EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

APLICADO A PROBLEMAS

ELECTROMAGNETICOS EN EL DOMINIO

DE LA FRECUENCIA

Ruben Otın

CIMNE (Barcelona)e-mail: rotin@cimne.upc.edu

12 de junio de 2006

Indice general

1. Fundamentos de la teorıa electromagnetica 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Medios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia . . . . . . 6

1.4.1. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2. Ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Calculo de E y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1. Conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Conductor imperfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Condiciones de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Condiciones de contorno absorbentes . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Analisis MEF-FD en dos dimensiones 122.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Formulacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2. Formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3. Formulacion variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Analisis mediante el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.5. Resolucion de sitemas lineales en variable compleja . . . . 14

2.3. Polarizacion-Ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Calculo de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3. Conductor imperfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5. Guıa de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Polarizacion-Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1. Calculo de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2. Conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3. Conductor imperfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.4. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.5. Guıa de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

3. Analisis MEF-FD en tres dimensiones 213.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Formulacion para el analisis MEF-FD . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1. Formulacion con potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2. Formulacion con ecuaciones de primer orden . . . . . . . 223.2.3. Formulacion con ecuaciones de segundo orden . . . . . . . 22

3.3. El problema de las soluciones espureas . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1. Principales soluciones al problema . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. El verdadero origen de las soluciones espureas . . . . . . . 24

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Capıtulo 1

Fundamentos de la teorıaelectromagnetica

1.1. Introduccion

En este capıtulo se revisaran brevemente los fundamentos de la teorıa electro-magnetica clasica. Presentaremos formalmente las ecuaciones y las magnitudesfısicas involucradas en el analisis de los problemas electromagneticos, ası comola forma que adquieren estas ecuaciones cuando trabajamos en el dominio de lafrecuencia.

Unicamente se revisara la parte de la teorıa electromagnetica que usaremosen los desarrollos de los capıtulos siguientes, por lo tanto, si se desea ampliarla informacion relativa a los fundamentos de la teorıa electromagnetica se re-comiendan los libros [63, 49, 59, 47]. Para un analisis mas avanzado, con apli-caciones especıficas en el dominio de la frecuencia, se recomiendan los textos[4, 18, 9, 23].

1.2. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones diferenciales que determinan,junto con unas adecuadas condiciones de contorno, los campos electromagneticosproducidos por una distribucion de cargas y corrientes. Pueden ser formuladasusando el lenguaje de las formas diferenciales [8], pero es mas comun verlasexpresadas en el lenguaje del analisis vectorial. Escritas como ecuaciones dife-renciales en la forma de Mikowski las ecuaciones de Maxwell son:

∇×E +∂B∂t

= 0 (1.1)

∇×H− ∂D∂t

= J (1.2)

∇ ·D = ρ (1.3)∇ ·B = 0 (1.4)

Donde:

3

E: campo electrico (volt/metro).

D: desplazamiento electrico o induccion electrica (coulomb/metro2).

B: densidad de flujo magnetico o induccion magnetica (weber/metro2).

H: campo magnetico (ampere/metro).

J: densidad de corriente (ampere/metro2).

ρ: densidad de carga (coulomb/metro3).

Cada una de estas ecuaciones representa una generalizacion de ciertas observa-ciones experimentales:

(1.1) Representa la ley de Faraday de la induccion.

(1.2) Incluye la ley de Ampere para la fuerza entre corrientes mas los efectosmagneticos de la materia, ademas de poder deducirse a partir de ella laley de la conservacion de la carga.

(1.3) Resume la ley de Coulomb de la fuerza entre cargas mas los efectos electri-cos de la materia.

(1.4) Es una consecuencia de la ley de Ampere de la fuerza entre corrientes ypone de manifiesto la no existencia de monopolos magneticos.

En principio, se admite que estas ecuaciones son siempre validas, y que, cualquiersolucion que las satisfaga, para una distribucion de cargas y de corrientes masunas condiciones de contorno dadas, es un posible campo electromagnetico.

Tenemos que tener en cuenta que, las ecuaciones de Maxwell, no son masque la expresion matematica de ciertos resultados experimentales y, bajo estascircunstancias, no pueden demostrarse; sin embargo, su aplicabilidad sı puedeverificarse experimentalmente. Por ello, como resultado de un extenso trabajoexperimental, se considera que se pueden aplicar a casi todas las situacionesmacroscopicas y son usadas como principios guıa en forma semejante a como seusa la conservacion de la cantidad de movimiento.

1.2.1. Ecuacion de continuidad

A partir de (1.2), (1.3) y la identidad:

∇ · (∇×H) = 0 (1.5)

valida para cualquier campo vectorial continuo con primera derivada continua,podemos deducir otra ecuacion importante:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0 (1.6)

conocida como la ecuacion de continuidad y representacion matematica del prin-cipio de conservacion de la carga.

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1.3. Relaciones constitutivas

Las ecuaciones (1.1 a 1.4) forman claramente un sistema indefinido, dondeel numero de incognitas supera al de ecuaciones. Para que las ecuaciones deMaxwell se vuelvan definidas, tendremos que conocer las relaciones constitutivasentre los campos. Las relaciones constitutivas relacionan pares de vectores decampo con la descripcion de la materia:

D = εoE + P (1.7)

H =Bµo

−M (1.8)

Donde:

P : polarizacion (coulomb/metro2).

M : magnetizacion (ampere/metro).

εo : permitividad electrica del vacıo ( 136π · 10−9farad/metro).

µo : permeabilidad magnetica del vacıo (4π · 10−7henry/metro).

P = P(E, r, t) y M = M(B, r, t) son funciones de los campos, de la posiciony del tiempo y caracterizan a los materiales presentes en el dominio de es-tudio. Estas funciones no pueden ser predichas por la teorıa electromagneticamacroscopica, pero sı las admite como informacion externa. La determinacionde estas relaciones se deja a la experimentacion o para ser calculadas en formateorica a partir de modelos microscopicos de la materia.

Para que la descripcion de la materia sea completa hay que anadir unatercera ecuacion constitutiva: J = J(E, r, t), que tambien ha de ser conocida,experimental o teoricamente, y representa las corrientes inducidas sobre los con-ductores.

1.3.1. Medios lineales

Cuando los materiales presentes sean lineales, es decir, P ∝ E, M ∝ B yJ ∝ E, podremos simplificar estas expresiones hasta obtener:

D = εE (1.9)B = µH (1.10)J = σE (1.11)

Donde:

ε : permitividad electrica (farad/metro).

µ : permeabilidad magnetica (henry/metro).

σ : conductividad electrica (siemens/metro).

