obtiene

completando cuadrados. De esa forma quedara de esta manera:

(x+ C2 A )

2

BM+( y+ D2B )

2

AM=1

3.4) Otra ecuación:

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

4)-Ejemplos prácticos:

1- En la elipse de ecuación 25 x2+16 y2=400.hallar el perímetro del triángulo FF´P,

siendo F y F´ los focos y P un punto cualquiera distinto de los vértices.

Resolución:

Como 25 x2+16 y2=400, entonces x2

16+ y

2

25=1, de donde a²=25,b²=16 de esto se

deduce que a=5 y b=4.

Como c² = a²-b² =25-16=9, entonces c=3.

El perímetro del triángulo F´FP es d(F´,P)+d(F,P)+d(F´F)=P

Pero:

d(F´,P)+d(F,P)=2ª,por definición de elipse

d(F´F)=2c distancia focal.

Luego el perímetro =2ª+2c como a=5 y c=3

Por lo tanto P=10+6016 unidades.

2-hallar la ecuación de la elipse en la que 2a =5 ,2b=2 ,el eje focal en la recta X+y =0,

el eje menor en al recta x-y =0.

Resolución:

Sea E :x´ 2

a2+ y ´

2

b2=1

Entonces 4 x ´2

5+ y ´ 2=1

E: 4x´²+5y´²=5

Donde x´=d(P,L1 )=|x− y|2 e y´=

|x+ y|2

Reemplazando E:4 ( x− y2 )2

+5( x+ y2 )2

=5

Simplificando se tiene:

E: 9x²+9y²-2xy-10=0

FREE STATE STADIUM

UBICACIÓN:

Estadio Vodacom Park(Free State) , ubicado en la ciudad en la provincia de Estado Libre, ciudad Bloemfontain, Sudáfrica.

FORMA

El diseño está basando en una olla tradicional africana llamada la calabaza, dijo Damon Lavelle, director a cargo de populosos. "El bote, en un sentido, se sienta en el pozo y eso es lo que normalmente se ve en un África encuentro", dijo Lavelle.

1. El estadio de las paredes exteriores curvos están revestidos en tonos tierra para parecerse a las ollas de arcilla. Por la noche, el brillo de un anillo de luces en la parte inferior de la estructura da la apariencia de una comida se prepara en un fuego abierto. Ranuras verticales ventana en el exterior de la construcción del punto en la dirección de los otros nueve lugares de la Copa Mundial. La forma de este estadio en gran medida concreta se inspira en los locales del árbol Baobab... El estadio, que tiene un exterior que se cubre con reducción de ruido... Las formas dominantes de transporte del vehículo privado y el taxi minibús...El renovado estadio Free State en la ciudad de Bloemfontein en el fondo...con grandes vigas de color naranja con forma de jirafa-hacia el exterior en su exterior

2. El Free State Stadium es muy elegante y ha sido actualizado con total...Shweeb es una forma innovadora de transporte alternativo que pone...exterior y un interior thermogenerator integrado que convierte el calor

Dentro de Soccer City, de color negro asientos formar líneas verticales entre un mar de asientos de color naranja para conseguir el efecto mismo diseño que las ventanas exteriores. Una línea 10 de los puntos de asientos negro a Berlín, la ciudad sede para el Mundial 2006 final de la Copa Lavelle, dijo.

El Soccer City reconstruir aumentado considerablemente la cantidad y calidad de los espacios de hospitalidad para dar cabida a los requisitos de la FIFA. El 30 a 40 palcos originales fueron destruidas y dos niveles de 256 nuevas suites se construyeron en los anillos alrededor del estadio. En el ámbito privado en primer lugar, un 5,000 pies cuadrados bajo techo del club, nuevos soportes de 600 plazas del club y presidente de la FIFA de la caja.

Las líneas de asientos de color negro dentro de Soccer City apuntan a otras sedes de la Copa Mundial.

El estadio reconstruido será utilizada por el fútbol local y los equipos de rugby después de la Copa del Mundo, Lavelle, dijo.

'Papel populosos no era tan amplia para nuevo estadio de Mbombela, se estima que 120 millones dólares en el proyecto de I + L Arquitectos de Ciudad del Cabo fue el arquitecto de registro, dijo.

