el metodo de elementos finitos´ en la simulacion de...

Capıtulo 3

El Metodo de Elementos Finitos

en la Simulacion de Procesos de

Mecanizado.

“Solamente aquel que construye el futuro tiene

derecho a juzgar el pasado.”

Friedrich Nietzsche

RESUMEN: En este capıtulo, conceptos generales del Metodo de Elementos Finitos

son presentados. Conceptos necesarios para llevar a cabo el presente trabajo. Algunas

ventajas y desventajas del metodo son expuestas ası como la dificultad que conlleva

la simulacion de procesos de mecanizado como el que se estudia en este trabajo. Son

presentados los aspectos mas relevantes a tomar en cuenta a la hora de implementar

una analisis por E.F. ası como fundamentos que sostendran muchas de las decisiones

y analisis presentados en los capıtulos posteriores.

33

34 CAPITULO 3. El Metodo de los Elementos Finitos

3.1. Introduccion

El modelado de procesos de corte ha resultado, hasta dıa de hoy, de gran dificultad.

Esto debido a una serie de inconvenientes entre ellos las altas velocidades de deformacion

que se experimenta durante la operacion de mecanizado aun a bajas velocidades. Por con-

siguiente, las deformaciones plasticas tienen lugar en zonas muy pequenas, las llamadas

zonas primarias y secundarias de deformacion, alrededor de los ejes de corte, tornando

dificultoso la seleccion de condiciones de contorno apropiadas para abordar el problema.

Actualmente no existe una teorıa generalmente aceptada concerniente al mecanismo de

formacion de viruta, principalmente debido a que el fenomeno toma lugar en regiones

con deformaciones plasticas importantes. En muchos de los modelos analıticos que son

propuestos, el endurecimiento por deformacion de la pieza no es tomado en cuenta en la

formulacion, aunque juega un papel muy importante como se concluye a partir de resulta-

dos experimentales. Adicionalmente a esto, el incremento de la temperatura en las zonas

en las cuales se da la deformacion plastica y la friccion induce un ablandamiento del mate-

rial alterando las propiedades mecanica de la pieza de trabajo en relacion a las velocidades

de deformacion y temperatura que experimenta. Es por esto que en este trabajo se presenta

un analisis termo-mecanico acoplado en el cual los efectos de la temperatura son tomados

en cuenta.

El metodo de los elementos finitos es el metodo mas apropiado para realizar este tipo de

analisis debido a que a su inherente caracterıstica es posible resolver problemas no lineales

y optimizar la solucion de analisis termo-mecanicos. Este tipo de analisis numerico ya

ha sido utilizado con exitos en muchas otras areas cientıficas y tecnologicas, modelando

procesos de manufactura. Aun ası el modelado de la formacion de viruta es difıcil de

modelar. A excepcion de los fenomenos fısicos explicados anteriormente existen aun dos

retos a vencer. El primero es el de proveer datos lo suficientemente realistas y exactos

al modelo de E.F. Y el segundo es seleccionar un metodo de solucion apropiado, ya que

existen distintas formulaciones o estrategias para el modelado de procesos de mecanizado

ademas de lograr su correcta implementacion. A esto hay que agregar la forma en que se

modelan fenomenos como la friccion, el problema de contacto entre solidos, las ecuaciones

J. De La Cruz Universidad de Sevilla

3.1. Introduccion 35

de comportamiento a utilizar, procesos de fractura y dano que se puedan experimentar, etc.

El metodo de los elementos finitos es el metodo numerico mas utilizado para analizar

el mecanizado de metales, otros metodos numericos son el metodo de las diferencias fini-

tas y el metodo de los elementos de contorno. En el M.E.F. el principio basico es remplazar

el continuo por elementos finitos que conforman una malla. Cada elemento es simple en

geometrıa y por ende mas facil de analizar que la estructura completa. Cada elemento finito

posee nodos en los cuales las condiciones iniciales y de frontera son aplicadas y los gra-

dos de libertad son calculados; estando los elementos conectados unos a otros por medio

de los nodos. Entre los nodos, las variables del problema son derivadas o calculadas por

interpolacion. Las variables del problema ası como las propiedades aplicadas en los nodos

de cada elemento son ensambladas y de esta forma una relacion global es determinada. Es

importante recalcar entonces que el concepto poderoso del metodo es mas que discretizar

el dominio, es el poder discretizar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del

fenomeno en estudio en cada uno de los elementos, simplificando de esta forma el proble-

ma a un solo elemento en concreto a partir del cual luego se puede integrar y obtener la

solucion global.

La discretizacion puede ser mejorada utilizando distintos tipos de elementos de va-

rias formas con muchos nodos, como lo son los elementos triangulares con 3 nodos o

cuadrilateros con 4 o 8 nodos como se muestra en la figura 3.1:

Los parametros a ser especificados son el tipo de elemento, como se encuentran ubica-

dos en una determinada geometrıa y el numero de elementos a ser utilizado en el analisis.