Estos parametros caracterizan complementamente a los materiales presentes.Son tensores en medios anisotropos y escalares en medios isotropos. En mediosinhomogeneos son funciones de la posicion e independientes de esta en medioshomogeneos.

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1.4. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de lafrecuencia

Cuando las fuentes varıan de forma periodica en el tiempo con una frecuenciaω, podemos representarlas como:

J(r, t) = Re[J(r)ejωt] , ρ(r, t) = Re[ρ(r)ejωt]

siendo J(r) una funcion vectorial compleja y ρ(r) una funcion escalar compleja.En medios lineales, los campos creados por estas fuentes acabaran teniendo lamisma dependencia temporal [12] y, por lo tanto, tambien se podran representarfasorialmente:

E(r, t) = Re[E(r)ejωt] , D(r, t) = Re[D(r)ejωt]

B(r, t) = Re[B(r)ejωt] , H(r, t) = Re[H(r)ejωt]

si ahora, introducimos en las ecuaciones (1.1 a 1.4) estas cantidades complejasy despejamos ejωt, obtendremos:

∇×E(r) + jωB(r) = 0 (1.12)∇×H(r)− jωD(r) = J(r) (1.13)

∇ ·D(r) = ρ(r) (1.14)∇ ·B(r) = 0 (1.15)

donde E(r), D(r), B(r) y H(r) son campos vectoriales complejos que solo de-penden de la posicion. Estos campos, dados en forma fasorial, diremos que estanen el dominio de la frecuencia (FD) y las ecuaciones (1.12 a 1.15) diremos queson las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia (Maxwell-FD).

Una vez resuelto el sistema Maxwell-FD, multiplicaremos los campos porejωt y extraeremos la parte real (o la parte imaginaria, segun elijamos) paraobtener la solucion en el dominio del tiempo. Ası, por ejemplo, una vez dispon-gamos de la solucion compleja E(r) = Er(r) + jEi(r), el campo electrico quetendra significado fısico sera:

E(r, t) = Re[(Er(r) + jEi(r))ejωt] = Er(r) cos(ωt)−Ei(r) sin(ωt) (1.16)

si por el contrario, quisieramos conocer el valor promedio temporal del modulode un campo (su intensidad), no tendremos mas que calcular el modulo delcampo complejo. Por ejemplo, la intensidad de E(r,t) se define como:

〈|E(r, t)|〉 = lımT→∞

1T

∫ T

0

|E(r, t)|dt (1.17)

si despejamos (1.16) en (1.17) y calculamos la integral tendremos que:

〈|E(r, t)|〉 ∝ |E(r)| =√

Er(r)2 + Ei(r)2 (1.18)

Este expresion resulta muy interesante, sobre todo en altas frecuencias, dondela mayorıa de las veces, solo puede medirse la intensidad del campo electrico.

El sistema Maxwell-FD es completamente general, ya que, si realizasemosla transformada de Fourier a (1.1 a 1.4), obtendrıamos (1.12 a 1.15) para ca-da frecuencia. Una vez analizada cada frecuencia del espectro con Maxwell-FD,

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podrıamos calcular la solucion en el dominio del tiempo aplicando la transfor-mada inversa de Fourier. Por ejemplo, conocido E(r, ω) mediante (1.12 a 1.15),la solucion en el dominio del tiempo serıa:

E(r, t) =∫ ∞−∞

E(r, ω)ejωtdω (1.19)

1.4.1. Ecuacion de continuidad

Si aplicamos la divergencia a (1.12) y a (1.13) y recordamos (1.5), llegaremosa:

∇ · J + jωρ = 0 (1.20)

que es la ecuacion de continuidad en el dominio de la frecuencia y representala conservacion de la carga en problemas con variacion periodica en el tiempo.

1.4.2. Ecuacion de onda

Si suponemos que solo hay presentes materiales lineales y que J la pode-mos expresar como la suma de las fuentes impuestas mas la contribucion delas corrientes inducidas (J = Jfuentes + σE), las ecuaciones (1.13) y (1.12) seescribiran:

∇×E + jωµH = 0 (1.21)∇×H− jωεcE = Jfuentes (1.22)

donde εc(= ε − j σω ) es la permitividad compleja. Para simplificar la notacion,

a partir de ahora, usaremos simplemente J para referirnos a Jfuentes, avisandoexplicitamente en caso contrario.

Si aplicamos el rotacional a (1.21) y usamos (1.22) para eliminar H obten-dremos la ecuacion:

∇×(

1µ∇×E

)− ω2εcE = −jωJ (1.23)

aplicando ahora el rotacional a (1.22) y usando (1.21) para eliminar E obten-dremos por el contrario:

∇×(

1εc∇×H

)− ω2µH = ∇×

(1εc

J)

(1.24)

Estas ecuaciones, que son conocidas como las ecuaciones de onda vectorialesinhomogeneas, seran nuestro punto de partida para el calculo de los camposelectromagneticos por el metodo de los elementos finitos.

1.4.3. Calculo de E y H

Si empleasemos la formulacion basada en (1.23) para calcular E, podrıamosobtener H mediante (1.21):

H = − 1jωµ

∇×E (1.25)

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Si por el contrario, empleasemos la formulacion basada en (1.24) para calcularprimero H, obtendrıamos E con (1.22):

E =1

jωεc(∇×H− J) (1.26)

1.5. Condiciones de frontera

Llamaremos condiciones de frontera a las condiciones que han de cumplirlos campos electromagneticos en la superficie que separa dos medios (diferenciarde las condiciones de contorno, que son los valores que asignamos a los camposen el contorno de un problema).

Cuando tenemos en cuenta la posibilidad de que existan materiales diferen-tes dentro del dominio de estudio, surge la necesidad de considerar lo que ocurreen la frontera comun. Es de esperarse que estos materiales tengan propiedadeselectromagneticas diferentes, de forma, que estas propiedades cambien abrup-tamente a medida que se cruza la superficie de separacion. Como resultado,es posible que los diversos campos se comporten de manera diferente en lasdos regiones y, resultarıa muy util, conocer los cambios que sufren al cruzar lafrontera.

En la situacion fısica real, las propiedades de los materiales no cambiarande una forma abrupta, sino continuamente, aunque quizas muy rapido en unaregion angosta entre los dos medios (capa de transicion). Esta expectativa con-cuerda con la suposicion de que los campos fısicos sean continuos y poseanderivadas continuas. Sin embargo, generalmente, no nos interesa conocer los de-talles especıficos de lo que realmente ocurre en esta capa de transicion. Por lotanto, es costumbre reemplazar la situacion real por una situacion idealizadaen la que, la anchura de la capa de transicion, tiende a cero. Como resultadode ello, es posible que los campos electromagneticos sean discontinuos en estaregion de transicion idealizada.