El estadio de 46.000 asientos, está cerca del Parque Nacional Kruger, un destino de safari de la fauna. El sitio inspirado en L y R para uso de los directores de la jirafa como un símbolo abstracto para el diseño del estadio. Una serie de antenas de la celebración de la cubierta del techo en lugar de traer a la memoria a largo cuello de la jirafa, de acuerdo con Lavelle

AFORO

Hogar de uno de los grupos de aficionados más apasionados del país, el estadio Free State está llamado a ser el principal centro de atención de la Copa Mundial de la FIFA. Aggiornado para la Copa FIFA Confederaciones, fue sede la semifinal entre España y Estados Unidos, que se saldó con la victoria de los norteamericanos en el resultado más sorpresivo del torneo. Construido en 1952

Durante su remodelación, que implica la construcción de un segundo graderío en la zona oeste, la capacidad del estadio, que ha sido escenario de grandes encuentros de fútbol y rugby, las dos grandes pasiones de la ciudad de Bloemfontein, aumentó de 38,000 a 45,000 espectadores. Vale aclarar que con al crecimiento del Bloemfontein Celtic, la popularidad del deporte rey ha crecido exponencialmente. Sus simpatizantes son conocidos como Siwelele, un término en idioma Sotho.

ILUMINACION

Cabe resaltar que cuando se diseña la iluminación para una instalación deportiva, no sólo se debe tener en cuenta las necesidades de los deportistas y árbitros, sino también debe considerarse al público en general es decir espectadores y televidentes.

La iluminación representa menos del 1% presupuesto del estadio, pero determina el 99% del efecto observado en la televisión.

La nueva óptica desarrollada permite un 10% más de luz y menos luminarias a utilizar, con lo cual obtenemos ahorro en: costos, energía y mantenimiento.

SISTEMA CONSTRUCTIVO DE ESTADIO FREE STATE

Construccion: actuializada media

El estadio Free State fue construido en el año 1952 y de copa Mundial de Rugby en 1995 y la Copa Africa Africana de Naciones al año siguiente, en estadio fue sujeto por un programa de renovacion valuado en $33 millones de dólares para el 2010, lo cual elevó su capacidad, anteriormente de 38.000, a 45.000 asientos. Y su construccion finalizada fue en año 2008.

un programa de renovación valuado en Incluyó una fina adicional de asientos en las gradas del este, nuevos molinetes y pantalla gigante, CCTV y un sistema de sonido y luces mejorado.

Tecnólogo y constructor activo desde 1986, Ernesto Ocampo Ruiz es profesor y tutor adscrito a los Programas de Posgrado de Diseño Industrial; de Desde 1996, investiga y

asesora sobre Materiales Avanzados y Emergentes en la Arquitectura. En 2001, fue galardonado con la Presea "El Registro" del Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, entregada a "los profesionales más destacados en la actividad de la investigación, la enseñanza y las aplicaciones del cemento y del concreto".

Aire Acondicionado Termoeléctrico Solar & otras Aplicaciones Arquitectónicas Termoeléctricas.

Construir un sistema de estado sólido, totalmente auto - accionado por el Sol, basado en los efectos termoeléctricos Seebeck y Peltier para la refrigeración y ventilación dentro de espacios arquitectónicos, mediante la cosecha de la luz solar y transformándo directamente su energía térmica en aire frío, impulsando así la investigación y el desarrollo de futuras aplicaciones arquitectónicas termoeléctricas que el mundo necesita.

Los espacios fundamentales se sitúan en la primera planta, la cual sigue la tipografía del terreno y por tanto cambia de alturas de manera constante. Esta “cinta autoenvolvente” genera en su centro un amplio patio que entrega conexión directa al exterior, tanto a las salas de aprendizaje como a las unidades de enfermería.

ESTRUCTURAS E INTUICIÓN Es evidente que sólo el estudio serio de la matemática y de las ciencias físicas permitirá a un proyectista analizar una estructura compleja con el grado de perfeccionamiento exigido por la tecnología moderna.El Ingeniero estructural de nuestros días es un especialista entre especialistas, Integra un subgrupo entre los ingenieros civiles. Con el desarrollo de nuevas tecnologías, inclusive los especialistas en estructuras se especializan: en la actualidad, algunos ingenieros de estructuras, se especializan en hormigón armado, otros, sólo en techos de hormigón armado, otros, por último, sólo en techos de una forma particular.

Se recurre a estos especialistas en busca de asesoramiento sobre un tipo determinado de estructura, tal como se consultaría a un especialista ante un tipo raro de enfermedad. Pero es evidente, también, que una vez establecidos los principios básicos del análisis estructural, no hace falta un especialista para comprenderlos sobre una base puramente física.

Una vez captados los fundamentos, el arquitecto debe llegar a dominar los puntos más sutiles de la teoría de las estructuras. Esto le permitirá aplicar con inteligencia una gran cantidad de nuevas ideas y métodos, desconocidos hasta hace pocos años, aún para los grandes arquitectos.

