metodo de los elementos finitos, elasticidad lineal
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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSElasticidad Lineal
Jose M.a Goicolea
E.T.S. INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES y PUERTOS.
UPM
Marzo de 2002
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Elasticidad lineal
Contenido
1. Formulacion fuerte
2. Formulacion debil
3. Formulaciones variacionales
4. Formulacion de Galerkin
5. Formulacion de elementos finitos
6. Formulacion matricial
J.M.a Goicolea Metodo de los elementos finitos
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Elasticidad lineal
Contenido
7. Elasticidad 2D. Deformacion plana
8. Elasticidad 2D. Tension plana
9. Elementos 1D
10. Elementos 2D isoparametricos
11. Integracion numerica
12. Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos
13. Elasticidad 3D
14. Elementos 3D isoparametricos
J.M.a Goicolea Metodo de los elementos finitos
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Elasticidad lineal
Formulacion fuerte
Sea = el dominio ocupado por unsolido, cuyo contorno es = u t conu t = . La formulacion fuerte del pro-blema se establece en los siguientes terminos:
u
tDados b : Rn, u : u Rn, t : t Rn, encontrar elcampo de desplazamientos u Rn que cumple:
div + b = 0 en (1)
n = t en t (2)
u = u en u (3)
con = (, , x, . . .) y = su
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Elasticidad lineal
Formulacion debil
Dados b : Rn y las funciones u : u Rn, t : t Rn,encontrar el campo de desplazamientos u U | u Vcumple:
(su b u) d
t
t u d = 0 (4)
siendo:
={u H1(,Rn) | u(x) = u x u
}(5)
V = {u H1(,Rn) | u(x) = 0 x u}
(6)
y H1(,Rn) el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:
H1 = {u : Rn | (u, u) < , (u, u) < }siendo (y, y) def=
y y d.
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Elasticidad lineal
Formulaciones variacionales
Considerando el funcional de la energa potencial:
p(u) =
(W (x, ) b u) d
t
t ud (7)
la ecuacion (4) equivale a establecer la condicion de
estacionariedad (mnimo local) del funcional (7):
p estacionario p(u) = 0 (8)Se dice que (4) es la ecuacion variacional del problema
(8), y que la ecuacion (1) es la ecuacion de
Euler-Lagrange asociada al problema variacional (8).
Para la elasticidad lineal (ley de Hooke):
W (x, ) =12 C = W
= C (9)
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Elasticidad lineal
Formulaciones variacionales
Existen otros principios variacionales diferentes al
expresado en (8), asociado al funcional de la energa
potencial total (7).
Dichos principios son la base de la formulacion de los
denominados elementos mixtos.
En general se deducen a partir de funcionales
multicampo como, por ejemplo, el de Hu-Washizu:
W (u, , ) =
[W (x, ) + (su ) b u] d
t
t u d
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Elasticidad lineal
Formulacion de Galerkin
Sean Vh y Uh aproximaciones de dimension finita de losespacios funcionales V y U, respectivamenteSe adopta la descomposicion:
uh = vh + gh (10)
con vh Vh y gh = u en u (aproximadamente)Dados b : Rn y gh, encontrar el campo dedesplazamientos uh = vh + gh Uh, con vh Vh, tal queuh Vh se cumple:
(suh Csvh h
b uh) d
t
t uh d = 0 (11)
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Elasticidad lineal
Formulacion de elementos finitos
El dominio se discretiza en Nel elementos e:
=Nele=1
e i j = , si i 6= j (12)
El elemento e se transforma en un cubo biunitario = [1, 1] [1, 1]
ndim
definido en el espacio isoparametrico de coordenadas {}:
: x e; x = () =nenod
A=1
xaNa() (13)
siendo xa (a = 1, . . . nenod) las coordenadas de los nodos delelemento e
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Elasticidad lineal
Formulacion de elementos finitos
Los subespacios de dimension finita Uh y Vh se definenmediante unas funciones de interpolacion
NA, A = 1 . . . nnod (polinomicas), que se denominanfunciones de forma
Uh ={
uh U | uh = g x u; uh =nnod
A=1
uANA()
};
Vh ={
uh V | uh = 0 x u; uh =nnod
A=1
uANA()
}.
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Interpolacion del campo de desplazamientosSi se emplea una formulacion isoparametrica que interpola los
desplazamientos dentro de cada elemento, con la misma
interpolacion que las coordenadas (13):
ueh =nenoda=1
deaNa() = Ne,Tde, (14)
siendo de = (d1, d2, . . . , dnnod)T, el vector (columna) de
desplazamientos nodales del elemento e, y
Ne = (N1, . . . , N1 ndimveces
. . . , Nnnod)T, el vector (columna) de funciones
de forma del elemento.