El comportamiento de los campos electromagneticos en la frontera de sepa-racion entre dos medios se puede deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell,de la misma manera que pueden encontrarse para cualquier campo vectorial delque se conocen su divergencia y su rotacional. El resultado es:

n · (D1 −D2) = ρs (1.27)n× (E1 −E2) = 0 (1.28)n · (B1 −B2) = 0 (1.29)

n× (H1 −H2) = Js (1.30)

donde n es la normal a la superficie de separacion entre los dos medios y vadirigida del medio 2 al medio 1. Js y ρs son la distribucion de corriente y ladensidad de carga que puede haber sobre la superficie de discontinuidad.

1.5.1. Conductor perfecto

La situacion mas simple con la que nos podemos encontrar es cuando unode los medios es un conductor perfecto, es decir, cuando σ →∞. En este caso,los campos dentro del conductor son nulos, luego (1.28) se reduce a:

n×E = 0 (1.31)

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y (1.29) a:n ·B = 0 (1.32)

donde E y B son los campos en la superficie exterior al conductor perfecto y n esel vector normal que apunta hacia el exterior del conductor perfecto. Ademas,tendremos una densidad de carga superficial ρs = n · D y una densidad decorriente superficial Js = n×H.

1.5.2. Conductor imperfecto

En la superficie de un material con conductividad finita (σ < ∞), se de-muestra [53] que, en el dominio de la frecuencia, el campo electrico se puedeexpresar aproximadamente como:

1µ1

n× (∇×E) +(

jω

√εc2

µ2

)n× (n×E) = 0 (1.33)

y, analogamente, el campo magnetico se puede escribir:

1εc1

n× (∇×H) +(

jω

õ2

εc2

)n× (n×H) = 0 (1.34)

donde el subındice 2 hace referencia a que las magnitudes pertenecen al conduc-tor imperfecto, y, el subındice 1 a que las magnitudes son las del medio externoal conductor. En este caso, n apunta hacia el interior del conductor imperfecto(hacia el exterior de Ω). Las expresiones (1.33) y (1.34) son conocidas como lascondiciones de contorno de impedancia.

Existen aproximaciones de mayor orden para caracterizar el comportamientode los campos en la superficie de un conductor (ver por ejemplo [56, 54]), pero,las condiciones de segundo (y mayor) orden no garantizan necesariamente launicidad de la solucion (ver [56] y [55]) y en la mayorıa de las situaciones (1.33)y (1.34) son mas que suficientes.

En el caso de que el material sea un buen conductor aun podremos simplificarmas (1.33) y (1.34). Es decir, sı σ2, ω2 y ε2 cumplen:(

σ2

ω2ε2

)2

>> 1 (1.35)

podremos escribir (1.33) y (1.34) como [4]:

1µ1

n× (∇×E) +(

(1 + j)√

σ2ω

2µ2

)n× (n×E) = 0 (1.36)

1εc1

n× (∇×H) +(

(j − 1)ω√

µ2ω

2σ2

)n× (n×H) = 0 (1.37)

Las ecuaciones (1.36) y (1.37) son una buena aproximacion en muchos de losproblemas practicos de alta frecuencia.

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1.6. Condiciones de radiacion

Para garantizar la unicidad de la solucion de las ecuaciones de Maxwell enproblemas donde el dominio es infinito, tendremos que especificar lo que seconoce como la condicion de radiacion [9].

Suponiendo todas las fuentes y objetos a una distancia finita del origendel sistema de coordenadas e inmersas en un medio infinito, lineal, isotropo yhomogeneo (caracterizado por ε y µ), se requiere que los campos electrico ymagnetico satisfagan:

lımr→∞

r[∇×E + jω√

εµ (r×E)] = 0 (1.38)

lımr→∞

r[∇×H + jω√

εµ (r×H)] = 0 (1.39)

donde r =√

x2 + y2 + z2. Las ecuaciones (1.38) y (1.39) son conocidas comolas condiciones de radiacion de Sommerfeld.

En dos dimensiones y en coordenadas cilındricas las condiciones de radiacionde Sommerfeld podremos escribirlas como:

lımρ→∞

√ρ

[∂Ez

∂ρ+ (jω

√εµ)Ez

]= 0 (1.40)

lımρ→∞

√ρ

[∂Hz

∂ρ+ (jω

√εµ)Hz

]= 0 (1.41)

donde ρ =√

x2 + y2.

1.7. Condiciones de contorno absorbentes

Antes de resolver un problema por el MEF donde el dominio original seainfinito, como en el caso de antenas o scattering, tendremos que acotar la re-gion en la que se va ha aplicar el metodo. Habra que crear artificialmente unasuperficie y usar unas condiciones de contorno apropiadas para que la solucionnumerica sea una buena aproximacion a la del problema original. Tales condi-ciones deben hacer este contorno artificial tan transparente como sea posible, esdecir, deben minimizar las posibles reflexiones no fısicas que puedan surgir. Untipo de condiciones disenadas especialmente para cumplir este proposito son lasconocidas como condiciones de contorno absorbentes (ABC) y su aproximacionde primer orden es [45]:

1µ

n× (∇×E) +(

jω

√ε

µ

)n× (n×E) = 0 (1.42)

1ε

n× (∇×H) +(

jω

õ

ε

)n× (n×H) = 0 (1.43)

donde n es la normal exterior de la superficie esferica que encierra a las fuentesy a los objetos. Las condiciones (1.42) y (1.43) nos garantizan que las ondaselectromagneticas que inciden normalmente en el contorno sean completamenteabsorbidas. Si quisieramos aumentar la precision de la aproximacion, en [65]se ha desarrollado un metodo, basado en [5] y [66], en el que utilizando una

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secuencia de operadores definidos por recurrencia podemos obtener ABCs decualquier orden.

En el caso de dos dimensiones, la ABC de primer orden dada en [5] para laecuacion Helmholtz tiene la forma:

n · (∇φ) +(

12ρ

+ jω√

εµ

)φ = 0 (1.44)

donde ρ es el radio de la circunferencia que envuelve a las fuentes y a los objetosy φ es una funcion que cumple la ecuacion de Helmholtz. Aunque inicialmente(1.44) fue deducida para contornos circulares, tambien la podremos usar encontornos rectos, ya que si ρ → ∞ nos queda la condicion de Pade de primerorden [36]:

n · (∇φ) + (jω√

εµ) φ = 0 (1.45)

Pese a que las condiciones de contorno para problemas de radiacion son bienconocidas, la cuestion de que condiciones de contorno aplicar sigue siendo untema de debate, debido, principalmente, a la necesidad de equilibrar exactitudcon prestaciones en la computacion.