Por lo general esta es una tarea un poco complicada. Ya que un elemento se puede com-

portar bien en un problema mientras se puede comportar muy mal en otros. El elemento

debe tener la capacidad de poderse adaptar para cubrir la geometrıa de la pieza en estudio.

Una mayor cantidad de elementos, es decir refinar la malla, por lo general conduce a una

solucion mas exacta pero con un incremento significativo en el coste computacional. Mas

adelante se presenta como el mallado es aplicado en el metodo de los elementos finitos

para el analisis de distintos procesos de corte.



Figura 3.1: Malla de elementos finitos, figura tomada de [1].

3.2. Conceptos basicos

Una pequena revision de la formulacion del Metodo de los Elementos Finitos es pre-

sentada en esta seccion, para una mayor profundidad en el tema se recomienda [2]. Para

el caso de una placa cargada en su plano por una fuerza externa. El desplazamiento de un

elemento triangular (ver figura 3.1) puede ser expresado por la interpolacion lineal:

ux = α1 + α2x+ α3y (3.1)

y

uy = α4 + α5x+ α6y (3.2)

De tal forma que la deformacion puede ser calculada a partir de los desplazamientos no-

dales como:

εxx =∂ux∂uy

, εyy =∂uy∂y

(3.3)

y

γxy =∂ux∂y

+∂uy∂x

(3.4)


3.2. Conceptos basicos 37

O en forma matricial:

εxx

εyy

εxy

=

∂/∂x 0 ∂/∂x 0 ∂/∂x 0

0 ∂/∂y 0 ∂/∂y 0 ∂/∂y

∂/∂y ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂x

ux,i

uy,i

ux,j

uy,j

ux,k

uy,k

(3.5)

En una forma mas compacta, en donde εe es el pseudovector de deformacion del ele-

mento, ue el vector de desplazamientos del elemento y [B]e es la matriz con operadores

derivadas parciales que se muestra en la ecuacion (3.5). Esto es:

εe = [B]eue (3.6)

Mientras que la ley de Hooke es expresada como:

σe = [E]eεe (3.7)

En donde σe es el psuedovector de esfuerzo del elemento. Para condiciones de es-

fuerzo plano en un material isotropo con modulo de Young E y razon de Poisson ν:

σxx

σyy

τxy

=E

1− ν2

1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν2

εxx

εyy

γxy

(3.8)

Finalmente las fuerzas pueden ser calculadas como:

Fe = t∆[B]Te [E]e[B]eue (3.9)

En donde Fe representa las fuerzas externas en el elemento. Si las ecuaciones son



ensambladas en una expresion mas reconocida:

F = [K]u (3.10)

3.3. Formulacion del modelo

En esta seccion las formulaciones numericas utilizada en el corte de metales con el

metodo de los elementos finitos es presentada. Hasta el momento tres tipos de anali-

sis han sido propuestos en la literatura, el analisis Euleriano, Lagrangiano y el nuevo

Metodo Euleriano-Lagrangiano arbitrario (ALE) [3] por sus siglas en ingles ( Arbitrary

Lagrangian-Eulerian).

En el analisis euleriano la malla de elementos finitos esta espacialmente fijada y cubre

un volumen de control. El material fluye a traves de ella para de esta forma simular la

formacion de viruta. Esto involucra que la forma de la viruta, angulo cortante y las condi-

ciones de contacto tienen que ser conocidas a priori, obtenidas a partir de experimentos o

asumidas. Un procedimiento iterativo es utilizado para buscar la convergencia de las va-

riables y la geometrıa de la viruta es actualizada. El lado de los elementos que son frontera

de la viruta y que se encuentran adyacentes a la cara de corte de la herramienta y alejadas

de dicha posicion son re-posicionados para que sean tangenciales a la posicion de corte.

Sin embargo, las deformaciones son derivadas de la integracion de las velocidades de de-

formacion a lo largo de lineas de flujo; por ende este metodo no puede ser utilizado para

la simulacion de virutas discontinuas.

En el analisis lagrangiano los elementos que conforman la malla se encuentran unidos

al material. El material es deformado debido a la accion de la herramienta de corte y de

igual forma lo es la malla. De esta manera existe una formacion de viruta debido a la de-

formacion provocada por la herramienta. El material sin restricciones en la formulacion

lagrangiana permite la simulacion de la formacion de viruta ası como la segmentacion de

la misma en condiciones de estado estable. En una formulacion explıcita el desplazamien-

to de la pieza de trabajo y por ende la malla adjunta, es una funcion del paso por unidad

de tiempo y por ende puede ser relacionada con la razon de remocion de material; mien-


3.3. Formulacion del modelo 39

tras que en una formulacion implıcita el tamano de los pasos no tienen influencia en la

estabilidad de la solucion.