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Interpolacion del campo de deformacionesDerivando (14), la interpolacion del campo de deformaciones
se realiza tambien dentro de cada elemento y resulta:
ij = (sue,h)ij = 12(Na,idaj + Na,jdai) = Bijakdak,
siendo
Bijak =12(ik + jk)Na,k.
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Operador B de interpolacion de deformacionesEmpleando la notacion matricial en que las tensiones y
deformaciones se expresan en forma de vector (por ejemplo
en 2D: = (xx, yy, 2xy)T):
B(ij)(ak)d(ak) = Bnmdm = sue,h = Bde (15)Por ejemplo, en el caso 2D (ncomp = 3):
[Be] =
N1,x 0 N2,x 0 . . . Nnenod,x 0
0 N1,y 0 N2,y . . . 0 Nnenod,y
N1,y N1,x N2,y N2,x . . . Nnenod,y Nnenod,x
ncompndimnenod
(16)
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Operador B de interpolacion de deformacionesEsta expresion se emplea en la formulacion debil (principio de
los trabajos virtuales, (11)). Desarrollando el primer termino
de dicha ecuacion (trabajo virtual de las tensiones internas):
We,int =
esuh h d
= (de)T 1ndimnenod
eBT
ndimnenodncomph
ncomp1d (17)
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Operador B de interpolacion de deformacionesVemos por tanto que el operador B sirve, ademas de parainterpolar las deformaciones, para el papel conjugado de
integrar las tensiones:
We,int =
esuh h d = (de)T
e(BTh) d
fe,int
(18)
Observacion: Esta propiedad es valida de forma general,
tanto para problemas lineales como no lineales.
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
Sustituyendo (14) y (15) en (11) e imponiendo que los
desplazamientos virtuales u son arbitrarios, despues de
operar se obtiene:
Rdef=
nelm
Ae=1
[fe,ext
eBT h() d
]= 0 (19)
donde A[] es el operador de ensamblaje y fe,ext es el vector defuerzas externas convencional que se obtiene a partir de la
expresion (11):
fe,ext =
eNT bd +
teNT td (20)
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
OBSERVACIONES:
La ecuacion (19) esta planteada en forma residual
(anulando la diferencia entre las fuerzas externas y las
fuerzas internas), adecuada para problemas no lineales.
En lo sucesivo se considerara el caso de la elasticidad
lineal, en el que si denominamos Ce a la matriz demodulos elasticos (o matriz constitutiva), resulta:
h() = CeBde (21)
entonces la ecuacion (19) se expresa:nelm
Ae=1
[(
eBT CeB d
)]de =
nelm
Ae=1
fe,ext (22)
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Elasticidad lineal
Formulacion matricial
La matriz de rigidez elemental se define como:
Ke =
eBTCeB d (23)
Ensamblando los vectores de fuerzas elementales y las
matrices de rigidez elementales:
f =nelm
Ae=1
fe,ext (24)
K =nelm
Ae=1
Ke (25)
el sistema (22) se expresa:
Kd = f d = K1f (26)
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Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Deformacion plana
La condicion de deformacion plana es (zz = 0)
xx
yy
xy
=
+ 2 0
+ 2 0
0 0
xx
yy
xy
(27)
zz = (xx + yy) (28)
siendo xy = 2xy, y y los coeficientes de Lame:
=E
(1 + )(1 2) =E
2(1 + )(29)
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Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Tension plana
La condicion de tension plana es (zz = 0), que introducidaen las ecuaciones de la elasticidad tridimensional arroja:
xx
yy
xy
=
+ 2 0
+ 2 0
0 0
xx
yy
xy
(30)
zz = E
(xx + yy) (31)
siendo =2
+ 2.