En las ultimas decadas se han ido desarrollando diferentes tipos de condi-ciones de contorno, como las basadas en absorbentes ficticios, es decir, cerrarel dominio con materiales cuya principal virtud es la de absorber la radiacionincidente minimizando las reflexiones. Por ejemplo, en [28] se usa un antirre-flectante hecho a base de capas dielectricas , y en [6, 7] las PML (perfectlymatched layers). Otra alternativa es usar metodos que no necesitan este tipode condiciones (como el metodo de los momentos [19] o los metodos asintoticosde alta frecuencia [4]) para conectar el problema dentro del dominio acotadocon la region exterior no acotada (ver por ejemplo [27, 15]). Tambien las hayexactas [44], pero el precio que se paga por la exactitud es un aumento en ladensidad de la matriz que se obtiene tras la discretizacion, haciendose por tantomuy costosa la resolucion del sistema lineal resultante.

Para una revision detallada de las diferentes tecnicas usadas para la resolu-cion numerica de problemas en dominio no acotado ver [62, 26].

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Capıtulo 2

Analisis MEF-FD en dosdimensiones

2.1. Introduccion

En este capıtulo se trata la aplicacion del metodo de los elementos finitos aproblemas electromagneticos 2D en el dominio de la frecuencia. No se preten-de dar una descripcion detallada del MEF, si no mas bien, de como adaptarlas ecuaciones derivadas de la teorıa electromagnetica a una forma facilmentetratable por el MEF.

Inicialmente formularemos un problema general en dos dimensiones. Expre-saremos este problema general en tres formas equivalentes (ver [26, 68, 51, 29])y esbozaremos, a modo de resumen, como se aplicarıa el MEF en la busquedade una solucion aproximada. Una vez resuelto el problema general, aplicaremoseste formalismo a dos casos: polarizacion-Ez y polarizacion-Hz. Con estudiarestas dos situaciones sera suficiente para dar una descripcion completa del elec-tromagnetismo FD en dos dimensiones, ya que, como es sabido, cualquier campobidimensional puede reducirse a la suma de estas dos polarizaciones.

El interes de este capıtulo no es meramente academico, ya que, aprovechandolas simetrıas de un sistema, o realizando aproximaciones acertadas, podrıamosreducir nuestro problema real tridimensional, a uno, o varios, de dos dimensio-nes. El premio sera un ahorro en el coste computacional de las simulaciones,tanto en tiempo de calculo como en tratamiento de geometrıas y generacion demodelos.

2.2. Planteamiento general del problema

En esta seccion analizaremos la forma de aplicar el MEF a una ecuaciondiferencial tipo Helmholtz con coeficientes complejos. Se explicaran, de formaresumida, las pautas a seguir para resolver el problema mediante el MEF:

• Planteamiento del problema en su forma diferencial.

• Representacion del mismo problema en su forma variacional equivalente.

• Aplicacion del MEF.

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• Resolucion del sistema lineal resultante.

2.2.1. Formulacion diferencial

El problema general que vamos a estudiar es la resolucion, en una region delplano XY , de la ecuacion diferencial de segundo orden:

∂

∂x

(αx

∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(αy

∂φ

∂y

)+ βφ = f en Ω (2.1)

donde Ω ⊂ R2, φ es la funcion incognita, αx, αy y β son parametros conocidosasociados con la propiedades fısicas del medio y f es la funcion de excitacion.En todo momento se asume que tanto las funciones φ y f como los parametrosαx, αy y β puedan pertenecer a C.

La ecuacion (2.1) estara sometida en el contorno Γp a la condicion de Dirichletinhomogenea:

φ = p en Γp (2.2)

y en el contorno Γq a la condicion de Neumann de tercera clase inhomogenea:

n ·(

αx∂φ

∂xx + αy

∂φ

∂yy)

+ γφ + q = 0 en Γq (2.3)

donde, si Γ es el contorno que encierra al area Ω, se cumple que Γ = Γp⋃

Γq yΓp

⋂Γq = ∅. Ademas, n es el vector normal unitario exterior, y los parametros

γ, p y q son conocidos y pueden pertenecer a C.Si αx y αy presentasen discontinuidades a lo largo de un contorno Γd ⊂ Ω,

siempre y cuando no hubiese ninguna fuente en la linea de discontinuidad, sehabra de cumplir:

φ1 = φ2 en Γd (2.4)

y

n ·(

αx1

∂φ1

∂xx + αy1

∂φ1

∂yy)

= n ·(

αx2

∂φ2

∂xx + αy2

∂φ2

∂yy)

en Γd (2.5)

donde n va del medio 2 al 1 y los subindices 1 y 2 hacen referencia a que lacantidad pertenece a un lado u otro de la discontinuidad.

2.2.2. Formulacion debil

El problema planteado en (2.1 a 2.5) es equivalente a encontrar una funcionφ, con φ = p en Γp, tal que, para cualquier funcion W , se cumpla:∫∫

Ω

(∂W

∂xαx

∂φ

∂x+

∂W

∂yαy

∂φ

∂y

)dΩ−

∫∫Ω

β(Wφ)dΩ +∫

Γq

γ(Wφ)dΓq =

−∫∫

Ω

(Wf)dΩ−∫

Γq

(Wq)dΓq +∫

Γp

W

(αx

∂φ

∂xnx + αy

∂φ

∂yny

)dΓp (2.6)

A esta identidad se la conoce como la forma debil del problema (2.1 a 2.5) ysera el punto de partida para el metodo de residuos ponderados de Galerkin.

13

2.2.3. Formulacion variacional

El problema (2.1 a 2.5), es tambien equivalente a encontrar una funcion φ,con φ = p en Γp, que haga δF (φ) = 0, donde F (φ) es el funcional definido por:

F (φ) = −12

∫∫Ω

[αx

(∂φ

∂x

)2

+ αy

(∂φ

∂y

)2]

dΩ +∫∫

Ω

βφ2dΩ

+∫

Γq

(γ

2φ2 + qφ

)dΓq −

∫∫Ω

(fφ)dΩ (2.7)

Esta expresion es la forma variacional del problema (2.1 a 2.5), generalizada alcaso de variable compleja (ver [26]), y sera el punto de partida del metodo deRayleigh-Ritz.

2.2.4. Analisis mediante el MEF

El primer paso en la aplicacion del MEF es la aproximacion de nuestrafuncion incognita φ mediante una combinacion lineal de n funciones:

φ ≈ φ =n∑

i=1

Niφi (2.8)

donde Ni son las bases Lagrangianas usadas habitualmente en el calculo conelementos finitos (ver cualquiera de los textos basicos [68, 41, 22, 21]). Nuestroobjetivo es calcular los coeficientes φi de φ. Para ello, plantearemos un sistemalineal de ecuaciones usando cualquiera de estos dos metodos:

• Metodo de los residuos ponderados de Galerkin: sustituimos (2.8) en (2.6)y consideramos cierta la igualdad unicamente para las funciones W = Ni,en vez de para toda funcion W .