Una de las desventajas de la formulacion lagrangiana es la gran deformacion observada

durante las simulaciones. Debido al anclaje de la malla sobre el material de la pieza de

trabajo, la malla es distorsionada producto de las deformaciones plasticas en la zona de

corte. Esto conlleva a fallos en el modelo. Mallas pre-distorsionada ası como tecnicas de

remallado [4] son aplicadas en estos casos en orden de poder superar estos inconvenientes.

Ademas, para la formacion de la viruta, un criterio de separacion de la viruta en frente

del eje de corte es comunmente utilizado. Aunque muchas veces este tipo de criterios

no terminan de tener la aprobacion completa de todos los investigadores, siendo en la

mayorıa de los casos muy cuestionados estos criterios. Aunque los ultimos desarrollos

en la formulacion lagrangiana, y en el analisis lagrangiano actualizado, han superado la

desventaja de utilizar un criterio de separacion de viruta aplicando remallados continuos y

mallados adaptativos, tratando al mismo tiempo con el distorsionamiento que pueda sufrir

la malla.

Resumiendo una comparacion entre las tecnicas eulerianas y lagrangianas se puede

concluir que la formulacion euleriana no necesita realizar remallados ya que no existen

distorsiones en los elementos y no requiere el modelado de la separacion de viruta ya que

la viruta es predeterminada. El tiempo computacional se ve reducido notablemente debido

al bajo numero de elementos necesarios para la simulacion en comparacion con la for-

ma lagrangiana. Este metodo es aplicable a simulaciones en estado estable en donde la

formacion de viruta no resulta de interes. Esta tecnica fue utilizada en el pasado, principal-

mente en los primeros modelos de E.F. [5] aunque se siguen utilizando hoy pero en menor

medida. Por otra parte la formulacion lagrangiana y lagrangiana actualizada puede ser uti-

lizada para modelar la parte no estacionaria del proceso de corte con la consideracion de

la fragmentacion de la viruta.

La formulacion ALE ha sido propuesta con el objetivo de combinar lo mejor de ambos

metodos, lagrangiano y euleriano [6, 3, 7]. Este metodo utiliza un procedimiento dividido.

La malla en si no es ni fija espacialmente ni unida al material. En vez de esto, le es per-

mitido un movimiento arbitrario alrededor del material con un desplazamiento total igual



a la suma del incremento de desplazamiento lagrangiano y el incremento del desplaza-

miento euleriano. Un paso lagrangiano es utilizado en el procedimiento para para evaluar

el flujo de material en las tres fronteras ası que la formacion de viruta se da a partir de la

deformacion de material, ası el desplazamiento de la malla en este paso es asociado con

la deformacion. Entonces, en un paso euleriano, el sistema de referencia es re-posicionada

para compensar la deformacion durante la deformacion, entonces el desplazamiento de la

malla en este paso es conectado con beneficio en el calculo numerico. Este procedimiento

permite definir pequenos incrementos de tiempo y no altera los elementos y la conectividad

de la malla. Adicionalmente, no son requeridos criterios de separacion o largos tiempo de

remallado. En la figura 3.2 se puede ver la diferencia entre una malla generada utilizando

una formulacion lagrangiana y una ALE.

Figura 3.2: Comparacion entre una solucion a traves de una formulacion lagrangiana y una ALE (figura tomadade [8]).


3.3. Formulacion del modelo 41

3.3.1. Formulacion dinamica

El metodo de elementos Finitos implementado en este trabajo es dinamico explıcito

con acoplamiento termo-mecanico. Por lo cual la formulacion es la siguiente:

σij,j + ρbi = ρui (3.11)

La ecuacion (3.11) es la formulacion fuerte del problema en el cual se toma en cuenta la

inercia del sistema a traves de la aceleracion nodal ui. Si planteamos la formulacion debil

del problema a traves del principio de los trabajos virtuales:

∫B

νiσij,j + νiρbidV =

∫B

ρνiuidV (3.12)

Si integramos por partes la formulacion debil (3.12):

∫B

ρνiuidV +

∫B

νi,jσijdV =

∫∂B

νiσij,jnjdΩ +

∫B

νiρbidV (3.13)

En la ecuacion (3.13) el primer termino representa las fuerzas de inercia, el segundo las

fuerzas internas y a la derecha el primero las fuerzas externas mas las fuerzas corporales.

Discretizando la ecuacion (3.13), se obtiene el conjunto de ecuaciones a resolver:

∫B

ρNaNbuibdV +

∫B

Na,jσijdV =

∫∂B

NaτidΩ +

∫B

ρNabidV (3.14)

En forma matricial:

Man+1 +Rintn+1 = Rextn+1 (3.15)

En donde:

Mab =

∫B0

ρ0NaNbdV0 (3.16)

es la matriz de masa a resolver.