Esta nueva disponibilidad y libertad de ideas y métodos presenta un peligro evidente. El arte se nutre de las limitaciones; la libertad puede llevar fácilmente a la anarquía. Hoy es posible construir casi cualquier estructura, y por esto el arquitecto se ve menos coartado por las dificultades técnicas; quizá se deje arrastrar hacia el mundo de las más injustificables estructuras. Lo que sigue es un intento de Introducir al lector en el campo de las estructuras, sin recurrir a un conocimiento formal de matemática o física. Esto no quiere decir que trataremos las estructuras de manera elemental, incompleta o simplificada.Este mejor conocimiento del comportamiento de las estructuras conducirá al estudiante interesado a una mejor comprensión de los puntos más delicados del diseño estructural.

TIPOS DE ACCIONES O CARGAS

Acciones verticales

Acciones permanentes: Son aquellas debidas al peso propio de la estructura y de todos los materiales constructivos soportados por ella en forma permanente.

Acciones variables: Son las debidas a la ocupación o uso habitual de la estructura.

Acciones accidentales

Acciones del viento: Son las producidas por las presiones y succiones que el viento origina sobre las superficies de las edificaciones.

Acciones del sismo: Son las producidas por los movimientos del terreno originados por los sismos.

Acciones adicionales Acciones por líquidos: Son las producidas por la presión perpendicular a

la superficie de la edificación.Acciones por tierra: Son las producidas por el empuje de la tierra sobre la

estructura de contención.Acciones térmicas: Son las producidas por las deformaciones que originan

los cambios de temperatura.

Acciones por asentamientos diferenciales: Son las producidas por las deformaciones originadas por los asentamiento diferenciales que se pueden originar en las edificaciones.

Acciones por fluencia o por retracción: Son las producidas por las deformaciones que se originan por la fluencia o la retracción en los elementos de concreto armado.

Tipos de fuerzas internas

Las cargas originan en los elementos estructurales uno o varios de estos tipos de fuerzas:

1..-Fuerza Axial. Se divide en dos tipos:

a. Tracción: Fuerza que tiene la tendencia a estirar los elementos. b. Compresión: Fuerza que tiene la tendencia a comprimir los elementos.

2.-Fuerza de Corte: Fuerza que tiene la tendencia a cortar o deformar angularmente los elementos.

3.Momento de Flexión: Momento que tiene la tendencia a flexionar o doblar los elementos.

4.Momento de Torsión. Momento que tiene la tendencia a torsionar o torcer los elementos.

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES En las estructuras arquitectónicas se emplea una gran diversidad de materiales: piedra y mampostería, madera, acero, aluminio, hormigón armado y pretensado,

plásticos. Todos ellos poseen en común ciertas propiedades esenciales que les permiten resistir cargas. (Salvadori, 33;1)

Elasticidad

Se dice que un material cuya deformación cesa con la desaparición de las cargas, se comporta de manera elástica. Todos los materiales estructurales son elásticos en cierto grado. Si no lo fueran y quedara en la estructura una deformación residual una vez retiradas las cargas, nuevas cargas incrementarían por lo general dicha deformación y la estructura quedaría por último inutilizada.

Por otra parte, ningún material estructural es perfectamente elástico, según el tipo de estructura y la índole de las cargas, las deformaciones permanentes son inevitables cuando las cargas sobrepasan ciertos valores.

En gran parte los materiales estructurales no sólo son elásticos: dentro de determinados límites, son linealmente elásticos: la deformación es directamente proporcional a la carga. La mayor parte de los materiales estructurales se usan casi exclusivamente dentro de su rango de proporcionalidad.

Los materiales que se usan para fines estructurales se eligen de manera que se comporten elásticamente en las condiciones ambientales y conforme al tipo de carga que cabe esperar durante la vida de la estructura.

En el comportamiento elástico se distinguen dos aspectos:

1.Limite Elástico:

Es el esfuerzo unitario a partir del cual, las deformaciones aumentan con mayor rapidez que las cargas aplicadas, dejando de tener un comportamiento elástico.

2.Cedencia:

Bajo cargas constantes el elemento se deforma, es el indicio más evidente y una buena advertencia, de que la rotura es inminente.

A nivel de los laboratorios de materiales se pueden realizar pruebas prácticas que

permiten elaborar gráficos relacionando deformaciones medibles, como alargamientos

porcentuales por unidad de longitudε, con fuerzas aplicadas a nivel de esfuerzos unitarios;

estos gráficos varían, por supuesto, de acuerdo a las características del material

ensayado aportando información precisa sobre su resistencia.