• Metodo de Rayleigh-Ritz : sustituimos (2.8) en (2.7) y buscamos la funcionque hace δF (φ) = 0 unicamente en el subespacio generado por funcionesbase Ni. Es decir, hacemos ∂F (φi)

∂φi= 0, ∀i

Ambos metodos son equivalentes, y al final, obtendremos el mismo sistema deecuaciones lineales (los coeficientes pueden verse calculados en [26] o [68]).

Una vez resuelto el sistema, la solucion aproximada φ, sera la proyeccionortogonal de la solucion real φ en el subespacio generado por las funcionesbase Ni. Esta proyeccion, es, de todas las posibles combinaciones lineales de lasfunciones base, la que presentara menor error (ver [29]).

2.2.5. Resolucion de sitemas lineales en variable compleja

Siempre que usemos el MEF habra que resolver un sistema lineal de ecuacio-nes para obtener los coeficientes φi. En nuestro caso, tendremos que invertir unamatriz dispersa (sparse matrix ) con coeficientes complejos. Esto puede hacersecon metodos directos, o bien, con metodos basados en los subespacios de Kry-lov (ver [1, 26] y referencias dadas ahı para consultar metodos adaptados paratratar con numeros complejos). Otra posibilidad es transformar la matriz concoeficientes complejos en una matriz real [11, 3], y aprovechar la amplia biblio-grafıa existente sobre sistemas lineales con coeficientes reales (ver por ejemplo[50, 16]).

14

2.3. Polarizacion-Ez

En el caso de polarizacion-Ez suponemos que el campo electrico es perpen-dicular al plano XY y que la variacion de cualquier magnitud respecto al ejeZ es despreciable o nula. Ası, partiendo de la ecuacion (1.23) e imponiendoEx = Ey = 0 y ∂

∂z (·) = 0 llegamos a la ecuacion de onda escalar inhomogenea:

∇ ·(

1µ∇Ez

)+ ω2εcEz = jωJz (2.9)

donde Jz es la componente perpendicular al plano de la densidad de corriente,ω es la frecuencia de excitacion, εc(= ε − j σ

ω ) es la permitividad compleja y µla permeabilidad magnetica.

Esta ecuacion estara sometida a las condiciones de contorno:

Ez = p en Γp (2.10)

n ·(

1µ∇Ez

)+ γEz + q = 0 en Γq (2.11)

donde p es el valor del campo impuesto en Γp, n es el vector normal unita-rio exterior, q es un valor dado que representa un flujo y γ es un coeficienteque depende de la naturaleza del frontera exterior. En las siguientes seccionesnos dedicaremos a conocer los valores que estos parametros adquieren segun elproblema electromagnetico que estemos tratando.

Se ve claramente que las ecuaciones (2.9 a 2.11) son un caso especial delproblema general (2.1 a 2.5) con:

φ = Ez , αx =1µx

, αy =1µy

, β = ω2εc , f = jωJz.

Ademas, la condicion (2.4) es equivalente a la conservacion de la componentetangencial del campo electrico (1.28), y la condicion general (2.5) es equivalentea (1.30) para el campo magnetico (como veremos en el siguiente apartado).

2.3.1. Calculo de H

Una vez conocido Ez, obtendremos H con (1.25), que en este caso queda:

H = − 1jωµ

∇×E = j1

ωµ

(∂Ez

∂y, −∂Ez

∂x, 0

)(2.12)

A partir de esta identidad, podemos escribir:

n ·(

1µ∇Ez

)= jω(n×H) (2.13)

que nos permite concluir que la condicion (2.5) es equivalente a (1.30). Ademas,despejando esta expresion en (2.11), obtenemos:

n×H +(

γ

jω

)Ez +

(1jω

)q = 0 (2.14)

15

que nos relaciona la componente tangencial del campo magnetico con la condi-cion de Neumann de tercera clase (2.11).

Debido a (1.29) la componente normal del campo H sera discontinua enla superficie que separa dos medios con diferente permeabilidad magnetica. Esdecir, presentara dos valores diferentes en la frontera. Esto es un problemacuando usamos el MEF con elementos Lagrangianos, ya que, tras calcular lasmagnitudes derivadas, solo puede haber un valor por nodo. Para solventar esteproblema, sin abandonar los elementos Lagrangianos, podemos elegir entre dosposibilidades: dotar a la superficie de nodos duplicados [42] o bien, discretizarcon elementos mas pequenos en los alrededores de la discontinuidad [14]. Existeuna tercera posibilidad, pero abandonando el uso de los elementos Lagrangianos:utilizar elementos de arista (edge elements) [40, 51, 26]. Los elementos de aristapermiten de forma natural el salto de la componente normal. Sin embargo, tal ycomo detallaremos en el capıtulo siguiente, esta ultima opcion trae consigo masproblemas que beneficios [38, 39].

2.3.2. Conductor perfecto

En el seno de un conductor perfecto (σ → ∞) todos los campos son nulos.Por (1.28), la componente tangencial del campo electrico ha de ser siemprecontinua al pasar de un medio a otro. Por lo tanto, si en un problema conpolarizacion-Ez, nos encontramos con al superficie de un conductor perfecto,habra que imponer (2.10) con p = 0, es decir:

Ez = 0 en Γp (2.15)

siendo Γp la superficie del conductor perfecto.

2.3.3. Conductor imperfecto

En polarizacion-Ez, donde E = Ez z, la ecuacion (1.33) nos queda:

n ·(

1µ1∇Ez

)+

(jω

√εc2

µ2

)Ez = 0 (2.16)

Por lo tanto, si nos encontramos con la superficie de un conductor imperfecto,habra que imponer (2.11) con:

γ = jω

√εc2

µ2y q = 0 (2.17)

siendo Γq la superficie del conductor imperfecto.En el caso de que el conductor cumpla (1.35), la condicion (2.16) podremos

simplificarla y escribir:

n ·(

1µ1∇Ez

)+

((1 + j)

√σ2ω

2µ2

)Ez = 0 (2.18)

Por lo tanto, si nos encontramos con la superficie de un buen conductor, impon-dremos (2.11) con:

γ = (1 + j)√

σ2ω

2µ2y q = 0 (2.19)

siendo Γq la superficie del buen conductor.