Rextia =

∫B0

biNadV0 +

∫∂B0τ

τiNadΩ0 (3.17)



es la matriz de fuerzas externas y

Rintia =

∫B0

PiJNa,JdV0 (3.18)

es la matriz de fuerzas internas. En estas expresiones las variables N representan las fun-

ciones de forma utilizadas para la interpolacion en los elementos, una (, ) representa una

derivada parcial y Pi,J es el primer tensor de esfuerzo de Piola-Kirchhoff.

El analisis termico del modelo de elementos finitos se encuentra gobernado por la si-

guiente ecuacion de transferencia de calor:

ρcT = −k∆T + q (3.19)

En donde ρ es la densidad, c es la capacidad termica, T es la temperatura, T es la velocidad

del cambio de la temperatura, k es la conductividad termica y q es la taza de generacion

de calor.

Integrando la ecuacion (4.9):

∫Bt

ρcT ηdV +

∫Bt

D∆T · ∇ηdV =

∫Bt

qηdV (3.20)

En donde η es una temperatura virtual y Bt es el espacio ocupado por el solido. La discre-

tizacion implementada en el metodo de elementos finitos tiene la siguiente forma:

CT +KT = Q (3.21)

En donde:

Cab =

∫Bt

ρcNaNbdV0 (3.22)

Kab =

∫Bt

DijNa,iNb,jdV0 (3.23)

Qa =

∫Bt

sNadV0 +

∫∂Btq

hNadS (3.24)


3.4. Malla, elementos, condiciones de contorno y el problema de contacto 43

Siendo Cab la matriz de capacidad de calor, Kab es la matriz de conductividad y Qa es la

fuente de calor.

La variable s es la fuente de calor distribuida generada por la deformacion plastica que

lleva lugar en la pieza de trabajo, h representa la fuente de calor generada por la friccion

entre la pieza y la herramienta, Btq es la condicion de frontera en el analisis termico y por

ultimo Na y Nb son las funciones de forma.

3.4. Malla, elementos, condiciones de contorno y el pro-

blema de contacto

El mallado inicial de una pieza juega un papel muy importante en los resultados ob-

tenidos a posteriori. La convergencia de la formulacion utilizada por el metodo empleado

depende de ello. Es obvio entonces que la malla tiene que ser representativa de la pieza

de trabajo y debe permitir el correcto desarrollo matematico y numerico del analisis. La

generacion de mallas ha sido desarrollada a tal punto que se pueden encontrar programas

con modulos los cuales tiene la unica asignacion el generar un cierto arreglo de elementos

en la malla y sus geometrias individuales de tal forma que no hay una unica manera de

mallar un componente, dependiendo entonces del tipo de elementos empleado ası como

del algoritmo. Jugando de esta forma, el tamano, numero de elementos y tipo de elementos

un factor determinante en los resultados obtenidos.

Como regla general, un gran numero de elementos de pequeno tamano incrementan la

exactitud de los analisis pero tambien incrementan el costo computacional. De tal forma

que existe un umbral para el cual un aumento en el numero de elementos genere poco

aumento en la exactitud de los resultados justificando el no reducir el tamano de elementos

ya que los beneficios que se obtendrıan serıan mınimos. Analisis de convergencia suelen

ser realizados para determinar tamanos de malla optimos.

Si se detectan las areas de interes sobre la pieza en estudio pudiera tambien realizarce

mallados locales en los cuales se refine la malla en estas zonas especıficas de interes mien-

tras que en las otras zonas la malla puede ser mas basta. En los procesos de mecanizado

estas areas son las zonas primarias y secundarias de deformacion como se muestra en la



figura 3.3.

Figura 3.3: Ejemplo de discretizacion de la pieza de trabajo y herramienta, figura tomada de [1].

Estas zonas se recomiendan que sean densas para poder modelar la geometrıa de la

viruta ası como poder obtener una buena aproximacion de las variables como esfuerzo,

deformacion y velocidades de deformacion ası como los gradientes de temperatura. Estos

parametros son de gran importancia que sean calculados de forma correcta ya que luego

seran implementados dentro de las leyes de comportamiento del material como se demos-

trara en secciones subsiguientes.

Otros metodos de mallado y remallado se basan en los gradientes presentes en la pieza,

ya sean gradientes de temperatura o variables como la velocidad de deformacion, defor-

macion y hasta cambios bruscos en la geometrıa, este tipo de mallado es conocido como

Mallado Adaptativo. Algunos programas como DEFORM-3D permiten especificar facto-

res de peso a dichos gradientes para de esta forma generar un mallado mas denso como se

muestra en la figura 3.4a y 3.4b

Un elemento con una forma compacta y regular se espera que tenga un mejor desem-

peno si la relacion de aspecto incrementa el elemento pierde exactitud. Elementos de or-

den bajo frecuentemente con formulaciones para evitar el comportamiento ante bloqueo


3.4. Malla, elementos, condiciones de contorno y el problema de contacto 45

(a) Mallado adaptatito.