Robert Hooke estableció en el año de 1676, en Inglaterra, ut tensio sic vis. que significa "como sea la deformación así será la fuerza..." es decir que los esfuerzos o aplicados son directamente proporcionales a las deformaciones producidas, esa afirmación, la cual se

conoce como la Ley de Hooke, se puede comprobar mediante ensayos que es válida hasta un cierto grado. Esta ley que se puede expresar matemáticamente por la siguiente expresión, define el lapso elástico de un material.

Plasticidad

Es la propiedad que puede tener un material, mediante la cual una fuerza puede deformarse de forma permanente antes de llegar a romperse.Todos los materiales estructurales se pueden comportar plásticamente al sobrepasar el Límite de Elasticidad.

Los materiales estructurales se comportan de manera plástica más allá de su límite de elasticidad, la carga a la cual el material comienza a comportarse de manera claramente plástica se denomina carga de cedencia.

Módulo de Elasticidad

Años después de la afirmación de Hooke, otro estudioso del comportamiento de los materiales llamado Young, establece la existencia de un valor constante para los diferentes materiales. Se habla así del Módulo de Young, que implica que materiales idénticos sufren iguales deformaciones bajo los mismos esfuerzos.

El Módulo de Young, también llamado Módulo de Elasticidad, representa el grado de rigidez de un material frente a esfuerzos axiales y flectores, independientemente de la forma, tamaño y vínculos de unión del elemento o pieza que conforme. Matemáticamente es el cociente de la división de un esfuerzo unitario entre una deformación unitaria. De esta forma el Módulo de Elasticidad se define como la pendiente de la recta que inicialmente se forma en un gráfico de esfuerzo - deformación.

Sometido a tracción, el acero es más rígido que el aluminio. La medida de esta rigidez es el módulo de elasticidad. Para el acero el módulo de elasticidad es 21200 kgf/mm2 y el del aluminio es 7030 kgf/mm2.

Los materiales estructurales modernos, tales como el acero, son isotrópicos, es decir que su resistencia no depende de la dirección en la cual se aplican las cargas. La madera, en cambio, tiene distintas resistencias en la dirección de la veta y en la dirección perpendicular a aquélla.

Fragilidad y Ductilidad

Los materiales proporcionalmente elásticos hasta la rotura, tales como el vidrio y algunos plásticos, no son aptos para fines estructurales. No pueden dar signo alguno de la rotura inminente; además, a menudo son frágiles y se desmenuzan bajo la acción del impacto.

Al exceder la capacidad de deformación elástica de un material, se eliminan los enlaces atómicos del mismo ocasionando su rotura.

1. De forma dúctil.2. De forma frágil.

Cuando un material falla de forma dúctil, se deforma plásticamente ocurriendo su rotura, pero sólo después de que el material ha absorbido cierta cantidad de energía; de manera práctica se evidencia cuando se dobla sucesivamente un trozo de alambre fino al notar un incremento de su temperatura antes de romperse. Este tipo de falla reviste importancia en fuerzas de relativa corta duración pero de gran intensidad como por ejemplo en caso sísmicos, por ello se prefiere los materiales dúctiles sobre los frágiles para el uso de estructuras.

Esfuerzos

Todos los materiales estructurales pueden desarrollar esfuerzos de compresión. Algunos, como el acero, resisten en igual forma esfuerzos de tracción y de compresión. Otros, como la piedra o el hormigón o concreto, muestran diferentes resistencias a los distintos esfuerzos; su uso se limita necesariamente a cargas y formas que no desarrollen esfuerzos de tracción. Los materiales capaces de resistir tracción resisten también, por lo común, esfuerzos de corte; en cambio, los que sólo resisten esfuerzos de compresión no poseen gran resistencia al corte. A los fines de seguridad, reviste suma importancia conocer las tensiones a las cual es un material comenzará a ceder. Por lo común se supone que los esfuerzos prudentes son una fracción de los del punto de cedencia.

Conclusión

Luego de haber visto la importancia de la matemática en la vida real y cotidiana; y a la vez habernos impresionado con la belleza del estadio Vodacom Park, caemos en la cuenta de que en la actualidad y siempre nuestra carrera esta muy bien ligada a la matemática.

Pero también nos hemos dado cuenta de como el manejo de las proporciones ayudan a embellecer el diseño y la composición de nuestra arquitectura y que los elementos matemáticos contribuyen a que sea posible su construcción.

BIBLIOGRAFIA:

*GEOMETRIA ANALÍTICA (R.FIGUEROA)

*GEOMETRIA ANALÍTICA(EDUARDO ESPINOZA)

*GEOMETRIA ANALÍTICA (JOSEPH H. KINDLE)

www.wikipedia.org.com

www.FIFA.com

http://starscene.dailystar.com.lb/fifa-world-cup-2010-competition-fantasy-football/venues/

free-state-stadium/