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Elasticidad lineal
Elementos 1D
Funciones de interpolacion lineal (a nivel global)
NA(x) =
xxA1hA1
xA1 < x < xAxA+1x
hAxA < x < xA+1
4321
4321
4321
4321
N3
N2
N4
N1
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Elasticidad lineal
Elementos 1D
Referencias global y local
NB(x) =x xA
xB xA =x xA
he(32)
Nb() =1 + b
2(33)
A Ba = 1 b = 2
x
a = 1 b = 1
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Elasticidad lineal
Elementos 1D
Interpolacion del campo de desplazamientos
uh(x) = uANA(x) + uBNB(x) (34)
uh() = u1N1() + u2N2() (35)
Relacion entre coordenadas locales y globales
(x) =2x xA xB
he(36)
xe() =he + xA + xB
2=
2a=1
Na()xea =12
((1 )xA + (1 + )xB)
(37)
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Elasticidad lineal
Elementos 1D
Integracion en coordenadas locales
Keab = +11
Na,()ENb,()1x
d (38)
sustituyendo:
Na, =
[12(1 + a)
]=
12a (39)
x
=
[he + xA + xB
2
]=
he
2(40)
en (38), resulta:
Ke =E
he
1 11 1
(41)
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Elemento Q1 (cuadrilatero de cuatro nodos):
-
6
LL
LL
LL,
,,
,,,
BBB1
2
3
4
1 2
34
-
66
-
6
?
2
2x
y
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Interpolacion:
x(, ) =4
I=1 xINI y(, ) =4
I=1 yINI
u(, ) =4
I=1 uINI v(, ) =4
I=1 vINI
con: N(, ) = 14 (1 + I)(1 + I).
Propiedades de las funciones de forma (condicionessuficientes para la convergencia):
1. son continuas y derivables en e
2. son continuas en la frontera de los elementos
3. complitud: u = c0 + c1x + c2y
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Jacobiano de la transformacion isoparametrica y
derivadas de las funciones de forma.
J(, ) =
x, x,
y, y,
siendo:
x, =4
I=1
xeINI, x, =4
I=1
xeINI,
y, =4
I=1
yeINI, y, =4
I=1
yeINI,
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Calculo de las derivadas de las funciones de forma,:
J1(, ) =
,x ,y
,x ,y
= 1
j
y, x,y, x,
; j = det [J(, )]
NI,x = NI,,x + NI,,x
NI,y = NI,,y + NI,,y
Integracion numerica: se pueden emplear diversos tipos
de cuadraturas:
1. Regla trapezoidal
2. Formula de Simpson
3. Cuadratura de Gauss
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Elemento CST
1 (1, 0)3 (0, 0)
x22
1
2 (0, 1)23
1 x1
x()
Las funciones de forma son planos:
Ne1 = 1
Ne2 = 2
Ne3 = 3 = 1 1 2
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Elemento CST
Integracion de funciones
ef(x)d =
nint
l=1
wlf(x(l)) det(
x(l)
)
Matriz jacobiana
x
=
x11
x13x12
x13x21
x23x22
x23
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Elasticidad lineal
Elementos isoparametricos
Elemento LST
(0, 1/2)
1 (1, 0)3 x1
x22
1
2 (0, 1)3
4 (1/2, 1/2)
(1/2, 0)
1
x()
6
52
4
5
6
Funciones de forma:Ne1 = 21 N
e4 = 412
Ne2 = 22 Ne5 = 423
Ne3 = 23 Ne6 = 431
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Elasticidad lineal
Integracion numerica
Cuadratura de Gauss:
11
11
g(, )dd =nint
l=1
Wl g(l, l)
-
6
-
6
-
6
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
--
6?6?
- -
6?
?6
13
35
lint = 1 lint = 4 lint = 9
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Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos
Se expresa en terminos de
las coordenadas cilndricas
r (radial), z (axial) y (cir-
cunferencial).
y
xr
z
Condicion de simetra axial: todas las variables son
independientes de y ademas: u=0, r = z = 0
En todos los integrandos hay que considerar un factor de
2r
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Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos
Relacion tension - deformacion
rr
zz
rz
=
+ 2 0
+ 2 0
0 0 0
0 + 2
rr
zz
rz
La matriz B (interpolacion del campo de deformaciones) es:
B =
Na,r 0
0 Na,z
Na,z Na,rNar 0
a = 1 . . . nnenod
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Elasticidad lineal
Elasticidad 3D
Relacion tension - deformacion
xx
yy
zz
xy
xz
yz
=
+ 2 0 0 0
+ 2 0 0 0
+ 2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
xx
yy
zz
xy
xz
yz
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Elasticidad lineal
Elasticidad 3D
Interpolacion del campo de deformaciones (matriz B)
B =
Na,x 0 0
0 Na,y 0
0 0 Na,z
Na,y Na,x 0
Na,z 0 Na,x
0 Na,z Na,y
a = 1 . . . nnenod
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Elasticidad lineal
Elementos 3D isoparametricos
Hexaedro trilineal
8
5
6
e
2 3
5 8
7
1 46
= (, , )
x = x(x, y, z)
2
3
4
17
Na(, , ) =18(1 + a)(1 + a)(1 + a)
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