(b) Mallado adaptativo.

Figura 3.4: Mallado adaptativo en el modelado de grandes gradientes, figura tomada de [1].

volumetrico que puedan abortar el analisis debido a grandes deformaciones plasticas in-

compresibles en el area de corte, son ampliamente utilizados debido a su simplicidad.

La influencia de los parametros numericos en el modelado del corte ortogonal se ha pre-

sentado en [9]. En la literatura elementos cuadrilateros con 8 nodos [10, 11] y 9 nodos,

elementos de 4 nodos mejorados [12] y elementos triangulares[13, 14] con 6 nodos son

utilizados en el modelado de procesos de corte.

Las condiciones de frontera aplicadas en la malla inicial pueden diferir. En el caso de

la pieza de trabajo y la herramienta diferentes formas de mallado han sido propuestas en la

literatura. Algunos investigadores aplican condiciones de frontera a la herramienta cues-

tion que le permita desplazarse en la direccion de corte, mientras que otros prefieren darle

esas condiciones de frontera a la pieza de trabajo y que sea ella quien se desplace mientras

la herramienta no experimenta desplazamiento. En cualquier caso ambos enfoques son

equivalentes.



El contacto en los procesos de mecanizado suele ser modelado a traves de algoritmos

como el de penalizacion (penalty) y el de los multiplicadores de Lagrange. Otros metodos

como los de Lagrange aumentado y Metodo de Lagrange perturbado son presentados en

[15].

En este trabajo el efecto Termo-mecanico es tomado en cuenta en el analisis. Ya que en

los procesos de corte se tiene generacion de calor producto de las zonas de deformacion,

primaria y secundaria, debido al trabajo inelastico y de friccion. El calor es transportado o

trasmitido a la viruta y la herramienta y llevado al exterior a traves de la evacuacion de la

viruta y la conveccion generada por el ambiente o el fluido refrigerante. Esto es modelado

como una fuente de calor en las zonas en donde se genera el calor o usualmente con

modelos tribologicos los cuales son funciones del comportamiento mecanico y termico

con las deformaciones, velocidades de deformacion y temperatura. El endurecimiento y

ablandamiento asociado son considerados como parte de analisis no lineales.

En [16] un procedimiento es adoptado para simular el acoplamiento termico y las ecua-

ciones que gobiernan el comportamiento mecanico. Se realizan dos mallas distintas, una

para el analisis mecanico y otra para el termico las cuales intercambian informacion. En el

primer paso tiene lugar el analisis mecanico con la temperatura constante y la generacion

de calor es calculada. Entonces es transferida a la malla termica. Las temperaturas son

recalculadas y transferidas a la malla mecanica para luego ser insertadas en el modelo de

ablandamiento termico usado en el analisis. En otros metodos, todo el calor generado por

deformacion y friccion es mantenido dentro de la malla, el contorno de la pieza, la viruta y

la herramienta son aisladas, causando que la temperatura se eleve [9]. Este es una modelo

adiabatico que es comunmente utilizado en la simulacion de procesos con materiales de

baja difusividad y altas velocidades de corte. Si las fronteras de la pieza no son adiabaticas

entonces la transferencia de calor por conveccion tendra lugar de forma natural o forzada

por el fluido refrigerante.


3.5. Leyes constitutivas. 47

3.5. Modelado de materiales. Leyes constitutivas.

El modelado del comportamiento del material es de suma importancia y juega un papel

crucial en la veracidad de los resultados obtenidos en todo analisis utilizando el Metodo de

Elementos Finitos. Estas Ecuaciones Constitutivas del material describen la resistencia de

cedencia del material a la cual el mismo empezara a deformarse plasticamente; La defor-

macion elastica es mas pequena que las deformaciones plastica en mecanizado de metales

por ende el material de la pieza fluye o experimenta comportamiento plastico cerca de la

zona de corte. Los modelos constitutivos presentados en la literatura son principalmen-

te elasto-plasticos [17, 18, 19, 20], elasto-viscoplasticos [13, 21], rıgido-plastico [22] y

rıgido-viscoplastico [23, 24, 25].

El proceso de mecanizado somete a la pieza a elevados niveles de deformaciones, ve-

locidades de deformacion y generacion de calor el cual tiene una influencia directa sobre

los niveles de resistencia del material. Los niveles de temperatura pueden alcanzar tem-

peraturas de 150 − 250oC y deformaciones de 1 o 2 en la zona secundaria y de hasta

800− 1200oC en la zona primaria y deformaciones de 3, con velocidades de deformacion

sobre los 2x104s−1 y 105s−1 en ambas zonas.

