4. la elipse

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1

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PROPÓSITO DE LA CLASE

Define e Identifica elementos de laelipse y sus correspondientesecuaciones.

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PLIC CIONES Y CONSTRUCCIONES

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NUEVO PUENTE GIRALDEZ

3,20 m

3,20 m

26 m


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Es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal maneraque la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es

siempre igual a una constante 2a.

P

x

y

F2F1

PF1 + PF2 = 2a

DEFINICION

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE

L1 L2LN

V1 V2F2F1

B2

B1

E2

E1

P

D2

D1

L1 y L2 : Ejes directrices

LF : Eje focal

LN : Eje normal

0 : centro de la elipse

V1 y V2 : Vértices

F1 y F2 : Focos

N1N2 : Lado Recto

E1E2 : Cuerda focal

0 LF

N2

N1

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RELACIONES FUNDAMENTALES

Se tiene:

Longitud del eje mayor : V1V2 = 2a

Longitud del eje menor : B1B2 = 2b

Longitud del segmento focal: F1F2 = 2c

V1 V2F2F1

B2

B1

0

01 02

La relación entre a, b, c es:

a2 = b2 + c2

(c, 0)

a

c

b

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V1 V2F2F1

B2

B1

0

N2

N1

03 04

Un elemento importante de la elipse essu excentricidad que se representa por

“e” y se define así:

La longitud del lado recto es:

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L1 LN

V1 V2

L2

0 D1 D2

La distancia entre las rectas directrices es:

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ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA

L1 L2

V1 V2F2F1

B2

B1

C(0;0)

y

x

Las ecuaciones de sus directrices son: Además:

a) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje “X”

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ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANÓNICA

b) Elipse de centro en el origen y eje focal el eje “Y”

V1

V2

F2

F1

B2B1 C(0;0)

y

x

L1

L2

Las ecuaciones de sus directrices son:

Además:

Centro:

Focos:

Vértices:

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Ejemplos

1. En cada una de las ecuaciones:

a) 9x2 + 4y2 = 36

b) x2 + 4y2 = 16

Hallar:

i) Las coordenadas de los vértices. ii) Las coordenadas de los focos.

iii) La longitud del eje mayor. iv) La longitud del eje menor.

v) La excentricidad vi) La longitud del lado recto.

vii) Las ecuaciones de las directrices.

2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos: (4 ; 0) y

( – 4 ; 0); y cuyos focos son los puntos (3 ; 0) y ( – 3 ; 0).

3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (0 ; 6) y(0 ; – 6); y cuyos focos son los puntos (0 ; 4) y (0 ; – 4)

4. Un techo de 20m de ancho tiene la forma de una semielipse. ¿cuál es la

altura del techo a 4m de las paredes laterales, si éste tiene una altura de

18m en el centro y de 12m en las pardes

1

2

3

4

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Aplican Propiedades en resolución deejercicios sobre la elpse.


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ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA O ESTÁNDAR

x

a) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “X”

L1 L2

V1 V2F2F1

B2

B1

C (h;k)

y

k

h

Las ecuaciones de sus directrices son: Además:

Centro:

Focos:

Vértices:

Ó

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ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA

b) Elipse de centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje “Y”

V1

V2

F2

F1

B2B1 C (h;k)

y L1

L2

Las ecuaciones de sus directrices son:

Además:

x

Centro:

Focos:

Vértices:

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ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL

Representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados , o

bien un punto o no representa ningún lugar geométrico real.

Ejemplo: La ecuación x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, determine si la

elipse tiene su eje focal paralelo al eje X o Y

Si los coeficientes A y C son del mismo signo

La ecuación:

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Ejemplos

1. Dado las siguientes ecuaciones:

a) 9x2

+ 4y2

– 8y – 32 = 0b) 4x2 + 9y2 + 32x – 18y + 37 = 0

c) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 40 = 0

d) x2 + 4y2 + 2x + 17 = 0

Diga si son elipses o no. Si son Elipses, hallar:

i) Las coordenadas de su centro.

ii) Las coordenadas de los vértices.

iii) Las coordenadas de los focos.

iv) La longitud del eje mayor.

v) La longitud del eje menor.

vi) La excentricidad

vii) La longitud del lado recto.viii) Las ecuaciones de las directrices.

2. Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto P(-4; 3) y cuyos

focos son F1 = (-1; 3) y F2 = (-1; -1)

1

2

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ECUACIÓN DE UNA ELIPSE EN POSICIÓN NOORDINARIA

Se dice que una elipse está en posición no ordinaria cuando sus ejesfocal y normal son dos rectas oblicuas, entonces su ecuación tiene la

forma de la ecuación cuadrática:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde A, B, C, D, E y F son constantes, con A, B y C no nulos.

Las relaciones entre a, b y c en una elipse, así como la definición de

cónica y la definición clásica dadas para hallar su ecuación en posición

ordinaria, son todas aplicables para este caso.

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Tangente a una elipse

La tangente a la elipse:

en cualquier punto

de la curva, tiene por ecuación:

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Tangente a una elipse

Las ecuaciones de las tangentes de pendiente “m” a la elipse

Son:

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse,

sabiendo que la pendiente de las rectas es -1.

Ejemplo

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Aplica las ecuaciones de la elipse enproblemas de su entorno.

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Ejercicios de Aplicación

Dada la ecuación12 + 20 − 12 + 40 − 37 = 0

determina:

A) La ecuación estándar de dicha cónica.

B) Su excentricidad.

1

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Un arco tiene la forma de una semielipse.¿Qué tan ancho es el arco a una altura de 6m

sobre la base, si éste tiene 32m de ancho en

la base y una altura de 12m?

2

Ejercicio

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Determina la ecuación estándar de la elipseque pasa por el punto P= (-4; 3) y cuyosfocos son F1(-1, 3) y F2(-1, 1)

3

Ejercicio

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Determina la ecuación estándar y la longituddel eje menor de la elipse cuyos vértices

son los puntos V1= (6; 1) y V2 = (-2; 1)

y pasa por el punto P = (2; 3)

4

Ejercicio

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29/34

Una elipse de eje paralelo al eje de abscisas, pasapor el punto (6, 0) y tiene sus vértices en la

circunferencia de ecuación

x2 + y2 – 8x + 4y – 5 = 0

y es concéntrica con ella. Determine su ecuación.

5

Ejercicio

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6

Ejercicio

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7

Ejercicio

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32/34

Un techo de 20m de ancho tiene la forma de una

semielipse. ¿Cuál es la altura del techo a 4m de las

paredes laterales, si éste tiene una altura de 18m en el

centro y 12m en las paredes?.

8

Ejercicio

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Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse.

Determine su centro, los radios, los vértices, los focos y la

excentricidad de la cónica y trace su gráfico.

+ 4 − 6 + 20 − 2 = 0

9

Ejercicio

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34/34

Encuentre su centro, vértices y focos de la elipse

9 + 25 − 36 − 50 + 60 = 0

10

Ejercicio

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