Resistencia de Materiales y Cálculo de Elementos Finitos

Método de Elementos Finitos – Otras Formulaciones

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (1)

• La formulación de la energía potencial mínima es una aproximación común en la generación de modelos de elementos finitos en sólidos mecánicos. Cargas externas aplicadas a un cuerpo causará su deformación. Durante la deformación el trabajo realizado por las fuerzas externas es almacenado en el material en forma de energía elástica, llamada energía de deformación. Consideremos la energía de deformación de un solido de un miembro solido cuando un cuerpo es sometido a una fuerza normal como se muestra en la siguiente figura:

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (2)

Comportamiento elástico de un miembro sometido a una fuerza normal.

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (3)

La figura anterior también muestra un trozo de material del miembro en la forma de volumen diferencial y el esfuerzo normal actuante sobre las superficies de este volumen. Anteriormente se demostró que el comportamiento elástico del miembro puede ser modelado como un resorte lineal.

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (4)

Cuando el miembro es deformado una cantidad diferencial dy’, la energía almacenada en el material es:

Podemos escribir la ecuación anterior en términos del esfuerzo y deformación normal:

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (5)

Por lo tanto, para un miembro o un elemento cargado axialmente, la energía de deformación, es dado por:

Donde V es el volumen del miembro. La energía potencial total para un cuerpo consistente en n elementos y m nodos es la diferencia entre la energía de deformación total y el trabajo hecho por las fuerzas externas:

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (6)

El principio de energía potencial total mínima simplemente establece que para un sistema estable, el desplazamiento de la posición de equilibrio ocurre tal que el valor de la energía potencial total del sistema es mínimo.

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (7)

Volviendo al ejemplo 1. La energía de deformación para un elemento arbitrario (e) puede ser determinado como:

Donde fue sustituido por la deformación axial. Minimizando la energía de deformación con respecto a ui y ui+1 tenemos:

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (8)

Y en forma matricial:

Minimizando el trabajo hecho por las fuerzas externas en los nodos i e i+1 de un elemento arbitrario (e) :

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (9)

Para el ejemplo 1.1 la formulación de energía potencial total mínima permite calcular la matriz de rigidez global que es idéntica a la obtenida por la formulación directa.

Formulación de la Energía Potencial Total Mínima (10)

Por lo tanto, al aplicar la condiciones de frontera y las cargas resulta:

Los desplazamientos resultan ser idénticos a los obtenidos por la formulación directa.

Solución exacta del ejemplo 1.1 (1)

Derivaremos la solución exacta a fin compararla con la aproximación obtenida por el método de elementos finitos. Como se muestra en la figura siguiente, el equilibrio estático requiere que la suma de las fuerzas en la dirección y sea cero, es decir:

Solución exacta del ejemplo 1.1 (2)

Otra vez usando la ley de Hooke y sustituyendo el escuerzo promedio en términos de la deformación tenemos:

Recordando que la deformación normal promedio es el cambio en la longitud du por unidad de longitud original del segmento diferencial dy:

De las dos ultimas relaciones:

Solución exacta del ejemplo 1.1 (3)

Reordenando:

La solución exacta es obtenida por integración sobre la longitud de la barra:

Solución exacta del ejemplo 1.1 (4)

Donde el área es:

Luego de la integración, la deformación a lo largo de la barra resulta:

La ultima ecuación puede ser usada para generar valores de desplazamientos en varios puntos a lo largo de la barra. Esto es apropiado para examinar la precisión de la formulación directa y de energía potencial comparado con los valores exactos de desplazamiento.

Solución exacta del ejemplo 1.1 (5)

La precisión es aceptable.

Formulación de los residuos pesados (1)

• El método de los residuos pesados está basado en asumir una solución aproximada para la ecuación diferencial gobernante. La solución asumida debe satisfacer las condiciones iniciales y de frontera del problema. Debido a que la solución asumida no es exacta, la sustitución de la solución en la ecuación diferencial conducirá a algún residual o error.

Formulación de los residuos pesados (2)• En otras palabras, cada método residual

requiere que el error se anule sobre algún intervalo seleccionado o en algunos puntos. Para demostrar este concepto volvamos la atención al ejemplo anterior. La ecuación diferencial gobernante y las correspondientes condiciones de frontera para el problema es como sigue:

Formulación de los residuos pesados (3)• Luego, necesitamos asumir una solución

aproximada. Otra vez, teniendo en mente que la solución asumida debe satisfacer las condiciones de frontera. Elegimos:

• Donde c1, c2 y c3 son coeficientes desconocidos. La ecuación anterior satisface la condición de frontera u(0)=0. La sustitución de la solución asumida en la ecuación diferencial gobernante produce la función de error:

Formulación de los residuos pesados (4)

• Sustituyendo los valores de w1, w2, L, t y E, en el ejemplo 1.1 y simplificando, obtenemos:

Método de Colocación (1)

• En el método de colocación la función de error o residual es forzado a ser cero, tantos puntos como coeficientes desconocidos haya. Debido a que en la solución asumida en este ejemplo hay tres coeficientes desconocidos, forzamos la función de error a ser igual a cero en tres puntos. Elegimos que la funcion de error se anule en y=L/3, y=2L/3 y y=L.

Método de Colocación (2)

Método de Colocación (3)• Este procedimiento crea tres ecuaciones

lineales que pueden ser resueltas para obtener los coeficientes desconocidos c1, c2 y c3.

Método de Colocación (4)• Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: • c1=423.0776x10-6

• c2 =21.65x10-15

• c3=1.153848x10-6. • Reemplazando tendremos:

• A fin de ver que tan preciso es el método de colocación mas adelante lo compararemos con el resultado exacto.

Método del subdominio (1)• En este método, la integral de la funcion de

error sobre algun subintervalo es forzado a ser cero. El numero de subintervalos elegidos debe ser igual al numero de coeficientes desconocidos. Esto es, para nuestra solución asumida tendremos tres integrales:

Método del subdominio (2)

Método del subdominio (3)• Integrando estas 3 ecuaciones resultan 3

ecuaciones lineales que pueden ser resueltas para obtener los coeficientes desconocidos:

• Esta última relacion permite aproximar el desplazamiento u en funcion de y

Método del Garlekin (1)• Este método requiere que el error sea

ortogonal a algunas funciones de peso φi, de acuerdo a la siguiente integral:

• Las funciones de peso son elegidas para ser miembros de la solución aproximada. Dado que la solución asumida es: u(y)=c1y+c2y2+c3y3, las funciones seleccionadas son φ1 =y, φ2 =y2 y φ3=y3.

Método del Garlekin (2)

Método del Garlekin (3)• Integrando la ecuación anterior resultan tres

ecuaciones lineales, que permite calcular los coeficientes desconocidos.

Método de los Mínimos Cuadrados(1)

• Este método requiere que los errores deben ser minimazados con respecto a los coeficientes deconocidos de acuerdo a la siguiente relación:

Método de los Mínimos Cuadrados(2)

• Recordando que la funcion de error es:

• Derivando la función de error con respecto a c1, c2 y c3, tenemos:

Método de los Mínimos Cuadrados(3)

• Integrando obtenemos 3 ecuaciones lineales para determinar los coeficientes indeterminados:

• Podemos obtener una aproximacion de los desplazamientos usando la expresión:

Comparacion de los Métodos de Residuos Pesados