Las variables que influyen en el comportamiento del material son la temperatura T , el

esfuerzo σ, la deformacion plastica ε y la velocidad de deformacion ε, a partir de las cuales

es posible definir ecuaciones constitutivas de la siguiente forma:

f(σ) = σ(ε, ε, T ) (3.25)

El problema es obtener de forma experimental este tipo de datos o variables debido a

los elevados niveles de esfuerzos, velocidades de deformacion y temperaturas. En muchos

casos los datos son tomados de ensayos estandares de tension los cuales no son suficientes

para definir la ley de comportamiento para materiales bajo las condiciones que se experi-

mentan durante el mecanizado. Ensayos dinamicos de impacto como el de SHPB (Split

Hopkinson Pressure Bar) son muchas veces utilizados. En este ensayo, probetas son defor-

madas debido a altas velocidades de compresion con velocidades de deformacion de hasta

105s−1 y temperaturas de hasta 700oC. Pero aun ası los resultados no son suficientes para



caracterizar el comportamiento de deformacion de los metales, especialmente en procesos

de mecanizado a alta velocidad. Ademas de que no se esta claro de como correlacionar

ensayos de impacto uniaxial con el estado de carga real que experimenta el material el

cual es triaxial.

De todas formas, muchas ecuaciones constitutivas han sido empleadas para el caso de

corte de materiales. Una de ellas es la propuesta por Usui, Maekawa y Shirakashi [26]:

σ = B

[ε

1000

]Me−kT

[ε

1000

]m∫Path

ekT/N

[ε

1000

−m/N]dε

N(3.26)

Siendo B el factor de resistencia, M es la sensitividad a la velocidad de deformacion

y n el factor de endurecimiento por deformacion, todo en funcion de la temperatura T ,

siendo k y m constantes. El termino dentro de la integral toma en cuenta el efecto debido

al historial de temperatura y de deformaciones previas en relacion con la velocidad de

deformacion. En ausencia de este efecto la ecuacion (3.26) quedarıa de la siguiente forma:

σ = B

[ε

1000

M

εN]

(3.27)

Mientras que Oxley sugirio una relacion para el acero al carbon como [27]:

σ = σ1εn (3.28)

en donde σ1 es el esfuerzo de cedencia del material para ε = 1 y n es el exponen-

te de endurecimiento por deformacion. Ambas son funcion de la temperatura, la cual es

modificada por la velocidad de deformacion de la siguiente manera:

Tmod = T1− 0.09log(ε) (3.29)

Pero sin lugar a duda el modelo constitutivo mas utilizado es el modelo de Johnson-

Cook [28]. Este modelo consiste de tres terminos, el primero de ellos el termino elasto-

plastico que representa el endurecimiento por deformacion, el segundo es la viscosidad, el

cual demuestra que la resistencia a la cedencia del material incrementa para altas velocida-


3.5. Leyes constitutivas. 49

Tabla 3.1: Ecuaciones constitutivas en el mecanizado de materiales.

Modelo Ecuacion de comportamiento Referencia

Usui et al. σ = B[

ε1000

]Me−kT

[ε

1000

]m ∫Path e

kT/N[

ε1000

−m/N]dεN

[26]Oxley σ = σ1εn [27]

Johnson-Cook σ = (A+Bεn)[1 + Cln

(εε0

)] [1−

(T−TaTm−Ta

)m][28]

des de deformacion y por ultimo el termino de ablandamiento por temperatura; siendo el

modelo de Johnson-Cook un modelo termo–visco-plastico representado por la siguiente

ecuacion:

σ = (A+Bεn)

[1 + Cln

(ε

ε0

)][1−

(T − TaTm − Ta

)m](3.30)

En Donde ε0 es la velocidad de deformacion de referencia, Ta es la temperatura ambiente,

Tm es la temperatura de fusion y A, B, C, n y m son constantes del material que tie-

nen que ser determinadas experimentalmente para cada material [29, 30] o por medio de

predicciones utilizando algoritmos especializados [31].

En la Tabla 3.1 se resumen unas de las ecuaciones constitutivas mas utilizadas en el

proceso de mecanizado de materiales. En este trabajo se utilizara la ecuacion constitutiva

de Johnson-Cook ya que es la que mejor modela el comportamiento del material ante

procesos de mecanizado como el taladrado.



3.6. Conclusiones

En este capıtulo se presentaron las bases conceptuales basicas necesarias para com-

prender el planteamiento por medio del metodo de elementos finitos del proceso de tala-

drado. Las ecuaciones que gobiernan el comportamieto termo-mecanico fueron expuestas

en la seccion 3.3.1.