16

2.3.4. Radiacion

Antes de resolver un problema de radiacion por el MEF tendremos quecrear artificialmente una superficie para limitar un dominio que inicialmenteera infinito. En esta superficie impondremos la condicion (1.44), que como yahemos dicho, fue disenada para resolver los problemas no acotados de la ecuacionde Helmholtz. La ecuacion (2.9) es de este tipo y, por lo tanto, podemos escribirla ABC de primer orden para el caso de polarizacion-Ez como:

n ·(

1µ∇Ez

)+

(1

2ρµ+ jω

√ε

µ

)Ez = 0 (2.20)

Es decir, cuando estemos tratando con un problema abierto, impondremos (2.11)con:

γ =(

12ρµ

+ jω

√ε

µ

)y q = 0 (2.21)

donde ρ es el radio de curvatura de la superficie Γq con la cual hemos truncadoartificialmente el dominio. Para reducir la extension de este dominio, y con elloel numero de incognitas empleadas en resolver el problema, usaremos la ABCde segundo orden dada en [26]:

γ = γ1 + γ2∂2

∂s2y q = 0 (2.22)

donde s es la longitud de arco medida a lo largo del contorno Γq, es decir, encoordenadas polares (ρ, ϕ):

1ρ2

∂2

∂ϕ2→ ∂2

∂s2(2.23)

y los coeficientes γ1 y γ2 vienen dados por las expresiones:

γ1 =1

2ρµ+ jω

√ε

µ− 1

8µρ2( 1ρ + jω

√εµ)

γ2 = − 12µ( 1

ρ + jω√

εµ)

(2.24)

2.3.5. Guıa de ondas

Supongamos que tenemos una guia de ondas con una discontinuidad en suinterior y que hay un modo propagandose de izquierda a derecha sin atenuacion.En [26] se demuestra que en el extremo izquierdo de la guia podremos usar lacondicion (2.11) con:

γ = −jω

√ε

µy q = −

[n ·

(1µ∇Ez

inc

)+

(jω

√ε

µ

)Ez

inc

](2.25)

donde Ezinc es el modo que se propaga. En el extremo derecho usaremos (2.11)

con:

γ = jω

√ε

µy q = 0 (2.26)

17

2.4. Polarizacion-Hz

En el caso de polarizacion-Hz suponemos que el campo magnetico es per-pendicular al plano XY y que la variacion de cualquier magnitud respecto aleje Z es despreciable o nula. Ası, partiendo de la ecuacion (1.24) e imponiendoHx = Hy = 0 y ∂

∂z (·) = 0 llegamos a la ecuacion de onda escalar inhomogenea:

∇ ·(

1εc∇Hz

)+ ω2µHz =

∂

∂y

(1εc

Jx

)− ∂

∂x

(1εc

Jy

)(2.27)

donde Jx, Jy son las componentes de la densidad de corriente en el plano XY ,ω es la frecuencia de excitacion, µ la permeabilidad magnetica y εc es la permi-tividad compleja:

1εc

=ε + j σ

ω

ε2 + σ2

ω2

Esta ecuacion estara sometida a las condiciones de contorno:

Hz = p en Γp (2.28)

n ·(

1εc∇Hz

)+ γHz + q = 0 en Γq (2.29)

donde p es el valor del campo impuesto en Γp, n es el vector normal unitarioexterior, q es un valor dado que representa un flujo y γ es un coeficiente quedepende de la naturaleza del frontera exterior. En las siguientes secciones nosdedicaremos a conocer los valores que estos parametros adquieren de formaanaloga a como se ha hecho en el caso de polarizacion-Ez.

Se ve claramente que las ecuaciones (2.27 a 2.29) son un caso especial delproblema general (2.1 a 2.5) con:

φ = Hz , αx =1

εcx

, αy =1

εcy

, β = ω2µ , f =∂

∂y

(1εc

Jx

)− ∂

∂x

(1εc

Jy

).

Ademas, la condicion (2.4) es equivalente a la conservacion de la componentetangencial del campo magnetico (1.30), y la condicion general (2.5) es equiva-lente a (1.28) para el campo electrico (como veremos en el siguiente apartado).

2.4.1. Calculo de E

Una vez conocido Hz, obtendremos E con (1.26), que en este caso queda:

E =1

jωεc(∇×H− J) =

1jωεc

(∂Hz

∂y− Jx , −∂Hz

∂x+ Jy , 0

)(2.30)

A partir de esta identidad, donde no haya fuentes, podremos escribir:

n ·(

1εc∇Hz

)= −jω (n×E) (2.31)

que nos permite concluir que la condicion (2.5) es equivalente a (1.28). Ademas,despejando esta expresion en (2.29), obtenemos:

n×E +(jγ

ω

)Hz +

(j

1ω

)q = 0 (2.32)

18

que nos relaciona la componente tangencial del campo electrico con la condicionde Neumann de tercera clase (2.29).

Debido a (1.27) la componente normal del campo E sera discontinua en lasuperficie que separa dos medios con diferente permitividad electrica. Es unproblema analogo al comentado en el caso de polarizacion-Ez y se aplican losmismos comentarios y soluciones.

2.4.2. Conductor perfecto

Sabemos que en la superficie de un conductor perfecto se cumple (1.31). Estoquiere decir, a la vista de (2.31) que:

n ·(

1εc∇Hz

)= −jω (n×E) = 0 (2.33)

Por lo tanto, si en un problema con polarizacion-Hz, nos encontramos con lasuperficie de un conductor perfecto, impondremos (2.29) con:

γ = 0 y q = 0 (2.34)

siendo Γq la superficie del conductor perfecto.

2.4.3. Conductor imperfecto

En polarizacion-Hz, donde H = Hz z, la ecuacion (1.34) nos queda:

n ·(

1εc1

∇Hz

)+

(jω

õ2

εc2

)Hz = 0 (2.35)

Por lo tanto, si nos encontramos con la superficie de un conductor imperfecto,impondremos (2.29) con:

γ = jω

õ2

εc2

y q = 0 (2.36)

siendo Γq la superficie del conductor imperfecto.En el caso de que el conductor cumpla (1.35), la condicion (2.35) se puede

simplificar y escribir:

n ·(

1εc1

∇Hz

)+

((j − 1)ω

√µ2ω

2σ2

)Hz = 0 (2.37)

Por lo tanto, si nos encontramos con la superficie de un buen conductor, impon-dremos (2.29) con:

γ = (j − 1)ω√

µ2ω

2σ2y q = 0 (2.38)

siendo Γq la superficie del buen conductor.