Se llega a la conclusion que el metodo mas apropiado para la actualizacion de las

deformaciones en el material es a traves de una formulacion Lagrangiana, utilizando ma-

llados adaptativos los cuales seran especificados utilizando factores de peso aplicados a

los gradientes de deformacion y temperatura. El cual permıte la simulacion del proceso de

formacion de viruta permitiendo estudiar efectos los cuales de otra forma no serıan posible

estudiar.

Mallados adaptativos confinados a ventanas moviles son estrategias las cuales han sido

utilizadas para optimizar el mallado entorno a las zonas primarias de Deformacion.

Para modelar el comportamiento mecanico de los materiales se concluyo que el modelo

mas adecuado es el modelo termo-elasto-visco-plastico de Johnson-Cook el cual es el que

mejor modela el comportamiento de los materiales en procesos de mecanizado.


REFERENCIAS 51

Referencias

[1] A. Markopoulos, FInite Element Method in Machining Processes, J. P. Davim, Ed. Athens: Springer,

2013.

[2] O. C. Zienkiewicz, “The birth of the finite element method and of computational mechanics,” International

Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 60, no. 1, pp. 3–10, May 2004. [Online]. Available:

http://doi.wiley.com/10.1002/nme.951

[3] M. Movahhedy, M. Gadala, and Y. Altintas, “Simulation of the orthogonal metal cutting process using an

arbitrary Lagrangian–Eulerian finite-element method,” Journal of Materials Processing Technology, vol.

103, no. 2, pp. 267–275, Jun. 2000. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=

2-s2.0-0033731275&partnerID=tZOtx3y1

[4] M. Wicke, D. Ritchie, B. M. Klingner, S. Burke, J. R. Shewchuk, and J. F. O’Brien, “Dynamic local

remeshing for elastoplastic simulation,” ACM SIGGRAPH 2010 papers on - SIGGRAPH ’10, p. 1, 2010.

[Online]. Available: http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=1833349.1778786

[5] J. T. Carroll and J. S. Strenkowski, “Finite element models of orthogonal cutting with appli-

cation to single point diamond turning,” International Journal of Mechanical Sciences, vol. 30,

no. 12, pp. 899–920, 1988. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.

0-0000770494&partnerID=tZOtx3y1

[6] L. Olovsson, L. Nilsson, and K. Simonsson, “An ALE formulation for the solution of two-dimensional

metal cutting problems,” Computers and Structures, vol. 72, no. 4-5, pp. 497–507, Aug. 1999. [Online].

Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.0-0032590867&partnerID=tZOtx3y1

[7] M. R. Movahhedy, M. S. Gadala, and Y. Altintas, “Simulation of chip formation in orthogonal

metal cutting process: an ALE finite element approach,” Machining Science and Technology,

vol. 4, no. 1, pp. 15–42, 2000. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[8] M. Gadala, “Recent trends in ALE formulation and its applications in solid mechanics,” Computer

Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 193, no. 39-41, pp. 4247–4275, Oct. 2004. [Online].


[9] M. Barge, H. Hamdi, J. Rech, and J.-M. Bergheau, “Numerical modelling of orthogonal cutting:

influence of numerical parameters,” Journal of Materials Processing Technology, vol. 164-165,

pp. 1148–1153, May 2005. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[10] V. S. Joshi, P. M. Dixit, and V. K. Jain, “Viscoplastic analysis of metal cutting by finite element method,”

International Journal of Machine Tools and Manufacture, vol. 34, no. 4, pp. 553–571, 1994. [Online].



http://doi.wiley.com/10.1002/nme.951

http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.0-0033731275&partnerID=tZOtx3y1


http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=1833349.1778786










52 REFERENCIAS

[11] H. Fihri Fassi, L. Bousshine, A. Chaaba, and A. Elharif, “Numerical simulation of orthogonal

cutting by incremental elastoplastic analysis and finite element method,” Journal of Materials

Processing Technology, vol. 141, no. 2, pp. 181–188, Oct. 2003. [Online]. Available: http:

//www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.0-0042191721&partnerID=tZOtx3y1

[12] X. Yang and C. Liu, “A new stress-based model of friction behavior in machining and

its significant impact on residual stresses computed by finite element method,” International

Journal of Mechanical Sciences, vol. 44, no. 4, pp. 703–723, Apr. 2002. [Online]. Available:


[13] E. G. Ng, D. K. Aspinwall, D. Brazil, and J. Monaghan, “Modelling of temperature and forces when

orthogonally machining hardened steel,” International Journal of Machine Tools and Manufacture,

vol. 39, no. 6, pp. 885–903, 1999. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=


[14] H. Borouchaki, A. Cherouat, P. Laug, and K. Saanouni, “Adaptive remeshing for ductile fracture prediction

in metal forming,” Comptes Rendus Mecanique, vol. 330, no. 10, pp. 709–716, Oct. 2002. [Online].