19

2.4.4. Radiacion

De forma analoga al caso de radiacion en polarizacion-Ez, para polarizacion-Hz podremos escribir la ABC de primer orden como:

n ·(

1ε∇Hz

)+

(1

2ρε+ jω

õ

ε

)Hz = 0 (2.39)

Por lo tanto, cuando estemos tratando con un problema abierto, impondre-mos (2.29) con:

γ =(

12ρε

+ jω

õ

ε

)y q = 0 (2.40)

donde ρ es el radio de curvatura de la superficie Γq con la cual hemos truncadoartificialmente el dominio. Para reducir la extension de este dominio usaremosla ABC de segundo orden dada en [26]:

γ = γ1 + γ2∂2

∂s2y q = 0 (2.41)

donde s es la longitud de arco medida a lo largo del contorno Γq (2.23) y loscoeficientes γ1 y γ2 son:

γ1 =1

2ρε+ jω

õ

ε− 1

8ερ2( 1ρ + jω

√εµ)

γ2 = − 12ε( 1

ρ + jω√

εµ)

(2.42)

2.4.5. Guıa de ondas

Supongamos que tenemos una guia de ondas con una discontinuidad en suinterior y que hay un modo propagandose de izquierda a derecha sin atenuacion.En [26] se demuestra que en el extremo izquierdo de la guia podremos usar lacondicion (2.29) con:

γ = −jω

õ

εy q = −

[n ·

(1ε∇Hz

inc

)+

(jω

õ

ε

)Hz

inc

](2.43)

donde Hzinc es el modo que se propaga. En el extremo derecho usaremos (2.29)

con:

γ = jω

õ

εy q = 0 (2.44)

20

Capıtulo 3

Analisis MEF-FD en tresdimensiones

3.1. Introduccion

En este capıtulo se va ha tratar el analisis de los problemas electromagneti-cos tridimensionales en el dominio de la frecuencia. Empezaremos repasando lasformulaciones mas extendidas en el electromagnetismo computacional, detallan-do sus ventajas e inconvenientes. Tras conocer los formalismos mas habituales,seleccionaremos la formulacion basada en ecuaciones de segundo orden. Estaformulacion tiene la ventaja de ser precisa (no usa diferenciacion numerica pa-ra obtener E y H) y ademas presentar desacoplados los campos electrico ymagnetico. El unico inconveniente esta en que si no se usa el sistema de ecua-ciones adecuado pueden surgir soluciones espureas. Estudiaremos el problemade las soluciones espureas y veremos como evitarlas sin dejar de usar elementosLangrangianos.

3.2. Formulacion para el analisis MEF-FD

Las formulaciones mas utilizadas en el analisis numerico de los problemaselectromagneticos podemos clasificarlas segun el tipo de ecuacion diferencialque resuelven. En general, se pueden dividir en tres grupos: las formulacionesque utilizan potenciales, las que resuelven las ecuaciones de Maxwell de primerorden y las que resuelven las ecuaciones de Maxwell (o un sistema equivalente)de segundo orden.

3.2.1. Formulacion con potenciales

Las formulaciones basadas en el uso de potenciales se emplean generalmentepara el calculo de problemas estaticos y quasi-estaticos (entendemos por pro-blemas quasi-estaticos aquellos resueltos con las ecuaciones pre-Maxwell, dondela corriente de desplazamiento ∂D

∂t se desprecia al ser la longitud de onda mu-cho mayor que las dimensiones del dominio del problema, ver [59]). Tienen laventaja de no dar lugar a modos espureos ya que al introducir los potenciales severifica de forma automatica la ley de Gauss (1.3). Las discontinuidades de los

21

materiales tambien son faciles de modelar y, ademas, hay que resolver menosfunciones incognita que en el caso de tratar directamente con las ecuaciones deMaxwell de primer orden. Sin embargo, presentan una perdida de precision en elcalculo de los campos electrico y magnetico debido a la diferenciacion numericay existen ciertas dificultades asociadas a la determinacion de la condicion degauge. Para mas detalles sobre el uso de potenciales en el analisis numerico deproblemas electromagneticos ver [61, 58, 52, 1].

3.2.2. Formulacion con ecuaciones de primer orden

Las formulaciones que resuelven las ecuaciones de Maxwell de primer orden(es decir (1.1 a 1.4) para el dominio del tiempo y (1.12 a 1.15) para el dominio dela frecuencia) se emplean tanto en problemas estaticos como en problemas tran-sitorios y armonicos. Tienen la ventaja de trabajar directamente con los camposelectrico y magnetico sin necesidad de derivacion numerica, obteniendose, portanto, resultados mas precisos que en la formulacion anterior. Por contra, tienenla desventaja de presentar E y H acoplados, haciendose necesario resolver seisfunciones incognita (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz). Es el tipo de formulacion masempleado en el metodo de las diferencias finitas [67, 60], aunque tambien seutiliza en otos metodos, como el de los volumenes finitos [57] o incluso en elMEF [2].

3.2.3. Formulacion con ecuaciones de segundo orden

Por ultimo, estan las formulaciones basadas en la resolucion de las ecuacio-nes de Maxwell de segundo orden o mejor dicho, en un sistema equivalente, comopor ejemplo (1.23) o (1.24). Es la formulacion preferida en electromagnetismocomputacional, ya que resulta mas sencillo trabajar con operadores derivada desegundo orden que con operadores derivada de primer orden no autoadjuntos(como es el caso de la formulacion anterior). Ademas, se reduce el numero defunciones incognita por estar los campos E y H desacoplados. Sin embargo,presenta el inconveniente de dar soluciones espureas cuando no se resuelve elsistema equivalente adecuado [24, 25].

Esta ultima formulacion parece ser la eleccion idonea (mayor precision ymenor numero de incognitas) para analizar por el MEF los problemas elec-tromagneticos en el dominio de la frecuencia, pero antes, habra que estudiar ytratar el problema de las soluciones espureas. Esto sera el objetivo de la siguienteseccion.

3.3. El problema de las soluciones espureas

Por solucion espurea entendemos aquella solucion numerica que es la apro-ximacion de una solucion no-fısica. Una solucion no-fısica es aquella que nosatisface las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno del problema.Es por lo tanto una solucion ficticia que, en los peores casos, hace inservibleel analisis numerico del problema. Su principal caracterıstica es la violacion de(1.3) o (1.4). Existe una amplia bibliografıa (ver por ejemplo [24, 25, 32, 33, 46] yreferencias dadas ahı) documentando la aparacion de soluciones espureas cuandose trata de resolver directamente las ecuaciones (1.23) o (1.24).

22

3.3.1. Principales soluciones al problema

Una forma sencilla de eliminar este problema consiste en, si por ejemplo que-remos calcular el campo E, calcular primero H con (1.24) y obtener E con (1.26).De esta manera, aunque H este corrompida con soluciones espureas, E estara li-bre de ellas [26]. Desafortunadamente, debido a la diferenciacion numerica, elcampo E ası calculado sera mas impreciso que el obtenido directamente.

Si queremos evitar la perdida de precision que arrastra consigo la diferen-ciacion numerica habra que utilizar tecnicas mas elaboradas. Las tecnicas masextendidas son: el metodo de penalizacion y el uso de elementos de arista.

Metodo de penalizacion

El metodo de penalizacion [43, 48, 17] consiste en modificar la forma va-riacional anadiendo un termino que fuerce el cumplimiento de la condicionde divergencia. Para ello, primero habra que encontrar el factor de penaliza-cion adecuado, valores demasiado pequenos o demasiado grandes, no eliminaranlas soluciones espureas. Desafortunadamente, el factor de penalizacion dependefuertemente del problema y no existe un teorıa general que permita deducirlo.

Elementos de arista

El uso de los elementos de arista propuestos por Nedelec [40] parece ser lasolucion al problema de las soluciones espureas (ver [51, 26] y referencias dadasahı). Es raro ver un codigo, un libro, o un artıculo sobre electromagnetismocomputacional publicado en los ultimos diez anos que no haga uso de estasbases vectoriales.

Los elementos de arista presentan divergencia nula por construccion, permi-ten, de forma natural, la discontinuidad de las componentes normales mante-niendo la componente tangencial continua y, ademas, asimilan mejor los con-tornos puntiagudos que los elementos Lagrangianos [64]. Sin embargo tambienpresentan muchos inconvenientes [39, 38]:

• Violan la continuidad de la componente normal del campo entre elementosadyacentes en medios homogeneos.

• La precision es menor que la de los elementos Langrangianos para el mismonumero de incognitas o, dicho de otra forma, el coste computacional esmayor si se quiere obtener la misma precision.

• Muchos tipos de elementos de arista tienen divergencia cero. Por lo tanto,solo se pueden aplicar en problemas que sepamos a priori que presentandivergencia nula.

• Siguen apareciendo modos espureos. Si queremos eliminarlos hay que anadirciertas condiciones de compatibilidad entre los elementos [37].

• Necesitan un mallado y postproceso no convencial que no esta disponiblede forma habitual.

• Cuando se utilizan para resolver problemas grandes pueden presentar ma-trices singulares [31].

23

• El error cerca de contornos puntiagudos entrantes no esta acotado y pue-den conseguirse resultados similares con elementos Langrangianos si du-plicamos los nodos en el contorno puntiagudo. Para obtener buenas apro-ximaciones cerca de los contornos puntiagudos entrantes necesitaremosbases que presenten igual grado de singularidad que la solucion analıtica.

Tras comparar las ventajas y los inconvenientes de los elementos de arista pode-mos descartar su uso como la mejor opcion para la eliminacion de las solucionesespureas. En la siguiente seccion, veremos como con una correcta formulaciondel problema, podemos evitar estas soluciones ficticias sin abandonar el uso delos elementos Lagrangianos.

3.3.2. El verdadero origen de las soluciones espureas

Tradicionalmente se ha creıdo que las ecuaciones de Maxwell era un sistemasobredeterminado y que algunas de sus ecuaciones eran redundantes. Esto hasido ası por dos razones:

• Las ecuaciones de Maxwell para el caso de tres dimensiones, una vez espe-cificadas las relaciones constitutivas, consta de ocho ecuaciones de primerorden, pero solo seis incognitas (las tres componentes de cada campo).

• Sı las densidades de carga y de corriente impuestas cumplen la ecuacionde continuidad (1.6) y ademas se verifica (1.3) y (1.4) en un determinadoinstante inicial, tendremos que (1.3) y (1.4) se verifican automaticamentepara todo instante de tiempo. Para verlo no tenemos mas que aplicar ladivergencia a (1.1) y a (1.2). Para problemas en el dominio de la frecuenciaocurre lo mismo, solo son necesarias las expresiones (1.12) y (1.13), ya que,sı las fuentes cumplen la ecuacion de continuidad (1.20), las ecuaciones(1.14) y (1.15) se satisfacen automaticamente. Para demostrarlo, no haymas que aplicar la divergencia a (1.12) y a (1.13).

Por estas dos razones las ecuaciones (1.3) y (1.4) o (1.14) y (1.15) suelen seromitidas en el analisis numerico de los problemas electromagneticos. Sin embar-go, en [24, 25, 34, 10] se afirma que esta omision es el verdadero origen de lassoluciones espureas y unicamente se podra evitar su aparicion utilizando unacorrecta formulacion. Por ejemplo, si quisieramos resolver (1.12 a 1.15) en unmedio isotropo, homogeneo y lineal con las condiciones de contorno:

n×E = 0 en Γ1

n · (µH) = 0 en Γ1

n×H = 0 en Γ2

n · (εE) = 0 en Γ2

(3.1)

donde Γ es el contorno del dominio Ω y se cumple que Γ = Γ1

⋃Γ2 y Γ1

⋂Γ2 = ∅,

la formulacion correcta con ecuaciones de segundo orden serıa:

∇× (∇×E)− ω2µεcE = −jωµJ en Ω∇ · (εE) = ρ en Ω

n×E = 0 en Γ1

n× (∇×E) = 0 en Γ2

n · (εE) = 0 en Γ2

(3.2)

24

∇× (∇×H)− ω2µεcH = ∇× J en Ω∇ · (µH) = 0 en Ω

n×H = 0 en Γ2

n× (∇×H) = 0 en Γ1

n · (µH) = 0 en Γ1

(3.3)

donde podemos observar que los campos E y H aparecen desacoplados y quehemos incluido explıcitamente la condicion de divergencia. La ecuacion (1.23)(o analogamente (1.24)) no puede resolverse sola, necesita la imposicion explicitade la condicion de divergencia. Ademas, en [24] se demuestra que para dominiosconvexos los sistemas (3.2) y (3.3) son equivalentes a:

∇2E + ω2µεcE = jωµJ +1ε∇ρ en Ω

∇ · (εE) = ρ en Γ1

n×E = 0 en Γ1

n× (∇×E) = 0 en Γ2

n · (εE) = 0 en Γ2

(3.4)

∇2H + ω2µεcH = −∇× J en Ω∇ · (µH) = 0 en Γ2

n×H = 0 en Γ2

n× (∇×H) = 0 en Γ1

n · (µH) = 0 en Γ1

(3.5)

donde ahora la condicion de divergencia no ha de satisfacerse en todo el domi-nio sino solo en un parte del contorno. Por otro lado, en [30], para el problemainterior, y en [20], para el problema exterior, se demuestra que la imposicion dela condicion de divergencia en una parte del contorno no siempre es equivalentea la imposicion de la condicion de divergencia en todo el dominio. Concretamen-te, cuando el dominio es un polıgono no convexo podemos obtener solucionesespureas. Para solventar este problema se propone el uso de bases que, juntocon las clasicas Lagrangianas, sean capaces de modelizar la singularidades cercade los contornos puntiagudos entrantes.

25

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