[15] M. Vaz, D. R. J. Owen, V. Kalhori, M. Lundblad, and L.-E. Lindgren, “Modelling and Simulation of

Machining Processes,” Archives of Computational Methods in Engineering, vol. 14, no. 2, pp. 173–204,

Jun. 2007. [Online]. Available: http://link.springer.com/10.1007/s11831-007-9005-7

[16] M. Ortiz and T. Marusich, “Modelling and Simulation of Hight-Speed Machining,” International Jornal

for Numerical Methods in Engineering, vol. 38, pp. 3675–3694, 1995.

[17] Y. Ohbuchi and T. Obikawa, “Adiabatic shear in chip formation with negative rake angle,” International

Journal of Mechanical Sciences, vol. 47, no. 9, pp. 1377–1392, Sep. 2005. [Online]. Available:


[18] Z. C. Lin and W. C. Pan, “A thermoelastic-plastic large deformation model for orthogonal cutting

with tool flank wear-Part II: Machining application,” International Journal of Mechanical Sciences,

vol. 35, no. 10, pp. 841–850, 1993. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=


[19] ——, “A thermoelastic-plastic large deformation model for orthogonal cutting with tool flank

wear-Part I: Computational procedures,” International Journal of Mechanical Sciences, vol. 35,

no. 10, pp. 829–840, 1993. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[20] S. P. Lo, “An analysis of cutting under different rake angles using the finite element method,”

Journal of Materials Processing Technology, vol. 105, no. 1-2, pp. 143–151, 2000. [Online]. Available:


[21] H. A. Kishawy, R. J. Rogers, and N. Balihodzic, “A NUMERICAL INVESTIGATION OF THE CHIP

TOOL INTERFACE IN ORTHOGONAL MACHINING,” Machining Science and Technology, vol. 6,








http://link.springer.com/10.1007/s11831-007-9005-7







REFERENCIAS 53

no. 3, pp. 397–414, Dec. 2002. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[22] K. Iwata, K. Osakada, and Y. Terasaka, “PROCESS MODELING OF ORTHOGONAL CUTTING

BY THE RIGID-PLASTIC FINITE ELEMENT METHOD.” pp. 132–138, 1984. [Online]. Available:


[23] D.-C. Ko, S.-L. Ko, and B.-M. Kim, “Rigid-thermoviscoplastic finite element simulation of

non-steady-state orthogonal cutting,” Journal of Materials Processing Technology, vol. 130-131,

pp. 345–350, Dec. 2002. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[24] D. Umbrello, J. Hua, and R. Shivpuri, “Hardness-based flow stress and fracture models for numerical

simulation of hard machining AISI 52100 bearing steel,” Materials Science and Engineering: A, vol. 374,

no. 1-2, pp. 90–100, Jun. 2004. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[25] K. Ee, O. Dillon, and I. Jawahir, “Finite element modeling of residual stresses in machining induced

by cutting using a tool with finite edge radius,” International Journal of Mechanical Sciences, vol. 47,

no. 10, pp. 1611–1628, Oct. 2005. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=


[26] E. Usui, K. Maekawa, and T. Shirakashi, “SIMULATION ANALYSIS OF BUILT-UP EDGE

FORMATION IN MACHINING OF LOW CARBON STEEL.” pp. 237–242, 1981. [Online]. Available:


[27] D. Lalwani, N. Mehta, and P. Jain, “Extension of Oxley’s predictive machining theory for Johnson

and Cook flow stress model,” Journal of Materials Processing Technology, vol. 209, no. 12-13,

pp. 5305–5312, Jul. 2009. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[28] G. R. Johnson and W. H. Cook, “A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high

strain rates and high temperatures.pdf,” Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistic, p. 7,

1983.

[29] S. Jaspers and J. Dautzenberg, “Material behaviour in conditions similar to metal cutting: flow

stress in the primary shear zone,” Journal of Materials Processing Technology, vol. 122, no.

2-3, pp. 322–330, Mar. 2002. [Online]. Available: http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.


[30] W.-S. Lee and C.-F. Lin, “High-temperature deformation behaviour of Ti6Al4V alloy evaluated by high

strain-rate compression tests,” Journal of Materials Processing Technology, vol. 75, no. 1-3, pp. 127–136,

Mar. 1998. [Online]. Available: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0924013697003026

[31] T. Ozel and Y. Karpat, “Identification of Constitutive Material Model Parameters for High-

Strain Rate Metal Cutting Conditions Using Evolutionary Computational Algorithms,” Materials
















http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0924013697003026

54 REFERENCIAS

and Manufacturing Processes, vol. 22, no. 5, pp. 659–667, Jun. 2007. [Online]. Available:

http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10426910701323631


http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10426910701323631

el metodo de elementos finitos´ en la simulacion de...

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